PDF_419172_2020_04_08_16_04_09

Prévia do material em texto

Geometria Plana: Questões 
Semana 06.04
 
1. (G1 - ifpe 2019) “Há uns dez anos, um aluno, cujo nome 
infelizmente não recordo, apareceu na escola com algumas 
peças de seu artesanato. Trabalhando com madeira, pregos 
e linhas de várias cores, ele compunha paisagens, figuras 
humanas e motivos geométricos. Foi a primeira vez que vi 
esse tipo de artesanato. Depois disso, vi muitos outros 
trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!). Certo dia, 
folheando um livro, vi o desenho de um decágono regular e 
suas diagonais:” 
 
 
Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/7/8.htm>. Acesso em: 
04 maio 2019 (adaptado). 
 
Observe que, no decágono que ilustra o texto acima, o 
aluno citado usou vários pedaços de linha para compor os 
lados e as diagonais do polígono. Cada lado e cada 
diagonal foi construído com, exatamente, um pedaço de 
linha. A quantidade de pedaços de linha usados para formar 
as diagonais do decágono é 
a) 50. 
b) 70. 
c) 25. 
d) 40. 
e) 35. 
 
2. (Mackenzie 2019) Os raios das circunferências, inscrita e 
circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado mede a, são, 
respectivamente, 
a) 
a
3
 e 
2a
3
 
b) 
a
2
 e a 
c) 
a 2
2
 e a 2 
d) 
a 3
6
 e 
a 3
3
 
e) 
a 3
2
 e a 3 
 
 3. (G1 - ifpe 2019) As lutas de UFC acontecem num ringue 
com formato de um octógono regular, conforme a figura 
abaixo. 
 
Para a montagem das laterais do ringue, o responsável pelo 
serviço precisaria da medida do ângulo interno formado 
entre dois lados consecutivos, de modo que pudesse 
montar sem erros. Consultando o manual do ringue, ele 
verificou que o ângulo que precisava media 
a) 100 . 
b) 120 . 
c) 140 . 
d) 135 . 
e) 150 . 
 
4. (Ufrgs 2019) Os quatro hexágonos da imagem a seguir 
são regulares e cada um tem área de 248 cm . Os vértices 
do quadrilátero ABCD coincidem com vértices dos 
hexágonos. Os pontos E, D, B e F são colineares. 
 
 
 
A área do quadrilátero ABCD, em 2cm , é 
a) 8. 
b) 10. 
c) 16 
d) 24. 
e) 36. 
 
5. (Enem 2018) O remo de assento deslizante é um esporte 
que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho. 
A figura mostra uma das posições de uma técnica chamada 
afastamento. 
 
 
 
Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e 
suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e 
C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo 
ângulo ˆBAC tem medida de 170 . 
 
O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, no 
momento em que o remador está nessa posição, é 
a) retângulo escaleno. 
b) acutângulo escaleno. 
c) acutângulo isósceles. 
d) obtusângulo escaleno. 
e) obtusângulo isósceles. 
 
 
6. (Mackenzie 2018) 
 
 
O triângulo PMN acima é isósceles de base MN. Se p, m e 
n são os ângulos internos do triângulo, como representados 
na figura, então podemos afirmar que suas medidas valem, 
respectivamente, 
a) 50 , 65 , 65   
b) 65 , 65 , 50   
c) 65 , 50 , 65   
d) 50 , 50 , 80   
e) 80 , 80 , 40   
 
7. (Enem PPL 2016) Um gesseiro que trabalhava na 
reforma de uma casa lidava com placas de gesso com 
formato de pentágono regular quando percebeu que uma 
peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte 
triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos 
ângulos ˆ ˆx EAD, y EDA= = e ˆz AED= do triângulo ADE. 
 
As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, 
respectivamente, 
a) 18,18 e 108. 
b) 24, 48 e 108. 
c) 36, 36 e 108. 
d) 54, 54 e 72. 
e) 60, 60 e 60. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Para responder à(s) questão(ões), leia o seguinte texto: 
 
A palavra polígono tem origem no grego e significa ter 
muitos lados ou ângulos. Eles foram estudados pelo grande 
Geômetra Euclides de Alexandria em sua obra Os 
elementos. 
 
8. (G1 - ifsul 2016) Quantos lados têm um polígono cuja 
soma dos ângulos internos e externos é 1980 ? 
a) 8 b) 11 c) 13 d) 17 
 
 
9. (G1 - ifsul 2016) Quantos lados têm um polígono cujo 
número total de diagonais é igual ao quádruplo do seu 
número de vértices? 
a) 10 
b) 11 
c) 13 
d) 9 
10. (Ucs 2014) Dois pontos A e E estão situados na 
margem esquerda de um rio, a uma distância de 40 m um 
do outro. Um ponto C, no qual está ancorado um bote, está 
situado na margem direita, de tal modo que os ângulos 
CAE e CEA medem 60°. 
Considerando as margens praticamente retas e paralelas, 
qual e, em metros, a largura aproximada do rio no local em 
que está o bote? Para efeitos de cálculo utilize: 3 1,7. 
a) 17 
b) 34 
c) 45 
d) 68 
e) 80 
 
11. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe o triângulo ABC, 
em que AB BC= e AD é uma altura de comprimento h. A 
área do triângulo ABC é igual a 
 
 
a) 2h . 
b) 22 h . 
c) 23 h . 
d) 22h . 
 
12. (G1 - cftmg 2019) A figura 1 mostra uma pirâmide 
formada por um quadrado e quatro triângulos equiláteros. 
 
 
 
A planificação dessa pirâmide está representada na figura 2. 
 
 
Se a área total da pirâmide é dada pela área da Figura 2 e o 
lado do quadrado mede , então, a área total da pirâmide é 
a) 
23
.
2
 
b) 2
3
1 .
4
 
+  
 
 
c) 2(1 3).+ 
d) 23 . 
 
13. (G1 - cp2 2019) Para enfeitar sua árvore de Natal, 
Deise desenhou em uma folha de papel alguns flocos de 
neve. 
 
O processo de construção está descrito a seguir: 
 
1º) Desenha-se um triângulo equilátero de lado 9 cm 
(Figura 1). 
2º) Apoiado em cada lado desse triângulo, desenha-se outro 
triângulo equilátero de lado igual a 
1
3
 do anterior, e 
apaga-se na figura o segmento que corresponde à 
interseção desses dois triângulos (Figura 2). 
3º) Nesses novos 3 triângulos, faz-se o mesmo processo 
descrito no item anterior, mas apenas nos dois lados que 
não foram apagados (Figura 3). 
 
Utilize 3 1,7 
 
 
 
Para fazer 10 flocos de neve iguais ao da Figura 3, Deise 
necessitará de uma quantidade de papel, em centímetros 
quadrados, igual a 
a) 344,0. 
b) 484,5. 
c) 3440,0. 
d) 4845,0. 
 
14. (G1 - ifpe 2019) A imagem abaixo é o esboço do 
símbolo do super-herói Menino-Vespa. Qual a área da 
região sombreada se a malha quadriculada é formada por 
quadrados com 1cm de lado? 
 
 
a) 222 cm 
b) 228 cm 
c) 236 cm 
d) 218 cm 
e) 214 cm 
15. (G1 - ifpe 2019) A Mitsubishi é uma empresa 
multinacional cuja logomarca é formada por três losangos 
vermelhos idênticos, conforme imagem a seguir. 
 
 
 
Disponível em:<https://pt.pngtree.com/freepng/mitsubishi-motors-logo-vector-
material_1410528.html. Acesso em: 09 maio 2019. 
 
Considere que, para fazer uma propaganda em determinado 
jornal, a logomarca tenha sido desenhada com cada um dos 
losangos medindo 4 cm de lado e com um dos ângulos 
internos medindo 120 . A área que será pintada desses três 
losangos, em centímetros quadrados, é 
a) 48 3. 
b) 12 3. 
c) 24 3. 
d) 48. 
e) 4. 
 
16. (Unesp 2017) Os polígonos SOL e LUA são triângulos 
retângulos isósceles congruentes. Os triângulos retângulos 
brancos no interior de SOL são congruentes, assim como 
também são congruentes os triângulos retângulos brancos 
no interior de LUA. 
 
 
 
 
A área da superfície em amarelo e a área da superfície em 
azul estão na mesma unidade de medida. Se x é o número 
que multiplicado pela medida da área da superfície em 
amarelo resulta a medida da área da superfície em azul, 
então x é igual a 
a) 
16
15
 
b) 
15
16
 
c) 
9
10
 
d) 
24
25
 
e) 
25
24
 
 
17. (G1 - ifal 2014) A soma das áreas de todos os triângulos 
que podemos formar na figura a seguir é igual a 
 
 
a) 3 
b) 4 
c) 7 
d) 8 
e) 10 
 
18. (Enem PPL 2014) Um artista deseja pintar em umquadro uma figura na forma de triângulo equilátero ABC de 
lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em 
sua obra, o artista traça segmentos que unem os pontos 
médios D, E e F dos lados BC, AC e AB, respectivamente, 
colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a 
figura. 
 
 
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do 
triângulo DEF? 
a) 
1
16
 
b) 
3
16
 
c) 
1
8
 
d) 
3
8
 
e) 
3
4
 
 
 
 
Gabarito
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Calculando: 
( ) ( )n n 3 10 10 3
d 35
2 2
 −  −
= = = 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
É imediato que a altura do triângulo considerado mede 
a 3
.
2
 
Sendo a medida do segmento que une o baricentro a um 
vértice do triângulo equilátero igual a 
2
3
 da altura(raio da 
circunferência circunscrita), e a medida do segmento que 
une o baricentro ao ponto médio do lado oposto ao vértice 
considerado igual a 
1
3
 da altura( raio da circunferência 
inscrita), tem-se que a resposta é: raio da circ. Inscrit
1/ 3.( 3 / 2) 3 / 6a a= = 
e o raio da circ.circunscrita -2/3 3 / 2 3 / 3a a= 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Calculando: 
( ) ( )iS n 2 180 8 2 180 1080
1080
135
8
= −   = −   = 
= 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos 
equiláteros. Portanto, no caso dado cada triângulo mede 
28 cm . O quadrilátero ABCD é formado por 2 triângulos 
idênticos aos que formam os hexágonos, pois tem lados e 
ângulos congruentes. Assim a medida do quadrilátero será 
igual a 216 cm . 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Sendo AB AC= e 90 BAC 180 ,    podemos afirmar que 
ABC é obtusângulo isósceles. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
n 180 115 n 65
PM PN m 65
=  −  = 
=  = 
 
 
Logo, 
p 180 2 65 50=  −   =  
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )int ernos
int ernos
pentágono regular z é ângulo interno
S 180 n 2 180 5 2 540
S 540
z 108
n 5
x y z 180
2x 108 180 x y 36
x y

=   − =   − = 

= = = 
+ + = 
 + =  = = 
=
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Calculando: 
e
i
S 360
S (n 2) 180 1980 360 (n 2) 180
1980 360 180n 360 180n 1980 n 11
= 
= −   →  −  = −  
− = − → = → =
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Calculando: 
( )
( )
vértices lados
2lados lados
lados lados lados lados
2
lados lados
lados
n n
n (n 3)
D 4n n 3n 8n
2
n 11n 0
n 11
=
 −
= = → − =
− =
=
 
Observe que:n.(n -11) =0 
 n = 0 ou n – 11 = 0 ( n = 11) 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Dado que CAE CEA 60 , =  é imediato que o triângulo 
ACE é equilátero. Logo, queremos calcular a altura do 
triângulo ACE relativa ao lado AE. 
 
Portanto, sendo 40 metros a medida do lado do triângulo, o 
resultado é igual a 
 
 
40 3
20 1,7 34 m.
2
  = 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Tomando o triângulo ABD, vem 
 
AD
sen30 AB 2h.
AB
 =  = 
 
Portanto, sendo AB BC,= podemos concluir que a resposta 
é 
 
2
1
(ABC) BC AD
2
1
2h h
2
h .
=  
=  
=
 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Calculando: 
( )
2
2 23S 4 1 3
4

=  + =  + 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
 
 
A figura é formada por diversos triângulos equiláteros como 
mostrado na figura acima – um triângulo equilátero de lado 
9; três triângulos equiláteros de lado 3 e seis triângulos 
equiláteros de lado 1. Assim, pode-se calcular: 
2 2 29 3 3 3 1 3 81 3 27 3 6 3 114 3
S 3 6
4 4 4 4 4 4 4
  
= +  +  = + + = 
 
Para 10 flocos de neve: 
2114 3 1140 310 484,5 cm
4 4
 = = 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
 
 
A área sombreada será dada pela soma das áreas dos 
triângulos destacados: 
1 2 3 4 5
2
A A A A A A
2 2 2 3 2 4 2 3 2 2
A
2 2 2 2 2
A 14 cm
= + + + +
    
= + + + +
=
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Cada losango é formado por 2 triângulos equiláteros de lado 
4 cm. Assim a área total da logomarca será igual a área de 
6 triângulos equiláteros de lado 4 cm. Calculando: 
2 23S 6 4 24 3 cm
4
=   = 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
Sejam r e s, respectivamente, a área de cada um dos 
triângulos congruentes que constituem os triângulos SOL e 
LUA. É imediato que 9r 16s.= 
Portanto, se x é o número que multiplicado pela medida da 
área da superfície em amarelo resulta a medida da área da 
superfície em azul, então 
5 9
6r x 10s x
3 16
15
x .
16
 =  = 
 =
 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Considere a seguinte situação: 
 
 
Os triângulos possíveis são: 
ABC, ACD, ADE, ABD, ACE, ABE 
 
Notando que os triângulos ABC, ACD, ADE possuem 
mesma base e altura temos que suas áreas são: 
base altura 1 2
A 1
2 2
 
= = = 
 
 
E os triângulos ABD e ACE possuem base 2= temos que 
sua área vale: 
base altura 2 2
A 2
2 2
 
= = = 
 
Por fim, note que o triangulo ABE possui base 3= temos 
que sua área vale: 
base altura 3 2
A 3
2 2
 
= = = 
 
Somando todas a áreas temos: 
ABC ACD ADE ABD ACE ABE 1 1 1 2 2 3 10.+ + + + + = + + + + + = 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Os quatro triângulos menores são equiláteros de lado 
1
m.
2
 
Portanto, segue que 
 
2
21 1 3(DEF) 3 m .
4 2 16
 
=   = 
 