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1 Profª Waléria Cecílio Aula ao Vivo 4 Álgebra Linear Uma transformação linear é uma função que leva vetores de um espaço vetorial V em vetores de um espaço vetorial W T: V ���� W Transformações lineares - TL Em toda transformação linear T:V����W a imagem do vetor nulo de V é o vetor nulo de W, isto é T(0)=0 Propriedade Sabendo que T:R2����R3, T(x, y) = (3x, -2y, x –y) é uma TL, temos: T(0, 0) = (0, 0, 0) Exemplo �: �� → �� � � , �� � �, �, �� � � T é uma função de V em W , que satisfaz as seguintes condições: 1.1.1.1. � � � � � � � � � � 2.2.2.2. � �� � �� � ∀�, � ∈ � � ∀� ∈ � 2 Antes de realizar a prova do exercício, vamos entender por meio de vetores numéricos as três principais propriedades de uma TL �� � �: �� → �� �!� "#�$%�&#!�çã& )�� �%%&�*� +�"&#�% + � ,� ,& �� �&! +�"&#�% - � , �, ,& ��, %�$,& � , � � � , .��, . � � /�* )�� ,��*$� �.0&%"#� )�� � é �!� "#�$%�&#!�çã& /*$��# �2 . T(0, 0) = (0, 0, 0) u= (1, 2) e v= (3, 4) T(u + v) = T(4, 6) =(3.(4),-2.(6), 3-4) =(12,-12, -2) T(u)=T(1,2)=(3,-4,-1) T(v)=T(3,4)=(9,-8,-1) T(u)+T(v)=(12,-12, -2) Em toda TL, T(0)=0. Porém, a recíproca nem sempre é verdadeira. �� � �: �� → �� �!� "#�$%�&#!�çã& )�� �%%&�*� +�"&#�% + � ,� ,& �� �&! +�"&#�% - � , �, ,& ��, %�$,& � , � � � , .��, . � � /�* )�� ,��*$� �.0&%"#� )�� � é �!� "#�$%�&#!�çã& /*$��# �2 . u= (1, 2) e k = -1 T(k.u)= T(-1,-2)=(3.(-1), -2.(-2), -1–(-2)) T(k.u)= (-3, 4, 1) k.T(u) =-1. T(1,2) =-1. (3, -4, -1) =(-3, 4, 1) �� � �: �� → �� �!� "#�$%�&#!�çã& )�� �%%&�*� +�"&#�% + � ,� ,& �� �&! +�"&#�% - � , �, ,& ��, %�$,& � , � � � , .��, . � � /�* )�� ,��*$� �.0&%"#� )�� � é �!� "#�$%�&#!�çã& /*$��# �2 . Agora, vamos provar o exercício �� � �: �� → �� �!� "#�$%�&#!�çã& )�� �%%&�*� +�"&#�% + � ,� ,& �� �&! +�"&#�% - � , �, ,& ��, %�$,& � , � � � , .��, . � � /�* )�� ,��*$� �.0&%"#� )�� � é �!� "#�$%�&#!�çã& /*$��# �2 . +3 � 3,�3 +� � �, ��� � +3 � +� � � 3 � �, �3 � �� � � 3 � � , .� �3 � �� , 3 � � . �3 � �� � � 3 � � �,.��3 . ���, 3 � � . �3 . �� � � 3, .��3, 3 . �3� � � �, .���, � . �� � � +3 � � +�� +3 � 3, �3 +� � �, ��� � �. +3 � � � 3, ��3 � �� 3, .���3, � 3 . ��3 � �. � 3,.��3, 3 . �3 � �. � +3 4&#"�$"&, � é �!� �2 3 Também podemos definir uma TL usando matrizes �� � 5 �!� !�"#* ,� &#,�! � �. 6%%� !�"#* ,�"�#!*$� � "#�$%�&#!�çã& �5: 7� � → 5�� + → 5+ &� �5 + � 5 + )�� é /*$��#. 5 �,� � � .3 � 8 9 � �5 , � � � . �,� � 8�,9 � 5 �,3 � � :#&,�"& 5+ é � .3 � 8 9 � � � � . � � � 8� 9 Observe que as colunas da matriz transformação são as imagens dos vetores canônicos de V=R2 T (1,0) = (1, -2, 0) T (0, 1) = (2, 3, 4) �5 + � 5.� ⇔ 3 � .� � � 8 . � � � �� .� � �� 8� �:�� → ��, � , � � � ��,.� � ��,8� &� �5 + � 5.+ &$,� 5 � 3 � .� � � 8 �� �: �� → ��, � , � � �, �� � �, � � �, � Mostre que as transformações não são lineares � < � + � � 3 � � , �3 � �� � 3 � � �, � �3 � �� � � 3 � � � 3 � � � �, ��3 � ��� � < � � + � 3 �, ��3 � � �, ��� � 3 �, � � �, ��3 � ��� � < � + = � < � � + b� �: �� → ��, � , �, � � � �, � � 8 � $ã& é /*$��# :&#)�� � �, �, � � �, � = �, �� Interpretação geométrica de uma TL �: 7�� → 7��, � , � � .� � �,� � ��� �� < � .3, 3 � + � �, 3 , "�! . %� � < � 8, 3 � � + � 3, � . � 8 � 3 � 8 9 � +� � < � +� � <�� � 3 3 �< � + > ? .3 � �< � � � � 3 < .� .3 � � 3 � 3 8 � <� @ � �<� k = 2 �: 7�� → 7��, � , � � .� � �, � � ��� �� < � .3, 3 "�! . %� � < � 8, 3� 4 Propriedade Seja T:V����W uma TL, queremos encontrar uma fórmula geral para T conhecendo uma base de V, {?A, ..., ?B} e a imagem dos vetores da base {C ?A�, ..., T ?B�} �� �:� → D �&# �!� �2 � + � �3. +3 � ��. +�+...+�$. +$ EFGãH� +� � �3. � +3� � ��. � +��+...+ �$. � +$ ∀�* ∈ � � +* ∈ � A) Seja T:R3����R2 uma TL e B = {(0,1,0), (1,0,1), (1,1,0)} uma base do R3. Determinar T(5,3,-2) sabendo que T(0,1,0)=(1,-2), T(1,0,1)=(3,1) e T(1,1,0)=(0,2) 9, �,.� � �3 �,3, � � �� 3,�, 3 � �� 3,3, �� I�3 � �� � �� � 9�� � ��� � .� �3 � .8,�� � .� � �� � J9, �, .� � .8+3 . �+� � J+� Vimos: Então, + � �3. +3 � ��. +� �⋯� �$. +$ � + � �3. � +3 � ��. � +� �⋯��$. � +$ . 9, �,.� � .8+3 . �+� � J+� � 9, �, .� � .8� +3� . �� +�� � J� +��� .8 3,.� . � �, 3 � J �, �� .8, @ � .L,.� � �, 38� .3�, ��� a) Seja T:R3����R2 uma TL e B = {(0,1,0), (1,0,1), (1,1,0)} uma base do R3. Determinar T(x, y, z) sabendo que T(0,1,0) =(1,-2), T(1,0,1)=(3,1) e T(1,1,0)=(0,2) , �, � �3 �, 3, � � �� 3, �, 3 � �� 3, 3, �� I�3 � �� � �� � �� � ��� � , �3 � . � � � , �� � � �� � . . , �, � . � � � +3 � +� � . �+� 5 , �, � . � � � +3 � +� � . �+� 5:/*��$,& � �, +�!: � , �, � . � � � � +3� � � +�� � . �� +��� . � � � 3, .� � �, 3 � . � �, ��� . � � � , � . �� . � � � , � �, � . � � . � � � 8 , 8 . �� . � b) M! &:�#�,&# /*$��# �: 7�� → 7�� é ,��*$*,& :&# � 3, � � �,.� � � �, 3 � .8, 3 .N�"�#!*$�# � , � . � , � � � 3, � � �� �, 3�� �, .� � � .8, 3� � , .� � .8�, �� � . 8�,.� � �� , � � 3, � � � �, 3� c) Em que v=(2z, -z, z) Ou ainda, V = z (2, -1, 1) Núcleo e imagem de uma TL Domínio Imagem Núcleo Contradomínio Núcleo é um subespaço de V Imagem é um subespaço de W � � D � 6 É o conjunto de todos os vetores + ∈ � que são transformados em � ∈ DO � � P�# �� + ∈ �/ � +� � � Importante: P�# � R � � P�# � = ∅,:&*% � ∈ P�# � "�$,& �! +*%"� )��� � � � Núcleo de uma TL O P�#(T) é um subespaço de V. T: V���� W é injetora se, e somente se, P�#(T)={0} Propriedades do P�#(T) A transformação é injetora Calcular o núcleo da TL É o conjunto de vetores - ∈ D que são imagens de pelo menos um vetor + ∈ �.7! � � - ∈ D/� +� � - Propriedade Se Im(T)=W, T diz-se sobrejetora, isto é, ∀T ∈ U existe pelo menos um ? ∈ V tal que C ? � T. Imagem de uma TL (x – 2y, x + 3y) = (a, b) WX . 2Y � ZX � 3Y � \ Como ]^_ 1 .21 3 = 0, SPD. A imagem é definida por Im(T)= [(1,1), (-2, 3)] A TL é sobrejetora Calcular a imagem da TL Importante Uma transformação T: Rm���� Rn pode ser injetora, sem ser sobrejetora e também pode ser sobrejetora, sem ser injetora. 7 Seja T: V���� W uma transformação linear e suponha que dim V = dim W Se T for injetora, então T é sobrejetora. Se T for sobrejetora, então T é injetora. Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a transformação linear, T: V ���� W que é bijetora Isomorfismo Espaços isomorfos e isomorfismos são palavras derivadas do grego: isso significa igual e morfos significa forma. Assim espaços vetoriais isomorfos têm igual forma. É um isomorfismo Exemplo: Seja T: R3���� R3, T(x, y, z) = (x,y,0) a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xy. Encontre a Im(T) e Ker(T). Cálculo do núcleo (x, y, 0) = (0, 0, 0) x = 0 y = 0 0 = 0 ���� z é qualquer Ker(T) = {(0, 0, z)} dim (Ker(T)) = 1 Cálculo da imagem (x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) Im(T) = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] dim (Im(T)) = 2 8 Ou ainda, (x, y, 0) = (a, b, c) x = a y = b C = 0 Im(T) = {(a , b, 0)} Interpretação geométrica Seja T: R3���� R3, T(x, y, z) = (x,y,0) a projeção ortogonal do R3 sobre o plano xy dim (Ker(T)) = 1 dim (Im(T)) = 2 dim V = 3 9
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