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AV04_Matematica_Algebra Linear_revAl

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1
Profª Waléria Cecílio
Aula ao Vivo 4
Álgebra Linear
Uma transformação 
linear é uma função 
que leva vetores de 
um espaço vetorial V 
em vetores de um 
espaço vetorial W 
T: V ���� W
Transformações lineares - TL
Em toda 
transformação linear 
T:V����W a imagem do 
vetor nulo de V é o 
vetor nulo de W, isto 
é T(0)=0
Propriedade
Sabendo que 
T:R2����R3, T(x, y) = 
(3x, -2y, x –y) 
é uma TL, temos: 
T(0, 0) = (0, 0, 0)
Exemplo
�: �� → ��
�
� 	
	, ��
�
�, �, ��
�
	
�
T é uma função de V 
em W , que satisfaz 
as seguintes 
condições:
1.1.1.1. � � � � � � � � � �
2.2.2.2. � �� � �� �
∀�, � ∈ �			�			∀�	 ∈ �
2
Antes de realizar a 
prova do exercício, 
vamos entender por 
meio de vetores 
numéricos as 
três principais 
propriedades 
de uma TL
�� �	�:	�� → ��	�!�	"#�$%�&#!�çã&	)��	�%%&�*�	+�"&#�%	+ � 	,� 	,&	��	�&!	+�"&#�%
- � 	, �, 
 	,&	��, %�$,&	� 	, � � �	, .��, 	 . � 	�	/�*	)��	,��*$�	�.0&%"#�	)��	�	é	�!�
"#�$%�&#!�çã&	/*$��#	 �2 .
T(0, 0) = (0, 0, 0)
u= (1, 2) e v= (3, 4)
T(u + v)
= T(4, 6)
=(3.(4),-2.(6), 3-4)
=(12,-12, -2)
T(u)=T(1,2)=(3,-4,-1)
T(v)=T(3,4)=(9,-8,-1)
T(u)+T(v)=(12,-12, -2)
Em toda TL, T(0)=0. Porém, a 
recíproca nem sempre é 
verdadeira.
�� �	�:	�� → ��	�!�	"#�$%�&#!�çã&	)��	�%%&�*�	+�"&#�%	+ � 	,� 	,&	��	�&!	+�"&#�%
- � 	, �, 
 	,&	��, %�$,&	� 	, � � �	, .��, 	 . � 	�	/�*	)��	,��*$�	�.0&%"#�	)��	�	é	�!�
"#�$%�&#!�çã&	/*$��#	 �2 .
u= (1, 2) e k = -1 
T(k.u)= T(-1,-2)=(3.(-1), 
-2.(-2), -1–(-2))
T(k.u)= (-3, 4, 1)
k.T(u)
=-1. T(1,2)
=-1. (3, -4, -1)
=(-3, 4, 1)
�� �	�:	�� → ��	�!�	"#�$%�&#!�çã&	)��	�%%&�*�	+�"&#�%	+ � 	,� 	,&	��	�&!	+�"&#�%
- � 	, �, 
 	,&	��, %�$,&	� 	, � � �	, .��, 	 . � 	�	/�*	)��	,��*$�	�.0&%"#�	)��	�	é	�!�
"#�$%�&#!�çã&	/*$��#	 �2 .
Agora, vamos provar o exercício
�� �	�:	�� → ��	�!�	"#�$%�&#!�çã&	)��	�%%&�*�	+�"&#�%	+ � 	,� 	,&	��	�&!	+�"&#�%
- � 	, �, 
 	,&	��, %�$,&	� 	, � � �	, .��, 	 . � 	�	/�*	)��	,��*$�	�.0&%"#�	)��	�	é	�!�
"#�$%�&#!�çã&	/*$��#	 �2 .
+3 � 	3,�3
+� � 
	�, ���
� +3 � +�
� � 	3 � 	�, �3 � ��
� � 	3 � 	� , .� �3 � �� , 	3 � 	�	 . �3 � ��
� �	3 � �	�,.��3 . ���, 	3 � 	�	 . �3 . ��
� �	3, .��3, 	3 . �3� � 
�	�, .���, 	� . ��
� � +3 � �
+��
+3 � 	3, �3
+� � 
	�, ���
� �. +3
� � �	3, ��3
� ��	3, .���3, �	3 . ��3
� �. �	3,.��3, 	3 . �3
� �. � +3
4&#"�$"&, �	é	�!�	�2
3
Também podemos definir uma 
TL usando matrizes
�� �	5	�!�	!�"#*
	,�	&#,�!	�	�.	
6%%�	!�"#*
	,�"�#!*$�	�	"#�$%�&#!�çã&
�5: 	7�
� → 5��
+ → 5+	&�	�5 + � 5	+	)��	é	/*$��#.
5 �,� �
� .3
� 8
9 �
�5 	, � � 
�	 . �,�	 � 8�,9	�
5 �,3 �
	
�
:#&,�"&	5+	é
� .3
� 8
9 �
	
� �
�				 . 			�
�			 � 		8�
9															
Observe que as 
colunas da matriz 
transformação são as 
imagens dos vetores 
canônicos de V=R2
T (1,0) = (1, -2, 0)
T (0, 1) = (2, 3, 4)
�5 + � 5.� ⇔
3 �
.� �
� 8
.
	
� �
	 � ��
.�	� ��
8�
�:�� → ��, � 	, � � 	 � ��,.�	 � ��,8� &�	�5 + � 5.+	&$,�	5 �
3 �
.� �
� 8
��	�: �� → ��,	
� 	, � � 	�, ��
� �, � � �, �
Mostre que as transformações 
não são lineares
� < � + � � 	3 � 	� , �3 � �� � 	3 � 	�
�, �	 �3 � �� �
� 
	3
� � �	3	� � 	�
�, ��3 � ���
� < � � + � 	3
�, ��3 � 	�
�, ��� � 	3
�, �	�
�, ��3 � ���
� < � + = � < � � +
b�	�: �� → ��,	
� 	, �, 
 � �	 � �, �	 � 8
	�	$ã&	é	/*$��#	:&#)��
� �, �, � � �, � = 
�, ��
Interpretação geométrica de 
uma TL
�: 7�� → 7��, � 	, � � 
.�	 � �,�	 � ���
��	< � .3, 3 	�	+ � �, 3 , "�! . %�	� < � 8, 3 	�	� + � 3, � .
�
8
�
3
�
	
	8 9
�
+�
�
< � +�
�
<��
�
3
3
�< � +
>
?
.3
�
�<
� �
�
	
�
3
<
.� .3 �
�
3
� 3 8
�
<�
@ 	
�
�<�
k = 2
�: 7�� → 7��, � 	, � � 
.�	 � �, �	 � ���
��	< � .3, 3 	"�! . %�	� < � 
8, 3�
4
Propriedade
Seja T:V����W uma TL, 
queremos encontrar 
uma fórmula geral 
para T conhecendo
uma base de V, {?A, 
..., ?B} e a imagem 
dos vetores da base 
{C
?A�, ..., T
?B�}
��	�:� → D	�&#	�!�	�2	�	+ � �3. +3 � ��. +�+...+�$. +$	EFGãH�
+� 	� �3. �
+3� � ��. �
+��+...+	�$. � +$ ∀�* ∈ �	�	+* 	 ∈ �
A) Seja T:R3����R2 uma TL e 
B = {(0,1,0), (1,0,1), (1,1,0)} 
uma base do R3. Determinar 
T(5,3,-2) sabendo que 
T(0,1,0)=(1,-2), 
T(1,0,1)=(3,1) e 
T(1,1,0)=(0,2)
9, �,.� � �3 �,3, � � �� 3,�, 3 � ��
3,3, ��
I�3 �	�� � �� � 9�� � ��� � .�
�3 � .8,�� � .�	�	�� � J9, �, .� � .8+3 . �+� � J+�
Vimos:
Então,
+ � �3. +3 � ��. +� �⋯� �$. +$
� + � �3. � +3 � ��. � +� �⋯��$. � +$ .
9, �,.� � .8+3 . �+� � J+�
� 9, �, .� � .8�
+3� . ��
+�� � J�
+��� .8 3,.� . � �, 3 � J �, �� .8, @ � .L,.� � �, 38� 
.3�, ���
a) Seja T:R3����R2 uma TL e 
B = {(0,1,0), (1,0,1), (1,1,0)} 
uma base do R3. 
Determinar T(x, y, z) 
sabendo que T(0,1,0)
=(1,-2), T(1,0,1)=(3,1) 
e T(1,1,0)=(0,2)
	, �, 
 � �3 �, 3, � � �� 3, �, 3 � ��
3, 3, ��
I�3 �	�� � �� � 	�� � ��� � 
,
�3 � .	 � � � 
, �� � 
	�	�� � 	 . 
.	, �, 
 � .	 � � � 
 +3 � 
+� � 
	 . 
�+�
5
	, �, 
 � .	 � � � 
 +3 � 
+� � 
	 . 
�+�
5:/*��$,&	�	�, +�!:
� 	, �, 
 � .	 � � � 
 �
+3� � 
�
+�� � 
	 . 
��
+��� .	 � � � 
 3, .� � 
 �, 3 � 
	 . 
�
�, ��� .	 � � � 
, �	 . �� . �
 � �
, 
 � �, �	 . �
� .	� � � 8
, 8	 . �� . �
b) M!	&:�#�,&#	/*$��#	�: 7�� → 7��	é	,��*$*,&	:&#	� 3, � � �,.� �	� �, 3 � .8, 3 .N�"�#!*$�#	� 	, � .
� 	, � � 	� 3, � � ��
�, 3�� 	 �, .� � � .8, 3� �	, .�	 � .8�, �� 
�		 . 8�,.�	 � ��
	, � 			� 	 3, � � �
�, 3�
c)
Em que v=(2z, -z, z)
Ou ainda,
V = z (2, -1, 1) 
Núcleo e imagem de uma TL
Domínio Imagem
Núcleo
Contradomínio
Núcleo é um
subespaço de V
Imagem é um
subespaço de W
�
� D
�
6
É o conjunto de todos os 
vetores + ∈ � que são 
transformados em � ∈ DO � � P�#	 �� + ∈ �/	�
+� � �
Importante: P�#	 � 	R	�		�		P�# � = ∅,:&*%		� ∈ P�# � 	"�$,&	�!	+*%"�	)��� � � �
Núcleo de uma TL
O P�#(T) é um 
subespaço de V.
T: V���� W é injetora se,
e somente se, P�#(T)={0}
Propriedades do P�#(T)
A transformação é 
injetora
Calcular o núcleo da TL
É o conjunto de vetores - ∈ D que são imagens 
de pelo menos um vetor + ∈ �.7! � � - ∈ D/�
+� � -
Propriedade 
Se Im(T)=W, T diz-se 
sobrejetora, isto é, ∀T ∈ U existe pelo menos
um ? ∈ V tal que C ? � T.
Imagem de uma TL 
(x – 2y, x + 3y) = (a, b)
WX . 2Y � ZX � 3Y � \
Como ]^_ 1 .21 3 = 0, SPD. 
A imagem é definida por 
Im(T)= [(1,1), (-2, 3)]
A TL é sobrejetora
Calcular a imagem da TL
Importante
Uma transformação 
T: Rm���� Rn pode ser 
injetora, sem ser 
sobrejetora e também 
pode ser sobrejetora, 
sem ser injetora. 
7
Seja T: V���� W uma 
transformação linear e 
suponha que 
dim V = dim W
Se T for injetora, então 
T é sobrejetora.
Se T for sobrejetora, 
então T é injetora.
Chama-se isomorfismo 
do espaço vetorial V no 
espaço vetorial W a 
transformação linear, 
T: V ���� W que é 
bijetora
Isomorfismo
Espaços isomorfos 
e isomorfismos são 
palavras derivadas 
do grego: isso 
significa igual e 
morfos significa 
forma. Assim espaços 
vetoriais isomorfos 
têm igual forma.
É um isomorfismo
Exemplo: Seja T: R3���� R3, 
T(x, y, z) = (x,y,0) a 
projeção ortogonal do 
R3 sobre o plano xy. 
Encontre a Im(T) e 
Ker(T). 
Cálculo do núcleo
(x, y, 0) = (0, 0, 0)
x = 0
y = 0
0 = 0 ���� z é qualquer
Ker(T) = {(0, 0, z)}
dim (Ker(T)) = 1
Cálculo da imagem
(x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0)
Im(T) 
= [(1, 0, 0), (0, 1, 0)]
dim (Im(T)) = 2
8
Ou ainda,
(x, y, 0) = (a, b, c)
x = a
y = b
C = 0
Im(T) = {(a , b, 0)}
Interpretação geométrica
Seja T: R3���� R3, 
T(x, y, z) = (x,y,0) a 
projeção ortogonal do 
R3 sobre o plano xy
dim (Ker(T)) = 1
dim (Im(T)) = 2
dim V = 3
9

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