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PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Introdução à pesquisa 
operacional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir pesquisa operacional.
 � Explicar a origem da pesquisa operacional.
 � Descrever a relação entre a pesquisa operacional e a tomada de
decisão.
Introdução
Os registros de atividades formais de pesquisa operacional (PO) ocorreram 
na Inglaterra durante a Segunda Guerra Mundial, quando uma equipe 
de cientistas britânicos decidiu tomar decisões com bases científicas 
sobre a melhor utilização do material de guerra. As técnicas utilizadas 
para operações militares, após a guerra, foram adaptadas e utilizadas 
no setor civil para melhorar a eficiência e a produtividade. Neste texto, 
você vai acompanhar os primeiros passos da PO, sua origem, definições 
principais, problemas e modelos típicos. 
Pesquisa operacional: origem
Os primeiros registros de métodos de análise e resolução de problemas seme-
lhantes à pesquisa operacional (PO) são datados do século III a.C., contudo, 
a sua aplicação na rotina industrial ocorre há algumas décadas. Durante a 
Segunda Guerra Mundial, pesquisas feitas por cientistas sobre como melhor 
administrar operações de comboio e antissubmarino foram fundamentais 
U N I D A D E 1
na vitória da Batalha do Atlântico Norte. Esforços semelhantes ajudaram na 
Campanha Britânica no Pacífico.
Após a Segunda Guerra Mundial, atividades organizacionais desenvolvidas 
pelos militares foram adaptadas ao setor civil para melhorar a produtividade. 
A partir do estabelecimento da Revolução Industrial, houve um crescimento 
significativo tanto em extensão quanto em complexidade nas organizações. O 
estabelecimento das divisões no trabalho e a distribuição de responsabilidades 
gerenciais nessas organizações foram fundamentais nesse período revolucio-
nário. Com isso, pequenas oficinas de artesãos evoluíram para corporações 
bilionárias. Os resultados foram espetaculares. Contudo, mesmo com muitas 
vantagens, essa crescente especialização trouxe também problemas novos, os 
quais acometem ainda muitas organizações. Segundo Hillier (2010), um desses 
problemas é a tendência de as diversas unidades de uma organização crescerem 
em ilhas relativamente autônomas com seus próprios objetivos e sistemas de 
valor, perdendo, consequentemente, a visão de como suas atividades e seus 
objetivos se entremeiam com os da organização como um todo. O que é bom 
para uma das unidades pode ser prejudicial à outra, de forma que as unidades 
podem acabar trabalhando em direção a objetivos conflitantes. 
No Brasil, o início da PO ocorreu uma década depois da implantação na 
Grã-Bretanha e nos Estados Unidos, com destaque às aplicações em economia. 
No final dos anos 1960, já havia uma tendência, em algumas organizações, 
na formação de grupos de PO dedicados à solução de problemas táticos e 
estratégicos.
A tomada de decisão na pesquisa operacional
Você, como a maioria das pessoas, em algum momento de sua vida profissional, 
passou ou vai passar por situações de tomada de decisões. À medida que você 
ascende profissionalmente, os problemas vão se tornado mais complexos e as 
decisões serão mais difíceis de ser tomadas. A tomada de decisão é uma tarefa 
básica da gestão e consiste em decidir entre as possíveis soluções viáveis, 
aplicáveis a determinados problemas.
Mesmo que cada gestor possa ter seu próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, Marins (2011) apresenta algumas etapas que considera 
necessárias de serem observadas por quem tem o papel de decisor:
 � Identificar o problema: nem sempre os problemas se apresentam 
claros, definidos e delimitados, por isso, essa talvez seja a etapa mais 
Pesquisa operacional12
difícil. É importante identificar os sistemas que se relacionam com o 
sistema que apresenta o problema. Para isso, é fundamental ter uma 
equipe multidisciplinar de analistas para que o problema seja visto a 
partir de diversos ângulos, contribuindo para sua solução.
 � Formular objetivos: os objetivos que deverão ser atingidos com a 
solução do problema deverão ser identificados e formulados, muitas 
vezes, matematicamente. Esses objetivos podem ser quantitativos, 
qualitativos ou conflitantes.
 � Analisar limitações: o próximo passo é fazer o levantamento das restrições 
que limitarão as soluções a serem propostas. Em geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, ao orçamento, às demandas, às capacidades 
(transporte, produção e armazenamento), à tecnologia (equipamentos e 
processos), aos inventários (matéria-prima, subconjuntos, work in process 
e produtos acabados), entre outras variáveis.
 � Avaliar alternativas: após identificar as alternativas de ação, o decisor 
deverá escolher a “melhor solução” a ser aplicada. É importante ressaltar 
que algumas vezes a solução ótima pode não apresentar o melhor custo-
-benefício para a organização, então, outra solução pode ser escolhida, 
desde que atenda aos requisitos. Para a avaliação das alternativas, o 
decisor pode agir de forma qualitativa ou quantitativa. 
A qualitativa normalmente é adotada em problemas simples e repetitivos, 
com baixo impacto financeiro ou social. Nesses casos, o decisor experiente 
aplica uma solução que tenha sido utilizada com sucesso em outras ocasiões. 
A ação quantitativa é indicada quando os problemas são complexos, novos 
e envolvem altos recursos humanos, materiais e financeiros, com impacto 
significativo no ambiente em que está inserido (organização ou sociedade). 
Recomenda-se o uso de fundamentos da área científica e os métodos quanti-
tativos (algoritmos) disponíveis para a obtenção de uma solução.
A PO é muito empregada como ferramenta nos processos de tomadas de 
decisão diante de problemas nos ambientes de negócios. Os principais instru-
mentos que a PO utiliza estão fundamentados nos conhecimentos matemáticos, 
estatísticos e de informática. Há uma série de situações em que a PO pode 
auxiliar na tomada de decisão, como problemas relacionados à otimização 
de recursos, à roteirização, à localização, às carteiras de investimentos, ao 
planejamento, à alocação de pessoas e de verbas de mídias (BARBOSA, 2015).
Com relação aos problemas, há fatores que podem interferir no processo 
de tomada de decisão e que se deve estar atento quando se está no comando 
de uma situação (Quadro 1). 
13Introdução à pesquisa operacional
Fonte: MARINS, 2011 (adaptado de Lauchtermacher, 2009).
Fator Cenário
Importância Relacionada ao impacto que a decisão pode 
provocar na organização (ganhos ou prejuízos).
Agentes O número de decisores, individual ou em grupo, 
simplifica ou torna mais complexo o processo.
Riscos As certezas ou as incertezas influenciam as decisões.
Ambiente Aspectos sociais e culturais que 
interferem no processo decisório.
Conflitos Surgem em função de choques de interesses entre 
setores de uma organização ou entre decisores.
Quadro 1. Fatores e cenários que interferem na tomada de decisão.
Desse modo, a pesquisa operacional colabora com o desempenho dos 
profissionais para o desenvolvimento coerente e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo de sua carreira.
Resolução de um problema em pesquisa operacional
A PO é aplicada a problemas oriundos de atividades que compreendem a 
condução e a coordenação das operações de organizações nas mais variadas 
áreas, como manufatura, transportes, telecomunicações, construção civil, 
serviços públicos, assistência médica, financeiras, entre outras áreas. 
Para Marins (2011), os problemas surgem de forma vaga e imprecisa, o que 
exige do analista de PO uma grande capacidade de assimilare sistematizar 
as situações reais. Para se formular corretamente um problema, é necessário 
que ele seja bem identificado, que é a primeira etapa apresentada pelo autor 
para subdividir a resolução de um problema pela PO. Então, após a etapa de 
“identificação do problema”, viria a de “construção do modelo matemático”, 
Pesquisa operacional14 Pesquisa operacional14
A B C D E
Quem 
tomará as 
decisões?
Quais são 
os seus 
objetivos?
Quais são as 
variáveis e 
as restrições 
para a 
decisão?
Quais 
aspectos não 
são possíveis 
de serem 
controlados?
Modelos são 
representações 
simplificadas 
da realidade.
Análise do 
problema 
modelado com 
relação entre 
as variáveis, 
os dados 
relevantes e 
as variáveis 
de maior 
importância.
Tentativa 
de várias 
alternativas 
de ação sem 
interromper o 
funcionamento 
do sistema 
em estudo.
Após a 
construção 
do modelo 
matemático, 
passa-se para 
a obtenção de 
uma solução.
Alguns 
métodos 
matemáticos 
utilizados 
em PO: 
programação 
linear, 
programação 
em redes, 
teoria dos 
grafos e a 
teoria das filas.
Fase crítica, 
pois é somente 
nela que os 
resultados do 
estudo serão 
obtidos. 
A participação 
da equipe que 
trabalhou com 
o modelo e o 
entrosamento 
com a equipe 
de operação 
é muito 
importante 
para garantir 
a sua correta 
implementação.
O teste pode 
ser feito 
em alguns 
modelos por 
meio do uso 
de dados 
históricos. 
Mesmo que 
a solução 
seja usada 
repetidamente, 
o modelo 
deve continuar 
sendo testado.
Indicando 
deficiência, o 
modelo deve 
ser corrigido.
Quadro 2. Resolução de um problema em pesquisa operacional.
15Introdução à pesquisa operacional
seguida da “obtenção da solução”, do “teste de modelo e da solução obtida” 
e, por fim, a “implementação”. Observe o Quadro 2:
Devido à sistemática que envolve a PO, o seu estudo propicia ao técnico 
adquirir um raciocínio organizado, o que facilita a análise e a interpretação 
dos problemas reais, de modo que seja feita uma análise detalhada dos aspectos 
envolvidos.
Contudo, é necessário que o técnico de PO relacione-se constantemente 
com o usuário, sobretudo nas primeiras etapas de formulação e modelagem, 
visto não possuir total domínio de todas as áreas.
A qualidade dos dados utilizados deve ser precisa, pois, algumas vezes, 
com o intuito de refinar um modelo, isso não é considerado, o que não justi-
ficaria o refinamento.
A complexidade do modelo deve ser adequada às suas finalidades. Alguns 
modelos podem ser muito complexos, o que é possível com o desenvolvimento 
dos computadores. Contudo, o custo da implementação de alguns modelos 
podem superar os benefícios, não justificando sua adoção.
Solução ótima é aquela que melhor serve aos objetivos das pessoas e das organizações. 
Exemplo: a maneira de obter o lucro máximo ou o custo mínimo.
Modelos e métodos
É possível dizer que a PO é uma ferramenta matemática que auxilia no processo 
de tomadas de decisão em situações reais, utilizando modelos matemáticos 
estruturados em fases. Para Barbosa (2015), a PO é uma ciência aplicada, para 
justificar o autor cita Lisboa (2002 apud BARBOSA, 2015):
 � resolver problemas reais;
 � tomar decisões com base em dados e correlações quantitativos;
 � conceber, planejar e operar sistemas usando tecnologia e métodos de 
outras esferas do conhecimento;
 � diminuir os custos e aumentar o lucro;
 � encontrar a solução ótima. 
Pesquisa operacional16
Conheça alguns softwares que podem ser utilizados na pesquisa operacional, viabi-
lizando a solução de problemas complexos, como Solver do Excel®, LINDO® - Linear 
Discrete Optimizar (www.lindo.com) e o CPLEX® (www.ILOG.com), PROMODEL® (www.
belge.com.br/produtos_promodel.html) e o ARENA® (www.paragon.com.br).
Nos dias de hoje, as técnicas da PO são bastante divulgadas no meio 
acadêmico. No entanto, nas empresas ainda há várias restrições quanto ao 
conhecimento e ao domínio dessa técnica. Há uma forte tendência, nas uni-
versidades, de uma diversificação muito grande nas áreas de aplicação. Há tra-
balhos voltados para problemas determinísticos, estocásticos e combinatórios, 
bem como importantes estudos relacionados à teoria da decisão, a métodos 
computacionais aplicados à programação matemática e a outras áreas mais 
contemporâneas, como a logística e o gerenciamento da cadeia de suprimentos. 
Alguns exemplos típicos desses problemas:
 � Programação linear – mix de produção, mistura de matérias-primas, 
modelos de equilíbrio econômico, carteiras de investimentos, roteamento 
de veículos, jogos entre empresas.
 � Modelos em Redes – rotas econômicas de transporte, distribuição e 
transporte de bens, alocação de pessoal, monitoramento de projetos.
 � Teoria de filas – congestionamento de tráfego, operações de hospitais, 
dimensionamento de equipes de serviço.
É possível afirmar que a PO tem tido importante crescimento na adminis-
tração das empresas, aumentando o número e a variedade de suas aplicações 
(MARINS, 2011).
17Introdução à pesquisa operacional
http://www.lindo.com/
http://www.ilog.com/
http://belge.com.br/produtos_promodel.html
http://www.paragon.com.br/
1. Com relação à origem da 
pesquisa operacional, marque a 
alternativa correta: 
a) Os primeiros registros de 
métodos de análise e resolução 
de problemas semelhantes 
à pesquisa operacional (PO) 
aparecem no início do século XX.
b) O grande destaque da pesquisa 
operacional ocorreu durante 
a Segunda Guerra Mundial.
c) Após a Segunda Guerra Mundial, 
atividades organizacionais 
desenvolvidas pelos militares 
continuaram sendo aplicadas 
somente em operações militares. 
d) A partir do estabelecimento da 
Revolução Industrial, houve uma 
redução nas organizações, o que 
não justificava o emprego da PO.
e) No Brasil, o início da PO 
ocorreu concomitantemente 
à implantação na Grã-
Bretanha e nos Estados 
Unidos, com destaque à sua 
aplicação em economia.
2. Segundo Marins (2011), com 
relação à tomada de decisão na 
pesquisa operacional, mesmo 
que cada gestor possa ter seu 
próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, há algumas 
etapas que são necessárias de 
serem observadas por quem tem 
o papel de decisor. Qual alternativa 
apresenta a definição correta?
a) Identificar o problema é a 
3ª etapa, em que é feito o 
levantamento das restrições 
que limitarão as soluções 
a serem propostas. Em 
geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, 
ao orçamento, às demandas, 
às capacidades (transporte, 
produção e armazenamento), 
à tecnologia (equipamentos 
e processos), aos inventários 
(matéria-prima, subconjuntos, 
work in process e produtos 
acabados), entre outras variáveis.
b) Formular objetivos – os 
objetivos podem não ser 
atingidos com a solução do 
problema. Os objetivos não 
podem ser conflitantes.
c) Analisar limitações é a 
primeira etapa e, talvez, 
seja a etapa mais difícil. 
d) Avaliar alternativas – após 
identificar as alternativas de 
ação, o decisor deverá escolher a 
“melhor solução” a ser aplicada. 
e) A análise qualitativa é indicada 
quando os problemas são 
complexos, novos e envolvem 
altos recursos humanos, 
materiais e financeiros; com 
impacto significativo no 
ambiente em que está inserido 
(organização ou sociedade). 
3. Com relação aos problemas, há 
fatores que podem interferir no 
processo de tomada de decisão e 
que se deve estar atento quando se 
está no comando de uma situação. 
Marque a alternativa que apresenta 
Pesquisa operacional18
o cenário correspondente ao fator:
a) O fator “riscos” se refere ao 
impacto que a decisão pode 
provocar na organização 
(ganhos ou prejuízos).
b) O fator “conflitos” se refere ao 
número de decisores, individual 
ou em grupo, simplifica ou torna 
mais complexo o processo. 
c) O fator “importância” se refere 
às certezas ou incertezas que 
influenciam as decisões.
d) O fator “ambiente” está 
relacionado com os aspectos 
sociais e culturais que interferem 
no processo decisório. 
e) O fator “agentes” surge 
em função de choquesde 
interesses entre setores de uma 
organização ou entre decisores.
4. A pesquisa operacional colabora 
com o desempenho dos profissionais 
para o desenvolvimento coerente 
e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo 
de sua carreira. Quais são as etapas 
de uma resolução de um problema 
em pesquisa operacional?
a) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, implementação 
e resultados.
b) Experiência, construção 
do modelo matemático, 
obtenção da solução, 
implementação e 5) teste de 
modelo e da solução obtida. 
c) Identificação do problema, 
obtenção dos dados, obtenção 
da solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
d) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção 
da solução, obtenção dos 
dados e resultados. 
e) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
5. Ainda sobre a resolução de 
problemas, marque a alternativa 
que apresenta as características 
correspondentes à etapa referida:
a) Identificação do problema 
consiste em definir quem tomará 
as decisões e seus objetivos.
b) Construção do modelo 
matemático é a fase crítica, pois é 
somente nela que os resultados 
do estudo serão obtidos. 
c) Obtenção da solução se refere 
19Introdução à pesquisa operacional
ao teste pode ser feito em 
alguns modelos por meio 
do uso de dados históricos. 
Mesmo que a solução seja 
usada repetidamente, o 
modelo deve continuar sendo 
testado. Indicando deficiência, 
o modelo deve ser corrigido.
d) Implementação se refere à 
implementação feita após 
a construção do modelo 
matemático. Alguns métodos 
matemáticos utilizados em 
PO são: programação linear, 
programação em redes, teoria 
dos grafos e teoria das filas.
e) Teste de modelo e da solução 
obtida se refere à análise do 
problema modelado com 
relação entre as variáveis, os 
dados relevantes e as variáveis de 
maior importância. Tentativa de 
várias alternativas de ação sem 
interromper o funcionamento 
do sistema em estudo.
Pesquisa operacional20
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
MARINS, F. A. S. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2011.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
21Introdução à pesquisa operacional
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
PESQUISA 
OPERACIONAL I
Sirnei César Kach
Características dos 
modelos matemáticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar os diferentes modelos comuns em problemas de pesquisa 
operacional.
 � Analisar os fatores restritivos de um problema.
 � Identificar o objetivo do problema.
Introdução
Inicialmente, a pesquisa operacional, comumente definida como P.O., 
evoluiu dentro de um contexto de demandas por conta da Revolução 
Industrial, e, depois, foi aperfeiçoada pela disponibilidade e pela evolução 
da tecnologia em favor da programação e organização da indústria de 
modo geral. Nesse cenário, entendemos que a pesquisa operacional 
envolve uma pesquisa sobre as operações, ou seja, diferentes métodos e 
modelos matemáticos para identificar e resolver os problemas de maneira 
organizada. Assim, percebemos um forte direcionamento da análise 
com base metodológica, o que, na engenharia de processos, torna-se 
algo favorável, visto que a organização de dados e seu desdobramento 
por meio de métodos são fundamentais para ter uma melhor clareza 
e organização das informações para o encaminhamento de soluções 
(HILLIER; LIEBERMAN, 2012).
Também é relevante considerar a grande contribuição da pesquisa 
operacional, em termos gerais, para a gestão das operações, já que in-
fluencia desde aquisições, controle de estoques até a programação da 
produção e das entregas, complementando o conceito de otimização que 
toda empresa procura: atuar de forma otimizada e eficiente configura-
-se como uma regra fundamental para o sucesso de um negócio. Já a 
adequação do modelo variará conforme os tipos de demandas e o perfil 
de processo em estudo.
Neste capítulo, você conhecerá mais a respeito dos diferentes modelos 
para resolução de problemas, entenderá sobre os fatores que promovem 
restrições ou dificuldades apontadas pelo problema em análise e, ainda, 
identificará de forma clara e sucinta o objetivo do problema. Com isso, 
poderá ter a clareza da metodologia e de sua eficiência para a gestão 
de dados, proporcionando informações efetivamente corretas e, assim, 
dando suporte para a tomada de decisão. Desenvolver a capacidade de 
fazer a análise inicial do problema, definir o modelo matemático e, por 
consequência, atuar com os dados são, sem dúvidas, etapas fundamentais 
para realizar uma ação efetiva e obter um resultado satisfatório sobre o 
problema em questão. Em outras palavras, seguir o método representa 
uma condição básica para garantir a padronização e, assim, aumentar a 
garantia e a eficácia dos resultados.
1 Dinâmica dos modelos para resolução 
de problemas
O processo de coleta e análise de dados representa um diferencial importante 
quando atuamos sobre problemas que exijam conceitos de pesquisa operacional. 
Sem dúvida, a importância de um bom planejamento, que consiste em verificar 
o cenário, escolher o modelo e coletar os dados e processá-los como forma 
básica de estruturação das ações, é um diferencial da ação.
De acordo com Hillier e Lieberman (2012), a formulação de um modelo 
matemático nada mais é do que transferir uma situação-problema em seus 
detalhes e comportamentos a uma metodologia com base matemática, na qual 
se organizam as informações possibilitando verificá-las com base quantitativa. 
Nessa alternativa de organização e encaminhamento de solução, transfere-se a 
informação do problema para simbologias e orientações estruturando a função 
matemática, embasada por variáveis de decisão.
Ainda conforme Hillier e Lieberman (2012), os modelos aplicados na 
resolução de problemas com base no conceito de pesquisa operacional tratam 
de diferentes situações, dados e cenários. Com isso, existem diferentes formas 
de contribuição e percepções sobre a possível solução. Isso é muito importante 
para entender onde aplicar a função matemática ou a representação de fluxos 
de materiais, pessoas e de controle de estoques na cadeia de suprimentos, 
visto que são diversas as situações que podem ser resolvidas com aplicação 
de modelos matemáticos no contexto da pesquisa operacional. 
Características dos modelos matemáticos2
Assim, a seguir descreveremos de maneira breve, direta e objetiva, com 
base em diferentes literaturas, os diversos modelos aplicados na resolução 
de problemas.
É muito importante identificar todos os detalhes do problema com muita precisão, 
pois esses fatores auxiliarão na escolha do modelo de programação a ser aplicado. 
Ter esse alinhamento bem elaborado torna-se fundamental para o sucesso da ação 
de maximização ou minimização das causas em relação ao problema.
Modelo de programação matemática
Conforme Rodrigues (2017), os modelos de programação matemática criam a 
base para uma análise e verificação de dados adequadas a fim de possibilitar 
ações, já que estão alinhados para otimizar os recursos em questão. Com a 
aplicação de modelos matemáticos, busca-se sempre maximizar ou minimizar 
determinada quantidade com base em unidades de medida específicas e que 
representem hora, lucro, custo, receita, número de produtos, etc.
Ainda de acordo com Rodrigues (2017), as formas de programação apresen-
tam divisões quepodem ser mais bem entendidas a partir das seguintes áreas:
 � programação linear e método simplex;
 � programação não linear;
 � programação em redes;
 � programação multiobjetivos;
 � programação discreta (programação linear inteira).
Para Arenales et al. (2015), a programação linear tem como principais aplica-
ções ou finalidades organizar dados e procurar a otimização da solução, tornando 
uma orientação considerada problema em algo com uma condição melhor com 
base no modelo matemático. Já o algoritmo simplex atua como método interativo 
para determinar numericamente a solução ótima de um modelo de programação 
linear, agindo como facilitador ao organizar as variáveis de entrada e saída do 
problema. Sua aplicação na solução de um problema precisa seguir a orientação-
-padrão de escrito do problema na linguagem de programação do software.
3Características dos modelos matemáticos
A otimização ou programação não linear está direcionada aos cuidados 
com a área de custos. Por exemplo, no caso de uma fábrica, em um contexto 
no qual mesmo com uma previsão de manufatura dos produtos, nenhum 
mês é igual ao outro, alinhar da melhor forma a questão envolvendo custos 
torna-se fundamental, sobretudo pelos diversos impactos em seu fluxo de 
caixa (ARENALES et al., 2015). Trata-se de uma forma de programação que 
prevê possíveis variações na preparação e na organização de sua capacidade 
dentro daquilo que é demandado e precisa ser atendido. Na programação 
não linear, consegue-se definir, em relação às demandas, quais e quantas 
máquinas devem estar em operação, e, no alinhamento de prazos, decidir em 
quais dias deve haver essa conversão para a programação do planejamento e 
controle de produção (PCP).
Ainda segundo Arenales et al. (2015), a otimização em redes (grafos) 
considera elementos fundamentais que mantêm alguma relação entre si e 
têm uma representação que se refere a cidades, ruas, estradas, etc., a qual 
proporciona uma percepção visual mais concreta. Assim, forma-se uma rede 
ligada por nós ou vértices, que correspondem aos pontos de ligação dessa 
rede ou, então, a cidade fazendo a ligação de mais de uma estrada ou de ruas. 
Quando o grafo é definido como orientado, sua representação se dá pelo uso 
de flechas, sendo também chamado de dígrafo.
Conforme Ávila (2006), a otimização ou programação multi objetivos 
pressupõe a busca de uma solução capaz de maximizar ou minimizar o pro-
blema, a qual varia conforme o contexto. Com ela, trabalhamos com a função 
objetivo (aquilo que se quer melhorar), a definição de parâmetros ou variáveis, 
restrições do problema, espaço de busca dos parâmetros (delimitados ou não), 
além do domínio realizável (no qual os parâmetros são respeitados) e do do-
mínio não viável (no qual não há observância quanto às restrições definidas). 
Uma definição clara da aplicação da otimização multi objetivos reside no 
caso no qual otimizamos a produção de uma manufatura com baixo custo, 
ou seja, máximo desempenho com mínimo custo consistiu em um conceito 
fundamental de otimização, pelo controle de perdas e demais desperdícios 
nos conceitos da engenharia de produção.
Citando novamente Arenales et al. (2015), o que altera o formato da oti-
mização discreta é que algumas das variáveis pertencem a um subconjunto 
dos números inteiros, conhecida como programação inteira e combinatória. 
É aplicada em situações que envolvam demandas sobre otimização no campo 
de energia, transportes, telecomunicações, medicina, aviação, finanças, entre 
outras. No caso da engenharia de produção, atua principalmente na organização 
Características dos modelos matemáticos4
das necessidades relacionadas a PCP, desenvolvimento de layout, logística 
interna e externa. Destaca-se a relação com PCP no sentido de nivelar a 
produção, organizando as entradas de linha com base em prazos de entrega 
e volume programado, correlacionando lead time e capacidade produtiva, 
o que passa a influenciar toda a cadeia de distribuição pela programação da 
manufatura e, com isso, gerar uma prévia do que será o processo logístico 
externo, podendo atuar dentro de uma programação de movimentações, ali-
nhada à sua capacidade logística.
Na programação matemática, conforme Rodrigues (2017), as descrições 
da divisão pelas áreas de programação já citadas complementam diferentes 
programações e métodos, de acordo com as características-base do problema. 
Essa programação sempre será estruturada com base em dados, equações e 
inequações complementando sobre restrições, variáveis e outros fatores que 
integram o processo em análise.
Modelo de teoria dos estoques
A questão central dos estoques consiste em determinar o que, quando e quanto 
deve ser encomendado e armazenado. Geralmente, baseia-se na minimização 
de custos de estocagem ao longo de determinado período que se estabelecem o 
tamanho dos pedidos e o momento em que este deve ser efetuado. Inicialmente, 
devemos considerar custo de estocagem, além dos custos de armazenamento, 
os custos decorrentes do não atendimento do pedido e os de elaboração do 
pedido (LACHTERMACHER, 2016).
Na prática, verifica-se a ocorrência de um período, denominado prazo de 
entrega, que se dá entre o momento em que determinada quantidade do produto 
a ser estocada é solicitada e aquele em que esse produto se torna disponível 
(LACHTERMACHER, 2016). Geralmente, não é possível determinar com 
precisão os prazos de entrega, motivo pelo qual são tratados como variáveis 
estocásticas. Portanto, o objetivo na estocagem consiste em otimizar as cha-
madas políticas de pedido ou estocagem, também denominadas regras de 
pedidos, por meio das quais se deseja determinar um ponto de pedido e uma 
quantidade de pedido que minimize os custos de estocagem.
Segundo Lachtermacher (2016), a utilização do Solver do Excel é um 
dos meios mais adequados e fáceis de trabalhar uma programação linear, 
o que envolve o conceito de controle de estoques. Trata-se de demandas de 
consumo correlacionadas com pedidos e capacidade instalada de produção de 
diferentes segmentos, apenas com o propósito de controlar o estoque e garantir 
5Características dos modelos matemáticos
abastecimentos prevendo a necessidade de recursos. Essa coordenação sobre 
demandas e volume de estoque complementa a decisão de quanto, quando e o 
que deve ser comprado em cada período determinado na condição de atender 
de forma otimizada a parâmetros como minimização de custos, maximização 
de resultados pelo não comprometimento do fluxo de caixa ou grandes volumes 
de estoque, tudo em função dos parâmetros definidos pelos pedidos em aberto 
(LACHTERMACHER, 2016).
Modelo de teoria das filas
Conforme Hillier e Lieberman (2012), o modelo da teoria das filas estuda a 
relação entre todas as demandas que podem ser identificadas em um sistema, 
considerando-se também os atrasos sofridos pelos usuários. Geralmente, 
a composição de algum tipo de fila tem relação com baixa capacidade de aten-
dimento, o conhecido gargalo. Com uma restrição de recursos que impactam 
no fluxo, criando-se a restrição, temos o que se denomina fila. Definem-se 
como sistemas de filas as seguintes condições:
 � uma fila única e um único servidor;
 � uma fila única e múltiplos servidores em paralelo;
 � formação de múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo;
 � uma fila única e com múltiplos servidores organizados em série, também 
descritos como múltiplos estágios.
As principais aplicações da teoria das filas se dão em bancos, supermer-
cados, aeroportos com aviões aguardando para aterrissar, produtos aguar-
dando em máquinas ou postos de trabalho para processamento, navios aguar-
dando em portos, etc. Definem-se como servidor o recurso disponibilizado 
para atender à demanda e a fila, uma composição das demandas, variando 
para mais ou menos considerando as restrições ou a formação de gargalos. 
As filas são definidas de acordo com o contexto: no caso de atendimentos a 
sistemas comerciais, os clientes externos recebem atendimentosrelacionados 
a demandas comerciais (HILLIER; LIEBERMAN, 2012) e, no sistema de 
atendimento de transportes, têm relação direta com a utilização otimizada 
de meios logísticos, por exemplo, fila de aviões para pouso, navios no porto 
para descarregamento, etc.
Características dos modelos matemáticos6
Modelo de teoria dos jogos
Essa teoria foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas 
que envolvessem interesses conflitantes, já que, em teoria, os jogos ajudam 
a entender como ocorre ou deveria ocorrer o processo de decisão (FIANI, 
2015). Interagindo entre si, a partir da compreensão da lógica do problema 
em questão, os agentes conseguem se articular e iniciar o melhor encaminha-
mento de ações, estabilizando e, em seguida, resolvendo a questão em que 
estão envolvidos. No contexto dos jogos, sempre existem dois ou mais sujeitos 
com objetivos diferentes, e cada uma das ações individuais a serem tomadas 
pode impactar nos resultados do “jogo”. Aqui, tratamos o jogo literalmente 
como “jogo de interesses”, pois toda decisão a ser tomada por uma das partes 
tem como objetivo principal maximizar ou minimizar as ações de impacto 
do segundo sujeito envolvido. Além disso, admite-se que cada jogador sabe 
os objetivos de seu oponente. A teoria dos jogos fornece um resultado para 
esse jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seu lucro 
mínimo esperado ou minimizar sua perda esperada.
Os elementos necessários para a compreensão do objeto de estudo da teoria 
dos jogos, segundo Fiani (2015) seriam:
 � existe um número finito de jogadores representados, ou seja, dentro do 
segmento em que a organização está envolvida e em uma organização 
por prioridades, as ações devem ser direcionadas naquela demanda;
 � cada jogador dispõe de um conjunto finito de opções, denominadas 
estratégias puras do jogador, pois elas respeitam uma ordenação; com 
isso, a priorização determina essa condição limitadora;
 � os resultados de cada jogador, pois impactam diretamente as decisões 
tomadas com expectativas específicas;
 � a função que permite a cada parte combinar suas estratégias, as quais, 
por sua vez, seguem conforme a perspectiva sobre o cenário em que a 
empresa ou o processo está inserido;
 � a relação de preferências de cada um diante dos resultados, em que se 
determinam os indicadores de satisfação, percebendo onde há maior 
ou menor impacto positivo nos ganhos estimados ou nas ações supos-
tamente bem-sucedidas.
7Características dos modelos matemáticos
As aplicações da teoria da otimização dos jogos se enquadram basicamente 
nos seguintes pontos (FIANI, 2015):
 � campanhas de marketing e política de preços de produtos: tratativa 
específica sobre custo, formação de preços e demandas previstas;
 � campanha de eleições políticas: indicando estratégias e desempenho 
em função do objetivo de um melhor resultado nas urnas;
 � programação de programas de televisão: perceber quais as tendências 
que o expectador busca e o que a concorrência tem feito dentro de um 
comparativo de parâmetros iguais (p. ex., horários);
 � planejamento de estratégias militares de guerras: é fundamental conhe-
cer o inimigo, ou seja, o conceito dos jogos, entendendo as estratégias 
para contra-atacar, mesmo sabendo dos efeitos das ações, mas com os 
objetivos de maximizar e superar o resultado.
Por exemplo, quando uma montadora de algum bem está avaliando a 
possibilidade de redução no preço de vendas por conta da baixa demanda, 
precisa considerar as consequências dessa decisão em relação à concorrência. 
Pode haver uma diminuição dos valores do concorrente com um bem similar, 
e, assim, nenhuma mudança relevante no plano ou simplesmente uma redução 
da margem e da manutenção da baixa demanda do bem em estudo. Conforme 
Fiani (2015), as empresas desse segmento devem sempre levar em conta a pos-
sibilidade de ação das demais, ou seja, observar e acompanhar o desempenho 
da concorrência é muito importante, o que comprova a existência de um jogo 
pela melhor colocação no mercado.
Modelo de teoria dos grafos
A teoria em rede, também conhecida como otimização dos grafos, corresponde 
à área da matemática que estuda as propriedades dos conjuntos de pontos em 
uma rede de ligações após a coleta de informações, por exemplo, estradas 
que ligam uma cidade entre entradas e saídas (GOLDBARG; LUNA; GOL-
DBARG, 2015). Esses pontos são definidos como vértices, nodos ou nós, por 
fazerem a conexão das linhas. Já as linhas levam o nome de arestas ou arcos, 
de acordo com a opção de referência, mas correspondendo ao mesmo conceito. 
Trata-se de resultados de uma organização de elementos que estruturam uma 
informação, porém com entendimento muito claro por seu perfil intuitivo, já 
que reportam uma informação visual do cenário representado. Separar dados, 
transformá-los em informações por meio de uma função ou, então, conseguir 
Características dos modelos matemáticos8
efetivar uma forma de representação visual são fundamentais para facilitar o 
seu entendimento. Como a análise de um problema geralmente apresenta certa 
dificuldade de entendimento inicial, o uso de grafos facilita essa demonstração 
das variáveis e dos parâmetros envolvidos no caso.
Conforme o problema, a forma de aplicação varia, e, por consequência, 
as arestas podem ou não ter direções definidas. Assim, podem ser permitidas 
ou não, ligando-se um vértice a ele próprio e a vértices e/ou ter determinado 
valor (nesse caso, denominado valor numérico). Quando as arestas têm uma 
direção associada, quer dizer que estão sendo indicadas por uma seta na repre-
sentação gráfica da rede, formando o grafo. Nesse caso, passa a ser chamado 
de grafo direcionado ou dígrafo (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015). 
As estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte, 
possibilitando a formulação de muitos problemas de interesse prático, como:
 � problemas de roteamento;
 � problemas de fluxo em redes.
2 Restrições como complicadores 
dos problemas
Desde a origem da pesquisa operacional, apontam-se a necessidade e a rele-
vância de tratar os problemas com base metodológica e científica para obter 
melhores resultados de análise dos problemas. Essa organização das infor-
mações, identificando os fatores restritivos do problema, pode ser vista como 
uma dificuldade a ser superada, o que se dará de maneira mais tranquila desde 
que seguida de forma organizada. Nesse contexto, surge o conceito da teoria 
das restrições (TOC), que deve ser entendido para minimizar o problema.
Sua ideia principal reside no fato de que o relevante de uma demanda 
deve ser a maximização do resultado levando em conta apenas as restrições, 
e não a totalidade de elementos, variáveis e parâmetros do sistema. Para as 
não restrições, o conceito de “mais é melhor” está correto, desde que dentro 
de um único limitador, pois, ao ultrapassar essa ideia, o “mais” acaba sendo 
pior. Esse limitador é determinado pelas interdependências das restrições e 
não restrições, ou seja, não pode ser determinado analisando apenas a não 
restrição, e sim a restrição em conjunto: a totalidade do problema para uma 
melhor gestão da análise e do plano de ações dos encaminhamentos para 
maximização do que se pretende alinhar como melhoria. No caso das não 
restrições, a maximização local não é igual aos ótimos na totalidade nas não 
9Características dos modelos matemáticos
restrições. Não é sempre que o “mais” não se traduz necessariamente em 
melhor desempenho do sistema como um todo. Importante salientar que os 
elementos de um sistema, em sua vasta maioria, não são restrições, e, para as 
não restrições, mais não pode ser melhor, e sim pior. No caso de não restrições 
e estas sendo maximizadas, obviamente teremos um agravamento da situação, 
tornando-se importante avaliar e sempre buscar o nivelamento. Assim, o foco 
é fazer o que deve ser feito, e não fazer o que não deve ser feito, sob pena de 
criar um resultado insatisfatório de modo geral (COX III;SCHLEIER, 2013).
No contexto da análise de problemas de processo, como identificamos uma 
restrição? Como as decisões podem ser alinhadas para um melhor aproveita-
mento dessa restrição? Como determinar a forma adequada de subordinar as 
não restrições às decisões referentes à restrição no sentido de utilizar a nosso 
favor? A otimização por meio de técnicas dos métodos da pesquisa operacional 
pode atuar de que forma para auxiliar as restrições, possibilitando sua maxi-
mização de resultados? Com todas essas dúvidas, fica muito claro que todas 
as práticas de análise não podem simplesmente atuar de maneira empírica, 
desde a coleta, o tratamento até o encaminhamento das ações, mas seguir 
um método, de preferência quantitativo, na tomada de decisões. O suporte 
de programação para otimização é fundamental e relevante para o processo 
de melhoramento sobre as restrições (COX III; SCHLEIER, 2013). Em sua 
maioria, as metodologias convencionais para identificar as necessidades de 
desenvolver melhorias eram inadequadas e tinham baixa eficiência, levando à 
necessidade de retrabalhos diversos em razão das variáveis não identificadas 
como relevantes. Normalmente, partiam de uma lista de problemas simples e 
analisados de forma qualitativa sem base estatística, apontando lacunas (falha 
de informações) entre a situação existente e a situação desejada, obviamente 
com maximização. Essas lacunas eram quantificadas e, seguindo o princípio 
de Pareto, buscavam-se os itens no topo da lista, escolhidos como alvo de 
melhoria e encaminhados geralmente com análise por meio de ferramentas 
da qualidade. Certamente, há um efeito positivo, mas muito vulnerável se 
compararmos com a precisão e a eficiência de uma análise com uso de esta-
tística ou programação amparada pelos conceitos e pelas formas de aplicação 
da pesquisa operacional.
Ainda citando Cox III e Schleier (2013), na melhor condição sobre a análise 
das variáveis de um problema para, então, encaminhar a otimização, essa 
abordagem possibilita somente melhorias muito pequenas e com possibilidade 
de erros. Obviamente, identificar a fonte do problema auxilia na precisão da 
ação, mas deve-se, além disso, estruturar a decisão com base em programação, 
conseguir separar de forma clara o problema e eliminar lacunas entre o que se 
Características dos modelos matemáticos10
espera e o real problema. No contexto geral, as lacunas podem ser definidas 
como efeitos indesejáveis (EI) de uma causa mais profunda, devendo ser 
consideradas para que as ações tomadas para eliminar as causas profundas 
sejam precisas. Nesse sentido, surge incisivamente a necessidade de aplicar 
uma estrutura lógica e detalhada para identificar o problema ou a causa-raiz 
e ampliar a visão das soluções, eliminando, assim, de forma efetiva a maior 
variável. Nessa percepção, surge a correlação entre programação pelos modelos 
de pesquisa operacional aplicada sobre os problemas e a necessidade de enten-
der e controlar a TOC, cujo conceito interfere diretamente na identificação do 
problema, na coleta de dados, na geração das informações pelo tratamento dos 
dados e na definição de ações de resolução ou controle. O problema pode ter 
relação com fluxo, gargalo ou falha, porém todo o alinhamento das restrições é 
ajustado pela aplicação efetiva do modelo matemático, que garantirá a eficácia 
de uma ação sobre o problema.
É muito importante definir a TOC no contexto do problema. Perceber as variáveis 
representa algo fundamental e favorável para a análise de cenário, pois as restrições 
remetem a gargalos, ou seja, a teoria é aplicada e, pontualmente onde devem ser apli-
cadas ações, tratamos os gargalos ou restrições específicas do produto e do processo.
A vantagem competitiva dificilmente é decisiva, ou seja, pode haver fa-
cilidade ou não, possibilitando ganhos imediatos, a médio e longo prazos ou, 
ainda, não ser constante. A orientação sobre competitividade tem direcio-
namento para vendas, porém, dentro do fluxo de produção, é fundamental 
pela estruturação-base dos resultados. Não surpreende que a maioria dos 
vendedores não seja treinada para conduzir reuniões de vendas voltadas à 
vantagem competitiva decisiva da empresa, sempre com foco em ofertar apenas 
o produto e, obviamente, suas vantagens. As reuniões voltadas à vantagem 
competitiva devem girar em torno do ambiente do cliente, evidenciando uma 
necessidade significativa que, naquele momento, não está sendo satisfeita 
pelos fornecedores. Como existem vários ambientes de cliente, o desafio de 
decifrar as causas e os efeitos que governam cada um deles, bem como de 
criar um ciclo de vendas de acordo e encontrar a solução para conduzir os 
vendedores à mudança de paradigma, sem dúvida demanda muito tempo, 
11Características dos modelos matemáticos
afirmação de Cox III e Schleier (2013). Teoricamente, a venda deveria ser 
o resultado maximizado de diversos fatores, como a qualidade do produto, 
mas também a eficiência dos processos, como a entrega no prazo, algo muitas 
vezes impactado pelas restrições não tratadas ou percebidas diretamente como 
dificultador do sucesso.
No sentido de dar suporte aos métodos da pesquisa operacional e na TOC, 
surgiu o método PERT (program evaluation and review technique), carateri-
zado como uma técnica aplicada no gerenciamento de projetos de diferentes 
demandas. Quando tratamos de verificação da necessidade de otimização de 
processos, simples ou complexo, temos um projeto que precisa ser gerenciado. 
O método PERT consiste em representar de forma gráfica uma rede de ta-
refas interligadas e com correlação de dados, cujo encadeamento possibilita 
alcançar os objetivos de um projeto, tanto como simples solução quanto para 
maximizar ganhos. Metodologia desenvolvida pela marinha norte-americana 
para coordenar os trabalhos de milhares de pessoas atuantes em projetos de 
equipamentos para guerra, o método PERT exige uma segmentação precisa 
do projeto organizado em tarefas, as quais, com os tempos de execução, são 
responsáveis pela garantia de efetivação do projeto, da mesma forma que se 
aplica um cronograma com base na ferramenta 5W2h. PERT e CPM (critical 
path method) compreendem modelos de verificação de problema com base 
no método de redes, comumente conhecidos como grafos. Segundo Cox III 
e Schleier (2013), por sua base de estruturação visual quanto ao fluxo das 
informações, o CPM tem sido muito utilizado para planejar e visualizar a 
coordenação das atividades do projeto de maneira clara e objetiva. Já o método 
PERT corresponde ao cálculo a partir da média ponderada de três durações 
possíveis de uma atividade, que, por sua vez, considera uma possibilidade oti-
mista, mais provável e pessimista, como forma de alinhamento de possibilidade 
de qualificação dessas respostas. A CPM é um método que ajuda na apuração e 
na definição do caminho crítico, dada uma sequência de atividades. O caminho 
crítico refere-se à identificação da prioridade de cuidado, por se tratar de algo 
relevante apontado pela análise, no caso a definição de urgência ou de maior 
criticidade que precisa atenção. Todo esse encaminhamento de atividades em 
sequência, após definidos etapas, prazos e responsabilidades, não pode sofrer 
alteração, pois a mudança prejudica a efetividade dos resultados de duração, 
sem refletir no tempo total do projeto. Na Figura 1, apresentamos uma taxo-
nomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Características dos modelos matemáticos12
Figura 1. Taxonomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Fonte: Adaptada de Goldbarg (2015).
Problemas de fluxos em redes
Fluxo de produtos Expansão de redes
Tanto o PERT quanto o CPM são técnicas aplicadas de estimativa e planeja-
mento para grandes projetos e têm sofrido modificações nos últimos anos, pela 
evolução do conceito e tendo por base necessidades de melhoria em virtude das 
aplicações e das observações realizadas. Em resumo, a diferença entre ambos 
resideno fato de que o PERT utiliza três estimativas básicas de estruturação 
— a otimista, a mais provável e a “pessimista” —, enquanto o CPM emprega 
apenas uma estimativa, considerada a mais precisa, características que os 
diferenciam, mas não os distanciam necessariamente, pois objetivam, da mesma 
forma, a otimização de determinada situação. O conceito de probabilística 
baseada na distribuição de dados para cada atividade de tempo nos permite 
usar o conceito de gerenciamento das probabilidades, característica principal 
do PERT. Nesse contexto, teremos o risco de risco muito claro e percebido no 
cenário em estudo, podendo avaliar a intensidade e a relevância do momento 
para definir os encaminhamentos específicos para a ação de otimização (COX 
III; SCHLEIER, 2013). Já o CPM fundamenta-se em um conceito de estimativa 
simples e de natureza determinística, buscando evidenciar a ligação efetiva 
e com base em ligações entre todos os elementos, não cabendo alternativas 
informais ou conceitos empíricos, e sim apenas evidências reais e efetivas. 
13Características dos modelos matemáticos
Para complementar o conhecimento sobre a correlação entre a teoria das restrições, a 
programação para otimização e a pesquisa operacional de forma aplicada na cadeia 
de suprimentos, recomendamos a leitura de: MOELLMANN, A. H. Aplicação da teoria 
das restrições no gerenciamento da cadeia de suprimentos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2017.
Mais uma vez de acordo com Cox III e Schleier (2013), os dois métodos 
permitem o uso de atividades Dummy programação, que aplica linguagem de 
programação com duração nula e o conceito de organização por meio do método 
de setas, uma melhor opção para o desenvolvimento da lógica. Assim, teremos 
a aplicação do método PERT em projetos de pesquisa e desenvolvimento, 
situações em que o percentual das atividades já finalizadas é praticamente 
impossível de determinar; já a maior utilização do CPM segue em projetos 
voltados para a área civil, cenário em que o percentual de cada atividade já 
finalizada pode ser determinado com razoável precisão. Trata-se de duas 
formas de programação que aliam pesquisa operacional, matematicamente 
aplicada na verificação da otimização e com base em programação em redes, 
determinando a maximização ou a minimização conforme a necessidade.
3 Objetivo e relevância dos problemas
A relevância do problema pode resultar das diferentes formas de percebê-lo, 
com uma orientação clara com base nos dados levantados em primeira análise, 
o que deve fazer parte de um contexto qualitativo ou quantitativo. Esse aspecto 
é fundamental, já que se trata de estudos de problemas com base nos conceitos 
de pesquisa operacional, em que há demandas da programação e aplicação de 
modelos matemáticos para maximização ou minimização, e os números devem 
ser a base relevante para verificação e tomada de ação quanto aos problemas.
Características dos modelos matemáticos14
Conforme Lachtermacher (2016), a resolução de um problema segue pelo 
fluxo de cinco etapas básicas e consecutivas, que podem, entretanto, ser repeti-
das, conforme a situação, pois se trata de um conceito flexível no caso da leitura 
e da interpretação do problema em pauta. Vale ressaltar que a identificação do 
problema, que talvez pareça a mais simples de todas as etapas, pode se tornar 
complexa em diversas situações por suas variáveis e complementações sobre 
o problema (no caso, os dados coletados). Assim, certificar-se da verificação 
feita com eficiência é muito importante para uma boa definição do problema. 
Sem dúvida, erros de definição impactam nos resultados, já que não levam 
a nenhum resultado e causam perda de tempo e esforço da equipe envolvida. 
Vale ressaltar que, como o processo é cíclico, semelhante ao PDCA (Plan, Do, 
Check, Action), por exemplo, pode haver a necessidade de retornar às análises 
anteriores quando da detecção de um novo problema. Essa situação ocorrerá 
por conta de uma eventual falha na identificação do que seria o problema. 
Na Figura 2, apresentamos um fluxograma básico para análise e resolução 
de problemas.
Figura 2. Fluxo básico para aná-
lise e resolução de problemas.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 5).
15Características dos modelos matemáticos
Obviamente, haverá situações com características distintas, criando uma 
situação fora do padrão. Por exemplo, os problemas de programação linear 
são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor ou 
igual (LACHTERMACHER, 2016). Quando ocorrer esse tipo de situação 
e o formato não for um padrão, devemos utilizar diversos métodos antes de 
empregar o simplex. Analisando uma situação na qual temos um problema em 
que todas as restrições são do tipo menor ou igual (< ou =) e a função-objetivo 
é de minimização, devemos alterar o problema como na Figura 3.
Figura 3. Programação linear modificada de minimização para maximização.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 38).
Problemas com restrições de maior ou igual
De acordo com Lachtermacher (2016), nos casos que envolvem restrições do 
tipo maior ou igual, o procedimento seria o método da função-objetivo arti-
ficial, assim denominada por conta da alteração, visto consistir em introduzir 
uma variável de excesso (com coeficiente – 1) e uma variável artificial (com 
coeficiente + 1) no lado esquerdo da restrição, encontrando, assim, sua solu-
ção. O próximo passo consiste em resolver o problema alterado, representado 
pelo dicionário artificial inicial, encontrando uma solução ótima, em que a 
variável artificial seja igual a zero, achando a solução inicial do problema 
original. Assim, se na solução ótima do problema alterado a variável artificial 
apresentar valor diferente de zero, isso significa que o problema original não 
tem uma solução viável. Já no caso de um problema alterado, o objetivo é 
levar a variável ou, havendo mais de uma, introduzir as variáveis artificiais no 
problema para zero, o que equivale a minimizar o somatório dessas variáveis. 
Se as variáveis forem simultaneamente para zero na solução ótima, nossa 
Características dos modelos matemáticos16
função-objetivo artificial terá valor zero. Aplicando o método desse modo, 
leva o nome de método de duas fases, já que está dividido em duas partes: 
na primeira, ao resolvermos o problema alterado, apenas encontramos uma 
solução viável inicial para o problema original, e, na segunda, efetivamente 
resolvemos o problema em questão.
Problema com restrições de igualdade
O método da função artificial deve também ser utilizado quando existem 
restrições de igualdade no problema em análise, cuja metodologia é a mesma 
usada no caso de restrições do tipo maior ou igual. Primeiro, devemos introduzir 
uma variável artificial para cada restrição de igualdade (LACHTERMACHER, 
2016). Em seguida, substituímos a função-objetivo original pela minimização 
do somatório das variáveis artificiais, e, depois, encontramos a solução ótima do 
problema alterado, que já encaminha a viabilidade de solução. Caso a solução 
seja ótima, e o valor de todas as variáveis artificiais for zero, significa que 
existe no mínimo uma solução viável para o problema original, possibilitando 
o primeiro encaminhamento; havendo mais, complementam-se as opções, o 
que também se torna melhor ao estruturarmos os processos decisórios. Na 
segunda fase do método decisório, as variáveis artificiais não assumem o 
valor zero na solução ótima do problema alterado, o que novamente significa 
a inexistência de solução viável para o problema original.
Problemas com todo tipo de restrições
Ainda citando Lachtermacher (2016), na condição real de análise sobre os 
problemas, normalmente se apresentam todos os tipos de restrições e de forma 
simultânea. Para resolver um problema desse tipo, é importante aplicar o 
método da função artificial, além de introduzir as variáveis de folga, excesso e 
artificiais, criando uma condição ampla de verificação, pois, na condição real, 
obviamente passa a ser algo efetivo, e não uma criação-basepara simulação 
de cenários e resultados. Outro detalhe que se soma a essa percepção reside 
no fato de que pode haver diversos tipos de restrições, vários problemas e 
características muito opostos entre um problema e outro. Um cenário real 
compromete o definido padrão de análise e exige adequações e enquadramento 
dos envolvidos mantendo a orientação-base, adequando-se às diversas possi-
bilidade, que sejam efetivas e garantidoras da solução (Quadro 1). A escolha 
do método é fundamental, mas a eficácia de sua atuação é ainda maior.
17Características dos modelos matemáticos
Fonte: Adaptado de Lachtermacher (2016).
Tipo de problema Operação necessária
Função-objetivo de minimização Transformar a minimização em 
maximização (MinZ = Max – Z)
Restrição de menor ou igual Inserção de uma variável de folga
Restrição de maior ou igual Inserção de uma variável de 
excesso e outra artificial
Restrição de igualdade Inserção de uma variável artificial
Constante negativa Multiplicar por (–1) a restrição
Quadro 1. Operações por tipo de restrição do problema
Fica muito clara a importância de se aprofundar e dominar os conceitos 
de programação, pesquisa operacional, método e gestão sobre problemas, 
sobretudo nas engenharias. Porém, abre-se um espaço enorme para diferentes 
áreas, pois a quantificação parte de números, remetendo-se, assim, a ações 
mais efetivas no sentido de programar soluções observando orientações rele-
vantes que a modelagem matemática consolida na busca da maximização ou 
da minimização para ganhos e efeitos de problemas, respectivamente.
A relevância dos problemas e a maneira de tratá-los no que tange às verificações para 
decisão sobre sua otimização são importantes buscas, por sua complexidade de análise 
e demanda de conhecimento sobre diferentes modelos. Para obter mais informações 
a esse respeito, recomendamos a leitura de alguns capítulos de: LACHTERMACHER, G. 
Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Características dos modelos matemáticos18
Um processo apresenta duas demandas (A e B), porém sua capacidade é apenas 
compatível com uma delas. Por qual decidiria se não se pode atender às duas demandas 
ao mesmo tempo, em virtude da escassez de recursos para aumentar a capacidade? 
É preciso definir com base na escolha de qual demanda terá maior prioridade, ou 
seja, qual atenderá primeiro ou melhor. As variáveis de decisão serão x1 para A e 
x2 para B, como principal referência, podendo-se escolher ora uma ora outra, uma 
variável de decisão. O custo para atender à demanda de A é de R$ 180,00 e, para B, de 
R$ 100,00, mas o recurso disponível é de R$ 800,00. Havendo uma única demanda, 
teremos a seguinte situação: 180 × 1 + 100 × 2 ≤ 800. O somatório dos custos de x1 
e x2 passa a ser o investimento. O valor de 800 é a disponibilidade e o sinal de ≤, por 
agora, significa a garantia de que não faltará recurso. Ainda, a demanda A consome 
2 horas e a B 4 horas, porém a disponibilidade de horas semanais é de 20 horas para 
ambas, pois o restante do tempo já está comprometido com outras. Assim, teremos 
a seguinte representação em função do tempo: 2 × 1 + 4 × 2 ≤ 20 horas; então, 2 × 1 
+ 2 × 2 corresponderão ao total de horas e o valor de 20 horas é o tempo disponível. 
O símbolo ≤ é a garantia de atendimento das demandas. Com esses dados juntos 
(valores e tempo disponível), teremos então as restrições do problema bem descritas. 
Os objetivos agora são:
 � atender ao máximo de vezes as demandas por semana: máx x1 + x2;
 � uma das demandas terá o dobro de necessidade de atendimento: máx x1 + 2.x2.
Assim, teremos a seguinte condição representada a seguir.
19Características dos modelos matemáticos
ÁVILA, S. L. Otimização multi-objeto e análise de sensibilidade para concepção de disposi-
tivos. 2006. 159 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de 
Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, 2006. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/
bitstream/handle/123456789/88982/224404.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso 
em: 13 ago. 2020. 
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2015.
COX III, J. F.; SCHLEIER, J. G. Handbook da teoria das restrições. 1. ed. Porto Alegre: Book-
man, 2013.
FIANI, R. Teoria dos jogos com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, Henrique P.; GOLDBARG, E. F. Programação linear e fluxos em 
rede. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016.
RODRIGUES, R. Pesquisa operacional. 1. ed. Porto Alegre: Sagah, 2017. E-book. 
Leitura recomendada
MACHLINE, C. et al. Manual da administração da produção. 6. ed. Rio de Janeiro: FGV, 1985.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Características dos modelos matemáticos20
ANOS
EDIÇÃO DEANIVERSÁRIO
INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
FREDERICK S. HILLIER
GERALD J. LIEBERMAN
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Esta nova edição de conta com os fundamentos mais atuais da área,
amigáveis e maior cobertura de aplicativos de negócios, um extenso conjunto de problemas aplicáveis à
realidade e casos para análise.
O ponto forte desta 9ª edição é a parceria com a associação profissional internacional mais importante da
área, o Institute of Operations Research and the Management Sciences (INFORMS). Essa união resultou em um
texto mais completo e profundo,além de acesso aos artigos de excelência de profissionais e estudantes de PO nos
campos analítico e quantitativo.
Destaques:
• Aplicações de PO de grande impacto apresentadas nos 100 artigos na íntegra fornecidos pela INFORMS.
• Cerca de 200 problemas novos ou revisados.
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• Versões educacionais do LINDO e LINGO, com formulações e resoluções para todos os exemplos
relevantes do livro.
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Introdução à Pesquisa Operacional
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Pesquisa em Administração, 2.ed.
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Métodos de Pesquisa em Administração, 10.ed.
HAIR JR., J.F.; BLACK,W.C.; BABIN, B.J.;ANDERSON, R.E.;TATHAM, R.L.
Análise Multivariada de Dados, 6.ed.
HAIR JR., J.F.; BLACK,W.C.; BABIN.; MONEY,A.H.; SAMOUEL, P.
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Análise Quantitativa para Administração, 10.ed.
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9ª EDIÇÃO
A Bookman Editora é parte do Grupo A,
uma empresa que engloba diversos selos
editoriais e várias plataformas de distribui-
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sional, disponibilizando-o como, onde e
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38282_Introducao_a_Pesquisa_Operacional.ps
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quinta-feira, 2 de agosto de 2012 16:52:55
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H654i Hillier, Frederick S.
 Introdução à pesquisa operacional [recurso eletrônico] /
 Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; tradução Ariovaldo
 Griesi ; revisão técnica Pierre J. Ehrlich. – 9. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-119-8
 1. Matemática. 2. Pesquisa operacional. I. Lieberman,
 Gerald J. II. Título. 
CDU 519.8
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
1.1 A ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL
Desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia o crescimento extraordinário no ta-
manho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram 
para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial para essa mudança foi o extraordinário 
aumento na divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas organiza-
ções. Os resultados foram espetaculares. Entretanto, junto com os pontos positivos, essa crescente 
especialização criou novos problemas, que ainda ocorrem em muitas organizações. Um deles é a 
tendência das diversas unidades de uma organização formarem impérios relativamente autônomos 
com seus próprios objetivos e sistemas de valor, perdendo, consequentemente, a visão de como 
suas atividades e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um todo. O que é 
melhor para uma das unidades com frequência é prejudicial à outra, o que pode levar a objetivos 
conflitantes. Um problema decorrente é que, à medida que aumentam a complexidade e a especia-
lização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da 
maneira mais eficiente para toda a organização. Esses tipos de problema e a necessidade de encon-
trar o melhor caminho para solucioná-los criaram as condições necessárias para o surgimento da 
pesquisa operacional (comumente referida como PO).
As origens da PO remontam a décadas,1 quando tentou-se uma abordagem científica da gestão das 
organizações. Porém, o início da atividade, denominada pesquisa operacional, geralmente é atribuído 
às ações militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial. Em razão da guerra, havia a necessidade 
premente de alocar de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares. Por con-
sequência, os comandos britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para lidar 
com este e outros problemas táticos e estratégicos. Na prática lhes foi solicitada a realização de pesquisas 
sobre operações (militares). Essas equipes de cientistas foram as primeiras da área de PO. Utilizando 
métodos eficientes de emprego da nova ferramenta radar, essas equipes contribuíram para a vitória da 
Batalha Aérea na Grã-Bretanha. Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar ope-
rações de comboio e antissubmarinos, esses cientistas determinaram a vitória da Batalha do Atlântico 
Norte. Esforços semelhantes ajudaram na Campanha Britânica no Pacífico.
Quando a guerra acabou, o sucesso da PO no empreendimento bélico despertou interesse na sua 
aplicação fora do ambiente militar. À medida que o boom industrial pós-guerra progredia, os problemas 
causados pela crescente complexidade e especialização nas organizações ganharam novamente o pri-
meiro plano. Tornava-se aparente para um número cada vez maior de pessoas, entre elas consultores de 
negócios que trabalharam nas equipes de PO ou em conjunto com elas durante a guerra, que estes eram 
basicamente os mesmos problemas que tinham enfrentado os militares, porém, agora, em um contexto 
diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos haviam introduzido a PO nas diversas organiza-
ções dos setores comercial, industrial e governamental. Sua rápida disseminação veio a seguir.
1 A Referência Selecionada 2 apresenta uma história interessante sobre a pesquisa operacional, que remonta a 1564. Ela descreve um número 
considerável de contribuições científicas no período entre 1564 e 1935, que influenciaram o posterior desenvolvimento da PO.
1C A P Í T U L O
Introdução
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2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Identificam-se pelo menos dois fatores que desempenharam papel fundamental no rápido cresci-
mento da PO nesse período. O primeiro foi o progresso substancial das técnicas da PO. Após a guerra, 
muitos dos cientistas que haviam participado das equipes de PO ou que ouviram falar a esse respeito 
motivaram-se para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo, o que resultou em avanços rumo ao 
que havia de mais novo. Um exemplo essencial é o método simplex para solução de problemas com 
programação linear, desenvolvido por George Dantzig, em 1947. Várias ferramentas padrão da PO, 
como programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um 
estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950.
Um segundo fator que deu grande ímpeto ao crescimento desse campo foi a “avalanche” da 
revolução computacional. Requer-se grande volume de processamento de cálculos para o trata-
mento eficiente dos problemas complexos normalmente considerados pela PO. Fazer isso à mão 
estaria fora de cogitação. Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, com 
capacidade de realizar cálculos matemáticos milhões de vezes mais rapidamente que o ser humano, 
impulsionou muito a PO. Outro estímulo surgiu nos anos 1980, com a criação de computadores 
pessoais cada vez mais poderosos, munidos de excelentes pacotes de software para a PO. Assim, 
a PO ficou ao alcance de um número muito maior de pessoas e esse progresso acelerou-se mais na 
década de 1990 e no século XXI. Hoje, milhões de pessoas têm pronto acesso a softwares de PO. 
Portanto, uma enorme gama de computadores, de mainframes a laptops, é utilizada no dia a dia 
para solucionar problemas relativos à PO, inclusive os mais complexos.
1.2 A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL
Como o próprio nome indica, a pesquisa operacional envolve “pesquisa sobre operações”. Portanto, 
a PO é aplicada a problemas que compreendem a condução e a coordenação das operações (isto é, as 
atividades) em uma organização. A natureza das organizações é essencialmente secundária e, de fato, 
a PO tem sido amplamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, construção, 
telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos, somente 
para citar algumas delas. Portanto, a gama de aplicações é excepcionalmente grande.
Parte do termo significa que a pesquisa operacional usa uma abordagem que relembra a ma-
neira pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos usuais. Em grau considerável, o 
método científico é utilizado para investigar o problema empresarial (de fato, a expressão ciências 
da administração é algumas vezes usada como sinônimo de pesquisa operacional). Em particular, o 
processo tem início observando-se e formulando-se cuidadosamente o problema, incluindo a coleta 
de dados relevantes. A próxima etapa é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que 
tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então,da hipótese de que esse modelo é uma re-
presentação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões 
(soluções) obtidas do modelo também são válidas para o problema real. A seguir, são realizadas ex-
perimentações adequadas para testar essa hipótese, modificá-la conforme necessário e, por fim, veri-
ficar alguma forma da hipótese (essa etapa é frequentemente conhecida como validação do modelo). 
Assim, até certo ponto, a pesquisa operacional envolve a pesquisa científica criativa das propriedades 
fundamentais das operações. Entretanto, há outros fatores além desse. Especificamente, a PO tam-
bém trata da gestão prática da organização. Portanto, para ser bem-sucedida, a PO também precisa, 
quando necessário, fornecer conclusões positivas e inteligíveis para o(s) tomador(es) de decisão.
Outra característica da PO é seu ponto de vista abrangente. Conforme ficou implícito na seção 
anterior, a PO adota um ponto de vista organizacional. Assim, tenta solucionar os conflitos de interes-
ses entre as unidades de modo que seja a melhor solução para a organização como um todo. Isso não 
implica que o estudo de cada problema deva considerar explicitamente todos os aspectos da organiza-
ção; ao contrário, os objetivos devem ser consistentes com aqueles de toda a organização.
Uma característica a mais é que a PO tenta, frequentemente, encontrar uma melhor solução (co-
nhecida como solução ótima) para o modelo que representa o problema considerado. (Dissemos uma 
melhor solução em vez de a melhor solução, pois pode haver várias soluções, cada uma delas sendo 
considerada como a melhor). Em vez de simplesmente melhorar o status quo, o objetivo é identificar o 
melhor caminho a percorrer. Embora ele deva ser interpretado com cuidado em termos das necessida-
des práticas da administração, a busca pela “otimalidade” é um tema importante na PO.
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3
Todas essas características levam quase naturalmente a outra. É evidente que não se espera que 
ninguém seja um especialista em todos os aspectos do trabalho em PO ou dos problemas normal-
mente considerados, o que exigiria um grupo de indivíduos com conhecimento prévio (background) 
e habilidades diversas. Portanto, quando se realiza um estudo de PO totalmente maduro de um novo 
problema, geralmente é necessário adotar-se uma abordagem de equipe. Uma equipe de PO desse 
tipo precisa contar com indivíduos que sejam altamente treinados em matemática, estatística e teoria 
da probabilidade, economia, administração de empresas, informática, engenharia e física, ciências 
comportamentais e as técnicas especiais de PO. A equipe também precisa ter experiência necessária e 
diversas habilidades para dar a devida atenção a todas aquelas ramificações do problema que permeiam 
a organização.
1.3 O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL
A pesquisa operacional teve impacto impressionante para melhorar a eficiência de inúmeras orga-
nizações pelo mundo. Nesse processo, a PO contribuiu significativamente para o aumento da pro-
dutividade da economia de diversos países. Há alguns países-membros na Federação Internacional 
das Sociedades de Pesquisa Operacional (IFORS), e cada país em uma sociedade de pesquisa ope-
racional nacional. Tanto a Europa quanto a Ásia têm federações de PO para coordenar a realização 
de conferências internacionais e a publicação de jornais de circulação internacional. Além disso, 
o Instituto para Pesquisa Operacional e Ciências da Administração (INFORMS) é uma sociedade 
internacional sobre PO. Entre os diversos jornais, tem-se o chamado Interfaces, que publica artigos 
regularmente, que descrevem estudos importantes no campo da PO e o impacto que teriam em suas 
organizações.
Para se ter uma ideia melhor da ampla aplicabilidade da PO, enumeramos algumas aplicações 
reais na Tabela 1.1. Observe a diversidade dos tipos de organização e aplicações nas duas primeiras 
colunas. A terceira coluna identifica a seção onde um “Exemplo de Aplicação” dedica vários parágrafos 
para descrever a aplicação e também faz referência a um artigo que fornece detalhes completos. (Pode-
-se observar o primeiro desses “exercícios aplicados” nessa seção.) A última coluna indica que essas 
aplicações resultaram tipicamente em uma economia anual na casa de muitos milhões de dólares. Além 
disso, benefícios adicionais não registrados na tabela (por exemplo, melhoria nos serviços aos clientes 
e melhor controle gerencial) algumas vezes foram considerados até mais importantes que os benefícios 
financeiros. (Você terá a oportunidade de investigar estes benefícios menos tangíveis nos Problemas 
1.3-1, 1.3-2 e 1.3-3.) Em site da editora, estão artigos que descrevem detalhadamente essas aplicações.
Embora a maioria dos estudos rotineiros de pesquisa operacional forneça benefícios considera-
velmente mais modestos que as aplicações sintetizadas na Tabela 1.1, os números na coluna mais à 
direita desta tabela refletem, de forma acurada, o impacto drástico que estudos de PO amplos e bem 
planejados podem apresentar ocasionalmente.
1.4 ALGORITMOS E/OU COURSEWARE
Uma importante parte deste livro é a apresentação dos principais algoritmos (procedimentos sis-
temáticos para solução) da PO para resolver certos tipos de problema. Alguns desses algoritmos 
são incrivelmente eficientes e são usados no cotidiano em problemas que envolvem centenas ou 
milhares de variáveis. Faremos a introdução de como esses algoritmos funcionam e o que os torna 
tão eficientes. A seguir, você utilizará esses algoritmos para solucionar uma série de problemas 
no computador. O Courseware de PO contido no site da editora, será uma ferramenta-chave na 
implementação de tudo isso.
Uma característica especial em nosso Courseware de PO refere-se a um programa chamado 
Tutor PO. Esse programa destina-se a ser seu tutor pessoal para ajudá-lo no aprendizado desses algo-
ritmos. Ele consiste em diversos exemplos de demonstração, que mostram e explicam os algoritmos 
em ação. Essas demos complementam os exemplos contidos neste livro.
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4 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Além disso, nosso Courseware de PO inclui um pacote de software especial denominado Tuto-
rial Interativo de Pesquisa Operacional, ou simplesmente Tutorial IOR. Implementado em Java, 
esse pacote inovador foi desenvolvido especificamente para melhorar o aprendizado de nossos leito-
res. O Tutorial IOR engloba vários procedimentos interativos para execução interativa dos algoritmos 
em um formato conveniente. O computador executa todos os cálculos de rotina ao passo que você se 
concentra no aprendizado e na execução da lógica do algoritmo. Certamente você vai considerar es-
ses procedimentos interativos muito eficientes e uma forma de esclarecimento na execução de vários 
exercícios apresentados. O Tutorial IOR também abrange uma série de outros procedimentos úteis, in-
cluindo alguns procedimentos automáticos para execução de algoritmos e diversos procedimentos que 
apresentam telas gráficas sobre como as soluções fornecidas variam conforme os dados do problema.
 � TABELA 1.1 Aplicações da pesquisa operacional a ser descritas em exemplos de aplicação
Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Federal Express Planejamento logístico de despachos 1.3 Não estimada
Continental Airlines Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes 
nos horários de voo 
2.2 40 milhões
Swift & Company Aumentar as vendas e melhorar o desempenho na fabricação 3.1 12 milhões
Memorial Sloan-Kettering 
Cancer Center
Procedimentos de tratamentos radioterápicos 3.4 459 milhões 
United Airlines Programar turnos de trabalho nas centrais de reserva e nos 
balcões em aeroportos 
3.4 6 milhões
Welch’s Otimizar o uso e a movimentação de matéria-prima 3.5 150 mil
Samsung Electronics Desenvolver métodos de redução de tempo de fabricação