Probabilidade e estatística

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
PROFESSORA: CÍNTIA PAESE GIACOMELLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 2 
Índice 
 
1 Introdução _____________________________________________________1 
1.1 Amostragem ________________________________________________________ 2 
1.2 Tipos de variáveis ____________________________________________________ 4 
2 Séries estatísticas _______________________________________________5 
3 Gráficos _______________________________________________________6 
4 Distribuições de freqüências______________________________________12 
4.1 Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos ______________ 12 
4.2 Gráficos das distribuições de freqüência _________________________________ 13 
4.3 Construção de distribuição de freqüência para dados discretos ______________ 15 
4.4 Construção de uma distribuição de freqüência acumulada___________________ 17 
4.5 Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos _______________ 18 
4.6 Gráficos para distribuições de freqüência ________________________________ 19 
5 Medidas de tendência central _____________________________________20 
5.1 Média_____________________________________________________________ 20 
5.2 Mediana ___________________________________________________________ 23 
5.3 Moda _____________________________________________________________ 25 
5.4 Relação entre as medidas de tendência central ___________________________ 26 
6 Medidas de variabilidade ________________________________________28 
6.1 Amplitude _________________________________________________________ 28 
6.2 Variância __________________________________________________________ 29 
6.3 Desvio padrão ______________________________________________________ 29 
6.4 Coeficiente de variação ______________________________________________ 30 
7 Medidas de assimetria e curtose __________________________________31 
8 Introdução à probabilidade_______________________________________33 
8.1 Experimento aleatório _______________________________________________ 33 
8.2 Espaço amostral ____________________________________________________ 34 
8.3 Eventos ___________________________________________________________ 34 
8.4 A probabilidade de um evento _________________________________________ 34 
8.5 Cálculo das probabilidades ____________________________________________ 37 
9 Distribuições de probabilidade ____________________________________43 
10 Teoria elementar da amostragem ________________________________56 
10.1 Amostragem com e sem reposição ____________________________________ 56 
10.2 Distribuições amostrais _____________________________________________ 56 
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11 Estimação ___________________________________________________62 
12 Testes de hipóteses ___________________________________________68 
12.1 Teste de hipóteses para médias ______________________________________ 70 
12.2 Testes de duas amostras para médias _________________________________ 72 
12.3 Teste para proporções _____________________________________________ 72 
12.4 Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções) ____________________ 73 
13 Análise de variância (ANOVA - Analysis of Variance) _________________79 
13.1 Formulário para solução ____________________________________________ 83 
13.2 Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 85 
14 Regressão e correlação ________________________________________90 
Regressão ______________________________________________________________ 91 
14.1 Aplicações da regressão ____________________________________________ 91 
14.2 Classificação das regressões_________________________________________ 91 
14.3 Modelo linear _____________________________________________________ 91 
Correlação ______________________________________________________________ 94 
14.4 Objetivo da correlação _____________________________________________ 94 
14.5 O coeficiente r de Pearson (correlação)________________________________ 94 
14.6 Coeficiente de determinação ________________________________________ 94 
14.7 Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 96 
14.8 Outros modelos __________________________________________________ 100 
15 Tabelas ____________________________________________________106 
 
 
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11 IInnttrroodduuççããoo 
 
Estuda-se estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de decisão 
diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões. 
Os princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações – no 
governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito das ciências sociais, biológicas 
e físicas. 
Estatística é a ciência ou método científico que estuda os fenômenos multicausais, 
coletivos ou de massa e procura inferir as leis que os mesmos obedecem. 
Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou 
valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. Os 
passos da metodologia estatística são os seguintes: 
• Definição cuidadosa do problema 
• Formulação de um plano para coleta das unidades de observação 
• Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus valores 
numéricos 
• Análise dos resultados 
• Divulgação de relatório com as conclusões, de tal modo que estas sejam facilmente 
entendidas por quem as for usar na tomada de decisões. 
 
Em geral, é aceita a divisão da estatística em dois grandes grupos: estatística descritiva e 
indutiva. 
Descritiva: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração, 
tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados. Isto é, inclui as técnicas que 
dizem respeito à sintetização e à descrição de dados numéricos. Tais métodos podem ser 
gráficos e envolvem a utilização de recursos computacionais. O objetivo da estatística 
descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, relatar e discutir. 
Indutiva (ou inferencial): parte de uma ou mais amostras (subconjuntos da população) e 
conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, inferência 
estatística, amostragem. 
 
Com maior freqüência utilizamos o estudo da amostra do que da população, não só por 
serem menos dispendiosas e consumirem menos tempo no processamento dos dados, mas 
também porque muitas vezes não dispomos de todos os elementos da população. 
 
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Definições: 
População: coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas,...) a 
serem estudados. 
Amostra: subcoleção de elementos extraídos da população. 
Censo: coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. 
Amostragem: coleção de dados relativos a elementos de uma amostra. 
 
Exemplo: 
População Amostra 
 
 
 
 
Parâmetro: medida numérica que descreve uma característica de uma população 
Estatística: medida numérica que descreve uma característica de uma amostra 
 
 
1.1 Amostragem 
O objetivo da amostragem é permitir fazer inferências sobre uma população após inspeção 
de apenas parte dela. Fatores como custo, tempo, ensaios destrutivos e populações 
infinitas tornam a amostragem preferível a um estudo completo (censo). 
Os principais tipos de amostragem utilizados são os probabilísticos, onde todos os 
indivíduos da população têm a mesma chance de serem selecionados. Os planos de 
amostragem probabilística são delineados de tal modo que se conhece todas as 
combinações amostrais possíveis e suas probabilidades, podendo-se então determinar oerro amostral. 
Os métodos mais comuns de amostragem probabilística são: 
• Amostragem aleatória simples: os elementos de uma população são escolhidos de 
tal forma que todos tenham a mesma chance de serem escolhidos. Pode-se utilizar 
uma tabela de números aleatórios ou um programa de geração de números 
aleatórios. 
• Amostragem estratificada: subdivide-se a população em, no mínimo, dois estratos 
(subpopulações) que compartilham a mesma característica e em seguida escolhe-se 
uma amostra de cada. Exemplo: homens e mulheres. 
• Amostragem sistemática: escolhe-se um ponto de partida e então, 
sistematicamente, selecionam-se os outros. Por exemplo: o 3°, 403°, 803°, 
1203°,... indivíduos 
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• Amostragem por conglomerados: divide-se a população em conglomerados (áreas), 
em seguida sorteiam-se algumas áreas e analisam-se todos os elementos dos 
conglomerados escolhidos. Por exemplo: bairros. 
 
 
Fonte: Triola, Mário. 1999, 11. 
 
Amostragens não probabilísticas são utilizadas quando a população em estudo é muito 
pequena ou de difícil obtenção. Neste caso a análise de uma amostra poderia causar 
distorções. Uma pessoa familiarizada com a população pode indicar melhor as unidades 
amostrais. Este tipo de amostragem não permite avaliar o erro amostral. EX: doença rara. 
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1.2 Tipos de variáveis 
Alguns conjuntos de dados consistem em números, enquanto outros são não numéricos. 
Utiliza-se a nomenclatura de dados (ou variáveis) qualitativos e quantitativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Identifique cada número como discreto ou contínuo 
1. Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão 
2. O altímetro de um avião da American Airlines indica uma altitude de 21.359 pés 
3. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinante de um 
serviço de informação on-line. 
4. O tempo total gasto anualmente por um motorista de táxi de Nova York ao dar 
passagem a pedestres é de 2367 segundos. 
 
Apresente dois exemplos de dados discretos ou contínuos de sua empresa / pesquisa. 
Quantitativas Qualitativas 
Discretas Contínuas 
Variáveis 
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22 SSéérriieess eessttaattííssttiiccaass 
Consiste no agrupamento dos dados estatísticos em tabelas. 
Em qualquer série estatística são observados três elementos fundamentais: 
• O fato, isto é, o que está sendo observado 
• O espaço geográfico 
• A época 
Estes elementos criam classificações para as séries: específicas, temporais ou geográficas. 
 
Séries temporais (ou históricas) 
Os dados estão reunidos de acordo com o tempo, que varia. Os outros dois fatores - local 
e fato - permanecem inalterados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Séries geográficas 
Os dados estão reunidos de acordo com o local, que varia. Os outros dois fatores - fato e 
data - permanecem inalterados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Séries específicas 
Os dados estão reunidos de acordo com o evento, que varia. Os outros dois fatores - local 
e data - permanecem inalterados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As séries podem ainda apresentar-se sob a forma mista, resultante da combinação dos 
fatores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 GGrrááffiiccooss 
Os gráficos consistem em uma forma de apresentação dos dados, usualmente utilizada 
pois facilita a interpretação dos resultados. 
São elementos complementares de um gráfico: 
• Título geral, época e local 
• Escalas e respectivas unidades de medida 
• Indicação das convenções adotadas (legenda) 
• Fonte de informação dos dados 
 
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Principais tipos de gráficos: (Fonte: Site da Microsoft – www.microsoft.com.br) 
 
Colunas 
Um gráfico de colunas mostra as alterações 
de dados em um período de tempo ou 
ilustra comparações entre itens. As 
categorias são organizadas na horizontal e 
os valores são distribuídos na vertical, para 
enfatizar as variações ao longo do tempo. 
Gráficos de colunas empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo 
. O gráfico de colunas em perspectiva 3D 
compara pontos de dados ao longo dos dois 
eixos. 
Nesse gráfico 3D, você pode comparar o 
desempenho das vendas de quatro 
trimestres na Europa com o desempenho de 
outras duas divisões. 
Vendas por local 
 
 
 
 
Barras 
Um gráfico de barras ilustra comparações 
entre itens individuais. As categorias são 
organizadas na vertical e os valores na 
horizontal para enfocar valores de 
comparação. 
 
 
Gráficos de barras empilhadas mostram o 
relacionamento de itens individuais com o 
todo. 
 
Vendas por produto 
 
 
 
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Linha 
Um gráfico de linhas mostra 
tendências nos dados em 
intervalos iguais. 
A união dos pontos faz sentido 
pois a variável é contínua. 
Meses usualmente são 
tratados como variáveis 
contínuas 
 
Valor de venda do produto X 
 
 
 
Pizza 
Um gráfico de pizza mostra o tamanho 
proporcional de itens que constituem uma série 
de dados para a soma dos itens. Ele sempre 
mostra somente uma única série de dados, sendo 
útil quando você deseja dar ênfase a um 
elemento importante. 
Totaliza a informação (100%). Cada faixa do 
gráfico é proporcional à informação. 
 
 
 
Para facilitar a visualização de fatias pequenas, você pode 
agrupá-las em um único item do gráfico de pizza e 
subdividir esse item em um gráfico de pizza ou de barras 
menor, ao lado do gráfico principal. 
 
 
Diagrama de Dispersão (Dispersão XY) 
Um gráfico xy (dispersão) mostra a 
relação existente entre os valores 
numéricos em várias séries de dados ou 
plota dois grupos de números como uma 
série de coordenadas xy. Esse gráfico 
mostra intervalos irregulares ou clusters 
de dados e é usado geralmente para 
dados científicos. 
Relação entre tempo e temperatura 
 
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Histograma 
É um gráfico de colunas, porém utilizado 
para apresentar distribuições de 
freqüências. 
Apresenta as classes ao longo do eixo 
horizontal e as freqüências (absolutas ou 
relativas) ao longo do eixo vertical. As 
fronteiras das “barras” coincidem com os 
pontos extremos dos intervalos de classe. 
Distribuição da quantidade produzida 
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
3 a 8 8 a 13 13 a 18 18 a 23 23 a 28 28 a 33
Safras (alq.)
%
 
da
s 
ár
v
o
re
s
 
 
Área 
Um gráfico de área enfatiza a 
dimensão das mudanças ao longo do 
tempo. Exibindo a soma dos valores 
plotados, o gráfico de área mostra 
também o relacionamento das partes 
com um todo. 
Nesse exemplo, o gráfico de área 
enfatiza o aumento das vendas em 
Washington e ilustra a contribuição 
de cada estado para o total das 
vendas. 
 
 
Superfície 
Um gráfico de superfície é útil quando 
você deseja localizar combinações 
vantajosas entre dois conjuntos de dados. 
Como em um mapa topográfico, as cores e 
os padrões indicam áreas que estão no 
mesmo intervalo de valores. 
Esse gráfico mostra as várias combinações 
de temperatura e tempo que resultam na 
mesma medida de resistência à tração. 
 
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Radar 
Um gráfico de radar compara os 
valores agregados de várias séries de 
dados. 
 
Nesse gráfico, a série de dados que 
cobre a maior parte da área, Marca A, 
representa a marca com o maior 
conteúdo de vitamina. 
 
 
 
 
Ações 
O gráfico de alta-baixa-fechamento é usado muitas vezes para ilustrar preços de ações. 
Esse gráfico também pode ser usado comdados científicos para, por exemplo, indicar 
mudanças de temperatura. Você deve organizar seus dados na ordem correta para criar 
esse e outros gráficos de ações. 
 
Um gráfico de ações que mede o volume tem dois eixos de valores: um para as colunas, 
que medem o volume, e outro para os preços das ações. Você pode incluir volume em um 
gráfico de alta-baixa-fechamento ou de abertura-alta-baixa-fechamento. 
 
 
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Bolhas 
Um gráfico de bolhas é um tipo de gráfico xy (dispersão). O tamanho do marcador de 
dados indica o valor de uma terceira variável. 
Para organizar seus dados, coloque os valores de x em uma linha ou coluna e insira os 
valores de y e os tamanhos das bolhas correspondentes nas linhas ou colunas adjacentes. 
 
O gráfico nesse exemplo mostra que a Empresa A tem a maioria dos produtos e a maior 
fatia do mercado, mas não necessariamente as melhores vendas. 
 
Cone, cilindro e pirâmide 
Os marcadores de dados em forma de cone, cilindro e pirâmide podem dar um efeito 
especial aos gráficos de colunas e de barras 3D. 
 
 
Rosca 
Como um gráfico de pizza, o gráfico de 
rosca mostra o relacionamento das partes 
com o todo, mas pode conter mais de uma 
série de dados. Cada anel do gráfico de 
rosca representa uma série de dados. 
 
 
 
 
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44 DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee ffrreeqqüüêênncciiaass 
Distribuição de freqüência é uma tabela resumida na qual os dados são organizados em 
grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente 
ordenadas. 
As distribuições de freqüências são series heterógrafas, isto é, séries na qual o fenômeno 
ou fato apresenta graduações ou subdivisões. Embora fixo, o fenômeno varia de 
intensidade. 
Nas distribuições de freqüência, os dados são agrupados segundo um critério de 
magnitude, em classe ou pontos, permanecendo constante o fato, local e tempo, de tal 
forma que se possa determinar a percentagem ou número, de cada classe. É um tipo de 
apresentação que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências ou repetições 
de seus valores. 
 
A construção da distribuição de freqüência depende do tipo de dado com os quais se está 
lidando: contínuos ou discretos. 
 
4.1 Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos 
Os principais estágios são: 
1. Estabelecer a quantidade de classes ou intervalos de grupamento dos dados. O 
número de classes deve variar entre 5 e 15. Aconselha-se utilizar n onde n é o 
número de observações. 
2. Determinar a amplitude das classes. Aconselha-se fazer amplitude / no de classes. 
(OBS: amplitude = maior valor – menor valor) 
3. Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem e apresentar os resultados em 
uma tabela ou gráfico 
 
Exemplo: 
Os dados a seguir representam o tempo (em minutos) que 45 operadores de máquina 
demoraram para fazer o setup de uma máquina. 
6,5 4,0 7,1 8,3 5,4 7,6 9,0 15,7 16,7 
6,4 5,0 8,5 5,7 7,7 7,2 12,4 7,1 5,5 
9,7 4,4 7,0 6,3 8,3 6,9 5,7 7,6 7,9 
7,9 6,0 8,2 10,4 9,9 3,9 9,8 8,2 5,6 
7,9 6,4 7,4 7,0 13,0 8,7 6,4 6,7 7,4 
 
1 – Número de classes � 45 valores � 45 =6,7 ≅ 7 classes 
2 – Amplitude das classes � 16,7 – 3,9 = 12,8 (Maior valor = 16,7; Menor valor = 
3,9). Logo, tem-se a amplitude das classes 12,8 / 7 = 1,83 ≅ 2 
 
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3 – Escrever as classes e contar os valores 
 
Tempo 
(minutos) 
Número de 
operadores 
% de 
operadores 
3 –| 5 4 8,9% 
5 –| 7 15 33,3% 
7 –| 9 18 40,0% 
9 –| 11 4 8,9% 
11 –| 13 2 4,4% 
13 –| 15 0 0,0% 
15 –| 17 2 4,4% 
Total 45 100% 
 
3 –| 5 equivale a 3 < x ≤ 5 
Ou seja, são contados no 
intervalo todos os valores 
superiores a 3 e inferiores ou 
iguais a 5. 
 
 
A freqüência absoluta (fi) corresponde ao número de operadores 
A freqüência relativa (fri) corresponde ao percentual de operadores 
 
4.2 Gráficos das distribuições de freqüência 
Histograma de freqüências 
Análise dos tempos para fazer o setup da máquina
4
15
18
4
2
0
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3 –| 5 5 –| 7 7 –| 9 9 –| 11 11 –| 13 13 –| 15 15 –| 17
Tempo (minutos)
N
úm
e
ro
 
de
 
op
er
a
do
re
s
 
Uma alternativa ao histograma de freqüências é o polígono de freqüências, construído 
mediante a conexão dos pontos médios dos intervalos do histograma, com linhas retas. 
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Análise dos tempos para fazer o setup da máquina
4
15
18
4
2
0
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3 –| 5 5 –| 7 7 –| 9 9 –| 11 11 –| 13 13 –| 15 15 –| 17
Tempo (minutos)
N
úm
er
o 
de
 
op
er
ad
or
es
 
OBS: uma vez que a área do polígono deve ser 100%, deve-se ligar o primeiro e o último 
pontos médios com o eixo horizontal, de modo a cercar a área da distribuição observada. 
 
Exercícios: 
1. A tabela de dados representa o peso de 30 sacos de arroz da marca A selecionados 
aleatoriamente em um supermercado. Construa a distribuição de freqüências e 
apresente em um gráfico. (para facilitar os dados já estão ordenados) 
922 930 936 950 954 954 958 965 968 974
977 979 987 989 1001 1006 1008 1010 1013 1017
1018 1034 1034 1035 1042 1044 1044 1048 1070 1116
 
 
2. Construa a distribuição de freqüência e o polígono de freqüências. 
6,2 9,0 12,2 14,7 7,9 9,8 8,0 13,3 13,3 8,9 
8,8 8,3 11,8 11,8 14,7 8,5 7,7 11,4 11,2 10,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3 Construção de distribuição de freqüência para dados discretos 
Na construção de uma distribuição de freqüência utilizando dados contínuos, perde-se 
certa quantidade de informação porque os valores individuais perdem sua identidade 
quando são agrupados em classes. Isso pode ou não ocorrer com dados discretos, 
dependendo da natureza dos dados e os objetivos do analista. 
 
Consideremos os seguintes dados relativos ao número de acidentes diários em um grande 
estacionamento, durante o período de 50 dias. 
1 6 3 6 2 4 5 3 7 9 
5 4 5 3 4 5 6 0 8 4 
4 1 9 5 7 5 5 4 5 8 
4 5 3 2 6 7 4 3 1 4 
0 0 5 4 2 6 6 2 8 7 
 
Note que os dados estão entre 0 e 9. 
Podemos construir uma distribuição de freqüência sem perda dos valores originais, 
utilizando os próprios valores. 
 
 
Classe Freqüência dias 
% dos 
dias 
0 3 0,06 
1 3 0,06 
2 4 0,08 
3 5 0,10 
4 10 0,20 
5 10 0,20 
6 6 0,12 
7 4 0,08 
8 3 0,06 
9 2 0,04 
 50 1,00 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nú
m
er
o 
de
 
di
as
 
 
Não houve perda de informação, ou seja, poderíamos construir a tabela original a partir da 
distribuição de freqüências. 
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Por outro lado, poderíamos usar como classes 0-1, 2-3, 4-5, 6-7 e 8-9. 
 
Classe 
Freqüência 
dias 
% dos 
dias 
0-1 6 0,12 
2-3 9 0,18 
4-5 20 0,40 
6-7 10 0,20 
8-9 5 0,10 
 50 1,00 
0
5
10
15
20
25
0-1 2-3 4-5 6-7 8-9
Nú
m
er
o
 
de
 
dia
s
 
 
De modo geral prefere-se uma distribuição de freqüência sem perda de informação 
quando: 
• Os dados são constituídos de valores inteiros. 
• Há menos de, digamos, 16 classes. 
• Há suficientes observações para originar uma distribuição significativa 
 
Por outro lado, prefere-se uma distribuição de freqüência com perda da informação 
quando: 
• Estão em jogo inteiros e não inteiros 
• Só existem inteiros, porém em número muito alto para permitir uma distribuição 
útil. 
• A perda da informação é de importância secundária (por exemplo, o 
arredondamento do peso de um caminhão ou da renda anual para a unidade mais 
próxima) 
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4.4 Construção de uma distribuição de freqüência acumulada 
Uma distribuição de freqüência acumulada tem por objetivo indicar o número ou 
percentual de itens menores do que, ou iguais a, determinado valor. 
No caso dos acidentes podemos construir distribuições acumuladas para a distribuição com 
e sem perda da informação. 
 
Sem perda da informação 
Classe N° dias % dias Freqüências 
acumuladas 
0 3 0,06 0,06 
1 3 0,06 0,12 
2 4 0,08 0,20 
3 5 0,10 0,30 
4 10 0,20 0,50 
5 10 0,20 0,70 
6 6 0,12 0,82 
7 4 0,08 0,90 
8 3 0,06 0,96 
9 2 0,04 1,00 
 50 1,00 
 
Com perda da informação 
Classe N° dias % dias Freqüências 
acumuladas 
0-1 6 0,12 0,12 
2-3 9 0,18 0,30 
4-5 20 0,40 0,70 
6-7 10 0,20 0,90 
8-9 5 0,10 1,00 
 50 1,00 
Podemos, pela primeira tabela, concluir que 90% dos dados correspondem a valores 
menores ou iguais a 7. ou seja, Em 90% dos dias o número de acidentes não excede 7. 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 18 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0-1 2-3 4-5 6-7 8-9
 
 
Os polígonos de freqüências acumuladas são também chamados de ogivas. 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N. acidentes
%
 d
o
s 
d
ia
s
 
 
4.5 Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos 
As distribuições de freqüências para dados nominais se assemelham às distribuições de 
freqüência normais, porém apresentam as categorias em lugar das classes. 
Por exemplo: 
 Vendas 
absolutas 
Vendas 
relativas 
Limão 600 0,375 
Laranja 400 0,250 
Melão 300 0,188 
Melancia 200 0,125 
Abacaxi 100 0,063 
Total 1600 1,000 
 
Usa-se o gráfico de barras ou colunas para representar dados nominais. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 19 
4.6 Gráficos para distribuições de freqüência 
A distribuição de freqüência é muitas vezes utilizada para determinar o formato da 
distribuição. A distribuição dos dados pode ser simétrica ou não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
Construa a distribuição de freqüência e desenhe o histograma dos dados a seguir. Qual é 
o formato da distribuição? 
20,7 18,7 26,2 21,7 18,8 20,6 20,7 20,2 
18,5 21,3 19,3 18,3 25,1 18,8 24,3 28,4 
23,3 25,3 20,4 18,3 24,0 21,2 19,4 20,6 
18,9 26,6 22,4 18,9 22,6 21,4 27,0 23,6 
28,3 20,3 21,7 18,2 20,3 19,2 24,7 18,4 
 
 
 
 
 
Distribuições discretas 
Simétrica Assimétrica à esquerda Assimétrica à direita 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 20 
55 MMeeddiiddaass ddee tteennddêênncciiaa cceennttrraall 
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a representar 
melhor um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a 
moda. 
 
5.1 Média 
5.1.1 Média aritmética 
A média aritmética é o resultado da divisão da soma de todos os valores da amostra pela 
quantidade total de valores. 
 
 
 
 
 
OBS: x lê-se X barra e significa média. ∑
=
n
i
ix
1
 lê-se somatório de x i, i variando de 1 a n. 
∑
=
+++=
n
i
ni x...xxx
1
21 
 
Se um estudante faz quatro provas, obtendo as notas 70, 60, 80 e 75, sua média é: 71,25. 
 
Algumas propriedades da média 
• A média de um conjunto de dados pode ser sempre calculada. 
• Para um dado conjunto de números, a média é única. 
• A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto, assim, se um 
número se modifica, a média também se modifica. 
• Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do 
valor constante. Analogamente, extraindo-se um valor constante de cada valor do 
conjunto, a média também ficará diminuída desse valor. 
• A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. 
 
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1 ou simplesmente 
n
x
x
∑
= 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 21 
5.1.2 Média ponderada 
A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a 
mesma importância. A média ponderada considera que as informações não tem a mesma 
importância, ou seja, devem ser levados em conta o peso das informações. 
 
 
 
 
 
Onde wi é o peso da observação de ordem i. 
 
Consideremos que um professor informe a classe de que haverá dois exames parciais, 
valendo cada um 30% da nota e um exame final valendo 40%. Um aluno obtém 
desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame final. 
Média ponderada = 5072
001
400803006530070
1
1 ,
,
,x,x,x
w
xw
n
i
i
n
i
ii
=
++
=
∑
∑
=
= 
5.1.3 Média geométrica 
A média geométrica é utilizada quando se deseja fazer a média de taxas de juro, por 
exemplo. Neste caso, multiplicam-se os n termos e em seguida extraí-se a raiz de ordem 
n. 
A média geométrica é o resultado da raiz de ordem n do produto de todos os valores da 
amostra. 
 
 
 
OBS: n
n
i
i x...xxxx 321
1
=∏
=
 lê-se produtório de x i, i variando de 1 a n. 
 
5.1.4 Média harmônica 
A média harmônica de um conjunto de n números é a recíproca da média aritmética dos 
recíprocos dos números. 
Média geométrica = n
n
i
ix∏
=1
 
Média ponderada =
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
w
xw
1
1 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 22 
 
 
5.1.5 Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica 
A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média 
aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica. 
Em símbolos: xGH ≤≤ 
O sinal de igualdade vale somente quando todos os números forem iguais. 
Exemplo: o conjunto 2,4 e 8 tem média aritmética 4,67, média geométrica 4 e média 
harmônica 3,43. 
 
 
5.1.6 Cálculo da média para uma distribuição de freqüência 
A média de uma distribuição de freqüência é calculada com base valor e na freqüência de 
cada classe. 
n
xf
x ii∑= 
 
Onde fi é a freqüência da classe i. 
Para dados com perda da informação, utiliza-se em lugar de x i o ponto médio do intervalo. 
 
Exemplo: 
Classe Ponto médio (x i) N° dias (f i) f i xi 
0-1 0,5 6 3,0 
2-3 2,5 9 22,5 
4-5 4,5 20 90,0 
6-7 6,5 10 65,0 
8-9 8,5 5 42,5 
 n = 50 223 
464
50
223
,
n
xf
x ii === ∑ 
 
Média harmônica = 
∑∑
=
−
x
n
xn
n
i i
111
1
1
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 23 
 
Classe (x i) N° dias (f i) f i xi 
0 3 0 
1 3 3 
2 4 8 
3 5 15 
4 10 40 
5 10 50 
6 6 36 
7 4 28 
8 3 24 
9 2 18 
 50 222 
444
50
222
,
n
xf
x ii === ∑ 
 
Se fizéssemos a média a partir da tabela original obteríamos o valor de 4,44. 
 
5.2 Mediana 
A principal característica da mediana é dividir o conjunto de números em dois grupos 
iguais: a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana e a metade terá valores 
superiores ou iguais à mediana. 
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores em ordem crescente. Em seguida 
conta-se até a metade deles. Em geral a mediana ocupa a posição (n+1)/2. 
Para número ímpar de valores a mediana é o valor do meio. Para amostras com número 
par de unidades, a mediana é a média dos dois valores centrais. 
 
Exemplos: 
Amostra Número de elementos Dados ordenados Mediana 
2 3 3 4 2 5 1 4 5 9 elementos � ímpar 1 2 2 3 3 4 4 5 5 3 
2 4 3 1 7 3 8 9 2 4 10 elementos � par 1 2 2 3 3 4 4 7 8 9 3,5 
3 4 2 3 1 5 3 2 
6 7 3 2 5 2 3 6 2 1 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 24 
Uma medida semelhante à mediana é o quartil. Os quartis dividem o conjunto ordenado de 
dados em quatro grupos iguais. 25% dos valores são inferiores ao primeiro quarti(Q1), 
25% estão entre Q1 e a mediana, 25% estão entre a mediana e o terceiro quartil (Q3). 
OBS: o segundo quartil corresponde à mediana (Q2=mediana). 
 
 
 
LI Q1 Q2=mediana Q3 LS 
LI = Limite inferior LS=Limite superior 
 
5.2.1 Cálculo da mediana para uma distribuição de freqüência 
Da mesma forma que para dados apresentados em série, a mediana é o ponto que divide 
as informações ao meio. 
 
A mediana pode ser obtida por interpolação, e é dada pela fórmula. 
cf
fn
LMediana
mediana
 
)(
2 1
1












−
+=
∑
 
onde: L1= limite inferior da classe mediana, isso é, da classe que contém a mediana 
 n = número de itens dos dados (freqüência total) 
 (Σf)1=soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana 
 fmediana= freqüência da classe mediana 
 c = amplitude do intervalo da classe mediana 
 
Exemplo: 
No caso dos acidentes, temos 50 observações, logo a mediana deve estar localizada na 
posição (50+1)/2 = 25,5, ou seja, a classe que contém a mediana é a classe 4-5. 
O limite inferior da classe mediana é 4. Antes da classe mediana ((Σf)1) haviam “passado” 
15 dados. A classe mediana contém 20 observações e a amplitude da classe mediana é 1. 
Então 
545041
20
15
2
50
4 ,,xMediana =+=












−
+= 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 25 
5.3 Moda 
A moda é o valor que aparece com maior freqüência na amostra. Um conjunto de dados 
pode não apresentar moda, apresentar uma moda, duas modas (bimodal), três modas 
(trimodal) ou mais modas (polimodal). 
 
Exemplo: 
A moda do conjunto 2 3 4 3 2 3 5 1 2 é 3, pois o três é o valor que mais vezes aparece. 
 
5.3.1 Cálculo da moda para uma distribuição de freqüência 
Quando não há perda da informação, a moda é idêntica ao valor da classe modal, que é a 
classe com maior freqüência. 
Quando há perda da informação, a moda representa o(s) valor(es) de X 
correspondente(m) ao(s) ponto(s) de ordenada(s) máxima(s) da curva e pode ser 
calculada pela fórmula: 
 
cLModa 





∆+∆
∆
+=
21
1
1 
onde: L1=limite inferior da classe modal (isto é, a classe que contém a moda) 
 ∆1=excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente anterior 
∆2= excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente posterior 
c = amplitude da classe modal 
 
Exemplo: 
No caso dos acidentes.... 
Classe N° dias (f i) 
0-1 6 
2-3 9 
4-5 20 
6-7 10 
8-9 5 
 n = 50 
52452041
1011
114 ,,Moda =+=





+
+= 
Classe modal 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 26 
A distribuição pode ter mais de uma moda, sendo bimodal ou de modas múltiplas. OBS: as 
duas modas não precisam, necessariamente, ter a mesma freqüência. Isso acontece 
quando há um deslocamento da distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Relação entre as medidas de tendência central 
Para as curvas de freqüência unimodal moderadamente inclinadas (assimétricas) vigora a 
relação empírica 
Média – Moda = 3 (Média – Mediana) 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Para os seguintes conjuntos de dados, determine os valores da média aritmética, 
média geométrica, média harmônica, mediana e moda. 
a) 12 15 16 15 12 15 15 5 7 14 
 
 
b) 2 6 3 6 3 3 4 
 
 
c) 2 8 3 10 2 1 6 9 4 3 
 
 
d) 38 38 70 92 22 17 
 
Moda Classe modal Classes modais Classes modais 
Mediana 
Média 
Moda 
Mediana 
Média 
Moda Mediana 
Média 
Moda 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 27 
2. Determine Q1, Q2 e Q3 nos conjuntos de dados que seguem: 
a) 15 15 4 7 16 16 4 11 7 
 8 19 7 6 12 17 16 9 20 
 16 14 3 12 4 9 8 3 16 
 
 
b) 4 12 4 7 4 9 11 12 5 8 9 4 
 
 
3. Qual seria o efeito sobre a média de um conjunto de dados se se adicionasse 10: 
a) a um dos números? b) a cada um dos números? 
 
 
4. João possui 5 imóveis localizados nesta cidade. Ele deseja saber qual o valor 
médio, por metro quadrado, das suas propriedades. Sabendo que imóveis no centro 
valem R$ 450,00/m2 e imóveis em bairros valem R$ 300,00/m2, calcule o valor 
médio por m2 do seu capital. 
Apartamento de 80 m2 no centro 
Pavilhão de 450 m2 no bairro 
Casa de 280 m2 no centro 
Apartamento de 120 m2 no bairro 
Casa de 320 m2 no bairro 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 28 
66 MMeeddiiddaass ddee vvaarriiaabbiilliiddaaddee 
As medidas de variabilidade ou dispersão indicam se os valores estão relativamente 
próximos ou não uns dos outros. 
Na análise de um conjunto de dados é necessário que sejam observados tanto as 
informações relativas à localização (medidas de tendência central) quanto as informações 
de dispersão (medidas de variabilidade). 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Duas máquinas estão sendo comparadas. A seguir está descrita a produção de cada uma 
durante 5 dias. 
 Produção Média 
Máq 1 10 10 10 10 10 10 
Máq 2 5 18 8 3 16 10 
Você acha que a programação da produção para as duas máquinas pode ser a mesma 
durante 1 semana? Por quê? 
 
 
Consideraremos quatro medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio padrão e 
coeficiente de variação. Todas elas, exceto a amplitude, têm na média o ponto de 
referência. Em cada caso, o valor zero indica ausência de variação; a dispersão aumenta à 
proporção que aumenta o valor da medida (intervalo, variância, etc.). 
6.1 Amplitude 
Também conhecida como intervalo. 
A amplitude de um grupo de dados é, de modo geral, mais simples de calcular e de 
entender. Consiste na diferença entre o maior e o menor valor, ou seja, entre os valores 
extremos. 
 
Amplitude = Xmax - X mín 
 
Pequena variabilidade 
Grande variabilidade 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 29 
A maior limitação da amplitude é o fato de só levar em conta os valores extremos de um 
conjunto, nada informado sobre os outros valores. 
 
Exemplo: 
1. Calcule a amplitude dos seguintes conjuntos de dados. Você acha que a dispersão 
dos conjuntos é igual? 
a) 15 15 12 14 16 16 4 15 
b) 5 4 5 4 6 5 16 4 
 
 
6.2 Variância 
Calcula-se a variância de uma amostra elevando-se as diferenças de cada um dos valores 
em relação à média, somando-se estas diferenças e dividindo-se por n-1. 
1
2
2
−
−
=
∑
n
)xx(
s ix 
 
Quando se deseja a variância populacional, deve-se substituir n-1 por n na fórmula. 
Usualmente iremos utilizar a variância amostral. 
 
Exemplo: 
Cálculo da variância do conjunto de dados 2,4,6,8, e 10. 
 
x i x xx i − ( xx i − )
2 
2 6 -4 16 
4 6 -2 4 
6 6 0 0 
8 6 2 4 
10 6 4 16 
Somas 0 40 
10
15
40
1
2
2
=
−
=
−
−
=
∑
n
)xx(
s ix 
 
 
6.3 Desvio padrão 
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Assim se a variância é 81, o 
desvio padrão será 9. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 30 
( )
11
2
2
2
−








−
=
−
−
=
∑ ∑
∑
n
n
x
x
n
)xx(
s
i
i
i
x 
 
Como anteriormente, a substituição de n-1 por n produz as fórmulas para a população. 
A unidade na qual o desvio padrão é expresso é a mesma dos dados originais, ou seja, se 
os dados são em Reais, o desvio padrão também vai ser em reais (e a variância em 
reais2). 
 
Exemplo: 
Cálculo do desvio padrão do conjunto de dados 20, 5, 10, 15 e 25. 
Usando a fórmula normal: 
x i x xx i − ( xx i − )
2 
20 15 5 25 
5 15 -10 100 
10 15 -5 25 
15 15 0 0 
25 15 10 100 
Somas 0 250 
917562
15
250
1
2
,,
n
)xx(
s ix ==
−
=
−
−
=
∑Usando a fórmula simplificada: 
∑ =++++= 75251510520ix 
∑ =++++= 1375251510520 222222ix 
( )
917
15
250
15
5
751375
1
2
2
2
,
n
n
x
x
s
i
i
x =
−
=
−
−
=
−








−
=
∑ ∑
 
 
6.4 Coeficiente de variação 
O coeficiente de variação é uma medida de variação útil para comparar conjuntos de 
dados diferentes. Ele é usualmente expresso em percentual. 
 
O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média dos 
dados. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 31 
X
S
Média
padrão Desvio
CV x== 
 
Exemplo: 
Entre os conjuntos de dados a seguir apresentados, qual apresenta maior variabilidade? 
Conjunto A Conjunto B 
12 3 
25 4 
16 5 
23 2 
Solução: 31870
19
066
,
,
MédiaA
 APadrão Desvio
CVA === 
36880
53
291
,
,
,
MédiaB
B Padrão Desvio
CVB === 
Então o conjunto que possui maior variabilidade é o conjunto B. 
 
Exercícios: 
1. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique. 
 
 
2. Calcule a média e o desvio padrão para as vendas diárias. 
R$ 8100 R$ 9000 R$ 4580 R$ 5600 R$ 7680 R$ 4800 R$ 10640 
 
 
3. Consideremos os seguintes dados correspondentes a preços de propostas. 
26,5 27,5 25,5 26,0 27,0 23,4 25,1 26,2 26,8 
Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, a média, moda, mediana e os 
quartis 
 
77 MMeeddiiddaass ddee aassssiimmeettrriiaa ee ccuurrttoossee 
As medidas de assimetria e curtose indicam qual o formato da distribuição dos dados em 
relação à distribuição normal (descrita adiante). 
Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição. Ela 
retorna a distorção de uma distribuição. O valor enviesado caracteriza o grau de assimetria 
de uma distribuição em torno de sua média. Um valor positivo indica uma distribuição com 
uma ponta assimétrica que se estende em direção a valores mais positivos. Um valor 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 32 
negativo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direção a 
valores mais negativos. No excel a função correspondente é distorção. 
Assimetria = ∑ 




 −
−−
3
21 s
xx
)n)(n(
n i 
 
 
 
 
 
 
A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição e caracteriza uma distribuição em 
cume ou plana se comparada à distribuição normal (chamada mesocúrtica). A curtose 
positiva indica uma distribuição relativamente em cume (chamada leptocúrtica). A curtose 
negativa indica uma distribuição relativamente plana (chamada platicúrtica). A função 
correspondente no excel chama-se CURT, e calcula a curtose de um conjunto de dados de, 
no máximo, 30 valores. 
Curtose = 
)n)(n(
)n(
s
xx
)n)(n)(n(
)n(n i
32
13
321
1 24
−−
−
−













 −
−−−
+
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simétrica 
a=0 
Assimétrica negativa 
a<0 
Assimétrica positiva 
a>0 
Mesocúrtica 
c=0 
Platicúrtica 
c<0 
Leptocúrtica 
c>0 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 33 
88 IInnttrroodduuççããoo àà pprroobbaabbiilliiddaaddee 
 
As origens da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se 
quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das 
probabilidades para planejar estratégias de apostas. 
Atualmente a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. 
Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das 
probabilidades em seus processos diários de deliberações. 
Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades 
indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de 
um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar 
por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer. 
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão 
da procura de um novo produto, o cálculo dos custos da produção, a previsão das safras, 
a compra de apólices de seguros, a avaliação da redução de impostos sobre a inflação. As 
probabilidades são úteis pois ajudam a desenvolver estratégias. 
O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é 
determinado evento. 
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado 
evento. O estudo das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo 
estatístico. 
 
8.1 Experimento aleatório 
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições 
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. 
Características dos experimentos aleatórios: 
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os 
resultados possíveis 
3. Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de 
freqüência de resultados. 
Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, aposta na loteria, .... 
 
Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou 
procedimento deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. (Note a diferença 
entre o 2o e o 3o) 
• Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior. 
• Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 34 
• Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas. 
• Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma 
(sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o 
número de peças retiradas. 
• Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar. 
• Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de 
lançamentos necessários. 
• Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos. 
• Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido. 
 
8.2 Espaço amostral 
O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis 
resultados do experimento. 
n(S) é o número de elementos do conjunto S, ou o número de resultados possíveis. 
 
Exemplo: um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são 
cara ou coroa, então, S={cara, coroa}. 
Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos resultados, 
os possíveis resultados são: 1) cara e cara, 2) cara e coroa, 3) coroa e cara e 4) coroa e 
coroa. O espaço amostral é S={(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca) e (Co,Co)}. n(S)=4 
 
8.3 Eventos 
Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento 
aleatório, ou seja, qualquer resultado do espaço amostral. 
n(A) é o número de resultados associados ao evento A. 
 
Exemplo: no lançamento de uma moeda S={cara, coroa}. Um evento de interesse A pode 
ser “obter cara no lançamento de uma moeda” e n(A)=1. 
No lançamento de um dado, o evento de interesse (A) pode ser obter face par e n(A)=3. 
 
8.4 A probabilidade de um evento 
Seja A um evento. A probabilidade deste evento ocorrer é dada por P(A), que é um 
número entre 0 e 1. Quanto mais próxima a probabilidade estiver de 1, maior será sua 
chance de ocorrência. A um evento impossível atribui-se probabilidade 0, enquanto que 
um evento certo tem probabilidade 1. 
Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades: o método clássico, 
quanto o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método empírico, que 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 35 
se baseia na freqüência relativade ocorrência de um evento num grande número de 
provas repetidas e o método subjetivo, que utiliza estimativas pessoais de probabilidade, 
baseadas num certo grau de crença. Em geral vamos utilizar o método clássico de cálculo 
de probabilidades. 
 
Quando os resultados são equiprováveis, a probabilidade de cada resultado é função do 
número de resultados possíveis: 
possíveis resultados de total úmeron
 Aevento ao associados resultados de número
)A(P = 
 
Exemplo: 
Experimento: lançar um dado e observar a face superior 
Espaço amostral: S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6 
Evento A: face par n(A)=3 
P(A)= 3/6 = ½ = 0,5 ou 50% 
 
OBS: existe uma pequena diferença entre probabilidade e chance de um evento. A probabilidade 
relaciona o número de resultados de A com o número de resultados total, enquanto que chance 
compara o número de resultados de A com o número de resultados de outro evento (B ou C). 
Em uma urna com 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 2 azuis, 
A probabilidade de selecionar uma bola branca é P(branca)=5/10=0,5 ou 50% 
E a chance de selecionar uma bola branca é 5:5, que é semelhante a 1:1, o que significa que existe a 
mesma chance de retirar uma bola branca ou uma bola de outra cor. 
 
Exercícios: 
1. Escreva o espaço amostral no lançamento de um dado. Ache a probabilidade 
associada a cada evento. 
 
 
2. Extrai-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de: 
a) um valete 
b) uma carta vermelha 
c) um dez de paus 
d) uma figura 
e) uma carta de ouros 
f) um nove vermelho 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 36 
3. Complete a tabela com os valores calculados da probabilidade dos eventos 
ocorrerem 
 
Experimento Evento P(Evento) 
Lançar uma moeda uma vez Cara 
Lançar um dado uma vez Face 3 
Extrair uma carta de um baralho com 
52 cartas 6 vermelho 
Extrair uma carta de um baralho de 52 
cartas 
Valete de ouros 
 
4. Encontre n(S), n(A) e P(A) no lançamento de dois dados 
Experimento: Lançar dois dados e observar a seqüência dos resultados 
S={(1,1), (1,2), (1,3),.....,(6,4),(6,5),(6,6)} 
N(S)=36 
a. A: apareçam faces iguais 
b. A: a segunda face é o dobro da primeira 
c. A: apareçam somente números ímpares 
d. A: apareçam faces iguais ou a segunda face é o quadrado da primeira 
e. A: a soma das faces é igual a 7 
 
 
5. Há 50 bolas numa urna: 20 azuis, 15 vermelhas, 10 pretas e 5 verdes. Misturam-se 
as bolas. Determine a probabilidade da bola escolhida ser: 
a) Verde 
b) Azul 
c) Verde ou azul 
d) Não-vermelha 
e) Vermelha ou verde 
f) Amarela 
g) Não-amarela 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 37 
6. Um motorista tem uma marca num de seus pneus, e 20% do pneu é visível. Ao 
parar, qual a probabilidade da marca ficar na parte visível? 
 
 
 
7. Um motor tem 6 velas, e uma está defeituosa, devendo ser substituída. Duas estão 
em posição de difícil acesso, o que torna difícil a substituição. 
a) Qual a probabilidade de a vela defeituosa estar em posição difícil? 
b) Qual a de não estar em posição difícil? 
 
 
 
8. Os dados compilados pela gerência de um supermercado indicam que 915 dentre 
1500 clientes compradores de domingo gastam mais de R$ 40,00 em suas compras. 
Estime a probabilidade de um comprador em qualquer domingo gastar mais de R$ 
40,00. 
 
 
9. Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de 
uma rodovia federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação 
rotineira de segurança, 25 tinham pneus em más condições. Estime a probabilidade 
de um carro que pare naquele trecho ter seus pneus em boas condições 
 
 
 
8.5 Cálculo das probabilidades 
Muitas aplicações da estatística exigem a determinação da probabilidade de combinações 
dos eventos. Há duas características de combinações. Pode ser necessário determinar a 
probabilidade de ambos os eventos acontecerem P(A e B) ou a probabilidade de um deles, 
A ou B, ou seja, P(A ou B). 
 
Em um prédio com 2 elevadores, poderíamos perguntar: Qual a probabilidade de ambos 
elevadores estarem em serviço? Ou então, Qual a probabilidade de um ou outro elevador 
estar em serviço? 
 
Ambos implica P(A e B) 
Um ou outro implica P(A ou B) 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 38 
Regra da adição: 
A regra da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os 
eventos e é denotada por P(A∪B). 
 
 
 
 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
Quando os eventos são mutuamente excludentes (não tem elementos em comum), então a 
probabilidade de ambos é nula e o termo P(A e B) será zero. 
Se A e B são mutuamente excludentes � P(A ou B) = P(A) + P(B) 
 
OBS: Para apresentar os eventos utilizam-se os Diagramas de Venn [apresentados por John Venn 
(1834-1923)], que representam os espaços amostrais e os eventos como círculos, quadrados, ou outra 
figura geométrica conveniente. 
 
 
Exercícios: 
1. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. 
Qual a probabilidade do número ser par ou maior que 4? 
 
 
2. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso. 
Qual a probabilidade do número ser um número primo ou maior que 8? 
A B
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 39 
Regra da multiplicação 
Considerando-se dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de A e 
B ocorrerem P(A∩B) é dada por: 
 
 
 
 
 
A probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A, dado B, vezes 
a probabilidade de B. 
P(A e B) = P(A|B) P(B) 
Onde P(A|B) é a probabilidade de A ocorrer dado que B tenha ocorrido. 
 
Quando a probabilidade de B ocorrer não depender de A ter ocorrido, dizemos que A e B 
são independentes, e P(B| A)=P(B) 
Se A e B são independentes � P(A e B)=P(A)P(B) 
 
Exemplo 1: Deve-se inspecionar uma grande caixa de peças. Os registros indicam que 2% 
das caixas acusam conteúdo inferior ao estipulado. Escolhidas duas caixas aleatoriamente, 
qual a probabilidade de ambas acusarem conteúdo inferior, admitindo-se que a remessa 
inspecionada é semelhante as anteriores (isto é, 2% de deficientes)? 
P(ambas deficientes)=P(deficiente)P(deficiente) 
 =0,02 x 0,02 
 =0,0004 ou seja, 0,04% de probabilidade das caixas serem defeituosas. 
 
Exemplo 2: Suponha que 20 canetas estão expostas numa papelaria. Seis são vermelhas e 
14 azuis. Do conjunto de 20, iremos escolher 2 canetas aleatoriamente. Qual a 
probabilidade de que as duas canetas selecionadas sejam vermelhas? 
 Neste caso os eventos não são independentes, pois a cor da primeira caneta 
selecionada vai determinar a probabilidade da segunda caneta ser vermelha. 
 Seja A=a segunda caneta selecionada é vermelha 
 B=a primeira caneta selecionada é vermelha 
Desejamos P(A e B) = P(A|B) P(B) = 07890
380
30
20
6
19
5
,=





=











 
A B
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 40 
 
Regras de probabilidade 
P(A ou B), Para eventos não mutuamente excludentes: 
P(A ou B ou ambos) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
para eventos mutuamente excludentes: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
P(A e B), para eventos independentes: 
P(A e B) = P(A) . P(B) 
Para eventos dependentes 
P(A e B) = P(B).P(A/B) ou P(A).P(B/A) 
 
 
Outra forma de apresentar os eventos é através de tabelas de contingência (tabelas com 
cruzamento de classificações). 
Por exemplo: 
 Vermelha Preta Totais 
Ás 2 2 4 
Não ás 24 24 48 
Totais 26 26 52 
 
 
Exercícios 
 
1. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, sem 
reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azule a segunda 
vermelha. 
 
 
2. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, com 
reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azul e a segunda 
vermelha. 
 
 
 
3. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Retira-se uma peça e inspeciona-
se. Qual a probabilidade: 
a. Da peça ser defeituosa 
b. Dela não ser defeituosa 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 41 
 
 
4. Uma loja dispõe de pneus novos e recapados. Entre 100 pneus, sabe-se que 30 são 
recapados. 
a. Se um cliente levar um pneu, qual a probabilidade de que ele seja recapado? 
 
b. Se um cliente levar dois pneus, qual a probabilidade de que ambos sejam 
recapados? 
 
 
c. Se um cliente levar 4 pneus, qual a probabilidade de que todos sejam 
recapados? 
 
 
 
 
5. Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de que se obtenha face 6 nos 3 
lançamentos. 
 
 
 
 
 
6. Uma urna contém 50 bolas numeradas de 1 a 50. Serão selecionadas 5 bolas, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que uma pessoa que tenha feito um jogo 
anotando os 5 número acerte todos? 
 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 42 
7. Nos últimos anos, as empresas de cartões de crédito intensificaram esforços no 
sentido de abrir mais contas para alunos de faculdade. Suponha que uma amostra 
de 200 alunos em sua faculdade apresentou as seguintes informações em termos 
de o aluno possuir cartão de crédito bancário e/ou cartão de crédito de viagem e 
entretenimento: 
 
 CC de viagem e entretenimento 
 Sim Não 
Totais 
Sim 60 60 120 
CC bancário 
Não 15 65 80 
 Totais 75 125 200 
 
a. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o 
aluno possua um cartão de crédito bancário? 
b. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o 
aluno não possua um cartão de crédito bancário? 
c. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o 
aluno possua um cartão de crédito bancário e um cartão de viagem e 
entretenimento? 
d. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o 
aluno não possua um cartão de crédito bancário nem cartão de viagem e 
entretenimento? 
e. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o 
aluno possua um cartão de crédito bancário ou possua um cartão de viagem 
e entretenimento? 
f. Suponha que um aluno possui um cartão de crédito bancário. Qual a 
probabilidade de que ele possua um cartão de viagem e entretenimento? 
g. Suponha que o aluno não possui um cartão de viagem e entretenimento. 
Qual a probabilidade de que ele ou ela possua um cartão de crédito 
bancário? 
h. Os dois eventos, possuir um cartão de crédito bancário e possuir um cartão 
de viagem e entretenimento, são estatisticamente independentes? Explique. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 43 
 
99 DDiissttrriibbuuiiççõõeess ddee pprroobbaabbiilliiddaaddee 
 
O histograma é usado para apresentar dados amostrais (Amostra=conjunto de 
observações extraídas de uma população) 
Por exemplo, 50 valores de satisfação dos clientes são interpretados como uma amostra 
da satisfação de todos os clientes. 
O uso de métodos estatísticos permite que se analise essa amostra e se tire alguma 
conclusão sobre a satisfação dos clientes. 
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor 
da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. 
 
Há dois tipos de distribuição de probabilidade 
 1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa 
em uma escala contínua, como por exemplo, o peso de peças produzidas, diâmetro, etc. 
2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode 
assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros 0, 1, 2, etc. 
 
No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a variável X assuma um valor 
específico xo é dada por: P {X = xo} = P(xo) 
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de 
intervalos: 
 
Relembrando: uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujos 
valores são determinados por fatores de chance. 
Uma variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser 
contados. 
Uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor 
em determinado intervalo. 
 
{ }P a x b f x dxab≤ ≤ = ∫ ( ) 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 44 
Os gráficos a seguir apresentam exemplos de distribuições de probabilidades discreta e 
contínua. 
 
 
Exemplo: 
Distribuição de probabilidade para a variável aleatória “número de caras em duas jogadas 
de uma moeda”. 
 
Resultado 
Número de 
caras 
Valor da V.A. 
Prob. do 
resultado 
 Número de 
caras 
Valor da V.A 
Prob. do 
resultado 
Cara Cara 2 ½ x ½ = ¼ 0 ¼ 
Cara Coroa 1 ½ x ½ = ¼ 
Coroa Cara 1 ½ x ½ = ¼ 
1 ¼ + ¼ = ½ 
Coroa Coroa 0 ½ x ½ = ¼ 2 ¼ 
 Soma = 1 Soma = 1 
 
 
O valor esperado, ou esperança matemática, de uma variável aleatória é E(x), que consiste 
no valor esperado para ela, ou seja, o valor médio da variável. 
∑
=
=
n
i
iixp)x(E
1
 se X é v.a. discreta 
ou 
∫
∞
∞−
= dx f(x) .x)X(E se X é v.a. contínua 
E a variância de X é dada por 22 )]X(E[)X(E)X(Var −= . 
O desvio padrão é )X(Var 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 45 
Neste exemplo, o valor esperado é 0 . ¼ + 1 . ½ + 2 . ¼ = 1. 
E a variância é Var(X)=E(X2)-[E(X)]2= E(X2) - 1= (02.¼ + 12 .½ + 22 .¼) –1 =1,5-1=0,5 E 
o desvio padrão = 0,71 
 
Exemplo: um investidor julga que tem 0,4 de probabilidade de ganhar $ 25.000 e 0,6 de 
perder $ 15.000. Seu ganho esperado é de: 
E(X) = 0,4 (25.000) + 0,6 (-15.000) = $ 1.000. 
E a variância é Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 
= E(X2) – 1.0002 
=(0,4.25.0002 + 0,6.(-15.000)2)-1.0002 
=(0,4 x 625.000.000 + 0,6 x 225.000.000)-1.0002 
= 250.000.000+ 135.000.000 –1.0002 
= 385.000.000 –1.000.000 
= 384.000.000 
Desvio padrão = $ 19.595,92 
 
 
Exercícios: 
1. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas 
probabilidades para um intervalo de 3 minutos são: 
Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Total 
Freqüência relativa 0,60 0,20 0,10 0,04 0,03 0,03 1,00 
 Em média, quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de três minutos? 
 
2. Um bilhete de loteria tem 0,00001 de chance de dar um prêmio de $ 100.000, 
0,00002 de chance de dar um prêmio de $ 50.000 e 0,004 de chance de um prêmio 
de $ 25. Qual seria o preço justo de venda do bilhete? 
 
3. Uma confeitaria estabeleceu um registro de vendas para certo tipo de bolo. 
Determine o número esperado de bolos encomendados. 
N° bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total 
Freqüência relativa 0,02 0,07 0,09 0,12 0,20 0,20 0,18 0,10 0,01 0,01 1,00 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 46 
9.1.1 Distribuições discretas mais importantes 
As principais distribuições discretas são a Distribuição de Bernoulli, Distribuição 
Binomial e Distribuição Poisson. 
 
Distribuição de Bernoulli 
A distribuição de Bernoulli consiste em uma distribuição adequada à variável aleatória de 
Bernoulli, que por sua vez é uma v.a. que assume apenas os valores 0 e 1, com função de 
probabilidade tal que: 
P(0) = P(X=0) = 1-p 
P(1) = P(X=1) = p 
 
Então, E(X)=p e Var(X)=p(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Seja um processo composto de uma seqüência de observações independentes, onde o 
resultado de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha. 
Se a probabilidade de sucesso é constante e igual a p, a distribuição do número de 
sucessos seguirá o modelo Binomial. 
A distribuição Binomial é usada com freqüênciano controle de qualidade. É o modelo 
apropriado quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande. 
 
A distribuição binomial possui quatro propriedades essenciais: 
1. As observações possíveis podem ser obtidas através de dois diferentes 
métodos de amostragem. Cada observação pode ser considerada como se 
tivesse sido selecionada a partir de uma população infinita sem reposição ou 
a partir de uma população finita com reposição. 
2. Cada observação pode ser classificada em uma de duas categorias 
mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, usualmente chamadas 
sucesso ou falha. 
3. A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso (p) é 
constante de observação para observação. Assim sendo, a probabilidade de 
fracasso 1-p também é constante. 
4. O resultado (isto é, sucesso ou fracasso) de qualquer observação 
independe do resultado de qualquer outra observação. 
 
Em aplicações de controle da qualidade, x em geral representa o número de defeituosos 
observados em uma amostra de n itens. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 47 
xnx )p(p
x
n
)x(P −−





= 1 e 
)!xn(!x
!n
x
n
−
=





 
onde 





x
n
 representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez 
 P(X) = probabilidade de X sucessos uma vez que n e p são conhecidos 
 n = tamanho da amostra 
 p = probabilidade de sucesso � 1-p = probabilidade de falha 
 X = número de sucessos na amostra (X=0, 1, 2, ..., n) 
A média de uma variável aleatória com distribuição binomial é µ = np e a variância é 
dada por σ2= np(1-p) onde p é proporção de sucessos na amostra 
n
x
p = 
 
Exemplo: 
Um processo industrial opera com média de 1% de defeituosos. Baseado em amostras de 
100 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresentar 0 , 1 , 2 , 3 e 4 
defeituosos. Plote a distribuição de probabilidade correspondente. 
Como a variável aleatória pode apresentar apenas duas possibilidades, ser boa ou 
defeituosa, a distribuição que melhor se ajusta é a distribuição binomial, com 
parâmetros p=0,01 e n=100. 
Então, a probabilidade de uma amostra de tamanho n = 100 apresentar 0 
defeituosos é 
 xnx )p(p
x
n
)x(P −−





= 1 � P(x=0) = P(0) = =−





− 01000 0101010
0
100
),(, 0,366 
 P(x=1) = P(1) = =−





−11001 0101010
1
100
),(, 0,370 
 P(x=2) = P(2) = =−





−21002 0101010
2
100
),(, 0,185 
 P(x=3) = P(3) = =−





−31003 0101010
3
100
),(, 0,061 
 P(x=4) = P(4) = =−





−41004 0101010
4
100
),(, 0,015 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 48 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
x=0 x=1 x=2 x=3 x=4
P(
x
)
 
 
Exercícios: 
1. Um processo opera segundo uma chance de falha de 2%. Coletando amostras de 25 
unidades, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar 2 
defeituosos ou menos. 
 
 
 
 
 
2. Imagine que para o processo anterior, fossem coletadas amostras de 50 unidades e 
o critério para parar o processo e procurar causas especiais fosse X=1 ou mais. 
Calcule a percentagem de vezes que o processo seria interrompido logo após a 
amostragem. 
 
 
 
 
 
Distribuição de Poisson 
 
A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um modelo 
para o número de defeitos (não-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por 
m2, por volume ou por tempo) 
Diz-se que existe um processo de Poisson se pudermos observar eventos discretos numa 
área de oportunidade – um intervalo contínuo (de tempo, de comprimento, de área, ...) de 
maneira tal que, se encurtarmos a área de oportunidade ou intervalo suficientemente: 
1. A probabilidade de se observar exatamente um sucesso no intervalo é 
estável 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 49 
2. A probabilidade de se observar mais de um sucesso no intervalo é zero 
3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente 
independente da ocorrência em qualquer outro intervalo 
 
A distribuição de Poisson tem um parâmetro λ (lambda) que é a média ou o número 
esperado de sucessos por unidade. A variância desta distribuição é σ2=λ. O número de 
sucessos X da variável aleatória de Poisson varia de 0 a ∞. 
 
A expressão matemática para a distribuição de Poisson para se obterem X sucessos, dado 
que λ sucessos são esperados é: 
!x
e
)x(P
xλλ−
=
 onde x=0,1,2,.... 
onde P(X) = probabilidade de X sucessos, dado o conhecimento de λ 
 λ = número esperado de sucessos 
 e = constante matemática (aproximadamente 2,71828) 
 X = número de sucessos por unidade 
 
Exemplo: 
Suponha que o número de defeitos no cordão de solda de uma carroceria siga uma 
distribuição de Poisson com λ = 2. 
Então a probabilidade de uma carroceria apresentar mais de 3 defeitos será: 
P(X> 3) = 1 – P(x≤3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)] 
Onde 
!x
e
)x(P
xλλ−
=
 � 
!
e
)(P
0
20
02−
= = 0,135 
P(x=1) = 
!
e
)(P
1
21
12−
= = 0,271 
P(x=2) = P(2) = 0,271 P(x=3) = P(3) = 0,180 
Logo, 
P(X> 3) = 1 – P(x≤3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)] 
 = 1 – [0,135+0,271+0,271+0,180] 
 = 1 – [0,857] 
 =0,143 � 14% 
A probabilidade de uma carroceria apresentar mais de três defeitos é 14%. 
 
Exemplo 2: 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 50 
Se chegam em média 2 carros por minuto em um posto de gasolina, qual a probabilidade 
de que cheguem exatamente 5 carros em dois minutos? 
Neste caso o tempo é diferente do tempo correspondente ao λ. Então deve-se transformar 
o λ para que ele corresponda ao tempo de 2 minutos. Chegam em média 2 carros por 
minuto � chegam em média 4 carros em 2 minutos 
λ = 4 
!x
e
)x(P
xλλ−
=
 � 
!5
4)5(
54−
=
eP = 0,1563 = 15,63% 
 
Exercícios: 
1. O setor financeiro de uma loja de departamentos está tentando controlar o número 
de erros cometidos na emissão das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o 
modelo de Poisson com média λ = 0,03. Qual a probabilidade de uma nota 
selecionada ao acaso conter 1 ou mais erros? 
 
 
2. Em uma indústria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa 
de 0,15 defeitos/unidade. Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao 
acaso apresente 1 ou mais defeitos superficiais. 
 
 
 
3. Em uma empresa industrial ocorrem, em média, 3 acidentes por mês. Qual a 
probabilidade de que em um determinado mês, ocorra apenas um acidente? 
 
 
 
4. Dez por cento das ferramentas produzidas por um certo processo de fabricação 
revelaram-se defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10 
ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas mediante o 
emprego da distribuição de Poisson. 
 
 
5. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção 
de um determinado soro é 0,001, qual a probabilidade de, entre 2000 indivíduos, 
a) exatamente 3 sofrerem aquela reação? b) Mais de 2 sofrerem a reação? 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 51 
 
9.1.2 Distribuições contínuas 
A distribuição mais importante e mais utilizada na prática é a Distribuição Normal. 
Outros modelos importantes de distribuições contínuas são: Uniforme, Exponencial, Gama, 
Qui-Quadrado, t de Student e F de Snedecor. 
 
Distribuição Normal 
A Distribuição Normal é essencialmente importante na estatística por três razões 
principais: 
1. Inúmeros fenômenos contínuos parecem seguí-la ou podem ser aproximados por 
meio dela 
2. Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições de probabilidadediscretas 
3. Ela oferece a base para a inferência estatística clássica, devido à sua afinidade 
com o teorema do limite central 
 
Os parâmetros da distribuição Normal são a média e o desvio padrão. Trata-se de uma 
distribuição simétrica, unimodal, em forma de sino. 
 
A função de probabilidade da distribuição normal é dada por: 
2
2
1
2
1 



 −−
=
σ
µ
piσ
x
exp)x(f 
 
onde: e = constante matemática (aproximada por 2,71828) 
 pi = constante matemática (aproximada por 3,14159) 
 µ = média aritmética da população 
 σ = desvio padrão da população 
 X = qualquer valor da variável aleatória contínua onde -∞ < X < ∞ 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para simplificar a notação de uma v.a.c. com distribuição normal, com média µ e variância 
σ2 utiliza-se: 
X~ N(µ,σ2) 
A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor que 
um dado valor a: 
∫
∞−
==≤
a
dx)x(f)a(F)ax(P � Função densidade acumulada 
Essa integral não pode ser resolvida em forma fechada, mas a solução está apresentada 
em tabelas onde se entra com a variável reduzida ou variável padronizada Z e 
encontra-se F(Z) ou vice-versa. 
 )Z(F
a
ZP)ax(P =





 −≤=≤
σ
µ
 
 
Valor tabelado (Procurar na tabela da distribuição Normal padronizada) 
 
µµµµ 
 99,73%
 95,44%
 68,26%
 -1σ +1σ
 -2σ +2σ
 -3σ +3σ
Prof. Cíntia Paese Giacomello 53 
Exemplo: 
O peso de um produto é uma característica muito importante. Sabe-se que o peso segue 
um modelo normal com média 1000 gramas e desvio padrão 40 gramas. Se a especificação 
técnica estabelece que o peso deve ser maior que 950 gramas, qual a probabilidade de 
que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação? 
OBS: este esquema equivale 
P(x>950) = 894405000039440251
40
1000950
,,,),Z(PZP =+=−>=





 −
> 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação é 
de 89%. 
 
Exemplo 2: Sabe-se que X representa medições feitas em um processo que segue o 
modelo Normal com média 100 e desvio padrão 10. Se forem feitas 4000 medições, 
quantas estarão entre 95 e 112? 
 
P(95<x<112)= 





 −
<<
−
10
100112
10
10095
ZP 
= P(-0,5<Z<1,2) 
=0,1915+0,3849 
=0,5764 � Aproximadamente 58% estarão entre 95 e 112. 
 
Se forem feitas 4000 medições, aproximadamente 2305 estarão entre 95 e 112. (4000 x 
57,64%) 
 
µ=1000 
σ=40 
 
X=950 µ=0 
σ=1 
 
Z=-1,25 
µ=100 
σ=10 
 
Valores tabelados 
T
abelado 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 54 
Exercícios: 
1. A resistência à tração do papel usado em sacolas de supermercado é uma 
característica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistência segue um 
modelo Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. Se a especificação 
estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que 
uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação? 
 
 
 
 
 
2. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com 
média 25,08mm e desvio padrão 0,05mm. Se as especificações para esse eixo são 
25,00 ± 0,15mm (isto é, varia de 24,85 a 25,15mm), determine o percentual de 
unidades produzidas em conformidades com as especificações. 
 
 
 
 
 
3. A resistência à tração de isoladores cerâmicos apresenta distribuição Normal com 
média 95 Kg e desvio padrão 4 Kg. Se são produzidas 10.000 unidades desses 
isoladores, quantos apresentarão resistência inferior a 85 Kg? E quantos 
apresentarão resistência superior a 90 Kg? 
 
 
 
 
 
4. A saída de uma bateria segue o modelo Normal com média 12,15 V e desvio padrão 
0,2 V. Encontre o percentual que irá falhar em atender às especificações 12 V ± 
0,5 V. 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 55 
5. A vida útil de lavadora de pratos automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão 0,3 
anos. Se os defeitos se distribuem normalmente, qual é a probabilidade de uma 
lavadora necessitar conserto antes de expirar o período de 1 ano de garantia? 
 
 
 
 
6. O tempo necessário, em uma oficina, para o conserto de transmissão para certo 
carro é normalmente distribuído com média 45 min e desvio padrão 8 min. O 
mecânico planeja começar o conserto do carro 10 min após o cliente deixá-lo na 
oficina, comunicando que o carro estará pronto em 1 h. Qual a probabilidade de 
que o cliente tenha que esperar caso o mecânico esteja enganado e o cliente fique 
esperando? 
 
 
 
7. Sabe-se que o conteúdo de uma lata de cerveja é 350 ml e que tem distribuição 
aproximadamente normal com média 350 ml e desvio padrão 10 ml. 
a. Que % de latas tem menos que 345 ml de conteúdo? 
b. Que % de latas tem mais que 360 ml de conteúdo? 
 
 
 
8. Uma fábrica de pneus fez um teste para medir o desgaste de pneus e verificou que 
ele seguia o comportamento de uma curva normal com média 48.000 km e desvio 
padrão de 2.000 km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: 
a. Dure mais que 47.000 km? 
b. Dure entre 45.000 e 51.000 km? 
c. Até que quilometragem duram 90% dos pneus? 
 
 
 
9. Descreva um exemplo de aplicação da distribuição normal na sua profissão. Qual 
seria a média dos dados e o desvio padrão? 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 56 
1100 TTeeoorriiaa eelleemmeennttaarr ddaa aammoossttrraaggeemm 
 
A teoria da amostragem é o estudo das relações existentes entre uma população e as 
amostras dela extraídas. É muito utilizada para a estimação das grandezas desconhecidas 
da população (parâmetros) através de conhecimento das grandezas correspondentes nas 
amostras (estatísticas amostrais). 
A teoria da amostragem é também útil para determinar se as diferenças observadas entre 
duas amostras são devidas a uma variação casual ou são verdadeiramente significativas. 
Por exemplo: queremos testar se os tempos de processamento da matéria prima de dois 
sistemas de produção são diferentes ou não. A resposta a esta questão implica o uso de 
testes de hipótese, que será visto mais adiante. 
Denomina-se inferência estatística a inferência de parâmetros (da população) com base 
nos resultados obtidos na amostra. 
Para que as conclusões sejam válidas, é necessário que a amostra selecionada seja 
representativa da população. Para isso podem ser utilizados os métodos de amostragem 
probabilísticos apresentados no capítulo 1: aleatória, sistemática, estratificada ou por 
conglomerados. O método mais utilizado é o por amostragem aleatória. 
 
10.1 Amostragem com e sem reposição 
Quando selecionamos uma amostra devemos analisar se esta amostragem é com ou sem 
reposição. Na amostragem com reposição o mesmo elemento pode ser escolhido mais de 
uma vez. Na amostragem sem reposição cada elemento só pode ser selecionado uma única 
vez. 
Exemplo: uma urna contém dez bolas, numeradas de 0 a 9. Retira-se a primeira bola, 
anota-se o número, 3 por exemplo, e não se recoloca a bola na urna. Os outros números 
que podem ser sorteados são 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este sistema é o sistema sem 
reposição. Entretanto, se tivéssemos recolocado a bola 3 na urna, então todos os números 
poderiam ser selecionados na segunda extração, inclusive o 3. Estesistema é chamado 
sistema com reposição. 
Em geral, quando uma amostragem é sem reposição, dizemos que a população é finita. 
Quando uma amostragem é com reposição, então dizemos que a população é infinita, pois 
a população nunca será exaurida. Para fins práticos a amostragem de uma população finita 
muito grande pode ser considerada infinita. 
 
10.2 Distribuições amostrais 
Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas de uma 
população dada (com ou sem reposição). Para cada amostra podemos calcular uma 
grandeza estatística, por exemplo, a média. Deste modo obtemos a distribuição amostral 
da média. Da mesma forma podemos calcular a distribuição amostral do desvio padrão, da 
variância, das proporções, ... 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 57 
 
Distribuição amostral das médias 
Uma distribuição amostral de médias é uma distribuição de probabilidade que indica quão 
prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é função da média, do desvio 
padrão da população e do tamanho da amostra. Para cada combinação da média, desvio 
padrão e tamanho da amostra haverá uma única distribuição amostral de médias. 
 
Sejam: 
xµ = média da população = µ 
xµ = média da distribuição amostral 
xσ = desvio padrão da população = σ 
xσ = desvio padrão da distribuição amostral 
N = tamanho da população 
n = tamanho da amostra 
 
Admita-se que todas as amostras possíveis de tamanho n sejam retiradas de uma 
população finita de tamanho N>n. Então: 
População Finita: µµ =x e 1−
−
=
N
nN
n
x
σ
σ 
Se a população for infinita, ou se amostragem for tomada com reposição, os resultados 
serão: 
População Infinita: µµ =x e 
n
x
σ
σ = 
 
A fórmula do desvio padrão nos diz que a quantidade de dispersão na distribuição amostral 
depende de dois fatores: 
- a dispersão da população 
- o tamanho da amostra (utilizando raiz quadrada) 
Por exemplo, em qualquer população, o aumento do tamanho das amostras extraídas 
resultará em menor variabilidade entre as possíveis médias amostrais. E se o mesmo 
tamanho de amostra é usado com diferentes populações, as populações com maior 
quantidade de dispersão σx tenderão a gerar maior quantidade de variabilidade entre as 
médias de amostras extraídas delas. 
 
Para amostras grandes n>30 a distribuição amostral das médias é aproximadamente 
normal, com média xµ e desvio padrão xσ , independente da população, desde que a 
variância e a média da população sejam finitas e o tamanho da população seja, no 
mínimo, o dobro da amostra. Este resultado para população infinita é um caso especial do 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 58 
teorema do limite central da teoria avançada de probabilidade, que mostra que a precisão 
da aproximação melhora quando n cresce. Isto é indicado, algumas vezes, dizendo-se que 
a população é assintoticamente normal. No caso da população ser normalmente 
distribuída, a distribuição amostral das médias também o será, mesmo para pequenos 
valores de n (n<30). 
Teorema do limite central 
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a 
distribuição das médias amostrais também será normal para 
todos os tamanhos de amostra. 
2. Se a população básica é não normal, a distribuição de médias 
amostrais será aproximadamente normal para grandes 
amostras. 
 
Exemplos: 
Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias onde o desvio padrão da 
distribuição populacional é 2 e o tamanho da amostra é 40. 
31620
40
2
,
n
x
x ===
σ
σ 
 
Determine a média das distribuições de médias amostrais, sendo que a média populacional 
é 678. 
678== xx µµ 
 
A média de uma distribuição amostral de médias é 50 e seu desvio padrão é 10 (desvio 
padrão da distribuição amostral das médias). Suponha normal a distribuição amostral. 
Que percentagem das médias amostrais estará entre 45 e 55? 
O procedimento é análogo ao visto no capítulo referente à distribuição normal, 
entretanto deve-se utilizar o valor de xµ = 50 e xσ =10. 
Então P(45< xµ <55)=0,3830 
 
Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida 
esperada (média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 
meses. Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo 
de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das 
baterias? 
Sabemos que, como n>30, a distribuição das médias amostrais será 
aproximadamente normal com média igual à média populacional e desvio padrão 
igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 59 
amostra. Além disso vamos pressupor população infinita, pois a produção de baterias 
não termina (teoricamente!) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução envolve a determinação do número de desvios padrões que 49 e 51 distam 
da média (amostral). 
Determinemos primeiro o desvio padrão da distribuição amostral: 
670
36
4
,
n
x
x ===
σ
σ para n=36 
Então devemos trabalhar com x ∼N(50;0,67) 
P(49< x <51)� 
x
xx
z
σ
−
= � 51
670
5049
,
,
−=
−
 
 � 51
670
5051
,
,
+=
−
 
P(49< x <51)=P(-1,5<z<1,5) = 0,4332+0,4332=0,8664 
Então o percentual de amostras que apresentará problemas entre 49 e 51 meses é 
de 87%. 
 
 
 
49 50 51 
Meses 
xµ 
??? 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 60 
Distribuição amostral das proporções 
Sendo a probabilidade de ocorrência de um evento p (sucesso) e a probabilidade de não 
ocorrência 1-p (fracasso). 
Consideram-se todas as amostras possíveis de tamanho n de uma população infinita e, 
para cada amostra, determina-se a proporção de sucessos. Assim obtém-se a distribuição 
amostral das proporções. 
A média da distribuição amostral é sempre igual à proporção pp = onde 
p = proporção populacional 
p = média da distribuição amostral das proporções 
Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio padrão da distribuição amostral 
se calcula 
n
)p(p
p
−
=
1
σ 
e pode-se fazer uma aproximação para a distribuição normal quando n>30. 
 
 
Exemplos: 
Determine a média da distribuição de proporções amostrais, quando a proporção na 
população é 72,3% 
p =p=72,3% 
 
Determine o desvio padrão da distribuição amostral de proporções para n=100 e uma 
proporção populacional de 60% 
0490
100
601601
,
),(,
n
)p(p
p =
−
=
−
=σ 
 
Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são defeituosas. 
Qual a probabilidade de que, em uma remessa de 400 dessas ferramentas, 3% ou mais 
revelarem-se defeituosas? 
p =p=0,02 e
n
)p(p
p
−
=
1
σ = 0070
400
980020
,
,*,
= 
Como n>30 pode-se utilizar a distribuição normal, então 
P(p>0,03)=P( %,,),z(P)
,
,,
z 6367076360431
0070
020030
==>=
−
> 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 61 
Exercícios: 
1. Determine a média da distribuição das proporções amostrais quando a proporção na 
população é .... 
a. 30% 
b. 99% 
c. 54% 
 
2. Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias para cada um dos 
seguintes casos: 
a. σx=6, n=6 
b. σx=6, n=20 
c. σx=6, n=40 
d. σx=6, n=100 
 
 
3. Certas válvulas fabricadas por uma companhia têm vida média de 800 horas e 
desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória 
de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter vida média a) entre 700 e 810 horas; 
b)inferior a 785 horas; c) superior a 820 horas; d) entre 770 e 830 horas. 
 
 
 
4. Um fabricante faz a remessa de 1000 lotes de 100 lâmpadas elétricas cada um. Se 
5% das lâmpadas são normalmente defeituosas, emquantos lotes pode-se esperar 
que existam; a) menos de 90 lâmpadas boas; b) 98 ou mais lâmpadas boas 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 62 
1111 EEssttiimmaaççããoo 
 
A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar 
parâmetros populacionais. 
As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacionais. 
Assim, uma média amostral é usada como estimativa da média populacional, a proporção 
de defeituosos de uma caixa é utilizada para estimar a proporção de defeituosos na 
produção toda, etc. 
Tais estimativas chamam-se estimativas pontuais, porque originam apenas uma única 
estimativa do parâmetro. Em virtude da variabilidade amostral, é usual incluir uma 
“estimativa intervalar” para acompanhar a estimativa pontual. Esta nova estimativa 
proporciona um intervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacional. 
 
Estimativa pontual: estimativa única de um parâmetro populacional 
Estimativa intervalar: intervalo de valores possíveis, o qual se admite que esteja 
contendo o parâmetro. 
 
Um intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no 
qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. 
 
Exemplos: 
Tipo de estimativa Parâmetro 
populacional Pontual Intervalar 
Média Um carro de motor 1.0 anda, em 
média, 14 km com um litro de 
combustível 
Um carro de motor 1.0 anda, em 
média, entre 12 e 16 km com 1 
litro de combustível 
 
Proporção A proporção de peças defeituosas 
é de 2% 
A proporção de peças defeituosas 
está entre 1,5 % e 2,5 % 
 
Desvio padrão O desvio padrão da temperatura 
numa piscina não aquecida é da 
ordem de 2oC 
O desvio padrão da temperatura 
numa piscina não aquecida está 
entre 1oC e 3 oC 
 
Os intervalos de confiança podem ser unilaterais (por exemplo, a proporção de defeitos é 
maior de 3%) ou bilaterais (a proporção de defeitos está entre 2% e 4%). 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 63 
A capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de dados amostrais está 
ligada diretamente ao conhecimento da distribuição amostral da estatística que está sendo 
usada como estimador. 
Os intervalos de confiança para os parâmetros são construídos de forma que se considera 
uma variação em torno do valor amostral e, assim, pode-se escrever que o parâmetro 
situa-se entre dois limites: 
Valor do parâmetro = estimativa pontual ± erro de amostragem 
O erro de amostragem depende da distribuição amostral do parâmetro, do nível de 
confiança adotado e do tamanho da amostra. 
A tabela a seguir apresentada resume as informações necessárias para intervalos de 
confiança. 
 
 População 
 Infinita Finita 
Estimativa de médias 
 Pontual x x 
 Intervalar σx conhecido 
n
zx x
σ± 
1−
−±
N
nN
n
zx x
σ
 
 σx desconhecido 
n
s
tx x± 
1−
−±
N
nN
n
s
tx x 
Estimativa das proporções 
 Pontual 
p = 
n
x
 p = 
n
x
 
 Intervalar 
n
)p(p
zp
−
±
1
 
1
1
−
−−
±
N
nN
n
)p(p
zp 
 
Onde: 
z representa o valor tabelado da distribuição Normal, com nível de confiança α. 
t representa o valor tabelado da distribuição t de Student, com nível de confiança α e GL 
graus de liberdade1 
N é o tamanho da população 
n é o tamanho da amostra 
 
 
1 O valor da distribuição t de Student depende do número de graus de liberdade 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 64 
Exemplo: 
Intervalo de confiança para a média µ quando se conhece a variância de população σx 
Seja uma amostra de tamanho 36 de uma população infinita, sabe-se que σx=3 e x =24,2 
 
Confiança 
desejada 
Z 
(tabelado) 
Fórmula Cálculo E Intervalo 
90% 1,65 
n
zx x
σ± 
36
3651224 ,, ± 24,2±0,825 23,375 a 25,025 
95% 1,96 
n
zx x
σ± 
36
3961224 ,, ± 24,2±0,980 23,220 a 25,180 
99% 2,58 
n
zx x
σ± 
36
3582224 ,, ± 24,2±1,290 23,110 a 25,690 
 
 
Tamanho da amostra 
Uma das perguntas mais freqüentes em estatística é: “Qual o tamanho da amostra que 
devemos tomar?” 
O tamanho da amostra dependerá do grau de confiança desejado (z), da quantidade de 
dispersão entre os valores individuais (σx), e de certa quantidade específica de erro 
tolerável (e). 
“O tamanho da amostra que você afinal selecionará dependerá de 
seu orçamento, da importância econômica das decisões e da 
variabilidade na população. Desses três problemas, dois são de 
ordem gerencial, cabendo a você a decisão; apenas o terceiro 
(variabilidade) está fora do seu controle.”(Brenda Landy, citada no 
livro Pesquisa de Marketing – Naresh Malhotra. - 2001) 
 
A fórmula do erro pode ser resolvida em relação a n. Assim, para o caso de estimação de 
médias, tem-se: 
n
ze x
σ
= � 
e
zn x
σ
= � 
2






=
e
zn x
σ
 
 
E, para estimação de proporções 
n
p)p(1
z e
−
= � 
2








−
=
n
p)p(1
z e2 � 2
2
e
p)-p(1z
 n = 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 65 
Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança 
para a verdadeira média da população, com erro de 1,0 em qualquer dos sentidos, se o 
desvio padrão da população é 10? 
Sabemos que σx=10 e e=1 e queremos um intervalo 90% de confiança para a 
média, o que implica utilizar um valor de z=1,65. 
2






=
e
zn x
σ
� 25272
1
10651
2
,,n =





= � tamanho da amostra 273. 
 
As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato de que o número 
crescente de telefones celulares resulte em maior número de colisões de carros. Estão, por 
isso, pensando em cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que utilizam celulares. 
Desejamos estimar, com uma margem de erro de três pontos percentuais, a percentagem 
de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem. Supondo que se pretende um nível 
de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser investigados? 
Suponha que não tenhamos nenhuma informação sobre p. 
2
2
e
p)-p(1z
 n = � 11,1067
03,
96,
== 2
2
0
0,5)-0,5(11
 n � tamanho da amostra 1068. 
 
Exercícios: 
 
1. Os dados a seguir representam a temperatura coletada aleatoriamente em 15 
cidades do estado. Determine o intervalo de confiança 90% para a temperatura 
média. Não dispomos da variância populacional, mas sabemos que a população é 
infinita. Dispomos apenas das seguintes informações. 
 
23 40 30 21 34 
20 38 26 23 38 
33 32 24 21 24 
 
 
2. Uma amostra aleatória de 40 contas não comerciais na filial de um banco acusou 
saldo médio diário de R$ 140 com desvio padrão de R$ 30. 
a. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média 
b. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média 
c. Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 66 
3. Uma firma emprega diversos vendedores. Numa amostra aleatória de 15 notas de 
despesa numa semana de dezembro, um auditor constatou uma despesa média de 
R$ 220, com desvio padrão de R$ 20. 
a. Qual a estimativa pontual da despesa média? 
b. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa 
média por vendedor. 
c. Admitindo-se 200 vendedores, qual seria a estimativa pontual média para o 
total de despesas? 
d. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa total. 
 
 
 
4. Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de 
construção revelou que 6 não usavam capacetes protetores. 
a. Construaum intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção dos 
que não estão utilizando capacetes neste projeto. 
b. Se há 1000 operários no projeto, converta o percentual em número de 
capacetes necessários para que todos estejam seguros. 
 
 
 
5. Uma amostra aleatória de 1000 fregueses da parte da manhã de um supermercado 
revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras. 
a. Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite? 
b. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos 
que compram leite. 
 
 
 
6. Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio de que um 
vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, admitindo erro de 1 
minuto, para mais ou para menos, para obter um nível de confiança de 99%. 
Suponha σx=12 minutos. 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 67 
7. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de 
serviço de atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo 
deve ser de 0,6 hora para um nível de confiança de 95%, sabendo que o tempo de 
atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. Suponha normalidade na população. 
 
 
 
 
 
8. Um engenheiro deseja estimar a quantidade de açúcar existente nos alimentos 
produzidos pela empresa. Ele coletou uma amostra de 18 unidades do alimento e 
verificou média 24 gr de açúcar, com desvio padrão de 5 gr. Construa o intervalo 
de confiança de 90% para a quantidade de açúcar presente nos alimentos. 
 
 
 
 
 
 
9. Numa pesquisa com funcionários de uma empresa questionou-se a satisfação com a 
política desenvolvida pela diretoria. De 300 funcionários, 36 estavam insatisfeitos. 
Construa uma estimativa para a proporção de funcionários insatisfeitos, com 95% 
de confiança. 
 
 
 
 
 
 
10. O IBOPE está interessado em estimar a proporção de residências que assistem ao 
programa do Faustão. Qual o número mínimo de residências que se deve analisar 
para ter 95% de confiança e margem de erro máxima de 0,03 para a estimativa? 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 68 
1122 TTeesstteess ddee hhiippóótteesseess 
Os testes de hipóteses são também conhecidos como testes de significância. 
A finalidade dos testes de hipóteses é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros 
populacionais. 
 Os testes de hipóteses e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística. 
Enquanto o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional, o objetivo dos 
testes de hipóteses é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é 
verdadeira. Por exemplo, podemos querer determinar se são verdadeiras as afirmações: 
- o tempo médio de realização do teste é 80 minutos 
- três por cento da população (de determinado item) é defeituosa 
- os percentuais de não conformes dos dois processos são iguais 
 
Utilizam-se duas hipóteses, sendo chamadas de hipótese nula (H0) e hipótese alternativa 
(H1) 
A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro 
populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é 
verdadeira) 
A hipótese alternativa H1 é uma afirmação que oferece uma 
alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior (ou menor) 
que o valor alegado) 
 
Exemplo: O estudo de uma amostra de tamanho 55 peças indicou que o diâmetro médio é 
de 27,5 mm. Então: 
H0: o diâmetro médio da população (de peças) é 27,5 mm 
H1: o diâmetro médio da população (de peças) é diferente de 27,5 mm 
 
Os testes de hipótese utilizam a significância adotada pelo pesquisador. A significância é a 
probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando verdadeira. Que coincide com o 
erro tipo I. 
 
Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que podemos cometer: 
α = P {rejeitar H0/ H0 é verdadeira} = erro do tipo I 
β = P {aceitar H0/ H0 é falsa} = erro do tipo II 
 
O procedimento usual é fixar o valor de α e verificar o valor de β. O risco β é uma função 
do tamanho da amostra, e é controlado indiretamente. Quanto maior o tamanho da 
amostra, menor será o risco β. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 69 
 
 Se H0 é 
 Verdadeira Falsa 
Aceitar H0 Decisão correta Erro tipo II (β) 
Ação 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Decisão correta 
 
Basicamente os testes de hipótese envolvem as seguintes etapas: 
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa; 
2. Identificar a distribuição amostral adequada; 
3. Escolher um nível de significância (e assim os valores críticos); 
4. Calcular a estatística do teste e compará-la com os valores críticos; 
5. Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística do teste excede o(s) valor (es) 
crítico(s); caso contrário, aceitá-la. 
 
Os testes de hipótese podem ser unilaterais ou bilaterais. Nos testes unilaterais a hipótese 
alternativa H1 é do tipo µ>33 ou µ<33, por exemplo. Nos testes bilaterais a hipótese 
alternativa é do tipo µ≠33. A hipótese nula permanece igual nos dois casos. A área de 
rejeição é dividida quando o teste é bilateral. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Para cada um dos seguintes casos, trace uma curva normal, indicando a área de 
rejeição na figura. 
a) H0: µ=10, H1: µ≠10, α=0,02 
b) H0: µ=120, H1: µ≠120, α=0,05 
c) H0: µ=2000, H1: µ≠2000, α=0,01 
d) H0: µ=2000, H1: µ>2000, α=0,01 
e) H0: µ=2000, H1: µ<2000, α=0,01 
 
α/2 α/2 α α 
Rejeitar H0 Rejeitar 
H0 
Rejeitar 
H0 
Rejeitar H0 
H1: µ<33 H1: µ>33 H1: µ≠33 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 70 
2. Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não 
contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a 
remessa, para verificar a qualidade. Indique H0 e H1. 
 
 
 
3. Um engenheiro acredita que o tempo para produção de um motor é de 5 horas. Ele 
analisa uma amostra para verificar se está certo ou não. Escreva H0 e H1 
 
 
 
 
12.1 Teste de hipóteses para médias 
σσσσx conhecido 
Quando se conhece o desvio padrão da população, a distribuição amostral adequada é a 
distribuição normal. Se a população é normal, a distribuição amostral será normal para 
todos os tamanhos de amostra. Se a população é não normal, ou se sua forma é 
desconhecida, pode-se usar um teste de uma amostra só para tamanhos de amostras 
superiores a 30 observações. Assim, pequenas amostras de população não normais não 
podem ser tratadas por este processo. 
 
Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida e variância σ2x 
conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor 
especificado µ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue: 
H0 : µ = µ0 
H1 : µ ≠ µ0 
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e calcula-se a 
estatística 
n
x
z
x
o
teste σ
µ−
=
E H0 é rejeitada se |Zteste| > Zα/2 (obtido em uma tabela da 
distribuição normal). 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 71 
Exemplo: 
Uma máquina de usinagem deveria produzir entalhes com 0,85 mm de profundidade. O 
engenheiro desconfia que os entalhes que estão sendo produzidos são diferentes que o 
especificado. 
Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou 8470,X = . Sabendo que o desvio padrão 
é σ=0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α=0,05. 
850
80100
85008470
8500
8500
1
,
/,
,,
Z
, :H
, :H
teste
o
−=
−
=
≠
=
µ
µ
 
Como 961850 0250 ,Z,Z ,teste −=−>−= H0 não pode ser rejeitada. 
Conclusão: não podemos afirmar que os entalhes sejam diferentes que o especificado, ao 
nível de significância de 0,05. 
 
σσσσx desconhecido 
Quando não se conhece o desvio padrão da população, deve-se estimá-lo apartir dos 
dados amostrais usando o desvio padrão amostral. Quando isso ocorre (na maioria das 
situações reais σx é desconhecido), a distribuição t é a distribuição amostral adequada. 
Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média µ e variância σ2 
desconhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado µo , 
formulamos: 
o
o
 :H
 :H
µµ
µµ
≠
=
1
0 
Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que agora a variância é 
desconhecida. 
 
Como σX não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para construir a estatística do 
teste: 
n
s
x
t
x
o
teste
µ−
=
 
 
E a hipótese nula H0 é rejeitada se |tteste|>tα/2 , onde t α/2, n-1 é um valor limite da 
distribuição de Student tal que a probabilidade de se obter valores externos a tα/2 é α. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 72 
12.2 Testes de duas amostras para médias 
Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são 
iguais. Exigem-se amostras independentes, ou seja, uma de cada população. Eles são 
freqüentemente utilizados para comparar dois métodos de ensino, duas cidades, duas 
marcas, duas fábricas, .... 
OBS: dados provenientes de antes-depois são dependentes, não podendo, portanto, serem 
tratados por este método. 
σσσσx conhecido 
Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos µa e µb e desvios 
padrões conhecidos, σa e σb , o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais 
é o seguinte: 
211
21
µµ
µµ
≠
=
 :H
 :Ho 
2
2
2
1
2
1
21
nn
XX
Z teste
σσ
+
−
= 
E rejeita-se H0 se |Zteste| > Zα/2 
 
σσσσx desconhecido 
Similarmente, quando , σa e σb , não são conhecidos, o teste para verificar a hipótese que 
as médias sejam iguais é: 
2
2
2
1
2
1
21
n
S
n
S
XX
t
xx
teste
+
−
= 
E rejeita-se H0 se |tteste| > tα/2, n1+n2-2 
 
12.3 Teste para proporções 
Este tipo de teste é apropriado quando os dados sob análise consistem de contagem ou 
freqüências de itens em duas ou mais classes. A finalidade de tal teste é avaliar 
afirmações sobre a proporção (ou percentagem) de uma população. O teste se baseia na 
premissa de que uma proporção amostral será igual à verdadeira proporção populacional, 
a menos da variabilidade amostral. O teste foca na diferença entre o número esperado de 
ocorrências (supondo-se verdadeira uma afirmação) e o número efetivamente observado. 
A diferença é então comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral 
baseada na hipótese de que H0 é realmente verdadeira. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 73 
Quando a finalidade da amostragem é julgar a validade de uma alegação acerca de uma 
proporção populacional, é apropriado o teste para proporções.Onde: 
H0: p = p0 
H1: p ≠p0 
 
O valor da estatística de teste é dado por 
n/)p(p
pn
x
zteste
00
0
1 −
−
= 
e deve ser comparada com o valor crítico de Z (retirado de uma tabela da distribuição 
normal) 
 
Exemplo: 
Um fabricante afirma que uma remessa de pregos contém menos de 1% de defeituosos. 
Uma amostra aleatória de 200 pregos acusa 4 defeituosos. Teste a afirmação ao nível 
0,01. 
H0 : p = 1% 
H1 : p > 1% � pois desejamos evitar a aceitação de uma remessa com mais de 
1% de defeituosos, mas nada há contra aceitar o fato da remessa apresentar 
qualidade superior à acordada. 
 
n/)p(p
pn
x
zteste
00
0
1 −
−
= = 421
2000101010
010200
4
,
/),(,
,
zteste =
−
−
= 
Na tabela da distribuição normal, z0,01=2,33 
Aceita-se H0, e pode-se dizer que a quantidade de pregos defeituosos é 1% ou 
menos, ao nível de significância 0,01. 
 
 
12.4 Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções) 
A finalidade de um teste de k amostras é avaliar se as proporções de k amostras 
independentes provenham de populações que contenham a mesma proporção de 
determinado item. Conseqüentemente, tem-se: 
H0: As proporções populacionais são todas iguais 
H1: As proporções populacionais não são iguais 
Ou seja, estamos testando se as duas variáveis são ou não associadas, por exemplo, se 
queremos testar se a proporção de mulheres e de homens que trabalham no horário 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 74 
noturno em uma fábrica são iguais, automaticamente estaremos testando se sexo e turno 
de trabalho são variáveis associadas. 
 
Este teste baseia-se na distribuição qui-quadrado, onde o valor calculado deve ser 
comparado com o valor tabelado. A decisão de aceitar ou rejeitar H0 dependerá da 
comparação deste valor com o valor tabelado da distribuição qui-quadrado. 
 
Por exemplo, tem-se a distribuição de peças produzidas por turno e se essas peças são 
boas ou apresentam algum tipo de defeito. No turno da manhã foram produzidas 967 
peças, onde 183 apresentaram algum tipo de defeito. 
 
 Turno de produção 
 Manhã Tarde Noite 
Total 
Peças com algum defeito 183 30 11 224 
Peças boas 784 264 308 1356 
Total 967 294 319 1580 
 
O teste baseia-se na pressuposição que, se as duas variáveis fossem independentes, então 
o valor esperado de cada célula poderia ser encontrado fazendo-se: 
 
geral_total
)coluna_total(x)linha_total(
Esperada_Frequência = 
Neste caso, a tabela com as freqüências esperadas seria: 
 
Tabela de freqüências esperadas 
 Turno de produção 
 Manhã Tarde Noite 
Total 
Peças com algum defeito 137,1 41,7 45,2 224 
Peças boas 829,9 252,3 273,8 1356 
Total 967 294 319 1580 
 
1137
1580
967224
,
x
esperada_Freq == 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 75 
O teste de independência qui-quadrado é obtido utilizando-se a estatística 
∑
−
=
E
)EO( 22χ 
Se o valor obtido for maior que o valor crítico obtido na tabela χ2 então diz-se que as 
variáveis NÃO são independentes. Se o valor encontrado for menor, então diz-se que as 
variáveis são independentes. 
O valor dos GRAUS DE LIBERDADE é obtido através do cálculo: 
graus de liberdade = (colunas-1)(linhas-1) 
No exemplo apresentado: 
8851
8273
8273308
741
74130
1137
1137183 2222 ,
,
),(
...
,
),(
,
),(
=
−
++
−
+
−
=χ 
e o valor crítico encontrado na tabela para (2-1)x(3-1)=2 graus de liberdade e nível de 
significância 0,05 é 5,991. 
 
Tem-se valor calculado > valor tabelado então diz-se que as variáveis NÃO são 
independentes. OU SEJA, a proporção de peças boas produzidas depende do turno de 
trabalho. A proporção de peças boas no turno da manhã é 81%, na tarde 90% e na noite 
97%. 
 
Exercícios: 
1. Um fornecedor apresenta uma caixa, e afirma que o peso médio desta caixa é de 
368 gramas. De experiências anteriores sabe-se que o desvio padrão da população 
vale 15 g e que os valores se comportam segundo a distribuição Normal. Para 
verificar se a afirmação é verdadeira, verifica-se uma amostra de 25 caixas, pesa-se 
e calcula-se o peso médio da amostra, achando 372,5 g. Qual a conclusão a 
respeito da afirmação do fornecedor, ao nível de significância 0,01? 
 
 
 
2. Uma agência de empregos alega que os candidatos à diretoria por ela colocados 
nos últimos seis meses têm salários de R$ 9000, em média. Uma agência 
governamental extraiu uma amostra aleatória daquele grupo, encontrando salários 
médios de R$ 8000, com desvio padrão de R$ 1000, com base em 50 empregados. 
Teste a afirmação da agência, contra a alternativa, de que o salário médio é 
inferior a R$ 9000, ao nível de significância 0,05. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 76 
3. O gerente de marketing de uma fábrica de automóveis está interessado em 
determinar a proporção de novos proprietários de carros compactos queteriam 
adquirido um air-bag inflável para o lado do passageiro se o mesmo estivesse 
disponível a um custo adicional de $ 300,00. Por informações anteriores, o gerente 
acredita que a proporção é 30%. Suponha que é feito um levantamento com 200 
novos proprietários de carros compactos e 79 indiquem que teriam comprado os 
air-bags infláveis. No nível de significância de 0,05, há evidencias de que a 
proporção da população é diferente de 0,3? 
 
 
 
 
 
 
4. Suponha que o diretor de produção de uma fábrica de tecidos precise determinar se 
uma nova máquina está produzindo um tipo de tecido de acordo com as 
especificações do fabricante. As especificações indicam que o tecido devia ter uma 
resistência de rompimento superior a 70 libras (1 libra = 433,59 gramas) e um 
desvio padrão de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peças revela uma média aritmética 
da amostra igual a 69,7 libras. Há evidências de que a máquina não está atendendo 
às especificações, em termos da média da resistência de rompimento? (utilize um 
nível de significância de 0,05) 
 
 
 
 
 
5. Uma rede de postos de gasolina afirma que, em seus estabelecimentos não se 
vende gasolina adulterada. Sabe-se que, de acordo com os padrões de qualidade, a 
gasolina não pode conter mais de 240 ml de álcool por litro. O órgão de fiscalização 
colheu 25 medições do produto nos postos dessa rede, obtendo a partir delas uma 
média de 240,75 ml de álcool/litro. Admitindo-se que a quantidade de álcool 
presente na gasolina tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 2,5 
ml/litro. Ao nível de significância 5%, pode-se afirmar que a gasolina é adulterada? 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 77 
6. Um psicólogo de indústrias deseja estudar os efeitos da motivação nas vendas, em 
determinada empresa. Foi selecionada uma amostra aleatória de 24 indivíduos, 12 
de cada grupo. Os dados a seguir representam o volume de vendas (em milhares 
de reais) alcançado durante o primeiro mês de emprego. Há evidências de que o 
volume médio de vendas seja diferente entre os grupos? (utilize nível de 
significância 0,05) 
Por hora Comissão 
256 207 224 285 
212 219 261 225 
239 228 254 237 
216 225 228 232 
222 241 273 277 
236 230 234 245 
 
 
 
 
 
7. No caso judicial EUA versus Cidade de Chicago, foram postas em dúvida as práticas 
honestas de emprego. Um grupo minoritário (A) e um grupo majoritário (B) fizeram 
o exame para capitão do corpo de bombeiros, com os seguintes resultados: 
 Aprovados Reprovados 
Grupo A 10 14 
Grupo B 417 145 
Com os resultados acima, e com nível de significância de 5%, teste a afirmação de 
que o sucesso no teste é independente do grupo. 
 
 
 
 
8. Solicitou-se a quatro amostras de 30 funcionários de uma grande empresa que 
opinassem sobre a nova direção da empresa. Ao nível de significância 0,01, o que 
se pode concluir? 
 Estagiários Treinees Técnicos Gerentes 
Aprovam 5 4 20 27 
Desaprovam 25 26 10 3 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 78 
9. Um estudo de usuários e não usuários do cinto de segurança resultou nos dados 
amostrais aleatórios resumidos na tabela a seguir. Teste a afirmação de que a 
quantidade de fumo é independente do uso do cinto de segurança. Uma teoria 
plausível é que as pessoas que fumam mais estão menos preocupadas com a sua 
saúde e segurança, sendo assim, menos propensas a usar cintos. Com nível de 
significância 0,01, os dados amostrais apóiam esta teoria? 
 Número de cigarros fumados por dia 
 0 1-14 15-34 35 ou + 
Usam cinto de segurança 175 20 42 6 
Não usam cinto de segurança 149 17 41 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. A tabela abaixo apresenta dados relativos ao time vencedor em diferentes esportes. 
Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as vitórias 
casa/visitante são independentes do esporte. 
 Basquete Beisebol Hockey Futebol 
O time da casa ganha 127 53 50 57 
O time visitante ganha 71 47 43 42 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 79 
1133 AAnnáálliissee ddee vvaarriiâânncciiaa ((AANNOOVVAA -- AAnnaallyyssiiss ooff VVaarriiaannccee)) 
 
Há situações onde se deseja comparar várias médias, cada uma oriunda de um grupo 
diferente. Esses grupos, também chamados tratamentos, poderiam ser 5 máquinas de 
corte, ou 4 pressões de operação, ou 4 layouts, 5 planos econômicos do governo, taxas 
de câmbio em 3 diferentes países, resultados da implantação de um novo sistema em duas 
filiais, etc. 
 
Exemplo: 
Para verificar se existe diferença significativa entre os salários médios dos economistas da 
Região Sul, o sindicato da classe resolveu analisar os dados de algumas amostras. Assim 
foram selecionados aleatoriamente 5 economistas de cada estado. 
 
 Econ.1 Econ.2 Econ.3 Econ.4 Econ.5 
Rio Grande do Sul 370 420 280 340 410 
Santa Catarina 280 350 430 290 405 
Paraná 325 400 295 350 380 
 
Exemplo: 
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu 
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças 
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram 
 
Método A 5 0 3 5 4 5 8 2 
Método B 4 5 4 7 5 10 3 10 
Método C 3 5 0 3 3 9 4 9 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 80 
Nesses casos, os dados foram tabelados conforme aparecem a seguir: 
 
Tratamento Observações
1 Y11 , Y12 ... Y1n1
2 Y21 , Y22 ... Y2n2
: :
: :
: :
k Yk1 , Yk2 ... Yknk
 
 
Os resultados poderiam ser representados por um modelo aditivo: 
i
ijiij
n ..., ,1=j 
k,.....,1i ; Y =ε+τ+µ=
 
 
Onde Yij é a observação j medida no tratamento i; 
 µ é a média geral de todas as observações; 
 τi é o efeito do tratamento i; 
 εij é o erro aleatório. (OBS: Para fins de testes de hipótese, supomos que o 
erro aleatório εij segue um modelo normal com média 0 e variância σ
2 
aproximadamente igual para todos os tratamentos) 
 
Nosso objetivo será testar a hipótese referente ao efeito dos tratamentos e estimar esses 
efeitos, ou seja, verificar se existe diferença significativa entre os resultados apresentados 
por cada grupo. 
 
Existem dois tipos de problemas a serem abordados: 
Modelo a níveis fixos: quando o efeito de cada tratamento é fixo, como no caso em que 
os tratamentos são 4 pressões de operações, ou 4 layouts fixados pelo engenheiro; 
Modelo a níveis aleatórios: quando o efeito de cada tratamento é aleatório, como no 
caso em que os tratamentos são k lotes de produção, ou k operadores escolhidos 
aleatoriamente. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 81 
No modelo a níveis fixos, os efeitos dos tratamentos são definidos como desvios da média 
geral, tais que: 
ji, alguns para :H
..... :H
ji1
k210
µ≠µ
µ==µ=µ
 
 
Na Ho (hipótese nula) supõe-se que todas as médias sejam iguais, ou seja, os 
economistas têm o mesmo salário nos três estados (e as diferenças entre os seus salários 
são devidas ao acaso) ou os três métodos de ensino são equivalentes. 
A H1 (hipótese alternativa) indica que pelo menos uma das médias difere, ou seja, 
existem pelo menos dois estados com salários diferentes entre si ou pelo menos dois 
métodos de ensino diferem. 
 
O procedimento utilizado para comparar simultaneamente todos os grupos é chamado de 
Análise de Variância, que será visto a seguir. 
 
A análise de variância é uma técnica que pode ser 
usada para determinar se as médias de duas ou mais 
populações são iguais. O teste se baseia numa 
amostra extraída de cada população. 
 
A Análise de Variância é uma técnica para investigar quanto de variabilidade em um 
conjunto de observações (dados) pode ser descrito por diferentescausas. 
 
Os cálculos associados à Análise de Variância são apresentados em uma tabela, chamada 
de Tabela de Análise de Variância ou Tabela ANOVA 
 
Fonte de variação SQ GDL MQ Teste F 
Entre grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR 
Dentro de grupos SQR N-k MQR 
Total SQT N-1 
 
 
onde k é o número de níveis do fator. 
N é a quantidade total de observações 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 82 
A Análise de Variância se baseia na decomposição da variabilidade total. Mais 
especificamente, os desvios das observações individuais em relação à média global podem 
ser escritos como: 
 
( ) ( ) ( )Y Y Y Y Y Yij i ij i− = − + −.. . .. . 
 (1) 
onde: 
( )Y Yi. ..−
 é o desvio da média do tratamento i em relação à média global; 
( )Y Yij i− .
 é o desvio da observação individual em relação à média do tratamento 
correspondente; 
 
Elevando ao quadrado ambos os termos da equação (1) e efetuando o somatório, resulta: 
( ) ( ) ( )Y Y n Y Y Y Yij i
ii j
i ij i
ij
− = − + −∑∑ ∑..
,
.
.. .
2 2 2
 (2) 
Na equação (2), identificamos as seguintes somas quadradas: 
SQT = SQG + SQR 
onde: 
SQT � é a soma dos quadrados totais, decomposta em: 
SQG � soma dos quadrados dos grupos (tratamentos), associada exclusivamente a um 
efeito dos grupos; 
SQR � soma dos quadrados dos resíduos, devida exclusivamente ao erro aleatório, medida 
dentro dos grupos. 
As divisões das somas de quadrados (SQ) pelos graus de liberdade fornecem as médias 
quadradas (MQ), que são as estimativas de variabilidade de cada parcela. 
 
Os graus de liberdade são obtidos através do número de níveis do fator e da quantidade 
de repetições para cada nível, ou seja, se o fator tem 5 níveis, terá 4 graus de liberdade 
(k-1). Os graus de liberdade totais são obtidos através do total de observações menos 1 
(N-1) e os graus de liberdade dentro dos grupos será a diferença entre eles (N-1)-(k-1) = 
(N-k). 
 
Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos, usamos a distribuição F : 
MQR
MQGF =
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 83 
O valor resultante do teste F deve ser comparado com uma tabela de valores F, que indica 
o valor máximo da estatística no caso de Ho ser verdadeira, a um determinado nível de 
confiança. 
Como o valor tabelado de F é contínuo e depende da combinação dos graus de liberdade 
do numerador e do denominador, é usual apresentar seus valores apenas para os níveis de 
confiança 0,05 e 0,01. Os graus de liberdade para a determinação do valor F são os 
mesmos apresentados na tabela da ANOVA. 
Os valores constantes na tabela F são valores críticos: apresentam a linha divisória entre a 
variação aleatória e a não aleatória. Ao fazer a análise de variância, utilizam-se as duas 
estimativas amostrais da variância para calcular uma razão F. Compara-se então o número 
resultante com o número tabelado. Se o valor calculado é maior que o valor tabelado, 
rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor que o valor tabelado, a hipótese 
nula não pode ser rejeitada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.1 Formulário para solução 
Para o cálculo das Somas Quadradas é recomendado o uso do seguinte formulário: 
TC T N= ( .. )2
( )SQT Y TCij= −∑ 2
( )SQG T n TCi i= −∑ .2
( ) ( )SQR Y T n SQT SQGij i i= − = −∑∑ 2 2.
 
onde 
 TC é o termo de correção 
 T.. é a soma de todas as observações 
 Ti. é a soma das observações no grupo i 
 
Valor tabelado 
Concluir pelo 
não-acaso 
Rejeitar Ho 
Concluir pelo 
acaso 
Aceitar Ho 
Nível de significância = área da cauda 
0 
Distribuição F 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 84 
Resolvendo o exemplo dos métodos de ensino através deste formulário obtém-se: 
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu 
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças 
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram 
 
Método A 5 0 3 5 4 5 8 2 
Método B 4 5 4 7 5 10 3 10 
Método C 3 5 0 3 3 9 4 9 
 
k = 3 (três níveis do fator, método A, B e C) 
N = 24 (oito alunos por método) 
T.. = 5 + 0 + 3 + ... + 4 + 9 = 116 (somar todas as observações) 
TA. = 5 + 0 + 3 + 5 + 4 + 5 + 8 + 2 = 32 (somar as observações do método A) 
TB. = 48 (somar as observações do método B) 
TC. = 36 (somar as observações do método C) 
 
TC = 1162 / 24 = 560,67 
SQT = (52 + 02 + 32 + ... + 42 + 92 ) – 560,67 = 738 – 560,67 = 177,33 
17,33 560,67-578,00 560,67
8
36
8
48
8
32SQG
222
==−





++= 
SQR = SQT – SQG = 177,33 – 17,33 = 160,00 
 
 Então a tabela da ANOVA ficaria: 
 
Fonte de variação SQ GDL MQ Teste F 
Entre grupos 17,33 2 8,67 1,14 
Dentro de grupos 160,00 21 7,62 
Total 177,33 23 
 
O valor de F tabelado com 2 e 21 graus de liberdade no numerador e denominador, 
respectivamente, e nível de significância de 0,05 é F0,05≈ 3,49. Como F calculado < F 
tabelado, concluímos que não há evidências de que os métodos de ensino alterem a 
aprendizagem das crianças, ou seja, os métodos de ensino devem ser equivalentes. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 85 
 
Utilizando o Excel 
Clique em Ferramentas e depois em Análise de Dados. (OBS: Se no seu 
computador não aparecer Análise de Dados é porque este suplemento não está 
ativado. Vá em Ferramentas, depois Suplementos. Disponibilize Análise de 
Dados e Análise de Dados VBA.) 
 
Selecione ANOVA – Fator único. 
Preencha com as informações que forem necessárias. 
 
 
 
13.2 Exemplo de solução no Excel 
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu 
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças 
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram 
 
Método A 5 0 3 5 4 5 8 2 
Método B 4 5 4 7 5 10 3 10 
Método C 3 5 0 3 3 9 4 9 
 
Os dados devem agrupados em linhas ou colunas. 
 ou 
 
No menu Ferramentas e Análise de Dados, após selecionar ANOVA fator único. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 86 
Na janela da ANOVA informar as questões que forem solicitadas. 
 
Os resultados estarão localizados na planilha chamada resultados. 
 
Anova: fator único 
RESUMO 
Grupo Contagem Soma Média Variância 
Método A 8 32 4,0 5,714 
Método B 8 48 6,0 7,429 
Método C 8 36 4,5 9,714 
 
 
ANOVA 
Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico 
Entre grupos 17,33 2 8,67 1,14 0,340 3,47 
Dentro dos grupos 160,00 21 7,62 
 
Total 177,33 23 
 
Tabelado 
Calculado 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 87 
Exercícios: 
1. Suponha que o valor crítico de F na análise de variância seja 1,99 ao nível de 0,05. 
Com base na figura: a) Como você interpretaria uma estatística de teste maior que 
1,99? b) Como você interpretaria uma estatística de teste menor que 1,99? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Duas turmas de pilotos de corrida de automóveis estão sendo treinadas para uma 
grande corrida no domingo. Cada turma faz cinco provas de troca dos quatro pneus 
num carro. As turmas são equivalentes ou uma delas é superior, ao nível de 
significância 0,05? Complete a tabela da ANOVA e conclua a respeito. 
 
Fonte de variação SQ GDL MQ Teste F 
Entre grupos 
Dentro de grupos 0,12 
Total 0,22 
 
 
3. Realiza-se um experimento para determinar-se as produções de cinco variedades de 
trigo: A, B, C, D e E. São atribuídos quatro lotes de terra para cada variedade e as 
produções, em toneladas, estão apresentadas na tabela. Supondo-seque os lotes 
possuem fertilidades semelhantes e que as variedades são atribuídas aos lotes 
aleatoriamente, determinar se existe diferença entre as produções ao nível de 
significância 0,01. 
 
A 20 12 15 19 
B 17 14 12 15 
C 23 16 18 14 
D 15 17 20 12 
E 21 14 17 18 
1,99 
0 
Distribuição F 
0,05 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 88 
4. Uma empresa deseja testar quatro tipos diferentes de pneus: K, L, M e N. Suas 
durações, determinadas pelas bandas de rodagem, estão na tabela (em milhares de 
quilômetros), onde cada tipo foi testado, aleatoriamente, em seis automóveis 
semelhantes. Determinar de existe diferença significante entre os pneus ao nível de 
significância 0,05. 
 
K 33 38 36 40 31 35 
L 32 40 42 38 30 34 
M 31 31 37 35 33 30 
N 29 34 32 30 33 31 
 
 
5. Um professor deseja testar três métodos diferentes de ensino I, II e III. Para isso são 
escolhidos aleatoriamente três grupos de cinco estudantes, e cada grupo é instruído 
por um método diferente. É dada a mesma prova a todos os estudantes e os graus 
obtidos constam na tabela. Determinar se existe diferença entre os métodos de ensino 
ao nível de significância 0,01. 
 
I 75 62 71 58 73 
II 81 85 68 92 90 
III 73 79 60 75 81 
 
6. A tabela apresenta os dados sobre a ferrugem acumulada sobre o ferro, que foi tratado 
quimicamente com os produtos A, B ou C. Determinar se existe diferença significativa 
nos tratamentos ao nível de 0,05. 
 
A 3 5 4 4 
B 4 2 3 3 
C 6 4 5 5 
 
7. Um experimento mede os quocientes de inteligência (QI) de estudantes do sexo 
masculino de estaturas alta, média e baixa, cujos resultados aparecem na tabela. 
Determinar se existe qualquer diferença nas contagens do QI em relação às diferentes 
alturas ao nível de significância de 0,01. 
 
Alta 110 105 118 90 
Média 95 103 119 104 
Baixa 108 112 104 93 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 89 
8. A fim de produzir um tipo superior de ração para galinhas, adicionou-se à ração 
tradicional quatro quantidades diferentes de um mesmo produto químico. Cada 
quantidade de ração é dada a 8 pintos e o peso das aves após 3 meses é anotado. 
Concluir se houve diferença entre as quantidades do produto químico ao nível de 
significância 0,05. 
 
20 mg 46 46 46 45 45 45 46 46 
30 mg 48 48 47 47 47 47 47 48 
40 mg 49 49 50 50 49 50 50 49 
50 mg 52 53 52 52 52 52 53 53 
 
 
9. Uma empresa deseja estudar três tipos de enxerto para ver se todos apresentam o 
mesmo crescimento anual. O que se pode concluir a respeito? (use nível de 
significância 0,05) 
 
Enxerto 1 Enxerto 2 Enxerto 3 
14,4 10,8 11,1 
14,8 12,2 9,5 
12,7 11,2 10,8 
12,2 12,8 12,7 
10,9 13,0 10,9 
 
 
10. Os dados abaixo dão a vida observada dos pneus de quatro caminhões distribuidores 
de sorvete, conforme a posição. Supondo comparáveis os caminhões e os motoristas, 
poderemos afirmar que a duração média é independente da posição do pneu no 
veículo? (use nível de significância 0,01). Disponha os cálculos numa tabela ANOVA. 
Qual a importância da comparabilidade dos motoristas e veículos? 
 
Dianteiro direito 17 19 20 24 
Dianteiro esquerdo 25 27 18 22 
Traseiro direito 22 21 19 26 
Traseiro esquerdo 26 24 30 28 
 
 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 90 
1144 RReeggrreessssããoo ee ccoorrrreellaaççããoo 
 
A análise de regressão e de correlação compreende a análise de dados amostrais para 
saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra em uma 
população. 
 
A análise de correlação fornece o número 
(coeficiente) que resume o grau de 
relacionamento entre duas variáveis. 
 
A análise de regressão apresenta como 
resultado uma equação matemática que 
descreve um determinado relacionamento. 
 
Os valores para a análise de regressão e correlação provêm de observações e, para um 
problema com duas variáveis, cada observação dá origem a dois valores, uma para cada 
variável. Uma das variáveis será a dependente e a outra independente. 
 
Exemplos: 
Família Renda Gastos Peso Altura Aluno Notas 2
o 
grau 
Notas 
faculdade 
1 R$ 1550 R$ 1350 56 179 A 80 85 
2 R$ 2000 R$ 1970 67 176 B 75 70 
3 R$ 1000 R$ 550 89 180 C 95 95 
... 58 170 D 60 65 
n R$ 770 R$ 690 45 130 E 70 80 
 
Uma maneira de apresentar os resultados é através do diagrama de dispersão. 
 
 
Relação linear 
positiva perfeita 
Relação linear 
negativa perfeita 
X e y positivamente 
correlacionados 
X e y negativamente 
correlacionados 
X e y não 
correlacionados 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 91 
Regressão 
14.1 Aplicações da regressão 
1. Estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra variável. 
(Situações em que as duas variáveis medem aproximadamente a mesma situação, mas 
uma delas é relativamente dispendiosa ou difícil de lidar, enquanto a outra não.) 
2. Explicar valores de uma variável em termos da outra, isto é, pode-se suspeitar de 
uma relação de causa e efeito. 
3. Predizer valores de uma variável. 
 
OBS:OBS:OBS:OBS: A análise da regressão apenas indica qual relacionamento matemático pode existir, se 
existir algum. Ou seja, nem a regressão, nem a correlação podem mostrar que uma variável 
tenda a causar certos valores de outra variável, não garantido que exista relação de causa e 
efeito. 
“... a correlação entre beber um copo de vinho por dia e a menor chance de infarto do 
miocárdio é um bom exemplo. Estudos recentes mostram que ela não se deve ao vinho e 
ao álcool, mas sim ao betacaroteno, corante contido na uva. Para infelicidade de 
muitos, tomar suco de uva dá o mesmo resultado que beber vinho tinto.” Jornal do 
Brasil, 08/01/1999 
14.2 Classificação das regressões 
Quanto ao número de variáveis: Simples (uma variável independente explica bem o 
fenômeno) ou Múltipla (mais de uma variável independente são necessárias para explicar 
bem o fenômeno) 
Quanto à qualidade da relação: Linear (os fenômenos podem ser bem explicados por 
equações de primeiro grau) ou Não lineares (os fenômenos não podem ser bem explicados 
por equações de primeiro grau, exigindo funções de ordem superior). 
 
14.3 Modelo linear 
14.3.1 A equação da linha reta 
Forma da equação linear: bxayˆ += 
Duas características importantes são: 
• A ordenada da reta (valor de em y) determinado ponto (quando x=0) � a 
• A inclinação da reta (coeficiente angular) � b 
O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido 
como método dos mínimos quadrados. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 92 
n
xby
a )x()x(n
)y)(x()xy(n
b 22
∑∑
∑∑
∑ ∑∑ −
=
−
−
= 
 
14.3.2 Erro padrão da estimativa linear 
Uma vez que as estimativas a e b são funções de variáveis aleatórias (x e y são variáveis 
aleatórias) é necessário verificar a precisão das estimativas, conhecendo o erro padrão das 
estimativas. 
2n
)xybya(y
S
2
E
−
+−
=
∑ ∑ ∑
 
 
14.3.3 Intervalo de confiança para a estimativa 
Para criar intervalos de confiança com base nos estimadores utiliza-se a equação: 
Eervaloint S tyˆy ±= 
 
Onde: yˆ é obtido da equação. 
t é o valor da distribuição t de Student para n-2 graus de liberdade e nível de 
confiança determinado (tabelado) 
e SE é o erro padrão da estimativa 
Exemplo: 
Seja y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em anos consecutivos. Encontre o 
Intervalo de confiança 90% para a estimativa quando o PIB for 10,0. 
 
x y x2 xy 
7,0 10,1 49,00 70,70 
7,3 10,6 53,29 77,38 
7,8 11,3 60,84 88,14 
8,6 12,4 73,96 106,64 
8,1 11,9 65,61 96,39 
8,3 11,9 68,89 98,77 
8,2 11,5 67,24 94,30 
8,6 12,1 73,96 104,06 
9,0 13,1 81,00 117,90 
9,6 14,1 92,16 135,36 
9,1 14,6 82,81 132,86 
Σx= 91,6 Σy = 133,6 Σ x2 = 768,76 Σ xy = 1122,50 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 93 
É ideal que sempre se inicie o estudo de regressão com o gráfico de dispersão dos valores. 
Consumo pessoal em função do PIB
8,0
10,0
12,0
14,0
6,5 7,5 8,5 9,5 10,5PIB
Co
n
s
u
m
o
 
pe
s
s
o
al
 
 
E o cálculo de a e b fica: 
 668,1b 2(91,6) - (768,76) 11
(133,6) (91,6) - (1122,5) 11
== e 744,1
11
91,6 (1,668) - 133,6
a −== 
 
x668,1744,1yˆ +−= , ou PIB668,1744,1Consumo +−= ou seja, para cada unidade 
acrescida do PIB, o consumo pessoal aumentará 1,668 unidades. 
 
E o intervalo de confiança para y quando x=10 será: 
 
4653,0
211
))50,1122(668,1)6,133)(744,1((28,1641S E =
−
+−−
= 
 
936,14)10(668,1744,1yˆ =+−= 
)4653,0( 833,1936,14int ±=ervaloy 
853,0936,14int ±=ervaloy 
Ou seja, quando o PIB estiver em 10,0 o Consumo Pessoal poderá variar na faixa entre 
14,083 e 15,789, com 90% de confiança. 
 
Valor de t tabelado 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 94 
Correlação 
14.4 Objetivo da correlação 
O objetivo da correlação é determinar a força do relacionamento entre duas observações 
emparelhadas, porque indica até que ponto os valores de uma variável estão relacionados 
com os valores da outra variável. 
O resultado da análise de correlação é chamado de coeficiente de correlação – um valor 
que quantifica o grau de correlação. 
O método mais comum de análise de correlação envolve observações em valores 
numéricos. Neste caso utiliza-se o coeficiente r de Pearson. 
 
14.5 O coeficiente r de Pearson (correlação) 
O coeficiente r de Pearson mede o grau de associação linear em duas variáveis. Ele 
possui duas propriedades importantes: 
• Seu sinal. Positivo indica correlação linear positiva, ou seja, à medida que uma variável 
cresce, a outra cresce também. Sinal negativo indica correlação linear negativa, ou 
seja, à medida que uma variável cresce, a outra decresce. 
• Sua grandeza indica quão próximos da reta estão os pontos individuais caso fosse 
ajustada uma reta de regressão. O valor do coeficiente pode variar de –1 a 1. 
 
 -1 
0 
 
1 
Correlação 
negativa 
forte 
 Inexistência 
de 
correlação 
 Correlação 
positiva 
forte 
 
O cálculo do valor do coeficiente r de Pearson pode ser obtido através da equação: 








−







−
−
=
∑∑∑∑
∑∑∑
n
)y(
y
n
)x(
x
n
)y)(x(
xy
r
2
2
2
2
 
 
14.6 Coeficiente de determinação 
O coeficiente de determinação ou de explicação (r2) indica quantos por cento a variação 
explicada pela regressão representa da variação total. 
r2 = r.r e 0 ≤ r2 ≤ 1 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 95 
Exemplo: 
Prosseguindo o exemplo anterior, sendo y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em 
anos consecutivos. 
 
x y x2 y2 xy 
7,0 10,1 49,00 102,01 70,70 
7,3 10,6 53,29 112,36 77,38 
7,8 11,3 60,84 127,69 88,14 
8,6 12,4 73,96 153,76 106,64 
8,1 11,9 65,61 141,61 96,39 
8,3 11,9 68,89 141,61 98,77 
8,2 11,5 67,24 132,25 94,30 
8,6 12,1 73,96 146,41 104,06 
9,0 13,1 81,00 171,61 117,90 
9,6 14,1 92,16 198,81 135,36 
9,1 14,6 82,81 213,16 132,86 
Σx = 91,6 Σy = 133,6 Σ x2 = 768,76 Σ y2 = 1641,28 Σ xy = 1122,50 
 
O cálculo do coeficiente de correlação é dado por: 
=






−





−
−
=
11
)6,133(28,1641
11
)6,91(76,768
11
)6,133)(6,91(5,1122
r
22
0,9446 
Ou seja, existe uma correlação forte positiva entre os valores do PIB e do consumo 
pessoal. 
O valor do coeficiente de determinação é: r2 = 0,9446 x 0,9446 = 0,8923, o que significa 
que 89% da variação total é explicada por este modelo. 
 
 
Utilizando o Excel 
Maneira 1: A equação é da forma y = a + bx para os valores dos pares (x,y) e 
os coeficientes da reta são calculados utilizando o método dos mínimos 
quadrados.Após colocar os valores em duas colunas (valores de x e valores de 
y) vá ao “Assistente de Função” e escolha as funções “INCLINAÇÃO” para 
determinar o valor de b e “INTERCEPÇÃO” para calcular o valor de a. Os 
passos seguintes devem ser feitos seguindo as indicações do programa. Para o 
cálculo da correlação utiliza-se no “Assistente de Função” o CORREL. Em 
Matriz1 devem ser colocadas as células referentes à variável x em Matriz2 as 
células referentes à variável y. 
Maneira 2: Selecionar “Ferramentas” e “Análise de dados” e então 
“Regressão”. Informar o que for solicitado. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 96 
14.7 Exemplo de solução no Excel 
A velocidade máxima de automóveis de fórmula 1 com motores de mesma potência é 
função, entre outras variáveis, do peso do veículo, no intervalo entre 700 e 800 Kg. Assim, 
verificou-se qual a velocidade máxima atingida em uma reta de 1.200 m. Os resultados 
foram: 
 
 
Peso(Kg) 750 755 777 782 793 
Veloc.Máx.(Km/h) 380 354 348 330 320 
 
a) Construa o gráfico dos dados 
b) Qual a velocidade esperada para um veículo de 760 Kg? 
 
 
 
GRÁFICO DOS DADOS (Diagrama de dispersão) 
Relação entre velocidade e peso dos veículos de F1
y = -1,181x + 1257,173
R2 = 0,865
310
330
350
370
390
740 750 760 770 780 790 800
Peso
V
el
oc
ida
de
 
RESUMO DOS RESULTADOS 
 
Estatística de regressão 
R múltiplo 0,930 
R-Quadrado 0,865 
R-quadrado ajustado 0,820 
Erro padrão 9,851 
Observações 5 
 
Se 
R 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 97 
 
 
 
 
ANOVA (teste de significância para o modelo linear ajustado) 
 gl SQ MQ F F de significação 
Regressão 1 1864,051 1864,051 19,207 0,022 
Resíduo 3 291,149 97,050 
Total 4 2155,200 
 
 
 
 
 
 
 
Coefici-
entes 
Erro 
padrão Stat t valor-P 
95% 
inferiores 
95% 
superiores 
Inferior 
95,0% 
Superior 
95,0% 
Interseção 1257,173 207,862 6,048 0,009 595,662 1918,685 595,662 1918,685 
Peso(Kg) -1,181 0,269 -4,383 0,022 -2,038 -0,323 -2,038 -0,323 
 
A equação linear de relacionamento dos dados é Velocidade =1257,173 – 1,181 Peso 
Então, a velocidade estimada para um veículo com 760 kg é Velocidade=1257,173–
1,181(760) = 359,61 km /hora 
 
 
 
 
 
Se F de significação < 0,05, então o 
modelo linear ajustado aos dados é 
válido. Se F > 0,05 o modelo não se 
ajusta adequadamente aos dados. 
Valores de a e b 
Testes para a e b 
Se valor-P < 0,05, então a estimativa é 
válida, caso contrário é significativamente 
nula 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 98 
Exercícios 
1. Determinar o coeficiente de correlação dos dados a seguir: 
 
X 1 2 3 6 9 
Y 4 7 7 9 15 
Se os dados forem correlacionados, estimar a reta de regressão: 
 
 
2. A tabela a seguir apresenta os valores dos investimentos administrados on-line a partir 
de 1998. Verifique se existe correlação entre os anos (x) e os investimentos (y), caso 
exista correlação, apresente o intervalo de confiança de 95% para o valor dos 
investimentos no ano de 2002 e 2003. 
 
Ano Investimento 
1998 374 
1999 555 
2000 908 
2001 1010 
 
 
3. Os gráficos e a tabela indicam o número de anos de escolaridade das chefes de família 
(x) e a participação feminina na renda familiar (y) em alguns anos 
 
 
Número 
de anos de 
estudo 
Participação na renda 
(%) 
1976 4,7 8,4 
1990 5,7 16 
1993 6,3 19 
1996 6,6 21 
 
 
a) Caso exista associação, quantos anos de estudo serão necessários para que a 
participação da mulher na renda familiar chegue a 50% ? 
b) E qual será a participação da mulher na renda familiar quando ela tiver 12 anos de 
estudo? 
c) Você poderia estimar o ano em que a mulher irá participar com 50% da renda?Prof. Cíntia Paese Giacomello 99 
4. Após uma regulagem eletrônica um veículo apresenta um rendimento ideal no que 
tange o consumo de combustível. Contudo, com o passar do tempo esse rendimento 
vai se degradando. Os dados a seguir representam o rendimento medido mês a mês 
após a regulagem. Ajuste um modelo linear a estes dados. Calcule o coeficiente de 
correlação. Interprete os resultados. 
 
x: Meses após a regulagem 1 2 3 4 5 6 
y: Rendimento 10,7 10,9 10,8 9,3 9,5 10,4 
 
x: Meses após a regulagem 7 8 9 10 11 12 
y: Rendimento 9,0 9,3 7,6 7,6 7,9 7,7 
 
 
5. O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma 
correlação entre a temperatura do dia e a produtividade. Dados coletados 
aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte. 
 
Temperatura 21,2 20,3 22,7 22,0 22,3 23,5 24,8 24,2 25,5 25,2 25,5 25,8 
Produtividade 142 148 131 132 145 138 144 136 141 124 133 128 
 
Temperatura 27,5 26,3 28,2 28,6 29,0 29,7 30,7 30,3 30,2 31,4 32,5 32,7 
Produtividade 132 137 124 117 122 131 124 111 119 129 123 116 
 
Plote um gráfico de dispersão e visualize a natureza da correlação entre temperatura e 
produtividade. Depois estime a equação da reta de regressão e calcule o valor do 
coeficiente de correlação. Interprete os resultados. 
Estime a produtividade quando a temperatura estiver em 35 graus. Construa um 
Intervalo de Confiança de 90% para esta produtividade. 
 
6. Suponha que os valores obtidos para o desempenho de alunos em uma determinada 
disciplina e as rendas familiares sejam os que seguem. 
Aluno X 
(renda) 
Y 
(desempenho) 
1 750 5 
2 690 8 
3 400 4 
4 900 9 
5 200 2 
6 1000 10 
7 300 3 
8 600 6 
9 1200 10 
Os dados são correlacionados? Justifique sua resposta. Se forem, estime a reta de 
regressão. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 100 
7. A revista Exame Melhores e Maiores apresentou as maiores empresas do comércio, por 
vendas no ano anterior. Entre as que pertencem ao setor de comércio varejista estão 
destacadas as 11 maiores. Através da análise da tabela e do gráfico, o que você pode 
concluir? 
 
Empresa 
Número de 
funcionários 
Vendas 
(Milhões US$) 
Carrefour 37.004 4.582,4 
Pão de Açúcar 39.642 3.976,4 
Casas Bahia 11.508 1642,2 
Sendas 16.990 1391,7 
Ponto Frio 5.395 1223,6 
Sonae 22.638 1083,9 
Bompreço 13.225 1062,7 
L. Americanas 12.485 900,6 
McDonalds Não informou 726,7 
AgipLiquigás 3.804 693,1 
Pernambucanas 10.787 619,1 
Fonte: Revista Exame 
 
Ve ndas no ano de 1999 das 11 m aiore s e m pre s as do 
Bras il do s e tor de com é rcio vare jis ta
y = -42,462 + 0,1015 x
R2 = 0,801
-
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
4.500
5.000
- 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000
Núm e ro de funcionár ios
M
ilh
õe
s
 
US
$ 
 
 
14.8 Outros modelos 
Muitas vezes a forma funcional entre as variáveis x e y não é linear. Alguns modelos, 
mesmo não sendo lineares, são facilmente linearizáveis. Este procedimento busca facilitar 
o cálculo dos coeficientes da equação. 
No entanto, o uso de softwares estatísticos, calculadoras e planilhas eletrônicas auxilia na 
obtenção dos coeficientes. 
O valor de r2 serve como uma forma de comparação entre os modelos. O modelo que 
apresentar maior valor de r2 é o que apresenta melhor ajuste dos dados. 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 101 
 
14.8.1 Função exponencial - 
xaby =
 
 
 
a>0 0<b<1 a>0 b>1 a<0 0<b<1 a<0 b>1 
 
Utilizando as propriedades dos logaritmos pode-se chegar a BxAY += onde 
b log B e a logA ,ylogY === 
Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e B e depois convertem-se os valores 
para a e b. 
BA 10b e 10a == 
 
Exemplo 
Uma empresa fabricante de brinquedos registrou suas vendas nos últimos 10 anos, 
obtendo os valores apresentados a seguir. 
 
Ano (x) Vendas (y) 
1 450 
2 500 
3 600 
4 800 
5 1.200 
6 1.700 
7 2.100 
8 4.000 
9 5.000 
10 7.000 
 Vendas do brinquedo, por ano
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ano
V
e
n
da
s
 
 
O diagrama de dispersão dos dados indica que a relação não é linear. 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 102 
Para ajustar uma função exponencial, inicia-se com o cálculo dos somatórios de Y, x, Y2, 
x2 e xY, onde Y = ln (y) 
 
x y Y=ln(y) x2 xY Y2 
1 450 6,11 1 6,11 37,32 
2 500 6,21 4 12,43 38,62 
3 600 6,40 9 19,19 40,92 
4 800 6,68 16 26,74 44,68 
5 1.200 7,09 25 35,45 50,27 
6 1.700 7,44 36 44,63 55,33 
7 2.100 7,65 49 53,55 58,52 
8 4.000 8,29 64 66,35 68,79 
9 5.000 8,52 81 76,65 72,54 
10 7.000 8,85 100 88,54 78,39 
Total: 55 23.350 73,25 385,00 429,64 545,39 
 
Então, 
0,3245 )55()385(10
)25,73)(55()64,429(10B 2 =
−
−
= 
5399,5
10
)55(325,025,73A =−= 
3903,1)3245,0exp()Bexp(b === e 42,254)5399,5exp()Aexp(a === 
 
Logo, a equação final será 
Vendas =(254,42)(1,3903)ano 
 
Observe como os valores estimados pela equação estão próximos dos valores reais, 
observados na série de dados. 
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vendas
observadas
Vendas
estimadas pela
equação
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 103 
14.8.2 Função geométrica ou de potência - 
baxy =
 
 
 
a>0 b ímpar a>0 b par a<0 b ímpar a<0 b par 
 
Utilizando as propriedades dos logaritmos pode-se chegar a bXAY += onde 
x log X e a logA ,ylogY === 
Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e b e depois convertem-se os valores 
para a. 
A10a = 
 
Exemplo 
Os dados a seguir apresentam a produção de veículos automotivos (y) ao longo do tempo 
(x). Para estes dados ajuste um modelo de potência 
 
ano 59 60 61 62 63 64 65 
produção 96,1 133,0 145,6 191,2 174,2 183,7 185,2 
 
ano 66 67 68 69 70 71 72 
produção 224,6 225,4 278,5 349,5 416,0 516,0 609,0 
 
O diagrama de dispersão dos dados sugere que um modelo potencial é indicado. 
 
Produção automobilística anual
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
55 60 65 70 75
Ano
M
ilh
a
re
s
 
de
 
u
n
id
a
de
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 104 
Cálculo dos parâmetros: 
 
Ano Produção Y=ln(y) X=ln(x) Y2 X2 XY 
59 96,1 4,565 4,078 20,843 16,626 18,616 
60 133,0 4,890 4,094 23,916 16,764 20,023 
61 145,6 4,981 4,111 24,809 16,899 20,476 
62 191,2 5,253 4,127 27,597 17,033 21,681 
63 174,2 5,160 4,143 26,628 17,166 21,379 
64 183,7 5,213 4,159 27,179 17,296 21,682 
65 185,2 5,221 4,174 27,263 17,426 21,796 
66 224,6 5,414 4,190 29,315 17,553 22,684 
67 225,4 5,418 4,205 29,353 17,679 22,781 
68 278,5 5,629 4,220 31,690 17,804 23,753 
69 349,5 5,857 4,234 34,299 17,928 24,797 
70 416,0 6,031 4,248 36,369 18,050 25,621 
71 516,0 6,246 4,263 39,014 18,170 26,625 
72 609,0 6,412 4,277 41,111 18,290 27,421 
 Totais: 76,292 58,522 419,386 244,684 319,335 
 
Assim, 
7,970 )522,58()684,244(14
)292,76)(522,58()335,319(14b 2 =
−
−
= 
868,27
14
)522,58(970,7292,76A −=−= 
13E889,7)868,27exp()Aexp(a −=−== 
 
Y=A+bX � Y=-27,868+7,970X onde Y e X são, respectivamente, ln(x) e ln(y) 
 
Ou então, y=7,889E-13 x 7,970 
 
Logo, a equação final será 
Produção de automóveis =7,889E-13 (ano) 7,970 
 
O gráfico comparativo entre os valores observados para a produção e os estimados através 
da curva Produção de automóveis =7,889E-13 (ano) 7,970 é: 
 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 105 
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
Produção real
Produção estimada
pela equação
 
 
Exercícios1. Aos dados a seguir ajuste um modelo exponencial e um polinomial. Estime a 
quantidade de vendas para o ano de 2003, supondo que o comportamento dos dados 
seja mantido. DICA: utilize os números de 1 a 11 para os anos e calcule o valor de y quando x 
for 14. 
 
Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 
Vendas 15 16 17 18 25 28 32 42 55 76 93 
 
 
2. Se você tivesse uma série de dados como expressa no diagrama de dispersão a seguir, 
que modelo de regressão você utilizaria? O que você poderia dizer a respeito dos 
valores dos parâmetros? 
 
 
3. Uma companhia de energia elétrica estimou o consumo médio de energia das famílias 
(kwh) de acordo com a renda (R$). Ajuste os seguintes modelos: y=axb, y=abx e 
y=a+bx. 
Renda 197 286 243 218 241 200 215 198 129 157 296 302 
Consumo 1234 1432 1678 1300 1467 1245 1214 1200 770 890 2020 2100 
Prof. Cíntia Paese Giacomello 106 
1155 TTaabbeellaass