Resolução de EDLs de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 9 - Resolução de EDLs de Segunda Ordem com
Coeficientes Constantes
EDL de 2a ordem homogênea de coeficientes constantes.
(HCC) ay ′′+by ′+cy = 0 , a, b e c constantes, com a 6= 0.
Obs. Como p(t) = b/a, q(t) = c/a são contínuas para
t ∈ (−∞, ∞), as soluções de (HCC) estão definidas para
t ∈ (−∞, ∞).
Polinômio Característico: pc(r) = ar2 +br +c.
Soluções fundamentais dependem das raízes r1 e r2 da
Equação característica: pc(r) = 0.
• Se r1 6= r2 são reais então duas soluções LI de (H) são
y1(t) = er1t , y2(t) = er2t .
• Se r1 = α + iβ e r2 = α− iβ , com β 6= 0, então
y1(t) = eα t cos(β t), y2(t) = eα tsen(β t) .
EDL de 2a ordem homogênea de coeficientes constantes.
(HCC) ay ′′+by ′+cy = 0 , a, b e c constantes, com a 6= 0.
• Se r1 = r2 são raizes reais repetidas então um solução é
y1(t) = er1 t .
A outra solução LI com y1 é obtida pelo método da Redução
de ordem.
Suponha y2(t) = v(t)y1(t). Substitua na equação (HCC) para
obter a equação v ′′ = 0 e em seguida v ′ = c. Donde segue que
podemos considerar v(t) = t e daí:
y2(t) = t er1 t .
EDL de 2a ordem homogênea de coeficientes constantes.
(HCC) ay ′′+by ′+cy = 0 , a, b e c constantes, com a 6= 0.
Resumo dos tipos de solução geral da (HCC): Seja r1 e r2
raizes da equação característica ar2 +br +c = 0.
• Se r1 6= r2 são reais então yg(t) = c1 er1 t +c2 er2 t ;
• Se r1 = α + iβ e r2 = α− iβ , com β 6= 0, então
yg(t) = eα t (c1 cos(β t)+c2 sen(β t));
• Se r1 = r2 são raizes reais repetidas então
yg(t) = er1 t(c1 +c2 t).
Exemplo 1. Determine a solução de cada um dos PVIs. Em
seguida determine o comportamento da solução quando t →∞.
(a) y ′′+y ′−2y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 1.
(b) y ′′+4y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0.
(c) 9y ′′−12y ′+4y = 0, y(0) = 2, y ′(0) =−1.