Mat Economia III - Capítulo 7 - Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias

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CAPÍTULO 7 
Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias 
Aplicação de Autovalores e Autovetores 
 
 
 
Introdução: Algumas Definições 
 
Uma Equação Diferencial é uma equação que contém uma função desconhecida 
e uma ou mais de suas derivadas. A ordem da Equação Diferencial é a ordem da 
derivada mais alta que ocorre na equação. Uma função é solução da Equação 
Diferencial se satisfaz a equação. 
 
Uma Equação Diferencial é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) se 
possui uma única variável independente. Se possuir duas ou mais variáveis 
independentes é dita Equação Diferencial Parcial (EDP). 
 
Uma EDO Linear de Ordem n pode ser expressa como: 
𝑥(𝑛)(𝑡) + 𝑓1(𝑡)𝑥
(𝑛−1)(𝑡) + ⋯+ 𝑓𝑛−1(𝑡)𝑥
′(𝑡) + 𝑓𝑛(𝑡)𝑥(𝑡) = 𝑅(𝑡) (i) 
 
Quando em (i) 𝑅(𝑡) = 0 para qualquer 𝑡 do intervalo, a EDO é Linear 
Homogênea. Caso 𝑅(𝑡) ≠ 0 para algum 𝑡 do intervalo a EDO é Linear Não 
Homogênea. 
 
Quando todos os coeficientes 𝑓𝑘(𝑡) de (i) são constantes, a EDO é Linear de 
Coeficientes Constantes. Se pelo menos um dos coeficientes 𝑓𝑘(𝑡) for função de 𝑡 a 
EDO é Linear de Coeficientes Variáveis. 
 
Se a EDO não pode ser colocada na forma (i), a EDO é Não Linear. 
 
Quando se resolve uma Equação Diferencial, se obtém uma “família” de 
soluções, chamada de Solução Geral. 
 
Uma solução que pode ser obtida atribuindo-se valores particulares para as 
constantes arbitrárias da solução geral é uma Solução Particular ou Específica. Uma 
solução particular que não pode ser obtida atribuindo-se valores particulares para as 
constantes arbitrárias da solução geral é dita Solução Singular. 
 
Para se obter uma solução única para o problema são necessárias condições 
adicionais. Quando estas condições são especificadas para um mesmo valor da variável 
independente, são Condições Iniciais. Se forem especificadas para dois ou mais valores 
da variável independente, são Condições de Contorno. 
 
Uma Equação Diferencial acompanhada de Condições Iniciais forma um 
Problema de Valor Inicial (PVI). Uma Equação Diferencial acompanhada de 
Condições de Contorno forma um Problema de Valor de Contorno. 
 
Quando a função desconhecida, solução da equação diferencial, pode ser escrita 
em termos somente da variável independente a solução é dita Explícita. Caso contrário 
ela é Implícita. 
 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem foram estudadas no curso de 
Matemática para Economia II, juntamente com Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª 
Ordem Lineares com Coeficientes Constantes. 
 
Apenas para recordar, uma vez que necessitamos de alguns resultados: 
 
EDO Linear de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes 
EDO Homogênea 
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 
Resolução: 
Supondo solução na forma 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥, com 𝑟 constante, 𝑦′ = 𝑟𝑒𝑟𝑥, 𝑦′′ = 𝑟2𝑒𝑟𝑥. 
Na EDO: 𝑎𝑟2𝑒𝑟𝑥 + 𝑏𝑟𝑒𝑟𝑥 + 𝑐𝑒𝑟𝑥 = 0 
Dividindo a expressão por 𝑒𝑟𝑥, 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 
Chamada equação característica. Resolvendo-a obtém-se 2 raízes, que podem ser reais 
diferentes, reais iguais ou complexas conjugadas. Para cada caso, a solução geral ganha 
uma forma diferente: 
Raízes 𝑟1 e 𝑟2 reais e diferentes 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑟1𝑥 + 𝐶2𝑒
𝑟2𝑥 
Raízes reais iguais 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑟𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
𝑟𝑥 
Raízes complexas conjugadas 𝑟 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝐶2𝑒
𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 
 
EDO Não Homogênea 
𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) 
Resolução: Método dos Coeficientes a Determinar 
Resolver inicialmente a EDO homogênea associada: 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 
Depois, buscar uma solução particular 𝑦𝑝, supondo: 
𝑟(𝑥) 𝑦𝑝(𝑥) 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛 𝑥
𝑠(𝐴0𝑥
𝑛 + 𝐴1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝐴𝑛) 
𝑃𝑛(𝑥)𝑒
𝛼𝑥 𝑥𝑠(𝐴0𝑥
𝑛 + 𝐴1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝐴𝑛)𝑒
𝛼𝑥 
𝑃𝑛(𝑥)𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) ou 
 𝑃𝑛(𝑥)𝑒
𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 
𝑥𝑠(𝐴0𝑥
𝑛 + 𝐴1𝑥
𝑛−1 +⋯+
𝐴𝑛)𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥) + 𝑥𝑠(𝐵0𝑥
𝑛 + 𝐵1𝑥
𝑛−1 +
⋯+ 𝐵𝑛)𝑒
𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑥) 
O valor de 𝑠 é o número de vezes em que zero é raiz da equação característica. 
Obter 𝑦𝑝′′ e 𝑦𝑝′ para a solução particular escolhida. Substituir na equação não 
homogênea e determinar os coeficientes da solução particular. Caso não se possa obter 
coeficientes que satisfaçam a equação, tentar uma nova solução particular. 
A solução geral é obtida pela soma das soluções homogênea e particular. 
Caso existam condições iniciais, aplicar ao final do procedimento para determinar as 
constantes da equação. 
 
 
Sistemas de EDO lineares 
 
Considere o sistema formado por EDO’s: 
{
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑓1(𝑡, 𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛)
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
= 𝑓𝑛(𝑡, 𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛)
 (ii) 
Uma solução de (i) são funções 𝑥1(𝑡),⋯ , 𝑥𝑛(𝑡) tal que 
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡
= 𝑓𝑗(𝑡, 𝑥1,⋯ , 𝑥𝑛). 
 
Exemplo 
 {
𝑥1(𝑡) = 𝑡
𝑥2(𝑡) = 𝑡
2 é solução para {
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 1
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 2𝑡
 
O sistema de equações (i) junto com condições iniciais 
𝑥1(𝑡0) = 𝑥10,..., 𝑥𝑛(𝑡0) = 𝑥𝑛0 forma um Problema de Valor Inicial PVI. 
 
Exemplo. 
{
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥1
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑥1
2
 𝑥1(0) = 1, 𝑥2(0) =
3
2
 
𝑥1(𝑡) = 𝑒
𝑡, 𝑥2(0) = 1 +
𝑒2𝑡
2
 é uma solução do PVI. 
 
Sistemas de EDO de 1ª ordem podem se originar de EDO de ordem mais alta 
numa única variável y(t). Uma EDO de n-ésima ordem na única variável 𝑦 pode ser 
convertida num sistema de n equações de 1ª ordem nas variáveis 
𝑥1(𝑡) = 𝑦, 𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
, ... , 𝑥𝑛(𝑡) =
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
. 
Ou seja, 
𝑓𝑛(𝑡)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑓𝑛−1(𝑡)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+⋯+ 𝑓1(𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑓0(𝑡) = 0 
𝑥1(𝑡) = 𝑦 𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
 ... 𝑥𝑛(𝑡) =
𝑑𝑥𝑛−1
𝑑𝑡
=
𝑑𝑛−1𝑥1
𝑑𝑡𝑛−1
 
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
=
𝑑𝑛𝑥1
𝑑𝑡𝑛
 
Então, 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥1
𝑑𝑡2
= 𝑥3
⋮
𝑑𝑥𝑛−1
𝑑𝑡
=
𝑑𝑛−1𝑥1
𝑑𝑡𝑛−1
= 𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
=
𝑑𝑛𝑥1
𝑑𝑡𝑛
=
𝑓𝑛−1(𝑡)𝑥𝑛(𝑡) + ⋯+ 𝑓1(𝑡)𝑥2(𝑡) + 𝑓0(𝑡)𝑥1(𝑡)
𝑓𝑛(𝑡)
 
para 𝑓𝑛(𝑡) ≠ 0 
 
Exemplo: 
𝑑3𝑦
𝑑𝑡3
+
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 3𝑦 = 𝑒𝑡 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1, 𝑦′′(0) = 1 
Fazendo: 
𝑥1(𝑡) = 𝑦 
𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑥3(𝑡) =
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 
Então: 
𝑑3𝑥3
𝑑𝑡3
=
𝑑3𝑦
𝑑𝑡3
 
Na equação: 
𝑑3𝑥3
𝑑𝑡3
+ 𝑥3 + 3𝑥1 = 𝑒
𝑡 
Com condições iniciais: 𝑥1(0) = 𝑦(0) = 1, 𝑥2(0) = 𝑦
′(0) = 1, 𝑥3(0) = 𝑦′′(0) = 1 
Que resulta no sistema: 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑥3
𝑑3𝑥3
𝑑𝑡3
= 𝑒𝑡 − 𝑥3 − 3𝑥1
 
 
 
Sistemas de EDO’s de 1ªOrdem Lineares Homogêneos – Coeficientes Constantes 
 
Se todas as EDO’s que compõem o sistema são lineares o sistema de equações é 
Linear. Se todas as EDO’s que compõem o sistema são lineares homogêneas, o sistema 
de EDO’s é Linear Homogêneo. Caso pelo menos uma das EDO’s seja não 
homogênea, o sistema de EDO’s é Linear Não Homogêneo. 
 
Seja o sistema de EDO’s Linear de 1ªOrdem: 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑎11(𝑡)𝑥1 + 𝑎12(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑔1(𝑡)
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑎21(𝑡)𝑥1 + 𝑎22(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑔2(𝑡)
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡
= 𝑎𝑛1(𝑡)𝑥1 + 𝑎𝑛2(𝑡)𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑔𝑛(𝑡)
 
 
Para 𝑔𝑘 = 0 para todo 𝑘 o sistema é homogêneo. 
 Consideraremos apenas os casos 𝑎𝑖𝑗(𝑡) = 𝑎𝑖𝑗 constantes. 
 Na forma matricial, fazendo: 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 𝑥′ =
[
 
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
⋮
𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 ]
 
 
 
 
 
 
Tem-se: 
𝑥′ = 𝐴𝑥 
Supondo que a solução tenha a forma: 
𝑠 =
[
 
 
 
𝑣1𝑒
𝜆𝑡
𝑣2𝑒
𝜆𝑡
⋮
𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑡]
 
 
 
= [
𝑣1
𝑣2
⋮
𝑣𝑛
] 𝑒𝜆𝑡 = 𝑣𝑒𝜆𝑡 
A derivada é 
𝑠′ =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
[
 
 
 
𝜆𝑣1𝑒
𝜆𝑡
𝜆𝑣2𝑒
𝜆𝑡
⋮
𝜆𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑡]
 
 
 
= 𝜆 [
𝑣1
𝑣2
⋮
𝑣𝑛
] 𝑒𝜆𝑡 = 𝜆𝑣𝑒𝜆𝑡 
Então, em 𝑥′ = 𝐴𝑥: 
𝑠′ = 𝐴𝑠 
𝜆𝑣𝑒𝜆𝑡 = 𝐴𝑣𝑒𝜆𝑡 
Como 𝑒𝜆𝑡 ≠ 0: 
𝜆𝑣 = 𝐴𝑣 
Que é a definição de Autovalores e Autovetores de 𝐴. 
 
Breve revisão de Autovalores e Autovetores: 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 e 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛. 
Um vetor 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑣 ≠ 0 é Autovetor(vetor próprio ou vetor característico) da 
matriz 𝐴 se existe 𝜆 ∈ ℝ tal que 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
 O número real 𝜆 é denominado Autovalor (valor próprio ou valor característico) 
de 𝐴 associado ao autovetor 𝑣. 
 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 = 𝜆𝐼𝑣 
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 
Que representa um sistema linear homogêneo com 𝑛 equações e 𝑛 variáveis. Um 
sistema homogêneo sempre tem solução, pois pelo menos admite a solução trivial, neste 
caso 𝑣 = 0. Se ele admitir apenas uma solução, esta solução será a trivial. Como o vetor 
nulo não pode ser autovetor, pois 𝑣 ≠ 0, deveremos obter os conjuntos de soluções 
(caso indeterminado). Quando o sistema 𝑀𝑥 = 𝑏 tem uma única solução, 𝑥 = 𝑀−1𝑏, 𝑀 
é invertível e det𝑀 ≠ 0. Então, para que ele tenha infinitas soluções, det𝑀 = 0. 
 Neste caso: 
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 
Que representa um polinômio de grau 𝑛 em 𝜆, chamado Equação Característica. As 
raízes 𝜆 da equação são os autovalores de 𝐴. 
 Para cada autovalor obtido, resolvendo: 
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 
Se obtém o auto-espaço, os autovetores associados àquele autovalor 𝜆. 
 
Retornando as sistema de EDO’s: 
 Para cada autovalor de 𝐴 é possível obter uma solução linearmente independente 
𝑠𝑖 = 𝑣𝑖𝑒
𝜆𝑖𝑡 chamada solução fundamental. 
 A solução geral é obtida pelas combinações lineares das soluções fundamentais: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑣1𝑒
𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑣2𝑒
𝜆2𝑡 +⋯+ 𝐶𝑛𝑣𝑛𝑒
𝜆𝑛𝑡 
 
Exemplo 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3
 
Então: 
𝐴 = [
1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1
] 
Cujos autovalores são: 
𝜆1 = 1, 𝜆2 = 3, 𝜆3 = −2 
Com autovetores associados: 
𝑣1 = [
−1
4
1
], 𝑣2 = [
1
2
1
], 𝑣3 = [
−1
1
1
] 
Então a solução geral é: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑣1𝑒
𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑣2𝑒
𝜆2𝑡 + 𝐶3𝑣3𝑒
𝜆3𝑡 = 𝐶1 [
−1
4
1
] 𝑒𝑡 + 𝐶2 [
1
2
1
] 𝑒3𝑡 + 𝐶3 [
−1
1
1
] 𝑒−2𝑡 
Ou ainda: 
[
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] = [
−𝐶1𝑒
𝑡 + 𝐶2𝑒
3𝑡 − 𝐶3𝑒
−2𝑡
4𝐶1𝑒
𝑡 + 2𝐶2𝑒
3𝑡 + 𝐶3𝑒
−2𝑡
𝐶1𝑒
𝑡 + 𝐶2𝑒
3𝑡 + 𝐶3𝑒
−2𝑡
] 
 
 
Analisando a Natureza dos Autovalores 
 A natureza dos autovalores e autovetores associados determina a natureza da 
solução geral de um sistema de EDO’s de 1ª ordem linear homogêneo de coeficientes 
constantes. Supondo que a matriz 𝐴 seja real, existem três possibilidades para os 
autovalores de 𝐴: 
1) Todos os autovalores são reais e distintos entre si; 
2) Alguns autovalores ocorrem em pares complexos conjugados; 
3) Alguns autovalores são reais e repetidos. 
 
Todos os Autovalores são Reais e Distintos entre si 
 
Quando os autovalores são reais e distintos, como no exemplo visto 
anteriormente, existe um autovetor 𝑣𝑖 real associado a cada autovalor 𝜆𝑖 e os 𝑛 
autovetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 são linearmente independentes. A solução é dada por: 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟏𝒗𝟏𝒆
𝝀𝟏𝒕 + 𝑪𝟐𝒗𝟐𝒆
𝝀𝟐𝒕 +⋯+ 𝑪𝒏𝒗𝒏𝒆
𝝀𝒏𝒕 
 Quando a matriz 𝐴 é simétrica todos seus autovalores 𝜆1, 𝜆2, ⋯ , 𝜆𝑛 são reais. 
Além disto, matrizes simétricas possuem conjuntos de autovetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 
ortogonais entre si. 
 Quando 𝐴 possui autovalores repetidos, mas um conjunto completo de 𝑛 
autovetores 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑛 linearmente independentes, a solução tem a mesma forma. 
Suponha que 𝜆𝑘 seja o autovalor repetido, com autovetores associados 𝑣𝑘 e 𝑣𝑘+1 
linearmente independentes: 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟏𝒗𝟏𝒆
𝝀𝟏𝒕 +⋯+ 𝑪𝒌𝒗𝒌𝒆
𝝀𝒌𝒕 + 𝑪𝒌+𝟏𝒗𝒌+𝟏𝒆
𝝀𝒌𝒕⋯+𝑪𝒏𝒗𝒏𝒆
𝝀𝒏𝒕 
Exemplo 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥2 + 𝑥3
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑥1 + 𝑥3
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑥1 + 𝑥2
 
Então: 
𝐴 = [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
] é uma matriz simétrica, ou seja, 𝐴 = 𝐴𝑇. 
Cujos autovalores são: 
𝜆1 = 2, 𝜆2 = 𝜆3 = −1 
Com autovetores associados: 
Para 𝜆1 = 2: 𝑣1 = [
1
1
1
] 
Para 𝜆2 = 𝜆3 = −1 𝑣2 = [
1
0
−1
], 𝑣3 = [
0
1
−1
] 
Então a solução geral é: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1 [
1
1
1
] 𝑒2𝑡 + 𝐶2 [
1
0
−1
] 𝑒−𝑡 + 𝐶3 [
0
1
−1
] 𝑒−𝑡 
Ou ainda: 
[
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] = [
𝐶1𝑒
2𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝑡
𝐶1𝑒
2𝑡 + 𝐶3𝑒
−𝑡
𝐶1𝑒
2𝑡 − 𝐶2𝑒
−𝑡 − 𝐶3𝑒
−𝑡
] 
 
 Para valores grandes de 𝑡, a primeira parcela é dominante, e quando 𝑡 → ∞, 
𝑥(𝑡) → ∞. Se para determinadas condições iniciais 𝐶1 = 0, como todas as exponenciais 
são negativas, 𝑥(𝑡) → 0 quando 𝑡 → ∞. 
 
Alguns Autovalores ocorrem em Pares Complexos Conjugados 
 
 Quando alguns autovalores ocorrem em pares complexos conjugados, chamando 
os autovalores que compõem o par complexo conjugado 𝜆1 e 𝜆2, a equação de cálculo 
de autovetores para estes autovalores complexos: 
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑣 = 0 
Tem como solução autovetores 𝑣1 e 𝑣2 complexos conjugados. As soluções 
fundamentais do sistema diferencial: 
𝑠1 = 𝑣1𝑒
𝜆1𝑡 𝑠2 = 𝑣2𝑒
𝜆2𝑡 
São complexas conjugadas uma da outra. 
Como no caso de EDO’s de 2ªordem, pode-se encontrar duas soluções reais 
correspondentes aos autovalores complexos 𝜆1 e 𝜆2. 
Sejam 𝛼 e 𝛽 as partes reais e imaginárias de 𝜆1 e 𝜆2, ou seja, 𝜆1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 e 
𝜆2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 e sejam 𝑎 e 𝑏 as partes reais e imaginárias de 𝑣1 e 𝑣2 (lembre que 𝑎 e 𝑏 
são vetores complexos conjugados, 𝑣1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑣2 = 𝑎 − 𝑖𝑏), as soluções complexas 
associadas são: 
𝑟1 = (𝑎 + 𝑖𝑏 )𝑒
(𝛼+𝛽𝑖)𝑡 = (𝑎 + 𝑖𝑏 )𝑒𝛼𝑡[cos(𝛽𝑡) + 𝑖 sin(𝛽𝑡)] 
𝑟2 = (𝑎 − 𝑖𝑏 )𝑒
(𝛼−𝛽𝑖)𝑡 = (𝑎 − 𝑖𝑏 )𝑒𝛼𝑡[cos(𝛽𝑡) − 𝑖 sin(𝛽𝑡)] 
Podem ser combinadas de modo a se obter soluções fundamentais reais a partir 
delas, a saber: 
𝑠1 = 𝑒
𝛼𝑡[𝑎 cos(𝛽𝑡) − 𝑏 sin(𝛽𝑡)] e 𝑠2 = 𝑒
𝛼𝑡[𝑎 sin(𝛽𝑡) + 𝑏 cos(𝛽𝑡)] 
Considerando os demais autovalores reais, tem-se: 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟏𝒆
𝜶𝒕[𝒂𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒕) − 𝒃 𝐬𝐢𝐧(𝜷𝒕)] + 𝑪𝟐𝒆
𝜶𝒕[𝒂 𝐬𝐢𝐧(𝜷𝒕) + 𝒃 𝐜𝐨𝐬(𝜷𝒕)] + 
+ 𝑪𝟑𝒗𝟑𝒆
𝝀𝟑𝒕 +⋯+ 𝑪𝒏𝒗𝒏𝒆
𝝀𝒏𝒕 
Exemplo 
{
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= −
1
2
𝑥1 + 𝑥2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= −𝑥1 −
1
2
𝑥2
 
Então: 
𝐴 = [
−1
2
1
−1 −1
2
] é uma matriz real. 
Cujos autovalores são: 
𝜆1 = −
1
2
+ 𝑖, 𝜆2 = −
1
2
− 𝑖 par de complexos conjugados. 
Neste caso, 𝛼 = −
1
2
 e 𝛽 = 1. 
Os autovetores associados são: 
Para 𝜆1 = −
1
2
+ 𝑖, 𝑣1 = [
1
𝑖
] 
Pois na equação de determinação de autovetores: 
[
−
1
2
− (−
1
2
+ 𝑖) 1
−1 −
1
2
− (−
1
2
+ 𝑖)
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
[
−𝑖 1
−1 −𝑖
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
Para 𝜆2 = −
1
2
− 𝑖, 𝑣2 = [
1
−𝑖
] 
Observando os autovetores, 𝑣1 e 𝑣2 são vetores complexos conjugados, isto é: 
𝑣1 = [
1
𝑖
] = [
1
0
] + [
0
1
] 𝑖 e 𝑣2 = [
1
−𝑖
] = [
1
0
] − [
0
1
] 𝑖 
Logo, 𝑎 = [
1
0
] e 𝑏 = [
0
1
] 
As soluções fundamentais reais obtidas são: 
𝑠1(𝑡) = 𝑒
−
1
2
𝑡 [[
1
0
] cos(𝑡) − [
0
1
] sin(𝑡)] = 𝑒−
1
2
𝑡 [
cos(𝑡)
− sin(𝑡)
] 
𝑠2(𝑡) = 𝑒
−
1
2
𝑡 [[
1
0
] sin(𝑡) + [
0
1
] cos(𝑡)] = 𝑒−
1
2
𝑡 [
sin(𝑡)
cos(𝑡)
] 
 E a solução geral: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
−
1
2
𝑡 [
cos(𝑡)
− sin(𝑡)
] + 𝐶2𝑒
−
1
2
𝑡 [
sin(𝑡)
cos(𝑡)
] = 𝑒−
1
2
𝑡 [
𝐶1 cos(𝑡) + 𝐶2 sin(𝑡)
−𝐶1 sin(𝑡)+𝐶2 cos(𝑡)
] 
 
 
Alguns Autovalores são Reais e Repetidos 
 
Quando pelo menos um dos autovalores é repetido, nem sempre se obtém um 
conjunto completo de 𝑛 autovetores 𝑣1, 𝑣2,⋯ , 𝑣𝑛 linearmente independentes, e o 
conjunto de soluções fundamentais 𝑣𝑖𝑒
𝜆𝑖𝑡 é menor que 𝑛. Para que se possa obter o 
conjunto fundamental de soluções é necessário que se obtenha soluções adicionais de 
outras formas. 
 Esta situação é análoga aos casos de uma equação linear de ordem 𝑛 com 
coeficientes constantes. A raíz repetida da equação diferencial fornece soluções da 
forma 𝑒𝜆𝑖𝑡, 𝑡𝑒𝜆𝑖𝑡, 𝑡2𝑒𝜆𝑖𝑡, etc. 
 
Exemplo 
{
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
= 𝑥1 − 𝑥2
𝑑𝑥2
𝑑𝑡
= 𝑥1 + 3𝑥2
 
Então: 
𝐴 = [
1 −1
1 3
] 
Cujos autovalores são: 
𝜆1 = 𝜆2 = 2 
Na equação de determinação de autovetores: 
[
1 − 2 −1
1 3 − 2
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 
[
−1 −1
1 1
] [
𝑥
𝑦] = [
0
0
] 𝑥 = −𝑦 
Que resultam em um único autovetor associado linearmente independente, que pode ser: 
𝑣 = [
1
−1
] 
Então tem-se uma solução fundamental do sistema de EDO’s, a saber:𝑠1 = 𝑣𝑒
𝜆𝑡 = [
1
−1
] 𝑒2𝑡 = [ 𝑒
2𝑡
−𝑒2𝑡
] 
 Baseado no procedimento adotado para uma equação linear de 2ª ordem com 
coeficientes constantes, procurando encontrar uma segunda solução do sistema na 
forma: 
𝑠2 = 𝑢𝑡𝑒
𝜆𝑡 
 Onde 𝑢 é um vetor constante a ser determinado, 
𝑠2 = [
𝑎1
𝑎2
] 𝑡𝑒2𝑡 = [
𝑎1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑡𝑒
2𝑡] 
 Substituindo 𝑠2 no sistema de EDO’s, 
𝑠2′ = 𝐴𝑠2 
[
𝑎1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑡𝑒
2𝑡]
′
= [
1 −1
1 3
] [
𝑎1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑡𝑒
2𝑡] 
[
𝑎1𝑒
2𝑡 + 2𝑎1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑒
2𝑡 + 2𝑎2𝑡𝑒
2𝑡] = [
1 −1
1 3
] [
𝑎1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑡𝑒
2𝑡] 
 Este sistema tem solução 𝑢 = 0, ou seja, não existe solução não-nula. 
 Verificando a forma de 𝑠2′, conclui-se que a solução deve ter termos com 𝑒
2𝑡 e 
𝑡𝑒2𝑡. Modificando então a solução arbitrada para: 
𝑠2 = 𝑢𝑒
𝜆𝑡 +𝑤𝑡𝑒𝜆𝑡 
 Onde 𝑢 e 𝑤 são vetores constantes a serem determinados 
𝑠2 = [
𝑎1
𝑎2
] 𝑒2𝑡 + [
𝑏1
𝑏2
] 𝑡𝑒2𝑡 = [
𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑒
2𝑡 + 𝑏2𝑡𝑒
2𝑡] 
 Substituindo 𝑠2 no sistema de EDO’s, 
𝑠2′ = 𝐴𝑠2 
[
𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑒
2𝑡 + 𝑏2𝑡𝑒
2𝑡]
′
= [
1 −1
1 3
] [
𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑡𝑒
2𝑡
𝑎2𝑒
2𝑡 + 𝑏2𝑡𝑒
2𝑡] 
[
2𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑒
2𝑡 + 2𝑏1𝑡𝑒
2𝑡
2𝑎2𝑒
2𝑡 + 𝑏2𝑒
2𝑡 + 2𝑏2𝑡𝑒
2𝑡] = [
𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑡𝑒
2𝑡 − 𝑎2𝑒
2𝑡 − 𝑏2𝑡𝑒
2𝑡
𝑎1𝑒
2𝑡 + 𝑏1𝑡𝑒
2𝑡 + 3𝑎2𝑒
2𝑡 + 3𝑏2𝑡𝑒
2𝑡] 
[
(2𝑎1 + 𝑏1)𝑒
2𝑡 + 2𝑏1𝑡𝑒
2𝑡
(2𝑎2 + 𝑏2)𝑒
2𝑡 + 2𝑏2𝑡𝑒
2𝑡] = [
(𝑎1 − 𝑎2)𝑒
2𝑡 + (𝑏1 − 𝑏2)𝑡𝑒
2𝑡
(𝑎1 + 3𝑎2)𝑒
2𝑡 + (𝑏1 + 3𝑏2)𝑡𝑒
2𝑡] 
Da igualdade, na primeira linha tem-se: 
(2𝑎1 + 𝑏1)𝑒
2𝑡 + 2𝑏1𝑡𝑒
2𝑡 = (𝑎1 − 𝑎2)𝑒
2𝑡 + (𝑏1 − 𝑏2)𝑡𝑒
2𝑡 
Igualando os coeficientes de 𝑒2𝑡 e 𝑡𝑒2𝑡: 
2𝑎1 + 𝑏1 = 𝑎1 − 𝑎2 
2𝑏1 = 𝑏1 − 𝑏2 
Na segunda linha tem-se: 
(2𝑎2 + 𝑏2)𝑒
2𝑡 + 2𝑏2𝑡𝑒
2𝑡 = (𝑎1 + 3𝑎2)𝑒
2𝑡 + (𝑏1 + 3𝑏2)𝑡𝑒
2𝑡 
Igualando os coeficientes de 𝑒2𝑡 e 𝑡𝑒2𝑡: 
2𝑎2 + 𝑏2 = 𝑎1 + 3𝑎2 
2𝑏2 = 𝑏1 + 3𝑏2 
 Formando um sistema: 
2𝑎1 + 𝑏1 = 𝑎1 − 𝑎2 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 = 0 
2𝑏1 = 𝑏1 − 𝑏2 𝑏1 + 𝑏2 = 0 
2𝑎2 + 𝑏2 = 𝑎1 + 3𝑎2 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑏2 = 0 
2𝑏2 = 𝑏1 + 3𝑏2 𝑏1 + 𝑏2 = 0 
 Analisando superficialmente as equações observa-se que temos apenas duas 
relações distintas para quatro variáveis. O sistema é homogêneo e apresenta infinitas 
soluções, do tipo: 
𝑏2 = −𝑏1 𝑎2 = −𝑎1 − 𝑏1 
Na expressão de 𝑠2: 
𝑠2 = 𝑢𝑒
𝜆𝑡 +𝑤𝑡𝑒𝜆𝑡 
𝑠2 = [
𝑎1
𝑎2
] 𝑒2𝑡 + [
𝑏1
𝑏2
] 𝑡𝑒2𝑡 
𝑠2 = [
𝑎1
−𝑎1 − 𝑏1
] 𝑒2𝑡 + [
𝑏1
−𝑏1
] 𝑡𝑒2𝑡 
 Comparando 𝑤 com o autovetor determinado, verifica-se que 𝑤 é também 
autovetor associado ao autovalor 𝜆1 = 𝜆2 = 2, pois 𝑤 é múltiplo de 𝑣, 𝑤 = 𝑏1𝑣. 
 Fazendo 𝑤 = 𝑣 (𝑏1 = 1) e 𝑎1 = 𝑘, pode-se determinar 𝑢: 
𝑢 = [
𝑘
−𝑘 − 1
] = [
0
−1
] + 𝑘 [
1
−1
] 
 Obtendo a solução fundamental: 
𝑠2 = [
0
−1
] 𝑒2𝑡 + 𝑘 [
1
−1
] 𝑒2𝑡 + [
1
−1
] 𝑡𝑒2𝑡 
Então a solução geral é: 
𝑥(𝑡) = 𝐶1 [
1
−1
] 𝑒2𝑡 + 𝐶2 [[
0
−1
] 𝑒2𝑡 + [
1
−1
] 𝑡𝑒2𝑡] 
[
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] = [
𝐶1𝑒
2𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒
2𝑡
−(𝐶1 + 𝐶2)𝑒
2𝑡 − 𝐶2𝑡𝑒
2𝑡] 
Observe que o termo 𝑘 [
1
−1
] 𝑒2𝑡 foi desconsiderado porque já está incorporado 
em 𝐶1 [
1
−1
] 𝑒2𝑡.