gabarito Cálculo Diferencial e Integral IV

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL IV
2020
Prof.ª Daniela Rego Amazonas
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1	 Classifique	 as	 seguintes	 equações	quanto	 ao	 tipo,	 ordem,	grau	 e	
linearidade:
( )
( ) ( )
−
− =
=−
+ =
+ =
+ − − =
 + =  
 
   
− − = +   
   
− + =
2
2
33
3
2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2 52 2 4
2 2 4
2
a) 1
b) 3
c) 2 
d) 6 0
e) 
f) 
g) 1 
h) 1 0
x
d y y
d ydx
dx
dy x
dx
dy xy e
dx
d y y
dt
d y d yx x x c y o
dx dx
dy dyy x x
dx dx
d y d y d yx y
dx dx dx
xy dy x dx
R.: 
a) É uma EDO de 3ª ordem, 2º grau, não linear.
b) É uma EDO de 1ª ordem, 1º grau, linear.
c) É uma EDO de 1ª ordem, 1º grau, linear.
d) É uma EDO de 2ª ordem, 1º grau, linear.
e) É uma EDO de 2ª ordem, 1º grau, linear.
f) É uma EDO de 1ª ordem, 2º grau, não linear.
g) É uma EDO de 4ª ordem, 5º grau, não linear.
h) É uma EDO de 1ª ordem, 1º grau, não linear.
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2		Quais	das	seguintes	afirmações	estão	corretas?
I- Toda equação diferencial pode ser classificada de acordo com seu 
grau. 
II- Toda equação diferencial de primeira ordem tem solução única.
II- Toda equação diferencial tem solução.
IV- A equação diferencial − + =
2
1
2cos ln 0
d y dyx x
dx dx
 é linear.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c)	(x)	III	e	IV.
d) ( ) IV e I.
e) ( ) II.
3		Verifique	qual	das	funções	a	seguir	é	solução	da	equação	diferen-
cial:
( )( ) ( ) ( )( )−
′
+
=
2 22 cos ln 1 sen ln
.
x x x x
y
x
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
=
 = + 
 
=
2
3
2
a)( ) sen ln .
2b)( ) 1 sen ln .
3
c)( ) cos ln .
y x x x
y x x x
y x x x
2d)(x)	y x = 1+ x cos ln x .
R.: Basta derivar y(x) = (1 + x2) cos (ln(x)), aplicando as regras do produto 
e da cadeia.
TÓPICO 2
1		Quais	das	seguintes	afirmações	não	são	verdadeiras?
I- As equações de Clairaut são exemplos de equações diferenciais lineares.
II- A solução encontrada através do fator integrante é a solução geral de 
uma equação diferencial de primeira ordem. 
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
III- As equações diferenciais exatas são resolvidas através da separação de 
variáveis.
IV- A equação de Lagrange é um exemplo da equação de Clairaut.
a) ( ) I e II.
b) ( ) III e IV.
c) ( ) I, II e IV.
d)	(x)	I,	II,III	e	IV.
 
2		No	texto,	usamos	a	palavra	“homogênea”	em	duas	definições	distin-
tas.	Explique	a	diferença	entre	as	duas	definições.
R.: Na primeira definição, temos uma equação do tipo:
( ) ( ) ( )+ =1 0
dya x a x y f x
dx
Ela é homogênea quando f(x) = 0. Na segunda definição inserimos o con-
ceito de funções homogêneas, ou seja, g(tx, ty) = ta g(x, y). Se a equação 
diferencial for composta por funções homogêneas de mesmo grau, então, 
ela é dita homogênea.
3		Durante	nossos	estudos	sobre	equações	diferenciais	ordinárias	de	
primeira	ordem,	vimos	que,	de	acordo	com	o	tipo,	temos	uma	deter-
minada	metodologia	mais	 adequada	 a	 ser	 aplicada	 nas	 soluções.	
Dadas	as	equações	diferenciais	de	primeira	ordem,	classifique-as	
de	acordo	com	o	tipo	e	encontre	sua	solução.
( ) ( )
+=
+ =
+ + − =
−
=
+
′
3 2
3
2
a) 
b) 2
c) 6 4 4 4 0
2 2d) 
2 2
x ydy e
dx
y xy x
x y dx x y dy
dy y x
dx y x
R.: a) Equação de primeira ordem de variáveis separáveis. Para resolvê-la, 
devemos reescrevê-la da forma:
= 32
1 x
y dy e dxe
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Integrando ambos os membros da equação, temos:
−− = +2 3
1 1
2 3
y xe e c
Isolando y, obtemos:
 − − 
 = −
32ln 2
3
2
xe c
y
b) Equação linear. Resolveremos usando o fator integrante. Então, temos 
p(x) = 2x, logo, o fator integrante é ∫ = 22 xdx xe e . Assim, temos:
+ =′
2 2 2 32x x xe y e xy e x 
  = 
2 2 3x xd e y e x
dx
Integrando e isolando y:
− +
=
2 2
2
2 2
2
x x
x
e x e cy
e
c) A equação é exata, portanto, para resolvê-la:
∂
= +
∂
6 4f x y
x
Integrando em relação a x:
( )= + +23 4f x xy g y
Derivando em relação a y:
( )
( )
( )
∂
= + = −
∂
−
=
′
′ =
−
2
2
3
4 4 4
4
4
3
f x g y x y
y
g y y
g y y
Assim, o resultado é:
 
+ − =2 3
43 4
3
x xy y c
d) Podemos reescrever a equação:
 ( ) ( )+ − − =2 2 2 2 0y x dy y x dx
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Logo, ela é uma ED homogênea de grau 1. Fazendo a substituição y = ux e 
dy = xdu + udx, obtemos:
+
+ =
+2
1 1 0
1
udx du
x u
Integrando:
−+ + + =1 2
1ln tan ln 1 0
2
x u u
Lembrando que = yu
x
:
−+ + + =
2
1
2
1ln tan ln 1 0
2
y yx
x x
TÓPICO 3
1		Quais	das	seguintes	afirmações	são	falsas?
I- O princípio da superposição menciona que a combinação linear de solu-
ções de uma equação diferencial linear ainda é uma solução da equação 
diferencial.
II- Duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem são 
linearmente independentes somente se o wronskiano é não nulo.
III- No método de redução de ordem, utiliza-se o fator integrante, como es-
tudado no tópico anterior.
a) ( ) I.
b)	(x)	II.
c) ( ) III.
d) ( ) I e III.
2		Verifique	qual	das	funções	a	seguir	é	a	solução	da	equação	diferen-
cial:
y´´ + y´ – y	=	3ex	cos(x).
a) ( ) y(x) = ex cos(x) sen(x).
b) ( ) y(x) = ex + cos(x).
c)	(x)	y(x)	=	ex	sen(x).
d) ( ) y(x) = ex cos(x).
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
R.: Basta calcular as derivadas via regra do produto.
3		Os	problemas	de	valores	iniciais	são	muito	importantes	no	estudo	
de	equações	diferenciais,	pois	são	advindos	de	aplicações	em	ou-
tras	ciências,	com	a	presença	de	condições	 iniciais.	Assim,	prati-
que,	resolvendo	o	seguinte	PVI:
( ) ( )
=′′ ′− −
 =′=
4 4 3 0
0 1, 0 5
y
y
y y
y .
R.: a EDO é de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. 
A equação característica associada é (4k2 – 4k – 3) = 0, cujas raízes são 
=
3
2
k e = − 1
2
k . Assim, a solução é da forma ( )
−
= +
3
2 2
1 2
x x
y x c e c e . Aplican-
do as condições iniciais: 
− = + − 
 
3
2 27 71
4 4
x x
y e e .
TÓPICO 4
1		Quais	das	seguintes	afirmações	são	verdadeiras?
I- O teorema de Abel-Ruffini garante a existência de soluções de polinômios 
por radicais.
II- O conjunto fundamental de soluções para uma equação diferencial linear 
com coeficientes constantes tem n + 1.
III- Se α β+ i é solução de uma equação polinomial, então, α β− i é uma 
solução também.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II.
c)	(x)	III.
d) ( ) II e III.
2		Resolva	o	seguinte	PVI:
( ) ( ) ( )=
′′′ ′′ ′
′ ′
+ − − =
 ′= =
2 5 6 0
.
0 0 0, 0 1
y y y y
y y y
R.: A EDO é de terceira ordem homogênea com coeficientes constantes. A 
equação característica associada é k2 + 2k2 – 5k – 6 = 0, cujas raízes são 
k = –1, k = 2 e k = –3. Logo, a solução é da forma:
 − −= + +2 31 2 3
x x xy c e c e c e
8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Aplicando as condições iniciais, obtemos, como solução:
− − = − − + + 
 
2 31 1 1 1
15 10 15 10
x x xy e e e
3		Considere	uma	equação	diferencial	da	seguinte	forma:
′′′ ′′+ + = 0y ay y'
O coeficiente a é igual a onze décimos dele mesmo adicionada a terça parte 
de 40% de 3. Qual a solução geral da equação diferencial?
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
= + +
= + +
= + +
1 2 3
2
1 2 3
3 - 3
1 2 3
a) ( ) sen 3 cos 3 .
b) ( ) sen 3 cos 3 .
d) ( ) .
x
x x
y x c c x c x
y x c e c x c x
y x c c e c e
2x 3x - 3x
1 2 3c)	(x)	y x = c +e c e +c e .
 
R.: Primeiramente, deve-se encontrar o valor do coeficiente a. Com efeito, o 
enunciado do problema diz que o coeficiente a é igual a onze décimos dele 
mesmo adicionada a terça parte de 40% de 3, ou seja:
 = + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ − = ⇒ − = 
 
11 1 40 11 1 40 11 120 1 63 3 1
10 3 100 10 3 100 10 300 10 15
a a a a a a
Portanto, a = –4 e, consequentemente, a equação diferencial que deve ser 
resolvida é:
y´´´ – 4y´´ + y´ = 0
A EDO é de terceira ordem homogênea com coeficientes constantes. A 
equação característica associada é k3 – 4k2 + k = 0, cujas raízes são k = 0, 
= + = = −2 3 e 2 3.k k k Logo, a solução é da forma:
 ( ) ( )−= + +2 3 31 2 3 .x x xy x c e ce c e
TÓPICO 5
1		Quais	das	seguintes	afirmações	estão	corretas?
I- As equações de Cauchy-Euler são diferenciais não lineares.
9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
II- As soluções fundamentais das equações de Cauchy-Euler têm forma 
y(x) = ekx.
III- As equações de Cauchy-Euler e as equações diferenciais com coefi-
cientes constantes têm a mesma metodologia para a determinação do 
conjunto fundamental de soluções.
a) ( ) I e II.
b)	(x)	III.
c) ( ) II e III.
d) ( ) I.
2		Resolva	a	seguinte	equação	diferencial:
x2y´´ + 3xy´ + 4y = 0.
R.: A equação diferencial em questão é uma equação de Cauchy-Euler. A 
equação característica para o problema é k2 + 2k + 4 = 0, cujas soluções são 
= − + = − −1 3 e 1 3 .k i k i Portanto, a solução geral é:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )− += + = 1 21 1 2 cos( 3 ln ) sen( 3 ln )cos( 3 ln ) sen( 3 ln ) . c x c xy x x c x c x x
3		Considere	uma	equação	diferencial	da	seguinte	forma:
x2y´´ + axy´ + by = 0
Os coeficientes a e b são constantes não nulas de forma que a é o quádruplo 
de b e b é o quadrado de a. Qual é a solução geral da equação diferencial?
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
−= +
= +
    
= +            
3 3
1 2
2 2
1 2
3
8
1 2
a) ( ) .
b) ( ) ln .
5 5c) ( ) cos ln sen ln .
8 8
y x c x c x
y x c x c x x
y x x c x c x
3+ 5 3- 5
8 8
1 2d)	(x)	y x = c x +c x .
R.: Inicialmente, precisamos determinar os valores das constantes não nu-
las a e b. O enunciado diz que a é o quádruplo de b e b é o quadrado de a, 
ou seja:
=
 =
2
4
 
a b
b a
10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Substituindo a equação 1 na equação 2, obtemos:
− =2
1 0
4
a a
A solução é a = 0 e = 1.
4
a A solução nula é descartada, pois o problema 
pede constantes não nulas. Portanto, a solução é = =1 1 e .
4 16
a b Logo, a 
equação diferencial que deve ser resolvida é + +′′ =2 '1 1 0,
4 16
x y xy y cuja 
equação característica é − + =216 12 1 0.k k As soluções da equação carac-
terística são + −= =3 5 3 5 e .
8 8
k k Assim, a solução geral da equação 
diferencial é:
 ( )
+ −
= +
3 5 3 5
8 8
1 2 .y x c x c x
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1		Escreva	um	resumo	com	a	definição	da	transformada	de	Laplace	e	
suas	propriedades.
R.: Definição: a transformada de f(t) denotada por ( )  f t ou por F(s), é 
definida por:
( ) ( ) ( )
∞
−  = =  ∫
0
stf t F s e f t dt
Linearidade: ( ) ( ) ( ) ( )     + = +     1 2 1 2c f t c g t c f t c g t  
2		Quais	das	seguintes	funções	admitem	transformada	de	Laplace?
( )
( )
( )
( )
=
=
=
= + + + + ∈
2
x
x
x 2x 3x nx
I- f x x .
II- f x e .
III- f x senhx.
IV- f x e e e e n, .
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
a) ( ) I e III.
b) ( ) II e III.
c)	(x)	III	e	IV.
c) ( ) I e IV.
R.: As funções I e II não são de ordem exponencial.
3		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- Se uma integral tem, como resultado, ∞, então, diz-se que a integral é 
imprópria.
II- Integrais nas quais o integrando tem uma descontinuidade infinita são 
chamadas de integrais impróprias do tipo 2.
III- Se uma função é contínua por partes em {0, ∞) e de ordem exponencial, 
então, sua transformada de Laplace existe.
IV- ( ) ( ) ( ) ( )     ⋅ = ⋅      .f t g t f t g t  
a) ( ) I e III.
b)	(x)	II	e	III.
c) ( ) III e IV.
d) ( ) I e IV.
TÓPICO 2
1		Escreva	um	resumo	com	a	definição	da	transformada	inversa	de	La-
place,	da	transformada	da	derivada	e	suas	propriedades.
R.: Derivada da Transformada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−− −   = − − ′ −…−  
11 2 0 0 0n nn n nf t s f t s f s f f 
2		Qual	é	a	transformada	inversa	de	Laplace	de	 ( ) +=
− +2
1
4 4
sF s
s s
?
( )
( )
( )
( )
−
= +
= +
= −
2 2
1 3a)( ) sen2 cos2 .
4 4
3 1b)( ) .
4 4
1 3c)( ) sen2 cos2 .
4 4
t t
f t t t
f t e e
f t t t
-2t 2t1 3d)(x)	f t = e + e .
4 4
12
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
R.: Basta aplicar o método das frações parciais e notar que:
( ) ( ) ( )
= +
+ −
1 3
4 2 4 2
F s
s s
3		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- A transformada inversa de Laplace não é linear.
II- Não há como calcular transformada inversa de Laplace de uma função 
racional.
III- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′    ′′= − − − −   ′′′
4 4 3 2 0 0 0 0 .f t s f t s f s f s f f 
a) ( ) I e II.
b) ( ) I e III.
c) ( ) II e III.
d)	(x)	III.
Tópico	3
1		Escreva	um	resumo	das	propriedades	operacionais	da	transforma-
da	de	Laplace.
R.: Translação eixo-s:
Translação eixo-t:
Transformada de função periódica de período 
2		Qual	é	a	transformada	inversa	de	Laplace	de	 ?
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
− +
−
+
=
=
= −
3
3
1
1
1
1
b) ( ) .
c) ( ) 3 .
d) ( ) 3 .
t
t
t
f t e u t
f t e u t
f t e u t
- t+3
-3a)	(x)	f t = e u t .
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Utilizando a translação no eixo-t:
Portanto:
 
Pois:
3	 Quais	das	seguintes	afirmações	são	falsas?
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
−
−  =  − +
 − =  +
 + − = + − + − + −  −− + − − − − −
3
2
1 2
5
2 6 5 4 3 2
1I- cos 3 .
1 9
II- cos 1 .
1
1 120 360 540 540 405 243III- sen 3 .
11 1 1 1 1 1 1
t
s
t
se t
s
set u t
s
e t t
ss s s s s s



a)	(x)	I.
b) ( ) II.
c) ( ) III.
d) ( ) II e III.
Na verdade:
( ) ( )
( )
+ −  =  − +
3
3
2
1
cos 3
1 9
t e se t
s

TÓPICO 4
1		Escreva	um	resumo	sobre	a	derivação	da	transformada	de	Laplace	
e	da	transformada	da	integral	de	uma	função.
R.: Derivada da transformada:
( ) ( ) ( ) = −  1
n
n n
n
d F s t f t
ds

Convolução:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )   = =   *f g f t g t F s G s  
14
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Transformada da integral:
( ) ( )τ τ
 
= 
 
∫
0
1t f d F s
s

2		Qual	é	a	transformada	de	Laplace	de	 ( ) += 3 1tf t t e ?
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
=
+
=
−
4
4
3
6a) ( ) .
1
6b) ( ) .
1
6d) ( ) .
1
F s
s
F s
s
eF s
s
4
6ec)	(x)	F s = .
s - 1
R.: Aplicando a regra da derivação da transformada de Laplace:
( ) ( ) ( ) = −  1
n
n n
n
d F s t f t
ds

Obtemos:
( )
( )
+ +   = − = − =    − −
3 3
33 1 1
43 3
61
1 1
t td d e et e e
ds ds s s
 
3		Quais	das	seguintes	afirmações	não	são	verdadeiras?
( )
( ) ( )
( )( )
τ
π δ
∞
−∞
 
= 
− 
− =
  =  − +
∫
∫
3
2
0
2
1I- .
3
II- sen 2 1.
III- *sen2 .
2 1 4
t
t
t
te d
s s
t t dt
se t
s s


a) ( ) I.
b) ( ) II.
c) ( ) III.
d)	(x)	II	e	III.
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
R.:
( ) ( ) ( )π δ π
∞
−∞
− = =∫sen 2 sen 2 0t t dt
E:
( )( )
  =  − +2
*sen2
2 1 4
t se t
s s

TÓPICO 5 
1		Qual	é	a	solução	do	problema	de	valor	inicial	y´	+	6y	=	e4t,	y(0)	=	0?
( )
( )
( )
( )
−
−
− −
= +
= +
= +
4 6
4 6
4 6
 
4 15b) ( ) .
10 10
1 19 ) ( ) .
10 10
3 19d) ( ) .
10 10
t t
t t
t t
y t e e
c y t e e
y t e e
4t -6t1 19a)	(x)	y t = e + e .
10 10
R.: A transformada de Laplace do problema de valor inicial é:
( ) ( ) − + =  −
12 6
4
sY s Y s
s
Resolvendo a equação para Y(s), obtém-se:
( ) ( )( )
= + = +
− + + − +
1 2 1 1 19 1
4 6 6 10 4 10 6
Y s
s s s s s
Logo:
( ) −= +4 61 19
10 10
t ty t e e
2	 Qual	é	a	solução	do	problema	de	valor	inicial	
 y´´ – 6y´	+	9y	=	t,	y(0)	=	0,	y´(0)	=	1?
16
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
( )
( )
( )
( )
− −
= + −
= + −
= + − +
3
3
3 3
2 1 28 a) ( ) 
27 9 27
2 1 2b) ( ) .
27 9 27
2 1 2 10 ) ( ) .
27 9 27 9
t
t
t t
y t t e
y t t e
c y t t e te
3t 3t2 1 2 10d)	(x)		y t = + t - e + te
27 9 27 9
R.: A transformada de Laplace do problema de valor inicial é:
( ) ( ) ( )   − − + =  
2
2
11 6 9s Y s sY s Y s
s
Resolvendo a equação para Y(s), obtém-se:
( )
( ) ( )
+
= = + − +
−− −
2
2 222
1 2 1 1 1 2 1 10 1
27 9 27 3 93 3
sY s
s s ss s s
Logo:
( ) = + − +3 32 1 2 10
27 9 27 9
t ty t t e te
3		Qual	é	a	solução	do	problema	de	valor	inicial	
 
( )≤ <+ = =′ ≥
0, 0 1
, 0 0?
5, 1
t
t
y y y 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )−−
=
=
= −
1
1
0 0
 
b) ( ) 0.
 ) ( ) 5 .
d) ( ) 5 5 .t
y t
c y t u t
y t u t e u t
- t-1
1 1a)	(x)				y t = 5u t - 5e u t .
R.: A transformada de Laplace do problema de valor inicial é:
( ) ( ) ( )
−
 + = = 1
55
sesY s Y s u t
s

17
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Resolvendo a equação para Y(s), obtém-se:
( ) ( )
−
−  = = − + + 
5 1 15
1 1
s
seY s e
s s s s
Logo:
( ) ( ) ( ) ( )− −= − 11 15 5 ty t u t e u t
TÓPICO 6 
1		A	equação	geral	que	representa	um	oscilador	harmônico	forçado	é:
( )
( )
( )
( )
( )
γ ω
ω
γ ω
γ ω
γ ω ω
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
2
2
02
2
02
2
0
2
2
02
b) ( ) .
c) ( ) .
d) ( ) .
e) ( ) .
d x dx x f t
dt dt
d x dx x f t
dt dt
d x dx x f t
dt dt
d x dx x f
dt dt
2
2
02
d x dxa)	(x)	 + + x = f t .
dt dt
2	No	exemplo	sobre	circuito	RLC,	mostramos	que	a	corrente	é	a	solu-
ção	da	equação	integro-diferencial:
( ) ( )τ τ+ + =∫
0
1 .
tdiRi L i d v t
dt C
Que metodologia utilizamos para resolver o problema?
R.: Metodologia da Transformada de Laplace.
3		A	 definição	 da	 função	 gama	 ajudou	 a	 calcular	 a	 transformada	 de	
Laplace	para	que	tipo	de	função?
18
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1		Uma	 sequência	 numérica	 infinita	 (e1,	 e2,	 e3,…,	 en,…)	 é	 tal	 que	 a	
soma	dos	n	termos	iniciais	é	igual	a	n²	+	6n.	O	quarto	termo	dessa	
sequência	é	igual	a:
a) ( ) 9.
b)	(x)	13.
c) ( ) 17.
d) ( ) 32.
e) ( ) 40.
R.: Calculando a soma dos 3 primeiros termos:
n² + 6n = 3² + 6.3 = 9 + 18 = 27
Calculado a soma dos 4 primeiros termos:
n² + 6n = 4² + 6.4 = 16 + 24 = 40
Logo, o quarto termo é 40 – 27 = 13
2 Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
ν
ν
ν ν
ν ν−
−
∈
∈
∈ > −
∈
∈
1
1
,
.
a) ( ) , com .
.
 para c) ( ) , 1.
d) ( ) , com 
e) ( ) , com 
n
n
t n
t
t n
t n
,	parab)	(x)	t ,	 > -1. 


 


19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
a)
=
+
3
1 6n
na
n
R.: A sequência é convergente, pois: 
→∞
=
+
3 1lim
1 6 2n
n
n
b)
=
+
3
1n
na
n
R.: A sequência é divergente, pois: 
→∞
= ∞
+
3
lim
1n
n
n
3		Considere	a	série	de	potências:
( )
∞
=
+ − −∑ 4
1
1 n
n
r m n x
Qual das alternativas a seguir representa a mesma série de potências?
( )
( )
( )
( )
( )
∞
+
=
∞
=
∞
+
=
∞
=
∞
+
=
+ − +
+ −
+ − −
+ −
∑
∑
∑
∑
∑
4 4
0
3
0
4 3
0
0
4 3
0
a) ( ) 3 .
b) ( ) .
c) ( ) 2 . 
e) ( ) .
n
n
n
n
n
n
n
n
n
r m n x
r m n x
r m n x
r m n x
4n+4d)	(x)		 r +m-n x .
R.: Basta fazer a mudança de variável m = n – 1.
20
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
TÓPICO 2
1		Qual	o	período	da	função	f(x)	=	tgx?
a) ( ) π/2.
b)	(x)	π.
c) ( ) 3π/2.
d) ( ) 2π.
e) ( ) 3π.
2		Qual	o	período	da	função	f(x)	=	sen 2x?
a) ( ) π/2.
b)	(x)	π.
c) ( ) 3π/2.
d) ( ) 2π.
e) ( ) 3π.
3		Cite	 dois	 exemplos	 práticos	 nos	 quais	 funções	 periódicas	 apare-
cem.
R.: O movimento de um pêndulo, sem considerar atrito ou forças externas, 
ondas do mar, marés, ritmos musicais, calendários, batimento do coração 
etc.
TÓPICO 3
 
1		Escreva	a	definição	da	série	de	Fourier	de	uma	função	f,	assim	como	
formulações	alternativas.
R.: São duas as formulações das séries de Fourier:
( )
( )
( )
π
π π
π ϕ
∞
=
∞
=−∞
∞
=
    = + +        
=
 = + − 
 
∑
∑
∑
0
1
0
1
cos sen .
2
 .
cos . 
2
n n
n
n xi
L
n
n
n n
n
a n x n xf x a b
L L
f x c e
A n xf x A
L
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- Existem funções que são pares e ímpares ao mesmo tempo.
II- Toda função periódica é ímpar.
III- A série de Fourier de uma função par é escrita como uma série de senos.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c) ( ) I e III.
d)	(x)	I.
e) ( ) II.
3		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- Toda função contínua pode ser estendida de forma par.
II- As extensões par e ímpar de uma função contínua não nula são sempre 
distintas.
III- A extensão ímpar de uma função par é uma função par.
a)	(x)	I	e	II.
b) ( ) II e III.
c) ( ) I e III.
d) ( ) I.
e) ( ) II.
TÓPICO 4 
1		Quais	são	as	condições	para	a	convergência	das	séries	de	Fourier?	
Qual	o	comportamento	das	séries	de	Fourier	ao	redor	de	eventuais	
descontinuidades?
R.: Suponha que →:f   seja contínua por partes e que f ' seja contínua 
por partes no intervalo [–L, L] Além disso, f está definida fora do intervalo de 
forma periódica, com período 2L. Então, a série de Fourier associada a f:
π π∞
=
    + +        
∑0
1
cos sen
2 n nn
a n x n xa b
L L
Converge e seu limite é:
( ) ( )+ + −
2
f x f x
22
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Em que ( ) ( ) ( ) ( )
+ −→ →
+ = − =lim e lim .
t x t x
f x f t f x f t
2		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- A série de Fourier converge para metade do salto da descontinuidade.
II- A série de Fourier converge uniformemente nas vizinhanças das descon-
tinuidades.
III- Todas as funções contínuas por partes são integráveis.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c)	(x)	I	e	III.
d) ( ) I.
e) ( ) II.
3		Quais	das	seguintes	afirmações	são	corretas?
I- Funções contínuas, quando expandidas em série de Fourier, podem apre-
sentar o fenômeno de Gibbs. 
II- A função f(x) = lnx satisfaz as hipóteses do Teorema 7.
III- A função f(x) = tgx é contínua por partes.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c) ( ) I e III.
d) ( ) I.
e)	(x)	II.
TÓPICO 5 
1		Qual	das	alternativas	a	seguir	é	a	série	de	Fourier	de:
 ( ) − ≤ <=  ≤ ≤
1, 0
, 0
L x
L x L
f x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
π
π
π
π
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
 −
= +  −  
 −
=  −  
 −
= +  −  
 −
= +  −  
∑
∑
∑
∑
∑
1
1
1
1
1
2 11a) ( ) sen .
2 2 1
2 12 1b) ( ) sen .
2 1
2 12 1c) ( ) sen .
2 2 1
2 11d) ( ) cos .
2 2 1
k
k
k
k
k
k xLf x
k L
k xLf x
k L
k xL Lf x
k L
k xLf x
k L
2k - 1L 2L 1e)	(x)	f x = + sen
2 2k - 1
π 
 
 
x
.
L
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
π
π
π
π
π
π
π
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
 −
= +  −  
 −
=  −  
 −
= +  −  
 −
= +  −  
∑
∑
∑
∑
∑
1
1
1
1
1
2 11a) ( ) sen .
2 2 1
2 12 1b) ( ) sen .
2 1
2 12 1c) ( ) sen .
2 2 1
2 11d) ( ) cos .
2 2 1
k
k
k
k
k
k xLf x
k L
k xLf x
k L
k xL Lf x
k L
k xLf x
k L
2k - 1L 2L 1e)	(x)	f x = + sen
2 2k - 1
π 
 
 
x
.
L
R.:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
π π
π π
π
π
π
−
−
−
∞
=
= = =
   = = =   
   
     = = = − −        
 −
= +  −  
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∑
0
0
0
0
1
1 .
1 cos cos 0.
1 sen sen 1 1 .
2 12 1 sen .
2 2 1
L L
L
L L
n
L
L L
n
n
L
k
a f x dx dx L
L
n x n xa f x dx dx
L L L
n x n x Lb f x dx dx
L L L n
k xL Lf x
k L
2		Qual	das	alternativas	a	seguir	é	a	série	de	Fourier	de:
( )
− ≤ <
= 
+ ≤ ≤
1, 0
1 , 0
L x
x L
f x x
L
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
π π π
π
π π π
π π
π
∞
=
∞
=
∞
=
  − −  = +    −  −    
  − −  = − +    −  −    
 
 
 
∑
∑
∑
22
1
2
1
1
2 1 12 1a) ( ) cos sen .
2 12 1
2 1 15 1b) ( ) cos sen .
7 2 12 3
n
k
n
k
k
k x n xf x
L n Lk
k x n xf x
L n Lk
n
22
2k - 1 x -15 2 1c)	(x)	f x = - cos + se
4 L 2n2k - 1
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
π
π π π
π
π π π
∞
=
∞
=
   
  
   
  − −  = − +    
    
  − −  = +    −  −    
∑
∑
2
1
2
1
. 
2 1 15 2d) ( ) cos sen .
4
2 1 11e) ( ) cos sen .
2 12 1
n
k
n
k
k x n xf x
L n L
k x n xf x
L n Lk
n xn
L
24
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
π π π
π
π π π
π π
π
∞
=
∞
=
∞
=
  − −  = +    −  −    
  − −  = − +    −  −    
 
 
 
∑
∑
∑
22
1
2
1
1
2 1 12 1a) ( ) cos sen .
2 12 1
2 115 1b) ( ) cos sen .
7 2 12 3
n
k
n
k
k
k x n xf x
L n Lk
k x n xf x
L n Lk
n
22
2k - 1 x -15 2 1c)	(x)	f x = - cos + se
4 L 2n2k - 1
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
π
π π π
π
π π π
∞
=
∞
=
   
  
   
  − −  = − +    
    
  − −  = +    −  −    
∑
∑
2
1
2
1
. 
2 1 15 2d) ( ) cos sen .
4
2 1 11e) ( ) cos sen .
2 12 1
n
k
n
k
k x n xf x
L n L
k x n xf x
L n Lk
n xn
L
R.:
( )
( ) π π π
π π
− − −
− −
−
   = = + + = + =  
   
         = = + +        
         
   = +  
  
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
0
0 2
0 0
0
0
2
0
1 1 1 1 51 .
2
1 1cos cos 1 cos
1 1cos cos
L L L L
L L L
L L
n
L L
L L
L
xa f x dx dx dx dx x dx
L L L L L
n x n x x n xa f x dx dx dx
L L L L L L
n x n xdx x
L L L L
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
π
π π π
π π
π
π π
π
− −
−
∞
=
− −
=

         = = + +        
         
−   = + =   
   
 − −
= − + 
−  
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∑
2 2
0
0
2
0
22
1
1 1
.
1 1sen sen 1 sen
11 1sen sen .
2 1 15 2 1 cos sen
4 22 1
n
L L
n
L L
nL L
L
n
k
dx
n
n x n x x n xb f x dx dx dx
L L L L L L
n x n xdx x dx
L L L L n
k x
f x
L nk
π   
  
   
.n x
L
3		Determine	a	série	de	Fourier	de:
( ) π
π
− ≤ <
=  ≤ ≤
0, 0
1, 0
x
x
f x
E prove que:
( )∞π +
=
−
=
−∑
1
1
1
4 2 1
n
n n
R.: Os coeficientes de Fourier são:
25
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
π
=
=
=
0 1
0
2 , para ímpar
n
n
a
a
b n
n
Portanto:
( ) ( )
π
∞
=
 = + − −∑1
1 2 1 sen 2 1 .
2 2 1n
f x n x
n
Como	a	função	é	contínua	em	x	=	π/2,	então:
( )ππ
π
∞
=
 − = = +    −   
∑
1
2 11 2 11 sen .
2 2 2 1 2n
n
f
n
Assim:
( )π +∞
=
−
=
−∑
1
1
1
.
4 2 1
n
n n
TÓPICO 6
1		Analise	as	seguintes	afirmações	sobre	a	aplicação	da	metodologia	
de	série	de	Fourier	na	solução	de	EDOs:
I- Não há necessidade de preocupar-se com o intervalo de solução.
II- As soluções obtidas por séries de Fourier são válidas somente para o 
intervalo de definição das séries de Fourier. Fora do intervalo, a função 
será estendida periodicamente, não tendo valor como solução de uma 
equação diferencial.
Qual opção está CORRETA?
a) ( ) Somente a afirmação I está correta.
b)	(x)	Somente	a	afirmação	II	está	correta.
c) ( ) As afirmações I e II são equivalentes.
d) ( ) Ambas afirmações estão corretas.
e) ( ) Ambas afirmações estão erradas.
26
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
2		Qual	das	seguintes	expressões	representa	a	transformada	inversa	
de	Fourier?
3		Apresente	duas	aplicações	da	Identidade	de	Parseval.
R.: Cálculo do valor de certas séries que convergem e teste de convergên-
cia de certas séries que são dadas por coeficientes de Fourier.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ω
ω
ω
ω ω
π
ω ω
ω ω
π
ω ω
π
ω ω ω
π
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∼
∼
∼
∼
∫
∫
∫
∫
∫
 .
b) ( ) .
1c) ( ) .
2
1d) ( ) .
2
1e) ( ) .
2
i x
ix
x
f x c e d
f x c e d
f x c e d
f x c i x d
i x1a)	(x)	f x ~ c e d
2