PROGRAMAÇAO E CALCULO NUMERICO

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Programação e 
Cálculo Numérico
Me. André Abdala Noel
Esp. Kryssian Romeiro Manoel dos Santos
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; NOEL, André Abdala; SANTOS, Kryssian Romeiro Ma-
noel dos. 
Programação e Cálculo Numérico. André Abdala Noel; Krys-
sian Romeiro Manoel dos Santos. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2020.
248 p.
“Graduação - Híbridos”.
1. Programação. 2. Cálculo . 3. Numérico 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-2036-6 
CDD - 22 ed. 005
CIP - NBR 12899 - AACR/2
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
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CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
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Impresso por:
Coordenador de Conteúdo Fabio Augusto Genti-
line e Crislaine Rodrigues Galan.
Designer Educacional Tacia Rocha.
Revisão Textual Cintia Prezoto Ferreira e Erica 
Fernanda Ortega.
Editoração Lavígnia da Silva Santos.
Ilustração Welington Vainer Satin de Oliveira.
Realidade Aumentada Matheus Alexander de Oli-
veira Guandalini e Maicon Douglas Curriel.
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de 
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da Mantenedora Cláudio Ferdinandi. 
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James Prestes 
e Tiago Stachon; Diretoria de Graduação e Pós-gra-
duação Kátia Coelho; Diretoria de Permanência 
Leonardo Spaine; Diretoria de Design Educacional 
Débora Leite; Head de Metodologias Ativas Thuinie 
Daros; Head de Curadoria e Inovação Tania Cristia-
ne Yoshie Fukushima; Gerência de Projetos Especiais 
Daniel F. Hey; Gerência de Produção de Conteúdos 
Diogo Ribeiro Garcia; Gerência de Curadoria Carolina 
Abdalla Normann de Freitas; Supervisão de Projetos 
Especiais Yasminn Talyta Tavares Zagonel; Projeto 
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães 
Cripaldi; Fotos Shutterstock 
PALAVRA DO REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Olá, nobre aluno(a) das artes exatas! Muitas vezes vemos a área de exatas 
como algo frio e mecânico. No entanto, não precisa ser assim. Nesta disciplina, 
vislumbraremos uma bela obra de arte resultante da junção de duas áreas 
próximas: a matemática e a computação.
Particularmente, gostamos muito de estudar a história da computação e 
sempre aprendemos mais com isso. É interessante conhecer como, o que 
hoje temos como óbvio e habitual, no passado foi desbravado por mentes 
excelentes que conseguiram enxergar na matemática o que hoje podemos 
utilizar em computadores, seja assistindo vídeo, ouvindo música, editando 
textos ou diversas outras atividades que fazemos.
Nestelivro, abordaremos o cálculo numérico e a programação, nesta ordem. 
Contudo, o que vem a ser o cálculo numérico? De forma simples, consiste 
em encontrar métodos para realizar o cálculo de uma forma computacional, 
ou seja, de forma que o computador processe as informações tendo em vista 
que ele é uma máquina que executa instruções, muitas vezes diferentes da 
forma que o nosso cérebro trabalha.
Sendo assim, na primeira unidade, estudaremos os métodos numéricos que 
podem ser utilizados para encontrar as raízes de equações. Você vai ver que 
algumas equações você já sabe resolver encontrando raízes exatas, vai desco-
brir métodos novos, trabalhando com a ideia de aproximação.
Na segunda unidade, estudaremos a solução de sistemas de equações lineares 
por métodos numéricos. Para resolver sistemas lineares já passamos a ter 
mais trabalho manual, pois temos que resolver equações interligadas, fazer 
substituições etc. Aqui veremos como passar isso para uma forma mecânica 
que o computador faz melhor do que nós.
Em seguida, na Unidade 3, estudaremos a aproximação polinomial, que nos 
ajuda a encontrar pontos aproximando-se à solução real de uma função que 
podemos não conhecer o comportamento.
Fecharemos a parte do estudo de cálculo numérico na Unidade 4, estudando 
métodos numéricos para resolver integração numérica e equações diferen-
ciais, aprendendo formas de encontrar resultados computacionalmente.
A seguir, começaremos a parte mais voltada à programação. Assim, na 
Unidade 5, estudaremos conceitos básicos de programação. Portanto, se 
você não sabe nada de programação, fique tranquilo(a). A ideia é que você 
comece a aprender de forma introdutória. Não chegaremos a ensinar a 
programação propriamente dita, mas você terá todo o embasamento que 
precisa para o estudo.
Na Unidade 6, compreenderemos como funcionam as linguagens de progra-
mação, necessárias para se escrever os programas de computador. Veremos 
algumas características das linguagens e como fazem diferença para cada uma.
Depois de entender o que são as linguagens, iremos nos debruçar, na Unidade 
7, em como os programas de computador são escritos e como passam de có-
digo a programas executáveis. Ainda, discutiremos algumas diferenças entre 
programas compilados ou interpretados e entre programação web ou desktop.
Voltaremos a tratar de matemática na Unidade 8, juntando as duas 
áreas e analisando alguns softwares que ajudam em soluções de cál-
culo. Passaremos por planilhas de cálculo, programação matemática e 
softwares online.
Por fim, na Unidade 9, voltaremos ao cálculo numérico, aplicando os méto-
dos numéricos estudados no início em forma de programação, utilizando 
a linguagem GNU Octave, compatível com a famosa MATLAB.
Prepare o seu coração, um café bem saboroso e vamos colocar esses neurô-
nios para trabalharem em prol desse conhecimento. A programação está 
cada vez mais presente no nosso dia a dia. É cada vez mais necessária para 
todas as áreas de atuação.
Vamos lá colocar o computador para trabalhar!
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Me. Andre Abdala Noel
Professor e programador, mestre em Ciência da Computação pela Universidade Estadual de 
Maringá, com ênfase em sistemas de computação, possui bacharel em Ciência da Compu-
tação pela Universidade Estadual de Maringá. Boa experiência em programação, aplicando 
também na docência superior, desde 2008. Autor do site Vida de Programador, se mantém 
bem ativo na comunidade de desenvolvedores.
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/9035823171388697
Esp. Kryssian Romeiro
Possui MBA Internacional Executivo em Gestão Industrial pela Fundação Getúlio Vargas em 
conjunto com a University of Tampa (EUA, 2014), possui graduação em Engenharia Têxtil pela 
Universidade Estadual de Maringá (2011). Tem experiência na área de Têxtil automotiva e de 
auditoria. Atualmente cursa mestrado em Engenharia Química pela Universidade Estadual 
de Maringá e atua como Professora Mediadora no curso de Engenharia de Produção (EAD-
-UniCesumar).
Currículo Lattes disponível em: http://lattes.cnpq.br/3102388870189147
Métodos Numéricos
13
Solução de Sistemas 
de Equações 
Lineares
39
Aproximação de 
Funções 
63
Integração Numérica 
e Equações 
Diferenciais 
Conceitos Básicos 
de Programação
87
115
Linguagens de 
Programação 
139
Criação e Execução 
de Programas
Programas e 
Bibliotecas 
Matemáticos
189
Cálculo Numérico 
Utilizando Octave
217
163
17 Método de bissecção
127 Loop + Ramificação condicional
170 Processo de compilação
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Me. André Abdala Noel
Esp. Kryssian Romeiro Manoel dos Santos
• Entender o uso de métodos numéricos para obtenção de 
soluções a partir do método da bisseção.
• Aprender o método das cordas para a obtenção de so-
luções.
• Conhecer o método Pégaso para convergir para soluções.
• Estudar o método de Newton para encontrar raízes.
• Analisar o método da iteração para resolver equações. 
Método da Bisseção
Método das Cordas Método de Newton
Método da IteraçãoMétodo Pégaso
Métodos Numéricos
Método 
da Bisseção
Olá, aluno(a), tudo bem? Seja muito bem-vindo(a) 
ao nosso estudo de métodos numéricos. Trataremos, 
nesta primeira unidade, como encontrar raízes de 
funções. Primeiramente, veremos como fazer para 
casos com equações algébricas e, posteriormente, 
trataremos dos casos em que as equações são trans-
cendentes.
Segundo Barroso et al. (1987), as equações al-
gébricas de 1º e 2º graus, certas equações de 3º e 4º 
graus e algumas equações transcendentes podem 
ter raízes computadas por métodos analíticos; po-
rém, as demais podem ser resolvidas apenas por 
métodos que aproximam as resoluções.
Para encontrarmos as raízes dessas equações 
ou o zero das funções, ou seja, para resolvermos 
f x( ) = 0 , iremos precisar dispor de métodos nu-
méricos para encontrar tais valores aproximados 
para a raiz. Assim, chegaremos ao ponto deste 
capítulo, em que, juntos, iremos conhecer a exis-
tência e aplicabilidade desses métodos numéricos 
que irão nos ajudar a resolver essas equações al-
gébricas e transcendentes.
15UNIDADE 1
Equações Algébricas e Transcendentes
Primeiramente, vamos esclarecer o que são as equações algébricas ou transcendentes. 
As equações algébricas são aquelas funções y f x= ( ) que, segundo Chapra e 
Canale (2011), podem ser expressas na forma f y f y f y fn
n
n
n� � � � ��
�
1
1
1 0 0... , 
onde f1 é um polinômio de grau n em x.
Os polinômios são uma classe simples de funções algébricas que são representadas, 
em geral, por f x a a x a x a xn n
n( ) ...� � � � �0 1 2
2 , (em que n é o grau do polinômio 
e as letras “a” são constantes).
Como exemplos, temos:
3 5 2 1 04 3 2x x x x� � � � �
x x x3 24 2 5 0� � � �
Para Chapra e Canale (2011, p. 94) “[...] uma função transcendental é uma função 
que não é algébrica. Incluem-se as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas 
e outras funções menos familiares” (grifo do autor). Exemplos são:
f x x( ) ln� �2 1
f e sen( ) ( , ),x xx� ��0 2 3 0 5
Não existem fórmulas que resolvam essas equações, assim, as equações algébricas 
racionais inteiras também são designadas, por sua vez, por equações polinomiais.
O método da bisseção é um método em que reduzimos o intervalo onde a raiz 
de f x( ) está contida. Para isso, devemos saber que:
1. A raiz está dentro de um dado intervalo [ , ]a b .
2. f x( ) é uma função contínua.
3. A equação possui uma solução.
Quando esse é o caso, f x( ) tem sinais opostos nos pontos finais do intervalo, ou 
seja, f a f b( ) ( ) < 0 . Conforme mostrado na Figura 1, se f x( ) é contínua e tem uma 
solução entre os pontos x a= e x b= , então ou f a( ) > 0 e f b( ) < 0 ou f a( ) < 0 
e f b( ) > 0 (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).
16 Métodos Numéricos
Algoritmo para o Método da Bisseção
Seguindo em nosso estudo, Gilat e Subramaniam (2008) ainda dizem que podemos basear 
o métododa bisseção em quatro passos, facilitando a sua execução e compreensão. São eles:
1. Escolha o primeiro intervalo, encontrando os pontos a e b entre os quais 
existe uma solução. Isso significa que f a( ) e f b( ) têm sinais diferentes, de 
forma que f a f b( ) ( ) < 0 . Os pontos podem ser determinados a partir de um 
gráfico de f x( ) versus x . 
2. Então, vamos fazer uma estimativa da solução, que será um ponto entre a e b, 
que chamaremos de xNS1 . Calcule a primeira estimativa da solução numérica 
xNS1 usando:
x a bNS1 2
�
�( )
3. Determine se a solução exata está entre a e xNS1 ou entre xNS1 e b. Isso é feito 
com a verificação do sinal do produto. Se f a f xNS( ) ( )1 0< , a solução exata 
está entre a e xNS1 . Se f a f xNS( ) ( )1 0> , a solução exata está entre xNS1 e b.
4. Selecione o subintervalo que contém a solução exata (a até xNS1 ou xNS1 
até b) como o novo intervalo [ , ]a b e volte para o passo 2. Os passos 2 a 4 são 
repetidos até que a tolerância especificada seja satisfeita ou um determinado 
limite de erro seja atingido.
a
y
ƒ(a) > 0
Solução
exata ƒ(b) < 0
NSX Xb a
y
ƒ(b) > 0Soluçãoexata
ƒ(a) < 0
NSX X
ba
y
ƒ(a) > 0
Solução
exata ƒ(b) < 0
NSX Xb a
y
ƒ(b) > 0Soluçãoexata
ƒ(a) < 0
NSX X
b
Figura 1 - Solução de f(x) = 0 entre x = a e x = b
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 77).
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
17UNIDADE 1
Agora, para fixarmos, iremos resolver um exemplo em que será possível aplicar esses 
passos e praticarmos o método da bisseção.
Vamos determinar um valor aproximado da raiz quadrada de 5, com erro menor ou 
igual a 0,01. Determinar 5 é equivalente a determinar o zero positivo da equação 
x2 5 0� � (HUMES et al., 1984).
Resolução: sabemos que o intervalo [ , ]2 3 contém esta raiz. Vamos aplicar o algo-
ritmo da dicotomia. Em cada iteração i, em que i = 0 1 2, , ,... , denotaremos por ai 
e bi os extremos inferior e superior, respectivamente; do intervalo que está sendo 
considerado por xi , o valor aproximado da raiz; e por ei o erro máximo cometido 
na i-ésima iteração. Estes valores estão dispostos na Tabela 1. Inicialmente, temos: 
f a f( ) ( . )0 2 0 0� � e f b f( ) ( . )0 3 0 0� � .
1 EXEMPLO
a
b
ba xNS1
x
x
ƒ(x) Solução
exata
Solução
exata
Primeira
estimativa
Primeiro intervalo
Segundo intervalo
Primeira
iteração
ba xNS2
x
Solução
exata
Segunda
estimativa
Segunda
iteração
Terceiro intervalo
ba xNS3
x
Solução
exata
Terceira
estimativa
Terceira
iteração
Figura 2 - Método da Bisseção 
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 77).
Método de bissecção
18 Métodos Numéricos
 Tabela 1 - Dados obtidos pelo Método da Bissecção
i ai bi x
b a
i i i
~
2
i i
i
b a
2 f x f ai i
~
0 2,0 3,0 2,5 0,5 -
1 2,0 2,5 2,25 0,25 -
2 2,0 2,25 2,125 0,125 +
3 2,125 2,25 2,1875 0,0625 +
4 2,1875 2,25 2,21875 0,03125 +
5 2,21875 2,25 2,234375 0,015625 +
6 2,234375 2,25 2,2421875 0,0078125
Fonte: adaptada de Humes et al. (1984).
Portanto, ,5 2 2421875 0 0078125. 
É importante lembrar que o método sempre converge para uma resposta, desde 
que uma raiz esteja contida no intervalo inicial [ , ]a b . Além de que o método pode 
falhar quando a função é tangente ao eixo x, não o cruzando em f x( ) = 0 . Ainda, 
a convergência do método é lenta em comparação com outros métodos (GILAT; 
SUBRAMANIAM, 2008).
19UNIDADE 1
O método das cordas, também conhecido como 
método da secante, é uma outra ferramenta para 
encontrar, de forma numérica, a solução de equa-
ções. Neste método, segundo Barroso et al. (1987), 
o intervalo é dividido em partes proporcionais à 
razão − f a f b( ) / ( ) , ou seja:
h
b a
f a
f a f b
1
�
�
�
� �
( )
( ) ( )
Em que:
x a h1 1� �
portanto, temos: 
x a f a
f b f a
b a1 � � �
�
( )
( ) ( )
( )
Aplicando ao novo intervalo ([ , ] [ , ])a x ou x b1 1∑ , 
obtém-se uma nova aproximação x2 da raiz.
Método 
das Cordas
20 Métodos Numéricos
Barroso et al.(1987) apresentaram a interpretação geométrica a seguir, na qual a 
curva y f x= ( ) é substituída por uma corda que passa pelos pontos A a f a[ , ( )] e 
B b f b[ , ( )] , e duas das possíveis situações são:
�� �
� �
� �
�
�
�
f x
f a f b CasoI
f a f b CasoII
( )
( ) , ( ) :
( ) , ( ) :
0
0 0
0 0
a b
x
B
= x0 x1 x2
h1
A
0
ƒ(b)
ƒ(a)
y
Figura 3 - Caso I 
Fonte: Barroso et al. (1987, p. 111).
ba
x
B
= x0x2 x1
A
0
ƒ(a)
ƒ(b)
y
Figura 4 - Caso 2 
Fonte: Barroso et al. (1987, p. 111).
Para o Caso I, analisando a Figura 3, temos que:
f b f x
b x
f x
x x
( ) ( ) ( )�
�
�
�
�
0
0
0
1 0
0
x x
f x
x b
f x f b
1 0
0
0
0
�
�
�
�
�( ) ( ) ( )
x x f x
f x f b
x b1 0 0
0
0� � �
�
( )
( ) ( )
( )
Por indução:
x x f x
f x f b
x bn n n
n
n� � � �
�1
( )
( ) ( )
( )
Em que n = 0 1 2, , ,...
Para o Caso II, analisando a Figura 4, temos que:
f a f x
x a
f x
x x
( ) ( ) ( )�
�
�
�
�
0
0
0
0 1
0
x x
f x
x a
f x f a
1 0
0
0
0
�
�
�
�( ) ( ) ( )
x x f x
f x f a
x a1 0 0
0
0� � �
�
( )
( ) ( )
( )
21UNIDADE 1
Por indução:
x x f x
f x f a
x an n n
n
n� � � �
�1
( )
( ) ( )
( )
Em que n = 0 1 2, , ,...
Com base no que Barroso et al. (1987) expõem, podemos chegar na equação geral 
descrita a seguir:
x x f x
f x f c
x cn n n
n
n� � � �
�1
( )
( ) ( )
( )
em que:
• c é um ponto extremo de [ , ]a b .
• A função apresenta o mesmo sinal de ′′f x( ) , ou seja, f c f c( ) ( )�� � 0 .
“A análise do método da secante mostra que, quando os dois pontos que definem 
a reta secante são próximos entre si, esse método é na realidade uma forma apro-
ximada do método de Newton” (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008, p. 88).
Podemos ver pela fórmula geral do método da secante que ela pode ser reescrita 
de forma a aproximar o valor da derivada de f x( ) em xi , contida no método de 
Newton.
22 Métodos Numéricos
O método Pégaso também consiste em reduzir o 
intervalo [ , ]a b onde está a raiz, no entanto, além 
disso, ele também reduz o valor de f xn( )−1 por 
um fator f x
f x f x
n
n n
( )
( ) ( )+ +1
. Para Barroso et al. 
(1987), faz-se isso de modo a evitar a retenção de 
um ponto, a fim de obter um método de conver-
gência mais rápido. 
Método 
Pégaso
23UNIDADE 1
Considerando f x( ) uma função contínua no intervalo [ , ]x x0 1 e f x f x( ) ( )0 1 0< , 
as aproximações ( , , ,...)x x x2 3 4 da raiz desta função podem ser obtidas pela fórmula 
a seguir:
x x f x x x
f x f xn n
n n n
n n
�
�
�
� �
�
�1
1
1
( )( )
( ) ( )
Em que n =1 2 3, , ,...
Considerando que, se f x f xn n( ) ( )� �1 0 , então
[ , ( )] [ , ( )]x f x x f xn n n n� � �1 1 ,
e que se
f x f xn n( ) ( )� �1 0 , 
então
[ ,
( ) ( )
( ( ) ( ))
]x f x f x
f x f xn
n n
n n
�
�
��
1
1
1
.
A origem ao nome do Método Pégaso ocorreu devido ao método estar salvo em 
um computador do tipo Pégaso, o qual todos utilizavam para fazer seus cálculos, 
porém até hoje não se sabe quem o desenvolveu.
Fonte: adaptado de Barroso et al. (1987).
Ainda segundo Barroso et al. (1987), para ambos os casos, [ , ( )]x f xn n é trocado 
por [ , ( )]x f xn n+ +1 1 , garantindo que os valores usados a cada iteração sejam sempre 
positivos. 
24 Métodos Numéricos
O método de Newton, também conhecido como 
método de Newton-Raphson, é o método mais 
usado para encontrar raízes de funções (CHA-
PRA; CANALE, 2011). É um esquema usado para 
se obter a solução numérica de uma equação na 
forma f x( ) = 0 , em que f x( ) é contínua e di-
ferenciável, e sua equação possui uma solução 
próxima a um ponto dado (GILAT; SUBRAMA-
NIAM, 2008). O método é ilustrado na Figura 5.
Se a aproximação inicial da raiz for x1 , pode-
-se estender uma reta tangente a partir do ponto 
[ , ( )]x f x1 1 . O ponto onde essa tangente cruza 
o eixo x usualmente representa uma estimativa 
melhorada da raiz, e assim sucessivamente. 
Para Chapra e Canale (2011), o método de 
Newton pode ser deduzido com base em sua 
interpretação geométrica. Como na Figura6, a 
primeira derivada em x é equivalente à inclinação.
Método 
de Newton
25UNIDADE 1
� �
�
� �
f x f x
x xi
i
i i
( )
( ) 0
1
Reorganizando, temos a fórmula de Newton:
x x f x
f xi i
i
i
� � � �1
( )
( )
É importante lembrar, assim como definem Gilat e Subramaniam (2008), que as 
iterações devem ser interrompidas nos casos a seguir:
a) Erro relativo estimado: as iterações são interrompidas quando o erro relativo 
estimado é menor que um valor especificado e : 
x x
x
i i
i
� � �1 e
b) Tolerância em f x( ) : as iterações são interrompidas quando o valor absoluto 
de f x( )1 é menor que algum número d : 
f xi( ) ≤ d
c) O método de Newton, quando bem-sucedido, converge rapidamente. A não 
convergência usualmente ocorre porque o ponto de partida não está suficien-
temente próximo da solução. 
Vamos, agora, colocar um pouco em prática o que aprendemos com um exemplo:
x
x2x3x4 x1
y=ƒ(x)
ƒ(x1)
ƒ(x2)
Inclinação: ƒ’(x1)
ƒ(x3)
y
Inclinação: ƒ’(x2)Inclinação: ƒ’(x3)
Solução
Figura 5 - Método de Newton
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 82).
ƒ(x)
0
ƒ(xi)
ƒ(xi) – 0
Inclinação = ƒ’(xi)
xi+1 xxi
xi+1xi –
Figura 6 - Tangente - Método de Newton
Fonte: Chapra e Canale (2011, p. 121).
26 Métodos Numéricos
Use o método de Newton (Newton-Raphson) para fazer uma estimativa da raiz de 
f x e xx( ) � �� , utilizando uma aproximação inicial x0 0= (CHAPRA; CANALE, 
2011). 
Resolução: a primeira derivada da função pode ser calculada como:
� � � ��f x e x( ) 1
que pode ser substituída junto com a função original na equação:
x x f x
f xi i
i
i
� � � �1
( )
( )
e assim temos:
x x e x
ei i
x
i
x
i
i�
�
�� �
�
� �
1
1
Começando com uma aproximação inicial de x0 0= , essa equação iterativa pode 
ser aplicada para calcular:
Tabela 2 - Dados obtidos pelo Método de Newton
i xi et(%)
0 0 100
1 0,5 11,8
2 0,566311003 0,147
3 0,567143165 0,000022
4 0,567143290 < 10-8
Fonte: adaptada de Chapra e Canale (2011).
Assim, a aproximação converge rapidamente para a raiz verdadeira. Observe que o 
erro relativo percentual verdadeiro em cada iteração diminui rapidamente.
2 EXEMPLO
27UNIDADE 1
O Método da Iteração Linear ou Método do Ponto 
Fixo é definido por Gilat e Subramaniam (2008) 
como um método usado para resolver uma equa-
ção na forma f x( ) = 0 . O método é implemen-
tado rescrevendo a equação como: 
x g x= ( )
Assim, a partir de uma aproximação inicial x0 
gerar a sequência { }xi de aproximações para x 
dada por x g xi i� �1 ( ) , transformando o proble-
ma de encontrar um zero de f x( ) no problema 
de encontrar um ponto fixo de g x( ) , sendo a 
função g x( ) chamada de função de iteração. 
Método 
da Iteração
28 Métodos Numéricos
 
x
x
y y = x
 y = g(x)
Solução
Figura 7 - Método da iteração de ponto fixo 
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 89).
É importante ressaltar que este método pode tomar dois caminhos diferentes, como 
Gilat e Subramaniam (2008) afirmam e expressam nos gráficos a seguir:
• Quando o método funciona, os valores de x obtidos são iterações sucessivas 
que convergem progressivamente em direção à solução. 
xxTS
y
 y = x
g (x2) g (x4)
g (x3)
g (x1)
x2 = g(x1)
x4 = g(x3)
x3 = g(x2)
x1
 y = g(x)
Solução
x
xTS
y
 y = x
g (x2)
g (x1)
x2 = g(x1)
g(x3)
x3 = g(x2)
x1
 y = g(x)
Solução
Figura 8 - Convergência do método da iteração de ponto fixo 
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 90).
• É possível, no entanto, que as iterações divirjam. A Figura 9 mostra que, mesmo 
que o ponto de partida esteja próximo da solução, os pontos subsequentes 
podem se afastar da solução. 
29UNIDADE 1
x
y
 y = x
g (x2)
g (x3)
g (x1)
x2 = g(x1)
x4 = g(x3)
x3 = g(x2)
x1
 y = g(x)
Solução
x
y
 y = x
g (x2)
g (x3)
g (x4)
g (x1)
x2 = g(x1)
x4 = g(x3) x3 = g(x2)
x1
 y = g(x)
Solução
Figura 9 - Divergência do método da iteração de ponto fixo 
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 90).
Use a iteração de ponto fixo para localizar a raiz de g(x) (CHAPRA; CANALE, 2011).
Resolução: a função pode ser separada diretamente e expressa na forma a seguir:
x ei
xi
�
��1
Começando com uma aproximação inicial x0 0= , essa equação iterativa pode ser 
usada para calcular.
Tabela 3 - Dados obtidos pelo Método do Ponto Fixo
i xi ea(%) et(%)
0 0 100,0
1 1,000000 100,0 76,3
2 0,367879 171,8 35,1
3 0,692201 46,9 22,1
4 0,500473 38,3 11,8
5 0,606244 17,4 6,89
6 0,545396 11,2 3,83
7 0,579612 5,90 2,20
8 0,560115 3,48 1,24
9 0,571143 1,93 0,705
10 0,564879 1,11 0,399
Fonte: adaptada de Chapra e Canale (2011).
Assim, cada iteração traz o valor estimado para mais perto do valor verdadeiro: 
0,56714329.
3 EXEMPLO
30 Métodos Numéricos
Comparação entre Métodos
Como ressaltam Barroso et al. (1987), cada um dos métodos apresentados aqui possui 
uma particularidade, vejamos no quadro comparativo a seguir:
Quadro 1 - Comparação dos métodos
Método Observações finais
Bisseção
Não exige conhecimento de derivada.
Convergência lenta.
Deve ser usado apenas para diminuir intervalo que contém raiz.
Cordas
Exige que o sinal da derivada segunda permaneça constante no intervalo.
Se o ponto c for razoavelmente próximo da raiz ( ( ) )� �f c 10 , terá boa 
convergência, caso contrário, será mais lento que a bisseção.
Pégaso
Não exige conhecimento do sinal da derivada.
Tem boa convergência, superada apenas por Newton.
Newton Requer conhecimento da forma analítica de 
′f x( ) .
Convergência extraordinária. 
Iteração 
Linear
Difícil de encontrar uma função de iteração que satisfaça a condição 
de convergência.
O teste � �f x( )0 1 pode levar a um engano se x0 não estiver suficien-
temente próximo à raiz.
A velocidade de convergência é inversamente proporcional à ′f ( )e . 
Fonte: adaptada de Barroso et al. (1987).
Chegamos ao fim da nossa primeira unidade, cuja finalidade foi mostrar as possíveis 
formas de como calcular raízes de equações algébricas e transcendentes.
Vimos que cada método tem sua particularidade que o caracteriza singularmente 
e, mesmo sendo o de Newton o mais indicado para diversas situações, isso não o 
torna o melhor método. O que torna o método o melhor é a exigência e informação 
fornecida por cada situação que será calculada. Podemos dizer que a escolha do me-
lhor método para se encontrar a raiz de uma equação está diretamente ligada com as 
suas características, ou seja, depende do comportamento na função na região da raiz 
exata, das dificuldades com o cálculo de ′f x( ) , critério de paradas etc.
De forma geral, a escolha do método está ligada à natureza e características dos 
seus dados de entrada, sendo a qualidade e a eficácia do método ligados diretamente 
à assertividade da análise prévia dos dados iniciais.
Observamos, desde o início, como os computadores nos auxiliarão em cálculos 
que precisam de um determinado nível de precisão e de repetição de métodos, coisas 
que os computadores fazem muito bem e que, para nós, são maçantes.
31
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Sobre equações algébricas e transcendentes:
I) As equações algébricas são aquelas funções y f x= ( ) , que puderam ser 
expressas na forma f y f y f y fn
n
n
n� � � � ��
�
1
1
1 0 0... , em que fi é um 
polinômio de grau n em x . 
II) Os polinômios são uma classe simples de funções algébricas que são repre-
sentadas, em geral, por f x a a x a x a xn n
n( ) ...� � � � �0 1 2
2 (em que n é o grau 
do polinômio e os a’s são constantes).
III) f x x( ) ln� �2 1 é um exemplo de equação algébrica.
IV) Uma função transcendental é uma que não é algébrica. Incluem-se as funções 
trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e outras funções menos familiares. 
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas I está correta.
d) Apenas I, II e IV estão corretas.
e) Nenhuma das alternativas está correta.
2. Dada a função f x x x( ) log� �2 10 , encontre a raiz pelo método da bissecção. 
(sendo a=0,5; b=1,0; E=0,005).a) r � �0 987 0 004, ,
b) r � �0 244 0 003, ,
c) r � �0 526 0 005, ,
d) r � �0 421 0 006, ,
e) r � �0 735 0 005, ,
32
3. Use o método das cordas para fazer uma estimativa da raiz de 
f x x x( ) � � �3 9 3 . Comece com as estimativas iniciais de x� �1 0 e x0 1 0= , .
Assinale a alternativa correta:
a) 
x
x
x
1
2
3
0 45327
0 34567
0 26743
=
=
=
,
,
,
b) 
x
x
x
1
2
3
0 83270
0 70384
0 50045
=
=
=
,
,
,
c) 
x
x
x
1
2
3
0 37500
0 33194
0 33763
=
=
=
,
,
,
d) 
x
x
x
1
2
3
0 85900
0 09546
0 00356
=
=
=
,
,
,
e) 
x
x
x
1
2
3
0 61270
0 56384
0 56717
=
=
=
,
,
,
33
O Jogo da Imitação
Ano: 2014
Sinopse: durante a Segunda Guerra Mundial, o governo britânico monta uma 
equipe que tem por objetivo quebrar o Enigma, o famoso código que os ale-
mães usam para enviar mensagens aos submarinos. Um de seus integrantes é 
Alan Turing (Benedict Cumberbatch), um matemático de 27 anos estritamente 
lógico e focado no trabalho, que tem problemas de relacionamento com prati-
camente todos à sua volta. Não demora muito para que Turing, apesar de sua 
intransigência, lidere a equipe. Seu grande projeto é construir uma máquina que 
permita analisar todas as possibilidades de codificação do Enigma em apenas 
18 horas, de forma que os ingleses conheçam as ordens enviadas antes que 
elas sejam executadas. Entretanto, para que o projeto dê certo, Turing terá 
que aprender a trabalhar em equipe e temem Joan Clarke (Keira Knightley) sua 
grande incentivadora.
FILME
Métodos Numéricos - Aula 01 - Introdução: motivação e exemplos iniciais
Esse é o primeiro vídeo de uma série de aulas sobre métodos numéricos da 
Univesp. Você pode complementar seu conhecimento com essa série.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
34
BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo numé-
rico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenharia e cientistas. Porto Alegre: 
Bookman,2008.
HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.; MARTINS, W. T. Noções de cálculo numérico. São Paulo: 
McGraw-Hill do Brasil, 1984.
35
1. D.
A afirmação III está incorreta, pois a expressão é transcendente e não algébrica.
2. 
A ± B R ± ER
0,5 - 1,0 0,75 + 0,5
0,5 - 0,75 0,625 + 0,25
0,5 - 0,625 0,5625 + 0,125
0,5 - 0,5625 0,5313 + 0,0625
0,5 - 0,5313 0,5157 - 0,0313
0,5157 - 0,5313 0,5235 - 0,0156
0,5235 - 0,5313 0,5274 + 0,0078
0,5235 - 0,5274 0,5255 - 0,0039
R = 0 526, ou r � �0 526 0 005, ,
3. Aplicando a fórmula x x f x
f x f c
x cn n n
n
n� � � �
�1
( )
( ) ( )
( ), temos:
x
f
f f1
1
1
1 0
1 0 1 5
5 3
1 5
8
0 375� � � �
� � � � �
�� � � � �
� �
� � � ,
x
f
f f2
0 375
0 375
0 375 1
0 375 1� � � �
� � � � �
�� �, ,
,
,
� �
�
� � �� � � �
0 375 0 32226
0 32226 5
0 625, ,
,
,
= 0 331942348,
x
f
f f3
0 33194
0 33194
0 33194 0 375
0 33194 0 375� � � �
� � � � �
�� �, ,
, ,
, ,
� �
� �� �
�� �0 33194 0 049114531
0 049114531 0 32226
0 04306, ,
, ,
,
= 0 33763414,
Portanto,
x
x
x
1
2
3
0 37500
0 33194
0 33763
=
=
=
,
,
,
36
37
38
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Apresentar o conceito de sistemas de equações lineares 
e possíveis aplicações.
• Identificar sistemas triangulares e aplicar a decomposição 
de sistemas.
• Estudar o procedimento de solução de sistemas lineares 
proposto por Gauss.
• Entender a utilização dos Métodos Jacobi para solucionar 
sistemas.
• Utilizar os métodos Gauss-Seidel para obter as soluções 
de sistemas lineares.
Sistemas de
Equações Lineares
Solução de
Sistemas Triangulares Métodos Jacobi
Métodos Gauss-SeidelMétodos Gauss
Me. André Abdala Noel
Esp. Kryssian Romeiro Manoel dos Santos
Solução de Sistemas de 
Equações Lineares
40 Solução de Sistemas de Equações Lineares
Sistemas 
de Equações Lineares
Olá, aluno(a)! Espero que você tenha chegado 
bem à nossa segunda unidade e que tenha com-
preendido bem a unidade sobre os métodos nu-
méricos. Em sua caminhada pelo conhecimento, é 
importante que você realize as atividades, faça os 
exercícios e refaça os exemplos. São boas formas 
de fixar o conteúdo. Além disso, é o momento em 
que surgem as dúvidas que precisam ser sanadas 
para uma melhor compreensão.
Agora, o foco do nosso estudo está nos Sis-
temas de Equações Lineares. Esses sistemas são 
aqueles nos quais temos equações com um núme-
ro grande de variáveis dependentes. Esses sistemas 
têm vasta aplicabilidade na engenharia, como cál-
culos estruturais e redes elétricas, porém, assim 
como Gilat e Subramaniam (2008) explicam, além 
da engenharia e ciência, os sistemas de equações 
lineares são aplicados virtualmente em todas as 
demais áreas, tais como negócios, estatística e eco-
nomia, por exemplo, em que um sistema de duas 
ou três equações com duas ou três incógnitas po-
dem ser resolvidos manualmente por substituição 
ou com o uso de métodos numéricos.
41UNIDADE 2
Para resolver esses sistemas de equações lineares de forma computacional, apli-
caremos, nesta unidade, métodos diretos e iterativos. Juntos, compreenderemos a 
importância desses tópicos e sua aplicabilidade.
Classificação de Sistemas Lineares
Como já vimos, sistemas de equações lineares são amplamente utilizados para cál-
culos de estruturas, redes elétricas ou solução de equações diferenciais, tornando-se 
um problema de grande interesse prático.
Formalmente, temos uma equação linear quando cada termo da equação apresen-
ta apenas uma variável, que aparece apenas na primeira potência (FRANCO, 2006). 
Com isso, uma equação 3 0xy = não é linear, nem uma equação 2 3 1 02x x� � � .
Sendo assim, um Sistema de n Equações Lineares ou um Sistema Linear de 
Ordem n é um conjunto de n equações lineares com n variáveis. Resolver um sis-
tema linear significa encontrar os valores para as n variáveis de forma que todas as 
equações sejam satisfeitas simultaneamente (FRANCO, 2006).
Um sistema linear Sn pode ser escrito da seguinte forma:
S
a x a x a x b
a x a x a x b
a x
n
n n
n n
n
�
� � � �
� � � �
�
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1
...
...

aa x a x bn nn n n2 2 � � �
�
�
�
�
�
�
� ...
ou
S a x b i nn ij j i
j
n
� � �
�
� , , ,...,1 2
1
 
Sob a forma matricial Sn pode ser escrita como:
Ax b=
em que A é uma matriz nxn, x e b são vetores de n elementos.
Os sistemas lineares podem ser classificados como:
• Sistema possível (ou consistente): quando possui, pelo menos, uma solução.
• Sistema impossível (ou inconsistente): quando não admite solução.
42 Solução de Sistemas de Equações Lineares
Dentre os sistemas possíveis, temos os sistemas determinados, quando admitem 
uma única solução, ou indeterminados, quando admitem mais de uma solução 
(FRANCO, 2006).
Por exemplo, dados os três sistemas a seguir:
( )I
x y
x y
� �
� �
�
�
�
3
1
 
( )II
x y
x y
� �
� �
�
�
�
2 3
2 4 6
 
( )III
x y
x y
2 5
2 1
� �
� �
�
�
�
Para o sistema linear (I), temos apenas um par de x e y que satisfazem o sistema, que 
é: x = 2 e y =1 . Portanto, é um sistema possível e determinado. 
Para resolver circuitos eletrônicos e determinar as grandezas de tensões, correntes 
ou resistência, muitas vezes podemos utilizar as Leis de Kirchhoff, em que temos a 
lei das malhas e a lei dos nós, que nos dizem que: (i) a soma das tensões em uma 
malha é igual a zero e (ii) a soma das correntes em um nó é zero.
Essas leis produzem equações lineares que podem ser resolvidas a partir de um 
sistema linear. Dependendo do tamanho do circuito e do tamanho da malha, um 
sistema computacional com métodos numéricos se mostra bem eficaz para resolver 
um circuito.
Ao representar as duas equações do sistema em um gráfico, podemos observar o 
ponto onde as retas se encontram, que é exatamente a nossa solução.
x -
 y =
1
x + y =3
Figura 1 - Representação do encontro das equações de um sistema possível e determinadoFonte: os autores.
43UNIDADE 2
Perceba que o sistema linear (II) é um sistema possível, porém indeterminado, pois as 
retas de ambas equações são coincidentes, ou seja, o sistema admite infinitas soluções. 
Por exemplo, os pares (0, 1,5), (1, 1) ou (3, 0) são soluções para as equações de (II). 
Graficamente, vemos como as retas se sobrepõem.
x+2y=3
2x+4y=6
Figura 2 - Representação do encontro das equações de um sistema possível e indeterminado
Fonte: os autores.
Por último, o sistema linear (III) é um sistema impossível, pois não há valores para 
x e y que satisfaçam as duas equações simultaneamente. Isto é, temos duas retas que 
nunca se encontram, ou sejam, retas paralelas no plano. São chamadas de equações 
contraditórias (FRANCO, 2006).
2x+y=5
2x+y=1
Figura 3 - Representação das equações de um sistema impossível
Fonte: os autores.
44 Solução de Sistemas de Equações Lineares
Métodos Diretos (Exatos) ou Iterativos
Para resolver sistemas lineares, utilizaremos métodos numéricos para sistemas de 
ordem n que possuem uma única solução, ou seja, sistemas lineares possíveis deter-
minados.
Temos dois tipos de métodos numéricos utilizados para resolver sistemas de equa-
ções lineares algébricas, são eles os diretos, também chamados de exatos, e os métodos 
iterativos. Nos métodos diretos, a solução é obtida com a realização de operações 
algébricas nas equações. Nos métodos iterativos, uma solução inicial aproximada é 
assumida e, então, utilizada em um processo iterativo para que soluções mais precisas 
sejam obtidas sucessivamente (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).
Os métodos diretos e os métodos iterativos possuem vantagens e desvantagens. 
O método direto pode encontrar uma solução exata, se houver, e, desconsiderando 
erros de arredondamento, em um número finito de operações, enquanto os métodos 
iterativos podem exigir um número infinito de operações para chegar à solução exata. 
Os métodos iterativos possuem erro de truncamento e arredondamento, enquanto 
os métodos exatos possuem apenas erros de arredondamento.
Contudo, em sistemas de grande porte, os erros de arredondamento em métodos 
diretos podem levar a soluções sem significado, enquanto em métodos iterativos não 
há acumulação de erros de arredondamento (FRANCO, 2006).
45UNIDADE 2
Prezado(a) aluno(a), vamos dar uma rápida re-
cuada nesta aula, enfatizando que, nos métodos 
diretos, manipulamos o sistema inicial, de forma 
a facilitar a sua resolução, ou seja, encontramos 
sistemas equivalentes, que nos permitem encon-
trar a mesma solução, porém de uma maneira 
mais simples.
As formas mais comuns de manipulação são 
os sistemas triangular superior, triangular inferior 
e diagonal apresentados nos exemplos a seguir.
Sistemas Triangulares 
Inferior, Triangular 
Superior e Diagonal
Um sistema é considerado triangular inferior 
se ele pode ser escrito como o exemplo a seguir, 
em que há valores apenas nas posições que com-
põe a diagonal da matriz e nas posições abaixo 
da diagonal. As posições acima da diagonal são 
todas nulas (zero).
Solução de 
Sistemas Triangulares
46 Solução de Sistemas de Equações Lineares
a
a a
a a a
a a a a
x
x
x
x
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
1
2
3
4
0 0 0
0 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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b
b
b
b
1
2
3
4
a x b
a x a x b
a x a x a x b
a x a x an n
11 1 1
21 1 22 2 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2
�
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� � �
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nn nn n nx a x b3 3 � � �
�
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��
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� …
Se o sistema linear puder ser escrito na forma de uma matriz triangular inferior, fa-
cilmente percebemos que ele pode ser resolvido por meio de substituições simples, 
iniciando pelo valor obtido na primeira equação, em que há apenas uma variável.
De forma análoga, um sistema linear de ordem n é triangular superior quando 
possui valores apenas na diagonal e acima da diagonal da matriz A que forma o sistema.
a a a a
a a a
a a
a
x
x
x
x
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
1
2
3
4
0
0 0
0 0 0
�
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b
b
b
b
1
2
3
4
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x
n n
n n
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3
� � � � �
� � � �
� �
…
…
… aa x b
a x b
n n
nn n n
3 3�
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�
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��
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�
�
�
� �
Da mesma forma, também pode ser resolvido por meio de substituições simples, a 
partir da última equação, que possui apenas uma variável, com o resultado direto.
Por fim, temos o sistema linear diagonal, que é escrito de forma em que há valo-
res apenas na diagonal principal da matriz A, gerando o sistema. Dessa forma, cada 
equação terá apenas um termo com uma variável cada, o que já nos entrega a solução 
do sistema (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008).
a
a
a
a
x
x
x
x
b11
22
33
44
1
2
3
4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
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11
2
3
4
b
b
b
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 a x b
a x b
a x b
a x bnn n n
11 1 1
22 2 2
33 3 3
�
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�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
 
47UNIDADE 2
Decomposição LU
Em geral, os sistemas de equações lineares não são sistemas triangulares como os que 
foram apresentados. Contudo, podemos decompor uma matriz quadrada A aij= ( ) 
no produto de uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior. 
Temos o seguinte teorema, conhecido como Teorema LU:
sejam A aij= ( ) a matriz quadrada de ordem n, e Ak o menor principal, constituído 
das k primeiras linhas e k primeiras colunas de A. Assumimos que det( )Ak ≠ 0 para 
k n� �1 2 1, ,..., . Então, existe uma única matriz triangular inferior L ij= ( ) , com 
  11 22 1= = = =... nn , e uma única matriz triangular U uij= ( ) , tal que LU A= . 
Além disso, det( ) ...A u u unn= 11 22 (FRANCO, 2006).
Não iremos, neste curso, demonstrar a prova do teorema, porém, ele serve de base 
para realizarmos a decomposição LU.
A decomposição de uma matriz em uma matriz L (triangular inferior) e uma 
matriz U (triangular superior) pode ser feita a partir da igualdade . De forma prática, 
as matrizes L e U podem ser representadas como:
LU
u u
n n n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
21
31 32
1 2 3
11

 
  
... ... ...
...
112 13 1
22 23 2
33 3
u u
u u u
u u
u
n
n
n
nn
...
...
...
... ...
�
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Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Decomposição LU Passo a Passo
Podemos calcular os elementos das matrizes L e U seguindo os seguintes passos 
(FRANCO, 2006):
1a linha de U: calculamos o produto da primeira linha de L por todas as colunas 
de U, igualando com os elementos da primeira linha de A:
TEOREMA1
48 Solução de Sistemas de Equações Lineares
1 11 11 11 11� � � �u a u a
1 12 12 12 12� � � �u a u a
...
1 1 1 1 1� � � �u a u an n n n
Logo,
u a j nj j1 1 1 2= =, , ,...,
1a coluna de L: calculamos o produto de todas as linhas de L (a partir da segunda 
linha) pela 1a coluna de U, igualando com os elementos da 1a coluna de A:
 21 11 21 21
21
11
u a a
u
� � �
 31 11 31 31
31
11
u a a
u
� � �
...
 n n n
nu a a
u1 11 1 1
1
11
� � �
Logo,
i
ia
u
j n1 1
11
2 3= =, , ,...,
2a linha de U: podemos calcular o produto da 2a linha de L por todas as colunas de 
U (a partir da segunda), igualando com os elementos da 2a linha de A (a partir da 
diagonal principal):
 21 12 22 22 22 22 21 12u u a u a u� � � � �
 21 13 23 23 23 23 21 13u u a u a u� � � � �
...
 21 1 2 2 2 2 21 1u u a u a un n n n n n� � � � �
Logo,
u a u j nj j j2 2 21 1 2 3� � � , , ,...,
49UNIDADE 2
2a coluna de L: obtemos a 2a coluna de L calculando o produto de todas as linhas 
de L (a partir da terceira) pela segunda coluna de U, igualando aos elementos da 2a 
coluna de A (a seguir da diagonal principal):
  

31 12 32 22 32 32
32 31 12
22
u u a a u
u
� � � �
�
  

41 12 42 22 42 42
42 41 12
22
u u a a u
u
� � � �
�
...
  

n n n n
n nu u a a u
u112 2 22 2 2
2 1 12
22
� � � �
�
Logo,


i
i ia u
u
i n2 2 1 12
22
3� � �, ,...,
O processo continua pelas próximas linhas e colunas, levando às fórmulas gerais a 
seguir:
u a u i j
a u u
ij ij ik kj
k
i
ij ij ik kj
k
j
j
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�
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��
�
�
��
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
 
, ,
/
1
1
1
1
jj i j, .�
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Aplicando a Decomposição LU 
a Sistemas Lineares
Temos por definição que um sistema de equações lineares pode ser escrito como 
Ax b= . Sendo um sistema que satisfaz as condições para a decomposição LU, vimos 
que LU A= , logo, nosso sistema pode ser escrito na forma LUx b= .
Então, para encontrar a solução do sistema decomposto, podemos fazer Ux y= 
e aplicar na equação anterior, para resolver primeiro pelo sistema triangular inferior, 
tendo Ly b= . Ao obter o vetor y, aplicamos na equação em relação ao sistema trian-
gular superior para obter o vetor x, que é a solução para o nosso sistema original.
Mais adiante, em nosso livro, veremos como esse método pode ser aplicado em 
programação, utilizando sistemas como Matlab ou Octave para solucionar sistemas 
lineares.
50 Solução de Sistemas de Equações Lineares
Caro(a) aluno(a), resolveremos, agora, um sis-
tema de equação linear pelo método de Gauss, 
que, apesar de ser um dos métodos mais antigos 
para resolver equações simultâneas, mantém-se 
como um dos algoritmos mais importantes. É a 
base da resolução de equações lineares em mui-
tos pacotes de software populares (CHAPRA; 
CANALE, 2011).
Nesse procedimento, um sistema de equações 
genérico é manipulado até apresentar a forma 
triangular superior, que é então resolvida com 
o emprego da substituição regressiva (GILAT; 
SUBRAMANIAM, 2008).
Para ajudar na compreensão deste método, 
vamos resolver um exemplo:
Métodos 
Gauss
51UNIDADE 2
Resolver (BARROSO et al., 1987):
2 3 5
4 4 3 3
2 3 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x
x x x
x x x
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� � �
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Resolução: pelo método de Gauss
1ª etapa:
Escreve-se a matriz aumentada apresentada do sistema:
B A b0
2 3 1 5
4 4 3 3
2 3 1 1
�
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�
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|
|
|
Fazendo B B0 = e chamando de L L L1
0
2
0
3
0( ) ( ) ( ), , as linhas 1, 2 e 3, respectivamente, 
de B0 , escolhe-se a11
0( ) como pivô e calculam-se os multiplicadores:
m a
a21
0 21
0
11
0
4
2
2( )
( )
( )
�
�
�
�
� �
m a
a31
0 31
0
11
0
2
2
1( )
( )
( )
�
�
�
�
� �
Fazem-se, agora, as seguintes transformações elementares sobre as linhas de B0 :
L L1
0
1
1( ) ( )→
m L L L21
0
1
0
2
0
2
1( ) ( ) ( ) ( )� �
m L L L31
0
1
0
3
0
3
1( ) ( ) ( ) ( )� �
L L L1
1
2
1
3
1( ) ( ) ( ), , são linhas da matriz transformada B1 .
Finaliza-se, assim, a 1ª etapa, que consiste em eliminar todos os valores a seguir 
do pivô a11
0 2( ) = .
Efetuando-se as transformações na matriz apresentada, tem-se:
B A b1
2 3 1 5
0 2 1 7
0 6 2 6
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
� � �
|
|
|
|
1 EXEMPLO
52 Solução de Sistemas de Equações Lineares
2ª etapa
Escolhe-se a22
1 2( ) � � como pivô e calcula-se o multiplicador:
m a
a32
1 32
1
22
1
6
2
3( )
( )
( )
( )
�
�
�
� �
�
� �
São feitas, agora, as seguintes transformações elementares sobre as linhas B1 :
L L1
1
1
2( ) ( )→
L L2
1
2
2( ) ( )→
m L L L32
1
2
1
3
1
3
2( ) ( ) ( ) ( )� �
L L L1
2
2
2
3
2( ) ( ) ( ), , são linhas da matriz transformada B2 , que já está na forma 
triangular:
B A b2
2 3 1 5
0 2 1 7
0 0 5 15
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
|
|
|
|
sendo a matriz B2 a matriz aumentada do sistema triangular superior:
2 3 5
2 7
5 15
1 2 3
2 3
3
x x x
x x
x
� � �
� � � �
�
�
�
�
�
�
Resolvendo-o por substituição retroativas, obtém-se a solução x T� � �1 2 3 , que 
é também a solução do sistema dado, uma vez que são equivalentes.
53UNIDADE 2
Sigamos adiante em nossos métodos numéri-
cos. Segundo Gilat e Subramaniam (2008), nos 
métodos iterativos, as equações são colocadas 
em uma forma explícita na qual cada incógnita 
é escrita em termos das demais incógnitas. 
Métodos 
Jacobi
Existem diversas operações matemáticas que reali-
zamos em nosso dia a dia, principalmente na área 
de Engenharias, em que precisamos do cálculo 
numérico para resolver. Não nos damos muito 
conta disso porque, quando precisamos, pegamos 
uma calculadora e ela realiza o trabalho pesado.
54 Solução de Sistemas de Equações Lineares
A forma explícita de um sistema de equações, que foi adaptado de Gilat e Subrama-
niam (2008), é ilustrada a seguir: à direita (a) está a forma padronizada; à esquerda 
(b) está a forma explícita de um sistema de quatro equações.
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1
� � � �
� � � �
� aa x a x a x b
a x a x a x a x b
a
Escreven
32 2 33 3 34 4 3
41 1 42 2 43 3 44 4 4
� � �
� � � �
( )
ddo as equações
de forma lícita
x b a x a x a x
 
 exp
�
� � � �1 1 12 2 13 3 14[ ( 44 11
2 2 21 1 23 3 24 4 22
3 3 31 1 32 2
)] /
[ ( )] /
[ (
a
x b a x a x a x a
x b a x a x
� � � �
� � � ��
� � � �
a x a
x b a x a x a x a
b
34 4 33
4 4 41 1 42 2 43 3 44
)] /
[ ( )] /
( )
Ainda como Gilat e Subramaniam (2008) explicam, o processo de solução começa 
com a escolha de valores iniciais para as incógnitas (primeira solução estimada). 
Na primeira iteração, a primeira solução assumida é substituída no lado direito 
das equações, e os novos valores calculados para as incógnitas formam a segunda 
solução estimada. Na segunda iteração, a segunda solução é substituída de volta nas 
equações para que novos valores sejam obtidos para as incógnitas, e isso constitui 
a terceira solução estimada. As iterações continuam da mesma forma e, quando 
o método dá certo, as soluções obtidas durante as iterações sucessivas convergem 
para a solução real. Em um sistema com n equações, as equações explícitas para 
as incógnitas [xi] são (ARENALES; DAREZZO, 2016): 
x
a
b a xi
k
ii
i ij j
k
j
j i
j n
( ) ( )�
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�1
1
1 , i = 1, 2, ..., n
De acordo com Barroso et al. (1987), o Método Jacobi funciona do seguinte modo:
a) Escolhe-se uma aproximação inicial x( )0 .
b) Geram-se aproximações sucessivas de x k( ) a partir da iteração:
x Fx dk k( ) ( )� � �1 , k = 0, 1, 2, ...
c) Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios a seguir sejam 
satisfeitos:
• max ( ) ( )x xi
k
i
k� � �1 e , em que e é a tolerância
ou
• k M> , em que M é o número máximo de iterações.
Observação: a tolerância e fixa o grau de precisão das soluções.
55UNIDADE 2
Passamos, agora, ao próximo método em nosso 
estudo. Seguindo a linha de explicação de Barroso 
et al. (1987), se temos o sistema Ax b= , o método 
iterativo de Gauss-Seidel consiste em:
a) Partindo-se de uma aproximação inicial 
x x x xn
t
( ) ( ) ( ) ( ), ,...,0 1
0
2
0 0� � � .
b) Calcula-se a sequência de aproximações 
x x x k( ) ( ) ( ), ,..., ,...1 2 , utilizando-se as 
equações:
Métodos 
Gauss-Seidel
56 Solução de Sistemas de Equações Lineares
x
a
b a x a x a xk k k n n
k
1
1
11
1 12 2 13 3 1
1( ) ( ) ( ) ( )...� � � � � ���
�
�
x
a
b a x a x a xk k k n n
k
2
1
22
2 21 1 23 3 2
1( ) ( ) ( ) ( )...� � � � � ���
�
�

x
a
b a x a x a xn
k
nn
n n
k
n
k
n n n
k( ) ( ) ( )
,
( )...� � � � �
�� � � � ���
1
1 1
1
2 2
1
1 1
11 ��
�
ou, então,
x d F x F xi
k
ij j
k
ij j
k
j i
n
j
i
( ) ( ) ( ) ,�
�
� ��
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��1 1
11
1
 onde 
ii n
k
�
�
�
�
�
1 2
0 1 2
, ,...,
, , ,...
c) Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios a seguir sejam 
satisfeitos:
• max ( ) ( )x xi
k
i
k� � �1 e , com tolerância 1≤ ≤i n ou
• k M> , em que M é o número máximo de iterações.
Sendo assim, percebemos que os métodos iterativos podem ser executados até chegar a 
um limite mínimo de tolerância (erro) ou até um número máximo de iterações. Devemos 
lembrar que, por mais que os sistemas computacionais sejam cada vez mais potentese 
baratos, ainda são finitos e limitados. Uma aproximação boa o suficiente muitas vezes é 
o que precisamos.
Terminamos, então, nossa unidade sobre Sistemas de Equações Lineares. Vale lembrar 
que adiante veremos como aproveitar esse conhecimento em linguagens computacionais.
Ainda temos mais a tratar sobre o cálculo numérico, mas até aqui você já deve ter per-
cebido que encontramos formas de automatizar processos mecânicos de cálculos e, por 
vezes, utilizamos caminhos diferentes do que usaríamos para calcular manualmente. Isso 
é necessário, pois a máquina não tem a mesma visão do todo e do contexto que nós temos.
É importante frisar que não precisamos ter medo dessas fórmulas e desses cálculos, 
porque, a partir do ponto em que eles foram estabelecidos, esse processo será passado para 
as máquinas calcularem. Para elas, um processo mecânico repetitivo é simples e menos 
suscetível a erros do que quando nós fazemos os cálculos.
Continue firme em seus estudos e nos vemos na próxima unidade!
57
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Nos métodos diretos, manipulamos o sistema inicial, de forma a facilitar a sua 
resolução, ou seja, encontramos sistemas equivalentes, que nos permitem en-
contrar a mesma solução, porém de uma maneira mais simples.
Considerando o texto, avalie as afirmações a seguir.
I) Um sistema triangular inferior necessita de um sistema triangular superior 
para que a solução seja encontrada.
II) A partir da manipulação de sistemas lineares, podemos deixá-los na forma 
triangular, de onde a solução é obtida de forma mais fácil.
III) A decomposição LU gera duas matrizes triangulares a partir de um sistema 
original.
IV) Um sistema triangular superior possui apenas valores 0 (zero) na parte su-
perior da matriz, ou seja, acima da diagonal principal.
Está correto o que se afirma em:
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas III e IV estão corretas.
d) Apenas I, II e III estão corretas.
e) Apenas II, III e IV estão corretas.
2. Dada a matriz A �
�
�
�
�
�
�
5 3
8 4 , faça a decomposição de A em LU, ou seja, em uma 
matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior.
3. Como o nome diz, um sistema de equações lineares possui apenas equações 
ditas lineares. Dentre as equações a seguir, assinale a equação que é não linear.
a) 3x + 4y = z
b) 2t – 5w + 10h = 48
c) 9y + 12k = 5w + 2x
d) 8u + 3yz – 4 = 0
e) t = y
58
O Homem que viu o Infinito
Ano: 2015
Sinopse: trata-se da história de Srinivasa Ramanujan, matemático indiano que 
fez importantes contribuições para o mundo da matemática, bem como a teoria 
dos números, a série e frações contínuas.
FILME
59
ARENALES, S.; DAREZZO, A. Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software. 2. ed. São Paulo: 
Cengage, 2016.
BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo numé-
rico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.
FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. Pearson: São Paulo, 2006.
GILAT, A.; SUBRAMANIAM, V. Métodos numéricos para engenharia e cientistas. Porto Alegre: Bookman, 
2008.
60
1. B. 
2. 
A
u a
u a
a
u
u
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
� � �
5 3
8 4
5
3
1
0
8
5
1 6
11 11
12 12
11
12
21
21
11


 ,
221
22 22 21 12
22
0
4 1 6 3 0 8
1
1 0
1 6 1
5 3
0 0
�
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�
�
�
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�
�
u a u
L
U


, ,
,
,,8
�
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�
�
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3. D. 
61
62
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Apresentar o conceito de aproximação polinomial e sua 
aplicação.
• Entender o conceito de interpolação linear para aproxi-
mação.
• Estudar a interpolação quadrática e sua utilização.
• Aprender a utilizar a interpolação de Lagrange.
• Analisar e aplicar o método de interpolação polinomial 
de Newton.
Aproximação Polinomial
Interpolação Linear Interpolação de Lagrange
Interpolação de NewtonInterpolação Quadrática
Me. André Abdala Noel
Esp. Kryssian Romeiro Manoel dos Santos
Aproximação de Funções 
64 Aproximação de Funções
Aproximação 
Polinomial
Olá, aluno(a), tudo bem? Seja muito bem-vindo(a) 
novamente à continuação dos nossos estudos! Nesta 
unidade, trataremos de aprofundar nossos conhe-
cimentos e aprender a calcular de forma numérica 
problemas que exijam aproximações de funções.
Existem várias formas de se realizar uma apro-
ximação polinomial, como Interpolação, Métodos 
dos Mínimos Quadrados, Mini-Max, entre outros. 
Para Chapra e Canale (2011), é oportuno fazer 
estimativas de valores intermediários entre dados 
precisos. O método mais comum usado para esse 
propósito é a interpolação polinomial, por isso 
dedicaremos o nosso foco agora a esse método. 
Dividimos nosso estudo do método de interpo-
lação em: linear, quadrática, Lagrange e interpo-
lação de Newton. Antes de apresentar cada uma, 
abordaremos o que vem a ser essa aproximação.
65UNIDADE 3
No uso cotidiano, algumas funções podem ser complexas de serem resolvidas e 
uma boa forma de simplificar é aproximar essas funções a funções mais simples, de 
onde os resultados possam ser obtidos com menos esforço.
Podemos utilizar de aproximações quando precisamos avaliar diferentes pontos 
ou quando precisamos derivar ou integrar; também quando temos um conjunto de 
pontos da função, mas não sabemos sua forma analítica real (ARENALES; DARE-
ZZO, 2016).
É comum a necessidade de se fazer estimativas de pontos intermediários entre 
dados precisos. Para isso, usamos as técnicas de Aproximação Polinomial. O método 
mais comum, que discutimos nesta unidade, é a interpolação polinomial. A fórmula 
geral para um polinômio de grau n é 
f x a a x a xn
n( ) ...� � � �0 1
2
Para n +1 pontos dados, existe um e somente um polinômio de grau n que passa por 
todos os pontos. A interpolação polinomial consiste em determinar o único polinômio 
de grau n que passa pelos n +1 pontos dados. Esse polinômio, então, fornece uma 
fórmula para calcular valores intermediários (CHAPRA; CANALE, 2011). 
Este polinômio recebe o nome de polinômio interpolador. O polinômio inter-
polador de uma função f x( ) definida em x x xn0 1, ,..., (n+1) pontos distintos de um 
intervalo a b,� � é o polinômio P x( ) de grau igual ou menor a n, que coincide com a 
função nos pontos x i ni , ,...,= 0 . Isso significa que P x f x y y ni i i( ) ( ) , ,...,= = = 0 
(ARENALES; DAREZZO, 2016). 
A interpolação gráfica é um recurso bastante utilizado em computação gráfica, seja 
para gráficos estáticos 2D ou 3D ou, ainda, para animações e jogos de computador. 
A partir da interpolação, é possível “criar” pontos e/ou elementos a partir de um 
contexto.
Em jogos de computador, a interpolação pode suavizar efeitos como “zoom in” e 
“zoom out”, utilizando o seu cenário e interpolando a modificação da imagem, para 
fazer a transição de forma mais suave.
Fonte: Isidro (2016, on-line)1.
66 Aproximação de Funções
De uma forma um pouco mais visual, podemos entender um pouco do funciona-
mento por meio da figura a seguir, em que temos alguns pontos da função f(x) e 
encontramos um polinômio P(x) que passa por esses pontos.
y
y
y1
y0
x0 = a = bx1
n
x xn
Pn (x)–
Pn (x)
f (x)
x– . . .
...
ƒ(x)–
Figura 1 - Exemplo de polinômio interpolador
Fonte: adaptada de Arenales e Darezzo (2016).
Descreveremos no tópico a seguir algumas alternativas de cálculo do método de 
interpolação polinomial.
67UNIDADE 3
A forma mais simples de interpolação é ligar dois 
pontos dados com uma reta. Essa técnica, chama-
da de interpolação linear, é descrita graficamente 
na Figura 2, usando semelhança de triângulos, 
que é a fórmula de interpolação linear. 
f x f x
x x
f x f x
x x
1 0
0
1 0
1 0
( ) ( ) ( ) ( )�
�
�
�
�
que pode ser reescrito como:
f x f x f x f x
x x
x x1 0 1 0
1 0
0( ) ( )
( ) ( )
( )� �
�
�
�
A notação f x1( ) indica que esse é um polinô-
mio interpolador de primeiro grau. Observeque, 
além de representar a inclinação da reta ligando 
os pontos, o termo f x f x x x( ) ( ) / ( )1 0 1 0�� � � é 
uma aproximação por diferenças divididas finitas 
da primeira derivada. Em geral, quanto menor o 
intervalo entre os pontos dados, melhor a apro-
ximação, o que se deve ao fato de que, conforme 
o intervalo diminui, uma função contínua será 
mais bem aproximada por uma reta (CHAPRA; 
CANALE, 2011).
Interpolação 
Linear
68 Aproximação de Funções
x
ƒ(x)
ƒ(x1)
ƒ(x0)
x0 x x1
ƒ1(x)
Figura 2 - Representação gráfica de interpolação linear
Fonte: Chapra e Canale (2011, p. 410).
Seja a função y f x= ( ) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1,00; 2,94), determinar 
aproximadamente o valor de f ( , )0 73 (BARROSO et al., 1987). 
Resolução: P x a x a1 1 0( ) � � é o polinômio interpolar de 1º grau que passa pelos 
pontos dados. Logo, tem-se:
P a a a
P a a a
1 1 0 0
1 1 0 1
0 0 1 35 1 35
1 1 2 94 1 59
( ) , ,
( ) , ,
� � � � � �
� � � � � �
�
�
�
P x x1 1 59 1 35( ) , ,� �
P1 0 73 1 59 0 73 1 35 2 51( , ) , , , ,� � � � 
Segundo Barroso et al. (1987), o resultado obtido no Exemplo 1 está afetado por 
dois tipos de erro:
a) Erro de arredondamento ( )eA : é cometido durante a execução das operações 
e no caso de o resultado ser arredondado.
b) Erro de truncamento ( )eT : é cometido quando a fórmula de interpolação a 
ser utilizada é escolhida, pois a aproximação de uma função conhecida apenas 
por meio de dois pontos é feita por um polinômio de 1º grau.
1 EXEMPLO
69UNIDADE 3
Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2 usando uma interpolação linear. Pri-
meiro, faça o cálculo interpolando entre ln( )1 0= e ln( ) ,6 1 791759= . Então, repita 
o procedimento, mas use o intervalo menor de ln( )1 a ln( ) ,4 1 386294= . Observe 
que o valor verdadeiro de ln( ) ,2 0 6931472= (CHAPRA; CANALE, 2011). 
Resolução: usamos a Equação f x f x f x f x
x x
x x1 0 1 0
1 0
0( ) ( )
( ) ( )
( )� �
�
�
� e a interpo-
lação linear para ln( )2 de x0 1= a x1 6= para obter:
f1 2 0
1 791759 0
6 1
2 1 0 3583519( ) , ( ) ,� � �
�
� �
o que representa um erro de eT = 48 3, % . O uso do intervalo menor de x0 1= a 
x1 4= fornece: 
f1 2 0
1 386294 0
4 1
2 1 0 4620981( ) , ( ) ,� � �
�
� �
 Logo, o uso do intervalo menor reduz o erro relativo percentual para eT = 33 3, % . 
Ambas as interpolações estão mostradas na Figura 3, junto com a função verdadeira. 
ƒ(x)
ƒ(x) = In x
ƒ1(x)
2
1
0
0 5 x
Estimativas lineares
Valor
verdadeiro
Figura 3 - Duas interpolações lineares para estimar ln(2)
Fonte: Chapra e Canale (2011, p. 411).
Pelos exemplos, podemos perceber que, quanto menor o intervalo, mais próxima 
será a nossa aproximação. Entretanto, em muitos casos, a aproximação pode trazer 
um erro aceitável.
2 EXEMPLO
70 Aproximação de Funções
Para Chapra e Canale (2011), a interpolação qua-
drática é um método mais preciso do que a linear, 
devido ao fato de que a aproximação não é de uma 
reta com uma curva. A fim de obter-se uma certa 
curvatura, são necessários três pontos, o que pode 
ser conseguido com um polinômio de segundo 
grau (também chamado de polinômio quadrático 
ou de parábola). Uma fórmula particularmente 
conveniente para esse propósito é:
f x b b x x b x x x x2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )� � � � � �
Desenvolvendo-a, temos:
f x b b x b x b x b x x b xx b xx2 0 1 1 0 2
2
2 0 1 2 0 2 1( ) � � � � � � �
Colecionando os termos:
f x a a x a x2 0 1 2
2( ) � � �
em que
a b b x b x x0 0 1 0 2 0 1� � �
a b b x b x1 1 2 0 2 1� � �
a b2 2=
Interpolação 
Quadrática
71UNIDADE 3
Retomando a equação f x b b x x b x x x x2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )� � � � � � e considerando 
x x= 0 para encontramos b0 , temos que:
b f x0 0= ( )
Logo, substituindo b f x0 0= ( ) na equação f x b b x x b x x x x2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )� � � � � � , 
e ainda considerando x x= 1 , podemos encontrar b1 :
b f x f x
x x1
1 0
1 0
�
�
�
( ) ( )
Seguindo a mesma lógica, resolvendo a substituição de b0 e b1 em 
f x b b x x b x x x x2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )� � � � � � , e considerando x x= 2 , teremos, final-
mente, uma equação para b2 :
b
f x f x
x x
f x f x
x x
x x2
2 1
2 1
1 0
1 0
2 0
�
�
�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( )
Ainda segundo Chapra e Canale (2011), b1 representa a inclinação da reta ligando 
os pontos x0 e x1 . Logo, b b x x0 1 0� �( ) são equivalentes à interpolação linear de 
x0 e x1 ; já o último termo, b x x x x2 0 1( )( )− − , introduz a curvatura de segundo 
grau na fórmula.
Ajuste um polinômio de segundo grau aos três pontos usados no Exemplo 2, veja a 
seguir (CHAPRA; CANALE, 2011):
x f x
x
x
f x
f x
0 0
1
2
1
2
1 0
4
6
1 386294
1 791759
= =
=
=
=
=
( )
( ) ,
( ) ,
Use o polinômio para calcular ln( )2 .
Resolução: aplicando b f x0 0= ( ) , temos que b0 0= .
Para b f x f x
x x1
1 0
1 0
�
�
�
( ) ( )
b1
1 386294 0
4 1
0 4620981� �
�
�
, ,
3 EXEMPLO
72 Aproximação de Funções
Finalmente, para b2 , temos:
b
f x f x
x x
f x f x
x x
x x2
2 1
2 1
1 0
1 0
2 0
�
�
�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) ( )
b2
1 791759 1 386294
6 4
0 4620981
6 1
0 0518731�
�
�
�
�
� �
, , ,
,
Substituindo esses valores na equação f x b b x x b x x x x2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( )� � � � � � , 
obtém-se a fórmula quadrática:
f x x x x2 0 0 4620981 1 0 0518731 1 4( ) , ( ) , ( )( )� � � � � �
f x x x2
20 0518731 0 7214636 0 6695905( ) , , ,� � � �
a qual pode ser calculada em x = 2 para fornecer:
f x2 0 5658444( ) ,=
o que representa um erro relativo de eT =18 4, % . Logo, a curvatura introduzida 
pela fórmula quadrática melhora a interpolação quando comparada com o resultado 
obtido usando-se retas no Exemplo 2.
Veja a comparação gráfica entre os Exemplos 2 e 3, em que o Exemplo 2 é repre-
sentado pela linha rosa tracejada, enquanto o Exemplo 3 é representado pela linha 
contínua rosa, e a função real pela linha contínua preta:
ƒ(x)
ƒ(x) = In x
ƒ2(x)
2
1
0
0 5 x
Estimativa quadrática
Estimativa linear
Valor
verdadeiro
Figura 4 - Interpolações linear e quadrática (Exemplos 2 e 3)
Fonte: Chapra e Canale (2011, p. 412).
Percebemos o quanto a interpolação quadrática se aproxima mais do que a interpolação 
linear do valor real. Podemos encarar como um refinamento da nossa solução.
73UNIDADE 3
Como falamos no tópico anterior, a aproximação 
por interpolação não precisa ser feita a partir ape-
nas da definição das funções, mas pode ser feita 
a partir de pontos conhecidos. Agora, trabalhare-
mos com a interpolação de Lagrange para realizar 
a interpolação a partir desses pontos.
 “
Os polinômios interpoladores de Lagrange 
formam uma classe específica de polinô-
mios que podem ser usados para fazer o 
ajuste de um determinado conjunto de da-
dos simplesmente a partir dos valores dos 
pontos. Os polinômios podem ser escritos 
diretamente, e os coeficientes são determi-
nados sem a necessidade de nenhum cálcu-
lo preliminar (GILAT; SUBRAMANIAM, 
2008, p. 218).
Interpolação 
de Lagrange
74 Aproximação de Funções
ƒ(x)
ƒ(x)=
(x–x2)
(x, y)
x
(x1–x2)
y1 + y2
*
(x–x1)
(x2–x1)
(x2, y2)
(x1, y1)
Figura 5 - Polinômio de Lagrange de primeira ordem
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 218).
Ainda segundo Gilat e Subramaniam (2008), para dois pontos, ( , )x y1 1 e ( , )x y2 2 , o 
polinômio de Lagrange de primeira ordem (Figura 5) tem a forma:
f x y a x x a x x( ) ( ) ( )� � � � �1 2 2 1
Podemos substituir os pontos na equação, o que nos leva a: 
y a x x a x x1 1 1 2 2 1 1� � � �( ) ( ) ou a
y
x x1
1
1 2
�
�( )
 e
y a x x a x x2 1 2 2 2 2 1� � � �( ) ( ) ou a
y
x x2
2
2 1
�
�( )
Depois, pode-se substituir a1 e a2 de volta na equação para obter: 
f x x x
x x
y x x
x x
y( ) ( )
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
2
1 2
1
1
2 1
2
Nesse caso, obtemos uma função linear, na qual, se x x= 1 , teremos o polinômio igual 
a y1 . No caso de x x= 2 , podemos ver que o polinômio seria y2 . Quando x for um 
outro valor, entre x1 e x2 , teremos um valor que é a interpolação em y.
Podemos, ainda,escrever a equação como:
f x y y
x x
x x y x y
x x
( )
( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
2 1
2 1
2 1 1 2
2 1
Se trabalharmos em função de três pontos, ou seja, ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 e ( , )x y3 3 , o 
polinômio de Lagrange de segunda ordem tem a forma: 
f x y a x x x x a x x x x a x x x x( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )� � � � � � � � � �1 2 3 2 1 3 3 1 2
75UNIDADE 3
E o polinômio que passa pelos três pontos: 
f x x x x x
x x x x
y x x x x
x x x x
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )(
�
� �
� �
�
� �
� �
2 3
1 2 1 3
1
1 3
2 1 2 33
2
1 2
3 1 3 2
3
)
( )( )
( )( )
y x x x x
x x x x
y� � �
� �
Esta equação já é uma equação quadrática, diferente da anterior. Segundo Gilat e 
Subramaniam (2008):
 “
Quando a coordenada x1 , x2 ou x3 de um dos três pontos é substituída, o va-
lor do polinômio é igual a y1 , y2 ou y3 , respectivamente. Isso ocorre porque o 
coeficiente na frente do termo yi correspondente é igual a 1 e o coeficiente dos 
outros dois termos é igual a zero (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008, p. 219).
ƒ(x)
(x, y)
x
*
ƒ(x)=
(x-x2)(x-x3)
(x1-x2)(x1-x3)
y1 + y2
(x-x1)(x-x3)
(x2-x1)(x2-x3)
+ y3
(x-x1)(x-x2)
(x3-x1)(x3-x2)
(x2, y2)
(x3, y3)
(x1, y1)
Figura 6 - Polinômio de Lagrange de segunda ordem
Fonte: Gilat e Subramaniam (2008, p. 219).
Como podemos trabalhar com diferentes números de pontos para o polinômio, 
uma fórmula geral para o polinômio de Lagrange, que passe por n pontos, é descrita 
a seguir: 
f x x x x x x x
x x x x x x
y x xn
n
( )
( )( )...( )
( )( )...( )
(
�
� � �
� � �
�
�2 3
1 2 1 3 1
1
1))( )...( )
( )( )...( )
...
( )(
x x x x
x x x x x x
y
x x x x
n
n
� �
� � �
�
�
� �
3
2 1 2 3 2
2
1 22 1 1
1 2 1
)...( )( )...( )
( )( )...( )(
x x x x x x
x x x x x x
i i n
i i i i
� � �
� � �
� �
� xx x x x
y
x x x x x x
x x x
i i i n
i
n
n
� �
� �
� � �
�
�
�
1
1 2 1
1
)...( )
...
( )( )...( )
( )( nn n n
nx x x
y
� � �2 1)...( )
De forma compacta, para não assustar (tanto): 
76 Aproximação de Funções
f x y L x y
x x
x xi i i
j
i jj
j i
n
i
n
i
n
( ) ( )
( )
( )
� �
�
��
�
��
���
111
em que as funções L x
x x
x xi
j
i jj
j i
n
( )
( )
( )
�
�
��
�
�
1
 são chamadas de funções de Lagrange. Essa 
forma pode ser facilmente implementada em um programa de computador (GILAT; 
SUBRAMANIAM, 2008).
Use um polinômio interpolador de Lagrange de primeiro e segundo graus para cal-
cular ln( )2 com base nos dados fornecidos no Exemplo 2, veja a seguir (CHAPRA; 
CANALE, 2011):
x f x
x
x
f x
f x
0 0
1
2
1
2
1 0
4
6
1 386294
1 791759
= =
=
=
=
=
( )
( ) ,
( ) ,
 
Resolução: o polinômio de primeiro grau pode ser usado para se obter a estimativa 
em x = 2 ,
f x x x
x x
y x x
x x
y( ) ( )
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
2
1 2
1
1
2 1
2
f1 2
2 4
1 4
0 2 1
4 1
1 386294 0 4620981( ) ( )
( )
( )
( )
, ,�
�
�
�
�
�
�
De modo semelhante, o polinômio de segundo grau é desenvolvido como: 
f x x x x x
x x x x
y x x x x
x x x x
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )(
�
� �
� �
�
� �
� �
2 3
1 2 1 3
1
1 3
2 1 2 33
2
1 2
3 1 3 2
3
)
( )( )
( )( )
y x x x x
x x x x
y� � �
� �
f2 2
2 4 2 6
1 4 1 6
0 2 1 2 6
4 1 4 6
1 386294( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
,
(
�
� �
� �
�
� �
� �
�
22 1 2 4
6 1 6 4
1 791760� �
� �
)( )
( )( )
,
f2 2 0 5658444( ) ,=
Apesar de utilizar métodos diferentes, conseguimos os mesmos valores que obtivemos 
ao calcular a interpolação quadrática.
4 EXEMPLO
77UNIDADE 3
Para introduzir a interpolação de Newton, preci-
samos apresentar o conceito de diferenças divi-
didas. Dados os pontos x x xn0 1, ,..., que são n+1 
pontos em um intervalo a b,� � , e f f fn0 1, ,..., 
os n+1 valores de uma função aplicada a esses 
pontos, a diferença dividida de uma função f x( ) 
pode ser definida como:
f x f x k nk k[ ] ( ), , ,..., ,= = 0 1
f x x x f x x x f x x x
x xo n
n n
n
[ , ,..., ]
[ , ,..., ] [ , ,..., ]
1
1 2 0 1 1
0
�
�
�
�
.
Para simplificar o entendimento da definição, a 
diferença dividida pode ser entendida como o 
cálculo de uma função recursiva, em que você 
pode calcular o valor para diferentes pontos; para 
isso, você precisa recorrer a resultados anteriores, 
até retornar ao caso base, em que se tem 
f x f xk k[ ] ( )= .
Interpolação 
de Newton
78 Aproximação de Funções
Dessa forma, podemos escrever:
f x x f x f x
x xo
[ , ]
[ ] [ ]
1
1 0
1 0
�
�
�
f x x x f x x f x x
x xo
[ , , ]
[ , ] [ , ]
1 2
1 2 0 1
2 0
�
�
�
f x x x x f x x x f x x x
x xo
[ , , , ]
[ , , ] [ , , ]
1 2 3
1 2 3 0 1 2
3 0
�
�
�
e assim por diante (FRANCO, 2006).
Cuidado para não se perder no cálculo das diferenças divididas. Como auxí-
lio, você pode montar uma tabela em que vai anotando por níveis os resul-
tados, primeiro para um ponto, depois para dois pontos e assim por diante.
Seguindo nosso estudo propriamente para a interpolação de Newton, começamos 
com algumas definições. Primeiro, vamos considerar uma função f x( ) contínua e 
que possua derivadas contínuas no intervalo a b,� � . Também, que temos os pontos 
x x xn0 1, ,..., e que eles são todos distintos no intervalo a b,� � . 
Também definimos:
f x x f x f x
x x
x x[ , ] [ ] [ ] ,0 0
0
0�
�
�
� para 
f x x x f x x f x x
x x
x x x x[ , , ] [ , ] [ , ] ,0 1 0 0 1
1
0 1�
�
�
� � para e 
...f x x x x f x x x x f x x x
x xn
n n
n
[ , ,..., , ]
[ , ,..., , ] [ , ,... ]
,0 1
0 1 1 0 1�
�
�
� ppara x x k nk� �, , ,...,0 1
A partir das definições para a interpolação de Newton, podemos chegar ao polinômio 
interpolador de Newton, que é escrito como:
P x f x x x f x x x x x x f x x x
x
n ( ) [ ] ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
... (
� � � � � � �
� �
0 0 0 1 0 1 0 1 2
xx x x f x x xn n0 1 0 1)...( ) [ , ,..., ]� �
Sendo ele o polinômio de interpolação da função y f x= ( ) sobre os pontos 
x x xn0 1, ,..., .
79UNIDADE 3
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. 
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Conhecendo a tabela (FRANCO, 2006):
x -1 0 3
f(x) 15 8 -1
Calcular f ( )1 usando a fórmula de Newton do polinômio da interpolação.
Sabemos que:
x f f x
x
x
f f x
f f x
0 0 0
1
2
1 1
2 2
1 15
0
3
8
1
� � � �
�
�
� �
� � �
, ( ) ,
,
,
( ) ,
( )
Portanto, temos que n=2 e o polinômio de Newton é calculado a partir de:
P x f x x x f x x x x x x f x x x2 0 0 0 1 0 1 0 1 2( ) [ ] ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]� � � � � �
Resolvendo as diferenças divididas, temos:
f x f x x f x x x[ ] , [ , ] [ , , ]0 0 1 0 1 215 7 1� � � � e .
Calculando o polinômio:
P x x x x2 15 1 7 1 0 1( ) ( )( ) ( )( )( )� � � � � � �
P x x x2
2 6 8( ) � � �
Portanto, P f2 1 3 1( ) ( )=  .
Chegamos, enfim, ao final de nossa unidade sobre aproximação de funções. As 
interpolações têm diversos usos práticos e facilitam bastante a obtenção de valores 
aproximados que necessitamos.
Lembre-se de que esses métodos que aprendemos aqui geralmente trazem uma 
aproximação que pode contar com erros de arredondamento e/ou truncamento. 
Portanto, é importante saber, na prática, qual é a margem de erro tolerável, que varia 
muito de acordo com cada domínio de aplicação.
Tire um tempo de descanso (após responder as atividades), tome um café bacana e 
logo voltaremos a conversar sobre cálculo numérico, aplicando à integração numérica 
e equações diferenciais. Bom estudo!
5 EXEMPLO
80
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. No uso cotidiano, algumas funções podem ser complexas de serem resolvidas, e 
uma boa forma de simplificar é aproximar essas funções a funções mais simples, 
de onde os resultados possam ser obtidos com menos esforço.
Considerando o texto, avalie as afirmações a seguir.
I) Os métodos de interpolação permitem encontrar valores aproximados para 
funções em pontos que não conhecemos ainda na função.
II) A interpolação polinomial permite a simplificação de funções a partir de 
aproximação.
III) A partir de métodos como a Interpolação Lagrange, podemos encontrar va-
lores exatos para funções em qualquer ponto em um intervalo