Conteúdo - Correlação

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15/05/2022 11:18 Sistema Aurea - Compartilhar conhecimento é inspirar sonhos!
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Introdução
Neste material, introduziremos um método para a determinação da existência ou não de uma
correlação, ou associação, entre duas variáveis para o caso dessa correlação ser linear.
Quando se trabalha com duas ou mais variáveis, elas poderão estar ou não relacionadas. Se
essas variáveis estiverem relacionadas, iremos estabelecer uma equação matemática que
estabeleça o grau dessa dependência. Para tal, identificaremos uma função polinomial do
primeiro grau que melhor se ajusta aos dados e, a partir disso, poderemos empregar esta
equação para predizer o valor de uma variável, dado o valor da outra.
Esperamos que você aproveite o material e que ela sirva para entreter, abrir novos horizontes
e, principalmente, sirva de estímulo para a continuação de seus estudos em Estatística.
Objetivos de Aprendizagem
Estudar a correlação e regressão linear.
Vamos lá?
Quando vamos desenvolver um trabalho científico, é bem comum investigar a existência de relação
entre as variáveis envolvidas para saber com precisão o quanto alterações nos resultados de uma
variável podem estar associadas à transformação nos resultados de outras variáveis. Por exemplo,
espera-se que a velocidade do vento em um parque eólico possa estar associada à geração de
corrente, assim como o peso e a altura de indivíduos, o tempo de estudo e a nota na prova de
estudantes, o rendimento de um motor e o tempo de sua última regulagem, o desempenho de um
indivíduo na universidade e seu desempenho no ensino médio etc.
Quando temos duas variáveis a serem analisadas, “X” e “Y”, temos uma correlação linear simples.
Quando temos múltiplas variáveis a serem analisadas, temos uma correlação linear múltipla.
Correlação e Regressão
Ricardo Cardoso
de Oliveira
Autor
Renata Cristina de
Souza Chatalov
Autor
Correlação e Regressão Linear
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Na correlação linear simples, analisamos a possibilidade de uma associação entre as variáveis x e y,
e analisamos a intensidade (fraca ou forte). Na regressão linear simples, o relacionamento é descrito
por meio de uma expressão matemática.
A Figura 1 ilustra algumas correlações. Vejamos:
FIGURA 1 - Tipos de correlação
Fonte: Adaptada de Crespo (2009)
Em uma correlação linear simples, a variável x é independente e a variável y é dependente de x. É
por meio dessa correlação que verificamos a “força” da relação entre x e y.
É interessante, antes de qualquer análise de regressão linear, criar o diagrama de dispersão. Nesse
gráfico, já conseguimos ter uma ideia se há relação entre x e y, a qual pode ser observada na Figura
1.
Para entendermos melhor, vamos fazer um exemplo: o administrador da rede de Lojas Canção tem
como objetivo verificar se existe uma relação entre os gastos com propaganda das lojas no horário
nobre da TV aberta e as vendas dessas lojas. Para tanto, ele irá verificar se existe essa relação, por
meio da correlação linear. Os dados estão apresentados na tabela a seguir:
Filial Gasto com propaganda (R$ 1.000,00) (X) Vendas da loja (R$ 1.000,00) (Y)
1 540 5,80
2 294 2,60
3 440 4,00
4 624 6,80
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5 252 2,00
6 295 2,70
7 372 4,00
8 473 4,90
Tabela 1 - Gastos com propagandas e vendas da loja. 
Fonte: Elaborada pelos autores.
Representando, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pares ordenados (Xi, Yi),
obtemos o diagrama de dispersão, o qual nos mostra a existência de correlação entre as variáveis
estudadas.
FIGURA 2 - Diagrama de dispersão
Fonte: Elaborada pelos autores
Depreende-se da Figura 2 que existe correlação positiva entre as variáveis “gastos” com propaganda
e “vendas”, ou seja, o aumento com gastos com propaganda ocasiona aumento nas vendas das
lojas.
Podemos determinar a intensidade com que esses dados estão correlacionados, calculando o
coeficiente de correlação de Pearson que é dado por: 
r=nΣ (xi.yi) − (Σ xi) . (Σ yi) [nΣx12− (Σxi)2].[[nΣy12−(Σyi)2]]
Em que n é o número de observações. Os valores de r estão no intervalo. Assim:
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Vamos calcular r para o caso do Quadro 1. Vejamos a seguir:
 (X) (Y) (X.Y) (X2) (Y2)
1 540 5,80 3.132,00 291.600 33,64
2 294 2,60 764,40 86.436 6,76
3 440 4,00 1.760,00 193.600 16,00
4 624 6,80 4243,20 389.376 46,24
5 252 2,00 504,00 63.504 4,00
6 295 2,70 796,50 87.025 7,29
7 372 4,00 1.488,00 138.384 16,00
8 473 4,90 2.317,70 223.729 24,01
Total
Σ xi=3.290.00 Σ Yi=32,80 ΣxiYi=15.005,80 Σx2i=1.473.654 ΣY2i=153,94
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Quadro 1 - Cálculo da correlação linear. 
Fonte: Elaborado pelos autores.
Daí,
r=8×15.005,80 − (3.290×32,80)[8×1.473.654 − (3.290)2]. [8× 153,94−(32,80)2]
Com o valor de r calculado, pode-se afirmar que, de fato, há forte correlação positiva entre as
variáveis “gastos” e “vendas”.
Agora, é interesse determinar uma equação em que a e b são números reais. Assim, supondo X que é
a variável independente e Y que é a variável dependente, vamos determinar o ajustamento de uma
equação de reta, que é a relação entre esses dados. Os valores de a e de b são dados por:
a=nΣ(xiyi)−(Σxi)(Σyi)nΣx12−(Σxi)2
b=Σyin−aΣxin
Vamos calcular a e b para os dados do Quadro 1. Assim:
a=8×15.005,80−3.290×32,808×1.473.654−(3.290)2≃0,013
e
b=32,808−0,013×3.2908≃−1,25
Assim, temos a reta de regressão para o exemplo estudado como: Y = 0,013x - 1,25. Para que se possa
traçar uma reta entre os eixos x e y, é preciso atribuir no mínimo dois valores para x, substituindo na
equação, e depois cruzar esses dois pontos, para que seja formada uma reta.
Atenção
Regressão Linear 
Observe como a regressão linear está presente em análises que fazemos no
nosso cotidiano.
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Mas qual o significado dessa equação? Com relação às oito filiais estudadas, podemos predizer as
vendas de uma filial (Y) a partir de um dado gasto com propaganda (X), fazendo uso da equação . Por
exemplo, para um gasto com propaganda de X = R$ 2000, temos uma estimativa para as vendas de Y
(em R$ 1000). Observe que quando não se gasta com propaganda (X=0), prevemos uma queda nas
vendas de US$1,25 (US$1000).
Vimos que, se verificarmos a existência da correlação entre duas variáveis, X e Y, podemos
determinar uma equação linear, que expressa Y em função de X e que essa equação nos permite o
cálculo de Y, conhecido o X. Temos que ter em mente que um valor previsto para Y não será
necessariamente um resultado exato, pois além do valor da variável X, existem outras variáveis que
não foram incluídas no estudo, e essas podem afetar o resultado final. O coeficiente de
determinação (r2) é o quadrado do coeficiente de correlação, ou seja, [Coeficiente de determinação
= (coeficiente de correlação)2] é uma medida descritiva da proporção da variação de Y que pode ser
explicada por X, segundo o modelo especificado. No exemplo em que estudamos a relação linear
dinheiro gasto em propaganda e as vendasdas lojas Canção, obtemos um coeficiente de correlação
de r = 0,9899. Então, r2 = 0,9799 ou 97,99% e a interpretação desse coeficiente de determinação é
que dentre as filiais estudadas, 97,99% da variação nas vendas dessas filiais são explicadas pela
variação nos gastos com propaganda. Os 2,01% (1 - 0,9799 ou 100-97,99) restantes são inexplicáveis
e se devem ao acaso ou a outras variáveis.
Começamos nossos estudos com uma variável de interesse e estudamos na Unidade I as medidas de
tendência central, de dispersão, de assimetria e curtose. Nesta unidade, estudamos a correlação
linear e a regressão linear simples, para verificar a existência de uma relação entre as variáveis x e y.
 Fonte: Elaborado pelos autores. 
Atenção
Pessoas inteligentes comem muito chocolate 
Existem diversos estudos tentando encontrar ao menos uma correlação
entre algumas variáveis. 
Comem chocolate, ficam inteligentes e ganham prêmios. Parece bobagem,
mas existe uma relação entre o consumo de chocolate e os países onde
vivem os vencedores do Prêmio Nobel. 
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Agora que você concluiu a leitura deste estudo, veja, nos vídeos a seguir, temas que
complementarão seus estudos:
Videoaula
Videoaula
E quem fez essa comparação realmente não tinha mais nada para fazer. O
cardiologista Franz Messerli estava deitado em um quarto de hotel quando
parou para pensar sobre um estudo que mostrava como o flavonoide do
cacau pode aprimorar nossas habilidades cognitivas. Aí, ele começou a
analisar se os países de onde mais saíam vencedores do Prêmio Nobel
consumiam muito chocolate. E concluiu: quanto maior o consumo de
chocolate per capita (kg/habitantes) de um país, maior o número de gênios
premiados com o Nobel, a cada 10 milhões de pessoas. 
Os suíços, por exemplo, que somam quase 8 milhões de pessoas, já levaram
29 premiações e comem chocolate para caramba – cada habitante come
quase 10 quilos do doce por ano. A Suécia e Alemanha também. Seguindo a
média encontrada pela pesquisa, para ganhar mais um Nobel, qualquer
país precisa aumentar em 400 gramas o consumo anual de chocolate. 
Bobeira? Total. Até o pesquisador sabe: ninguém vai ganhar um Nobel
depois de se entupir de chocolate. Mas se esse pessoal inteligente curtia
uma barra de chocolate, por que não seguir o exemplo? 
Fonte: Castro (2016). 
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Indicação de Leitura 
 
Livro: Estatística - Teoria e Aplicações
Autores: David M. Levine, David F. Stephan e Kathryn A. Szabat
Editora: LTC
Ano: 2016 – 7ª ed.
ISBN: 978-85-216-3067-8
Sinopse: Este livro apresenta a utilização da teoria estatística com aplicação do Microso� Excel. É
uma obra essencial para aqueles que buscam a pesquisa e a análise, pois mostra ferramentas,
conceitos e dados práticos em sua abordagem. Traz inúmeros exercícios, resolvidos por formas
algébricas e pelo Excel.
 
Atividade
Em uma pesquisa feita com os alunos de uma escola, a direção identificou que os alunos
que gostam de Exatas geralmente não gostam de Humanas. Isso pode ser claramente
identificado na relação entre as notas dos alunos em ambas as matérias, pois percebe-se
que a nota em Português, comparada a nota de Matemática, é sempre menor. O gráfico, a
seguir, apresenta a relação entre as notas de uma amostra dos alunos. 
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Figura - Diagrama de dispersão - Exercício 1.a 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 Observando o gráfico, podemos concluir que: 
A. a correlação entre as notas é forte positiva. 
B. a correlação entre as notas é perfeita positiva.
C. a correlação entre as notas não existe. 
D. a correlação entre as notas é fraca positiva. 
E. a correlação entre as notas é média positiva. 
Responder
Atividade
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Em uma análise feita com as médias da disciplina de matemática dos alunos de uma
escola privada, a direção percebeu que a cada trimestre do ano as notas reduziam, pois o
nível de dificuldade quanto ao conteúdo aumentava a cada trimestre. Sabendo que para
cada nível era necessário total conhecimento do nível anterior, a escola estava tentando
identificar se havia algum problema com a continuação do conteúdo de um nível para o
outro, ou se havia algum problema com o método de ensino. Para melhor analisar, pega-
se a amostra das notas de um aluno, como mostra a tabela a seguir. 
Média 10 8 6 4
Nível 1 2 3 4
Quadro - Amostra das notas dos alunos 
Fonte: Elaborado pelos autores. 
 Fazendo a análise, conclui-se que ao saber o coeficiente de correlação de Pearson, a
média das notas de matemática tem: 
A. uma relação perfeita negativa com o nível de dificuldade. 
B. uma relação fraca negativa com o nível de dificuldade.
C. uma relação média negativa com o nível de dificuldade.
D. uma relação perfeita negativa com o nível de dificuldade.
E. uma relação inexistente com o nível de dificuldade.
Responder
Atividade
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Para identificar o grau de aprendizado dos alunos, uma escola aplica bimestralmente um
simulado geral. Sabendo que a maioria dos alunos do período noturno trabalha, a direção
fez um levantamento da carga horária de trabalho e a nota do simulado a fim de verificar
se existe alguma relação. Analisando as informações de 4 dos alunos, a escola obteve os
seguintes dados:
Carga Horária 0 8 6 4
Nota 10 5 6 8
Quadro - Relação: Carga horária de trabalho x Nota do simulado 
Fonte: Elaborado pelos autores. 
Sabendo dessas informações e que as notas são dadas por números inteiros, o aluno que
trabalha 5h provavelmente terá sua nota do simulado igual: 
 
A. 6,94.
B. 7,00.
C. 6,90.
D. 6,00.
E. nenhuma das alternativas.
Responder
 
 
Síntese
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Neste nosso estudo, vimos a importância da correlação e regressão linear. Estudamos a força
da relação de duas variáveis (x e y) por meio da correlação linear. 
Vimos que, para estudar a correlação linear, seu principal objetivo é avaliar a existência ou não
de relação entres essas variáveis, quantificando a força dessa relação por meio da correlação,
ou explicando a forma dessa relação por meio da regressão.
As correlações podem ser Positivas, quando o aumento de uma variável corresponde ao
aumento da outra; Negativas, quando o aumento de uma variável corresponde à diminuição
da outra; Lineares, quando é possível ajustar uma reta, e, neste caso, podem ser fortes (quanto
mais próximas da reta) ou fracas (quanto menos próximas da reta); e ainda Não Lineares,
quando não é possível ajustar uma reta.
Após estabelecida uma relação linear e uma boa correlação entre as variáveis, deve-se, agora,
determinar uma fórmula matemática para se fazer predições de uma das variáveis por meio da
outra, e a essa técnica damos o nome de Análise de Regressão.
Referências Bibliográficas
CASTRO, C. Pessoas inteligentes comem muito chocolate. Super Interessante. São Paulo, 21
dez. 2016. Disponível em: <http://super.abril.com.br/blogs/cienciamaluca/pessoas-inteligentes-comem-muito-chocolate/>. Acesso em: 14 fev. 2018.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.