Momento de Inércia

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PUC MINAS – PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTO INÉRCIA 
FÍSICA INVESTIGATIVA 
 
 
 
 
 
 
 
Luana Marchesan 
Pedro Carletti 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Luís Fernando Delboni 
Poços de Caldas – MG 
03/12/2021 
 
1. OBJETIVO: 
 
O objetivo deste experimento foi determinar o momento de inércia de um cilindro e 
uma esfera através da dinâmica de rotação de um corpo rígido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. INTRODUÇÃO: 
 
 Existe uma grandeza física associada à inércia de rotação. Ela é denominada 
momento de inércia. Assim como um corpo massivo apresenta sua tendência de 
permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que 
inclusive pode ser zero, no caso em que o somatório das forças atuantes é nulo, 
também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Esta resistência 
à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do 
respectivo corpo. 
 Analisando quantitativamente o momento de inércia, que simbolizaremos por I, 
podemos chegar facilmente a uma expressão: 
 
I = 𝑚. R² (1) 
 
 Para um corpo de massa 𝑚, cujo centro de massa está posicionado a uma 
distância fixa R de um ponto fixo em torno do qual este objeto pode executar um 
movimento circular, conforme mostra a figura 01. 
 
Figura 1 – Representação de um corpo a uma distância R de seu eixo de rotação. 
 
Fonte: Google / Divulgação 
 
 
 Isto é facilmente aceitável. Mas, para objetos como uma barra, ou um disco, ou 
uma esfera, qual seria a expressão para o cálculo do momento de inércia? Para estes 
casos, aplica-se o cálculo integral utilizando a distribuição contínua de massa, cujo 
elemento de massa é 𝑑𝑚 ao longo do corpo com comprimento 𝑥, como se segue: 
 
 
I = ∫ 𝑥 2𝑑𝑚 (2) 
 
 Vejamos como isto seria determinado para uma barra de comprimento L, mostrado 
na figura 2. 
 
Figura 2 – Representação de uma barra de massa m e comprimento L fixa em seu centro o eixo em 
torno do qual ela pode executar movimento rotacional. 
 
Fonte: Google / Divulgação 
 
 Sabendo que esta massa 𝑚 se distribui uniformemente ao longo de seu 
comprimento L, de modo que podemos escrever o elemento de massa 𝑑𝑚 em função 
da densidade linear de massa 𝑚/L e o elemento de comprimento 𝑑𝑥 como se segue: 
 
𝑑𝑚 = 
𝑚
𝐿
𝑑𝑥 
 
 Desta forma temos: 
 
𝑙 = ∫ 𝑥2
𝑚
𝐿
𝑑𝑥 + 𝐶 (3) 
 Integrando de -L/2 a L/2, obtemos: 
 
𝑙 =
𝑚𝐿2
12
 (4) 
 
 De maneira análoga a esta colocada aqui, pode ser feito o cálculo para o momento 
de inércia de uma barra com uma das extremidades coincidindo com o ponto fixo em 
 
torno do qual possivelmente ela irá girar. Há uma mudança apenas no limite de 
integração, que passa a ser de 0 até L, e o resultado é: 
 
𝑙 =
𝑚𝐿2
3
 (5) 
 
 Para um disco que gira em torno de um eixo imaginário que passa pelo seu 
centro, visualizamos da seguinte forma: 
 
Figura 3 – Representação de um disco centralizado em um eixo de rotação. 
 
Fonte: Google / Divulgação 
 
 O elemento de massa será dado por: 
 
𝑑𝑚 =
𝑚
𝜋𝑅2
2𝜋𝑥𝑑𝑥 
 
 De forma que se obtém: 
 
𝑙 = ∫ 𝑥2
𝑚
𝜋𝑅2
2𝜋𝑥𝑑𝑥 (6) 
 
 
 
 
 O que, após os cálculos, concluímos que: 
 
𝑙 =
1
2
𝑚𝑅2 (7) 
 
 
 Após estas análises, fica evidente que quanto mais próxima a massa estiver do 
eixo de rotação, menor será o momento de inércia, e quanto mais afastada a massa 
estiver do eixo de rotação, maior será seu momento de inércia. A esfera possui o 
momento de inércia mínimo para corpos com distribuição contínua de massa, e seu 
valor é: 
 
𝑙 =
2
5
𝑚𝑅2 (8) 
 
 Contudo, o momento de inércia de um sólido em relação a um eixo fixo é obtido 
teoricamente pela equação: 
 
𝑙 = ∑𝑟𝑖
2𝑚 = ∫𝑟2 𝑑𝑚 (9) 
 
 Este somatório é obtido por integração e muitos exemplos são desenvolvidos na 
teoria. Se o corpo não tem forma geométrica simples ou densidade constante, o 
cálculo da integral pode se tornar difícil, e é necessário utilizar um método 
experimental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. DESENVOLVIMENTO: 
 
3.1. Materiais: 
Os materiais utilizados para este experimento consistem em: 
• Computador com acesso à internet (para a simulação e para o software de 
gráficos); 
• Uma calculadora; 
 
3.2. Método: 
Utilizamos uma plataforma online de simulação interativa através do link: 
https://ophysics.com/r5.html acessado em 01/12/2021. O software mostra um objeto 
em rotação com várias forças aplicadas a ele. Neste experimento, vamos utilizar uma 
única força de tração constante. 
 
Figura 4: Tela da simulação – Uma esfera de massa 6 kg com uma força de tração constante 10N 
 
Fonte: Autor 
 
a) Após iniciar o programa de forma online, escolhemos o objeto em Mass 
Distribution como o cilindro sólido. No tipo de simulação (Simulation Type), 
escolhemos a opção para manter a força de tração constante (Constante 
Pulling Force). 
 
 
b) Em seguida, definimos um valor para o raio e uma para a massa da polia, que 
permanecerá constante para todo o procedimento. 
 
c) Variamos a força de tração e usando o botão start/pause, definimos, para cada 
valor da Tração (N), o valor do Torque (N.m) e da aceleração angular (rad/s²). 
Repetimos o procedimento 17 vezes e anotamos os dados obtidos em uma 
Tabela. 
 
d) Com o auxílio do programa SciDAVis, construímos o gráfico do Torque em 
função da aceleração angular. Fazemos um ajuste linear para determinar o 
significado físico da reta. 
 
e) Repetimos todo o procedimento com a esfera sólida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. RESULTADOS E ANÁLISE: 
 
4.1. Procedimento 1: 
 
Tabela 1: Relação entre Torque e Aceleração angular do cilindro sólido 
 
 
Fonte: Autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1: Torque em função da aceleração angular do movimento de rotação do cilindro 
 
Fonte: Autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Relação entre Torque e Aceleração angular da esfera sólida 
 
Fonte: Autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 2: Torque em função da aceleração angular do movimento de rotação da esfera 
 
Fonte: Autor 
 
 Analisando os gráficos, é certo afirmar que, quanto maior a tração exercida sobre 
o objeto, maior o Torque e, consequentemente, a aceleração angular do movimento 
de rotação. Portanto, a curva será crescente. 
 Mas ao compararmos os dados das tabelas 1 e 2, podemos perceber que no 
movimento da esfera (Tabela 2), onde a massa é maior que a massa do cilindro, a 
aceleração aumenta em maior proporção, atingindo o valor máximo, para Tração igual 
a 50,00 N, de 17,36 rad/s², enquanto no cilindro (Tabela 1), com a mesma tração, 
atinge 14,81 rad/s². 
 Para objetos sujeitos a Torque, a equação do momento de inércia é equivalente à 
Segunda Lei de Newton, portanto podemos dizer que: 
 
∑𝜏𝑒𝑥𝑡 = 𝑙𝛼 
 
 Onde, τ é o Torque, 𝐼 é o momento de inércia e α a aceleração angular. Com base 
nessa equação e no fato de que a relação do gráfico resulta em uma função linear da 
forma y = Ax + B, podemos concluir que o coeficiente angular da reta de cada um dos 
gráficos é o valor do momento de inércia do objeto em rotação. Isso pode ser 
facilmente comprovado se utilizarmos as equações (7) para o cilindro e (8) para a 
esfera, onde encontramos os mesmos valores obtidos nos gráficos 1 e 2. 
 
 
 
 Aplicando em (7), com a massa do cilindro igual a 4,5kg e o raio 1,5m: 
𝑙 =
1
2
𝑚𝑅2 =
1
2
𝑥4,5𝑥(1,5)² = 5,063𝑘𝑔.𝑚² 
 
 Aplicando em (8), com a massa da esfera igual a 6,0kg e o raio 1,2m: 
𝑙 =
2
5
𝑚𝑅2 =
2
5
𝑥6,0𝑥(1,2)² = 3,456𝑘𝑔.𝑚² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. CONCLUSÃO:Ao fazer a análise da simulação, aplicada à teoria, fica evidente que o momento 
de inércia de um corpo depende diretamente da sua massa e, no caso de objetos com 
seção circular, do raio da trajetória. 
 No caso do cilindro sólido, obtivemos no gráfico (1) um momento de inércia 
correspondente a 𝐼 = (5,062 ± 0,00113) kg. m², com um erro relativo de 0,022%, 
praticamente nulo. 
 Já no caso da esfera, obtivemos no gráfico (2) um momento de inércia 
correspondente a 𝐼 = (3,456 ± 0,000661) kg. m², com um erro relativo menor ainda, 
correspondente a 0,019%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica 
clássica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física, 
volume l: mecânica I. Tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. - Rio de 
Janeiro: LTC, 2012.