TRABALHO DE MATEMATICA - MEDIA GEOMETRICA

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INSTITUTO DE CIÊNCIAS DE SAÚDE TENHA ESPERANÇA – INCISTE 
CURSO DE TÉCNICOS DE FARMÁCIA MÉDIO INICIAL TURMA – 6 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA 
TRABALHO DE INVESTIGAÇÃO 
TEMA: MÉDIA E MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 
ELEMENTOS DO GRUPO: 
 DELÍCIA MOISÉIS CUMBI 
 JÚLIA AMÉRICO 
 RASSUL GUSTAVO FATO 
 
 
 
 
DOCENTE: 
JAIME LUÍS MAPOTERE 
 
 
BEIRA, ABRIL DE 2022
Índice 
 
1. Introcução ........................................................................................................................... 1 
2. Média .................................................................................................................................. 2 
2.1. Média geométrica ........................................................................................................ 2 
2.2. Média Harmônica ........................................................................................................ 2 
2.3. Média Quadrática ........................................................................................................ 3 
2.4. O desvio médio (absoluto) .......................................................................................... 5 
2.5. Variância ..................................................................................................................... 6 
2.6. O desvio padrão ........................................................................................................... 7 
3. Conclusão ......................................................................................................................... 10 
4. Revisão Bibliográfica ....................................................................................................... 11 
 
1 
 
1. Introcução 
No presente trabalho, abordar – se – à o tema de média geométrica, aromática e quadratica. 
Ainda dentro do trabalho vai se apresentar informa,cão sobre desvio médio, padrão e variância. 
 Na matemática, a média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o 
produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros A média 
geométrica é definida como n ésima raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação 
dos termos. 
O conceito de média não se restringe apenas aos estudos matemáticos ou estatísticos, mas está 
cada dia mais presente na vida do ser humano. Em situações cotidianas, ao analisar seu 
desempenho em uma disciplina, o aluno calcula a média das notas obtidas nas avaliações e 
quando um grupo de amigos divide o valor da conta em um estabelecimento, cada um paga a 
média dos gastos. A média de pontos obtidos por uma determinada instituição em uma 
avaliação externa, o cálculo do preço médio de um produto, o cálculo do valor da cesta básica, 
entre outros, são aplicações de média. 
 
2 
 
2. Média 
Segundo Lima et. al (2009) uma média de uma sequência de números é o valor que substitui 
todos os elementos da sequência sem alterar uma certa característica. Esta caracterização da 
média é recente, porém o seu signicado nem sempre foi o mesmo e sofreu alterações ao longo 
do tempo. Uma análise histórica do conceito de média é importante, pois trata-se de um meio 
de contextualizar a matemática, situando o aluno no espaço e tempo em que as mudanças do 
conceito ocorreram. 
Segundo Mokros e Russell (1995, p. 37), a média é um objeto matemático de complexidade 
não reconhecida, que engana pela simplicidade do algoritmo de solução". 
Alguns estudos (MOKROS e RUSSELL, 1995; CARVALHO, 2011; CAZORLA, 2012; 
STELLA, 2003) destacam que apesar de seu uso constante, o conhecimento de média e mais 
especicamente de média aritmética, se restringe ao domínio do seu algoritmo de cálculo. 
2.1.Média geométrica 
Na matemática, a média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o 
produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros A média 
geométrica é definida como n ésima raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação 
dos termos. A média geométrica de uma sequência de números reais positivos ( 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 ) 
1 2 n x x x é o número G com respeito à operação de multiplicação, desta forma: 
𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛 = 𝐺. 𝐺 … . . 𝐺 = 𝐺
𝑛 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 
𝐺 = √𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑛
𝑛 = √∏ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Exemplo: A média geométrica dos números 4, 1 𝑒 1 32⁄ é definida da seguinte forma raiz 
cúbica de seu produto 1 8⁄ que é 1 2⁄ ou seja: 
𝐺 = √4 × 1 ×
1
32
3
=
1
2
 
2.2.Média Harmônica 
Dada uma lista de n números reais 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 … ; 𝑥𝑛 tem-se que a média harmônica H é o inverso 
da média aritmética dos inversos dos números: 
3 
 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛
=
1
𝐻
+
1
𝐻
+ ⋯
1
𝐻
=
𝑛
𝐻
 
Segue-se que a média harmônica 𝒉 é o único número cuja soma de 𝒏 termos iguais ao seu 
inverso 
𝟏
𝒉
 gera como resultado a soma dos inversos dos 𝒏 números 𝒙𝟏; 𝒙𝟐; … ; 𝒙𝒏. De fato: 
𝐻 =
𝑛
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛
=
𝑛
∑
1
𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: 
a. Determinar a média harmônica dos números 3, 6 e 9. 
𝐻 =
3
1
3 +
1
6 +
1
9
=
3
6 + 3 + 2
18
=
3
11
18
=
3 × 18
11
=
54
11
 
b. Um veículo se desloca de uma cidade A para B com uma velocidade de 60 km/h. Na 
volta, fazendo o mesmo percurso, ele estava a uma velocidade de 80km/h. Qual é a 
velocidade média do percurso total? 
Solução: A intuição nos conduz ao cálculo da média aritmética das velocidades, o que resultaria 
em uma velocidade média de 70km/h, mas devemos lembrar que nesse problema, a dist^ancia 
percorrida é fixa e o tempo do percurso varia de acordo com a velocidade. Como velocidade e 
tempo são grandezas inversamente proporcionais, veremos que a média aritmética não é a 
velocidade média pedida. Usando a fórmula da velocidade média, temos: 
60 =
𝑠
𝑡1
 𝑒 80 =
𝑠
𝑡2
, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚: 𝑡1 =
𝑠
60
 𝑒 𝑡2 =
𝑠
80
 
𝑉𝑚 =
2. 𝑠
𝑡1 + 𝑡2
=
2𝑠
𝑠
60 +
𝑠
80
=
2
1
60 +
1
80
=
2
4 + 3
240
=
2
7
240
=
2 × 240
7
=
480
7
≅ 68.6𝑘𝑚/ℎ 
Repare que a velocidade média do percurso total é dada pela média harmônica das velocidades 
de ida e volta. Neste problema, as grandezas que variavam era o tempo e a velocidade, que são 
grandezas inversamente proporcionais. 
2.3.Média Quadrática 
A média quadrática de uma sequência de números reais não nulos (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 … ; 𝑥𝑛) é o número 
Q com respeito a operação de soma dos quadrados, desta forma: 
4 
 
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + ⋯ + 𝑥𝑛
2 = 𝑄2 + 𝑄2 + ⋯ + 𝑄2 = 𝑛𝑄2 
𝑄 = √
𝑥1
2 + 𝑥2
2 + ⋯ + 𝑥𝑛2
𝑛
= √
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Para resolução dos problemas a seguir, faz-se necessário apresentar a definiçãoo de dois 
importantes conceitos estatísticos: desvio padrão e erro médio quadrático. 
I. O desvio padrão (DP) de um conjunto de dados é definido, em estatística, por: 
𝐷𝑃 = √
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
𝑖=1
𝑛
 , 𝑜𝑛𝑑𝑒: 
 
�̅� é a média aritmética dos dados; 
𝒙𝒊 é o valor na posição 𝒊 no conjunto de dados; 
𝒏 é a quantidade de dados. 
O erro médio quadrático (EMQ), usado para medir a qualidade de uma lista de aproximações, 
é definido, em estatística, por: 
𝐸𝑀𝑄 = ∑
(𝑥𝑖 − 𝑥�̂�)
2
𝑛
𝑛
𝑖=1
 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝒙𝒊 é o valor real 
𝒙�̂� é a aproximação 
𝒏 é quantidade das aproximação. 
Exemplo: 
a. Determinar a média quadrática dos números 1, 2, 4 e 8. 
𝑄 = √
12 + 22 + 42 + 82
4
= √
1 + 4 + 16 + 64
4
= √21.25 ≅ 4.61 
b. Em uma equipe de remo os atletas possuem as seguintes alturas: 1,55m, 1,75m e 1,80m. 
Qual é o valor do desvio padrão da altura desta equipe? 
• Cálculo da média artimétrica 
5 
 
�̅� =
1.55 + 1.75 + 1.80
3
= 1.68 
• Cálculo do desvio padrão 
𝐷𝑃 = √
(1.55 − 1.68)2 + (1.75 − 1.68)2 + (1.80 − 1.68)2
3
= √
(−0.13)2 + (0.07)2 + (0.12)2
3
= √
0.0169 + 0.0049 + 0.0144
3
= √
0.0362
3
 ≅ 0.11 
 
c. Dadas duas listas de aproximaçõeses do número 4, calcule o erro médio quadrático 
destas listas e determine qual é a lista que possui menor erro de aproximação.Lista 1: 3,6 ; 4,1 ; 4,5 ; 3,3 
Lista 2: 3,7 ; 4,2 ; 5 
• O erro médio quadrático da primeira lista será: 
𝐸𝑀𝑄1 =
(4 − 3.6)2 + (4 − 4.1)2 + (4 − 4.5)2 + (4 − 3.3)2
4
=
(0.4)2 + (0.1)2 + (0.5)2 + (0.7)2
4
=
0.91
4
= 0.2275 
• O erro médio quadrático da segunda lista será: 
𝐸𝑀𝑃2 =
(4 − 3.7)2 + (4 − 4.2)2 + (4 − 5)2
4
=
(0.3)2 + (−0.2)2 + (−1)2
4
=
0.09 + 0.04 + 1
4
=
1.13
4
= 0.2825 
2.4.O desvio médio (absoluto) 
A amplitude é uma medida simples e fácil de calcular. Tem a virtude de dar uma idéia da 
variabilidade do conjunto. No entanto ela não leva em consideração todos os valores do 
conjunto como seria desejável. 
Assim prefere-se, em geral, trabalhar com medidas que utilizam toda a informação disponível. 
Uma destas medidas é o desvio médio absoluto ou simplesmente desvio médio. O desvio médio 
é representado por “Dm” e definido como sendo “a média das distâncias que os valores do 
conjunto se encontram da média”. 
𝐷𝑚 =
|𝑥1 − �̅�| + ⋯ + |𝑥𝑛 + �̅�|
𝑛
=
∑ |𝑥𝑖 − �̅�|
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
6 
 
Exemplo: Calcular o Dm do seguinte conjunto: -7 4 0 3 8 10 
�̅� =
(−7 + 4 + 0 + 3 + 8 + 10)
6
=
18
6
= 3 
𝐷𝑚 =
[|−7 − 3| + |4 − 3| + |0 − 3| + |3 − 3| + |8 − 3| + |10 − 3|]
6
=
(10 + 1 + 3 + 0 + 5 + 7)
6
=
26
6
= 4.33 
2.5.Variância 
A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade dos valores 
da variável em estudo, e não apenas os valores externos, como a amplitude total (CRESPO, 
2002). Por isso, essas medidas são índices de variabilidade bastantes estáveis e, 
consequentemente, muito utilizados no cotidiano. Além disso, a variância e o desvio padrão 
complementam informações obtidas pelas medidas de tendência central. 
A variância é uma das medidas de dispersão mais importantes.É a média aritmética dos 
quadrados dos desvios de cada valor em relação à média: proporciona uma mensuração da 
dispersão dos dados em torno da média. 
𝑠2 =
[(𝑥1 − �̅�)
2 + (𝑥2 − �̅�)
2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − �̅�)
2 ]
𝑛
 
𝑠2 = ∑
(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
 
Aqui 𝒙𝒊 representa cada elemento do conjunto de dados, �̅� é a média do conjunto e 𝒏 representa 
o número de elementos do conjunto. 
Nem sempre esta expressão é a mais indicada para ser utilizada. Quando a média é um valor 
decimal não exato ela não é muito prática, uma vez que entrará no cálculo “n” vezes 
aumentando os erros de arredondamento que ocorrem. Neste caso é melhor se valer de uma 
expressão alternativa que pode ser derivada da expressão acima desenvolvendo o quadrado 
dentro do somatório e fazendo algumas simplificações. Trabalhando inicialmente apenas com 
o numerador da fórmula acima vem: 
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2 = ∑(𝑥𝑖
2 − 2𝑥𝑖�̅� + �̅�
2) = ∑ 𝑥𝑖
2 − 2�̅� ∑ 𝑥𝑖 − ∑ �̅�
2 
Observando que �̅� = ∑
𝑥𝑖
𝑛
 tem – se que: ∑ 𝑥𝑖 = 𝑛�̅� e ainda que ∑ �̅�
2 = 𝑛�̅�2 vem: 
7 
 
∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2 = ∑ 𝑥𝑖
2 − 2𝑛�̅�2 + 𝑛�̅�2 = ∑ 𝑥𝑖
2 − 𝑛�̅�2 
Dividindo este resultado por “𝒏” e simplificando a segunda parcela vem: 
𝑠2 = ∑
(𝑥𝑖 − �̅�)
2
𝑛
= ∑
𝑥𝑖
2
𝑛
− �̅�2 
Esta é uma segunda expressão para o cálculo da variância e em muitas situações é mais 
vantajosa de ser usada. Neste caso a variância pode ser caracterizada como sendo: “a média 
dos quadrados menos o quadrado da média”. 
2.6.O desvio padrão 
A variância por ser um quadrado não permite comparações com a unidade que se está 
trabalhando. Para se ter uma medida de variabilidade com a mesma unidade do conjunto utiliza 
se a raiz quadrada da variância, que é denominada de desvio padrão. 
O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada porque aponta de forma mais precisa 
a dispersão dos valores em relação à média aritmética (NAZARETH, 2003). 
• Desvio padrão populacional (representado pela letra grega σ) é uma medida 
de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. 
𝝈 = √
(𝒙𝒊 − �̅�)𝟐
𝑵
 
• Desvio padrão amostral (representado pela letra s) indica uma medida de 
dispersão dos dados em torno da média amostral. 
𝒔 = √
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐
𝒏 − 𝟏
 
Para exemplificar o cálculo do desvio padrão para dados não agrupados, considere a série de 
valores a seguir: 18, 22, 15, 17, 19, 21, 16. Inicialmente, precisamos encontrar a média dessa 
série. 
�̅� =
(18 + 22 + 15 + 17 + 19 + 21 + 16)
7
=
128
7
= 18.3 
8 
 
Depois, precisaremos encontrar, para cada elemento, a diferença do seu valor e a média. Para 
facilitar o processo, vamos criar uma tabela contendo duas colunas, uma para o valor de 𝒙𝒊, e 
outra para o valor de 𝒙𝒊 − �̅�, conforme pode ser visto no quadro 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dos valores da tabela, calculamos ∑(𝑥𝑖 − �̅�)
2, que é igual a 0,36. 
Assim, aplicando a fórmula do desvio padrão, teríamos o seguinte: 
𝑠 = √
∑(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑛
 
= √
(18 − 18.3)2 + (22 − 18.3)2 + (15 − 18.3)2 + (17 − 18.3)2 + (19 − 18.3)2 + (21 − 18.3)2 + (16 − 18.3)2
7
 
𝑠 = √
0.36
2
= √0.05 = 0.02 
O desvio padrão de uma série será sempre um valor positivo, e quanto maior esse valor, maior 
será a dispersão entre os elementos. Quando nos deparamos com dados agrupados, o valor das 
frequências também precisa ser levado em consideração para o cálculo do desvio padrão. 
Assim sendo, a fórmula para o cálculo do desvio padrão para dados agrupados é a seguinte: 
𝑠 = √
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
2
𝑛
− (
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑛
)
2
 
Temos 54, que representa a frequência de um determinado elemento. Para exemplificar o 
cálculo do desvio padrão para dados agrupados sem intervalos de classe, vamos considerar os 
dados apresentados no quadro anterior. Para auxiliar a aplicação da fórmula do desvio padrão, 
𝒙𝒊 �̅� 𝒙𝒊 − �̅� 
18 18.3 -0.3 
22 18.3 3.7 
15 18.3 -3.3 
17 18.3 -1.3 
19 18.3 0.7 
21 18.3 2.7 
16 18.3 -2.3 
9 
 
criaremos um quadro para encontrar os somatórios da frequência dos valores existentes 
(equivalente a 𝒏), de 𝒇𝒊𝒙𝒊 e de 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝟐, conforme pode ser visualizado no quadro abaixo. 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝟐 
1 1 1 1 
2 3 6 12 
3 2 6 18 
4 5 20 80 
5 9 45 
 ∑ = 20 ∑ = 78 ∑ = 336 
Aplicando, agora, a regra do desvio padrão para dados agrupados, teríamos: 
𝑠 = √
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
2
𝑛
− (
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑛
)
2
= √
336
20
− (
78
20
)
2
= √16.8 − 15.21 = √1.59 = 1.26 
O processo para encontrar o desvio padrão para dados agrupados com intervalos de classe é 
semelhante ao anterior, sendo apenas necessário encontrar o ponto médio (𝑥𝑖) de cada uma das 
classes antes de calcular o produto de 𝑓𝑖𝑥𝑖 e de 𝑓𝑖𝑥𝑖
2. Assim realizaremos a multiplicação do 
ponto médio de cada classe com a sua respectiva frequência ao invés do valor exato da variável. 
Para exemplificar o cálculo do desvio padrão, vamos considerar os dados da variável idade no 
quadro abaixo. 
Idade 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊 𝒇𝒊𝒙𝒊
𝟐 
10 ˫ 20 07 15 105 1575 
20 ˫ 30 13 25 325 8125 
30 ˫ 40 21 35 735 25725 
40 ˫ 50 10 45 450 20250 
50 ˫ 60 04 55 220 12100 
 ∑ = 55 - ∑ = 1835 ∑ = 67775 
Ao aplicar a fórmula com os dados obtidos na tabela, teríamos o seguinte: 
𝑠 = √
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
2
𝑛
− (
∑ 𝑓𝑖𝑥𝑖
𝑛
)
2
= √
67775
55
− (
1835
55
)
2
= √1232.27 = √119.25 = 10.92 
 
10 
 
3. Conclusão 
Apôs a realização deste trabalho o grupo concluiu que as medidas utilizadas para identificar o 
grau de dispersão entre os elementos de um conjunto são amplitude total, variância, desvio 
padrão e coeficiente de variação, tanto para dados não agrupados quanto para dados agrupados 
com e sem intervalo de classes. 
Alguns estudos (MOKROS e RUSSELL, 1995; CARVALHO, 2011; CAZORLA, 2012; 
STELLA, 2003) destacam que apesar de seu uso constante, o conhecimento de média e mais 
especicamente de média aritmética, se restringe ao domínio do seu algoritmo de cálculo. 
A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade dos valores 
da variável em estudo, por isso são índices de variabilidade bastantes estáveis. 
A variância é encontrada a partir dos desvios em torno da média aritmética. Já o desvio padrão 
éa medida de dispersão mais utilizada porque aponta de forma mais precisa a dispersão dos 
valores em relação à média aritmética. 
 
 
11 
 
4. Revisão Bibliográfica 
AZEVEDO, Amilcar Gomes de, CAMPOS, Paulo Henrique Borges de. Estatística Básica. 
São Paulo: Livros Técnicos e Científicos, 1981. 
BUSSAB, Wilton O, MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 3° ed. São Paulo: Atual, 1986. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2002. 
FONTE, ANDRÉ COSTA DA. Médias, desigualdades e problemas de otimização. Trabalho 
de Conclusão do Mestrado Profissional em Matemática. UFRPE, 2013 
MARTINS, Gilberto de A.; DONAIRE, Denis. Princípios da estatística: 900 exercícios 
resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas 2004.