07_Cap3_Dinâmica _da_Particula_2

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OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Cap. 3
Dinâmica da Partícula
(continuação)
Prof. Ricardo A. Medronho
medronho@eq.ufrj.br
3. Dinâmica da Partícula
3.6. O Diagrama CD vs. Rep para Esferas Lisas e Isoladas
Por Schiller-Naumann: Rep = 0,4 ⇒ CD = 64,79 (por CD=24/Rep ⇒ CD=60, erro de -7,4%)
Rep = 1.000 ⇒ CD = 0,44 (erro de 0%). 
Stk Intermediária Newton Turb. C.L.
𝑪𝑫 =
𝟐𝟒
𝑹𝒆𝒑
𝑪𝑫 =
𝟐𝟒
𝑹𝒆𝒑
𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓𝑹𝒆𝒑
𝟎,𝟔𝟖𝟕
𝑪𝑫 = 𝟎, 𝟒𝟒 𝑪𝑫 = 𝟎, 𝟐
Schiller-Naumann (1935)
3. Dinâmica da Partícula
As linhas de corrente ao redor da esfera lisa:
As linhas de corrente ao redor da esfera lisa:
O Diagrama CD vs Rep para Esferas Lisas e Rugosas
Lisa
Rugosa
3. Dinâmica da Partícula
3.7. Correções para a Veloc. Terminal de Esferas Lisas
3.7.1. Efeito da Concentração: cv vt
Correlação de Richardson e Zaki (1954): 𝑣𝑡𝑐 = 𝑣𝑡∞ 1 − 𝑐𝑣
𝑛
onde: 𝑣𝑡𝑐 e 𝑣𝑡∞ são as velocidades terminais à 
concentração cv e à diluição infinita (partícula isolada)
n é uma função de Rep∞ (Ret na tabela)
Usualmente, d/D → 0
3. Dinâmica da Partícula
3.7.2. Efeito de Parede Próxima: vt
Caso particular:
Efeito lateral simétrico de parede cilíndrica
- Região de Stokes (𝑅𝑒𝑝 ≤ 0,4):
𝑣𝑡 = 𝑘𝑤𝑣𝑡∞ onde 𝑣𝑡∞ =
𝜌𝑠−𝜌 𝑔𝑑
2
18𝜇
e 𝑘𝑤 =
1−𝛽
1−0,475𝛽
4
𝑘𝑤 ≤ 1
- Região intermediária (0,4 < 𝑅𝑒𝑝 ≤ 1000)
𝑣𝑡 = 𝑘𝑤
∗ 𝑣𝑡∞ onde 𝑘𝑤
∗ =
10
1+𝐴𝑅𝑒𝑝∞
𝐵
𝛽 =
𝑑
𝐷
𝐴 = 8,91𝑒𝑥𝑝 2,79𝛽 e B = 0,00117 − 0,281β
𝑣𝑡∞ =
4 𝜌𝑠−𝜌 𝑔𝑑
3𝜌𝐶𝐷
e 𝐶𝐷 =
24
𝑅𝑒𝑝∞
1 + 0,15𝑅𝑒𝑝∞
0,687
𝑘𝑤
∗ ≤ 1 Correlação de Schiller-Naumann (1935)
D
d
vt
3. Dinâmica da Partícula
3.7.2. Efeito de Parede Próxima (continuação) 
- Região de Newton (1000 < 𝑅𝑒𝑝 ≤ 200000)
𝑣𝑡 = 𝑘𝑤
′ 𝑣𝑡∞ onde 𝑣𝑡∞ = 𝑣𝑡𝑁 =
3 𝜌𝑠−𝜌 𝑔𝑑
𝜌
𝑘𝑤
′ =
1−𝛽2
1+𝛽4 0,5
𝑘𝑤
′ ≤ 1
3. Dinâmica da Partícula
3.7.3. Efeito de Stokes-Cunningham (só ocorre em gases) 
Se 𝑑 ≡ 𝜆
vt
l = livre percurso médio 
das moléculas do gás
3. Dinâmica da Partícula
3.7.3. Efeito de Stokes-Cunningham (só ocorre em gases) 
Se 𝑑 ≡ 𝜆 ⇒ 𝑣𝑡
𝑣𝑡 = 𝐶
𝜌𝑠−𝜌 g𝑑
2
18𝜇
onde: 𝐶 = 1 +
2𝜆
𝑑
1,257 + 0,4𝑒𝑥𝑝 −1,1
𝑑
2𝜆
𝐶 ≥ 1
𝜆 =
𝜇
0,499𝜌
8𝑅𝑇
𝜋𝑃𝑀
Ex.: Ar a 20 ºC e 1 atm
d (mm) 16 10 1 0,1
C 1,01 1,02 1,16 2,90
vt
l = livre percurso médio 
das moléculas do gás
Para d < 0,1 mm: 
3. Dinâmica da Partícula
3.7.3. Efeito de Stokes-Cunningham (só ocorre em gases) 
Se 𝑑 ≡ 𝜆 ⇒ 𝑣𝑡
𝑣𝑡 = 𝐶
𝜌𝑠−𝜌 g𝑑
2
18𝜇
onde: 𝐶 = 1 +
2𝜆
𝑑
1,257 + 0,4𝑒𝑥𝑝 −1,1
𝑑
2𝜆
𝐶 ≥ 1
𝜆 =
𝜇
0,499𝜌
8𝑅𝑇
𝜋𝑃𝑀
Ex.: Ar a 20 ºC e 1 atm
d (mm) 16 10 1 0,1
C 1,01 1,02 1,16 2,90
vt
l = livre percurso médio 
das moléculas do gás
Para d < 0,1 mm: 
⇓
movimento browniano
3. Dinâmica da Partícula
3.8. O Diagrama CD vs. Rep para Partículas Não-Esféricas
O diagrama CD vs. Rep é baseado no clássico trabalho 
experimental de Pettyjohn e Christiansen (1948), com as 
seguintes condições do trabalho :
– Partículas isométricas com diferentes esfericidades;
– Partícula sólida isolada sedimentando em fluido newtoniano e
– Partícula caracterizada através de dv e f, com área projetada 
dada partícula dada por 
𝐴 =
𝜋𝑑𝑣
2
4
3. Dinâmica da Partícula
3.8. O Diagrama CD vs. Rep para Partículas Não-Esféricas
𝑣𝑡,𝑒𝑠𝑓 =
4 𝜌𝑠−𝜌 𝑏𝑑
3𝜌𝐶𝐷
⇒ 𝐶𝐷 =
4 𝜌𝑠−𝜌 𝑏𝑑
3𝜌 𝑢−𝑣 2
𝑒 𝑅𝑒𝑝 =
𝑑 𝑢−𝑣 𝜌
𝜇
Para u = 0, v = vt e b = g:
𝐶𝐷=
4 𝜌𝑠−𝜌 g𝑑
3𝜌𝑣𝑡
2 𝑒 𝑅𝑒𝑝 =
𝑑𝑣𝑡𝜌
𝜇
Problemas clássicos em Sistemas Particulados:
1º) Dados d e f, quero vt ⇒ processo iterativo
Porém: 𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2 =
4 𝜌𝑠−𝜌 g𝑑
3𝜌𝑣𝑡
2
𝑑𝑣𝑡𝜌
𝜇
2
⇒ 𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
2 =
4 𝜌𝑠−𝜌 ρg𝑑
3
3𝜇2
Notar que o grupo 𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2 é independente de vt
Logo, com d ⇒ 𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2 e com f ⇒ 𝑅𝑒𝑝 ⇒ 𝑣𝑡
𝑅𝑒𝑝
𝐶
𝐷
𝑅
𝑒 𝑝
2
𝐶
𝐷
𝑅
𝑒 𝑝
2
2º) Dados vt e f, quero d ⇒ processo iterativo
𝐶𝐷=
4 𝜌𝑠 − 𝜌 g𝑑
3𝜌𝑣𝑡
2 𝑒 𝑅𝑒𝑝 =
𝑑𝑣𝑡𝜌
𝜇
𝐶𝐷
𝑅𝑒𝑝
=
4 𝜌𝑠 − 𝜌 g𝑑
3𝜌𝑣𝑡
2
𝜇
𝑑𝑣𝑡𝜌
𝐶𝐷
𝑅𝑒𝑝
=
4 𝜌𝑠 − 𝜌 g𝜇
3𝜌2𝑣𝑡
3
Notar que o grupo 
𝐶𝐷
𝑅𝑒𝑝
é independente de d
Logo, com vt ⇒
𝐶𝐷
𝑅𝑒𝑝
e com f ⇒ 𝑅𝑒𝑝 ⇒ d
3. Dinâmica da Partícula
3.9. Correlações de Coelho e Massarani (1996) para o 
Cálculo de CD, vt e d
𝐶𝐷 =
24
𝐾1𝑅𝑒𝑝
0,85
+ 𝐾2
0,85
1,18
𝑅𝑒𝑝 =
24
𝐾1𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2
1,2
+
𝐾2
𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2
0,6 −0,83
𝑅𝑒𝑝 =
24
𝐾1 Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
0,65
+
𝐾2
Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
1,3 0,77
Para o
cálculo de vt
Para o
cálculo de d
É importante frisar que, nas equações acima, 𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2 e Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝 são variáveis a serem 
calculadas empregando-se as equações vistas anteriormente e que serão revistas a seguir. 
3. Dinâmica da Partícula
onde:
𝐾1 = 0,843𝑙𝑜𝑔
𝜙
0,065
𝐾2 = 5,31−4,88 𝜙
𝐶𝐷𝑅𝑒𝑝
2 =
4 𝜌𝑠 − 𝜌 𝜌𝑔𝑑
3
3𝜇2
Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝 =
4 𝜌𝑠 − 𝜌 𝑔𝜇
3𝜌2𝑣𝑡
3
vy
u
Calcular o tamanho, em mm, da aresta do tetraedro regular de aço 
inoxidável tipo 201 que, ao cair sob a ação da gravidade em uma solução 
aquosa de glicerol 50% em peso, a 20 °C e 1 atm, atinge uma velocidade 
terminal de 2 cm/s.
Solução:
𝑣𝑡 = 2 𝑐𝑚/𝑠 e 𝜌𝑠 = 7,7𝑔/𝑐𝑚
3 (tirado do Perry)
𝑉𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜= 0,1179𝑙
3 e 𝐴𝑡𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 = 1,7321𝑙
2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙 = 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎
𝐺𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑜𝑙: 𝜌 = 1,1263
𝑔
𝑐𝑚3
𝑒 𝜇 = 7 𝑐𝑃 = 0,07 𝑃
𝜋𝑑3
6
= 0,1179𝑙3 ⇒ 𝑑𝑣 = 0,6084𝑙 ⇒ 𝜙 =
𝜋 0,6084 2𝑙2
1,7321𝑙2
⇒ 𝜙 = 0,671
Tenho vt e f, quero d ⇒ correlação de Coelho e Massarani de Rep x CD/Rep :
𝑅𝑒𝑝 =
24
𝐾1 Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
0,65
+
𝐾2
Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
1,3 0,77
Exercício
Do Perry:
𝐾1 = 0,843𝑙𝑜𝑔
𝜙
0,065
⇒ 𝐾1 = 0,843 log
0,671
0,065
⇒ 𝐾1 = 0,855
𝐾2 = 5,31−4,88 𝜙 ⇒ 𝐾2 = 5,31 − 4,88 0,671 ⇒ 𝐾2 = 2,036
Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝 =
4 𝜌𝑠 − 𝜌 𝑔𝜇
3𝜌2𝑣𝑡
3 ⇒ ൗ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝 =
4 7,7 − 1,1263 981 0,07
3 1,1263 2 2 3
Τ⇒ 𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝 = 59,3
𝑅𝑒𝑝 =
24
𝐾1 Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
0,65
+
𝐾2
Τ𝐶𝐷 𝑅𝑒𝑝
1,3 0,77
𝑅𝑒𝑝 =
24
0,855 59,3
0,65
+
2,036
59,3
1,3 0,77
⇒ 𝑅𝑒𝑝 = 0,70
𝑅𝑒𝑝 =
𝑑𝑣𝑡𝜌
𝜇
⇒ 0,70 =
𝑑 2 1,1263
0,07
⇒ 𝑑 = 0,0218 𝑐𝑚
Como:𝑑 = 0,6084𝑙 ⇒ 0,0218 = 0,6048𝑙 ⇒ 𝑙 = 0,036 𝑐𝑚 = 360𝜇𝑚
Exercícios – Cap. 3