Apostila_Sistemas_de_Controle(Parte Ia) (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CENTRO TECNOLÓGICO 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Sistemas de Controle I” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Carlos Tavares da Costa Júnior 
 
 
 
 
 
 
Maio / 2006 
 
 2
Capítulo I: Introdução aos sistemas de controle 
 
I.1. Introdução 
Controle é um conceito bastante comum e vasto na atualidade. O termo é usado 
para referirmos à relações puramente humanas e a circunstâncias do cotidiano, quando, 
por exemplo dizemos que algo está “sob controle”. O termo “controle” pode também se 
referir a uma específica interação máquina – homem, como na condução de um 
automóvel, onde é necessário controlar o veículo para se chegar a um destino planejado. 
Finalmente controle pode envolver apenas máquinas, como no controle de temperatura 
de uma sala, para o qual podemos usar um aquecedor para controlar a temperatura no 
inverno e um ar – condicionado para controlar a temperatura no verão. Nos dois últimos 
exemplos de controle, um corpo extensivo de experiências e análises teóricas está 
incluído na área de controle automático, que é o objetivo deste curso. A lista de 
variáveis sujeitas a controle é vasta, sendo virtualmente limitada pela imaginação de 
cada um. Em mecanismos, controle tem sido aplicado à posição, velocidade, e força, por 
exemplo. Dentro do corpo humano, a pressão sanguínea, o açúcar no sangue, o dióxido 
de carbono nas células e o diâmetro da pupila no olho são poucas das muitas variáveis 
controladas por mecanismos biológicos que podem ser estudados com referência aos 
métodos de controle automático. As ocorrências do controle como principio da natureza 
e da engenharia estão de fato muito espalhadas. 
 
I.2. Um breve histórico dos sistemas de controle 
Uma interessante história dos primeiros trabalhos em controle automático foi 
escrita por Mayr em 1970. Ele traça o controle de mecanismos da antiguidade e 
descreve alguns dos primeiros exemplos. Um dos mecanismos inventados na 
antiguidade é o controle de nível de um líquido que ainda é usado para o controle de 
nível com uma válvula flutuante similar às que são usadas em descargas sanitárias 
(figura 01). 
 
 
Fig.01: Controle de nível de um líquido 
 
O primeiro trabalho significativo em controle automático foi de James Watt, que 
construiu um controlador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a 
vapor no século XVIII. Outros trabalhos importantes nos primeiros estágios de 
desenvolvimento da teoria de controle são os de Minorsky, Hazen e Nyquist, entre 
muitos outros. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos para 
pilotagem de navios e mostrou com poderia ser determinada a estabilidade a partir das 
equações diferenciais que descrevem o sistema. Em 1932, Nyquist desenvolveu um 
procedimento relativamente simples para determinar a estabilidade de sistemas de 
malha fechada com base na resposta a entradas senoidais em regime permanente da 
malha aberta. Em 1934, Hazen, que introduziu o termo “servomecanismos” para 
 3
sistemas de controle de posição, discutiu o projeto de servomecanismos a relé capazes 
de seguir muito de perto uma entrada variável. 
Durante a década de 40, os métodos de resposta em freqüência tornaram possível 
aos engenheiros projetar sistemas de controle realimentados lineares que satisfaziam aos 
requisitos de desempenho. Desde o final da década de 40 até o início dos anos 50, o 
método do lugar das raízes em projeto de sistemas de controle foi completamente 
desenvolvido. 
Os métodos de resposta em freqüência e lugar geométrico das raízes que 
correspondem ao coração da teoria de controle clássica levaram sistemas a serem 
estáveis e a satisfazerem um conjunto de requisitos de desempenho mais ou menos 
arbitrários. Estes sistemas, não são, em geral, ótimos no sentido lato. Desde a década de 
50, a ênfase nos projetos de controle que operam para o projeto de um sistema ótimo em 
algum sentido lato. 
Em virtude de processos com muitas entradas e saídas tornaram – se mais e mais 
complexos, a descrição de um sistema de controle moderno exige um grande número de 
equações. A teoria de sistemas clássicas que trata apenas de sistemas de entrada - 
simples saída - simples tornou - se inteiramente impotente para sistemas de múltiplas - 
entradas múltiplas - saídas. Desde 1960, aproximadamente, a teoria de controle moderna 
tem sido desenvolvida para competir com a complexidade crescente de processos 
modernos e requisitos rigorosos e estreitos em precisão, peso e custo em aplicações 
militares, espaciais e industriais. 
Devido a crescente disponibilidade de computadores digitais para uso em cálculos 
complexos, a utilização de computadores no projeto de sistemas de controle 
programáveis e o uso de computadores on-line na operação de sistemas de controle 
constituem atualmente uma prática comum. 
 
Como tendências atuais da teoria de controle tem-se: 
• Controle ótimo 
• Controle adaptativo 
• Controle robusto 
• Controle inteligente: Fuzzy, neural, neuro-fuzzy 
• Controle digital 
 
Como exemplos de aplicação tem-se: 
• Máquinas de fazer papel 
• Refinarias de petróleo 
• Automóveis 
• Piloto automático de aeronaves 
• Robôs industriais 
• Linhas de produção: Refrigerante, etc... 
 
 
I.3 Classificação de sinais 
Determinísticos: Podem ser modelados como funções do tempo completamente 
especificadas. Ex. tensão da rede elétrica. 
 
Aleatórios: Assumem valores aleatórios em qualquer instante de tempo e devem ser 
modelados probalilísticamente. Ex. vento, raio. 
 
Periódicos: Um sinal é periódico se e somente se, x(t + T) = x(t), -∞<t<∞, T = cte. 
Ex. y(t) = sen[(2π/T)t]. 
 
 4
Não Periódicos: Se e somente se x(t + T) ≠ x(t). Ex. y(t) = t2 
Contínuos: Podem ser modelados por funções reais tendo como variável 
independente uma variável contínua. Ex. y(t) = sen[(2π/T)t]. 
Analógico: A amplitude assume uma faixa contínua de valores. 
Quantizado: A amplitude assume um conjunto finito de valores (quantizada). 
 
Discretos: São modelados por funções reais, tendo como variável independente uma 
variável discreta. Ex. y(t) = sen[(2π/T)kT], T ∈R, k = 0, 1, 2,.... 
Amostrado: A amplitude assume uma faixa contínua de valores. 
Digital: A amplitude assume um conjunto finito de valores (quantizada). 
 
 
a)Aanalógico b)Contínuo,quantizado 
 na amplitude 
c)Amostrado d)Digital 
Fig.02: Sinais contínuos e discretos 
 
I.4. Definições 
 Planta: qualquer objeto físico a ser controlado. Ex.: Um navio, uma caldeira para 
aquecimento, um carro de fórmula um. 
 
 Processo: qualquer operação a ser controlada. Ex.: Processos químicos, econômicos 
e biológicos. 
 
 Sistema: a) É qualquer porção do universo que esteja sendo estudada b) É uma 
combinação de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo 
objetivo. É algo mais geral que plantas e processos e não é limitado a algo físico. 
Ex.: Sistemas físicos (elétricos, mecânicos), econômicos, biológicos, etc. 
 
Sistema
Planta 1 Planta 2
Processo
 
 
Fig.03: Ilustração que relaciona sistema planta e processo 
 
 Distúrbio: é um sinal ou adversidade que tende a afetar o valor da saída. 
• Interno – é gerado dentro do sistema. 
 5
 Ex.: Erros de modelagem, variações paramétricas. 
• Externo – é gerado fora do sistema, constituindo uma entrada. Ex.: Vento. 
 
I.5 Classificação de Sistemas 
Contínuo: Os sinais processados são contínuos no tempo. Ex. Redes elétricas. 
 
Discreto: Os sinais processados são discretos no tempo. Ex. Computador digital. 
 
Amostrado: Os sinais processados são contínuos e discretos. Ex. Sistema de controle 
via computador. 
 
Invariantes no Tempo: Para uma mesma entrada a saída será a mesma, 
independentemente de quando ocorra a entrada. 
Ex. rede elétrica RLC onde RLC não se alteram no tempo. 
 
 
 
 
Fig.04: Exemplo de invariância no tempo 
 
Variante no tempo: São aqueles que não são invariantes no tempo. 
Ex. Foguete, carro (perda de massa em ambos os casos). 
 
Causal: Ou não antecipativos,são aqueles para os quais a saída em um dado instante 
de tempo “to” , depende apenas de valores da entrada em “to” ou antes de 
“to”. 
Ex. Avião, robô. 
 
Não causal: Ou antecipativo, são aqueles para os quais a saída num instante de 
tempo depende de valores da entrada em instantes posteriores ao 
referido instante (ainda por acontecer). 
Ex. Fenômenos da física quântica. 
 
Relaxado: São aqueles que tem condições iniciais nulas. 
Ex. Circuito RC com o capacitor inicialmente descarregado, pois, 
∫+=
T
dtti
C
VctVc
0
)(1)0()( 
 
Não relaxado: Tem condições iniciais não nulas. 
Ex. Capacitor inicialmente carregado, pois, Vc(0) ≠ 0. 
 
Dinâmico: A saída em qualquer instante de tempo depende não só dos sinais de 
entrada e saída atuais, mas também de seus valores passados ou futuros. 
Ex. Circuito RC. 
∫++=
T
dtti
C
VctRitVin
0
)(1)0()()( 
Instantâneo: Ou de memória nula, a saída em qualquer instante de tempo depende 
apenas dos sinais de entrada no mesmo instante. 
Ex. Circuito resistivo. 
)()( tRitVin = 
 
Monovariável: Possuem uma variável de entrada e uma de saída. 
Ex. Ar condicionado. 
 
 Hu
y 
 6
 
Fig.05: Sistema monovariável 
 
Multivariável: Possuem “m”variáveis de entrada e “r”de saída. 
Ex. Servomotor com medida de posição e velocidade angular. 
 
 
 
 
Fig.06: Sistema multivariável 
 
Determinístico: O parâmetros e sinais de entrada e saída podem ser modelados por 
funções completamente especificadas. 
Ex. Circuito RLC. 
 
Estocástico: Parâmetros e/ou sinais de entrada e saída são definidos apenas pela 
probabilidade e estatística. 
Ex. Influência do vento em fogute/avião. 
 
A parâmetros concentrados: São descritos através de equações diferenciais 
ordinárias ou por equações de diferenças. 
Ex. Massa, mola amortecedor. 
)()()()( txmtxBtKxtF
•••
=−− 
 
A parâmetros distribuídos: São descritos por equações a derivadas parciais. 
Ex. Temperatura numa sala. 
2),(),(),(
2
2
++
∂
∂
=
∂
∂ txy
t
txy
x
txy 
 
Linear: Um sistema é dito linear se satisfaz o princípio da superposição ou seja, 
satisfaz simultaneamente os seguintes princípios: 
Homogeneidade: Ao se multiplicar a entrada por um fator constante a saída se 
altera do mesmo modo. 
Se u ⇒ y então α u ⇒ α y 
Aditividade: A resposta devido a soma de duas entradas é igual a soma das 
respostas devido as entradas individuais. 
Se u1 ⇒ y1 e u2 ⇒ y2, então, u1 + u2 ⇒ y1 + y2. 
 
Não linear: Não satisfazem o princípio da superposição. 
 Ex. Pêndulo. 
 )(2 tmlmglsinTc
••
=− θθ 
 
 Sistema de controle: é uma interconexão de componentes que reconfiguram um 
sistema, de modo a proporcionar uma resposta ou desempenho desejado para o 
mesmo. Pode-se dividir os sistemas de controle em duas categorias: 
 A Eventos Discretos: Controla-se uma seqüência de eventos dentro de uma 
linha de produção. Ex. Movimentar ou parar uma esteira transportadora. 
 A Eventos Contínuos: Controla-se variáveis específicas de um evento. Ex. 
Velocidade de uma esteira transportadora. 
 
H
u1 y1 
um yr 
 7
A base para a análise de um sistema de controle a Eventos Contínuos fundamenta-se 
na teoria dos sistemas lineares, a qual supõe uma relação de causa e efeito para os 
componentes do sistema. 
 
Seja a planta ou processo a ser controlado representado pela figura 07: 
 
Planta ou
Processo
Entrada Saída
 
Fig.07: Planta 
 
A relação causa – efeito do processo é representada pela relação entrada – saída. 
A planta (ou processo) acima pode ser controlada (o) de duas maneiras: Em um sistema 
de controle de malha aberta; ou em um sistema de controle de malha fechada. 
 
 Sistema de controle de malha aberta: é aquele que utiliza um regulador ou atuador 
de controle com o objetivo de obter a resposta desejada apenas baseado no sinal de 
referência de entrada. 
 
Regulador ou
Atuador
Planta ou
Processo
Saída Real
Sinal de referência
de entrada
 
Fig.08: Controle em malha aberta 
 
 Sistema de controle de malha fechada: é aquele que utiliza um regulador ou atuador 
de controle para obter a resposta desejada baseada no erro obtido com a comparação 
do sinal de referência de entrada (saída desejada) com a saída real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.09: Controle em malha fechada 
 
O Sistema de controle de malha fechada é também chamado de sistema de 
controle realimentado. 
 
Definição: Um sistema de controle realimentado é aquele que tende a manter uma 
relação prescrita de uma variável para outra, comparando funções dessa variável e 
usando a diferença como meio de controle, ou ainda, a resposta do controlador é 
determinada a partir do erro obtido na comparação do sinal de referência de entrada 
(saída desejada) com a saída real. 
 
 8
 Tipos de sistema de controle em malha fechada: 
 Analógico: Utiliza circuitos eletrônicos para a implementação do controlador, 
normalmente pelo uso de resistores, capacitores e amplificadores operacionais. 
 Digital: Utiliza um computador (microcontrolador) para implementação da lei de 
controle. O cálculo da lei de controle é feito através de um código de programa. 
 
Fig.10: Controle digital em malha fechada 
Notação: 
r(t) - Entrada de referência 
 u(t) - Ação de controle 
 y(t) - Resposta da planta (sinal de saída) 
 )(
^
ty - Saída do sensor 
 ê(t) - Erro aproximado 
 e(t) - Erro do sistema (r(t) - y(t)) 
 w(t) - Distúrbio na planta 
 v(t) - Ruído no sensor 
 A/D - Conversor analógico-digital 
 D/A - Conversor digital-analógico 
 m(kT) - Erro discretizado (digitalizado) 
 u(kT) - Ação de controle discretizada (digital) 
 
Objetivos: 
Garantir estabilidade: amplitude da reposta limitada quando sujeito a uma entrada ou 
perturbação limitada. Resposta satisfatória da planta, de acordo com algum critério de 
projeto, a partir de uma ação de controle em malha fechada, ou seja, a saída da planta 
y(t) deve rastrear a entrada de referência, como a maior precisão possível, 
independentemente de perturbações externas ou internas (robustez). 
 
Elementos Básicos: 
AMOSTRADOR-SEGURADOR (SAMPLE-AND-HOLD,S/H): Circuito que recebe 
um sinal analógico e mantêm seu valor constante durante um período de amostragem. 
 
PERÍODO DE AMOSTRAGEM - Ts: Instantes de tempo em que o computador 
recebe e envia sinais digitais. Normalmente é fixo. É obtido pela produção de pulsos a 
cada Ts segundos, sincronizados pelo relógio interno do computador. 
 
CONVERSOR D/A (Digital-Analógico) ou Decodificador: 
Realiza a interface entre um computador digital e um dispositivo analógico. Decodifica 
uma entrada de código digital u(kT), numa saída analógica u(t). Sempre contêm de um 
circuito HOLD. 
A/D
COMPUTADOR
DIGITAL
D/A ATUADOR PLANTA
SENSOR
w(t)
r(t) ê(t) m(kT)
u(kT) u(t)
+
y(t)
v(t)
-
y(t)
RELÓGIO
^
 9
 
COMPUTADOR DIGITAL: 
Processa o sinal de erro digitalizado m(kT), de acordo com o programa nele instalado, e 
gera o sinal de controle u(kT) a cada Ts. 
 
CONVERSOR A/D (Analógico-Digital) ou Codificador: 
Realiza a interface entre um dispositivo analógico e um computador digital. Converte 
um sinal analógico ê(t) num sinal de código digital m(kT). Sempre contêm um circuito 
SAMPLE/HOLD 
 
Características do Controle Digital: 
Aumento significativo das classes de leis de controle que podem ser implementadas, 
permitindo: cálculos não lineares ou exaustivos e incorporação de tabelas de dados. 
 
Vantagens: 
Baixo custo, leve e compacto, maior flexibilidade, capacidade de decisão e 
confiabilidade 
 
Cuidados: 
a) Erro de quantização na conversão A/D. Ocorre devido ao arredondamento no valor 
do sinal analógico visto que uma palavra digital possui um número finito de “bits”. 
b) Escolha adequada do período de amostragem para que não ocorra perda de 
informação do sinal. 
 
1.25 2.5 3.75 5.0 6.25 7.5 8.75
111
110
101
100
011
010
001
000
0
Q
10 e(t)
e(kT)
 
 
Fig.11 : Erro de quantização 
 
A característica mais importante de um sistema dinâmico é a estabilidade. Um 
sistema estável é aqueleque tem uma resposta limitada, ou seja, o sistema é estável se, 
quando sujeito a uma entrada ou perturbação (distúrbio) limitada, sua resposta é de 
amplitude limitada. 
Robustez: um sistema de controle é dito robusto se, sua resposta apresenta o 
comportamento desejado (projetado), mesmo quando o sistema está sujeito a distúrbios 
(internos ou externos), ou seja, o sistema robusto é aquele que opera satisfatoriamente 
sempre, ainda que haja erros de modelagem do sistema, variações paramétricas ou 
perturbações externas. 
Sensibilidade: é a capacidade que o sistema tem de reagir à presença de um 
distúrbio (interno ou externo). 
 
 10
Obs.: como podemos notar robustez e sensibilidade são conceitos praticamente opostos. 
Importante: no projeto de sistemas de controle sempre é requerido que o sistema seja 
estável e robusto. 
 
I.4 Análise da estabilidade e da robustez de um sistema de malha aberta: 
Seja o sistema com saída desejada YD(s), saída real Y(s) e controlado em malha 
aberta, onde G(s) é a planta e C(s) é o compensador, conforme mostra a figura abaixo. 
 
C(s) G(s)
yd(t)
YD(s) U(s)
y(t)
Y(s)
u(t)
 
 
A função de transferência do sistema é: 
 
T(s) = G(s)C(s) (I.1) 
 
Ou seja, 
 Y(s) = [G(s)C(s)]YD(s) (I.2) 
 
Para que a saída real seja igual a saída desejada, o compensador deve ser projetado 
para ter a seguinte forma: 
 
C(s) = 
)(
1
sG
 (I.3) 
 
Assim 
 Y(s) = 





)(
1)(
sG
sG YD(s) = YD(s) (I.4) 
 
 Análise da estabilidade: 
Se a planta G(s) possui zero(s) instável(eis), é indesejável que C(s) seja da forma 
vista na eq.(03), pois isto implicará em um compensador instável. Isto é uma limitação 
fortíssima de estabilidade para o controle em malha aberta. 
 
 Análise da robustez: 
Considere que a planta tem um erro de modelagem ou sofreu uma variação 
paramétrica tal que o novo processo é G(s) + ∆G(s). Assim, a resposta real do sistema 
será: 
 
Y(s) = ( ) 





∆+
)(
1)()(
sG
sGsG YD(s) = 




 ∆
+
)(
)(1
sG
sG YD(s) 
ou 
 
Y(s) = YD(s) + ∆Y(s) (I.5) 
 
onde, 
 
∆Y(s) = 
)(
)(
sG
sG∆ YD(s) (I.6) 
 
 11
Isto significa, por exemplo, que se a planta possui um erro de modelagem ou sofreu uma 
variação paramétrica de 10% do seu valor nominal, a saída real também diferirá de 10% 
da saída desejada em regime permanente. Logo o controle em malha aberta é pouco 
robusto (ou muito sensível) a distúrbios internos. 
Considere agora que o sistema de malha aberta sofreu uma perturbação externa ω, 
conforme mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
onde C(s) = 1/G(s). 
 
A saída real desse sistema é (para C(s) = 1/G(s)) 
 
Y(s) = [G(s)G-1(s)](YD(s) + Ω(s)) = YD(s) + Ω(s) = YD(s) + ∆Yω(s) (I.7) 
 
onde, ∆Yω(s) = Ω(s). Isto significa que a saída real será a saída desejada mais a 
perturbação externa. Logo, o controle em manha aberta é pouco robusto (muito 
sensível) a distúrbios externos. 
 
I.5 Análise da estabilidade e da robustez de um sistema de malha fechada: 
Seja o sistema com saída desejada YD(s) e controlado em malha fechada, onde 
G(s) é a planta, C(s) é o compensador, e ambos estão na malha direta, conforme mostra 
a figura abaixo: 
 
 
 
A função de transferência desse sistema pode ser obtida facilmente: 
 
E(s) = YD(s) – Y(s) (I.8) 
 
Y(s) = [G(s)C(s)]E(s) (I.9) 
 
Y(s) = [G(s)C(s)](YD(s) – Y(s)) (I.10) 
T(s) = 
)(
)(
sY
sY
D
 = 
)()(1
)()(
sCsG
sCsG
+
 (I.11) 
Ou seja, 
 
Y(s) = 





+ )()(1
)()(
sCsG
sCsG YD(s) (I.12) 
 
 12
Se G(s)C(s) >> 1 para todas as freqüências complexas de interesse, então pela 
Eq.(I.12), obtemos: 
Y(s) ≅ YD(s) (I.13) 
 
Que é o resultado desejado. Ou seja, a saída real será igual a saída desejada. 
 
 Análise da Estabilidade: 
Como observamos na eq.(11) ou eq.(12) o comportamento dinâmico do sistema em 
malha fechada é determinado por 1 + G(s)C(s). Logo, os pólos de T(s) poderão ser 
feitos completamente diferentes aos de G(s). Isto faz com que o sistema em malha 
fechada seja facilmente estabilizável. 
 
 Análise da Robustez: 
Considere agora que a planta possui um distúrbio interno tal que o novo processo é 
G(s) + ∆G(s). Assim, a resposta real do sistema será: 
 
 Y(s) = ( )( ) )()()(1
)()()(
sCsGsG
sYsGsG
∆++
∆+ YD(s) (I.14) 
 
Para expressar Y(s) em termos de ∆G(s) para que a expressão (14) possa ser 
expandida em uma série, primeiro devemos arrumar o denominador para que ele tenha a 
forma 1 + x, onde x é pequeno: 
 
Y(s) = ( )[ ] ( )[ ]( )[ ])()(1/)()(1
)()(1/)()()()(1/)(
sCsGsCsG
sGsCsCsGsCsGsG
+∆+
+∆++ YD(s) 
Agora, 
 
x+1
1 ≅ 1 – x + x2 – x3 + x4 ...|x| < 1 (I.15) 
 
Onde x = ∆G(s)C(s)/(1 + G(s)C(s)), então 
 
Y(s) ≅ 





+
∆
−





+
∆
+
+ )()(1
)()(1
)()(1
)()(
)()(1
)()(
sCsG
sCsG
sCsG
sCsG
sCsG
sCsG YD(s) (I.16) 
 
Ignorando a 2a potência de ∆G(s) e definindo 
 
Y’(s) = 
)()(1
)()(
sCsG
sCsG
+
YD(s) (I.17) 
Que é a saída sem distúrbios, temos: 
Y(s) ≅ Y’(s) + Y’(s) 
)()(1
1
sCsG+ )(
)(
sG
sG∆ (I.18) 
Ou 
Y(s) ≅ Y’(s) + ∆Y(s) 
 
Onde 
 
∆Y(s) = 




 ∆
+ )(
)(
)()(1
1
sG
sG
sCsG
Y’(s) (I.19) 
 
 13
Assim, vemos que uma variação de 10% em G(s) causará uma variação de apenas 
[1/(1+G(s)C(s))].10% de Y’(s) em DY(s) e isto, se G(s)C(s) >> 1 para as freqüências 
complexas de interesse, é muito pequeno e ainda teremos Y’(s) ≅ YD(s). Portanto, se 
G(s)C(s) >> 1, Y(s) ≅ YD(s) e o sistema é altamente robusto a distúrbios internos. 
 
A sensibilidade a distúrbios internos se define como: 
 
S = 
)(/)(
)(/)(
sGsG
sTsT
∆
∆ (I.20) 
 
No limite, para variações incrementais, a equação (20) será: 
 
S = 
GG
TT
/
/
∂
∂ 
 
Para um sistema de malha fechada 
 
T(s) = 
)()(1
)()(
sCsG
sCsG
+
 a sensibilidade é S = 
T
G
G
T
∂
∂ = 
( )
( )
GC
GCG
GC
C +
+
1
1 2
 = 
GC+1
1 
 
Considere agora que o sistema está sujeito a perturbações externas v e w, conforme 
mostra a figura abaixo: 
 
A saída deste sistema é: 
 
Y(s) = Y1(s) + Yw(s) + Yv(s) 
ou 
Y(s) = 
CG
CG
+1
YD(s) + 
CG
G
+1
W(s) - 
CG
CG
+1
V(s) 
Se |CG| >> 1, temos 
 
CG
CG
+1
 ≅ 1 
e 
Y1(s) ≅ YD(s) 
 
A saída à perturbação W é: 
 
YW(s) = 
CG
G
+1
W(s) 
 14
 
Se fizermos |C| muito grande, a resposta YW a W poderá ser reduzida. 
A saída à perturbação V é: 
 
YV(s) = 
CG
CG
+1
V(s) 
 
Ou seja, sofre a mesma influência que YD(s). Assim, não é possível atenuar o efeito do 
ruído V(s) sem prejudicar a habilidade em comandar o sistema. Portanto, é importante 
usar sensores com baixa aceitabilidade a ruídos nas faixas de freqüência a serem 
controladas, ou seja, nas freqüências onde y acompanha yd. 
 
Exercício: Análise a estabilidade e a robustez a distúrbios da seguinte configuração em 
malha fechada: 
 
 
I.6 Conclusões 
Conforme observamos nas seções anteriores, para obtermos sistemas estáveis e 
robustos, é recomendável que o sistema de controle tenha a configuração de malha 
fechada. 
 15
Capítulo II: Modelagem de Sistemas Físicos: 
 
II.1 – Introdução: - Necessidade de modelos matemáticos 
 - Simplicidade × precisão 
 
Uma grande parte dos sistemas dinâmicos, independentemente de serem de 
natureza elétrica, mecânica, térmica ou hidráulica, pode ter seu comportamento descrito 
por equações diferenciais ou de diferenças. A resposta do sistema a uma dada entrada é 
obtida a partir da solução dessas equações. Estas equações são obtidas a partir das leis 
físicas que governam um particular sistema, como as leis de Newton para um sistema 
mecânico, e as leis de Kirchhoff para um sistema elétrico. 
A descrição matemática das características de um sistema é denominada de 
modelo matemático. A obtenção do modelo é o primeiro emais importante passo na 
análise de um sistema, pois é somente quando o modelo representa adequadamente o 
sistema físico que os resultados são confiáveis. 
Durante a modelagem do sistema é necessário estabelecer um compromisso entre 
a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. Ao optarmos por um 
modelo simples, necessariamente algumas propriedades presentes no sistema devem ser 
ignoradas. Fazendo isso, podemos comprometer a boa concordância entre os resultados 
da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema 
físico, por exemplo. 
Particularmente, se é desejado um modelo matemático linear, então certas não 
linearidades presentes no sistema físico devem ser ignoradas. Um estudo cuidadoso dos 
sistemas físicos revela que mesmo os chamados sistemas lineares, são lineares de fato 
apenas em faixas limitadas de operação. Na prática, quase todos os sistemas 
eletromecânicos hidráulicos, pneumáticos, etc, envolvem relações não lineares entre 
suas variáveis. 
 
 Exemplos de Não-Linearidades Mais Comuns: 
• Não-linearidade por saturação: a saída do componente pode saturar para sinais 
de amplitude elevada na entrada. 
 
 
Para –u1 < u < u1 ⇒ SISTEMA LINEAR 
 
 
• Não-linearidade por zona morta: o sistema não responde a sinais e pequena 
amplitude. 
 
 
Para u > | u1 | ⇒ SISTEMA LINEAR 
 
u1
-u1
Saída
Entrada
u1
-u1
Saída
Entrada
 16
Os procedimentos para determinar as soluções de problemas envolvendo sistemas 
não-lineares são, em geral, extremamente complicados, devido às dificuldades inerentes 
à modelagem destes sistemas. Normalmente é necessário encontrar sistemas lineares 
“equivalentes” a estes sistemas, ou seja, o sistema não-linear é aproximado por um 
sistema linear. Estes sistemas lineares aproximados somente são válidos dentro de uma 
faixa limitada de operação. 
 
II.2 – Modelagem de Sistemas Elétricos 
As equações de redes elétricas são formuladas a partir das duas leis de Kirchhoff, isto é, 
as leis que governam o comportamento dos sistemas elétricos, que são: a lei das malhas 
ou das tensões e; a lei dos nós ou das correntes. 
 
 Elementos Ativos: 
 
• Fonte genérica de tensão: 
 
 
• Fonte de tensão dc: 
 
 
• Fonte genérica de corrente: 
 
 
 Elementos Passivos: 
• Resistor: 
RR iR)t(V ⋅= (II.1) 
)t(V
R
1)t(i RR ⋅= (II.2) 
 
 
• Indutor: 
dt
)t(idL)t(V LL ⋅= (II.3) 
)0(id)(V
L
1)t(i L
t
0 LL
+ττ= ∫ (II.4) 
 
+
Vs
+
V
-
Is
L
+ _VL
iL
 17
 
• Capacitor: 
 
)0(Vd)(i
C
1)t(V C
t
0 CC
+ττ= ∫ (II.5) 
dt
)t(VdC)t(i CC ⋅= (II.6) 
 
 Elementos com Acoplamento Elétrico: 
 
 
• Transformador Ideal: 
2
1
2
1
2
1
i
i
V
V
N
N
== (II.7) 
 
Relação entre o Relação entre Relação entre o 
número de espiras tensões correntes 
 
Exemplo 1: Circuito R-L-C em série: 
 
CLRS VVVV ++= 
)0(Vdi
C
1
dt
idLiRV C
t
oS
+τ⋅+⋅+⋅= ∫ 
 
 
Exemplo 2: Circuito R-L-C, em paralelo: 
 
CLRS iiiI ++= 
)0(i
dt
VdCdV
L
1V
R
1V L
t
oS
+⋅+τ+⋅= ∫ 
 
C
+ _VC
iC
i2i1
++
__
N1 : N2
V1 V2
R L
C
i
+ VR - + VL -
VC
+
-
VS
R L C
iR
V
+
-
IS
iL iC
 18
II.3 – Modelagem de Sistemas Mecânicos 
As leis fundamentais que governam o comportamento de sistemas mecânicos são 
as leis de Newton, que se aplicam aos dois tipos de movimento, que são: movimento de 
translação e; movimento de rotação. 
 
– Movimento de Translação: é definido como um movimento que se processa ao 
longo de uma linha. As variáveis usadas para descrevê-lo são: 






→
→
→
(m)y toDeslocamen 
 (m/s) vVelocidade 
)(m/s a Aceleração 2
 
 
A lei de Newton para o movimento de translação é: 
Σ Forças=m.a (II.8) 
 
“A soma algébrica das forças que atuam sobre um corpo rígido em uma dada 
direção é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração na mesma direção”. 
 
• Elemento massa (m): 
 
 2
2
dt
ydm
dt
vdmamF ⋅=⋅=⋅= (II.9) 
 
 
• “Elemento” constante elástica da mola (K): 
 
Obs: Na prática, a mola referida pode ser uma mola real, ou caracterizar a 
elasticidade de um cabo ou uma barra. 
 
 
 
 (II.10) 
 
 
 
 
• “Elemento” coeficiente de atrito viscoso (B): 
 
Obs: o atrito viscoso provoca uma força de retardamento no movimento do 
corpo rígido e é dado pela relação entre a força aplicada e a velocidade imprimida pelo 
corpo. Esta relação é linear para o atrito viscoso em uma certa região de operação, 
porém para o atrito seco e arraste não se verifica linearidade. 
 
 
m
y
F
K
F
y1 y2y2 > y1
K
y
F 12 yyy −=∆
yy =∆
} yKF ∆⋅=
 19
 
 
 
 
 (II.11) 
 
 
 
 
 
 
• Movimento de rotação: É definido como um movimento em torno de um eixo 
fixo. As variáveis usadas para descrevê-lo são: 






θ→
ω→
α→
(rad) angular toDeslocamen 
 (rad/s) angular Velocidade 
)(rad/s angular Aceleração 2
 
 
A lei de Newton para o movimento de rotação é: 
Σ Torques= J ⋅ α (II.12) 
“A soma algébrica dos torques que atuam sobre um corpo rígido em torno de um 
dado eixo é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela aceleração angular 
em torno desse eixo”. 
 
• Elemento momento de inércia (J): 
 
 (II.13) 
 
 
 
• Elemento constante de torção da mola (K): 
 
Obs: É usado para representar uma mola real, um bastão ou um eixo quando 
sujeito a aplicação de um torque. 
 
 
 
 (II.14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J θ
τ 2
2
dt
dJ
dt
dJJ θ⋅=ω⋅=α⋅=τ
F
v vv =∆
12 vvv −=∆
vBF ∆⋅=B
F
v2
B
v2 > v1
m F
v
B
v1
vv =∆
F
v∆
K
K
12 θ−θ=θ∆
τ } θ∆⋅=τ K2θ1θ 12 θ>θ
τ
θ θ=θ∆
 20
• Elemento atrito viscoso de torção (B): 
 
 
 (II.15) 
 
 
 
Exemplo 01: Movimento Translacional 
0)0(y;0)0(y == & 
 
amF ⋅=∑ 
amFFF KB ⋅=−− 
KB FFamF ++⋅= 
yK
dt
yd
B
dt
ydmF
2
2
⋅+⋅+⋅= 
 
 
Exemplo 02: Movimento Rotacional 
0)0(;0)0( =θ=θ & 
α⋅=τ∑ J 
α⋅=τ−τ−τ JKB 
KBJ τ+τ+α⋅=τ 
 
θ⋅+
θ
⋅+
θ
⋅=τ K
dt
dB
dt
dJ
2
2
 
 
 
 
II.4 – Dispositivos de Acoplamento 
São dispositivos mecânicos que transmitem energia de uma parte de um sistema 
para outra, de tal forma que grandezas como força, torque, velocidade e deslocamento 
sejam alteradas. Os dispositivos de acoplamento são usados para se obter a máxima 
transferência de potência. Alguns destes dispositivos são os sistemas de engrenagem, as 
alavancas, as correias, etc. 
12 ω−ω=ω∆ }
B
2ω
12 ω>ω
1ω ω∆⋅=τ Bτ
B
m
F
y
K
m
F
FB
FK
MTF y
J
K
B
τ θ
J τ
Kτ
Bτ
M.R.τ θ
 21
• Sistema de Engrenagens (Caso Ideal) 
 
Despreza-se a inércia e o atrito das engrenagens. 
sengrenagen nas torque, 21 →ττ 
sengrenagen das dentes de úmeronN,N 21 → 
sengrenagen das aiorr,r 21 → 
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
r
r
N
N
=
ω
ω
=
θ
θ
=
τ
τ
= (II.16) 
 
 
Obs: Na prática, as engrenagens reis têm inércia e há atrito no acoplamento dos dentes. 
Isto, em geral, não pode ser desprezado. 
 
• Alavanca (Movimento de Translação) 
 
 
 
 
 
1
2
1
2
2
1
x
x
d
d
F
F
== (II.17) 
 
 
 
 
 
II.5 – Sistemas Eletromecânicos 
São sistemas constituídos por elementos elétricos e mecânicos acoplados, em geral, por 
um elemento resistivo (potenciômetro), ou por campo magnético (galvanômetros, 
motores). 
No caso dos servomotores, a mais importante de suas características é a máxima 
aceleração do obtenível. Para um dado torque disponível, o momento de inércia do rotor 
deve ser um mínimo. Desde que o servomotor opera sob condiçõescontinuamente 
variáveis, ocorrem aceleração e freamento de instante a instante. O servomotor deve ser 
apto a absorver energia mecânica bem como gerá-la. O desempenho do servomotor, 
quando utilizado como um freio deve ser satisfatório. 
O momento de inércia equivalente Jeq e o atrito viscoso equivalente Beq referidos 
ao eixo do motor podem ser escritos como: 
)1n(JnJJ L
2
meq <+= (II.18) 
)1n(BnBB L
2
meq <+= (II.19) 
onde n = N1/N2 é a relação de engrenagens entre o eixo do motor e o eixo da carga, Jm e 
Bm são o momento de inércia e a fricção do motor, respectivamente, e JL e BL são o 
momento de inércia e a fricção da carga no eixo de saída. Se a relação de engrenagem n 
N1
N2
111 ,, ωθτ
222 ,, ωθτ
F1
x1
d1
d2
x2
F2
 22
é pequena e Jm >> n2JL, então o momento de inércia da carga referido ao eixo do motor 
é desprezível em relação ao momento de inércia do motor. Um argumento similar 
aplica-se à fricção da carga. 
Os motores a serem analisados neste curso serão os motores de corrente 
contínua. Os motores de corrente contínua são muito utilizados em sistemas de controle 
quando se precisa de uma boa quantidade de potência no eixo. Existem dois tipos de 
motores de corrente contínua, são eles: o controlado por armadura (campo fixo) e; o 
controlado por campo (corrente de armadura ia constante). 
 
− Motor C.C Controlado por Armadura 
 
Considere o motor C.C controlado por armadura indicado abaixo: 
if = constante
B
ebia
Ra La
ea
θ
τ
 
onde, 
Ra = resistência do enrolamento da armadura, Ω 
La = indutância do enrolamento da armadura, H 
ia = corrente do enrolamento da armadura, A 
ea = tensão aplicada na armadura, V 
eb = força contra eletromotriz, V 
if = corrente de campo, A 
θ = deslocamento angular do eixo motor, rad 
τ = Torque fornecido pelo motor, N.m 
J =momento de inércia equivalente do motor e da carga referida ao eixo do motor, 
Kg.m2. 
B = coeficiente de fricção-viscosa equivalente do motor e da carga referida ao eixo do 
motor, Kg.m/rad/s. 
 
A corrente de campo if é mantida constante (fluxo magnético constante). Logo, o 
torque fornecido pelo motor torna-se diretamente proporcional à corrente da armadura. 
τ = K ⋅ ia (II.20) 
 
onde K é a constante de torque do motor. Quando a armadura está girando, é induzida 
na armadura uma tensão proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular. 
dt
deb
θ
⋅ψα (II.21) 
Como o fluxo é constante, então: 
dt
dKe bb
θ
⋅= (II.22) 
onde Kb é a constante de força-contra-eletromotriz. 
 
A velocidade de um motor C.C controlado por armadura é controlada pela 
tensão da armadura Ea. A tensão de armadura ea suprida por amplificador (ou por um 
 23
gerador, que é suprido por um amplificador). A equação diferencial para o circuito de 
armadura é: 
abaa
a
a eeiRdt
idL =+⋅+⋅ (II.23) 
 
A corrente de armadura produz o torque que é aplicado à inércia e a fricção; 
portanto, 
a2
2
iK
dt
dB
dt
dJ ⋅=τ=θ⋅+θ⋅ (II.24) 
 
Manipulando algebricamente as equações (II.22), (II.23) e (II.24), obtemos: 
( ) ( )
a
ba
2
2
aa
3
3
a e
dt
d
K
KKBR
dt
d
K
JRBL
dt
d
K
JL
=
θ
⋅
⋅+⋅
+
θ
⋅
⋅+⋅
+
θ
⋅
⋅ II.25) 
Esta expressão pode ainda ser simplificada, pois, a indutância La no circuito de 
armadura normalmente é pequena e pode ser desprezada. 
 
– Motor C.C. Controlado por Campo 
 
Considere o motor C.C. controlado por campo indicado abaixo: 
ia = constante
eaif
Rf
Lfef
θ
τ
B
J
Ra
 
 
onde, 
Rf = resistência do enrolamento de campo, Ω 
Lf = indutância do enrolamento de campo, H 
If = corrente do enrolamento de campo, A 
Ef = tensão aplicada de campo, V 
Ra = soma da resistência de armadura e da resistência inserida, Ω 
ia = corrente de armadura, A 
θ = deslocamento angular do eixo motor, rad 
τ = torque desenvolvido pelo motor, N.m 
J = momento de inércia equivalente do motor e da carga referida no eixo do motor, 
Kg.m2 
B = coeficiente de fricção-viscosa equivalente do motor e da carga referida ao eixo o 
motor, Kg.m/rad/s. 
 
A corrente de armadura ia deve se constante, logo, o torque desenvolvido pelo 
motor é proporcional à corrente de campo e pode ser escrito como segue: 
f2 iK ⋅=τ (II.26) 
onde K2 é uma constante. As equações para esse sistema são: 
fff
f
f eiRdt
idL =⋅+⋅ (II.27) 
 24
f22
2
iK
dt
dB
dt
dJ ⋅=τ=θ⋅+θ⋅ (II.28) 
 
Manipulando algebricamente as equações (II.27) e (II.28), obtemos 
ff2
2
2
ff
3
3
2
f e
dt
dBR
dt
d
K
JRBL
dt
d
K
JL
=
θ
⋅⋅+
θ
⋅




 ⋅+⋅
+
θ
⋅
⋅ (II.29) 
Desde que a indutância de campo Lf não é desprezível, a equação diferencial que 
descreve o comportamento de um motor C.C. controlado por campo é de terceira ordem. 
 
Nota: Recomenda-se que a leitura da “comparação entre os desempenhos do motor C.C. 
controlado por armadura e motor C.C. controlado por campo”. Ogata, página 116. 
 
II.6 – Sistemas Hidráulicos 
Os sistemas hidráulicos são aqueles que envolvem fluxo e acumulação de 
líquidos. O fluxo de fluidos, ao ser analisado, de ser distinguido em fluxo laminar e 
fluxo turbulento. Neste curso estudaremos apenas sistemas envolvendo fluxo laminar 
que podem ser representados por equações diferenciais lineares. 
 
Considere o sistema abaixo: 
Válvula de controle
H+h
Capacitância C
Resistência R
Válvula de carga
Q + qi
 
onde, 
Q = taxa de fluxo em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), 
m3/min. 
qi = pequeno desvio na taxa de fluxo de entrada em relação ao seu valor em regime 
estacionário, m3/min. 
qo=pequeno desvio na taxa de fluxo de saída em relação ao seu valor em regime 
estacionário, m3/min. 
H = altura do nível em regime estacionário (antes de qualquer variação haver ocorrido), 
m. 
h = pequeno desvio na altura do nível em relação ao seu nível estacionário, m. 
 
Para facilitar a análise de sistemas hidráulicos a fim de que seus elementos 
possam ser representados por dispositivos físicos introduziremos os conceitos de 
resistência e capacitância. 
 
Resistência (R): Representa a resistência ao fluxo do líquido de uma determinada parte 
do sistema para outra. A resistência ao fluxo do líquido é definida por: 
min)/m( fluxo de taxa na iaçãovar
(m) nível de diferença na variaçãoR 3= 
 25
Capacitância (C): Representa a capacidade de armazenar líquidos e é definida por: 
min)/m( fluxo de taxa na iaçãovar
)(m armazenado líquido no variaçãoC 3
3
= 
 
Balanço de massa: 
(vazão mássica da entrada) – (vazão mássica de saída) = (taxa de acúmulo de massa) 
 
ou, 
(desvio na vazão de entrada) – (desvio na vazão de saída) = (taxa de variação do 
volume) 
( ) ( )
dt
hdChC
dt
dhA
dt
dqq oi ⋅=⋅=⋅=− (II.30) 
onde A = área seccional 
 
Como, 
oq
hR = (II.31) 
 
Substituindo a equação (II.31) na (II.30) podemos obter: 
 
• Para controle de nível: 
 
iqhR
1
dt
hd
C =⋅+⋅ (II.32) 
 
 
• Para controle de fluxo: 
 
io
o qq
dt
qdRC =+⋅⋅ (II.33) 
 
II.7 – Sistemas Térmicos 
 
Os sistemas térmicos são aqueles em que há transferência de calor de uma 
substância para outra. Os sistemas térmicos podem ser analisados em termos de 
resistência e capacitância, embora a capacitância térmica e a resistência térmica não 
possam ser precisamente representadas por parâmetros concentrados desde que 
normalmente são distribuídas através da substância. Para simplificas a análise, vamos 
supor que o sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros 
concentrados. 
 
 
 
 
 
 
SHiq h
SHiq oq
 26
Considere o sistema abaixo: 
LíquidoFrio
Líquido
Quente
Aquecedor
Misturador
 
onde, 
θi = temperatura em regime estacionário do líquido entrando, ºC. 
θo = temperatura do regime estacionário do líquido saindo, ºC. 
G = taxa de fluxo do líquido em regime estacionário, Kg/s. 
M = massa do líquido no tanque, Kg. 
c = calor específico do líquido, cal/kg.ºC 
R = resistência térmica, ºC.s/cal 
C = Capacitância térmica, cal/ºC 
hi = pequena variação na taxa de entrada de calor, cal/s. 
ho = pequena variação na taxa de saída do calor, cal/s. 
H = taxa de entrada de calor em regime estacionário, cal/s. 
θ = pequena variação na temperatura na saída, ºC. 
 
Considerações: 
– O tanque é isolado, ou seja, não há perda de calor para o ar; 
– Não há armazenamento de calor no isolamento; 
– O líquido no tanque é perfeitamente misturado de modo a estar em uma 
temperatura uniforme; 
– Para simplificar a análise, representamos o sistema térmico por um modelo de 
parâmetros concentrados. 
 
Definições: – Resistência Térmica R; 
 – Capacitância Térmica C 
 
)s/cal(calor de fluxo de taxa na iaçãovar
C)(º ra temperatude diferença na variaçãoR = 
)C(º atemperatur na iaçãovar
(cal) armazenadocalor no variaçãoC = 
ou, 
pcWC ⋅= (II.34) 
onde, 
W = massa da substância considerada, Kg 
cp = calor específico da substância, cal/ºC.Kg 
 
Com isso, 
θ⋅⋅= cGho (II.35) 
cMC ⋅= (II.36) 
cG
1
h
R
o ⋅
=
θ
= (II.37) 
 
– Balanço de Energia: 
(taxa de energia que entra) – (taxa de energia que sai) = (taxa de energia acumulada) 
 27
Então, para o controle de temperatura pela variação do fluxo na entrada: 
dt
dChh oi
θ
⋅=− (II.38) 
 
ou, 
 
ihR
1
dt
dC =θ⋅+θ⋅ (II.39) 
 
ou ainda, para o controle de temperatura pela variação da temperatura de entrada, 
dt
dChcG oi
θ
⋅=−θ⋅⋅ 
 
que pode ser reescrita como: 
 
idt
dCR θ=θ+θ⋅⋅ (II.40) 
 
II.8 – Sistemas Análogos: 
Em análise de sistemas lineares o procedimento matemático para obter as 
soluções de um dado conjunto de equações, não depende de que sistema físico as 
equações representam. Portanto, se a resposta de um sistema físico a uma dada 
excitação é determinada, as respostas de todos os outros sistemas que podem ser 
descritos pelo mesmo conjunto de equações são conhecidas para a mesma função 
excitação. Sistemas que são governados pelos mesmos tipos de equações são chamados 
SISTEMAS ANÁLOGOS. 
Sistemas análogos podem ter natureza física inteiramente diferente. Por exemplo, 
um dado circuito elétrico constituído de resistências, indutâncias e capacitâncias pode 
ser análogo a um sistema mecânico, constituído de uma combinação apropriada de 
atritos viscosos, massas e molas. Neste curso estudaremos as analogias força-tensão e 
força-corrente. 
 
– Analogia Força-Tensão: 
 
Sejam os sistemas e seus modelos matemáticos abaixo: 
 
s
t
0
v)0(qd)(i
C
1iR
dt
idL =


 +ττ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.40) 
 
 
STih θ
ST θiθ
R L
Cvs
+
i
m
F
B
y
K
 28
FyK
dt
ydB
dt
ydm 2
2
=⋅+⋅+⋅ 
F)0(yd)(vKvB
dt
vdm
t
0
=


 +ττ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.41) 
 
Comparando as equações (II.40) e (II.41) notamos que há uma similaridade entre 
elas. Logo, elas representam sistemas análogos. Em outras palavras, o comportamento 
do sistema mecânico acima pode ser completamente previsto pelo que conhecemos 
sobre o circuito R.L.C em série acima, se fizermos as devidas conversões das quantidas 
físicas, de acordo com a tabela mostrada abaixo: 
 
Sistema Mecânico Sistema Elétrico (f.v analogy) 
Força, F Tensão, V 
Velocidade, v Corrente, i 
Massa, m Indutância, L 
Deslocamento, y Carga, q 
Atrito viscoso, B Resistência, R 
Coeficiente de Elasticidade, K Recíproco de Capacitância, 1/C 
Sistema de Engrenagens, r1/r2; N1/N2 Transformador, N1/N2 
Alavanca, d1/d2; x1/x2 Transformador, N2/N1 
 
Uma maneira sistemática de estudar um sistema mecânico através do seu análogo 
elétrico obtido pela analogia força-tensão é dado como segue: 
 
“Cada junção no sistema mecânico corresponde a uma malha fechada que consiste 
de fontes de excitação e elementos passivos análogos às fontes mecânicas e aos 
elementos passivos conectados à junção. Todos os pontos de uma massa rígida são 
considerados como a mesma junção”. 
 
Exemplo 01: Considere o sistema translacional: 
m2
F
B1
y2
m1
y1
B2
K
 
 
Correspondendo às duas coordenadas y1 e y2, o sistema mecânico tem duas 
junções. Portanto, o sistema elétrico análogo F – V tem duas malhas. A primeira malha 
consiste de uma fonte de tensão v3 [F], uma indutância L1 [m1] e duas resistências R1 
[B1] e R2 [B2]; e a segunda malha consiste de uma indutância L2 [M2], uma capacitância 
C [1/k], e uma resistência R1 [B1], o último elemento sendo comum a ambas as malhas. 
O circuito elétrico análogo é mostrado a seguir: 
 29
R1
L2
Cvs
+
i1
L1
R2
i2
 
Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões para as duas malhas do circuito acima, 
encontramos: 
s22121
1
1 viRi)RR(dt
idL =⋅−⋅++⋅ 
0)0(qdi
C
1iR
dt
idLiR
t
0 2221
2
211 =


 +τ⋅+⋅+⋅+⋅− ∫ 
 
O modelo mecânico é obtido pela substituição das grandezas análogas indicadas 
na tabela apresentada. 
 
– Analogia Força-Corrente: 
 
Nesta analogia, a força F e a corrente i são grandezas análogas e são classificadas 
como grandezas “através”. Há uma semelhança física, uma vez que um instrumento de 
medida – um amperímetro ou um medidor de força – deve ser colocado em série com o 
sistema de ambos os casos. Por outro lado, a velocidade “sobre” um elemento mecânico 
é análoga à tensão “sobre” um elemento elétrico. Do ponto de vista da interpretação 
física, a analogia Força-Corrente é mais natural que a Força-Tensão e isto resulta no 
fato de que uma junção no sistema mecânico é análoga a um nó no sistema elétrico. 
 
Exemplo 02: O circuito RCL em paralelo é analogia Força-Corrente ao circuito mola-
massa-atrito viscoso, como observamos nas expressões que descrevem seus 
comportamentos. 
s
t
0 oo
o I)0(dv
L
1vG
dt
vdC =


 φ+τ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.42) 
F)0(ydvKvB
dt
vdm
t
0
=


 +τ⋅+⋅+⋅ ∫ (II.43) 
 
A tabela de conversão das grandezas físicas na analogia Força-Corrente é dada 
abaixo: 
Sistema mecânico Sistema elétrico (analogia F - i) 
Força, F Corrente i 
Velocidade, v Tensão, V 
Deslocamento, y Fluxo Magnético, φ 
Massa, m Capacitância, C 
Atrito Viscoso, B Condutância, G 
Coeficiente de Elasticidade, K Recíproco da Indutância, 1/L 
Sistema de Engrenagens, N1/N2; r1/r2 Transformador, N1/N2 
Alavanca, d1/d2;x1/x2 Transformador, N1/N2 
 30
Uma maneira sistemática de se chegar ao análogo elétrico de um sistema 
mecânico através de analogia força-corrente é dada como segue: 
 
“Cada junção no sistema mecânico corresponde a um nó que une fontes de 
excitação elétrica e elementos passivos análogos às fontes de excitação e aos elementos 
passivos conectados à junção. Todos os pontos em uma massa rígida são considerados 
como a mesma junção e um terminal da capacitância análoga a uma massa é sempre 
conectado ao terra.” 
 
A razão para um terminal de capacitância análoga à uma massa ser sempre 
conectada ao terra é que a velocidade (ou deslocamento, ou aceleração) de uma massa 
se dá sempre em relação à terra. 
 
Exemplo 3: Desenhe o sistema análogo elétrico para o sistema mecânico do exemplo 1 
desta seção, visando a analogia força-corrente. 
 
Solução: correspondendo às duas coordenadas y1 e y2 no sistema mecânico, temos dois 
nós independentes no sistema elétrico obtido pela analogia força-corrente. O primeiro 
nó une uma fonte de corrente Is [F], uma capacitância C1 [m1] e duas condutâncias G1 
[B1] e G2 [B2]; o segundo nó une uma capacitância C2 [m2], uma indutânciaL [1/k] e 
uma condutância G1 [B1], o último elemento sendo comum a ambos os nós. O circuito 
elétrico análogo é mostrado abaixo: 
G2 LC1Is
G1
v1
+
1 2
v2
+
C2
 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff obtemos: 
ivGv)GG(
dt
vdC 2112111 =⋅−⋅++⋅ 
0)0(dv
L
1vG
dt
vdCvG
t
o 2221
2
211 =


 φ+τ+⋅+⋅+⋅− ∫ 
 
Obs: Quando a força não é aplicada diretamente ao corpo rígido (massa) e sim à um 
outro elemento (mola ou atrito viscoso), pela analogia Força-Corrente (Força-Tensão), 
devemos ter um “nó adicional” (uma “malha adicional”) unindo (contendo) a fonte de 
corrente (fonte de tensão) e o análogo elétrico correspondente ao elemento em que a 
força está aplicada. 
 
Exemplo 04: Encontrar o análogo elétrico do sistema rotacional mecânico abaixo pela 
analogia Força-Corrente. 
 31
J1 J2
K2K1
B3
1θ 2θ 3θ
τ
B1 B2
 
 
G1 L2C1Is
G3
v2
+
C2
1 L1 2
v1
+
3
G2
 
s
t
0 12211
I)0(d)vv(
L
1 :1 Nó =


 φ+τ−⋅ ∫ 
0
dt
vdC)vv(GvG)0(d)vv(
L
1 :2 Nó 2132321
t
0 12211
=⋅−−⋅−⋅−


 φ+τ−⋅ ∫ 
0)0(dv
L
1vG
dt
vdC)vv(G :3 Nó
t
0 332
32
3
2323 =


 φ+τ⋅⋅−⋅−−⋅ ∫ 
 
Exercício: A partir das equações acima, encontre uma equação diferencial relacionando 
θ3 com τ, supondo condições iniciais nulas. 
 
Sugestão: definir o operador diferencial e o fluxo magnético. 
 
Nota: é aconselhável também a leitura da analogia eletro-hidráulica. D’Azzo-Houpis, 
pgs.50-52. 
 
II.9 – Princípios de Modelagem pela Equação de Lagrange 
A Equação de Lagrange propicia, de forma sistemática, uma abordagem unificada para 
o tratamento de uma extensa classe de sistemas físicos, independentemente da 
complexidade de sua estrutura. A forma geral da Equação de Lagrange pode ser 
expressa como: 
L
&&
,3,2,1==
∂
∂
+
∂
∂
−





∂
∂ nQ
q
E
q
L
q
L
dt
d
n
n
D
nn
 (II.44) 
onde, TP
T
C EE oLagrangean L −==
∆
 
 Sistema do Total Cinética Energia ETC = 
 Sistema do Total Potencial Energia ETP = 
ED = Função Dissipação de Energia do Sistema 
Q = Força generalizada Aplicada Segundo a Coordenada n 
 qn = Coordenada Generalizada 
 da)Generaliza e(Velocidad/dt dq q nn =& 
 32
 
e n = 1, 2, 3, ... designa o número de coordenadas independentes ou graus de liberdade 
existentes no sistema. 
 
Na tabela seguinte, apresentamos as equações das energias cinética e potencial e 
da dissipada para sistemas elétricos e mecânicos: 
 
Sistema Mecânico 
Sistema Elétrico 
Energia Potencial 
2yK
2
1
⋅⋅ 2q
C2
1
⋅
⋅
 
Energia Cinética 2ym
2
1
&⋅⋅ 22 qL
2
1iL
2
1
&⋅⋅=⋅⋅ 
Energia Dissipada 2yB
2
1
&⋅⋅ 22 qR
2
1iR
2
1
&⋅⋅=⋅⋅ 
 
Exemplo: Modele o circuito R.L.C em série abaixo usando as equações de Lagrange. 
 
Solução: 
22T
P
T
C qC2
1qL
2
1EEL ⋅
⋅
−⋅⋅=−= & 
2
D qR2
1E &⋅⋅= 
Então, qL
q
L
dt
d;qL
q
L
&&
&
&
&
⋅=





∂
∂
⋅=
∂
∂ 
q
C
1
q
L
⋅−=
∂
∂ 
qR
q
ED &
&
⋅=
∂
∂ 
Logo, eqRq
C
1qL =⋅+⋅+⋅ &&& 
Como, 






=
=
+τ=
⇒=
∫
iq
iq
)0(qdiq
dt
qdi
t
0
&&&
& 
Assim, 
eiR)0(qdi
C
1iL
t
0
=⋅+


 +τ⋅+⋅ ∫ 
ou, e = vL + vC + vR 
onde, 


 +τ⋅=⋅=⋅= ∫ )0(qdiC
1v;iLv;iRv
t
0CLR
 
R L
Ce
+
i
 33
Apêndice A: 
 
REPRESENTAÇÕES DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS 
Os SLIT são descritos por equações diferenciais da forma mostrada na equação (20), 
nmtubtubtubtubtyatyatyatya mm
mm
nn
nn
≥++++=++++ −
−
−
−
);()(...)()()()(...)()( 1
1
101
1
10
oo
 
(A.1) 
onde y(t) é a saída do sistema, u(t) é a entrada e os sobre escritos correspondem a 
derivadas, como indicado na equação (21), 
n
nn
m
mm
dt
tydty
dt
tdyty
dt
tudtu
dt
tdutu
)()(,...,)()(
)()(,...,)()(
==
==
o
o
 (A.2) 
e os a i’s (i = 0, 1, ...,n) e b j’s (j = 0, 1,...,m) são coeficientes reais constantes. 
 
Para o caso de SLIT, duas representações alternativas podem ser obtidas a partir das 
equações diferenciais que descrevem o sistema. A primeira se baseia no uso da 
transformada de Laplace e é denominada função de transferência, a segunda, no uso de 
variáveis de estado e é denominada representação de estados. Suas definições são: 
 
- a função de transferência é definida como sendo a relação entre a transformada de 
Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada de um sistema, considerando-
se nulas todas as condições iniciais; 
 
- o espaço de estados de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis 
(chamadas variáveis de estado) tal que, o conhecimento destas variáveis no instante t = 
t0, juntamente com a entrada para t >= t0, determina completamente o comportamento 
do sistema para qualquer instante t >= t0. 
 
Para SLIT, estas representações assumem as seguintes formas: equação para a função 
de transferência, 
)(
)(
)(
)(
)( sG
sD
sN
sU
sY ∆
== (A.3) 
onde: 
- s é uma variável complexa da forma σ + jω; 
- Y(s): Resposta do sistema; 
- U(s): Entrada do sistema; 
- N(s): Polinômio em s de grau m; 
- D(s): Polinômio em s de grau n, (n≥m); 
e equação (23) para o espaço de estados, 
 (A.4) 
onde: 
- X(t) = [x1(t) x2(t)... xn(t)]t , é vetor de estados (n x 1); 
- u(t) : é a entrada do sistema (para apenas uma entrada e uma saída (1 x 1)); 
- A : Matriz de coeficientes reais (n x n); 
- B : Vetor de coeficientes reais (n x 1); 
- C : Vetor de coeficientes reais (1 x n); 
- D : Vetor de coeficientes reais (1 x 1); 
- n : Ordem do sistema. 
 
 34
As duas representações serão obtidas para um sistema translacional mecânico, 
cujo modelo é dado na equação (19). 
 (A.5) 
Para determinação da função de transferência, toma-se a transformada de 
Laplace, usando tabelas, de ambos os lados da equação, resultando na equação (20), 
 (A.6) 
 
que é a representação do sistema translacional mecânico por função de transferência, e 
que pode ainda, ser representada pelo diagrama de blocos da Figura 41. 
 
 
Fig. 19: Diagrama de blocos do sistema translacional mecânico. 
 
Para a representação por espaço de estados, o número de variáveis de estado é 
sempre igual a derivada de maior ordem do modelo do sistema, neste caso dois 
(equação 19). Assim, deve-se definir duas variáveis de estado, contudo, esta definição 
não é única. Sejam então, por exemplo, x1 e x2, definidos pela equação (21). 
•
=
=
yx
yx
2
1
 (A.7) 
Tomando-se a primeira derivada destaa equação resulta em 
 (A.8) 
Substituindo (A.5) e (A.9) na equação (A.10) resulta na equação: 
 (A.9) 
que e é a representação no espaço de estados do sistema translacional mecânico. 
 
Exercicício: Determine a função de transferência e encontre uma representação no 
espaço de estados para todos os sistemas modelados no Capítulo II. 
 
 35
Capítulo III: Especificações de Desempenho no Domínio do 
Tempo e Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 
 
III.1. Revisão de sistemas lineares. 
Muitos dos sistemas físicos que encontramos podem ser linearizados e ter seus 
comportamentos descritos por equações diferenciais ordinárias do tipo: 
 
f(y(n), y(n-1), ..., 
.
y , y, u(n), u(n-1), ..., 
.
u , u, t) = 0 
 
onde f é uma função linear da saída e da entrada, y e u, de suas derivadas e do tempo. 
Neste curso, estamos interessados em sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). 
Ou seja, de um sistema descrito por: 
f(y(n), y(n-1), ..., 
.
y , y, u(n), u(n-1), ..., 
.
u , u) = 0 (III.1) 
Ou ainda, 
y(n) + a1y(n-1) + ... + an-1
.
y + any = b0u(n) + b1u(n-1) + ... + bn-1
.
u + bnu = 0 (III.2) 
 
Para obtermos a relação entrada – saída deste sistema, consideramos que o sistema 
está inicialmente relaxado (condições iniciais nulas) e tomamos a transformada de 
Laplace da eq.(III.2) para obter: 
[s(n) + a1s(n-1) + ... + an-1s + an]Y(s) = [b0s(n) + b1s(n-1) + ... + bn-1s + b0]U(s) = 0 
(III.3) 
 
Assim a função de transferência é: 
 
T(s) = 
)(
)(
sU
sY = 
nn
nn
nn
nn
asasas
bsbsbsb
++++
++++
−
−
−
−
1
1
1
1
1
10
...
...
 (III.4) 
Obs.: A transformada inversa da função detransferência é a resposta ao impulso do 
sistema. 
 
III.2. Análise de sistemas de 1a ordem 
Considere o sistema 
 
 
que pode ser reduzido para 
 
 
 
 Resposta ao degrau unitário de sistemas de 1a ordem 
 
u(t) = ¶(t) U(s) = 1/s (III.5) 
 
Y(s) = 
sTs
1
1
1
+
 (III.6) 
 36
Expandindo C(s) em frações parciais, temos: 
 
V(s) = 
1
1
+
−
Ts
T
s
 
V(t) = 1 – e-t/T (T ≥ 0) (III.7) 
 
T = 0 ⇒ y(t) = 0 
 
T = T ⇒ y(t) = 0,632 
 
 
 
T ∞ ⇒ y(t) 1 
 
Para T = 4T, a resposta permanece dentro de 2% do valor final. 
 
Exercício: Obtenha a resposta a rampa unitária de sistemas de 1a ordem 
 
III.3. Análise de sistemas de 2a ordem. 
Considere o sistema 
 
 
Que pode ser reduzido para 
 
 
 
Pólos do sistema: 
p = 
( )
2
442 222 nnn ωωξξω −±− = 
2
122 2ξωξω −±− nn j 
 
p = - ξωn ± jωn 21 ξ− = - σ ± jωd (III.8) 
 
σ atenuação 
ξ constante de amortecimento 
ωn freqüência natural 
ωd freqüência amortecida 
 
 37
 Resposta ao degrau unitário de sistemas de 2a ordem 
 
Caso 1: sistema oscilatório (ξ = 0) 
Caso 2: sistema subamortecido (0< ξ <1) 
Caso 3: sistema criticamente amortecido (ξ = 1) 
Caso 4: sistema sobreamortecido (ξ > 1) 
 
Quando 0 ≤ ξ ≤ 1 (caso 1 a 3), a resposta do sistema de 2ª ordem com ganho DC 
unitário é: 
y(t) = 1 – e-σt(cosωdt + 
dω
σ senωdt) (III.9) 
ou então 
y(t) = 1 - 
d
t
n e
ω
ω σ−
sen(ωdt + φ) (III.10) 
 
onde ωd = ωn 21 ξ− , σ = ξωn e 
φ = cos-1ξ = tg-1 





σ
ω d . A Figura ao 
lado, ilustra posição dos pólos em 
função de ξ, ωn, σ e ωd. 
 
 
 Quando ξ > 1 (caso 4), os pólos de malha fechada são: 
 121 −+−= ξωξω nnp e 1
2
2 −−−= ξωξω nnp 
 
e a resposta do sistema é dada por: 






−
−
+=
−−
21
2
21
12
1)(
p
e
p
ety
tptp
n
ξ
ω
 (t ≥ 0) 
 
 
 
 
 
 38
 Especificações Transitórias para Sistemas de 2a Ordem Subamortecidos: 
 
As especificações mais importantes em termos de pólos e zeros para sistemas de 
2a ordem são: tempo de subida (tr); instante de pico (tp); sobre – sinal máximo ou 
overshoot (Mp); e o tempo de acomodação (ts). 
 
 
 
Obs.1: Existe ainda o tempo de atraso, que é o instante em que o sistema atinge 50% de 
sua resposta em regime. 
Obs.2: O inverso da atenuação, σ, é chamado de constante de tempo. 
 
Valores pequenos de ξ (ξ < 0,4): sobre – sinal excessivo na resposta transitória. 
Valores grandes de ξ (ξ > 0,8): resposta lenta. 
 
Para uma resposta rápida e amortecida é aconselhável que 0,4 < ξ < 0,8. 
Mp e tr são conflitantes 
 
 Cálculo de tr: 
Com ξ = 0,5 
P/ y(t): 0 1 ⇒ ωnt = 2,5 
Para y(t): 0,1 ⇒ ωnt ≈ 1,8 ∴ tr ≈ 
nω
8,1 (III.11) 
 
ou, (pelo Ogata) y(t): 0 1 ⇒ tr = 
dω
φπ − (III.12) 
onde φ = tg-1 




σ
ω d
 
 
 Cálculo de tp: 
tp = 
dω
π (III.13) 
 Cálculo de Mp: 
 
Mp = de ω
πσ
−
 0 < ξ < 1 (III.14) 
≅ 1 - 
6,0
ξ
 0 < ξ < 0,6 (III.15) 
 39
 Cálculo de ts: 
Tolerância de 1%: 
 
snte ω2− = 0,01 
 
ξωnts = 4,6 ou ts = 
nξω
6,4 = 
σ
6,4 (III.16) 
Tolerância de 2%: 
 
ts = 
σ
4 (III.17) 
 
Em análise, podemos estimar o tempo de subida, overshoot, e tempo de 
acomodação para um sistema que é adequadamente descrito como sendo de 2a ordem e 
tendo ωn, ξ e σ especificados. 
 
Em síntese são especificados tr, Mp e ts e é pedido onde os pólos precisam estar 
para satisfazer estas especificações. De fato, usualmente queremos um tempo de subida 
≤ tr, um overshoot ≤ Mp, um tempo de acomodação ≤ ts. 
 
tr ≈ 
nω
8,1 Mp ≅ 1 - 
6,0
ξ
 (0 < ξ < 0,6) ts = 
σ
6,4 
Assim, 
 
nω
8,1 ≤ tr ∴ωntr ≥ 1,8 ωn ≥ 
rt
8,1 (III.18) 
 
1 - 
6,0
ξ
 ≤ Mp ∴ 0,6 - ξ ≤ 0,6Mp ξ ≥ 0,6(1 – Mp) 0 ≤ ξ ≤ 0,6 (III.19) 
 
σ
6,4 ≤ ts ∴ σts ≥ 4,6 σ ≥ 
st
6,4 (III.20) 
Estas especificações delimitam uma região no espaço conforme é mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 40
 Especificações Transitórias para Sistemas de 2a Ordem Discretos: 
 
O projeto ou síntese de controladores discretos baseado na relação entrada-
saída dá-se basicamente de duas maneiras : 
i) Projeta-se o controlador contínuo e discretiza-se este; 
ii) Discretiza-se a planta e projeta-se o controlador discreto. 
 
No primeiro caso, o controlador contínuo deve ser projetado de modo que os dois 
pólos dominantes do sistema de malha fechada estejam localizados na região hachurada 
da figura anterior. 
Já para o segundo caso, uma vez que a planta foi discretizada, o controlador deve 
ser projetado de modo que os dois pólos dominantes do sistema de malha fechada 
estejam localizados na região do plano-Z equivalente à região hachurada na figura 
anterior. Essa região é dada pela interseção das três regiões indicadas na figura abaixo: 
 (a) Overshoot (b) Tempo de Subida (c) Tempo de acomodação 
 
onde, a região sombreada correspondente à região proibida de localização dos pólos 
dominantes para efeito de projeto. 
 
III.4. Coeficientes de erro estático. 
- Classificação de sistemas de controle: sistemas de controle podem ser 
classificados de acordo com a sua habilidade para seguir entradas em degrau, 
entradas em rampa, entradas parabólicas, etc. 
Considere a seguinte função de transferência de malha direta C(s)G(s): 
 
C(s)G(s) = 
( )( ) ( )
( )( ) ( )1...11
1...11
21 +++
+++
ssss
sssK
p
N
mba
τττ
τττ
 (III.21) 
 
Para esta configuração e(t) = r(t) – y(t), então para sistemas com realimentação unitária 
a classificação é baseada no número de integrações indicadas pela função de 
transferência de malha – aberta. Um sistema é chamado do tipo 0, tipo 1, tipo 2, ..., se N 
= 0, N = 1, N = 2, ..., respectivamente. 
 Na prática, raramente se tem um sistema do tipo 3 ou maior porque geralmente é 
difícil projetar sistemas estáveis com mais do que duas integrações no ramo direto. 
- Erros estacionários: 
Seja o sistema 
 
 
 41
A função de transferência de malha fechada deste sistema é: 
)()(1
)()(
)(
)(
sGsC
sGsC
sR
sE
+
= (III.22) 
 
A função de transferência entre o erro e(t) e a entrada r(t) é: 
)()(1
1
)(
)(
sGsCsR
sE
+
= (III.23) 
Assim, 
)(
)()(1
1)( sR
sGsC
sE
+
= (III.24) 
Aplicando o teorema do valor final, determinamos o erro estacionário (steady – 
state error): 
ess = )(lim te
t ∞→
 = 
)()(1
)(lim
0 sGsC
ssR
s +→
 = )(lim
0
ssE
s→
 (III.25) 
 
O limite na equação acima tende a zero, um valor finito, ou infinito. 
 
A habilidade do sistema em seguir entradas polinomias é dada pelo maior grau, K, 
do polinômio cujo erro é finito e não nulo. O sistema é chamado do tipo K para 
identificar o grau deste polinômio. 
 
- Coeficiente de erro de posição estático Kp: 
O erro atuante estacionário do sistema para uma entrada degrau unitário é 
ess = 
ssGsC
s
s
1
)()(1
lim
0 +→
 
 
= 
)0()0(1
1
HG+
 (III.26) 
 
O coeficiente de erro de posição estático Kp é definido por 
Kp = )0()0()()(lim
0
GCsGsC
s
=
→
 (III.27) 
Assim, 
ess = 
pK+1
1 (III.28) 
Para um sistema do tipo 0, 
Kp = ∞=
++
++
→ )...1)(1(
)...1)(1(
lim
21
0 sss
ssK
N
ba
s ττ
ττ
 (N ≥ 1) 
Portanto 
ess = 
K+1
1 para sistemas do tipo 0 
ess = 0 para sistemas do tipo 1 ou maior 
 
- Coeficiente de erro de velocidade estático Kv: 
 
O erro atuante estacionário do sistema com uma entrada rampa unitária (entrada e 
velocidade unitárias) é dado por 
ess = 20
1
)()(1
lim
ssGsC
s
s +→
 
 42
 
)()(
1lim
0 sGssCs→
 (III.29) 
O coeficiente Kv é definido por 
Kv = )()(lim
0
sGssC
s→
 (III.30) 
ess = 
vK
1 (III.31) 
Para um sistemado tipo 0 
Kv = 0
)...1)(1(
)...1)(1(
lim
21
0
=
++
++
→ ss
sssK ba
s ττ
ττ
 
Para um sistema do tipo 1 
Kv = K
sss
sssK ba
s
=
++
++
→ )...1)(1(
)...1)(1(
lim
21
0 ττ
ττ
 
Para um sistema do tipo 2 
Kv = ∞=
++
++
→ )...1)(1(
)...1)(1(
lim
21
0 sss
sssK
N
ba
s ττ
ττ
 (N ≥ 2) 
 
Portanto, 
ess = ∞=
vK
1 para sistemas do tipo 0 
ess = 
KK v
11
= para sistemas do tipo 1 
 
ess = 0
1
=
vK
 para sistemas do tipo 2 ou maior 
 
- Coeficiente de erro de aceleração estático Ka: 
 
O erro atuante do sistema com uma entrada parábola unitária (entrada de 
aceleração) que é definida por 
r(t) = 
2
2T para T ≥ 0 
 
 = 0 para T < 0 
é dado por 
ess = 
)()(lim
11
)()(1
lim 23 sGsCsssGsC
s
s
s
∞→
∞→
=
+
 (III.32) 
 
O coeficiente de erro estático Ka é definido por 
Ka = )()(lim 2 sGsCs
s ∞→
 (III.33) 
 43
Assim, 
ess = 
aK
1 (III.34) 
• Sistema tipo 0: Ka = 0 
• Sistema tipo 1: Ka = 0 
• Sistema tipo 2: Ka = K 
• Sistema tipo 3: Ka = ∞ (N ≥ 3) 
 
Portanto, 
 
ess = ∞ para sistemas do tipo 0 ou tipo 1 
ess = 
K
1 para sistemas do tipo 2 
ess = 0 para sistemas do tipo 3 
 
 
 
 Para sistemas 
com 
realimentação 
unitária. 
 
Entrada em degrau 
r(t) = 1 
 
Entrada em rampa 
r(t) t 
Entrada de 
aceleração 
 r(t) = 2
2
1 t 
Sistemas do tipo 0 
K+1
1 ∞ ∞ 
Sistemas do tipo 1 0 
k
1 ∞ 
Sistemas do tipo 2 0 0 
k
1 
 
Os Coeficientes de erro Kp, Kv e Ka descrevem a habilidade de um sistema reduzir 
ou eliminar erros estacionários para entradas polinomiais. 
 
O coeficiente de erro pode ser definido de maneira geral como: 
 
KK = )()(lim
0
sGsCs K
s→
 
 
Uma característica da definição de coeficientes de erro estático é que apenas um 
dos coeficientes assume um valor finito para um dado sistema. 
 
 
 
 
 
 
 44
- Considerações: 
Seja o sistema 
 
Uma grande confusão na literatura (especialmente em livros textos) sobre este 
tópico é levantada devido muitos autores tratarem o sinal atuante a(t) com se fosse o 
sinal de erro, quando, de fato, isto é verdade apenas para sistemas com realimentação 
unitária. A confusão nestas definições é devido a alguns autores que definem 
erroneamente um sistema para ser do tipo K se a função de transferência da malha tem 
um pólo de multiplicidade K na origem (s = 0) indiferentemente da natureza da 
realimentação unitária, mas para realimentação não unitária é necessário estudar o erro 
diretamente. 
 
Exemplo 1: Considere o sistema com realimentação não – unitária 
 
Gp(s) = 
)1(
1
+ss τ
 H(s) = h 
onde h = 0 
E(s) = R(s) – Y(s) 
 
 = )(
)(1
)(
)( sR
shG
sG
sR
p
p
+
− 
 = )(
)(1
)()1(1
sR
shG
sGh
p
p
+
−+
 
e 
F(s) = 
)(
)(
sR
sE = 
)(1
)()1(1
shG
sGh
p
p
+
−+
 
 
O erro do sistema em regime estacionário é 
e∞ = )()(lim
0
sFssR
s→
 
 
Para uma entrada degrau R(s) = 1 / s, e portanto 
 e∞ = )(lim
0
sF
s→
 = 
hss
hss
s ++
−++
→ )1(
)1()1(lim
0 τ
τ 
 
e∞ = 
h
h 1− 
 45
Assim, o sistema é do tipo 0, apesar do fato da planta ter um integrador puro. 
Entretanto, se a realimentação é unitária, h = 1 e e∞ = 0. Isto é, o sistema é do tipo 1. 
y∞ = 
hss
ssRsR
shG
sG
ssRssTssY
s
p
p
sss ++
=
+
==
→→→→ )1(
1)(lim)(
)(1
)(
lim)()(lim)(lim
0000 τ
 
 
Para uma entrada degrau R(s) = 1 / s, temos 
y∞ = 
hhsss
1
)1(
1lim
0
=
++→ τ
 
 
- Ilustrações: 
 Sistema de 1a ordem (com integrador): 
 
 
ou, 
 
 
 Sistema de 2a ordem (com integrador): 
 
ou, 
 
 
 Sistema de 1a ordem sem integrador e com realimentação não – unitária: 
 
 
E(s) = R(s) – Y(s) 
E(s) = )(
)(1
)(
)( sR
shG
sG
sR
p
p
+
− 
E(s) = )(
)(1
)()1(1
sR
shG
sGh
p
p
+
−+
 
E(s) = 
)(hG1
)()1(1
)(
)(
p s
sGh
sR
sE p
+
−+
= 
 
O erro do sistema estacionário é: 
e∞ = )()(lim
0
sFssR
s→
 
 
 46
Para entrada degrau R(s) = 1 / s, temos 
e∞ = 
hK1s
1)K-(h1slim)(lim
00 ++
++
=
→→ τ
τ
ss
sF 
e∞ = 
hK
Kh
+
−+
1
)1(1 
 
Se 1 + (h – 1)K = 0 ⇒ e∞ = 0 
 
Portanto, se 
h = 
KK
K 111 −=− 
o sistema é do tipo 1. Isto pode ser verificado para uma entrada rampa R(s) = 1 / s2, 
onde 
e∞ = 











 −++





−++
=
→→
K
KKss
K
Ks
s
sF
ss 11
11
lim)(lim
00
τ
τ
 
e∞ = 
KKss
s
s
τ
τ
τ
=
+→ )(
lim
0
 
e∞ = 
K
τ 
 
A saída do sistema é: 
Y(s) = )()(
1
sR
Ks
KsR
hKs
K
+
=
++ ττ
 
 
Em regime estacionário a saída é: 
Y(s) = 
Ks
KssRssY
ss +
=
→→ τ
)(lim)(lim
00
 
 
Para entrada degrau, y∞ = 1. 
 
 
- Análise do Erro de Regime Estacionário para Sistemas Discretos: 
 
Considere o sistema: 
 
 R + e u y 
 
 - 
 
 
 
A transformada do erro e(k) é: 
 
 )()(1
)()(
zGzC
zRzE
+
= ( VI . 34 ) 
 
C(z) G(z) 
 47
O valor final de e(k), se as raízes de 1+ C(z)G(z) = 0 estão dentro do círculo 
unitário, é dado por : 
 )()(1
)()1()( lim
1 zGzC
zRze
z +
−=∞
→
 ( III. 35 ) 
 
Se a entrada R(z) é um degrau unitário, u(t), então: 
 )()(1
1
1
)1()( lim
1 zGzCz
zze
z +






−
−=∞
→
 ( III. 36 ) 
ou 
 
pk
e
+
=∞
∆
1
1)( ( III. 37 ) 
 
Assim, C(1)G(1) é a constante de posição , kp , do sistema Tipo 0 . Se C(z)G(z) 
tem um pólo em z = 1 , então )(∞e = 0 . Supondo que o pólo em z = 1 é simples, 
então o sistema é do Tipo I e o erro a rampa unitária pode ser calculada como segue . 
 
( )
)39.(1)(
38.
)()(1
1.
)1(
)(
,)()(
2
III
k
e
e
III
zGzCz
TzzE
entãottutrSeja
v
=∞
+−
=
=
 
 
onde kv, a constante de velocidade do sistema do Tipo I com realimentação unitária, é 
dada por 
 Tz
zGzCzk
z
v
)]()(1)[1(lim
1
+−
=
→
 ( III.40 ) 
 
Devido aos sistemas do Tipo I ocorrerem com freqüência , é usualmente 
observar que o valor de kv é fixado pelos pólos e zeros de malha fechada . Suponha que 
a função de transferência global do sistema y(z)/R(z) é H(z) tem zeros Zi’s e pólos 
Pi’s . Então, podemos escrevê-la como: 
 
)(
)(
)(
1
1
i
n
z
i
n
i
pz
zz
KzH
−
−
=
Π
Π
=
=
 ( III.41 ) 
 
Após alguns algebrismos, podemos chegar a seguinte relação: 
 ∑ ∑
= = −
−
−
=
n
i
n
i iiv zpTk 1 1 )1(
1
)1(
11
 ( III.42 ) 
 
 48
Portanto , notamos que kv aumenta para pólos distantes de z = 1 e para zeros 
próximos a z = 1 . Entretanto, um zero próximo a z = 1 produz um grande “overshoot” 
e uma resposta transitória pobre. Assim, devemos sempre fazer um balanço entre um 
baixo erro de regime estacionário e uma boa resposta transitória. 
 
 
III.5. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 
 
Para os sistemas que apresentam equações características de 1ª ou de 2ª ordem, a 
estabilidade pode ser determinada diretamente por inspeção. Um polinômio de 1ª ou de 
2ª ordem apresentará todas as suas raízes no semiplano esquerdo do plano-s (sistema 
estável), se e somente se todos os coeficientes do polinômio apresentarem o mesmo 
sinal algébrico. Entretanto para polinômios de ordem superior a 2ª, estas informações 
não são conclusivas. Nestes casos deve-se aplicar algum procedimento matemático que 
auxilie na determinação do número de raízes que o polinômio apresenta no semiplano 
direito do plano-s (raízes instáveis). 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, permite investigar a estabilidade 
absoluta dos sistemas, através dos coeficientes das equações características. A utilização 
deste método evita a necessidade de fatoração da equação característica para obtenção 
dos pólos (raízes) e a verificação se existe algum destes no semiplano direto do plano 
complexo, ou sobre o eixo imaginário. Casoexista, o sistema é instável. 
 
O procedimento utilizado nesta técnica é: 
 
1) Escrever a equação característica de “S” na seguinte forma: 
0... 1
1
10 =++++ −
−
nn
nn asasasa ( III.43 ) 
 
2) Se um dos coeficientes é zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente 
positivo, então há pelo menos uma raiz com parte real positiva e portanto o sistema NÃO 
É ESTÁVEL. 
 
3) Se todos os coeficientes são positivos, arranje os coeficientes da equação caraterística 
em linhas e colunas da seguinte forma: 
 (III.44) 
 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz diz que o número de raízes da 
equação característica com parte real positiva, é igual ao número de mudanças de sinal 
nos coeficientes da primeira coluna da tabela (a0, a1, b1, c1, d1, e1, f1). 
 
Se todos estes coeficientes são positivos, então todos os pólos da equação característica 
apresentam parte real negativa e portanto o sistema é estável. 
 
 
 49
Observações: 
- Se um termo da primeira coluna (b1, c1, d1, etc) é nulo, e os restantes não são, 
então zero deve ser substituído por um número positivo muito pequeno “ε”, e então o 
resto da tabela é calculado. 
 
- Caso os termos de uma linha sejam todos nulos, devemos substituir estes 
valores, pelos coeficientes da derivada do polinômio anterior (linha anterior) em relação 
a “S”. Este polinômio é chamado de polinômio auxiliar. 
 
- Análise da Estabilidade de Sistemas Discretos: 
 
Podemos mostrar , por exemplo , que a transformação bilinear 
 
 w
wz
−
+
=
1
1
 (III.45) 
 
mapeia o interior do círculo unitário do plano-z no semiplano esquerdo do plano-W. 
 
Uma vez que a equação característica F(z) = 0 é transformada em uma outra, 
F(W) = 0, de mesmo grau em W, o critério de Routh – Hurwitz pode ser aplicado 
diretamente sobre F(W) = 0. Assim, o número de raízes de F(W) = 0 no semiplano 
esquerdo do plano-W é exatamente igual ao número de raízes de F(z) = 0 no interior do 
círculo unitário do plano-z.