AULA 1 CALCULO 1

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Cálculo I
Aula 1: Conceituação de Derivada
Apresentação
É fundamental que se veja a Matemática não somente como um �m em si mesma, mas também como instrumento de
compreensão de outras áreas de conhecimento.
O Cálculo Diferencial é tema fundamental no estudo da matemática, uma vez que possui aplicações em diversas áreas,
tais como física, química, estatística, economia, entre outras. O Cálculo diferencial pode ser considerado uma ferramenta
de pensamento essencial para qualquer ciência pura e aplicada.
Objetivos
Identi�car o contexto geométrico da derivada;
Identi�car e determinar a aplicação da derivada no contexto físico;
Identi�car e determinar a derivada como uma taxa de variação.
Conceituação de Derivada
Inúmeros são os exemplos nos quais observamos a necessidade do cálculo de taxas de variação: taxa de velocidade de
um corpo em movimento, taxa de crescimento de certa população, taxa de crescimento econômico de um país, taxa de
mortalidade infantil, taxa de variação de temperatura, dentre outros.
 Fórmulas matemática. Fonte: Pixabay.
O conceito de derivada está relacionado à taxa de variação
instantânea de uma função. Uma taxa de variação está relacionada ao
conceito da medida de evolução de uma grandeza quando uma outra
grandeza, da qual a primeira depende, varia.
Taxas de Variação
Podemos citar vários tipos de taxas de variação em diversas áreas de interesse:

Física
A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do
deslocamento em relação ao tempo. Potência é a taxa de
variação do trabalho em relação ao tempo

Química
Taxa de reação é a taxa de variação da concentração de um
reagente em relação ao tempo

Siderurgia
Custo marginal é a taxa de variação do custo de produção de x
toneladas de aço por dia em relação a x.

Biologia
Taxa de variação populacional de uma colônia de bactérias no
tempo.
 Aceleração. Fonte: Pixabay.
Podemos observar a existência de interpretações para a
derivada, interpretações estas que não são independentes,
mas sim, que se complementam.
Do ponto de vista do estudo da Dinâmica, veremos que a
velocidade escalar instantânea é uma derivada, bem como a
aceleração. Tanto a velocidade instantânea, quanto a
aceleração são vistas como taxas de variação. A velocidade
é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo e a
aceleração é a taxa de variação da velocidade com relação
ao tempo.
Velocidade de um automóvel
Suponha um objeto se movendo sobre uma linha reta de acordo com a equação s=f(t), onde s é o
deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. Dessa forma, a função f, chamada função
posição, descreve o movimento do objeto.
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores, em outras
palavras, façamos com que h tenda a zero. Este raciocínio os fornecerá a velocidade instantânea do
objeto.
Taxa de variação instantânea geral
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade. Dizemos, portanto, que y é uma função de x escrevemos
y= f(x).
Se x varia de x para x , a variação de x (incremento de x) é Δx = x = x . A variação correspondente de y é Δy = y – y = f (x ) –
f (x ).
1 2 2 1 2 1
2
1
A Razão
∆ y
∆x =
y2 - y1
x2 - x1
=
f x2 - f x1
x2 -x1 
É a chamada de taxa de variação média de y em relação a x quando x varia
de x para x .
( ) ( )
1 2
Já que Δx = x – x -> x2 = x + Δx podemos escrever:
∆ y
∆ x =
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
Se y = f(x) de�niremos de taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em que x=x , como:
lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 0 
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
2 1 1
( ) ( )
1
( ) ( )
 Fonte: Pixabay.
Exemplo
Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como consequência de ter sido aquecido. Calcule a taxa de
variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 2 para 2,01cm.
Resolução: A função representativa do volume em termos da aresta de um cubo é dada por: f (x) = x³.Calculemos a taxa de
derivação média, deixando para substituir os valores no �nal. Cálculo.
Ponto de vista geométrico da derivada
O conceito de derivada está relacionado também com o conceito de tangência. Do ponto de vista geométrico, a derivada
é a reta da tangente à uma curva em um ponto de vista trigonométrico, a derivada é igual à tangente do ângulo que essa
reta faz com o eixo dos x.
 Fórmula Matemática. Fonte: Pixabay.
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/gon033/aula1.html
Coe�ciente angular da reta tangente a um grá�co em um ponto
 Fonte: Shutterstock.
Suponha que queremos calcular a reta tangente do grá�co
de uma função f em:
P = (x ,y ) com y = f (x )1 1 1 1
Para determinarmos a equação da reta tangente
necessitamos de um ponto (já temos P) e do coe�ciente
angular da reta.
Consideremos um ponto vizinho a P, também pertencente a
f , Q = (x + Δx y + Δy) = (x + Δx, f(x + Δx)).
O coe�ciente angular da reta secante PQ será 
∆ y
∆ x =
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
1 x 1 1 1
( ) ( )
Fazemos então Q se aproximar de P cada vez mais, Note
que se o ponto Q coincide com o ponto P, e, portanto, a reta
tangente. Em outras palavras, a reta tangente é a posição
limite da reta secante PQ quanto Q tende a P.
∆ y
∆ x =
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
Coe�ciente angular da secante
∆ x → 0 = Q → P ↓
Secante gira em torno de P
( ) ( )
A inclinação da tangente será, portanto,
m = lim ∆x→ 0
∆ y
∆x = lim ∆x→ 0 
f x1 + ∆x - f x1
∆x
Seja f função de�nida pelo menos em algum intervalo contendo o número x
e seja y =f(x ).
Se o limite m = lim ∆x→ 0
∆ y
∆x = lim ∆x→ 0 
f x1 + ∆x - f x1
∆x existe, diremos
que a linha reta no plano xy contendo o ponto (x , y ) e tendo coe�ciente
angular m é a reta tangente ao grá�co de f em (x , y )
( ) ( )
1
1 1
( ) ( )
1 1
1 1
A derivada de uma função
A derivada de função em um numero x , denotado por f(x ) é:
f' x1 = lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 0 
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
se o limite não existe.
Observação:
A reta tangente a y=f(x) em (x , f(x ) ) é a reta que passa por (x , f(x ) ) e tem inclinação igual a f' (x ), que é a derivada de f
em x .
1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1
 Fonte: Pixabay.
Dada uma função f, a função f' de�nida por:
f' x1 = lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 0 
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
é chamada a derivada de f.
f'(x) = y ' =
dy
dx =
df
dx =
d
dx = f(x) = Df(x) = Dxf(x)
( ) ( ) ( )
Exemplo
Determine f'(x) para a funçãof(x)=x utilizando a de�nição de derivada.
f'(x) = lim ∆ x→ 0 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x = lim ∆ x→ 0
( x+ ∆ x ) 3 - x3
∆ x = lim ∆ x→ 0
x3 + 3x2 ∆ x+ 3x ( ∆ x ) 2 + ( ∆ x ) 3 - x3
∆ x
= lim ∆ x→ 0 3x3 + 3x ∆ x + ( ∆ x)2 = 3x2
3
[ ]
 Fonte: Shutterstock
 Diferenciação
Diferenciação é o processo de cálculo de uma derivada.
Observação: Os símbolos D e d / dx são ditos operadores
diferenciais, uma vez que indicam a operação de
diferenciação.
Uma função f é diferenciável em a se f' (a) existir. É
diferenciável em um intervalo aberto (a,b) ou (a, ∞) ou (a, ∞)
ou (-∞, a) ou (-∞, ∞) se for diferenciável em cada intervalo.
Derivada à esquerda e à direita
Derivada à esquerda
f'(x) = lim ∆ x→ 0 - 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x 
Derivada à direita
f'(x) = lim ∆ x→ 0∓ 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x
Atenção
Teorema: Se f for diferenciável em a, então f é contínua em a.
Prova: Considere por hipótese que f é diferenciável.
Precisamos mostrar que f é contínua, ou seja que:
lim ∆ x→ 0 f(x + ∆ x) = f(x)
lim ∆ x→ 0 f(x + ∆ x) - f(x)
= lim ∆ x→ 0 (c) ∆ x =
lim ∆ x→ 0 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x lim ∆ x→ 0 ∆ x = f'(x). 0 = 0
A recíproca do teorema não é verdadeira. Existem funções
que são contínuas, mas não são deferenciaveis.
 Fonte: shutterstook Por vectorfusionart.
Exemplo
f (x)=|x| é uma função contínua 0, mas não é diferenciável
De fato, f(x) =
x se x ≥ 0
-x se < 0
Temos então que determinar
f' x1 = lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 0 
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x
Calculando o limite à esquerda e a direita Veja o cálculo.
{
( ) () ( )
Como uma função pode não ser diferenciável?
Em geral se o grá�co de uma
função tiver uma “quina” ou uma
“dobra”, este grá�co não terá
tangente neste ponto e, portanto,
f não será diferenciável ali. O que
ocorre é que ao calcularmos f’(a)
descobriremos que o limite à
direita será diferente do limite à
esquerda.
Pelo teorema acima, se f for
descontínua em a, f não será
diferenciável em a.
Quando a curva tem uma reta
tangente vertical em x=a.
Cálculo
f (x1 + Δx) = (x1 + Δx)³
f (x1 + Δx) = (x1)³ + 3(x1)² Δx + 3x1 (Δx)² + (Δx)³
f (x1) = (x1)³
f (x1 + Δx) - f (x1) = (x1)³ + 3(x1)² Δx + 3x1 (Δx)² + (Δx)³ - (x1)³
f (x1 + Δx) - f (x1) = 3(x1)² Δx + 3x1 (Δx)² + (Δx)³
∆ y
∆ x =
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x =
3 x1
2 ∆ x+ 3x1 ( ∆ x )
2 + ( ∆ x ) 3
∆ x = 3 x1
2 + 3x1( ∆ x) + ( ∆ x)
2 
Substituindo os valores x1 = 2 e Δx = 0,01:
∆ y
∆ x = 3 x1 ² + 3x1Δx + Δx ² = 3 2 ² + 3 2 0, 01 + 0, 01 ² = 12 + 0, 06 + 0, 0001 + 12, 0601
Calculemos agora a taxa de variação instantânea
lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 03 x1 
2 + 3x1 ∆ x + ( ∆ x)
2 = 3 x1
2
Substituindo o valor x =2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1
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lim ∆ x→ 0
∆ y
∆ x = lim ∆ x→ 03 x1 
2 + 3x1 ∆ x + ( ∆ x)
2 = 3(2)2 = 12
Observação: Para calcular a taxa de variação média, nesse caso, você poderia simplesmente substituir os valores na função
volume.
∆ y
∆ x =
f x1 + ∆ x - f x1
∆ x =
f ( 2 , 01 ) - f ( 2 )
0 , 01 =
2 , 013 - 23
0 , 01 = 12
( )
( ) ( )
Veja o cálculo.
f - '(x) = lim ∆ x→ 0 - 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x = lim ∆ x→ 0
-
( - x - ∆ x ) - ( - x )
∆ x = lim ∆ x→ 0
- -
∆ x
∆ x = lim ∆ x→ 0
- - 1 = - 1
f - '(x) = lim ∆ x→ 0 + 
f ( x+ ∆ x ) - f ( x )
∆ x = lim ∆ x→ 0
( x+ ∆ x ) - ( x )
∆ x = lim ∆ x→ 0
+
∆ x
∆ x = lim ∆ x→ 0
+ 1 = 1
O limite, portanto, não existe, já que o limite à direita é diferente do limite à esquerda. Assim, a função não é diferenciável.
NotasReferências
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar 8: limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: ATUAL, 1999.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.
Próxima aula
Na próxima aula estudaremos as regras de derivação.
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