ME_2022_1____Avalia__o_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
INSTITUTO METRÓPOLE DIGITAL
IMD1001 - Matemática Elementar
2022.1 - Avaliação 1
Nome: EXPECTATIVA DE RESPOSTAS Mat.: Nota:
O preenchimento desses dados atesta que essa avaliação foi produzida de forma totalmente
individual por parte do discente. O mesmo tem ciência que a identificação de respostas
copiadas será levada para a coordenação e a direção do curso tomarem as medidas cabíveis.
1. (3,0 pontos) Sejam A, B e C conjuntos.
Considere a sentença abaixo, diga se ela é Verdadeira ou Falsa. No caso de Verdadeira,
demonstre-a, ou refute com um contra-exemplo para o caso de ser Falsa.
(A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
Demonstração. VERSÃO 1
A sentença é verdadeira.
De fato, sejam A, B e C conjuntos. Teremos que
(A ∪B) \ C = (A ∪B) ∩ CC (Propriedade de diferença)
= (A ∩ CC) ∪ (B ∩ CC) (Distributividade)
= (A \ C) ∪ (B \ C). (Propriedade de diferença)
Portanto, (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
CHAVE DE PONTUAÇÃO:
• Uso correto das propriedades (1,0 ponto cada).
VERSÃO 2
A sentença é verdadeira.
Segue a demonstração da igualdade pela dupla inclusão dos conjuntos.
Seja x ∈ (A ∪ B) \ C. Da definição de diferença de conjuntos, temos que x ∈ (A ∪ B)
e x ̸∈ C.
De x ∈ A ∪B, temos dois casos, pela definição de união:
• Caso x ∈ A:
Temos que x ∈ A e x ̸∈ C, da definição de diferença de conjuntos, segue que
x ∈ A \ C. E das propriedades de união, temos que x ∈ (A \ C) ∪ (B \ C).
1
• Caso x ∈ B:
Temos que x ∈ B e x ̸∈ C, da definição de diferença de conjuntos, segue que
x ∈ B \ C. E das propriedades de união, temos que x ∈ (A \ C) ∪ (B \ C).
Como em ambos os casos x ∈ (A\C)∪(B\C), temos que (A∪B)\C ⊂ (A\C)∪(B\C).
Agora, seja x ∈ (A \ C) ∪ (B \ C). Da definição de união, seguem dois casos:
• Caso x ∈ (A \ C):
Pela definição de diferença de conjuntos, segue que x ∈ A e x ̸∈ C. De x ∈ A,
pelas propriedades de união, x ∈ A ∪ B. Daí, como x ∈ A ∪ B e x ̸∈ C, pela
definição de diferença de conjuntos, x ∈ (A ∪B) \ C.
• Caso x ∈ (B \ C) :
Pela definição de diferença de conjuntos, segue que x ∈ B e x ̸∈ C. De x ∈ B,
pelas propriedades de união, x ∈ A ∪ B. Daí, como x ∈ A ∪ B e x ̸∈ C, pela
definição de diferença de conjuntos, x ∈ (A ∪B) \ C.
Como em ambos os casos x ∈ (A∪B) \C, temos que (A \C)∪ (B \C) ⊂ (A∪B) \C.
Mostradas as duas inclusões, conclui-se que
(A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C).
CHAVE DE PONTUAÇÃO:
• Inclusões (1,5 pontos cada).
2. (3,0 pontos) Sejam a, b, c, d ∈ R∗+. Prove que
(a+ b+ c+ d)
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 16.
Solução. VERSÃO 1 Considere a seguinte elaboração abaixo:
(a+ b+ c+ d)
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 16 ⇐⇒ (a+ b+ c+ d)
4
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 4
⇐⇒ (a+ b+ c+ d)
4
≥ 4(
1
a
+ 1
b
+ 1
c
+ 1
d
)
Note que a última inequação é verdadeira pois temos que uma média aritmética é maior
ou igual à média harmônica dos mesmos elementos. Podemos afirmar que isso é sempre
verdade pela propriedade da transitividade e porque sabemos que a média aritmética é
maior ou igual à média geométrica e que essa é maior ou igual à média harmônica. Logo,
2
como a última inequação é verdadeira, temos que ela implica na inequação enunciada,
que, por consequência, também será verdadeira.
VERSÃO 2
Sejam x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4 ∈ R.
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, a seguinte inequação vale:
|x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4| ≤
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 + x
2
4 ·
√
y21 + y
2
2 + y
2
3 + y
2
4.
Agora, já que a, b, c, d ∈ R∗+, tome x1 =
√
a, x2 =
√
b, x3 =
√
c e x4 =
√
d e também
y1 =
1√
a
, y2 =
1√
b
, y3 =
1√
c
e y4 =
1√
d
.
Dessa forma, temos:
|1 + 1 + 1 + 1| ≤
√(√
a
)2
+
(√
b
)2
+
(√
c
)2
+
(√
d
)2
·
√(
1√
a
)2
+
(
1√
b
)2
+
(
1√
c
)2
+
(
1√
d
)2
=⇒ 4 ≤
√
a+ b+ c+ d ·
√
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
=⇒ (a+ b+ c+ d)
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 16 (Eleva ao quadrado)
Dessa forma, pela desigualdade clássica enunciada, temos que
(a+ b+ c+ d)
(
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
)
≥ 16.
CHAVE DE PONTUAÇÃO:
• Uso da(s) desigualdade(s) clássica(s) (1,5 pontos);
• Obtenção do resultado (1,5 pontos).
3. (3,0 pontos) Prove que, para todo n ∈ N∗ e a ∈ R∗+,√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
.
Solução. VERSÃO 1 Para demonstrar isso, o princípio de indução finita será aplicado
em n.
3
• Caso base (n = 1):
Seja a ∈ R∗+, temos que
0 <
1
4
=⇒ a < a+ 1
4
=⇒
√
a <
√
a+
1
4
(a > 0)
=⇒
√
a <
√
4a+ 1
4
=⇒
√
a <
√
4a+ 1
2
=⇒
√
a <
√
4a+ 1
2
<
√
4a+ 1
2
+
1
2
=⇒
√
a <
1 +
√
4a+ 1
2
. (transitividade)
O que prova o caso base.
• Passo indutivo:
A princípio, considere que para algum n ∈ N∗ e todo a ∈ R∗+, temos o seguinte
como verdade: √
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
Com isso, podemos realizar a seguinte elaboração:√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
=⇒ a+
√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
< a+
1 +
√
4a+ 1
2
=⇒
√√√√
a+
√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
√
a+
1 +
√
4a+ 1
2
(Inequação I)
Assim, para mostrarmos que√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
4
seja verdade, leve em consideração o seguinte:
2 + 4a+ 2
√
4a+ 1
4
=
2 + 4a+ 2
√
4a+ 1
4
=⇒ a+ 1 +
√
4a+ 1
2
=
1 + 2
√
4a+ 1 + 4a+ 1
4
=⇒ a+ 1 +
√
4a+ 1
2
=
(1 +
√
4a+ 1)2
22
=⇒
√
a+
1 +
√
4a+ 1
2
=
1 +
√
4a+ 1
2
Através dessa igualdade e da inequação I, podemos realizar a substituição e con-
cluir que √
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
provando o passo indutivo.
Portanto, √
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
,
para quaisquer n ∈ N∗ e a ∈ R∗+.
VERSÃO 2
Aplicando o Princípio da Indução Finita em n, teremos:
Caso base:[n = 1]
0 < 1 =⇒ 4a < 4a+ 1 (Somando 4a)
=⇒
√
4a <
√
4a+ 1 (Tirando a raiz)
=⇒
√
4a <
√
4a+ 1 + 1 (Somando 1 ao maior)
=⇒ 2
√
a < 1 +
√
4a+ 1 (Tirando o 4 da raiz)
=⇒
√
a <
1 +
√
4a+ 1
2
(Dividindo por 2)
Assim, temos que o caso base é verdadeiro.
Passo indutivo: Tome, como Hipótese de Indução, que, para algum n ∈ N∗ e todo
a ∈ R∗+, teremos que:√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
5
Provemos, então, que:√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
Da HI, segue:
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
=⇒ a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a < a+
1 +
√
4a+ 1
2
=⇒ a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
1 + 2a+
√
4a+ 1
2
=⇒
√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
√
1 + 2a+
√
4a+ 1
2
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
√
1 + 2a+
√
4a+ 1
2
· 2
2
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
√
2 + 4a+ 2
√
4a+ 1
4
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
√
1 + 2
√
4a+ 1 + (4a+ 1)
2
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
√
(1 +
√
4a+ 1)2
2
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
|1 +
√
4a+ 1|
2
=⇒
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a <
1 +
√
4a+ 1
2
(1 +
√
4a+ 1 > 0)
Temos, então, provado o passo indutivo, ou seja, que√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
=⇒
√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n+1 radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
.
6
Portanto, temos que, para quaisquer n ∈ N∗ e a ∈ R∗+,√
a+
√
a+
√
a+ · · ·+
√
a︸ ︷︷ ︸
n radicais
<
1 +
√
4a+ 1
2
.
CHAVE DE PONTUAÇÃO:
• Caso Base (1,0 ponto);
• Hipótese de indução (0,5 ponto);
• Conclusão do passo indutivo e da indução (1,5 pontos).
7