[Resolvido] Exercício - Energia potencial da esfera isolante

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Renato da Silva Viana Duvi 1
Questão
Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme distribuída em seu material. As
cargas sofrem uma força de repulsão de outras cargas, porém o objeto se mantém coeso devido
às ligações químicas entre seus constituintes.
a) Suponha que repentinamente todas as ligações químicas se "desligam", e o objeto se
desfaz por causa da força de repulsão entre suas cargas. Qual a energia cinética total final
desenvolvida pelos seus vários componentes?
b) Suponha agora que a esfera é formada por um material condutor, e portanto que toda
a carga é distribuída em sua superfície. Calcule a força de coesão por unidade de área da
superfície que deve ser aplicada para manter o objeto coeso. Qual a força total na esfera?
Resolução
a)
Energia potencial U entre uma carga q submetida a um potencial elétrico v e a carga responsável
por gerar o potencial:
U = q v
Dessa forma, um elemento de energia potencial dU entre um elemento de carga dq e a carga
responsável pelo potencial v é:
dU = dq v (1)
Potencial elétrico sobre a carga dq localizada a uma distância r do centro da esfera de carga
uniforme q:
v = k
q
r
(2)
Substituindo (2) em (1):
dU = k
q
r
dq
=
1
4πε
q
r
dq (3)
Uma vez que todos os elementos de carga localizados a uma distância r do centro da esfera
estão sob o mesmo potencial elétrico v, este pode ser considerado o potencial elétrico da casca
esférica de carga dq e raio r concêntrica à esfera.
Sendo constante a densidade volumétrica de cargas da esfera de carga q e volume V , contida
no interior da esfera de carga Q e volume VT e concêntrica à mesma, vale a igualdade:
ρ =
dq
dV
=
q
V
=
Q
VT
⇒

dq =
Q
VT
dV
q =
Q
VT
V
(4)
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Multiplicando membro a membro as equações de (4):
q dq =
Q2
V 2T
V dV (5)
Volume da esfera de carga q:
V =
4π
3
r3 ⇒ dV = 4πr2 dr
Destas equações obtém-se:
V dV =
16π2
3
r5 dr (6)
Substituindo (6) em (5):
q dq =
16π2
3
Q2
V 2T
r5 dr (7)
Substituindo (7) em (3):
dU =
4π
3ε
Q2
V 2T
r4 dr (8)
Tendo em vista que o volume total da esfera é VT =
4π
3
R3, da equação (8) chega-se na igualdade:
dU =
3
4πε
Q2
R6
r4 dr
Integrando para todas as cascas esféricas de espessura dr, daquela de raio r = 0 até aquela de
raio r = R, encontra-se a energia potencial da esfera de carga uniforme Q:
U =
∫ R
0
3
4πε
Q2
R6
r4 dr
=
3
4πε
Q2
R6
∫ R
0
r4 dr
=
3
20πε
Q2
R
Como toda a energia potencial U é convertida em energia cinética K, esta é, portanto:
K =
3
20πε
Q2
R
b)
A força para manter um elemento de carga dq em equilíbrio estático na superfície do condutor
deve equilibrar a força de repulsão por ele sofrida proveniente do total de carga na superfície.
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Pela lei de Coulomb, a força de repulsão é dada por:
dFR =
1
4πε
Q
R2
dq
Logo, a força de coesão, que deve ter o mesmo módulo, é tal que:
dFC =
1
4πε
Q
R2
dq
Integrando para todos os elementos de cargas, cujo somatório é Q, encontra-se a força de coesão
total:
FC =
1
4πε
Q2
R2
Com isso, a força de coesão por unidade de área da superfície, cuja área é A = 4πR2, é:
P =
FC
A
=
1
16π2ε
Q2
R4
Bons estudos!
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