Material Didático 2

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FFI 112: Física Matemática I
Material Didático #2 24 - 04 - 13
“ Manipulação de séries: Dois Lemas úteis“
Lema # 1:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+k = ∑
m=0
∞
∑
k=0
m
Aj, m − jtm
Prova:
Consideremos a série:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+k (1)
Introduzimos novos índices de soma: k, n → j, m por meio das relações:
k = j n = m − j (2a,b)
de tal modo que k + n = m. Os índices k, n na eq(1) são limitados:
n ≥ 0 k ≥ 0
Levando em conta a eq(2a,b), podemos também escrever:
m − j ≥ 0 j ≥ 0 (3a,b)
De (3a,b) obtemos:
0 ≤ j ≤ m (4)
Usando (3a,b) e(4) em (1), obtemos o resultado desejado:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+k = ∑
m=0
∞
∑
j=0
m
Aj, m − jtm
Lema # 2:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+2k = ∑
m=0
∞
∑
j=0
 m2 
Aj, m − 2jtm
Prova:
Consideremos a série:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+2k (1)
Introduzimos novos índices de soma: k, n → j, m por meio das relações:
k = j n = m − 2j (2a,b)
de tal modo que n + 2k = m. Os índices k, n são limitados em (1):
n ≥ 0 k ≥ 0
Levando em conta a eq(2a,b), podemos também escrever:
m − 2j ≥ 0 j ≥ 0 (3a,b)
De (3a,b) vem que:
1
0 ≤ 2j ≤ m m ≥ 0 (4a,b)
Mas de (4a) decorre que 0 ≤ j ≤ m2 , e como j é inteiro, ele vai variar de 0 até  m2 .
Então, levando (4a,b) em (1), obtemos:
∑
n=0
∞
∑
k=0
∞
Ak, ntn+2k = ∑
m=0
∞
∑
j=0
 m2 
Aj, m − 2jtm
que é o resultado desejado.
Pela mesma técnica podemos obter outras transformações ; por exemplo:
∑
n=0
∞
∑
k=0
n
Ak, ntn+2k = ∑
m=0
∞
∑
j=0
 m2 
Aj, m − jtm
2