Matemática Básica - Produtos Notáveis (completo com teoria, exercícios e resoluções)

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O material abaixo é parte integrante do livro 
“Coleção Matemática Básica – Volumes 01 e 02 – Álgebra e Aritmética” 
 
Autor: prof. Lafayette Jota – ITA 
Os exercícios possuem gabarito/resolução ao final do PDF. 
 
Capítulo 8: Produtos Notáveis e Fatoração 
 
Produtos Notáveis 
Produtos notáveis são resultados muito comuns de multiplicações. Algumas multiplicações ocorrem tanto, 
que a coisa mais inteligente a fazer é decorar, antecipadamente, seus resultados. É assim que nasce um 
produto notável. 
Poderíamos fazer estas multiplicações calmamente toda vez, mas bons estudantes em matemática sempre 
decoram estes resultados, para acertar mais e mais rápido. 
 
Veja um exemplo. Quando vemos a expressão : 
Primeiro, é muito comum vermos o seguinte ERRO: 
O aluno pensa que basta usar o expoente nos dois termos de dentro. Então ele faz: 
 
 
 
E isto está errado. 
Por que está errado? 
 
( )
2
2x+
( )
2
2x+
2 4x +
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Porque o quadrado de alguma coisa é “ela” vezes “ela mesma”. E quem está ao quadrado é a expressão 
, e não cada um dos termos de dentro. 
 
Então um aluno que não soubesse produto notáveis, poderia acertar, pensando assim: 
 
 
E fazendo a distributiva, 
 
 
Mas queremos chegar ao seguinte. Ao analisar , os estudantes mais fortes já imediatamente ligam a 
uma fórmula, e desenvolvem de imediato: 
 
 
Isto faz bem para eles porque eles acertam mais (já pensam no produto notável de imediato) e acertam mais 
rápido. É aí que queremos chegar. 
 
Vamos aos principais produtos notáveis. 
 
8.1. Quadrado da soma de dois termos: 
Fórmula: ( )
2 2 22a b a ab b+ = + + 
 
Exemplo de utilização: 
( )
( )
2 2 2
2 2
5 2 5 5
5 10 25
x x x
x x x
+ = +   +
+ = + +
 
 
Demonstração: Tente completar a prova abaixo. Caso não consiga, a demonstração está logo antes da tarefa. 
( )2x+
( )
( )( )
2
2
2 2
x
x x
+ =
+ + =
2
2
2 2 4
4 4
x x x
x x
+ + + =
+ +
( )
2
2x+
( )
2
2 2
2
2
2 2 2
4 4
x
x x
x x
+ =
+   + =
+ +
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( )
2
a b+ significa ( ) ( )a b a b+  + . Portanto... 
 
 
 
 
 
 
 
8.2. Quadrado da diferença de dois termos: 
Fórmula: ( )
2 2 22a b a ab b− = − + 
 
Exemplo de utilização: 
( )
( )
2 2 2
2 2
5 2 5 5
5 10 25
x x x
x x x
− = −   +
− = − +
 
 
Demonstração: Tente completar a prova abaixo. Caso não consiga, a demonstração está logo antes da tarefa 
( )
2
a b− significa ( ) ( )a b a b−  − . Portanto.... 
 
 
 
 
 
 
 
8.3. Produto da soma pela diferença de dois termos: 
Fórmula: ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − 
 
 
 
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Exemplo de utilização: 
( )( )
( )( )
2 2
2
1 1 1
1 1 1
x x x
x x x
+ − = −
+ − = −
 
 
Exemplo de utilização: 
( )( )
( )( )
2 2
2
3 3 3
3 3 9
y y y
y y y
+ − = −
+ − = −
 
 
Exemplo de utilização: 
( )( )
( )( )
222 3 2 3 2 3
2 3 2 3 4 3 1
− + = −
− + = − =
 
 
Demonstração: Tente completar a prova abaixo. Caso não consiga, a demonstração está logo antes da tarefa 
( )( )a b a b+ − = 
 
 
 
 
 
 
Correção das três demonstrações: 
Quadrado da soma de dois termos: 
( )
( )( )
2
2 2
2 22
a b
a b a b
a ab ab b
a ab b
+ =
+ + =
+ + + =
+ +
 
 
Quadrado da diferença de dois termos: 
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( )
( )( )
2
2 2
2 22
a b
a b a b
a ab ab b
a ab b
− =
− − =
− − + =
− +
 
 
Produto da soma pela diferença: 
( )( )
2 2
2 2
a b a b
a ab ab b
a b
+ − =
− + − =
−
 
 
8.4. Fatoração Usando os Produtos Notáveis 
Fatorar é reescrever uma expressão na forma de um produto. (Ou seja, reescrever na forma de uma 
multiplicação). 
Por isso é que aprendemos a fatorar um número. Por exemplo, fatoramos o 12 escrevendo 212 2 3=  . 
Da mesma forma, aqui aprenderemos a fatorar expressões, reescrevendo cada uma delas na forma de uma 
multiplicação. 
 
A primeira forma que veremos é o uso dos produtos notáveis “ao contrário”. 
Por exemplo, ao encontrar a expressão 2 22a ab b+ + , devemos notar que é o resultado de um produto 
notável. Podemos proceder: 
 
2 22a ab b+ + (1ª linha) 
( )
2
a b+ (2ª linha) 
 
Da mesma forma com o produto notável ( )( )a b a b+ − . Devemos aprender a reconhecer o seu resultado, que 
é 2 2a b− , mesmo quando ele aparecer sozinho, sem falar de produtos notáveis, e saber que podemos 
“voltar”. Algo assim: 
Exemplo: Queremos simplificar ao máximo a expressão 
2 2a b
a b
−
−
. 
 
Veja o numerador: é o resultado de que falamos no parágrafo anterior. Então vamos substituir pelo produto 
notável: 
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( )( )
2 2a b
a b
a b a b
a b
−
=
−
+ −
=
−
 
 
Explicando o “corte”: lembre–se de que (a–b) é algum número, e dividido por si mesmo resulta 1. Por isso, 
dividimos (a–b) por (a–b) e o resultado é 1. 
( ) ( )a b a b+ −
1
a b−
1
a b
=
+
 
 
Veja mais um exemplo: Queremos fatorar ao máximo a expressão: 
2 2
2 2
2x xy y
x y
− +
−
. 
 
Para isso, fatoramos os produtos notáveis em cima e em baixo: 
( )
( )( )
2 2
2 2
2
2x xy y
x y
x y
x y x y
− +
=
−
−
=
+ −
 
 
Reescrevendo o quadrado: 
( )( )
( )( )
x y x y
x y x y
− −
=
+ −
 
 
Dividindo (x – y) por (x – y): 
( ) ( )x y x y− −
( ) ( )
1
x y x y+ −
1
x y
x y
−
=
+
 
 
Note a grande importância que estamos dando a este caso de fatoração: 
 
Devemos aprender a identificar expressões do tipo 2 2a b− 
e saber que podemos transformá–las em ( )( )a b a b+ − 
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Inclusive, devemos aprender a reconhecer os produtos notáveis quando houver mistura de letras e números. 
Por exemplo: 2 9x − 
 
Temos que aprender a enxergar que 9 é o quadrado de 3. Portanto, a expressão pode ser fatorada como: 
( )( )
2
2 2
9
3
3 3
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
 
Isso ocorre muito em casos em que é necessário fazer uma simplificação. Por exemplo, queremos simplificar: 
2 25
5
x
x
−
−
 
 
Notando que a expressão de cima é uma diferença de dois quadrados, 
2 25
5
x
x
−
=
−
 
( )( )5 5
5
x x
x
+ −
=
−
 
5x + . 
 
Veja mais algumas fatorações: 
Exemplo: 
( )( )
2
2 2
1
1
1 1
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
 
Exemplo: 
( )( )
2
2 2
4
2
2 2
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
 
Exemplo: 
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( )
2
2
2 1
1
x x
x
+ + =
+
 
 
Exemplo: 
( )
2
2
6 9
3
x x
x
+ + =
+
 
 
Aprender fatoração é aprender a identificar algumas expressões “famosas” 
 
2 2a b− 2 22a ab b+ + 2 22a ab b− + 
 
E saber que podemos escrevê–las de outra forma na próxima linha. 
 
 
Tabela de Fatorações: 
Isso nos permite construir a seguinte tabela: 
 
Expressão Forma Fatorada Nome do caso de fatoração 
2 22a ab b+ + ( )
2
a b+ Trinômio do quadrado da soma 
2 22a ab b− + ( )
2
a b− Trinômio do quadrado da diferença 
2 2a b− ( )( )a b a b+ − Diferença de Dois Quadrados 
 
 
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8.5. Alguns Modelos de Exercícios 
 
Veja alguns modelos de exercícios importantes em vestibulares: 
 
R1. Calcule o resultado da expressão ( )( )73 71 73 71+ − . 
 
Resolução: 
Aqui nós devemos identificar a expressão (a+b)(a–b), com 73 fazendo o papel de a e 71 fazendo o papel 
de b. Veja como existem os dois parêntesis multiplicando, um deles com soma e um com subtração. Assim, 
 
( )( )
2 2
73 71 73 71
73 71
73 71
2
+ − =
− =
− =
 
 
R2. Calcule o resultado da expressão ( ) ( )
2 2
5 1 5 1+ + − 
Resolução: 
Note que temos dois produtos notáveis, um do tipo ( )
2
a b+ e outro do tipo ( )
2
a b− . 
Desenvolvendo, 
( ) ( )
2 2
2 222
5 1 5 1
5 2 5 1 1 5 2 5 1 1
5 2 5 1 5 2 5 1
12
+ + − =
+   + + −   + =
+ + + − + =
 
 
R3. Dois números a e b são tais que 2 2 7a b+ = e 3ab = . Qual é o valor de: 
a) ( )
2
a b+ 
b) ( )
2
a b− 
 
Resolução: neste tipo de exercício, note que 2 2a b+ e ab são “pedaços” do desenvolvimento do produto 
notável. Assim, vamos desenvolver primeiro e substituir em seguida: 
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a) 
( )
2
a b+ = 
2 22a ab b+ + = 
2 2 2a b ab+ + = 
7 2 3+  = 
13 
 
b) ( )
2
a b− = 
2 22a ab b− + = 
2 2 2a b ab+ − = 
7 2 3−  = 
1 
 
R4. Calcule o valor da expressão 2 21234 1233− . 
 
Resolução: veja que o exercício apresenta um cálculo bastante desagradável. Quando isso acontece, a ideia 
não é tentar fazer a conta, mas procurar uma fatoração que use produto notável. 
 
A expressão repete o mesmo modelo de 2 2a b− , e então devemos lembrar que a fatoração correta é 
( )( )2 2a b a b a b− = + − 
 
Por isso, 
( )( )2 21234 1233 1234 1233 1234 1233− = + − 
( ) ( )2 21234 1233 2467 1− =  
2 21234 1233 2467− = 
 
 
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R5. Qual é o valor numérico da expressão a seguir 
2 2 29 16 25
3 4 5
x x x
E
x x x
− − −
= + +
+ + +
 
 
Sabendo que x é a idade do autor na data em que ele está escrevendo este exercício, ou seja, x = 36? 
 
Resolução: 
Novamente, a intenção não é calcular 362 e depois substituir e fazer as contas. Devemos fatorar primeiro. 
2 2 2 2 2 23 4 5
3 4 5
x x x
E
x x x
− − −
= + +
+ + +
 
( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 4 4 5 5
3 4 5
x x x x x x
E
x x x
+ − + − + −
= + +
+ + +
 
3 4 5E x x x= − + − + − 
 
3 12E x= − 
 
AGORA SIM vamos substituir o valor de x: 
3 36 12 96E =  − = 
 
R6. Qual é o valor da expressão 
2 2
2 2
2x y xy
x y
+ −
−
 para x = 3,9 e y = 2,1? 
 
Novamente, a ideia não é fazer as contas. Vamos simplificar ao máximo primeiro. O numerador é 
simplesmente um produto notável com o termo do meio “mudado de lugar”. Veja 
2 2
2 2
2x xy y
x y
− +
=
−
 
( )
( )( )
2
x y
x y x y
−
=
+ −
 
( )( )
( )( )
x y x y
x y x y
− −
=
+ −
 
x y
x y
−
=
+
 
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3,9 2,1
3,9 2,1
−
=
+
 
1,8
6
= 
3
0,3 ou 
10
 
 
R7. Simplifique ao máximo o cálculo de 
1 1
7 5 7 5
+
+ −
 
 
Resolução: o mínimo múltiplo comum de dois termos “estranhos” é a multiplicação dos dois: 
( )( )
7 5 7 5
7 5 7 5
− + +
=
+ −
 
( )( )
2 7
7 5 7 5
=
+ −
 
Observe que no denominador temos o terceiro produto notável. 
2 2
2 7
7 5
=
−
 
2 7
7 5
=
−
 
2 7
7
2
= 
 
R8. Simplifique ao máximo o cálculo de 
3 2 3 2
3 2 3 2
− +
+
+ −
. 
 
Resolução: 
Novamente veja que o mínimo é o produto dos dois termos de denominador. 
( ) ( )
( )( )
2 2
3 2 3 2
3 2 3 2
− + +
=
+ −
 
 
Aqui você pode ver como são necessários os produtos notáveis. Teremos que usar os três! 
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2 2 2 2
2 2
3 2 3 2 2 3 2 3 2 2
3 2
−   + + +   +
=
−
 
3 2 6 2 3 2 6 2
3 2
− + + + +
=
−
 
3 2 3 2
1
+ + +
= 10 
 
Exercícios de Tarefa 
1. Desenvolva cada um dos produtos notáveis até sua 
forma mais simples: 
a) ( )
2
a b+ = 
b) ( )
2
2a + = 
c) ( )
2
1 x+ = 
d) ( )
2
3 2+ = 
e) ( )
2
2 5+ = 
f) ( )
2
1 2+ = 
g) ( )
2
2 1+ = 
h) ( )
2
2 3+ = 
i) ( )
2
2a b+ = 
j) ( )
2
2 1x + = 
 
2. Desenvolva cada um dos produtos notáveis até sua 
forma mais simples: 
a) ( )
2
x y− = 
b) ( )
2
3a − = 
c) ( )
2
1 a+ = 
d) ( )
2
2 2− = 
e) ( )
2
2 2− = 
f) ( )
2
1 5− = 
g) ( )
2
2 3x y− = 
3. Desenvolva cada um dos produtos notáveis até sua 
forma mais simples: 
a) ( )( )a b a b− + = 
b) ( )( )x y x y− + = 
c) ( )( )y x x y− + = 
d) ( )( )2 1 2 1+ − = 
e) ( )( )2 5 2 5+ − = 
f) ( )( )2 2 2 2− + = 
g) ( )( )1 2 1 2x x+ − = 
h) ( )( )2 2x y x y+ − = 
 
4. Julgue os seguintes itens em Verdadeiro ou Falso. 
Em cada item falso, mostre em seu caderno o porquê 
de ele ser falso. 
( ) ( )
2 22 4x x− = − 
( ) ( )( ) ( )
22 2a b a b a b a b− + = − = − 
( ) ( )
22 2x y x y− = − 
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( ) ( )( )101 99 101 99 2− + = 
( ) ( )
2
3 2 5+ = 
 
5. Desenvolva cada um dos produtos notáveis. 
a) ( )
2
2 1x − = 
b) ( )
2
2 a+ = 
c) ( )
2
2a b− = 
d) ( )( )x y x y− + = 
e) ( )( )2 1 2 1x x− + = 
f) ( )( )3 5 3 5+ − = 
g) ( )
2
3 5+ = 
h) ( )
2
3 5− = 
 
6. Vamos discutir a “tradução” de expressões 
matemáticas para o linguajar comum. 
A seguir, estão várias afirmações: 
A1: ( )
2
a b+ pode ser lido corretamente como “a 
mais o quadrado de b”. 
A2: ( )
2
a b+ pode ser lido corretamente como “a ao 
quadrado, mais b ao quadrado”. 
A3: “O quadrado da diferença de dois termos” pode 
ser simbolizado como ( )
2
a b− 
A4: “A diferença dos quadrados de dois termos” pode 
ser simbolizado como ( )
2
a b− 
 
Quais afirmações estão corretas? Ofereça uma 
explicação para cada uma das erradas. 
 
7. Qual é o valor da expressão: 
( )( )2001 1999 2001 1999+ − ? 
a) 1 
b) 2 
c) 2000 
d) 2 
e) 4 
 
8. Calcule sem usar calculadora o resultado das 
seguintes expressões. (Fique atento, busque uma 
forma mais fácil) 
a) 2 21001 999− 
b) 2 21234 1233− 
 
9. Fatore as expressões abaixo usando seu 
conhecimento de produtos notáveis: 
a) 2 22x xy y− + = 
b) 2 22x xy y+ + = 
c) 2 2 1a a+ + = 
d) 2 6 9x x+ + = 
e) 2 14 49y y− + = 
f) 2 2x y− = 
g) 2 1x − = 
h) 2 4x − = 
i) 2 9x − = 
j) 2 2025x − = 
 
10. Simplifique cada uma das expressões abaixo: 
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a) 
2 2x y
x y
−
+
= 
b) 
2 2
2 22
a b
a ab b
−
− +
= 
c) 
2
2
2 1
1
x x
x
+ +
−
= 
 
11. Calcule o valor da expressão abaixo para a = 99 e 
b = 101. 
a) 
2 2b a
a b
−
+
 
b) 
2 2 2 2b a b a
b a a b
− −
+
− +
 
 
12. Calcule o resultado de cada uma das expressões 
abaixo: 
a) 
1 1
3 1 3 1
+
+ −
 
b) 
2 3
2 3 2 3
+
+ −
 
c) 
5 1 5 1
5 1 5 1
+ −
+
− +
 
 
 
8.6. Fatoração por Fator Comum 
Lembremos que fatorar é reescrever como produto. 
 
A fatoração por fator comum é possível quando: 
• Há a soma ou subtração de vários termos, e 
• Todos esses termos são divisíveis por um mesmo número ou por uma mesma letra. 
 
Neste caso, devemos colocar este número ou letra “fora” de um parêntesis e reescrever a expressão. Veja: 
 
Exemplo 01: fatorar a expressão 8 20 2x a+ + 
Como fatorar: os termos 8, 20 e 2a são todos divisíveis por 2. Então devemos colocar este “2” em evidência: 
8 20 2x a+ + = 
( )2  + + 
 
Agora precisamos pensar nos três “quadradinhos” que sobraram. A expressão fatorada tem que continuar 
valendo a mesma coisa que a anterior. Então pensaremos assim: 
 
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E daí completamos o “quadradinho”: 
8 20 2x a+ + = 
( )2 4x  + + 
 
Vamos ao segundo quadradinho: 
 
 
Procedendo assim completamos a fatoração como um todo: 
( )8 20 2 2 4 10x a x a+ + = + + 
 
Vamos a mais um exemplo, desta vez mais rápido: 
 
Exemplo 2: fatorar a expressão 4 4 4a b c+ + 
 
Como fatorar: cada parcela da soma tem o mesmo fator “4”. Colocando em evidência: 
( )4 4 4 4a b c a b c+ + = + + 
 
Prova Real da Fatoração: 
Sempre que você fizer uma fatoração por fator comum, faça o seguinte teste: FAÇA A DISTRIBUTIVA! 
Tem que voltar ao ponto inicial. Se não voltar, você errou. 
Assim: 
( )4 a b c+ + = 
4a + 4b + 4c. 
Voltou ao ponto inicial, isso quer dizer que você acertou. 
 
Vamos a exemplos mais completos: 
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Exemplo 3: Fatorar a expressão 2 2 2x xy xz+ + 
Todos os termos são divisíveis por 2x. 
Colocando o 2x em evidência,( )
2 2 2
2
x xy xz
x
+ + =
+ + =
 
 
Analisando o que deve completar cada quadrado para obter a mesma expressão: 
( )
( )
2 2 2
2
2 1
x xy xz
x
x y z
+ + =
+ + =
+ +
 
 
Exemplo 4: Fatorar a expressão 2x xy xz+ + 
Todos os termos são divisíveis por x. 
Então, 
( )
2x xy xz
x x y z
+ + =
+ +
 
 
Exemplo 5: fatorar e simplificar a expressão 
4 2
6
a+
 
Para simplificar, primeiro colocamos o fator comum em evidência no numerador. 
( )2 24 2 2
6 6 3
aa a++ +
= = 
 
Caso especial de vestibular: fatorando quando há potências! 
Veja estes exemplos a seguir, eles estão muito presentes nos exercícios de vestibular ao fim do capítulo. 
Aqui usamos um pouco da matéria do capítulo de “potências”, talvez você precise voltar lá depois. 
 
Exemplo 6: fatorar e simplificar a expressão 
20 22 23
20
2 2 2
2
+ +
 
 
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Antes de simplificar temos que fatorar a parte superior. Para isso, você precisará lembrar que: 
21 20 12 2 2=  , e 
22 20 22 2 2=  
 
Com isso, 
20 21 22 20 20 1 20 2
20 20
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
+ + +  + 
= 
Podemos colocar 220 em evidência: 
( )
20 20 1 20 2
20
20 1 2
20
2 2 2 2 2
2
2 1 2 2
2
+  + 
=
+ +
=
 
Dividindo 220 por 220, obtemos resultado 1, e portanto, 
1 2 4 7+ + = 
 
Exemplo 7: qual é o valor numérico da expressão 
1 2 3
1
3 3 3
3 3
x x x
x x
+ + +
+
+ +
+
? 
 
Como fatorar: tanto na linha de cima como na linha de baixo, devemos “quebrar” as potências deixando o 
fator 3x em evidência. 
1 2 3
1
3 3 3 3 3 3
3 3 3
x x x
x x
 +  + 
=
+ 
 
( )
( )
1 2 3
1
3 3 3 3
3 1 3
x
x
+ +
=
+
 
1 2 3
1
3 3 3
1 3
+ +
=
+
 
3 9 27
1 3
+ +
=
+
 
39
4
= 
 
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Exercícios de Tarefa 
13. Fatore usando fator comum: 
a) 4x + 20y 
b) 10x + 10y + 10z 
c) 2a + 4b + 6c 
d) 6x – 2y + 18z 
e) 2 2x x− 
f) 24 8x x+ 
g) 2 10x x− 
h) 2x xy xz+ + 
 
14. Fatore usando fator comum e simplifique: 
a) 
4 8
4
a b+
 
b) 
2
2
a ab
a
+
 
c) 
2
2 2 2
a ab ac
a b c
+ +
+ +
 
d) 
3 2
1
x x
x
−
−
 
e) 
5 10
50
a +
 
 
15. Usando fatoração por fator comum, simplifique e 
chegue ao resultado (se tiver dúvidas, releia os 
exercícios resolvidos 6 e 7.) 
a) 
22 2
2
n n
n
++
 
b) 
2 3
1
3 3
3
n n
n
+ +
+
+
 
c) 
2 3
1
3 3
3 3
n n
n n
+ +
+
+
+
 
d) 
4 2
1
2 2 2
2 2
n n n
n n
+ +
+
− −
+
 
e) 
1 12 2
2
n n
n
+ −+
 
 
16. Use fatoração e mostre que cada uma das 
afirmações a seguir é verdadeira: 
a) 10 810 10− é igual a 899 10 
b) 20 21 2210 10 10+ + é igual a 20111 10 
c) 102 1002 2− tem resultado 1003 2 
 
17. Resolva as equações de segundo grau abaixo, 
usando a fórmula de Bhaskara, e obtenha a resposta 
da maneira mais simplificada possível (você terá que 
usar fatoração ao final....) 
a) 2 2 2 1 0x x− + = 
b) 2 2 11 0x x− − = 
 
18. Observe como Rosselini resolveu uma equação de 
segundo grau e resolva as três equações seguintes da 
mesma maneira que ela. 
 
2 3 0x x− = 
O fator comum é x: 
( )3 0x x − = 
Se o produto de dois termos, que são x e (x – 3), dá 
resultado zero, então pelo menos um deles é zero. 
x = 0 ou x – 3 = 0 
x = 0 ou x = 3 
S = {0,3} 
 
Sua vez: 
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a) 2 5 0x x− = 
b) 2 4 0x x+ = 
c) 22 10 0x x− = 
 
19. Calcule o resultado de 
20 22
10
2 2
5 2
+

 
 
20. (ESPM SP/2012) 
O valor da expressão numérica 
32 20
25 19
3 3
3 3
−
+
 é igual a 
 
a) 1 294 
b) 2 184 
c) 826 
d) 3 114 
e) 1 836 
 
21. (FURG RS/2001) 
O valor da expressão: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
22. Para x = 4, temos que o valor de 
( )
3
2 5
4
x x
x
+
 é: 
a) 20 
b) 10 
c) 40 
d) 4 
e) 1 
 
 
 
n2n
1n2n3n
22
222
A
+
−+
=
−
−++
5
23
10
46
2
11
5
46
8
115
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Exercícios de Vestibular 
23. (IFMA/2016) 
Sejam A = 2x + 1 e B = 2x – 1. A forma simplificada da 
expressão é: 
a) 4x2 + 3 
b) 12x2 + 8x + 1 
c) 4x2 + 8x + 1 
d) 4x2 – 1 
e) 4x2 + 1 
 
24. (IFSP/2015) 
Fernando, preocupado em deixar sua família 
amparada financeiramente após a sua morte, 
resolveu fazer um plano de previdência privada. 
Consultou um corretor e ficou sabendo que, nos 
planos de previdência privada, é possível escolher o 
valor da contribuição e a periodicidade em que ela 
será feita. Uma pessoa pode contribuir com R$100,00 
uma vez por ano, por exemplo. É claro que o valor 
que receberá quando começar a fazer uso dessa 
previdência será proporcional ao que contribuiu. 
Além disso, o valor investido em um plano de 
previdência privada pode ser resgatado pela pessoa 
se ela desistir do plano. Após escolher o plano, 
Fernando perguntou ao corretor quantos anos 
demoraria para começar a fazer uso do plano. Como 
o corretor tinha conhecimentos matemáticos e era 
muito brincalhão, respondeu: “O senhor poderá 
usufruir do plano, daqui a anos”. É 
correto afirmar que a resposta do corretor foi 
 
a) 30 anos. 
b) 40 anos. 
c) 50 anos. 
d) 55 anos. 
e) 60 anos. 
 
25. (CEFET PR/2017) 
Uma indústria fabrica uma placa metálica no formato 
de um retângulo de lados (ax + by) e (bx + ay) . 
Encontre, de forma fatorada, o perímetro deste 
retângulo. 
 
a) 2(a + b)(x + y). 
b) 4(a + b)(x + y). 
c) 2(a – b)(x – y). 
d) 4(a – b)(x – y). 
e) (a + b)(x + y). 
 
26. (UFPE/2009) 
Se x e y são números reais positivos, qual dos 
números, nas alternativas a seguir, é o maior? 
a) 2xy 
b) x2 + y2 
c) (x + y)2 
d) x2 + y(x+y) 
e) y2 + x(x+y) 
 
27. (UFRR/2009) 
O valor da expressão para a = 25 
e b=b0 é 1000. Podemos afirmar que o valor de b0 é: 
 
a) 12 
b) 0 
c) 5 
d) 40 
e) 10 
 
28. (UECE/2004) 
AB B A 22 −+









−
−
−+
4n
1n3n
25
7222
22 )ba()ba( −−+
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Considerando os números e , o 
valor de é: 
a) 5. 
b) 2. 
c) 
d) 
 
29. (CEFET PR/2017) 
Um fazendeiro possui dois terrenos quadrados de 
lados a e b, sendo a > b. Represente na forma de um 
produto notável a diferença das áreas destes 
quadrados. 
 
a) (a + b).(a + b) 
b) (a + b).(a – b) 
c) (a – b).(a – b) 
d) (a + b)2 
e) (a – b)2 
 
30. (IFAL/2017) 
Determine o valor do produto (3x + 2y)2, sabendo que 
9x2 + 4y2 = 25 e xy = 2. 
 
a) 27. 
b) 31. 
c) 38. 
d) 49. 
e) 54. 
 
31. (IFPE/2017) 
Efetuando–se (2341)2 – (2340)2, obtém–se: 
 
a) 6489 
b) 1 
c) 4681 
d) 2681 
e) 8689 
 
32. (UFRGS/2016) 
Se x + y = 13 e x y = 1, então x2 + y2 é 
 
a) 166. 
b) 167. 
c) 168. 
d) 169. 
e) 170. 
 
33. (UFPI/2007) 
Desenvolvendo a expressão , 
encontraremos um número no formato , com 
a e b números inteiros. O valor de a + b é: 
a) 59 
b) 47 
c) 41 
d) 57 
e) 17 
 
34. (PUC RJ/2006) 
A expressão é igual a: 
a) 0 
2
35
a
+
=
2
35
b
−
=
22 ba −
3
3
2
3
4
3

( )21327 −+
3ba +
5555 −+
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b) 
c) 
d) 
e) 20 
 
35. (ESPM SP/2015) 
O valor da expressão para x = 400 é igual a: 
 
a) 20,05 
b) 20,50 
c) 20,10 
d) 20,01 
e) 20,15 
 
36. (UNIMONTES MG/2015) 
A expressão é igual a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
37. (ESPM SP/2011) 
O valor da expressão é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 0 
d) 
e) 
 
38. (UEPI/2003) 
O valor da expressão abaixo 
 
 é: 
 
a) um irracional negativo 
b) um irracional positivo 
c) um racional positivo 
d) igual a 1 
e) um inteiro positivo, maior que 1. 
 
39. (UNIFOR CE/1998) 
A expressão é equivalente a 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
40. (UNIFOR CE/2005) 
5
55−
52
2
x
1
x ++
( )
55
20
15
2
−
+−59 +
511+−
511−
59 −
12
12
12
12
−
+
−
+
−
22
22−
24
24−
347.347 −+
3
7 3
7
7 3+
+
−
6 3 7
3
+ −
6 3 7
3
− +
21 2
2
+
3 7
2
+
2 21
2
−
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Se e , então o produto AB 
está compreendido entre 
a) 2,4 e 2,5 
b) 1,2 e 1,3 
c) 0,37 e 0,38 
d) 0,2 e 0,3 
e) 0 e 0,1 
 
41. (UEM PR/2016) 
Nas simplificações abaixo, assinale o que for correto. 
 
01. , para e . 
02. , para . 
04. , para . 
08. , para e . 
16. , para . 
 
42. (ESPM SP/2015) 
O valor numérico da expressão 
para x = 97 é: 
 
a) 0,89 
b) 0,90 
c) 0,91 
d) 0,92 
e) 0,93 
43. (Mackenzie SP/2002) 
Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20, então x . y é igual a: 
a) – 1 
b) 0 
c) 10 
d) 5 
e) 
 
44. (UFC CE/2009) 
O expoente do número 3 na decomposição por 
fatores primos positivos do número natural 1063 – 
1061 é igual a: 
 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
45. (UNIFOR CE/2001) 
Se a e b são números reais positivos, a expressão 
 é equivalente a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) a + b 
 
46. (UFC CE/2000) 
23
1
A
+
=
23
1
B
−
=
1x
3
1x
3x3
2 +
=
−
−
1x  1x −
3x
3x
9x6x 2
+=
+
+−
3x −
1x3x
2x
2x5xx 2
23
++=
−
−−+
2x 
1
)1x)(2x(
2x3x 2
=
++
++
1x − 2x −
5
1
5
x
5x
=
+
+
5x −
x3x
x5x
:
9x
25x10x
2
2
2
2
−
−
−
+−
5
1
ba
ab2ba
+
++
ba +
( )bab +
ba −
ba −
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Seja A = , e B = , então, A + B é 
igual a: 
a) – 2 . 
b) 3 . 
c) –2 . 
d) 3 . 
e) 2 . 
 
47. (UNIA SP) 
Simplificando a expressão
 
4
3
2 2.2
2.2
n n
n
+
+
− , obtém–se: 
a) 2n + 1 = 1
8
 
b) 7
8
 
c) –2n + 1 
d) 1 – 2n 
e) 7
4
 
 
48. (MACK SP) 
 O valor da expressão 
4 2 1
2 1
2 2 2
2 2
n n n
n n
+ + −
− −
+ +
+
 é 
a) 1 
b) 2n + 1 
c) 3
81
 
d) 82
3
 
e) n 
 
49. (UNIFAP AP) 
Marta leva a seguinte questão que estava na lista de 
exercícios de produtos notáveis para Ezequiel. Qual é 
o valor de 987652 – 987642. 
Qual deve ser a resposta que Ezequiel deve marcar 
como correta: 
 
a) 1 
b) 197529 
c) 197764 
d) 197765 
e) 198765 
 
50. (MACK SP) 
A fração 
98 50 34
99 20 101
2 4 8
2 32 2
+ −
− +
 é igual a 
 
a) 1 
b) 
11
6
− 
c) 2 
d) 
5
2
− 
e) 
7
4
 
 
51. (UNIFOR CE) 
 Para todos os números reais x e y tais que x . y  
0, a expressão (x−4 − y−4)  (x−2 + y−2) é equivalente 
a 
a) 
2 2x y
xy
−
 
b) 
2
2 2
( )x y
x y
−
 
c) 
2 2x y
xy
+
 
23
1
+ 23
1
−
2
2
3
3
3
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d) 
2 2
2 2
y x
x y
−
 
e) 
2
2 2
( )x y
x y
+
 
 
52. (FGV) 
 O valor da expressão 
20,49
0,7
x
y
x
−
=
+
 para x = –1,3 é: 
a) 2 
b) –2 
c) 2,6 
d) 1,3 
e) – 1,3 
 
53. (UFF RJ) 
Considere a afirmação: “O número que se deve 
acrescentar a 1859972 para se obter 1859982 é um 
múltiplo de 5” . Diga–se esta afirmativa é verdadeira 
ou falsa, justificando sua resposta.
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Gabarito do Capítulo 08 
 
1. 
a) ( )
2 2 22a b a ab b+ = + + 
b) ( )
2 22 4 4a a a+ = + + 
c) ( )
2 21 1 2x x x+ = + + 
d) ( )
2
3 2 11 6 2+ = + 
e) ( )
2
2 5 9 4 5+ = + 
f) ( )
2
1 2 3 2 2+ = + 
g) ( )
2
2 1 3 2 2+ = + 
h) ( )
2
2 3 5 2 6+ = + 
i) ( )
2 2 22 4 4a b a ab b+ = + + 
j) ( )
2 22 1 4 4 1x x x+ = + + 
 
2. 
a) ( )
2 2 22x y x xy y− = − + 
b) ( )
2 23 6 9a a a− = − + 
c) ( )
2 21 1 2a a a+ = + + 
d) ( )
2
2 2 6 4 2− = − 
e) ( )
2
2 2 6 4 2− = − 
f) ( )
2
1 5 6 2 5− = − 
g) ( )
2 2 22 3 4 12 9x y x xy y− = − + 
 
3. 
a) ( )( ) 2 2a b a b a b− + = − 
b) ( )( ) 2 2x y x y x y− + = − 
c) ( )( ) 2 2y x x y y x− + = − 
d) ( )( )2 1 2 1 1+ − = 
e) ( )( )2 5 2 5 3+ − = − 
f) ( )( )2 2 2 2 2− + = 
g) ( )( ) 21 2 1 2 1 4x x x+ − = − 
h) ( )( ) 2 22 2 4x y x y x y+ − = − 
 
4. 
(F) ( )
2 22 4x x− = − 
O desenvolvimento correto seria 
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 4 4
x x x
x x x
− = −   +
− = − +
 
 
(F) ( )( ) ( )
22 2a b a b a b a b− + = − = − 
É verdade que ( )( ) 2 2a b a b a b− + = − . 
Porém não é correto fazer ( )
22 2a b a b− = − . 
 
(F) ( )
22 2x y x y− = − 
Idem da anterior. 2 2x y− não “vira” ( )
2
x y− . 
 
(V) ( )( )101 99 101 99 2− + = 
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( )( )
2 2
101 99 101 99
101 99
101 99
2
− + =
− =
− =
 
(F) ( )
2
3 2 5+ = 
( )
2
2 2
3 2
3 2 3 2 2
3 2 6 2
5 2 6
+ =
+   + =
+ + =
+
 
 
5. 
a) ( )
2
2 1x − =
24 4 1x x− + 
b) ( )
2
2 a+ =
24 4a a+ + 
c) ( )
2 2 22 4 4a b a ab b− = − + 
d) ( )( ) 2 2x y x y x y− + = − 
e) ( )( ) 22 1 2 1 4 1x x x− + = − 
f) ( )( )3 5 3 5 22+ − = − 
g) ( )
2
3 5 28 10 3+ = + 
h) ( )
2
3 5− = 28 10 3− 
 
6. 
A1 tem que ser lido como “o quadrado da soma de a 
com b”. 
A2 tem que ser lido como “o quadrado da soma de a 
com b”. Já a expressão “a ao quadrado, mais b ao 
quadrado” significa 2 2a b+ . 
A3 está correta. 
A4 não está correta. A diferença dos quadrados é 
2 2a b− . Já ( )
2
a b− significa “o quadrado da 
diferença”. 
 
7. B 
( )( )
2 2
2001 1999 2001 1999
2001 1999
2001 1999
2
+ − =
− =
− =
 
 
8. 
a) 
( )( )
2 21001 999
1001 999 1001 999
2000 2
4000
− =
+ − =
 =
 
b) 
( )( )
( ) ( )
2 21234 1233
1234 1233 1234 1233
2467 1
2467
− =
+ − =
 =
 
 
9. 
a) ( )
22 22x xy y x y− + = − 
Veja que existem três termos. Assim, tiramos a raiz 
do primeiro e do último e obtemos o x e y. O sinal, 
basta copiar do termo do meio. Finalmente, depois 
de escrever ( )
2
x y− , convém tirar a prova real, 
desenvolvendo, para ter certeza! 
 
b) ( )
22 22x xy y x y+ + = + 
c) ( )
22 2 1 1a a a+ + = + 
d) ( )
22 6 9 3x x x+ + = + 
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www.materiaisdolafa.com.br 29 
e) ( )
22 14 49 7y y y− + = − 
 
f) ( )( )2 2x y x y x y− = + − 
Neste caso, é diferença de dois quadrados. Veja que 
o produto notável aqui é outro. 
g) 2 1x − 
Lembrando que 1 é a mesma coisa que 21 , então, 
( )( )
2 21
1 1
x
x x
− =
+ −
 
h) 
( )( )
2
2 2
4
2
2 2
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
i) 
( )( )
2
2 2
9
3
3 3
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
j) 
( )( )
2
2 2
2025
45
45 45
x
x
x x
− =
− =
+ −
 
 
10. 
a) 
( )2 2 x yx y
x y
+−
=
+
( )x y
x y
−
+
x y= − 
b) 
2 2
2 22
a b
a ab b
−
− +
=
( )( )
( )
2
a b a b
a b
+ −
=
−
 
( ) ( )a b a b+ −
( ) ( )a b a b− −
= 
a b
a b
+
−
 
c) 
2
2
2 1
1
x x
x
+ +
=
−
 
( )
( )( )
2
1
1 1
x
x x
+
=
+ −
 
( )( )
( )( )
1 1
1 1
x x
x x
+ +
=
+ −
1
1
x
x
+
−
 
 
11. 
a) Vamos fatorar e simplificar antes de fazer os 
cálculos. 
2 2b a
a b
−
=
+
 
( ) ( )b a b a− +
a b+
= ¨ 
b – a = 
101 – 99 = 2 
 
b) 
2 2 2 2b a b a
b a a b
− −
+ =
− +
 
( )( ) ( )( )b a b a b a b a
b a a b
− + − +
+ =
− +
 
b a b a+ + − = 
2b = 
202 
 
12. 
a) O mínimo entre os dois termos com raiz é o 
produto deles! 
1 1
3 1 3 1
+ =
+ −
 
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( )( )
3 1 3 1
3 1 3 1
− + +
=
+ −
 
2
2 3
3 1
=
−
 
2 3
3
2
= 
 
 
b) Aqui podemos fazer novamente a mesma coisa – 
tirar o mínimo – ou racionalizar primeiro. Vamos 
racionalizar primeiro: 
 
2 3
2 3 2 3
+ =
+ −
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 32 3
2 3 2 3 2 3 2 3
− +
 +  =
+ − − +
 
 
Nos numeradores, fazemos a distributiva. Nos 
denominadores, fazemos o produto notável: 
2 22 2
4 2 3 6 3 3
2 3 2 3
− +
+ =
− −
 
4 2 3 6 3 3
4 3 4 3
− +
+ =
− −
 
Os denominadores são iguais a 1, não precisam mais 
ser escritos: 
4 2 3 6 3 3
10 3
− + + =
+
 
 
c) 
5 1 5 1
5 1 5 1
+ −
+ =
− +
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5 1 5 1 5 1 5 1
5 1 5 1 5 1 5 1
+ + − −
 +  =
− + + −Veja que temos produtos notáveis em cima 
(quadrado da soma, quadrado da diferença) e em 
baixo (produto pela soma). Aplicando todos: 
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2
5 1 5 1
5 1 5 1 5 1 5 1
+ −
+ =
− + + −
 
2 22 2
2 22 2
5 2 5 1 1 5 2 5 1 1
5 1 5 1
+   + −   +
+ =
− −
 
6 2 5 6 2 5
4 4
+ −
+ = 
6 2 5 6 2 5
4
+ + −
=
12
3
4
= 
 
13. 
a) 4(x + 5y) 
b) 10(x + y + z) 
c) 2(a + 2b + 3c) 
d) 2(3x – y + 9z) 
e) ( )2x x − 
f) ( )4 1 2x x+ 
g) ( )10x x − 
h) ( )x x y z+ + 
 
14. 
a) 
( )4 24 8
2
4 4
a ba b
a b
++
= = + 
b) 
( )2
2 2 2
a a ba ab a b
a a
++ +
= = 
c) 
( )
( )
2
2 2 2 2 2
a a b ca ab ac a
a b c a b c
+ ++ +
= =
+ + + +
 
d) 
( )23 2 1
1
x xx x
x
−−
=
− 1x −
2x= 
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e) 
( )5 25 10 2
50 50 10
aa a++ +
= = 
 
15. 
a) 
22 2
2
n n
n
++
= 
22 2 2
2
n n
n
+ 
= 
( )2
2
2 1 2
1 2 5
2
n
n
+
= + = 
 
b) 
2 3 2 3
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3 3
n n n n
n n
+ +
+
+  + 
= =

 
3n ( )2 33 3
3n
+
13
=

 
9 27 36
12
3 3
+
= = 
 
c) 
2 3 2 3
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
n n n n
n n n n
+ +
+
+  + 
= =
+ + 
 
( )
( )
2 33 3 3
3 1 3
n
n
+
=
+
 
36
9
4
= 
 
d) 
4 2 4 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
n n n n n n
n n n n
+ +
+
− −  −  −
= =
+ + 
 
( )
( )
4 2
1
4 2
1
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 16 4 1 11
1 2 32 1 2
n n n
n n
n
n
 −  −
=
+ 
− − − −
= =
++
 
 
e) 
( )1 11 1 2 2 22 2
2 2
nn n
n n
−+ − ++
= = 
1 12 2−+ = 
1
1
2
+ = 
3
2
 
 
16. 
a) Para fatorar, devemos fazer “aparecer” um 810 . 
10 8
8 2 8
10 10
10 10 10
− =
 − =
 
( )
( )
8 2
8 8
10 10 1
10 100 1 99 10
− =
 − = 
 
 
b) 
 
20 21 22
20 20 1 20 2
10 10 10
10 10 10 10 10
+ + =
+  +  =
 
( )20 1 2
20
10 1 10 10
111 10
+ + =

 
 
c) 
102 100
100 2 100
2 2
2 2 2
− =
 − =
 
( )100 2
100
2 2 1
2 3
−
 =
 
1003 2 
 
17. 
a) 2 2 2 1 0x x− + = 
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( )
2
2 2 4 1 1
8 4 4
 = −  
 = − =
 
2
b
x
a
−  
= 
2 2 4
2
x

= 
( )
1
2 2 12 2 2
2 1
2 2
x
++
= = = + 
( )
2
2 2 12 2 2
2 1
2 2
x
−−
= = = − 
 
b) 2 2 11 0x x− − = 
( ) ( )
2
2 4 1 11
48
 = − −   −
 =
 
E então, 2 248 2 2 3 4 3 = =   = 
2
b
x
a
−  
= 
( )2 48
2 1
x
− − 
=

 
2 4 3
2
x

= 
( )
1
2 1 2 32 4 3
1 2 3
2 2
x
++
= = = + 
( )
2
2 1 2 32 4 3
1 2 3
2 2
x
−−
= = = − 
 
18. 
a) 
( )
2 5 0
5 0
x = 0 ou x - 5 = 0
x = 0 ou x = 5 
x x
x x
− =
− =
 
S = {0,5} 
 
b) 
( )
2 4 0
4 0
x = 0 ou x + 4 = 0
x = 0 ou x = - 4
x x
x x
+ =
+ =
 
S = {0,–4} 
 
c) 
( )
22 10 0
2 10 0
x = 0 ou 2x - 10 = 0
x = 0 ou x = 5
x x
x x
− =
− =
 
S = {0,5} 
 
19. 
20 22
10
2 2
5 2
+
=

 
Vamos colocar a menor potência em evidência no 
numerador, lembrando que 222 pode ser reescrito 
assim: 22 20 22 2 2=  
( )20 220 20 2
10 10
2 1 22 2 2
5 2 5 2
++ 
=
 
 
O resultado dentro dos parêntesis é 5, e vamos usar 
a propriedade de potências: divisão de potência de 
mesma base, mantém a base e subtrai os expoentes. 
202 5
5
20 10 10
10
2 2
2
−= =

 
102 1024 32= = 
 
20. D 
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( )
( )
20 1232 20
25 19 19 6
3 3 13 3
3 3 3 3 1
−−
=
+ +
 
= 
( )
( )
20 19 12
6
3 3 1
3 1
− −
+
 
Agora vamos usar a fatoração por diferença de dois 
quadrados. Para isso, teremos que notar que 
( )
2
12 63 3= . 
( )1 63 3 1+
=
( )
( )
6
6
3 1
3 1
−
+
( )63 3 1=  −
 
( )3 729 1 2184=  − = 
 
21. D 
 
3 2 1
2
2 2 2
2 2
n n n
n n
A
+ + −
−
+ −
=
+
 
3 2 1
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
n n n
n n
A
−
−
 +  − 
=
 +
 
Fator comum em evidência: 
( )
( )
3 2 1
2
2 2 2 2
2 2 1
n
n
A
−
−
+ −
=
+
 
2n
A =
1
8 4
2
2n
 
+ − 
 
16 8 1
2
1 41
1
44
+ −
=
+ 
+ 
 
 
23 4 46
2 5 5
A =  = 
 
22. A 
Para x = 4, temos que o valor de 
( )
3
2 5
4
x x
x
+
 é: 
( )
3
2 5 6 5
4 4
x x x x
x x
+ +
= 
( )5
4
1x x
x
+
= 
( )5 4 1x x−= + 
( )1x x=  + 
Para x = 4, 
( )4 4 1 20=  + = 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR 
23. A 
24. B 
25. A 
26. C 
27. E 
28. A 
29. B 
30. D 
31. C 
32. B 
33. C 
Desenvolvendo 227 3 3 3 3=  = 
Então, 
( )
( )
2
2
27 3 1
3 3 3 1
+ − =
+ − =
 
( )
2
4 3 1− = 
Elevando ao quadrado usando o produto notável: 
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( )
( )
2
2
2
4 3 1
4 3 2 4 3 1 1
48 8 3 1
49 8 3
− =
−   + =
− + =
−
 
Comparando com 3a b+ tem–se a = 49 e b = –8, e 
a soma (a + b) é 41. 
 
34. D 
35. A 
36. C 
37. E 
38. D 
39. C 
3 7
7 3 7 3
+ =
+ −
 
Mínimo múltiplo comum é o produto de ambos. Hora 
de usar tudo junto: frações, raízes e até um 
pouquinho de produtos notáveis: 
( ) ( )
( ) ( )
3 7 3 7 7 3
7 3 7 3
 − +  +
=
+  −
 
21 3 7 21
7 21
− + +
− 21+ 3
=
−
 
4 2 21
7 3
+
=
−
 
4 2 21
4
+
= 
Colocando 2 em evidência no numerador, 
( )2 2 21 2 21
4 2
+ +
= 
 
40. C 
41. 29 
42. D 
43. D 
44. E 
45. B 
46. E 
47. B 
48. D 
49. B 
50. B 
51. D 
52. A 
53. Equacionando, 
2 2195997 195998x+ = 
( )( )
2 2195998 195997
195998 195997 195998 195997
x
x
= −
= + −
 
• O segundo parêntesis dá resultado 1. 
• O primeiro parêntesis dá resultado 391 995. 
Por isso, o resultado é 391 995 que é, sim, múltiplo 
de 5. 
Observação: Fizemos a conta acima, mas não 
precisaria nem somar, porque a casa das unidades 
será a unidade da soma 7 + 8, e portanto, será 5. 
 
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