cap 10 - Metodo dos deslocamentos - 31Oct20

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1 
 
10 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
Um sistema isostático é estaticamente determinado, isto é, todas as reacções de apoio e 
esforços internos nas barras são conhecidos. Um sistema isocinemático é cinematicamente 
determinado: todos os deslocamentos dos nós e dos apoios são conhecidos. 
Pode fazer-se um paralelismo entre a resolução de um sistema isostático / hiperestático e a 
resolução de um sistema isocinemático / hipercinemático. 
Num sistema isocinemático, as condições cinemáticas permitem conhecer todos os 
deslocamentos dos nós de extremidade das barras e dos apoios externos. Conhecidos os 
deslocamentos dos nós de extremidade das barras, é possível obter as deformações internas a 
partir de condições de compatibilidade e os esforços internos nas extremidades das barras 
pelas relações de rigidez, Figura 10-1. 
 
Figura 10-1. Resolução de um sistema isocinemático 
Se as ligações internas e externas forem insuficientes, o sistema é hipercinemático 
(cinematicamente indeterminado) e as condições cinemáticas não são suficientes para 
Movimentos da 
estrutura 
Condições 
cinemáticas Deslocamentos 
Condições de 
compatibilidade 
Deformações 
Relações de rigidez Esforços 
 
2 
 
calcular todos os deslocamentos dos nós de extremidade das barras. Neste caso, a resolução 
implica a sobreposição de sistemas isocinemáticos (cinematicamente determinados). 
Fazendo-se a introdução de condições adicionais, de equilíbrio de forças nos nós, 
determinam-se os deslocamentos dos nós da estrutura. 
10.1 Barra biencastrada 
A Figura 10-2 ilustra um elemento pertencente a uma estrutura plana antes (configuração 
AB) e depois (configuração A'B') de se aplicar cargas à estrutura. O movimento descrito na 
passagem da configuração inicial AB para a configuração final A'B' pode ser descrito pelos 
deslocamentos 1d , 2d , 3d , 4d , 5d e 6d . Estes deslocamentos são organizados no vector dos 
deslocamentos nodais, 
 





















6
5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
d
ed . (10-1) 
Para além da carga de vão, q, o elemento está sujeito às forças 1x , 2x , 3x , 4x , 5x e 6x , que 
são necessárias aplicar aos nós de extremidade A' e B' para manter o elemento em equilíbrio. 
Estas forças são correspondentes aos deslocamentos ed e são organizados no vector das 
forças nodais do elemento, 
 





















6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
ex . (10-2) 
 
3 
 
Note-se que se usou a convenção universal de sentidos para os deslocamentos ed e para os 
esforços ex . Note-se ainda que esta convenção de sentidos difere da usada para os esforços 
internos no método das forças nos casos do esforço axial à esquerda ( iN ), esforço transverso 
à direita ( jT ) e do momento à esquerda ( iM ). O mesmo se dirá para as correspondentes 
deformações ie , j e i . 
 
Figura 10-2 
 
Figura 10-3 
A transição do elemento da posição inicial AB para a posição final A'B' é, na concepção em 
que se baseia o método dos deslocamentos, devida à acção simultânea de dois grupos de 
solicitações, nomeadamente os deslocamentos nodais 1d , 2d , 3d , 4d , 5d e 6d , e a carga de 
vão. 
q
x_2
i j
x_3
x_1
L_e
x_6
x_5
x_4
A
B
i
j
d_2
d_5d_6
d_1 d_4
B'
A' 
d_3
q
L_e
 
4 
 
Quando os deslocamentos nodais são nulos a estrutura é isocinemática (cinematicamente 
determinada). Nestas condições, e quando não há cargas de vão, o elemento é denominado 
elemento-base. 
 
Figura 10-4 
D 10-1. Chamemos de ijK a força nodal ix que se desenvolve no elemento-base quando este é 
solicitado pelo deslocamento 1jd , sendo os restantes deslocamentos nulos ( 0kd , jk  ), assim 
como a solicitação de vão. 
 
Figura 10-5a 
 
Figura 10-5b 
ji e
d_2=1
6EI/L^2
6EI/L^2
12EI/L^3
12EI/L^3 
i je
d_1=1
EA/L EA/L
i je
L
 
5 
 
 
Figura 10-5c 
 
Figura 10-5d 
 
Figura 10-5e 
 
Figura 10-5f 
i
j
e
g_6 = 1
4EI/L 
2EI/L 
6EI/L^26EI/L^2
ji e
d_5=1
6EI/L^2
6EI/L^2
12EI/L^3
12EI/L^3
d_4=1
i j
e
EA/LEA/L
i
je
g_3 = 1
2EI/L
4EI/L
6EI/L^2
6EI/L^2
 
6 
 
Para 1j na definição D 10-1, é imediato que 01  ii Kx para i = 2, 3, 5, 6, uma vez que 
há apenas deformação axial na barra. O esforço axial N é constante na barra, 41 xxN  . 
Sendo 𝑁 constante, o deslocamento axial 𝑑 será: 
EA
NL
d 1 . 
Portanto, 







L
EA
Kxx
L
EA
Kx
4114
111
. 
Quando o elemento-base é solicitado pelo deslocamento nodal 1d (Figura 10-5a), temos, 
então, que 
 
1
0
0
0
0
d
L
EA
L
EA
e























x . (10-3) 
Para 4j , também 04  ii Kx para i = 2, 3, 5, 6. Pode-se verificar facilmente que 







L
EA
Kxx
L
EA
Kx
4414
141
. 
Quando o elemento é solicitado pelo deslocamento 4d (Figura 10-5d) temos, então, 
 
7 
 
 
4
0
0
0
0
d
L
EA
L
EA
e






















x . (10-4) 
Para 2j , 3, 5 ou 6, pode-se usar o conhecimento da linha elástica de uma barra para obter 
os valores de ijK . Se designarmos por )(xv o deslocamento vertical do eixo neutro (sentido 
positivo para cima), a curvatura do eixo neutro é, para pequenas deformações, 
2
2
d
d
x
v
. 
Sabe-se da Resistência de Materiais que a curvatura no intervalo xd é dada por EIM / . 
Portanto, 
EI
M
x
v

2
2
d
d
. 
A rotação relativa entre secções afastadas de xd será dada pela integração da equação da 
curvatura e o deslocamento vertical v é dado pela segunda integração da equação da 
curvatura. 
Os esforços nas extremidades são 2x , 3x , 5x e 6x . O diagrama de momentos varia 
linearmente de 3x até 6x . A equação será, atendendo à convenção de sentidos positivos para 
o momento flector, 
2
2
63
3 d
d
x
v
EIx
L
xx
xM 

 
A integração da equação diferencial e a imposição de condições de fronteira permite obter 3x 
e 6x : 
 
8 
 
13
2
63
2d
d
cxx
x
L
xx
x
v
EI 

 
e 
21
2
3
3
63
26
cxc
x
x
x
L
xx
vEI 

 
ou 
 








 21
2
3
3
63
26
1
cxc
x
x
x
L
xx
EI
v . (10-5) 
Para a segunda coluna de eK ( 2j ), temos que 12 d e 0id para 2i . Não havendo 
deformação axial, 
 
0421241  KKxx . (10-6) 
As equações de v e xv/dd têm 4 incógnitas, 3x , 6x , 1c e 2c , que se determinam com 4 
condições de fronteira: 
 
 












0/
0)(
0/
1)0(
0
0
x
x
dxdv
Lv
dxdv
v
. 
Resolvendo o sistema de equações acima obtém-se 
 












EIc
c
L
EI
Kx
L
EI
Kx
2
1
2626
2323
0
6
6
. (10-7) 
 
9 
 
222 Kx  e 525 Kx  são calculados pelas equações de equilíbrio de forças verticais e 
momentos: 
 
35222
12
L
EI
KK  . (10-8) 
Dos resultados (10-6), (10-7) e (10-8), podemos concluir que quando o elemento-base é 
solicitado pelo deslocamento nodal 2d (Figura 10-5b) o vector dos esforços nodais é dado 
por 
 
2
2
3
2
3
6
12
0
6
12
0
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e

























x . (10-9) 
Substituindo (10-7) em (10-5) obtemos a equação da deformada do elemento, ilustrada na 
Figura 10-5b, 
 







3
3
2
2 23
1
1
L
x
L
x
EI
v . (10-10) 
Para 3j , 13 d e 0id para 3i . Não havendo deformação axial, 04313  KK . Os 
esforços nas extremidades são 23K , 33K , 53K e 63K . As equações do momento flector M , 
dxdv / e v são as mesmas obtidas anteriormente. As 4 condições de fronteira são agora 
diferentes: 
 
10 
 
 
 












0/
0)(
1/
0)0(
0
0
x
x
dxdv
Lv
dxdv
v
. 
Facilmente se calcula que 
 







 6262323
2
1
6
0 =c
0 =c
Kx
L
EI
Kx
. (10-11) 
2
232 /6 LEIKx  e 
2
535 /6 LEIKx  são calculados por somatório de forças verticais e 
momentos. 
Desta forma, quando o elemento-base é solicitado pelo deslocamento nodal 3d(Figura 10-5c) 
obtém-se 
 
3
2
2
2
6
0
4
6
0
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e

























x . (10-12) 
Introduzindo (10-11) em (10-5) obtém-se a equação da deformada do elemento quando este é 
solicitado por 13 d : 
 







2
3221
L
x
L
x
x
EI
v . (10-13) 
 
11 
 
Continuando com o processo da linha elástica, pode-se verificar facilmente que o vector dos 
esforços nodais é dado por 
 
5
2
3
2
3
6
12
0
6
12
0
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e



























x (10-14) 
quando o elemento-base é solicitado pelo deslocamento nodal 5d (Figura 10-5e), e por 
 
6
2
2
4
6
0
2
6
0
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e

























x (10-15) 
quando o elemento é solicitado por 6d (Figura 10-5f). 
Usando o mesmo processo, pode-se determinar que equação da deformada do elemento 
quando solicitado por 15 d é 
 







2
2
3
3 321
L
x
L
x
EI
v (10-16) 
e por 
 
12 
 
 







L
x
L
x
EI
v
2
2
31
 (10-17) 
quando solicitado por 16 d . 
Designemos por ex os valores de ex quando todos os deslocamentos dos nós são nulos e há 
cargas de vão: 
 





















6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
e

x . (10-18) 
O vector (10-18) designa-se por vector de forças de fixação. 
Dos resultados (10-3), (10-4),(10-9), (10-12), (10-14) e (10-15) podemos concluir que 
quando se solicita o elemento-base com os deslocamentos 1d , 2d , 3d , 4d , 5d e 6d e a 
solicitação de vão os esforços nodais são dados por 

































































































6
5
4
3
2
1
6
2
2
2
2
3
2
3
1
4
6
0
2
6
0
...
6
12
0
6
12
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
d
L
EA
L
EA
e

x 
ou 
 
13 
 
 


































































































6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
6
5
4
3
2
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
x
x
x
x
x
x
d
d
d
d
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
x
x
x
x
x
x

 (10-19) 
ou na forma compacta: 
 
eeee xdKx  (10-20) 
se definirmos 
 





































L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
e
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
K . (10-21) 
A matriz eK é designada por matriz de rigidez do elemento. Os elementos da diagonal da 
matriz de rigidez são sempre positivos. A matriz de rigidez é simétrica e não invertível. 
Podem calcular-se os valores de ex para cada tipo de carga de vão: axial ou transversa, 
uniforme, concentrada, etc. Para tal, pode usar-se o processo da linha elástica. 
 
14 
 
Exemplo 10-1. Determine ex para uma carga transversa uniforme ao longo do vão. É fácil de 
ver que 041  xx . A equação dos momentos flectores é 
2
2
322
2 x
pxxx
dx
vd
EIM  . 
Por integração sucessiva, obtém-se' 
1
3
3
2
2
62
c
xp
xx
xx
dx
dv
EI  
e 
21
42
3
3
2
2426
cxc
xpxxxx
vEI  . 
Para 0x e para Lx  tem-se 0v e 0d/d xv , donde se obtém 
 
252
Lp
xx  , 
12
2
63
Lp
xx  . 
(10-22) 
Para as cargas mais habituais, os valores de ex já foram calculados e são dados em tabelas 
(veja a Tabela 10-1). 
10.2 Simplificação da equação matricial de equilíbrio 
Como se verá mais adiante, na resolução de problemas usando o método dos deslocamentos, 
surgem várias situações em que alguns deslocamentos nodais de determinados elementos são 
nulos. Este facto permite simplificar a escrita da expressão (10-19). Se, por exemplo, 1d , 2d e 
3d de um determinado elemento forem nulos, a primeira, segunda e terceira coluna da matriz 
de rigidez deixam de existir e a expressão torna-se 
 
15 
 























































































6
5
4
3
2
1
6
5
4
2
23
2
23
6
5
4
3
2
1
46
0
612
0
00
26
0
612
0
00
x
x
x
x
x
x
d
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
x
x
x
x
x
x

. 
Suponhamos, agora, que das 6 equações presentes na equação matricial anterior só interessa 
determinar os esforços 1x , 2x e 3x . Da equação matricial anterior extraímos as primeiras 3 
equações obtendo-se 



















































3
2
1
6
5
4
2
23
3
2
1
26
0
612
0
00
x
x
x
d
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
x
x
x
. 
Consideremos agora o problema da escrita da equação matricial que permite determinar as 
forças nodais 5x e 6x , actuantes num elemento, que equilibram a acção dos deslocamentos 
nodais correspondentes e a acção da solicitação de vão. 
Os deslocamentos correspondentes aos esforços 5x e 6x são os deslocamentos 5d e 6d . Os 
deslocamentos 5d e 6d correspondem às colunas 5 e 6 da matriz (10-21). As forças 5x e 6x 
correspondem às linhas 5 e 6. Portanto na matriz (10-21) lemos os elementos das colunas 5 e 
6 que estão nas linhas 5 e 6. A equação pedida é, então 






























6
5
6
5
2
23
6
5
46
612
x
x
d
d
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
x
x
. 
Mais adiante será visto que a escrita deste tipo de equações, que relacionam os esforços com 
os deslocamentos nodais correspondentes, é um ingrediente na automatização do método dos 
 
16 
 
deslocamentos. A escrita será feita indirectamente determinando-se a matriz de rigidez que 
relaciona os tais esforços e deslocamentos nodais assim como os correspondentes esforços de 
fixação. 
No caso da equação acima, tal seria feito começando-se por definir os vectores ed e ex : 







6
5
d
d
ed 
e 







6
5
x
x
ex . 
A matriz de rigidez correspondente a estes vectores ed e ex , 













L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
e 46
612
2
23
K , 
e o vector 







6
5
x
x
ex 
seriam depois determinados. 
10.3 Outros tipos de elementos 
Para além da barra com os dois nós de extremidade rígidos, interessa conhecer, as matrizes de 
rigidez e as forças de fixação de outros dois tipos de barras: barra com uma extremidade 
rígida e a outra articulada e barra biarticulada. 
Tanto as matrizes de rigidez como as forças de fixação podem ser calculadas pelo mesmo 
processo que se utilizou para a barra com os dois nós rígidos. 
 
17 
 
10.4 Barra com uma extremidade rígida e outra articulada 
Assumindo que o nó j é a extremidade articulada, 6d pode ser escrito em função dos outros 
deslocamentos, porque se sabe ser nulo 6x (a força correspondente). Da equação (10-19) vem 
0
4626
66523226
 xd
L
EI
d
L
EI
d
L
EI
d
L
EI
x , 
ou seja,' 
62326523226 42
3
2
1
2
3626
4
x
EI
L
d
L
dd
L
xd
L
EI
d
L
EI
d
L
EI
EI
L
d 




  . 
Os deslocamentos independentes são, portanto, 1d , 2d , 3d , 4d , 5d , e a matriz de rigidez 
correspondente tem dimensão 55 . 
 
Figura 10-6 
 
Figura 10-7 
 
x_2
i j
x_3
x_1
q
L_e
x_5
x_4
d_2
i jd_3
d_1
p
L_e
d_5
d_4
L
i j
e
 
18 
 
Figura 10-8 
O vector dos deslocamentos nodais e dos esforços tomam as seguintes formas: 

















5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
ed 
e 

















5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
ex . 
Pode-se calcular os valores de 6d que façam com que 6x seja nulo quando sucessivamente 
1id para 2i , 3, 5 e os restantes jd são nulos ( ij  ). Por exemplo, para 12 d , temos 
0/4/6 6
2
6  dLEILEIx , donde se obtém Ld /5.16  . Obtém-se 5.06 d para 
13 d e Ld /5.16  para 15 d . 
Com esses valores de 6d , é fácil obter a nova matriz de rigidez (5x5). Cada coluna 
correspondente a 1id será obtida somando os seus valores aos da (anterior) coluna 6 
multiplicados pelos correspondentes valores obtidos para 6d . Por exemplo, a segunda coluna 
será 







































































3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
0
3
3
0
5.1
6
0
2
6
0
12
0
6
12
0
L
EI
L
EI
L
EI
L
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
ex . 
 
19 
 
Exercício 10-1. Usando o processo descrito nos parágrafos anteriores verifique que a matriz 
de rigidez (5 x 5) da barra com um nó rígido (nó i ) e um nó articulado (nó j ) é dada por 
 
































323
22
323
3
0
33
0
000
3
0
33
0
3
0
33
0
000
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
eK . (10-23) 
Exercício 10-2. Usando o processo da linha elástica, determine os esforços ex de um 
elemento encastrado-articulado para uma carga uniformemente distribuída e para uma carga 
concentrada a meio do vão. Verifique os resultados obtidos com os dados na Tabela 10-2. 
Exercício 10-3. Usando o processo da linha elástica determine as equações das deformadas 
do elemento encastrado-articulado correspondentes a acção 1id ( i = 1, 2, 3, 4, 5). 
Verifique que estas deformadas têm as formas ilustradas nas Figura 10-9. 
 
Figura 10-9a 
i j
e
d_1=1
EA/L EA/L 
 
20 
 
 
Figura 10-9b 
 
Figura 10-9c 
 
Figura 10-9d 
 
Figura 10-9e 
i j
e
d_2=1
3EI/L^2
3EI/L^3
3EI/L^3
i
je 
d_4=1
EA/LEA/L
i
j
e
g_3 = 1
3EI/L
3EI/L^23EI/L^2
i
j
e
d_2=1
3EI/L^2
3EI/L^3
3EI/L^3
 
21 
 
10.5 Barra biarticulada 
Na barra biarticulada, Figura 10-10 e Figura 10-11, apenas interessam os dois deslocamentos 
nodais axiais 







4
1
d
d
ed 
e as correspondentes forças nodais 







4
1
x
x
ex . 
 
Figura 10-10 
 
Figura 10-11 
 
Figura 10-12a 
 
Figura 10-12b 
A matriz de rigidez da barra biarticulada (veja a Figura 10-12) é, então, 
i
e
j
d_4=1
EA/L EA/L
j
e
i
d_1=1
EA/L EA/L
i j
e
L_e
e 
ji
d_1 (x_1) d_4 (x_4)
 
22 
 
 













L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
eK . (10-24) 
A equação matricial da barra será, portanto, 
 






























4
1
4
1
4
1
x
x
d
d
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
x
x
. (10-25) 
10.6 Graus de hipercinematicidade 
Os elementos estruturais mais simples cujos comportamentos já são conhecidos são os 
elementos biencastrados (Figura 10-4), os encastrados-articulados (Figura 10-6) e os 
elementos biarticulados (Figura 10-11). Estes elementos são isocinemáticos 
(cinematicamente determinados). Qualquer combinação destes elementos gera sistemas 
estruturais que também são isocinemáticos, como é o caso do sistema ilustrado na Figura 
10-13. Neste sistema os elementos AC e CD são biencastrados e o elemento DB é encastrado-
articulado. 
O comportamento dos sistemas isocinemáticos é, pois, caracterizado pelo facto de não haver 
interacção entre os elementos. O comportamento do elemento CD, por exemplo, depende 
exclusivamente das cargas nele aplicadas; isto é, cargas aplicadas nos elementos AC ou BD 
não interferem no comportamento da barra CD. 
Se, como se ilustra na Figura 10-14, introduzirmos uma articulação em D, a independência 
dos comportamentos dos elementos CD e DB deixa de existir. Uma carga aplicada no 
elemento CD, por exemplo, afecta no comportamento do elemento DB. Esta dependência é 
melhor caracterizada pela deformada da Figura 10-15. A resposta da estrutura já não pode ser 
determinada dos resultados obtidos no estudo dos comportamentos dos elementos 
biencastrados e encastrados-articulados. Diz-se, por isso, que a estrutura se tornou 
hipercinemática (ou cinematicamente indeterminada). Os comportamentos dos elementos CD 
e DB só serão conhecidos quando se conhecer a rotação g, a única incógnita básica do 
 
23 
 
problema. Visto que a rotação g é a única incógnita do problema, diz-se que a estrutura é 
uma vez hipercinemática. 
As estruturas hipercinemáticas são, deste modo, caracterizadas pela interacção que se verifica 
nos elementos que a compõem. 
 
Figura 10-13 
 
Figura 10-14 
A B
C 
D
P_1
q
P_2
g 
g
P_1 
A B 
C
D
q
P_2 
 
24 
 
 
Figura 10-15 
No caso geral, define-se como grau de hipercinematicidade (ou grau de indeterminação 
cinemática) de uma estrutura,  , o número de deslocamentos nodais e de descontinuidades 
que é necessário e suficiente conhecer para determinar univocamente os deslocamentos em 
todos os nós e as descontinuidades em todas as libertações da estrutura. Por outras palavras, é 
o menor número de deslocamentos nodais e de descontinuidades que é necessário impedir na 
estrutura para a reduzir a um sistema de elementos-base isocinemáticos. 
O grau de hipercinematicidade das estruturas pode, então, ser determinado, colocando 
bloqueamentos na estrutura, um a um, até a reduzir num sistema constituído pelos elementos 
isocinemáticos disponíveis. 
Note-se que se considerar disponível só o elemento biencastrado, o sistema estrutural da 
Figura 10-13 tornar-se uma vez hipercinemático (ou uma vez cinematicamente 
indeterminado), enquanto que o da Figura 10-14 transforma-se em duas vezes 
hipercinemático. 
Exemplo 10-2. Determine o grau de hipercinematicidade da estrutura da Figura 10-16, 
assumindo que o único elemento isocinemático disponível é o elemento biencastrado. 
A B
C
D
g
g 
 
25 
 
 
Figura 10-16 
Como se ilustra na Figura 10-17, para reduzir o sistema estrutural dado num sistema de 
elementos biencastrados é necessário impedir os três movimentos do nó B e as translações 
horizontais e rotações dos nós B e C. O número total de bloqueamentos colocados é 7. O grau 
de hipercinematicidade é, portanto, 7. Estes graus são hB , vB , B , hC , C , hD , vB , B ,
hC , D , ilustrados na Figura 10-18. 
. 
 
Figura 10-17 
A B
D
C
A B
D
C
5.0m 4.0 
3.0
3.0
 
26 
 
 
Figura 10-18 
Exemplo 10-3. Determine o grau de hipercinematicidade da estrutura do exemplo anterior 
assumindo que agora estão disponíveis o elemento biencastrado e o elemento encastrado-
articulado. 
Para transformar o sistema dado num sistema de elementos biencastrados e encastrados-
articulados é necessário impedir os três movimentos de B e as traslações dos nós C e D (veja 
a Figura 10-19). O elemento AB torna-se biencastrado enquanto que os elementos BC e BD 
tornam-se encastrados-articulados. Assim sendo, a estrutura é 5 vezes hipercinemática (ou 5 
vezes cinematicamente indeterminada). Conforme ilustrado na Figura 10-20, os graus de 
indeterminação são: hB , vB e B , hC e hD . 
 
Figura 10-19 
A B 
D 
C 
A
B 
D 
C 
dhD
dhB
dvB
rB 
dhD
rD
rC
 
27 
 
 
Figura 10-20 
Se se aceitar que as deformações axiais de algumas barras são desprezáveis, reduz-se o grau 
de hipercinematicidade, mas aumenta a complexidade de resolução, como mais adiante se 
poderá ver. No cálculo em computador, consideram-se todas as barras como compressíveis 
porque a redução do tempo de cálculo é desprezável,em comparação com o aumento da 
complexidade da resolução. 
Para a determinação do grau de hipercinematicidade em estruturas com barras 
incompressíveis pode recorrer-se ao seguinte procedimento: 
1. Coloque bloqueamentos na estrutura até estar claro que a estrutura está reduzida num 
sistema constituído pelos elementos isocinemáticos considerados; (Nos passos seguintes 
contamos somente os movimentos que são necessários bloquear para que estes não 
ocorram.) 
2. Para cada um dos movimentos lineares bloqueados trace uma deformada cinematicamente 
admissível. Se, para um dado movimento bloqueado, tal deformada existir conte esse 
movimento como grau de hipercinematicidade; pois esse bloqueamento é necessário para 
que o movimento não ocorra. Se a deformada não existir não conte esse movimento como 
grau de hipercinematicidade, porque o bloqueamento associado é desnecessário para que 
o movimento não ocorra; (uma deformada cinematicamente admissível é aquela que 
satisfaz todas as condições de continuidade dos deslocamentos e das rotações de cada 
barra e obedece as condições de ligação de cada barra aos nós de extremidade e de 
fundação.) 
A
B
D
C 
dhD 
dhB
dvB
rB
dhD 
 
28 
 
3. Os graus de hipercinematicidade são as rotações bloqueadas no passo 1 e os movimentos 
lineares que foram verificados no passo 2 como necessários bloquear para que tais não 
ocorram. 
A redução da hipercinematicidade apenas afecta os deslocamentos nodais lineares (não afecta 
as rotações). Os esforços axiais nas barras incompressíveis não são função das deformações 
axiais (que se assumem serem nulas) e são obtidos por equilíbrio dos nós. Uma mesma 
estrutura pode ter barras compressíveis e incompressíveis. 
Exemplo 10-4. Determine os graus de hipercinematicidade da estrutura da Figura 10-21 
admitindo que o único elemento isocinemático disponível é o elemento biencastrado. 
 
Figura 10-21 
Passo 1. Colocamos bloqueamentos que impedem as rotações dos nós A, B, C, D e E (veja a 
Figura 10-22). 
Sendo A um ponto fixo e AD uma barra incompressível, o movimento de D, caso este ocorra, 
será ao longo to tracejado oblíquo (Figura 10-23). Por outro lado, a incompressibilidade da 
barra DB e a imobilidade do ponto B obrigam que o movimento de D seja somente ao longo 
do tracejado horizontal. O único ponto comum aos dois tracejados é o próprio ponto D. Desta 
forma, concluímos que D é um ponto fixo. 
Como se ilustra na Figura 10-24, o ponto C também é um ponto fixo. O ponto C é fixo 
porque se não fosse o seu movimento teria quer ser, simultaneamente, ao longo do tracejado 
vertical, devido à imobilidade do ponto B e à incompressibilidade da barra BC, e ao longo do 
tracejado horizontal, devido à presença do apoio simples. 
B C 
D E
A
 
29 
 
Se o ponto E se mover, o movimento deverá ser ao longo do tracejado vertical devido ao 
facto de o ponto D estar fixo e DE ser uma barra incompressível. O movimento de E também 
deve ser ao longo do tracejado oblíquo, porque C é um ponto fixo e CE é uma barra 
incompressível. Visto que os dois tracejados encontram-se no próprio ponto E concluímos 
que E é um ponto fixo (Figura 10-25). 
 
Figura 10-22 
 
Figura 10-23 
 
Figura 10-24 
B C
D E
A
B
C 
D
E
A
B
C
D
E
A
 
30 
 
 
Figura 10-25 
Passo 2. Não há movimentos lineares. 
Passo 3. O grau de hipercinematicidade é 5. Os graus são: A , B , C , D e E . 
Exemplo 10-5. Utilizando o procedimento anteriormente sugerido, determine os graus de 
hipercinematicidade da estrutura ilustrada na Figura 10-26. Veja as três barras como 
incompressíveis. 
 
Figura 10-26 
Passo 1. Começamos por bloquear as rotações dos nós B e C colocando neles chapas rígidas, 
Figura 10-27. Os tracejados ilustram as possibilidades dos movimentos dos nós B e D, Figura 
10-28. 
1.5m 2.0 1.5 
A 
B C 
D
2.0 
B C 
D E
A 
 
31 
 
 
Figura 10-27 
 
Figura 10-28 
Colocamos, por exemplo, um bloqueamento que impede o movimento horizontal do nó B. 
Vemos que B é um ponto fixo, Figura 10-29; pois, se o ponto B se movesse o seu movimento 
do ponto B teria que ser, simultaneamente, ao longo to tracejado vertical, devido à presença 
do apoio simples, e ao longo do tracejado oblíquo, devido o facto de A ser um ponto fixo e a 
barra BC incompressível. 
 
Figura 10-29 
A seguir pode-se impedir o movimento horizontal do nó D. Sendo B e D pontos fixos e as 
barras BC e CD incompressíveis, o ponto C torna-se fixo, pois, se não fosse teria que se 
mover simultaneamente ao longo dos dois tracejados, Figura 10-30. Vemos que a estrutura é 
A 
B C 
D
A
B C 
D 
A 
B C 
D
 
32 
 
um sistema de dois elementos biencastrados (AB e BC) e um elemento encastrado-articulado 
(CD). 
 
Figura 10-30 
Passo 2. Libertando o movimento horizontal de B obtemos a deformada ilustrada na Figura 
10-31. A deformada mostra que o movimento horizontal de B ocorre quando este é 
desbloqueado. Por essa razão, contamos este movimento como grau de iindeterminação. 
 
Figura 10-31 
Libertando o movimento horizontal de D obtemos a deformada ilustrada na Figura 10-32. 
Nesta deformada vemos que o movimento horizontal de D ocorre quando este é 
desbloqueado. Assim vemos que o movimento horizontal de D é realmente um grau de 
indeterminação. 
A
B 
C 
D
B
C
1
1.25
0.75
1 0.75
1.25
C"
C'
B" 
B'
11
 
A
B C 
D
 
33 
 
 
Figura 10-32 
Passo 3. No passo 1 foram bloqueadas duas rotações. No passo 2 foram bloqueados dois 
movimentos lineares (que podem ocorrer). Logo a estrutura tem 4 graus de indeterminação 
cinemática, representados por 𝛿 , 𝜃 , 𝜃 e 𝛿 , Figura 10-33. 
 
Figura 10-33 
10.7 Traçado de deformadas 
Quando os  deslocamentos nodais são impedidos a estrutura obtida é isocinemática, por 
definição. Nestas circunstâncias é fácil determinar as deformadas resultantes da acção dos  
deslocamentos nodais. Cada uma das deformadas deve ser cinematicamente admissível. 
Para ilustrar o processo toma-se como exemplo a determinação da deformada da Figura 
10-31. Liberta-se o movimento horizontal de B e marca-se a nova posição vertical do ponto 
B, o tracejado que contém o ponto B" (Figura 10-34b). Para facilitar a análise desligam-se as 
barras AB e BC no nó B. Como o ponto A está fixo e a barra AB é incompressível o 
A 
B C 
D
d_hD
d_hB
r_B r_C
A 
B 
C
D 
1
D'
D" 
C"
0.6
1 
0.8 
0.75
0.45
0.6 
C
C'
 
34 
 
movimento da extremidade B da barra AB é ao longo do tracejado BB' (Figura 10-34c). Para 
recuperar a condição de compatibilidade no nó B voltamos a ligar as duas barras. Para tal o 
movimento da extremidade B da barra BC é decomposto em dois movimentos: o primeiro 
axial e o segundo transverso à barra BC. O movimento axial força a desconexão das barras 
BC e CD no nó C (Figura 10-34d). Agora tem que se voltar a ligar as barras BC e CD no nó 
C para recuperar a condição de compatibilidade no nó C. Como o ponto D é fixo e CD é uma 
barra incompressível, o movimento de C será ao longo do tracejado CC'. Por outro lado, 
como o nó B está fixo na posição B"B' e a barra BC é incompressível o movimento do ponto 
C deve ser ao longo do tracejado C"C'. Estes dois tracejados encontram-se no ponto C', a 
nova posição do ponto C (veja a Figura 10-34e). 
 
Figura 10-34a 
 
Figura 10-34b 
A 
B C 
D
B"
1
 
A 
B
C 
D
 
 
35 
 
 
Figura 10-34c 
 
Figura 10-34d 
 
Figura 10-34e 
Outra deformada que interessa analisar é a da Figura 10-32. Começa-se por libertar a ligação 
que impede o movimento horizontal de D. A seguir marca-se a nova posição do ponto D, o 
ponto D', (veja a Figura 10-35b). A passagem do nó D para a posição D' pode ser vista como 
A
B
C
D
B
C
1
1.25
0.75
1 0.75
1.25
C"
C'
B" 
B'
1 1 
 
 
11 
A
B
C 
D
B" 
B'
C"
1 
A
B 
C 
D 
B'
B" 
 
 
36 
 
composição de dois movimentos: um movimento axial (o primeiro) e outro transverso (o 
segundo). No movimento axiala barra CD muda para a posição C"D" (veja a Figura 10-35c). 
Este movimento força a desconexão da barra CD no nó C. Para recuperar a condição de 
compatibilidade no nó C temos de ligar novamente as barras BC. Visto que B é um nó fixo e 
BC é uma barra rígida o movimento de C será ao longo do tracejado CC'. Em contrapartida, 
como o nó D está fixo na posição D"D' e a barra CD é incompressível o movimento de C" 
será ao longo do tracejado C"C'. O ponto comum a estes dois tracejados determina a nova 
posição do ponto C, o ponto C' (veja a Figura 10-35d). 
 
Figura 10-35a 
 
Figura 10-35b 
 
Figura 10-35c 
A 
B
C 
D
 
1
D'
D" 
C"
A
B
C
D
 
1
D'
 
A 
B
C 
D
 
37 
 
 
Figura 10-35d 
10.8 Resolução de sistemas hipercinemáticos 
Para ilustrar o procedimento da resolução de sistemas hipercinemáticos, considere a viga da 
Figura 10-36a. 
 
Figura 10-36a 
 
Figura 10-37b 
 
p = P/L
P
E, I, A
A 
q_0 
B
C
E, I, A 
B 
A C 
p = P/L
P
LL
E, I, A 
A
g 
L/2
B
C 
E, I, A
A
B 
C
D 
 
1
D'
D" 
C"
0.6
1 
0.8 
0.75
0.45
0.6 
C
C'
 
38 
 
Figura 10-36c 
 
Figura 10-36d 
 
Figura 10-36e 
O sistema tem 2 graus de indeterminação cinemática: a rotação e o deslocamento horizontal 
em B. Para cargas verticais o grau de hipercinematicidade é apenas a rotação em B. A rotação 
em B será designada por g . A estrutura-base associada ao sistema estrutural dado está 
ilustrada na Figura 10-36b. 
A resolução faz-se sobrepondo 2 sistemas isocinemáticos (cinematicamente determinados): 
um com as cargas dadas e a rotação em B nula (Figura 10-36c) e outro sem cargas e a rotação 
em B igual a g (Figura 10-36d). A componente da solução associada às cargas dadas é 
designada por solução particular, enquanto que a associada à rotação g é designada por 
solução complementar. 
Para garantir que g seja nulo na solução particular tem que se aplicar em B um momento 
igual a 0q (Figura 10-36c). O momento 0q é, portanto, uma força de fixação. Na solução 
complementar, a rotação g é assegurada aplicando no nó B um momento igual a cq (Figura 
10-36d). Ao sobrepor estes dois sistemas obtém-se o sistema estrutural dado, onde o 
momento em B é igual a 
 
00  cqqq , (10-26) 
p= P/L
P
E, I, A 
A
B
C E, I, A 
V_A V_B V_C
M_A M_Cq
E, I, A 
E, I, A 
A
B
q_c
C
g
g
 
39 
 
pois, na estrutura dada não há momento aplicado ao nó B. 
Visto que o sistema da Figura 10-36d é isocinemático, os comportamentos dos seus 
elementos são independentes um do outro, o que os permite analisar em separado (Figura 
10-38a). As forças indicadas na figura não só mantêm o elemento em equilíbrio como 
também obedecem as condições de ligação dos apoios. Estas forças são as que se 
desenvolvem nas extremidades dos elementos para que o nó B não rode. 
Ao reconstruir a estrutura, é necessário, pois, somar as forças nodais no nó partilhado B 
(Figura 10-38b). Ao comparar o diagrama de corpo livre da Figura 10-38b com o sistema da 
Figura 10-36c verifica-se que o momento 0q é igual a 
 
24/
1280
PL
PLPL
q 




 (10-27) 
O momento 0q é, portanto, a soma dos momentos de fixação nas extremidades das barras que 
convergem no nó. 
 
 
Figura 10-38a 
q = P/L
P
A B
B C 
P/2 P/2
PL/12 
PL/12
P/2 p/2
PL/8
PL/8
 
40 
 
 
Figura 10-38b 
Como o sistema complementar também é isocinemático, os comportamentos dos seus 
elementos podem ser analisados em separado. Da matriz de rigidez (10-21) obtém-se os 
diagramas de corpo livre da Figura 10-39a. As forças indicadas na figura são as que se 
desenvolvem nas extremidades do elemento para introduzir as deformadas causadas pela 
rotação do nó B. Ao voltar a ligar os elementos obtém-se o diagrama da Figura 10-39b, que 
mostra que o momento nodal cq no sistema da Figura 10-36d é igual a 
 
g
L
EI
g
L
EI
g
L
EI
qc 















844
. (10-28) 
 
Figura 10-39a 
 
Figura 10-39b 
(2EI/L)g 
E, I, A
E, I, A 
A
B
(8EI/L)g 
(6EI/L^2)g
C
(2EI/L)g 
(6EI/L^2)g
g
g
E, I, A
E, I, A
A B
(2EI/L)g (4EI/L)g 
(6EI/L^2)g 
(6EI/L^2)g 
C 
(4EI/L)g (2EI/L)g 
(6EI/L^2)g (6EI/L^2)g 
B
g 
g
q = P/L
P
A 
B
C 
P/2
PL/12
P P/2 
PL/24 PL/8
 
41 
 
Introduzindo (10-27) e (10-28) em (10-26) obtém-se 
024/
8
 PLg
L
EI
q , 
donde 
EI
PL
g
192
2
 , 
ficando assim levantada a indeterminação cinemática da estrutura. 
Conhecido o deslocamento g é possível determinar qualquer variável do problema: os 
esforços internos, reacções de apoio, deformações e deslocamentos. É fácil calcular os 
momentos de extremidade por sobreposição da solução particular (Figura 10-38a) com a 
solução complementar (Figura 10-39a): 
196
7
196
2
12
2
12
2 PL
EI
PL
L
EIPL
g
L
EIPL
M AB 





 , 
48
5
196
4
12
4
12
2 PL
EI
PL
L
EIPL
g
L
EIPL
M BA 





 , 
48
5
196
4
8
4
8
 =
2
 BC
PL
EI
PL
L
EIPL
g
L
EIPL
M 





 , 
96
13
196
4
8
4
8
= 
2
CB
PL
EI
PL
L
EIPL
g
L
EIPL
M 





 . 
As reacções de apoio AV , BV e CV , com os sentidos positivos ilustrados na Figura 10-36e, 
são obtidos sobrepondo a solução particular (Figura 10-38b) e a solução complementar 
(Figura 10-39b): 
32
15
196
6
2
6
2
2
22
P
EI
PL
L
EIP
g
L
EIP
VA 





 , 
PVB  , 
 
42 
 
32
17
196
6
2
6
2
2
22
P
EI
PL
L
EIP
g
L
EIP
VC 





 . 
10.9 A equação do método dos deslocamentos 
Os  graus de indeterminação cinemática são organizados, segundo um sistema de eixos 
globais, no vector dos deslocamentos nodais da estrutura, g , segundo uma numeração 
sequencial previamente escolhida: 















g
g
g
...
2
1
g . 
Seja eL uma matriz que permite transformar os deslocamentos nodais g nos deslocamentos 
locais do elemento e ; isto é, 
 
gLd ee  . (10-29) 
A matriz eL é designada por matriz de transformação. Na determinação de eL é necessário 
analisar como é que a estrutura se deforma para cada deslocamento linear independente. eL 
pode ser determinado da seguinte forma: 
D 10-2. O elemento ijeL , de um elemento e é, portanto, o deslocamento ied , quando se 
impõe à estrutura-base 1jg e 0kg para jk  . 
Seja g um conjunto arbitrário de deslocamentos virtuais induzidos em todos os graus de 
hipercinematicidade da estrutura. Os deslocamentos nodais virtuais ed podem ser escritos 
em termos dos deslocamentos virtuais g como se segue: 
 
43 
 
 
gLd  ee  . (10-30) 
O trabalho externo virtual das forças nodais nos deslocamentos virtuais g será, então, 
  qg TW  . 
O trabalho interno virtual será 
  eTeU xd . 
De acordo com o teorema dos trabalhos virtuais, UW  : 
 
    eTeT xdqg  . (10-31) 
Substituindo (10-20) e (10-30) em (10-31) obtém-se 
       eeeTeT xdKgLqg  
ou, se se considerar (10-29), 
       eeeTeTT xgLKLgqg  
ou ainda 
       eTeeeTeTT xLgLKLgqg  . 
Desta equação obtém-se a equação do método dos deslocamentos: 
 
0qgK'q  (10-32) 
em que 
 
 eeTe LKLK' (10-33) 
 
44 
 
é a matriz de rigidez da estrutura e 
 
 eTexLq0 (10-34) 
é o vector das forças de fixação. A coluna j da matriz de rigidez K' contém as forças nodais 
que ao solicitar a estrutura dada na ausência de cargas de vão induzem nela o deslocamento 
nodal 1jg , mantendo nulos os outros ( 0ig , ji  ). As forças nodais 0q são as forças 
que quando aplicadas aos nós da estrutura, solicitada somente pelas cargas de vão, impedem a 
ocorrência dos seus movimentos independentes. 
Na definição (10-32), q é o vector das cargas nodais. É conveniente determinar os elementos 
do vector q aplicando a seguinte definição: 
D 10-3. A linha i do vector das forças nodais q contém o trabalho realizado pelas forças 
nodais nos deslocamentos nodais que se verificam nadeformada que se obtém quando se 
impõe 1ig e 0jg ( ij  ). 
Quando a estrutura é composta somente por barras deformáveis, a linha i do vector q 
contém a força generalizada correspondente ao deslocamento nodal ig na estrutura dada. 
Montagem da equação do Método dos Deslocamentos 
1. Discretize a estrutura e oriente e numere sequencialmente as barras que a compõem. 
2. Determine o grau de hipercinematicidade  da estrutura. 
3. Seleccione e numere os deslocamentos nodais g de acordo com um sistema de eixos 
globais. 
4. Identifique para cada barra e os esforços locais ex e deslocamentos locais ed . 
5. Resuma numa tabela as características geométricas e elásticas que determinam o 
comportamento estrutural de cada barra. 
 
45 
 
6. Obtenha para cada barra e a matriz de rigidez eK e as forças de fixação ex devido às 
cargas de vão. 
A matriz de rigidez eK e o vector das forças de fixação ex são determinadas de acordo 
com os deslocamentos escolhidos no passo 4. 
7. Obtenha a matriz eL de transformação de eixos para cada barra aplicando a definição D 
10-2. 
8. Obtenha o vector das forças de fixação 0q através da equação (10-34): 
 eTexLq0 . 
9. Obtenha a matriz de rigidez da estrutura K' através da equação (10-33): 
 eeTe LKLK' . 
10. Defina o vector q das forças nodais aplicadas através da definição D 10-3. 
11. Resolva a equação vectorial (10-32) para calcular os deslocamentos nodais g : 
0qgK'q  . 
12. Obtenha os deslocamentos locais através de (10-29): 
gLd ee  . 
13. Calcule os esforços na estrutura através de (10-20): 
eeee xdKx  . 
Exemplo 10-6. Resolva a estrutura hipercinemática da Figura 10-40 utilizando método dos 
deslocamentos. 
 
46 
 
 
Figura 10-40 
Passo 1. Ilustra-se na Figura 10-41 a discretização da estrutura e numeração e orientação das 
as barras. 
 
Figura 10-41 
Passo 2. Para reduzir a estrutura num sistema constituídos pelos elementos isocinemáticos 
anteriormente analisados é necessário bloquear os três movimentos do nó C e os três 
movimentos do nó D, dando origem a estrutura-base ilustrada na Figura 10-42. O grau de 
hipercinematicidade é, portanto, 6. 
A B 
C D
1
2
3
A B
C
D 
4.0 
15 kN
10 kN / m
20 kN
50 kN
3.0
6.0 m
0.3 * 0.3m^2 0.3 * 0.3m^2
0.3 * 0.5m^2
 
47 
 
 
Figura 10-42 
Passo 3. Os deslocamentos nodais independentes são os movimentos bloqueados no passo 
anterior, isto é, 1g , 2g , 3g , 4g , 5g e 6g , ilustrados na Figura 10-43. 
 
Figura 10-43 
O vector dos deslocamentos nodais já pode ser definido: 





















6
5
4
3
2
1
g
g
g
g
g
g
g . 
É conveniente traçar as deformadas resultantes da imposição 1ig , 0jg , para ji  neste 
passo (Figura 10-44). 
A B
C D
1
2
3
g_6g_3
g_4
g_5 g_2
g_1
A B
C D
1 
2
3
 
48 
 
 
Figura 10-44a 
 
Figura 10-44b 
A B
C D2 
3
g_2=1
K'_62
K'_32
K'_42
K'_52
K'_22
K'_12
1
A B
C D 2 
3 
g_1=1
K'_61 
K'_41 
K'_51
K'_21 
K'_11 
K'_31
1
 
49 
 
 
Figura 10-44c 
 
Figura 10-44d 
A B 
D2
3
g_4=1
K'_64
K'_34 
K'_44 
K'_54 
K'_24 
K'_14
3 
A B 
C D2
3 
g_3 = 1
K'_63 
K'_33
K'_43 
K'_53K'_23 
K'_13
1
 
50 
 
 
Figura 10-44e 
 
Figura 10-44f 
Passo 4. Os deslocamentos nodais de cada barra estão ilustrados na Figura 10-45. Os esforços 
correspondentes a estes deslocamentos estão ilustrados na Figura 10-46. Os deslocamentos a 
considerar em cada barra são os seguintes: 





















6
5
4
3
2
1
1
d
d
d
d
d
d
ACdd , 
A B 
C
D
2 
3
g_6 = 1
K'_66K'_36
K'_46 
K'_56
K'_26
K'_16 
1 
K'_55
A B
C
D2 
3
g_2=1
K'_35 
K'_35
K'_45 
K'_25
K'_15 
1
 
51 
 





















6
5
4
3
2
1
2
d
d
d
d
d
d
CDdd , 





















6
5
4
3
2
1
3
d
d
d
d
d
d
DBdd . 
Os esforços seleccionados em cada barra são os correspondentes aos deslocamentos 
seleccionados, isto é: 





















6
5
4
3
2
1
1
x
x
x
x
x
x
ACxx , 





















6
5
4
3
2
1
2
x
x
x
x
x
x
CDxx , 





















6
5
4
3
2
1
3
x
x
x
x
x
x
DBxx . 
 
52 
 
 
Figura 10-45 
 
Figura 10-46 
x_4
C D2 
x_6x_3
x_4
x_5x_2
x_1
A 
C
1
x_6
x_3
x_4
x_5
x_2
x_1
D
B
3 
d_6
x_3
x_5
x_2
x_1
C D2 
d_6d_3
d_4
d_5d_2
d_1
A 
C
1 
d_6
d_3
d_4
d_5
d_2
d_1
D
B
3
d_6
d_3
d_4
d_5
d_2
d_1
 
53 
 
Passo 5. Se assumirmos que o momento de inércia das barras verticais são iguais a I , 
obtemos as seguintes relações entre as características geométricas das barras e I : 
    630.43/512/3.03.0/12/5.03.0 3333  , 
    3.1339/120012/3.03.0/3.03.0 3  , 
    2.2229/12003/512/3.03.0/5.03.0 3  . 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 4 E I I3.133 
2 6 E I630.4 I2.222 
3 4 E I I3.133 
Passo 6. Na estrutura-base as três barras são biencastradas. Por isso, as suas matrizes de 
rigidez são dadas por (10-21). Substituindo por 4L m, EIEA 3.133 em (10-21) vem 



























000.13750.0.05000.03750.0.0
3750.01875.0.03750.01875.0.0
.0.033.33.0.033.33
5000.03750.0.0000.13750.0.0
3750.01875.0.03750.01875.0.0
.0.033.33.0.033.33
31 EIKK . 
Substituindo agora 6L m, EI por EI630.4 e EA por EI2.222 em (10-21) vem 



























086.37716.0.0543.17716.0.0
7716.02572.0.07716.02572.0.0
.0.004.37.0.004.37
543.17716.0.0086.37716.0.0
7716.02572.0.07716.02572.0.0
.0.004.37.0.004.37
2 EIK . 
A seguir impede-se a ocorrência dos deslocamentos nodais independentes, colocando-se 
bloqueamentos na estrutura, Figura 10-47. As forças iq ,0 são as forças que os bloqueamentos 
aplicam à estrutura para que os movimentos nodais independentes não ocorram. 
 
54 
 
 
Figura 10-47 
 
Figura 10-48 
15 kN
10 kN / m
C D2 
37.5 37.5
41.25
41.25
A
C
50 kN 
25 kN
25 kN 
25 kN
25 kN
B 
31
A B
C 
D
15 kN 
10 kN / m
50 kN 
2 
3
q_0,6q_0,3
q_0,4 
q_0,5q_0,2
q_0,1 
1 
 
55 
 
 
Figura 10-49 
Como na estrutura-base as três barras são biencastradas os esforços de fixação de cada barra 
são determinados a partir da Tabela 10-1.Os esforços de fixação são ilustrados na Figura 
10-48 e Figura 10-49. Na formação dos vectores dos esforços de fixação somente os esforços 
seleccionados no passo 4 é que são considerados: 
15 kN
10 kN / m
C D2 
37.5 37.5
41.25
41.25
10 kN / m
C D2 
30 30
30
30
C D
2 
7.5 7.5
11.25
11.25
15 kN
= 
+ 
 
56 
 






















25
25
0
25
25
0
1 ACxx , 






















25.41
5.37
0
25.41
5.37
0
2 CDxx , 





















0
0
0
0
0
0
3 DBxx . 
Passo 7. Conforme descrito no procedimento usa-se a definição D 10-2. A primeira coluna da 
matriz ACLL 1 obtém-se lendo os deslocamentos nodais da barra 1 seleccionados no passo 
4 na deformada obtida fazendo 11 g , 0jg ( 1j ); isto é, na deformada da Figura 10-44a. 
Obtém-se os seguintes valores: 











































0
1
0
0
0
0
6
5
4
3
2
1
1
d
d
d
d
d
d
ACdd . 
A segunda coluna da matriz ACLL 1 obtém-se lendo os deslocamentos nodais da barra 1 
seleccionados no passo 4 na deformada obtida fazendo 12 g , 0jg ( 2j ); isto é na 
deformada da Figura 10-44b. A primeira coluna de 1L será, então, 
 
57 
 










































0
0
1
0
0
0
6
5
4
3
2
1
1
d
d
d
d
d
d
ACdd . 
Repetimos o processo para as 13g (Figura 10-44c), 14 g (Figura 10-44d),15 g Figura 
10-44e) e 16 g (Figura 10-44f), obtendo-se 






















000100
000001
000010
000000
000000
000000
1 ACLL . 
Para a barra 2, lemos os deslocamentos nodais da barra 2 seleccionados no passo 4 nas 
deformadas da Figura 10-44: 





















100000
010000
001000
000100
000010
000001
2 CDLL . 
Para a barra 3, lemos os deslocamentos nodais da barra 3 seleccionados no passo 4 nas 
deformadas das Figura 10-44: 



















 

000000
000000
000000
100000
001000
010000
3 ACLL . 
Passo 8. 0q é obtido da seguinte expressão: 
 
58 
 
3322110 xLxLxLxLq
TTT
e
T
e  
ou seja, 























25.41
5.37
0
25.16
5.37
25
0q . 
O vector 0q contém as reacções dos apoios em C e D do sistema estrutural da Figura 10-47. 
Por outras palavras, são as forças que ao aplicar nos nós C e D da estrutura original 
bloqueiam os movimentos dos nós C e D. 
Passo 9. K' obtém-se fazendo 
 eeTe LKLK' , 
igual a 



























086.47716.03750.0543.17716.00
7716.059.3307716.02572.00
3750.0022.370004.37
543.17716.00086.47716.03750.0
7716.02572.007716.059.330
0004.373750.0022.37
EIK' . 
As interpretações dos valores presentes nesta matriz estão ilustradas na Figura 10-44. Por 
exemplo, a terceira coluna contém as forças que são necessárias aplicar aos nós C e D para 
produzir a deformada indicada na Figura 10-44c. 
Passo 10. Aplicando a definição D 10-3 obtém-se 
 
59 
 





















0
0
20
0
0
0
q . 
No presente exemplo, a força de 20 kN cria trabalho somente nos deslocamentos nodais que 
ocorrem na deformada da Figura 10-44d. 
Passo 11. Resolve-se a equação qqgK  0' , isto é: 


























































































0
0
20
0
0
0
25.41
5.37
0
25.16
5.37
25
086.47716.03750.0543.17716.00
7716.059.3307716.02572.00
3750.0022.370004.37
543.17716.00086.47716.03750.0
7716.02572.007716.059.330
0004.373750.0022.37
6
5
4
3
2
1
g
g
g
g
g
g
EI , 
cuja solução é
 













































560.4
433.1
4.133
08.18
8169.0
6.133
1
6
5
4
3
2
1
EI
g
g
g
g
g
g
g . 
Passo 12. Calculam-se os deslocamentos de cada barra a partir da seguinte relação (10-29): 













































08.18
6.133
8169.0
0
0
0
1
6
5
4
3
2
1
1 EI
d
d
d
d
d
d
ACAC gLdd , 
 
60 
 













































560.4
433.1
4.133
08.18
8169.0
6.133
1
6
5
4
3
2
1
2 EI
d
d
d
d
d
d
CDCD gLdd , 
e 










































0
0
0
560.4
4.133
433.1
1
6
5
4
3
2
1
3 EI
d
d
d
d
d
d
DBDB gLdd .
 
Passo 13. Finalmente, os esforços actuantes nas extremidades de cada barra são obtidos com 
a expressão (10-20):
 
kN
m027.7
727.6
23.27
m06.66
27.43
23.27
6
5
4
3
2
1
1











































x
x
x
x
x
x
ACxx , 
kN
m59.54
77.47
727.6
m027.7
23.27
727.6
6
5
4
3
2
1
2













































x
x
x
x
x
x
CDxx ,
 
 
61 
 
kN
m31.52
73.26
77.47
m59.54
73.26
77.47
6
5
4
3
2
1
3












































x
x
x
x
x
x
DBxx .
 
Exemplo 10-7. Na estrutura hipercinemática do Exemplo 10-7 determine o vector 0q sem 
aplicar a equação (10-34) e a primeira coluna da matriz de rigidez K' sem utilizar a equação 
(10-33). 
O vector 0q é determinado com o auxílio da Figura 10-47. Como esta estrutura é 
isocinemática os barras são isoladas da estrutura e analisadas em separado, Figura 10-48. As 
barras são novamente ligadas, obtendo-se o diagrama da Figura 10-50. 
 
Figura 10-50 
Comparando este diagrama com o sistema da Figura 10-47 determina-se que 0q é igual a 
25 kN
15 kN 
10 kN / m
C D2
37.5
16.25
41.25
A 
50 kN
25 kN
25 kN B
31 
37.5
 
62 
 























25.41
5.37
0
25.16
5.37
25
0q , 
que é o resultado encontrado anteriormente. 
A primeira coluna de K' determina-se com o auxílio da Figura 10-44a. Como esta estrutura é 
isocinemática as barras que a compõem podem ser analisadas em separado, Figura 10-51. As 
barras são depois novamente conectadas, obtendo-se o diagrama da Figura 10-52. 
 
Figura 10-51 
C D2 
A
C 
25 kN 
B 
31
12EI/4^3
12EI/4^3
6EI/4^2 
6EI/4^2 
g1=1
 
6/2.222
6/2
EI
EA 
 
 
6/2.222
6/2
EI
EA 
 
 
63 
 
 
Figura 10-52 
Comparando este diagrama com o sistema da Figura 10-44a obtém-se 










































0
0
22.37
375.0
0
22.37
'
61
'
51
'
41
'
31
'
21
'
11
EI
K
K
K
K
K
K
, 
que é o mesmo resultado que o encontrado na determinação de K' através de (10-33). 
Exemplo 10-8. Resolva a estrutura hipercinemática do Exemplo 10-6, assumindo que as três 
barras são, agora, incompressíveis. 
Passo 1. Na Figura 10-53 ilustra-se a discretização e numeração e orientação adoptados. 
 
A B 
C D
1
2
3
25 kN
A B 12EI/4^3
6EI/4^2
6EI/4^2 
222.2EI/6 222.2EI/6 +
12EI/4^3
DC 
 
64 
 
Figura 10-53 
Passo 2. Como os elementos AC e DB são incompressíveis, os deslocamentos 2g e 5g 
ilustrados na Figura 10-43 são, agora, nulos. Sendo o elemento CD também incompressível, 
os deslocamentos 1g e 4g do exemplo anterior tornam-se iguais. Podemos, então, dizer que o 
grau de hipercinematicidade é 3. A estrutura-base ilustra-se na Figura 10-54. 
 
Figura 10-54 
Passo 3. Os deslocamentos nodais independentes podem ser representados por 1g , 3g e 6g , 
Figura 10-55. 
 
Figura 10-55 
e o vector dos deslocamentos nodais pode ser definido por 
A B
C D
1 
2 
3 
g_6=r_D g_3=r_C
g_1=d_hCg_1=d_hC
A B
C D
1
2
3 
 
65 
 






















D
C
hC
g
g
g



6
3
1
g .
 
As deformadas correspondentes à imposição 1g i quando os restantes deslocamentos são 
nulos estão ilustrados na Figura 10-56. 
 
Figura 10-56a 
 
Figura 10-56b 
A B 
C
D
1 
2
3
K'_22
K'_12 
K'_32 
1
A B
C D 
1
2
3
K'_21
K'_11 
K'_31
1 1
 
66 
 
 
Figura 10-56c 
Passo 4. As Figura 10-45 e Figura 10-46 não mudam. Por conveniência são repetidas aqui. 
 
Figura 10-57 
C D2 
d_6d_3
d_4
d_5d_2
d_1
A 
C
1 
d_6
d_3
d_4
d_5
d_2
d_1
D
B
3
d_6
d_3
d_4
d_5
d_2
d_1
A B
C 
D 
1
2 
3 
K'_23 
K'_13 
K'_33 
1 
 
67 
 
 
Figura 10-58 
Os deslocamentos nulos não precisam estar incluídos nos vectores dos deslocamentos das 
barras: 







6
5
1 d
d
ACdd , 







4
1
,,2 d
d
ACDA dd ,
 






6
3
,,2 d
d
TCDT dd ,
 






3
2
3 d
d
DBdd .
 
Na barra 2 os deslocamentos axiais foram estrategicamente separados dos outros 
deslocamentos. 
Os esforços a considerar devem ser os correspondentes aos deslocamentos escolhidos. Assim: 
x_4
C D2 
x_6x_3
x_4
x_5x_2
x_1
A 
C
1
x_6
x_3
x_4
x_5
x_2
x_1
D
B
3 
d_6
x_3
x_5
x_2
x_1
 
68 
 







6
5
1 x
x
ACxx , 







4
1
,,2 x
x
ACDA xx ,
 






6
3
,,2 x
x
TCDT xx ,
 






3
2
3 x
x
DBxx .
 
Passo5. As características geométricas foram determinadas no exemplo anterior 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) 
1 4 E I 
2 6 E I630.4 
3 4 E I 
Passo 6. Para a barra 1 foram escolhidos os deslocamentos 5d e 6d . Estes deslocamentos são 
correspondentes aos esforços 5x e 6x . Por isso, na expressão (10-21) lemos, somente, os 
elementos das linhas 5 e 6 que estão nas colunas 5 e 6: 

















13750.0
3750.01875.0
4/44/6
4/64/12
2
23
1 EI
EIEI
EIEI
ACKK .
 No que diz respeito a barra 2, dos seis deslocamentos, foram escolhidos os deslocamentos 3d 
e 6d . Estes deslocamentos são correspondentes aos esforços 3x e 6x . Consequentemente, a 
matriz 2K contém os elementos nas linhas 3 e 6 que também estão nas colunas 3 e 6 de 
(10-21): 













086.3543.1
543.1086.3
6/46/2
6/26/4
630.42 EIEIEI
EIEI
CDKK
 A matriz 3K contém os elementos nas linhas 2 e 3 que estão nas colunas 2 e 3: 













13750.0
3750.01875.0
4/44/6
4/64/12
2
23
3 EI
EIEI
EIEI
DBKK .
 
 
69 
 
As forças iq ,0 que impedem a ocorrência dos deslocamento nodais estão ilustradas na Figura 
10-59. 
 
Figura 10-59 
 
15 kN
10 kN / m
C D2 
37.5 37.5
41.25
41.25
A
C
50 kN 
25 kN
25 kN 
25 kN
25 kN
B 
31
A B
C D 2
3 1
15 kN
10 kN / m
50 kN
q_0,3q_0,2 
q_0,1 
 
70 
 
Figura 10-60 
Dos seis deslocamentos nodais da barra 1 no passo 4 foram escolhidos os deslocamentos 5d e 
6d . Estes deslocamentos são correspondentes aos esforços 5x e 6x . Como consequência o 
vector 1x é constituído, apenas, pelos esforços 5x e 6x : 














25
25
6
5
1 x
x
ACxx .
 
Para as barras 2 e 3 procede-se do mesmo modo que para a barra 1: 













0
0
4
1
,,2 x
x
ACDA xx , 














25.41
25.41
6
3
,,2 x
x
TCDT xx , 













0
0
3
2
3 x
x
DBxx . 
Passo 7. Na determinação de eL , a partir da definição D 10-2, são considerados somente os 
deslocamentos nodais escolhidos no passo 4. Na barra 1 estes deslocamentos nodais são 5d e 
6d : 







010
001
1 ACLL .
 
Na determinação de A,2L , T,2L e 3L procede-se da mesma forma que a determinação de 1L : 







001
001
,,2 ACDA LL , 







100
010
,,2 TCDT LL , 







100
001
3 DBLL . 
Passo 8. 
 
71 
 
DB
T
DBTCD
T
TCDACD
T
ACDAC
T
ACe
T
e xLxLxLxLxLq  ,,,,0 , 
igual a 













25.41
25.16
25
0q .' 
Passo 9. 
DBDB
T
DBTCDTCD
T
TCDACAC
T
ACee
T
e LKLLKLLKLLKLK'  ,,, , 
igual a 











086.4543.1375.0
543.1086.4375.0
375.0375.0375.0
EIK' .
 
Passo 10. Aplica-se a definição D 10-3: 











0
0
20
q .
 
Passo 11. 












































0
0
20
25.41
25.16
25
086.4543.1375.0
543.1086.4375.0
375.0375.0375.0
D
C
HC
EI



, 






















644.4
96.17
32.133
1
EI
D
C
HC



g .
 
Passo 12. 















96.17
3.1331
6
5
1 EId
d
ACdd , 
 
72 
 













644.4
96.171
4
1
,,2 EId
d
ACDA dd ,
 













644.4
96.171
6
3
,,2 EId
d
TCDT dd , 













644.4
2.1331
3
2
3 EId
d
DBdd .
 
Passo 13. Como as barras são incompressíveis os esforços normais 1x e 4x não são 
calculados a partir da expressão (10-19). 
 kN
m030.7
739.6
m01.66
26.43
25
25
25
25
13750.0
3750.01875.0
5.03750.0
3750.01875.0
6
5
6
5
3
2
1






























































d
d
x
x
x
x
ACxx , 
kN
m64.54
78.47
m030.7
22.27
25.41
5.37
25.41
5.37
086.3543.1
7716.07716.0
543.1086.3
7716.07716.0
6
3
6
5
3
2
2





























































d
d
x
x
x
x
CDxx , 
kN
m32.52
74.26
m64.54
74.26
0
0
0
0
5.03750.0
3750.01875.0
13750.0
3750.01875.0
3
2
6
5
3
2
3




























































d
d
x
x
x
x
DBxx . 
 
73 
 
 
Figura 10-61 
Os esforços normais podem ser calculados a partir do equilíbrio dos nós C e D (Figura 
10-61). Da imposição de somatório nulo das projecções das forças que actuam no nó C em 
relação à direcção do esforço CDN obtém-se 
kN739.6,5  ACCD xN . 
Da imposição de somatório nulo das projecções das forças que actuam no nó C em relação à 
direcção do esforço CAN obtém-se: 
kN22.27,2  CDCA xN . 
Do equilíbrio de forças horizontais que actuam no nó D obtém-se 
kN74.674.262020 ,2  DBDC xN . 
Do equilíbrio de forças verticais que actuam no nó D obtém-se 
A B
C D
15 kN 
10 kN / m
50 kN
2 
3
20kN
1 
N_CA x_2,CD
N_CD
x_5,CA
N_DC
N_DB
x_2,DB
x_5,CD
N_CD N_DC
 
74 
 
kN78.47,5  CDDB xN . 
Exemplo 10-9. Resolva a estrutura hipercinemática da figura abaixo. Considere que as três 
barras são incompressíveis e que todas elas têm rigidez à flexão iguais.
 
 
Figura 10-62 
Passo 1. 
 
Figura 10-63 
Passo 2. Para reduzir a estrutura num sistema de elementos biencastrados é necessário 
bloquear, no mínimo, 3 movimentos. Estes movimentos podem ser o deslocamento horizontal 
de B, a rotação de B e a rotação de C. O grau de hipercinematicidade é, consequentemente, 3. 
A
B C 
D
2
1 3 
2.4 kN/m
10 kN 
20 kN 
15 kN
8 kNm
4.0 m 4.0 
2.0 
2.0 
A
B C 
D
 
75 
 
 
Figura 10-64 
 
Figura 10-65 
O vector dos deslocamentos nodais da estrutura pode ser definido como 











C
B
hB



g . 
Na Figura 10-66 ilustram-se as deformadas causadas por 1ìg . 
r_Cr_B
A 
B
C 
D
d_hB
2
1 3
A 
B C
D
2
1 3
 
76 
 
 
Figura 10-66a 
 
Figura 10-66b 
 
Figura 10-66c 
Passo 4. 
A
B C 
D
1
K'_13
K'_23 K'_33 2
1 3 
A D 
C 
1 
B
K'_11 
K'_21 K'_31
2
1 3
A
B C
D
1
1
1 
K'_11 
K'_21 
K'_31
2 
1 3 
 
77 
 







6
5
1 d
d
ABdd , 







4
1
,,2 d
d
ABCA dd , 











6
5
3
,,2
d
d
d
TBCT dd , 







6
5
3 d
d
CDdd , 







6
5
1 x
x
ABxx , 







4
1
,,2 x
x
ABCA xx , 











6
5
3
,,2
x
x
x
TBCT xx , 







6
5
3 x
x
CDxx .
 
Note-se que o deslocamento 2d não foi incluído na definição de T,2d . A inclusão do 
deslocamento 2d é desnecessária porque 2d é nulo, como se pode facilmente verificar nas 
três deformadas da Figura 10-66. 
Passo 5. 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) 
1 4 E I 
2 4 E I 
3 24 E I 
Passo 6. Como as barras são biencastradas na estrutura-base as suas matrizes de rigidez são 
determinadas a partir de (10-21).
 
 
78 
 






















1375.0
375.01875.0
4
4
4
6
4
6
4
12
2
23
EI
EIEI
EIEI
ABK , 


































1375.05.0
375.01875.0375.0
5.0375.01
4
4
4
6
4
2
4
6
4
12
4
6
4
2
4
6
4
4
2
232
2
, EI
EIEIEI
EIEIEI
EIEIEI
TBCK , 
 
























7071.01875.0
1875.006629.0
24
4
32
6
32
6
24
12
3
EI
EIEI
EIEI
CDK .
 
Na solução particular, Figura 10-67 e Figura 10-68, os deslocamentos nodais independentes 
são nulos. Na estrutura-base as barras são biencastradas. Por esta razão, os esforços de 
fixação das barras são determinadas a partir da Tabela 10-1. 
 
Figura10-67 
2.4 kN/m
8 kNm
A
B C 
D
q_0,1
q_0,2 q_0,3 2
1 3 
 
79 
 
 
Figura 10-68 







0
0
ABx , 







0
0
, ABCx , 












2.3
8.4
2.3
,TBCx , 








2
121.2
CDx . 
Passo 7. 







010
001
ABL , 







001
001
,ABCL ,
 
2.4 kN/m
A 
B C 
D
2
1 3 
4.8 4.8 
3.2 3.2 
8 kNm
2 
2 
2.121
2.121
B C
 
80 
 











100
001
010
,TBCL , 







100
002
CDL .
 
Passo 8. 












2.5
2.3
8.1
,,,,0 CDCDTBC
T
TBCABC
T
ABCAB
T
AB xLxLxLxLq . 
Passo 9.
 













707.15.01098.0
5.020
1098.005076.0
,,, EICDCD
T
CDTBCTBC
T
TBCABAB
T
AB LKLLKLLKLK' .
 
Passo 10. 




















 

0
0
5
0
0
201510
q . 
Passo 11. 













































0
0
5
2.5
2.3
8.1
707.15.01098.0
5.020
1098.005076.0
D
C
HC
EI



, 
donde
 






















294.4
674.2
234.7
1
EI
D
C
HC



g . 
Passo 12. 
 
81 
 















674.2
234.71
6
5
1 EId
d
ABAB gLdd , 













234.7
234.71
4
1
,,,2 EId
d
ABCABCA gLdd ,
 






















295.4
234.7
674.2
1
6
5
3
,,,2 EI
d
d
d
TBCTBCT gLdd , 













295.4
23.101
6
5
3 EId
d
CDCD gLdd .
 
Passo 13. 
kN
m03899.0
3537.0
m376.1
3537.0
0
0
0
0
674.2
234.71
4
4
4
6
4
6
4
12
4
2
4
6
4
6
4
12
2
23
2
23
6
5
3
2
1








































































EI
EIEI
EIEI
EIEI
EIEI
x
x
x
x
ABxx ,
 
kN
m955.2
548.5
m03899.0
051.4
2.3
8.4
2.3
8.4
295.4
234.7
674.2
1
4
4
4
6
4
2
4
6
4
12
4
6
4
2
4
6
4
4
4
6
4
12
4
6
2
232
2
232
6
5
3
2
2













































































EI
EIEIEI
EIEIEI
EIEIEI
EIEIEI
x
x
x
x
BCxx ,
 
   
   
   
 
kN
m955.2
6379.0
m4365.1
6379.0
2
121.2
2
121.2
295.4
23.101
24
4
24
6
24
6
24
12
24
2
24
6
24
6
24
12
2
23
2
23
6
5
3
2
3












































































EI
EIEI
EIEI
EIEI
EIEI
x
x
x
x
CDxx . 
 
82 
 
Os esforços axiais podem ser calculados por equilíbrio dos nós B e C. Do equilíbrio de forças 
horizontais do nó B obtém-se 
  kN65.14153537.015,5  ABBC xN . 
Do equilíbrio de forças verticais que actuam no nó B obtém-se 
  kN051.4051.4,2  BCBA xN . 
Da imposição de somatório nulo da projecção das forças que actuam no nó C na direcção do 
esforço transverso BCx ,5 obtém-se 
kN49.35045sin45cos20 ,5,5  BCCDBCBC NxNx . 
Da imposição de somatório nulo da projecção das forças que actuam no nó C na direcção do 
esforço normal CBN obtém-se 
kN65.14045sin45cos10 ,5  CBCDBCCB NxNN . 
 
Figura 10-69 
10.10 Variações de temperatura 
A variação de temperatura, como qualquer outro tipo de solicitação, é considerada na solução 
particular. 
Os esforços de fixação em um elemento compressível solicitado a uma variação uniforme de 
temperatura são dados por 
B C
N_BC N_CB
x_2,BC x_5,BC
x_5,AB
x_5,CD
N_BC
10 kN
20 kN
45°
N_BA
15kN 
 
83 
 
 
TEALT
L
EA
xx  41 , (10-35) 
onde EA é a rigidez axial do elemento, L é o comprimento do elemento e T é uma 
variação uniforme de temperatura (positiva se for aquecimento, ou negativa se for 
arrefecimento). 
No caso de uma barra incompressível tiver estiver solicitado por uma variação uniforme de 
temperatura, na solução particular considera-se esse elemento com aumento de comprimento 
igual 
 
TLL   . (10-36) 
A solicitação por uma variação diferencial de temperatura gera momentos de fixação dados 
por 
 
 
h
TTEI
xx is



63 , (10-37) 
nas duas extremidades de um elemento biencastrado e por 
 
 
h
TTEI
x is
2
3
3



, (10-38) 
na extremidade encastrada de um elemento encastrado-articulado. 
Exemplo 10-10. Dada a estrutura da figura, determine os esforços internos pelo dos 
deslocamentos para uma variação uniforme de temperatura Ct  15 em BC. Considere: 
secção 4.02.0  ; 27 mN/103 kE  . C/10 5   . 
 
84 
 
 
Figura 10-70 
Passo 1. 
 
Figura 10-71 
Passo 2. Para reduzir a estrutura num sistema de elementos biencastrado e encastrados-
ariculados é necessário colocar bloqueamentos que impedem os três movimentos de B, 
Figura 10-72. Os graus de hipercinematicidade são, por conseguinte, os três movimentos de 
B, Figura 10-73. 
 
Figura 10-72 
A 
B C 
1
2
A 
B C 
1
2 
B C 
3.0
A 
4.0m 4.0 
0.2 
0.4
CT  15
Secção da barra BC
 
85 
 
 
Figura 10-73 
Passo 3. O vector dos deslocamentos nodais da estrutura contém os três movimentos de B: 











B
vB
hB



g . 
As deformadas correspondentes a cada um dos movimentos em g estão ilustradas na Figura 
10-74. Na deformada da Figura 10-74a, a passagem da extremidade B da barra AB pode ser 
vista como composição de dois movimentos em que no primeiro, axial, a barra AB aumenta o 
seu comprimento, passando o ponto B para a posição B". No segundo movimento, transverso 
à barra, o ponto B'' passa para a posição B'. Na deformada da Figura 10-74b o movimento de 
B também pode ser visto como composição de dois movimentos. No primeiro movimento a 
extremidade B da barra AB passa para a posição B", aumentando o comprimento da barra. 
No segundo movimento o ponto B" passa para a posição final B'. 
 
Figura 10-74a 
A
B
C
1
2
1
0.8
0.6
K'_11 
K'_21 
K'_31
A
B C
1 
2
d_hB
d_vB
r_B
 
86 
 
 
Figura 10-74b 
 
Figura 10-74c 
Passo 4. 











6
5
4
1
d
d
d
ABdd , 











6
5
4
1
x
x
x
ABxx , 











3
2
1
2
d
d
d
BCdd , 
A 
1 C 
1 
2 
1
K'_13 
K'_33 
K'_23 
A 
B C2
1 
0.8 
0.6 
1
K'_12
K'_22 
K'_32
 
87 
 











3
2
1
2
x
x
x
BCxx . 
Passo 5. Com os dados do problema temos: 32000=EI e I75 = 102.4 = 6 EEA  
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 4 E I I75 
2 6 E I I75 
 
Passo 6. Na estrutura-base a barra AB é biencastrada enquanto que a BC é encastrada-
articulada. A barra AB, sendo biencastrada, é calculada com a expressão (10-21) e a Tabela 
10-1. Como a barra BC é encastrada-articulada o seu cálculo é feito usando a expressão 
(10-23) e a Tabela 10-2. 






























8.024.00
24.0096.00
0015
5
4
5
6
0
5
6
5
12
0
00
5
75
2
231
EIEIABKK , 




























75.01875.00
1875.064/30
0075.18
4
3
4
3
0
4
3
4
3
0
00
4
75
2
232
EIEIBCKK . 
 






















0
0
0
6
5
4
1
x
x
x
ABxx ,
 
A 
B C 
1
2 
q_0,1 
q_0,2
q_0,3
C 2 360360
 
88 
 
3601510104.2 56  tEA ,
 






















0
0
360
3
2
1
2
x
x
x
BCxx . 
Passo 7. 











100
08.06.0
06.08.0
1 ABLL ,
 











100
010
001
2 BCLL . 
Passo 8. 











0
0
360
0 e
T
exLq . 
Passo 9. 












55.10045.0144.0
0045.0508.5154.7144.0154.738.28
EIee
T
e LKLK' . 
Passo 10. 











0
0
0
q . 
Passo 11. 












































0
0
0
0
0
360
55.10045.0144.0
0045.0508.5154.7
144.0154.738.28
3
2
1
g
g
g
EI ,
 
ou 
 
89 
 











824.1
51.24
87.18
1
EI
g . 
Passo 12. 






















824.1
93.30
3906.0
1
6
5
4
1 EI
d
d
d
ABdd , 






















824.1
51.24
87.18
1
3
2
1
2 EI
d
d
d
BCdd . 
Passo 13. 
kN
m963.5
531.2
860.5
m693.6
531.2
860.5
0
0
0
0
0
0
824.1
93.30
3906.0
1
5
4
5
6
0
5
6
5
12
0
00
5
75
5
2
5
6
0
5
6
5
12
0
00
5
75
2
23
2
23
6
5
4
3
2
1
1

















































































































EI
EI
x
x
x
x
x
x
ABxx ,
 
kN
0
491.1
206.6
m963.5
491.1
206.6
0
0
360
0
0
360
824.1
51.24
87.18
1
000
4
3
4
3
0
00
4
75
4
3
4
3
0
4
3
4
3
0
00
4
75
23
2
23
6
5
4
3
2
1
2











































































































EI
EI
x
x
x
x
x
x
BCxx . 
 
90 
 
Exercício 10-4. Resolva a estrutura do Exemplo 10-10 usando o método dos deslocamentos 
para uma variação diferencial de temperatura CTTT is  15' em BC. Considere: 
secção 4.02.0  ; 27 mN/103 kE  . C/10 5   . [Solução: 






















65.11
342.1
3976.0
1
EI
B
vB
hB



g , 
kN
m008.9
671.2
314.7
m346.4
671.2
314.7
6
5
4
3
2
1
1












































x
x
x
x
x
x
ABxx , 
kN
0
252.2
454.7
m008.9
252.2
454.7
6
5
4
3
2
1
2














































x
x
x
x
x
x
BCxx .] 
Exemplo 10-11. Resolva a estrutura do Exemplo 10-10 usando o método dos deslocamentos 
para uma variação uniforme de temperatura CT  15 em BC, assumindo que as barras 
AB e BC são agora incompressíveis. Considere: secção 4.02.0  ; 27 mN/103 kE  ; 
C/10 5   . 
Passo 1 
 
91 
 
 
Figura 10-75 
Passo 2 
 
Figura 10-76 
 
Figura 10-77 
Passo 3 
 Bg . 
 
A 
B C
1
2 
r_B
A 
B
C 
1
2
B C 
3.0 
A
4.0m 4.0 
0.2 
0.4 
DT=15
Secção da barra BC
 
92 
 
 
Figura 10-78 
Passo 4. 
 61 dAB  dd , 
 61 xAB  xx , 
 32 dBC  dd , 
 32 xBC  xx . 
Passo 5. Com os dados do problema temos: 32000=EI e I75 = 102.4 = 6 EEA  . 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 4 E I I75 
2 6 E I I75 
 
Passo 6. 
 EIEIAB 8.05
4
1 


 KK , 
 EIEIBC 75.04
3
2 


 KK . 
 
A
1 C
1 
2
1
K'
 
93 
 
 
Figura 10-79 
 
Figura 10-80 
A
B
C 
1 
2B"
B'
DL
4DL/3 5DL/3
A
B
C 
1 
2
B''
DL_BC
 
94 
 
 
Figura 10-81 
45 10615410  L , 
410103/5 L , 
41083/4 L . 
Na barra AB os seis esforços são dados por
 




































































































 
68.7
072.3
0
68.7
072.3
0
1010
5
6
5
12
0
5
6
5
12
0
5
6
5
12
0
5
6
5
12
0
4
2
3
2
3
5
2
3
2
3
6
5
4
3
2
1
*
1
EI
EI
EI
EI
d
EI
EI
EI
EI
x
x
x
x
x
x
x ,
 
 68.71  ABxx . 
Os seis esforços na barra BC são dados por
 
12EI/4^3*d_5 
A
B
C
1
2B" 
B'
DL
d_2=4DL/3 
d_5=5DL/3
3EI/4^2*d_2
3EI/4^2*d_2
3EI/4^2*d_2
12EI/4^3*d_5
6EI/4^2*d_5 
6EI/4^2*d_5 
 
95 
 






























































































 
0
2.1
0
8.4
2.1
0
108
4
3
4
3
0
4
3
4
3
0
4
3
4
3
0
4
3
4
3
0
4
2
3
2
3
2
2
3
2
3
6
5
4
3
2
1
*
2
EI
EI
EI
EI
d
EI
EI
EI
EI
x
x
x
x
x
x
x ,
 
 8.42  BCxx . 
Passo 7. 
 11  ABLL , 
 12  BCLL . 
Passo 8. 
 88.20  eTexLq . 
Passo 9. 
 EIeeTe 55.1 LKLK' . 
Passo 10. 
 0q . 
Passo 11 
      088.255.1 BEI  , 
donde 
  



EIB
858.1g . 
Passo 12 




EIAB
858.1
1 dd , 
 
96 
 




EIBC
858.1
2 dd . 
Passo 13. 
kN
m193.6
626.2
m937.6
626.2
68.7
072.3
68.7
072.3
858.1
5
4
5
6
5
2
5
6
2
2
6
5
3
2
1






































































EI
EI
x
x
x
x
ABxx , 
N
0
548.1
m194.6
548.1
0
2.1
8.4
2.1
858.1
0
4
3
4
3
4
3
2
2
6
5
3
2
2 kEI
EI
x
x
x
x
BC































































 xx . 
 
Figura 10-82 
Os esforços normais são calculados impondo que o sistema de forças que actuam no nó B 
satisfaçam as equações de equilíbrio (Figura 10-82). Da imposição de somatório nulo de 
forças verticais obtém-se 
  kN082.6sin/cos0cossin ,2,5,2,5   BCBABABCBABA xxNxxN . 
N_BA
A
B 
C 
1
2
N_BA
N_BC
N_BC
x_2,BA
x_2,BA
x_2,BC
x_2,BC

 
97 
 
Da imposição de somatório nulo de forças que actuam na direcção horizontal obtém-se 
kN441.6sincos0sincos ,5,5   BABABCBABABC xNNxNN . 
10.11 Assentamento de apoio 
Assentamentos de apoio são considerados na solução particular. Se o apoio que assenta 
estiver aplicado em um nó que é somente extremidade de barras compressíveis o 
assentamento do apoio influencia somente no comportamento dessas barras. Se o apoio que 
assenta estiver aplicado em um nó que é extremidade de barras incompressíveis o 
assentamento pode influenciar no comportamento de outras barras da estrutura. 
Exemplo 10-12. Na estrutura do exemplo Exemplo 10-11, considere que a única solicitação 
seja um assentamento do apoio C de 0.50 cm. 
 
Figura 10-83 
Na solução particular os esforços transversos e momentos flectores são dados por 


























0
0
0
0
6
5
3
2
**
1
x
x
x
x
ABxx , 
 
















































0
5.7
30
5.7
005.0
0
4
3
4
3
4
3
3
2
3
6
5
3
2
**
2
EI
EI
EI
x
x
x
x
BCxx . 
A
B 
C
1
2
0.5cm
 
98 
 
   061  xx , 
   3032  xx , 
 300  eTexLq . 
A equação vectorial do método dos deslocamentos é então dada por 
      03055.1 BEI  , 
donde 
  



EIB
35.19g .
 
Os deslocamentos nodais são dados por 




EIAB
35.19
1 dd , 




EIBC
35.19
2 dd .
 
kN
m48.15
645.4
m742.7
645.4
0
0
0
0
35.19
5
4
5
6
5
2
5
6
2
2
6
5
3
2
1



































































EI
EI
x
x
x
x
ABxx ,
 
N
0
871.3
m48.15
871.3
0
5.7
30
5.7
35.19
0
4
3
4
3
4
3
2
2
6
5
3
2
2 kEI
EI
x
x
x
x
BC




















































