Pesquisa tensões de tração em barras cilíndricas e ciclo de Morh AP1 Fabricio Dias

Prévia do material em texto

CEULS/ULBRA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO LUTERANO DE SANTARÉM 
UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
 BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
FABRRÍCIO FERNANDO DIAS SOARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÕES DE TRAÇÃO EM BARRAS CILÍNDRICAS E CICLO DE MORH 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTARÉM-PA 
2021 
 
FABRÍCIO FERNANDO DIAS SOARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÕES DE TRAÇÃO EM BARRAS CILÍNDRICAS E CICLO DE MORH 
 
Trabalho de pesquisa apresentado para 
composição de nota AP1 (Avaliação 
Parcial 1) do curso de Engenharia Civil da 
Ceuls/Ulbra da disciplina de Resistência 
dos Materiais. 
Professor: Nadir Pires Martins. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTARÉM-PA 
2021 
 
SUMÁRIO 
LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................... 4 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 5 
2 TENSÕES DE TRAÇÃO EM BARRAS CILINDRICAS ....................................... 5 
2.1 DEFORMAÇÃO EM BARRAS CILÍNDRICAS SUJEITAS A ESFORÇOS 
DE TRAÇÃO .............................................................................................................. 7 
2.2 EXEMPLOS PRÁTICOS DE BARRAS CILINDRICAS SUBMETIDAS A 
TENSÃO DE TRAÇÃO ............................................................................................. 9 
3 CÍRCULO DE MOHR .............................................................................................. 11 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 12 
REFERENCIAS ........................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1: Barra submetida a uma força FBC ................................................................... 5 
Figura 2: Deformação uniforme de uma barra submetida a uma carga axial .................. 6 
Figura 3: Barra secionada ................................................................................................ 6 
Figura 4: Objeto submetido a tração ................................................................................ 7 
Figura 5: Barra submetida a tração ................................................................................... 7 
Figura 6: Máquina utilizada no ensaio de tração .............................................................. 8 
Figura 7: Diagrama tensão-deformação para um material dúctil (aço) (Fora de escala) . 8 
Figura 8: Plataforma de Óleo............................................................................................ 9 
Figura 9: Ponte em treliça ............................................................................................... 10 
Figura 10: Tirante de Aço ............................................................................................... 10 
Figura 11: Tirantes para suporte de cobertura ............................................................... 10 
Figura 12: Círculo de Mohr ............................................................................................ 11 
Figura 13: Planos de tensão no círculo de Mohr ............................................................ 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
A resistência de um material é determinada através de sua capacidade de resistir a 
uma carga aplicada e é dada em função de seu processo de fabricação. Um aspecto 
importante analise e projeto de estruturas é a deformação por cargas aplicadas a estrutura, 
projetando assim componentes que não falhem sob condições específicas de 
carregamento. 
Para determinar a distribuição real das tensões dentro de um componente, é 
necessário analisar as deformações que ocorrem neste. O presente trabalho visa mostrar 
o comportamento de uma barra cilíndrica submetidas a carregamento axial de tração. 
Será analisando inicialmente o comportamento de uma barra prismática cilíndrica diante 
de uma força resultante de outras forças distribuídas ao longo da área transversal. 
Após esta análise inicial, será apresentado como ocorre a obtenção dos dados 
de deformação em determinado em uma barra prismática devido a tensão de tração de 
forma experimental, e como é feita a analise do diagrama de tensão-deformação gerado 
a partir deste experimento. 
O estudo das deformações decorrente de tensões de tração em barras cilíndricas 
faz-se necessária em diversas situações na vida de um engenheiro dado que os elementos 
estruturais devem suportar a carga necessária sem apresentar mudanças bruscas em sua 
configuração. 
 Logo depois, introduzir-se-á o conceito de circulo de Mohr e suas aplicações no 
estado plano de tensão, como a sua fundamental importância e como método alternativo 
como solução de problemas que envolve o estado plano de tensão, e a identificação das 
tensões principais e orientação do elemento para tensões principais de um elemento. 
 
2 TENSÕES DE TRAÇÃO EM BARRAS CILINDRICAS 
Considerando-se determinada barra submetida a uma força FBC, indicar se esta barra 
suportará esta carga dependerá não somente do valor de F, mas também da área da 
seção transversal e do material de confecção da barra. 
Sendo a força FBC a resultante de outras forças distribuídas ao longo da área transversal da 
barra, sua intensidade será obtida em força por unidade de área (), representado no 
Sistema Internacional por . A resistência da barra se dará então com base no valor de , ou 
seja, a força FBC e a área transversal, assim como a intensidade das forças distribuídas 
internamente na barra ligado diretamente ao material da barra. 
 
Figura 1Figura SEQ Figura \* ARABIC 1: Barra submetida a uma força FBC Fonte: 
BEER, 2011 
 A força por unidade de área, ou a intensidade das forças distribuídas sobre uma 
determinada seção, é chamada de tensão naquela seção e é representada pela letra 
grega sigma σ. (BEER, 2011). Quando as forças são direcionadas para fora da barra, estas 
são de tração, sendo então as tensões de tração são originadas na barra. Caso ocorra o 
inverso e as forças são direcionadas para dentro da barra diz-se então que são de 
compressão e temos as tensões de compressão. 
A seção transversal é perpendicular ao eixo longitudinal da barra, e, em 
decorrência da barra ser prismática, ao longo de seu comprimento, toda a sua seção 
transversal é a mesma. Uma vez que o material da barra é homogêneo - possui as 
mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo seu volume - e isotrópico - possui 
as mesmas propriedades em todas as direções - quando a carga P é aplicada na barra 
através do centroide da área transversal, a barra se deformará uniformemente por toda 
a região central do seu comprimento como pode se observar na figura 2. 
 
Figura 2Figura SEQ Figura \* ARABIC 2: Deformação uniforme de uma barra 
submetida a uma carga axial Fonte: HIBBELER, 2018 
Ao secionar a barra, como na figura 3, e desprezar seu peso, a resultante da força interna 
que atua na seção transversal será igual em intensidade, na direção oposta e colinear 
à força externa, garantindo o equilíbrio na parte inferior da barra. 
 
Figura 3Figura SEQ Figura \* ARABIC 3: Barra secionada Fonte: HIBBELER, 2018 
 
 
 
 
2.1 DEFORMAÇÃO EM BARRAS CILÍNDRICAS SUJEITAS A ESFORÇOS DE 
TRAÇÃO 
Uma vez que uma força é aplicada em um corpo, ela tende a mudar o tamanho e a forma 
deste. Deformação é o nome dado a esta mudança que pode ser muito ou 
pouco perceptível. A deformação não se dar de forma uniforme ao longo do volume de 
um corpo, ou seja, a geometria de cada segmento de reta dentro do corpo muda de forma 
variada, como pode-se observar na figura 4onde um objeto sujeito a tensão de tração 
mostra que a linha vertical é alongada, a horizontal é comprimida, e a inclinada muda seu 
comprimento e gira. 
 
Figura 4Figura SEQ Figura \* ARABIC 4: Objeto submetido a tração Fonte: 
HIBBELER, 2018 
A deformação é obtida de forma experimental, como, por exemplo, aplicando uma carga 
axial P na barra da figura 5, o comprimento inicial da barra aumentará até L, define-
se então deformação normal, representado pela letra grega épsilon (ϵ), a diferença entre 
L e dividido por seu comprimento original , ou seja, a razão entre o alongamento gerado 
devido a carga aplicada pelo comprimento inicial. 
Como pode se observar, a deformação é adimensional, no entanto, é comum expressa-la 
em forma de razão de unidade de comprimento como , e em porcentagem. 
 
Figura 5Figura SEQ Figura \* ARABIC 5: Barra submetida a tração Fonte: 
HIBBELER, 
O diagrama de tensão-deformação é um dos mais importantes instrumentos da engenharia 
quando se fala em resistência dos materiais, e o teste de tração e compressão é usado 
principalmente para se obter a relação entre a tensão normal média e a deformação normal 
média para diversos materiais. 
O corpo de prova é padrão e tem uma seção transversal circular constante e antes do 
ensaio marca-se dois pontos ao longo de seu comprimento e mede-se a área da 
seção transversal inicial da barra então é estirada pela máquina de ensaio, como na Figura 
6, a uma taxa lenta e constante até a ruptura, enquanto faz a leitura da carga para manter 
o estiramento uniforme. A carga aplicada é axial sem flexão do corpo de prova. 
 
Figura 6Figura SEQ Figura \* ARABIC 6: Máquina utilizada no ensaio de tração 
Fonte: HIBBERLER, 2018 
Sendo então obtidos os valores de tensão e deformação pode-se elaborar o 
diagrama tensão-deformação, Figura 7. Onde a tensão é obtida dividindo-se a carga 
aplicada pela área transversal, e a deformação o alongamento pelo comprimento inicial. 
Dois diagramas para determinado material poderão ser semelhantes, no entanto, 
nunca serão iguais, pois o resultado desta relação dependerá de variáveis como a 
composição do material, imperfeições microscópicas, a forma como o corpo de prova é 
fabricado, a taxa de carga e a temperatura durante o ensaio. 
 
Figura 7Figura SEQ Figura \* ARABIC 7: Diagrama tensão-deformação para um 
material dúctil (aço) (Fora de escala) Fonte: HIBBELER, 2018 
Na curva da Figura 7, podemos observar quatro regiões em que o material se 
comporta de forma única de acordo com a quantidade de deformação induzida nele. 
A região elástica é a linha reta que vai até o limite de proporcionalidade, que fica 
muito próximo ao limite de elasticidade, ponto em que se o material é retirado antes 
de atingi-lo este retornará a forma original. Na região do escoamento ocorre a 
deformação plástica, onde o material deforma de forma permanente. 
Na terceira região há o endurecimento por deformação que é uma curva que 
cresce continuamente até o limite de resistência, resultante de qualquer carga que 
cause um aumento na tensão que é suportada pela barra em questão. 
E, por fim, tem-se a estricção, onde, após alcançar certo valor máximo de carga, 
o diâmetro de uma parte do corpo de prova começa a diminuir devido a instabilidade 
local, até romper-se na tensão de ruptura. 
O comportamento dos materiais como resposta ao diagrama de tensão-
deformação permite classificá-los como frágeis, que são os materiais que exibem 
pouco ou nenhum escoamento antes da falha, e dúcteis, que são os materiais capazes 
de suportar grande deformação antes de sofrer ruptura. 
 
2.2 EXEMPLOS PRÁTICOS DE BARRAS CILINDRICAS SUBMETIDAS A 
TENSÃO DE TRAÇÃO 
A compreensão dos esforços mecânicos é de fundamental importância uma vez que 
são essenciais no dimensionamento de uma peça ou estrutura. Tanto a análise quanto 
o projeto de uma dada estrutura envolvem a determinação das tensões e deformações. 
Para determinar a distribuição real das deformações em determinado elemento estrutural 
faz-se necessário analisar as deformações que ocorrem nesse elemento 
É preciso considerar ainda a necessidade de manutenção dos elementos estruturais, assim 
como, por estar sujeito a intempéries e corrosão, no caso das barras de aço, a 
possível diminuição de sua resistência com o passar do tempo. 
Diversas estruturas no dia a dia estão sujeitas a estas tensões, como pode-se observar na 
Figura 8 que a coluna de perfuração presente nesta plataforma de óleo estará sujeita a 
grandes deformações axiais quando for colocada no furo. E na ponte em treliça, na Figura 
9, consiste em barras simples que podem estar sob tração ou compressão 
 
Figura 8Figura SEQ Figura \* ARABIC 8: 
 Plataforma de Óleo HIBBELER, 2018 
 
Figura 9Figura SEQ Figura \* ARABIC 9: Ponte em treliça Fonte: BEER, 2011 
Tirante de aço usado para suspender parte de uma escada. Como resultado, fica sujeito a 
tensão de tração. Tirantes para suporte de cobertura. 
 
 
Figura 10Figura SEQ Figura \* ARABIC 10: Tirante de Aço Fonte: HIBELLER, 2018 
 
Figura 11Figura SEQ Figura \* ARABIC 11: Tirantes para suporte de cobertura 
 
3 CÍRCULO DE MOHR 
 
Christian Otto Mohr foi um engenheiro civil alemão, que desenvolveu interesse 
pelas teorias da mecânica e pela força dos materiais, e em 1882, ele criou o método 
gráfico para determinar os componentes de tensão que atuam em um sistema de 
coordenadas rotacionadas, isto é, atuando em um plano orientado diferentemente 
passando por esse ponto. 
Considerando-se um elemento quadrado de determinado material submetido a 
um estado plano de tensão, como na figura 12 (a), e sendo σx, σy e τxy as componentes 
da tensão que atuam nas faces do elemento. Marca-se então no gráfico que relaciona 
tensão normal (σ) e tensão de cisalhamento (τ) da figura 12 (b), um ponto X de 
coordenadas σx e - τxy e um ponto Y de coordenadas σy e + τxy, traça-se então uma reta 
que passe pelos pontos X e Y e define-se o ponto C o local onde a reta intercede o eixo 
σ, por fim, traça-se uma circunferência adotando o ponto C como o centro e a distância 
de X até Y o diâmetro. 
 
Figura 12Figura SEQ Figura \* ARABIC 12: Círculo de Mohr Fonte: BEER, 2011 
 
A abscissa de C e o raio do círculo podem ser definidos, respectivamente, pelas 
seguintes equações: 
Definimos então este círculo como o Círculo de Mohr para o estado plano de 
tensão, assim, as abscissas dos pontos A e B em que o círculo intercepta o eixo 
representam, respectivamente, a no ponto considerado, suas respectivas equações 
podem ser expressas em: 
Observando ainda o gráfico da Figura 12 (b), nota-se que como a tg (XCA) = , o 
ângulo XCA é igual em intensidade a um dos ângulos satisfazendo a equação: 
Os pontos D e E no círculo de Mohr da Figura 13 (b) correspondem aos planos 
de tensão de cisalhamento máxima, enquanto A e B correspondem aos planos 
principais. Como os diâmetros AB e DE do círculo de Mohr estão a 90º um do outro, 
conclui-se que as faces dos elementos correspondentes estão a 45º uma da outra, como 
mostrado na Figura 13 (a). 
 
 
Figura 13Figura SEQ Figura \* ARABIC 13: Planos de tensão no círculo de Mohr 
Fonte: BEER, 2011 
 
O círculo de Mohr foi muito utilizado no passado, para se obter de forma gráfica, 
em escala, respostas para os problemas de distribuição de tensões. Atualmente, não se 
utiliza mais o círculo de Mohr para este fim, o que não diminui sua importância uma 
vez que este possibilita a visualização completa do estado de tensão em determinado 
ponto. 
 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Um engenheiro responsável por determinado projeto de um elemento estrutural 
deve restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além de que é essencial 
a manutenção periódica desses elementos de uso contínuo, uma vez que com o passar 
do tempo a estrutura está sujeita a deterioração por fenômenos temporais, o que pode 
diminuirconsideravelmente sua resistência inicial, portanto a verificação de quais 
cargas adicionais seus elementos ou partes podem suportar, ou seja, para cálculo é 
importante uma tensão segura. 
Além dessas condições, pode ocorrer de a carga para qual o elemento foi 
projetado ser diferente das cargas realmente aplicadas. Podem vir a ocorrer erros nas 
dimensões das estruturas, por método de fabricação ou montagem de seus 
componentes. Portanto, as propriedades mecânicas de alguns materiais como madeira, 
concreto, entre outros podem ser altamente variáveis. 
Para que o elemento estrutural seja capaz de se comportar da forma desejada ao 
longo do tempo frente as cargas aplicadas, é fundamental a compreensão de como este 
material se deforma quando sujeito a tensões, tanto como seu comportamento nas 
regiões elásticas, de escoamento, no endurecimento por deformação e estricção até a 
ruptura, além de como cada material se deforma aplicando assim o que melhor se 
desempenhará a determinada situação. 
Através do círculo de Mohr pode-se determinar como as componentes de tensão 
se transformam, em função da rotação dos eixos coordenados. De forma geral, é uma 
ferramenta importante que auxilia o engenheiro na solução de diversos problemas que 
envolvem o estado plano de tensão. 
 
REFERENCIAS 
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 
BENTO, D. A. Fundamentos de Resistência dos Materiais. Florianópolis: 2003. 
Disponível em: <https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/03/fundamentos-de-
resistc3aancia-dos materiais-apostila.pdf>. Acesso em: 16 de fev. de 2019. 
ESTUDO de peças prismáticas submetidas a esforços axiais. Prezi. Dssponível 
em:<https:// prezi.com/-usowyhyjvwq/barras-prismaticas-submetidas-a-axial-de-
tracao/>. Acesso em: 17 de fev. de 2019 
HIBBELER, R. C. Resistencia dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Peason Education do 
Brasil, 2018. Disponível em: <https://bv4.digitalpages.com.br/?from=&page=-
11&section=0#/ legacy/168498>. Acesso em: 16 de fev. de 2019. 
Mohr Circle. Revolvy. Disponível em: <https://www.revolvy.com/page/Mohr%27s-
circle>. Acesso em: 17 de fev. de 2019. 
BRITTO, H. Curso Básico de Resistência dos Materiais: Estado duplo de tensão, 
círculo de Mohr. Universidade de São Paulo: Escola Politécnica, 2011. Disponível 
em: <http:// www.lem.ep.usp.br/pef2301/estado_duplo.pdf>. Aceso em: 17 de fev. de 
2019.