Atividade 2

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Atividade 2
Questão 1
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Texto da questão
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador.
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
Questão 2
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Texto da questão
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde  é uma constante dada, considere um gás com o volume de  sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa de  e a pressão está decrescendo a uma taxa de  por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use ).
 
 
a.
A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
b.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.1
c.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
d.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
 
 
 
e.
A temperatura está aumentando a uma taxa de  por segundo no instante dado.
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Questão 3
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Texto da questão
Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que , onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis.
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
Questão 4
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Texto da questão
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.
 
 
Questão 5
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Texto da questão
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
a.
I, IV, apenas.
b.
I, II, IV, apenas.
c.
II, III, apenas.
 
 
 
 
d.
I, apenas.
e.
IV, apenas.
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Questão 6
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Texto da questão
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever . Se  e  e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
 
 
a.
A variável  é a variável intermediária.
 
b.
As variáveis  e  são as variáveis intermediárias.
c.
A variável  é a variável independente.
d.
As variáveis  e  são as variáveis independentes.r
t
e.
As variáveis  e  são as variáveis dependentes.
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Questão 7
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Texto da questão
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
a.
Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
b.
As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função.
c.
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .R2
d.
Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.
e.
Chama-se curva de nível o conjunto de todas as ternas  tais que .
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Questão 8
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Texto da questão
O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função  o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função  no ponto .
 
 
e.
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Questão 9
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Texto da questão
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função .
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto  na direção do vetor .
 
 
a.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
b.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,38 unidades.
c.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,39 unidades.
d.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 8,93 unidades.
e.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,82 unidades.
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Questão 10
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”.
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
 
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto P(0,1), assinale a alternativa correta.