Jesús Fernández Novoa - Análisis matemático I-Universidad Nacional de Educación a Distancia - Rubén Rodríguez

Prévia do material em texto

07121
UNIVERSIDAD NACIONAL 
DE EDUCACION A DISTANCIA
ANALISIS MATEMATICO I
1
JESÚS FERNÁNDEZ NOVOA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Unidad Didáctica /1
Universidad Nacional de Educación a Distancia
UNIDADES DIDÁCTICAS (0107121UD01A04) 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la 
autorización escrita de los titulares del 
Copyright, bajo las sanciones establecidas 
en las leyes, la reproducción total o 
parcial de esta obra por cualquier medio 
o procedimiento, comprendidos la reprografía 
y el tratamiento informático, y la distribución 
de ejemplares de ella mediante alquiler 
o préstamos públicos.
© Universidad Nacional de Educación a Distancia 
Madrid, 1991
Librería UNED: c/ Bravo Murillo, 38 - 28015 Madrid 
Tels.: 91 398 75 60/73 73 
e-mail: libreria@adm.uned.es
© Jesús Fernández Novoa
ISBN: 978-84-362-1668-4 (Tomo I)
ISBN: 978-84-362-1667-7 (Obra completa)
Depósito legal: M. 53.821-2009
Cuarta edición: julio de 1991
Undécima reimpresión: diciembre de 2009
Impreso por: Fernández Ciudad S.L.
Coto de Doñana, 10. 28320 Pinto (Madrid) 
Impreso en España - Printed in Spain
mailto:libreria@adm.uned.es
ANALISIS MATEMATICO I i/i
TEMA I
Los números naturales
Esquema/ resumen
1.1. Axiomas de Peano.
1.2. Suma de números naturales.
1.3. Producto de números naturales.
1.4. Potenciación de números naturales.
1.5. Ordenación de los números naturales.
3
ANALISIS MATEMATICO I 1/3
Los números naturales
1,2, 3,4, 5,...
son los números de contar. En este tema vamos a hacer un estudio formalizado del con­
junto M de dichos números, de las dos leyes de composición, suma y producto de números 
naturales y de la relación de orden definida sobre N.
Todo esto es conocido, al menos intuitivamente, desde la enseñanza general básica. 
Se sabe cuáles son los números naturales, cómo se suman y se multiplican y también cuándo 
un número es mayor o menor que otro. Lo que se va a hacer aquí es fundamentar todas 
estas cuestiones.
El método que seguiremos para estudiar los números naturales es un método axiomá­
tico. Los axiomas que definen el conjunto N de los números naturales son los conocidos 
como axiomas de Peano (1.1).
Se observa en primer lugar que todo número natural tiene un siguiente. Más aún, si dos 
números naturales son distintos, sus respectivos siguientes son también distintos. Esto se 
traduce formalmente diciendo que existe una aplicación de N en N (la aplicación que a cada 
número natural hace corresponder su siguiente) y que esta aplicación es inyectiva.
Sin embargo, la aplicación “siguiente de” no es suprayectiva: El número natural 1 no 
es el siguiente de ningún otro. Además, el número 1 es el único que no tiene antecesor.
Otra propiedad característica de los números naturales es el principio de inducción, 
que se puede enunciar de la siguiente forma: Sí un subconjunto de números naturales con­
tiene al número 1 y, siempre que contenga un número natural, contiene también al siguien­
te, entonces dicho subconjunto es el conjunto de todos los números naturales.
Otra forma equivalente y tal vez más intuitiva de enunciar el principio de inducción es 
la siguiente: Si una propiedad referente a números naturales se verifica para el número 1 y, 
siempre que se verifique para un número natural, se verifica también para el siguiente, en­
tonces esa propiedad se verifica para cualquier número natural.
Un ejemplo sencillo puede contribuir a clarificar el principio de inducción: Supongamos 
5
\!4 ANALISIS MATEMATICO I
que tenemos una fila indefinida de soldaditos de plomo. Empujando al primero podremos 
hacer que todos caigan con tal de que el primero caiga al ser empujado y, siempre que caiga 
uno cualquiera de ellos, automáticamente empuje y haga caer al siguiente.
Uno de los tipos de definiciones frecuentes en Matemáticas es el de las definiciones por 
recurrencia. Estas definiciones sirven para introducir conceptos en los que intervienen núme­
ros naturales y utilizan para ello el principio de inducción. Así se definen, por ejemplo, la 
suma y el producto de números naturales (1.2 y 1.3).
Las propiedades de la suma (asociativa, conmutativa y cancelativa) y las del producto 
(asociativo, conmutativo, distributivo respecto de la suma y cancelativo) de números natu­
rales se demuestran por inducción (1.2 y 1.3).
En el párrafo 1.4 se estudia la potenciación de números naturales.
Finalmente, se define la ordenación habitual de los números naturales (1.5). Esta orde­
nación es compatible con la suma y con el producto y hace de N un conjunto bien orde­
nado.
Observaciones sobre el tema:
a) Puede resultar conveniente, en una primera lectura, limitarse a las definiciones y a 
los enunciados de las proposiciones, dejando las demostraciones de las mismas hasta 
que se hayan realizado los ejercicios de autocomprobación. Estos ejercicios contri­
buirán seguramente a hacer comprensible el mecanismo de la inducción. Después 
pueden leerse las demostraciones, que no son sino otros ejemplos de aplicación, algo 
más sofisticados quizás, del principio de inducción.
b) Algunos textos incluyen el cero entre los números naturales. Esto no supone ningún 
cambio esencial en el desarrollo. Por ejemplo, los axiomas de Peano se escribirán 
igual que como nosotros hemos hecho pero cambiando 1 por 0 en los axiomas se­
gundo y tercero.
6
ANALISIS MATEMATICO I 1/5
1.1. AXIOMAS DE PEANO
Un sistema de números naturales es un par formado por un conjunto N y una aplica­
ción s: M -* N que verifican las siguientes propiedades:
1. s es una aplicación inyectiva.
2. Existe un único elemento 1 G N tal que s (n) 1 para todo n G N.
3. Sz un subconjunto U de N verifica
a) 1 6 U y
b) n G U implica s{n) G U,
entonces U = N.
Estas tres propiedades se conocen con el nombre de axiomas de Peana. La aplicación 5 
es la que a cada número natural hace corresponder su siguiente. Así, con la notación ha­
bitual,
s(l) = 2, 5(2) = 3. 5(3) —4,...
El axioma 3 se llama principio de inducción. Otra forma equivalente de enunciarlo es 
la siguiente:
Si una propiedad P referente a números naturales se verifica para el número 1 y, siempre 
que se verifique para un n G N, se verifica también para su siguiente s(n), entonces la pro­
piedad P se verifica para todo número natural.
1.2. SUMA DE NUMEROS NATURALES
La suma m + n de dos números naturales m y n se define por recurrencia poniendo
m + 1 — 5 (m) y m + s (n) — s (m + n).
7
1/6 ANALISIS MATEMATICO I
Por el principio de inducción, cualquiera que sea el número natural m, la suma m 4- n 
está definida para todo n G N. La primera fórmula de la definición da la suma m + 1 y la 
segunda nos permite construir la suma m 4- (n + 1) = m 4- s (n) una vez conocida la suma 
m + n:
m + 2 = m 4- 5 (1) = s (m 4- 1), 
m 4- 3 — m 4- 5 (2) = s (m + 2),
m + (n + 1) — m + s (n) = s(m + ri).
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición interna sobre N.
Dono si ración: Tenemos que probar que la suma es una aplicación de N xN en N, es 
decir, que hace corresponder a cada par (m, n) de números naturales un único número 
natural que es el que designamos porm 4- n.
Como hemos dicho antes, del principio de inducción se deduce que, cualquiera que 
sea el número natural m, la suma m + n está definida para todo n G N. En efecto: si n = 1, 
la suma m + 1 está definida y es, por definición, igual a s (m); supuesto definida m + n tam­
bién esta definida m 4- s(n) pues, por definición, m 4- s(n) — s (m 4- n). Por consiguiente, 
la suma m 4- n está definida para cualquier n G ÍN y como m era un número natural arbi­
trario, la suma m 4- n está definida para todo par (m, n) de números naturales.
Para probar la unicidad de la suma bastará ver que si m = p y n — q entonces
m 4- n = p 4- q. Por inducción sobre n probaremos en primer lugar que si m = p entonces
m + n =■ p 4- n:
Si m — p, también 5 (m) = s(p) por ser s una aplicación de IN en N, y como por defini­
ción es m 4- 1 — s (m) y p 4- 1 = s (p), será m 4- 1 — p 4- 1. Por tanto,
m — p implicam 4- 1 = p 4- I
y Ja propiedad se cumple para n — 1.
Supongámosla cierta para n, es decir, supongamos que
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Entonces también
m — p implica m 4- 5 (w) = p 4- s (n)
puesto que, por definición, m + s(n) = s(m + n) y p + s (n) = s (p + n) y por la hipótesis 
de inducción y ser s una aplicación de N en N, s (m + n) = s(p 4- n).
Asi pues, efectivamente, cualesquiera quei seMflos números naturales m, n y p,
m — p implica m 4- n = p 4- n.
Análogamente se prueba que también
m — p implica n 4- m — n 4- p.
8
ANALISIS MATEMATICO I 1/7
Ahora es ya fácil probar que
m — p y n — q implican m 4- n = p 4- q.
Basta tener en cuenta que
m = p implica m 4- n — p + n
y que
n = q implica p 4- n = p + q.
Proposición: La suma de números naturales es una ley de composición asociativa, 
conmutativa y cancelativa, es decir, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p, 
se verifican las siguientes propiedades:
1. Asociativa: (m 4- n) + p = m 4- (n + p).
2. Conmutativa: m + n = n + m.
3. Cancelativa: m + p — n + p implica m — n.
Demostración:
1. Procederemos por inducción sobre p \ Sean m y n dos números naturales arbitrarios. 
La propiedad es cierta para p — 1 pues
(m + n) 4- 1 — s(m + n) = m 4- $(«) = m 4* (n 4- 1).
Supuesta cierta para p, es decir, supuesto que
(m 4- n) 4- p = (m + n) + p,
también es cierta para s(p) pues, por definición de suma,
(m + n) 4- s(p) — 4- h) 4- p]
y por la hipótesis de inducción,
ó [(w + rí) 4- p] = .s[w 4- (n 4- p)].
Pero, por definición de suma,
4- (n 4-p)] = m 4- s(n + p) = m 4- (n 4- s(p))_
Por consiguiente, la propiedad es cierta para todo p €= N.
2. Se prueba por inducción sobre n\ Si m es un número natural arbitrario, se tiene 
«4 1= s{my y para demostrar que m 4- 1 = 1 4- m, bastará probar que s(m) = 1 4- m. 
Probaremos esto por inducción sobre m. Para m = 1 es cierto pues sfl) = 1 4- 1, y si es 
cierto para m, es decir, si s(m) = 1 4- my se tiene
s[5(m)] — ó'(1 4- m) = 1 4- s(m),
9
1/8 ANALISIS MATEMATICO I
luego también es válido para s(m) y, por tanto, para todo número natural. Así pues,
m -4- 1 = 1 4- m
y la propiedad conmutativa es cierta para n — 1.
Supongámosla cierta para es decir, supongamos que
m + « — n + m.
Entonces, por definición de suma,
m 4- s(n) — s(m + n)
y por la hipótesis de inducción,
s(m + n) = s(n 4- m)
y teniendo en cuenta de nuevo la definición de suma y la propiedad asociativa de la misma, 
podemos poner
s(n + m) = n 4- s(m) — n 4- (1 + m) ~ (n + 1) 4- m — s(n) 4- m.
Por consiguiente,
m 4- s(n) — s(n) 4- m,
lo que termina la demostración,
3. Procederemos por inducción sobre p: Para p = 1 se cumple pues si m 4- 1 — n 4- 1 se 
tiene s(m) -- s(n) y como 5 es una aplicación inyectiva, m = n.
Supongámosla cierta para p, es decir, supongamos que la condición m 4- p = n 4- p im­
plica m = n. Entonces, si m 4- s(p) — n 4- se tiene s(m 4- p) — s(n 4- p) y como 5 es 
inyectiva, m 4- p = n 4* p que, por la hipótesis de inducción, implica m = n.
1.3. PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES
El producto de dos números naturales m y n lo designaremos por m ■ n ó por mny se 
define por recurrencia poniendo
m ' 1 = m y m ’ s(n) = mn + m.
Proposición: El producto de números naturales es una ley de composición interna 
sobre N.
Demostración: Se procede de manera análoga a como hemos hecho para la suma.
Proposición: El producto de números naturales es una ley de composición distributiva 
respecto de la suma, asociativa, conmutativa y cancelativa, es decir, cualesquiera que sean 
los números naturales m, n y p, se verifican las siguientes propiedades:
10
ANALISIS MATEMATICO I 1/9
1. Distributiva: m(n + p) = mn + np y (m 4- n)p =- mp 4- np.
2. Asociativa: (mn)p — m (np).
3. Conmutativa: mn ~ nm.
4. Cancelativa:
Demostración:
mn = mp implica n — p.
1. Ambas igualdades se prueban por inducción sobre p.
2. Se prueba por inducción sobre p.
3. Se prueba por inducción sobre n. En primer lugar se prueba para n — 1 demostran­
do por inducción sobre m que m ■ 1 — 1 • m.
4. Procederemos por inducción sobre p y así, probaremos en primer lugar que
mn = m ’ 1 implica n = 1.
Desde luego, esto es cierto para m — 1 porque como el producto es conmutativo, de 1 • n — 
= 1-1 resulta n • 1 — 1’1 de donde, por definición de producto, se deduce n — 1. Para 
ver que también es cierto cuando m 1 razonaremos por reducción al absurdo: Si fuese 
n ¥= 1, existirían dos números naturales q y r tales que s(q) = m y s(r) = n y sería
mn — m ' s(r) = mr + m,
y de mn — m ’ 1 se deduciría mr + m — m, o lo que es igual,
m r + (1 + q) = 1 + q,
y como la suma es asociativa,
(mr + 1) + q = 1 4- q.
Aplicando ahora la propiedad cancelativa de la suma resultamr + 1 — 1, es decir, s(mr) — 1, 
lo que contradice el segundo axioma de Peano.
Por consiguiente, la propiedad cancelativa es cierta para p = 1 y cualesquiera que sean 
los otros dos números naturales.
Supongámosla cierta para p cualesquiera que sean los otros dos números naturales y sea
mn — m ■ s(p).
Entonces n ¥= 1 porque si fuese n = 1 sería m 's(p) = m ' 1 y, por lo demostrado antes, 
s(p) = 1, lo cual es imposible. Así pues, n =£ 1 y existirá por tanto un r E N tal que s(r) - n. 
Entonces, de mn — m ' s(p) se deduce
m ■ s(r) = m ’ s(p),
es decir,
mr + m = mp 4- m.
De aquí, por la propiedad cancelativa de la suma, resulta mr = mp y por la hipótesis de in­
ducción esto implica r — p, luego s(r) = s(p), o sea n = s(p).
11
I / 1fl ANALISIS MATEMATICO I
1.4. POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES
Dados dos números naturales m y n, la potencia mn se define como el producto 
m ' m • ■ • m de n factores iguales a m. Esta definición se puede expresar en forma recurrente 
poniendo
m1 — m y — mn * m.
Proposición: Cualesquiera que sean los números naturales m, n y p se verifican las 
siguientes propiedades:
1. mtl ' mp — mn + p .
2. (mn )p = mnp.
3. mp ' np — (mn}p .
Demostración: Todas ellas se prueban por inducción sobre p. Veamos, por ejemplo, 
la demostración de la primera:
Se verifica para p = 1 pues
mn ‘ m1 — mn ■ m ~ ms^ = mn + 1.
Supongamos que se verifica para p. Entonces
mn ' mp — mn +p
y como el producto es asociativo,
m” ‘ ms^ = mn ■ (mp ■ m) = (mn ' mp) * m — mn +p • m = +p^ = mn + SP-,
luego se verifica para s(p).
1.5. ORDENACION DE LOS NUMEROS NATURALES
Dados dos números naturales m y n, se dice que m es menor que n r se escribe m < n 
cuando existe otro número natural p tal que m + p n.
También se dice que n es mayor que m y se escribe n > m.
La siguiente proposición se conoce con el nombre de propiedad de tricotomía:
Proposición: Para cada par de números naturales m y n se verifica una y sólo una de 
las relaciones
m <n, m = n, n <m.
Demostración: Procederemos por inducción sobre n.
No puede ser m < 1 pues entonces existiría un p C N tal que m + p = 1, lo cual es 
imposible porque si p — 1 sería s(m) — 1, y si p 1 serías (r) = p para algún r G N y la 
condición m + s(r) = 1 implicaría s(m + r) — 1. Así pues, se verifica una y sólo una de 
12
ANALISIS MATEMATICO I 1/11
las relaciones m — 1 ó m =# 1. Pero si m =# 1 existe q G. N tal que s (q) = m, es decir, 1 4- q = m 
y, por tanto, 1 < m. Por consiguiente, si n = 1 se verifica una y sólo una de las relaciones 
m = n, n < m.
Supongamos que la proposición es cierta para n y veamos que entonces también es 
cierta para s(m). Distinguiremos dos casos según que sea m = 1 ó m =# 1.
a) m = 1. Se verifica 1 < s(w) porque 1 4- n = s(n). Además, s(r?) ¥= 1 y no es s(n) < 1 
porque entonces existiría un r G N tal que s(rí) 4- r = 1 y, por tanto, s(n + r) — 1.
b) m #= 1. Existe q G N tal que s{q) = m y por la hipótesis de inducción se verifica una 
y sólo una de las relaciones
q <n, q — n, n <q
Sí q < n existe r G N tal que q 4- r = n, luego s(q 4- r) = s(n), es decir, s(q) 4- r = s(n), 
o lo que es igual, m 4- r = s(rí) y, por tanto, m <s(n).
Siq = n, también s(q) - sin), es decir, m = s(n).
Si n < q existe r G N tal que n + r — q, luego s(n 4- r) = s(q), es decir, s(n)4- r — s(q), o 
lo que es igual, s(rt) 4- r — m y, por tanto, s(n) < m.
Por consiguiente, en todo caso, se verifica una y sólo una de las relaciones.
m <s()í). m — s(n),
lo que termina la demostración.
Proposición: La relación < definida sobre N por
m ^n cuando m < h ó m = n
es una relación de orden compatible con la suma y con el producto, es decir, una relación 
de orden tal que, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p,
m^n implica m + p ¿y n + p y mp < np.
Demostración:
Es reflexiva: m < m porque m — m.
Es antisimétrica: Si m < n y n < m, de la propiedad de tricotomía se deduce m — n.
Es transitiva: Si m < n y n <p entonces m^p.
Para probarla distinguiremos los cuatro casos que se pueden presentar:
a) m < n y n < p. Entonces existen dos números naturales q y r tales que m 4- q = n y 
n + r - p y, por tanto,
p = (m 4- q) 4- r = m 4- (q 4- r),
luego m <p.
b) m < n y n — p. Entonces existe q G N tal que
m 4- q — n = p,
13
1/12 ANALISIS MATEMATICO I
luego m <p.
c) m = n y n <p. Entonces existe q G N tal que
m+q = n + q — p,
luego m <p.
d) m = n y n — p. Entonces m — p.
Por consiguiente, en todo caso,
m < n y n < p implican m < p,
Sean ahora m y n dos números naturales tales que m < n y sea p otro número natural. 
Si m — n, entonces está claro que se verifican
m — p — n + p y mp — np.
Si m < n existe q G hl tal que m 4- q — n y se tiene
n+p = (m+q) + p = m + (q+p) = m + (p + q)-(m-l-p) + q
y
np = (m 4- q)p -mp 4- qp,
luego
m + p <n + p y mp < np
Por consiguiente, cualesquiera que sean los números naturales m, n y p,
m < n implica m 4- p < n 4- p y mp < np.
Proposición; El conjunto N con la relación < es un conjunto bien ordenado.
Demostración: Sea V un subconjunto de N que no posea mínimo. Probaremos que V = ó 
con lo cual quedará demostrado que todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo, es 
decir, que N es un conjunto bien ordenado.
Sea
U — {n G N, para todo v G V} .
Entonces U Q V — ó pues si n G U A V sería n < v para todo v G V y además n G V, es decir, 
n sería el mínimo de V y hemos supuesto que V no tiene mínimo. Por otra parte, U — N 
pues, evidentemente, 1 G U y si n G U, será n < v para todo v G V puesto que V no tiene mí­
nimo; entonces, para cada v G V existe un x G N tal que n 4- x = v y como 1 < x para todo 
x G N, para cada v G V se tiene
fí4-l<«4-x = y,
luego s(n) = n 4- 1 G U. Así pues, efectivamente, í7=N,deí7AK—0se deduce N A V — 0 
y como V es un subconjunto de N, resulta que K = 0.
14
ANALISIS MATEMATICO I 1/13
Definición: Un semianillo es un conjunto A en el que están definidas dos leyes de com­
posición, una suma que es asociativa y conmutativa, y un producto que es asociativo y dis­
tributivo respecto de la suma.
Cuando además, el producto es conmutativo, el semianillo A se llama conmutativo.
Cuando A tiene elemento neutro para el producto, se dice que A es un semianillo con 
unidad.
Definición: Un semianillo ordenado es un semianillo A sobre el que está definida una 
relación de orden compatible con la suma y con el producto de A.
Las propiedades antes demostradas nos permiten enunciar la siguiente
Proposición: El conjunto N de los números naturales es un semianillo ordenado conmu­
tativo y con unidad.
15
ANALISIS MATEMATICO I 1/15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
En los siguientes ejercicios, demostrar cada enunciado por inducción.
1. 1 + 2 + 3 + ...+??—n (/? + l)/2.
2. 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
3. 1 + 5 + 9 + ... + (4« ~ 3) - n (2n - 1).
4. I2 + 22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1) (2n + 1 )/6.
5. I3 + 23 + 33 + ...+¿73 - (1 + 2 + 3 + ... + rt)2 .
6. 1 + 2 + 22 + ... + 2”~ 1 - 2n - 1.
7. 2n > n.
8. 34tt + 9 es múltiplo de 10.
9. 9n + 1 — 8n + 55 es múltiplo de 64.
10. Todas las potencias del número 12890625 terminan en estas mismas ocho cifras.
17
1/16 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. La igualdad se cumple para n = 1:
1 = 1-2/2,
Supongamos que se verifica para «, es decir, supongamos que
1 + 2 + 3 + ... + n — n(n + l)/2.
Entonces, sumando n + 1 a los dos miembros resulta
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = n (n + 1 )/2 + (n + 1)
= (n + 1) (n/2 + 1)
-(« + l)(n + 2)/2
es decir, la igualdad se verifica también para n + 1.
2. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n, es decir, 
supongamos que
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
Entonces, sumando 2 (n + 1) — 1 — 2n + 1 a los dos miembros resulta
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)= (n + l)2
y la igualdad es cierta para n + 1.
18
ANALISIS MATEMATICO I 1/17
3. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 4- 5 + 9 + ... 4- (4n — 3) — n (2n — 1)
y sumando 4 (n -t- 1) — 3 = 4n + 1 a los dos miembros resulta
1 4- 5 4- 9 4- ... 4- (4n — 3) 4- (4n 4- 1) = n (2n — 1) 4- 4n 4- 1
= n (2n 4- 1) 4- 2n 4- 1
= (« 4- 1) (2n 4- 1)
y la igualdad es cierta para «4-1.
4. La igualdad se cumple evidentemente para n ~ 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 2 4- 22 4-32 4- ... 4- «2 = n(n 4- 1) (2« 4- 1 )/6
y sumando («4- l)2 a los dos miembros resulta
l2 4- 22 4- 3 2 4- ... 4- «2 4- (« + 1 )2 = «(«4- 1) (2« 4- l)/6 4- (n 4- 1 )2
— (« 4- 1) [» (2« 4-l)4-6(n4-l )]/6
— (n 4- 1) [« (2n 4- 3) 4- 4« 4- 6]/6
= (tí 4- 1) [n (2« 4- 3) 4- 2 (2« 4- 3)]/6
= («+ 1) (n 4- 2) (2« 4- 3)/6
luego la igualdad es cierta para n 4- 1.
5. La igualdad se cumple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta paraw. Enton­
ces,
13 + 23 4- 3 3 4- ... 4- n3 = (1 4-24-3 4-. .. 4- «)2
y sumando (« 4- i)3 a los dos miembros resulta
l3 4- 23 4- 33 4- ... 4- «3 4- (« 4- l)3 (1 4- 2 4- 3 4- ... 4- n)2 4- (n 4- 1) (« 4- l)2
= (1 4- 2 4- 3 4- ... 4- «)2 4- n (n 4- l)2 4- (« 4- l)2
Pero, según hemos visto en el ejercicio 1,
n (n 4- 1) = 2 (1 4-24-3 4-... 4-«)
luego
n(n 4- l)2 —2(1 4-24-3 4- ... 4- «) (« 4- 1)
19
1/18 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
l3 4-23 + 33 + ... + H3 +(«+ l)3 = (1 4-2 4- 3 4-... 4-«)2 4-
4-2(1 + 2 + 3 + + n) (w + 1) 4- (w 4- 1 )2
= [1 4- 2 4- 3 4- ... 4- n 4- (n 4- l)]2
lo que prueba que la igualdad es cierta para n 4- 1.
6. La igualdad se c.umple evidentemente para n = 1. Supongámosla cierta para n. Enton­
ces,
1 + 2 4- 22 + ... + 2""1 - 2" - 1
y sumando 2n a los dos miembros resulta
1 + 2 4- 22 + ... + 2"’1 4- 2" = 2" 4- 2" - 1
= 2 • 2" - 1
= 2n + 1 - 1
luego la igualdad es cierta para n 4- 1.
7. Como 2 > 1, el enunciado es cierto para n = 1. Supongámoslo cierto para n. Entonces, 
2” > n y multiplicando por 2 se deduce que 2rt +1 > 2n. Pero, cualquiera que sea el 
número natural n se verifica n > 1 luego 2n > n 4- 1 y, por tanto, 2" + > n 4- 1 y el 
enunciado es cierto para n 4- 1.
1
8. El enunciado es cierto para n = 1 pues
34 4- 9 = 90.
Supongámoslo cierto para n. Entonces
34n 4-9 es múltiplo de 10
y multiplicando por 34 resulta que
34n+4 -p 34 - 9 es múltiplo de 10.
Ahora bien,
34h+4 _j_ 34 . 9 = 34/i+4 + 729 = 34(72 + 1) + 9 + 720
y como 720 es múltiplo de 10, también
34(n + i) 9 es múitiplo de 10
y el enunciado es cierto para n + 1.
20
ANALISIS MATEMATICO I 1/ 19
9. El enunciado es cierto para n = 1 pues
92 - 8 + 55 = 128 = 64 • 2.
Supongámoslo cierto para n. Entonces
9« + i _ + 55 es múltiplo de 64
y multiplicando por 9 resulta que
9<n + i)+i —72^ + 495 es múltiplo de 64.
Ahora bien,
—72« 4- 495 = — 8n — 8 — 64/7 + 503
= —8 (« + 1) — 64/7 + 55 + 448
= -8(w + 1) + 55 — 64/7 + 64-7
y como —64/7 + 64 • 7 es múltiplo de 64, se deduce que
9^ + 1^+1—8(/?+l) + 55 es múltiplo de 64
luego el enunciado se cumple para n + 1.
10. Sea x = 12890625. Tenemos que probar que, para todo número natural /?, el número 
xn termina en estas mismas ocho cifras. Esto es cierto evidentemente para n = 1. Su­
pongámoslo cierto para n, es decir, supongamos que el número xn termina en 12890625:
xn = ... 12890625.
Para ver que, entonces, el número xn +1 termina también en 12890625, efectuamos la 
multiplicación de xn = ... 12890625 porx— 12890625;
...12890625
12890625...64453125
...25781250
...77343750
...00000000
...16015625
...03125000
...25781250
..■12890625
.......................... 12890625
21
ANALISIS MATEMATICO I n/i
TEMA II
Los números enteros
Esquema/ resumen
2.1. Los números enteros.
2.2. El grupo aditivo de los números enteros.
2.3. El anillo de los números enteros.
2.4. Ordenación de los números enteros.
23
ANALISIS MATEMATICO I 11/3
Dados dos números naturales a y b, no siempre existe otro número natural x tal que 
a + x = b. Con otras palabras, en el conjunto N de los números naturales la ecuación a + x = b 
no siempre tiene solución. Unicamente la tiene cuando a < b.
I
En este tema vamos a construir un conjunto 7L en el que esta ecuación tenga siempre so­
lución. Además, el conjunto 1 vaa contener en un cierto sentido al conjunto N. Para hablar 
con más precisión, un subconjunto 1L+ de 1L es isomorfo al conjunto N de los números natu­
rales, es decir, existe una aplicación biyectiva de N sobre ~L+ que conserva la suma, el produc­
to y el orden. En matemáticas, un Ísomorfismo entre dos conjuntos los identifica. Sus elemen­
tos pueden ser de distinta naturaleza pero se comportan de la misma manera respecto de 
las operaciones y relaciones conservadas por el Ísomorfismo en cuestión. Los elementos de 
7L+, que son los enteros positivos, resultan así identificados con los números naturales. Unos 
y otros se comportan de la misma forma respecto de la suma, del producto y del orden.
Para la construcción de 7L se sigue un proceso típico en matemáticas. Partiendo del con­
junto ya conocido de los números naturales, se define una cierta relación de equivalencia 
sobre el conjunto producto N x IM. El conjunto cociente M x N/ es el conjunto Z Je 
los números enteros.
La suma y el producto de números enteros se definen a través de sus representantes. Esto 
exige comprobar que la suma y el producto de dos números enteros no dependen de los re­
presentantes elegidos de los enteros en cuestión. Lo mismo puede decirse de la ordenación 
de los números enteros.
25
ANALISIS MATEMATICO I 11/5
2.1. LOS NUMEROS ENTEROS
Proposición: Sea N el conjunto de los números naturales. La relación .*> definida en el 
conjunto N x N por
(a, b)y? (c, tZ) cuando a + d = b + c
es una relación de equivalencia.
Demostración:
^es reflexiva: (a, b) .4 {a, b) pues a + b — b + a por la propiedad conmutativa de la 
suma de números naturales.
> es simétrica: Si (a, b) (c, d) esa + d — b + c y, por la propiedad conmutativa de la 
suma en N, c + b = d + a, luego (c, d)*(a, b).
es transitiva: Si (a, b) (c, d) y (c, d) .*(e, f) se verifican a + d = b + cyc+f-d + e, 
luego
(a + d) + (c + /) — (ú + c) + (cZ + e)
y, por las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en N,
(a + f) 4- (c 4 dj = (b 4 e) + (c 4- d).
Teniendo en cuenta ahora la propiedad cancelativa de la suma en N resulta
a+f=b + e
y, por tanto,
(a, b)^ (etf).
27
11/6 ANALISIS MATEMATICO I
La relación ¿ anterior determina una partición del conjunto N x N en clases de equiva­
lencia. Cada una de estas clases se llama número entero. Un número entero es, pues, un ele­
mento del conjunto cociente 1L — N x N/ ¿ .
En lo que sigue, designaremos los números enteros por letras griegas a, 0, y, etc. Algunas 
veces escribiremos a = [(aj, a2 )] para indicar que el par de números naturales (aí, a2) es un 
representante del número entero a.
2.2. EL GRUPO ADITIVO DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.2.1. Definición: Un grupo es un conjunto G en el que está definida una ley de com­
posición * que tiene las siguientes propiedades:
1. Asociativa: Cualesquiera que sean los elementos a, b y c de G se verifica
(a * b) * c = a * (b * c).
2. Existencia de neutro: Existe un elemento eG-G tal que
a*e=e*a=a
para todo a^G.
3. Existencia de simétricos: Para cada aEC existe un a G.G tal que
a * a' — a * a — e.
Si además, la ley de composición * es conmutativa, es decir, si
a *b = b *a
cualesquiera que sean los elementos a y b de G, el grupo G se llama conmutativo o abeliano.
Cuando la ley * es la suma, el grupo G se dice aditivo. En este caso, el elemento neutro 
suele designarse con el símbolo 0 y el simétrico de un a £ G se llama opuesto de a y se desig­
na por —a. Cuando la ley * es el producto, el grupo G se dice multiplicativo. En este caso, el 
elemento neutro suele designarse con el símbolo 1 y el simétrico de un a £ G se llama inver­
so de a y se designa pora-1 o por 1/a.
Proposición: En un grupo G el elemento neutro es único y el simétrico de cada elemento 
es también único.
Demostración: Probaremos en primer lugar la unicidad del elemento neutro. Si ex y e2 
fuesen dos elementos neutros para la ley * de G se verificaría C} * e2 = e2 por ser et neutro, 
y también ex * e2 = eY por ser e2 neutro. Por tanto, er — e2.
Veamos ahora la unicidad del simétrico de un elemento arbitrario a de G. Si a’ y a" fue­
sen simétricos de a se verificarían
a * a = a * a — e y a * a1' — a" * a = e
28
ANALISIS MATEMATICO I H/7
y como * es asociativa,
a = a * e — a * {a * a ) = (a * a) * a — e * a = a .
Proposición: S7 a, b y c son elementos de un grupo G tales que a*b=a*c(ob*a — 
= c * a), entonces b — c. (Propiedad cancelativa).
Demostración: Sea e el elemento neutro de G y sea a el simétrico de a. es a * b = a * c, 
será
a * (¿z * b) = a * (a * c)
y como * es asociativa,
(a’ * a) * b = (q * a) * c,
es decir,
e * b = e * c
luego
b = c.
De manera análoga se prueba que si b * a — c * a, entonces b = c. Basta componer por 
la derecha con el simétrico de a.
Proposición: En un grupo G cada una de las ecuaciones a*x=byx*a=b tiene 
solución única.
Demostración: Sea e el elemento neutro de G y sea a' el simétrico de a. La ecuación 
a * x = b da
a * (a * x) = a * b
y por la propiedad asociativa
(a’ * a) * x = ¿z' * b,
es decir,
e * x = a * b
y, por tanto,
x = a * b.
Hemos obtenido así una solución de la ecuación a * x = b. Además, esta solución es única 
pues si Xj y x2 fuesen soluciones de la ecuación, sería a * Xi = a * x2 y, por la propiedad 
cancelativa, Xj — x2.
Análogamente se prueba que la solución de la ecuación x * a — b esx = b * a .
29
11/8 ANALISIS MATEMATICO I
2.2.2. Definición: Sean a y (3 dos números enteros y sean (ax, a2) y (blt b2) sendos 
representantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al número entero que tiene 
por representante el par (aí + bíra2 4- b2):
ot 4-£ = [Oj + bx, a2 + ¿>2)].
Esta definición es consistente. Con otras palabras, la suma de dos números enteros a y 
0 no depende de los representantes elegidos para oí y (3. Para verlo, hemos de probar que si 
(¿zí. a2) y (óí, b2) son otros representantes de a y (3 respectivamente, entonces (¿zj 4- b{, 
a2 + b2) es otro representante de a 4- (3, es decir, que si
(ax, a2) ^(ax, a2) y (blf b2) *(b\, b2), 
entonces
(qx ybx,a2 + b2).^{ax '3-bXta2 + b2).
En efecto: Por hipótesis se verifican
4- a2 = a2 + ax y bx -f- b2 — b2 4* bx,
luego
(ax 4- a2 ) 4- (bx 4~ b2 ) = (q2 4- ax) + (b2 4- bx)
y por las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en N, se puede escribir
■ (úq 4- bx) 4- (a2 4- b2 ) — (a2 4- b2 ) 4- (¿Zj 4- bx),
como queríamos demostrar.
Proposición: Con la suma antes definida el conjunto fL de los números enteros es un gru­
po abeliano.
Demostración:
La suma es asociativa. En efecto: Sean a. p1 y 7 tres números enteros y sean (alr a2), 
(blf b2) y (cx, c2) representantes de a, (3 y 7 respectivamente. Entonces un representante 
de (a 4- /3) 4- 7 es
((¿z 1 4- bx) 4- cx, (a2 4- b2) 4- c2)
y un representante de a 4- (¡3 4- 7),
(¿Zi 4- (b¡ + c1),a2 4- (b2 4- c2 )).
Por la propiedad asociativa de la suma en N estos dos pares son iguales, luego los números 
enteros (a 4- 0) 4- 7 y a 4- (/3 4- 7) son iguales por tener un mismo representante.
La suma es conmutativa. En efecto: Sean a y (3 dos números enteros y sean (alr a2) y 
(bít b2) sendos representantes. Un representante de u 4-j3 es (ai 4- bx, a2 4- b2) y un repre­
sentante de j3 4- oí es (bx 4- <21, b2 4- a2 ). Por lapropiedad conmutativa de la suma en N estos 
30
ANALISIS MATEMATICO I 11/9
dos pares son iguales y los enteros a 4- (3 y (3 4- a son iguales por tener un mismo representan­
te.
El elemento neutro es el entero 0 — [(x, x)] donde x es un número natural arbitrario. 
(Obsérvese que, cualesquiera que sean los números naturales x e y, los pares (x, x) e (y, y) 
son equivalentes y son, por tanto, representantes de un mismo número entero: el que hemos 
designado por el símbolo 0). En efecto: Sea a = [(tf¡, a2)] un número entero arbitrario. 
Un representante de a 4 0 es (¿Zi 4 x, a2 + x). Pero
(uj -y x, a2 ■yx).^(a1,a2)
y, por tanto,
a 4- 0 — a.
El opuesto de un entero a = [(«i , «2)] es = [(^2 > ai)] Pues el Par (#i + a2> ai + a2) 
es un representante del número entero a 4 (—a) y también lo es del número entero 0, luego
a 4 (™a) = 0.
2.3. EL ANILLO DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.3.1. Definición: Un anillo es un conjunto A en el que están definidas dos leyes de 
composición, una suma respecto de la cual A es un grupo abeliano, y un producto que es 
asociativo y distributivo respecto de la suma.
Cuando además, el producto es conmutativo, el anillo A se llama conmutativo.
Cuando A tiene elemento neutro para el producto, se dice que A es un anillo con unidad.
Como todo anillo es un grupo aditivo, en un anillo A se verifican todas las propiedades 
válidas para grupos. La siguiente proposición establece otras propiedades válidas en cualquier 
anillo.
Proposición: En todo anillo A se verifican las siguientes propiedades:
1. a • 0 — 0 • a — 0 para todo a G A. (0 es el elemento neutro para la suma en A).
2. (—a) • b = a • (—ó) = — ab cualesquiera que sean los elementos ay b de A.
3. (—a) ‘ (—b) = ab cualesquiera que sean los elementos ay b de A.
Demostración:
1. Sea b un elemento cualquiera de A. Entonces b 4 0 = b y a (b 4 0) = ab y, por la 
propiedad distributiva del producto respecto de la suma, resulta ab 4 a ’ 0 = ab, luego 
a • 0 = 0. Análogamente, partiendo de (b + 0) a — ba, se deduce que 0 • a = 0.
2. Basta tener en cuenta que
(-a) b -y ab = [(- a) + a]b = 0'b = 0
31
11/10 ANALISIS MATEMATICO I
y que
a (—/>) + ab = a [(—6) + d] - a ■ 0 = 0.
3. Aplicando dos veces la propiedad anterior resulta
(-a) (—¿>) = - [a (—¿>)] = - {-ab) - ab
ya que el opuesto del opuesto de un elemento es igual a dicho elemento.
2.3.2. Definición: Sean a y (3 dos números enteros y sean (tíq, a2)y (¿>i, b2) sendos re­
presentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a $al número entero que tiene por 
representante el par {a^b^ + a2b2>a1b2 + a2bl):
aP-Kflibi ya2b2>axb2 + a2b¡)].
De manera análoga a como se ha hecho con la suma, se prueba que esta definición es 
consistente, es decir, que el producto a ¡3 no depende de los representantes elegidos para a 
y3-
Proposición: El conjunto 1L de los números enteros es un anillo conmutativo con uni­
dad.
Demostración: Ya sabemos que 7L es un grupo aditivo abeliano. Habrá que probar que 
el producto de números enteros tiene las siguientes propiedades:
1. Asociativa: Cualesquiera que sean los números enteros c¿, j3 y 7 se verifica
(a 0) 7 = a 7).
2. Conmutativa: Cualesquiera que sean los números enteros ay (3 se verifica
a/3 — (3 a.
3. Distributiva respecto de la suma: Cualesquiera que sean los números enteros a, (3 y 
7 se verifica
a (0 4- 7) - a [3 + oí 7.
4. Existencia de neutro: Existe un entero 1 tal que
a • 1 -= 1 ■ a — a
para todo aGl.
Las propiedades 1, 2 y 3 se prueban de manera análoga a como hemos hecho con las pro­
piedades asociativa y conmutativa de la suma: Se toman representantes de a, (3 y 7 y se de­
muestra, en cada caso, que los enteros situados a un lado y otro del signo igual tienen el 
mismo representante.
El elemento neutro para el producto es 1 = [(x + 1, x)] donde x es un número natural 
arbitrario. (Cualesquiera que sean los números naturales x e y, los pares (x + 1, x) e (y + 1, y) 
32
ANALISIS MATEMATICO I 11/11
son equivalentes y son, por tanto, representantes de un mismo número entero). En efecto, si 
oí — [{ai, a2)] es un número entero arbitrario, un representante de a - 1 es el par
((¿zj + a2 ) x + at, (ax + a2 ) x + a2 ).
Pero este par es equivalente con a2 ) y, por tanto,
a • 1 = a.
2.4. ORDENACION DE LOS NUMEROS ENTEROS
2.4.1. Definición: Un anillo ordenado es un anillo A que contiene un subconjunto A + 
con las siguientes propiedades:
1. 0£A+.
2. Para cada a <= A se verifica una y sólo una de las tres relaciones
a^A+, a = 0, -aEA*.
3. Para todo par a, b de elementos de A* se verifican
a 4- b EA+ y abEA+.
Los elementos de A* se llaman elementos positivos del anillo A. En virtud de la segunda 
propiedad, si un elemento a del anillo A verifica a ^A + y ai=O, entonces — a G/l + ;en este 
caso, se dice que a es negativo.
En un anillo ordenado A se define la relación <. menor que, poniendo
a < b cuando b — a = b + (—a) EA+.
Obsérvese que, según esto, un a G A es positivo si y sólo si 0 < a y que a es negativo si y sólo 
si a < 0.
Se escribe a < b, a menor o igual que b, para denotar que o bien es a < b, o bien a = b. 
A veces se escribe a > b, a mayor que b, en lugar de b < a, y también a > b, a mayor o igual 
que b, en lugar de b < a.
Proposición: En un anillo ordenado A se verifican las siguientes propiedades:
1. a < b y b < c implican a <,c.
2. a < b implica a + c <ib + c para todo c G A.
3. a <b y c <d implican a + c < b A- d.
4. a <b y c> Q implican ac < be.
5. a <b y c implican ac > be.
6. a #= 0 implica a2 > 0.
33
11/12 ANALISIS MATEMATICO I
7. 1 > 0 (en el caso de que A tenga unidad).
Demostración:
1. Como b — a EA+yc-b€A+ también (b — á) + (e — b) £A+, es decir, c — a EA + 
y, por tanto, a < c.
2. Basta observar que
(b + c) — (¿z + c) — b — a^A+.
3. Se tiene
(b + d) - (a + c) = (b — a) + {d — c)
y como b — a EE y d — c^A+, también (b + d) — (¿z + c) GA +.
4. Como b — a £4 + y e £4 + también (b — a) c G A+, es decir, be — ac G,4 + y, por tan­
to, ac < be.
5. Como c £ A+ y c =#= 0 ha de ser — c G A+ y como también b — a E^A+ será (¿> — a) ■ 
• (—c) Gri+, es decir, ac — be G A+ y, por tanto, ac > be.
6. Si a 0 entonces a EA + o -a Gri+. En el primer caso, a2 = aa^A+. En el segundo,
a2 ■(-a)GA+.
7. Como 1 es el neutro para el producto, 1 = 1 • 1 = l2, y como 1 =£ 0, por la propie­
dad anterior resulta 1 > 0.
2.4.2. Definición: Se dice que un número entero a = [(ííj, a2)] es positivo cuando 
ai > 0-1 •
Fácilmente se prueba que esta definición no depende del representante elegido de oí.
Como el número natural es mayor que el número natural a2 si y sólo si existe un 
a G N tal que ax = a + a2, el número entero o — [(«i> ü2)J será positivo cuando y sólo 
cuando admita un representante de la forma (a 4- a2, a2). Ahora bien, como (a + a2> a2) 
.{a + 1,1), el entero a será positivo si y sólo si tiene un representante de la forma (a 4- 1, 1).
Proposición: El anillo 7L de los números enteros es un anillo ordenado.
Demostración: Sea 7L* el conjunto de los enteros positivos. Entonces 0 £ 1L+ pues 
0 — [(x, x)] donde x es un número natural arbitrario, y no es x > x.
Sea a = [(«!, a2)] un entero cualquiera. Por la propiedad de tricotomía de la ordena­
ción de los números naturales se verifica una y sólo una de las tres relaciones
¿Zj ¿z2, a j ~ a2, a j a2.
Si se verifica la primera de ellas, a G 7L+- Si se verifica la segunda, a - 0. Si se verifica la 
tercera, —a = [(¿z2, aY )] G 1L+-
34
ANALISIS MATEMATICO I 11/13
Finalmente, si oí y pertenecen a "2.+ existen números naturales a y b tales que a = 
= [(a + 1, 1)] y ¡8 = [(¿> + 1, 1)] y se tiene
oí 4- 0 = [(a + b + 2, 2)j = [(a + b + 1, 1 )] G Z+
y
a/3 = [(ab + £z + Z? + 2,íz + ó + 2)] = [(ab + 1, 1)] G ^_+.
2.4.3. Proposición: La aplicación f: N------- > ~IL+ definida por
/(«) = [(« +1,1)]
es un isomorfismo de semianillos ordenados, es decir, es una aplicación biyectiva que, para 
todo par de números naturales m y n, verifica las siguientes propiedades:
1. ffin + n} — ffin} + f(n}.
2. f(mn} = ffin} -f(n).3. m < n implica ffin} </(«).
Demostración: Todo elemento de ~1L+ es de la forma [(a + 1, 1)] donde a es un número 
natural y es imagen por f de este número natural a. Así pues, la aplicación /es suprayecti- 
va. Por otra parte, si m y n son dos números naturales distintos, los pares fin + 1, 1) y 
fii + 1, 1) no son equivalentes y los números enteros [fin + 1, 1)] y [(« + 1, 1)] son distin­
tos. Por tanto, m n implica ffin} f(n} y / es inyectiva.
Además,
ffin} + f(n} = [fin + 1, 1)] + [(« + 1, 1)] = [fin + n + 2, 2)]
- |(w + n + 1, 1)] = ffin + n)
y
/(m) - ffii) - [fin + 1, 1 )]•[(« + 1, 1)] = [finn + m + n + 2, m + n + 2)]
= [finn + 1,1)] = ffinn),
y si m < n,
f fin} = [fin + 1, 1)] <[(« + 1, !)]=/■(«),
lo que concluye la demostración.
Según esta proposición, a cada número natural le corresponde un único entero positivo 
y recíprocamente. Además, en esta correspondencia se conservan las operaciones y el orden. 
Los elementos de M y de X+ son de distinta naturaleza pero se comportan de la misma ma­
nera y pueden, por tanto, identificarse. Cada entero positivo [(a + 1, 1)] resulta así identifi­
cado con el número natural a del cual es imagen por el isomorfismo /. De esta forma se 
obtiene para los enteros positivos
35
11/14 ANALISIS MATEMATICO I
[(2, 1)] , [(3, 1)] , [(4, 1)] , [(5, 1)] , ..., [(« + 1, 1)] , ...
la notación clásica
1,2j 3, 4, ..., n, ...
Los enteros negativos son los opuestos de los positivos y, por ello, se designan habitualmente 
afectando de un signo menos a los enteros positivos:
— 1, —2, —3, -4,..., — n, ...
Finalmente, el símbolo 0 (cero) designa el elemento neutro para la suma en X.
36
ANALISIS MATEMATICO I 11/15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Demostrar la propiedad distributiva del producto de números enteros respecto de la 
suma.
2. Sean a y 0 dos números enteros tales que a 0 = 0. Probar que entonces a = 0 ó 0 — 0.
3. Se llama valor absoluto de un entero a y se denota por lal al número entero definido 
por
a si a > 0
¡al = 
—a si a < 0
Demostrar que se verifican las siguientes propiedades:
a) jal> 0 para todo a E "2. y ¡a! = 0 si y sólo si a = 0.
b) Ia 0| = |a| • |0| para todo par a, 0 de números enteros.
c) la 4- 01 < lal 4- ¡0l para todo par de números enteros.
4. Probar que, cualesquiera que sean los números enteros a y 0, se verifica
llal — l0ll< la — 0l.
5. Sean a y 0 dos números enteros arbitrarios. Probar que
max {a, 0} = - (a 4- 0 4- la - 0l) y min {a, 0} = y (a 4- 0 - la - 0l).
2 2
37
11/16 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Hay que probar que, cualesquiera que sean los números enteros a, j3 y 7 se verifica
a(fi + y) = a/3 + ay.
Sean (alr a2), (blt ¿>2) y (Cj, c2) representantes de a, 0 y 7 respectivamente. Un repre­
sentante de a(0 + 7) es
(«i (¿1 + ) 4- a2 (b2 4- c2), íZj (b2 4- c2) + a2 (bt 4- )).
Un representante de a@ es (aib1 + a2b2, a1b2 4- a2bx) y un representante de ay es 
(a1cí + a2c2, aíc2 4- a2cx), luego el par
((#1 ¿1 4- a2 b2) 4- (í/j Cj 4- diC2), (¿z 1 b2 + a2bi) 4- (a ^c2 4- a2Ci))
es un representante dea (3 +a y. Por las propiedades de la suma y del producto de nú­
meros naturales se deduce que estos representantes de a(j3 4- 7) y de a 04-a 7 coinci­
den, y estos números enteros son iguales por tener un mismo representante.
2. Si fuesen los dos positivos o los dos negativos, su producto seria positivo. Si fuesen uno 
positivo y otro negativo, su producto sería negativo. Por tanto, uno de ellos al menos 
ha de ser cero.
3. a) Está claro que lal > 0 para todo a £ I y que lod = 0 si a ~ 0. Por otra parte, si
lai = 0 se tiene a = 0 ó —a = 0 y, por tanto, a = 0.
b) Si a = 0 o 0 = 0 la propiedad es evidente.
Sia>Oy0>O entonces a 0 > 0 y, por tanto,
|a0i = «0 = |a| I0L
38
ANALISIS MATEMATICO I 11/17
Sia>0y/3<0 entonces a (5 < 0 y, por tanto,
¡a /3| = -a 0 = a • (—/3) = ja| |/J|.
Sioí<0y¿3>0 entonces a |3 < 0 y, por tanto,
|a/3| = —a {3 = (—a) ■ 0 - |a¡ |0|.
Sia<0y/3<0 entonces a 0 > 0 y, por tanto,
l«|3| “ a 0 = (-a) • (-0) = ja| |0|.
c) Si a 4- 0 > 0 se tiene
la 4- 0l = a + 0 < lal 4- i0l,
y si a 4* 0 < 0,
la 4- 0l = —oí — 0 < lal 4- I0I.
(Obsérvese que para todo ft'Glse verifican a < lal y — a < la I.)
4. Según la propiedad c) del ejercicio anterior,
lal = i (a — 0) 4- 0l< la — 0l 4- l0l
luego
lal — 10| < la — 0l.
Análogamente, como
|0| = I (j3 — a) 4- al< l0 — al 4- lal = la — 0Í 4- lal,
resulta
|0| — lal < ¡a — 0l.
Ahora bien, por definición de valor absoluto, Ilal — I0II es igual a lal — I0l o bien a 
10| — lal y como estos dos números son menores o iguales que la — 0l,
lial — l0ll < la — 0I.
5. Probaremos que
max {a, 0} = i (a 4- 0 4- la — 0| ).
La otra igualdad se prueba de manera análoga.
Si a > 0 se tiene max {a, 0} — a y ¡a — 0l = a — ¡8, luego
39
II / 18 ANALISIS MATEMATICO I
i (ce + 0 + la-0l) = ~(a + 0 + a — 0) = a
y se verifica la igualdad.
Si a < 0 se tiene max {a, 0} — 0 y la — 0l — 0 — a, luego
| (a + 0 + ¡a - 0l ) = | (a + 0 + 0 - a) = 0
y también se verifica la igualdad.
40
ANALISIS MATEMATICO I ni /1
TEMA III
Los números racionales
Esquema/ resumen
3.1. Los números racionales.
3.2. El cuerpo de los números racionales.
3.3. Ordenación de los números racionales.
41
ANALISIS MATEMATICO I 111/3
Dados dos números enteros a y b, a =# 0, no siempre existe otro número entero x tal 
que ax = b. Con otras palabras, en el conjunto ~!L de los números enteros la ecuación 
ax — b no siempre tiene solución. Unicamente la tiene cuando a es divisor de b.
En este tema vamos a construir un conjunto (D, el de los números racionales, en el que 
la ecuación ax = b, a ¥= 0, siempre tendrá solución.
La construcción de (Q se realiza a partir de X en forma parecida a como se hizo la 
de X a partir de N. Si X* es el conjunto de los enteros no nulos, sobre el conjunto pro­
ducto 7L x X* se define una cierta relación de equivalencia j# . El conjunto cociente 
7L x X*/ es el conjunto (Q de los números racionales.
La suma y el producto de números racionales se definen a través de sus representantes. 
El orden en (D se define también de esta forma. El conjunto X de los números enteros 
resulta ser isomorfo con un subconjunto de GL
43
ANALISIS MATEMATICO I 111/5
3.1. LOS NUMEROS RACIONALES
Proposición: Sea H_ el conjunto de los números enteros y sea Hf* = 7L — {$} el 
conjunto de los enteros no nulos. La relación .se definida en el conjunto por
(a, b) (c, dj cuando ad — be
es una relación de equivalencia.
Demostración:
v es reflexiva: (¿z, Z?) (a, b) pues ab = ba por la propiedad conmutativa del pro­
ducto de números enteros.
es simétrica:. Si (a, b) se (c, d) es ad = be y, por la propiedad conmutativa del 
producto en 1L, cb = da, luego (c, d} .# (a, b).
es transitiva: Si (a, b) & (c, d} y (c, d) se (e, f) se verifican ad = be y cf = de, 
luego
(ad}f=(bc)f=b(cf') = b(de}
y, por tanto,
(af — be}d = 0
y como d G 7L* es d =# 0 y habrá de ser af - be = 0, es decir, af = be y, por consiguiente, 
(a, b) (c,/).
La relación .se anterior determina una partición del conjunto 7L x H_* en clases de equi­
valencia. Cada una de estas clases se llama número racional. Un número racional es, pues, 
un elemento del conjunto cociente (D = Xx
En lo que sigue, designaremos los números racionales por letras griegas a, 0, y, etcétera.
45
111/6 ANALISIS MATEMATICO I
Algunas veces escribiremos a = [(an a2)J para indicar que el par de números enteros 
(a1,a2) es un representante del número racional a.
3.2. EL CUERPO DE LOS NUMEROS RACIONALES
3.2.1. Definición: Un cuerpo es un conjunto K en el que están definidas dos leyes 
de composición, suma y producto, con las siguientes propiedades:
1. Asociativas: Cualesquiera que sean los elementos a, b y c de K se verifican
(a 4- b) 4- c — a + (b 4- c) y (ab)c = a(bc),
2. Conmutativas: Cualesquiera que sean los elementos ay b de K se verifican
a + b = b+a y ab~ba.
3. Distributiva del producto respecto de la suma: Cualesquiera que sean los elemen­
tos a, b y c deK se verifica
a(b + c) — ab 4- ac.
4. Existencia de neutros: Existen dos elementos distintos en K que se designan por 
0 y 1 tales que, para cada elemento a ^K, se verifican
a4-0 = 04-u = (2 y a - 1 = 1 • a ~ a.
5. Existencia de opuestos: Para cada aEK existe —a^K tal que
a 4- (— a) = (— a) 4- a ~ 0.
6. Existencia de inversos: Para cada a =£0 de K existe a 1 G K tal que
aa~ 1 = a~ 1 a = 1.
Por consiguiente, todo cuerpo es un anillo conmutativo con unidad y, en particular, 
un grupo aditivo abeliano. Además, si K es un cuerpo, el conjunto K — {0} de los ele­
mentos de K distintos de 0 es un grupo multiplicativo abeliano.
Por tanto, en todo cuerpo K se verifican todas las propiedades válidas para los anillos. 
Además, en K — {0} se verifican todas las propiedades válidas para los grupos. En par­
ticular, en un cuerpo K la propiedad cancelativa del producto es válida para los elementos 
distintos de 0:
ab — ac y a=£0 implican b — c.
También, si a =# 0, la ecuación ax — b tiene como única solución x = ba~ 1. Esta solución 
se escribe a menudo en la forma x = b/a y se llama cociente de b por a.
Proposición: Sean a, b, c y d elementos de un cuerpo K y supongamos que b =# 0 
y d =# 0. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
46
ANALISIS MATEMATICO I 111/7
1. — — — si y sólo si ad — bc. 
b d
a ax
2. Para todo x =£ 0 de Kse tiene —- = -— . b bx
a c _ ad + be
b d bd
a c _ ac 
~b ~d ~~bd
Demostración:
1. Si a/b = c/d se tiene ab~ 1 = cd~ 1 y, por tanto,
ad = ab~ 1 bd = cd~ xdb = cb.
Recíprocamente, si ad — be entonces
a/b — ab~ 1 ~ add~ 1 b 1 = cbb~ ld~ 1 = cd 1 = c/d.
2. Basta tener en cuenta que a (bx) = b (ax) y aplicar la propiedad anterior.
3. Sean p = a/b y q = c/d. Entonces a — bp y c = dq y, por tanto, 
ad 4- be = bdp 4- bdq ~ bd(p 4- q),
luego
a , e , /JILA skjx- i ad + be4- = p 4- q — (ad 4- be) (bd)
b d bd
4. Sean p — a/b y q = c/d. Entonces a = bp y c — dq y, por tanto,
a c , x,, ,s_ i ac= pq = (ac)(bd) -
b d bd
3.2.2. Definición: Sean a y (3 dos números racionales y sean (ax, a2) y (blf b2) 
sendos representantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al número racional 
que tiene por representante el par (íZj b2 4- a2bx, a2b2):
ol 4- 0 = [(ü! b2 + a2b1, a2b2)].
Esta definición es consistente. Con otras palabras, la suma de dos números racionales 
a y (3 no depende de los representantes elegidos para a y (3. Para verlo, hemos de probar 
que si (¿zi, a2) y b2) son otros representantes de a y 0 respectivamente, entonces 
(a\ b2 + a2 b\, a2 b2 ) es otro representante de a 4- es decir, que si
(z/i, ¿z2) & (a'i, a2) y (blf b2) & (&J, b2),
47
111/8 ANALISIS MATEMATICO I
entonces
(a1&2 ^2*2) # (a¡¿>2 + ^2^í> ^2).
Por la propiedad transitiva de la relación .#, bastará probar que se verifican las dos propie­
dades siguientes:
(aYb2 + a2bx, a2b2) {axb2 + a2bu a2b2),
{a\b2 ^a^bi, a2b2) & (a{b2 +a'2b\, a'2b2).
Probaremos sólo la primera de ellas. La segunda se demuestra de manera análoga. Tenemos 
que probar que
+a2bi)a2b2 =a2b2(a'íb2
es decir, que
al a2 + a2 a2 ¿1 &2 = a2 a'l ¿2 + a2 a2 &2 ,
lo cual se reduce a probar que
aia2b% = a2a\ b}
y como b2 G "Z*, es b2 #= 0 y bastará ver que
a 1 a2 — a2 a j
lo cual es cierto pues, por hipótesis, (üj , a2) (af a2).
Definición: Sean a y (3 dos números racionales y sean(aíf a2) y (bl, b2) sendos re­
presentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a (3 al número racional que tiene 
como representante el par (a^b^ a2b2):
«0 = [(«i¿1, a2b2)].
Fácilmente se prueba que esta definición es consistente, es decir, que el producto de 
a y (3 no depende de los representantes elegidos para a y 0.
Proposición: El conjunto (Q de los números racionales con la suma y el producto 
antes definidos es un cuerpo.
Demostración: Las propiedades asociativas
(a + 0) + 7 = a + (/3 + 7) y (a 0) 7 — a (0 7)
y las conmutativas
a + 0 = 0 + a y a{3 = (3a
se demuestran eligiendo representantes de a, 0 y 7 y viendo, en cada caso, que los números 
racionales situados a un lado y otro del signo igual tienen el mismo representante.
48
ANALISIS MATEMATICO I III / 9
La propiedad distributiva del producto respecto de la suma
a (/3 + y) = oí{3 + ay
se demuestra de manera análoga. En este caso, los números racionales situados a ambos 
lados del signo igual tienen representantes equivalentes.
El elemento neutro para la suma es el número racional 0 — [(0, 1)]. El neutro para 
el producto es 1 = [(1, 1)].
El opuesto de a = [(<2x, a2)] es — a = [(— ax, a2)].
Si a — [(¿ij, ¿z2)] es un número racional distinto de 0, el par (an a2) no es equivalente 
con (0, 1), luego ax ' 1 ¥= a2'0 y ax =# 0. Entonces el par (a2, ) pertenece a ~Q_ x H.* y el 
número racional a- 1 — [(a2, )] es el inverso de a pues
aa~ 1 = [(aia2, a^)] = 1(1, 1)1 = 1.
3.3. ORDENACION DE LOS NUMEROS RACIONALES
3.3.1. Definición: Un cuerpo ordenado es un cuerpo K que contiene un subcon- 
junto K+ con las siguientes propiedades:
1. 0£K+.
2. Para cada a G.K se verifica una y sólo una de las relaciones
a E K+, a = 0, — a E K+.
3. Para todo par a, b de elementos de K+ se verifican
a + b G K+ y ab E K*.
Vemos pues que todo cuerpo ordenado es un anillo ordenado. Al igual que para anillos 
ordenados, los elementos de K+ se llaman elementos positivos del cuerpo K y si un a 
verifica a y a =# 0, entonces — a E K+ y se dice que a es negativo; se define la rela­
ción <, menor que, poniendo
a < b cuando b — a E K+ ;
se escribe a < b, a menor o igual que b, para denotar que o bien es a < b, o bien a ~ b;
a veces se escribe a > b, a mayor que b, en lugar de b < a, y también a > b, a mayor o 
igual que b, en lugar de b < a.
Como en todo anillo ordenado, en un cuerpo ordenado K se verifican las siguientes 
propiedades:
1. a < b y b < c implican a<c.
2. a <b implica a + c <b + c para todo cEK
3. a<b y c<d implican a + c <.b + d.
4. a<b y c> Q implican ac<bc.
49
111/10 ANALISIS MATEMATICO I
5. a <b y c <0 implican ac>bc.
6. a =# 0 implica a1 > 0.
7. l>0.
Además (véanse los ejercicios 1 y 2), se verifican también
8. <7 > 0 implica a 1 > 0.
9. 0 < a < b implica 0 < /? 1 <a 1.
10. a < b < 0 implica b~1<a~1<0.
Definición: Sea K un cuerpo ordenado. El valor absoluto \a\ de un a K es el ele­
mento de K definido por
a si a > 0
la I =
— a si a < 0
Proposición: Sea K un cuerpo ordenado. Se verifican las siguientes propiedades:
1. | a | > 0 para todo a&K y | a | = 0 si y sólo si a - 0.
2. |üó| = |¿z|*|ó| para todo par a, b de elementos de K.
3. \a + b | < |¿z | + \b | para todo par a, b de elementos de K. (Desigualdad trian­
gular. )
Demostración: Es análoga a la de la propiedad correspondiente para los números en­
teros. (Véase el ejercicio 3 del tema II.)
3.3.2. Definición: Se dice que un número racional a = [(¿/j, a2)] es positivo cuando 
a! a2 > 0.
Fácilmente se prueba que esta definición no depende del representante elegido de a.
Proposición: El cuerpo (D de los números racionales es un cuerpo ordenado.
Demostración: Sea (D+ el conjunto de los racionales positivos. Entonces 0 £ <B+ pues 
0 — [(0, 1)] y no es 0, 1 > 0.
Sea ce = [(ax, a2)] un número racional arbitrario. Por la propiedad de tricotomía de la 
ordenación de los números enteros, se verifica una y sólo una de las tres relaciones
a¡ a2 > 0, 0^2 = 0, ¿Zj a2 < 0.
Si se verifica la primera de ellas, a 6 (Q+. Como a2 G X*, es a2 #= 0 y, si se verifica la se­
gunda, será av — 0 y como (0, a2) (0, 1), es a = [(0, a2)] — 1(0, 1)] = 0. Si se verifica
la tercera, será - aia2 >0 y — a = [(—«i, a2 )] £ (D+.
Finalmente, si a = [(aj, a2)] y ¡8 = [(¿>13 ó2)] pertenecen a (Q+, se verifican axa2 > 0 
y bi b2 > 0 y, por tanto,
(a \ b2 “I" a 2b \ )a2b2 — íz^ü2Z?2 a 2b ^b2 > 0
50
ANALISIS MATEMATICO I 111/11
y
a1a2bib2 >0,
luego
oí + ¡8 = [(ax b2 + a2 bx, a2 b2)] G (Q+ 
y
a¡3 = [(¿Zj bi, a2b2)] G (D+.
3.3.3. Proposición: Sea (ü0 el conjunto de los números racionales de la forma [(¿z, 1)] 
donde a es un entero arbitrario. La aplicación f : S_ -> (Do definida por
f(a) = [(a,1)]
para cada a G 7L es un isomorfismo de anillos ordenados, es decir, es una aplicación biyec- 
tiva que, para todo par de números enteros a y b, verifica las siguientes propiedades:
1. f(a + ú) =f(a)+ f(bf
2. f(ab) =f(a) -f(b).
3. a < b implica f(a) < f(b).
Demostración: Es evidente que la aplicación f es suprayectiva. Por otra parte, si 
a y b son números enteros distintos, los pares (a, 1) y (b, 1) no son equivalentes y los 
números racionales [(a, 1)] y [(¿?, 1)] son distintos. Así pues, a b implica f(a) ^fíb) 
y f es inyectiva.
Además,
f(a)+f(b) = [(a, 1)] + [(ó, 1)] = [(a + b, l)]=f(a + ó)
y
f(a)f(b)^[(a, 1)] • [(h, 1)] = [fab, \)] = f(ab),
y si a<b,
f{a}^=[{a, 1)] < [(ó, 1)] =f(b),
lo que concluye la demostración.
Según esta proposición, cada número racional de la forma [(¿z, 1)] puede identificarse 
con el número entero a del cual es imagen por el isomorfismo f
Consideremos ahora un número racional arbitrario [(a, d)]. Se tiene
[(a, ¿)] = [(«, 1)] • [(1, ó)] = [(a, 1)] • [(6, I)]’1
y empleando la notación habitual para expresar como cociente el producto de un número 
por el inverso de otro, podemos escribir
51
111/12 ANALISIS MATEMATICO I
Ahora bien, por el isomorfismo anterior, los números racionales [(a, 1)] y [(&, 1)] se iden­
tifican con los enteros a y b respectivamente. Esta identificación permite escribir
[(«, *)] = ”• b
Se obtiene así la representación clásica de los números racionales como cocientes de nú­
meros enteros.
Finalmente, si el máximo común divisor de los enteros a y b es d y a y b' son los 
cocientes que resultan al dividir a y b por d, entonces a' y b' son primos entre sí y
ab’ = da b' = a b,
luego los pares (a, b) y (zz', b') son equivalentes y, por tanto, podemos tomar el par (a' b') 
como representante del número racional [(¿z, ¿>)]:
[(zz, ¿)] = [«
o bien, con la representación como cociente,
|(a,6)]= .
b
Así pues, un número racional puede representarse como cociente de enteros primos entre 
sí o, como se dice otras veces, en forma de fracción irreducible.
¿2
ANALISIS MATEMATICO I 111/13
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Probar que si a es un elemento de un cuerpo ordenado tal que a > 0 entonces a 1 > 0.
2. Probar que en todo cuerpo ordenado se verifican las siguientes propiedades:
a) 0<a<¿> implica 0<ú-1<a"1.
b) a < b < 0 implica b~1 < a~1 < 0.
3. Demostrar que si a es un elemento de un cuerpo ordenado tal que a ¥= 0 entonces
1 I = lar1.
4. Probar que, cualesquiera que sean los elementos a y b de un cuerpo ordenado, se ve­
rifica \a b | <u2 + b2 .
5. Demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
53
111/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Como es a > 0, si fuese a 1 < 0 sería 1 — a • a 1 C 0 lo cual es imposible.
2. a) Si a > 0 y b > 0, por el ejercicio anterior, a-1 > 0 y ‘>0 y. por tanto, 
a~1 b~1 >0. Entonces, si a <b, también a (a~1 b~1) < b (a~1 b~1), luego 
b~1< a~1.
b) Si a < b < 0 se tiene — a > — b > 0 
{—á)~ 1 > 0 y como (— x)~1 — — x~1
ordenado, es — b 1 >— a 1 > 0, luego
y, por la propiedad anterior, (— b) x> 
para todo elemento x ¥= 0 del cuerpo 
ó 1 <a~l <0.
3. Basta tener en cuenta que
| a 1 | • | a | = i a 1 a | ~ | 1 | = 1.
4. Cualesquiera que sean a y b se verifican
(a-¿>)2>0 y (a + ¿)2>0
es decir,
a2 — 2ab + b2 > 0 y a2 + 2ab + b2 > 0
y, por tanto,
Entonces
a2 + b2 > 2ab
ab < (a2 4- ¿>2) <¿z2 + b2
y a2 +b2>-2ab,
y ab < (¿z2 + b2) <a2 4- b2
54
ANALISIS MATEMATICO I 111/15
y, por consiguiente, si ab > 0,
\ab | = ab <a2 + b2
y si ab < 0,
\ab I = —ab ^a2 + b2.
5. Procederemos por reducción al absurdo suponiendo que el cuadrado de un número ra­
cional m¡n, con m y n primos entre sí, es 2. Entonces m2 — 2n2, luego m2 es par 
y, por tanto, m es par (el cuadrado de un número impar es impar). Por consiguiente, 
m — 2k para algún entero k. Entonces m2 = 4fc2 = 2n2, luego 2k2 = n2, n2 es par 
y n es par. Así pues, m y n son pares y primos entre sí, lo cual es absurdo.
55
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 1
TEMA IV
Sucesiones
Esquema/ resumen
4.1. Sucesiones convergentes.
4.2. Sucesiones de Cauchy.
4.3. Construcción de un cuerpo completo.
57
ANALISIS MATEMATICO I !V/3
En este tema se estudian los conceptos de sucesión convergente y sucesión de Cauchy 
en un cuerpo ordenado. En todo cuerpo ordenado, cada sucesión convergente es una suce­
sión de Cauchy. Sin embargo, el recíproco no se verifica en todo cuerpo ordenado. Por 
ejemplo, en el cuerpo Q de los números racionales hay sucesiones de Cauchy que no son 
convergentes. Un cuerpo ordenado K se dice completo cuando toda sucesión de Cauchy 
de elementos de K es convergente en K.
En el último epígrafe del tema se construye un cuerpo completo. Para ello, se define 
en el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales una relación de equi­
valencia & de la siguiente forma: Dos sucesiones de Cauchy son equivalentes cuando la 
sucesión diferencia de ambas converge a cero. El conjunto cociente IR = resulta ser 
un cuerpo ordenado completo.
59
ANALISIS MATEMATICO I IV/5
4.1. SUCESIONES CONVERGENTES
Una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K es una aplicación del conjunto 
N de los números naturales en K.
Según esto, una sucesión debería designarse por una simple letra, por ejemplo a, y 
por a(l), a(2), ¿z(3), etc., se designarían los elementos de K, imágenes respectivas de los 
números naturales 1, 2, 3, etc. Sin embargo, la notación con subíndices <2j, a2, «3, etc., es 
la más habitual. Incluso la misma sucesión suele designarse por un símbolo tal como (an). 
Así, ( — ) y ( ) designan las sucesiones (an) y (bn) definidas por
\ n / \ n¿ /
1 , 2n — 1
an ~ ~~ Y bn — 2n rr para cada n G N,
es decir,
l 1 1 1
1 1 2 3 3
3 5*1=1, b2=í, b, =
un cuerpo ordenado K está acotadaelementos deSe dice que una sucesión (¿z„) de
en K cuando existe un c > 0 de K tal que | an | < c para todo n G N.
Así, por ejemplo, en el cuerpo (Q de los números racionales, la sucesión i — ) está aco- 
\ n /
tada porque — 
n
1 para todo n G N.
Definición: Se dice que una sucesión (an) de elementos de un cuerpo ordenado K con­
verge hacia un elemento aEKo que tiene por límite aEKyse escribe
61
IV/6 ANALISIS MATEMATICO I
lim an= a 
n
cuando para cada eX) de K existe un número natural nQ tal que
\an — a | < e para todo n > n0
Ejemplos:
1. La sucesión de números racionales ( — ) tiene por límite 0 en (Q pues, para cual- 
\ n /
quier e > 0 de (D existe un número natural n0 > — y
e
- -0 
n
para todo n > nG.
2. Para cualquier elemento a de un cuerpo ordenado K, la sucesión constante (an) de­
finida por an = a para cada n G W tiene por límite a pues, para cada e > 0 de K, se tiene
|— a I = \a — a | = 0 < e para todo n.
3. La sucesión de números racionales (an) definida por
— 1 si n es impar
1 si n es par
no tiene límite. Para verlo, procederemos por reducción al absurdo suponiendo que existe 
un número racional a tal que lim an = a. De ser así, para e = 1 existiría un número natu- 
n
ral nQ tal que | an — a [ < 1 para todo n > n0, y tomando un n > nQ impar habría de ser 
| — 1 — a [ < 1, y tomando un n > par habría de ser | 1 — a | < 1. Por tanto, se verifi­
carían
— 1< —1— a<l y — 1 < 1 — a < 1,
luego
0<-a<2 y — 2 < — ¿z < 0
lo cual es imposible.
Proposición: Si (an) es una sucesión convergente en un cuerpo ordenado K entonces 
el límite de (qn) es único.
Demostración: Si a y a fuese límites de (an), para cada e > 0 de K existirían números 
naturales «i y n2 tales que
\an - a | i ' I ey I an - a | -
para n > n2 y n n2, respectivamente. Entonces, para n > max {nx, n2}, tendríamos
62
ANALISIS MATEMATICO I IV/7
|a — a \ = \a — an + an — a j + |¿z„ — + = e
y, por tanto, | a — a | = 0 y a = a . (Si fuese |a — zz' ¡ > 0, para e = | a — a' [ debería ser
|a — a | < e, es decir, |zz — a | < \a — a | lo cual es imposible.)
Proposición: Toda sucesión convergente (an) de elementos de un cuerpo ordenado K 
está acotada en K.
Demostración: Si lim an= a, para e = 1 existe un número natural rc0 tal que 
n
\an — a | < 1 para todo n > n0
y, por tanto, para n > n0 se verifica
I an | = ¡an — a + a I ¡an — a | + | zz | < 1 + | a |
y tomando c = 1 + \a | + 1| + + l««0_ i I, se tiene
I an | < c para todo n.
Proposición: Si (afJ) es una sucesión acotada y (bn) es una sucesión con límite cero 
entonces lim an bn = 0. 
n
Demostración: Como (an) es una sucesión acotada existe un c > 0 de K tal que
\an | <c para todo n.
Como lim bn ~ 0, para cada e > 0 de K existe un número natural n0 tal que 
n
| bn i < — para n > n0 . 
c
Por consiguiente, para n > n0 se verifica
£
¡an bn | = |zz„ | \bn | <c - = e 
c
luego
lim an bn = 0. 
n
Proposición: Si (bn) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K tal que 
lim bn — b =# 0, entonces existe un número natural nQ tal que 
n
I b |
I bn | >----- para n > k0
63
IV/8 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: Por ser lim bn = b #= 0, para e = | b | /2 (> 0) existe un número natu- 
n 
ral n0 tal que
\bn~b < —” 2 para n > n0
y como
¡ b [ = | b - bn + bn | < | bn - b [ + | bn |,
resulta
|Z>| |ú|
lbn | > Ib 1 -\bn - b | > |¿> | - 
para n nQ.
Teorema:
tales que
Si (an) y (bn) son dos sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado K
lim an — a y lim bn ~ b
n n
entonces:
1. lim (an + bn) — a + b.
n
2. lim (an — bn) - a — b.
n
3. lim an bn — ab.
n
an a
4. Si bn =/= 0 para todo n y b =p 0, lim .
n bn b
Demostración:
1. Para cada e > 0 de K existen dos números naturales nx y n2 tales que
e e| an - a | < - y \bn-b\< -
para n > nx y n > n2, respectivamente. Entonces, llamando n0 al máximo de nr y n2, 
resulta
I an + bn - (a + b) i < | an - a | + | bn - b | < - + - = e
para todo n > u0 , luego
lim (an + bn) = a + b.
n
2. Procediendo como en 1, resulta
e e\an - bn - (a -b)\<\an -a\ + \ bn - b\< - + - = e
64
ANALISIS MATEMATICO I IV/9
para n > nQ, luego
lim (an - bn) = a - b. 
n
3. Se tiene:
anbn — ab = anbn — anb + anb — ab
= an(bn -b) + b(an - a)
y, por hipótesis,
lim (an — a) = 0 y lim (bn — b) = 0. 
n n
Pero la sucesión (¿z„) es acotada (por ser convergente) y como el producto de una sucesión 
acotada por otra con límite cero tiene límite cero,
lim an(bn — b) = 0. 
n
Análogamente, como la sucesión (b) es acotada,
lim b (an — a) = 0. 
n
Por consiguiente, en virtud de la propiedad 1,
lim (an bn — ab) = 0. 
n
4. Teniendo en cuenta la propiedad 3, bastará probar que, en las condiciones del 
enunciado,
r 1lim — —
« b ’
puesto que entonces
v «n r 1 1 alim---- = lim an —— = a — = .
n & a « n & o
Ahora bien,
1 1 \bn — b\
b„ b | bn | | b |
Pero por la proposición anterior, existe un número natural nx tal que
l¿>!
2
para n > n t.
Por otra parte, para cada e > 0 de K existe un número natural n2 tal que
I bn - b | < I ¿ I2 e
2
para n => n2.
65
IV/ 10 ANALISIS MATEMATICO I
Por consiguiente, si w0 = max {«j, n2} , para n > «0 se tiene 
| b |2 e
\b„ — b \ < 2
IMI¿¡ l¿l |¿>
2
b
luego
r 1 1hm —= — , 
n bn b
lo que termina la demostración.
Ejemplos:
1. Antes hemos visto que la sucesión de números racionales (an) definida por
an =
- 1 si n es impar
1 si n es par
no tiene límite. De manera análoga puede verse que tampoco tiene límite la sucesión (d„) 
■definida por
=
1 si n es impar
— 1 si n es par
Sin embargo, la sucesión (an + bn) es la sucesión constante cuyos términos son todos iguales
a cero y, por tanto,
lim (an + bn) = 0. 
n
Este ejemplo prueba que el límite de la súma de dos sucesiones puede existir sin que 
existan los límites de esas dos sucesiones.
Sin embargo, si dos sucesiones (an) y (bn) son una convergente y la otra no, entonces 
no existe lim (an + bn). En efecto, si existe lim an y no existe lim bn entonces tampoco 
n n n
existe lim (an + bn) pues si existiera, también existiría 
n
lim (an + bn—anj= lim bn 
n
en virtud de la propiedad 2 del teorema anterior.
2. El límite del producto de dos sucesiones (an) y (bn) puede existir sin que existan 
lim an ni lim bn: Ninguna de las dos sucesiones del ejemplo anterior tiene límite y, sin 
n n
embargo, an bn = — 1 para todo n y lim anbn = — 1.
n
6e
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 11
A diferencia de lo que ocurría con la suma, el límite del producto de dos sucesiones 
(an) y (bn) puede también existir cuando exista lim an y no exista lim bn : Si (an) es la 
n n
sucesión constante cuyos términos son todos iguales a cero y (/?„) es la sucesión defini­
da por
— 1 si n es impar
1 si n es par
entonces lim an — 0, no existe lim bn y lim an bn — 0 puesto que an bn = 0 para todo n. 
n n n
Proposición: Si (an) es una sucesión de elementos de un cuerpo ordenado K tal que 
>0 pura todo n y lim an = a, entonces a > 0. 
n
Demostración: Si fuese a < 0, para e — — a (> 0) existiría un número natural n0 tal 
que \an — a | < ~a para n > nQ y, por tanto,
an — an a + a \ at! — a \ + a < - a a 0
para todo n > n0, lo que contradice la hipótesis de que an > 0 para todo n.
De esta proposición se deduce inmediatamente que si (an) es una sucesión tal que 
b < an < c para todo n y lim an = a, entonces b < a < c. (Basta aplicar la proposición an- 
n
terior a las sucesiones (an — b) y (c — an) y tener en cuenta que el límite de la diferencia 
de dos sucesiones convergentes es igual a la diferencia de los límites.)
4.2. SUCESIONES DE CAUCHY
Definición: Se dice que una sucesión (an) de elementos de un cuerpo ordenado K es 
una sucesión de Cauchy cuando para cada e > 0 de K existe un número natural nQ tal que
\ap—aq\<e
cualesquiera que sean p,q^ n0.
Proposición: Toda sucesión de Cauchy (qn) de elementos de un cuerpo ordenado K 
está acotada en K.
Demostración: Si (an) es una sucesión de Cauchy, para e = 1 existe un número natu­
ral n0 tal que
lap - aq j < 1 para p, q > n0 .
En particular,
|ízp - anQ | < 1 para p > n0
y, por tanto, para p > nQ se verifica
67
IV/12 ANALISIS MATEMATICO I
Iflp I = \&p ~ < \ap -ano | + |a„0 | < i + |a„0 i,
y tomando c = 1 + |ax | + \ a2 I + — + |a„0 i, se tiene
| ap | < c para todo p G N.
Proposición: Si (qn) y (b„) son dos sucesiones de Cauchy entonces las sucesiones 
(qn + bn) y (fln &n)son también de Cauchy.
Demostración: Hagamos en primer lugar la demostración para la suma. Como (¿z„) 
y (¿>rt) son sucesiones de Cauchy, para cada e > 0 de K existen números naturales nr y n2 
tales que
i t €I ap aq I < 2 para
y
\bp bq \
e
2
para p,q^n2.
Sea n0 = max {nt, n2}. Entonces, para p, q > «0 , se verifica 
I ap + bp - (aq + bq) ] < ap aq I í bp bq | <C "f 2 ~ e 
luego (an + bn) es una sucesión de Cauchy.
Veamos ahora la demostración para el producto. Como toda sucesión de Cauchy es 
acotada, existen elementos cx > 0 y c2 > 0 de 7C tales que
| | < ct y | bn | < c2 para todo n 6 N.
Además, como (¿zn) y (bn) son dos sucesiones de Cauchy, para cada e > 0 de K existen 
dos números naturales nx y n2 tales que
I ap ~ aq I < 2c2
para p,q^
para p,q>n2.
Sea n0 = max {ní, n2}. Entonces, para p, q > n0 , se verifica
I &p bp aq bq [ — | ap bp ap bq H- ap bq aq bq |
I &P I I bp bq | 4" | ap Uq [ | bq |
<C1 -----+-------c2
2cx lc2
= e
luego (an bn) es una sucesión de Cauchy.
68
ANALISIS MATEMATICO I IV/13
Proposición: Toda sucesión convergente (an) de elementos de un cuerpo ordenado K 
es una sucesión de Cauchy en K.
Demostración: Si lim an = a, para cada e > 0 de K existe un número natural n0 tal que 
n
£
| an — a | < — para todo n > nQ.
Entonces, para p > nQ y q> n0 se tiene
| Up í I & I "E I ttq a |
€
22
y, por tanto, (qn ) es una sucesión de Cauchy en K.
La proposición recíproca de la anterior no es cierta en general: En el cuerpo (D de los 
números racionales existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes.
Ejemplo: Para cada n G ¡M sea mn el mayor número natural cuyo cuadrado es menor 
o igual que 22,1 + 1. Entonces
(mn 4- l)2 > 22H + 1
pues si fuera (mn + l)2 < 22w + 1, no sería mn el mayor número natural cuyo cuadrado 
es menor o igual que 22" +1.
Definamos, para cada «EN,
an
mfl 
2n ’
Entonces
a2un
™n
22"
22n +1___ __. = 22¿«
y
22n
(mn + 1 )2 
2^
22» + i
.... ....= 2
22n ’
luego
2
a2 < 2
2"
para todo n.
Además, como (2mn)2 < 22^ + 1)+1 y mn + l es por definición el mayor número natu­
ral cuyo cuadrado es menor o igual que 22<” + 1>+1, se tiene 2mn < mn + í y, por tanto, 
an ^an + 1 para todo n, luego an ^am para m > n.
Por otra parte, para todo par de números naturales m y n se verifica 
¿z2 um
( i V
2 < v* + 2"” /
69
IV/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
y como (íz„) es una sucesión de números racionales positivos,
a. 1 O-m < an "r 2» '
Por consiguiente, para m > n, se tiene 
, 1 
an ^am
y para p>n y q>n será
an a,p < an + y an üq an + ,
de donde se deduce que 
I 1/ 1
'ap Uq < 2"
y como para cada e > 0 de (Q existe un número natural n tal que 1/2" < e, se obtiene
I @p — I <'' €
para p > n y n, luego (qn) es una sucesión de Cauchy en (D.
Pero (an) no converge en (D pues si existiera un número racional a tal que lim an = a 
sería ”
/ 1 V
lim a„ = a2 = lim í an 4- - 1
n n \ 2f
y como 
/ 1 \ 2
dn < 2 < í an + — ] para todo n,
resultaría
a2 < 2 <a2 ,
es decir, a2 = 2, y sabemos que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2.
Definición: Se dice que un cuerpo ordenado K es un cuerpo completo cuando toda 
sucesión de Cauchy de elementos de K es convergente en K.
Según esto, el cuerpo ordenado <D de los números racionales no es un cuerpo completo.
4.3. CONSTRUCCION DE UN CUERPO COMPLETO
4.3.1. Sea el conjunto de las sucesiones de Cauchy de números racionales y sea .r 
el conjunto de las sucesiones de números racionales con límite cero. Como toda sucesión 
convergente es una sucesión de Cauchy, es un subconjunto de %.
70
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 15
Proposición: La relación jp definida en ■r por
(an) & (bn) cuando (an — bn)E.
es una relación de equivalencia.
Demostración:
.#;es reflexiva: (a„) & (an) porque (qn — an) es la sucesión nula y, por tanto, 
limffl/, — an) = 0 y (an -an)G.r.
n
& es simétrica: Si (an) & (bn) entonces lim (an — bn) = 0 y, por tanto, 
n
lim (¿„ -a„) = -lim (an -dZJ) = 0, 
n n
luego (bn - an) G - r y (fn) & (an).
es transitiva: Si (an) & (M y (b„) & (cn) entonces
lim (an - bn) = 0 = lim (bfl - cn) 
n n
y, por tanto,
lim (an — cn) = lim (an — bn) + lim (bn — cn) ~ 0, 
n n n
luego (an - ) G y (qn) (cn).
Esta relación de equivalencia jp determina una partición del conjunto en clases de 
equivalencia. En lo que sigue, designaremos por IR el conjunto de todas estas clases de equi­
valencia, es decir, IR = y por letras griegas a, fi, y, ..., los elementos de IR. Algunas 
veces escribiremos a — [(a„ )] para indicar que la sucesión de Cauchy de números racionales 
(an) es un representante de la clase a G IR.
4.3.2. Proposición: 
y un número natural n0 
todo h > n0.
Si (an) G í” — entonces existen un número racional e0 > 0 
tales que o bien an > e0 para todo n > h0 , o bien an<.—e0 para
Demostración: Por hipótesis la sucesión (an) no tiene límite cero. Entonces existe 
un número racional e0 > 0 tal que, para todo número natural n, se puede encontrar otro 
número natural m para el que |am | > 2e0 ■
Además, (an) es una sucesión de Cauchy, luego existe un número natural tal que
l«n”«wl<e0 para n,m>nQ,
o lo que es igual,
am - e0 < an < am + e0 para n,m>n(i.
71
IV/16 ANALISIS MATEMATICO I
Elijamos m > nQ de manera que \am | > 2e0. Entonces, o bien am > 2e0, o bien 
am < — 2e0. En el primer caso,
an > am — 6o > 2e0 — e0 = e0
para n > n0. En el segundo,
< atn 2 Cq "bCo = Cq
para n > nQ.
4.3.3. Definición: Sean ay dos elementos de IR y sean (a„) y (bn) sendos repre­
sentantes. Se llama suma de a y (3 y se designa por a + (3 al elemento de IR que tiene como 
representante la sucesión (qn + bn)'.
a + 0 = [(an +£>„)].
Esta definición es consistente pues la suma de dos sucesiones de Cauchy es otra suce­
sión de Cauchy y la suma a 4- no depende de los representantes elegidos de a y (3. Para 
ver esto último hemos de probar que si (a’n) y (b'n) son otros representantes de a y (3 res­
pectivamente, entonces (a„ + b„) es otro representante de a + (3, es decir, que si
(an) (an) y (bn) & (bn)
entonces
+ bn) (an + bft).
En efecto: Por hipótesis,
lim (qn — a'n ) = 0 = lim (bn - b„) 
n n
luego
lim (an + bn - (a„ + £>„)) = lim (a„ - a„) + lim (bn - b'n) = 0. 
n n n
Proposición: El conjunto IR es un grupo aditivo abeliano.
Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en IR son inme­
diatas. Veamos, por ejemplo, la conmutativa:
[(^n)] + [(Aí )] = [(«» + bn)] = + an) ] = [(£„ )] + [(an )].
El elemento neutro es 0 = [(0)]. (La sucesión (0) es la sucesión constante cuyos tér­
minos son todos iguales a cero.)
El opuesto de es [(—««)].
4.3.4. Definición: Sean a y dos elementos de IR y sean (an) y (bn) sendos repre­
sentantes. Se llama producto de a y (3 y se designa por a(3 el elemento de IR que tiene 
como representante la sucesión (an bn ):
= [(a„ MI-
72
ANALISIS MATEMATICO i IV / 17
Esta definición es consistente pues el producto de dos sucesiones de Cauchy es otra 
sucesión de Cauchy y el producto a{3 no depende de los representantes elegidos de a y 
Para ver esto último hemos de probar que si (a„) y (b'n) son otros representantes de a y 0 
respectivamente, entonces (a„ b’n) es otro representante de ot&, es decir, que si
(an) (a„) y (bn) (b'n)
entonces
(an bn) (an bn).
En efecto: Por hipótesis,
lim (an — an) = 0 = lim {bn — b'n). 
n n
Además,
&n bn ~ &nbn ~ &n bn ~ &n bn bn — an bn
“ — an ) bn + an (bn ~ bn ).
Pero (ú„) y (a'n) son sucesiones de Cauchy y, por tanto, acotadas, y como el producto de 
una sucesión acotada por otra con límite cero tiene límite cero,
lim (an - a„) b„ = 0 = lim an (bn - b'n), 
n
luego
lim (an bn — an b'n) = 0 
n
como queríamos demostrar.
Proposición: El conjunto IR — {0} de los elementos de IR distintos del neutro para la 
suma es un grupo multiplicativo abeliano.
Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa del producto son inmediatas. 
El neutro para el producto es [(1)]. (La sucesión (1) es la sucesión constante cuyos términos 
son todos iguales a 1.) Veamos que todo elemento de IR — {0} tiene inverso:
Si [fan)] 0 entonces (a„)G -r — y, por tanto, existen un número racional e0 y un 
número natural n0 tales que \an | > e para todo n > . Por consiguiente, an =# 0 y existe
añ 1 para todo n > »0.
Sea (bn) la sucesión de números racionales definida por
0
bn
si n < «o
si n > n0
Entonces, para p > n0 y q > nQ, se tiene
I bp — bq | — 1
ap
1
aq
\qp - qq\ < \ap -aq I 
I &p I I &q I &0
73
IV/18 ANALISIS MATEMATICO I
y como (an) es una sucesión de Cauchy, para cada número racional e > 0 existe un número 
natural m0 > w0 tal que
I &p ~ aq I < eo e para >w0,
luego para cada número racional e > 0 existe un número natural m0 tal que
I bp - bq | I&q I £q e 
eo
= 6
e 20
para p, q => mQ.
Por consiguiente, (bn) es una sucesión de Cauchy de números racionales y puede tomar­
se como representante de un elemento de IR. Terminaremos la demostración probando que 
[(£>„)] es el inverso de [(¿zn)]. Para ello tenemos que ver que [(¿zn )] [(bn )] = [(1)], es decir, 
que bn — 1) G o lo que es lo mismo, que lim (qnbn — 1) = 0. Pero esto es inme- 
n
diato puesto que para n > nQ se tiene
bfí 1 — an &n ~~ — 0*
Teorema: El conjunto IR es un cuerpo.
Demostración: Ya hemos visto que IR es un grupo aditivo abeliano y que IR — {0} es 
un grupo multiplicativo abeliano. Entonces, para ver que IR es un cuerpo, bastará probar 
que en IR el producto es distributivo respecto de la suma, lo cual es inmediato:
[(<*«)] ([(&»)] + [(C«)]) = [(«n)l [(¿n +C»)1 = [(*« (bn + c„))]
= [(ün bn -b an cn)] = [(ün bn)] + [(íZ/í cn)]
= [(«„)] [(MI + [(««)] [(Cn)L
4.3.5. Definición: Se dice que un elemento a = [(«„)] de IR es positivo cuando 
existen un número racional c0 y un número natural n0 tales que
an> e para todo n> n0.
Esta definición no depende del representante elegido de a pues si (arn) fuese otro repre­
sentante, sería lim (an — a„) = 0 y, por tanto, existiría un número natural m0 > n0 taln
que | at¡ — a'n | < e0 /2 para n > m0, luego
— (qn n i “n
e0 _ e0
~2 " ~2
para n > mQ.
Vamos a demostrar que IR es un cuerpo ordenado, es decir, que si IR+ es el subcon­
junto de los elementos positivos de IR, entonces:
1. 0£IR+.
2. Para cada a G IR se verifica una y sólo una de las tres propiedades
IR + , a = 0, IR+.
74
ANALISIS MATEMATICO I IV/19
3. Para todo par a, 0 de elementos de IR+ se verifican
« + 0GIR* y a¡3GIR+.
Teorema: IR es un cuerpo ordenado.
Demostración:
1. Como 0 = [(0)], 0£ IR + .
2. Sea (a„) un representante de a. Si a =# 0 entonces (an) G /'■■■'' y, por tanto, existen 
un número racional e0 y un número natural n0 tales que o bien an > e0 para n > n0 , o bien 
an < — e0 para n > n0. En el primer caso, ot G IR*. En el segundo, — a G IR + .
3. Si a = [(ürt)] y 0 = [(/?«)] pertenecen a IR+ existen dos números racionales positi­
vos e0 y y dos números naturales nQ y n'o tales que
> eo Para n>n0 y bn> e'o para w > n0.
Entonces, para n > max {n0 , se verifican
+ bn > Cq 4" C(j y tin bn > So
y, por tanto,
a + ¡3G IR+ y «0 E IR + .
Como en todo cuerpo ordenado, en IR se define o < 0 cuando /? — aE IR+ , y se escribe 
a < 3 para expresar que a < (3 o que a = (3. A veces se escribe 0 > a en lugar de a < 0, y 
(3 > ot en lugar de a < 0.
4.3.6. Proposición: El cuerpo ordenado (Q de los números racionales es isomorfo 
con un subcuerpo de IR. Con otras palabras, existen un subcuerpo IR0 de IR y una aplica­
ción biyectiva f: (D -► IR0 y, para todo par de números racionales a y b se verifican las si­
guientes propiedades:
1. f(a + b)=f(a}+f(bf
2. f(ab)—f(a)f(b\
3. a<b implica f(a)<f(b).
Demostración: Sea IR0 el subconjunto de IR formado por todas las clases de equiva­
lencia que tienen por representantes sucesiones constantes y sea f: (Q -► IR0 la aplicación 
definida por f(a) = [(a)] para cada a E (Q. Evidentemente esta aplicación es suprayectiva. 
Además, si f(a) = f(b), es decir, si [(«)] = [(£)], entonces la sucesión constante (a — b) tiene 
límite cero y, por tanto, a = b. Por consiguiente,/es también inyectiva. Finalmente,
f(a + b) - [(a + ¿)] - EOz)] + [(¿>)] = f(a) +f(b)
y
f(ab) = [(a&)] = [(a)] [(d)] =f(a)f(b)
y si a < b entonces [(ó — a)] G IR + , es decir, [(&)] — [(a)] G IR+y, por tanto, [(¿z)] < [(¿>)]> 
luego /(a) </(ú).
75
IV/20 ANALISIS MATEMATICO I
El isomorfismo f permite identificar el cuerpo (D de los números racionales con el sub­
cuerpo IR0 de IR. Cada elemento de IR de la forma [(a)] resulta así identificado con el 
número racional a del cual es imagen por el isomorfismo f y ambos se designarán a partir 
de ahora con la misma letra a, de manera que, cuando se considere a perteneciente a (Q, se 
tratará del número racional a, y cuando se considere a perteneciente a IR, se tratará de la 
clase de equivalencia que tiene por representante la sucesión constante [(a)].
4.3.7. Vamos a demostrar que el cuerpo ordenado IR es un cuerpo completo. Para 
ello, empezaremos probando dos proposiciones auxiliares.
Proposición: Sean oí y 0 dos elementos de IR tales que a < Entonces existe c € (ü 
tal que a < c < 0.
Demostración: Sean a = [(aw)] y 3 = [(£«)]- Como a < existen un número racional 
e > 0 y un número natural n0 tales que
bn — an > e para n > .
Por otra parte, como (tz„) y (bn) son sucesiones de Cauchy, existe un número natural 
no tal que
1 el ec — an> - (ízWo + bmQ ) - a„lQ - - = - (bmQ -amQ )~ -
1 tin am | ■ e4 y 1bn - bm | <
e
4
para n,m>m0
y, en particular,
i 0
es decir,
£ ■e' 0-mQ — <'<2«
l<Z
+ í
4
y
y
1bn bmQ |
- 4 <
e 
' 4
bn <
para n > m0 ,
bmo + | para n > mQ
Sea c = y (am0 ’l’ bmQ).
1 /
Entonces, para n > mQ
e 1 /
, se verifican
e e e e
y
1 € C € (z
Ún-c>úmo--- - (amQ + bmQ) = - - amo
Por consiguiente,
[(^)]<[(c)] <[(£„)],
es decir,
a < c < jS.
Proposición: Una sucesión (an) de Cauchy en (Q es convergente en IR y su límite es 
el elemento oíC IR que tiene por representante la sucesión (an).
76
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 21
Demostración: Tenemos que probar que para cada e > 0 de IR existe un número na­
tural n0 tal que
| an — a | < e para n > n0 .
Por la proposición anterior, existe un e' > 0 de (D tal que 0 < e' < e/2, y como la suce­
sión (an) es de Cauchy en (Q existe un número natural n0 tal que
— am | < e' para n, m > n0,
es decir,
c am <. e para n,m n0
Fijemos n > nQ. Entonces, para cada m > n0, se verifican
2c' — (an - am ) > 2e — e — e y 2e — (am — an)> 2e — e — e'
y, por tanto,
[(«„)- )] < [(2e')] y [(am ) - (</„)] < [(2e')].
Obsérvese que, al haber fijado n, (an) designa la sucesión constante cuyos términos son 
todos iguales a an, (an) - (am ) es un representante de an - ay (am ) — (¿zn) es un represen­
tante de a — an. Por consiguiente, las dos desigualdades anteriores se pueden escribir
an—a<2e y a — an<2et
y estas desigualdades se verifican cualquiera que sea n > nQ , y como 2e < e,
lan — oí | < e para n > nQ
conforme queríamos demostrar.
Teorema: IR es un cuerpo completo.
Demostración: Sea (a„) una sucesión de Cauchy en IR. Para cada número natural n 
existe un número racional an tal que an < an < -I- 1/n. Como (afí) es una sucesión de
Cauchy en IR, para cada e > 0 de (D existe un número natural n0 (que podemos suponer 
mayor que 3/e) tal que
i i e| an — am | < — para n, m > nQ •
Por consiguiente, para n, m > nQ se tiene
I an I I I I I I 
m
= e ,
77
IV/22 ANALISIS MATEMATICO I
luego (an) es una sucesión de Cauchy en <D. Sea <x el elemento de IR que admite como re­
presentante la sucesión (an). Terminaremos la demostración probando que lim an = a.
n
Por la proposición anterior, lim an = a, luego para cada 8 > 0 de IR existe un número 
n
natural m0 (que podemos suponer mayor que 2/6) tal que
. . 5| an — a | < — para n > m0.
Entonces, para n > mQ, se tiene
| an — a .. 14.1 1 4. 5 6 4. 6 X
n 2 2 2
luego efectivamente, lim an = a.
n
78
ANALISIS MATEMATICO I IV/23
EJERCICIOS DE AUTOCOMP RGB ACION
1. Probar que si lim an — a entonces lim \an | = ¡a ¿Puede existir lim ¡a„ | sin que 
exista lim an2 n n n
n
2. ¿Puede asegurarse que si an > 0 para todo n y lim an = a entonces a > 0?
n
3. Probar que si lim an — a <b entonces existe un número natural n0 tal que an < b para
n todo m > n0.
4. Calcular en (Q los siguientes límites:
2n 4- 3 lim —----------- ,
n n2 + n + 1
.. 3ns — n2 + 3 lim —z------------
n 2ns + n+ 1
5. Sea x un número racional tal que |x | < 1. Probar que la sucesión (an) definida por 
= xn para cada n tiene por límite cero.
6. Sean a y b dos números racionales positivos. Calcular el límite de la sucesión (an)
definida por
a"+1 +Z>" + I a„ =-----------------
" an + bn
para cada n €= N.
7. Probar que sí (an), (bn)y (cn) son tres sucesiones de elementos de un cuerpo ordenado 
tales que an ^bn < cn para todo n y lim an = a = lim cn, entonces también lim bn = a. 
n n n
8. Aplicar el resultado del ejercicio anterior para determinar el límite de la sucesión (an) 
de números racionales definida por
79
IV/24 ANALISIS MATEMATICO I
an “ —V "1" --- --- -+ "* + -------- ---- -n2 (n + l)2 (w + n)2
para cada n G N.
9. Probar que la sucesión de números racionales (an) definida por
an — 1 + — + — + "*+ — 
2 3 n
para cada n G N no es una sucesión de Cauchy.
10. Sea k un número racional tal que 0 < k < 1 y sea (an ) una sucesión de números racio­
nales tal que
I + 2 + 1 I < k f ün + i ün [
para todo n. Probar que (afJ) es una sucesión de Cauchy.
80
ANALISIS MATEMATICO I IV/25
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Como lim an =■ a, para cada e > 0 de K existe un número natural n0 tal que | an — a [ < e 
n
para todo n > n0, y como
I I &n I I ® I 1^1 I j
también | | an | —. | a | [ < e para todo n > n0 , luego lim | = |¿z |.
n
Sí puede existir lim \an | sin que exista lim an : Tomando an = (—1)” para cada n, no 
n n
existe lim an ; sin embargo, | an | — 1 para todo n y lim \an | = 1.
n n
2. No puede asegurarse: La sucesión de números racionales ( -1 tiene todos sus térmi- 
\n/ 
nos positivos y tiene límitecero.
3. Como lim an = ay para e = b — a (> 0), existe un número natural n0 tal que — a | 
n
b -- a para todo n > n0 y, por tanto,
an — a>¡ a + a-^ \ an - a \ + a < b — a + a = b
para todo n > nQ.
4. Se tiene
2n T 3 _ n n2
n2 + n + 1 j _j_ 1 _j_ 1 
n n2
81
IV/26 ANALISIS MATEMATICO I
i- 1 ny como lim — = 0 
n n
en Q, también
.. 1 r 1 1lim—z-= lim - • — — n
n rr n n nn n
y, por tanto,
.. 2n + 3 lim -----------
n n2 + n + 1
2 • 0 + 3 ■ 0
1+0 + 0 v=0.
Análogamente,
r 3n5 — n2 +3 lim —e .......... —
n 2n5 + n + 1
— lim 
n
3-±+^ 
n3 n5
2 +
5. Si x — 0 el resultado es evidente. En 
y > 1 y podemos poner y — 1 +h con
otro 
h>{
> caso, 0 
0, luego
y si y = 1 /1 x |, será
y” = (1 + h)n > 1 + nh
y, por tanto,
lx"l = —
y 1 + n h
y como
lim
n
--------- — lim 
1 + n h n °=o,L+h * 
n
n
para cada e > 0 existe un número natural n0 tal que
--------- <. e
1 + n h
luego
lim xn — 0. 
n
6. Supongamos en primer lugar que a > b. Entonces bfa < 1 y, 
el ejercicio anterior,
según hemos visto en
lim
n
= 0.
Ahora bien, diviendo el numerador y el denominador de an por a‘ resulta
a+b (b/a)n
1 + {b¡a)n
82
ANALISIS MATEMATICO I IV/27
y, por tanto,
lim an — a. 
n
Análogamente, si a < b entonces a/b < 1 y
/ \ n 
lim ( — ) ~ 0 
n \ bf
y dividiendo el numerador y el denominador de an por bn resulta
a (a/b)n + b d¡, = ----------------
n (b/n)n + 1
luego
lim an = b. 
n
Finalmente, si a = b entonces para todo n G N se verifica
2a"+ 1
= a 2cr
y, por tanto,
lim an = a. 
n
Resumiendo, en todo caso,
lim an = max {a, b}.
n
7. Por hipótesis,
lim (cn — an) — a - a — 0 
n
luego para cada e > 0 de K existe un número natural nQ tal que
ICn - an | < e para n > n0.
Entonces, para n > nQ, se tiene
I bn an j = bn — an Cn ün — \cn Qn | < e
y, por tanto,
lim (bn — an) — 0 
n
de donde se deduce que
lim bn ~ lim (bfi — an 4- an) = lim (bn - an ) + lim an = a. 
n n n n
83
IV/28 ANALISIS MATEMATICO I
8. Como
<r 10 an — 
n¿
1
n2
n +1 i n + 1 1
n2 n n2
y
lim 0 = 0 
n y
lim ( — + — = 0, 
n \ n n¿ /
por el ejercicio anterior
9. Se tiene
a2n ~ an ~~
1
10.
lim an = 0. 
n
1 
n + 2
1 1— > n ■ — 
2n 2n 2 ’
luego para e = 1/2 y para todo número natural n0 existen números naturales p y q 
que verifican p > «0> <7 no y ¡ap — aq I > e- Basta tomar p = 2w0 y cl = no •
Por hipótesis, para todo número natural n se verifica
\ +2 +1 I <'* I 0>n +1 l < k2 ! &n — 1 I Zd1 |a2 — I
y, por tanto, para m > n se tiene
¡ am ~ O-n I I ~~ am - 1 I "P I - 1 ¿hn - 2 i "P + I an + i — &n I
< (k”1 ~2 + km~3 + - + kn) |a2 -fll|
= A/1 ~—•* .... — /1 ¿z o — d i I\-k f 2 1
------ — |«2 ~al I- 
1 — K
Distinguiremos dos casos:
l.° a2 = ax. Entonces an — ax para todo n y, por tanto, lim an = ax y (an) es una 
n
sucesión de Cauchy por ser convergente.
2.° «i. Entonces |a2 — ¿¡¡i j > 0 y como lim Zd1 = 0 (ejercicio 5), para cada 
n
e > 0 existe un número natural n0 tal que
, „ 1 - kkn < ------------ e para n > nQ
[ ¿Z2 — <2i ¡
y, por tanto,
k“’m “ an | < |a2 - a¡ | < e para m > n > nQ
luego (an} es una sucesión de Cauchy.
84
ANALISIS MATEMATICO I V/1
TEMA V
Los números reales
Esquema/resumen
5.1. El cuerpo de los números reales.
5.2. El axioma del supremo.
5.3. Axiomas de los números reales.
85
ANALISIS MATEMATICO I V/3
Todo cuerpo ordenado K contiene un subcuerpo isomorfo al cuerpo O de los números 
racionales. Dicho subcuerpo se identifica con Q y se llama cuerpo de los elementos raciona­
les de K. Los elementos de K que son imágenes por el isomorfismo en cuestión de algún 
entero se llaman elementos enteros de K. Los elementos de K que son imágenes por dicho 
isomorfismo de algún entero positivo se llaman elementos naturales de K.
Se dice que un cuerpo ordenado K es arquimediano cuando para cada elemento a de K 
existe un elemento natural n de K tal que a < n. Esto equivale a decir que todo elemento de 
K es límite de una sucesión de elementos racionales de K.
En el tema anterior construimos un cuerpo ordenado, arquimediano y completo: El 
cuerpo IR' de las clases de sucesiones de números racionales. Pero dos cuerpos ordenados, 
arquimedianos y completos son isomorfos. Por consiguiente, existe un cuerpo ordenado, 
arquimediano y completo, y este cuerpo es único salvo isomorfismos de cuerpos ordena­
dos. Un cuerpo real es un cuerpo ordenado, arquimediano y completo. Sus elementos se 
llaman números reales.
Se dice que en un cuerpo ordenado K se verifica el axioma del supremo cuando todo 
subconjunto de K no vacío y acotado superiormente tiene supremo en K. En todo cuerpo 
ordenado, arquimediano y completo se verifica el axioma del supremo. Recíprocamente, 
todo cuerpo ordenado en el que se verifique el axioma del supremo es arquimediano y com­
pleto. Enunciando explícitamente las propiedades de cuerpo ordenado y el axioma del su­
premo se obtiene, pues, un sistema de axiomas que caracterizan el conjunto de los números 
reales.
Observación sobre el tema: Aunque las demostraciones de las proposiciones de 5.1.2, 
5.2.2 y 5.2.4 son difíciles, deben entenderse perfectamente, pero no es preciso memorizar- 
las.
87
ANALISIS MATEMATICO I V/5
5.1. EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES
5.1.1. Proposición: Sea K un cuerpo ordenado. Entonces existe una aplicación inyecti- 
va f del cuerpo (D de los números racionales en K que, para todo par de números racionales a 
y b, verifica.
1. /(a + ó) =/(«)+/(&)
2. f(ab) =f(a)f(b)
3. Si a < b entonces f (a) < f (b).
Con otras palabras, todo cuerpo ordenado K contiene un subcuerpo isomorfo al cuerpo 
(D de los números racionales.
Demostración: En primer lugar definimos/para los números enteros poniendo
/(«) =
1 ... 4-1
0
vecgs^
-(1 + ... +D
si n 0
si n = 0
n < 0
Es fácil comprobar que/(m 4- n) = f(m) + f(rí), f(mn) — f(m)f(n) y que si m < n 
entonces/(m) </(«), para todo par de números enteros m y n.
Si r G O y r = con m y n enteros definimos
/(r) = /O) /(»)
89
V/6 ANALISIS MATEMATICO I
Esta definición no depende del representante elegido de r pues si entonces
mq = np y, por tanto, f{mq) = f(np), luego f (m) f (q) = f (n) f (p) y .
/(«) /(<?)
Queda definida así una aplicación /: (D -> K. Veamos que f verifica las propiedades del 
enunciado:
f (JÍL y P- \ = f ( mcl + nP \ + np) = f(m)f(q) + f(n)f(p)
\ " q } J \ nq ) f(nq) f(n)f(q)
= /<m) . = f ( m \ + f ( JL\
f(n) f{q) J \ n ) J \ q
f ( 2IL. P_\ =f( mP \ IküÉL =
J \ n <7 / J \ nq ) f(nq) f(n)f(q)
= f^m) _ f(p) _ f / m 'U ! p \
f(n) f(q) \ n )J \ q ) ’
in oy si — < entonces mq < np y, por tanto, f{mq) <f(np), luego f(m)f(q) <f(n)f(p) y
f(m) f(p) 
f(n) fü) ’
es decir,
m \ f / p \ 
n / J \ q )
Esta última propiedad implica evidentemente que /es inyectiva.
Dado un cuerpo ordenado K, el subcuerpo de K isomorfo al cuerpo (D de los números ra­
cionales se identifica con éste y se llama cuerpo de los elementos racionales del cuerpo K. 
Los elementos f(n) de K que son imágenes por el isomorfismo / de algún entero n se llaman 
elementos enteros de K. Los elementos f{n) de K que son imágenes por / de algún entero 
n > 0 se llaman elementos naturales de K. Con esta identificación, se utiliza el mismo sím-
zzz tti > í fti \bolopara designar el número racionaly el elemento racional/ ( ) de K.
5.1.2. Definición: Se dice que un cuerpo ordenado K es arquimediano cuando para 
cualquieraEK existe un elemento natural n E K tal que a < u.
Ejemplos: El cuerpo Q de los números racionales es evidentemente un cuerpo ordenado 
arquimediano y, en virtud de la proposición 5.1.1., también es arquimediano el subcuerpo 
de los elementos racionales de cualquier cuerpo ordenado.
Proposición: Un cuerpo ordenado K es arquimediano si y sólo si cualquier elemento 
¿z E K es límite de una sucesión de elementos racionales de K.
Demostración: Sea a E K y sea (an) una sucesión de elementos racionales de K tal que 
lim an — a. Para e = 1 existe un número natural n0 tal que 
n
90
ANALISIS MATEMATICO I V/7
la„ — «I < 1 para n > nQ
y, por tanto,
a <an + 1 para n > nQ
n y, por consi-
luego,en particular, a < anQ + 1 y como ano + 1 es racional y el subcuerpo de los elemen­
tos racionales de K es arquimediano, existe un natural n tal que anQ 
guíente, a < n.
Con esto queda probado que si cualquier elemento a G K es límite de una sucesión de 
elementos racionales de K, entonces K es arquimediano.
Recíprocamente, supongamos que K es arquimediano y sea a^K. Tenemos que probar 
que existe una sucesión (an) de elementos racionales de K tal que lim an = a.
n
Supongamos en primer lugar que a > 0 y sea n un elemento natural de K. Como K es 
mn arquimediano, existe un elemento natural mn de K tal que na < mn. Entonces, 0 < a < — 
y en el conjunto finito
n 1 2
’ n’ n ’n
f/l + 1habrá dos términos consecutivos----y-----------tales quen n
m m + 1—- <--------n n
De esta forma, para cada natural n queda determinado unívocamente el elemento racio­
nal de K. Sea n (an) la sucesión de elementos racionales de K definida por
man = para cada n.
Entonces,
m _ 1 
n ~ n
m m + 1 
n n
y, por tanto,
I an — ¿z| < — para todo n.
Ahora bien, por ser K arquimediano, para cada e > 0 de K existe un natural n0 tal que
- < «o-luego
i , 1 1\an — a < — <-----< en nQ
para todo n > nQ y
lim an — a 
n
91
V/8 ANALISIS MATEMATICO I
Supongamos ahora que a < 0. Entonces —a > 0 y por lo visto en el caso anterior, existe 
una sucesión (an) de elementos racionales de K tal que lim an = —a y, por tanto, (—an) es 
n
también una sucesión de elementos racionales de K y lim (-«„) — a. 
n
De esta proposición se deduce que el cuerpo completo IR de las clases de sucesiones de 
números racionales es un cuerpo arquimediano ya que todo elemento de IR es límite de una 
sucesión de racionales.
Proposición: Sea K un cuerpo ordenado arquimediano. Entonces, para cada e' > 0 de 
K existe un enfoque satisface 0<e <e' en K.
Demostración: Por la proposición anterior existe una sucesión (en) de números raciona­
les tal que
lim en - 
n í
y, por tanto, existe unen 60 tal que
Por consiguiente,
0 < en < e' 
y basta tomar e = en.
Teorema: Dos cuerpos ordenados arquimedianos y completos son isomorfos.
Demostración: Sean K y K’ dos cuerpos arquimedianos y completos y sea a&K. Existe 
una sucesión (an) de elementos racionales tal que lim an = a (en K) y, por tanto, (an} es una 
n
sucesión de Cauchy en K. Por la proposición anterior, para cada e > 0 de K’ existe un e 60 
que satisface 0 < a < 8' en K! y, por ser (a„) una sucesión de Cauchy en K, existe un núme­
ro natural n0 tal que \ap - aq\ < e (en K) para p, q > ntí. Por consiguiente,
\ap —aq\<e (en K’) para p, q > nQ
y (¿zn) es una sucesión de Cauchy en K'. Como K' es completo, existe
a' — lim an (en K'f 
n
El elemento a' G K' así construido no depende de la sucesión de racionales (¿z„) con lí­
mite a (en K) que se considere puesto que si (bn) es otra sucesión de racionales con límite 
a (en K), entonces
lim (qn - bn) = 0 (en K) 
n
y como para cada e > O de K' existe e G Q tal que O < e < e (en K'f se puede encontrar 
un número natural n0 tal que
|an — bn\<e (en K') para n > nQ
92
ANALISIS MATEMATICO I V/9
luego
lim (an — bn) — 0 (en K') 
n
y, por tanto,
lim bn = a (en K'). 
n
Así pues, el elemento a G K' queda unívocamente determinado por el elemento a G K y 
la correspondencia a a define una aplicación f: K -> K’. Veamos que esta aplicación es 
un isomorfismo de cuerpos ordenados:
Sean a,bEK. Existen sucesiones de racionales (an ) y (bn) tales que
lim an =a y lim bn = b (en K) 
n n
y, por tanto,
lim {an + bn ) = a 4- b y lim an bn = ab (en K) 
n n
luego
f(a 4- b) = lim (an 4- bn) (en K') 
n
— lim an 4- lim bn (en K1) 
n n
= f(a)+f(b)
y
f(ab) = lim (¿zn¿„) (en K') 
n
= (lim an ) (lim bn) (en K') 
n n
Por otra parte, si a > 0 es un elemento de K y (an) es una sucesión de racionales con lí­
mite a (en K), existen un racional e > 0 y un número natural n0 tales que an > e para 
n > nQ y, por tanto,
f(a) = lim an > e > 0 (en K'). 
n
Entonces, si a y ó son dos elementos de K y a < b se tiene b — a > 0 y, por consiguiente, 
f(b — ¿z) > 0 y como
f(b -a)=f(b)~f(a),
resulta/(u) <f(b).
93
V/ 10 ANALISIS MATEMATICO I
De esta última propiedad se deduce que la aplicación f es inyectiva. También es supra- 
yectiva pues si a 6 Kf, existe una sucesión de racionales (an ) tal que
lim an — a* (en K'f 
n
Pero, por la proposición anterior, para cada e' > 0 de K existe un e G Q que satisface 
0 < e < e' en K, y como (an) es una sucesión de Cauchy en K' y, por tanto, en Q, existe 
un número natural n0 tal que
I &p ‘ aq\< e < e (enJT) parap,^>«0,
luego es una sucesión de Cauchy en K. Como K es completo, (aw) es convergente en K 
y si a = lim an (en K), resulta
n
f (a) = lim an = a (en Á'').
n
5.1.3. En el tema anterior construimos un cuerpo ordenado, arquimediano y completo: 
El cuerpo IR de las clases de sucesiones de números racionales. Acabamos de ver ahora que 
dos cuerpos ordenados, arquimedianos y completos son isomorfos. Existe, pues, un cuerpo 
ordenado, arquimediano y completo, y este cuerpo es único salvo isomorfismos de cuerpos 
ordenados.
Definición: Un cuerpo real es un cuerpo ordenado, arquimediano y completo. Sus ele­
mentos se llaman números reales.
5.2. EL AXIOMA DEL SUPREMO
5.2.1. Sean K un cuerpo ordenado y A un subconjunto de K.
Se dice que A está acotado superiormente en K cuando existe un elemento a E K tal que 
x < a para todo x EA. Los elementos de K que son mayores o iguales que cualquier elemen­
to de A se llaman cotas superiores del conjunto A.
Se dice que A está acotado inferiormente en K cuando existe un elemento a G K tal que 
x > a para todo x E A. Los elementos de K que son menores o iguales que cualquier elemen­
to de A se llaman cotas inferiores del conjunto A.
Se dice que A está acotado en K cuando lo está superior e inferiormente.
Se dice que un elemento a E K es el supremo de A y se escribe a = sup A, cuando a es 
una cota superior de A y ningún elemento menor que a es cota superior de A. Entonces, 
a = sup A si y sólo si se verifican las dos propiedades siguientes:
a) x < a para todo x E A.
b) Para cada e > 0 de K existe algún x E A tal que x > a — e.
Se dice que un elemento a E K es el ínfimo de A y se escribe a = inf A, cuando a es una 
cota inferior de A y ningún elemento mayor que a es cota inferior de A. Entonces, a = inf A 
si y sólo si se verifican las dos propiedades siguientes:
94
ANALISIS MATEMATICO I V/ 11
a) x > a para todo x G A.
b) Para cada e > 0 de K existe algún x G A tal que x < a + e.
5,2.2. Definición: Se dice que en un cuerpo ordenado K se verifica el axioma del su­
premo cuando todo subconjunto A de K no vacío y acotado superiormente tiene supremo 
en K.
Proposición: En todo cuerpo ordenado K arquimediano y completo se verifica el axioma 
del supremo.
Demostración: Sea A un subconjunto de K no vacío y acotado superiormente y sea s 
una cota superior de A. Como K es arquimediano, existe un elemento natural j tal que 
s < / y / es pues cota superior de A. Sea a & A (que existe por ser A no vacío) y elijamos un 
entero i G K tal que i < a (si a > 0, basta tomar i ~ 0 y si a < 0, por ser K arquimediano, 
existe un natural k > — a y basta tomar i = — kf Entonces entre i y j hay elementos de A 
y ningún elemento de A es mayor que j.
Para cada natural n, el conjunto de racionales de denominador n comprendidos entre 
z = y j — es finito y, por tanto, hay uno mínimo que es cota superior de A. Sea tal 
, . m 4- 1 melemento---- y pongamos an = .
Queda definida así una sucesión (an) de elementos de K. Veamos que es una sucesión de 
Cauchy:
Si ap
m' 4- 1 
q~
m m' m 4- 1= y aq — son dos términos arbitrarios de la sucesión (an), como —-— y
m tnson cotas superiores de A y y —— no lo son, se tiene
m
~P
mf 4- 1 
y
m m 4- 1 
~qq P
y, por tanto, si aq ^ap,
0 m ap^aq = -^ m ~q
m' 4- 1 
q
m
~~q q
y si ap^aq,
n m°<aq-ap = — m m + 1~P P~
m
~P P
Además, por ser K arquimediano, para cada e > 0 de K existe un natural nQ tal que-----< e
«o
1 1 1 1 ■ - + y, para p > nQ y q > nQse tiene — <-----y — <------y, por consiguiente,
P q no
i /\ap -aq\<——<e
luego (an) es efectivamente una sucesión de Cauchy en
95
V/ 12 ANALISIS MATEMATICO I
Como K es completo, existe x G K tal que x = lim an. Veamos que x = sup A : 
n
Si existiera un b G A tal que b > x sería b — x > 0 y, por ser K arquimediano, existiría 
un natural tal que
1
-T---------< rixb —x 1
y, por tanto, 
y como lim an = x existiría un natural n2 tal que
n
an < b —-— para n > n2
y para n > max {nít n2 }, resultaría 
n nr
m -i- 1 m + 1luego - < b, lo cual es imposible porque ———- es cota superior de A.
Por consiguiente, x es cota superior de A. Además es la menor de las cotas superiores de 
A pues si y <x, por ser lim an — x, existen términos an >y, y como ningún an es cota supe­
ra
rior de A, tampoco y es cota superior de A.
5.23. Una sucesión (an) de elementos de un cuerpo ordenado K se dice creciente cuan­
do an^an+i para todo n.
Una sucesión (¿zn) se dice decreciente cuando an ~>an+1 para todo n.
Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente.
Proposición: En un cuerpo ordenado K en el que se verifica el axioma del supremo, toda 
sucesión (qn) creciente y acotada superiormente es convergente y
lim an — sup {an : n G N}. 
ra
También, toda sucesión (bn) decreciente y acotada inferiormente es convergente en Ky
lim bn — inf {bn : n G N}. 
n
Demostración: Sea (an ) una sucesión creciente y acotada superiormente en K. Como en 
K se verifica el axioma del supremo, existe a — sup : n G N} y para cualquier 6 > 0 de 
K existirá un número natural «0 tal que a — e < anQ . Además, como la sucesión (an)es cre­
ciente, se verifica <2no < an para todo n > nQ. Entonces, para n > , se tiene
a — e <anQ <an <a + e
96
ANALISIS MATEMATICO I V/ 13
y, por tanto,
\an -a\<e
luego efectivamente,
lim an = a. 
n
Sea ahora una sucesión decreciente y acotada inferiormente en K. Entonces la su­
cesión (—bn) es creciente y acotada superiormente y, por lo demostrado antes, (—bn) es 
convergente y
lim (—bn) - sup {~bn : n G ÍM}. 
n
Ahora bien, como
sup {— bn : n G N} = —inf {bn : n G N}
se tiene
lim bn = —lim (—bn) — inf {bn : n G N}. 
n n
5.2.4. Proposición: Todo cuerpo ordenado K en el que se verifica el axioma del supre­
mo es arquimediano y completo.
Demostración: Para ver que K es arquimediano bastará probar que el conjunto N de los 
naturales de K no está acotado superiormente en K. Razonaremos por reducción el absur­
do: Si N estuviese acotado, por verificarse el axioma del supremo en K, existiría a — sup N y 
sería
n < a para todo n G N
y como n + 1 G N, también
n + 1 < a para todo n G N,
luego
n < a — 1 para todo n G N
lo cual está en contradicción con el hecho de ser¿z — sup N.
Veamos ahora que K es completo: Sea (an) una sucesión de Cauchy en K. Entonces (an) 
está acotada y, para cada número natural n el conjunto {a^ : n) está acotado superior­
mente. Como en K se verifica el axioma del supremo, para cada número natural n existe
bn = sup {a¡<; : k^n}.
Tenemos definida así una sucesión (bn) de elementos de K decreciente (porque {a^ : k> n} 
97
V/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
D {¿Zfc : k > n + 1} para todo n) y acotada interiormente (una cota inferior de (an) lo es de 
y por la proposición anterior, existe b = lim bn.
n
Por consiguiente, para cada € > 0 de K existen números naturales ní y n2 tales que
I en 
y
 
-o i e 
»e¡ para n > n x
y
a 1 a S_
 
A
 
w
 | m para n, m > n2
Sea n , 
e 
~ am <
> max {Hj, n2}. Como bn = sup 
y, por tanto,
{afr : k > n}, existe m > n tal que 0 < h
C € C— b\ — am | + |am — bn\ 4- |¿?n — ¿>| < j ~ ~ = e-
Por consiguiente, la sucesión (an) es convergente y tiene por límite el elemento b de K.
5.3. AXIOMAS DE LOS NUMEROS REALES
En 5.1. hemos visto que el conjunto de los números reales queda determinado, salvo iso- 
morfismos, por las propiedades de ser un cuerpo ordenado, arquimediano y completo. En
5.2. hemos probado que la propiedad arquimediana y la completitud de un cuerpo ordenado 
son equivalentes al axioma del supremo. Enunciando explícitamente las propiedades de 
cuerpo ordenado y el axioma del supremo se obtiene, pues, un sistema de axiomas que ca­
racterizan el conjunto de los números reales:
El conjunto de los números reales es un conjunto IR en el que están definidas dos ope­
raciones, la adición (en la que a cada par (a, b) G IR x IR le corresponde el elemento suma 
a + b G IR), y la multiplicación (en la que a cada par (a, b) G IR x IR le corresponde el 
elemento producto ab G IR), y que contiene un subconjunto IR+ (conjunto de los elementos 
positivos de IR), verificándose el siguiente sistema de axiomas:
Axioma I. Propiedades conmutativas: Para todo par a, b de elementos de IR se veri­
fican
a + b = b A a y ab ~ ba.
Axioma II. Propiedades asociativas: Para toda terna a, b, c de elementos de IR se ve­
rifican
a 4- (b 4- c) = (a 4- b) 4- c y a (be) = (ab) c.
Axioma III. Propiedad distributiva: Para toda terna a, b, c de elementos de IR se veri­
fica
a(b 4- c) = ab 4- ac.
98
ANALISIS MATEMATICO I V/ 15
Axioma IV. Existencia de elementos neutros: Existen dos elementos distintos en IR 
que se designan por 0 y 1, tales que para cada elemento a G IR se verifi­
can
a 4- 0 — a y a • 1 = a.
Axioma V. Existencia de opuestos: Para cada a G IR existe -a. G IR tal que 
a 4- (—¿z) = 0.
Axioma VI. Existencia de inversos: Para cada elemento a =# 0 de IR existe a~r G IR tal 
que
aa-1 — 1.
Axioma VIL El cero no es positivo: 0 £ IR+.
Axioma VIII Propiedad de tricotomía: Para cada a G IR se verifica una y sólo una de 
las tres propiedades
a G IR+ , ¿7 — 0 , -a G IR+.
Axioma IX. Estabilidad de las operaciones: Para todo para, b de elementos de IR+sc 
verifican
a 4- b G IR+ y ab G IR+.
Axioma X. Existencia de supremo: Si A C IR es un conjunto no vacío y acotado 
superiormente, existe un elemento a G IR que es el supremo de A.
Los seis primeros axiomas son los axiomas de cuerpo, los axiomas VII, VIII y IX son los 
axiomas de orden y el axioma X es el axioma del supremo.
La construcción de un cuerpo ordenado, arquimediano y completo realizada en 4.3. 
prueba la compatibilidad de este sistema de axiomas.
Toda propiedad de los números reales, o está entre los axiomas o se puede deducir de 
ellos. Terminaremos este tema probando la existencia y unicidad de la raíz cuadrada no ne­
gativa de cualquier número real no negativo.
Proposición: Todo número real no negativo a tiene una raíz cuadrada no negativa única.
Demostración: Si a = 0 entonces 0 es la única raíz cuadrada de a. Supongamos, pues, 
que a > 0 y sea A el conjunto de todos los números reales positivos x tales que x2 < a.
A es no vacío pues ¿z/(l 4- a) pertenece a A ya que a2 < a (1 + ü)< a (1 A a)2 y, por tan­
to, a2/(I + a)2 <¿z.
A está acotado superiormente pues como a < (1 4- a)2 , para cada x se tiene x2 < a < 
< (1 4- a)2 y, por tanto, x < 1 4- a.
Por consiguiente, existe s = sup A y como ¿z/(l 4- a) pertenece a A, se tiene s y^a/(} 4- 
4“ a) 0.
99
V/ 16 ANALISIS MATEMATICO I
Probaremos que s2 — a viendo que no puede ser s2 > a ni s2 <Za. 
Si fuese s2 > a, tomando
sería 0 < b < 5 y
l2 2 { 2 \ , O2 ”«)2 . (S2 -íü)2
b = s - (S -fl) +---- 4P---- = a +------4^2---- >«■
luego b2 > x2 y b> x para todo x G A y b sería una cota superior de A menor que el supre­
mo de A, lo cual es absurdo.
Si fuese s2 < a, como s > 0, podríamos elegir un número b tal que Q<b<syb<(a- 
— s2 )/3s y entonces
(s -I- b)2 — s2 + b (2s + b) <s2 4- 3sb < s2 + (a — s2) = a,
luego s -i- b pertenecería a A siendo mayor que el supremo de A, lo cual es absurdo.
Por consiguiente, s2 == a y s es una raíz cuadrada positiva de a. Además es la única pues 
si Sj y s2 fuesen dos raíces cuadradas positivas de a, sería s2 = a — s2 y, por tanto,
0 =S2 -S2 = (Si +52)(5i -52),
luego $1 — s2 — 0 (el otro factor es positivo) y Sí = s2.
Observación: Si 5 es la raíz cuadrada positiva de un número real a > 0 entonces —5 es 
la raíz cuadrada negativa de a pues (—s)2 = s2 — a.
10Ü
ANALISISMATEMATICO I V/ 17
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Probar que un cuerpo ordenado K es arquimediano si y sólo si la sucesión de racionales
| — ] tiene límite 0 en K.\n /
2. Demostrar que el supremo y el ínfimo de un conjunto son únicos cuando existen.
3. Probar que todo conjunto A de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene 
ínfimo.
4. Sean A y B dos conjuntos de números reales tales que x < y para todo x G A y para todo 
y C/f Probar que A tiene supremo, que B tiene ínfimo y que sup A < inf B.
5. Determinar el supremo y el ínfimo del conjunto
A — {x G IR : x2 — 5x + 6 < 0}
6. Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales y sean a = sup A y b = sup B. 
Se designa porX + B el conjunto
A + B = {x + y :xEA,yEB}.
Probar que sup (A + B) = sup A + sup B.
7. Probar que en el cuerpo ordenado (Q de los números racionales el conjunto
A = {aGO :«>0,íz2 <2}
es no vacío y está acotado superiormente pero no tiene supremo.
101
V/18 ANALISIS MATEMATICO I
8. Sea (an) una sucesión de números reales no negativos tal que lim an = a. Probar que 
n
limv^ — a.n
9. Calcular lim (\A2 + » — n). 
n
10. Sea (an) la sucesión de números reales definida en forma recurrente por
a1 = 1 y an = \/2an^1 para n > 1.
Probar que (an) es convergente y calcular lim an. 
n
102
ANALISIS MATEMATICO I V/ 19
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
L Supongamos en primer lugar que
lim — = 0 en K 
n n
y sea a G K, Si a < 0 también a < 1. Si a > 0, entonces — > 0 y existirá un natural J a
nQ tal que
para n > n0.n a
En particular, ----- < — y, por tanto, a < nQ. Por consiguiente, K es arquimediano.ÍZq d
Supongamos ahora que K es arquimediano. Entonces, para cada e > 0 de K existe un 
natural «0 de K tal que — < n0, es decir, —— < e y, por tanto, e «o
1— < e para n >n0,
luego
lim — = 0 en K. 
n «
2. Si a y b fuesen supremos del conjunto, a sería cota superior y b la menor de las cotas 
superiores y, por tanto, b < ü; también, por ser b cota superior y a la menor de las 
cotas superiores, sería a < b. Por consiguiente, a— b.
Análogamente se prueba la unicidad del ínfimo.
103
V / 20 ANALISIS MATEMATICO I
3. El conjunto —A = {—a : a CM} de los opuestos de los elementos de A es no vacío 
y está acotado superiormente (si b es una cota inferior de A entonces — b es una cota 
superior de —A). Por tanto, existe s = sup (—X) y, por definición de supremo, se veri­
fican las dos propiedades siguientes:
a) s > — a para todo a G A.
b) Si s' > —a para todo a GX entonces s' > s.
Pero estas propiedades se pueden escribir también así:
a) — s < a para todo a GX.
b) Si - s < a para todo a G X entonces —s' < - 5.
Por tanto, —5 es la mayor de las cotas inferiores de X, es decir, —s = inf X.
4. X es un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente (cualquier elemen­
to de B es cota superior de X), luego tiene supremo.
B es un conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente (cualquier elemen­
to de X es cota inferior de B), luego tiene ínfimo.
Además, como cualquier y G B es cota superior de X y supX es la menor de las cotas 
superiores de X, se tiene sup X < y para todo y G B. Por consiguiente, sup X es una 
cota inferior de B y como inf B es la mayor de las cotas inferiores deB, será supX < 
<inf5.
5. Las soluciones de la ecuación de segundo grado x2 — 5x + 6 = 0 son x — 2 y x — 3. 
Por consiguiente, x2 — 5x 4- 6 = (x - 2) (x — 3) y
X = {x G IR : (x — 2) (x — 3) < 0}.
Para que sea (x — 2) (x — 3) < 0 se han de verificar simultáneamente x — 2 > 0 y 
x — 3 < 0, o bien x 2 < 0 y x - 3 > 0. En el primer caso, se han de verificar x > 2 y 
x < 3. En el segundo, x < 2 y x > 3, pero ningún número x es simultáneamente menor 
que 2 y mayor que 3. Por consiguiente,
A — {x G IR : 2 < x < 3},
el supremo de X es 3 y el ínfimo 2.
6. Pongamos a = sup X y b — sup B. Entonces x < a para todo x G A, y < b para todo
6 6y G B y, para cada e > 0, existen x G X e y GB tales que x>a — — ey>b — —. Por
consiguiente, x + y < a 4- b cualesquiera que sean xGAeyGBy, para cada e > 0
existe x + y G A + B tal que x+y>a+b-e, luego a 4- b - sup (X -I- B).
7. X es no vacío porque, por ejemplo, 1 G X. El número 2 es una cota superior de X 
porque todo a G A verifica a2 < 2 < 4 y, por tanto, a < 2. Para ver que X no tiene su­
premo en (¡2 procederemos por reducción al absurdo:
Supongamos que sup X = x G (U. Entonces, como 1 GX, ha de ser x > 1 > 0.
104
ANALISIS MATEMATICO I V/21
No puede ser x2 = 2 porque no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 2 (te­
ma III. ejercicio 5). Entonces, para concluir, bastará ver que cualquiera de las hipótesis 
x2 < 2, x2 > 2 nos lleva a contradicción.
Si fuese x2 < 2, eligiendo y E (D tal que
0<_y<l 2 — x2 
2x + 1
e
y tomando z = x + y tendríamos 0 < x < z y
z2 — x2 + y (2x + y)<x2 + y (2x + 1) < x2 + (2 — x2) = 2
luego z E A siendo también z > x — sup A, lo cual es absurdo.
Si fuese x2 > 2, tomando
sería y > 0 porque x > 0. Además por ser x > 0 y x2 > 2, sería x > —, luego y, 
por tanto, y < x. Así pues, 0 < y < x. Pero
(■v 2 _ o \ 2---------- ) >x2 — (x2 — 2) = 22x /
y como todo a E A verifica a2 < 2, resultaría a2 <Zy2 y a < y para todo a E A. Por 
consiguiente, y sería una cota superior de A menor que x = sup A, lo cual es absurdo.
8. Como an > 0 para todo n. es a > 0. Si es a ~ 0, para cada e > 0 existe un número natu­
ral n0 tal que
an < e2 para n > nQ
y, por tanto,
an < e para n > n0
luego
lim Van = 0. 
n
Si es a > 0 y b es tal que 0 < b < a, existe un número natural nx tal que 
an > b para n > n x
y para cada e > 0 existe un número natural n2 tal que
- a\< e (x/o'+x/K) para n > n2 .
Entonces si n0 = max , n2}, para n > nQ se tiene
105
V / 22 ANALISIS MATEMATICO I
/— /— € (y/~á y/H')
yan -V a = ——-----=- <----- 7=---- -^r— = e
luego
lim 
n
9. Se tiene
\/«2 H- — n = n2 in n2
Vn2 4- n 4- n ,2
n
4- fi 4~ n
1
y como lim 
n
lim (y/n2 + n — n) 
n
j.
2'
a
10. Por inducción probaremos que (an) es una sucesión creciente y acotada superiormente.
Se tiene
a2 =y/2ai ~v^2> 1 —
y, supuesto que an '>an^x.
ün + i ~ a/ ^an > a/ 2ízn _ i — an,
luego (ü„) es, efectivamente, una sucesión creciente. Además, ax — 1 < 2 y, supuesto 
que an < 2,
íz„+1 = y/2a^ <x/T = 2,
luego 2 es una cota superior de (an).
Entonces existe a — lim an y a = sup {an : n G N}, y como an =x/2an^i para todo 
n
n > 1, pasando al límite resultan = \/2a, luego a2 = 2a y a (a — 2) = 0. Por consiguien­
te, o bien a = 0, o bien a — 2. Pero como a > ax = 1, será a = 2 :
lim an — 2. 
n
106
ANALISIS MATEMATICO I VI/1
TEMA VI
Límites infinitos
Esquema/resumen
6.1. Límites infinitos.
6.2. El criterio de Stoltz.
107
ANALISIS MATEMATICO I VI/3
El conjunto de los números reales ampliado, otras veces llamado recta real ampliada, 
es el conjunto IR que se obtiene adjuntando a IR dos elementos que se designan por —00 y 
+ 00 y qUe se denominan menos infinito y más infinito respectivamente. La ordenación, 
la suma y el producto de IR se extienden a IR de manera sencilla. Pero la suma y el pro­
ducto no están definidos para todo par de elementos de IR. La suma queda sin definir 
cuando uno de los sumandos es más infinito y el otro menos infinito. El producto queda 
sin definir cuando uno de los factores es cero y el otro infinito. El cociente no está defi­
nido cuando el numerador y el denominador son infinitos ni cuando el denominador es 
cero.
En 6.1.2 se definen los límites infinitos y en 6.1.3 se estudian los límites de la suma, 
producto y cociente de dos sucesiones cuando alguna de ellas tiende a infinito.
En 6.2 se establece una proposición que se conoce con el nombre de criterio de Stoltz 
y que es útil para calcular los límites de ciertas sucesiones. Este criterio es eminentemente 
práctico. Su demostración no es preciso memorizarla pero sí hay que manejarlo con soltura. 
En los ejercicios de autocomprobación se ofrecen cinco aplicaciones de dicho criterio.
109
ANALISIS MATEMATICO I VI / 3
El conjunto de los números reales ampliado,otras veces llamado recta real ampliada, 
es el conjunto IR que se obtiene adjuntando a IR dos elementos que se designan por —00 y 
+ oo y qUe se denominan menos infinito y más infinito respectivamente. La ordenación, 
la suma y el producto de IR se extienden a IR de manera sencilla. Pero la suma y el pro­
ducto no están definidos para todo par de elementos de IR. La suma queda sin definir 
cuando uno de los sumandos es más infinito y el otro menos infinito. El producto queda 
sin definir cuando uno de los factores es cero y el otro infinito. El cociente no está defi­
nido cuando el numerador y el denominador son infinitos ni cuando el denominador es 
cero.
En 6.1.2 se definen los límites infinitos y en 6.1.3 se estudian los límites de la suma, 
producto y cociente de dos sucesiones cuando alguna de ellas tiende a infinito.
En 6.2 se establece una proposición que se conoce con el nombre de criterio de Stoltz 
y que es útil para calcular los límites de ciertas sucesiones. Este criterio es eminentemente 
práctico. Su demostración no es preciso memorizarla pero sí hay que manejarlo con soltura. 
En los ejercicios de autocomprobación se ofrecen cinco aplicaciones de dicho criterio.
109
ANALISIS MATEMATICO I VI/5
6.1. LIMITES INFINITOS
6.1.1. El conjunto de los números reales ampliado es el conjunto IR que se obtiene 
adjuntando a IR dos elementos que se designan por —°° y +°° y que se denominan menos 
infinito y más infinito respectivamente.
La ordenación de IR se extiende a IR definiendo
—oo <x < 4-©o para cada x G IR
y, si x e y son números reales,
x < y en IR si y sólo si x < y en IR.
La suma en IR se extiende a IR definiendo
x 4- (4- 00) — (4-o°)4-x = 4-°o para todo x G IR con x =# — 00
y
x 4- (— oo) — (— oo) + x = — oo para todo x G IR con x 4- <» .
Obsérvese que quedan sin definir (4- °° ) 4- (— °°) y (— o®) + (4" °° )•
Poniendo — (+ °°) = y — (—°°) — 4-00 queda definida automáticamente la di­
ferencia en IR salvo en los casos (4- ®®) — (4- ®® ) y (— 00) — (— 00
x — y — x 4- (-y).
El producto en IR se extiende a IR definiendo
x‘(4-oo) = (4-oo)-x = 4- ©o s x ■ (--©o) = (— 00) • x = — 00 para todo x > 0 de IR
111
Vi/6 ANALISIS MATEMATICO I
y
x ‘ (4~ °°) — (4-°°) ■ x — X’(—°o) = (— oo)-x = + oo para todo x<0 de IR.
De esta forma quedan sin definir 0 • (+ °° ), (4- 00 ) • 0, 0 ’ (— 00) y (— 00 ) ' 0.
Poniendo (4-«»)_ 1 = 0 y (— °°) 1 = 0 queda definido automáticamente el cociente
— 4- 00 4- 00 —00 — 00 x —en IR salvo en los casos------ , ——, ------- , —— y — (x 6 IR):■¿-oo — 00 4-00 — 00 Q
6.1.2. Definición: Se dice que una sucesión de números reales (qn) tiene por li­
mite — °° y se escribe
lim an = — 00 
n
cuando para cada k € IR existe un nQ E N tal que
an < k para todo w > n0.
Definición: Se dice que una sucesión de números reales (an) tiene por límite 4- 00 y 
se escribe
lim an = 4- 
n
cuando para cada k € IR existe un n0 E N tal que
an> k para todo n>nQ.
Ejemplos:
1. Toda sucesión de números reales creciente y no acotada superiormente tiene 
por límite 4-«». En efecto, como (#„) no está acotada superiormente, para cada k E IR 
existe un n0 E N tal que an > k,y como (an ) es creciente,
an ^an0 > k para todo n > nQ.
Análogamente, toda sucesión de números reales (aw) decreciente y no acotada inferior- 
mente tiene por límite -00 .
2. Si (an) es una sucesión de números reales con límite 4- 00 entonces la sucesión 
(— an ) tiene por límite — 00. En efecto, como
lim an = 4- 00, 
n
para cada k E IR existe un n0 E M tal que
an > — k para todo n > n0
y, por tanto,
112
ANALISIS MATEMATICO I VI/7
— an < k para todo n > n0
luego
lim (—an) = — oo. 
n
Análogamente, si {an) es una sucesión de números reales con límite — 00 entonces la 
sucesión (—<2») tiene por límite + 00.
6.1.3. Ya sabemos que si (an) y (bn) son dos sucesiones de números reales tales que
lim an = a y lim bn — b
n n
con a, b G IR, se verifican las siguientes propiedades:
a) lim {an 4- bn) = a + b.
n
b) lim an bn = ab.
n
c) Si a =# 0 entonces lim -i- = — .
TI &TI $
Las siguientes proposiciones extienden estos resultados para límites infinitos:
Proposición: Sean {an ) y (bn ) dos sucesiones de números reales tales que
lim an = a y lim ¿>„ — b 
n n
con a, b G IR. Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si a = + 00 {respectivamente, — 00) y b G IR entonces
lim (an + bn) = + 00 {resp. -<*>)• 
n
b) Sí a = b = + 00 {resp. — 00) entonces
lim {an + bn) = + 00 {resp. — 00). 
n
Demostración:
a) Si b G IR la sucesión {bn) es acotada, luego existe un número real c > 0 tal que
— c < bn <c para todo n G N.
Entonces, si a — + 00, para cada k G IR existe un nQ G M tal que
an > k + c para todo n >
113
VI/8 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
an+ bn >k + c — c = k para todo n >nQ
luego
lim (an + bn) = + 00, 
n
y si a = — oo; para cada k 6 IR existe un n0 G M tal que
an < k — c para todo n > n0
y, por tanto,
an + bn<k — c + c = k para todo n > m0
luego
lim (an + bn) = —00, 
n
b) Si a — b = + oo ? para cada k G IR existe un «0 £ N tal que
Zí Je> — y bn > — para todo n > n0
y, por tanto,
&n+bn> — + — = k para todo n > nQ
luego
lim (a„ + bn) = + 00. 
n
Finalmente, si a = b = — oo, para cada k G IR existe un m0 G N tal que
Je
«n < 2 y bn<2 para todo n
y, por tanto,
an + bn<. = k para todo n > w0
luego
lim (an + bn) = —00. 
n
Observación: Si una de las dos sucesiones (a„) y (¿„) tiene por límite + 00 y la otra 
tiene por límite — 00, no se puede afirmar nada sobre el límite de la sucesión (an + bn), 
como prueban los ejemplos siguientes:
114
ANALISIS MATEMATICO I VI/9
1) lim n = 4- oo} 
n
lim (— n) = — oo y 
n
lim {n 4- ( -«)) = lim 0 = 0.
n n
2) lim/?2 = 4-oo? 
n
lim (— M) ——oo y
n
lim {n2 4- (—«)) = 4-oo
n
puesto que para n > 1 es
n2 — n = n {n — 1) > n.
3) lim (m + (— 1)") = + °° y lim (— n) — — oo. Sin embargo, 
n n
« + c-ir + (-«) = (-ir
y la sucesión ((—1)”) no tiene límite.
Proposición: Sean {an) y (bn) dos sucesiones de números reales tales que
lim an — a y lim bn = b
n n
con a, b E IR. Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si a — 4- 00 {resp. — 00) y b>0 entonces
lim an bn = 4- o® {resp. - ©o). 
n
b) Si a = 4- o° {resp. — °°) y b < 0 entonces
lim an bn ~ — oo {resp. 4- °°). 
n
Demostración:
a) Por ser b > 0 existen un número natural nx y un número real c > 0 tales que
bn > c para n > .
(esto es evidente si b = 4- y si b E |R+ existe un nx E N tal que — b¡2 < bn — b < b/2 
para n > nt, luego b„ > b/2 para n > nr y basta tomar c = b/2).
Si a = 4- oo, para cada k E IR existe un E N tal que
an > — para n n2. 
c
Por consiguiente, si nQ = max {n^, n2} se verifica
kanbn > - £ ~k para n > nQ
115
VI/ 10 ANALISIS MATEMATICO I
luego
lim an bn = 4- oo.
Si a = -- OO 5 la sucesión (— an) tiene por límite +°° y, por lo que acabamos de probar,
lim (—an)bn = +
luego
b) Si a = 4- 00 y b < O, la sucesión (— bn} tiene por límite b > O y, por lo demostrado 
en el apartado anterior,
luego
lim an bn = — lim an (— bn) — — 00 
n n
Si a = —00 y b < O, la sucesión (~an) tiene por límite + 00 y la sucesión (— bn) tiene 
por límite — b > O y, por lo demostrado en a)
luego
lim an bn = lim (~an) (~bn) - + 00.
Observación: Con las notaciones de la proposición anterior, si a = 4 00 (resp. —00) 
y b = O, no se puede decir nada sobre el límite de la sucesión como prueban los 
siguientes ejemplos:
1) lim n — 4- 00, r 1 a lim — — O y
n n
2) lim n2 = 4- 00,
lim n • — = lim 1 = 1.
I' 1 A lim — — O y
n n
n n
lim n2 — = lim n ~ 4- 00. 
n n
3) lim n = + 00} lim (-1)" — 0. Sin embargo,
y la sucesión ((— 1)" ) no tiene límite.
116
ANALISIS MATEMATICO I VI/11
Proposición: Sea (an) una sucesión de números reales tal que
lim an = a G IR. 
n
Se verifican las siguientes propiedades:
a) Si a — 4- 00 ó a = — 00 entonces
lim — = 0. 
n an
b) Si a = 0 y an > 0 (resp. an<$) para todo n G IKI entonces
lim — = + ©o (resp. — 00).
» an
Demostración:
a) Si a = ± 00, para cada número real e > 0 existe un n0 G N tal que
| |
e
para n >nQ
y, por tanto,
1 < e para n > nQ
luego
lim — = 0.
b) Si ¿z — 0, para cada número real k > 0 existe un nQ G N tal que
I | ^ para n > n0.
Entonces, si an > 0 para todo n G N,
_L_ 
an I«n I
para n > nQ
y, por tanto,
r 1lim — = + 00,
« an
y si an < 0 para todo n G IM,
1 1 / u— ~ —¡--- r < — k para n > nQ
I
117
VI/12 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
r 1lim — — — ©o.
n &n
Observación: Escribiendo
1—— __ an • _— 5 
bn bn
las dos últimos proposiciones permiten calcular el límite de {an/bn) salvo en el caso de que 
uno de los factores an, 1 /bn tienda a 0 y el otro a ± 00.
6.2. EL CRITERIO DE STOLTZ
6.2.1. Sean ay/? dos números reales tales que a < /? y supongamos que
aia<—</? para i—1,2, ..., n
donde los a, son números reales arbitrarios y los /?, son números reales positivos. Entonces
a2 4-a2 4- ••• 4- a„ a <-------------------- < B.
01 + 02 + ‘" + 0n
En efecto, como los son positivos, para i = 1,2,..., n se tiene
a < a¡ < ¡8
y sumando miembro a miembro estas desigualdades resulta
(0i + 02 + - +0„)a<ai 4-a2 4- - 4-a„ <(/3j 4-/?2 + - 4-/?„)/?
luego
ax 4-a2 + - + an _ _ a <-------------------- < /?
0i + 02 + + 0n
conforme queríamos probar.
6.2.2. La siguiente proposición se conoce con el nombre de criterio de Stoltz y es 
útil para calcular los límites de ciertas sucesiones.
Proposición: Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números reales tales que
an an. —
lim —----- 2__L = /eiR.
n bn ~ bn-l
Si la sucesión (bn) es creciente y lim bn = 4- °°, se tiene también
n
lim — = l.
« bn
118
ANALISIS MATEMATICO I VI/ 13
Demostración: Supongamos en primer lugar que Z G IR. Por hipótesis existe un m G M 
tal que
an ~ an l 
bn -bn-i
€
~ para todo n > m
es decir,
e < an an-\ e
2 bn — bn _ j 2
para todo n > m.
Entonces, para cada n > m las fracciones
G-m +1 
bm +1 — bm
am + 2 tlm +1
bm +2
an an-i
bn — bn-i“ bm + 1
están comprendidas entre l — e/2 y l + e/2 y tienen denominadores positivos puesto que 
(¿>n) es creciente. Lo mismo ocurrirá pues con la fracción cuyo numerador es la suma de 
los numeradores y cuyo denominador es la suma de los denominadores:
, e an — am J . el — — \ T ~ .
2 bn — bm 2
Por otra parte, como lim bn = + 00, existe p G N tal que 
n
2
bn > - \am — bm 11 para todo n>p. 
e
Sea q = max {m, p}. Entonces, para todo n > q se verifica
^■n
~b~n bn
| an — bn 11 I ^m bm l + bm l bnl\ 
bn
| am bm 11 I &n &m (Pn ~ bm ) I
bn bn
'm ~ bm 11
bn
bn " bm 
bn bn ~ bm
I ¿hn ~ bm 11
bn
an ~ atn 
bn ~ bm
-l
an ~
£
2
e
2 “ e
y, por tanto,
lim 
n
t^n
b~n
Supongamos ahora que Z = Entonces, para cada k G IR existe un m G IH tal que
119
VI/14 ANALISIS MATEMATICO I
--------------> 2k para todo n > m 
bn~bn-l
y razonando como antes se deduce que
——— > 2k para todo n>m. 
bn ~ bm
Por otra parte, como lim bn = + , existe p G N tal que 
n
bn> — (am — 2kbm ) para todo n >p 
k
y si q = max {m, p}> para todo n > q se verifica
an _ ¿hn &n
bn bn bn
v. . bn — bm - *r----------- 
bn bn
fyn — 2k bm— ---------------- *r
bn
> — k + 2k — k
luego
lim---- = + 00.
n bn
El caso l = “ 00 resulta del anterior aplicado a las sucesiones (~ an) y (bn ).
120
ANALISIS MATEMATICO I VI/ 15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Sea p un número natural y sea (¿z„) la sucesión de números reales definida para cada 
n € N por
a„ — c0 4- Ci n 4- c2n2 4- + cpnl>
donde los c, son números reales dados y cp =£ 0. Demostrar que el límite de (a„) 
es 4- °° ó — 00 según que sea cp > 0 ó cp < 0.
2. Sean p y q dos números naturales y sea la sucesión de números reales definida 
para cada n G IN por
b0 + bxn 4- b2n2 4- + bpnp
n c0 4- cxn 4- c2n2 4- + cqnq
siendo los y los c¡ números reales dados, bp ¥= 0 y cq =# 0. Calcular lim an . 
n
3. Calcular según los valores de x el límite de la sucesión (qn) definida para cada n G N 
por
an = \/n2 4- n — 1 — xn.
4. Probar que la sucesión (an) definida para cada n G N por
” ff y y ...... y.... *.
+1 Vn + 2 y n 4- n
tiene por límite + 00.
121
VI/ 16 ANALISIS MATEMATICO I
5. Sea x un número real mayor que 1. Probar que lim xn = + 00. 
n
6. Sea (xn) una sucesión de números reales tal que lim xn = x G IR. Probar que 
n
+ x2 4- •” 4- xn 
lim--------------------------- = x.
n n
7. Calcular
1 + 4 + 9 + + n2
™ 5 + 8 4- 13 4- ••• + (n2 4-4)
8. Calcular
1 4- 4 4- 9 4- ••• 4- n2 
n 25n3 4- 47n
9. Sea p G N. Calcular
lp + 2p 4- - + np lim ---------- ------------- .
n np+1
10. Sea p G N. Calcular
/ I** 4~ 2P + 4- nplim -------------- ---------
n \ np
122
ANALISIS MATEMATICO I VI/17
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROB ACION
1. Se tiene
an = np cp - i 
n
Cp 
np
y como lim np = + 00 y el paréntesis tiene por límite cp, será 
n
lim an ™
n
00
— 00
si
si
cp
cp
o
0
2. Si p > q, dividiendo numerador y denominador por nq resulta
_ 1 bnbpnp~q + ••■ + &„ + -2-1 +- + -4 
r n nq
El numerador tiene por límite + °° ó — 00 según que sea bp > 0 ó bp < 0 
nador tiene por límite cq . Por tanto,
El denomi-
+°° si bpcq>Q lim an —
n — 00 si bqcq <0
Si p = q se puede escribir
123
VI/18 ANALISIS MATEMATICO I
El numerador tiene por límite bp y el denominador tiene por límite cp. Por tanto,
r bPlim an — ---- ,
« Cp
Si p < q se tiene
C™ — 1 Cn
c(Jnq ~ p 4- ••• 4- cp 4- ------ + -• 4- ——
H r n np
El numerador tiene por límite bp y el denominador tiene por límite + 00 ó — 00 según 
que sea cq > 0 ó cq < 0. Por tanto,
lim an — 0.
n
3. Se tiene
n2 4* n — 1 — x2n2 
\/n2 + n — 1 + xn
(1 — x2)n 4- 1 - - 
n
Distinguiremos varios casos:
1. ° x < — 1: El numerador tiende a —00 y el denominador tiende a 1 4- x < 0,
luego lim an — 4- 00. 
n
2. ° x = — 1: El numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 tomando va­
lores positivos, luego lim an = 4- 00.
n
3. ° — 1 < x < 1: El numerador tiende a +« y el denominador tiende a 1 4- x > 0,
luego lim an — 4- =».
n
4. ° x ~ 1: El numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 2, luego lim an = 1 /2.
n
5. ° x > 1: El numerador tiende a —00 y el denominador tiende a 1 4- x > 0, luego
lim an = 00. 
n
En resumen:
si
4. Se tiene:
1/2 X = 1si
si
an -
lim an 
n
X
x/« 4~ 2
124
ANALISIS MATEMATICO I VI/19
y como la sucesión (y/n/2) tiende a 4- 00,
lim an — 4- 00, 
n
5. Poniendo x — 1 4- y será y > 0 y, por tanto,
xn = (1 4- y}n > 1 4- ny
y como (1 4- ny) tiende a 4- ,
lim xn = + 00.
n
6. Sean (an) y (bn) las sucesiones definidas respectivamente por
an = xx +x2 4- 4- xn y bn = n
para cada n EN. Entonces
an an-llim-------------- = lim xn = x
n bn — bn_ 1 n
y por el criterio de Stoltz,
ün
lim = x.
« bn
7. Sean (an) y (bn) las sucesiones definidas respectivamente por
an — 1 4- 4 4- 9 + ••• 4- n2 y bn = 5 4- 8 4- 13 4- 4- {n2 4- 4)
para cada nGW. Entonces
2
lim-------------- — ¡im -------
n bn — bn-i n n¿ 4- 4
y por el criterio de Stoltz,
v a” 1
lim — 1.
8. Sean (an) y (bn) las sucesiones definidas respectivamente por
an — 1 4- 4 4- 9 4- ••• 4- n2 y bn — 25n3 4- 47«
para cada «EN. Entonces
n2 1lim-------------- = lim------z---------------- = —
» b„-bn_1 n 15n2 _'15n + '72 75
125
VI / 20 ANALISIS MATEMATICO I
y por el criterio de Stoltz
an lim — =
n bn
1
75
9. Sean (an ) y (bn ) las sucesiones definidas respectivamente por
an — lp + 2P + + np y bn — np + l
para cada n E Ihl. Entonces
an - an „ j = np .
y
b„ - =(p + -fp + 'V> +... + (_ p +
\ 1 / \ 2 / \p + ] /
y, por consiguiente, la fracción
an ~~ an - 1
bn ~~ &n - 1
es el cociente de dos polinomios en n de grado p. Su límite será el cociente de los coe­
ficientes de los términos de mayor grado, es decir, l/(p 4- 1) y, por el criterio de Stoltz,
.. anlim —- —
n bn
10. Reduciendo a común denominador resulta
1? + 2P + ... + np n (p + 1) (1P + 2P + 4- np) -np + í
np p + 1 (p + 1) np
Sean (an ) y (bn ) las sucesiones definidas respectivamente por
an = (p 4- 1)(1P + 2P + - + np) — np + 1 y bn = (p 4- 1)«P
para cada /iGN. Entonces
an ~ an _ i = (p + 1) (lp 4- 2P 4- ... 4- np) - np + ¡ - (p 4- 1) [lp 4- 2P + ... + 
(n ~ + (í? - l)p-'
- (p + 1)»P - [«P + 1 - (« - 1)P + 1 ]
bn- bn _ i = (p 4- 1) \np - {n ~ 1 )p ]
126
ANALISIS MATEMATICO I VI/21
y la fracción
an~
bn-bn_r
es el cociente de dos polinomios en n de grado p — 1 y los coeficientes de los términos 
de mayor grado son respectivamente,
y por el criterio de Stoltz,
(p 4- l)p 
------------ y2 7 (p 4- l)p
an lim —
an ~ fln-i
— lim--------------- _ (p 4- l)p/2 __ ¿
n bn « bn - bn _ i (p + l)p 2
127
ANALISIS MATEMATICO I VII/1
APENDICE
CONJUNTOS NUMERABLES
Se dice que dos conjuntos Ay B son coordinadles o equipolentes y se escribe A ~ B 
cuando existe una aplicación biyectiva de A sobre B.
La relación ~ es de equivalencia. En efecto:
Es reflexiva: A ~ A porque existe una aplicación biyectiva de A sobre A, la aplica­
ción identidad.
Es simétrica: Si A ~ B, existe una aplicación biyectiva f de A sobre B y la aplicación 
inversa /*1 es una aplicación biyectiva de B sobre A, luego B ~ A.
I n/2 si n es par
/(«) =
l (1 — n)/2 si n es impar
Es transitiva: Si A ~ B y B ~ C, existen dos aplicaciones biyectivas f: A -> B y g: B C 
y la aplicación compuesta g o fes una aplicación biyectiva de A sobre C, luego A ~ C.
Se dice que un conjunto A es finito cuando existe un número natural n tal que A ~ 
~ {1, 2,n}. En este caso, se dice que A tiene n elementos.
El conjunto vacío también se considera finito. Los conjuntos que no son finitos se lla­
man infinitos.
Definición: Se dice que un conjunto A es numerable cuando es coordinadle con el con­
junto NJc los números naturales.
Sea A un conjunto numerable. Entonces existe una aplicación biyectiva/: N->A.Pero 
una aplicación f de N en A es una sucesión de elementos de A. Si /es suprayectiva, todo ele­
mento de A es un término de la sucesión. Si / es inyectiva, los términos de la sucesión son 
todos distintos. Por tanto, un conjunto A es numerable si y sólo si sus elementos pueden dis­
ponerse en una sucesión de términos distintos.
Ejemplo: El conjunto ~L de los números enteros es numerable. Podemos definir una apli­
cación biyectiva/de N sobre 7L de la siguiente forma:
129
Vil/2 ANALISIS MATEMATICO I
Cada número entero es un término de la sucesión
...
y todos los términos de esta sucesión son distintos. Los números enteros quedan pues dis­
puestos en sucesión así:
0, 1,-1, 2,-2, 3,-3, ...
Proposición: Todo subconjunto B de un conjunto numerable A es finito o numerable.
Demostración: Si B es finito no hay nada que demostrar. Así pues, supondremos que B 
es infinito. Como A es numerable, sus elementos pueden disponerse en una sucesión (an) de 
términos distintos. Sea «i el menor número natural tal que¿zni 65y; supuesto que se han 
definido n2, n3,... n^-i, sea nk el menor número natural mayor que nk-i y tal que anfc G B. 
Esta construcción inductiva define una sucesión (an¡() cuyos términos, todos distintos, son 
los elementos de B. Por consiguiente, B es numerable.
Proposición. El conjunto N x N es numerable.
Demostración: Por la proposición anterior, el conjunto A de todos los números natura­
les de la forma 2m 3” (m, n G IM) es numerable, luego existe una aplicación biyectiva /: A -+ N. 
Por otra parte, la aplicación g: N x N -> A definida por
g (m, n) = 2m 3n para cada par {m, n) C N x N
es biyectiva. Por consiguiente, la aplicación compuesta f o g es una aplicación biyectiva de 
N x N sobre N, luego N x N es numerable.
Proposición: Sea (Arl) una sucesión de conjuntos. Existe una sucesión (Bn)de conjuntos 
disjuntos tal que
UAn = \jBn.
n n
Demostración: Pongamos Bx = A j y, para cada n > 1,
n — i
Bn—An — U Ak.
k = i
m — i
Si m #= n se verifica Bm r>Bn = $ pues si, por ejemplo, es m > n, entonces An C U Ak k = i
y, por tanto, para cada x G Bm se tiene x £ An, luego x^.Bn.
Veamos ahora que U An —VBn'.
n
Si x G U An entonces x G Ak para algún k y si es n el menor de estos k. se verifican 
n
n — i
xEAn y U Ak,
k = i
130
ANALISIS MATEMATICO I Vil / 3
luego x G Bn y, por tanto, x G U Bn. Recíprocamente, si x G U Bn existe un k G N tal que 
n n
x GBk, luego x G Ak y, por tanto, x G U An. 
n
Proposición: Si (An)es una sucesión de conjuntos numerables entonces A = U An es tam­
bién un conjunto numerable. n
Demostración: Por la proposición anterior podemos suponer que los son disjuntos.
Cada es numerable, luego sus elementos pueden disponerse en una sucesión
•••» ank, •
de términos distintos, y como los An son disjuntos, la aplicación/: NxN^.4 definida por 
f(n, k) — ank es biyectiva. Pero N x N es numerable, luego A también lo es.
Proposición: El conjunto (D de los número racionales es numerable.
Demostración: Para cada« G N sea^4n el conjunto de todos los números racionales de la 
forma m¡n con m G ~Q_. La aplicación f: !L-»An definida por/(m) — m/n para cada m G 
es biyectiva y como 7L es numerable, también An es numerable. Además, (D = U An luego 
n
(Q es numerable en virtud de la proposición anterior.
Proposición: El conjunto IR de los números reales no es numerable.
Demostración: Si IR fuera numerable, cada subconjunto de IR sería finito o numerable. 
En particular, el conjunto de los números reales estrictamente comprendidos entre 0 y 1 
sería numerable y todos sus elementos podrían disponerse en una sucesión (an). Cada uno 
de los an tendría un desarrollo decimal
an — 0, bní bn2 bn3 ...
donde cada bnm es 0, 1, 2, ..., ó 9, y poniendo 
cn
si bnn 1
si bnn2
el número real x de desarrollo decimal
X = 0, (?! C2 c3 ...
verificaría 0 < x < 1 y sería, por tanto, un término de la sucesión (an). Pero esto es imposi­
ble puesto que x difiere de a i en la primera cifra decimal, de a2 en la segunda cifra deci­
mal, ..., de an en la «-sima cifra decimal.
131
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
EDUCACION A DISTANCIA
ANALISIS MATEMATICO I
Unidad didáctica/2
Temario:
I. Topología de IR.
II. Límites de funciones.
III. Funciones continuas.
IV. Funciones derivables.
V. Funciones derivables en intervalos.
VI. El teorema de Taylor.
JESUS FERNANDEZ NOVOA, 
Doctor en Ciencias Matemáticas 
Profesor de la U.N.E.D.
ANALISIS MATEMATICO I 1/1
TEMA I
Topología de R
Esquema/ resumen
1.1. Intervalos y entornos.
1.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados.
1.3. Puntos interiores, exteriores y puntos frontera.
1.4. Puntos adherentes y puntos de acumulación.
1.5. Conjuntos compactos.
135
ANALISIS MATEMATICO I 1/3
Una topología sobre un conjunto E es una colección de subconjuntos de E que se lla­
man abiertos de la topología y que verifican las tres propiedades siguientes: a) 0 y E son 
abiertos; b) la unión de cualquier colección de abiertos es también un conjunto abierto; 
c) la intersección de cualquier colección finita de abiertos es también un conjunto abierto. Si 
E es un conjunto sobre el que está definida una topología r, se dice que el par (£, f ) es 
un espacio topológico.
En este tema se estudia la topología usual del conjunto .IR de los números reales. Se 
llama entorno de un número real x a todo intervalo abierto con déntro en x. Los conjuntos 
abiertos de IR son aquellos que con cada punto contienen un entorno de dicho punto, y se 
caracterizan por ser unión de una colección finita o numerable de intervalos abiertos disjun­
tos.
Se dice que un conjunto A C IR es cerrado cuando su complementario es abierto. De 
las leyes de De Morgan sobre el complementario de una unión o de una intersección y de las 
propiedades de los abiertos, resultan inmediatamente las propiedades de los cerrados: a) 0 y 
IR son cerrados; b) la intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un con­
junto cerrado; c) la unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto 
cerrado.
Un conjunto A C IR calsifica los puntos de IR en puntos interiores a A, que son aquéllos 
que tienen un entorno contenido en A, puntos exteriores a A que son los que tienen un 
entorno contenido en el complementario de A, y puntos frontera de A que son aquéllos para 
los que todo entorno contiene puntos de tí y del complementario de A. Los conjuntos de 
puntos interiores, exteriores y puntos frontera de A se llaman respectivamenteinterior, exte­
rior y frontera de A.
Se dice que un punto x es adherente a un conjunto A cuando todo entorno de x contie­
ne puntos de A. Se dice que un punto x es de acumulación de A cuando todo entorno de 
x contiene puntos de A distintos de x. Los conjuntos de los puntos adherentes y de los pun­
tos de acumulación de un conjunto A se llaman respectivamente adherencia y conjunto deri­
vado de A.
Los conjuntos cerrados de IR se caracterizan por ser los conjuntos que contienen todos 
sus puntos de acumulación.
137
1/4 ANALISIS MATEMATICO I
El teorema de Bolzano-Weierstrass establece que todo conjunto infinito y acotado de 
IR tiene al menos un punto de acumulación. Tal vez debiera demostrarse este teorema 
inmediatamente después de haber hablado de los puntos de acumulación. Sin embargo, y 
con el fin de dar una demostración más corta, hemos pospuesto este teorema al estudio de 
los conjuntos compactos.
Se dice que una colección xde conjuntos cubre a un conjunto A o que es un recubri­
miento de A cuando la unión de todos los conjuntos de v contiene a A. Un subrecubrimien­
to de un recubrimiento de A es una subcolección & de que cubre también al conjunto 
A. Un recubrimiento abierto de A es un recubrimiento de A formado por conjuntos abier­
tos.
Se dice que un conjunto A es compacto cuando de todo recubrimiento abierto de A 
se puede extraer un subrecubrimiento finito. Los conjuntos compactos de IR se caracteri­
zan por ser conjuntos cerrados y acotados (teorema de Heine-Borel).
138
ANALISIS MATEMATICO I 1/5
1.1. INTERVALOS Y ENTORNOS
1.1.1. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Se llama intervalo abierto de 
extremos a y b y se designa por (a, b} al conjunto de los números reales estrictamente com­
prendidos entre ay b\
(a, b) = {x E IR : a < x < b}.
Obsérvese que si a — b, el intervalo (a, b) es el conjunto vacío.
Los intervalos semiabiertos (o semicerrados} de extremos a y b se definen de la siguiente 
forma:
(a, fe| = {x G IR : a <x < b}, [a, b) = {x G IR : a <x < b}.
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b y se designa por [a, ¿? ] al conjunto de núme­
ros reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b:
[a,b} = {x G IR : a <x < b}.
Obsérvese que si a = b, el intervalo [a, fe] se reduce a un punto.
Los intervalos de los tipos anteriores son acotados. Definiremos ahora los intervalos no 
acotados.
Para cada a G IR se definen los intervalos abiertos
(— oo, a) = {x G IR : x < a], (a, + oo) = {x G IR ; x > a}
y los intervalos semiabiertos
(— oo, a] — {x G IR : x [a, +®o) = {x G IR : x >a}.
139
1/6 ANALISIS MATEMATICO I
Se define también el intervalo abierto
(— oo, -4- ©o) = {x G IR : — oo < x < + 00} = IR
1.1.2. Un conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente (superiormen­
te) tiene ínfimo (supremo). Si un conjunto^ C IR no está acotado inferiormente, suele po­
nerse — oo = inf A. De manera análoga, si A no está acotado superiormente, se pone 4-00= sup 
A. Hecho este convenio, vamos a establecer una proposición que caracteriza los intervalos.
Proposición: Un conjunto I C IR es un intervalo si y sólo si cualesquiera que sean los 
puntos x e y de I tales que x < y se verifica [x, y ] G I.
Demostración: Desde luego, si I es un intervalo entonces se verifica la propiedad del 
enunciado.
Recíprocamente, supongamos que I es un conjunto de números reales con la propiedad 
del enunciado y sean a = inf 7 y b = sup I (a, b G IR). Entonces, para cada z G (a, b) existen 
x, y G I tales que x < z < y y, por hipótesis, z Por tanto, (a, b) C Iy como a = inf Iy 
b = sup 7, el conjunto 7 es uno de los intervalos de extremos ay b.
1.1.3. Dado un número real x, se llama entorno de x a todo intervalo abierto de la 
forma (x r, x + r) donde r > 0. El número positivo r se llama radio del entorno.
En lo que sigue designaremos por N(x) un entorno cualquiera de x. A veces es conve­
niente especificar el radio del entorno de que se habla y, en lugar de escribir N (x), se escri­
be N (x;r).
Es evidente que la intersección de un número finito de entornos de x es también un 
entorno de x: La intersección de los entornos 7V(x; ), A; (x; r2 ), ..., 7V(x; rn) es el entor­
no N (x; r) donde r = min {rlf r2,.... rn}.
También está claro que si x e y son dos números reales distintos, existen un entorno 
de x y otro de y disjuntos: Basta considerar los entornos A'(x ; r) y N (y ;r) con r = |x — y|/2.
Si N (x) es un entorno de x, el conjunto 7V*(x) = N (x) ~ {x} se llama entorno reducido 
del punto x. Así pues, un entorno reducido de x es un entorno de x del que se ha suprimi­
do el punto x.
1.2. CONJUNTOS ABIERTOS Y CONJUNTOS CERRADOS
1.2.1. Definición: Se dice que un conjunto A C IR es abierto cuando para cadax Gy4 
existe un intervalo abierto que contiene ax y está contenido en A.
Como todo intervalo abierto que contenga a x contiene también un entorno de x y 
todo entorno de x es un intervalo abierto que contiene a x, resulta que un conjunto A C IR 
es abierto si y sólo si para cada xEA existe un entorno N (x) contenido en A.
Ejemplos:
1. Todo intervalo abierto es evidentemente un conjunto abierto.
2. Un intervalo cerrado [a, ó] no es un conjunto abierto pues, por ejemplo, todo entor­
no de a contiene puntos que no están en [a, ¿].
140
ANALISIS MATEMATICO I 1/7
Proposición: Se verifican las siguientes propiedades:
a) 0 y IR son abiertos.
b) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
c) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto 
abierto.
Demostración: La propiedad a) es evidente. Probaremos b) y c).
Sea A la unión de una colección arbitraria £4/}¿ e I de conjuntos abiertos y sea x £A. 
Existirá un i G / tal que x G A¡ y como Aj es abierto, existirá un entorno N (x) contenido en 
Af. Entonces 7V(x) C A y A es abierto.
Sea B la intersección de una colección finita Blt Ba, Bn de conjuntos abiertos y sea 
x G B. Entonces x G Bi para i — 1,2, n y como los Bi son abiertos, para i = 1,2,..., n 
existirán entornos Ni (x) C Bi. La intersección de los N¿ (x) es un entorno de x contenido en 
B y B es, pues, un conjunto abierto.
La intersección de una colección infinita de conjuntos abiertos puede no ser un conjunto 
abierto como lo prueba el siguiente
Ejemplo: Para cada n G N sea An = (—!/«, 1/w). La intersección de todos los abiertos 
An es el conjunto {0} que no es abierto pues todo entorno de 0 contiene puntos distintos 
de 0.
La siguiente proposición caracteriza los conjuntos abiertos de IR.
Proposición: Un conjunto A C IR es abierto si y sólo si es unión de una colección finita 
o numerable de intervalos abiertos disjuntos.
Demostración: Como los intervalos abiertos son conjuntos abiertos, por la propiedad b) 
de la proposición anterior, toda unión de intervalos abiertos es un conjunto abierto.
Recíprocamente, sea A C IR un conjunto abierto. Podemos suponer que A no es vacío 
pues si A = 0 entonces A = (a, a) donde a es un número real arbitrario. Como A es abierto, 
para cada x Gri existe un intervalo abierto (y, z) que contiene a x y está contenido en A. 
Sean
a = inf G IR : (y, x) C A} y b = sup {z G IR : (x, z) C A },
(a, & G IR). Entonces a < x < b e Ix — (Á b) es un intervalo abierto que contiene a x. Ade­
más, Ix C A pues si t G Ix, o es a < t < x, en cuyo caso existe un y < t tal que (y, x) C A, o 
es x < t < ¿), en cuyo caso existe un z > t tal que (x, z) C A, luego en todo caso t G A. Por 
otra parte, a £ A pues en caso contrario, por ser A abierto, existiría un r > 0 tal que el inter­
valo (¿z — r, a} estaría contenido en A y esto contradice la definición de a. Análogamente se 
prueba que b £ A.
Consideremos la colección de intervalos abiertos {Ix} para x G,4. Como cada x G A 
está contenido en Ix y todo Ix está contenido en A, se tiene A = U Ix.
x e A
Por otra parte, si dos de los intervalos (a, b) y (c, d) de esta colección tienen un punto 
común, deberán verificarse c < b y a < d. Como c no está en A tampoco está en (a, b) y 
será c< a. Como a no está en A tampoco está en (c, d) y será a < c. Por tanto, a = c. De 
141
1/8 ANALISIS MATEMATICO I
manera análoga se prueba que b = d. Por consiguiente, dos intervalos distintos de la colec­
ción {/*} son disjuntos y A es la unión de los intervalos abiertos disjuntos de la colección 
{Ix}.
Finalmente, como cada uno de los intervalos abiertos disjuntos Ix contiene un número 
racional, puede definirse una aplicación biyectiva entre la colección {Ix } y un subconjunto 
de números racionales. Este subconjunto de números racionales es finito o numerable, luego 
la colección {Ix } es finita o numerable.
1.2.2. Definición: Se dice que un conjunto A C IR es cenado cuando su complementa­
rio IR — A es abierto.
Ejemplos:
1. Todo intervalo cerrado [a, &] es un conjunto cerrado pues su complementario es 
abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos (—©o, a) y (b + oo).
2. Todo intervalo semiabierto no acotado es cerrado: [a, +©©) es cerrado pues su com­
plementario es el conjunto abierto (— oo, a); análogamente, (—oo, a] es cerrado pues su 
complementario es el conjunto abierto (a, 4-©o).
De las leyes de De Morgan sobre el complementario de la unión y sobre el complementa­
rio de la intersección y de las propiedades de los abiertos, resultan inmediatamente las pro­
piedades de los cerrados.
Proposición: Se verifican las siguientes propiedades:
a) 0 y IR son cerrados.
b) La intersección de cualquier colección de conjuntos cenados es un conjunto cerrado.
c) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
1.3. PUNTOS INTERIORES, EXTERIORES Y PUNTOS FRONTERA
Un conjunto A C IR clasifica los puntos de IR en tres clases: puntos interiores a A, pun­
tos exteriores y puntos frontera de A.
Definición: Se dice que un punto x G IR es interiora un conjunto A C IR cuando existe 
un entorno N (x) contenido en A. El conjunto de los puntos interiores a A se llama interior 
de A y se designa por int (X).
Definición: Se dice que un punto x G IR es exterior a un conjunto A C IR cuando existe 
un entorno N(x) contenido en el complementario de A. El conjunto de los puntos exterio­
res a A se llama exterior de A y se designa por ext (ri).
Definición: Se dice que un x G IR es punto frontera de un conjunto A G IR cuando todo 
entorno de x contiene puntos de A y del complementario de A. El conjunto de los puntos 
frontera de A se llama frontera de A y se designa por fr (A).
Ejemplo: Si A es un intervalo acotado de extremos a y b entonces int (A) = (a, b), 
ext (A) = (—©o, a) U (b, +«>) y fr (A) = {a, ó}.
142
ANALISIS MATEMATICO I 1/9
Proposición: Para cada A c IR los conjuntos int (4), ext (A) y fr (A) son disjuntos y se 
verifica IR = int (A) U ext (4) U fr (A).
Demostración: Es evidente que int (/l) A fr (4) — 0 y que ext (4) A fr (4) = ó- Tam­
bién int (yl) A ext (A) = ó pues si x G int (/l) entonces x 6 A y si x G ext (4) entonces 
xG IR - A.
Además, se verifica IR - int (A) U ext (A) U fr (4) pues si x es un número real arbitra­
rio y x £ int (4) U ext (4) entonces todo entorno A(x) contiene puntos de A y del comple­
mentario de A, luego x G fr (A).
Proposición: Para cada A C IR los conjuntos int (A) y ext (A) son abiertos y el conjunto 
fr (A ) es cerrado.
Demostración: Desde luego, int (A) es abierto si int (A) = 0. En otro caso, por defini­
ción de interior, para cada x G int (A) existe un entorno /V (x) contenido en A. Como N(x) 
es abierto, para cada y £ N (x) existe un entorno N (y) contenido en TV (x) y, por tanto, 
N (y) C A. Esto prueba que todos los puntos de 7V(x) son interiores a A, es decir, que 
N(x) C int (A). En resumen, para cada x G int (A) existe un entorno TV(x) contenido en 
int (A), luego int (A) es un conjunto abierto.
Como ext (A) = int (IR — A), también ext (A) es un conjunto abierto.
Finalmente, como fr (4) = IR - (int (A) U ext (A)) y el conjunto int (4) U ext (A) es 
abierto por ser unión de abiertos, fr (A) es un conjunto cerrado.
1.4. PUNTOS ADHERENTES Y PUNTOS DE ACUMULACION
Definición: Se dice que un punto x G IR es adherente a un conjunto A G IR cuando 
todo entorno TV(x) contiene puntos de A. El conjunto de los puntos adherentes a A se llama 
adherencia de A y se designa por adh (A).
Proposición: Para cada conjunto A C IR el conjunto adh (A) es el mínimo cerrado que 
contiene a A.
Demostración: Desde luego, adh (4) es un conjunto cerrado pues
adh (A) = int (A) U fr (4) = IR — ext (4).
Sea B un cerrado que contenga a 4. Tenemos que probar que adh (4) C B o lo que es 
equivalente, IR — B C IR — adh (4). Sea x G IR — B. Como B es cerrado, IR - B es abierto y 
existirá un entorno N (x) contenido en IR — B,y como IR — B C IR — 4, será N (x) A 4 = 0 
luego x £ adh (4), es decir, x G IR — adh (4) como queríamos probar.
De esta proposición resulta inmediatamente que un conjunto 4 C IR es cerrado si y sólo 
si 4 = adh (4).
Definición: Se dice que un x G IR es punto de acumulación de un conjunto 4 C IR cuan­
do todo entorno reducido N*(x) contiene puntos de A, El conjunto de los puntos de acumu­
lación de A se llama conjunto derivado de A y se designa por ac (4).
Obsérvese que todos los puntos de acumulación de un conjunto 4 son adherentes a 4 
pero un punto x adherente a 4 no es necesariamente un punto de acumulación de 4. Puede 
143
1/10 ANALISIS MATEMATICO I
ocurrir que exista un entorno 7V(x) cuyo único punto común con A sea x. Este tipo de 
puntos que son adherentes pero no de acumulación se llaman puntos aislados.
Ejemplo: Sea H_ el conjunto de los números enteros. Cualquier x G 1 es adherente a 
~L pero no es de acumulación de ~L pues N(x; 1/2) A ~L — {x}.
Proposición: Para cada A C IR se verifica adh (A) = A U ac (A).
Demostración: Está claro que A U ac (4) C adh (4) pues tanto A como ac (4) están 
contenidos en adh (4). Veamos que también se verifica adh (4) C 4 U ac (4). Sea x G 
G adh (4). Entonces para todo entorno V(x) se cumple 7V(x) A 4 #= 0. Puede suceder que 
exista un entorno V(x) tal que 7V(x) A 4 = {x} en cuyo caso x G4, o bien que para todo 
entorno V(x) sea7V*(x) A 4 0 en cuyo caso x G ac (4). En todo caso, x G4 U ac (4).
Proposición: Un conjunto A C IR es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de 
acumulación.
Demostración: Basta tener en cuenta que 4 es cerrado si y sólo si 4 = adh (4) — 4 U 
U ac (4 ).
1.5. CONJUNTOS COMPACTOS
Se dice que una colección Vde conjuntos cubre a un conjunto 4 o que es un recubri­
miento de 4 cuando la unión de todos los conjuntos de v contiene a4.
Un subrecubrimiento de un recubrimiento V de 4 es una subcolección s de que cu­
bre también al conjunto 4.
Un recubrimiento abierto de 4 es un recubrimiento formado por conjuntos abiertos.
Ejemplos:
1. El conjunto de todos los intervalos abiertos es un recubrimiento abierto de cualquier 
conjunto4 C IR,
2. El conjunto de todos los intervalos abiertos de la forma (1/w, 1 — l/«) donde n es 
un número natural mayor que 2 es un recubrimiento abierto del intervalo (0, 1). Un subre­
cubrimiento de éste está formado por los intervalos de la forma (l/2w, 1 — l/2zz) donde n es 
un número natural mayor que 1.
Definición: Se dice que un conjunto A G IR es compacto cuando de todo recubrimiento 
abierto de A se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Ejemplos:
1. Todo conjunto finito 4 = {xb x2,...» xn } es compacto pues si v es un recubrimien­
to abierto de 4 y 4/ es un abierto de V que contiene a x¡, entonces {4lf 42,..., An } es un 
subrecubrimiento finito de 4 extraído de & .
2. El intervalo (0, 1) no es compacto: Si del recubrimiento abierto de (0, 1) formado 
por los intervalos (1/w, 1 — 1/w) con n > 2 se pudiese extraer un subrecubrimiento finito
(l/«i, 1 - l/»i), (l/n2, 1 - l/«2), 1 ~ !/«*)>
144
ANALISIS MATEMATICO I 1/11
uno de estos intervalos, el (1/m, 1 — 1/m) donde m es el mayor de los números , n2,..., 
rifo, contendría a todos los demás y, por tanto, (1/m, 1 - 1/w) cubriría a (0, 1), pero esto es 
imposible.
Proposición: Todo intervalo cerrado [a, ó] es compacto.
Demostración:Sea /un recubrimiento abierto de [a, Ó] y sea X el conjunto de todos 
los x G [a, ¿>] para los que el intervalo [a, x] está cubierto por un número finito de conjun­
tos de V . La proposición quedará probada si vemos que b G X.
El conjunto X es no vacío ya que a E X y está acotado superiormente pues X C [a, ó]. 
Existe pues a sup X y se verifica a < a < b.
Como ■■/es un recubrimiento abierto de [a, b] existirá un A G z tal que ctGA. Como 
A es abierto existirá un y menor que a y mayor que a tal que [y, a] G A. Pero por ser 
a — sup X, existe un x G [y, a] O X. El intervalo [a, x] está cubierto por un número finito 
de conjuntos de j/y el intervalo [x, a] está cubierto por el conjunto A, luego el intervalo 
(¿z, a] está cubierto por un número finito de conjuntos de y, por tanto, a EX.
Para concluir, bastará probar que a — b. Si fuese a < b, como a G A y A es abierto exis­
tiría un z mayor que a y menor que b tal que [a, z ] C A y el intervalo [a, z ] estaría cubier­
to por un número finito de conjuntos de jZ, luego sería zGAryz>a = sup X, lo cual es 
imposible. Por tanto, a = b.
La siguiente proposición caracteriza los subconjuntos compactos de IR.
Proposición. (Teorema de Heine Borel): Un conjunto A C IR es compacto si y sólo 
si es cerrado y acotado.
Demostración: Supongamos en primer lugar que A es compacto y sea x G IR — A. Para 
cada y G A existen dos entornos 7V(x) y N (y) disjuntos. La colección de todos los N(y) 
para y G A es un recubrimiento abierto del compacto A y de él podrá extraerse un subre­
cubrimiento finito N(yy), N(y2), N(yk)- Sean N } (x), N2 (x), ..., 7Vfc(x) los entornos 
de x correspondientes. La intersección de estos últimos es un entorno de x contenido en 
IR — A. Así, para cada x G IR — A existe un entorno de x contenido en IR - A, luego 
IR — A es abierto y X es cerrado.
Para ver que A es acotado consideremos el recubrimiento abierto de A formado por 
todos los intervalos (—n, n) con n G N. De él podrá extraerse un subrecubrimiento finito 
(— nít «i), (—n2> n2), (—n^, n^), y si n0 — max {n^, n2,...» n%} tendremos^ C (— n0,
nQ ) y A es pues acotado.
Recíprocamente, si A es cerrado y acotado entonces A estará contenido en algún inter­
valo cerrado [a, ó] y si /es un recubrimiento abierto de A, adjuntándole el abierto IR — A 
obtendremos un recubrimiento abierto del compacto [a, b] del que se podrá extraer un 
subrecubrimiento finito. Este subrecubrimiento estará formado por un número finito de 
conjuntos Alf A2, ..., A% de .y y tal vez IR — A. Entonces los conjuntos Aít A2, ...» A% 
cubren A. Así pues, de todo recubrimiento abierto de A se puede extraer un subrecubri­
miento finito, luego A es compacto.
Proposición. (Teorema de Bolzano-Weierstrass): Todo conjunto infinito y acotado 
A C IR tiene al menos un punto de acumulación.
145
1/12 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: Probaremos que todo conjunto acotado A C IR sin puntos de acumula­
ción es finito.
Si A es acotado estará contenido en un intervalo cerrado [a, ¿>], Si A no tiene puntos 
de acumulación, ningún punto de [a, será de acumulación de A, lo cual implica que para 
cada y € [a, ¿] existe un entorno N (y) tal que el entorno reducido N*(y) no contiene pun­
tos de A. La colección de todos los N(y) para y £ [a, ó] es un recubrimiento abierto del 
compacto [tz, Z?] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito N(y2), 
N(yk). Estos k entornos cubren también a A y ninguno de los entornos reducidos), 
N*(y2), tiene puntos de A, luego A consta a lo sumo de los k puntosyj, y2>
yk-
146
ANALISIS MATEMATICO I 1/13
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROB ACION
1. Dar un ejemplo que pruebe que la unión de una colección infinita de cerrados no es, 
en general, un conjunto cerrado.
2. Sean A y B dos subconjuntos de IR y sea A + B el conjunto de todos los números 
reales de la forma z — x + y con x €= A e y £B. Probar que si A es un abierto no vacío 
entonces también A 4- B es abierto.
3. Demostrar que int (A) es el máximo abierto contenido en A.
4. Determinar el interior, el exterior, la frontera, la adherencia y el derivado de los conjun­
tos 1 y (Ü.
5. Sean A y B dos subconjuntos de IR. Demostrar que
int (A OB) = int (A) O int (B)
y que
int (A ) U int (B) C int (A U B)
y dar un ejemplo en el que el contenido anterior sea estricto.
6. Sean A y B dos subconjuntos de IR. Demostrar que
adh (A U B) = adh (A) U adh (B)
y que
adh (A A B) C adh (A) Q adh (B)
y dar un ejemplo en el que el contenido anterior sea estricto.
147
1/14 ANALISIS MATEMATICO I
7. Probar que un punto v es adherente a un conjunto A C IR si y sólo si existe una suce­
sión (xn) de puntos de A tal que lim xn = x.
8. Sea x un punto de acumulación de un conjunto A C IR. Demostrar que todo inter­
valo (x — r, x + r), r > 0, contiene infinitos puntos de A.
9. Determinar un recubrimiento abierto de IR que no contenga subrecubrimientos fini­
tos.
10. Sea (an) una sucesión de números reales convergente con límite a E IR. Probar que el 
conjunto A = {an : n € N} U {a} es compacto.
148
ANALISIS MATEMATICO I 1/15
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. La unión de todos los intervalos cerrados [— r, r] con 0 < r < 1 es (— 1, 1) que no es ce­
rrado.
2. Sea z — x + y EA A B. Entonces xEAy como A es abierto, un intervalo (x - r, x + r) 
con r > 0 está contenido en A. Por tanto, el intervalo (z — r, z + r) está contenido en 
A + B y A + B es, pues, abierto.
3. Ya sabemos que int (tí) es abierto. Habrá que probar que si B es un abierto contenido 
en A entonces B G int (A). Pero esto es inmediato pues si x G B, por ser B abierto, exis­
te un entorno TV(x) contenido en B y por tanto en A, luego todo punto x &B es inte­
rior a A.
4. int (~L) = 0, ext ( ~L ) = IR - 7L, fr (7L ) = 7L, adh (1L) - ~L, ac ( TL) - (¡>, int (<D) = 0, 
ext (<D) = 0, fr (<H) ~ IR,adh((U)- IR,ac(Q) = IR.
5. Si x G int (A A B) existe un entorno TV (x) contenido en A O B y, por tanto, TV (x) está 
contenido en A y en B, luego x es interior a A y a B, es decir, x G int (A) A int (B).
Recíprocamente, si x G int (A) A int (7?) existen entornos TVX (x) y TV2 (x) contenidos 
en A y en B respectivamente, y su intersección es un entorno de x contenido en A A B, 
luego x G int (A A B).
Sea ahora x G int (A) U int (B). Entonces x G int (A) o x G int (B) y, por tanto, un 
entorno TV(x) está contenido en A o en B, luego TV (x) C A U y x G int (A U B).
Si A = (O, 1] y B — [1, 2) entonces int (A) = (0, 1), int (B) = (1, 2) y int (A U B) — 
~ (0, 2) luego
int (A) U int (5) C int (A U B)
■y el contenido es estricto.
149
I /16 ANALISIS MATEMATICO I
6. Si x G adh (A U B) entonces todo entorno TV (x) contiene puntos de A U B, luego todo 
entorno TV (x) contiene puntos de A o de B y, por tanto, x G adh (4) o x G adh (5), es 
decir, x G adh (4) U adh (B). El razonamiento inverso también es válido.
Sea ahora x G adh (A O B). Entonces todo entorno TV (x) contiene puntos de 4 y de B, 
luego x G adh (4) A adh (B).
Para 4 — (0, 1) y B = (1, 2) se tiene adh (4) = [0, 1], adh (B) = [1,2], adh (4 A B} ~ 0 
y adh (4) A adh (B) = {1}, luego el contenido
adh (4 A5)C adh (4) Ci adh (B)
es estricto.
7. Sea x G adh (4). Para cada n G frj el intervalo (x — 1/w, x + 1/z?) contiene puntos de 4. 
Elijamos un xn G (x — 1/n, x + 1/h) A4 para cada n G N. La sucesión (xw) está conte­
nida en 4 y como para cada e > 0 existe un G N tal que l/w0 < e, para todo n > nQ 
se verifica
luego lim xn = x.
Supongamos ahora que x = lim xn siendo (xn) una sucesión de puntos de 4 y sea 
TV(x; e) un entorno de x. Para este e > 0, existe un nQ G IN tal que xn GTV(x; e) para 
todo n > n0. Por tanto, xn G TV (x; e) A 4 para todo n > nQ y todo entorno TV (x; e) 
contiene puntos de 4, luego x G adh (4).
8. Si un intervalo (x — r, x + r) contuviera sólo un número finito de puntos de 4 xlf 
x2 > • xn , entonces el intervalo (x — s, x + s) donde s = min {|x — xzj : 1 < i < n } se­
ría un entorno de x que no contendría más puntos de 4 que el propio x y x no sería 
punto de acumulación de 4.
9. El conjuntode todos los intervalos (n — 1, n + 1) con n G X es un recubrimiento 
abierto de IR del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito, pues al supri­
mir el intervalo (n0 — 1, nQ 4- 1) los restantes intervalos no cubrirían el punto n0.
10. Sea {4Z-} í e j un recubrimiento abierto de 4. Existirá un z0 G / tal que a G4¡0. Como 
lim an = a, existe un n0 G IN tal que an G 4¿0 para todo n > nQ. Cada uno de los «0 
primeros términos de la sucesión estará contenido en un abierto del recubrimiento. Si 
üi G4Ii,£z2 ^i2> ■■■> #n0 G/U¡p,el conjunto {4/0, 4^, 4¿2,4/ } es un recu­
brimiento finito de 4 extraído de {4/} z e /■
150
ANALISIS MATEMATICO I n/i
TEMA II
Límites de funciones
Esquema/ resumen
2.1. Límite de una función.
2.2. Propiedades de los límites.
2.3. Cálculo de límites.
151
ANALISIS MATEMATICO I
En este tema se estudia el concepto de límite para funciones reales de una variable 
real, es decir, para funciones definidas en un subconjunto de IR y que toman valores 
en IR.
De manera intuitiva, una función f tiene por límite / en un punto a cuando al 
aproximarse x hacia a, f(x) se aproxima a /. Pero f(x) ha de ser tan próximo a / como 
se quiera con tal de que se elija .r suficientemente próximo de a.
Esta definición se precisa utilizando la terminología de entornos. Un entorno de / 
indica la proximidad deseada entre f(x) y l. Un entorno de a fija la proximidad que ha 
de existir entre x y a para que f(x) pertenezca al entorno de / considerado (2.1.1).
En (2.1.3) se define el concepto de límite relativo o límite sobre un conjunto. Los 
límites laterales (2.1.4) son casos particulares de límites relativos. La proposición 
(2.1.5) es una caracterización por sucesiones del límite funcional.
El límite de una función, si existe, es único (2.2.1). Las proposiciones (2.2.2) 
y (2.2.3) nos dicen que si una función f definida en un conjunto A tiene límite finito en 
un punto a entonces existe un entorno N(a), tal que f está acotada en el conjunto 
(A - {a}) n N(cí). La proposición (2.2.4) se conoce como teorema del sandwich.
La proposición (2.3.1) establece que el límite de la suma, diferencia, producto, 
cociente de dos funciones es la suma, diferencia, producto, cociente de los límites 
respectivamente, salvo en los casos en que esta suma, diferencia, producto, cociente, 
no estén definidos.
Se termina el tema con un estudio de los límites de las funciones polinómicas y de 
las funciones racionales.
153
ANALISIS MATEMATICO I 11/5
2.1. LIMITE DE UNA FUNCION
2.1.1. En todo lo que sigue, f es una función definida en un_conjunto A C IR y con 
valores en IR , a e IR es un punto de acumulación de A y l e IR.
Definición: Se dice que f tiende a l o que tiene por límite l cuando x tiende hacia a, 
y se escribe
lim f(x) = l 
t a
si para cada entorno N(!) existe un entorno N(a) tai que
f(x) e N(l) para todo x e (A - {«}) Cl N(a).
Si / e IR, el entorno N(J) es un intervalo de la forma (/ - c, l + ¡í) con c > 0; si 
/ = -oo, N(l) es un intervalo de la forma [-oo, r) con r e IR; si l = +oo, N(l) es 
un intervalo de la forma (r, + oo] con r e IR. Análogamente, si a e IR el entorno 7V(u) 
es un intervalo de la forma (a - ó, a + ¿>) con ó > 0; si a = —oo, N(a) es un intervalo 
de la forma (-oo, 5) con s e IR; si a = +00, N(a) es un intervalo de la forma (5, +x] 
con 5 e IR. Teniendo en cuenta las distintas formas de los entornos (/) y N(q), la defini­
ción de límite se particulariza como sigue para cada uno de los nueve casos posibles 
(a y l designan ahora números reales):
1. lim f(x) = l si para cada e > 0 existe un ó > 0 tal que 
a —* a
|/(x) - l\ < c para todo .v g A tal que 0 < - a | <
2. lim f(x) = -00 si para cada r e IR existe un ó > 0 tal que
f(x) < r para todo x e A tal que 0 < |x - a | < <5.
155
II / 6 ANALISIS MATEMATICO I
3. lim f(x) = - / si para cada r g IR existe un d > 0 tal que 
.r -» a
f(x) > r para todo .v e A tal que 0 < |x - fl| <
4. lim f(x) = / si para cada r, > 0 existe un í e IR tal que
\f(x) - l\ < para todo a g A tal que x < s.
5. lim f(x) = -x si para cada r g IR existe un í e IR tal que
f(x) < r para todo * g A tal que a < 5.
6. lim f(x) = +x si para cada re IR existe un 5 g IR tal que
f(x) > r para todo a g A tal que a > 5.
7. lim f(x) = / si para cada e > 0 existe un 5 g IR tal que
|/'(a) — /| < e para todo a g A tal que x > 5.
8. lim J'(x) = -x si para cada r g IR existe un 5 g IR tal que
f(x) < r para todo x g A tal que x > 5.
9. lim f(x) •/ si para cada r g IR existe un 5 g IR tal que .Y 4 y.
/(x) > r para todo a g A tal que x > s.
Ejemplos:
1. Sea c un número real y sea f la función constante definida por/(a) = c para
cada a g IR. Entonces
lim /(a) = c v a
para todo a g IR pues para cada e > 0 se tiene
[f(A) — c| = |c — C | = 0 < £
para todo x g IR y la condición de la definición de límite se satisface automáticamente 
con cualquier entorno N(á) que se elija.
2. La función identidad, /(a) 221 a para cada a g IR , verifica
lim /(a) = a v “+ a 
156
ANALISIS MATEMATICO I H/7
para todo a e IR. En efecto, para cualquier entorno Nt(a) existe un entorno N,(«) tal 
que
f(x) = xe N}(a) para todo x e N2(a).
(Basta tomar N2(íz) = N^a).)
3. Sea / la función definida por
/(x) = -4 para x / 0.
Entonces lim/(x) = +x pues para cada r e IR existe un ó > 0 tal que/(x) > r 
x -* 0
para todo x tal que 0 < |x| < ó: Si r < 0, para cualquier ó > 0 se satisface esta 
condición, y si r > 0, basta tomar ó = \!<Jr.
2.1.2. La condición de que a sea punto de acumulación del dominio de definición A 
de/se exige en la definición de límite para garantizar la existencia de puntos x e A - {a} 
en todo entorno N(a). Si a es un punto aislado de A puede ocurrir que el único 
punto de A que pertenezca al entorno N(a) sea el propio u y que, por tanto, el 
conjunto (A — {«}) O N(«) sea vacío. Sin embargo, y para evitar dificultades de 
notación, se conviene en que óv a es un punto aislado de A, entonces lim/(x) — f(a).
x —> a
2.1.3. Dada una función/; A -> IR y un conjunto B C A, se llama restricción de /a 
B y se designa por f\B a la función de B en IR definida por
(f\B)(x) = f(x) para cada x e B.
Definición: Sean A C IR, f: A -> IR, B C A y a un punto de acumulación de B. Se 
dice que l es el límite de f relativo a B (o sobre B) cuando x tiende hacia a y se escribe
lim /(x) = l
x e B,x a
si la restricción de f a B tiene por límite l al tender x hacia a, es decir, si
lim (/ |B)(x) - l, 
x a
Proposición: Sean A C IR, f: A -> IR, B C A y a un punto de acumulación de 
B. Si lim f(x) -1 entonces también lim /(x) - l.
x -* a x e B, x -> a
Demostración: Si lim /(x) = /, para cada entorno N(l) existe un entorno N(a) 
x a
tal que
/(x) e N(l) para todo x e (A - {«}) A 7V(«)
y como B C A,
/(x) e N(l) para todo x e (B - {«}) Pi N(a)
157
N/8 ANALISIS MATEMATICO I
luego efectivamente
lim f(x) = l.
x e B, x -> a
El resultado anterior permite probar en algunos casos la no existencia de lim/(x).
x —*■ a
En efecto, si se pueden encontrar dos subconjuntos B y C del dominio de definición A 
de f tales que a e ac (B) C\ ac(C) y que
lim f(x) / lim f(x)
x e B, x -> a x e C, x -» a
o bien que no exista alguno de estos límites, entonces puede asegurarse que no exis­
te lim f(x).
x -> a
Ejemplo: Sea f: IR IR la función definida por
1 si -V e (D 
f(-v) = ■ 0 si v é Q
Entonces no existe lim /(x) cualquiera que sea a e IR. En efecto, si B = (Q y C = 
x -> a
= IR - 0, para todo a e IR se verifican a e ac(B) p\ ac(C)y
lim f(x) - lim 1 = 1 y lim f(x) - lim 0 =, 0.
x e B, x -* a a -» a xs C,x -> a x -> a
2.1.4. Sean A C IR y f: A -> IR. Dado un número real a, consideremos los 
conjuntos
A(- = (-cc, fl) Pi A y Ad = (a, + co) Q A.
Si a es un punto de acumulación de Ai y de Ad, los límites
lim /(x) y lim /(x) 
a: e Aj, x -> a
se llaman límites laterales por la izquierda y por la derecha respectivamente de/en a y 
suelen designarse más brevemente por
lim f(x) y lim f(x).
x a a -► ü +
Así pues, decir que lim f(x) - /(/ g IR) significaque para cada entorno A'(7) existe un 
a —► a “
entorno N(a) tal que
f(x) e N(l) para todo x e A¡ O N(a)
158
ANALISIS MATEMATICO I 11/9
y análogamente, decir que lim f(x) = / significa que para cada entorno N(l) existe un
X —* £Z +
entorno N (a) tal que
f(x) e N(l) para todo x g Ad O Ai (a).
La condición le (A - {«}) O TV (a) que figura en la definición de límite equivale a 
lasados condiciones x e A¡ C\ /V(«) y x e Ad Q TV (¿i). Esto nos dice que el límite de/ 
en a existe si y sólo si existen los límites laterales de f en a y son iguales:
Proposición: Sean A G IR, f: A -> IR y a e IR un punto de acumulación de los 
conjuntos (-00, a) O A y (a, +oc) O A. Entonces
lim /(x) = l si y sólo si lim f(x) = l = lim f(x).
x -> a x -* a- x -» a +
Llamando ó al radio del entorno N(a), las condiciones
x e A¡ G N(a) y x e Ad C\ N(a)
pueden escribirse
x e A y 0 < ¿z — x < ó, x g A y 0 < x — a < ó
y teniendo en cuenta las distintas formas del entorno N(l) según que / sea un número 
real, -oe o +x, las definiciones de los límites laterales en los diversos casos pueden 
escribirse como sigue (ahora / designa un número real):
1. lim /(x) = l si para cada e > 0 existe un > 0 tal que
\f(x) - l\ < £ para todo x e A tal que 0 < a — x < ó.
2. lim /(x) = / si para cada e > 0 existe un ó > 0 tal que
x —* a +
\f(x) - /| < e para todo x e A tal que 0 < x - a < ó,
3. lim /(x) = -00 si para cada r e IR existe un ó > 0 tal que
r -* a~
f(x) < r para todo x e A tal que 0 < a - x < ó.
4. lim/(x) = -00 si para cada r e IR existe un <) > 0 tal que
f(x) < r para todo x e A tal que 0 < x - a < ó.
5. lim /(x) = +00 si para cada r e |R existe un ó > 0 tal que
f(x) > r para todo x e A tal que 0 < a ~ x < Ó.
159
11/10 ANALISIS MATEMATICO I
6. lim/(x) = + x si para cada r e IR existe un > 0 tal que 
f(x) > r para todo x 6 A tal que 0 < x - a <
Ejemplos:
1. La función / definida por 
/(-v) =
-1 si x < 0
1 si x > 0
no tiene límite cuando x tiende a 0 pues
lim /(x) = lim (- 1) = - 1 y lim /(x) = lim 1 = 1.
v -> o~ X - o a -> o+ x -> o
2. Sea / la función definida por
1 si x < 1
/(x) -
X SI X > I
Entonces
lim/(x) - lim 1 ~ 1 y lim/(x) = lim x = 1
X -> 1“ x -> 1 X -* 1+ V - 1
y, por tanto,
lim /(x) = 1.
X -* 1
3. La función/ definida por
/(x) = — para x / 0
no tiene límite cuando x tiende a 0 pues
lim/(x) = -x y lim /(x) = + x. 
x 0" -» 0 +
4. Sea / la función definida por
/(■*) = -----—7-t- para x / 1.(x - 1)^
Entonces
lim/(x) = + x = lim/(x)
x r x - i+
y, por tanto,
lim /(x) = +x.
X -> 1
160
ANALISIS MATEMATICO I li / 11
2.1.5. Proposición: Sean A C IR , f: A -> IR y a e IR un punto de acumulación 
de A. Una condición necesaria y suficiente para que sea lim f(x) - le IR es que pa- 
x a
ra toda sucesión (xn) de puntos de A distintos de a tal que lim xn = a se verifique 
lim/(x„) - /.
Demostración: Supongamos en primer lugar que lim f(x) -- I y sea (xfi una suce- 
JC —► «
sión de puntos de A distintos de a tal que lim xn = a. Entonces a es un punto de 
acumulación del conjunto B = {%„: n e N } y el límite de la sucesión f(xn) es el límite de 
f relativo a B luego
lim/(A>?) = /
según hemos visto en 2.1.3.
Recíprocamente, supongamos que para toda sucesión (x„) de puntos de A distintos 
de a tal que limxn = a se verifica lim f(xn) = l, Si no fuese lim./(a) = /, para un cierto 
entorno N(l), en cualquier entorno N(a) habría puntos x e .1 - {«} tales que f(x) 4 
N(l). En particular, si para cada n e N ponemos
Nn (¿7) =
(a - l/n, a + \/n) 
[-x, ~n)
(n, + x]
si a g IR
si
si a = +x
para cada n g N existiría un xn e (A - {«}) O Nn(a) tal que f(xn) 4 N(/), y (x„) sería 
una sucesión de puntos de A distintos de a con límite a para la que no se cumple 
lim/(x„) = l, en contra de la hipótesis.
2.2. PROPIEDADES DE LOS LIMITES
2.2.1. Proposición: Sean A C IR, f: A 
A. El límite de f cuando x tiende hacia a,
-> IR v a g IR un punto de acumulación de
si existe, es único.
Demostración: Si fuesen
lim f(x) = l y lim f(x) ■= m 
x -* a
con l m, considerando dos entornos N(l) y N(m) disjuntos, existirían dos entornos 
Nfia) y N2(a) tales que
f(x) g N(l) para todo a g (A - {a}) O Nj(n)
y
f(x) g N(m) para todo a g (A - {«}) O N2(a)
y N(a) = /Vj(¿z) Q sería un entorno de a tal que
f(x) g N(l) Ci N(m) para todo x g (A ~ {«}) O N(a)
lo cual es absurdo pues N(l) N(m) = 0.
161
H/12 ANALISIS MATEMATICO I
2.2.2. Proposición: Sean A C IR, f: A -> IR y a e IR un punto de acumulación de 
A. Si es
lim f(x) = l < k e IR, 
.v -* a
existe un entorno N(a) tal que f(x) < k para todo a e (A — {«}) O TV(fl)«
Demostración: Si es i = -x no hay nada que demostrar. Así pues, supongamos 
que / e IR y sea e un número real tal que 0 < r < k — l. Por la definición de límite 
existe un entorno TV (a) tal que
\f(x) - l\ < t: para todo x e (A - {a}) Q N(a)
y, por tanto,
f(x) = f(x) - l + l < |/(x) - i) + / < í: + l < k
para todo v e (A - {a}) O N(a).
De manera análoga se prueba la siguiente
Proposición: Sean A C IR, f: A -> IR y a eIRzm punto de acumulación de A. Si es
lim f(x) - l > k e IR, 
A —> í7
existe un entorno N(a) tal que f(x) > k para todo x e (A - {«}) D N(a).
2.2.3. Proposición: Sean A C IR, f y g dos funciones de A en IR tales que f(x) < 
< g(x) para todo x e A y a un punto de acumulación de A. Si son
fim ,/'(x) - l y lim g(x) - m
x a x -* a
(l, m e IR), entonces es l < m.
Demostración: Si fuese m < l, tomando un k e IR tal que m < k < l, en virtud 
de las dos proposiciones anteriores existiría un entorno TV(«) tal que para todo x e 
e (A - {«}) Cl N(a) se verificarían g(x) < k y f(x) > k y, por tanto,/(x) > g(x).
2.2.4. Proposición: Sea A C IR, f, 
f(x) < g(x) < A(x) para todo x e A y a
g y h tres funciones de A en IR tales que 
e IR un punto de acumulación de A. Si son
lim /(x) = l = lim fi(x)
.x ~* a a a
(l e IR), entonces también es
lim g(x) “ L 
r a
162
ANALISIS MATEMATICO I 11/13
Demostración: Para cada entorno N (l) existe un entorno N (a) tal que 
f(x) e TV (i) y h(x) e N(i) para todo a e (A - {«}) H TV (a)
y como f(x) < g(x) < h(x) para todo a e A, también
g(x) e N(J) para todo .v g (A - {¿z}) TV (a)
luego efectivamente,
lim g(x) = L
2.3. CALCULO DE LIMITES
2.3.1. Proposición: Sean A C IR, f y g dos funciones de Aenüyae IR un punto 
de acumulación de A y supongamos que
lim f(x) = l y lim g(x) - m 
a —* a a' —* a
(l, m e IR). Entonces se verifican
a) lim (/ + g)(x) = l + m, 
r -» a
b) lim (f - g)(x) - / - m, 
x a
c) lim (fg)(x) = Im, x —► a
f ld) lim — (a) =------,
,r - a g m
siempre que estén definidos los segundos miembros (*).
Demostración: Todas estas propiedades se deducen de las propiedades análogas 
para límites de sucesiones teniendo en cuenta la proposición 2.1.5. Veamos, por 
ejemplo, la propiedad a):
Para toda sucesión (a,,) de puntos de A distintos de a tal que lim xn - a se verifican
lim/(A„) - I y lim g(x„) = m
luego, salvo en los casos i - X , m = - / y l = + x, m = -x,
lim (/ + g)(x„) - l + m
y, por tanto,
lim (/ + g) (a) = l + m 
x -> a
salvo en los casos citados.
(*) Recordemos que no están definidos v.. - x , 0 ■ x, x/z¡c y //O.
163
11/14 ANALISIS MATEMATICO I
2.3.2. Sea a e IR. Por inducción resulta que para cualquier número natural n se 
verifica
lim xn = an. 
x -* a
En efecto: Hemos visto ya que esto se cumple para n = 1. Supongámoslo cierto para 
n - 1, es decir, supongamos que
lim xn ~ 1 = an ~ '. 
x -> a
Entonces, como el límite de un producto es el producto de los límites,
lim xn = lim xn - 1 • % = an ~ 1 • a = an. 
x a r a
Sabemos también que el límite de una constante es igual a esa constante. Por tanto, 
lim cxn = can
.y -* a
cualesquiera que sean los números reales a y c y para todo número natural n.
Esto nos permite calcular el límite de una función polinómica sin más que aplicar el 
apartado a) de la proposición 2.3.1. reiteradamente:
Jim (c, + c+ ex- + ... + cnxn) - c0 + cxa + c2a2 + ... 4- cnan. 
x -+ a
El límite de una función racional se obtiene aplicando el hecho de que el límite de 
un cocientees el cociente de los límites siempre que este cociente esté definido:
¿L) + h ,x + bx2 + ... + b„xa bí} + b,a + b->a2 + ... + bnan hm —-------!------- --------------- -----= —--------■------- --------------- -----
.v - a cü + c,x + ex + ... + emxm c{) + c}a + e2cr + ... + cmam
para todo a e IR tal que c0 + + c2a2 + ... + cmam 0.
2.3.3. Ya hemos visto que
lim x = -x y lim x = + x
y por inducción resulta que para todo n e N se verifican
lim x2" = + x y lim x2" ' 1 = —x
y
lim xn — +x .
164
ANALISIS MATEMATICO I II / 15
En consecuencia,
lím —í— = 0 y lim —í— — 0 
__rn
para todo n e N.
Consideremos ahora una función polinómica
f(x) = C„.Y" +
Para r O se tiene
f(x) - x" c„
Co­
C]
Cuando x 
segundo factor tiende
-x , el primer factor tiende 
a c„, luego
es impar y a + x si n es par, y ela
lim /(x) “
Cuando x primer
n es impar
n es par
factor tiende
lim f(x) =
Cn > 0
si
si
o si n es
o si n es
par y cn < 0 
impar y c„ < 0
y el segundo a c«, luego
: si
y 0
n > 0
„ < o
2.3.4. Consideremos una función racional
f<x) =
anxn + an „ jX" _ 1 + ... + a ¡x + a 
bmxm + bm }xm [ + ... + bKx +
Para x =/= 0 se tiene
/(-V) - — ■ xm
a„ - 1a H---------
A
.. +----- L_
xn ~ 1
_ + Qq
Xn
b + b,n -! 
1 X
L+ .. +
* 3
 í
r - + ^l'
1 xm
El segundo factor tiene por límite ajbm cuando x -x y cuando x -> +x. Para ver 
cuál es el límite del primer factor y, con ello, cuál es el límite de f, distinguiremos los 
tres casos que se pueden presentar según que n sea menor, igual o mayor que m:
a) Si n < m, el primer factor es de la forma 1/x* con k e N y, por tanto, tiene por 
límite 0 cuando x -> -oo y cuando x -> + x. Por consiguiente,
lim /(x) = 0 y lim f(x) = 0.
165
11/16 ANALISIS MATEMATICO I
b) Si n = m, el primer factor es igual a 1 y, por tanto,
lim f(x) = y lim f{x) = 
-x bm x -* + x bm
c) Si n > m, el primer factor es de la forma xk con k e N y cuando .v -> -oc tiene 
por límite -x o + x según que k = n - m sea impar o par, mientras que cuando jt -> 
+ oo tiene por límite + oo. Por consiguiente,
-30 SI n — m es impar
lim f(x)
bm
0 o si n es par
bm
+ oo si n — m es par v A.y bm o sí n es impar y bm
m 0
0 m 0
y
lim f(x)
si
bm
0
• anS1
bm
0
2.3.5. Sea a e IR . Vamos a estudiar ahora el límite x -> a de una función 
racional 
en el caso de que a anule al denominador.
Si q(a) = 0, existen un entero positivo m y un polinomio q} tales que 
q(x) - (x — ajmq^x) con qx(a) =# 0
y también existen un entero positivo o nulo n y un polinomio p} tales que 
p(x) = (x - a)np}(x) con p}(a) =# 0.
Distinguiremos los tres casos que se pueden presentar según que m sea menor, igual o 
mayor que n:
a) Si m < n entonces k = n - m es un número natural y
/W = (X -
<71 (•*)
y cuando x -► a el primer factor tiende a 0 y el segundo tiende a px (a)!q t(«), luego 
lim f(x) = 0.
166
ANALISIS MATEMATICO I 11/17
b) Si m = n se tiene
y, por tanto,
/(■*) =
lim f(x) - 
x -► a
Pl(a)
c) Si m > n entonces k — m n es un número natural y
f(x) =
1
(X -
Pt (X) 
Q i (■*)'
Si k es par,
lim----------r - • x,
x -> a (x - a)k
mientras que si k es impar,
limx a
1
- (x — d)k
i- 1x y h m----------- -x - a+ (x “ a)k
Por consiguiente, si m - n es par,
lim /(x) =
y si m - n es impar, no existe lim f(x). 
x -* a
Pi(q) < 0 
<7«(¿0
Pi(«) > 0 
<7, (a)
167
ANALISIS MATEMATICO I H/19
EJERCICIOS DE AUT OCOMPROBACION
1. Estudiar si existen o no los límites en 0 y en 1 de la función f: IR IR definida por
x3 - 1 si X < 0
f(x) = X — 1 si 0 < X < 1
x3 + 1 si X > 1
3. Estudiar si existen o no los límites en 2 y en 3 de la función//IR - {2, 3} -> IR
definida por
2. Calcular los límites en -oo y en + oc de la función /.‘IR -► IR definida por
/(*) x3 — 3.r .r2+ r
/(-v) -
x2 - 3x + 2
x2 ■ 5% + 6
4. Sea f: IR -> IR la función definida por
f(x) -
x si x e Q 
~x si x 4 O
¿Existe lim f(x) para algún a e IR? x a
169
11/20 ANALISIS MATEMATICO I
5. Sea f: (0, 1) -> IR la función definida por
0 si a- 4 CD.
/’(*) =
\¡q si x = p/q (fracción irreducible)
Demostrar que para todo a e (0, 1) se verifica lim f(x) = 0. x -+ a
6. Probar que para todo a > 0 se verifica
lim x/x = x/tí. 
r ”* a
7. Calcular los siguientes límites:
. x - \/ 1 + xa) hm —------------ ~---------
x -» 0 X
b) lim Ox + 2 - x/x)- 
X + x
c) lim x(x x + 1 — x).2
x -* +x X*
8. Sean A C IR,/y g dos funciones de A en IR y a un punto de acumulación de A.
Probar que si |/(x)| < k para todo x e A y lim g(x) = 0 entonces
lim (/g)(x) = 0.
9. Sea t un número real positivo. Se dice que una función f: IR -► IR es periódica de 
período t cuando f(x + t) = /(x) para todo x e IR. Probar que si f es periódica de 
período t y
lim /(x) = l e IR 
x -► +cc
entonces f es la función constante de valor L
10. Sean / un intervalo abierto y f: I -> IR una función creciente. Probar que para todo 
a g I existen los límites laterales de f en a y se verifica
lim /(x) < lim f(x)
x -* a x -* a +
y que si a y h son dos puntos de / tales que a < b, entonces
lim /(x) < lim /(x).
x ~+ a + x -* b
170
ANALISIS MATEMATICO I 11/21
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
lim /(x) = lim (x3 + 1) — 2,
x -> J + x —* 1
1. Como
lim f(x) = lim (x3 - 1) = -1 y lim f(x) - lim (x - 1) = -1,
x - 0“ x -> 0 x ->■ 0+ x —* 0
se tiene
lim f(x) = -1.
x -> 0
Sin embargo, como
lim f(x) - lim (x - 1) = 0 y
x -> J“ X -> 1
no existe lim f(x).
x -> 1
2. Para todo x 0 es
f(x) = x •
X*
El primer factor tiene por límite -oo o +oo según que x -> — oo o que x -> +oo.
El segundo factor tiene por límite 1 en ambos casos. Por tanto,
lim /(x) - -oo y lim f(x) = +oo.
171
11/22 ANALISIS MATEMATICO I
3. Dividiendo numerador y denominador por x - 2 resulta
f(x)
x - 1
y, por tanto,
lim f(x) = -1
y -» 2
y
lim f(x) = - ^ y lim f(x) = +x 
r 3 - x - 3 +
y no existe lim f(x).
4. Si existiese lim f(x), existirían los límites de f sobre los conjuntos A = Q y B - 
x -> a
= IR - Q y ambos serían iguales al límite de f en a. Pero
lim f(x) = lim a = a y lim f(x) = lim (-x) = -a,
,r 6 A, x -f a x ¿i .y e B, x ~+ a x a
luego habría de ser a = -a, es decir, a = 0.
Veamos que, efectivamente, se verifica lim f(x) = 0:
.V -> 0
Como |/(x)| = |t| para todo a' g IR, para cada r, > 0 existe un > 0 tal que |/(a’)|
< e para todo a e IR tal que 0 < |x| < ó. (Basta tomar ¿i = e.)
5. Sea s un número positivo arbitrario. Hemos de probar que existe un ú > 0 tal que
|/(r)| < e para todo a e (0, 1) tal que 0 < - «| <
Sea n un número natural mayor que 1/c. Para cualquier número racional a = plq 
(fracción irreducible) de (0, 1) con q > n se verifica
y para cualquier número irracional x e (0, 1) es
|/(X)| = 0 < £,
luego los únicos números x e (0, 1) para los que puede no verificarse |/(x)| < £ 
son los de la forma a' - plq (fracción irreducible) con q < n, es decir, los 
números.
112131234 1 n - 1
7’ T’ T’ 7’ T’ T’ T T’ T’ 7’ ~ñ~
172
ANALISIS MATEMATICO I 11/23
Por tanto, sólo un número finito de puntos v de (0, 1) pueden dejar de cumplir la 
condición < e. Si el punto a es uno de ellos, prescindimos de él y tomamos 
ó igual a la menor de las distancias entre a y cada uno de estos puntos. Entonces 
la condición 0 < - a | < ¿) nos dice que jv no es ninguno de los puntos antes
citados y, por consiguiente, |/(x)| < e para todo jt e (0, 1) tal que 0 < |jr - a| < 
conforme queríamos demostrar.
6. Como lim x - a, existe un entorno N {(a) tal que x > n/4 para todo x g 7Vj(«). 
x -► a
Ademas, para cada e > 0 existe un entorno N2(a) tal que - n| < (3/2)x/at: 
para todo x e N2(a). Sea N(a) = Nx(a) p\ N2(a). Entonces
(3/2)
a 12) + y«
para todo a g N(a), luego efectivamente
a
7. a) lim lim r -> 0
2= lim
X -> 0
1=1.
2
2
b) lim (va- + 2 - 7^) = lim lim
c) lim x(x/x2 + 1 - x) — lim lim
1 '
= = 0.
2
8. Como lim g(x) = 0, para cada e > 0 existe un entorno N(a) tal que para todo 
x a
x e (A - {a}) Q N(a) se verifica |g(x)| < e/k y, por tanto,
= |/(*W)| = |/(x)||ít(x)| < k ~~K
luego efectivamente
lim (fg)(x) = 0.
9. Como lim f(x) = /, para cada e > 0 existeun 5 g IR tal que 
.¥ -> +*c
\f(x) - /| < e para todo x > s.
173
ANALISIS MATEMATICO I 111/3
Se dice que una función/ es continua en un punto a, cuando el límite de / en el 
punto a coincide con el valor de/en a. Cuando el límite por la izquierda de/en a es 
igual a f(a) se dice que / es continua por la izquierda en el punto a. Cuando el límite 
por la derecha de / en a es igual a/(a) se dice que / es continua por la derecha en el 
punto a. Se dice que / es continua en un conjunto A cuando / es continua en todo 
punto de A.
La suma, la diferencia y el producto de dos funciones continuas son también 
funciones continuas. El cociente de dos funciones continuas es una función continua en 
todo punto en el que no se anule el denominador. Si una función / es continua en a y 
otra función g es continua en/(a), entonces la función compuesta g /es continua en a.
La continuidad global de una función, es decir, la continuidad de una función en un 
conjunto, puede caracterizarse mediante conjuntos abiertos o mediante conjuntos ce­
rrados: Una función / es continua en un conjunto A si y sólo si para todo conjunto 
abierto (respectivamente, cerrado) U existe un conjunto abierto (respectivamente, 
cerrado) V tal que la imagen inversa de U por / coincide con A f~} V.
La compacidad se conserva por las funciones continuas. Con otras palabras, la 
imagen de un conjunto compacto por una función continua es también un conjunto 
compacto. De esta propiedad se deduce el teorema de Weierstrass que asegura que 
toda función continua en un compacto alcanza un valor mínimo y un valor máximo.
Otra propiedad importante de las funciones continuas es que conservan la conexión: 
la imagen de un intervalo por una función continua es otro intervalo. De este hecho se 
deduce que una función continua en un intervalo pasa de un valor a otro, tomando 
todos los valores intermedios (teorema de los valores intermedios) y que si una función 
continua en un intervalo cerrado toma valores de signo contrario en los extremos de 
dicho intervalo, se anula al menos en un punto interior al intervalo (teorema de 
Bolzano).
Dada una función / inyectiva en un intervalo Z, el dominio de definición de su 
función inversa/-1 es el conjunto imagen de/, es decir, el conjunto/(/). Si/ es una 
función continua y monótona (esto es, creciente o decreciente) en un intervalo Z 
177
111/4 ANALISIS MATEMATICO I
entonces el conjunto /(/), dominio de definición de su función inversa f es también 
un intervalo y dicha función inversa es también continua y monótona en /(/).
Se dice que una función f es uniformemente continua en un conjunto A cuando/fr) 
llega a estar tan próximo a /(y) como se quiera si se eligen x e y en A suficientemente 
próximos. Esta definición intuitiva se precisa con la terminología “épsilon-delta” en
3.5.1. Si una función es uniformemente continua en un conjunto entonces es continua 
en él. El recíproco, en general, no es cierto. Sin embargo, toda función continua en un 
conjunto compacto es uniformemente continua en él.
178
ANALISIS MATEMATICO I 111/5
3.1. FUNCIONES CONTINUAS
3.1.1. Dados un subconjunto A de IR, una función f: A -> IR y un número real a, 
no siempre se cumple que
lim /(x) = f(a). 
x u
Puede ocurrir que f no esté definida en el punto a, en cuyo caso, la igualdad 
anterior no tiene sentido.
También puede ocurrir que no exista lim /(x), en cuyo caso tampoco tiene x -* a
sentido la igualdad.
Finalmente, aunque existan lim /(x) y /(«), puede ocurrir que sea lim /(x) í 
x a x a
=# /(«), y tampoco se verifica la igualdad en este caso.
Definición: Sean A C IR, f: A -> IR y a 6 A. Se dice que f es continua en a cuando
lim /(x) - f(a).
x -* a
Esto significa que para cada entorno N(f(a)) existe un entorno N(a) tal que/(x) e 
N(f(a)) Para todox e A C\ N(a), o bien, con la terminología “épsilon-delta”, que para 
cada i: > 0 exista un ó > 0 tal que |/(x) - /(a)| < i; para todo x g A tal que |x - a\ < ó.
Se dice que f es continua por la izquierda en a cuando
lim /(x) = /(6í). 
x -* a
Análogamente, se dice que f es continua por ]a derecha en a cuando
lim/(x) = f(a).
x a +
179
111/ 6 ANALISIS MATEMATICO I
Está claro que / es continua en a si y sólo si f es continua por la izquierda y por la 
derecha en a.
Definición: Sean A C IR y f: A -> IR. Se dice que f es continua en A cuando f es 
continua en todo punto de A.
Ejemplos:
1. La función f: IR ~ {0} -> IR definida por f(x) - 1/x si x / 0 no es continua en 0 
porque no está definida en 0. Sin embargo, es continua en cualquier otro punto a, pues 
para todo a / 0 se verifica
lim /(x) = lim — - — = /(a).
x -> a x -» a X ü
2. La función f: IR -> IR definida por
f(x) =
— 1 si x < 0
1 si x > 0
no es continua en 0 porque no existe lim /(x). Sin embargo, es continua en cual- 
x - 0
quier otro punto a, pues para todo a < 0 se verifica
lim /(x) = - I - f(a)
y para todo a > 0,
lim f(x) = 1 = f(a).
x a
3. La función f: IR -> IR definida por
si x / 0
si x = 0
no es continua en 0 porque
lim /(x) = lim x2 - 0 ~ I - f(0).
X - 0 X • 0
Sin embargo, es continua en cualquier otro punto a, pues para todo a / 0 se 
verifica
lim f(x) = lim x2 = a1
x -> a X — a
4. Una función polinómica
/(x) - c0 + c, x + c2x2 + ... + cnxn
180
ANALISIS MATEMATICO I 111/7
es continua en todo punto a pues para todo a e IR se verifica
lim f(x) = lim (c0 + c ,x + c^2 + ... + c^x”) = 
x -+ o .r -> a
= c0 + cta + c2a2 + ... + cnan -f(a).
5. Una función racional
f(*) = P(x)
(donde p y q son dos funciones polinómicas) es continua en todo punto que no anule al 
denominador porque para todo a e IR tal que q(a) / 0 se verifica
lim /(x) - lim = 
x -> a x a q (X)
P(Q)
q(u)
3.1.2. De la proposición 2.1.5. se deduce fácilmente la siguiente:
Proposición: Sean A C IR, f: A -> IR y a g A. Una condición necesaria y suficiente 
para que f sea continua en a es que para toda sucesión (x„) de puntos de A tal que 
lim xn = a se verifique lim f(xfí) = f(a).
3.1.3. La siguiente proposición es consecuencia inmediata de la proposición 2.3.1.
Proposición: Sean A C IR, f y g dos funciones de A en IR y a e IR. Si f y g son 
continuas en a entonces las funciones f + g, f — g y fg son continuas en a. Además, 
si g(a) f 0 entonces también f/g es continua en a.
Observaciones:
1. La suma f + g de dos funciones puede ser continua en un punto sin que lo sean 
ni f ni g. Así, por ejemplo, ninguna de las funciones
/(*) =
-1 si x < 0
1 si x > 0
1 si x < 0
si x > 0
es continua en 0; sin embargo, su suma es la función nula, que es continua en todo
punto.
2. Si f es continua en a y g no lo es, tampoco / + g es continua en a, pues si lo 
fuera, también sería continua en a la diferencia (f + g) — f = g-
3. El producto fg de dos funciones puede ser una función continua en un punto sin 
que lo sean ni / ni g: Ninguna de las funciones de la observación 1 es continua en 0, 
pero su producto es la función constante de valor -1, que es continua en todo punto.
181
111/8 ANALISIS MATEMATICO I
4. A diferencia de lo que ocurría con la suma, el producto fg de dos funciones 
puede ser una función continua en un punto cuando lo sea f y no lo sea g: La función/ 
definida por f(x) - 0 para cada x e IR es continua en todo punto; la función
g(x) =
-1 si i < 0
1 si x > 0
no es continua en 0; el producto de ambas es la función nula, que es continua en todo 
punto.
3.1.4. Proposición: Sean A y B dos subconjuntos de IR. Si f: A -> B es continua en 
a e A y g: B IR es continua en b - f(a) entonces la función compuesta g o f es 
continua en a.
Demostración: Pongamos c - g(b). Tenemos que probar que para cada entorno 
7V(c) existe un entorno N(a) tal que g(f(xj) g N(c) para todo x g A A N(a).
Consideremos pues un entorno A(c). Por ser g continua en b, existe un entorno 
N(b) tal que g(y) e 7V(c) para todo y e B Pi N(b). Por otra parte, como f es continua 
en a, para el entorno N(b) anterior existe un entorno N(a) tal que/(x) e N(b) para todo 
x g A A N(a). Por consiguiente, para todo x g A A N(a) severifica/(x) g B A N(b) y, 
por tanto, g(f(xj) g 2V(c) como queríamos demostrar.
Observación: Las condiciones “/continua en y “g continua en/(«)”, suficientes 
para asegurar la continuidad de la función compuesta g o f, no son necesarias. Con 
otras palabras, g f puede ser continua en a sin que/ sea continua en a o sin que g sea 
continua en /(«). Así por ejemplo, para a = 0, la función
/(-*) =
0 si x < 0
1 si x > 0
no es continua en a y, para a 0, / es continua en a, pero la función
' x + 1 si x < 1
X si x > 1
no es continua en f(a) = 1; sin embargo, como para x < 0 es
(g c f) (*) = g(f(x)) = g(0) - 1
y para x > 0,
(g 0 f)(x) = - g(l) = 1,
g o f es la función constante igual a 1, luego g ° f es continua en todo punto.
3.1.5. La continuidad global de una función puede caracterizarse mediante conjun­
tos abiertos o mediante conjuntos cerrados.
182
ANALISIS MATEMATICO I II!/9
Proposición: Sean A C IR y f: A IR. Una condición necesaria y suficiente para 
que f sea continua en A es que para todo abierto U exista un abierto V tal que
r'(U) = A V.
Demostración: Supongamos, en primer lugar, que/es continua en A y sea U un con­
junto abierto. Si/-I(f/) - 0 el conjunto V - 0 satisface el enunciado. En otro caso, 
para cada a e f~\U) es b = f(a) e U y como U es abierto, un entorno N (b) está conte­
nido en U. Como/ es continua en a, existe un entorno N(a) tal que/(A p A'(«)) C 
C N(b) C t/. Sea V la unión de todos los entornos A'(cz) así obtenidos. Entonces V es abier­
to como unión de conjuntos abiertos y, por construcción, se verifica/(A O V) C U, 
luego A V C f~\U). Además, si a e f~\U) entonces a e A fi] N(p) C A O V, 
luego/-‘(£7) C A O V.
Recíprocamente, supongamos que se verifica la condición del enunciado y sea a e A. 
Tenemos que probar que/ es continua en a, es decir, que para cada entorno N(f(a)) 
existe un entorno N(a) tal que/(A O C N(f(a)). Por hipótesis, para el abier­
to U = N(f(aj) existe un abierto V tal que f~\U) = A /) V. Como/(a) e U, es 
a e luego a e V y como V es abierto, un entorno N(a) está contenido en V. En 
consecuencia, A O A'(¿/ C A O = f~\U) y, por tanto,/(A A'(«)) C U como
queríamos demostrar.
Proposición: Sean A C IRy f: A -> IR. Una condición necesaria y suficiente para que 
f sea continua en A es que para cada cerrado U exista un cerrado V tal que
f~\U) = A n V.
Demostración: Resulta de la proposición anterior tomando complementarios.
En el caso de que el dominio de definición A de la función / sea abierto (respecti­
vamente, cerrado), las dos proposiciones anteriores nos dicen que/ es continua en A si 
y sólo si f ]( U) es abierto (respectivamente, cerrado) para todo conjunto abierto 
(respectivamente cerrado) U de IR. Esto se cumple, en particular, cuando A = IR.
3.2. FUNCIONES CONTINUAS EN CONJUNTOS COMPACTOS
3.2.1. Proposición: Sean A un subconjunto compacto delRy f: A -» IR una función 
continua. Entonces el conjunto f(A) es compacto.
Demostración: Hay que probar que de todo recubrimiento abierto de /(A) se puede 
extraer un subrecubrimiento finito. Sea pues {£/,}, e/ un recubrimiento abierto de/(A). 
Según hemos visto en 3.1.3., para cada i e I existe un abierto Vi tal que
r\u¿) =a n k
Si x e A, f(x) ef(A) y existirá un i e I tal que f(x) e U¡. Entonces x Ef~\U¡) y, por 
tanto, * e V¡. Por consiguiente, A está contenido en la unión de los V¡, es decir {V¡ \ €} 
es un recubrimiento abierto del compacto A del que se podrá extraer un subrecubri­
miento finito V,¡, ..., V¡n.
183
111/10 ANALISIS MATEMATICO I
Cada x e A pertenece al menos a uno de estos Vij, luego cada/(x) pertenece a uno 
de los conjuntos f(Vy) y como
cada/(x) pertenece al menos a uno de los conjuntos L/,-,, U¡„ y, por tanto, {t¿7, ...,
Um} es un recubrimiento abierto finito de f(A) extraído del {U(}(6/
3.2.2. Proposición. (Teroma de Weierstrass): Sean A un subconjunto compacto de IR 
y f: A -► IR una función continua. Entonces f tiene un mínimo y un máximo en A, es 
decir, existen x{}, x, e A tales que /(x0) < f(x) < f(x{) para todo x e A.
Demostración: Por la proposición anterior,,/'(A) es compacto y, por tanto, cerrado y 
acotado.
Por ser f(A) acotado existen m = inf/(A) y M = sup./(A) y se verifica m < f(x) < M 
para todo x e A. Además, m y M pertenecen a la adherencia de /(A), pues, por 
definición de ínfimo, cualquier entorno de m contiene puntos de/(A) y también, por 
definición de supremo, cualquier entorno de M contiene puntos de/(A). Pero por ser 
/(A) cerrado es adh /(A) = /(A), luego m y M pertenecen a/(A), es decir, existen x(), 
x, 6 A tales que/(x0) = m y/(A*i) = M.
3.3. FUNCIONES CONTINUAS EN INTERVALOS
3.3.1. Proposición: Sean I un intervalo y f: l IR una función continua. Entonces 
el conjunto f(l) es también un intervalo.
Demostración: Según vimos en 1.1.2., bastará probar que cualesquiera que sean los 
puntos y] e y2 de /(/) tales que y! < y, se verifica [y t, y2] C /(/).
Sea y(l e (y,, y A- Hemos de probar que y0 e/(/), es decir, que y0 = /(x) para algún 
x e /.
Como yj e y, pertenecen a/(/), existen x„ x, g I tales que y( - f(xj) e y2 = /(x2). 
Además, por ser y( < y2 será x] f x2. Para fijar ideas supondremos que x, < x2. (Si 
fuese Xj > x2, se procedería de manera análoga). El conjunto
A = {x e IR ; X[ < x < x2, /(x) < y(J
es no vacío pues x, g A y está acotado superiormente porx2, luego existe x0 = sup A y 
se verifica Xj < x(t < x2.
No puede ser X; = x0, pues si así fuera, como /(xj < y0 y f es continua en x,, 
existiría un entorno 7V(xt) tal que /(x) < y() para todo x e / O N(xt) (véase 2.2.2.) y, 
por tanto, habría puntos x del intervalo [x,, x2] mayores que x() para los que/(x) < y0, 
luego x0 no sería el supremo de A. Por consiguiente, esx, < x().
Tampoco puede ser x0 = x2, pues si así fuera, como /(x2) > y0 y f es continua en 
x2, existiría un entorno 7V(x2) tal que/(x) > y0 para todo x g / C\ N(x2) y, por tanto, 
habría puntos x del intervalo [xp x2] menores que x() para los que/(x) > y{), luego x() no 
sería el supremo de A. Por consiguiente, es x0 < x2.
Concluiremos la demostración probando que/(xtí) = y0 y, para ello, probaremos que 
no puede verificarse ninguna de las otras dos posibilidades/(x0) < y0 y/(x0) > y0. La 
184
ANALISIS MATEMATICO I ¡11/11
manera de proceder es análoga en ambos casos y, por tanto, nos limitaremos a 
demostrar que no puede ser/(x0) < y0.
Si fuese/(x0) < y0, como/es continua en x(>, existiría un entorno 7V(x0) tal que/(x) 
< y0 para todo x e I O N(x0) y como x0 < x2, habría puntos x del intervalo |xp x2J 
mayores que x0 para los que f(x) < y0, luego x0 no sería el supremo de A.
3.3.2. Una función continua en un intervalo pasa de un valor a otro tomando todos 
los valores intermedios. Esta propiedad de las funciones continuas se deduce fácilmente 
de la proposición anterior.
Proposición. (Teorema de los valores intermedios): Sea f: 1 -> IR una función conti­
nua en el intervalo I y sean a, bel. Si c es un número real comprendido entre f (a) y 
f(b}, existe un punto x comprendido entre a y b tal que f(x) = c.
Demostración: Sea J el intervalo cerrado de extremos a y b. (Si es a < b será J = 
[a, b] mientras que si es a > b será J = [b, «1). Por la proposición anterior,/(J) es un 
intervalo que contiene a/(«) y a/(¿>), luego contiene también a c, es decir, existe un 
x e J tal que f(x) = c.
3.3.3. Proposición. (Teorema de Bolzano): Si f es una función continua en un 
intervalo [¿z, b] que toma valores de^ signo contrario en los extremos de dicho intervalo, 
existe al menos un x e (a, b) tal que f(x) — 0.
Demostración: Como 0 es un número real comprendido entre/(a) y f(b), por el 
teorema de los valores intermedios, existe un x e [a, b] tal que/(x) = 0, y como f(a) y 
f(b) son distintos de 0, x e (a, b).
Ejemplo: Como aplicación del teorema de Bolzano vamos a probar que el polinomio 
x3 + x2 — 3x - 3 tiene una raíz comprendida entre 1 y 2.
La función polinómica f(x) ~ x3 +x2 - 3x — 3 es continua en el intervalo [ 1, 2] y 
como/(l) - 4 < 0 y f(2) _ 3 > 0, por el teorema de Bolzano, existeal menos un 
x e (1, 2) tal que /(x) = 0, que es lo que queríamos probar.
3.4. CONTINUIDAD DE LA FUNCION INVERSA
3.4.1. Si f: Z —> IR es una función inyectiva en el intervalo Z, para cada y e /(Z) 
existe un único x e I tal que/(x) = y. Poniendo entonces/~¡(y) = x, queda definida una 
función/-1: /(Z) -> Z que se llama función inversa de la función/ Así pues,
/“‘(y) = x si y sólo si y = /(x).
Sea x e Z y pongamos y = /(x). Entonces
(F} f)(*) - 7’W)) = = *
luego/'1 / es la función identidad sobre Z. Análogamente, si y e /(Z) existe x e Z tal 
que y “ /(x) y
(f f~')(y) = /(/“‘(y)) = f(x) = y
luego / > f~l es la función identidad sobre/(Z).
185
111/12 ANALISIS MATEMATICO I
3.4.2. Se dice que una función/definida en un intervalo I es creciente (respecti­
vamente, decreciente) en I cuando para cada par de puntos xp x2 de I tales que x, < x2 
es/(Xi) < f(x2) (respectivamente f(xx) > f(x2)).
Una función monótona en un intervalo / es una función creciente o decreciente en /.
Es evidente que una función monótona en un intervalo / es inyectiva en I y existe, 
por tanto, su función inversa/’. Si además/ es continua en 1, entonces /(/) es un 
intervalo (proposición 3.3.1.). Por consiguiente, si / es monótona y continua en I, 
entonces el dominio de definición de su función inversa es también un intervalo.
3.4.3. Proposición: Sea f una función continua y creciente (respectivamente, decre­
ciente) en un intervalo /. Entonces su función inversa /'* es también continua y 
creciente (respectivamente, decreciente) en f(I).
Demostración: Supongamos que / es continua y creciente en I. Sean yp y2 dos 
puntos arbitrarios de/(/) tales que yj < y2 y pongamos Xj = / ’O'i) y = /“’Oz)- 
Entonces^! =f(xx) cy2 = f(x2) y como/ es creciente yf(x¡) < f(x2f se verifica Xj < 
x2, es decir,/“'Oj) < f~'(y2). Por tanto./’1 es creciente en/(/).
Sean c y d los extremos del intervalo/(/). Para probar que/-’ es continua en/(/) 
tendremos que ver que /-1 es continua por la derecha en todo punto b < d de/(/) y 
continua por la izquierda en todo punto b > c de /(7). Estas dos cuestiones se 
demuestran de manera análoga y sólo probaremos que/-1 es continua por la derecha en 
todo punto b < d def(I).
Tendremos que ver que para cada c > 0 existe un ó > 0 tal que
\f~ ’(y) - /~’(Z>)| < r siempre que 0 < y - b < ó,
es decir, que
f~x(b) - c < /-’(y) < f~l(b) + t: siempre que b < y < b + ó.
Pongamos a = f~'(b). Entonces b = f(a) y tomando ó = f(a + e) - f(a) = f(a + c) - 
b (que es positivo porque / es creciente), para todo y tal que
b < y < b + ó
se tiene
b < y < f(a + e)
y como/-1 es creciente,
/ ■(/?) < f~'(y) < a + e.
Ahora bien, f~l(b) - e < /'(/?) y a =f~l(b), luego
f-fb) - £ < f~'(y) < f-'(b) + e
como queríamos demostrar.
186
ANALISIS MATEMATICO I 111/13
Análogamente se prueba que si f es continua y decreciente en I entonces f 1 es 
continua y decreciente en f(I).
Ejemplos:
1. Sea n un número natural impar. La función/.' IR -> IR definida por/(x) = xn para 
cada x e IR es creciente y continua en IR. Además, como
lim f(x) - -oo y lim f(x) = + oo,
X —► — 00 X -» +co
para todo k e IR existen xp x2 g IR tales que/(X]) < k < f(x2) y, por el teorema de los 
valores intermedios, existe x g IR tal que f(x) = k. Por consiguiente, el dominio de 
definición de la función inversa f~l es/(IR) - IR y dicha función inversa será también 
creciente y continua en IR. Vamos a determinar esta función inversa.
Poniendo y = f(x) = xn se tiene/-I(y) = x - ¿ZyZ luego/-1: IR -> IR es la función 
definida por
/-1(x) = ¿/x~para cada x e IR.
2. Sean un número natural par. La función/.' [O, +oo) IR definida por/(x) = x" 
para cada x > O es creciente y continua en [O, +oo). Además, como /(O) = O y
lim /(x) = +oo
para todo número real k > O existe un número real Xj > O tal que/(O) < k < /(x,) y, 
por el teorema de los valores intermedios, existe x > O tal que /(x) = k. Por 
consiguiente, el dominio de definición de la función inversa /'’ es /([O, +oo)) = 
= [O, + oo) y dicha función inversa es también creciente y continua en [O, +oo). Para de­
terminar esta función inversa pondremos y = /(x) = xn, con lo que/-1(y) = x = (/y 
y, por tanto, /-I: [O, +oo) -► IR es la función definida por
/-í(x) = f~x para cada x > 0.
3.5. CONTINUIDAD UNIFORME
3.5.1. Definición: Sean A C IR y f: A -> IR. Se dice que f es uniformemente 
continua en A cuando para cada > O existe un ó > O tal que |/(x) — /(y)| < e para 
cualquier par de puntos x, y g A tales que |x — y| <
Es evidente que si una función/.' A -> IR es uniformemente continua en A, entonces 
/ es continua en A. El recíproco, en general, no es cierto.
Ejemplos:
1. La función f: (O, 1] IR definida por /(x) = 1/x es continua en (O, 1], pues es 
una función racional con el denominador distinto de O en todo punto de dicho intervalo. 
Sin embargo, / no es uniformemente continua en (O, 1], pues para í - 1 y cualquiera 
187
111/14 ANALISIS MATEMATICO I
que sea <) > 0, eligiendo un número natural n tal que n > l/ó, los puntos a - \¡n e 
y = l/(w + 1) pertenecen a (0, 1| y se verifica
1< — < <) 
n
pero
|/V) -/Cv)| = |« - (W + 1)I = 1
2. La función/(a) = 1/a es uniformemente continua en cualquier intervalo (a, Ij 
con a > 0 puesto que para cualquier par de puntos x, y de (a, 1] se tiene 
|a - y | < |a ~ y |
|*y | a2
1 _ 1
a y
y, por tanto, dado un c > 0, basta tomar ó = af para asegurar que |/’(x) -/(y)| < r 
para cualquier par de puntos a, y de (a, 1) tales que |a -y| < <L
3. La función/(a) - a2 es uniformemente continua en JO, 1] puesto que cuales­
quiera que sean los puntos a, y de (0, 1] se verifica
|/(a) - /(y)| = |a2 - y2| - |a + y| |a - y| < 2 |a - y|
y, por tanto, dado un r > 0 basta tomar < ¡:/2 para asegurar que [/(a) — /(y)| < r 
para cualquier par de puntos a, y de (0, 1] tales que |a — y| < n.
Sin embargo, /(a) =a2 no es uniformemente continua en IR pues para ¿ - 1 y cual­
quiera que sea ó > 0, tomando a = n + ¿>/2 e y = n se verifica |a -y| < ó, pero
\f(x) -/(y)| = k2 -y2l
ó 2= nd + — 
A
que es mayor que 1 para n > l/¿>.
3.5.2. La siguiente proposición da condiciones suficientes para la continuidad uni­
forme.
Proposición: Sean A un subconjunto compacto de IR y f: A IR una función conti­
nua. Entonces f es uniformemente continua en A.
Demostración: Hemos de probar que para cada r > 0 existe un Ó > 0 tal que 
\f(x) ~ f(y)\< í; para cualquier par de puntos x, y e A tales que |x - y| < ó.
Como / es continua en A, para cada a e A existe un > 0 tal que \f(y) - /(x)| < 
r/2 para todo y e A tal que |a - y | < La colección de entornos {TV (a, : a e A}
es un recubrimiento abierto del compacto A del que se podrá extraer un subrecubri­
miento finito N(ah b/(xn, Sea
= min. {í\;,
188
ANALISIS MATEMATICO I 111/15
I I * ;
y seanx, y £ A tales que |x - y| < 
luego
í (5. Entonces x e N(x¡, para algún i = 1, n,
y
|y - x/| |y - *| + |x - x(| < ó + -^-í\ < 
Zr
y, por tanto,
/(*) -/(xz)| < y y \f&) -/(*<)l < y,
luego
Ift*) -/(y)| l/X*) ~f(x¡)\ +\f(y) -/(•*<)! < £
conforme queríamos demostrar.
189
ANALISIS MATEMATICO I 111/17
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Estudiar la continuidad de la función f: IR -> IR definida por
x2 + 2x si x < 0
r ~ si 0 < x < 2
/(*) = 2
—----- si x > 2
x - 1
2. Sea f: IR -> IR una función tal que
f(x + y) =f(x) +f(y)
cualesquiera que sean los números reales x e y. Se pide:
a) Calcular /(O).
b) Probar que existe un a e IR tal que f(x) = ax para todo x e Q .
c) Probar que si f es continua en 0 entonces es continua en todo punto.
d) Probar que si f es continua en 0 entonces /(x) - ax para todo x g IR.
3. Sean/, g: IR IR dos funciones continuas. Demostrar que el conjunto
A = {x g IR: /(x) < #(x)}
es abierto y que los conjuntos
B = {x g IR :/(x) < g(x)} y C - {xg |R :/(x) = £(x)} 
son cerrados.
191
111/18 ANALISIS MATEMATICO I
4. Sea/una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y seax0 e IR. Probar que 
existe un y0 e [a, b] tal que
(*o -?o)2 +/(y0)2 (*o - y)2 +f(y)2
para todo y e [a, b] (es decir, (yo,/(yo))es el punto de la gráfica de/ más próximo 
al (x0, 0)).
5. Probar que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.
6. Sea/una función continua en el intervalo cerrado [0, 1] tal que 0 < f(x) < 1 para 
todo x e [0, 1]. Probar que existe al menos un c e [0, 1] tal que f(c) = c.
7. Sea/* IR -> IR una función continua que sólo toma valores racionales. Probar que/ 
es una función constante.
8. Sea/una función monótona en un intervalo abierto 7. Probar que el conjunto de 
las discontinuidades de / en / es finito o numerable.
9. Probar que la función /.* (-1, 1) -> IR definida por
tiene inversa creciente y continua y determinar dicha función inversa.
10. Demostrar que para todo número real a tal que 0 < a < 1 la función
es uniformemente continua en el intervalo [a, 1). ¿Es uniformemente continua/en 
el intervalo (0, 1)?
192
ANALISIS MATEMATICO I 111/19
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Las funciones polinómicas son continuas en todo punto. En cada uno de los 
intervalos (-00, 0) y (0, 2) f coincide con una función polinómica, luego / es 
continua en (—00, 0) y en (0, 2).
Las funciones racionales son continuas en todo punto que no anule al denomina­
dor. En el intervalo (2, +00)/ coincide con una función racional cuyo denomina­
dor es distinto de cero en todo punto de dicho intervalo, luego/ es continua en 
(2, +00).
Además, como
lim/fr) = lim (.v2 - 2v) - 0 y
x -> 0- x -> 0
lim/(x) - lim — = 0,
X - 0+ x -» 0 2
resulta
lim f(x) = 0
x —*■ 0
y como /(0) = 0, / es continua en 0.
Por otra parte, como
X Y
lim f(x) - lim — = 1 y lim /(a) = lim-------- = 2,
X -> 2- x 2 2 x -> 2+ a . 2 A' “ 1
no existe lim /(%) y, por tanto, / no es continua en 2. 
A - 2
En resumen,/es continua en todo punto x / 2.
193
II!/20 ANALISIS MATEMATICO I
2. a) Haciendo x - y = 0 resulta/(O) = /(0) + /(0), luego/(0) = 0.
b) Por inducción resulta
f(Xt + x2 + ... + Xn) = /<X,) +f(x2) + ... + f(Xn)
cualesquiera que sean los números reales xt, x2, xn. Haciendo ahora 
x, = x2 - ... = xn ~ x se obtiene
f(nx) = nf(x) para todo n e N y todo x e IR.
Por otra parte, como para todo x e IR es
0 =/(0) = /(x + (-x)) =/(x) + /(-x),
se deduce que/(-x) - f(x) para todo x e IR. Por consiguiente,
f(nx) = nf(x) para todo n e Zy todo x e IR.
Pongamos/(1) - a. Como para todo n e Z -{0} es
a =/(l) = fin • — ) nf(^~,
\ n J \n /
resulta f(l/n) = a(l/n) para todo n e Z -{0}.
Sea x e 0 . Entonces x = m/n con meZyrceINy, por tanto,
/ 1 \ 7 1 \ mf(x) = f[m- — - mf\ — = a — = ax.
\ n J \n J n
c) Si/es continua en 0, entonces
lim f(h) -/(()) = 0
y, por consiguiente,
lim /(x) ~lim/(<7 + h) = lim (f(a) +f(h)) =f(a) 
x a ft-+0 h -* 0
luego/es continua en todo punto a.
d) Si/es continua en 0 entonces, para todo x e IR,/es continua en x y si (x„) es 
una sucesión de números racionales con límite x, en virtud de la proposición 
3.1.2.,
/(x) = lim f(xn) = lim axn = ax
3. Como
A = {x e IR: (/ - g) (x) < 0} = {x e IR: (/ - g) (x) g (-oo, 0)}, 
194
ANALISIS MATEMATICO I 111/21
el conjunto A es imagen inversa por/ - g de (-00,0). Como f- g es continua en IR 
y (-00, 0) es abierto, A es abierto (véase 3.1.5.).
Análogamente, como
B = (/-g)1 ((/-ro, 0]) y C = (/ - g)’1 ({0})
y los conjuntos (-00, 0] y {0} son cerrados, B y C son cerrados.
4. La función F: [a, -> IR definida por
F(y) = (*0 .v)2 +/(y)2 para cada y g [a, b]
es continua por ser suma de funciones continuas y, por el teorema de Weierstrass, 
F tiene un mínimo en el compacto [a, b}, es decir, existe un y0 g [a, b] tal que 
F(y0) < F(y) para todo y e [a, h], o sea,
(■*0 - y»)2 +/(y0)2 (*o -y)2 +f(y)2
para todo y e [a, b],
5. Consideremos una función polinómica
f(x) = CnXn + C’rt-!*'1-1 + ... + CjX + c0
con n g N impar. Entonces
lim f(x) = -00 y lim f(x) = +00
x —» —00 x -* +oc
y, por tanto, cualesquiera que sean los números reales < 0 y r2 > 0 existen 
números reales x¡ < 0 y x2 > 0 tales que /(x,) < < 0 y /(x2) > r2 > 0. La
función continua/ toma, pues, valores de signo contrario en los extremos del in­
tervalo [xp x2] y, por el teorema de Bolzano, existe al menos un x e (x¡, x2) tal 
que/(x) = 0.
6. La función g(x) = f(x) - x es continua en [0, 1] por ser diferencia de funciones 
continuas. Además, g(0) -/(0) > 0 y g(l) =/(l) - 1 < 0. Si g(0) = 0 entonces 
/(0) = 0 y basta tomar c = 0. Si g (1) = 0 entonces/(l) = 1 y basta tomar c = 1. En 
otro caso, g(0) > 0 y g(l) < 0 y, por el teorema de Bolzano, existe un c e (0, 1) 
tal que g(c) = 0, es decir, tal que /(c) - c.
7. Si en dos puntos a y b, a < b, f tomara dos valores distintos c y d, por el teo­
rema de los valores intermedios, / tomaría en el intervalo [a, todos los valores 
comprendidos entre c y d, y como entre dos números reales hay números raciona­
les e irracionales, / tomaría en [¿z, ¿>] valores racionales e irracionales.
195
111/22 ANALISIS MATEMATICO I
8. Supongamos en primer lugar que/' I IR es una función creciente. Según vimos 
en el ejercicio 10 del tema 2, para todo a & I existen los límites laterales de/en a 
y se verifica
lim f(x) < lim f(x)
x -*■ a x -» a +
SeaD el conjunto de los puntos de/ en los que/es discontinua. Para cada# eZ> será
lim/(x) < lim/Qc)
x -> a x -»■ a+
y podemos hacer corresponder a cada a e D un número racional r(a) tal que
lim/(x) < r(a) < lim/(a ).
x a x — a +
La aplicación de D en <D así definida es inyectiva pues, según vimos también en el 
ejercicio 10 del tema 2, si a y b son puntos de D tales que a < b, entonces
lim/(x) < lim f(x) 
x -* a + X -> b
lo que implica que r(a) < r(b).
Hemos definido así una aplicación biyectiva de D en un subconjunto de (Dy como 
este último es finito o numerable, D es también finito o numerable.
Supongamos ahora que / I -> IR es decreciente. Entonces -/ es creciente y, se­
gún acabamos de ver, el conjunto D de las discontinuidades de -/ en I es finito o 
numerable. Pero el conjunto de las discontinuidades de/ en I es también D.
9. Según la proposición 3.4.3., para demostrar que/-1 es continua y creciente bas­
tará probar que/es continua y creciente.
Está claro que/ es continua en (-1, 1) pues es una función racional cuyo denomi­
nador es distinto de cero. Probaremos que/es creciente en (—1, 1):
Sean a, b e (-1, 1) tales que a < b. Si a, b e (-1, 0) entonces a1 2 > b2 y, por
1 - b2 1 - a2
b b a
1 - b2 1 - a2 1 - a2
Si a, b e (0, 1) entonces a2 < b2 y, por tanto, 1 — a2 > 1 — b2, luego
1 - a2 1 - b2
a a b
1 - a2 < 1 - b2 < 1 - b2
tanto, 1 - a2 < 1 - b\ luego
196
ANALISIS MATEMATICO I 111/23
Si a c (-1, 0) y b e (0, 1) entonces
a
1 - a2
b
V^b10
Si a = 0 entonces b > 0 y
a
1 -P
b= 0
Finalmente, si b — 0 entonces a Oy
a
1 - a2
b
T^b1o -
Por consiguiente, cualesquiera que sean a, b e ( — 1, 1) se verifica
/(¿O = i ü 2 < i b = 
1 - a 1 - b
y fes, pues, una función creciente.
Determinemos ahora f~l: como
lim J(x) - x y lim f(x) = + oo,
X - ™1 X i
por el teorema de los valores intermedios resulta que el dominio de definición de 
f-' es /'((-1, 1)) - (-x, + x).
Poniendo y = f(x) = x/(l - x2) se tiene (1 - x2) y = x, es decir, yx2 + x — y - 0.
Para y = 0 resulta .v = 0. Para y f 0,
-1 ± 7 1 - 4y2
Ahora bien, como y = x/(l -x2) y 1 -x2 > 0 para todo x e (-1, 1), para y > 0 
será x > 0 y para y < 0 será x < 0 y, por tanto, debemos descartar el signo me­
nos en el doble signo del radical pues la fracción
-1 ~ x/F- 4y2
2y
es negativa para y > 0 y positiva para y < 0.
En resumen, comox =/”](y), resulta
— 1 + — 4v2
A1 (y) = 0 si y “ 0 y /"‘(y) - ---------- ------------- si y f 0,
197
111/24 ANALISIS MATEMATICO I
luego/”1: ( -oo, oo) -> (-1, 1) es la función definida por
Z'O) -
-1 + vz 1 - 4a-2
2r
O
si A / O
si A = O
10. Para cada a g IR tal que O < a < 1, f es uniformemente continua en [a, 1) pues 
para todo par de puntos x, y e [a, 1) se verifica
-/(y)l - ^y|l:y+j+y| < 
a y a4
y, por tanto, para cada e > O existe un ó > O tal que |/(x) - /(y)| < e para todo 
par de puntos x, y e [a, 1) tales que |x - y| < 4. (Basta tomar ó - a4d3).
Sin embargo,/noes uniformemente continua en (O, 1) porque para e=1 y cual­
quiera que sea Ó > O, eligiendo un número natural n tal que n > l/ó y tomando 
x = \!n, y = \¡(n + 1), se verifica
1 <_L<¿, 
n(n + 1) n
pero
|/(*) - /(y)| = 2/7 + 2 > 1.
198
ANALISIS MATEMATICO I IV / 1
TEMA IV
Funciones derivadles
Esquema/resumen
4.1. Funciones derivabies.
4.2. Cálculo de derivadas.
199
ANALISIS MATEMATICO I IV/3
En este tema se estudia el concepto de derivada y se establecen las primeras reglas 
de derivación.
El concepto de derivada de una función aparece en el siglo xvn en conexión con el 
problema de determinación de tangentes y con el cálculo de velocidades.
Se dice que una función f definida en un abierto A C IR es derivable en un punto 
a e A cuando existe y es finito el límite
lim--------------
x a X Ü
o cuando este límite es infinito y /es continua en a. En ambos casos, dicho límite se 
designa por/'(a) y se llama derivada de f en a. Se dice que/es derivable en el abierto 
A cuando es derivable en todo punto de A.
Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo, el 
recíproco no es cierto en general. Hay funciones continuas que no son derivables. Un 
ejemplo sencillo nos lo proporciona la función f(x) = |x| que es continua pero no 
derivable en 0. Incluso existen funciones continuas en todo punto y no derivables en 
ninguno.
La suma, la diferencia y el producto de funciones derivables son también deriva- 
bles. El cociente de dos funciones derivables es derivable en todo punto que no anule 
al denominador. De estas propiedades se deduce la derivabilidad de las funciones 
polinómicas y la de las funciones racionales.
Otros resultados potentes sobre derivación son la regla de derivación de funciones 
compuetas (regla de la cadena) y la de funciones inversas.
201
ANALISIS MATEMATICO I IV/5
4.1. FUNCIONES DERIVABLES
4.1.1. Definición: Sea A un subconjunto abierto de IR. Una función f: A -> IR se 
dice derivable en un punto a e A cuando existe y es finito el límite
lim---------------
-f a X a
o cuando este límite es infinito y f es continua en a. En ambos casos, dicho límite se 
designa por f'(a) y se llama derivada de f en a.
Así pues, la derivada de f en a es:
f(a) = lim***.
x < ti X - a
A veces se escribe
f(a) = lim/(« + ^)-/w 
h -> o h
lo cual no supone más que el cambio de variable x = a + h. (Obsérvese que cuando x 
tiende hacia a, h tiende a 0 y recíprocamente.)
Una función f: A -> IR tiene derivada finita en un punto a e A si y sólo si los límites
y limf(X)
x -> a~ X — a X a+ x — a
son iguales y finitos, y f tiene derivada infinita en a si y sólo si estos límites son 
infinitos e iguales yf es continua en a. Dichos límites se llaman derivadas laterales (por 
la izquierda y por la derecha, respectivamente) de f en a.
203
IV/6 ANALISIS MATEMATICO I
Definición: Sea A un subconjunto abierto de IR. Una función f: A -> IR se dice 
derivable en el abierto A cuando es derivable en todo punto a e A.
Ejemplos:
1. La función f: IR -> IR definida por f(x) = c para cada x e IR, donde c es un 
número real dado, es derivable en todo punto y f(a) = 0 para todo a e IR puesto que 
para x a es
/(-*') ~/(¿z) = c - c = 0
x ~ a x — a
y, por tanto,
Iim/W f<a) = 0. 
a -» a X - a
2. La función f: IR-> IR definida por/(x) = x para cada x e IR es derivable en todo 
punto y/'(o) = 1 para todo a g IR puesto que para x a es
/(x) -f(a) _ x - a _ j
x - a x - a
y, por tanto,
lim /W ~ f(a} = 1.
X- a X - a
3. La función/: IR-> IR definida por/(x) = |x| para cadax g IR no es derivable en 0
puesto que
f<*) ' /(O) _ -i si X < 0
x - 0 JC i si X > 0
y, por tanto,
X - 0 X — 0 -i y
limX 0
/w
f X
~/(0) _ j
- 0
y no existe
/(x) - /(O) lim--------------
c - o x - 0
4. La función/: IR-> IR definida por/(x) = \fx para cada x g IRes derivable en todo
punto a puesto que para x a es
/(x) - f(a) 
x — a x — a
204
ANALISIS MATEMATICO i IV/7
y, por tanto,
f'(a) = lim/W =
x > a X - a
si a * 0
si a = 0
5. La función/: IR-> IR definida por/(x) = ^/x* para cada .v o IR no es derivable en
0 puesto que para i ? 0 es
/w - /(O) = yp = i 
x — 0 x
y, por tanto,
limÍW-AQ) = _00 y iim/W-/(0) =
x - 0“ X - 0 Í - II* A' - 0
y no existe
,. /« - /(O) lim--------- -—r . 0 X - 0
4.1.2. Sean A un subconjunto abierto de IR y f: A -> IR una función derivable en un 
punto a g A y consideremos la gráfica de f, es decir, el conjunto de los puntos de IR2 de 
la forma (x, /(x)) donde x e A.
La pendiente de la recta secante a la gráfica que pasa por el punto (a,f(a)) y por 
otro punto arbitrario (a + h, f (a + h)), h t 0 de dicha gráfica es
f{a + /z) ~f(a)
La tangente a la gráfica de / en el punto (a, f (a)) es la «recta límite» de las secantes 
que pasan por (a, f(a)) y por otro punto arbitrario (a + h, f(a + /z)), h 0 de la 
gráfica cuando este último «tiende a confundirse» con el punto («,/(«)), es decir, 
cuando h tiende a 0. Pero cuando h tiende a 0 el cociente
/(« + h) - fia)
h
205
IV/8 ANALISIS MATEMATICO I
tiende a f'(a). Así pues, por definición, la tangente a la gráfica de f en el punto 
(a,f(a)) es la recta que pasa por dicho punto y tiene por pendiente f'(a).
Cuando /' (a) es finita la ecuación de esta tangente es
y -f<a) = f'(á)(x - a).
Cuando f (a) es infinita la ecuación de la tangente es
x = a.
4.1.3. Supongamos que una partícula se mueve en línea recta y que el espacio 
recorrido por ella al cabo de un tiempo t es s - f(t) donde f es una cierta función. La 
velocidad media de dicha partícula en un intervalo de tiempo es, por definición, el 
espacio recorrido en ese intervalo de tiempo partido por el tiempo invertido. Así, la 
velocidad media entre dos instantes a y a + h viene dada por el cociente
f(a + h) - f(a) 
h
La velocidad instantánea de la partícula en el instante a es, por definición, el límite
,;„/(« + h~) -fW lim---------------------
h -> o h
es decir, f'(a) (derivada del espacio respecto al tiempo en el punto a).
4.1.4. Proposición: Sean A un subconjunto abierto de IR y f: A IR. Si f es
derivable en un punto a e A entonces f es continua en a.
Demostración: Si f (a) es infinita entonces, por definición, f es continua en a. 
Supondremos pues que/'(¿z) es finita.
Como para x a es
f(x) ~f(a) =---------------- (x ~ a),
x — a
se tiene
lim (/’(x) - f(a) =f(a)‘O = 0
x —* a
luego
lim f(x) = f(a)
x -** a
es decir, f es continua en a.
La proposición recíproca de ésta no es cierta en general. Hay funciones continuas 
que no son derivables. Un ejemplo nos lo proporciona la función f(x) = |x| que es 
continua en 0 pero no es derivable en 0. Más adelante veremos que existen funciones 
continuas en todo punto y no derivables en ninguno.
206
ANALISIS MATEMATICO I IV/9
La proposición 3.1.4 nos da un criterio de no derivabilidad. Si una función no es 
continua en un punto a entonces tampoco es derivable en a pues, si lo fuese, en virtud 
de dicha proposición, sería continua en a.
4.2. CALCULO DE DERIVADAS
4.2.1. Proposición: Sea A un subconjunto abierto de IR y sean f y g dos funciones 
de A en IR derivables en un punto a e A. Entonces las funciones f + g, f — g y fg son 
también derivables en a y se verifican
(f + g)'(a) = /'(«) + g'(a), 
(f~ g)'(a) = f(a) - g'(a), 
(fg)'(a) =f(a)g(a) +f(a)g'(a)
siempre que estén definidos los segundos miembros.
Además, si g(a) f 0 entonces la función flges también derivable en a y
~ («) = 
g J
f(a)g(a) ~f(q)g'(q)
U(«))2
siempre que esté definido el numerador del segundo miembro.
Demostración: Para % f a se tiene
(/ +£)(■*)-(/+ #)(«) _ + g(x) " (/(«) + #(«))
x — a x — a
f(x)~f(a) g(x)-g(a)
=---------------------+■------------------------
.¥ - a x - a
y como f y g son derivables en a,
.. f{x)-f(a) g(x)-g(a)lim--------------= f (a) y hm------------------= g' (a)
c a X - a x a X - a
luego
limV + g)M-Cf+g)W = + g.(a)
x -> a x — a
es decir, f + g es derivable en a y
(f + g)'(a) = f(a) + g’(a).
De manera análoga se prueba que f - g es derivable en a y que
gf{a) =f'(a) ~~ g'(a)
207
IV/10 ANALISIS MATEMATICO I
Probemos ahora que fg es derivable en a: Para x * a es
(fe)(x) ~ = f(x)g(x) -f(a)g(a)
x — a x - a
_f(x)g(x) -f(a)g(x) + f(a)g(x) ~f(a)g(a) 
x — a
= + f(a) g.w -
x — a x — a
Ahora bien, f y g son derivables en a y, por tanto,
1¡m/w -f^= lim gw-gw =
x - a X - a X -* a x — a
Además, g es continua en a (por ser derivable), luego
lim g(x) = g(a)
x -> a
Por consiguiente,
lim Vg)W - =f(a)g(a) +f(a)gya)
x -*■ a x ~ a
es decir, fg es derivable en a y
(fg)'(a) = f(a)g(a) +f(a)g'(a).
Finalmente, si g(a) 0 también g(x) 0 en un entorno N(a) (puesto que g es 
continua en a) y para x e N(a) - {«} podemos escribir
f f\ íf\
— (x) - («)
\gj \gj
x — a
f(x) _ f(a)
g(^) g(a) = 1 _ /(x)g(a) -f(a)g(x)
x - a g(x)g(a) x - a
1 
£(x)£(a)
1 
g(X)g{a)
f(x)g(a) - f(a)g(a) f{a)g(a) ~ f(a)g(x) 
x — a
f^-f^g(a) - f(a) - gW
x — a x a
y, por tanto,
l
(g(a))2
lf (^)g(a) -f(a)g'(a)].
208
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 11
Ejemplos:
1. Por inducción resulta que si f2, fn son n funciones derivables en a 
entonces la función f} + f2 + ••• + frt es también derivable en a y
Üi + ./? + = f\(a) + ./?(«) +
2. Sea n un número natural. La función.4,: IR-> IR definida por./„(.v) = .v" para cada
x e IR es derivable en todo punto y ./»(«) = na” ~ 1 para todo a e IR. Para ver esto 
procederemos por inducción sobre n. Para /? ! es cierto pues, según hemos visto
antes, la función/¡(a) = a es derivable en todo punto y f ja) = 1 para todo a l IR. 
Supongamos que f„ _ j(x) = xn - 1 sea derivable y que/»' _ ,(¿7) = (« - 1)<7" ~2. Como/» = 
f} • fn _ ! y el producto de dos funciones derivables es derivable, resulta que /„ es 
derivable en a y
ffa) = f- 1(«) + ./’iÚUZ,' ~ ¡(“)
= 1 ■ a” ~ ] + a ■ (n - 1)¿/" ’2
- nan ~
3. Una función polinómica
f(x) = cü + c,a- + (>v2 + ... + cnx"
es derivable en todo punto. En efecto,/es suma de la función constante (y, por tanto, 
derivable)fa(x) = c0 y de las n funciones fk(x) = ckxk (k - 1, 2, ..., n) que también son 
derivables (por ser producto de funciones derivables). Además, para cada a e IR se 
verifican/¡,(¿7) = 0 y fk(a) = kckak~ 1 (k- I, 2, ...,«) y, por tanto,
/'(a) = c( + 2c 2a + ... + nc„a" ~ '.
4. Una función racional
f(x) = bfi + b'X + + + bfíXn
c0 + Cj-r + cyr2 + ... + cmxm
es derivable en todo punto a que no anule al denominador, por ser cociente de las dos 
funciones polinómicas
g(x) = b0 + bxx + b^2 + ... + bnxn y h(x) = c0 + CjX + ex2 + ... + cmxm
que son derivables en todo punto y ser además h (a) * 0. La regla de derivación de un 
cociente nos da
f, („\ = - g(a)h'(a)
{ ? (h(a))2
4.2.2. La siguiente proposición se conoce como regla de la cadena y nos da 
condiciones suficientes para la derivabilidad de una función compuesta.
209
IV/ 12 ANALISIS MATEMATICO I
Proposición: Sean A un subconjunto abierto de IR, f: A IR una función derivable 
en a e A, B un subconjunto abierto de IR que contiene a f(A) y g: B -►IR una función 
con derivada finita en f(a). Entonces la función compuesta gf: A -> IR es derivable en 
a y
{g = g'(f(a))
siempre que esté definido el segundo miembro.
Demostración: Sea h: B —> IR la función definida por
=
g(y) -
y - /fe)
g f(f(a))
si y *f(a)
si y = f(a)
Como g es derivable en f(a) se tiene
r kí \ r SO) “ g(f(a)) hm n(y) = hm ----------—-
y -> pa) y -»pa) y — j (a)
= = h(f(a))
luego h es continua en/fe).
Por otra parte,/es continua en a (por ser derivable) y, por la proposición 3.1.4, la 
función compuesta h o f es continua en a. Por consiguiente,
lim h(f(xj) = h = g'(f(aj).
x -* a
Ahora bien, por la definición de A, para x * a, se tiene 
g(f(*)) ~ g(f(a)) 
x — a x — a
y, por tanto,
lim ~ g(/(o) = g'(/(«)) •/■(«)
x -» a x - a
siempre que esté definido el segundo miembro, luego efectivamente, g ° f es derivable
en a y
fe c/)'fe) = g'(f(fl))
Obervación: La función compuesta g o / puede ser derivable en a sin que / sea 
derivable en a o sin que g sea derivable en a. Así por ejemplo, para a = 0, la función 
/fe) =
0 si x < 0
1 si x > 0
210
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 13
no es derivable en a porque no es continua y, para a > 0, f es derivabie en a pero la 
función
x + 1 si x < 1
S® = 2 • > iX SI X > 1
no es derivable en f(a) = 1 porque no es continua; sin embargo, g c f es la función 
constante igual a 1, luego g c f es derivable en todo punto a y (g o ff(a) - 0.
4.2.3. Proposición: Sea f una función monótona y continua en un intervalo. Si f 
es derivable en un punto a interior a dicho intervalo y f! (a) * 0 entonces su función 
inversa f~} es derivable en b = f\a) y
(f-if(b) = - ?-------
Demostración: Tenemos que probar que
f-\b + k) _ 1
íim------------------ ------------------------—--------
k f (a)
Sea
h = f~i(b + k) -f~\b) =f~l(b + k) - a.
Entonces a + h = f~l(b + k) y, por tanto, b + k - f(a + h) luego
k - f(a + h) - b = f(a + h) - f(a).
Además, si k 0 también h * 0 puesto que/-1 es monótona (proposición 3.4.3) y 
podemos escribir
f~\b + k) ~f~\b) = h =1 
k f(a + h) -f(a) (f(a + h) - f(a))íh
Ahora bien, como/-1 es continua en b (proposición 3.4.3),
lim (/-1(¿> + k) - f~\bj) = 0 
k - 0
luego h tiende a 0 cuando k tiende a 0, y / es derivable en a y f (a) * 0, se tiene
f-\b +k)-f~fb) _ 1 _ 1
k h o(f(a + h) — f(aj)/h f(a)
conforme queríamos demostrar.
Ejemplos:
1. Sea n un número natural impar mayor que 1. La función/: IR —> IR definida por 
/(r) = xn para cada* e IR es creciente y continua. Su función inversa es la función/-1: 
IR -> IR definida por
/-1(x) - ~ *1/n Para cada x e
211
IV / 14 ANALISIS MATEMATICO i
y según la proposición anterior, para i * 0 se tiene
(/-’j/x) =------!------=--------- i--------=------- !—
n(f~l{x))n 1 n(xUn>)n 1
- 1 ¡
rtjti-i/'1 n
Por otra parte, como/"1 es continua en 0 y
/->(%) -/->(0) _ ..---------------------- lim -------
-o x _ o * - o X
~ lim —==-
x -> 0 ///ñ - 1
— +oo ,
también/1 es derivable en 0 y (/ /'(O) = +oo.
2. Sea n un número natural par. La función f: [0, +oo) -► IR definida por f(x) = xn 
para cada* > 0 es creciente y continua. Su función inversa es la función[0, +oo) 
-> IR definida por
f \x) = x = xVn para cada x > 0
y de igual manera que en el ejemplo anterior se deduce que, para cada x > 0 es
(f-')'(x) = 1n
3. Según hemos visto en los ejemplos de 4.2.1 y en los dos ejemplos anteriores, si 
h (x) - xr y r 0 es un número entero o el inverso de un número natural, entonces 
/?'(x) = rxr ~ 1 para todo x > 0. Esta fórmula es también válida cuando r es un número 
racional. En efecto, el número racional r se puede escribir r = mln, donde m es un 
número entero y n un número natural y h es la función compuesta g f donde g (x) = xm 
y /(x) = xVn y, por la regla de la cadena,
h’(x) = g'UX*)) 'f(x) = 1 • (l/^jxó^) 1
= mfx1/)"1 _ 1 ■ (l/«)x(1/w> ~ 1 = (m/n)x^mln) ~ 1
— rxr ” 1
212
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 15
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función/: IR-> IR definida por
/(*) =
x2 + 1
2x + 1
■x + 1
X
si x < 0
si 0 < x < 1
si x > 1
2. Sean a, b y c tres números reales y sea f: ÍR-> IR la función definida por
f(x) =
2 ■x si x < c
ax + b si r > c
Determinar a y b en función de c para que exista/'(c).
3. Probar que la función f: IR -> IR definida por
0 si x e Q 
x2 si a é (D
es derivable únicamente en un punto.
4. Sea / una función derivable en a. Probar que
lim---------------------- - 2j(a\¡ (a),
.x - a x - a
siempre que esté definido el segundo miembro.
213
IV/16 ANALISIS MATEMATICO I
5. Sea/ una función real definida en un abierto A C IR y sea a g A. Se llama derivada 
simétrica de / en a y se designa por fs(a) al límite.
lim 
h - 0
f(a + h) - f(a ~ h) 
2h
cuando este límite existe. Hallar fórmulas para calcular la derivada simétrica de la 
suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones.
6. Sabiendo que para x 1 se verifica
, 2 n x" + 1 - 1r + x + x2 + ... + x =----------- -—X - 1
determinar fórmulas para las siguientes sumas:
a) 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn b
b) x + 4x2 + 9x3 + ... + n2xn.
7. Los valores de dos funciones f yg y los de sus derivadas en los puntos 0, 1, 2, 3 
vienen dados por la siguiente tabla
X /(•V) £(x) TU) g'(*)
0 1 2 5 5
1 3 0 ~2 1
2 0 3 2 1
3 2 1 4 -6
Construir la tabla correspondiente para las dos funciones compuestas h = g '■ f y 
k f g.
8. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = x^/ 1 + x2.
b) g(x) =-----i —x > 0.
1 + \J X
C) h (x) = r-X , -1 < X < 1. 
71 - x2
d) k(x) = 7x x > 0.
214
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 17
9, Probar que un número a es raíz doble de una función polinómica f si y sólo si a es 
raíz de/y de/, y aplicar este hecho para resolver la ecuación l&c3 - 33x2 + 20.x 
-4-0 sabiendo que tiene una raíz doble.
10. Sea f: (1, 3) -> IR la función definida por/(x) = xs + 3x3 + 1 para cada a: e (1, 3). 
Probar que f es inyectiva y calcular la derivada de la función/-1 en el punto/(2) 
= 49.
215
IV / 18 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
L f es continua y derivable en los intervalos abiertos (-00, 0), (0, 1) y (1, +co) 
porque la restricción de f a cada uno de dichos intervalos es una función polinó- 
mica o una función racional cuyo denominador es distinto de cero y las funciones 
de estos tipos son continuas y derivables en todo punto. Además,
2x si x < 0
2 si 0 < x < 1
1- —_ si X > 1
X
Como
lim f(x) = lim (x2 + 1) = 1 y lim f(x) = lim (2x + 1) = 1, 
0 - 0 A 0+ X —> 0
se tiene
lim f(x) = 1 =/(0)
X —* 0
luego f es continua en 0.
Sin embargo, como
r f(x)-f(ty r (x2 + 1) - 1lim ----------— = hm---------------- = lim x = 0
x -» (T x - 0 x -» o x x - o
y
J. /(-v) - /(O) _ .. (2x + 1) - 1lim ----------------lim--------------------= lim 2 = 2,
x-0* X — 0 x —> 0 X X -> 0
f no es derivable en 0.
216
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 19
Finalmente, como
x + 1 
lim f(x) - lim (2x + 1) -3 y lim f(x) = lim -------- -- 2,
x -> 1“ x -> 1 x -» 1+ x -» i X
f no es continua en 1 y, por tanto, f no es derivable en 1.
2. f ha de ser derivable y, por tanto, continua en c, luego ha de ser
lim f(x) =f(c) - lim f(x) 
x -> c X -* c +
y
lim Ax)-Í(c)= Hm f(x).-fV.
X c~ X — C X c+ X — C
Ahora bien, como f(c) - c2 y
lim f(x) ~ lim x2 = c2 y lim f(x) = lim (ax + b) = ac + b, 
x -> c~ x -* c X -* C + x c
será c2 ~ ac + b, es decir,
b ~ c2 - ac
y como
hm —^-2. - hm---------- = hm (x + c) - 2c
x -> c~ X — C x -» c X ~ C X - c
y
~ f(c) ,. ax + b — c2 ax - ac hm —-—- hm---------------- = hm------------= a,x -» c+ X — C x-*c X — c X c X — C
será
2c = a.
Por consiguiente, han de ser
a = 2c y b = -c2.
3. Sea a e IR. Si f es continua en a, para toda sucesión (x„) de números racionales 
con límite a ha de ser
f(a) = lim/(x„) “ 0
217
!V / 20 ANALISIS MATEMATICO I
y para toda sucesión (y«) de números irracionales con límite a ha de ser
/(«) = Iim/(y„) “ limyj = a2.
Por tanto, a2 = 0 y ei único punto en el que f es continua es a =0. Este es 
también el único punto en el que f puede ser derivable y como, para x 0, es
/(-v) ~/(0) 
x — 0
0 si a- e (D 
x si x é O
se tiene
f(x) - /(O) 
x - 0
< |x | para todo x r 0
y, por tanto,
lim /W-/(0) = 0
t -> o x - 0
luego f es derivable enOyf(O) = 0.
4. Para x * a se tiene
- ^(a)]2 = [fW +
x — a x - a
y como f es derivable y, por tanto, continua en a,
lim /(x) =/(«) y lim ——~ f (a), 
x -* a x -» a X U
luego
L/Xx)]2 - L/W2 _ hm----------------------- (a)
a -> a x - a
siempre que esté definido el segundo miembro.
5. Procediendo de manera análoga a como hemos hecho en 4.2.1 se deduce que si f y 
g tienen derivadas simétricas en a entonces
(f + g)fa) =f'(a) + g’<,(«) Y (f~ g)í(a) - g¿(a)
y que si además f y g son continuas en a,
(fg)^ = fAa)g(a) + f{a)g’ (a) y f '(«) - .
\g Js (g(a)Y
siempre que estén definidos los segundos miembros.
218
ANALISIS MATEMATICO I IV/21
6. a) Derivando miembro a miembro la igualdad del enunciado resulta
- _ . (x - l)(/z + l)*" - (xn + ’ - 1) _
1 + 2x + 3x2 + ... 4- nxn 1 =---------------------- —2-------------- --
(■* - 1)
_ nxn + 1 — (n + l)x" + 1= —-yp •
b) De la igualdad obtenida se deduce
x 4- 2x2 4- 3x3 4- ... 4- nxn
nxn + 2 — (n 4- l)*" ' 1 l .t 
(jc - l p
y derivando miembro a miembro resulta
1 4- 4x 4- 9x2 + ... 4- n2xn ~ 1 =
+ 2 4- (1 4- 2n - 2n2)xn + 1 4- (n 4- Ipx" - x - 1
y, por tanto,
x 4- 4x2 + 9x3 4- ... + n2xn
n2xn + 3 + (1 + 2n - 2n2)xn + 2 + (n + l)2x« + 1 -x2 -x 
(x - l)3
7. Por definición,
h(x) = Y k(x)
y por la regla de la cadena,
/*'(*) = g'(f(x)) 'f(x) y k'(x) - f(g(x)) ■ g'(x).
Haciendo sucesivamente en estas igualdades x = 0, 1, 2, 3 y teniendo en cuenta la 
tabla dada se obtiene
8. a) f(x)
C) A'(x) =
2x2 4- 1
X h (x) k(x) h' (x) ¿'(X)
0 0 0 5 -10
1 1 1 12 5
2 2 2 -10 4
3 3 3 4 12
b) g'(x) =
2 4- Px” 
2(1 + vx)2 ’
1
(1 - x2)3/2 ’
. 2^/x 4- 1d) k (x) = 2L. =.
\/x2 4- Xx/T
219
IV / 22 ANALISIS MATEMATICO I
9. Supongamos en primer lugar que x = a es raíz doble de/. Entonces existe una 
función polinómica g tal que
f(x) = (x - a)2g(x)
y, por tanto,
f'(x) = 2(x - a)g(x) + (x - a)2g'(x) = (x - «)[2#(x) + (x - a)g'(*)]
luego x = o es raíz de f y de /'.
Recíprocamente, supongamos que x = a es raíz de/y de/'. Entonces existen dos 
funciones polinómicas p y q tales que
f(x) = (x - d)p(x) y f’(x) = (x - a)q(x)
De la primera de estas fórmulas se obtiene
/'(x) = p(x) + (x - a)p’(x)
y, por tanto, será
p(x) + (x - a)/?'(x) - (x - a)q(x)
luego
p(x) - (x - fl)[<7(x) - p'(x)]
y, por consiguiente,
/(x) - (x - ¿z)2k(x) - p'(x)]
luego x = a es raíz doble de /
Para /(x) = 18x3 — 33x2 + 20x - 4 se tiene
f(x) = 54x2 - 66x + 20
y la ecuación de segundo grado 54x2 - 66x + 20-0 nos da las raíces de /':
2 5
X y , X 9 ■
Como/(2/3) = 0, x - 2/3 es la raíz doble de/ Dividiendo/(x) por 18(x - 2/3)2 
= 18x2 - 24x + 8 resulta
/ 2 V ( 1 \/(x) — 18lx — y I íx — — 1
y, por tanto, x = 1/2 es la otra raíz de /
220
ANALISIS MATEMATICO I IV/23
10. Sean a y b dos puntos de intervalo (1, 3) tales que a < b. Entonces
/ (n) = d 5 + 3¿23 + 1 < bs 4- 3 b3 + 1 = f(b)
luego/ es creciente y, por tanto, inyectiva.
Además, como/'(x) = 5x4 + 3x2 para todo x e (1, 3), es/'(2) = 92 y, por la regla 
de derivación de funciones inversas,
(/-i)'(49) - --------!------ = —.
/V'1(49)) /'(2) 92
221
ANALISIS MATEMATICO I V/1
TEMA V
Funciones derivables en intervalos
Esquema/resumen
5.1. Máximos y mínimos.
5.2. Los teoremas de Rolle, de Cauchy y del valor medio.
5.3. La regla de L’Hópital.
223
ANALISIS MATEMATICO I V/3
Por el teorema de Weierstrass, una función continua en un conjunto compacto 
alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho conjunto. El problema de 
determinar estos valores extremos y los puntos del compacto en los que la función los 
alcanza, queda casi resuelto teniendo en cuenta que si una función f definida en un 
intervalo abierto tiene un máximo o un mínimo en un punto a de dicho intervalo y / es 
derivable en a, entonces/'(«)= 0. Efectivamente, de esta propiedad se deduce un 
método para determinar los extremos de una función continua f en un compacto K: 
Basta determinar los valores f(x) en los puntos x de la frontera K y en los puntos x del 
interior de K en los que f'(x) - 0 y en los que f no sea derivable; el mayor de todos 
ellos es el máximo de f en K y el menor, el mínimo.
El teorema de Rolle asegura que si una función es continua en un intervalo cerrado 
y derivable en su interior y toma los mismos valores en los extremos del intervalo, 
entonces su derivada se anula al menos en un punto interior al intervalo. Del teorema 
de Rolle se deduce el teorema de Cauchy (5.2,2) y como caso particular de éste 
resulta el teorema del valor medio (5.2.3).
Del teorema del valor medio se deducen varios e importantes resultados. Así, si una 
función/ tiene derivada nula en un intervalo abierto I entonces / es constante en Z, y si 
la derivada de / es positiva (respectivamente negativa) en I entonces / es creciente 
(respectivamente decreciente) en /.
La regla de l’Hópital (5.3) da un procedimiento muy útil para calcular el límite del 
cociente de dos funcionescuando ambas tienden a 0 o a oc.
225
ANALISIS MATEMATICO I V/5
5.1. MAXIMOS Y MINIMOS
5.1.1. Por el teorema de Weierstrass (3.2.2), una función continua f en un con­
junto compacto K tiene un máximo y un mínimo en K, es decir, existen puntos a. y b 
de K tales que
f(a) > f(x) y f(b) < f(x) para todo x e K.
Estos puntos a y b no tienen por qué ser únicos. El valor máximo de la función 
continua f en el compacto K puede alcanzarse en varios puntos de K y lo mismo ocurre 
con el mínimo. Por ejemplo, el máximo y el mínimo de una función constante/(x) = c 
en K son iguales a c y se alcanzan en cualquier punto de K.
Nos proponemos aquí determinar los valores máximo y mínimo de una función 
continua en un conjunto compacto, así como los puntos de dicho conjunto en los que la 
función toma esos valores. Para ello, empezaremos con una proposición que deja el 
problema casi resuelto.
5.1.2. Proposición: Si una función f definida en un intervalo abierto I tiene un 
máximo o un mínimo en un punto a e I y f es derivable en a entonces f (a) = 0.
Demostración: Como f es derivable en a existen los límites
lim y |¡m
x -> a x a x -* a+ x — a
y son iguales a/'(«).
Si f tiene un máximo en a se verifica
f(x) —f(a) < 0 para todo x e 1
V/6 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
f(x) ~ f(a) n • f(x) - A>0 si x < a y íÍU—<0 si x > a,
x - a x — a
luego
lim /W--/W > o y ,im fW -fw < 0
x a~ X — a x - a+ x — a
es decir,
f(a) > 0 y /'(«) < 0
y, por consiguiente,
f’(a)=0
En el caso de que f tenga un mínimo en a se puede proceder de manera análoga, o 
bien se puede aplicar lo demostrado a la función -/. Si f tiene un mínimo en a entonces 
-f tiene un máximo en a y como -f es derivable en a (por serlo/) será -f'(a) = 0 y, 
por tanto, f'(a) = 0.
Observaciones:
1. Una función f puede tener un máximo o un mínimo en un punto a sin que sea 
f (a) = 0. Tal ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = |x| que en a - 0 tiene un 
mínimo y no es /'(O) = 0 porque f no es derivable en 0.
2. Puede ser f'(a)-() sin que/ tenga ni máximo ni mínimo en a. Un ejemplo 
sencillo nos lo proporciona la función f(x) -,c. Como f(x) = 3x2 se tiene/(0) = 0. Sin 
embargo,/es creciente en todo intervalo que contenga al punto 0 y no tiene máximo ni 
mínimo en dicho punto.
5.1.3. De la proposición anterior se deduce inmediatamente un método para de­
terminar el máximo y el mínimo de una función continua en un conjunto compacto.
Proposición: Sea f una función continua en un conjunto compacto K. Los puntos de 
K en los que f alcanza su máximo y su mínimo pertenecen a alguno de los tres 
conjuntos siguientes:
4 - / - int K: f'(x) = 0}, B = fr K,
C ~{xe int K: f no es derivable en x}
Demostración: Sea x un punto de K en el que/ toma su valor máximo (o mínimo). 
Si Jt no pertenece a B ni a C entonces x e int K y /es derivable en * y, por tanto, un 
intervalo abierto (x - r, x + r) con r > 0 está contenido en K, el valor máximo (o 
mínimo) de / en dicho intervalo es f(x) y / es derivable en x y, por la proposición 
anterior, f(x) = 0, luego x e A.
Según esta proposición, para determinar el máximo y el mínimo de una función 
continua / en un conjunto compacto K, basta determinar los valores f(x) en los puntos 
228
ANALISIS MATEMATICO I V/7
.Y de la frontera de K y en los puntos x del interior de K en los que f'(x) = 0 y en los 
que/no sea derivable. El mayor de todos ellos será el máximo de f en K y el menor 
será el mínimo.
Ejemplo: Determinar los extremos de la función /(x) = x3 - 9x2 + 24x - 1 en el 
compacto K - {x e IR: 1 < |x| < 3}.
Solución: K es la unión de los intervalos cerrados [ — 3, 1 ] y 11, 3), la frontera de K
es el conjunto { - 3, -1, 1, 3} y el interior de K es la unión de los intervalos abiertos 
(-3, 1) y (1, 3). Por otra parte,/es derivable en todo punto y/'(x) -3a’ 18x + 24,
luego ,/(x) = 0 para x = 2 y para x = 4, y como
/(-3) - -127, /(-1) = -35, /(1) = 15, /(3) = 17, /(2) - 19,
el máximo de / en K es 19 y se alcanza en x = 2, y el mínimo es -127 y se alcanza en 
x = -3. (Obsérvese que hemos descartado el punto x 4 en el cual/(x) = 0, pero 
x e int K.)
5.2. LOS TEOREMAS DE ROLLE, DE CAUCHY Y DEL VALOR MEDIO
5.2.1. Proposición. (Teorema de Rolle): Sea f una función continua en [a, b\ y 
derivable en (a, b) tal que f(a) — f{b). Entonces existe al menos un ce(a, b) tal que 
f'dj-0.
Demostración: Como/ es continua en («, b\, por el teorema de Weierstrass,/ tiene 
un máximo y un mínimo en (¿z, b]. Si el máximo se alcanza en un punto c e (a, b), 
como / es derivable en c, será /' (c) = 0 en virtud de la proposición 5.1.2. Análoga­
mente, si el mínimo se alcanza en un punto c e (a, b) es /' (c) = 0. En otro caso, el 
máximo y el mínimo de/se alcanzan en los extremos del intervalo, y como f(a) =f(b), 
el máximo y el mínimo de/en [«, b] son iguales, luego / es una función constante en 
[«, b] y, por tanto, /'(c) = 0 para cualquier c e (a, b).
5.2.2. Proposición. (Teorema de Cauchy): Sean f y g dos funciones continuas en 
b] y derivables en (a, b). Entonces existe al menos un c e (a, b) tal que
/(¿) - f(a)] g'(c) = [g(b) - g(a)] ffc).
Demostración: La función h definida en [¿7, b\ por
//(x) - |/0) - f(a)]g (x) - [g0) - g(a)]f(x)
toma en los extremos del intervalo [<?, b] los mismos valores:
h(a) — f(b)g(a) - g(b)f(a) = h(b).
Si para algún c e (a, b) son L/0) - /0)]g'(c) y lg(b) - g(a)]f(c) simultáneamente 
iguales a + 7 o a -x, para dicho punto c se verifica la igualdad del enunciado. En 
otro caso, h es derivable y
A'(x) - [f(b) ~f(a)]g'(x) - [g(b) - g(a)]f(x)
229
V/8 ANALISIS MATEMATICO I
para cada .t e (a, b), y como es continua en [a, ¿], por el teorema de Rolle existe al 
menos un c e (a, b) tal que h’ (c) = 0, es decir,
0 = lf(b)-f(a)]g'(c) - [g(b) - g(a)\f (c)
conforme queríamos demostrar.
5.2.3. Proposición. (Teorema del valor medio): Seaf una función continua en [a, 
y derivable en (a, b). Entonces existe al menos un c e (a, b) tal que
b — a
Demostración: Aplicando el teorema de Cauchy a la función f y a la función g 
definida por &(x) = v para cada x e [a, 6], resulta que existe al menos un c e {a, b) tal 
que
f(b) -f(a) = (b -a)f(c)
conforme queríamos demostrar.
5.2.4. Del teorema del valor medio se deducen varios e importantes resultados:
Proposición: Sí f es derivable en un intervalo abierto 1 y f (x) = 0 en todo punto x e l 
entonces f es constante en I,
Demostración: Sean a y b dos puntos arbitrarios de / y supongamos que a < b. El 
intervalo [a, b] está contenido en 7, luego f es continua en [a, b\ y derivable en (a, b) y, 
por el teorema del valor medio, existe al menos un c e (¿z, b) tal que
/(/?) — f(a) = (¿ -a)f(c) = (b - a) • 0 = 0
y, por tanto,/(a) =f(b).
Proposición: Si f y g son derivables en un intervalo abierto I y f (x) = g'(x) e IR en 
todo punto x e l entonces la función f-g es constante en 7.
Demostración: Es consecuencia inmediata de la proposición anterior pues la fun­
ción f - g es derivable en 7 y
(f ” gf(x) = f(x) - gf(x) = 0
en todo punto x e J.
Proposición: Sea f una función derivable en un intervalo abierto 7. Sí f (x) > 0 en 
todo punto x e 7 entonces f es creciente en I. Sif'(x) < 0 en todo punto x e I entonces 
f es decreciente en 7.
Demostración: Supongamos en primer lugar que f'(x) > 0 en todo punto x e 7. 
Probaremos que f(a) < f(b) cualesquiera que sean los puntos a y b de 7 tales que 
a < b.
230
ANALISIS MATEMATICO I V/9
Por el teorema del valor medio existe un c e (a, b) tal que
/(h) -f(a) = (b ~a)f(c)
y como b - a > 0 y f (c) > 0, también f(b) ~f(a) > 0, es decir, f(a) < f(b).
En el caso de que sea f'(x) < 0 en todo punto x e I se puede proceder de manera 
análoga, o bien, se puede aplicar lo demostrado a la función —f. Si/'(x) < 0 en todo 
punto .v e I entonces ~f’(x) > 0 en todo punto x e I, luego -f es creciente en I y por 
tanto, f es decreciente en I.
Proposición: Si f es una función con derivada acotada en un intervalo (a, b) 
entonces f es uniformemente continua en {a, b).
Demostración: Por el teorema del valor medio,para todo par de puntos x, y de 
(«, b) existe un c interior al intervalo de extremos x e y tal que
|/(x) ~f(y)\ = \f (c)| • |x -y|
Ahora bien, como f está acotada en (a, bf existe una constante M > 0 tal que
|/(x)| < M para todo x e (a, bf
Por consiguiente, cualesquiera que sean los puntos x, y de {a, b) se verifica
|/(x) ~/(y)| < M\x — y|
y, dado e > 0, basta tomar ó - &IM para asegurar que
|/(*) “/(y)| < £
siempre que |x — y| < ó.
5.2.5. Otra consecuencia importante del teorema del valor medio es la siguiente 
proposición. Más adelante haremos uso de ella para demostrar la derivabilidad de las 
funciones seno y coseno.
Proposición: Sea f una función continua en un punto a y derivable en un entorno 
reducido de a y supongamos que existe lim f (x). Entonces f es derivable en el punto 
a y
f(q) = lim f(x). 
a —* a
Demostración: Sea TV* (a) - N(a) - {«} el entorno reducido de a en el que f es 
derivable (y, por tanto, continua). Como f es continua en a, para cada y e TV*(a),f es 
continua en el intervalo cerrado de extremos a e y y derivable en el intervalo abierto 
correspondiente y, por el teorema del valor medio, existe un punto x interior a dicho 
intervalo tal que
=/w.
231
V/ 10 ANALISIS MATEMATICO l
Ahora bien, cuando y tiende hacia a, también x tiende hacia a y, por tanto,
limrw
y —a y ¿7 .r-*a
es decir, f es derivable en a y
f(a) = lim f(x). 
x -> a
5.3. LA REGLA DE L’HÓPITAL
Del teorema de Cauchy se deduce un teorema muy útil en el cálculo de límites:
Proposición. (Regla de l’Hópital): Sean f y g dos funciones con derivadas finitas en 
{a, b) donde -co < a < b < +co y supongamos que g'(x) fO para todo x 6 (a, b) y 
que
= /.1- f (*) lim —-— 
t « g (x)
Entonces, si 
lim /(x) 
r “+ ¿2
-0 =
lim------£(X)
Demostración: Supongamos en primer lugar 
mero real mavor aue /. Si r es un número real
lim g(x) 
c a
o si
lim g (x) - +oo, 
x -► a
se verifica
l.
que -oo < l < +oo y sea M un nú- 
tal que i < r < M, como el límite de
f'/g' en a es /, existe un c e (a, b) tal que
< r para todo t e (a, c)
g (0
y, por el teorema de Cauchy, para todo par de puntos x, y e (a, c) existe un t interior al 
intervalo de extremos x e y tal que
f(x) ~f(y) = f(t) < r 
g(x) - g(y) g'(t)
(Obsérvese que por tener g derivada no nula en todo punto de («, b), del teorema del 
valor medio se deduce que para todo par de puntos x, y e (a, b) tales que x f y se 
verifica g(x) f g (y) y, por tanto, los denominadores de las dos fracciones de la expre­
sión anterior son distintos de cero.)
232
ANALISIS MATEMATICO i V/ 11
Si los límites de/y de g en a son iguales a cero, pasando al límite cuando y -» a en 
la desigualdad
/(*) -/(y) < r
g(x) g (y)
se deduce que
f(x) . .------- < r < M para todo x e (a, c).
g(x)
Si el límite de g en a es + x, para cada y e (a, c) existe un c( e (a, y) tal que
g(x) > 0 y g(x) > g(y) para todo x e (a, c,)
y multiplicando miembro a miembro en la desigualdad
/(-y) ~/(y) < r
g(x) - g (y)
por lg(x) - g(y)]/#(x) (que es un número positivo) resulta
/(*) -/(y) < r g(-v) ~g(y) = r _r gty)
g<*} g<x) g(x)
o bien
/(*) „ g(y) /(y)
gM £(*) g(x)
y como el límite de g en a es + x, existe un c2 e (a, cL), tal que
-r < M - r para todo x e (a, c2),
g(x) g(x)
luego
/(1‘)
------- < M para todo v g (a, c,).
g(x)
Por consiguiente, si -x < / < +x entonces para todo M > / existe un c2 e (a, b) 
tal que
/ (X)------- < M para todo x 6 {a, c,).
g (*)
De manera análoga se prueba que si -x < l < +x entonces para todo m < / 
existe un g {a, b) tal que
/(x)m < ------ para tocjo x e c
233
V/12 ANALISIS MATEMATICO I
Con esto se termina la demostración pues si / — -oo, la primera de estas dos 
últimas desigualdades prueba que el límite de f/g en a es también -x, si / ~ + x 
entonces la segunda desigualdad prueba que el límite de f/g en a es también +x y, 
finalmente, sí l es finito y e es un número positivo arbitrario entonces las dos desigual­
dades con M = I + r. y m - l - c aseguran la existencia de un c e (a, h) tal que
f (x)
l - e < —-— < l + e para todo x e (a, c),
luego el límite de f/g en a es /.
Observación: También es cierto un enunciado análogo de la regla de l’Hópital 
cuando x -> b o cuando el límite de g es -oo. Desarrollar las demostraciones para 
estos casos puede ser un ejercicio interesante para el lector.
Ejemplos:
1. Sean m y n dos números naturales. Las funciones f(x) = x"‘ - 1 y g(x) = xn - 1 
tienen derivadas finitas/'(x) — mx,n ~ y g'(x) - nxn ~ en todox e IR. Además, g'(x) r 0 
para todo x f 0 y
1 1
2. Aplicando la regla de l’Hópital resulta
1
.. 77- 7? .. 2^7 .. 7-7 - 9 0 nhm v — - hm----- - ------ - lim —-------=— - ----- = = 0.
3 7A'2 9 x-3 jv 3 2xfx 67 3
77 ” 9
3. Algunas veces hay que aplicar dos o más veces 
l’Hópital para calcular un límite. Así, por ejemplo,
f'(x) mxm ~1 mhm hm -------- — - —
x - i g (x) x - i nxn - 1 n
luego, por la regla de l’Hópital,
consecutivas la regla de
lim 2x3 - 3x2 + 7x - 13x3 + 2x2 5x + 2
lim
.r -> +
6r2 — 6x + 7
9x2 + 4x - 5
,. 12x — 6hm ----------
- +x 18x + 4
,. 12
hmx78- =
12
18
2
I
234
ANALISIS MATEMATICO I V / 13
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Determinar, si existen, los extremos de las siguientes funciones en los intervalos 
que se indican:
a) f(x) = X en [0, 2|.
x + 1
b) g (x) = x5 + x3 + x en [ -1, 1].
c) h (x) = |x - 11 + |x - 2| 4- |x - 3| en [0, 4].
2. Descomponer el número 32 en suma de dos números x e y de manera que el 
producto xy sea el mayor posible.
3. Una hoja de papel debe contener 288 cm2 de texto impreso. Los márgenes 
superior e inferior deben tener 2 cm cada uno, y los laterales, 1 cm. Determinar 
las dimensiones de la hoja para las que el gasto de papel sea mínimo.
4. Se sabe que un número x está en un intervalo [a, b], siendo a > 0 y se quiere 
aproximar x por medio de otro número t de [a, b] de manera que el error relativo
-x|/x sea el menor posible. Si designa el máximo valor de |z — x|/x cuando
x varía en [a, b], probar que dicho máximo se alcanza en uno de los extremos 
x = a o x = b y demostrar que M(t) es mínimo cuando t es la media armónica de a 
y b, es decir, cuando t = 2ab/(a + b).
5. Sean a y b dos números reales y n un número natural. Demostrar que la ecuación 
x" + ax + b ~ 0 no puede tener más de dos soluciones reales si n es par, ni más de 
tres si n es impar.
235
V/ 14 ANALISIS MATEMATICO I
6. Sean f y g dos funciones continuas en [«, b] y con derivada finita en (a, b) y 
supongamos que g’(x) 0 para todo x e (a, b). Probar que existe al menos un
c e (a, b) tal que
/(c) ~f(a) 
g(b) - g(c) g'(c)
7. Aplicar el teorema del valor medio para calcular
lim [(x + 1)2Z3 — x2/3J.
8. Sea f una función tal que
\f(x) -/(y)| < (x - y)
cualesquiera que sean los números reales x e y. Probar que f es una función 
constante.
9. Sea n un número natural. Demostrar que
(1 + x)" < 1 + nx
para todo x > - 1.
10. Calcular los siguientes límites:
a) lim 2
236
ANALISIS MATEMATICO I V/ 15
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. a) f es continua en [0, 2] y, por el teorema de Weierstrass, tiene máximo y 
mínimo en [0, 2]. Como
.v2 + 1 — 2x2 _ 1 - x2
(x2 + l)2 (x2 + l)2
es f’(x) = 0 para x = -1 y para x = 1. Pero -1 é [0,2], luego los extremos de f 
en [0, 2] se alcanzarán en alguno de los puntos 0, 1, 2, y como
/(0) = 0,/(l) = 1/2, f(2) = 2/5,
el valor mínimo de f en [0, 2] es 0 y el máximo, 1/2.
b) g es continua en [ — 1, 1] y, por el teorema de Weierstrass, tiene máximo y 
mínimo en [-1, 1]. Como
g'(x) = 5x4 + 3x2 + 1 > 0 para todo x e IR,
g es creciente en (-se, +x), el mínimo de g en [-1, 1] es g(- 1) = -3 y el 
máximo, #(1) = 3.
c) h es continua en [0, 4] y, por el teorema de Weierstrass, tiene máximo y 
mínimo en [0, 4]. Además, como
A(x) =
6 - 3x si
4 - x si
x si
3x — 6 si
x < 1
1 < x < 2
2 < x < 3 
x > 3
237
V/16 ANALISIS MATEMATICO I
h es derivable excepto en los puntos 1, 2 y 3 y A' (x) = -3 si x < 1, h' (x) = -1 
si 1 < x < 2, h' (x) = 1 si 2 < x < 3 y // ' (_x ) ~ 3 si .v > 3. Por consiguiente,los 
extremos de h en [0, 4] se alcanzan en alguno de los puntos 0, 1, 2, 3, 4 y como
A(0) - 6, /?(!) - 3, /?(2) = 2, A (3) - 3, /? (4) - 6,
el máximo de h en [0, 4] es 6 y se alcanza en los extremos del intervalo y el mí­
nimo es 2 y se alcanza en el punto 2.
2. Uno al menos de los dos números x, y ha de ser positivo (porque su suma es 
positiva). Pero si uno es positivo y el otro negativo, el producto xy es negativo, 
mientras que si a e y son positivos, xy es positivo. Como el producto xy ha de ser 
el mayor posible, los dos factores han de ser positivos, y como y = 32- x, será 
0 < x < 32. Se trata, pues, de determinar los puntos x del intervalo [0, 32] en los 
que la función /(x) = x (32 - x) alcanza su valor máximo. Ahora bien, f es 
derivable en todo punto y
f (x) - 32 - 2x
luego/'(x) = 0 para x = 16, y como
/(O) = 0,/(16) - 256,/(32) = 0,
el valor máximo de f en [0, 32] es 256 y se alcanza en x = 16. Así pues, los dos 
números buscados son
x = 16, y -- 32 - x - 16
3. Las dimensiones del texto impreso serán x y 288/x y las de la hoja, x + 2 
y 288/x + 4 y como x > 0, el área de la hoja viene dada por la función 
f: (0, +x) -> IR definida por
f(x) = (x + 2) 288, . 4^ - 4V + 2% + .
Esta función es derivable en todo punto x e (0, + x) y
< 576 4x2 - 576 4 z
f(x) = 4 - —2- =------ 2------ -- — + 12)(x - 12)x x x
luego/'(x) = 0 en x = 12. Para 0 < x < 12 es/(x) < 0 y para x > 12 es/'(x) > 
0, luego/es decreciente en (0, 12) y creciente en (12, + x) y, por tanto,/tiene un 
mínimo en x = 12. Las dimensiones de la hoja de menor área son pues
12 + 2=14 cm y ----- + 4-28 cm.
12
4. M(t) es el máximo de la función continua
= 1—íl
X
si X < t
si X > t
238
ANALISIS MATEMATICO I V/ 17
en el compacto [a, b]. Esta función es derivable en todo punto x / t y
t¡x2 si X < t
—tíx2 si X > t
luego f no se anula en ningún punto y el máximo de f en l¿7, b] se alcanzará en 
uno de los extremos a, b o en el punto t en el que f no es derivable, y como 
f(f) = 0 y f(x) > 0 para todo x =k t, el máximo A/(Z) de f en [a, b] se alcanza en 
uno de los extremos x = a o x = b.
Será M(t) =f(b) = (b - t)/b cuando f(a) < f(b), es decir, cuando (t ~ a)/a < 
(b -t)/b. Quitando denominadores resulta b(t - a) < a(b - t), luego (a + b)t < 
lab y t < 2ab/(a + b).
Será = (t - a)ia cuando f(a) > f(b) y, de manera análoga a como
hemos hecho antes, se ve que esta condición equivale a que t > lab/(a +b).
Ahora bien, la función M: [a, b] -> IR definida por
M(t) =
b - t ___
t - a
a
si t < labl(a + b)
si t > lab!{a + b)
es derivable en todo / / labl{a + b) y M'(t) = ~I/b si t < lab/(a + b) y 
M'(t) - 1/u si t > lab! (a + b), luego M' no se anula y el mínimo de M en [a, b] se 
alcanzará en uno de los extremos a, b o en el punto lab!(a + b) en el que M no 
es derivable, y como
M(a) = (b - a)/b, M(2ab/(a + b)) = (b - a)/(a + b), M(b) ~ (b a)/at
el valor mínimo de M(í) en [a, b] es (b - a)/(a + b) y se alcanza en t = lab!(a + b).
5. Supongamos en primer lugar que n es par. Si la ecuación dada tuviese k > 2 
soluciones reales, la función f(x) = xn + ax + b se anularía en k puntos y, por el 
teorema de Rolle, su derivada
f’(x) = nxn " 1 + a
se anularía en k - 1 > 1 puntos. Pero esto es imposible porque si n es par,/' sólo 
se anula en x = n^/ -a!n.
Supongamos ahora que n es impar. Si la ecuación dada tuviese k > 3 soluciones 
reales, / se anularía en k puntos y, por el teorema de Rolle,/' se anularía en k - 1 
> 2 puntos. Pero esto es imposible porque si n es impar,/'(x) / 0 para todo x dR 
cuando a > (),/(x) - 0 para x = 0 cuando a = 0 y/(x) = 0 parax = ±\/ -a/n 
cuando a < 0.
239
V / 18 ANALISIS MATEMATICO I
6. La función
h(x) = [f(x) -f(a)][g(b)-g(x)]
es continua en |¿¿, b\ y derivable en (a, b) y se anula para x = a y para a /? y. 
por el teorema de Rolle, existe al menos un c e (a, b) tal que h'(c) - 0, y como
h'(x) =f(x)[g(b) -g(x)l - g'(x)(/(x) -/(a)),
será
0 “ h'(c) =f(c)[g(b) - g(c)] - #'(c)[f(c) - /(¿OI
y, por tanto,
f(c)lg(b) - g(c)] - g'(c) [f(c)
para algún c e (a, b). Además, como g'(x) t 0 para todo a e (a, b), aplicando el 
teorema del valor medio a g en el intervalo [c, b] se deduce que g(b) - 
- g(c) r 0, con lo que la última igualdad se puede escribir
f{c) ~f(a) = f(c) 
g(b)-g(c) g’(c)
7. Para a > 0 la función f(t) = t2/3 es continua en el intervalo [x, x + 1] y derivable en 
(x, x + 1) y
2 
/'(0=-r*'3 =
3
2
y como
(,v+o2'3 - a-3 =/(a +1) = o + v
2 
lim [(x + l)2z3 -x2/3] = lim ——=■ = 0 
t +x 3</t
(x + 1) - X
por el teorema del valor medio, existe un i e (x, x + 1) tal que
(x + 1)2/3 - x2/3 — 2
3^7
Ahora bien, para x < t < x + 1, t tiende a +x cuando x tiende a +x y 
recíprocamente, y de la igualdad anterior resulta
240
ANALISIS MATEMATICO I V/ 19
8. Bastará probar que / es derivable y que/'(a) -0 para todo a e IR, lo cual es 
inmediato pues, para * / a es
/(x) -/(«)
x - a
y, por tanto,
9. La función f: (-1, +oo) -> IR definida por
/(x) = (1 + x)n — nx - 1
es derivable y
luego /(x) = 0 únicamente cuando x = 0. Para -1 <x < 0 es /(x) < 0 y pa­
ra x > 0 es/(x) > 0, luego/es decreciente en (-1, 0) y creciente en (0, +x), y 
el mínimo de / en (-1, +oo) es /(0) = 0. Por consiguiente,/(x) > 0 para todo 
x e (—1, +oo), es decir,
(1 +x)n > 1 + nx para todo x > -1.
10. Los dos límites pueden calcularse aplicando la regla de l’Hópital:
1 1
lim
.V 2 x
x/x2 ~ 4
r -v ~ 4(\/jc + v/x - 2) hm —---------w v---------
- 2+ 4xx/x\/x - 2
Jx + 2f/x + v/x - 2) 2v/2hm —--------- --------------------- —^7=
- 2+ 2xk /x 4-s/2
lim
..... .... + -----
3^(1 + x)2 3^(1 -x)2
2
22
3
241
ANALISIS MATEMATICO I VI / 1
TEMA VI
El teorema de Taylor
Esquema/resumen
6.1. Derivadas sucesivas.
6.2. El teorema de Taylor.
6.3. Máximos y mínimos relativos.
6.4. Funciones convexas.
243
ANALISIS MATEMATICO I Vi/3
Si f es una función con derivada finita en un abierto A, la función de A en IR que a 
cada x e A hace corresponder la derivada de / en x se llama derivada primera de/ y se 
designa por / o por/ó>. Si la función f: A -> IR tiene a su vez derivada finita en todo 
punto de A, la función que a cada .v e A hace corresponder la derivada de / en a se 
llama derivada segunda de / y se designa por f o por /(2).
Por recurrencia se definen las derivadas sucesivas de/’ Si la función/<« ~ ’h A -► IR 
tiene derivada finita en todo punto de A, la función que a cada x e A hace corresponder 
la derivada de f(n ~ 1) en v se llama derivada n-sima de / y se designa por f(nl
La fórmula de Leibnitz (6.1.2) nos da la derivada n-sima del producto de dos 
funciones. Esta fórmula se demuestra por inducción teniendo en cuenta las propiedades 
de los números combinatorios.
Dada una función / con derivada «-sima finita en un punto a, existe un único 
polinomio de grado menor o igual que n que coincide con / y sus n primeras derivadas 
en el punto a. Dicho polinomio se llama polinomio de Taylor de grado menor o igual 
que n de / en el punto a (6.2.1).
La regla de l’Hópital permite demostrar una propiedad importante de los polinomios 
de Taylor: El polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de / en a es una 
aproximación local de orden n de la función/en a (6.2.2). De esta propiedad se deduce 
un método para determinar los extremos relativos de una función (6.3).
Llamando En a la diferencia entre una función/ y su polinomio de Taylor P„ se 
puede escribir f(x) - Pn(x) + En(x). Esta expresión se llama fórmula de Taylor con 
resto E„(x). El teorema de Taylor precisa la forma del resto En(x) cuando la función/ 
tiene derivada «-sima continua en un intervalo [a, b) y derivada (« + l)-sima en (a, b), 
(6.2.3).
En el párrafo 6.4 se estudian las funciones convexas. Una función / es convexa en 
un intervalo cuando su gráfica queda por debajo de cada una de sus cuerdas. Las 
funciones convexas son continuas y tienen derivadas laterales finitas, estas derivadas 
son funciones crecientes y, en cada punto, la derivada por la izquierda es menor o igual 
que la derivada por la derecha (6.4.3 y 6.4.4).Para las funciones derivables, la conve­
xidad equivale al crecimiento de la primera derivada. De aquí resulta que una función 
con derivada segunda positiva en un intervalo es convexa en dicho intervalo.
245
ANALISIS MATEMATICO I VI/5
6.1. DERIVADAS SUCESIVAS
6.1.1. Sean A un subconjunto abierto de IR y f: A -> IR una función con derivada 
finita en todo punto de A. La función de A en IR que a cada v e A hace corresponder la 
derivada de f en x se llama derivada primera de f y se designa por f o por/(I)
Si la función/': A -> IR es derivable en un punto x g A, entonces la derivada (/’)'(x) 
se llama derivada segunda de f en el punto x y se designa por/'(x) o por/2)(.r).
Si la función/': A -> IR tiene derivada finita en todo punto x e A, la función de A en IR 
que a cada _v c A hace corresponder la derivada segunda de/en .v se llama derivada 
segunda de / y se designa por /" o por L2’.
Por recurrencia se definen las derivadas sucesivas de /:
Si la función f(n ~ A -> IRes derivable en un punto x e A, entonces la derivada 
(/" - D)'(x) se llama derivada «-sima de / en el punto x y se designa por f(n)(x).
Si la función ~ A -> IR tiene derivada finita en todo punto xeA, la función de A 
en IRque a cada % e A hace corresponder la derivada n-sima de/en x se llama derivada 
n-sima de / y se designa por f(n>.
Con el fin de unificar notaciones se escribe a veces /íü) = /
Observación: Según estas definiciones, para que una función / tenga derivada 
«-sima en un punto x, ha de existir y ser finita la derivada/<" ~ J>en un entorno de x.
Ejemplos:
1. Sean a e IR, m e IR y /: IR -> IR la función definida por
f(x) = (x -- a)m.
247
VI/6 ANALISIS MATEMATICO I
Entonces
f (_v) — m (x - a)m ~ 1
f'(x) - m(m - 1)(t - a)”’ ~ 2
f"'(x) = m (m - l)(m - 2)(x - a)m “3
y por inducción resulta que si n < m,
mf
= m(m - 1) ... (m - n + l)(.v - a)m " = ------------(x - a)m "
(m — n)!
mientras que si n > m,
fin\x) = 0
para todo .v e IR.
2. Sean a e IR, m e N y f: IR - {«} —► IR la función definida por
= (x - «)""•
(.V ™ í/)m
Entonces
f (.r) - —m(x - a)~m~]
f”(x) - m(m + l)(x — a)-"1 “ 2
f"(x) = -m(m + l)(m + 2)(x - a)~m ~ 3
y por inducción resulta que para todo n e N,
( - l)"(m + n - 1)’= (w + 1) ... (m + n ~ l)(x ~ a) m " = ---------------------------
(m - 1)!(.y — a)m +"
para todo .v * a.
6.1.2. La siguiente proposición nos da la fórmula de la derivada «-sima de un 
producto. Esta fórmula se conoce con el nombre de fórmula de Leibnitz.
Proposición: Si f y g tienen derivadas n-simas finitas en un punto x entonces la 
función fg tiene también derivada n-sima en x y
= y f¿ ■*W-
k = 0 X /
Demostración: Procederemos por inducción sobre n. Para n = 1 la fórmula es 
cierta según la regla de derivación de un producto. Supongámosla cierta para n - 1, es 
decir, supongamos que
n - 1
“ n(.v) - k ^f{k\x)g^n ~ k ~ }\x).
248
ANALISIS MATEMATICO I VI/7
Entonces también es cierta para n puesto que
n - 1
jt = o
- k\x) + f(k + n(x)g (n - k +
= (" 0 + r 7 yw" - ■>« + -• + (y Z +
+ - í)^"‘+ (” o ~ ’w + (" 7 jrw"-2)« + •■• +
+ ... + (nn Z jV'"- + (" Z ¡)m«
n ~
k =
y(M(x)g(« -z;)^) +
n / \
= X \k]f{k}(x^(n ~Á,u) 
k = 0 \ /
ya que
6.2. EL TEOREMA DE TAYLOR
6.2.1. Proposición: Si f es una función con derivada n-sima finita en un punto a, 
existe un único polinomio Pn de grado menor o igual que n que verifica las n + 1 
condiciones
P„(a) = f(a), P,',(a) =f(a), P"(a) = f(a)....... P™(a) =f^(a).
Dicho polinomio viene dado por
Pn(x) =f(u) + “ a) + ~ a)2 + (x - afi
y se llama polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f en a.
Demostración: Desde luego el polinomio
=f(a) + qy _ a) + qq(x - a)> +... + - a)-
249
VI/8 ANALISIS MATEMATICO I
verifica las n + 1 condiciones
P,(a) =/(«), P’„(a) =f(a), P"(a) = .... P„<%) =/<”)(«).
Consideremos ahora un polinomio
= c0 + - a) + c2(x ~ a)2 + ... + c„(.r - a)n
que verifique las n + 1 condiciones del enunciado. Como
Pn(a) = c0, P'n(a) = cx, P^a) = 2lc2, P™(a) = n !c„,
habrá de ser
= /(«), C, = f(afi c2 = ——, cn = -< ;
2.! n!
y, por tanto,
P„(X) =/(«) + - a) + - a? + ... + -«y,1 ! 2! n!
6.2.2. Proposición: Sea f ima función con derivada n-sima finita en un punto a y 
sea Pn el polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de f en el punto a. 
Entonces
Demostración: Como
lim ^-P'^ 
r - a (X - a)n = 0.
p„(a) = f(q), P„(a) =f(a), P'¡fq) - f'{af ..., P%\a) = f<-n\a),
la función F(x) = f(x) - P,,(x) y sus n - 1 primeras derivadas tienen por límite 0 
cuando .r tiende hacia a. Asimismo, la función G(jc) = (a — a)n y sus n — 1 primeras 
derivadas tienen por límite 0 cuando x tiende hacia a. Además,
limx “+ a
F(n - l)(%)
G<« - *)(x)
lim f<!l - - fin - - a)
< a n!(x - a)
1 fin ~ ’Vx) - fln “ - lim _L ¿¿
.r -* a n ! |_ x ~ a
= 0
según la definición de/(/,)(a). Podemos pues aplicar la regla de l’Hópital n - 1 veces 
para obtener
f(x) - Pn (x) v F(x) ~ ¡)(x)]im - bm ——- - hm---------—
X - a (X - a)n X - fl G(x) X • a G(n ~ *>(x)
- 0.
250
ANALISIS MATEMATICO I VI/9
6.2.3. Sea f una función con derivada «-sima finita en un punto a y sea Pn el 
polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de/en a. Poniendo E„(x) = f(x) - 
— Pn(x) podemos escribir
f(x) — f(a) + ~ a) + ^^-(x - a)2 + ... + (x - a)n + En (x)
1 ! 2! n!
Esta expresión se llama fórmula de Taylor con resto En(x).
Con las hipótesis hechas para la función / la única información que tenemos del 
resto En(x) es que verifica
Imponiendo nuevas condiciones a la función / se puede precisar la forma de En(x):
Proposición. (Teorema de Taylor): Sea f una función con derivada n-sima continua 
en un intervalo [a, b) y derivable en (a, b). Entonces, para cada x e (a, b) es
f(x) =f(a) + ~ a) + ~ «)2 + ••• + - ~ a)n +1! 2! ni
donde el resto En(x) puede escribirse de las siguientes formas:
f(n + l)/c\
a) En (x) - ------------- (.x ~ c)n + 1 p(x - a)p con p e N y c e (a, x).
n Ip
(Resto de Schlómilch.)
fin +
b) E (x) - ------------ (x - c)M(x — a) con c e (a, x). (Resto de Cauchy.)
n !
/" + ’^c) ,c) En(x) ------------ — (x - a)'1 + 1 con c e (a, x). (Resto de Lagrange.)
(n + 1) ’
Demostración: Para cada x e (a, b) la función F: \a, xj -> IR definida por
F(t) = fV) + ~fx - t) + ~~(x - t)2 + ... + /(/ (x - t)"
1 ! 2! ni
es continua en [a, x] y derivable en (a, x) y
f(n +Eft) = ~- tr n !
para cada t e (a, x), y si G es otra función continua en [a, x] y derivable en (a, x), por 
el teorema de Cauchy existe un c e (a, x) tal que
[F(x) - F(íz)]G'(c) - F'(c)[G(x) - G(«)].
Ahora bien,
+ D(c)F(x) - F(a) = En(x) y F'(c) =-------¡-¿(x - c)n
n !
251
VI ¡ 10 ANALISIS MATEMATICO I
y si G' no se anula en {a, x) podemos escribir
=
G(x) — G(a) 
gW)
Para la función G(z) = (x - Z)p donde p e N resulta
G(x) - G(a) _ (x - a)p
G' (c) p (x — c)p ~ 1
y, por tanto,
f(n + ‘Ye)En(x) = - -------1J-(X - cy + 1 -P(x - ay.
n !p
Haciendo ahora p “ 1 se obtiene
f(« + i)(C)
En{x) =-------(x - cy(x - a)
n !
y si se hace p = n + 1 resulta
f(n + Wc)£ (jc) - 1-------- a)n +
' (n + 1)! v 7
6.2.4. Supongamos que se verifican las hipótesis del teorema de Taylor y que 
además es \f^n + !)(x)| < M para todo x g (a, b). Entonces, para cadax g (a, h), un valor 
aproximado de f(x) está dado por
f(a) + - a) + - a)2 + ~ a)"1 ’ 2! n!
y se puede acotar el error En(x) cometido en esta aproximación puesto que
M|E (x)| < ------- -—(x - ay + *.1 " 71 (n + 1)!
Ejemplo: Para calcular
Taylor a la función /'(x) =
^/9 con un error menor que 10 4 aplicamos el teorema de 
5/x: Existe un c e (8, 9) tal que
/(9) = í(8) + Ejj + + /<" * ‘V) 
n! (/?+!)!
y como
f’{n + x\c)
(n + 1)1
2 • 5 ... (3zz - 1) 
3" + i • + 2>/3 ’(« + !)!
2 ■ 5 ... (3/7 - 1)
3Í! + 1 • 23/1 + 2. -1- i); ’
252
ANALISIS MATEMATICO I VI/11
bastará tomar un n tal que
2-5... (3n - 1) < w_4
3" + 1 ■ 23n + 2 • (rt + 1)!
lo cual se verifica para n = 3, y el valor buscado es
/(8) + L®L + f (8) - 2 +---- - - ...i.................. -r + 5 - 2,0801.
1! 2! 3! 3 • 22 32 • 2 3" • 2K
6.3. MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
Definición: Se dice queuna función f definida en un conjunto A C IR tiene un 
máximo relativo (respectivamente, un mínimo relativo) en un punto a e A cuando existe 
un entorno N(a) tal que f (a) > f(x) (respectivamente, f(a) < f(xj) para todo x eÁÍ)N(a).
Como caso particular de la proposición 5.1.2 resulta:
Proposición: Si una función f definida en un abierto A G IR tiene un máximo o un 
mínimo relativo en un punto a e A y f es derivable en a entonces f'(a) - 0.
Observaciones: Una función f puede tener un máximo o un mínimo relativo en un 
punto a sin que sea f’(a) = 0. También puede serfja) = 0 sin que/tenga ni máximo ni 
mínimo relativo en a. Los mismos ejemplos dados en 5.1.2 demuestran estas afirmacio­
nes.
Proposición: Sean a e IR y f una función definida en un entorno de a con derivada 
positiva en un intervalo a la izquierda de a y negativa en un intervalo a la derecha de 
a. Entonces f tiene un máximo relativo en a. Análogamente, si f tiene derivada 
negativa en un intervalo a la izquierda de a y derivada positiva en un intervalo a la 
derecha de a entonces f tiene un mínimo relativo en a.
Demostración: En el primer caso existe un <i > 0 tal que/es creciente en (a - <i,
a] y decreciente en [«, a + ti) y, por tanto,/(x) < f(a) para todo x e (a - <5, a + <5) y/ 
tiene un máximo relativo en a. En el segundo, existe un <5 > 0 tal que/es decreciente 
en (a - ti, aj y creciente en [a, a + ¿>), luego/(x) > f(a) para todo x g (a - ó, a + <5) 
y f tiene un mínimo relativo en a.
Ejemplo: La función/(x) - x3 - 3x es derivable en todo punto, luegó alcanzará 
sus extremos relativos en puntos que anulen a su primera derivada. Ahora bien, como 
/'(x) = 3x2 - 3 es/'(x) = 0 parax = -1 y para x = 1. Para x < —1 es/'(x) > 0; para 
-I < x < 1 es/(x) < 0; para x > 1 es/(x) > 0. Por consiguiente,/tiene un máximo 
relativo enx = -1 y un mínimo relativo en x = 1.
Proposición: Sea f una función con derivada n-sima finita en un punto a y supon­
gamos que f'(q) = ... = f(t’ ~ l)(a) = 0 y que f(r,)(a) 0.
a) Si n es par y f(n}(a) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en a.
b) Si n es par y f{ffia) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en a.
c) Sin es impar entonces f no tiene ni máximo ni mínimo relativo en a.
253
VI/ 12 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: El polinomio de Taylor de grado menor o igual que n de /en a es 
p„« = /(«) + - a) + ... + L-M. -«)"-■ + - ay
1! (n ~ 1)! n !
= f(a) + (x - af. 
n !
Pero por la proposición 6.2.2,
o = lim ~ P"(X> = lim ~/(g) -
x -> a (x - a)n x -> a |_ (x - a)n n !
y, por tanto, en un entorno reducido N*(a)
f(x) ’ f(a) • i ■ f(n)(a)-------- - --- tiene el mismo signo que --------(x - a)n n !
Si n es par entonces (x - a)n > 0 y para cada x e 7V*(«) será/(x) - fia) > 0 o/(x) 
- f(a) < 0 según que sea/(n<a) > 0 o./"//) < 0. En el primer caso f tiene un mínimo 
relativo en a y en el segundo, un máximo relativo.
Si n es impar entonces (x - a)n es positivo o negativo según que seax > a o x < a 
y la diferencia /(x) - f(a) tiene signos distintos para x > a y para x < a, luego / no 
tiene ni máximo ni mínimo relativo en a.
Ejemplo: La función f(x) = x5 - 2x4 + x3 es derivable en todo punto, luego 
alcanzará sus extremos relativos en puntos que anulen a su primera derivada. Ahora 
bien,
f(x) = 5x4 - 8x3 + 3x2, /'(x) = 20x3 - 24x3 + 6x, /"(x) - 60x2 - 48x + 6
y/'(x) = 0 para x = 0, para x = 3/5 y para x = 1. Como/(0) = /'(O) = 0 y/"(0) = 6, 
/no tiene máximo ni mínimo relativo en x = 0. Como/'(3/5) = -18/25 < 0,/tiene un 
máximo relativo en x = 3/5. Finalmente, como /'(l) = 2 > 0, / tiene un mínimo 
relativo en x - 1.
6.4. FUNCIONES CONVEXAS
6.4.1. Definición: Se dice que una función / es convexa en un intervalo abierto I 
cuando cualesquiera que sean los puntos a y b de I y para todo t e (0, 1) se verifica
f(ta + (1 - t)b) < tf(a) + (1 - t)f(b).
La desigualdad de convexidad tiene una interpretación geométrica sencilla:
Sea / una función convexa en un intervalo abierto / y sean a y b dos puntos de / 
tales que a < b. La recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, de la gráfica de/es la 
gráfica de la función
íw=/(a)+/(í0z2w-«).
b - a
254
ANALISIS MATEMATICO I VI/13
Pongamos a = ta + (1 - t)b. Cuando t varía entre 0 y 1 el punto x recorre el intervalo 
(«, b) y como
g(x) = g(ta + (1 - t)b) = f(a) + —^-(1 - t)(b - a) = tf(a) + (1 - t)f(b),
b — a
la desigualdad de convexidad se puede escribir
/(x) < #(*) para todo % e (a, b)
y esto significa que la gráfica de f queda por debajo de la gráfica de g en el intervalo 
(a, b).
Por consiguiente, si una función f es convexa en un intervalo abierto I entonces, 
cualesquiera que sean los puntos a y b de I, la gráfica de f queda por debajo del 
segmento rectilíneo que une los puntos (a, /(«)) y {b, f(b)) de la gráfica de f
6.4.2. Proposición: Si f es una función convexa en un intervalo abierto I y a, b y 
c son puntos de l tales que a < c < b entonces
f(c) ~f(a) < f(b) -f(a) < f(b) - (c) 
c - a b — a b - c
Demostración: Si es a < c < b entonces 0 < {b - c)l{b - a) < 1 y haciendo 
t = (b - c)!(b - a) en la desigualdad de la definición resulta
, b ~ c c — a f(c) < -------f(a) + ~------ f(b)
b ~ a b - a
y, por tanto,
/ b — c 
f(c) -fia) < ----- -
\b ~ a
Ó/(«) +4-- ~f{b)
) b — a
-h---- -ña)b — a b - a
~~——(f(b)—f(a))
255
VI/14 ANALISIS MATEMATICO
c — a 
b - a
f(b) ~ f(c) >
b
~b —f(a) + a
ñb)
b - c x b - c1./. 
t------fW + T------ f(b)b - a b — a 
= -f-~(f(b) ~f(a)) 
b — a
y como c - a y b — c son positivos, estas dos desigualdades se pueden escribir
f(c) - f(a) < f(b) - f(a) < f(b) - f(c) 
c — a b - a b - c
También esta proposición tiene una interpretación geométrica sencilla: Si / es 
convexa en I y a, b y c son puntos de / tales que a < c < b entonces la pendiente de 
la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (c, f(c)) es menor que la pendiente de la 
recta que pasa por los puntos (a, /(«)) y (b, f(b)) y ésta es menor que la de la recta que 
pasa por íc, f(c)) y (b, f(b)).
6.4.3. Proposición: Sifes una función convexa en un intervalo abierto I entonces 
f tiene derivadas laterales finitas en todo punto de /, la derivada por la izquierda y la 
derivada por la derecha son funciones crecientes y, en cada punto, la derivada por la 
izquierda es menor o igual que la derivada por la derecha.
Demostración: Sea a un punto arbitrario de I. De la proposición anterior se 
deduce que la función g: I - {<?}-> IR definida por
( . /(■*) ~fW
x — a
para cada x f a de I es creciente pues si x e y son dos puntos de l - {«} tales que 
x < y entonces
a < x < y implica /(x) - f(a) < /(y) - f(a) < f(y) - f(x) x - a y - a y - x
a<y impllca rw < /w < Zw -fgl 
a - x y — x y - a
256
ANALISIS MATEMATICO I VI/ 15
y
,v < y < a implica f(y) ~f& < ™ ~ < Z<fl>
y — x a - x a - y
luego en todo caso
,<y implica -f(a)
x - a y - a
Por consiguiente, existen y son finitos los límites laterales de g en a y el límite por 
la izquierda es menor o igual que el límite por la derecha. (Véase el ejercicio 10 del 
tema 2.)
Además, si a y b son dos puntos de / tales que a < b, de la proposición 6.4.2 se 
deduce que cualesquiera que sean los puntos .v e y de I tales que a < x < b < y se 
verifica
f(x) — f(a) < f(b) ~f(x) < f(b) -f(a) < f(y) ~ f(b)
x - a b - x b - a y — b
y, por tanto,
.. /(*)-/(<*) .. f(y) ~f(b)hm --------------- < lim --------- ------,v «+ .v - a y b+ y - b
luego la derivada por la derecha de f es una función creciente.
De manera análoga se prueba que también la derivada por la izquierda de f es una 
función creciente.
6.4.4. Proposición: Si f es una función convexa en un intervalo abierto I entonces 
f es continua en I.
Demostración: Según hemos visto en la proposición anterior, f tiene derivadas 
laterales finitas en cada punto de / lo cual implica que es continua por la izquierda y 
por la derecha en todo punto de /.
6.4.5. Proposición: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I. Enton­
ces f es convexa en I si y sólo si f es creciente en I.
Demostración: Si f es convexa en 1 de la proposición 6.4.3 se deduceque f es 
creciente en /.
Recíprocamente, supongamos que f es creciente en I y sean a y b dos puntos 
cualesquiera de / tales que a < b. Pongamos x = ta + (1 - t)b donde 0 < t < 1. 
Queremos probar que
/(*) < tf(a) + (1 - t)f(bf
Poniendo/(.r) = tf(x) + (1 - t)f(x), la desigualdad a demostrar se puede escribir en la 
forma
-/(«)) < (1 “ -/(■*))
257
VI/ 16 ANALISIS MATEMATICO I
Ahora bien, el teorema del valor medio aplicado a f en los intervalos [a, x] y [jr, b] 
asegura la existencia de puntos c e (a, x) y d e (x, b) tales que
f(x) -f(a) =f(c)(x - a) y f(b) - f(x) = f (d)(b - x)
Pero f'(c) < f'(d) por ser f creciente, y como t(x - a) - (1 - t)(b - x), se tiene
t(f(x) -/(«)) = - a) < (1 - - x) = (1 t)(f(b) -/(x))
conforme queríamos demostrar.
Proposición: Si f es una función con derivada segunda positiva en un intervalo 
abierto l entonces f es convexa en L
Demostración: Es consecuencia inmediata de la proposición anterior puesto que si 
f es positiva en I entonces f es creciente en /.
6.4.5. Definición: Se dice que una función f es cóncava en un intervalo abierto I 
cuando cualesquiera que sean los puntos a y b de I y para todo t e (0, 1) se verifica
f(ta + (1 - t)b) > tf (a) + (1 - t)f(b).
Obsérvese que/es cóncava en I si y sólo si -/es convexa en /. Este hecho permite 
obtener las propiedades de las funciones cóncavas a partir de las de las funciones 
convexas. Nos limitaremos a enunciarlas:
Proposición: Si f es una función cóncava en un intervalo abierto I y a, b ye son 
puntos de I tales que a < c < b, entonces
f(c) -f(a) > f(b) - f(a) > f(b) - f(c) 
c — a b — a b - c
Proposición: Si f es una función cóncava en un intervalo abierto l entonces f tiene 
derivadas laterales finitas en todo punto de 1, la derivada por la izquierda y la derivada 
por la derecha son funciones decrecientes y, en cada punto, la derivada por la 
izquierda es mayor o igual que la derivada por la derecha.
Proposición: Si f es una función cóncava en un intervalo abierto I entonces f es 
continua en I.
Proposición: Sea f una función derivable en un intervalo abierto I. Entonces f es 
cóncava en I si y sólo si f es decreciente en I.
Proposición: Si f es una función con derivada segunda negativa en un intervalo 
abierto I entonces f es cóncava en I.
Definición: Los puntos x en los que una función f pasa de cóncava a convexa o 
viceversa se llaman puntos de inflexión de /
258
ANALISIS MATEMATICO I VI/17
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROB ACION
1. Hallar la derivada «-sima de la función/? IR- {2, 3} -> IR definida por
2. Hallar las derivadas sucesivas de la función/: [-1, 1] -> IR definida por
f(x) = X/1 - x2 
en el punto a - 0.
3. Una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 4 
está formada por los polinomios 1,at — 3, (x — 3)2, (a - 3)3 y (z - 3)4. 
Determinar los coeficientes del polinomio
a:4 - 12a’ + 44x2 + 22x + 1 
en dicha base.
4. Sea/' IR —> IR una función con derivada segunda continua y sea a e IR. Calcular
Jim 2^a + ~ + 2f^ +f(a)
h -> o 3h2
5. Sea/una función con derivada segunda continua en [0, 1] tal que /(O) = 0. Probar 
que la sucesión (an) definida por
es convergente y calcular su límite.
259
VI/18 ANALISIS MATEMATICO I
6. Determinar los extremos relativos de la función
f(x) = (x - 2)2(x - 3)3.
7. Se dice que la recta vertical a = a es asíntota a la gráfica de una función/si f(x) 
tiende a -oc o a +oo cuando a tiende hacia a por la izquierda o por la derecha. 
Se dice que la recta no vertical y = ax + b es asíntota a la gráfica de / si /(x)/a 
tiende hacia a y f(x) - ax tiende hacia b cuando x tiende a -oo o a +oo. 
Determinar las asíntotas a las gráficas de las funciones
v 2 — A ---------
= —-2---- - y g(x) ---tí v.v2 - 1.
x — 9
8. Estudiar la función
y dibujar su gráfica.
9. Estudiar la función
y dibujar su gráfica.
10. Estudiar la función
f(x) = {/x2(x + 1) 
y dibujar su gráfica.
260
ANALISIS MATEMATICO I VI/ 19
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROB ACION
1. Descomponiendo en fracciones simples se obtiene
y como la derivada //-sima de la función
2. Se tiene
y, por tanto, la función dada verifica
(1 - *2)/'(*) - xf(x) +/(■*) = 0.
261
VI/ ANALISIS MATEMATICO I
Derivando miembro a miembro n - 2 veces resulta
(" : 2)(1 - x2)f<"\x) +(n~ 2\-2x)f<- - <\x) + (" ~ 2) (-2)/”~\x)
- 0 2) x/(" ’ _ T r '2>w + /l"'2W = 0
y haciendo ahora x = 0 se obtiene
/^(O) - [(« - 2)(n ~ 1) + (/i - 2) - llf« ’ 2>(0) = 0
es decir,
fw(0) = [(rt - l)2 - 2]/<” - 2>(0)
luego, si n es impar
/("’(0) = [(3 - l)2 - 2] • [(5 - l)2 - 2] ... l(n - l)2 - 2]/(0)
y si n es par
/‘"'(O) = [(4 - l)2 - 2] • [(6 - l)2 - 2] ... [(« - l)2 - 2]/'(0)
y como /'(O) = 0 y /”(0) = — 1, si n es impar
/'"'(O) = 0
y si n es par
/W) - -[(4 - l)2 - 2] • [(6 - l)2 - 2] ... [(» - l)2 - 2].
3. Son los coeficientes del polinomio de Taylor de grado menor o igual que 4 de la 
función/(x) = x4 - 12x3 + 44x2 + 22x + 1 en el punto 3:
- e/i\ - ™ - T<3) 7<1 z, - -m—/(3) 200, a! p 70, a2 — 10,
a =2ZW_ = 0 a - /M)(3) - 1
3 3! 4!
4. Por el teorema de Taylor existen un c{ interior al intervalo de extremos a y 
a + 3h y un c2 interior al intervalo de extremos a y a + 2h tales que
9
f(a + 3h) - fía) + 3f(a)h + -^f(c})h2
y
f(a + 2h) =f(a) + 2f(a)h + 2f(c2)h2
262
ANALISIS MATEMATICO I VI/21
y, por tanto,
2/(¿z + 3/z) ■ 3f(a + 2/z) + f(a) = 3/'(c,) - 2/'(c,).
Ahora bien, c, y c, tienden hacia a cuando h tiende a 0 y como/' es continua.
lim 2Z(a t 3/,)—3{(f + 2Z,> + Z<"> = 3/”(«) _ = f(«).
h- o 3/r
5. Por el teorema de Taylor, para cada k e N existe un ck e (0, klrr) tal que
/(-V) = /(«) + V(0) +Xf(c() 
y/r J rr 2n
y como /(O) = 0,
fl" = ¿ f( V) = ¿ * + 5^7 I m,)
\n } ti '—1 2n ¿-1 
k = i K z a = i k = i
= ^21/(0) + ¿ ¿ A-7"(e,).
Ahora bien, como f es continua en [0, 11 existe un M > 0 tal que |/'(*)| < M 
para todo x e [0, 1] y
1 V /-/'/z. \ <r M V M - ^n(n + l)(2n + 1)/<Cí) ----------
A - 1 A= ]
luego
lim ^4- E = 0 
n ¿.n k = 1
y como
lim2íL2)/(0) = I^L 
n 2n 2
resulta
lim an 
n
7(0)
2
263
VI/22 ANALISIS MATEMATICO I
6. f es derivable en todo punto, luego alcanzará sus extremos relativos en puntos x 
en los que/'(x) = 0. Ahora bien,
f'(x) = 2(x - 2)(x - 3)3 + 3(x - 2)(x - 3)2
- (x - 2)(x - 3)2[2(x - 3) + 3(x - 2)]
= (x - 2)(5x - 12) (x - 3)2
luego es /'(x) = 0 para x = 2, para x - 12/5 y para x = 3.
Para -oo < x < 2 es/(x) > 0. Para 2 < x < 12/5 es/(x) < 0. Para 12/5 < x 
< 3 es f(x) > 0. Para 3 < x < + oo es f(x) > 0. Por consiguiente, f tiene un 
máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x = 12/5. En x = 3 f no tiene 
máximo ni mínimo relativo.
Podríamos haber llegado también a esta conclusión calculando las derivadas suce­
sivas de/en 2, 12/5 y 3. Resultan/'(2) ~ ~2 < 0,f'(12/5) = 18/25 > 0,/'(3) = 0 
y/'"(3) = 6*0.
7. Como
lim ,/’(x) - +oo y lim /(x) = -oo, 
x -3" x - -3 +
la recta x = -3 es asíntota a la gráfica de f.
Análogamente, como
lim /(x) = -oo y lim /(x) - +oo, 
x -> 3“ X -> 3 +
la recta x = 3 es asíntota a la gráfica de f.
Por otra parte, como
lim ^XJL - 0 y lim (/(x) - 0 • x) = 1,
X - ±x X x - ±x
la recta y = 1 es asíntota a la gráfica de /
Finalmente, como
lim = lim /1 + /i - = 2
x - ±x X x - ±oo \ V X /
y
lim (g(x) - 2x) = lim (x/x2 - 1 - x) - lim —------ — 0,
x/x2 ~ 1 + X
la recta y = 2x es asíntota a la gráfica de g.
264
ANALISIS MATEMATICO I VI/23
8. Como 1 + x2 0 para todo x g IR el dominio de / es IR. Para x = 0 es f(x) - 0 y 
recíprocamente, luego la gráfica corta a los ejes de coordenadas en el punto (0, 0).
La primera derivada de f es
f(x) = 1 ~x2
(1 + x2)2
y, por tanto, es /(x) = 0 para x = -1 y para x = 1. Para x < -1 es /(x) < 0. 
Para —1 < x < 1 es/'(x) > 0- Para x > 1 es f'(x) < 0. Por consiguiente,/es 
decreciente en (-oo, -1), creciente en (-1, 1) y decreciente en (1, +oo), tiene un 
mínimo relativo en x = -1 siendo/(—1) = —1/2 y un máximo relativo en x = 1 
siendo/(l) = 1/2.
La segunda derivada de / es
/V) =
2x(x2 - 3) 
(i -
y, por tanto, es /"(x) = 0 para x = -y/l, parax - 0 y para x = y/3. Para 
x < -5/3* es/"(x) < 0. Para ~y/3 < x < 0 es f'\x) > 0. Para 0 < x < es 
/"(x) < 0. Para x > >/3 es f”(x) > 0- Por consiguiente, / es cóncava en 
(-00, —\/T), convexa en (x/3, 0), cóncava en (0, y/3) y convexa en (y/3, +oo). 
En ->/T, 0 y \/3/ tiene puntos de inflexión, siendo f(~x/3) ~ -1/3/4, /(0) = 0 
y /(/3) - x/3M-
Finalmente, como
lim - 0 y hm (f(x) - 0 - x) = 0, 
±00 X x . +x. ’*
la recta y = 0 es asíntota a la gráfica de / y como /(x) es positiva o negativa 
según que sea x > 0 ó x < 0, la gráfica de / queda por encima de la asíntota en 
(0, + oc) y por debajo en (-oc, 0).
Podíamos haber simplificado el estudio teniendo en cuenta que / es una función 
impar, es decir que/(-x) = -/(x) para todox e IR y que, por tanto, la gráfica de / 
es simétrica respecto del origen de coordenadas. Habría bastado, pues, estudiar 
la función / en el intervalo [0, +00).
265
VI/24 ANALISIS MATEMATICO I
9. Como (1 + x)2 £ 0 para x / -1 el dominio de f es IR - {-1}. Para x = 0 es 
f(x) = 0 y recíprocamente, luego la gráfica corta a los ejes de coordenadas en el 
punto (0, 0).
La primera derivada de f es
re*) x\x + 3) (1 +*7 x *
luego es f'(x) = 0 para x = -3 y para x = 0. Para x < -3 es f'(x) > 0. Para 
~3 < x < -1 es f’(x) < 0. Para x > -1 es/'(x) > 0. Por tanto,/ es creciente 
en (-oo, -3), decreciente en (-3, -1) y creciente en (-1, + oo). En x = -3/tie­
ne un máximo relativo siendo /(-3) - -27/4.
La segunda derivada de / es
f(x) =
6x
(1 + *)4
x -1
luego es f'(x) = 0 para x = 0. Para x < 
f"(x) < 0. Para x > 0 es f"(x) > 0. Por 
(-1, 0) y convexa en (0, Loo). En x = 
/(0) = 0.
-1 es f"(x) < 0. Para — 1 < x < 0 es 
tanto,/ es cóncava en (-oo, -1) y en 
0 / tiene un punto de inflexión siendo
Como
lim /(x) - -oo y lim /(x) - -oo, JT —1 ” A > 1 +
la recta x = —1 es asíntota a la gráfica de / y como
lim =1 y lim (/(x) -x) = -2,
x —► ±sc X .i -> ±oo
la recta v - x - 2 es también asíntota a la gráfica de / Estudiemos la posición de 
la gráfica respecto de esta asíntota:
La diferencia
/(x) - (x - 2) = -^-X +
7 v 7 (1 + xy
es negativa para x < -2/3, nula para x = -2/3 y positiva para x > -2/3, 
luego la gráfica de / está por debajo de la recta y = x - 2 en (-oo, -1) y en 
(-1, -2/3), la corta en x = -2/3 y está por encima en (-2/3, +oo).
266
ANALISIS MATEMATICO I VI/25
Gráfica de ,/:
10. El dominio de j es IR. Para x = -1 y para x = 0 es/(x) = 0, luego la gráfica de f 
corta a los ejes de coordenadas en los puntos (-1, 0) y (0, 0).
La primera derivada de f es
3x + 2 , _/ (x) - x -1, x - 0
3</x(x + l)2
y como
/(*) “/(“I) r -í2y3
iim ----------------5-------- = lim —--------- — +OO,
,r- 1 X + 1 x- ~í (X + 1)2/3
es ./(-!) = +x. Sin embargo, como
/(*) ~/(0) = (x + 1)1/3
X X1/3
se tiene
lim /(■<) -/(0) = _ z y lim fW - /(O) =
a - 0“ A' .r - 0+ X
y f no es derivable en 0.
Para x < -2/3 esf'(x) > 0. Para -2/3 < x < 0 es/'(x) < 0. Para x > 0 es 
/'(x) > 0. Por tanto,/ es creciente en (-oo, —2/3), decreciente en (-2/3, 0) 
y creciente en (0, +oo). En x = -2/3 / tiene un máximo relativo siendo 
/(-2/3) = -í/4?3. En x - 0/ tiene un mínimo relativo siendo/(0) = 0.
267
VI/26 ANALISIS MATEMATICO I
La segunda derivada de f es
2 
f'(x) ~ ~---- ■ X * -1, X 0.
9</x4(x + 1/
Parax < -1 es/'(x) > 0. Para -1 < x < 0 es/'(x) < 0- Parax > 0 es/'(x) < 0. 
Por tanto,/es cóncava en (-oo, -1) y convexa en (—1, 0) y en (0, +oo). En 
x = -1 f tiene un punto de inflexión.
Como
1- /(*) r (* + í)1/3 r A , 1 \ 1/3 1lim -----— - lim ------------= lim 1 + — = 1
,v -» ±x X X - ±x X1/3 X - ±x \ X J
y
lim (/(x) - x) = lim x2/3[(x + 1)1/3 - x1/3]
v2/3
_ <• _______________ 2_________________
jr - ±x (x + 1)2/3 + (x + 1)1/3X1/3 + X2/3
3
la recta y = x + 1/3 es asíntota a la gráfica de / y como la diferencia
/(x) - fx + - ^x\x + 1) - (x + 1/3)
___________ x2(x + 1) - (x + 1/3/___________
^/x4(x + 1/ + (x + l/3)(/x2(x + 1) + (x + 1/3)2
1 9x + 1
27 (/x4(x + l)2 + (x + l/3)yx2(x + 1) + (x + 1/3)2
es positiva para x < -1/9, nula para x -1/9 y negativa para x > -1/9, la 
gráfica de/está por encima de la asíntota en (-ce, -1/9), la corta en x = — 1Z9 y 
está por debajo en ( — 1/9, +oo).
268
ANALISIS MATEMATICO I VI/27
Gráfica de /:
269
UNIVERSIDAD NACIONAL DE
EDUCACION A DISTANCIA
ANALISIS MATEMATICO I
Unidad didáctica/3
Temario:
I. La integral de Riemann.
II. Teoremas fundamentales del cálculo.
III. Funciones logarítmicas y exponenciales.
IV. Funciones trigonométricas.
V. Cálculo de primitivas.
VI. Cálculo de primitivas (continuación).
JESUS FERNANDEZ NOVOA, 
Doctor en Ciencias Matemáticas 
Profesor de la U.N.E.D.
ANALISIS MATEMATICO I 1/1
TEMA I
La integral de Riemann
Esquema/ resumen
1.1. Particiones de un intervalo.
Sumas inferiores y superiores.
1.2. Funciones integrables.
1.3. Propiedades de las funciones integrables y de la integral.
273
ANALISIS MATEMATICO I 1/3
Los orígenes del cálculo integral pueden fijarse en la Matemática griega, cuando 
Arquímedes ideó el método de exaución para determinar el área de un recinto. Este 
método consiste en inscribir y circunscribir en el recinto considerado regiones poligona­
les cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se puedan calcular 
fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que «la cantidad estudiada» que 
se aproximan tanto más a dicha cantidad cuanto mayor sea el número de lados de las 
regiones poligonales inscritas y circunscritas.
Con este método Arquímedes halló fórmulas para las áreas del círculo, del segmento 
de parábola y de otras regiones. La falta de técnicas algebraicas para expresar los 
cálculos en forma simplificada hizo imposible extender el método a otros tipos de 
regiones y no se aprecia ningún resultado nuevo en esta línea hasta el siglo xvn, 
durante el cual el método recibe un gran impulso gracias sobre todo, a los trabajos de 
Newton y Leibnitz. Pero fueron Cauchy y Riemann los que, en el siglo XIX, dieron al 
método de exaución una base matemática firme.
En este tema y en el siguiente se estudia la integral de Riemann. Se comienza con el 
estudio de las sumas inferiores y superiores de una función acotada/en un intervalo 
[a, b] y se prueba que el conjunto de las sumas inferiores está acotado superiormente 
por cualquier suma superior y que el conjunto de las sumas superiores está acotado 
inferiormente por cualquier suma inferior. Por tanto, el primero de estos conjuntos 
tiene supremo 5 y el segundo tiene ínfimo i y se verifica s < i. Cuando 5 = i la función 
f se dice integrable en [a, b] y el número real s = i se llama integral de f en [a, b].
Las sumas inferiores y superiores de una función acotada / en un intervalo [a, b] 
pueden interpretarse como áreas de regiones poligonales inscritas y circunscritas res­
pectivamente al recinto de ordenadas de la función / en el intervalo [a, b\. Esto pone 
de manifiesto la conexión existente entre el método de exaución y el procedimiento 
seguido para definir la integral y conduce a definir el área del recinto de ordenadas de 
una función integrable / como la integral de /. Así suele hacerse en las exposiciones 
elementales de la integral, pero nosotros pospondremos el problema del área hasta el 
momento en que nuevos conocimientos nos permitan definir el área de otros conjuntos 
más generales que las regiones de ordenadas de funciones integrables y que se llaman 
conjuntos medióles.
275
1/4 ANALISIS MATEMATICO I
En 1.2 se establece un criterio de integrabilidad, es decir, una condición necesaria 
y suficiente para que una función sea integrable y, con su ayuda, se prueba que las 
funciones monótonas y las continuas son integrables.
En 1.3 se estudian las propiedades más importantes de las funciones integrables y 
de la integral.
276
ANALISIS MATEMATICO I 1/5
1.1. PARTICIONES DE UN INTERVALO.
SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES.
1.1.1. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Una partición del intervalo 
[a, b] es un conjunto finito de números P = {x0, x2, que verificana = x0 < x, < x2 < xn = b.
Sean P y P' dos particiones de un intervalo [a, b]. Se dice que P es más fina que P' 
cuando P D P'.
Es evidente que, dadas dos particiones P y P' de un intervalo [a, ó], existen 
particiones de [a, b] más finas que P y que P' simultáneamente (por ejemplo, la 
partición P" -P U Pj-
Ejemplos:
1. Los conjuntos P — {0, 1}, P' = {0, 1/3, 1} y P ~ {0, 1/3, 1/2, 1} son tres 
particiones del intervalo [0, 1]. Además, P" es una partición más fina que P' y ésta es 
más fina que P.
2. Dado un intervalo [a, bj, los números dados por la fórmula 
para i = 0, 1, 2, n, constituyen una partición de [a, b] que divide en n partes iguales 
a este intervalo.
277
1/6 ANALISIS MATEMATICO I
1.1.2. Sea f: [a, b] -> IR una función acotada en [a, b]. Entonces, para cada 
partición P = {x0, xp x2, x„} de [a, b] y cada i ~ 1, 2, n, existen los números
m¡ - inf{/(x): x e J, x(-]}
y
M = sup{/(x): x e xj}
Sumando los n productos tn¡(xi - x¡ de cada uno de los números m¡ por la 
longitud x¡ — x¡ _j del intervalo correspondiente, se obtiene un número real
-*o) +mi<x2~xi) + ••• + "í/i(xb-x„_1)
que se puede escribir en forma abreviada poniendo
n
Z mi(xi -< -i)
i = 1
(se lee “suma desde i = 1 hasta «de m¡ por x¡ -xz_j”).
Así pues,
n
X fn¡(x¡ - x¿ _ ) = m^Xy - x0) + m2(x2 - xj + ... + mn(xn -x„ t).
i = 1
Análogamente,
n
£ — x¡_ j) = Ml(x1 -x0) + M2(x2-xi) + ... + Mn(xn -xn _ J.
i = 1
Pues bien, se llama suma inferior de la función acotada/respecto de la partición P 
y se denota por Ltf, P) al número real
n
L(f, P)= Y 
í = 1
se llama suma superior de f respecto de P y se denota por U(f, P) al número real
U(f, P)=
i = 1
Ejemplos:
1. Consideremos una función constante f(x) -c en un intervalo [a, b]. Entonces, 
para cualquier partición/’ = {x0, xp x2, xB} de [a, b] y paraí = 1, 2, ..., n, se tiene
m. = inf {/(x): x e [x. _,, xj} = c
y
Mi = sup{/(x): x g [x(._ p x,.]} = c
278
ANÁLISIS MATEMATICO I 1/7
y, por tanto,
n n
Ltf, P) = U (f, P) = E c (x¡ - X,. !) - c E (*< - A‘; -1) 
i = 1 i = 1
Ahora bien,
n
E (Xf. - X¡ _ j) = <Xt - x0) + (x2 - xj + ... + (xn - xn _ j)
i = 1
= - *0
= b - a,
luego
£(A P) = Uf, P)—c(b - a)
2. Sea f la función definida en un intervalo [a, b] por
1 si .v e Q 
f(x) -
0 si A-?O
Entonces, para cualquier partición P - {x0, xp x2, .... x„} de [tír, b] y para i = 1, 2, 
n, se tiene
mi = inf{f(x): x e [x,. _ r, xj} = 0
y
= sup{/(x): x e [x, _ x ]} = 1
ya que en cualquier intervalo hay números racionales e irracionales. Por consiguiente,
Ltf, P) - E mi (xi ~x¡- i) = 0 
i = 1
y
n
U(f, P) = fM. (xi-x¡_l) = b -a
1.1.3. Proposición: Sea f: [a, b\ > IR una función acotada en [a, b\. Se verifican 
las siguientes propiedades:
a) L(f, P) < U(f, P) para toda partición P de [a,
b) Si P y P' son dos particiones de [a, tales que P' es más fina que P, entonces
Lf, P) < Ltf, P') y Uf, P) > U(f, P').
’ c) L(f P}) < U(f, P2) para todo par de particiones Px y P2 de [a, b].
279
1/8 ANALISIS .MATEMATICO I
Demostración:
a) Sea P = {x0> xp x2, xw} una partición arbitraria de [a, b]. Entonces, 
evidentemente,
m¡ = inf {/(.v): x e |jv, _ p xj} < supí/Xx): x e [x, _ xj} = M¡
para i = 1, 2, n y, por tanto,
n n
L (A p) = X m¡<xi - -1) E m¡(xí - x¡ -1) = u(f’ py 
í = i ¡=i
b) Consideremos en primer lugar el caso en que P' contenga exactamente un punto más 
que P:
P = {x(), .... XA_J, xk, .... xj
P’ = {x0, x*_b t, xk, xn}
Pongamos
= inf{/(x): x e [x,. „ ¡, x.]}
para i = 1, 2, n.
m' = inf {/(x): x e [x¿ _ H /]}
y
m” = inf{/(x): x e [/, xj}
Entonces
A - 1 n
L^' = Em¿x¡ ~x¡ - + ~x^ -+ E m<(x¡ ~x‘ -1)
'■ = ! i = k + 1
y
k - 1 n
p') = E m¡ (x, -x;. _ ,) + m’(t-xk _ ,) + m"(xk - t) + E mi (xi - x. _ J 
í — 1 i — k + 1
y para demostrar que L(f, P) < Ltf, P’) bastará, por tanto, probar que
mk(xk ~xk-0 ~ xt - i) + m”(xk -*)•
280
ANALISIS MATEMATICO I 1/9
Ahora bien, como los conjuntos {f(x)i x e z]} y {f(x): x e [z, xj} están 
contenidos en {f(x): x e [x¿ _ p xj}, se verifican
m’ > mk y m" > mk
y, por consiguiente,
mk(xk-xk_¿ = mk(t -xk^ + mk(xk-t)
< m’(t-xk_j) + m"(xk—1).
Esto demuestra, en este caso particular, que L(ff P) < L(f, P'). Análogamente se 
prueba, en este caso, que U(f, P) > U(f, P').
El caso general se deduce ahora fácilmente: Supongamos que P' tiene exactamente 
h puntos más que P y elijamos h + 1 particiones P,, P2, ..., Ph + 3 de [a, b] tales que
P=P,CP2C ... CP„+1=P'
y que cada una de ellas contenga exactamente un punto más que la anterior. (Esto 
puede hacerse añadiendo sucesivamente a P cada uno de los h puntos de P' que no 
pertenecen a P). Entonces,
L(f, P) = L(f Pt) < L(ft P2) < ... < L(fr Ph + l) = L(f, P')
y
U(f, P) = U(f, P,) > U(f, P2) > ... > U(f, Ph + í) = U(f> P').
c) Sea P = Pj U P2‘ Entonces P es más fina que P¡ y que P2 y, por los resultados 
anteriores,
L(f, PJ < L(f, P) < U(f, P) < U(f, P3).
1.2. FUNCIONES INTEGRABLES
1.2.1. Sea/; [a, b] -+ IR una función acotada. Los conjuntos de números reales
A = {L(f, P): P es una partición de [a, ¿1}
y
B = {U(f, P): P es una partición de [a, ¿1}
son no vacíos (por ser / acotada). Además, por la proposición 1.1.3, A está acotado 
superiormente (cualquier elemento de B es cota superior de A) y B está acotado 
inferiormente (cualquier elemento de A es cota inferior de B). Por tanto, existen supA e 
infñ, que designaremos respectivamente por supL/, P) e inft//, P), y como cualquier 
elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de P, se tiene
supL/, P) < infí/(f, P).
p p
Tiene, por tanto, sentido la siguiente
281
1/10 ANALISIS MATEMATICO I
Definición: Sea f: [a, 6]-> Ifíuna función acotada. Se dice que f es integrable en 
[a, b] cuando
supLtf, P) = infUtf, P) 
p p
En este caso, el número real
I = sup£(£ P) = inf£/(fí P) 
p p
r b f b
se llama integral de f en [a, b] y se designa por j f o bien por f(x) dx.
Según la definición, si una función f acotada en [a, b] es integrable en [a, /?], 
entonces
L(f, P) <\baf< U(f, P) 
fb para toda partición P de [a, b], Además, f es el único número con esta pro­
piedad.
Sin embargo, si una función/acotada en [a, b\ no es integrable en [a, entonces 
sup¿(/ P) < inf U(f, P) 
p p
y existen infinitos números que acotan superiormente al conjunto de las sumas inferio­
res de / e inferiormente al conjunto de las sumas superiores de /: Todos los del 
intervalo cerrado de extremos supL/, P) e inft//, P).
Por convenio, se define también
f / = o.
J a
y, si a < b,
Ejemplos:
1. Antes hemos visto que para una función constante/(%) = c en [a, b] se tiene 
L(f, P) = U(f, P)=c(b-a)
para toda partición P de [a, b] y, por tanto,
sup£/ P) - inf U(f, P) = c(b - a) 
p p
282
ANALISIS MATEMATICO I 1/11
luego una función constante/(.r) -c es integrable en cualquier intervalo [<7, b\ y
\buf(x)dx = J* cdx = c(b - a).
2. También hemos visto que si f es la función definida en [a, b] por
1 si X 6 (D
/(x)
0 si x é <D
entonces
Ltft P) 0 y U(f P) - b -a
para toda partición P de [a, b\, luego
sup£(/, P) = 0 e inf U(f,P) = b - a 
p p
y, por tanto, f no es integrable en 1¿7, b\.
1.2.2. La siguiente proposición nos da una condición necesaria y suficiente para 
que una función acotada sea integrable, condición que, como veremos en varios casos, 
no es difícil de manejar.
Proposición. (Condición de integra bilidad de Riemann): Una función acotada 
f: |a, b\ -> IR es integrable en [¿7, b] si y sólo si para cada i: > 0 existe una partición 
P de [a, b] tal que
U(f P) - L(f, P) <
Demostración: Supongamos en primer lugar que para cada í: > 0 existe una parti­
ción P de [n, b] tal que
U(f, P)-L(f\ P) < í;.
Entonces, como
inft/(/, P) < U(f, P) 
p
y
supLtf P) > L(f F), 
p
se tiene
0 < infU(f, P) - sup£(/, P) < U(fr P) - Uf P) < t: 
283
1/12 ANALISIS MATEMATICO I
y como í: es arbitrario,
sup/#, P) = infUtf, P) 
p p
luego f es integrable en [a, b].
Recíprocamente, si f es integrable en [a, b] entonces
supL/ P) = P) 
p p
Pero para cada e < 0 el número s^p£(/ P) - f/2 no es cota superior del conjunto delas sumas inferiores de/, y el número inf U(f, P) + e/2 no es cota inferior del conjunto 
de las sumas superiores de/, luego existen particiones Px y P2 de [a, b] tales que
sup¿(f, P) 
p
y < ¿(A* Pó
iiíVíf, P) + 4 
p 2 > U(f. P2)
y, por tanto,
U(f, P2)-L(f, P() < inW, P) - supL/ P) + p, = t:
y para P = P ¡ {J P2 se tiene
U(f, P)—L(f, P) < U(f, P2)~L(f, P}) < r
1.2.3. Las dos proposiciones siguientes establecen la integrabilidad de las funcio­
nes monótonas y la de las continuas.
Proposición: 57 / es monótona en [a, b] entonces / es integrable en [a, ¿].
Demostración: Es evidente que toda función monótona en un intervalo cerrado 
está acotada en dicho intervalo.
Supongamos que / es creciente y sea r > 0. Elijamos un número natural n tal que
———[f(b) -f(a)] < s
y sea P = {x0, x2, la partición del intervalo [a, bj que lo divide en n partes
iguales:
. b — a . „ , _x = a + i--------- , z _ 0, I, 2, ..., n.
n
284
ANALISIS MATEMATICO i 1/13
Entonces, para i = 1, 2, n se tiene 
y como f es creciente,
mi = inf {/(x): x e [x^ j, xj} = /(x, _ 0
y
= sup{/(x): x e [x,. _ j, xf]} =/(*,•),
luego
Utf, P)-L(f, />) = Z (M, - mi)(x¡ - x, _ ,)
i = 1
= 2—fL y |/(%() ~f(xi _ j)j 
n
= ^—^-lf(b)-f(a)] 
n
< £
y, por la condición de integrabilidad de Riemann, f es integrable en [a, b].
Análogamente se prueba que si f es decreciente en [a, b] entonces/es integrable en 
b].
Proposición: Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].
Demostración: Como / es continua en el compacto [a, b], está acotada y es 
uniformemente continua en [a, b], luego para cada £ > 0 existe un ¿) > 0 tal que
|/(x)-/(x')| < —-— 
b - a
para todo par de puntos x, xr de [a, b] tales que |x — x'| < ó.
Elijamos un número natural n tal que (b — a)/n < £ y sea P = {x0, xp x2, .... x/;} la 
partición de [a, b] que lo divide en n partes iguales. En cada intervalo cerrado [x ,, xj 
la función continua/ tiene un mínimo y un máximo, es decir, para cada i = 1, 2, 
existen y z¡ en [x(. _ L xj tales que
m. = inf{/(x): x e [xf. _ p x.]}
y
M. = sup{/(x): x e [x,._ j, x,]} =f(z¡)
285
1/14 ANALISIS MATEMATICO I
y como y¡ y z¡ son puntos de [x. xj se tiene
k,- - y,-l
b — a
< X¡ - X¡ _ ! < d
y, por tanto,
- m¡ = \M¡ - m¡\ - \f(z¡) - f(y¡)\ b — a
luego
U(f, P)-L(f, P)= E - X, _ ,.)
¡= i
n
~¡f— E (x; ~ x¡ - i) 
b - “ ! ■ ■
= ib-a)
b - a
y, por la condición de integrabilidad de Riemann, f es integrable en [a, b].
1.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 
INTEGRABLES Y DE LA INTEGRAL
1.3.1. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] y Cj y c2 son dos números 
reales arbitrarios entonces la función cj' + c2g es también integrable en [a, b] y
{b {b
\a(Cd+C2g) = Cl \af+c2}ag-
Esta propiedad de linealidad de la integral queda demostrada en las dos proposicio­
nes siguientes.
Proposición: Si f y g son integrables en [a, b] entonces la función f + g es también 
integrable en [a, b] y
\btf+8) = +
Demostración: Sea P = {x0, xp x2, x„} una partición arbitraria de [a, Para
cada i - 1, 2, n, consideremos los conjuntos
Af- = {f(x): x e [x _ p *,]}
= {g(x) : x g [x. _p xj}
C¡ = {(f+g)(x): x e [x, -!, x,-]}
286
ANALISIS MATEMATICO I 1/15
y sean m¡ y M¡ el ínfimo y el supremo de A¡, y M- el ínfimo y el supremo de B¡, m” y 
Af" el ínfimo y el supremo de C¡. El conjunto
¿i + B¡ = {/(x) + g (y): x, y e [x._ p xj}
contiene al conjunto C. y, por tanto,
m" - infC¿ > inf(A( + B¡) = infA, + infB = m¿ +
y
M"= supCf < sup(A,’ + P() = supA( + supP, = M¡ + Af¿
Por consiguiente, para toda partición P de (¿z, b] se verifica
£(f, P)+L(g, P) < L(f + g, P)
< U(f+ g, P) < U(f, P) + t/(¿, P)
y como/ y g son integrables en [a, h], por la condición de integrabilidad de Riemann, 
para cada e > 0 existe una partición P de [a, tal que
Utf, P) — L(f, P) < 4 y U(S. P) - L(g, .P) < 4
y, por tanto,
U(f+g, P) — L(f + g, P) < [Uíf, P) — L(f, P)] + [í/(g, P)-L(g, P)] < e
luego f + g es integrable en [a, b] en virtud de la condición de integrabilidad de 
Riemann.
Además, como
L(f, P)+L(g, P) < L(f+g, P)
¡a <f + S~)
¿ Uff + g, P) < U(f, P) + U(g, P)
y también
Í
b P b
/+ g ¿ U(f, P)+ U(g, P),
a Ja
se tiene
o < | (f+ g) - (¡‘y+LS) < £
287
I / 16 ANALISIS MATEMATICO I
y como esto es cierto para todo s > 0,
í>+g) = í>+ g-
Proposición: Si f es integrable en [a, b] entonces, para cualquier número c, la 
función cf es integrable en [a, b] y
Demostración: Sea P = {x0, x2, xrt) una partición arbitraria de [a, b\. Para
cada i= 1, 2, n consideremos los conjuntos
= W): * e Uí- i, *<•]}
= {cf(x)‘.X 6 [Xy_
y sean mt y M¡ el ínfimo y el supremo de y M.' el ínfimo y el supremo de
Si c > 0 se tiene
m'i - cm, y M- = cA/(
y, por tanto,
L(cf, P) = cL(f P) y U(cf P) = cUf P)
y como P es una partición arbitraria,
sup/Jc/'. P) - csupLlf, P) y inf U(cf, P) = cinfU(f P) 
y, por ser f integrable en [a, b],
c J/f = csupL(f,P) = supL(cf, P)
< infl/(cf, P) = cinfU(f, P) =
p p
luego
sup¿(c/ P) = inft/(cy; p) = cf*y
es decir, cf es integrable en [a, b] y
!b r bcf=c fa J a
288
ANALISIS MATEMATICO I 1/17
Análogamente se procede en el caso en que c < 0. En este caso, se verifican 
m! ~ cM¡ y A// - cm¡
y, por tanto,
£(c/, P) = cU(f, P) y U(cf, P) = cL(f, P)
y como P es una partición arbitraria,
sup£(c/ P) = cinf¿7(/, P) y inft/(c/, P) = csppLff P) p p p p
y, por ser f integrable en [a, b],
cJ* f = c supL(f, P) = inf U(cf, P) 
p p
> sup£(c/, P) = cmfL(fP) = c\*f 
p p
luego también en este caso
supL(cf, P) = infU(cf P) = c\bf 
p p
cf es integrable en [a, b] y
Cb Cb
cf = C fJa J a
1.3.2. La siguiente proposición establece la aditividad de la integral respecto al 
intervalo de integración.
Proposición: Sean a, b y c tres números reales tales que a < c < b. Si f es una 
función integrable en [a, b] entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b]. Recíproca­
mente, si f es integrable en [a, c] y en [c, b] entonces f es integrable en [a, b]. En 
ambos casos se verifica la igualdad
\af=Lf+\cf-
Demostración: Supongamos en primer lugar que/es integrable en [a, b]. Entonces, para 
cada e > 0 existe una partición P de [a, b] tal que
U(f, P) — L(f, P) < £
Añadiendo, si es preciso, el punto c aP se obtiene una partición/3' = {xOí...,x{, 
de [a, b] más fina que P y tal que x, = c. Entonces
U(f, P')-L(f, Pr) < U(f, P)~L(f, P) < e,
289
1/18 ANALISIS MATEMATICO I
Pj = {x0, xj es una partición de [«, c], P2 = {xp x„} es una partición de [c, b] y 
se verifican
L(f, P') = Ltf, P^ + Ltf, P2) y U(f P') = U(f, P^ + Utf, P2).
Por consiguiente,
[U(ft P^-Ltf, P^ + tUtf, P2)-Ltf, P2)] = U(f, P')~L(f, P')< z
y como las dos diferencias entre corchetes son no negativas, ambas son menores que g, 
lo que prueba que f es integrable en [a, c] y [c, b].
Recíprocamente, si f es integrable en [a, c] y [c, b], para cada g > 0 existen 
particiones P¡ de [a, c] y P2 de [c, h] tales que
P^-Ltf, P.) < ± y U(fP2)-L(f,P2) < ±
y si P es la partición de b] formada por los puntos de P} y de P2, se verifican
L(f, P)=L(f, P.) + Ltf, P2) y U(f, P) = U(f, P^ + Utf, P2)
y. por tanto,
U(f, P) — L(f, P) = [U(f, P^Ltf, P()] + [L7(f, P2)~L(f P2)] <
luego f es integrable en [a, b}.
Finalmente, añadiendo (si es preciso) el punto c a una partición arbitraria P de 
[a, b] se obtiene una partición P' = {x0, ..., xi¡t x„} de [a, /?] más fina que P y tal que 
a; = c. Entonces P} = {x0, x(} y P2 = {x¡, x„} son particiones de [at c] y [c, b]
respectivamente, y se tiene
L(ft P) < L(f, P') - L(f, PJ + Líf, P2)
< \cf+ \bf
< U(f, P,) + U(f, P2) = U(f, P') < U(f, P)
y como la partición P es arbitraria,
S
z* í* A
'/+£/< infl/(f, P)
p p
es decir,
f/< jcr+ \bf<
luego
¡7= J7+ }7Ja J a Je
290
ANALISIS MATEMATICO I 1/19
1.3.3. Otros resultados importantes sobre funciones integrables se establecen en 
las dos proposiciones siguientes.
Proposición: Si f es integrable en [a, b] entonces |/| es también integrable en 
[«, b].
Demostración: Sean f + y f las funciones definidas respectivamente por
/+(x) =
si f(x) > 0
0 si f(x) < 0
r<x) =
si f(x) > 0
si f(x)< 0
(Estas funciones se llaman, respectivamente, parte positiva y parte negativa de la 
función/.) Entonces
|/| = /+ + /”
y para probar que |/| es integrable bastará probar que f+ y /" lo son, pero como 
f~ - /* — / todo se reduce a probar que /A es integrable.
Ahora bien, por ser/ integrable en [a, /?], para cada ¡: > 0 existe una partición 
P = {x0, x() -v2. xj de [a, b] tal que
n
U(f, P) — L(f, P) = Z (M, - mi)(x! ~~ x¡ _ ¡) < r.
¡ = i
donde, para i = 1, 2, ..., n, m¡ y M¡ son respectivamente, el ínfimo y el supreipo del 
conjunto
{f(x): x e |xy _ t, xj}
Para i~ 1, 2, ..., n, designemos por m- y el ínfimo y el supremo, respectiva­
mente, del conjunto
{/*(x): xe[x(.„j, x,J}
En los intervalos [a; _ xj en los que f > 0 se verifica f+ = f y, por tanto, 
m'i = M¡ - Mi y M- - m\ = M¡ - m¡. En los intervalos [xz _ p xj en los que/ < 0 
se verifica/* “ Oy. por tanto, w' - 0, A/' = 0 y M- - m¿ < M¡ — m¡. En los restantes 
intervalos [x(-_ b xj son m¡ = 0 y M- = Mi y como < 0, M'¡ — m- = M¡ < M¡ — mt. 
Así pues, para i - 1, 2, ..., n se verifica
M'. - m’; < M - m.i < i 1
y, por tanto,
n
U (f+, P) — L(f+, P) = E (M; - m\) (X¡ - x, . ,)
n
£(A< - m^iXi -x,i)
i = 1
luego, efectivamente,/* es integrable en [a, b].
291
1/20 ANALISIS MATEMATICO I
Proposición: Si f y g son integrables en [a, b] entonces fg es también integrable en 
{a, b\.
Demostración: Como
fg^W + gf-tf-g)2], 
**T
bastará probar que si f es integrable en [a, b] entonces/2 es también integrable en 
[«- b].
Supongamos en primer lugar que/ > 0 en [a, b] y sea M una cota superior de/en 
[a, b]. Para cada e > 0 existe una partición P = {x0, x2, x/(} de (a, b] tal que
n
Utf. P)-Ltf, P)=£
i = 1
donde, para i = 1, 2, n, m.t y M¡ son, respectivamente, el ínfimo y el supremo del 
conjunto
{/(x): x g [xz _ p xj}
Para i = 1, 2, n, designemos por mt y el ínfimo y el supremo, respectiva­
mente, del conjunto
{(f(x))2: x e [xf _ ¡, xf]}
Como hemos supuesto/ > 0 en [a, se verifican m- = m^ M'¡ = M2 y
f 2 7M¿ - m’. - M¡ - mf = (M¡ + mi)(Mi - m¡) < — m¡),
luego
n
U (f\ P)-L(f2,P) = I - x¡ . ,)
i - 1
n
y, por consiguiente, f2 es integrable en [a, b].
Sea ahora / una función integrable en [a, b] arbitraria. Entonces |/| es integrable en 
b\ y |/| > 0, luego f2= |/|2 es también integrable en [a, b].
1.3.4. Las siguientes proposiciones establecen las propiedades de monotonía de la 
integral.
Proposición: Si f es integrable en [a, b] y f > 0 entonces
292
ANALISIS MATEMATICO I 1/21
Demostración: Por ser f > 0 en [«, b\ es L(f, P) > 0 para cualquier partición P de 
b\, luego
b
f>L(f,P)>Q. 1
Proposición: Sean f y g dos funciones integrables en b] tales que f < g. 
Entonces
' b
s- a
Demostración: La función g - f es integrable en [a, b] y g - f > 0, y, por la 
proposición anterior,
\hf= -f) > 0.
Proposición: Si f es integrable en b] entonces
Demostración: Como -1/| </< |/| y |/| es integrable en [a, b], por la proposi­
ción anterior.
-Ewá j>-< n/i.
fb
Ahora bien, si f > 0, Ja J
y si /„br < o,
luego en todo caso
i í>- i * e w-
293
ANALISIS MATEMATICO I 1/23
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Sea c un número real. Probar que la función/.' IR-> R definida por
0 si t / c
f(x) =1
1 Si X = c
es integrable en todo intervalo [a, b] y que j*/ = 0.
2. Sea/ una función integrable en un intervalo [a, b\ y sea g una función tal que 
g -/excepto en un conjunto finito de puntos. Probar que g es también integrable 
en [a, b] y que íb g = \bf.
Ja Ja
3. ¿Es integrable la función
-1 si x e O
1 si x i O
en algún intervalo?
4. Probar que la función / definida por
Í
1 D— si x - — (fracción irreducible)
<1 Q
0 si xf Q.
es integrable en [0, 1] y quejo'/=O.
295
i / 24 ANALISIS MATEMATICO I
5. Sea f una función integrable en [a, b] tal que
inf{/(x): a e [a, b\} ~ m > 0
Probar que la función es también integrable en [a, b].
6. Dar un ejemplo de una función f no integrable en un intervalo tal que |/| sí sea 
integrable.
7. Sea/ una función integrable y no negativa en [a, b]. Probar que si/es continua en 
un punto c e [a, b] y /(c) > 0 entonces j*/ > 0.
8. Sea/una función continua en [«, b] tal quej* /= 0. Probar que/(x) = 0 para algún 
.v e \a, b\.
ib
9. Sea/una función continua en [a, b] tal que// = 0. Probar que/(x) = 0 para todo 
x e [a, b].
10. Sean / y g dos funciones integrables en [«, h]. Probar que
(Desigualdad de Schwarz).
296
ANALISIS MATEMATICO I 1/25
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUT OCOMPROBACION
1. Supongamos en primer lugar que c i [a, b\. Entonces f(x) = 0 para todo v e [a, b\ 
y, por tanto,/ es integrable en [a, b\ y
Supongamos ahora que c e [a, b] y sea P = {x0, una partición arbitraria
de [a, ¿]. Entonces será j < c < x¡ para algún j y
y, por tanto,
Esto prueba que/ es integrable en [a, b] pues para cada i: > 0 podemos encontrar 
una partición P de [a, b] tal que
U(f, P) — L(f, P) < i:
Basta elegir una partición P con , < c < y x¡ ~ Xj ~ t
Además, para cada partición P de [a, b] es Ltf, P) = 0, luego
297
1/26 ANALISIS MATEMATICO I
2. Supongamos en primer lugar que g ~f excepto en un punto c e [a, b] y que 
g(c) - k. Entonces g =f+ h siendo h la función definida por
/z(x) =
0
k ~f(c)
si X £ c 
si X — c
Por hipótesis f es integrable. Según el ejercicio anterior, h es también integrable 
por ser el producto de la constante k ~f(c) por la función
0 si
1 si
x £ c
x = c
y además
'b
a h = (k - f(c))
'b
hl = 0. 
a 4
Por consiguiente, g es integrable como suma de funciones integrables y
Z
El caso general se deduce ahora de la proposición 1.3.2. Si g -f excepto en n 
puntos q, c2, ..., cn de [a, descomponiendo este intervalo en n subintervalos
[a, at], [at> a2], [an _ b b]
de manera que cada uno de ellos contenga exactamente uno de los puntos a, por 
lo que hemos demostrado antes, la función g es integrable y su integral es igual a 
la de f en cada uno de dichos intervalos.
3. En todo intervalo [a, b\ hay números racionales e irracionales, luego para toda 
partición P = {x0, x1.xM} de [tz, b] y para cada i ~ 1, 2, ..., n se tiene
= inf{f(r): x e [x,- _ x,-]} = -1
y
A/. = sup{/(x): x e [x,. _ i, xj} = 1
y, por tanto,
n n
L (f, P) = X «A - X, _ ,) = - £ (x,. - x, _ ,) = a - b
i = 1 i = 1
y
n n
= E M¡(x¡ ~ x¡ - i) = Z (x¡ -x¡-\) = b-a
i = I i = 1
298
ANALISIS MATEMATICO I 1/27
y como P es una partición arbitraria,
sup¿ (f, P) = a - b y inf¿7 (f, P) = b - a 
p p
luego / no es integrable en [a, b\.
4. Está claro que L(f P) = 0 para toda partición P de [0, 1], luego para probar que/ 
es integrable bastará ver que cada e > 0 existe una partición P de [0, 1] tal 
que U(f, P) < í-..
Sea£ un número natural tal que k > 2/e. Hay sólo un número finito de racionales 
p/q de [0, 1] con q < k. Sean éstos Z(>, tm y sea P = {x0, x,, una
partición de [0, 1] tal que la suma de las longitudes de los intervalos [xz _ H xj que 
contienen algún /• sea menor que di. Todos los números racionales p'iq de los 
restantes intervalos [x, _ H x,-j verifican q > k > 2Jr. y, por tanto, en cada uno de 
estos intervalos se tiene M¡ < di. Además, como/ú) < 1 para todo x e [0, 1], es 
Afz < 1 para todo í, y si llamamos / al conjunto de todos los índices i para los que 
el intervalo [x;. _ p xj contiene algún tj, se tiene
= E ^í<xí ~ x¡ - i) + E M&i ~ x¡ - j) 
fe/ i¿/
£ (X¡ - *i- i) + - xi- 1)
fe/ Z ié /
conforme queríamos demostrar.
Además, como L(f, P) - 0 para toda partición P de [0, 1], se tiene
! / = sup 
o p
Ltf, P) = 0
5. Como/es integrable en [a, b} para cada v. > 0 existe una partición P = {x(), x„ 
.... xn} de [a, b] tal que
n —.
U(f P)-L(f, P) = E W - m¡)(x¡ ~ xi - 1) < E
i = i
donde M¡ y son respectivamente el supremo y el ínfimo de./ en [xz _ H xj, y si 
designamos por M¡ y m'¡ el supremo y el ínfimo respectivamente de //en lxí - i» 
se tiene
M¡ - m. - m.
299
1/28 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
u^'f. p> - ¿(s/r. p) —-~=y - ">,)('■, - ,) < i-.
luego >Jf es integrable en [u, b\.
6. La función
- 1 si x e OA*)= I . .
1 si x i 0
no es integrable en ningúnintervalo. Sin embargo, |/| es la función constante igual 
a I en todo punto, luego )/| es integrable en todo intervalo.
7. Según hemos visto en 1.3.4, por ser f integrable y no negativa en |í/, ¿J, es
j£/ > 0. El hecho de ser/'continua en c y f(c) > 0 nos va a permitir precisar más 
y concluir quej^/ > 0. En efecto, existirá un intervalo [7, //| C |«, b\ que
contiene el punto c y en el que f(x) > /(c)/2 y, por tanto,
raf=íáf+í"f+'íi,f^ 0 + [/(e)/2|(/í - a) + 0 > 0.
Análogamente se probaría que si f es integrable y no positiva en b\ siendo
además / continua en un punto c e [a, h\ y f(c) < 0, entonces í / < 0.J ít
8. Si fuese f(x) > 0 para todo r g [a, b], según hemos visto en el ejercicio anterior, 
sería f“f > 0. Análogamente, si fuese f(x) < 0 para todo x e [a, b\, sería £7 < 0. 
Por consiguiente, o es f{x) = 0 para todo x e [«, b\, o existen c, d e [a, b\ tales 
que/(c) > 0 y f(d) < 0, en cuyo caso es f(x) = 0 para algún x del intervalo de 
extremos c y d (teorema de Bolzano).
9. Si fuese/(c) / 0 para algún c g [a, b] sería/2(c) > 0 y como f2 es continua, sería 
£/2 > 0 (ejercicio 7).
10. Para todo z e IR se tiene
o Á (Af+g)2 - /2fa f2 + 2z£ fg + £ g2,
luego el discriminante de este trinomio de segundo grado en z ha de ser menor o 
igual que cero, es decir,
y, por tanto,
fg^2 0
300
ANALISIS MATEMATICO I 1/29
APENDICE
EL TEOREMA DE LEBESGUE
A.l. Sean a y b dos números reales tales que a < b. La longitud /(/) del intervalo 
l (abierto, cerrado o semiabierto) de extremos a y b es, por definición, el número real
/(/) = b - a.
Definición: Se dice que un subconjunto A de \R tiene contenido cero cuando para 
cada í; > 0 existe un recubrimiento finito I]t /„ de A por intervalos cerrados tal 
que:
t 
k = 1
Son fáciles de probar las siguientes propiedades:
a) Un subconjunto A de IR tiene contenido cero si y sólo si para cada r > 0 existe 
un recubrimiento finito /2, In de A por intervalos abiertos tal que
í < >■..
k = 1
b) Si A C IR tiene contenido cero y B C A entonces B tiene contenido cero.
c) Si A C IR es un conjunto finito entonces A tiene contenido cero.
d) Si A C IR tiene contenido cero entonces A es acotado.
A.2. Definición: Se dice que un subconjunto A de \Rtiene medida cero cuando para 
cada e > 0 existe un recubrimiento numerable de A por intervalos cerrados tal 
que:
£ /(4) < £• 
n = 1
301
1/30 ANALISIS MATEMATICO I
Pueden demostrarse fácilmente las siguientes propiedades:
a) Un subconjunto A de IR tiene medida cero si y sólo si para cada i: > 0 existe un 
recubrimiento numerable (/„),I6W de A por intervalos abiertos tal que:
f l(l„) < >■..
n = f
b) Si A C IR tiene medida cero y B C A entonces B tiene medida cero.
c) Si A C IR tiene contenido cero entonces A tiene medida cero.
La propiedad recíproca de esta última no es cierta en general. Sin embargo, se 
verifica la siguiente:
Proposición: Si A C IR es compacto y tiene medida cero entonces A tiene contenido 
cero.
Demostración: Sea í: > 0. Como A tiene medida cero, existe un recubrimiento nu­
merable (/*)„£ n de A por intervalos abiertos tal que:
Z '(/.) < >■■■ 
n = l
Como A es compacto, un número finito .... I„k de estos intervalos cubre
también A y se tiene
¿ /(/„,) < t /(/„) < 
¡ - i » = 1
luego A tiene contenido cero.
Proposición: Si (An) es una sucesión de subconjuntos de IR de medida cero en­
tonces el conjunto'A = Ak tiene medida cero.
Demostración: Sea í; > 0. Para cada k e N existe una sucesión (/„ ¿)n6 N de intervalos 
cerrados que cubre Ak y tal que:
Entonces la colección de todos los In k (n, k e N) es un recubrimiento numerable de A y 
la suma de las longitudes de todos los In¡k es menor que:
v"-> í:
A =
¿ = i
Como un conjunto que contiene sólo un punto tiene medida cero, de la proposición 
anterior se deduce que todo subconjunto numerable de tiene medida cero. En particu­
lar, el conjunto©de los números racionales tiene medida cero (por ser numerable). 
Este conjunto nos proporciona un ejemplo de conjunto de medida cero que no tiene 
contenido cero (porque no es acotado).
302
ANALISIS MATEMATICO I i / 31
Proposición: Sean a y b dos números reales tales que a < b. Para cada recubrí- 
miento finito I2, Inde [a, b] por intervalos cerrados se verifica
n
l(Ik) > b - a.
Demostración: Procederemos por inducción.
Para n - 1 el resultado es evidente.
Supongamos que para cada recubrimiento de un intervalo cerrado por n - 1 interva­
los, la suma de las longitudes de los intervalos del recubrimiento es mayor o igual que 
la del intervalo cubierto y sea ¡x, I2, ..., ln un recubrimiento de [a, b] por intervalos 
cerrados. Se puede suponer (cambiando los subíndices si es necesario) que a e . Sean 
¿ij y bx los extremos de Ix. Si b} > b, el intervalo contiene al intervalo [a, b\ y
n
E /(/*) > /(/,) " bx - a} > b - a 
k = i
y la proposición queda probada. Si bx < b, los n - 1 intervalos /2, /3, ..., /«deben 
cubrir al intervalo [bx, b] y, por la hipótesis de inducción
E 44) > b - b}, 
k = 2
luego
n n
Y i (4) = / (/t) + X 1 (4) (b. - a i) + (b - b i) = b - a, > b - a 
k = 1 k = 2
y el resultado es cierto para todo número natural n.
Esta proposición nos dice que si a < b, el intervalo [a, b] no tiene contenido cero y, 
por tanto, tampoco tiene medida cero (y, por consiguiente, no es numerable).
A.3. Ya hemos establecido un criterio de integrabilidad, es decir, una condición 
necesaria y suficiente para que una función acotada sea integrable: la condición de 
integrabilidad de Riemann. Hay otra condición necesaria y suficiente de integrabilidad 
que caracteriza las funciones integrables en un intervalo por medio del conjunto de sus 
discontinuidades en dicho intervalo: el teorema de Lebesgue. Este teorema será objeto 
de estudio en el próximo curso y por ello nos limitaremos aquí a enunciarlo.
Proposición. (Teorema de lebesgue): Una función f: [a, b] -> IR acotada en [a, bl es 
integrable en [a, b] si y sólo si el conjunto de los puntos de discontinuidad de f en 
[a, 6] tiene medida cero.
De este teorema resulta inmediatamente que si/; l«, b] IR es continua en [a, b] 
entonces/es integrable en [a, ¿]. Asimismo, si/; [a, 6] —►IR es monótona entonces/ 
es integrable en [a, b] (el conjunto de los puntos de discontinuidad de una función 
monótona en [o, b] es finito o numerable). Estas dos propiedades se demostraron antes 
utilizando la condición de integrabilidad de Riemann.
Otras propiedades de las funciones integrables pueden deducirse también del teo­
rema de Lebesgue. Así, por ejemplo, si / y g son integrables en [a, b] entonces fg es 
también integrable en [a, b]. En efecto: Sean A, B y C los conjuntos de las discontinui­
dades de / g y fg en [a, respectivamente. Está claro que C C A U B. Por el 
teorema de Lebesgue A y B tienen medida cero, luego C tiene también medida cero y 
fg es integrable en [a, b] en virtud de dicho teorema.
303
ANALISIS MATEMATICO I n/i
TEMA H
Teoremas fundamentales
del cálculo
Esquema/ resumen
2.1. Teoremas del valor medio.
2.2. Teoremas fundamentales del cálculo.
2.3. Cambio de variable.
2.4. La integral como límite de sumas.
305
ANALISIS MATEMATICO I 11/3
Si f es una función acotada e integrable en un intervalo, el cociente de la integral de 
f por la longitud del intervalo es, por definición, el valor medio de/en dicho intervalo.
El teorema del valor medio asegura que el valor medio de una función continua en 
un intervalo es uno de los valores que toma la función en ese intervalo.
Si f y g son dos funciones integrables en un intervalo, siendo g no negativa y con 
integral positiva, el cociente de la integral de fg por la integral de g se llama valor 
medio de la función / ponderado por la función g en dicho intervalo.
El teorema del valor medio ponderado asegura que si en un intervalo/ es continua y 
g tiene signo constante entonces el valor medio de / ponderado por g es uno de los 
valores que toma / en el intervalo en cuestión.
Estos dos teoremas se demuestran de manera análoga: Ambos se deducen del 
teorema de Weierstrassy del teorema de los valores intermedios para las funciones 
continuas.
Las integrales constituyen un instrumento muy útil para definir nuevas funciones. 
Así, si / es una función integrable en [a, b] y c e [a, b] podemos definir una nueva 
función F en [a, b] haciendo corresponder a cada x de dicho intervalo la integral de / 
en [c, x], La función F así definida es continua (2.2.1). También es derivable en todos 
los puntos en los que/ sea continua y su derivada coincide con el valor de/ en el punto 
en cuestión (primer teorema fundamental del cálculo).
Si/es una función integrable en [«, h] y/es la derivada de otra función g entonces 
la integral de / en [a, h] es igual a g(b) - g(a) (segundo teorema fundamental del 
cálculo).
Del primer teorema fundamental del cálculo se deduce el teorema del cambio de 
variable (2.3).
En 2.4 se establece un resultado muy útil para el cálculo de límites de ciertas 
sucesiones: Si/es una función integrable en [a, b], las sucesiones de sumas inferiores y 
superiores de / obtenidas dividiendo el intervalo [a, b] en n partes iguales (n e N) 
tienen como límite común la integral de / en [u, ¿>].
307
ANALISIS MATEMATICO I 11/5
2.1. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
2.1.1. Sea/: [«, b] -> IR una función acotada e integrable en [a, b], El número real
1 P--------- f(x)dx
b - aja
se llama valor medio de f en el intervalo [a, 6J.
El teorema del valor medio asegura que el valor medio de una función continua en
un intervalo es uno de los valores que toma la función en ese intervalo.
Proposición (Teorema del valor medio): Si f: [a, b] -> IR es una función continua en
[«, b] entonces existe un punto ce [a, b] tal que
¡af(x)dx =f(c)(b - a).
Demostración: Como/ es continua en [a, b}, existen los números reales
m = min {/(x): x e [a, ¿]} y M - max {f(x): x e [a, /?]}
y evidentemente,
m < f(x) < M
para todo x e [a, b\. Entonces
m(b — a) - fa mdx < J*f(x)dx < f^Mdx = M(b — a)
309
¡1/6 ANALISIS MATEMATICO I
y, por tanto,
1 Pm < -------- 1 f(x)dx < M
b - a Ja
y como una función continua toma cualquier valor comprendido entre sus extremos 
absolutos, existe un c g [a, b] tal que
conforme queríamos demostrar.
2.1.2. Sean f y g dos funciones integrables en [a, siendo g no negativa y tal 
que J*g > 0. El número real
Ja f(x)g(x)dx
se llama valor medio de la función f ponderado por la función g en el intervalo [a, b]. 
La función g suele denominarse función peso.
El teorema del valor medio ponderado asegura que si/ es continua, el valor medio 
de f ponderado por g en [a, b] es uno de los valores que toma/ en [a, b].
Proposición (Teorema del valor medio ponderado): Si f: [a, b] IR es una función 
continua en [a, b] y g: [a, b] -> IR es una función acotada e integrable y de signo 
constante en [a, b\ entones existe un c e [a, b] tal que
Demostración: Supongamos en primer lugar que g(x) > 0 para todo -t g [a, b] y 
sean m y M el mínimo y el máximo de la función continua / en [a, b]. Entonces
m < f(x) < M
para todo .v e [a, b] y, por tanto,
mg(x) < f(x)g(x) < Mg(x)
para todo x e [a, b]. Por consiguiente,
m
310
ANALISIS MATEMATICO I 11/7
De estas desigualdades se deduce que si Ja g = 0 entonces también Ja fg = 0 y 
por tanto, en este caso,
f f(x)g(x)dx = f(c)£g(x)dx
para todo c e [a, b].
Si por el contrario, // g í 0 será \b g > o ya qUe g > 0, y podemos escribir
¡a f(x)g(x>dx 
m < ------------------- < M
fa g(x)dx
y como una función continua toma cualquier valor comprendido entre sus extremos 
absolutos, existe un c e [a, b] tal que
íaf(x)g(x)dx
/(C) =-----i------------
fa£(x)dx
como queríamos demostrar.
Supongamos ahora que g(x) < 0 para todo x e [a, b]. Entonces -g(x) > 0 para 
todo x e [a, b\ y por lo demostrado en el caso anterior, existe un c e [a, b] tal que
f(X) l S (*)] dx = f(C) //l ~g (*)1dx
es decir,
f(x)g(x)dx = ~f(c)fab g(x)dx
y también
íaf(x)g(x)dx = f(c) fabg(x)dx.
2.2. TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CALCULO
2.2.1. Las integrales constituyen un instrumento muy útil para definir nuevas 
funciones. Así, si/es una función integrable en [a, b] y c e [a, b] podemos definir una 
nueva función F en [a, bj poniendo 
F(x) = f* f(t)dt
para cada x e [a, b].
311
11/8 ANALISIS MATEMATICO I
La función F así definida es continua en [a, b]:
Proposición: Sean f una función acotada e integrable en [a, b], c e [a, b] y F la 
función definida en [a, b] por
F(x) = ff(')dí
para cada x e [a, b]. Entonces F es continua en [a, b].
Demostración: Como./' es acotada en [a, b], existe un M > 0 tal que |/(x)| < M 
para todo x e [a, 6J. Si x g [a, b) y h es un número real tal que 0 < h < b - x, se tiene
|F(x + h) - F(x)| = - [* f(t)dt
< Mh
y, por tanto,
lim [F(x + h) — F(x)] = 0 
h - o+
luego F es continua por la derecha en todo x g [a, b).
Análogamente se prueba que F es continua por la izquierda en todo x e (a, b].
2.2.2. La función F anterior es derivable en todos los puntos en los que f sea 
continua y su derivada coincide con el valor de la función f en el punto en cuestión:
Proposición (Primer teorema fundamental del cálculo): Sean f una función acotada 
e integrable en [a, b], ce [a, b] y F la función definida en [a, b] por
F(x) = fcXf(O^
para cada x e [n, b]. Si f es continua en un punto x e [a, b] entonces F es derivable en 
x y
F’(x) = /(x).
Demostración: Si x e [a, b) y h. es un número real tal que 0 < h < b - x, se tiene
F(x + h) - F(x) - £ ' h f(f)dt
Cx + h ex + h
= fx f(x)dt + fx lf(t) ~f(x)]dt
= hf(x) + f* + h[f(t) ~f(x)]dt
312
ANALISIS MATEMATICO I 11/9
y, por tanto,
F(a + /?) - F(x) | p,v + /1~/(A*) *7” I 1/(0 — ) 1^’
H J V
Ahora bien, como f es continua por la derecha en x, para cada i: > 0 existe un 
á > 0 tal que
|/(0 _/(v)| < 1‘ para todo t tal que 0 < t - a < P
y, para h < i) se verifica
|/(/) ~/(-Y)| < í; para todo t e [a, a + /i|
luego
ví < 3-f 1/(0
h Jx J ,v
y, por tanto,
, p ,r + h 
lim — [/(/) — f(x)]dt = 0.
h - o+ njx
Por consiguiente,
F(x + h) ■ F(x) _ hm —------/------ — = /(a)
h - o+ n
es decir, F es derivable por la derecha en a y la derivada por la derecha de F en a es 
/(*)>
Análogamente se prueba que F es derivable por la izquierda en todo a e (a, b] en el 
que f sea continua y que la derivada por la izquierda de F en a es /(a).
2.2.3. Dada una función integrable /, su integral se puede calcular de manera muy 
sencilla cuando f es la derivada de otra función:
Proposición (Segundo teorema fundamental del cálculo): Sea f una función integra­
ble en [a, b\ y supongamos que f — g' para alguna función g. Entonces
í«f= g(b) - g(a).
Demostración: Sea P = {x0, Alt a,,} una partición arbitraria de [a, b], Por el 
teorema del valor medio para derivadas, para cada i - 1,2, ..., n, existe y¡ e (a, _ n a¿) 
tal que
g(x¡) ~ g (x, _ O - g ’(y¡) (a(. - a¿ _ 0 = /(y.) (a, - x¡ _ ,)
313
11/10 ANALISIS MATEMATICO I
y si m¡ y M¡ son, respectivamente, el ínfimo y el supremo de f en [a; _ p aJ, se tiene
< f(y¡) < M
y, por tanto,
- a; _ < /(y,) (a,. - a( _ t) < Mjxi - a, „ t)
luego
m/A-, - A( _ ¡) < £(AJ - g(x¡ _ t) < A/.(a/. - X¡ „ j)
y sumando desde i = l hasta i = n estas desigualdades resulta
L(f, P) < g(b) - g(a) < U(f, P)
y como la partición P es arbitraria y f es el único número que es simultáneamente 
cota superior del conjunto de las sumas inferiores y cota inferior del conjunto de las 
sumas superiores de f,
íaf= - g(a).
Observación: En los cálculos resulta a veces cómodo escribir
en lugar de la diferencia g(b) - g(a). Con esta notación la igualdad del segundo 
teorema fundamental del cálculo se escribe
= g(x)
Ejemplo: Toda función polinómica
/(a) = a0 + a ¡x + ... + anxn
es continua y, por tanto, integrable en cualquier intervalo [a, b]. Además,/ es la 
derivada de la función
g(x) - í?oa + -^-a2 + ... + ...."1 -X" + i.
2 n + 1
Por tanto,
(«0 + a ,A + ... + anxn)dx = «()a + -y-A2 + — + —+ *
= a{)(b - a) + ~^~(b2 - a2) + ... + —~—(bn + 1 - a.n + l)
2 n + 1
314
ANALISIS MATEMATICO I 11/11
2.3. CAMBIO DE VARIABLE
Si g: [c, d] -> IR es una función continua enel intervalo / - [c, J] y m y M son, 
respectivamente, el mínimo y el máximo de g en / (teorema de Weierstrass), entonces 
m < g(x) < M para todo ,x* e l. Además, si y e IR es tal que m < y < M, entonces 
existe x e I tal que y = g(x) (teorema de los valores intermedios). Por consiguiente, el 
conjunto
A'(/) = ÍAíCv): x e 1}
es el intervalo pn, M\.
Proposición (Cambio de variable): Sean g una función con derivada continua en el 
intervalo I = {c, d\y f una función continua en g(¡). Sean a = g(c) \ b - g(d). Sí 
F: g(I) -> IR es la función definida por
ify) = Jü'
para cada y e g(Jf entonces para cada x e I existe la integral J. (/’ g) -g' y se veri­
fica
F(g(x))=ff(f g)'g-
En particular,
ff f(s)ds = fff(g(t)) • g'(t)dt.
Demostración: Por ser g continua en / y/ continua en g(l), la función compuesta 
f g es continua en I. Además, por hipótesis, g' es continua en /, luego la función 
(f g) ■ g1 es continua en 1 y, por tanto, integrable en todo intervalo contenido en /. 
Existe pues la integral fx(f g) • g' para todo x e I.
Sean G y H las funciones de / en IR definidas por
Gtxl-ffif g)-g', H(x) - F(g(x))
para cada x e L Por el primer teorema fundamental, G es derivable y
<?'(*) = f(g(x)) ■<?'(*)
para todo x e I. Por la regla de la cadena, fí es derivable y
Z/'(x) - F'(g(x)) ■ g’(x)
para todo x e I, y como por el primer teorema fundamental, es F'(y) = f(y) para todo 
y e g(Z),
H‘(x) = f(g(x)) ■ g’(x)
para todo x e I.
315
ANALISIS MATEMATICO I
Las dos funciones G y H tienen pues la misma derivada en /, luego existirá un k e |R 
tal que G(a) - H(x) = k para todo c I. Haciendo x = c resulta
k = G(c) ■■ H(c) - 0 - F(g(c)) - -F(a) = 0
y, por tanto, Gfv) - H(x) para todo .v e /, es decir,
11/12 //(/' g)-g' = F(gG))
para todo a g /. En particular, para a = d resulta
J/./W)) • g'(t)dt = F(g(t/)) = F(b) = j«fG)ds.
Observación: Suele decirse que se pasa de la integral 
ffí(g(t)) •
a la integral
efectuando el cambio de variable g(z) = a. De manera formal, con este cambio, la 
expresión/(g(Z)) se transforma en/(a), la expresión g\t)dí se transforma en ds y los 
límites de integración se transforman con arreglo al siguiente esquema:
t = c a - g(c), t - d => a = g(d).
Ejemplo: La integral
ÍG 1 + t2dt
puede calcularse efectuando el cambio de variable 1 + t2 = a. La forma habitual de 
disponer los cálculos es la que se expone a continuación:
-------r J fl ---------------- ¡ f2 _
Zx 1 + t2dt = — I v 1 + t2 • 2tdt = — sds
Jo 2 Jo 2 J¡
)
i 19 2
= _L 51/2í/a = — • —s3/2
2 J] 23 i
1 1 -= y(23/2 - 1) = — (2^/2 - 1).
2.4. LA INTEGRAL COMO LIMITE DE SUMAS
Se llama norma de una partición P = {x0, xp de un intervalo [a, b] y se
designa por ||F|| al número real
||P|| = max {x. - x. _ 1 < i < n}.
316
ANALISIS MATEMATICO I 11/13
Está claro que si P y Q son dos particiones de [a, b] y P es más. fina que Q 
entonces ||P|| <
Proposición: Sean f: [a, b] -> IR una función acotada en [a, b], m y M el ínfimo y el 
supremo de f en [a, b]yP- {x0, xn} una partición de [a, b]. Entonces, para 
toda partición Q de [a, b] más fina que P y que conste de k puntos más que P se 
verifican
L(f, Q) - L(f, P) < k(M - /n)||P||
y
U(f, P) - U(f, Q) < k(M - m)||P||.
Demostración: Las dos desigualdades se demuestran por inducción sobre k. Pro­
bemos, por ejemplo, la primera.
Supongamos en primer lugar que k = 1 y sea Q = P U {/}. Existirá un i tal que
x. : _ j < t < x¡ y, mientras que en L(f P) aparece el sumando m((x( - x¡ _ j), en L(f Q) 
aparecen los sumandos mr¡(t - x¡ _ J y m"(*¡ _ 0, siendo m¡, m¡ y m'f los ínfimos de f en 
|.v; ,, x.], [x,- _ H y [í, respectivamente. Los restantes sumandos de L(f,P)y de 
£(/, Q) coinciden. Por tanto,
L(f Q) - L(f, P) = m'.(t - x¡ _ í) + m”(x¡ - t) - m¡(x¡ - x¡ _ J
- (m¡ - m¡)(t - x¡ _ j) + (m'f - m^ - t)
< (M - m)(t - x¡ _ j) + (M - m)(xt - t)
- (M - m) (x,. - x,- _ j)
< (M - m)||P||
y la desigualdad se cumple para k = 1.
Supongámosla válida para k - 1 y veamos que entonces también es válida para k:
Sea Q = P U id, •••, y pongamos Q' = P U {ín ..., tk _ J. Entonces Q = Q' U {tn}
y, por lo visto en el caso k = 1,
L(f, Q) - L(f, Q’) < (M - m)||G'|| < (M - m)||P||.
Pero, por la hipótesis de inducción,
L(f, Q') - L(f, P)< (k-
y sumando miembro a miembro estas dos desigualdades resulta
L(f, Q)~Uf P) < k(M - w)||P||
conforme queríamos demostrar.
Proposición: Sea f: [«, b] IR una función integrable en [o, b] y sea Pn — {x0, xp 
xn} la partición de [a, b] que divide en n partes iguales a este intervalo. Entonces
lim L(f, Pn) = = lim U(f, Pn).
n n
317
11/14 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: Como f es integrable en [a, b], para cada e > 0 existe una 
partición P de [«, b] tal que
P e
Ja ¿
y como P \J Pn es más fina que P, también
P £
f - L(f, P U Pn) <
Ja ¿
Sea k el número de puntos de P distintos de los x¡. Según la proposición anterior,
L(f,PUF.)- L(f. P„) < k(M - m)||P„||
y sumando las dos últimas desigualdades resulta
-b
f-L(f,P„)< ± + k(M - m)||P„||.
Ja ¿
Ahora bien, como H^'U = (b - a)!n, si es un número natural tal que
nQ > 2k(M — m 4- 1)(¿ - a)! e,
para n > n0 se tiene
fb F 8 E
f - L(f, Pn) < + k(M - m)(b - a)/n < — + — = e.
Ja L
En resumen, para cada e > 0 existe un número natural n0 tal que
0 < f'f - L(f, P„) < £
para todo n > n0, es decir,
lim¿(/, Pn) = j*f. 
n
Análogamente se prueba que
lim U(f,P„) = fabf.
n
Proposición: Si f: [a, b} -> [R es una función integrable en [a, b] entonces la 
sucesión (an) definida por
b - a
n
an
n / >
Z/(«+Í- - a 
n
318
ANALISIS MATEMATICO I 11/15
para cada n g N es convergente y
lim an = // f. 
n
Demostración: Sea Pn — {x0, la partición de [a, b] que divide en n
partes iguales a este intervalo y, para i = 1, 2, n, sean m¡ y M( el ínfimo y el 
supremo de f en [%,■ _ b xj. Entonces, para i = 1, 2, n, se tiene
m¡(x¡ - x¡ _ ji) < /(*,.) (*,- - x¡ _ j) < M¡(x¡ - x¡ _ i)
y sumando miembro a miembro estas desigualdades resulta
L(f, Pn) <an< U(f> PJ.
Pero, según la proposición anterior,
lim L(f Pn) = tff = lim U(f, Pn) 
n n
luego también
lim an = ///.
Ejemplo: Calcular el límite de la sucesión (an) definida por
n n n
(n + l)2 (n + 2)2 (n + n)2
para cada n g N.
Solución: Se tiene
y, por tanto,
lim an 
n 0
dx 
(1 + *)2 1 + x 0 2 1 2 '
319
ANALISIS MATEMATICO I 11/17
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Sea f: [a, b\ -> IR una función continua tal que |/(x)| < 1 para todo x e [a, b]. 
Probar que la sucesión (an) definida por
an = £[/(*)
para cada n e M tiene por límite cero.
2. Utilizar la identidad
1 + x6 = (1 + j¿)(1 - x2 + Jt4)
para demostrar que para a > 0 se verifica
1 , dx ¿i3 as
1 + \ 3 5 / Jo 1 + x2 3 5
Tómese a = 1/10 y calcúlese el valor de la integral con seis cifras decimales.
3. Sea / una función integrable en [a, b]. Probar que existe un x e [a, b] tal que 
Ja f = L'f-
4. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
a) /(x) -
* dt
o 1 + t2 + í4
321
11/18 ANALISIS MATEMATICO I
* V- A r£ tCx i _L /2 C dt
c) h(x) - ---------- dt; d) k(x) = — ...— .
J3 2 + í6 Jx x/1 + r2
5. Calcular
6. Sea f una función continua. Probar que la función F: IR -» IR definida por
F(x) = -2-í (x - t)2f(t)dt
■¿Jo
tiene derivada tercera continua en todo punto.
7. Determinar una función continua f y una constante c tales que
fx f1 r16 r18
Jo f(t)dt = J t2f(t)dt i- — + — + c
8. Sea f: IR -» IR una función con derivada positiva tal que f(t) = 0 cuando t = 0. 
Determinar los puntos en los que la función
_ y x fx2 - 5x + 6 .
F<A) = Jo
tiene extremos relativos.
9. Probar las siguientes igualdades:
a) />"■(! - t)"dt = - t)mdt, (m, n e N).
b) £ 171 - t2dt = 2 /0'71 - t2dt.
10. Dada la función
322
ANALISIS MATEMATICO I 11/19
se pide:
a) Probar que f es impar.
b) Estudiar el crecimiento y determinar los máximos y mínimos de f.
c) Ecuación de la tangente a la gráfica de f en el origen.
d) Demostrar que 0 < f(x) < l/(2x) para todo x > 0 y deducir de ello el valor 
del límite de f en el infinito.
e) Dibujar aproximadamente la gráfica de f.
323
11/20 ANALISISMATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Por el teorema del valor medio existe un ce la, b\, tal que
an = [/(c)]”(/? - a)
2.
y como |/(c)|
lim ¿r, = 0
El teorema del valor medio ponderado aplicado a las funciones f(x) = 1 - a2 
y g(x) - 1/(1 + x6) asegura la existencia de un c g [0, a], tal que
r dx
o
1 Ca
~x'Jo + x4)t/x
Pero ce[0, a\ y. por tanto, 0
1
3
/ a— Í7 - ---
6 3
< i/6, luego
a
5 /Jo
a
~5
6 6
324
ANALISIS MATEMATICO I 11/21
y como para a > 0 es
6/3 . a* a /a 4 c 2 , in
a - ---- + ---- = ---- (3a - 5a + 15)
3 5 15
a
Í5
+ ----35
4
O,
se tiene
luego
1 ( _ \ dx <- _ a* a' 
-------------- -— | ------- -|- ------- I I ------------ —- < Q ----- 1
1 + a6 \ 3 5 ) Jo 1 + x2 3 5
Para a = 1/10 resulta
0,0996685... < -------- .
Jn 1 + a2
< 0,0996686...
y, por tanto, el valor de esta integral con seis cifras decimales exactas es 
0,099668.
3. Probaremos que la función F: [a, b\ -> IR definida por
= P - f f
se anula en un x e [a, b]. Esta función es continua en [a, b] (2.2.1). Además,
F(a) = ~faf Y F = !af
luego si £ f - 0 la función continua F toma valores de signo contrario en los 
extremos del intervalo [a, b] y, por el teorema de Bolzano, F se anula en un 
,v e (a, b).
En el caso de que f = 0, F se anula en x = a y en x = b.
4. a) Por el primer teorema fundamental del cálculo,
f'(x) =
1
1 + x2 + x4 '
325
11/22 ANALISIS MATEMATICO I
b) Como
g(x) = -í
J 1 1 4
por el primer teorema fundamental,
c) h es la función compuesta o h2 donde
ÍX 1 _L dt y h2(x) = x2. 3 ¿ + í
5. Por el primer teorema fundamental la función
Por el primer teorema fundamental,
1 4- x2 h 1(x) =
y por la regla de la cadena,
1 4" x4 2x 4” 2x5 
h (x) — h2(x) ■ h t(/i2(x)) — , 12 l2 .¿ I X* I -A.
d) Como
, z f° dt r2 dt r2 dt r dt 
k(x) - I —, 4- —. .— =
J ,v 1 4- Z2 Jo x/1 4- Z2 Jo x/1 4- Z2 Jo \/1 4- Z2
la derivada de k se obtiene aplicando la regla de la cadena y el primer teorema 
fundamental:
k'(x) ~ 2x ■ 1
71 + te2)2
i
7’i + x2 ‘
es derivable y
326
ANALISIS MATEMATICO I 11/23
para todo x e IR y, por ia regla de l’Hópital,
>• f(x) i- f'(x) r í i hm = hm _ hm = 1.
x-o x *-»o 1 71 + x2
6. Se tiene
F(x) = ^x2f f^dt ~ VÍ + 4"í t2f^dt 
¿Jo Jq ¿Jo
y, por tanto, para cada x e IR,
F’(x) = ~x2f(x) + /(0^ ~ x2f(x) ~ í tf(t)dt +
= x\XJ®dt ~
F"(x) - x/(x) + fáf(t)dt - x/(x) = ^f(t)dt
y
F"'(x) = /(x).
7. Derivando resulta
/(x) - -x2/(x) + 2x15 + 2x17,
luego
(1 + x2)/(x) = 2x15(l + x2)
y, por tanto,
/(x) = 2x15,
y haciendo x - 1 en la igualdad del enunciado se obtiene
f1 1 12tX5dt = — + — + c
Jo 8 9
es decir,
327
M/24 ANALISIS MATEMATICO I
o sea
1 = _L
¥ ~8
1
9
luego
c 9~‘
8. F es la función compuesta G H donde
G(a) = y H(x) = x2 ~ 5x + 6.
La función H es derivable y H’(x) = 2x - 5 para todo x g IR. La función / es 
continua por ser derivable y, por el primer teorema fundamental, G es derivable y 
G"(v) = f(x) para todo .v g IR. En consecuencia, por la regla de la cadena, F es 
derivable y
F'(x) = H'(x) • G'(H(x)) = (2x - 5)/'(x2 - 5.v + 6)
para todo .y g IR.
Por tanto, F'(x) = 0 cuando 2x - 5 = 0 y cuando f(x2 - 5.v + 6) - 0. De la 
primera ecuación resulta x ~ 5/2. La segunda ecuación, teniendo en cuenta que 
por ser /estrictamente creciente es /(/) = 0 solamente cuando t — 0, se satisface 
cuando v2 5x - 6 - 0, es decir, cuando i - 2 y cuando x = 3.
Ahora bien, como
F"(x) = 2f(x2 - 5x + 6) + (2x - 5)2f'(x2 - 5x + 6),
se tiene
F"(2) - F"(3) = /(O) > 0
y
F"(A) - 2/í-A | < o 
\2) \ 4 /
ya que / es estrictamente creciente y /(O) = 0. Por consiguiente, F tiene mínimos 
relativos en x = 2 y en x - 3, y un máximo relativo en .v - 5/2.
9. a) Haciendo el cambio de variable 1 - t = .v resulta
folím(l - t)ndt - - jo (1 - s)msnds
1 - t = s
-dt = ds
t - 0 ~> s - 1
t i => s o
= ~ s)mds
= /«(1 - t)mdt
328
ANALISIS MATEMATICO I 11/25
b) Se tiene
, 71 - >2dt = /°, V 1 - r2</r + /„' x/ 1 - t2dt
y haciendo el cambio de variable t - -s resulta
í° v/1 - t2dí = - í^x/ 1 - s2ds = l - s2ds = C yj \ - Pdt J — ] ’ d 1 ' d (J ’ J (J V
luego
f1 n _ ~2^
J — 1 V d V V
10. a) Haciendo el cambio de variable t = —s resulta
= -f(x)
luego efectivamente, f es impar.
Por consiguiente, la gráfica de f es simétrica respecto del origen de coordena­
das.
b) Como el integrando es una función continua en todo punto, f es derivable y
f'(x) = 2 • . - 1 • .
x/(2x)4 + (2x)2 + 1 /x4 + x2 + 1
2 _ 1
V 16x4 + 4x2 + 1 V*4 + x2 + 1
para todo x e IR. Por consiguiente, es f'(x) = 0 cuando
16x4 + 4x2 + 1 - 4(x4 + x2 + l)
es decir, cuando
12x4 = 3
ecuación que tiene por raíces x = -1/x/Tyx = l/x/l?
Fácilmente se comprueba que/' es negativa en (-oo, -l/x/2) y en (1/^/2? 
+ oo) y positiva en (—1/^/2, l/x/2), luego/es decreciente en(—oo, — 1/>/2) y 
en (l/x/T, +co) y creciente en (-1/\/2? l/\/2)~; / tiene pues un mínimo en 
x — -l/x/T y un máximo en x - 1/^/2?
c) Como/(O) = 1 y /(O) = 0, la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el 
origen es la recta de ecuación y = x.
329
11/26 ANALISIS MATEMATICO I
d) Es evidente que
0
para todo t g IR y , por tanto, para cada x > 0 se verifica
y como lim ■
X —> +cc 2x = 0,
lim f(x) = 0.
X -> + ®
e) Gráfica de f:
330
ANALISIS MATEMATICO I m/1
TEMA III
Funciones logarítmicas 
y exponenciales
Esquema/ resumen
3.1. La función logaritmo neperiano.
3.2. La función exponencial natural.
3.3. Otras funciones exponenciales y logarítmicas.
3.4. Función potencia.
3.5. Funciones hiperbólicas.
3.6. Cálculo de límites.
331
ANALISIS MATEMATICO I III / 3
La función logaritmo neperiano se define como una función F de (0, + x ) en IR cuya 
derivada es Fr(t) — l/t para cada t > 0 y tal que F(l) = 0. La adopción de esta 
definición no es arbitraria sino que se desprende de una propiedad que deseamos 
tengan los logaritmos y que el lector recordará sin duda: el logaritmo de un producto es 
igual a la suma de los logaritmos de los factores. Queremos hallar una función F de 
(0, +oc) en IR derivable y no idénticamente nula que verifique F(xt) - F(s) + F(t) 
cualesquiera que sean los números reales positivos .s y t.
Haciendo s = t = 1 en la ecuación funcional anterior resulta F(l) = 2F(1), luego ha 
de ser F(l) = 0. Por otra parte, si F es derivable y es F(st) = F(s) + F(t), por la regla 
de la cadena será tF'(st) = F'(s) y haciendo 5 - I se deduce F'(t) = F'(l)/r para cada 
t > 0.
La función logaritmo neperiano es aquélla de las F para la que F'(l) L es decir, 
la función F de (0, +cc) en IR derivable y tal que F'(t) = 1 !t para cada t > 0. Teniendo 
en cuenta que F(l) = 0, el segundo teorema fundamental del cálculo nos permite 
escribir
F(x) -
En estos términos se da la definición de la función logaritmo neperiano en (3.1) y, a 
partir de la fórmula anterior, se deducen las propiedades más importantes de esta 
función; entre ellas, la que ha motivado la propia definición: el logaritmo de un 
producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
La función logaritmo neperiano tiene derivada positiva en (0, +cc) luego es cre­
cí q# te. Su función inversa se denomina función exponencial natural. Esta función se 
estudia en (3.2).
Las demás funciones elementales estudiadas en este tema se definen a partir de las 
funciones logaritmo neperiano y exponencial natural (3.3, 3.4 y 3.5).
333
ANALISIS MATEMATICO I 111/5
3.1. LA FUNCION LOGARITMO NEPERIANO
3.1.1. La función/(/) = 1/t es continua en todo t 0 y, por tanto, es integrable 
en todo intervalo cerrado que no contenga al origen.
Definición: La función logaritmo neperiano es la función log: (0, +oo) -> definida 
por
logx =| ydt
para cada x > 0.
Por el primer teorema fundamental del cálculo, log es una función derivable (y, por 
tanto, continua) en todo punto x e (0, +co) y
log'(x) = para cada x > 0.x
Por consiguiente, la derivada de log es positiva en (0, +oo), luego log es una función 
creciente en (0, +oo), y como log 1 = 0, será
log r > 0 para x > 1 y log x < 0 para < 1.
Además, como
log"(x) = - 4- < 0,
X
loges una función cóncava en (0, +oo).
335
111/6 ANALISIS MATEMATICO I
3.1.2. Proposición: Cualesquiera que sean los números reales positivos x e y se 
verifica
log (xy) - log.v i log y.
Demostración: Para cada y > 0 la función F: (0, +x) -* IR definida por
F(x) = log (xy) - logx - log y
es derivable y
F'(x) = y — - — - 0 xy x
para todo x > 0. Por consiguiente, F es una función constante, es decir, existe un 
número real c tal que
log (*y) - log x - log y = c
para todo x > 0. En particular, para x = 1 será
log y - log 1 - log y - c
luego c - 0 y, por tanto,
log (xy) - logx - log y = 0
para todo x > 0.
3.1.3. De la proposición anterior se deducen otras propiedades importantes de la 
función log:
a) Cualesquiera que sean los números reales positivos x e y se verifica
log — - logx - logy.
y
Demostración:
(x \ X— • y ) = log — + log y.y J y
b) Para todo x > 0 y para todo n g N se cumple
log x" = n log x.
Demostración: Procederemos por inducción sobre n. Para /z — I la igualdad se 
cumple evidentemente. Supongámosla cierta para n. Entonces también es cierta para 
n + 1 puesto que
log x" + 1 - log (xn • x) = log xn + log x = n log x + log x = (n + l)log x.
336
ANALISIS MATEMATICO I 111/7
c) La función log no está acotada superior ni inferiormente.
Demostración: Para cada número natural n se verifican
log T ~ n log 2
y
log -J— = log 1 - log 2" - -n log 2
y como log 2 > 0, para cualquier k > 0 se tiene
1 klog 2" > k y log—— < ~k cuando n > ----- —.
2n log 2
d) Se verifican
lim log.v - -oc y lim logx - +oc .
a - 0+ x -» +oc
Demostración: Basta tener en cuenta que log es creciente y que no está acotada 
superior ni inferiormente.
3.1.4. La función log: (0, +co) -> IR es creciente, luego es inyectiva. Además es 
continua y no está acotada superior ni inferiormente, luego el conjunto
{logx: x e (0, +oo)}
es todo IR. Con otras palabras, para cada número real y existe otro número real x > 0 
tal que logx = y, luego log es suprayectiva.
Por consiguiente, la función log: (0, +oo) -» IR es biyectiva.
3.1.5. El estudio hecho en los párrafos anteriores permite dibujar con bastante 
precisión la gráfica de la función log:
337
111/8 ANALISIS MATEMATICO I
3.2. LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
3.2.1. Según hemos visto, la función log: (0, + oo) -> IR es biyectiva. Su función 
inversa log-1: IR (0, +oo) se llama función exponencial natural:
Definición: La función exp — log”1, inversa de la función logaritmo neperiano, se 
llama función exponencial natural.
Según esto, las expresiones
exp x = y, log y = x
son equivalentes. Con otras palabras, un punto (x, y) pertenece a la gráfica de exp si y 
sólo si el punto (y, x) pertenece a la gráfica de log. Esto significa que las gráficas de exp 
y de log son simétricas respecto de la recta y - x.
El dominio de definición de exp es todo IR. Su recorrido o conjunto imagen es el 
intervalo (0, +oo). Como la función logaritmo es creciente y continua, su función 
inversa, es decir, la función exponencial es también creciente y continua. Además,
lim log.v = -oo y lim logx - +oo 
,v -> 0+ x -> +x
y, por tanto,
lim expx — 0 y lim expx = +oo.
X -» -OO X -> +oo
La función exponencial es también derivable y su derivada se obtiene aplicando la 
regla de derivación de funciones inversas:
Proposición: La función exponencial es derivable y
exp'(x) = exp a
para todo x e IR.
338
ANALISIS MATEMATICO I 111/9
Demostración: Para cada x e IR se tiene
exp'(*) =■- (log^)'(x) 1 u
log (log \x))
= .,1 -u " = tog-1(*) 
1/(1/log ’(x))
= exp x.
3.2.3. Proposición: Cualesquiera que sean los números reales x e y se verifica
exp (x + y) = (expx) • (exp y).
Demostración: Pongamos
a = expx y b = exp y.
Entonces
x = log a e y ~ log b
y, por tanto,
x + y = log a + log b = log (ab)
luego
exp (x + y) ~ ab = (expx) ■ (exp y).
3.2.4. El número exp 1 es particularmente importante*
Definición: Se designa por e al número real exp 1:
e = exp 1.
Esto equivale a decir que loge - 1.
Como
f2 1 r2
log 2 = — dt < 1 • dt = 1
J i 1 J i
y
r4 i r2 i r4 i r2 i r4 i i i 
log 4 = —dt = I —dt + | —dt > —dt + / —dt - — + — = 1,s Ji t t J2 t 2 J2 4 2 2’
se tiene
log 2 < log e < log 4
y como log es una función creciente,
2 < e < 4.
339
111/10 ANALISIS MATEMATICO I
Aplicando el teorema de Taylor a la función/(x) = expx resulta
exp* = E TT + £"W 
k = o K ‘
donde el resto En está dado por
E„(x) = —eXP (—x" + 1 con t e (0, x). 
(«+!)!
En particular, para x = 1 se tiene
k = 0
Pero como la función exponencial es creciente, para todo t e (0, 1) se verifica
1 = exp 0 < exp t < exp 1 = e < 4 
y, por tanto,
1 4----- í < E„(l) < ----- 
(n + 1)!--------------- (« + 1)!
y para n = 4 se obtiene 
1 45F<e‘(,)< ir
y 
111 17" = 1 + 1 + 7r + TT + 7T + = 2 +14 + E4(í)
de donde se deduce que
2 < e < 3.
Por consiguiente, 
1 1 3e ~ Y -— + E (1) con -----------< E„(l) < ------------ .
¿ = 0 " (n + 1)! (n + 1)!
Esto permite calcular el número e con el grado de aproximación que se desee. 
Puede comprobarse, por ejemplo, que tomando n - 12 se obtienen las primeras siete 
cifras decimales exactas de e:
e = 2,7182818...
340
ANALISIS MATEMATICO I 111/11
Proposición: El número e es irracional.
Demostración: Si fuese e = p!q con p y q enteros (positivos) sería
P 
<7
X TT + £"(1) 
t-o k'
y multiplicando por n ! se obtendría
n \p 
q
n n ’ 
k = 0 K '
Para cada n e N el número dado por el sumatorio es entero. También es un número 
entero el primer miembro de la igualdad si se toma n > q. Por consiguiente, n ’E^ÍI) es 
también un número entero para n > q. Ahora bien, como
 < E (1) < ------------ , 
(n + 1)!------ " (n + 1)1
es 
1
n + 1
3 
n + 1< «!£„(!) <
y para n > 3 resulta
0 < n !£■„(!) < 1
lo cual es imposible para un número entero.
3.2.5. Es fácil demostrar que
exp r = er
para todo número racional r. En efecto, por la proposición 3.2.3, para todo número real 
x se verifican
exp (2x) = exp (x + x) = (exp x) (exp x) = (expx)2
y
exp (3x) = exp (2x + x) = (exp 2x)(expx) = (expx)3
y por inducción resulta
exp (wx) = (exp x)n
para todo x e IR y todo n e N. Haciendo en esta fórmula x = \/n se obtiene 
e = (exp (l/n))w y, por tanto,
exp (1 ln) = e1//I
341
111/12 ANALISIS MATEMATICO I
Haciendo ahora x = \¡m con m e M se deduce
exp (n/m) - (exp (l/m))n = = en/m
luego
exp r = er
para todo racional positivo r, y como
1 = exp 0 = exp (r - r) = (exp r) ■ (exp (-r)),
se verifica
exp (-r) = l/(expr) - er
y la fórmula es también válida para los racionales negativos.
3.2.6. La función exponencial está definida en todo IR. Pero, según acabamos de 
ver, exp x - ex para todo número racional x. Esto conduce a escribir también exp x ~ ex 
para todo número irracional x.
Definición: Para cada número real x designaremos por ex el número expx:
ex = expx.
De ahora en adelante, utilizaremos indistintamente una u otra notación para desig­
nar la función exponencial natural.
3.3. OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
3.1.1. Definición: Sea a > 0. Para cada número real x se designa por ax el 
número exX°za\
ax = ^xloga.
La función f: IR -> (0, +oo) definida por
f(x) - a' ~ exlo&a
para cada x e IR, se llama función exponencial de base a.
Obsérvese que se necesita imponer la condición a > 0 para que exista loga. 
Obsérvese también que la función exponencial natural es, con esta nueva terminología, 
la función exponencial de base e.
Cada propiedad de la función exponencial natural se traduce inmediatamente en una 
propiedad de la función/(x) = ax:
Se verifican
a° = e° = 1 y a1 = exp (log a) = a.
342
ANALISIS MATEMATICO I 111/13
Si a = 1 entonces log a = 0 y lx = eQ = 1 para todo x. Supongamos a > í. 
Entonces log a > 0 y si x < y, se tiene x log a < y log a y como la función 
exponencial natural es creciente, exp(xlogu) < exp(ylog¿z), es decir, ax < ay. Por 
consiguiente, si a > 1 la función/(x) = ax es creciente y se verifican
lim ax - lim exloga = 0 y lim ax = lim exlosa = +oo.
-x x ~+ —x x + x x -» +x
En cambio, si 0 < a < 1entonces log a < 0, la función f(x) = ax es decreciente, 
lim ax = +oo y lim ax — 0.
x -» ~oc x -» +x
Gráfica de f(x) = ax para distintos valores de a
La función /(x) = ax es continua por ser f la función compuesta g h donde 
g(x) = ex y h(x) = x\oga
y ser g y h continuas. Como g y h son también derivables,/es derivable y, por la regla 
de la cadena,
/'(x) = g'(h(x)) ■ h'(x) = ek<x) ■ loga = exlo&a • log a - ax • loga
para todo x e IR.
De la definición de ax y del hecho de que las funciones log y exp son inversas una 
de la otra se deducen otras propiedades importantes de la función /(x) = ax\
Proposición: Sea a > 0. Cualesquiera que sean los números reales x e y se 
verifican
ax +y = ax ■ ay y (qx)y = axy.
343
111/14 ANALISIS MATEMATICO I
Demostración: Se tiene
dx + y — g(x + y) log a — log a + y log a — ¿>xlog a . @y log a = qX , ay
y
(axy = ey]°£aX = g}’log (e*P (*loga)) = eyxloga — ayx — axy
3.3.2. Si a > 0 y a 1 la función f: IR -> (0, +oo) definida por/(x) - ax es 
biyectiva. Su función inversa (0, +oo) -> IR se llama función logaritmo en base a:
Definición: La función loga, inversa de la función exponencial de base a, se llama 
función logaritmo en base a.
Según esto, si y = loga x entonces x = ay = ey !°sa y, por tanto, log x = y log a, luego 
y = (log x)/(log a). Por consiguiente,
10gü X - logxlogfl ’
Obsérvese que la función logaritmo neperiano es la función logaritmo en base e.
Como f(x) = a* es continua y monótona (creciente si a > 1 y decreciente si a
log^ es también, continua y monótona (creciente si a > 1 y decreciente si a
< 0,
1) y
lim loga x ~ -oo, lim log^ x = +oo si a > 1
.r -> 0+ v -» +oo
y
lim loga x - -roo, lim loga x = —oo 
x -* 0+ x -> +oo si a < 1.
La derivada de g(x) = log^ x se obtiene inmediatamente teniendo en cuenta que 
g(x) = (logx)/(log a):
344
ANALISIS MATEMATICO I 111/15
3.4. FUNCION POTENCIA
Definición: Sea a un número real arbitrario. La función f: (0, +oo) -> IR definida 
por
f(x) ~x“ = eaio^x
por cada x > 0 se llama función potencia de exponente a.
Esta función es ia función compuesta fx - f2 donde
/i(jc) = ex y f2(x) = a logx.
La continuidad y la derivabilidad de./(x) = xa resultan de su definición como función 
compuesta de dos funciones derivables y, por la regla de la cadena,
/V) M'itAC*)) =/'1(alogx) -y
. a a ,= ea log* • — — xa • — — a xa
x x
Si ¿i =0, entonces/(x) = 1 para todo x > 0.
Si a > 0, entonces f'(x) > 0 y f es creciente. Además, como
lim «logx = —oo y lim alogx - +oo
x -+ 0+ X -> + x
se tiene
lim x“ = lim = lim e? - 0
x -> 0+ x -> 0+ y ~x-
y
lim xa = lim ea5°g* = lim ey - +oo.
x -» +x x —» +x y —> +x
Si a < 0, entonces f(x) < 0 y f es decreciente. Además, como
lim «logx = +oo y lim ¿zlog.r - — xj
x -*■ 0+ x -» +x
se tiene
lim xa = lim efllogT = lim ey - + oo
X - 0+ x -> 0+ y -> +x
y
lim xa = lim - lim e? = 0.
x ”♦ +x x -> +x y -» —x
345
111/16 ANALISIS MATEMATICO I
La segunda derivada de f es
f\x) = a(a - l)xd 2
Por tanto, si a < 0 o si a >1 entonces f’(x) > 0 y f es convexa, y si 0 < a < 1 
entonces/'(x) < 0 y f es cóncava. (Si a = 1 entonces/(x) = x para todo v > 0).
Gráfica de f{x) = xa para distintos valores de a
3.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS
3.5.1. Definición: Las funciones sh, ch y th definidas para cada % e IR por las 
fórmulas
, ex — e ~x , ex + e~x shx =------------ , chx -------------- , thx “
2 2
se. denominan seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente 
mente.
De esta definición se deducen inmediatamente los valores
shO = 0, chO - 1, thO = 0.
También resulta de manera inmediata que para cada x e IR se
sh(— x) - — shx, ch(—x) = chx y th(—x) =
chx
hiperbólica respectiva-
verifican
-thx
luego sh y th son funciones impares mientras que ch es una función par.
346
ANALISIS MATEMATICO l 111/17
Multiplicando miembro a miembro las dos igualdades
chx + shx - ex y chx - shx - e~x
se‘ obtiene
ch2x - sh2x — i
y dividiendo por ch2x resulta
se
- th2 x ch2
Por otra parte, de las identidades
= chx chy
e~x - y = , e-y
= chx chy
deducen
(chx + shx)(chy + shy)
+ shx shy + shx chy + chx shy
= (chx - shx) (chy ~ shy)
+ shx shy - shx chy - chx shy
sh(x + y) = shx chy + chx shy 
y
ch(x + y) - chx chy + shx shy.
Haciendo en estas últimas igualdades y = x se obtienen
sh2x = 2shxchx y ch2x = ch2x + sh2x
y como ch2x - sh2
, * 2 shx chxSh2x = —5------------ -2-
ch x - sh x
, „ ch2x + sh2x ch2x = —-2------- -y—ch x - sh x
y
2thx
- th2x ’
1 + th2x
i ~ th2x ’
_ sh2xth2x - 2thx ch2x 1 + th2x "
3.5.2. Fácilmente se comprueba que las funciones sh, ch y th son derivables y que, 
para cada x e IR, se verifican
sh'(x) = chx, ch'(*) = shx y th'(x) - —¡4— 
en rV
347
ni /18 ANALISIS MATEMATICO I
Como ch* > 0 para todo x, la función sh es creciente. Además,
lim sh* = — oo y lim sh* - +oo.
Por otra parte, como sh"(*) = sh* y sh* es positivo o negativo según que x sea ma­
yor o menor que cero, la función sh es cóncava en (-30, 0) y convexa en (0, +00). En 
* - 0. sh tiene un punto de inflexión.
Como sh* < 0 para x < 0 y sh* > 0 
(-oo,0) y creciente en (0, +00). En x = 
Además,
para % >0, la función ch es decreciente en 
0, ch tiene un mínimo absoluto igual a 1.
lim ch* = lim ch* = +00.
-» -x x + x
Por otra parte, como ch"(*) = ch* > 0 para todo x, la función ch es convexa.
La función th tiene derivada positiva y, por tanto, es creciente en ( —x, +x). 
Además,
ex — p-x e2x _ 1
lim th* = lim ------------ ~ lim —--------- -- -1
.X . + ex-»-x e2x + 1
y 
ex — e~x 1 — e ~2xlim th* ~ lim ------------ - lim --------- — = 1.x -> +x x • ex + e * x -» +x 1 + e
Finalmente, como
th"(*) = -2sh*ch* = -sh2*,
la función th es convexa en (-oo, 0) y cóncava en (0, +co). En * = 0, th tiene un 
punto de inflexión.
3.5.3. La función sh: IR-> IR es biyectiva. Su función inversa se llama argumento 
seno hiperbólico y se designa por arg sh. Según esto,
arg sh* = y si y sólo si * - shy.
Como la función seno hiperbólico, arg sh es continua y creciente. Además, como
lim sh* = -00 y lim sh* ~ + x, 
x -» ~ x x —* +x
se tiene
lim arg sh* = -00 y lim argsh* = +00. X -* “Cfj x -* + x
La función arg sh es también derivable y su derivada se obtiene aplicando la regla 
de derivación de funciones inversas:
argsh'(*) - (sh-1)'(*) = 1 = 1..—.
sh (sh (*)) ch(arg sh*)
348
ANALISIS MATEMATICO I 111/19
Ahora bien,
ch2(arg shx) — sh2(arg shx) = 1
y, por tanto, 
ch2(arg shx) - x2 = 1
y como ch toma siempre valores positivos,
ch(argshx) - v x2 + 1
Por consiguiente, 
argsh'(.v) - — 1 
x/x2 + 1
La función argsh se puede expresar por medio de la función logaritmo neperiano:
Si y = arg shx, será x = sh y y chy = x/x2 + 1 luego
e? - shy + chy = x + vx2 + 1
y, por tanto,
arg shx = y = log(x + ^/x2 + 1).
3.5.4. La función/* [0, +oo) [1, +oo) definida por f(x) = chx para cada x > 0 
es biyectiva. Su función inversa se llama argumento coseno hiperbólico y se designa 
por argch. Según esto,
arg chx = y si y sólo si x = chy e y > 0.
Procediendo de manera análoga a como hemos hecho en 3.6.3 se deduce que
Mí \ 1arg ch (x) - .
7* - i
y que
arg ch.v = log (x + x/x2+ 1).
3.5.5. La función th: IR(-1, 1) es biyectiva. Su función inversa se llama argu­
mento tangente hiperbólica y se designa por arg th. Según esto,
arg thx = y si y sólo si x - thy.
Aplicando la regla de derivación de funciones inversas se obtiene (para — 1 < x < 1).
arg th'(x) = —
349
III / 20 ANALISIS MATEMATICO I
Por otra parte, si x e (-1, 1) e y = argthx, se tiene
x = thy = ey - e ’ -v 
ey + ey
e2y - 1
ely + 1
y, por tanto,
e2y(l — x) — 1 + x,
luego
arg thx - y = 1 ,2 °8
1 + X
1 - X '
3.6. CALCULO DE LIMITES
3.6.1. Según vimos en la Unidad Didáctica 2, proposición 2.3.1., el límite de la 
suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones / y g queda determinado salvo 
en los casos
OO — 'OO, 0 ' 00 , 00 / 00 y //O (le IR).
Como para f(x) > O es
f(x)8^ =
y la función exponencial es continua, el límite de f(x)8(x) quedará determinado cuando lo 
esté el del producto ^(x)log/(x) y será
]¡m/(x)i’(¥)= elim
Ahora bien, este último límite es indeterminado cuando uno de los factores tiende a O y 
el otro tiende a oo, y como
log/(x) -> oo cuando f(x) > O y cuando f(x) -> oo
y
log/(x) -> O cuando f(x) -> 1,
el límite de f(x)^} quedará indeterminado cuando
/(*) -> O y g(x) O,
cuando
f(x) -+ oo y g(x) O
y cuando
/(x) -+ 1 y g(x) -> oo.
350
ANALISIS MATEMATICO I 111/21
Así pues, los distintos tipos de indeterminaciones para el límite def(x)8^ se pueden 
representar con los siguientes símbolos:
0", oo°, l00.
En condiciones bastante generales, la regla de l’Hópital resuelve las indeterminacio­
nes oo /oo y 0/0. La indeterminación 0 • oo puede reducirse a una de las dos anteriores 
poniendo
A=w 6 f8=~nr
La indeterminación oo — oo puede tratarse también mediante transformaciones alge­
braicas como, por ejemplo,
La indeterminación Z/0 (l 0) no suele ser difícil de eliminar, siendo suficiente estudiar 
el signo del denominador en un entorno reducido del punto de que se trate: Si g tiende 
a 0 tomando valores positivos (respectivamente, negativos), 1/g tiende a +oo (respecti­
vamente, -oo) y flg tiende a / • (+oo) (respectivamente, / • (-oo)), con lo que queda 
eliminada la indeterminación.
Las indeterminaciones 0o, oo° y lx se reducen todas a una del tipo 0 • oo sin más 
que tener en cuenta la definición
x -» +oo X x +ao -T
f8 — eglcgf
En el cálculo de límites en el infinito o en cero resulta muy útil a veces hacer el 
cambio de variable y = l/%. Con este cambio,
y -> 0+ si y sólo si x -> +oo
e
y -> 0" si y sólo si x -> -oo.
Ejemplos:
log (1 +x)1. hm--------------- = 1.
x - o x
Basta aplicar la regla de l’Hópital:
. log (1 + x) 1lim —s-------- = iim --------- = i
•x -> 0 X x->ol+.X
2. |im = o.
X -~t +ao A"
Basta aplicar la regla de l’Hópital:
r r 1 n
lim -------- - l¡m — - 0.
351
ni / 22 ANALISIS MATEMATICO I
3. lim a log x = 0.
x - 0+
Haciendo el cambio de variable y = 1/x, cuando x -> 0+, y -> y
i-i i- 1 i 1 v -I°Sy nlim A log .r = lim —log — = lim --------- = 0
x-»o+ y -> +x y y y
según hemos visto en el ejemplo anterior.
4. lim = 1.
x - 0 +
Por definición,
xx = para x > 0
y como la función exponencial es continua,
lim .r1 = exp ( lim x log x) = exp (0) = 1. 
x -> 0+ x 0 +
5. lim (1 + x)1/x = e.
x 0
Por definición,
(1 + X)l/x - e(l/x)Jog (1 + x)
y como la función exponencial es continua,
lim (1 + x)1/x - exp (lim (1 /x) log (1 + x)) = exp (1) - e.
X - 0 x —> 0
3.6.2. Este último resultado permite calcular fácilmente cualquier límite de la 
forma
lim f(x)s(x)
x —* a
donde -oo < a < +oo y f y g son funciones tales que
f(x) * 1 para todo x, lim f(x) - 1 y limg(x) = ±oo
x -> a x -*■ a
para las que exista
lim (f(x) - l)g(x). 
x -> a
En efecto, poniendo h(x) = f(x) - 1 se tiene
/(x/(x) = [(i + h(xy)y,i^y(x)8(x)
y como h(x) tiende a 0 cuando x tiende hacia a,
lim (1 + h(x)) 1/hw - lim (1 + y)lly = e.
X -t a y -> o
352
ANALISIS MATEMATICO I lil/23
Además,
h(x)g(x) = (f(x) - \)g(x)
y como la función exponencial es continua,
lim /(x)Á'w = exp (lim (f(x) - l)g(xj).
x a x a
Ejemplos:
= exp(-2)
- e
3. lim (jc2 + x + l),/(r + ]) = exp ( lim ---------
_r - 0 Vr - 0 X + 1
= exp (lim x)
x 0
= exp(O)
- 1.
353
ANALISIS MATEMATICO I III / 25
EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Determinar los dominios de definición y las derivadas de las siguientes funciones: 
f(x) = log (log x), g(x) = (log x)v, h(x) =
2. Calcular los siguientes límites:
a) lim x1/lo8x; b) lim (log —) ; c) lim (1 +x -* 0+ -x->0+\ x J x - o +
3. Demostrar que logx < x - 1 para todo x > 0 y deducir de ello que cualesquiera 
que sean los números reales x„ x2, xn se verifica
— E log x¡ loS f— Z )
n . , \ n . , /l = 1 X I = [ /
y también
n
4. Pobar que
lim [(x + + i, - xe- 1.
355
111/26 ANALISIS MATEMATICO I
5. Probar que para todo n g N se verifica
----— < log (n + 1) - log/? < — 
n + 1 n
y deducir de ello que la sucesión (an) definida por
para cada n g N es convergente.
6. Calcular
7.
8.
Calcular el límite de la sucesión (an) definida por
an
para cada n e IN.
-- — ~h ^=======k + .,, + ---. — 
x/rt4 + 1 ^/n4 + 24------------------- + «4
Sea f: IR -> IR una función derivable y no idénticamente nula tal que
cualesquiera que sean los números reales t e y. Se pide:
a) Probar que f(x) # 0 para todo a g IR y calcular/(O).
b) Probar que f(x)f(y) = f(x)f(y) cualesquiera que sean los números reales a e 
y-
c) Probar que existe una constante c tal que f(x) = cf(x) para todo x e IR.
d) Probar que f(x) = ecx para todo x e IR.
9. Siendo a > e2 demostrar que la función
r, x 2a /(*) = -----log A
* dt
a
f(x + y) = /(x)/(y)
356
ANALISIS MATEMATICO I III / 27
es creciente en el intervalo [a, +oo) y deducir de ello que
dt
a
2b 
log b
para todo b > a.
10. ¿Qué condiciones debe verificar la base a de un sistema de logaritmos para que en 
dicho sistema haya al menos un número que sea igual a su logaritmo?
357
111/28 ANALISIS MATEMATICO I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION
1. Las tres funciones están definidas en (0, +oo). (Para que exista logx ha de ser 
x > 0).
f es la función compuesta fx - f2 donde
J\ (x) = log x y /2(x) = log x
y por la regla de la cadena,
reo = r2(%) ~ = -¡-!—
X f2<¿) X í°g ’r
para cada x > 0.
g es la función compuesta g{ g2 donde
g i(x) = ex y g2(x) = x log (log x)
y por la regla de la cadena,
g’(x) = <?2^) ‘ g'ifezC*)) = ( log (logx) + —!—)exp (g2(x))
\ log x y
- (log (logx) + —5—Hlogx/.
\ logx J
h es la función compuesta h2 donde
A1(x) = eJC y h2(x) - (logx)2
358
ANALISIS MATEMATICO I III / 29
y por la regla de la cadena,
h'(x) = h,2Qc)h\(h2(x)) = 21°g* • exp (h2(x))
= . _yIok-1' = 2x1°sjr “ 1 • log x.
X
2. a) Para x > 0 es
j.i/iogx _ eXp (—!—. ¡Og x j = exp(l) = e 
\ log.v /
y, por tanto,
lim x 1/lo& v - e. 
X - 0 +
b) Para 0 < a < 1 es
L í i íi
| log — = exp x log log — .
\ x / \ \ x / /
Haciendo el cambio de variable x - 1/y y aplicando la regla de l’Hópital 
resulta
1- 1 A 1 A 1- log (logy) .. 1 nhm x log log — = lim --------------- lim —- ------ = 0,X - o+ \ xj y v-uyiogy
luego
lim (log — ) = exp(0) = 1. 
X - 0+ \ X /
c) Según hemos visto en 3.5.2 y en 3.5.1 (ejemplo 3),
lim (1 + x)logx =exp( lim xlogx) - exp(O) = 1.
3. La derivada de la función f(x) = x - 1 - logx, x > 0, se anula para x = 1, es 
negativa para 0 < x < 1 y positiva para x > 1, luego/ tiene un mínimo absoluto 
en x = 1 y para todo x > 0 se verifica
/(x) >/(l) = 0
luego
log x < x - 1.
359
111/30 ANALISIS MATEMATICO I
Pongamosm = —Para i = 1,2, n se verifican
log -i- < —L 
m m
- 1
y sumando estas w desigualdades resulta
n n
Ziog^<±Z 
m m
= n - n = 0
es decir, 
y, por tanto,
logx,. < log
i = 1 \ t ~ 1 /
Esta última desigualdad se puede escribir también 
„ < log
y como la función logaritmo neperiano es creciente,
» — n :
4. Para i > 0 la función f(t) = tel/t es continua en [x, x + 1] y derivable en 
(x, x + 1) y, por el teorema del valor medio, existe un t e (x, x + 1) tal que
+ l)e i'“ *'> -«>'■> = = f(t) =. e
(x + 1) — X t
Ahora bien, como t e (x, x + 1), cuando x -* Tx. también r -> +x y, por tanto,
lim [(x + l)e ]/<* + D - lim eHí 1 - —
5. Para cada n e N y todo t e {n, n + 1] se verifica
1 < 2 
t ~ n
y, por tanto,
n
n n
■ n -t- i »
~dt 
n n
360
ANALISIS MATEMATICO I 111/31
es decir,
—!— < log (n + 1) - log/? <
n + 1 n
De la primera de estas dos desigualdades se deduce
an + i - an = —!— - log (n + 1) + log n < 0 
n + 1
luego la sucesión (an) es decreciente.
De la segunda desigualdad se obtienen
log 2 - log 1 < 1
log 3 - log 2 < y
log (n + 1) - log n < — 
n
y sumando miembro a miembro resulta
log(/i + 1) < 1 + — + ... + A
2 n
y como log/2 < log (n + 1),
a„ = 1 + A + ... + A - log n > 0 
2 n
luego la sucesión (a„) está acotada inferiormente.
Como toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, la sucesión 
(«„) es convergente.
6. Pongamos
n2 i n \ n ün ~ \ ( 1 ) ( 2 n n
Entonces
1 1
log an - + log( 2) + - + lo8L
1 ,- log 
n
M11 I n\ ! I 1 i ! +log2 +- + logL-l
361
111/32 ANALISIS MATEMATICO I
y llamando
í n \ / n \ / n
bn = log í J j + l°g ( 2 ) + + *°g \n
por el criterio de Stoltz será
lim log a„ = lim n- n 1
n n n — (n - 1
siempre que este último límite exista.
Ahora bien,
, / n \ , ( n - 1 \+ ... + log 1 - log _n - l/ - 2/
, n , n , . n“ log------ - + log------ - + ... + log —
n - l n — 2 1
= (n - l)log« - log (n - 1)!
y por el criterio de Stoltz,
lim b̂ -b"-\ = lim (" ~ 1)10g? ~ 10g ~ 1)!
n n2 - (n - l)2 n 2n - 1
.. (n - l)logn - log (n - 1)! - (n - 2) log (n - 1) + log (n - 2)’= lim-----------------------------------------------------------------------
n 2n — 1 — [2(n - 1) — 1]
.. (n - l)log n - log (n - 1) - (n - 2)log (n - 1)= Jim-----------------------------------------------------------
n 2
- — lim [(« - l)log« - (n - l)log(« - 1)]
2 n
= —-lim (n - l)log í------2 n \n -
1 / n \n-\
2 n \ n - 1 J
Pero
y como log es una función continua,
(n \n ~ 1 ---- - | = log e1/2 n - 1 ) L2 ‘
362
ANALISIS MATEMATICO I 111/33
Por consiguiente, 
.. i 1lim log a„ = —
n 2
y volviendo a tener en cuenta la continuidad de log,
log lim an = -i- 
n L
y, por tanto,
lim an = e1/2 = yJlT.
n
7. Se tiene
_ 1 y i _ 1 y t/n 
ün — ¿_^ , ..... ■ ==. ,■ ”
n2 ¡ = i 1 + (íM)4 n i 71 + (i/n)4
y, por tanto, (véase 2.4)
r f1 xdx 1 f1 dt 1 i i /1 , 1 1 1 zt , /SV
lim«w= —..... ~ — .....----- .. ~ -log (z + y l l- r~) =—log (1 + 72).
n ¿o 1 + x4 2 Jo 71 + t2 2 o 2
8. a) Si existiera un jc tal que f(x) = 0 sería
f(y) = f(x + y - x) = f(x) -f(y x) - 0
para todo y e IR, lo que contradice la hipótesis de que / no es idénticamente 
nula
Como
/(O) =/(0 + 0) =/(0)-/(0),
se tiene
/(0)[/(0) - 1] = 0
y como es/(x) 0 para todo x,
/(O) = I.
b) Para cada y e IR la función F: IR -♦ IR definida por
F(x) =f(x + y) =/(x)/(y)
363
III / 34 ANALISIS MATEMATICO I
para cada a es derivable y
^'(x) = f'G + y) = f'G)f(y)
para todo a e IR.
Análogamente, para cada a e IR la función G: IR -* IR definida por
G(y) = fG + y) = fG )/(y)
para cada y es derivable y
G’G) = f'G + y) = fG)fG)
para todo y e IR.
Por consiguiente, cualesquiera que sean los números reales x ey se verifica 
fG)fG) - f'G + y) =/fT)/'(y).
c) Como f no se anula en ningún punto, cualesquiera que sean los números 
reales x e y se verifica
fG) _ /tv)
fG) f(y) ‘
Esto nos dice que la función f'/f es constante, es decir, que existe una 
constante c tal que
f’G) _ r
fG)
para todo .ve IR.
d) La función g: IR -> IR definida por
g(*) - fG) • e~cx
para cada x es derivable y
g'G) =f'G)e-cx - cfG)?~cx = L/V) ~ c/(x)k'" = 0
para todo x. Por tanto, existe una constante k tal que g(x) = k para todo x.
En particular, k = g(0) = /(O) = 1, luego g(x) - 1 para todo x, es decir,
/(x) = ecx
para todo x.
364
ANALISIS MATEMATICO I III / 35
9. La función 1/log t es continua en [a, 
fundamental del cálculo, se tiene
+ x), luego, en virtud del primer teorema
f(x) = 2]gg±..z 2
(logx)2
1 _ logx — 2
logx (logx)2
y, por tanto, f(x) > 0 para todo x > e2, luego f es creciente en [a, + x).
En consecuencia, como/(«) = 2a/log a > 0, para todo b > a se verifica/(¿>) > 0, 
es decir,
2b C dt 
log b J a log t
10. En principio, la función loga debe estar definida luego ha de ser a > 0 y a * 1. 
Además, la función
/(*) = x - loga x = log*
loga
0
debe anularse en algún punto.
Para cada x > 0 es
f'(x) = 1 -
1
x log a
Cuando 0 < a < 1,/' es positiva y f es creciente y como
lim /(x) = x y lim /(x) = lim x 1 - --------- ) = +x,
x —* x —► x —> + X; y -Y loga /
existe un único x tal que /(x) = 0.
Cuando a > 1,/' es negativa, nula o positiva según que x sea menor, igual o 
mayor que 1/log a, / tiene un mínimo absoluto en x = 1/log a y
y/ 1 \ = 1 _ log (1/log a) = 1 + log (loga)
\ log a / log a log a log a
y como
lim /(x) = +cc = lim /(x), 
jr -+ 0+ .r - +oc
para que / se anule en algún punto ha de ser menor o igual que cero el mínimo de 
/ lo cual obliga a que sea
1 + log (log a) < 0
365
111/36 ANALISIS MATEMATICO I
o lo que es igual,
log (e log a) < 0
y, por tanto,
e log a < 1
o sea
a < ex>e
Obsérvese que si 1 < a < exle' entonces existen dos puntos en los que se anula f, 
mientras que si a = ex/e existe únicamente uno, el punto x = 1/log a = e.
En resumen, para que en el sistema de logaritmos de base a hztyzL al menos un 
número igual a su logaritmo ha de ser 0 < a < lo bien 1 < a < ei/e.
366
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 1
TEMA IV
Funciones trigonométricas
Esquema/ resumen
4.1. Funciones periódicas.
4.2. El número tt y algunas funciones auxiliares.
4.3. Las funciones coseno y seno.
4.4. Las funciones tangente y cotangente.
4.5. Las funciones arco seno, arco coseno y arco tangente.
367
ANALISIS MATEMATICO I IV/3
En trigonometría elemental se definen las razones trigonométricas de un ángulo 
agudo a considerando un triángulo rectángulo que tenga uno de sus ángulos agudos 
igual a a. El coseno de oí es la razón entre la longitud del cateto adyacente a oí y la de 
la hipotenusa. El seno de ot es la razón entre la longitud del cateto opuesto a a y la de 
la hipotenusa. Por semejanza de triángulos estas razones resultan ser independientes 
del triángulo que se haya considerado.
Considerando después un sistema de coordenadas y una circunferencia con centro 
en el origen y radio unidad, cada ángulo, medido en radianes, se representa con su 
vértice en el origen de coordenadas, con su lado origen sobre el eje de abscisas y de 
manera que la apertura del ángulo sea contraria al movimiento de las agujas del reloj. 
El lado extremo del ángulo considerado corta a la circunferencia en un punto. Se 
establece así una aplicación biyectiva entre [0, 2n) y la circunferencia unidad que a 
cada ángulo oí entre 0 y 2n radianes hace corresponder un punto (x, y) de dicha 
circunferencia. Cuando x e (0, n/2), es decir, cuando el ángulo a es agudo, las coorde­
nadas (x, y) de su punto imagen son precisamente (eos a, sen ot) puesto que el radio de 
la circunferencia es 1. Por este motivo, si (x, y) son las coordenadas de un punto de la 
circunferencia unidad, imagen de un ángulo ot e [0, 2n), se definen cosa-x y 
sen a = y. Finalmente, para ángulos cualesquiera, se definen el coseno y el seno por 
periodicidad.
Esta forma elemental de introducir las funciones coseno y seno obliga a veces a 
consideraciones intuitivas que nosotros no queremos hacer. El proceso que vamos a 
seguir aquí es totalmente analítico aunque, como vamos a ver, está fuertemente moti­
vado por las ideas geométricas antes expuestas.
Comenzamos con la definición del número ti como el doble del área del semicírculo 
unidad (4.2.1). La función A estudiada en 4.2.2 hace corresponder a cada número real 
x g [-1, 1] el área A(x) del sector circular limitado por la circunferencia unidad, el eje 
de abscisas y la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (x, s/1 -x2).
Dado un número real x e [0, zr], consideremos un arco de longitud x sobre la 
circunferencia unidad, con origen en el punto (1, 0) y en sentido opuesto al del 
movimiento de las agujas del reloj. A la longitud 2n de la circunferencia le corresponde 
369
IV/4 ANALISIS MATEMATICO I
el área n del círculo y como el arco en cuestión tiene longitud x, el área del sector 
circular que este arco determina será kx/2ti -x/2, Queremos definir el coseno y el seno 
de x de manera que (cosx, senx) sean las coordenadas del extremo del arco que 
determina un sector circular de área x/2. Por consiguiente, cosx ha de ser el número 
para el que se verifica A (cosx) = x/2, luego eos x — A1 (a/2); y como (cosx, sen x) es 
un punto de la circunferencia unidad, senx será el número dado por la fórmula 
senx - y/1 - cos2x. Mediante la función C(x) -A-1(x/2), cosx y sen* quedan pues 
definidos para 0 < x < tt por las fórmulas
eos x - C(x) y sen x - ^/ l - [C(x)]2.
Si x e (ti, 2tt) entonces 2n — x e (0, ti) y se definen
eos x - C(2ti -x) y senx = 1 ■ (C(2n - x)]2.
Finalmente, las definiciones de cosx y senx se extienden a cualquier x e IR por 
periodicidad.
370
ANALISISMATEMATICO IV/5
4.1. FUNCIONES PERIODICAS
Definición: Sea p un número real positivo. Una función f se dice periódica de 
período p cuando
f(x + p) = f(x)
para todo punto x de su dominio de definición.
Cambiando x por x - p la condición de periodicidad se escribe
/(x) =f(x -p).
Por inducción resulta que, cualquiera que sea el número natural n, se verifican
f(x + np) =f(x) y f (x - np) =f(x).
Así pues, si/es una función periódica de período p se verifica f(x + np) =f(x) para 
todo x del dominio de definición de / y para todo número entero n. (Obsérvese que, 
implícitamente, se afirma que si / está definida en x entonces también está definida en 
x + np para todo n e Z).
Ejemplo: Para cada x e IR sea [x] la parte entera de x, es decir, el mayor entero, 
menor o igual que x:
[x] = k si y sólo si£<x<¿ + l y ¿ e Z.
La función /(x) = x — [x] es una función periódica de período 1.
gráfica de f(x)=x - [x]
37 i
IV/6 ANALISIS MATEMATICO I
Una función arbitraria/ definida en un intervalo semiabierto [a, a + p) de longitud 
p, se puede extender por periodicidad a una función definida en todo IR y periódica de 
período p, la función g: IR -> IR definida por
f(x) si x e [a, a + p)
g (x) = ■
f(x — a - kp) si x g [a + kp, a + (k + l)p) con k g Z
Ejemplos:
1. La extensión periódica de período 1 de la función f: [0, 1) -> IR definida por 
/(x) = x es la función g: IR -> IR definida por
x si x e [0, 1)
x — k si x g [£, k + 1) con k e Z
Pero para x g [k, k + 1) con k g Z es k el mayor entero menor o igual que x, es 
decir, k = [x], de manera que g es la función g(x) = x - [x] considerada antes.
2. La extensión periódica de período 2 de la función/; [-1, 1) IR definida por 
/(x)=x2 es la función g: IR -► IR definida por
Proposición: Sea f una función periódica de período p. Si f es continua en un 
punto a entonces, para todo número entero k, f es continua en a +kp.
Demostración: Por hipótesis es
lim /(« + h) =f(a) 
h ->■ 0 
7?
ANALISIS MATEMATICO I IV/7
y tenemos que probar que
lim f(a + kp + h) - f(a + kp). 
h - 0
Ahora bien, por la periodicidad de f es f(a + kp + h) =f(a + h) y, por tanto,
lim f(a + kp + h) = lim f(a + h) = f(a) - f(a + kp) 
h -> 0 h 0
conforme queríamos demostrar.
Proposición: Sea f una función periódica de período p. Si f es derivable en un 
punto a entonces, para todo número entero k, f es derivable en a + kp y se tiene
f(a + kp) =f(a)
Demostración: Basta tener en cuenta que para todo h f 0 se verifica
f(a + kp + h) —f(a + kp) = f(a + h) -f(a) 
h h
en virtud de la periodicidad de f.
En particular, para k - 1 resulta
f(a +p) =f(a)
luego la función derivada de una función periódica de período p y derivable es también 
una función periódica de período p.
4.2. EL NUMERO ti Y ALGUNAS FUNCIONES AUXILIARES
4.2.1. La función f: [-1, l]-> IR definida por/(x)=\/l - x2 es continua y, por 
tanto, integrable en [-1, 1].
Definición: Se designa por n el número real dado por la siguiente igualdad
r 1 _____
n — 2 f J 1 — x2dxv-i
Proposición: Se verifica 2 < ti < 4.
Demostración: Como v/' 1 — .v2 — x/ 1 -x • 1 + x, para -1 <x< Ose tiene
1 — x2 > \f 1 + x > 1 + x
y para 0 < x < 1,
x/i “X2 > y i - x > i —x.
373
IV/8 ANALISIS MATEMATICO I
Por otra parte, para -I < x < 1 se verifica
v 1 -r < i.
Por consiguiente,
71 - *2¿x = /°t v i - x'dx + foVl - x'dx 
/^(l + x>dx +/ol ~x)dx
=1+1=1
2 2
y
£j V 1 “ x2dx £, 1 • dx = 2,
luego
1 < /_¡x/ 1 -x2dx < 2
y, por tanto,
2 < ti < 4.
Se pueden obtener mejores acotaciones para ti. 
exactas es
Su valor con seis cifras decimales
n = 3,141592.
También se puede probar que ti es irracional. (Véase, por ejemplo, M. Spivak, 
Calculas, Ed. Reverté, capítulo 16).
4.2.2. Sea A: [-1, 1] -> IR la función definida por
A (x) = 1a\ 1 - x2 t2dt.
Proposición: La función A es continua en [ — 1, 1] y derivable en (-1, 1) y
A'(x) =
1 ~ x2
para cada x 6 (-1, 1).
Demostración: Evidentemente la función A((x) - (1/2)ax/ 1 ~ x2 es continua. La 
función A2(jc) = r2 ¿/r =“ — JiX/ 1 - t2dt es también continua en [-1, 1] (véase 
2.2.1). Por tanto, A es continua por ser suma de funciones continuas.
374
ANALISIS MATEMATICO I IV/9
Además, aplicando el primer teorema fundamental del cálculo, se deduce que A es 
derivable y que
A’(x) - —íx------ ; .- + y 1 - x2 )- y/1 - x2
2\ 2/1 — x2 J
_ 1 -x2 + (l -X2) __ /7—~
2 \/ 1 ~x2 
2y/l -X2
= 12v? ~ 2u -*2)
2\/1 — x2
= -1
2^/ 1 ~ x2
para cada x e (- 1, 1).
Proposición: A es una función biyectiva del intervalo [-1, 1] sobre el intervalo 
[0, 7C/2L
Demostración: Como
A(-l) = I 71 ~t2dt = -|- y A(l) = 0,
por ser continua, A toma todos los valores comprendidos entre 0 y n/2 (teorema de los 
valores intermedios), luego A es suprayectiva. También es inyectiva puesto que 
A'(x) < 0 para todo x e (-1, 1) y, por tanto, A es decreciente.
4.2.3. De la proposición anterior se deduce la existencia de la función inversa A 1 
de A. Esta función A’1 es una función biyectiva del intervalo [0, n/2] sobre el intervalo 
[-1, U.
Como A es continua y decreciente en [-1, 1], A-1, es continua y decreciente en 
[0, x/2]. Por la regla de derivación de funciones inversas, A es derivable en (0, n/2) y
(A"i),w=a/w = ’271’IA"W12
para cada x e (0, n/2).
Para cada x e [0, jt] se define
C«=A-1^
Obsérvese que para x e [0, tl] es 0 < x/2 < n/2 y, por tanto, existe A *(x/2). Por 
otra parte, como A-1 toma valores en [-1, 1], también C toma valores en [-1, 1].
375
IV/10 ANALISIS MATEMATICO l
Proposición: La función C es continua y decreciente en [0, 7i] y es derivable en 
(0, tt) siendo
c'(x) = -7i - [e(x)]2
para cada x g (0, ti). Además, C(0) = 1, C(ti/2) = 0 y C(ti) = -1.
Demostración: La función g(x) _x/2 es continua y creciente en [0, rc] y la función 
A-1 es continua y decreciente en g ([0, k]) - [0, tc/2], luego C = A-1 g es continua y 
decreciente en [0, rc].
Por otra parte, g es derivable en (0, n) y g'(x) = 1/2 para cada x g (0, n), A~l es 
derivable en g((0, ti)) = (0, n/2) y (A-1)'(x) = -27 1 “ [A-1 (x)]2 para cada x g (0, n/2), 
y por la regla de la cadena, C es derivable en (0, n) y
C'(x) - (A-’)'(g(x)) -g'(x) = (A-*)'(x/2) • (1/2) - -7l -[A-W)]2 = “7T- [77)12
para cada x e (0, ti).
Como A (1) - 0 y A(l) - rc/2,
C(0) = A !(0) = 1 y C(n) = A~\n!2) = -1.
Para concluir hemos de probar que C(tt/2) = 0, o lo que es igual, que A-1(n/4) = 0. 
Esto es lo mismo que probar que A (0) = tt/4, es decir, que
J]~T2dt= -
Jo
Pero esto es inmediato pues, según vimos en el ejercicio 9 del tema II,
f1 f_____ if1 ,_____
71 - t2dt =—l 7T- t2dt.
J o i
Esta proposición nos proporciona bastante información para dibujar la gráfica de la 
función C. Sabemos que C decrece en [0, ti] desde C(0) = 1 hasta C(n) = — 1, que C es 
positiva en [0, n/2) y negativa en (ji/2, ir], y como
C"W = 2CW'C'W = _cw> 
2V1 -ÍC(X)]2
C es cóncava en (0, n/2) y convexa en (n/2, ti).
376
ANALISIS MATEMATICO I IV/ 11
4.3. LAS FUNCIONES COSENO Y SENO
4.3.1. Las funciones coseno y seno, que se designan respectivamente por eos y 
sen, se definen por periodicidad mediante la función C estudiada en el apartado 
anterior.
Definición: Las funciones eos: IR -> IR y sen: IR-» IR son las funciones periódicas 
de período 2^ definidas por
eos x =
C (r) si
C (2tt - x) si
X G [0, 7t]
X G (77, 2n)
senx =
71 -KW 
-71 - [C(2n x)J2
si x e [0, n] 
si X G (ti, 2t7)
y,
En particular, para = 0, n/2, 7i, 377/2 se obtienen
eos 0-1,
sen 0-0,
77eos — — 0, COS 77 — —1, 
2
77
sen — = 1, sen 77 - 0,2
por periodicidad, para cualquier número entero k,
377 cos — - 0 2
3t7sen — = -12
/ 77 \ /cos 2kn - 1, cosí2¿77 + — I = 0, cos (2¿ 4- 1)tt = -1, cos I 2kn
(
77 \ 
2¿77 + — = 1,2 7
/ 377 \
sen (2k + 1)77 = 0, sen í 2kn + — —1.
Obsérvese que como C toma valores en [-1, 1],
-1 < cosx <1 y -1 < senx < 1
para todo x g IR.
Proposición: Para todo x g IR se verifica
cos2x + sen2 x = 1.
Demostración: Por periodicidad, bastará probar la igualdad para 0 < x < 2?7. Pero 
de las definiciones resulta que si 0 < x < ti,
cos2x + sen2 x - [C(x)]2 + 1 -