CONCRETO ARMADO 2

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CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO IIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEnngg.. AAlleemmaarr TToorrrreess 
 
 
 
CCaappííttuulloo 0011 
PPIILLAARREESS 
 
1.1 Características iniciais 
 
Pilares são elementos estruturais cuja carga predominante que incide nesse 
é característica por compressão. É uma peça autoportante que recebe as 
cargas provenientes das lajes, vigas e cobertura, conduzindo-as as 
fundações de uma edificação. 
No concreto armado, o cobrimento da armadura deverá respeitar os limites 
preconizados na NBR 6118, de modo a proteger o aço das intempéries 
provenientes da agressividade ambiente local. A seguir tem-se as classes de 
agressividade ambiental a serem consideradas nos projetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A referida norma ainda estabelece a relação água cimento necessária na 
produção do concreto, em função da agressividade local, levando em conta a 
resistência do concreto. 
 
 
 
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O mínimo cobrimento da armadura de um pilar deve respeitar o estabelecido 
para cada tipo de elemento estrutural. 
 
 
 
 
 
 
1.2 Tipos de cargas sobre os pilares 
 
➔ Compressão simples 
O elemento estrutural recebe uma carga cuja linha de ação coincide com 
o centro geométrico da seção transversal. 
 
 
 
 
 
➔ Flexão composta 
O elemento estrutural recebe uma carga geralmente vertical, porém com 
ponto de aplicação não coincidente com o centro geométrico da seção 
transversal, gerando assim uma excentricidade e, portanto, um momento 
fletor. 
 
 
 
 
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carga no centro geométrico da seção transversal
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A flexão composta pode ser de dois tipos: normal e obliqua. Na normal, 
existe uma excentricidade em apenas uma direção, logo, apenas um momento 
fletor. Na flexão oblíqua existem duas excentricidades e consequentes dois 
momentos. 
 
1.3 Deformações em pilares 
 
➔ Flambagem 
A flambagem é um fenômeno caraterístico de pilares, a qual consiste na 
curvatura provocada pelo excesso de carga sobre o ente estrutural. De um 
modo geral, a flambagem será influenciada pela seção transversal do pilar, 
onde esse tende a se deformar na direção de menor inércia, pelo módulo de 
elasticidade do concreto armado e pelo índice de esbeltez da barra, uma 
relação direta entre o comprimento do pilar e o raio de giração do mesmo. 
 
➔ Imperfeições locais 
A execução dos pilares de uma obra nem sempre é realizada com o devido 
controle tecnológico, até mesmo com as mais modernas técnicas de obras os 
pilares não estão livres de possuírem desaprumos, ou seja, imperfeições 
construtivas. Isso gera momentos de segunda ordem, ou seja, uma carga 
central em um pilar após desaprumo tende a gerar um momento fletor na 
peça devido a gravidade, conforme mostrado na figura abaixo. Tal modelo 
estrutural de pilar engastado na base é chamado de pilar-padrão, sendo 
esse um dos principais métodos de dimensionamento para colunas, uma 
simplificação do método geral. 
 
 
 
 
 
 
Y na direção menor
X na direção maior.
 
 
1.4 Dimensões mínimas 
A NBR 6118 preconiza que a área mínima de seção transversal de um pilar 
não poderá exceder 360cm2. 
A mínima largura estabelecida será de 19cm. Porém, a norma permite que se 
admita largura limite de 14cm para pilares retangulares com a condição de 
que os esforços de cálculo sejam majorados conforme tabela abaixo: 
 
 
 
Será considerado um pilar típico aquele cuja maior dimensão não exceda a 5 
vezes a sua menor dimensão. Os pilares onde h > 5b são denominados de 
pilar parede, muito utilizado em fossos de elevadores, por exemplo. 
 
 
 
1.5 Esbeltez 
O índice de esbeltez (𝜆), como abordado na estática dos corpos rígidos, é 
definido como a razão entre o comprimento de flambagem do pilar pelo raio 
de giração. Para pilares de seção retangular, será dado por: 
𝜆 =
3,46𝑙𝑒
ℎ
 
O comprimento de flambagem pode ser adotado conforme esquema 
estrutural envolvendo as condições de travamento das estruturas. 
 
 
 
 
 
Caso alguma dimensão(largura e altura sejam menor que 19cm.
Relação altura e largura
 
 
Frente o índice de esbeltez, os pilares podem ser classificados como: 
➔ Curto: 𝜆 ≤ 35 
➔ Médio: 35 < 𝜆 ≤ 90 
➔ Medianamente esbelto: 90 < 𝜆 ≤ 140 
➔ Esbelto: 140 < 𝜆 ≤ 200 
Na prática, os edifícios de um modo geral, ante os comprimentos de 
flambagem, comportam-se como na figura abaixo, onde cada pilar será 
calculado separadamente como se estivesse vinculado nas duas 
extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 Tipos de pilares 
Em suma, existem 3 tipos diferentes de pilares. O que diferencia os mesmos 
são os esforços que serão considerados no cálculo desses. 
O primeiro tipo é o pilar Intermediário. Esse possui continuidade de vigas e 
lajes nos dois sentidos, dessa forma, os momentos oriundos de eventuais 
excentricidades podem ser desprezados e a estrutura é calculada como 
compressão simples, com uma carga Nd central. 
 
Maioria dos casos 
são usados nos cálculos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segundo tipo é o pilar de Extremidade. Localizado na lateral do pórtico 
da edificação, será submetido a flexão composta normal, visto que surgirá 
além da carga concentrada (Nd) um momento fletor (Md) proveniente da 
excentricidade da coluna. 
 
 
 
 
 
 
O segundo tipo é o pilar de Canto. Localizado na “quina” do pórtico espacial 
da edificação, será submetido a flexão composta obliquoa, visto que surgirá 
além da carga concentrada (Nd) dois momentos fletores (Mdx e Mdy) 
proveniente das excentricidades da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
1.7 Pré-dimensionamento de pilares 
Antes de dimensionar os pilares de uma edificação, faz-se necessário a 
obtenção de uma prévia das dimensões desse como forma de minimizar a 
quantidade de tentativas no cálculo desses. 
Uma das formas de se estimar a carga sobre um pilar é por meio das 
chamadas áreas de influência, conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A carga média por m2 em geral pode ser considerada da ordem de 10 KN ou 
1.000 Kgf/m2. 
A área da seção transversal necessária em um pilar poderá ser obtida das 
seguintes fórmulas: 
➔ Pilar intermediário: 
 
➔ Pilar de extremidade / canto: 
 
 
 
 
 
 
1.8 Dimensionamento de pilares 
 
• Pilares intermediários 
No pilar intermediário, devido à continuidade de vigas e lajes sobre o pilar, os 
momentos fletores de 1a ordem são nulos em ambas as direções do pilar (MA = MB =0), 
portanto e1 = 0. 
Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado, sendo conhecidos: Nk = 1.000 
kN (100 tf) ; seção transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) ; comprimento equivalente (de 
flambagem): ex = ey = 280 cm, concreto C30 ; aço CA-50 (fyd = 43,5 kN/cm2) ; d’ = 4,0 
cm ; coeficientes de ponderação: c = f =1,4 e s = 1,15. 
 
a) Força normal 
A força normal de cálculo é: Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1000 = 1.400 kN 
 
b) Índice de esbeltez 
O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y, conforme os 
eixos mostrados. 
 
 
c) Momento fletor mínimo 
O momento fletor mínimo, em cada direção, é calculado com: 
 M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h) 
 
 
Highlight
Highlight
Verificar a origem
 
 
d) Esbeltez limite 
 
Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a 
ordem, daí e1= 0 e b = 1,0. Assim: 
 
 
e) Momento fletor total 
Pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada, o momento fletor de 2a 
ordem deve ser considerado na direção y 
 
 Curvatura na direção y: 
 
A excentricidade máxima de 2a ordem é: 
 
O momento fletor de 2a ordem será dado por : 
 
 
Highlight
 
 
 
f) Armadura longitudinal 
Segundo o Método do pilar-padrão com curvatura aproximada, ocorrem no pilar os 
dois momentos fletores totais, nasdireções principais: dir. x (Md,tot,x = 4.200 kN.cm) e 
dir. y (Md,tot,y = 5.320 kN.cm). O pilar por fim deve ser calculado com a situação mais 
desfavorável: 
 
 Uso do ábaco de Venturini: 
 
 Área de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Pilares de canto 
Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado, sendo conhecidos: 
aço CA-50 (fyd = 50/1,15  43,5 kN/cm
2) ; d’ = 5 cm ; coeficientes de 
ponderação: c = f = 1,4 e s = 1,15. 
 
 
a) Esforços solicitantes 
Nd = n . f . Nk = 1,05 . 1,4 . 850 = 1.250 kN 
M1d,A,x = – M1d,B,x = 1,05 . 1,4 . 2.041 = 3.000 kN.cm 
M1d,A,y = – M1d,B,y = 1,05 . 1,4 . 1.360,5 = 2.000 kN.cm 
 
As excentricidades de 1a ordem, na base e no topo do pilar, são: 
 
 
 
b) Índice de esbeltez 
 
 
 
 
 
 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
d) Esbeltez limite 
Direção X 
 
Direção Y 
 
e) Momento Total 
Força normal admensional 
 
Curvatura na direção x 
 
Excentricidade de 2ª ordem 
 
 
 
 
 
Momento fletor de 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Highlight
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f) Armadura longitudinal 
 
Adoção de arranjo de armadura 
 
Nos ábacos de Pinheiro (2009), cada quadrante é relativo a um valor de  (ni), de 
modo que para o valor 0,78 é necessário fazer uma interpolação, para maior precisão. 
Com os valores adimensionais  (mi), x = 0,20 e y = 0,05, e com o ábaco 5A (Figura 
134) são determinados os parâmetros ω: 
 
 
 
1.9 Detalhamento e disposições construtivas 
 
Após consecução da área de aço, agora o projetista precisa detalhar no 
projeto as barras de aço de modo a ser encaminhado ao campo para 
execução. No entanto, faz-se necessário seguir as recomendações da norma 
ante a armadura longitudinal e transversal. 
a) Diâmetro mínimo das barras longitudinais 
 
b) Distância entre barras longitudinais 
 
 
 
c) Taxa de armadura longitudinal 
 
 
d) Estribo suplementar contra flambagem 
 
 
 
 
 
e) Armadura transversal 
 
 
 
 
 
 
Ex: Detalhar o pilar de concreto armado 15x50cm e comprimento 280cm, 
cuja área da armadura longitudinal, após os devidos cálculos e verificações, 
resultou em As = 14,04cm2. 
Solução: 
1) Armadura mínima 
 
➔ Adotado 
 
2) Armadura máxima 
 
 
3) Diâmetro e espaçamento máximo dos estribos 
 
 
 
 
4) Estribos suplementares 
 
 
 
 
 
 
 
Highlight
 
 
CCaappííttuulloo 0022 
EESSCCAADDAASS 
 
2.1 Características iniciais 
 
Escada são entes da engenharia de estruturas historicamente e amplamente 
utilizados em todo o mundo, por facilitar acessos a diferentes níveis em uma 
edificação verticalizada. Existe uma infinidade de escadas adotadas por 
arquitetos, desde aquelas em madeira e aço até as de concreto armado, alvo 
de nosso estudo. Dessa forma, do ponto de vista do concreto armado, as 
escadas podem ser avaliadas mediante o pórtico inclinado que as mesmas 
geram, onde os apoios deverão ser avaliados geralmente por lance. Adiante 
veremos os principais tipos de escadas em concreto armado. 
De início, é preciso conhecer algumas dimensões mínimas adotas pelo 
arquiteto na elaboração da escada. O passo S da escada deverá ser maior ou 
igual a 25cm, o espelho e não poderá exceder 19cm. A seguinte relação 
deverá ser obedecida: 
𝑺 + 𝟐𝒆 = 𝟔𝟎 𝒂 𝟔𝟒𝒄𝒎 
A seguir, tem-se um esquema de um lance de escada: 
 
Na região inferior da escada tem-se uma laje de espessura h. O parâmetro 
h1 será definido como ℎ1 =
ℎ
𝑐𝑜𝑠𝛼
. 
 
 
A altura média do lance de escada será dada por ℎ𝑚 = ℎ1 +
𝑒
2
 
 
2.2 Ações em escadas 
 
As cargas a serem consideradas no cálculo de uma escada, assim como 
ocorre nas lajes, serão estabelecidas por m2. A seguir são listados os tipos 
de carregamentos a serem considerados: 
➔ Peso próprio 
Será considerada, no cálculo, a altura média hm, sabendo que o peso 
específico do concreto armado é da ordem de 25KN/m3. 
➔ Revestimentos e guarda-corpos 
Os revestimentos mais comuns em escadas são em material cerâmico, 
granito, madeira ou carpete. De um modo geral, a norma NBR 6120, que 
versa sobre as cargas em estruturas, deverá ser consultada. A média de 
valores para cargas de revestimento fica da ordem de 0,8 a 1,2KN/m2. 
No tocante ao guarda-corpo, o mesmo será considerado como carga 
uniformemente distribuída sobre a escada, cuja taxa de carga varia entre 
0,3 a 0,5KN/m. 
➔ Ações variáveis 
Também deverá ser consultada a NBR 6120, visto que a carga acidental 
sobre uma escada dependerá a que tipo de público essa se destina, uma 
escada de uma residência, cujo transito é menor não tem o mesmo 
desempenho que uma escada de um Shopping. A carga acidental normatizada 
para uma residência é da ordem de 3KN/m2. 
 
2.3 Principais tipos de escadas 
 
As formas de se construir uma estrutura que sirva para transladar pessoas 
e objetos de um nível inferior a outro superior são diversas. 
 
 
Escadas basicamente são elementos estruturais que são compostos por lajes 
e degraus apoiados em seus extremos por vigas. Quando tais entes 
estruturais são estabelecidos em concreto armado a estrutura se comporta 
como um monobloco. 
Os projetos arquitetônicos modernos acarretam uma gama de possibilidades 
na implantação de escadas, de modo que varia bastante a forma como essas 
podem ser apoiadas em vigas e lajes, vencendo assim o desnível proposto e 
garantindo a estética desejada pelo projetista. A seguir, estão elencados os 
principais tipos de escadas utilizadas em construção civil. 
➔ Escada armada transversalmente 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Escada armada longitudinalmente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Escada armada em cruz 
 
 
 
➔ Escada em “L” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Escada em “U” 
 
 
 
 
 
 
➔ Escada com degraus livres 
 
 
 
 
 
➔ Escada cascata 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Dimensionamento e detalhamento 
 
Considerando a escada “L” para uso residencial a seguir, dimensionar e 
detalhar os lances da mesma. Dados: Concreto C25, aço CA-50, degraus 
17x25cm, revestimento cerâmico (0,85KN/m2) e guarda-corpo (0,3KN/m2). 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
Adoção da espessura da laje 
 
 
 
Cálculo da altura média da escada 
ℎ1 =
ℎ
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
10
0,827
= 12,1𝑐𝑚 
ℎ𝑚 = ℎ1 +
𝑒
2
= 12,1 +
17
2
= 20,6𝑐𝑚 
 
Vigas isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCaappííttuulloo 0033 
RREESSEERRVVAATTÓÓRRIIOOSS 
 
3.1 Principais tipos de reservatórios 
 
Os reservatórios em concreto armado são estruturas destinadas 
principalmente ao armazenamento de água fria. No entanto, podem haver 
outras destinações, tal como a retenção de águas residuárias e outros 
produtos químicos largamente empregados na indústria. 
Abaixo tem-se os principais tipos de reservatórios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que mediante a localização do reservatório, esse pode ter cargas 
diferentes atuando; um reservatório elevado sofre o efeito, em suas 
paredes laterais, do empuxo da água, já o reservatório do tipo enterrado 
além do esforço causado pela água também recebe a caixa proveniente do 
solo a qual deverá ser avaliada ante os princípios da mecânica dos solos. 
Em suma, as cargas em um reservatório deverão ser avaliadas na tampa, 
paredes laterais e fundo. 
 
 
 
3.2 Reservatórios elevados 
 
As caixas d’águas elevadas geralmente estão apoiadas em pórticos espaciais 
providos de vigas e pilares de concreto armado. Os principais esforços a 
serem considerados versam sobre o peso próprio da estrutura, o peso do 
sistema de impermeabilização adotado, o peso da água dentro do 
reservatório e a sobrecarga de norma. 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Reservatórios enterrados 
As caixas d’águas enterradas podem estar totalmente abaixo do nível do 
solo ou parcialmente. Para a análise dos esforços, faz-se necessário 
considerar as duas situações em que essas podem estarsubmetidas: quando 
vazias e quando cheias. Quando vazias, as caixas d’águas enterradas 
(cisternas) sofrem a ação lateral do solo de fundação, por outro lado, 
quando cheias serão submetidas também ao empuxo da água. 
➔ Quando vazia 
 
 
 
 
 
 
Highlight
 
 
O empuxo proveniente do solo é calculado levando em conta o chamado 
coeficiente de empuxo (ka), a profundidade da caixa d’água e a sobrecarga 
superficial no terreno, conforme mostrado a seguir: 
 
Ka será calculado pela expressão abaixo, a qual depende do ângulo de atrito 
interno do solo de fundação. 
 
 
 
 
 
O parâmetro ângulo de atrito poderá ser obtido da tabela acima para o solo 
arenoso. Para o solo argiloso tal parâmetro será igual a zero, pois não há 
atrito entre partículas lamelares. Quando não se conhece o valor de 𝜑 é 
usual adotar o valor de 30º. 
Quanto ao peso específico do solo, caso não seja conhecido podemos adotar 
18KN/m3 para solo argiloso e 20KN/m3 para solo arenoso. 
Análise importante do projetista de cisternas é respeitante ao 
conhecimento do nível do lençol freático, visto que a subpressão da água 
gera uma sobrecarga no fundo e nas paredes laterais da caixa d’água, 
conforme mostrado na figura a seguir: 
 
 
 
 
➔ Quando cheia 
 
Quando cheia, a caixa d’água estará submetida aos mesmos esforços 
listados para o estado de vazio, porém, agora também estará submetida ao 
empuxo da água de dentro para fora. 
Ressalta-se que o fundo do reservatório, por estar apoiado no solo, não 
trabalha à flexão, onde, a carga a ser considerada será o resultado da razão 
do peso total da caixa d’água cheia pela área do fundo. 
➔ Piscinas 
 
De posse do conhecimento das ações sobre os reservatórios enterrados, de 
imediato se tem o entendimento do cálculo das piscinas, visto que uma 
piscina é nada mais do que uma caixa d’água enterrada e sem a tampa. 
C pode assumir o valor 
de 10KN/m3 para solos 
permeáveis e de 4 a 
6KN/m3 para solos 
mais estáveis 
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3.4 Tipos de armação 
 
➔ Reservatórios armados horizontalmente 
As caixas d’águas são armadas na horizontal quando sua altura é duas vezes 
superior as demais dimensões. Nesse procedimento as paredes laterais são 
calculadas como quadro hiperestático e a tampa e o fundo como lajes, tal 
como preconizado por Marcus ou Czerny. 
Abaixo tem-se o esquema empírico de esforços: 
 
 
 
➔ Reservatórios armados verticalmente 
As caixas d’águas são armadas na vertical quando uma de suas dimensões 
horizontais é superior em duas vezes sua altura. Dessa forma, o quadro 
2 vezes maior
espessura
 
 
calculado será um quadro vertical contemplando a tampa, fundo e paredes 
laterais, demais paredes serão calculadas como laje. 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Reservatórios armados em cruz 
Nesse caso nenhuma das dimensões se destaca em relação as demais, logo, 
todas as faces são calculadas como lajes retangulares. 
 
 
 
 
Highlight
 
 
Exemplo: 
Dimensionar e detalhar o reservatório elevado a seguir: 
 
Solução: 
1 – Determinação das cargas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2– Esforços internos e armadura 
 
 
Armaduras: 
Asx = Asy = 0,129cm2/m 
 
Armadura mínima 
Asmin = 0,15%*100*6 = 0,9cm2/m 
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3– Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
Armaduras: 
Positivas: Asx = Asy = 0,40cm2/m 
Negativas: Asx = Asy = 0,938cm2/m 
 
Armadura mínima: 
0,15% x 100 x 12 = 1,8cm2/m 
PAREDE
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Highlight
Highlight
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Highlight
 
 
CCaappííttuulloo 0044 
FFUUNNDDAAÇÇÕÕEESS 
 
4.1 Fundações rasas 
 
As fundações rasas do tipo sapatas devem obedecer a condição mostrada a 
seguir, para serem tomadas como fundações rígidas, dispensando dessa 
forma a análise de punção, visto tal condição garantir que a estrutura 
estará dentro do cone hipotético de punção. 
 
No tocante à altura da sapata, a mesma depende de 3 condicionantes: a 
relação de rigidez da sapata, não deve haver esforço cortante (assim como 
nas lajes) e o comprimento de ancoragem do pilar. 
A tabela a seguir estabelece os comprimentos de ancoragem em função do 
diâmetro: 
h > lb + c 
 
 
 
Dessa forma, pode-se elencar as principais fundações do tipo rasas: 
 
 
➔ Sapatas isoladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Sapatas isoladas com momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro de cálculo 
1 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝐴𝑏 =
1,1𝑁
𝜎𝑠
= 𝐴𝑥𝐵 
2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: ℎ ≥
(𝐴 − 𝑎)
3
 𝑒 ℎ ≥
(𝐵 − 𝑏)
3
 
3 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑟𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑚𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 
𝜏𝑠𝑑 =
𝑁𝑑
𝜇0 ∗ 𝑑
 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑐𝑑 
 𝛼𝑣 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝜇0 = 2 ∗ (𝑎 + 𝑏) 
4 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜: 𝑀𝑥 =
𝑁
4
∗ (
𝐴
3
−
𝑎
2
) 𝑀𝑦 =
𝑁
4
∗ (
𝐵
3
−
𝑏
2
) 
5 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜: 𝐴𝑠𝑥 =
𝑀𝑑𝑥 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 𝐴𝑠𝑦 =
𝑀𝑑𝑦 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 
Roteiro de cálculo 
1 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çõ𝑒𝑠: 𝐴 ≥ 6𝑒 𝐵 ≥
𝑁
1,3𝜎𝑠𝐴
(1 +
6𝑒
𝐴
) 
𝐴
𝐵
≤ 2 
2 𝑇𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠: 𝜎𝑚á𝑥 =
𝑁
𝑆
(1 +
6𝑒
𝐴
) 𝜎𝑚í𝑛 =
𝑁
𝑆
(1 −
6𝑒
𝐴
) 
3 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝐴𝑏 =
1,1𝑁
𝜎𝑠
= 𝐴𝑥𝐵 
4 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: ℎ ≥
(𝐴 − 𝑎)
3
 𝑒 ℎ ≥
(𝐵 − 𝑏)
3
 
5 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑟𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑚𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 
𝜏𝑠𝑑 =
𝑁𝑑
𝜇0 ∗ 𝑑
 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑐𝑑 
 𝛼𝑣 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝜇0 = 2 ∗ (𝑎 + 𝑏) 
6 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜: 𝑀𝑥 =
𝑁
4
∗ (
𝐴
3
−
𝑎
2
) + 𝑀 𝑀𝑦 =
𝑁
4
∗ (
𝐵
2
− 𝑏) 
7 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜: 𝐴𝑠𝑥 =
𝑀𝑑𝑥 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 𝐴𝑠𝑦 =
𝑀𝑑𝑦 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 
 
 
➔ Sapatas isoladas de divisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➔ Sapatas com viga de equilíbrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro de cálculo 
1 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 𝑒′ =
𝑀
𝑁
 𝑒 =
𝐴
2
− (
𝑎
2
+ 𝑒′) 
2 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çõ𝑒𝑠: 𝐴 ≤ 3 ∗ (
𝑎
2
+ 𝑒′) 𝐵 ≥
𝑁
1,3𝜎𝑠𝐴
(1 +
6𝑒
𝐴
) 
3 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 𝐴𝑏 =
1,1𝑁
𝜎𝑠
= 𝐴𝑥𝐵 
4 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: ℎ ≥
(𝐴 − 𝑎)
3
 𝑒 ℎ ≥
(𝐵 − 𝑏)
3
 
5 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑟𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑚𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 
𝜏𝑠𝑑 =
𝑁𝑑
𝜇0 ∗ 𝑑
 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑐𝑑 
 𝛼𝑣 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) 𝜇0 = 2𝑎 + 𝑏 
6 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜: 𝑀𝑥 = 𝑁 ∗ 𝑒 𝑀𝑦 =
𝑁
4
∗ (
𝐵
2
− 𝑏) 
7 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜: 𝐴𝑠𝑥 =
𝑀𝑑𝑥 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 𝐴𝑠𝑦 =
𝑀𝑑𝑦 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
 
Roteiro de cálculo 
1 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙: 
 
2 𝑅𝑒𝑎çõ𝑒𝑠: 𝑅1 = 1,15𝑃1 𝑅2 = 𝑁2 − 0,15𝑁1 
3 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑠𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 
4 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
L1/L2 = 15% 
 
 
Exemplo: Dada a sapata da figura, cujos dados estão abaixo, determine a 
armadura para a) sapata isolada, b) sapata isolada com momento: 
𝜎𝑠 = 2𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2, 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝐶20, 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴 − 50, 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑁 = 80𝑡𝑓, 𝑀 = 4𝑡𝑓𝑚 
 𝑃𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 4 𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑒 12.5𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
a) Sapata isolada 
1 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒: 
𝐴𝑏 =
1,1𝑁
𝜎𝑠
=
1,1 ∗ 80.000
2
= 44.000𝑐𝑚2 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠õ𝑒𝑠 𝑒𝑐𝑜𝑛ô𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠: 𝐵 − 𝑏 = 𝐴 − 𝑎 → 𝐴 =
𝑎 − 𝑏
2
+ √
(𝑎 − 𝑏)2
4
+ 𝐴𝑏 
𝐴 =
60 − 20
2
+ √
(60 − 20)2
4
+ 44.000 = 230,71𝑐𝑚 (𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐴 = 240𝑐𝑚) 
𝐵 =
𝐴𝑏
𝐴
=
44.000
240
= 183,33𝑐𝑚 (𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐵 = 190𝑐𝑚) 
2 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎: 
ℎ ≥
(𝐴 − 𝑎)
3
=
(240 − 60)
3
= 60𝑐𝑚 
ℎ ≥
(𝐵 − 𝑏)
3
=
(190 − 20)
3
= 56,66𝑐𝑚 
3 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑟𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑚𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 
𝛼𝑣 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) = (1 −
20
250
) = 0,92 
𝜇0 = 2 ∗ (𝑎 + 𝑏) = 2 ∗ (60 + 20) = 160𝑐𝑚 
 𝜏𝑠𝑑 =
𝑁𝑑
𝜇0 ∗ 𝑑
=
1,4 ∗ 80.000
160 ∗ (60 − 4,5)
= 12,61𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2 
h=60cm (adotado) 
 
 
 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∗ 𝛼𝑣 ∗ 𝑓𝑐𝑑 = 0,27 ∗ 0,92 ∗ (
200
1,4
) = 35,48𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2𝜏𝑠𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 → 12,61 < 35,48 (𝑂𝑘!) 
4 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 
𝐿𝑏 = 31∅ = 31 ∗ 1,25 = 38,75𝑐𝑚 
ℎ > 𝐿𝑏 + 𝑐 → 60 > 38,75 + 4 → 60𝑐𝑚 > 42,75𝑐𝑚 
5 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜: 
𝑀𝑥 =
𝑁
4
∗ (
𝐴
3
−
𝑎
2
) =
80.000
4
∗ (
240
3
−
60
2
) = 1.000.000𝑘𝑔𝑓𝑥𝑐𝑚 = 10.000𝐾𝑁𝑥𝑐𝑚 
 𝑀𝑦 =
𝑁
4
∗ (
𝐵
3
−
𝑏
2
) =
80.000
4
∗ (
190
3
−
20
2
) = 1.066.666,67𝑘𝑔𝑓𝑥𝑐𝑚 = 10.666,67𝐾𝑁𝑥𝑐𝑚 
6 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜: 
➔ Direção x 
𝑲𝑪 =
𝑏 ∗ 𝑑2
𝑀𝑑
=
240 ∗ (55,5)2
(1,4 ∗ 10.000)
= 𝟓𝟐, 𝟖𝟎𝒄𝒎𝟐/𝑲𝑵 → 𝑲𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 
𝐴𝑠𝑥 =
𝑀𝑑𝑥 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
=
1,4 ∗ 10.000 ∗ 0,023
55,5
= 5,80𝑐𝑚2 (∅𝟖. 𝟎 𝒄/ 𝟖, 𝟓𝒄𝒎) 
➔ Direção y 
𝑲𝑪 =
𝑏 ∗ 𝑑2
𝑀𝑑
=
190 ∗ (55,5)2
(1,4 ∗ 10.666,67)
= 𝟑𝟗, 𝟏𝟗𝒄𝒎𝟐/𝑲𝑵 → 𝑲𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 
𝐴𝑠𝑦 =
𝑀𝑑𝑦 ∗ 𝑘𝑠
𝑑
=
1,4 ∗ 10.666,67 ∗ 0,023
55,5
= 6,18𝑐𝑚2 (∅𝟖. 𝟎 𝒄/ 𝟖, 𝟎𝒄𝒎) 
7 𝐷𝑒𝑡𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sapata isolada com momento 
𝐴 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟. 
 
4.2 Fundações profundas 
 
Os elementos de fundação do tipo profunda são, em síntese, as estacas e os 
tubulões. Existe uma variação grande para os tipos de estacas, sendo tal 
determinação por meio da análise geotécnica realizada no projeto. As 
estacas e os tubulões recebem compressão simples podendo ser calculadas 
para tal condição de esforços. 
Os blocos de fundação são elementos que permitem a transmissão das 
cargas provenientes dos pilares para as fundações. Esse fluxo de cargas 
ocorre por meio de uma treliça espacial hipotética, onde suas diagonais são 
chamadas de bielas e o banzo inferior denominado tirante, de modo que as 
bielas se encontram comprimidas e os tirantes tracionados, como mostrado 
a seguir: 
 
 
O ângulo formado pelas bielas em relação aos tirantes possui valor 
característico que deve ficar entre 40 a 55º. 
Análogo às sapatas, o bloco é tomado como rígido caso satisfaça as 
condições: 
 
 
 
 
A seguir, tem-se os principais tipos de blocos sobre estacas: 
➢ Bloco sobre 2 estacas 
 
 
 
 
 
 
 
A resultante no tirante poderá ser obtida de: 
 
A área de aço para a armadura principal no tirante será dada por: 
 
 
 
 
 
 
➢ Bloco sobre 3 estacas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comumente é preferível posicionar a ferragem principal sobre as estacas, 
para tal, faz-se necessário determinar a força T’: 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Bloco sobre 4 estacas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo análogo ao bloco de 3 estacas, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Armaduras complementares 
Ademais da ferragem principal sobre as estacas, também é necessário 
prever armadura de pele nas bordas do bloco, bem como a chamada 
armadura de suspensão necessária devido fato de parte das cargas 
 
 
incidentes nos pilares não serem transmitidas integralmente as estacas por 
meio das bielas de compressão. A figura a seguir ilustra isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Verificação do esforço cortante 
A exemplo da análise das sapatas, os blocos de fundação não podem ser 
submetidos a cisalhamento excessivo, dessa forma faz-se necessário as 
seguintes verificações: 
 
 
 
 
Exemplo: Dimensionar e detalhar o bloco sobre estacas para o pilar abaixo: 
 
 
 
 
 
ARMADURA DE 
SUSPENSÃO 
ARMADURA PRINCIPAL 
ARMADURA DE PELE 
 
 
Dados: 
 
Solução: 
1 - Carga total nos blocos 
 
2 – Número de estacas 
 
3 – Distância mínima entre estacas 
 
 
4 – Geometria adotada 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – Reação nas estacas 
 
 
 
 
 
 
6 – Altura dos blocos 
Análise de rigidez 
 
Análise de ancoragem 
 
Análise do ângulo de inclinação das bielas 
 
 
 
 Adotado: 
 
 
7 – Verificação do esmagamento das bielas 
 
 
8 – Armação 
Armadura principal 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura de pele 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Armadura de suspensão 
 
 
 
 
9 – Verificação do esforço cortante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 – Detalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCaappííttuulloo 0055 
LLAAJJEESS 
 
5.1 Fluxo de cargas 
 
As cargas que atuam em peças de concreto armado devem ser investigadas 
ante o peso próprio, as sobrecargas e as cargas excepcionais. 
De uma forma resumida, as lajes transmitem um carregamento distribuído 
sobre as vigas, estas geram reações em seus apoios, os quais lançam cargas 
concentradas nos pilares. As cargas concentradas geradas nas bases dos 
pilares seguem de forma cumulativa até a fundação, a qual dissipará pelo 
solo. 
Vale lembrar que cargas de paredes e demais elementos construtivos 
deverão ser previstos sobre as vigas de cada pavimento. 
 
 
 
 
5.2 Principais tipos de lajes 
 
 
5.3 Lajes maciças 
 
Laje maciça é aquela onde toda a espessura é composta por concreto, contendo 
armaduras longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais, e apoiada 
em vigas ou paredes ao longo das bordas. 
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À DIREÇÃO 
a) Laje armada em uma direção 
As lajes armadas em uma direção tem relação entre o lado maior e o lado menor 
superior a dois, isto é: 
 
 
 
 
 
 
b) Laje armada em duas direções (em cruz) 
 
Nas lajes armadas em duas direções os esforços solicitantes são importantes segundo 
as duas direções principais da laje. A relação entre os lados é menor que dois, tal que: 
 
 
 
 
 
 
VÃO EFETIVO 
 
 
 
VINCULAÇÃO NAS BORDAS 
Os três tipos comuns de vínculo das lajes são o apoio simples, o engaste perfeito e o 
engaste elástico. 
a) bordas simplesmente apoiadas 
O apoio simples surge nas bordas onde não existe ou não se admite a continuidade da 
laje com outras lajes vizinhas. 
 
 
 
 
 
c) engaste perfeito 
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, varandas, etc. 
 
Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes, pode ser mais 
adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na de maior espessura 
(L1), mas a laje com maior espessura pode ser considerada apenas apoiada na borda 
comum as duas lajes. 
 
c) engaste elástico 
No caso de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores 
negativos devido à continuidade das lajes. A ponderação feita entre os diferentes 
valores dos momentos fletores que surgem nesses apoios conduz ao engastamento 
elástico. No entanto, para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2, 
as lajes que apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente 
engastadas nos apoios intermediários. 
 
 
 
 
 
 
d) Convenções 
 
 
AÇÕES EM LAJES 
Peso Próprio 
O peso próprio da laje maciça é função da altura h e do peso específico do Concreto 
Armado, igual a 25 kN/m3 conforme a NBR 6118. 
 
 
 
 
Contrapiso 
A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior das 
lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de regularização. A sua função é de 
nivelar e diminuir a rugosidade da laje, preparando-a para receber o revestimento de 
piso final. 
 
 
 
Piso e forro 
Os pisos mais comuns são os de madeira, de cerâmica, carpetes ou forrações, e de 
rochas, como granito e mármore. Os forros mais usuais são os de gesso acartonado. 
Paredes 
 
 
 
Ações Variáveis 
Balizadas pela NBR 6120, as cargas variáveis devem ser consideradas como quase-
estáticas. Para cargas que possam induzir efeitos de ressonância ou outra resposta 
dinâmica significativa da estrutura (por exemplo: danças, saltos, movimentos de 
máquinas etc.), esses efeitos devem ser levados em consideração por meio de fatores 
dinâmicos ou análise dinâmica específica. 
A seguir tem-se um fragmento da NBR 6120: 
 
 
 
 
 
 
ESPESSURA MÍNIMA 
A NBR 6118 estabelece que a espessura mínima para as lajes maciças deve respeitar: 
a) 7 cm para lajes de coberturanão em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiada em vigas, com o mínimo de /42 para lajes de piso 
biapoiadas e /50 para lajes de piso contínuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo fora do capitel. 
 
ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE 
Para projetar uma laje é necessário conhecer de início a sua altura. Existem diferentes 
procedimentos para estimativa da altura da laje, sendo um deles dependente da altura útil d, 
definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada e a face 
comprimida da seção. 
 
 
 
Exemplo: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje terá de 
10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1 cm, acabamento 
superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso com 1 cm de espessura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOMENTOS FLETORES SOLICITANTES 
Os momentos fletores e as flechas nas lajes maciças são determinadas conforme a laje é 
armada em uma ou em duas direções. As lajes armadas em uma direção são calculadas como 
vigas segundo a direção principal e as lajes armadas em duas direções podem ser aplicadas 
diferentes teorias, como a Teoria da Elasticidade e a das Charneiras Plásticas. 
Laje Armada em Uma Direção 
No caso das lajes armadas em uma direção considera-se simplificadamente que a flexão na 
direção do menor vão da laje é preponderante à da outra direção, de modo que a laje será 
suposta como uma viga com largura constante de um metro (100 cm), segundo a direção 
principal da laje. 
 
A seguir estão indicadas as equações para cálculo das reações de apoio, momentos fletores 
máximos e flechas imediatas, para carregamento uniformemente distribuído. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje Armada em Duas Direções 
O comportamento das lajes armadas em duas direções, apoiadas nos quatro lados, é bem 
diferente das lajes armadas em uma direção, de modo que o seu cálculo é bem mais complexo 
se comparado ao das lajes armadas em uma direção. Sob a ação do carregamento a laje apoia-
se no trecho central dos apoios e os cantos se levantam dos apoios. 
 
Os esforços solicitantes e as deformações nas lajes armadas em duas direções podem ser 
determinados por diferentes teorias, sendo as mais importantes as seguintes: 
 
 
a) Teoria das Placas: desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade; podem ser determinados 
os esforços e as flechas em qualquer ponto da laje; 
b) Processos aproximados; 
c) Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas; 
d) Métodos Numéricos, como o dos Elementos Finitos, de Contorno, etc. 
A Teoria das Placas, desenvolvida com base na teoria matemática da elasticidade, onde o 
material é elástico linear (vale a Lei de Hooke), homogêneo e isótropo, proporciona a equação 
geral das placas (equação diferencial de quarta ordem, não homogênea), obtida por Lagrange 
em 1811, que relaciona a deformada elástica w da placa com a carga p unitária, 
uniformemente distribuída na área da placa. A equação tem a forma: 
 
A solução da equação geral das placas é tarefa muito complexa, o que motivou o surgimento 
de diversas tabelas, de diferentes origens e autores, com coeficientes que proporcionam o 
cálculo dos momentos fletores e das flechas para casos específicos de apoios e carregamentos. 
Há diversas tabelas de autores como: Marcus, Czerny, Stiglat/Wippel, Bares, Szilard, etc. De 
modo geral abrangem os casos de lajes retangulares, triangulares, circulares, apoiadas em 
pilares, com bordas livres, etc., sob carregamento uniforme e triangular. 
Conforme as tabelas de Barés, os momentos fletores, negativos ou positivos, são calculados 
pela expressão: 
 
Compatibilização dos Momentos Fletores 
Ao se considerar as lajes de um pavimento isoladas umas das outras, os momentos fletores 
negativos em uma borda comum a duas lajes contíguas são geralmente diferentes. 
Há muitos anos está consolidada na prática brasileira um método de compatibilização, onde o 
momento fletor negativo (X) de duas lajes adjacentes é tomado como: 
 
 
 
 
 
 
 
REAÇÕES DE APOIO 
No caso das lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são provenientes do cálculo 
da viga suposta. Considera-se que as cargas na laje caminhem para as vigas nas bordas 
perpendiculares à direção principal da laje. Nas outras duas vigas laterais, a favor da segurança 
pode-se considerar uma carga uniforme referente à área do triângulo adjacente à viga. 
A NBR 6118 prescreve que, “Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares 
com carga uniforme podem ser feitas as seguintes aproximações: 
a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou 
trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada, 
sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente 
distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio; 
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas 
inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos: 
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente 
apoiado; 
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.” 
 
A Figura a seguir mostra o esquema prescrito pela norma, onde cada viga de apoio da laje 
receberá a carga que estiver nos triângulos ou trapézios a ela relacionada. 
 
 
 
 
 
Com auxilio de tabelas, tem-se coeficientes que auxiliam o cálculo das reações de apoio para 
lajes armadas em duas direções, com carregamento uniformemente distribuído. As reações 
são calculadas pela equação: 
 
DIMENSIONAMENTO 
Flexão 
Conhecidos os momentos fletores máximos atuantes na laje, o dimensionamento à flexão 
normal simples pode ser feito de modo semelhante às vigas, supondo faixas (vigas) com 
largura de um metro (100 cm). Fazendo uso das equações com coeficientes tabelados K, deve 
ser determinado o coeficiente Kc : 
 
Com a Tabela de flexão do Anexo determinam-se os coeficientes βx e Ks e o domínio em que a 
laje está. Com βx (= x/d) é determinada a posição x da linha neutra, de modo a verificar os 
valores limites para a relação x/d. Se for efetuada uma redistribuição de momentos fletores 
deve-se também verificar os limites impostos. 
Se atendidos todos os valores limites, a área de armadura, em cm2/m, é calculada com: 
 
Em Tabela especifica encontram-se o diâmetro e o espaçamento das barras para uma dada 
área de armadura em cm2/m. 
 
 
 
 
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
a) armadura máxima 
Sobre a armadura máxima, a NBR 6118 diz que “A soma das armaduras de tração e de 
compressão (As + A’s) não pode ter valor maior que 4 % Ac , calculada na região fora da zona de 
emendas, devendo ser garantidas as condições de ductilidade requeridas em 14.6.4.3.” 
As + A’s = 4 % Ac 
 
b) armadura mínima 
 
 
Diâmetro Máximo 
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. 
Espaçamentos Máximo 
Smáx 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicio 
 
Para o projeto das lajes maciças as seguintes informações devem ser consideradas: 
- espessura média de 3 cm para o contrapiso (camada de regularização), e peso específico da 
argamassa de 21 kN/m3; 
- espessura média de 2 cm para o revestimento da face inferior das lajes, e peso específico da 
argamassa de 19 kN/m3; 
- piso final com peças cerâmicas de peso específico 0,15 kN/m2, em toda a área de piso do 
pavimento; 
- paredes com blocos cerâmicos com furos horizontais de dimensões 9 x 19 x 19 cm, com peso 
específico de 13 kN/m3. Todas as paredes externas têm espessura final de 23 cm e todas asparedes internas têm espessura final de 13 cm; 
- altura de 2,8 m para as paredes; 
- concreto C25 com brita 1 de granito, aços CA-50 e CA-60; 
- todas as vigas com largura de 20 cm; 
- Classe de Agressividade Ambiental II; 
- coeficientes de ponderação γc = 𝛾f = 1,4 ; γs = 1,15. 
 
Vãos Efetivos 
 
 
 
 
Pré-Dimensionamento da Altura das Lajes 
Para L3: 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das Ações Atuantes 
 
Paredes para L3: 
 
Reações de Apoio nas Vigas de Borda 
Exemplo de cálculo para a laje L2: 
 
 
 
 
 
Momentos Fletores e Dimensionamento das Armaduras Longitudinais de Flexão 
Exemplo de cálculo para a laje L2: 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhamentos das Armaduras Longitudinais de Flexão 
 
 
 
 
 
5.4 Lajes nervuradas 
 
As fundações rasas do tipo sapatas 
devem obedecer a condição 
mostrada a seguir, para serem 
tomadas como 
 
 
 
5.4 Lajes pré-moldadas 
 
A laje treliça surgiu na Europa com o propósito de ser uma opção mais econômica que as lajes 
maciças de concreto, sendo utilizada em vários países do mundo. Possibilitam vencer grandes 
vãos com menor peso próprio e redução de mão de obra durante sua execução. 
 
TRELIÇAS 
Na laje treliça a armadura das nervuras tem a forma de uma treliça espacial. O banzo inferior é 
constituído por duas barras e o banzo superior por uma barra. Os banzos inferior e superior são 
unidos por barras diagonais inclinadas (em sinusóide), soldadas por eletrofusão. Proporcionam 
rigidez ao conjunto, melhoram o transporte e manuseio das vigotas já prontas e aumentam a 
resistência aos esforços cortantes. 
 
 
A primeira coluna mostra os modelos diferenciados pela altura (h) da treliça e suas linhas: leve 
(L), média (M), reforçada (R) e pesada (P). Exemplo: TB 8M – Treliça com 8 cm de altura, 
linha média. A segunda coluna, segundo a NBR 14862, especifica a treliça (TR) discriminando 
novamente sua altura, e na seqüência o diâmetro dos seus fios. Exemplo: TR 08645 - treliça 
com 8,0 cm de altura, fio superior ø = 6,0 mm, diagonais ø = 4,2 mm e fios inferiores ø = 5,0 
mm. 
 
 
 
 
VIGOTAS TRELIÇADAS 
As vigotas ou trilhos são constituídos pela armação treliçada com as barras do banzo inferior 
envolvidas por concreto, em forma de uma placa fina. 
As vigotas, em conjunto com a capa de concreto (ou mesa), fornecem a resistência necessária à 
laje, atuando para resistir aos momentos fletores e às forças cortantes. Servem de apoio também 
aos blocos cerâmicos ou de isopor (EPS). As vigotas treliçadas constituem as nervuras 
principais (vigas) da laje treliça. 
As vigotas podem conter barras longitudinais adicionais, que proporcionam maior resistência à 
flexão possibilitando vencer vãos maiores. 
 
 
 
BLOCOS DE ENCHIMENTO 
Os blocos de enchimento exercem a função de dar forma ao concreto, dando forma às 
nervuras e à capa, além de proporcionarem superfícies inferiores lisas. Os materiais de 
enchimento devem ser preferencialmente leves e de custo baixo, sendo mais comuns os de 
material cerâmico, principalmente para as edificações de pequeno porte. Outros materiais são 
o concreto celular autoclavado e o EPS. Por serem elementos vazados e constituídos de 
material mais leve que o concreto, reduzem o peso próprio das lajes. Os blocos cerâmicos são 
produzidos segundo diversas e diferentes dimensões, conforme o fabricante. 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURA ADICIONAL 
A armadura complementar tem a função de aumentar a resistência das lajes aos momentos 
fletores positivos e negativos. A armadura positiva é composta por barras de aço dispostas ao 
longo do comprimento das nervuras, as quais se somam às duas barras do banzo inferior. Pode 
estar situada dentro da placa de concreto ou sobre ela. A armadura longitudinal negativa é 
posicionada próxima à face superior da capa, e tem o objetivo de aumentar a resistência da 
laje aos momentos negativos. 
 
 
CAPEAMENTO E ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO 
Elemento estrutural que irá compor a mesa da nervura de maneira a resistir aos esforços de 
compressão da laje em serviço e também em distribuir as cargas nas nervuras. Deve ter, no 
mínimo, 3 cm de altura, e em edifícios de múltiplos andares utilizando uma altura mínima de 5 
cm, este elemento pode absorver esforços de vento dando maior rigidez à estrutura. 
A laje deve ser colocada uma armadura posicionada nas duas direções, denominada de 
armadura de distribuição, com seção de no mínimo 0,9 cm2/m para aços CA 25 e de 0,6 
cm2/m para os aços CA 50, CA 60, contendo 3 barras por metro e Tela Soldada, conforme 
descrito na tabela abaixo. As funções desta armadura são: 
1 – Combater os efeitos da retração 
2 – Consolidar a estrutura da nervura com a capa 
3 – Efetuar um controle da abertura de fissuras 
4 – Efetivar a distribuição das cargas pontuais 
 
 
 
 
 
 
 
 
PAREDES SOBRE A LAJE E VIGOTAS ASSOCIADAS 
Parede paralela às nervuras pode ser sustentada pela associação de duas ou mais nervuras, ou 
por uma viga de concreto, moldada no local, com a altura da laje. Ambas as soluções requerem 
um cálculo de verificação ou dimensionamento, a fim de evitar fissuras e/ou flechas 
indesejáveis. 
 
ESFORÇOS DE CÁLCULO 
Lajes calculadas com Apoio Simples Duplo possuem a seguinte representação quanto ao 
diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As lajes podem ser calculadas engastadas e isto implica em afirmar que além de serem 
impedidas quanto ao deslocamento vertical nos apoios, elas perdem a liberdade de livre giro 
junto aos apoios. 
Quando a restrição ao giro atinge valor máximo, dizemos que a laje possui engaste total, e 
quando este valor for intermediário (entre zero e total), dizemos que a laje possui engaste 
parcial. 
 
 
 
 
 
“Pelo que, se alguém está em Cristo, nova criatura é; as coisas velhas já passaram; 
eis que tudo se fez novo” 
2 Coríntios 5:17