[BIEZUNER, R J] Notas de Aula- Análise Funcional

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Notas de Aula
Análise Funcional
Rodney Josué Biezuner 1
Departamento de Matemática
Instituto de Ciências Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula do curso Análise Funcional do Programa
de Pós-Graduação em Matemática, ministrado no primeiro semestre de 2009.
6 de julho de 2009
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Sumário
1 Espaços Vetoriais Normados e Espaços de Banach 3
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exemplo 1: Os espaços `p (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exemplo 2: Os espaços das sequências `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exemplo 3: Os espaços Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exemplo 4: Os espaços Ck
(
Ω
)
e os espaços de Hölder Ck,α
(
Ω
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Aplicações Lineares 12
2.1 Aplicações Lineares Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 O Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Os Teoremas da Limitação Uniforme, da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado 25
3.1 O Teorema da Limitação Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Os Teoremas da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Operadores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Espaços Reflexivos 36
4.1 Espaços Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2 Espaços Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Exemplo 1: Espaços `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Espaços Uniformemente Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Exemplo 2: Espaços Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Topologia Fraca e Topologia Fraca* 54
5.1 Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2 Sequências Fracamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Convexidade Uniforme e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Reflexividade, Separabilidade e Topologias Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Metrizabilidade e Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1
Rodney Josué Biezuner 2
6 Espaços de Hilbert 70
6.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Teorema de Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Bases de Schauder e Bases de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7 Operadores Compactos 81
7.1 Operadores Completamente Cont́ınuos e Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Teoria de Riesz-Fredholm para Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.3 O Espectro de Operadores Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Teoria Espectral para Operadores Autoadjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5 Aplicação: Problemas de Sturm-Liouville e Operadores Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Espaços de Sobolev e Equação de Laplace 100
8.1 O Prinćıpio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.2 Um Teorema de Aproximação para Funções Fracamente Diferenciáveis . . . . . . . . . 103
8.2.3 Caracterização das Funções Fracamente Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2.4 Regra do Produto e Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4 Caracterização dos Espaços W 1,p0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5 Imersão Cont́ınua de Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.6 Imersão Compacta de Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.7 Resolução do Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.8 O Problema de Autovalor para o Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Caṕıtulo 1
Espaços Vetoriais Normados e
Espaços de Banach
1.1 Definição
1.1 Definição. Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função ‖·‖ : E −→ R que satisfaz
as seguintes propriedades:
(i) ‖x‖ > 0 para todo x ∈ E e ‖x‖ = 0 se e somente se x = 0;
(ii) (Homogeneidade) para todo α ∈ R e para todo x ∈ E vale
‖αx‖ = |α| ‖x‖ ;
(iii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y ∈ E vale
‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ .
Um espaço vetorial E munido de uma norma ‖·‖ é chamado um espaço vetorial normado e denotado
(E, ‖·‖).
1.2 Definição. Seja M um conjunto. Uma métrica em M é uma função d : M ×M −→ R que satisfaz as
seguintes propriedades:
(i) d (x, y) > 0 para todos x, y ∈ M e d (x, y) = 0 se e somente se x = y;
(ii) (Desigualdade Triangular) para todos x, y, z ∈ M vale
d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) .
Um espaço vetorial normado torna-se naturalmente um espaço métrico com a métrica derivada da norma:
d (x, y) = ‖x− y‖ .
Desta forma, um espaço vetorial normado torna-se um espaço topológico com a topologia induzida pela
métrica.
1.3 Proposição. Seja (E, ‖·‖) um espaço vetorial normado. Então as funções soma de vetores E ×E −→
E, (x, y) 7→ x + y, multiplicação de vetores por escalares R × E −→ E, (α, x) 7→ αx, e norma ‖·‖ :
E −→ R, x 7→ ‖x‖ são cont́ınuas.
3
Rodney Josué Biezuner 4
1.4 Corolário. Fixado x0 ∈ E, a aplicação x 7→ x + x0 (translação) é um homeomorfismo. Fixado α ∈ R
não nulo, a aplicação x 7→ αx (homotetia) é um homeomorfismo.
Lembramos que um espaço métrico completo é um espaço métrico em que todas as sequências de Cauchy
são convergentes, isto é, convergem para um elemento do próprio espaço.
1.5 Definição. Um espaço vetorial normado completoé chamado um espaço de Banach.
1.2 Exemplo 1: Os espaços `p (n)
1.6 Definição. Seja 1 6 p 6 ∞. Definimos o espaço `p (n) como sendo o espaço Rn dotado da norma
‖x‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
(1.1)
se 1 6 p < ∞, e
‖x‖∞ = max16i6n |xi| . (1.2)
1.7 Proposição. `p (n) é um espaço vetorial normado.
Prova. As propriedades (i) e (ii) de uma norma na Definição 1.1 são claramente verificadas. Para provar a
desigualdade triangular (que neste caso especial também recebe o nome de desigualdade de Minkowski)
(
n∑
i=1
|xi + yi|p
)1/p
6
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
+
(
n∑
i=1
|yi|p
)1/p
, (1.3)
recorremos à desigualdade de Hölder (que será demonstrada no final):
n∑
i=1
|xiyi| 6 ‖x‖p ‖y‖p′ onde
1
p
+
1
p′
= 1. (1.4)
O número p′ é chamado o expoente conjugado de p; observe que p′ = p/ (p− 1). De fato, escrevemos
n∑
i=1
|xi + yi|p 6
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|) |xi + yi|p−1 6
n∑
i=1
|xi| |xi + yi|p−1 +
n∑
i=1
|yi| |xi + yi|p−1
6 ‖x‖p
∥∥∥
(
|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1
)∥∥∥
p
p−1
+ ‖y‖p
∥∥∥
(
|x1 + y1|p−1 , . . . , |xn + yn|p−1
)∥∥∥
p
p−1
=
(
n∑
i=1
|xi + yi|p
) p−1
p (
‖x‖p + ‖y‖p
)
.
Logo,
‖x + y‖p =
(
n∑
i=1
|xi + yi|p
)1− p−1p
6 ‖x‖p + ‖y‖p .
A desigualdade de Hölder, por sua vez, segue da desigualdade mais geral
aλb1−λ 6 λa + (1− λ) b (1.5)
sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Esta desigualdade pode ser provada da seguinte forma: se b = 0, ela é
óbvia; se b 6= 0, divida a desigualdade por b e tome t = a/b > 0, de modo que provar a desigualdade torna-se
Rodney Josué Biezuner 5
equivalente a mostrar que a função f (t) = tλ − λt é menor que ou igual a 1− λ para todo t > 0. E, de fato,
como f ′ (t) = λ
(
tλ−1 − 1), f é estritamente crescente para 0 6 t < 1 e estritamente decrescente para t > 1,
logo f atinge o seu máximo em t = 1, onde f vale exatamente 1− λ. Tomando
a =
∣∣∣∣∣
xi
‖x‖p
∣∣∣∣∣
p
, b =
∣∣∣∣∣
yi
‖y‖p′
∣∣∣∣∣
p′
e λ =
1
p
,
para cada ı́ndice i, segue que
|xiyi|
‖x‖p ‖y‖p′
6 1
p
|xi|p
‖x‖pp
+
1
p′
|yi|p
′
‖y‖p′p′
.
Dáı, somando desde i = 1 até i = n, obtemos
1
‖x‖p ‖y‖p′
n∑
i=1
|xiyi| 6 1
p
n∑
i=1
|xi|p
‖x‖pp
+
1
p′
n∑
i=1
|yi|p
′
‖y‖p′p′
=
1
p
+
1
p′
= 1.
¥
1.8 Proposição. `p (n) é um espaço de Banach.
Prova. Para ver que `p (n) é completo, basta observar que uma sequência em `p (n) é de Cauchy se e
somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy e que, além disso, uma sequência em `p (n)
é convergente se e somente se cada uma das sequências de coordenadas é de Cauchy. Outra maneira de ver
que `p (n) é um espaço de Banach é lembrar que todas as normas em Rn são equivalentes e usar o fato bem
conhecido que Rn com a norma usual é completo. ¥
Observe que `2 (n) é o espaço Rn munido da norma euclidiana, a qual é derivada de um produto interno.
1.3 Exemplo 2: Os espaços das sequências `p
1.9 Definição. Seja 1 6 p < ∞. Definimos o espaço `p como sendo o espaço das sequências reais p-somáveis,
isto é,
`p =
{
x : N −→ R :
∞∑
i=1
|xi|p < ∞
}
,
dotado da norma
‖x‖p =
( ∞∑
i=1
|xi|p
)1/p
, (1.6)
e o espaço `∞ como sendo o espaço das sequências reais limitadas, isto é,
`∞ =
{
x : N −→ R : sup
i∈N
|xi| < ∞
}
,
dotado da norma
‖x‖∞ = sup
i∈N
|xi| . (1.7)
1.10 Proposição. `p é um espaço vetorial normado.
Prova. Basta passar o limite na desigualdade de Minkowski fazendo n →∞. ¥
1.11 Proposição. `p é um espaço de Banach.
Rodney Josué Biezuner 6
Prova. Seja {xn}n∈N uma sequência de Cauchy em `p ({xn} é uma sequência de sequências reais). Denote os
termos de cada sequência xn por xn,m. Para cada m fixado, {xn,m}n∈N é também uma sequência de Cauchy,
logo converge para um certo número am; em outras palavras, a sequência de sequências {xn} converge termo
a termo para a sequencia real a = {am}. Afirmamos que esta sequência está em `p e que xn → a em `p.
De fato, como {xn}n∈N é de Cauchy em `p, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que
‖xk − xl‖p < ε
sempre que k, l > N ; em particular, para todo m ∈ N, vale
m∑
i=1
|xk,i − xl,i|p < εp
sempre que k, l > N . Fixando k e fazendo l →∞, obtemos
m∑
i=1
|xk,i − ai|p < εp
para todo m ∈ N, sempre que k > N . Dáı, fazendo m →∞, temos que
∞∑
i=1
|xk,i − ai|p < εp
sempre que k > N,o que implica que xk − a ∈ `p sempre que k > N , e portanto a ∈ `p. Esta mesma
desigualdade também implica que xk → a em `p. ¥
1.12 Exemplo. Subespaços de `∞ que são também espaços de Banach são
`∞c = {x ∈ `∞ : x é uma sequência convergente} ,
`∞0 = {x ∈ `∞ : lim xn = 0} .
A demonstração deste fatos é deixada como exerćıcio. ¤
1.4 Exemplo 3: Os espaços Lp (Ω)
1.13 Definição. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto mensurável. Seja 1 6 p < ∞. Definimos o espaço Lp (Ω) como
sendo o espaço das (classes de equivalência de) funções reais p-integráveis no sentido de Lebesgue, isto
é,
Lp (Ω) =
{
f : Ω −→ R :
∫
Ω
|f |p < ∞
}
,
dotado da norma
‖f‖p =
(∫
Ω
|f |p
)1/p
, (1.8)
e o espaço L∞ (Ω) como sendo o espaço das (classes de equivalência de) funções reais mensuráveis
limitadas, isto é,
L∞ (Ω) =
{
f : Ω −→ R : sup
Ω
|f | < ∞
}
,
dotado da norma
‖f‖∞ = sup
Ω
|f | . (1.9)
Rodney Josué Biezuner 7
Observe que nesta definição,
sup
Ω
|f | = inf {c ∈ R : |f (x)| 6 c q.t.p.} .
1.14 Proposição. Lp (Ω) é um espaço vetorial normado.
Prova. Lp (Ω) é um espaço vetorial porque se f, g ∈ Lp (Ω) e λ ∈ R, então f + g ∈ Lp (Ω) e λf ∈ Lp (Ω).
De fato,
|f (x) + g (x)| 6 |f (x)|+ |g (x)| 6 2max {|f (x)| , |g (x)|} ,
de modo que
|f (x) + g (x)|p 6 2p max {|f (x)|p , |g (x)|p} 6 2p (|f (x)|p + |g (x)|p) ,
donde ∫
Ω
|f + g|p 6 2p
(∫
Ω
|f |p +
∫
Ω
|g|p
)1/p
.
Além disso, ‖λf‖p = |λ| ‖f‖p e ‖f‖p = 0 se e somente se f = 0 q.t.p.
Como nos espaços `p, para provar a desigualdade triangular ou desigualdade de Minkowski,
(∫
Ω
|f + g|p
)1/p
6
(∫
Ω
|f |p
)1/p
+
(∫
Ω
|g|p
)1/p
, (1.10)
recorremos à desigualdade de Hölder
∫
Ω
|fg| 6 ‖f‖p ‖g‖p′ onde
1
p
+
1
p′
= 1. (1.11)
Escrevemos ∫
Ω
|f + g|p 6
∫
Ω
(|f |+ |g|) |f + g|p−1 6
∫
Ω
|f | |f + g|p−1 +
∫
Ω
|f | |g|p−1
6 ‖f‖p
∥∥∥|f + g|p−1
∥∥∥
p
p−1
+ ‖g‖p
∥∥∥|f + g|p−1
∥∥∥
p
p−1
=
(∫
Ω
|f + g|p
) p−1
p (
‖f‖p + ‖g‖p
)
.
Logo,
‖f + g‖p =
(
n∑
i=1
|f + g|p
)1− p−1p
6 ‖f‖p + ‖g‖p .
A desigualdade de Hölder segue, como na demonstração da Proposição 1.7, da desigualdade mais geral
aλb1−λ 6 λa + (1− λ) b
sempre que a, b > 0 e 0 < λ < 1. Desta vez tomamos, para cada x ∈ Ω,
a =
∣∣∣∣∣
f (x)
‖f‖p
∣∣∣∣∣
p
, b =
∣∣∣∣∣
g (x)
‖g‖p′
∣∣∣∣∣
p′
e λ =
1
p
,
segue que
|f (x) g (x)|
‖f‖p ‖g‖p′
6 1
p
|f (x)|p
‖f‖pp
+
1
p′
|g (x)|p′
‖g‖p′p′
.
Dáı, integrando sobre Ω, obtemos
1
‖f‖p ‖g‖p′
∫
Ω
|fg| 6 1
p
∫
Ω
|f |p
‖f‖pp
+
1
p′
∫
Ω
|g|p
‖g‖p′p′
=
1
p
+
1
p′
= 1.
¥
Rodney Josué Biezuner 8
1.15 Proposição. Lp (Ω) é um espaço de Banach.
Prova. Consideraremos primeiro o caso L∞ (Ω). Seja {fn} ⊂ L∞ (Ω) uma sequência de Cauchy. Então,
dado k ∈ N, existe Nk ∈ N tal que
‖fn − fm‖∞ <
1
k
sempre que n,m > Nk. Em particular,
|fn (x)− fm (x)| < 1
k
q.t.p. em Ω, sempre que n,m > Nk. Isso implica que {fn (x)} é uma sequência de Cauchy para quase todo
ponto x ∈ Ω e podemos definir f (x) = lim fn (x) q.t.p. Resta mostrar que f ∈ L∞ (Ω) e que fn → f em
L∞ (Ω). Isso decorre da última desigualdade, fazendo m →∞:
|fn (x)− f (x)| < 1
k
.
Segue que fn → f na norma de L∞ (Ω); além disso, como para qualquer n, k fixados temos |f (x)| 6
|fn (x)|+ 1/k, logo f ∈ L∞ (Ω).
Examinaremos agora o caso 1 6 p < ∞. Seja {fn} ⊂ Lp (Ω) uma sequência de Cauchy. Em particular,
podemos extrair uma subsequência {fnk} tal que
∥∥fnk+1 − fnk
∥∥
p
<
1
2k
.
Considere a sequência
gn =
n∑
k=1
∣∣fnk+1 − fnk
∣∣ .
Então existe g = lim gn. Pelo Teorema da Convergência Monótona,
∫
Ω
|g|p = lim ∫
Ω
|gn|p. Mas, usando a
desigualdade de Jensen,
∫
Ω
|gn|p 6
∫
Ω
(
n∑
k=1
∣∣fnk+1 − fnk
∣∣
)p
6
n∑
k=1
∫
Ω
∣∣fnk+1 − fnk
∣∣p
6
n∑
k=1
(
1
2k
)p
=
n∑
k=1
(
1
2p
)k
6
∞∑
k=1
(
1
2p
)k
=
12p
1− 12p
=
1
2p − 1 < 1,
logo conclúımos que ‖g‖p 6 1 e, em particular, g assume valores reais em quase todo ponto.
Usaremos a sequência {gn} e seu limite g para verificar que a subsequência {fnk (x)} é de Cauchy em
quase todo ponto x. Com efeito, sejam k > l > 1 e escreva
|fnk (x)− fnl (x)| 6
∣∣fnk (x)− fnk−1 (x)
∣∣+ . . .+
∣∣fnl+1 (x)− fnl (x)
∣∣ = gk−1 (x)− gl−1 (x) 6 g (x)− gl−1 (x) .
Como gl (x) → g (x) q.t.p., para quase todo x ∈ Ω fixado, existe N ∈ N tal que g (x)− gl−1 (x) < ε sempre
que l > N ; já que k > l, segue que |fnk (x)− fnl (x)| < ε sempre que k, l > N .
Portanto, podemos definir, em quase todo ponto,
f (x) = lim fnk (x) .
Falta provar que f ∈ Lp (Ω) e que fn → f em Lp (Ω). Fazendo k →∞ na desigualdade |fnk (x)− fnl (x)| 6
g (x)− gl−1 (x), obtemos
|f (x)− fnl (x)| 6 g (x)− gl−1 (x) .
Rodney Josué Biezuner 9
Como g−gl−1 ∈ Lp (Ω), segue em particular que f−fnl ∈ Lp (Ω) e, portanto, f ∈ Lp (Ω) já que fnl ∈ Lp (Ω).
Além disso, integrando esta desigualdade sobre Ω, temos
∫
Ω
|f − fnl |p 6
∫
Ω
|g − gl−1|p → 0
quando l →∞ pelo Teorema da Convergência Dominada (|g − gl−1| é dominada por 2 |g|). Provamos, então,
que uma subsequência da sequência de Cauchy {fn} converge para f em Lp (Ω); portanto, toda a sequência
converge para f . ¥
1.16 Exemplo. O espaço das funções cont́ınuas C
(
Ω
)
com a norma L1 é um espaço vetorial normado mas
não é um espaço de Banach. Por exemplo, tome Ω = [0, 1] e considere a sequência de funções
fn (t) =



0 se 0 6 t 6 1
2
,
n
(
t− 1
2
)
se
1
2
6 t 6 1
2
+
1
n
,
1 se
1
2
+
1
n
6 t 6 1.
Assumindo n > m para fixar idéias, temos que
‖fn − fm‖1 =
∫ 1
0
|fn (t)− fm (t)| dt
é a área do triângulo de altura 1 e comprimento da base
1
m
− 1
n
, de modo que
‖fn − fm‖1 < ε
sempre que n,m > ε, ou seja {fn}n∈N é uma sequência de Cauchy em C ([0, 1]) na norma L1. Mas
ela não converge para nenhuma função cont́ınua na norma L1. De fato, convergência L1 implica em
convergência q.t.p., a menos de uma subsequência, e fn (t) → 0 se 0 6 t 6 12 , enquanto que fn (t) → 1
se
1
2
6 t 6 1. Para uma demonstração mais direta, suponha por absurdo que existe f ∈ C ([0, 1]) tal
que ‖fn − f‖1 → 0. Como
‖fn − f‖1 =
∫ 1
0
|fn (t)− f (t)| dt =
∫ 1
2
0
|f (t)| dt +
∫ 1
2+
1
n
1
2
|fn (t)− f (t)| dt +
∫ 1
1
2+
1
n
|1− f (t)| dt
e as três integrais são não-negativas, cada uma delas deve ser igual a 0 ou convergir para 0 quando
n →∞. Conclúımos que
f (t) =



0 se 0 6 t 6 1
2
,
1 se
1
2
6 t 6 1,
e portanto f não é cont́ınua. ¤
1.5 Exemplo 4: Os espaços Ck
(
Ω
)
e os espaços de Hölder Ck,α
(
Ω
)
Usaremos a notação de multi-́ındice para denotar a derivada parcial
Dγf (x) =
∂|γ|f
∂xγ11 . . . ∂x
γn
n
(x)
onde γ = (γ1, . . . , γn) e |γ| = γ1 + . . . + γn.
Rodney Josué Biezuner 10
1.17 Definição. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Definimos o espaço Ck(Ω) como o espaço das funções
reais definidas em Ω cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são limitadas e uniformemente
cont́ınuas (isso garante que elas possuem uma única extensão cont́ınua para Ω), isto é,
Ck(Ω) =
{
f ∈ Ck(Ω) : Dγf é limitada e uniformemente cont́ınua em Ω para todo |γ| 6 k} .
dotado da norma
‖f‖Ck(Ω) = max|γ|6k ‖D
γf‖L∞(Ω) . (1.12)
Freqüentemente denotamos o espaço das funções cont́ınuas C0(Ω) simplesmente por C(Ω), e definimos
C∞(Ω) =
⋂
k∈N
Ck(Ω).
Relembramos o conceito de continuidade de Hölder:
1.18 Definição. Seja Ω ⊂ Rn. Dizemos que uma função f : Ω → R é cont́ınua de Hölder com expoente
α, se
sup
x,y∈Ω
x6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α < ∞
para algum 0 < α 6 1. Neste caso, denotaremos f ∈ Cα(Ω), se α < 1, e f ∈ C0,1(Ω) se α = 1. Além
disso, denotamos também
[f ]Cα(Ω) = sup
x,y∈Ω
x 6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α . (1.13)
Em particular, note que se f é cont́ınua de Hölder com expoente α em Ω, então
|f(x)− f(y)| 6 [f ]Cα(Ω) |x− y|α para todos x, y ∈ Ω.
Claramente, se uma função é cont́ınua de Hölder em Ω, então ela é cont́ınua em Ω; na verdade, ela é
uniformemente cont́ınua em Ω, o que motiva o nome de função uniformemente cont́ınua de Hölder em Ω, às
vezes usado na literatura. Uma função cont́ınua de Hölder com expoente α = 1 é uma função cont́ınua de
Lipschitz.
1.19 Definição. Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Os espaços de Hölder Ck,α (Ω) são definidos como
os subespaços de Ck
(
Ω
)
consistindo das funções cujas derivadas parciais até a ordem k (inclusive) são
todas cont́ınuas de Hölder com expoente α em Ω:
Ck,α
(
Ω
)
=
{
f ∈ Ck (Ω) : Dγf ∈ Cα(Ω) para todo |γ| 6 k}
com norma
‖f‖Ck,α(Ω) = ‖f‖Ck(Ω) + max|γ|6k [D
γf ]Cα(Ω) . (1.14)
Permitindo α = 0, podemos incluir os espaços Ck
(
Ω
)
entre os espaços de Hölder:
Ck
(
Ω
)
= Ck,0
(
Ω
)
.
1.20 Proposição. Ck,α
(
Ω
)
é um espaço vetorial normado.
Prova. Provemos a validade da desigualdade triangular. Para isso, já que ‖f‖Ck(Ω) nada mais é que a soma
de normas do máximo, portanto claramente uma norma, basta provar que a desigualdade triangular vale
Rodney Josué Biezuner 11
para a seminorma [Dγf ]Cα(Ω) (uma seminorma é uma função que satisfaz todas as propriedades que uma
norma satisfaz, exceto a condição (i) da Definição 1.1). Isso significa provar que
sup
x,y∈Ω
x 6=y
|(f + g) (x)− (f + g) f(y)|
|x− y|α 6 supx,y∈Ω
x6=y
|f(x)− f(y)|
|x− y|α + supx,y∈Ω
x 6=y
|g(x)− g(y)|
|x− y|α .
Mas isso segue diretamente da desigualdade triangular
|(f + g) (x)− (f + g) f(y)| 6 |f(x)− f(y)|+ |g(x)− g(y)|
e do fato que
sup (A + B) 6 supA + sup B.
¥
1.21 Proposição. Ck,α
(
Ω
)
é um espaço de Banach.
Prova. Exerćıcio. ¥
1.6 Exerćıcios
1.1 Mostre que
‖x‖∞ = limp→∞ ‖x‖p .
1.2 C1(Ω) com a métrica L∞ é um espaço vetorial normado? É um espaço de Banach?
1.3 Seja E um espaço vetorial normado em relação a duas normas, ‖·‖1 e ‖·‖2. Dizemos que estas duas
normas são equivalentes se existirem constantes C,D > 0 tais que
‖x‖1 6 C ‖x‖2 ,
‖x‖2 6 D ‖x‖1 ,
para todo x ∈ E. Suponha que ‖·‖1 e ‖·‖2 são normas equivalentes. Prove que (E, ‖·‖1) é de Banach
se e somente se (E, ‖·‖2) é de Banach.
1.4 Mostre que Ck,α
(
Ω
)
com a norma
‖f‖Ck,α(Ω) =
k∑
i=0
‖f‖Ci(Ω) +
∑
|γ|6k
[Dγf ]Cα(Ω)
é um espaço vetorial normado. Mostre que esta norma é equivalente à norma definida no texto.
1.5 Demonstre a Proposição 1.21.
Caṕıtulo 2
Aplicações Lineares
2.1 Aplicações Lineares Limitadas
Em espaços vetoriais normados, um critério simples para a continuidade de aplicações lineares é encapsulado
na seguinte definição, como veremos a seguir:
2.1 Definição. Sejam (E, ‖·‖E) e (F, ‖·‖F ) espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação linear
T : E −→ F é limitada se existe uma constante M > 0 tal que
‖Tx‖F 6 M ‖x‖E
para todo x ∈ E.
Em geral, omitiremos os subscritos das normas quando for claro do contexto a quais espaços elas se referem.
2.2 Proposição. Sejam E,F espaços vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicação linear. As seguintes
afirmações são equivalentes:
(i) T é cont́ınua.
(ii) T é cont́ınua na origem.
(iii) T é limitada.
Prova. (i)⇒(ii) Óbvio. (ii)⇒(iii) Tomando ε = 1 na definição (ε, δ) de continuidade em espaços métricos,
existe δ > 0 tal que ‖x‖ 6 δ implica ‖Tx‖ 6 1. Portanto, se y ∈ E é um vetor não nulo qualquer, temos
∥∥∥∥T
(
δy
‖y‖
)∥∥∥∥ 6 1.
Por linearidade conclúımos que
‖Ty‖ 6 1
δ
‖y‖ .
(iii)⇒(i) Seja M tal que ‖Tx‖ 6 M ‖x‖ para todo x ∈ E. Então
‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ 6 M ‖x− y‖
e portanto T é uma aplicação de Lipschitz, em particular (uniformemente) cont́ınua. ¥
12
Rodney Josué Biezuner 13
2.3 Exemplo. Embora aplicações lineares em espaços vetoriais normados de dimensão finita sejam sempre
cont́ınuas, o mesmo não vale para espaços vetoriais normados de dimensão infinita. De fato, se E é um
espaço vetorial normado de dimensão infinita e F é um espaço vetorial normado de dimensão maior ou
igual a 1, podemos sempre construir uma aplicação linearT : E −→ F que não é limitada. Para isso,
seja B uma base para E, B′ ⊂ B um subconjunto enumerável de vetores e y ∈ F um vetor não nulo
qualquer. Definimos uma aplicação linear T : E −→ F definindo T em B por
Txn = n ‖xn‖ y se xn ∈ B
′
e
Tx = 0 se x ∈ B\B′ .
T não é limitada, pois
‖Txn‖ = n ‖y‖ ‖xn‖ ,
logo não existe uma constante M > 0 tal que
‖Txn‖ 6 M ‖xn‖ .
Em particular, vemos que se E é um espaço vetorial normado de dimensão infinita, sempre existem
funcionais lineares que não são cont́ınuos, pois podemos tomar F = R. ¤
2.4 Definição. Se E,F são espaços vetoriais normados, denotaremos o espaço vetorial das aplicações lin-
eares limitadas por L (E, F ). Definimos a norma de uma aplicação linear limitada por
‖T‖ = inf {M ∈ R : ‖Tx‖ 6 M ‖x‖ para todo x ∈ E} .
2.5 Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados e T : E −→ F uma aplicação linear limitada.
Então
‖T‖ = sup
x∈E\{0}
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈E
‖x‖61
‖Tx‖ = sup
x∈E
‖x‖=1
‖Tx‖ .
Prova. Seja
M = sup
x∈E
x 6=0
‖Tx‖
‖x‖ .
Então ‖Tx‖ 6 M ‖x‖ para todo x ∈ E, logo M > ‖T‖. Reciprocamente, como por definição ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖
para todo x ∈ E, segue que
‖Tx‖
‖x‖ 6 ‖T‖
para todo x ∈ E\ {0}, logo ‖T‖ 6 M . Isso prova a primeira identidade.
Para provar que
sup
x∈E\{0}
‖Tx‖
‖x‖ = supx∈E
‖x‖=1
‖Tx‖ = sup
x∈E
‖x‖61
‖Tx‖ ,
basta notar que
‖Tx‖
‖x‖ =
∥∥∥∥T
(
x
‖x‖
)∥∥∥∥ .
¥
Apesar de uma aplicação linear limitada ser cont́ınua, não podemos trocar o sup na bola unitária ou na esfera
unitária pelo máximo, pois em espaços vetoriais normados de dimensão infinita a bola e a esfera unitária
nunca são compactas (veja o Corolário 1.39).
Rodney Josué Biezuner 14
2.6 Proposição. Se E,F são espaços vetoriais normados, então L (E, F ) é um espaço vetorial normado.
Prova. Sejam T, S ∈ L (E, F ). Temos
‖(T + S) x‖ = ‖Tx + Sx‖ 6 ‖Tx‖+ ‖Sx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖+ ‖S‖ ‖x‖
= (‖T‖+ ‖S‖) ‖x‖
para todo x ∈ E, de modo que obtemos simultaneamente que T +S ∈ L (E,F ) e a validade da desigualdade
triangular para a norma de aplicações lineares. ¥
2.7 Proposição. Se E é um espaço vetorial normado e F é um espaço de Banach, então L (E, F ) é um
espaço de Banach.
Prova. Seja {Tn} uma sequência de Cauchy em L (E, F ). Como
‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm) x‖ 6 ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ ,
segue que {Tnx} é uma sequência de Cauchy em F para todo x ∈ E. Defina
Tx := lim Tnx.
Afirmamos que T = lim Tn em L (E,F ). De fato, em primeiro lugar, T é uma transformação linear, pois
T (αx + βy) = lim Tn (αx + βy) = lim (αTnx + βTny) = α limTnx + β limTny
= αTx + βTy.
Além disso, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε sempre que n,m > N . Então
‖Tnx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖
para todo x ∈ E e fazendo n →∞ obtemos
‖(T − Tm)x‖ = ‖Tx− Tmx‖ 6 ε ‖x‖
para todo x ∈ E, sempre que m > N . Em particular, T − Tm ∈ L (E,F ), portanto T = (T − Tm) + Tm ∈
L (E, F ) e
‖T − Tm‖ < ε
sempre que m > N , isto é, Tm → T em L (E,F ). ¥
Reciprocamente, com a ajuda do teorema de Hahn-Banach (veja a próxima seção), pode-se provar que (se
E 6= 0) se F não é um espaço de Banach, então L (E, F ) não é um espaço de Banach (Proposição 2.26).
2.8 Definição. Se E é um espaço vetorial normado, denotaremos o espaço vetorial dos funcionais lineares
limitadas por E∗. Ele é chamado o espaço dual de E.
2.9 Corolário. Se E é um espaço vetorial normado, então E∗ é um espaço de Banach.
2.10 Proposição. Sejam E, F, G espaços vetoriais normados. Se T ∈ L (E,F ) e S ∈ L (F, G), então
ST ∈ L (E, G) e
‖ST‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ .
Prova. Temos
‖(ST ) x‖ 6 ‖S‖ ‖Tx‖ 6 ‖S‖ ‖T‖ ‖x‖
para todo x ∈ E. ¥
Rodney Josué Biezuner 15
2.11 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação T : E −→ F é
limitada inferiormente se existe uma constante m > 0 tal que
‖Tx‖ > m ‖x‖
para todo x ∈ E.
2.12 Proposição. Seja T ∈ L (E,F ). Então a inversa T−1 : Im T −→ E existe e é linear e limitada se e
somente se T é limitada inferiormente.
Prova. Suponha que T é limitada inferiormente. Então, se x 6= y segue que
‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ > m ‖x− y‖ > 0,
logo T é injetiva e portanto a inversa T−1 : Im T −→ E está bem definida. Como T (αx + βy) = αTx+βTy,
tomando T−1 em ambos os lados desta equação, segue também que
T−1 (αTx + βTy) = αx + βy = αT−1 (Tx) + βT−1 (Ty) ,
logo T−1 é linear. Finalmente, ∥∥T−1 (Tx)
∥∥ = ‖x‖ 6 m−1 ‖Tx‖
para todo y = Tx ∈ ImT , e portanto T−1 é limitada.
Reciprocamente, suponha que T−1 : Im T −→ E existe e é linear e limitada. Então
‖x‖ =
∥∥T−1 (Tx)
∥∥ 6
∥∥T−1
∥∥ ‖Tx‖
para todo x ∈ E, ou seja,
‖Tx‖ >
∥∥T−1
∥∥−1 ‖x‖ .
¥
2.13 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que E e F são topologicamente iso-
morfos quando existe uma aplicação linear bijetiva T : E −→ F tal que T e T−1 são limitadas.
2.14 Corolário. T : E −→ F é um isomorfismo topológico entre os espaços vetoriais normados E e F se
e somente se existem constantes m,M > 0 tais que
m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6 M ‖x‖ .
Em particular, isomorfismos topológicos preservam sequências de Cauchy e sequências convergentes; dáı, se
E e F são topologicamente isomorfos, então E é um espaço de Banach se e somente se F é.
2.15 Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados de dimensão finita com a mesma dimensão.
Então E e F são topologicamente isomorfos.
Prova. Como a relação de isomorfismo topológico entre espaços vetorias normados é uma relação de
equivalência, basta mostrar que se dim E = n então E é topologicamente isomorfo a `1 (n). Seja B =
{e1, . . . , en} uma base para E. Considere o isomorfismo T : `1 (n) −→ E definido por
T (x1, . . . , xn) =
n∑
i=1
xiei.
Rodney Josué Biezuner 16
Afirmamos que T é um isomorfismo topológico. De fato, T é limitada porque
‖Tx‖E 6
n∑
i=1
‖xiei‖E =
n∑
i=1
|xi| ‖ei‖E
6
(
max
i=1,...,n
‖ei‖E
) n∑
i=1
|xi|
= M ‖x‖`1(n)
onde denotamos M = max
i=1,...,n
‖ei‖E . Como T é cont́ınua, a função x 7→ ‖Tx‖ também é e assume um valor
mı́nimo m na esfera unitária B =
{
x ∈ `1 (n) : ‖x‖ = 1}. Necessariamente m > 0, pois {e1, . . . , en} é um
conjunto linearmente independente. Portanto,
∥∥∥∥T
x
‖x‖
∥∥∥∥ > m
para todo x ∈ E, x 6= 0, o que mostra que m ‖x‖ 6 ‖Tx‖ 6 M ‖x‖ para todo x ∈ E. ¥
2.16 Corolário. Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é de Banach.
Todo subespaço vetorial de dimensão finita de um espaço vetorial normado é fechado.
2.17 Corolário. Se E é um espaço vetorial normado de dimensão finita e T : E −→ F é linear, então T
é cont́ınua.
2.18 Corolário. Se E é um espaço vetorial normado de dimensão finita, então um subconjunto de E é
compacto se e somente se ele for fechado e limitado.
Além disso, se E é um espaço vetorial normado tal que a bola unitária B = {x ∈ E : ‖x‖ 6 1} é
compacta, então E possui dimensão finita.
Prova. Vamos provar a última afirmação. Para isso, provaremos antes o seguinte resultado:
Seja E um espaço vetorial normado e F ⊂ E um subespaço vetorial fechado próprio de E. Então para
todo 0 < ε < 1 existe y ∈ E tal que ‖y‖ = 1 e
dist (y, F ) > ε.
Seja z ∈ E\F e d = dist (z, F ). Como F é fechado, d 6= 0 e pela definição de distância existe x0 ∈ F tal que
d 6 ‖z − x0‖ 6 d
ε
.
Tome
y =
z − x0
‖z − x0‖ ,
de modo que ‖y‖ = 1. Além disso, para todo x ∈ F temos
‖y − x‖ =
∥∥∥∥
z − x0
‖z − x0‖ − x
∥∥∥∥
=
1
‖z − x0‖ ‖z − x0 − ‖z − x0‖x‖
> ε
d
‖z − x1‖ ,
Rodney Josué Biezuner 17
onde x1 = x0 − ‖z − x0‖x ∈ F , logo
‖y − x‖ > ε
d
d = ε.
Agora, suponha por absurdo que E é um espaço de dimensão infinita. Vamos construir uma sequência
{xn}n∈N ⊂ B que não possui subsequência convergente, mostrando que B não pode ser compacta. Tome
x1 ∈ B qualquer. Como 〈x1〉 é um subespaço fechado de E e, por hipótese, E 6= 〈x1〉, existe x2 ∈ B tal que
‖x1 − x2‖ > 1/2.
O subespaço 〈x1, x2〉 também é um subespaço fechado próprio de E, logo existe x3 ∈ B tal que
‖x1 − x3‖ > 1/2 e ‖x2 − x3‖ > 1/2.
Continuando desta maneira, obtemos uma sequência {xn}⊂ B tal que
‖xn − xm‖ > 1/2
para todos n,m ∈ N. Como nenhuma subsequência desta sequência pode ser de Cauchy, ela não possui
nenhuma subsequência convergente. ¥
2.2 Exerćıcios
2.1 Verifique nos casos abaixo que o funcional linear está bem definido e é limitado e calcule sua norma.
a) f : `2 −→ R; f (x) =
∞∑
n=1
xn
n
.
b) f : `∞0 −→ R; f (x) =
∞∑
n=1
xn
2n+1
.
c) f : L1 (−1, 1) −→ R; f (x) = ∫ 1−1 tx (t) dt.
2.2 Considere o operador linear Mλ : `p −→ `p definido por
Mλ (x) = (λ1x1, λ2x2, . . .)
onde λ = (λn) ∈ `∞. Mλ é chamado multiplicação por λ. Verifique que Mλ é um operador linear bem
definido e limitado e calcule sua norma. Para que sequências λ existe o operador inverso M−1λ ? Para
que sequências λ o operador inverso M−1λ existe e é limitado?
2.3 Considere o operador shift S : `p −→ `p definido por
Sx = (0, x1, x2, . . .) .
S−1 existe e é limitado? Considere agora o operador truncamento T : `p −→ `p definido por
Tx = (x2, x3, . . .) .
T−1 existe e é limitado?
2.4 Seja T : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
(Tf) (t) = f (t) +
∫ t
0
f (s) ds.
Mostre que T é um isomorfismo topológico.
Rodney Josué Biezuner 18
2.5 Seja E um espaço de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖T‖ < 1. Mostre que I − T é um
operador bijetivo, (I − T )−1 =
∞∑
n=1
Tn, (I − T )−1 é limitado e que
∥∥∥(I − T )−1
∥∥∥ 6 1
1− ‖T‖ .
2.6 Seja E um espaço de Banach e T ∈ L (E) um operador tal que ‖I − T‖ < 1. Mostre que T−1 existe e
está em L (E).
2.7 Seja E =
{
f ∈ C1 ([0, 1]) : f (0) = 0}. Dada g ∈ C ([0, 1]), considere a aplicação linear Tg : E −→
C ([0, 1]) definida por
(Tgf) (t) = f ′ (t) + g (t) f (t) .
Mostre que T−1 existe e é limitada.
2.8 A aplicação linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
Df = f ′
é limitada? Se for, calcule ‖D‖ .
2.9 Seja E =
{
f ∈ C ([0, 1]) : f é de classe C1}. Considere a aplicação linear T : E −→ C ([0, 1]) definida
por
Df = f ′.
D é limitada? Se for, calcule ‖D‖ .
2.10 A aplicação linear I : C ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definida por
(If) (t) =
∫ t
0
f (s) ds.
é limitada? Se for, calcule ‖I‖ .
2.11 Prove que não existe norma em C∞ ([0, 1]) que torne o operador derivada Df = f ′ limitado. [Sugestão:
considere as funções fλ (x) = eλx.]
2.3 O Teorema de Hahn-Banach
O teorema de Hahn-Banach garante que todo espaço vetorial normado é ricamente suprido de funcionais
lineares, de modo que pode-se obter uma teoria satisfatória de espaços duais e de operadores adjuntos.
2.19 Definição. Seja E um espaço vetorial normado. Dizemos que um funcional p : E −→ R é semilinear
se ele for subaditivo, isto é,
p (x + y) 6 p (x) + p (y) para todos x, y ∈ E,
e positivo-homogêneo, ou seja,
p (αx) = αp (x) para todos x ∈ E, α > 0.
Um exemplo de funcional semilinear em um espaço vetorial normado é a própria norma deste espaço.
Para demonstrarmos o lema principal desta seção, que também é conhecido como o teorema de Hahn-
Banach para espaços vetoriais (embora nestas notas não nos referiremos a ele deste modo em geral, preferindo
reservar o nome teorema de Hahn-Banach para o teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais normados),
relembramos o lema de Zorn:
Rodney Josué Biezuner 19
2.20 Lema. (Lema de Zorn) Seja A 6= ∅ um conjunto parcialmente ordenado. Se todo subconjunto total-
mente ordenado de A possui um limitante superior, então A tem pelo menos um elemento maximal.
2.21 Lema. Sejam E um espaço vetorial e p : E −→ R um funcional semilinear. Seja F um subespaço
vetorial de E e f0 : F −→ R um funcional linear tal que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Então f0 se
estende a um funcional linear f : E −→ R satisfazendo f (x) 6 p (x) para todo x ∈ E.
Prova. Este resultado é uma consequência do Lema de Zorn. Seja A o conjunto de todas as extensões
lineares g : L (g) −→ R de f0 a um subespaço vetorial L (g) ⊃ F de E tais que g (x) 6 p (x) para todo
x ∈ L (g). Note que A 6= ∅ porque f0 ∈ A. Definimos uma ordem parcial em A declarando
g 6 h se L (g) ⊂ L (h) ,
isto é, g 6 h se h é uma extensão de g. Para ver que A satisfaz a hipótese do lema de Zorn, seja A ⊂ A um
subconjunto totalmente ordenado. Então um limitante superior para A é o funcional g : L (g) −→ R onde
L (g) =
⋃
h∈A
L (h)
e g é definido por
g (x) = h (x) se x ∈ L (h) para qualquer h ∈ A.
Observe que g está bem definido porque A é totalmente ordenado. Pelo lema de Zorn, existe um elemento
maximal f ∈ A. Para provar o resultado, basta mostrar que L (f) = E.
Suponha por absurdo que existe x0 ∈ E\L (f). Considere o subespaço L = L (f) + 〈x0〉. Defina uma
extensão linear g : L −→ R de f por
h (x + tx0) = f (x) + tα,
onde α ∈ R é uma constante a ser definida apropriadamente para que tenhamos h (y) 6 p (y) para todo
y ∈ L, e portanto g contradizerá a maximalidade de f . De fato, dados x1, x2 ∈ L (f), temos
f (x1) + f (x2) = f (x1 + x2) 6 p (x1 + x2) 6 p (x1 + x0) + p (x2 − x0) ,
donde
f (x2)− p (x2 − x0) 6 p (x1 + x0)− f (x1) .
Escolha α tal que
sup
x∈L(f)
[f (x)− p (x− x0)] 6 α 6 inf
x∈L(f)
[p (x + x0)− f (x)] .
Isso implica que
h (x− x0) = f (x)− α 6 p (x− x0) ,
h (x + x0) = f (x) + α 6 p (x + x0) ,
para todo x ∈ L (f). Se t > 0, multiplicando
f
(x
t
)
+ α 6 p
(x
t
+ x0
)
por t obtemos
h (x + tx0) = f (x) + tα 6 p (x + tx0) .
Se t < 0, multiplicando
f
(
x
−t
)
− α 6 p
(
x
−t − x0
)
por −t obtemos
h (x + tx0) = f (x) + tα 6 p (x + tx0) .
Se t = 0, o resultado é óbvio. ¥
Rodney Josué Biezuner 20
2.22 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam E um espaço vetorial normado e f0 : F −→ R um
funcional linear limitado definido em um subespaço vetorial F ⊂ E. Então f0 se estende a um
funcional linear f : E −→ R tal que
‖f‖E∗ = ‖f0‖F∗ .
Prova. Basta aplicar o teorema anterior ao funcional semilinear
p (x) = ‖f0‖F∗ ‖x‖ .
¥
2.23 Corolário. Sejam E um espaço vetorial normado e F um subespaço vetorial de E. Suponha que
exista x0 ∈ E tal que
dist (x0, F ) = inf
x∈F
‖x− x0‖ > 0.
Então existe f ∈ E∗ tal que f (x0) = 1, ‖f‖E∗ = 1/ dist (x0, F ) e f ≡ 0 sobre F .
Em particular, se F é um subespaço vetorial de E que não é denso em E, então existe f ∈ E∗ não-nulo
que se anula em F .
Prova. Considere o subespaço vetorial F1 = F + 〈x0〉. Defina um funcional linear f0 : F1 −→ R por
f0 (x + tx0) = t.
Note que f0 ≡ 0 sobre F e que f0 (x0) = 1. Escrevendo y = x + tx0, se t 6= 0 temos que
‖y‖ = ‖x + tx0‖ = |t|
∥∥∥x
t
+ x0
∥∥∥ > |t| dist (x0, F ) = |f0 (y)| dist (x0, F ) ,
ou seja,
|f0 (y)|
‖y‖ 6
1
dist (x0, F )
para todo y ∈ F1, donde
‖f0‖F∗1 6
1
dist (x0, F )
. (2.1)
Seja {yn} ⊂ F uma sequência tal que ‖x0 − yn‖ → dist (x0, F ). Temos
1 = f0 (x0 − yn) 6 ‖f0‖F∗1 ‖x0 − yn‖ ,
de modo que ao passarmos o limite quando n →∞ segue que
‖f0‖F∗1 >
1
dist (x0, F )
. (2.2)
Portanto,
‖f0‖F∗1 =
1
dist (x0, F )
.
Usando o teorema de Hahn-Banach, estendemos f linearmente a todo o espaço E. ¥
Este resultado é frequentemente usado para verificar se um subespaço vetorial de um espaço vetorial normado
é denso.
2.24 Corolário. Seja E um espaço vetorial normado. Para todo vetor não-nulo x0 ∈ E existe f ∈ E∗ tal
que
‖f‖E∗ = 1 e f (x0) = ‖x0‖ .
Rodney Josué Biezuner 21
Prova. Aplique o teorema de Hahn-Banach ao subespaço F = 〈x0〉 e ao funcional linear limitado f0 : F −→
R definido por f0 (tx0) = t ‖x0‖. ¥
2.25 Corolário. Seja E um espaço vetorial normado. Para todo vetor x ∈ E vale
‖x‖ = sup
f∈E∗\{0}
|f (x)|
‖f‖ = supf∈E∗
‖f‖61
|f (x)| = max
f∈E∗
‖f‖61
|f (x)| .
Prova. Pelo corolário anterior existe g ∈ E∗ tal que ‖g‖E∗ = 1 e g (x) = ‖x0‖. Logo,
sup
f∈E∗\{0}
|f (x)|
‖f‖ >
|g (x)|
‖g‖ = ‖x‖ .
Como |g (x)| 6 ‖g‖ ‖x‖, segue o resultado. ¥
2.26 Proposição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Se L (E, F ) é um espaço de Banach, então F
é um espaço de Banach.
Prova. Em primeiro lugar, observamos que se f é funcional linear sobre E e y ∈ F é um vetor qualquer,
então podemos definir uma aplicação linear T : E −→ F por
Tx = f (x) y.
Além disso, se f forum funcional linear limitado, então T também é uma aplicação linear limitada. De fato,
‖T‖ = sup ‖Tx‖‖x‖ = ‖y‖ sup
|f (x)|
‖x‖ = ‖y‖ ‖f‖ .
Seja {yn}n∈N uma sequência de Cauchy em F . Pelo Corolário 2.24, existe um funcional linear f ∈ E∗
tal que ‖f‖ = 1. Para cada n ∈ N, defina uma aplicação linear Tn ∈ L (E, F ) por
Tnx = f (x) yn.
Então ‖Tn‖ = ‖yn‖ e {Tn}n∈N é uma sequência de Cauchy em L (E, F ). Como L (E, F ) é um espaço de
Banach, Tn → T em L (E, F ). Em particular, Tnx → Tx em F para todo x ∈ E. Escolhendo x ∈ E tal que
f (x) = 1, segue que Tnx = yn e portanto yn → Tx. ¥
Assim, juntamente com a Proposição 2.7, este resultado implica que L (E,F ) é um espaço de Banach se e
somente se F é um espaço de Banach.
2.4 Formas Geométricas do Teorema de Hahn-Banach: Conjuntos
Convexos
2.27 Definição. Seja E um espaço vetorial. Um hiperplano afim é um conjunto da forma
H = f−1 (α) = {x ∈ E : f (x) = α} ,
onde f : E −→ R é um funcional linear não-nulo e α ∈ R.
2.28 Proposição. Seja E um espaço vetorial normado. O hiperplano H = f−1 (α) é fechado se e somente
se f é limitada.
Rodney Josué Biezuner 22
Prova. Suponha que H é fechado. Então E\H é aberto e não-vazio (porque f é não-nulo). Escolha
x0 ∈ E\H tal que f (x0) < α, para fixar idéias, e uma bola Br (x0) ⊂ E\H. Afirmamos que f (x) < α para
todo x ∈ Br (x0). Com efeito, se f (x1) > α para algum x1 ∈ Br (x0), considere o segmento
L = {(1− t)x0 + tx1 : 0 6 t 6 1}
que está inteiramente contido em Br (x0). Tomando t =
f (x1)− α
f (x1)− f (x0) temos
f ((1− t) x1 + tx0) = (1− t) f (x1) + tf (x0)
=
(
1− f (x1)− α
f (x1)− f (x0)
)
f (x1) +
f (x1)− α
f (x1)− f (x0)f (x0)
=
[α− f (x0)] f (x1) + [f (x1)− α] f (x0)
f (x1)− f (x0)
= α,
contradizendo Br (x0) ⊂ E\H. Portanto, conclúımos que
f (x0 + rz) < α
para todo z ∈ B1 (0), donde (usando o fato que f (z) = −f (−z))
|f (z)| 6 1
r
(α− f (x0))
para todo z ∈ B1 (0), o que implica que f é limitada e
‖f‖ 6 1
r
(α− f (x0)) .
A rećıproca é óbvia. ¥
2.29 Definição. Seja E um espaço vetorial e A,B ⊂ E subconjuntos quaisquer.
Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo se f (x) 6 α para todo
x ∈ A e f (x) > α para todo x ∈ B.
Dizemos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido estrito se existe ε > 0 tal que
f (x) 6 α− ε para todo x ∈ A e f (x) > α + ε para todo x ∈ B.
2.30 Lema. (Funcional de Minkowski) Seja E um espaço vetorial normado e C ⊂ E um conjunto aberto
convexo contendo a origem. Defina o funcional pC : E −→ R por
pC (x) = inf
{
α > 0 :
x
α
∈ C
}
.
Então pC é um funcional semilinear que satisfaz
(i) existe M > 0 tal que 0 6 pC (x) 6 M ‖x‖ para todo x ∈ E;
(ii) C = {x ∈ E : pC (x) < 1} .
Prova. Para simplificar a notação, denotaremos pC por p.
Prova de (i): Seja r > 0 tal que Br [0] ⊂ C. Então, para todo x ∈ E, r x‖x‖ ∈ C, logo por definição
p (x) 6 r‖x‖ .
Rodney Josué Biezuner 23
Prova de (ii): Seja x ∈ C. Como C é aberto, existe ε > 0 tal que (1 + ε)x ∈ C, logo por definição
p (x) 6 1
1 + ε
< 1
Reciprocamente, se p (x) < 1, então existe 0 < α < 1 tal que
x
α
∈ C, donde x = αx
α
+ (1− α) 0 ∈ C, já que
C é convexo e contém a origem.
Por fim, vamos verificar que p é semilinear. É fácil ver que p é positivo-homogêneo. Para verificar a
subaditividade de p, sejam x, y ∈ E e ε > 0. De (ii) e do fato de p ser positivo-homogêneo segue que
x
p (x) + ε
,
y
p (y) + ε
∈ C.
Dáı,
t
x
p (x) + ε
+ (1− t) y
p (y) + ε
∈ C para todo 0 6 t 6 1.
Em particular, escolhendo t =
p (x) + ε
p (x) + p (y) + 2ε
, temos que
x + y
p (x) + p (y) + 2ε
∈ C.
Pela positivo-homogeneidade de p e por (ii), conclúımos que
p (x + y) < p (x) + p (y) + 2ε.
Como ε > 0 é arbitrário, segue a subaditividade de p. ¥
2.31 Lema. Seja E um espaço vetorial normado e C ( E um conjunto aberto convexo não-vazio. Seja
x0 ∈ E\C. Então existe f ∈ E∗ tal que f (x) < f (x0) para todo x ∈ C.
Em particular, o hiperplano H = f−1 (f (x0)) separa x0 e C no sentido amplo.
Prova. Fazendo uma translação, podemos assumir que 0 ∈ C e definir o funcional de Minkowski p de C.
Considere F = 〈x0〉 e o funcional linear sobre F dado por f0 (tx0) = t. Como p (x0) > 1 (por (ii) do lema
anterior), temos p (tx0) = tp (x0) > t se t > 0; se t < 0, p (tx0) > t trivialmente, porque o funcional de
Minkowski p é não-negativo. Segue que f0 (x) 6 p (x) para todo x ∈ F . Podemos portanto usar o teorema de
Hahn-Banach (Lema 2.21) para concluir que f0 possui uma extensão linear f : E −→ R tal que f (x) 6 p (x)
para todo x ∈ E. De (i) do lema anterior, segue que f é limitada. Finalmente, como p (x) < 1 para todo
x ∈ C, segue que f (x) 6 p (x) < 1 = f (x0) para todo x ∈ C. ¥
2.32 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, primeira forma geométrica) Seja E um espaço vetorial nor-
mado. Sejam A,B ⊂ E conjuntos convexos não-vazios disjuntos, com A aberto. Então existe um
hiperplano fechado que separa A e B no sentido amplo.
Prova. Seja
C = A−B = {x− y : x ∈ A e y ∈ B} .
C é convexo, pois se x1 − y1, x2 − y2 ∈ C então
t (x1 − y1) + (1− t) (x2 − y2) = tx1 + (1− t) x2 − [ty1 + (1− t) y2] ∈ C,
e C é aberto porque C = ∪y∈B (A− y), união de abertos (translação é um homeomorfismo). Além disso,
0 /∈ C porque A e B são disjuntos. Pelo lema anterior, tomando x0 = 0, existe f ∈ E∗ tal que f (z) < 0 para
todo z ∈ C, ou seja, f (x) < f (y) para todos x ∈ A e y ∈ B. Escolhendo α tal que
sup
A
f 6 α 6 inf
B
f,
conclúımos que o hiperplano H = f−1 (α) separa A e B no sentido amplo. ¥
Rodney Josué Biezuner 24
2.33 Teorema. (Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geométrica) Seja E um espaço vetorial nor-
mado. Sejam A, B ⊂ E conjuntos convexos não-vazios disjuntos, com A fechado e B compacto.
Então existe um hiperplano fechado que separa A e B no sentido estrito.
Prova. Dado ε > 0, sejam
Aε = A + Bε (0) e Bε = B + Bε (0) ,
de modo que A e B são abertos, convexos e não-vazios. Além disso, tomando ε < dist (A,B), segue que Aε
e Bε são disjuntos. Pelo teorema anterior, existe um hiperplano fechado H = f−1 (α) que separa Aε e Bε
no sentido amplo, logo
f (x + εz) 6 α 6 f (y + εz)
para todos x ∈ A, y ∈ B e z ∈ B1 (0). Dáı,
f (x) + ε ‖f‖ 6 α 6 f (y) + ε ‖f‖ .
¥
2.5 Exerćıcios
2.12 Sejam E um espaço vetorial e f : E −→ R um funcional linear. Mostre que a codimensão do núcleo
de f é 1, ou seja, podemos escrever
E = ker f ⊕ 〈x0〉
onde x0 é qualquer vetor de E tal que f (x0) 6= 0.
2.13 Seja E um espaço vetorial normado. Se f : E −→ R é um funcional linear tal que para toda sequência
{xn}n∈N convergente para 0 a sequência {f (xn)}n∈N é limitada, mostre que f é limitado.
2.14 Seja E um espaço vetorial normado. Prove que um funcional linear f : E −→ R é limitado se e somente
se ker f é fechado.
2.15 Sejam E um espaço vetorial normado e L = 〈x1, x2, . . .〉 um subespaço vetorial gerado por um conjunto
enumerável de vetores. Mostre que x ∈ L se e somente se para todo f ∈ E∗ tal que f (xn) = 0 para
todo n tem-se f (x) = 0.
2.16 Sejam E um espaço vetorial normado e f : E −→ R um funcional linear limitado não-nulo. Considere
o hiperplano H = f−1 (1). Mostre que
‖f‖ = 1
inf
x∈H
‖x‖ .
2.17 Sejam E um espaço vetorial normado e F um subespaço vetorial próprio de E. Mostre que se T0 : F −→
RN é uma aplicação linear limitada, então T se estende a uma aplicação linear limitada T : E −→ RN
com ‖T‖ = ‖T0‖.
Caṕıtulo 3
Os Teoremas da Limitação Uniforme,
da Aplicação Aberta e do Gráfico
Fechado
3.1 O Teorema da Limitação Uniforme
3.1 Lema. (O Teorema da Categoria de Baire) Seja X um espaço métrico completo. Seja {Fn}n∈N uma
coleção enumerável de conjuntos fechados de X. Se intFn = ∅ para todo n, então int
( ⋃
n∈N
Fn
)
= ∅.
Alternativamente, seja X um espaço métrico completo não-vazio. Seja {Fn}n∈N uma coleção enu-
merável de conjuntos fechados de X tal que X =
⋃
n∈N
Fn. Então existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅.
3.2 Teorema. (Teorema da Limitação Uniforme) Sejam E, F espaçosvetoriais normados, sendo E um
espaço de Banach. Seja {Tλ}λ∈Λ uma coleção de operadores lineares limitados de E em F puntual-
mente limitados, isto é, para todo x ∈ E existe Cx > 0 tal que
‖Tλx‖ 6 Cx para todo λ ∈ Λ.
Então {Tλ}λ∈Λ é uniformemente limitada, ou seja, existe C > 0 tal que
‖Tλ‖ 6 C para todo λ ∈ Λ.
Prova. Para cada n ∈ N, considere o conjunto
Fn = {x ∈ E : ‖Tλx‖ 6 n para todo λ ∈ Λ} .
Então Fn é fechado, porque Fn =
⋂
λ∈Λ
G−1λ [0, n] onde Gλ é a função cont́ınua Gλ = ‖·‖ ◦ Tλ. Por hipótese,
X =
⋃
n∈N
Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire existe n0 ∈ N tal que intFn0 6= ∅. Seja Br (x0) ⊂ Fn0 .
Temos
‖Tλ (x0 + rz)‖ 6 n0
para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ. Logo,
‖Tλ (z)‖ 6 n0 + ‖Tλx0‖
r
25
Rodney Josué Biezuner 26
para todo z ∈ B1 (0) e para todo λ ∈ Λ, ou seja,
‖Tλ‖ 6 n0 + Cx
r
para todo λ ∈ Λ. ¥
3.3 Corolário. Sejam E,F espaços vetoriais normados, sendo E um espaço de Banach. Seja {Tn}n∈N uma
sequência de operadores lineares limitados de E em F tais que para todo x ∈ E a sequência {Tnx}n∈N
converge para um elemento de F que denotaremos Tx. Então {Tn}n∈N é uniformemente limitada, T
é um operador linear limitado e
‖T‖ 6 lim inf ‖Tn‖ .
Prova. A limitação uniforme da sequência decorre do teorema anterior. O fato de T ser linear decorre das
propriedades de limites de somas e multiplicação por escalar de sequências e da linearidades dos operadores da
sequência, como na Proposição 2.7. Como, pelo teorema anterior, existe uma constante C > 0 independente
de x tal que
‖Tnx‖ 6 C ‖x‖
para todo x ∈ X, tomando o limite quando n →∞ obtemos que T é limitado. Finalmente, como
‖Tnx‖ 6 ‖Tn‖ ‖x‖ ,
da definição de norma de um operador segue o último resultado. ¥
3.4 Corolário. Sejam E um espaço vetorial normado e B ⊂ E um subconjunto. Se para todo f ∈ E∗ o
conjunto f (B) é limitado, então B é limitado.
Prova. Aplicamos o Teorema da Limitação Uniforme substituindo E = E∗ (que é um espaço de Banach,
como vimos no Corolário 2.9), F = R e Λ = B. Para todo b ∈ B definimos um operador linear limitado
Tb : E∗ −→ R por
Tbf = f (b) .
De fato,
‖Tbf‖ = ‖f (b)‖ 6 ‖f‖ ‖b‖ = ‖b‖ ‖f‖
A coleção {Tbf}b∈B é limitada para cada f ∈ E∗ por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe
uma constante C > 0 independente de f tal que
|f (b)| 6 C ‖f‖
para todo f ∈ E∗. Usando o Corolário 2.25 conclúımos que
‖b‖ 6 C
para todo b ∈ B. ¥
3.5 Corolário. Sejam E um espaço de Banach e B∗ ⊂ E∗ um subconjunto. Se para todo x ∈ E o conjunto
〈B∗, x〉 = ⋃
f∈B∗
f (x) é limitado, então B∗ é limitado.
Prova. Aplicamos o Teorema da Limitação Uniforme substituindo F = R e Λ = B∗. Para todo b∗ ∈ B∗
considere o funcional linear limitado
Tb∗ = b∗.
A coleção {Tb∗x}b∗∈B∗ é limitada para cada x ∈ E por hipótese. Portanto, do Teorema 3.2 segue que existe
uma constante C > 0 tal que
‖b∗‖ 6 C
para todo b∗ ∈ B∗. ¥
Rodney Josué Biezuner 27
3.2 Os Teoremas da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado
3.6 Teorema. (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam E, F espaços de Banach e T : E −→ F uma aplicação
linear limitada e sobrejetiva. Então existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ Br (0)
Em particular, T é uma aplicação aberta.
Prova. Passo 1. Seja T : E −→ F uma aplicação linear sobrejetiva. Então existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) .
Seja
Fn = nT (B1 (0)).
Então Fn é fechado e F =
⋃
n∈N
Fn, logo pelo Teorema da Categoria de Baire (F é de Banach) existe n0 ∈ N
tal que intFn0 6= ∅. Em particular, intT (B1 (0)) 6= ∅. Sejam y ∈ F e r > 0 tais que B4r (y) ⊂ T (B1 (0)).
Em particular, y,−y ∈ T (B1 (0)). Obtemos
B4r (0) = −y + B4r (y) ⊂ T (B1 (0)) + T (B1 (0)) = 2T (B1 (0))
a última igualdade valendo porque T (B1 (0)) é convexo (pois aplicações lineares são aplicações convexas, isto
é, levam conjuntos convexos em conjuntos convexos, o fecho de um conjunto convexo é convexo e podemos
sempre escrever x + y = 2
(
1
2x +
1
2y
)
). Como B4r (y) ⊂ 2T (B1 (0)), segue o resultado.
Passo 2. Seja T : E −→ F uma aplicação linear limitada. Se existe r > 0 tal que
T (B1 (0)) ⊃ B2r (0) ,
então
T (B1 (0)) ⊃ Br (0) .
Dado y ∈ Br (0) ⊂ F , queremos encontrar x ∈ B1 (0) ⊂ E tal que Tx = y. Sabemos que, dado ε > 0, existe
z ∈ B1/2 (0) ⊂ E tal que Tz ∈ Bε (y). De fato, como 2y ∈ B2r (0), existe z′ ∈ B1 (0) tal que ‖Tz′ − 2y‖ < ε;
dáı,
∥∥∥∥T
z′
2
− y
∥∥∥∥ <
ε
2
e podemos tomar z = z′/2. Escolhendo ε = r/2 obtemos z1 ∈ E tal que
‖z1‖ < 12 e ‖y − Tz1‖ <
r
2
.
Aplicando o mesmo argumento a y − Tz1 e escolhendo ε = r/4, encontramos z2 ∈ E tal que
‖z2‖ < 14 e ‖(y − Tz1)− Tz2‖ <
r
2
.
Procedendo desta forma, obtemos uma sequência {zn}n∈N tal que
‖zn‖ < 12n e ‖y − T (z1 + . . . + zn)‖ <
r
2n
para todo n. Em particular, a sequência {xn}n∈N definida por
xn = z1 + . . . + zn
é de Cauchy. Como E é de Banach, podemos tomar x = lim xn e x satisfaz
‖x‖ <
∞∑
n=1
1
2n
= 1
Rodney Josué Biezuner 28
e
y = lim Txn = T (lim xn) = Tx.
Juntando os dois passos, o teorema fica provado. Para ver que T é aberta, seja U ⊂ E um aberto
e mostremos que T (U) é aberto. Dado y ∈ T (U), seja x ∈ E tal que y = Tx. Seja ε > 0 tal que
Bε (x) ⊂ U , ou seja, x + Bε (0) ⊂ U . Então y + T (Bε (0)) ⊂ T (U). Pelo teorema T (Bε (0)) ⊃ Bεr (0), logo
Bεr (y) ⊂ T (U). ¥
3.7 Corolário. Sejam E, F espaços de Banach. Se T : E −→ F é uma aplicação linear limitada bijetiva,
então a aplicação linear T−1 : F −→ E é cont́ınua.
Prova. Pois a inversa de uma aplicação aberta é cont́ınua. ¥
Em outras palavras, um operador linear limitado bijetivo entre espaços de Banach é automaticamente um
isomorfismo topológico.
3.8 Corolário. Seja E um espaço de Banach. Se ‖·‖1 , ‖·‖2 são duas normas tais que existe uma constante
C > 0 tal que
‖x‖1 6 C ‖x‖2 para todo x ∈ E,
então elas são normas equivalentes.
3.9 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados. Dizemos que uma aplicação linear T : E −→ F é
fechada se seu gráfico
G (T ) = {(x, Tx) : x ∈ E}
é fechado em E × F .
Observe que o gráfico de uma aplicação linear é um subespaço vetorial de E×F . É claro que toda aplicação
linear cont́ınua é fechada, entretanto existem muitos exemplos de operadores lineares importantes na prática
que não são cont́ınuos mas pelo menos são fechados. Se E e F são espaços de Banach, os dois conceitos são
equivalentes:
3.10 Teorema. (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam E, F espaços de Banach e T : E −→ F uma aplicação
linear fechada. Então T é limitada.
Prova. Consideremos duas normas em E:
‖x‖1 = ‖x‖E e ‖x‖2 = ‖x‖E + ‖Tx‖F .
(A segunda norma é às vezes chamada norma do gráfico.) Como G (T ) é fechado, E sob a norma do gráfico
ainda é um espaço de Banach. De fato, se {xn} é uma sequência de Cauchy em (E, ‖·‖2), então em particular
{xn} é uma sequência de Cauchy em (E, ‖·‖1) pois ‖x‖1 6 ‖x‖2 e {Txn} é uma sequência de Cauchy em
(F, ‖·‖F ) pois ‖Tx‖F 6 ‖x‖2. Se x = lim xn e y = lim Txn, segue que (xn, Txn) → (x, y) em E × F . Como
G é fechado, temos que (x, y) ∈ G, logo y = Tx. Podemos então usar o Corolário 3.8 para concluir que
existe uma constante C > 0 tal que
‖x‖2 6 C ‖x‖1
para todo x ∈ E. Em particular, segue que
‖Tx‖F 6 C ‖x‖1 .
¥
A hipótese dos espaços E,F serem de Banach é necessária (veja os Exerćıcios 3.7 e 3.14).
Rodney Josué Biezuner 29
3.3 Operadores Adjuntos
O teorema de Hahn-Banach também é crucial para estabelecer uma teoria satisfatória de operadores adjuntos.
A partir desta seção, frequentemente usaremos a notação
〈f, x〉 = f (x)
se x ∈ E e f : E −→ R é um funcional linear.
3.11 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais normados e A : E −→ F um operador linear limitado. O
operador adjunto A∗ : F ∗ −→ E∗ é o único operador linear limitado que satisfaz
〈g, Ax〉 = 〈A∗g, x〉
para todos x ∈ E e g ∈ F ∗.
3.12 Proposição. O operador adjunto está bem definido. Além disso,
‖A∗‖ = ‖A‖ .
Prova. De fato, se A : E −→ F é um operador linear limitado e g ∈ F ∗, então o funcionalf : E −→ R
definido por
f (x) = g (Ax)
é um funcional linear limitado, pois
|f (x)| = |g (Ax)| 6 ‖g‖ ‖Ax‖ 6 ‖g‖ ‖A‖ ‖x‖ .
Logo, podemos definir A∗ : F ∗ −→ E∗ por
A∗g = f.
A desigualdade que provamos acima implica que ‖A∗g‖ = ‖f‖ 6 ‖A‖ ‖g‖, portanto
‖A∗‖ 6 ‖A‖ .
Por outro lado,
‖A∗‖ = sup
g∈F∗\{0}
‖A∗g‖
‖g‖ .
Pelo teorema de Hahn-Banach (Corolário 2.24), se x0 ∈ E é tal que ‖x0‖ = 1 e Ax0 6= 0, então existe g ∈ F ∗
tal que
‖g‖ = 1 e g (Ax0) = ‖Ax0‖ .
Logo
‖A∗g‖
‖g‖ = ‖A
∗g‖ > |〈A
∗g, x0〉|
‖x0‖ = |〈g,Ax0〉| = ‖Ax0‖ .
Assim,
‖A∗‖ > ‖Ax0‖
para todo x0 ∈ E tal que ‖x0‖ = 1, donde
‖A∗‖ > sup
‖x0‖=1
‖Ax0‖ = ‖A‖ .
¥
Usaremos a seguinte noção padrão no que se segue.
Rodney Josué Biezuner 30
3.13 Definição. Sejam E, F espaços vetoriais e A : E −→ F um operador linear. O núcleo de A é o
subespaço vetorial de E definido por
N (A) = {x ∈ E : Ax = 0}
e a imagem de A é o subespaço vetorial de F definido por
R (A) = {y ∈ F : y = Ax para algum x ∈ E} .
Uma das razões de se considerar operadores adjuntos é dada a seguir. Muitos problemas em matemática
pura e aplicada podem ser formulados da seguinte forma: dados espaços vetoriais normados E,F e um
operador linear A : E −→ F , encontrar uma solução para a equação
Ax = y.
Se y ∈ R (A), esta equação possuir uma solução x. Então, para cada g ∈ F ∗ nós temos
g (Ax) = g (y)
e tomando o operador adjunto segue que
(A∗g) (x) = g (y)
Se g ∈ N (A∗), isto dá
g (y) = 0
Portanto, uma condição necessária para que y ∈ R (A) é que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗). A questão
fundamental a ser respondida é se esta condição também é suficiente. Em dimensão finita, esta condição é
verdadeira, conhecida como a alternativa de Fredholm. Veremos como essa condição é traduzida para espaços
vetoriais normados em geral. Antes, estabelecemos notação.
3.14 Definição. Sejam E um espaço vetorial normado e V ⊂ E um subespaço vetorial. O anulador de V
é o subespaço vetorial V ⊥ de E∗ dos funcionais lineares que anulam V , isto é,
V ⊥ = {f ∈ E∗ : f (x) = 0 para todo x ∈ V } .
Analogamente, se W é um subespaço vetorial de E∗, o anulador de W é o subespaço vetorial W⊥ de
E dos vetores que são anulados pelos funcionais lineares de W , ou seja,
W⊥ = {x ∈ E : f (x) = 0 para todo f ∈ W} .
3.15 Proposição. Se E é um espaço vetorial normado, V é um subespaço vetorial de E e W é um subespaço
vetorial de E∗, então V ⊥ e W⊥ são fechados. Além disso,
(
V ⊥
)⊥
= V
e (
W⊥
)⊥ ⊃ W
Prova. Seja {fn}n∈N ⊂ V ⊥ tal que fn → f em E∗. Então
fn (x) → f (x) para todo x ∈ E.
Em particular isso vale para x ∈ V , logo f (x) = 0 para todo x ∈ V , donde f ∈ V ⊥.
Rodney Josué Biezuner 31
Seja {xn}n∈N ⊂ W⊥ tal que xn → x em E. Então
f (xn) → f (x) para todo f ∈ E∗
pois f é cont́ınuo. Em particular isso vale para f ∈ W , logo f (x) = 0 para todo f ∈ W , donde x ∈ W⊥.
Claramente V ⊂ (V ⊥)⊥ e como (V ⊥)⊥ é fechado, segue que V ⊂ (V ⊥)⊥. Reciprocamente, suponha por
absurdo que existe x0 ∈
(
V ⊥
)⊥ tal que x0 /∈ V . Pelo teorema de Hahn-Banach existe f ∈ E∗ tal que f ≡ 0
em V e f (x0) 6= 0. Mas então f ∈ V ⊥ e não podemos ter x0 ∈
(
V ⊥
)⊥. ¥
Em particular, se V é um subespaço fechado de E, vale a igualdade
(
V ⊥
)⊥
= V.
Veremos no próximo caṕıtulo que se E é reflexivo vale a igualdade
(
W⊥
)⊥
= W
3.16 Teorema. Sejam E, F espaços vetoriais normados e A : E −→ F uma aplicação linear. Então vale:
(i) N (A) = R (A∗)⊥ .
(ii) N (A∗) = R (A)⊥ .
(iii) R (A) = N (A∗)⊥ .
(iv) R (A∗) ⊂ N (A)⊥ .
Prova. (i) Se x ∈ N (A), então
〈A∗g, x〉 = 〈g, Ax〉 = 〈g, 0〉 = 0
para todo g ∈ F ∗, ou seja, x ∈ R (A∗)⊥. Reciprocamente, se x ∈ R (A∗)⊥, então
〈g, Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 0
para todo g ∈ F ∗, ou seja, Ax = 0 e x ∈ N (A).
(ii) Se g ∈ N (A∗), então
〈g,Ax〉 = 〈A∗g, x〉 = 〈0, x〉 = 0
para todo x ∈ E, logo g ∈ R (A)⊥. Reciprocamente, se g ∈ R (A)⊥, então
〈A∗g, x〉 = 〈g, Ax〉 = 0
para todo x ∈ E, logo A∗g = 0 e g ∈ N (A∗).
(iii) e (iv) decorrem da aplicação da proposição anterior a (ii) e (i), respectivamente. ¥
3.17 Corolário. Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita e A : E −→ E um operador linear.
Então
A é injetiva se e somente se A∗ é sobrejetiva
e
A é sobrejetiva se e somente se A∗ é injetiva.
No caso de espaços de Banach mais gerais, podemos concluir que se A é sobrejetiva então A∗ é injetiva:
3.18 Teorema. Sejam E, F espaços de Banach e A : E −→ F uma aplicação linear fechada. Então são
equivalentes
(i) R (A) = F.
Rodney Josué Biezuner 32
(ii) A∗ é limitado inferiormente.
(iii) A é uma aplicação aberta.
Prova. Pelo teorema do gráfico fechado, A é limitada.
(i)⇒(ii) Como A é sobrejetiva, pelo teorema da aplicação aberta existe r > 0 tal que A (B1 (0)) ⊃ Br (0).
Logo,
‖A∗g‖ = sup
‖x‖61
|〈A∗g, x〉| = sup
‖x‖61
|〈g, Ax〉| > r sup
‖y‖61
|〈g, y〉| = r ‖g‖ .
(ii)=⇒(iii)Vamos mostrar que A satisfaz o primeiro passo da demonstração do teorema da aplicação aberta:
existe r > 0 tal que
A (B1 (0)) ⊃ Br (0) .
Como A é limitada, seguirá do segundo passo da demonstração daquele teorema que A é aberta. Seja r > 0
tal que
‖A∗g‖ > r ‖g‖
para todo g ∈ F ∗. Equivalentemente, mostraremos que se y0 /∈ A (B1 (0)), então ‖y0‖ > r. Aplicando a
segunda forma geométrica do teorema de Hanh-Banach aos conjuntos convexos {y} e A (B1 (0)), obtemos
g ∈ F ∗ tal que
|g (y)| < 1 < |g (y0)|
para todo y ∈ A (B1 (0)) (podemos tomar g = f/α para f, α do enunciado daquele teorema). Em particular,
isto implica que
‖A∗g‖ = sup
‖x‖61
|〈A∗g, x〉| = sup
‖x‖61
|〈g, Ax〉| 6 1
e
r < r |g (y0)| 6 r ‖g‖ ‖y0‖ 6 ‖A∗g‖ ‖y0‖ 6 ‖y0‖ ,
conforme queŕıamos.
(iii)⇒(i) Como A é aberta, R (A) é um subespaço vetorial aberto de F . Isso só é posśıvel se R (A) = F . ¥
3.19 Teorema. (Teorema da Imagem Fechada de Banach) Sejam E,F espaços de Banach e A : E −→ F
uma aplicação linear fechada. Então são equivalentes
(i) R (A) é fechado.
(ii) R (A∗) é fechado.
(iii) R (A) = N (A∗)⊥ .
(iv) R (A∗) = N (A)⊥ .
Prova. (i)⇔(iii) segue diretamente do Teorema 3.16, logo é suficiente provar a cadeia de implicações
(i)⇒(iv)⇒(ii)⇒(i).
(i)⇒(iv) Pelo Teorema 3.16, temos R (A∗) ⊂ N (A)⊥, logo resta apenas mostrar que N (A)⊥ ⊂ R (A∗). Seja
f ∈ N (A)⊥; vamos obter g ∈ F ∗ tal que A∗g = f . Defina um funcional linear g0 : R (A) −→ R por
g0 (Ax) = f (x)
para todo x ∈ E. g0 está bem definido, porque se Ax1 = Ax2 então x1 − x2 ∈ N (A), logo f (x1 − x2) = 0.
Para ver que g0 é limitada, considere a restrição de contradomı́nio A : E −→ R (A); como R (A) é um
subespaço vetorial fechado de um espaço de Banach, ele também é um espaço de Banach e podemos aplicar
o teorema da aplicação aberta para concluir que existe r > 0 tal que
A (B1 (0)) ⊃ Br (0)R(A)
Rodney Josué Biezuner 33
onde Br (0)R(A) denota a bola aberta de centro na origem e raio r no espaço de Banach R (A). Isso implica
que existe C > 0 tal que para todo y ∈ R (A) existe x ∈ E satisfazendo Ax = y e ‖x‖ 6 C ‖y‖. De fato, se
y ∈ R (A), então r
2 ‖y‖y ∈ Br (0)R(A), logo existe z ∈ B1 (0) tal que
Az =
r
2 ‖y‖y
e podemos tomar
x =
2 ‖y‖
r
z
de modo que Ax = y e ‖x‖ 6 r
2
‖y‖. Dáı,
|g0 (y)| = |g0 (Ax)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ 6 C ‖f‖ ‖y‖ .
Portanto, pelo teorema de Hahn-Banach g0 pode ser estendida a um funcional g ∈ F ∗ com
〈A∗g, x〉 = 〈g,Ax〉 = 〈g0, Ax〉 = f (x) .
(iv)⇒(ii) Pelo Teorema 3.16,
R (A∗) ⊂ R (A∗) ⊂ N (A)⊥ ,
logo se R (A∗) = N (A)⊥, segue que R (A∗) = R (A∗).
(ii)⇒(i) Seja Z = R (A). Como R (A) é denso em Z, o anulador de R (A) em Z só pode ser o funcional nulo.
Defina S : E −→ Z por Sx = Ax (S é uma extensão do contradomı́nio de A). Observe que como A é fechada,
pelo teorema do gráfico fechado A é limitada e portanto S também é. Além disso, R (S) = R (A), donde
R (S)⊥ = 0, como acabamos de observar. Mas, pelo Teorema 3.16, N (S∗) = R (S)⊥, portanto conclúımos
que S∗ é injetiva.
Agora vamos mostrar que R (S∗) = R (A∗). Seja g0 ∈ Z∗. Pelo teorema de Hahn-Banach, existe g ∈ F ∗
extensão de g0. Dáı,〈A∗g, x〉 = 〈g, Ax〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈S∗g0, x〉
para todo x ∈ E, o que mostra que S∗g0 ∈ R (A∗), ou seja, provamos que R (S∗) ⊂ R (A∗). Reciprocamente,
se g ∈ F ∗, considere a restrição g0 = g|Z . Temos, de modo análogo,
〈S∗g0, x〉 = 〈g0, Sx〉 = 〈g, Sx〉 = 〈g, Ax〉 = 〈A∗g, x〉
para todo x ∈ E, donde R (A∗) ⊂ R (S∗). Por hipótese, temos então que R (S∗) é fechado, portanto é um
espaço de Banach, já que é um subespaço vetorial fechado do espaço de Banach Z∗ (lembre-se que o dual de
um espaço vetorial normado sempre é um espaço de Banach).
Obtemos então que a restrição de contradomı́nio S∗ : Z∗ −→ R (S∗) é um operador linear cont́ınuo
bijetivo. Pelo Corolário 3.7, a inversa (S∗)−1 existe e é cont́ınua. Em particular, S∗ é limitada inferiormente
e existe m > 0 tal que
‖S∗g0‖ > m ‖g0‖
para todo g0 ∈ Z∗. O teorema anterior implica que R (S) = Z, logo R (A) = Z e portanto R (A) é fechado.
¥
Portanto, se R (A) é fechado (por exemplo, se A for limitado), uma condição necessária e suficiente para que
y ∈ R (A) é que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗).
Rodney Josué Biezuner 34
3.4 Exerćıcios
3.1 Seja T : E −→ F um operador linear limitado inferiormente tal que Im T é um subespaço fechado de
F . Mostre que T−1 é um operador linear fechado.
3.2 Mostre que se a inversa de um operador linear fechado existir, então ela também é um operador linear
fechado.
3.3 Mostre que operador linear D : C1 ([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definido por
Df = f ′
é fechado.
3.4 Seja
E =
{
f ∈ C ([0, 1]) : existe lim
t→0+
f (t)
t
}
.
Defina uma aplicação linear T : E −→ C ([0, 1]) por
Tf (t) =



f (t)
t
se t 6= 0,
lim
t→0+
f (t)
t
se t = 0.
Mostre que T é fechado.
3.5 Sejam E, F espaços de Banach e {Tn}n∈N ⊂ L (E, F ) tal que {f (Tnx)}n∈N é uma sequência limitada
para todo x ∈ E e para todo f ∈ F ∗. Mostre que {Tn}n∈N é uniformemente limitada.
3.6 Se E,F são espaços vetoriais normados, mostre que (E × F )∗ = E∗ × F ∗.
3.7 Considere o seguinte subespaço de `1:
F =
{
(xn)n∈N ∈ `1 :
∞∑
n=1
n |xn| < ∞
}
a) Mostre que F é um subespaço vetorial próprio denso de `1, portanto F não é um espaço de
Banach.
b) Verifique que a aplicação linear T : F −→ `1 definida por
T
(
(xn)n∈N
)
= (nxn)n∈N
é uma aplicação fechada que não é limitada.
c) Mostre que a inversa de T está bem definida, é limitada, sobrejetiva, mas não é aberta.
3.8 Sejam E, F espaços de Banach e T : E −→ F um operador linear limitado. Suponha que existam um
espaço de Banach G e operadores lineares A : E −→ G e B : G −→ F tais que T = B ◦ A. Usando o
teorema do gráfico fechado, mostre que se B é limitado e injetivo, então A é limitado.
3.9 Sejam E um espaço de Banach e F um espaço vetorial normado. Seja {Tn}n∈N ⊂ L (E, F ) uma sequência
de operadores lineares limitados tal que sup
n∈N
‖Tn‖ = ∞. Mostre que existe um ponto x ∈ E tal que
sup
n∈N
‖Tnx‖ = ∞.
Rodney Josué Biezuner 35
3.10 Sejam E, F espaços de Banach. Se T : E −→ F é uma aplicação linear tal que f ◦ T ∈ E∗ para todo
f ∈ F ∗, mostre que T é limitada.
3.11 Sejam L,M subespaços vetoriais fechados de um espaço vetorial normado E. Mostre que se L 6= M ,
então L⊥ 6= M⊥.
3.12 Sejam E um espaço de Banach e F um subespaço vetorial próprio de E. Mostre que se T0 : F −→ `∞
é uma aplicação linear limitada, então T se estende a uma aplicação linear limitada T : E −→ `∞ com
‖T‖ = ‖T0‖.
3.13 Considere `∞ e suponha que ‖·‖ é outra norma em `∞ tal que (`∞, ‖·‖) também é um espaço de
Banach. Se para cada i ∈ N a projeção na i-ésima coordenada πi
(
(xn)n∈N
)
= xi é cont́ınua na norma
‖·‖, mostre que existe uma constante C > 0 tal que
‖x‖ 6 C ‖x‖`∞
para todo x ∈ `∞ (sugestão: use o teorema do gráfico fechado). Conclua que as normas ‖·‖`∞ e ‖·‖
são equivalentes.
3.14 Mostre que a aplicação identidade I :
(
C0 [0, 1] , L1
) −→ (C0 [0, 1] , L∞) tem gráfico fechado mas não
é limitada.
Caṕıtulo 4
Espaços Reflexivos
4.1 Espaços Reflexivos
Seja E um espaço vetorial normado. Denote
(E∗)∗ = E∗∗.
E∗∗ é chamado o espaço bidual de E. Podemos definir um operador linear limitado canônico
J : E −→ E∗∗ (4.1)
da seguinte forma: para cada x ∈ E, o funcional linear limitado Jx : E∗ −→ R é dado por
(Jx) (f) = f (x) (4.2)
para todo f ∈ E∗. De fato, Jx é um funcional linear limitado em E∗ pois
|(Jx) (f)| = |f (x)| 6 ‖f‖ ‖x‖ = ‖x‖ ‖f‖ ,
ou seja,
‖Jx‖ 6 ‖x‖ .
Além disso, J é realmente uma isometria de E sobre sua imagem J (E). Com efeito, pelo teorema de
Hahn-Banach, para cada x ∈ X existe um funcional linear f0 ∈ E∗ tal que ‖f0‖ = 1 e f0 (x) = ‖x‖, logo
‖Jx‖ = sup
‖f‖=1
|(Jx) (f)| > |(Jx) (f0)| = f0 (x) = ‖x‖ ,
portanto
‖Jx‖ = ‖x‖ (4.3)
para todo x ∈ E. Em particular, J é injetivo. Se J for também sobrejetivo, dizemos que E é reflexivo.
Isso implica que J é ao mesmo tempo um isomorfismo e uma isometria, em particular é um isomorfismo
topológico. Como E∗∗ = (E∗)∗ é um espaço de Banach, segue que uma condição necessária para que um
espaço vetorial normado seja reflexivo é que ele seja de Banach. Em vista disso, definimos
4.1 Definição. Dizemos que um espaço de Banach E é reflexivo se o operador J : E −→ E∗∗ for um
isomorfismo isométrico.
É importante saber que E e E∗∗ serem isometricamente isomorfos através de um isomorfimo isométrico
diferente do operador J não garante que E seja reflexivo, pois pode ocorrer que apesar disso o operador J
não seja sobrejetivo (veja [James1] e [James2]).
Todo espaço vetorial normado de dimensão finita é reflexivo (veja Exerćıcio 4.1). Existem importante
exemplos de espaços de Banach de dimensão infinita que não são reflexivos, como veremos mais tarde.
36
Rodney Josué Biezuner 37
4.2 Teorema. Seja E um espaço reflexivo. Se F ⊂ E é um subespaço vetorial fechado, então F é reflexivo.
Prova. Dado f∗ ∈ F ∗ temos que mostrar que existe x ∈ F tal que f∗ = Jx. Considere a submersão
cont́ınua I : E∗ ↪→ F ∗ definida por
If = f |F .
Pelo teorema de Hahn-Banach a submersão é sobrejetiva, pois todo funcional linear limitado definido em F
se estende a um funcional linear limitado definido em E (obviamente ela não é injetiva se F é um subespaço
próprio de E). Esta submersão é cont́ınua pois
‖If‖F∗ = sup
x∈F\{0}
|If (x)|
‖x‖ = supx∈F\{0}
|f (x)|
‖x‖ 6 supx∈E\{0}
|f (x)|
‖x‖ = ‖f‖E∗ ,
logo
‖If‖ = sup
f∈E∗\{0}
‖If‖F∗
‖f‖E∗
6 1.
Através desta submersão, f∗ induz um funcional linear g∗ ∈ E∗∗ quando definimos
g∗ (f) = (f∗ ◦ I) (f) = f∗ (f |F ) .
Como E é reflexivo, existe x ∈ E tal que g∗ = Jx, ou seja,
f∗ (f |F ) = (Jx) (f)
para todo f ∈ E. Afirmamos que x ∈ F . De fato, se x /∈ F , como F é fechado podemos aplicar o teorema
de Hahn-Banach para concluir que existe um funcional linear f0 que se anula em F tal que f0 (x) = 1 o que
é uma contradição, pois
f∗ (f0|F ) = 0
enquanto que
(Jx) (f0) = f0 (x) = 1.
¥
Um subespaço vetorial de um espaço reflexivo que não é fechado obviamente não pode ser reflexivo, já que
todo espaço reflexivo é de Banach.
4.3 Proposição. Se E é um espaço reflexivo e W é um subespaço vetorial de E∗, então
(
W⊥
)⊥
= W.
Prova. Já vimos na Proposição 4.15 que
(
W⊥
)⊥ ⊃ W . Suponha por absurdo que existe f0 ∈
(
W⊥
)⊥ tal que
f0 /∈ W . Pelo teorema de Hahn-Banach, existe f∗ ∈ E∗∗ tal que f∗ (f) = 0 para todo f ∈ W e f∗ (f0) 6= 0.
Como E é reflexivo, existe x ∈ E tal que f∗ (f) = f (x) para todo f ∈ E∗. Em particular, f (x) = 0 para
todo f ∈ W , logo x ∈ W⊥. Mas então f0 (x) = 0, pois f0 ∈
(
W⊥
)⊥, contradizendo f0 (x) = f∗ (f0) 6= 0. ¥
4.4 Teorema. Seja E um espaço de Banach. Então E é um espaço reflexivo se e somente se E∗ for.
Prova. Suponha que E seja reflexivo. Sejam J : E −→ E∗∗ e J∗ : E∗ −→ E∗∗∗ as aplicações canônicas,
isto é,
(Jx) (f) = f (x)
e
(J∗f) (f∗) = f∗ (f) .
Rodney Josué Biezuner 38
Seja f∗∗ ∈ E∗∗∗. Para provar que E∗ é reflexivo, precisamos encontrar f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f . Considere
f := f∗∗ ◦ J ∈ E∗:
E
J−→ E∗∗f
∗∗
−→ R.
Logo,
f∗∗ (Jx) = f (x) = (Jx) (f)
para todo x ∈ E. Como E é reflexivo, para todo f∗ ∈ E∗∗ existe x ∈ E tal que f∗ = Jx. Substituindo na
última equação acima, segue que
f∗∗ (f∗) = f∗ (f)
para todo f∗ ∈ E∗∗, ou seja,
f∗∗ = J∗f.
Reciprocamente, suponha que E∗ é reflexivo. Para provar que E também é reflexivo, observamos em
primeiro lugar que porque E é um espaço de Banach, o subespaço vetorial R (J) é um subespaço fechado de
E∗∗. De fato, como J é uma isometria, se Jxn → f∗ em E∗∗ então em particular {xn} é uma sequência de
Cauchy em E. Como E é um espaço de Banach, existe x ∈ E tal que xn → x em E. Logo, Jxn → Jx e
portanto f∗ = Jx ∈ R (J).
Suponha por absurdo que R (J) 6= E∗∗. Seja f∗ ∈ E∗∗\R (J). Pelo teorema de Hahn-Banach, existe
f∗∗ ∈ E∗∗∗ tal que f∗∗ = 0 em R (J) e f∗∗ (f∗) 6= 0. Como E∗ é reflexivo, existe f ∈ E∗ tal que f∗∗ = J∗f
. Dáı, para todo x ∈ E vale
f (x) = (Jx) (f) = (J∗f) (Jx) = f∗∗ (Jx) = 0,
isto é, f é o funcional nulo. Mas
f∗ (f) = (J∗f) (f∗) = f∗∗ (f∗) 6= 0,
contradição. ¥
4.2 Espaços Separáveis
Lembramos que um espaço topológico é separável se ele possui um subconjunto denso enumerável.
4.5 Teorema. Seja E um espaço vetorial normado. Se E∗ é separável, então E também é.
Prova. Seja {fn}n∈N um subconjunto enumerável denso em E∗. Como
‖fn‖ = sup
x∈E
‖x‖=1
|fn (x)| ,
podemos escolher para cada n um elemento xn ∈ E tal que ‖xn‖ = 1 e
|fn (xn)| > ‖fn‖2 .
Seja
M = 〈x1, x2, . . .〉
o fecho do subespaço gerado pelo conjunto {xn}n∈N. Observe que M é separável, pois o subconjunto das
combinações lineares dos xn com coeficientes racionais formam um subconjunto enumerável denso em M .
Afirmamos que M = E. De fato, se x0 ∈ E\M , pelo teorema de Hahn-Banach (Corolário 2.23) existe
f ∈ E∗ ∩M⊥ tal que ‖f‖ = 1 e f (x0) 6= 0. Em particular, f (xn) = 0 para todo n, logo
‖fn‖
2
6 |fn (xn)| = |fn (xn)− f (xn)| 6 ‖fn − f‖ ‖xn‖ = ‖fn − f‖ ,
Rodney Josué Biezuner 39
donde
1 = ‖f‖ 6 ‖fn − f‖+ ‖fn‖ 6 3 ‖fn − f‖ ,
ou seja,
‖fn − f‖ > 13 ,
contradizendo o fato que {fn} é denso em E∗. ¥
Vale a rećıproca quando E é um espaço reflexivo:
4.6 Corolário. Se E é um espaço reflexivo separável, então E∗ também é.
Prova. Pela Proposição 4.4 temos que E∗ é reflexivo. Para mostrar que E∗ é separável, pelo teorema
anterior basta provar que E∗∗ é separável. Seja {xn}n∈N um subconjunto enumerável denso em E. Dado
f∗ ∈ E∗∗, existe x ∈ E tal que Jx = f∗, e dado ε > 0 existe n ∈ N tal que ‖xn − x‖ < ε. Como J é uma
isometria, segue que ‖Jxn − f∗‖ < ε. Vemos portanto que {Jxn}n∈N é um subconjunto enumerável denso
em E∗∗. ¥
4.3 Exemplo 1: Espaços `p
Os espaços `p (n) tem dimensão finita, logo são reflexivos (veja o Exerćıcio 4.1). Por outro lado, os espaços
`p são reflexivos se e somente se 1 < p < ∞, isto é, `1 e `∞ são exemplos de espaços de Banach que não são
espaços reflexivos. Vamos provar estes fatos, além de alguns fatos auxiliares que por si só já são muito úteis.
4.7 Proposição. `p são espaços separáveis para 1 6 p < ∞.
Prova. Seja
en = (0, . . . , 0, 1
n
, 0, . . .),
de modo que todo elemento x ∈ `p se escreve de maneira única na forma
x =
∞∑
n=1
xnen.
[Como veremos mais tarde, {en}n∈N é uma base de Schauder para `p.] Então o conjunto de todas as
combinações lineares com coeficientes racionais dos en é um subconjunto enumerável denso em `p.¥
4.8 Proposição. `∞ não é separável.
Prova. Observe que em `∞, o fecho do subespaço gerado por {en}n∈N é apenas o subespaço `∞0 das
sequências convergentes para 0. Para ver que `∞ não é enumerável, considere o subconjunto não-enumerável
{0, 1}ω ⊂ `∞ das sequências cujos elementos são apenas 0 ou 1 (uma tal sequência tem norma 1 em `∞).
Se x, y ∈ {0, 1}ω e x 6= y, então ‖x− y‖`∞ = 1, logo existe um número não-enumerável de bolas com centro
nos pontos de {0, 1}ω e raio 1/2 que não se interceptam. ¥
4.9 Proposição. Se 1 < p < ∞, então
(`p)∗ = `p
′
no sentido que estes espaços são isometricamente isomorfos.
Prova. Afirmamos que a aplicação linear
Φ : `p
′ −→ (`p)∗
y 7→ f (x) =
∞∑
n=1
xnyn.
Rodney Josué Biezuner 40
é um isomorfismo isométrico. Pela desigualdade de Hölder temos
|f (x)| 6
∞∑
n=1
|xnyn| 6 ‖y‖`p′ ‖x‖`p ,
de modo que f ∈ (`p)∗ e
‖f‖(`p)∗ 6 ‖y‖`p′ , (4.4)
logo Φ é cont́ınua.
Agora exibiremos a inversa de Φ e mostraremos que ela também é cont́ınua. Já vimos que todo elemento
x ∈ `p se escreve de maneira única na forma
x =
∞∑
n=1
xnen.
Então, dado f ∈ (`p)∗, por continuidade temos
f (x) =
∞∑
n=1
xnf (en) .
De fato, se para cada k ∈ N denotamos
zk =
k∑
n=1
xnen,
por linearidade temos
f (zk) =
k∑
n=1
xnf (en) .
de modo que
f (x) = f
(
lim
k→∞
zk
)
= lim
k→∞
f (zk) = lim
k→∞
k∑
n=1
xnf (en) =
∞∑
n=1
xnf (en) .
Notando que f (en) = (Φy) (en) = yn, vemos agora que a inversa de Φ é dada por
Ψ : (`p)∗ −→ `p′
f 7→ (f (en))n∈N
Para mostrar que Ψ está de fato bem definida e é cont́ınua, defina zk ∈ `p por
z
(i)
k =



|f (ei)|p
′
f (ei)
se i 6 k e f (ei) 6= 0,
0 se i > k ou f (ei) = 0,
de modo que
f (zk) =
k∑
n=1
|f (en)|p
′
.
Temos
|f (zk)| 6 ‖f‖ ‖zk‖ = ‖f‖
(
k∑
n=1
|f (en)|(p
′−1)p
)1/p
= ‖f‖
(
k∑
n=1
|f (en)|p
′
)1/p
,
Rodney Josué Biezuner 41
já que p = p′/ (p′ − 1), logo
k∑
n=1
|f (en)|p
′
= f (zk) = |f (zk)| 6 ‖f‖(`p)∗
(
k∑
n=1
|f (en)|p
′
)1/p
,
donde (
k∑
n=1
|f (en)|p
′
)1/p′
6 ‖f‖(`p)∗ .
Tomando o limite quando k →∞, segue que
‖(f (en))‖`p′ 6 ‖f‖(`p)∗ , (4.5)
ou seja, a inversa Ψ também está bem definida e é cont́ınua.
Juntando as desigualdades (4.5) e (4.4) vemos que Φ é uma isometria. ¥
4.10 Proposição. `p é um espaço reflexivo se 1 < p < ∞.
Prova. Embora a aplicação do resultado anterior duas vezes produza
(`p)∗∗ =
(
`p
′)∗
= `p,
isso por si só não prova a reflexividade de `p, pois, como já observamos antes, a existência de um isomorfismo
isométrico arbitrário não garante a sobrejetividade da aplicação canônica J . No entanto, como vimos na
demonstração da proposição anterior, como (`p)∗ = `p
′
, a cada g ∈ (`p)∗∗ corresponde um funcional g̃ ∈(
`p
′
)∗
tal que g (f) = g̃ (y), onde
f (x) =
∞∑
n=1
xnyn
para todo x ∈ `p. Analogamente, como
(
`p
′
)∗
= `p, a cada g̃ ∈
(
`p
′
)∗
corresponde um elemento x ∈ `p tal
que
g̃ (y) =
∞∑
n=1
xnyn
para todo y ∈ `p′ . Portanto,
g (f) = g̃ (y) =
∞∑
n=1
xnyn = f (x) = (Jx) (f) .
¥
4.11 Proposição. (
`1
)∗
= `∞
no sentido que estes espaços são isometricamente isomorfos.
Prova. Como na demonstração do resultado anterior, mostraremos que a aplicação linear
Φ : `∞ −→ (`1)∗
y 7→ f (x) =
∞∑
n=1
xnyn.
Rodney Josué Biezuner 42
é um isomorfismo isométrico. Pela desigualdade de Hölder temos
|f (x)| 6
∞∑
n=1
|xnyn| 6 ‖y‖`∞ ‖x‖`1 ,
de modo que f ∈ (`1)∗ e
‖f‖(`1)∗ 6 ‖y‖`∞ , (4.6)
logo Φ é cont́ınua.
A inversa de Φ, como na demonstração do teorema anterior é dada por
Ψ :
(
`1
)∗ −→ `∞
f 7→ (f (en))n∈N
Como ‖en‖`1 = 1, temos
|f (en)| 6 ‖f‖(`1)∗ ‖en‖`1 = ‖f‖(`1)∗ ,
de modo que Ψ está bem definida e
‖(f (en))‖`∞ = sup
n∈N
|f (en)| 6 ‖f‖(`p)∗ . (4.7)
(4.6) e (4.7) provam que Φ é uma isometria. ¥
4.12 Proposição.
(`∞)∗ 6= `1.
Prova. Se tivéssemos (`∞)∗ = `1, como `1 é separável, `∞ também seria pelo Teorema 4.5, contradizendo
a Proposição 4.8. ¥
4.13 Corolário. `1 e `∞ não são reflexivos.
Prova. Como `1 é separável, enquanto que o seu dual é isometricamente isomorfo a `∞, que não é separável,
segue do Corolário 4.6 que `1 não é reflexivo. Consequentemente, pelo Teorema 4.4, seu dual também não
pode ser reflexivo, ou seja, `∞ não é reflexivo. ¥
Veja também o Exerćıcio 4.5 para uma demonstração alternativa.
4.4 Espaços Uniformemente Convexos
4.14 Definição. Seja E um espaço vetorial normado. Dizemos que E é uniformemente convexo se para
todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todos x, y ∈ E que satisfazem ‖x‖ , ‖y‖ 6 1 e ‖x− y‖ > ε vale
∥∥∥∥
x + y
2
∥∥∥∥ < 1−