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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - PGMAT
Disciplina: Análise Funcional
Prof.: Gleison Santos
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES - Espaços de Hilbert
Questão 1: Seja I uma coleção de ı́ndices e (E, ‖ · ‖) um espaço vetorial normado.
Para 1 ≤ p < +∞ o conjunto
`p(I;E) =
{
(xλ)λ∈I
∣∣∣ sup
F⊆I
F finito
∑
λ∈F
‖xλ‖p < +∞
}
e para p =∞ defina
`p(I) = {(xλ)λ∈Λ
∣∣∣ sup
λ∈I
‖xλ‖ < +∞}.
a) Prove que `p(I) é um espaço vetorial.
b) Para 1 ≤ p < +∞ considere
‖(xλ)‖`p(I;E) := sup
F⊆I
F finito
(∑
λ∈F
‖xλ‖p
) 1
p
,
e para p = +∞
‖(xλ)‖`∞(I;E) := sup
λ∈Λ
‖xλ‖.
Prove que ‖ · ‖`p(I;E) define uma norma, para todo 1 ≤ p ≤ +∞.
c) Prove que se E é completo então `p(I;E) é completo com relação as norma dada
no ı́tem b).
d) Prove que dado x = (xλ)λ∈I ∈ `p(I;E) com 1 ≤ p < +∞ o conjunto
Jc(x) = {λ ∈ I |‖xλ‖ > c}
é finito.
e) Prove que dado x = (xλ)λ∈I ∈ `p(I;E) com 1 ≤ p < +∞ o conjunto
J(x) = {λ ∈ I |xλ 6= 0}
é enumerável.
Questão 2: Seja E um espaço de Banach e I uma coleção de ı́ndices e 1 ≤ p < +∞.
Dado x = (xλ)λ∈I ∈ `p(I;E) seja J(x) o conjunto dado no ı́tem 1-e).
a) Prove que dada qualquer enumeração σ : N −→ I tem-se
+∞∑
n=1
‖xσ(n)‖p
é convergente. b) Dadas enumerações
σ1, σ2 : N −→ I
tem-se
+∞∑
n=1
xσ1(n) =
+∞∑
n=1
‖xσ(n)‖p.
1
2
Questão 3: Seja E um espaço de Banach e I uma coleção de ı́ndices e 1 ≤ p < +∞.
Dado x = (xλ)λ∈I ∈ `p(I;E) seja J(x) o conjunto dado no ı́tem 1-e). Defina∑
λ∈I
‖xλ‖p =
+∞∑
n=1
‖xσ(n)‖p,
para uma bijeção qualquer.
Questão 4: Prove que `p(N; K), onde K = R ou C coincide com os espaços
de sequências p-somáveis `p.
Questão 5: Seja H um espaço de Hilbert H e S0 ⊆ H ortonormal. Prove que H
admite um sistema ortonormal completo S = {eλ | λ ∈ I} que contém S0.
Questão 6: Seja H um espaço de Hilbert.
a) Prove que H é isometricamente isomorfo a `2(I;K) para algum conjunto de
ı́ndices I.
b) Prove que H é separável se, e somente se, o conjunto I do ı́tem 6-a) é enumerável.
Questão 7: Seja H um espaço de Hilbert e seja K um subconjunto fecha de
convexo. Dado x ∈ H denotemos, para cada u = PK(x) o único vetor de K tal que
‖u− x‖ = dist(x,M).
a) Prove que
‖v − u‖2 ≤ ‖v − x‖2 − ‖u− x‖2, ∀ v ∈ K.
b) Conclua que
‖v − u‖ ≤ ‖v − x‖, ∀ v ∈ K.
Questão 8: [Projeção sobre um cone covexo] Seja H um espaço de Hilbert e seja
K ⊆ H um cone convexo que contém a origem, i.e 0 ∈ K e
t1, t2 > 0, u, v ∈ K =⇒ t1u+ t2v ∈ K.
Assuma que K é fechado. Prove que u = PKx é caracterizado pela seguinte pro-
priedade:
〈x− u, v〉 ≤ 0, ∀ v ∈ K e 〈x− u, u〉 = 0.
Questão 9: Seja (X,Σ, µ) um espaço e medida e seja h : X −→ [0,+∞) uma
função mesnurável. Considere H = L2(X,Σ, µ) e
K = {f ∈ H ; |f(x)| ≤ h(x), q.t.p}
a) Prove que K é um subconjunto convexo fechado de H.
b) Determine quem é PK .
Questão 10: Seja H um espaço de Hilbert e {En}n∈N uma famı́lia enumerável
de subespaços fechados tais que En ⊥ Em para todo m 6= m. Para cada x ∈ H,
considere un = PEnx. Prove que são equivalentes:
a) span
(
+∞⋃
n=1
En
)
é denso em H.
3
b) Dado x ∈ H vale
x =
∞∑
n=1
un.
c) Dado x ∈ H vale
‖x‖2 =
∞∑
n=1
‖un‖2.
d) Dados x, y ∈ H sejam un = PEn(x) e vn = PEn(y) as projeções de x, y em En
respectivamente. Então
〈x, y〉 =
∞∑
n=1
〈un, vn〉.
Observação: Quando vale qualquer uma das condições a) , b) , c) ou d) dizemos
que H é a soma de Hilbert dos espaços En e denotamos
H =
+∞⊕
n=1
En.