Exercicio Serie de Fourier

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Processamento Digital de Sinais
Engenharia de Computação
Prof. Anderson Duarte Betiol
IFSP– Birigui
Exercícios
Série de Fourier
Calcule a série Trigonométrica de Fourier da função periódica
g (t)= |t | para −π≤ t <π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 1 / 13
Exercícios
Série de Fourier
Calcule a série Trigonométrica de Fourier da função periódica
g (t)= |t | para −π≤ t <π
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 1 / 13
Exercícios
Série de Fourier
Calcule a série Trigonométrica de Fourier da função periódica
g (t)= |t | para −π≤ t <π
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
Considere
∫
x sen(nx)dx =
sen(nx)−nx cos(nx)
n2
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 1 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Período: T =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
−t para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Período: T = 2π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 2 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt =
2
2π
π
∫
−π
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
(
2×
π×π
2
)
=
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Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
✚π
(
2×✚
π×π
2
)
=
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Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
✚π
(
✓2×
✚π×π
✓2
)
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 3 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
✚π
(
✓2×
✚π×π
✓2
)
=π
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Exercício
Resolução: an
ω0 =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
2
2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt
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Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
2
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 4 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
2
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
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Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
2
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
2
π
[
nπ sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−
n0 sen(n0)+cos(n0)
n2
]
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Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
2
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
2
π


nπ✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−✘
✘✘✘
✘✘✿0n0 sen(n0)+✘✘✘✿1cos(n0)
n2


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Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π
π
∫
−π
|t |cos (nt) dt =
1
π
π
∫
−π
|t |cos(nt) dt =
2
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
2
π


nπ✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−✘
✘✘✘
✘✘✿0n0 sen(n0)+✘✘✘✿1cos(n0)
n2

 =
2
n2π
[cos(nπ)−1]
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Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 5 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2 e para n par,
cos(nπ)−1=0
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Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2 e para n par,
cos(nπ)−1=0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 5 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2 e para n par,
cos(nπ)−1=0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
2
n2π
[cos(nπ)−1]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 5 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2 e para n par,
cos(nπ)−1=0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
2
n2π
[cos(nπ)−1]
ak =
2
(2k −1)2π
[−1−1]=
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Exercício
Resoluçãon cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2 e para n par,
cos(nπ)−1=0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
2
n2π
[cos(nπ)−1]
ak =
2
(2k −1)2π
[−1−1]=
−4
(2k −1)2π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 5 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 6 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
2
2π
π
∫
−π
|t |sen(nt) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 6 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
2
2π
π
∫
−π
|t |sen(nt) dt
Como |t | é uma função par e sen é uma função ímpar, o produto será uma função ímpar
e a integral será nula no intervalo simétrico.
bn =0
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 6 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
2
2π
π
∫
−π
|t |sen(nt) dt
Como |t | é uma função par e sen é uma função ímpar, o produto será uma função ímpar
e a integral será nula no intervalo simétrico.
bn =0
Solução final
g(t)=
a0
2
+
∞
∑
n=1
[an cos(nω0t)+bn sen(nω0t)]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 6 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
2
2π
π
∫
−π
|t |sen(nt) dt
Como |t | é uma função par e sen é uma função ímpar, o produto será uma função ímpar
e a integral será nula no intervalo simétrico.
bn =0
Solução final
g(t)=
a0
2
+
∞
∑
n=1
[an cos(nω0t)+bn sen(nω0t)]
g(t)=
π
2
+
∞
∑
k=1
{
−4
(2k −1)2π
cos
[
(2k −1)t
]
}
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 6 / 13
Exercícios
Série de Fourier
Calcule a série Trigonométrica de Fourier da função periódica
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 7 / 13
Exercícios
Série de Fourier
Calcule a série Trigonométrica de Fourier da função periódica
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
Considere
∫
x sen(nx)dx =
sen(nx)−nx cos(nx)
n2
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 7 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 8 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 8 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 8 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Período: T =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 8 / 13
Exercício
Resolução
g (t)=
{
0 para −π≤ t < 0
t para 0≤ t <π
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
Período: T = 2π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 8 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt =
2
2π
π
∫
−π
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
(
π×π
2
)
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
✚π
(
✚π×π
2
)
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: a0
0 π 2π 3π−π−2π−3π
π
tempo
Amplitude
a0 =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t) dt = ✓
2
✓2π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
π
π
∫
−π
g (t) dt =
1
✚π
(
✚π×π
2
)
=
π
2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 9 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
2
2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
1
π
[
nπ sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−
n0 sen(n0)+cos(n0)
n2
]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
1
π


nπ✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−✘
✘✘✘
✘✘✿0n0 sen(n0)+✘✘✘✿1cos(n0)
n2


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução: an
ω0 =
2π
T
=
2π
2π
=1
an =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)cos(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0cos(nt) dt +
π
∫
0
t cos(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t cos(nt) dt
∫
x cos(nx)dx =
nx sen(nx)+cos(nx)
n2
=
1
π


nπ✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)+cos(nπ)
n2
−✘
✘✘✘
✘✘✿0n0 sen(n0)+✘✘✘✿1cos(n0)
n2

 =
1
n2π
[cos(nπ)−1]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 10 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−11 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2
Para n par, cos(nπ)−1= 0
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2
Para n par, cos(nπ)−1= 0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2
Para n par, cos(nπ)−1= 0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
1
n2π
[cos(nπ)−1]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2
Para n par, cos(nπ)−1= 0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
1
n2π
[cos(nπ)−1]
ak =
1
(2k −1)2π
[−1−1]=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução
n cos(nπ) cos(nπ)−1
1 −1 −2
2 1 0
3 −1 −2
4 1 0
Conclusão
Para n ímpar, cos(nπ)−1=−2
Para n par, cos(nπ)−1= 0
Fazendo n = 2k −1 (número ímpar)
an =
1
n2π
[cos(nπ)−1]
ak =
1
(2k −1)2π
[−1−1]=
−2
(2k −1)2π
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 11 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
2
2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π
[
−nπ cos(nπ)+ sen(nπ)
n2
−
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2
]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π


−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2


Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−nπcos(nπ)
n2π
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚nπcos(nπ)
n✁2π
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
−(−1)n
n
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
−(−1)n
n
=
(−1)n+1
n
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
−(−1)n
n
=
(−1)n+1
n(−1)2
=
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
−(−1)n
n
=
(−1)n+1
n(−1)2
=
(−1)n−1
n
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Resolução: bn
bn =
2
T
T/2+t0
∫
−T/2+t0
g (t)sen(nω0t) dt =
✓2
✓2π


0
∫
−π
0sen(nt) dt +
π
∫
0
t sen(nt) dt

 =
1
π
π
∫
0
t sen(nt) dt
∫
x sen(nx)dx =
−nx cos(nx)+ sen(nx)
n2
=
1
π



−nπ cos(nπ)+✘✘✘
✘✘✿0sen(nπ)
n2
−
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘
✘✘✘✿
0
−n0 cos(n0)+ sen(n0)
n2



=
−✚n✚πcos(nπ)
n✁2✚π
=
−cos(nπ)
n
=
−(−1)n
n
=
(−1)n+1
n(−1)2
=
(−1)n−1
n
bn =
(−1)n−1
n
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 12 / 13
Exercício
Solução final
g(t)=
a0
2
+
∞
∑
n=1
[an cos(nω0t)+bn sen(nω0t)]
Prof. Anderson Duarte Betiol Processamento Digital de Sinais 13 / 13
Exercício
Solução final
g(t)=
a0
2
+
∞
∑
n=1
[an cos(nω0t)+bn sen(nω0t)]
g(t)=
π
4
+
∞
∑
k=1
{
−2
(2k −1)2π
cos
[
(2k −1)t
]
+
(−1)k−1 sen(nt)
k
}
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