exerciciosresolvidos_Cal_II

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Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 1
(Esboc¸o de Conjuntos)
Esboce os conjuntos seguintes:
a) {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≥ 1 ; x2 + y2 ≤ 1}
b) {(x, y) ∈ R2 : x2 − 1 ≤ y ≤ 1− x2}
c) {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = 0}
d) {(x, y) ∈ R2 : cos(x + y) = 1}
e) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z ≤ 2 ; x > 1 ; y > 0 ; z > 0}
f) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 > 1 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4}
g) {(x, y, z) ∈ R3 : z >
√
x2 + y2 ; x+ y + 2z ≤ 2}
h) {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 ; y = 1}
i) {(x, y, z) ∈ R3 : z = |x|}
j) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z ≤ 2 ; y > 0 ; z > 0 ; x = 3
2
}
k) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z ≤ 2 ; x > 1 ; y > 0 ; z = 1
2
}
l) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 > 1 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 ; z = 1}
m) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 > 1 ; x2 + y2 + z2 ≤ 4 ; y = 1
2
}
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Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 1
a) Regia˜o entre um quadrado com ve´rtices (±1, 0), (0,±1) e a circunfereˆncia de
raio 1 centrada na origem.
b) Regia˜o entre duas para´bolas que unem os pontos (±1, 0).
c) Unia˜o de duas rectas que bisectam os quadrantes.
d) Unia˜o de uma infinidade de rectas com declive −1 que intersectam o eixo dos
yy nos pontos com ordenada 2kpi sendo k um inteiro qualquer.
e) Piraˆmide com ve´rtice em (2, 0, 0) e base triangular no plano x = 1.
f) Volume compreendido entre um cilindro de raio 1 com eixo Oz e uma esfera
de raio 2 centrada na origem.
g) Volume compreendido entre um cone com ve´rtice na origem, eixo Oz e aber-
tura de 45 graus e uma porc¸a˜o de plano limitada por uma elipse (inscrita
nesse plano).
h) Para´bola contida no plano vertical y = 1.
i) Unia˜o de dois semiplanos paralelos a Oy que fazem um aˆngulo de 45 graus
com o plano xy e que se intersectam no eixo Oy.
j) Um triaˆngulo no plano x =
3
2
.
k) Um triaˆngulo no plano z =
1
2
.
l) Uma regia˜o compreendida entre duas circunfereˆncias (que se chama aˆnulo),
no plano z = 1.
m) Parte de um c´ırculo no plano y =
1
2
.
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 2
(Topologia. Limites. Continuidade)
1. Para cada um dos seguintes conjuntos determine o interior, o exterior e a fronteira e diga,
justificando, se e´ aberto, fechado, limitado ou compacto.
a) {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}
b) {(x, y) ∈ R2 : ln(xy) ≤ 0}
c) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z < 1}
d) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1 ; y = x}
2. Calcule ou mostre que na˜o existem os limites seguintes:
a) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(2,0)
(x − 2)2y2
(x− 2)2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
(x2 + y2)2
sin(x2 + y2)
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
x ln(xy). (Sugesta˜o: Considere a linha dada por y = e−1/x
2
).
3. Estude as func¸o˜es seguintes quanto a` continuidade:
a) f(x, y) = ex
2+3y
b) f(x, y) =
{
x+y√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
c) f(x, y) =
{
cos
(
pi
2 +
x2−y2
x2+y2
)
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y) =
{
x2√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
e) f(x, y) =
{
xy2 sin
(
1
y
)
, se y 6= 0
0 , se y = 0
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 2
1. (a) Interior: {(x, y) : |x| + |y| < 1} ; Exterior {(x, y) : |x| + |y| > 1};
Fronteira {(x, y) : |x| + |y| = 1}; Fecho {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}. O
conjunto na˜o e´ aberto, e´ fechado, e´ limitado e e´ compacto.
(b) Interior: {(x, y) : (x > 0 e 0 < y < 1
x
) ou (x < 0 e 1
x
< y < 0)}
; Exterior: {(x, y) : (x > 0 e (y < 0 ou y > 1
x
)) ou (x < 0 e (y >
0 ou y < 1
x
))}; Fronteira: {(x, y) : x = 0 ou y = 0 ou xy = 1};
Fecho: {(x, y) : (x > 0 e (0 ≤ y ≤ 1
x
)) ou (x < 0 e ( 1
x
≤ y ≤
0) ou x = 0 ou y = 0}. O conjunto na˜o e´ aberto, na˜o e´ fechado, na˜o
e´ limitado e na˜o e´ compacto.
(c) Interior: {(x, y, z) : x2 + y2 < z < 1} ; Exterior: {(x, y, z) : x2 + y2 >
z ou z > 1}; Fronteira: {(x, y) : (z = x2 + y2 e z ≤ 1) ou (z =
1 e x2 + y2 ≤ 1)}; Fecho: {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ z ≤ 1}. O conjunto
na˜o e´ aberto, na˜o e´ fechado, e´ limitado e na˜o e´ compacto.
(d) Interior: ∅; Exterior: {(x, y, z) : x2+y2+z2 > 1 ou y 6= x}; Fronteira
= Fecho = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1 e y = x}. O conjunto na˜o e´
aberto, e´ fechado, limitado e compacto.
2. (a) O limite e´ 0.
(b) O limite e´ 0.
(c) O limite na˜o existe.
(d) O limite e´ 0.
(e) O limite na˜o existe.
(f) O limite na˜o existe.
3. (a) A func¸a˜o e´ cont´ınua em R2.
(b) A func¸a˜o e´ cont´ınua em R2 \ {(0, 0)}.
(c) A func¸a˜o e´ cont´ınua em R2 \ {(0, 0)}.
(d) A func¸a˜o e´ cont´ınua em R2.
(e) A func¸a˜o e´ cont´ınua em R2.
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 3
(Diferenciabilidade)
1. Calcule as derivadas parciais de cada uma das func¸o˜es seguintes:
a) f(x, y) = log(x2 + y2)
b) g(x, y) =
y
x
2. Calcule as derivadas parciais na origem da func¸a˜o: f(x, y) =
{
y
3
x4+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
3. Calcule a matriz Jacobiana de cada uma das func¸o˜es seguintes:
a) f(x, y) = (xy, log(xy))
b) g(x, y, z) = (
√
xy, eyz)
c) h(x, y, z) = (y2, xz − y, z + xy)
d) φ(x, y, z) = y2 − xyz + 2z
e) γ(t) = (t3, e−t,
1
t
)
4. Calcule as derivadas de cada uma das func¸o˜es seguintes no ponto P e segundo o vector v
indicados:
a) f(x, y) = yx ; P = (2, 1) ; v = (1, 1)
b) g(x, y, z) = ez + xy ; P = (1, 1, 1) ; v = (1,−1, 1)
5. Determine um vector segundo o qual a derivada da func¸a˜o f(x, y) = x(y2+xy), no ponto (1, 2)
e´ nula.
6. Mostre que a func¸a˜o f : R2 → R, definida por f(x, y) = y
√
x2 + y2 e´ diferencia´vel na origem e
calcule a respectiva derivada.
7. Considere as func¸o˜es:
i) f(x, y) =
{
x
2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
ii) g(x, y) =
{
xy√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
iii) h(x, y) =
{
x
2
y
2
x4+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Qual destas func¸o˜es e´ diferencia´vel na origem? Justifique.
8. Considere a func¸a˜o: f(x, y) =
{
xy
2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) Calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 1).
b) Calcule a derivada de f no ponto (0, 1) segundo o vector (2, 1).
c) Calcule a derivada de f no ponto (0, 0) segundo o vector (2, 3).
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 3
1. (a) ∂f
∂x
= 2x
x2+y2
; ∂f
∂y
= 2y
x2+y2
.
(b) ∂g
∂x
= − y
x2
; ∂g
∂y
= 1
x
.
2. ∂f
∂x
(0, 0) = 0; ∂f
∂y
(0, 0) = 1.
3. (a)
[
y x
1
x
1
y
]
(b)
[ y
2
√
xy
x
2
√
xy
0
0 zeyz yeyz
]
(c)

0 2y 0z −1 x
y x 1


(d)
[
−yz −xz + 2y −xy + 2
]
(e)

 3t
2
−e−t
− 1
t2


4. (a) 2
(b) e
5. (1,−
8
5
) por exemplo.
6. Basta ver que
∂f
∂x
(0, 0) =
∂f
∂y
(0, 0) = 0, lim
(x,y)→(0,0)
|f(x, y)|√
x2 + y2
= 0.
7. Apenas a func¸a˜o h e´ diferencia´vel na origem.
8. (a)
∂f
∂x
(0, 1) = 1 ,
∂f
∂y
(0, 1) = 0
(b) 2
(c) 18
13
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 4
(Derivadada Func¸a˜o Composta)
1. Calcule a derivada D(f ◦ g)(1, 1) em que
g(x, y) = (ex−y, x− y) ; f(u, v) = (u+ arctan v, 2ev + u, ln(u+ 2v)).
2. Considere as func¸o˜es γ(t) = (sen t, t2, cos t) , F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 1 e σ(t) = F (γ(t)).
Calcule a derivada σ′(t).
3. Considere a func¸a˜o f(x, y, z) = yex + xz2 e seja g : R2 → R3 uma func¸a˜o de classe C1 tal que
g(0, 0) = (0, 1, 2) e
Dg(0, 0) =


0 1
2 3
4 0

 .
Calcule a derivada Dv(f ◦ g)(0, 0) em que ~v = (1, 2).
4. Considere a func¸a˜o σ(x) = f(senx, x+ ex) em que f : R2 → R3 e´ de classe C1 e tal que
Df(0, 1) =


1 0
2 1
3 2

 .
Calcule a derivada σ′(0).
5. Seja f : R3 → R3 dada por
f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, x+ y − z, xyez)
e g : R3 → R uma func¸a˜o diferencia´vel.
a) Calcule
∂
∂y
(g ◦ f)(1, 1, 0), sabendo que ∇g(2, 2, 1) = (−1, 0, 3).
b) Para g(u, v, w) = u2 − v2 + ew, calcule
∂
∂z
(g ◦ f)(0, 1, 0).
6. Seja g : R3 → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Determine
∂
∂x
(g(g(x2, xy, x+ y) + ex, xy, g(x, x, x)))
em func¸a˜o das derivadas parciais de g.
7. Sejam F : R3 → R e g : R2 → R func¸o˜es de classe C1 e tais que se verifica a equac¸a˜o
F (x, y, g(x, y)) = 0. Supondo que
∂F
∂z
(x, y, z) 6= 0 calcule a derivada Dg(x, y).
8. Determine a recta tangente e o plano normal a` linha definida por
{(et, cos t, sen t) ; −π < t < π}
no ponto (1, 1, 0).
9. Determine a recta normal e o plano tangente ao parabolo´ide
P = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1− x2 − y2 }
no ponto (0, 1, 0).
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 4
1.

2 −23 −3
3 −3


2. 4t3.
3. 18.
4.

14
7


5. a) 1.
b) 2.
6.
∂g
∂u
(c)
[
ex + 2x
∂g
∂u
(a) + y
∂g
∂v
(a) +
∂g
∂w
(a)
]
+y
∂g
∂v
(c)+
∂g
∂w
(c)
[
∂g
∂u
(b) +
∂g
∂v
(b) +
∂g
∂w
(b)
]
onde g = g(u, v, w) e
a = (x2, xy, x+y), b = (x, x, x), c = (g(x2, xy, x+y)+ex, xy, g(x, x, x)).
7. Dg(x, y) =
[
−
∂F
∂x
(x, y, g(x, y))
∂F
∂z
(x, y, g(x, y))
−
∂F
∂y
(x, y, g(x, y))
∂F
∂z
(x, y, g(x, y))
]
8. Recta tangente: {(1, 1, 0) + t(1, 0, 1) : t ∈ R}; Plano normal: x+ z = 1.
9. Recta normal: {(0, 1, 0) + t(0, 2, 1) : t ∈ R}; Plano tangente: 2y + z = 2.
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Ficha de trabalho 5
(Derivadas de Ordem Superior. Extremos)
1. Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de cada uma das func¸o˜es seguintes:
a) f(x, y) = x arctan y
b) f(x, y, z) = lnx+ ln y + ez
2. Mostre que a func¸a˜o V (x, y, z) =
1
√
x2 + y2 + z2
verifica a equac¸a˜o de Laplace:
∂2V
∂x2
+
∂2V
∂y2
+
∂2V
∂z2
= 0 ; (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
3. Seja w(x, y) = f(y − x, x+ y), em que f : R2 → R e´ uma func¸a˜o de classe C2. Mostre que se
tem
4
∂2f
∂u∂v
=
∂2w
∂y2
−
∂2w
∂x2
,
em que u = y − x e v = x+ y.
4. Determine e classifique os pontos de estacionaridade de cada uma das func¸o˜es seguintes:
a) f(x, y) = x2 − y2 + xy
b) f(x, y) = x2 + y2 −
x3
3
c) f(x, y) = e1+xy
d) f(x, y) =
x2
2
+
y2
2
+
1
x
+
1
y
e) f(x, y, z) = xz − x2 − y2
f) f(x, y) = x3 − y4
g) f(x, y) = x3 − y2
h) f(x, y) =
y2
2
+ xy + x4
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 5
1. (a) ∇f(x, y) =
(
arctan y, x
1+y2
)
;
A matriz Hessiana e´
[
0 1
1+y2
1
1+y2
−
2xy
(1+y2)2
]
.
(b) ∇f(x, y, z) =
(
1
x
, 1
y
, ez
)
;
A matriz Hessiana e´

− 1x2 0 00 − 1
y2
0
0 0 ez

.
4. (a) Ponto de sela em (0, 0).
(b) Ponto de m´ınimo em (0, 0), ponto de sela em (2, 0).
(c) Ponto de sela em (0, 0).
(d) Ponto de m´ınimo em (1, 1).
(e) O ponto (0, 0, 0) e´ o u´nico ponto de estacionaridade e na˜o e´ extremo.
(f) Ponto de sela em (0, 0).
(g) Ponto de sela em (0, 0).
(h) Ponto de sela em (0, 0); pontos de m´ınimo em (−1
2
, 1
2
) e (1
2
,−1
2
).
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 6
(Teorema de Fubini)
1. Calcule o integral da func¸a˜o indicada no rectaˆngulo {(x, y) ∈ R2 : : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.
a) f(x, y) = xy3.
b) f(x, y) = x cos(xy).
2. Invertendo a ordem de integrac¸a˜o, calcule:
a)
∫
1
0
(∫
2
2y
cos(x2) dx
)
dy.
b)
∫
1
0
(∫ pi/2
arcsen y
y senx dx
)
dy.
3. Inverta a ordem de integrac¸a˜o dos seguintes integrais duplos:
a)
∫
1
0
(∫√
1−x2
x2−1 f(x, y)dy
)
dx.
b)
∫
1
0
(∫
2−x√
1−x2 f(x, y)dy
)
dx.
c)
∫
2pi
0
(∫
sen y
−1 f(x, y)dx
)
dy.
4. Calcule a a´rea da regia˜o
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 < 2x < y < 3− x2},
usando um integral iterado da forma
∫
(
∫
dx)dy. Calcule ainda (usando a ordem de integrac¸a˜o
que entender) a coordenada x do centro´ide.
5. Escreva expresso˜es para o volume de V na ordem indicada.
a) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x+ y} nas ordens
∫ (∫ (∫
dz
)
dx
)
dy
e
∫ (∫ (∫
dy
)
dx
)
dz.
b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 ; y2 + z2 ≤ 1} nas ordens
∫ (∫ (∫
dz
)
dx
)
dy e∫ (∫ (∫
dz
)
dy
)
dx.
c) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x
2
≤ y ≤ x ; 0 ≤ z ≤ x ; x ≤ 1} nas ordens
∫ (∫ (∫
dx
)
dz
)
dy e∫ (∫ (∫
dx
)
dy
)
dz.
6. Para cada um dos conjuntos seguintes escreva uma expressa˜o para o respectivo volume, usando
um u´nico integral triplo:
a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x
2
≤ y ≤ x ; 0 ≤ z ≤ x ; x ≤ 1},
b) B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 ; 0 ≤ z ≤ x2 − y2 ; x > 0}.
7. Considere a regia˜o
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + 2z ≤ 1 ; x+ y − 2z ≤ 1 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0}.
Calcule o volume de V na forma:
a)
∫ ...
...
(∫ ...
...
(∫ ...
...
· · · dy
)
dx
)
dz.
b)
∫ ...
...
(∫ ...
...
(∫ ...
... · · · dz
)
dx
)
dy.
8. Calcule
∫
V
f sendo f : R3 → R a func¸a˜o definida por f(x, y, z) = z e V o so´lido limitado pelos
planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = x+ y.
9. Calcule a primeira coordenada do centro´ide do so´lido limitado pela superf´ıcie z = x2 − y2, o
plano xy e os planos x = 0 e x = 1.
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 6
1. a) 1
2
.
b) 1− cos(2).
2. a) sen 4
4
.
b) 1
3
.
3. a)
∫
0
−1
(∫ √
1+y
0
f(x, y)dx
)
dy +
∫
1
0
(∫√
1−y2
0
f(x, y)dx
)
dy.
b)
∫
1
0
(∫
1√
1−y2 f(x, y)dx
)
dy +
∫
2
1
(∫
2−y
0
f(x, y)dx
)
dy.
c)
∫
0
−1
(∫ pi−arcsinx
0
f(x, y)dy +
∫
2pi
2pi+arcsinx
f(x, y)dy
)
dx+
∫
1
0
(∫ pi−arcsinx
arcsinx
f(x, y)dy
)
dx.
4. A a´rea e´ 5
3
. A coordenada x do centro´ide e´ 7
20
.
5. a)
∫
1
0
(∫
1−y
0
(∫ x+y
0
dz
)
dx
)
dy, e∫
1
0
(∫ z
0
(∫
1−x
z−x dy
)
dx+
∫
1
z
(∫
1−x
0
dy
)
dx
)
dz.
b)
∫
1
−1
(∫√1−y2
−
√
1−y2
(∫√1−y2
−
√
1−y2
dz
)
dx
)
dy e
∫
1
−1
(∫ √
1−x2
−
√
1−x2
(∫√1−y2
−
√
1−y2
dz
)
dy
)
dx.
c)
∫ 1
2
0
(∫ y
0
(∫
2y
y
dx
)
dz +
∫
2y
y
(∫
2y
z
dx
)
dz
)
dy+
∫
1
1
2
(∫ y
0
(∫
1
y
dx
)
dz +
∫
1
y
(∫
1
z
dx
)
dz
)
dy,
e∫ 1
2
0
(∫ z
z
2
(∫
2y
z
dx
)
dy +
∫ 1
2
z
(∫
2y
y
dx
)
dy +
∫
1
1
2
(∫
1
y
dx
)
dy
)
dz +∫1
1
2
(∫ 1
2
z
2
(∫
2y
z
dx
)
dy +
∫ z
1
2
(∫
1
z
dx
)
dy +
∫
1
z
(∫
1
y
dx
)
dy
)
dz.
6. a) Pode ser ∫
1
0
(∫ x
0
(∫ x
x/2
dy
)
dz
)
dx,
b) Pode ser ∫
1
0
(∫ √ 1−z
2
−
√
1−z
2
(∫ √
1−y2
√
z+y2
dx
)
dy
)
dz.
7. 1
6
.
8. 7
12
.
9. A primeira coordenada do centro´ide e´ 4
5
.
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Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 7
(Mudanc¸a de Varia´veis de Integrac¸a˜o. Regra de Leibniz)
1. Escreva o integral
∫ ∫
S
f(x, y)dxdy em coordenadas polares considerando as seguintes regio˜es
S.
(a) S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 2, x > |y|}.
(b) S = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, y > x}.
(c) S = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1,−√1− x2 ≤ y ≤ x}.
2. Utilizando coordenadas polares (possivelmente modificadas), calcule
(a)
∫ 1
0
(∫ √1−x2
0 e
−x2−y2dy
)
dx.
(b)
∫ 1
0
(∫ √2−x2
x
1
1+x2+y2 dy
)
dx.
(c)
∫ ∫
U
(x2 + y2 − 1)dxdy, sendo U = {(x, y) ∈ R2 : (x+ 1)2 + y2 ≤ 1 ; y > 0}.
(d)
∫ ∫
S
sen((x − 1)2 + y2)dxdy, sendo S = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 ≤ pi24 }.
(e) A a´rea da regia˜o A = {(x, y) ∈ R2 : x24 + y2 < 1 ; x > |y|}.
3. Considere a transformac¸a˜o de coordenadas definida por
x = 2u+ v, y = u2 − v.
(a) Sendo T o triaˆngulo com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) no plano uv, determine a imagem
de T no plano xy pela transformac¸a˜o de coordenadas.
(b) Sendo S o conjunto determinado na al´ınea anterior, calcule
∫ ∫
S
1√
x+y+1
dxdy.
4. Considere o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x+ y < 2 ; 0 < x < y},
e seja f : D → R definida por f(x, y) = (y2 − x2) cos (x+ y)4. Calcule ∫
D
f utilizando uma
transformac¸a˜o de coordenadas apropriada. Justifique cuidadosamente.
5. Use coordenadas cil´ındricas ou coordenadas esfe´ricas para exprimir o volume de cada uma das
seguintes regio˜es em termos de um so´ integral iterado:
(a) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < z <
√
2− x2 − y2}.
(b) V = {(x, y, z) ∈ R3 : y > 0 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 2 , z >
√
x2 + y2}.
6. Calcule o momento de ine´rcia do so´lido
U = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 + z2 ≤ 1 ; 0 ≤ x ≤ (y2 + z2) 14 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0},
relativamente ao eixo Ox, e cuja densidade de massa e´ dada por σ(x, y, z) = x(y2 + z2).
7. Calcule o volume de cada uma das regio˜es:
(a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1− (
√
y2 + z2 − 1)2 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0}
(b) B = {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2 − 4)2 + z2 < 1 ; y ≥ 0 ; z > 0}.
8. Calcule F ′(0) onde F : R→ R e´ a func¸a˜o definida pela expressa˜o
F (t) =
∫ 1
0
sen(tx2 + x3)dx.
9. Sendo Vt = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ t ; 0 ≤ z ≤ 1 ; y > 0} e F : [1,+∞[→ R a func¸a˜o
definida por
F (t) =
∫ ∫ ∫
Vt
et(x
2+y2)
x2 + y2
dxdydz,
calcule F ′(4).
2
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Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 7
1. (a)
∫ √2
0
∫ pi
4
−pi
4
f(r cos θ, r sen θ)rdθdr.
(b)
∫ 5pi
4
pi
4
∫ 2
1 f(r cos θ, r sen θ)rdrdθ.
(c)
∫ 0
−pi
2
∫ 1
0
f(r cos θ, r sen θ)rdrdθ +
∫ pi
4
0
∫ 1
cos θ
0
f(r cos θ, r sen θ)rdrdθ.
2. (a) pi4
(
1− 1e
)
.
(b) pi log 38 .
(c) pi4 .
(d) pi(1 − cos(pi24 )).
(e) 2 arctan2.
3. (a) A imagem de T e´ S =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x24
}
.
(b) 2.
4. 116 (sen(16)− sen(1)).
5. (a)
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫√2−ρ2
ρ2 ρdzdρdθ.
(b)
∫ pi
0
∫ √2
1
∫ pi/4
0
r2 senφdφdrdθ.
6. pi28 .
7. (a) 2pi3 .
(b) 2pi2.
8. sen(1)3 .
9. pi8
(
2e16 − e4
)
.
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 8
(Func¸a˜o Inversa. Func¸a˜o Impl´ıcita)
1. Considere a func¸a˜o f : R2 \ {(x, y) : x = 0} → R2 definida por f(x, y) = (xy,
y
x
).
a) Mostre que f na˜o e´ injectiva.
b) Determine um subconjunto de R2 em que f e´ injectiva.
c) Mostre que f tem inversa local em torno do ponto (2, 2).
d) Calcule Df−1(4, 1), em que f−1 designa uma das func¸o˜es inversas de f.
2. Considere o sistema de equac¸o˜es


u = x+ y + sen(x− y)
v = 1 + log(1 + xy)− x.
Mostre que existe uma vizinhanc¸a de (u, v) = (2, log 2) e uma vizinhanc¸a de (x, y) = (1, 1) em
que o sistema define (x, y) como func¸a˜o, de classe C1, de (u, v) e calcule
∂y
∂v
(2, log 2).
3. Mostre que a equac¸a˜o y sen(x+ y) = 0 define, implicitamente, x como func¸a˜o de y em alguma
vizinhanc¸a do ponto (0, pi) e calcule a derivada
dx
dy
(pi). Confirme o resultado explicitando x como
func¸a˜o de y.
4. Mostre que a equac¸a˜o 2z + x2z5 + y2x3 + xy = 2 define implicitamente z como func¸a˜o de x e
de y, em torno do ponto (0, 0, 1). Calcule a derivada
∂2z
∂y∂x
(0, 0).
5. Considere o conjunto S ⊂ R3 definido pelo seguinte sistema de equac¸o˜es:
{
y2 + z2 = x2 + 1
y2 + senx+ sen z = 1.
a) Mostre que numa vizinhanc¸a do ponto (0, 1, 0), o conjunto S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
f : I → R2, em que I e´ um intervalo aberto em R, ou seja, duas das varia´veis sa˜o func¸o˜es
da terceira.
b) Calcule f ′(0).
6. Seja F : R3 → R uma func¸a˜o de classe C1 e suponhamos que a equac¸a˜o F (x, y, z) = 0 determina
cada uma das varia´veis como func¸a˜o, de classe C1, das restantes, ou seja,
x = x(y, z) ; y = y(x, z) ; z = z(x, y).
Mostre que se tem (
∂z
∂x
)(
∂x
∂y
)(
∂y
∂z
)
= −1
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 8
1. b) {(x, y) ∈ R2 : x > 0 ; y > 0}.
c) Basta verificar que f e´ de classe C1 e detDf(2, 2) = 2 6= 0.
d)
[
1
4
−1
1
4
1
]
2. 2.
3. −1.
4. −1
2
.
5. b) Ha´ duas soluc¸o˜es poss´ıveis: (x, y) = f(z) com f ′(0) = (−1, 0) ou
(y, z) = g(x) com g′(0) = (0,−1).
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Ficha de trabalho 9
(Variedades. Espac¸o Tangente. Espac¸o Normal)
1. Mostre que cada um dos conjuntos seguintes e´ uma variedade, determine a respectiva dimensa˜o
e descreva-o parametricamente:
a) {(x, y) ∈ R2 : y = x3 ; −∞ < x < +∞}.
b) {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 = 1}.
c) {(x, y, z) ∈ R3 : y2 + z2 = 1 ; y > 0 ; z > 0 ; |x| < 1}.
d) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z < 1}.
e) {(x, y, z) ∈ R3 : (
√
x2 + y2 − 3)2 + z2 = 1 ; z > 0 ; x > 0 ; y > 0}.
f) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 ; z > 0 ; y > |x|}.
g) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + z2 = y2 + 1 ; |y| < 1 ; x > 0}.
h) {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 < 1 ; x+ y = 1 ;x > 0 ; y > 0}.
2. Determine o espac¸o tangente e o espac¸o normal a` variedade
A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2, x = y}
no ponto (1, 1, 2).
3. Determine o espac¸o tangente e o espac¸o normal a` variedade
S =
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = z2 + 1
}
,
no ponto (0, 1, 0).
4. Determine a recta tangente e o plano normal a` linha definida por
{(cos t, sen t, sen(2t)) ; t ∈ R} ,
no ponto (1, 0, 0).
5. Determine a recta normal e o plano tangente a` superf´ıcie definida por
{(x, y, xy) ; x, y ∈ R} ,
no ponto (1, 1, 1).
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Respostas a` Ficha de Trabalho 9
1. Ha´ va´rias maneiras de parametrizar cada variedade. Abaixo encontram-se respostas poss´ıveis.
Nalguns casos a parametrizac¸a˜o na˜o descreve completamente a variedade (falha alguns pon-
tos). Se se quisesse parametrizar a variedade em torno dos pontos que faltam poder-se-ia
usar a mesma expressa˜o com um domı´nio de variac¸a˜o diferente para os paraˆmetros.
(a)Dimensa˜o 1. g(x) = (x, x3) com −∞ < x < +∞.
(b) Dimensa˜o 1. g(t) = (
cos t
2
,
sen t
3
) com 0 < t < 2pi.
(c) Dimensa˜o 2. g(t, x) = (x, cos t, sen t) com −1 < x < 1 e 0 < t < pi
2
.
(d) Dimensa˜o 2. g(x, y) = (x, y, x2 + y2) com x2 + y2 < 1.
(e) Dimensa˜o 2. g(θ, φ) = ((3 + cosφ) cos θ, (3 + cosφ) sen θ, senφ) com 0 < θ <
pi
2
e
0 < φ < pi.
(f) Dimensa˜o 2. g(θ, φ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ) com
pi
4
< θ <
3pi
4
e 0 < φ <
pi
2
.
(g) Dimensa˜o 2. g(θ, y) = (
√
y2 + 1 sen θ, y,
√
y2 + 1 cos θ) com −1 < y < 1 e 0 < θ < pi.
(h) Dimensa˜o 1. g(x) =
(
x, 1 − x, 2x2 − 2x+ 1
)
com 0 < x < 1.
2. Espac¸o tangente: {(x, x, 4x) : x ∈ R}. Espac¸o normal: {(x, y,−x
4
− y
4
) : x, y ∈ R}.
3. Espac¸o tangente: {(x, 0, z) : x, z ∈ R}. Espac¸o normal: {(0, y, 0): y ∈ R}.
4. Recta tangente definida pelas equac¸o˜es: x = 1 ; z = 2y. Plano normal definido pela equac¸a˜o:
y + 2z = 0.
5. Recta normal definida pelas equac¸o˜es: x+ z = 2 ; y + z = 2. Plano tangente definido pela
equac¸a˜o: x+ y − z = 1.
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Ficha de trabalho 10
(Extremos condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades)
1. Para cada um dos casos seguintes, determine os extremos da func¸a˜o f no conjunto S:
a) f(x, y, z) = x+ y + z, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 3}.
b) f(x, y, z) = z, S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 4 ; x+ z = 1}.
2. Use o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos absolutos da func¸a˜o
f(x, y, z) = z2 − x− y que se encontram na bola B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 2}.
3. Determine as dimenso˜es da caixa rectangular com volume igual a 1 m3 que minimizam a respec-
tiva a´rea.
4. Determine os pontos da linha {(cos t, sen t, sen(2t)) ; t ∈ R} mais afastados da origem.
5. Determine a massa total do fio {(t2, t cos t, t sen t) ; 0 ≤ t ≤ 2pi}, com densidade de massa por
unidade de comprimento σ(x, y, z) =
√
x.
6. Calcule o centro´ide da linha descrita pelas equac¸o˜es x = y2 + z2 ; x2 + y2 + z2 = 2.
7. Calcule a a´rea de cada uma das superf´ıcies:
a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 +√x2 + z2 = y < 2 ; x > 0}.
b) B = {(x, y, z) ∈ R3 : z = xy ; x2 + y2 < 1}.
8. Considere a superfic´ıe
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = a2 ; z > 0}, a > 0,
com densidade de massa igual a um. Calcule o momento de ine´rcia de S relativo ao eixo Oz.
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 10
1. (a) Ma´ximo: f(1, 1, 1) = 3. Mı´nimo: f(−1,−1,−1) = −3.
(b) Ma´ximo: f(−2, 0, 3) = 3. Mı´nimo: f(2, 0,−1) = −1.
2. Ma´ximo: f(−
1
2
,−
1
2
,−
√
3
2
) = f(−
1
2
,−
1
2
,
√
3
2
) =
5
2
. Mı´nimo: f(1, 1, 0) =
−2.
3. Cubo de lado 1 m.
4.
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
, 1
)
;
(√
2
2
,
√
2
2
, 1
)
;
(
−
√
2
2
,
√
2
2
,−1
)
;
(√
2
2
,−
√
2
2
,−1
)
.
5. 1
15
(
(1 + 20pi2)
3
2 − 1
)
.
6. (1, 0, 0).
7. a) pi
√
2
2
.
b) 2pi
3
(2
√
2− 1).
8.
4
3
pia4.
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Ficha de trabalho 11
(Trabalho. Campos Gradientes. Potenciais)
1. Para cada um dos casos seguintes calcule o trabalho realizado pelo campo vectorial ao longo do
caminho indicado:
a) Campo f : R2 → R2 definido por f(x, y) = (−y, x) e caminho dado por g(t) = (t cos t, t sen t)
com t ∈ [0, 2pi].
b) Campo f : R3 → R3 definido por f(x, y, z) = (x, z, z − y) e caminho definido por g(t) =
(t2, cos t, sen t) com t ∈ [0, 2pi].
2. Calcule o trabalho realizado pelo campo vectorial f(x, y, z) = (x, z, 2y) ao longo das seguintes
curvas:
a) O segmento de recta que une o ponto (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
b) A intersecc¸a˜o das superf´ıcies x2+y2 = 1 e z = x2−y2 num sentido que parece o anti-hora´rio
quando visto desde o ponto (0, 0, 100).
c) A intersecc¸a˜o das superf´ıcies definidas pelas equac¸o˜es x = y2 + z2 e 2y+ x = 3 num sentido
que parece o hora´rio quando visto desde o ponto (100,−1, 0).
3. Para cada um dos casos seguintes determine se o campo vectorial e´ ou na˜o conservativo. Em
caso afirmativo, calcule um potencial.
a) a(x, y) = (y2, x3).
b) b(x, y) = (x3 + y, y2 + x).
c) c(x, y) = (ex, ey).
d) d(x, y) =
(
x
x2+y2
, y
x2+y2
)
.
e) e(x, y, z) = (y, x, 2z).
f) g(x, y, z) = (−y, x, z).
4. Considere o campo vectorial
F (x, y, z) =
(
x
1 + x2 + y2
,
y
1 + x2 + y2
, 2z
)
.
a) Calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo da linha definida por
{(cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ 2pi}.
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo da linha definida pelas equac¸o˜es
y2 + z2 = 1 ; x = y2 − z2
segundo um sentido a` sua escolha.
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Respostas a` Ficha de Trabalho 11
1. a) 8pi
3
3
.
b) 8pi4 − 2pi.
2. a) 19
2
.
b) 0.
c) −4pi.
3. a) Na˜o conservativo.
b) b = ∇φ com φ(x, y) = x
4
4
+ xy + y
3
3
.
c) c = ∇φ com φ(x, y) = ex + ey.
d) d = ∇φ com φ(x, y) =
1
2
ln(x2 + y2).
e) e = ∇φ com φ(x, y, z) = xy + z2.
f) Na˜o conservativo.
4. a) 4pi2.
b) 0.
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Ficha de trabalho 12
(Teorema de Green. Fluxos. Teorema da Divergeˆncia)
1. Considere o campo vectorial F : R2 → R2 definido por F (x, y) = (−2y, x) e o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 ; y > |x|}. Calcule o trabalho realizado por F ao longo da
fronteira do conjunto D no sentido anti-hora´rio.
2. Considere o campo vectorial
F (x, y) =
(
−y
(x− 1)2 + y2
+
y
(x+ 1)2 + y2
,
x− 1
(x − 1)2 + y2
+
−(x+ 1)
(x + 1)2 + y2
)
.
Calcule o trabalho realizado por F ao longo de cada uma das linhas seguintes percorridas no
sentido hora´rio:
a) Circunfereˆncia definida pela equac¸a˜o (x+ 1)2 + y2 = 1.
b) Circunfereˆncia definida pela equac¸a˜o (x− 1)2 + y2 = 2.
c) Elipse definida por
x2
4
+ y2 = 1
3. Use o Teorema de Green para calcular a a´rea do conjunto definido por x2 +
y2
4
< 1 ; x > 0.
4. Considere a superf´ıcie
A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 − 1 ; z < 0 ; y > 0},
orientada com a normal unita´ria n tal que nz < 0. Seja H(x, y, z) = (−y, x, z). Calcule o fluxo∫
A
H · n.
5. Calcule o fluxo do campo vectorial F (x, y, z) = (yz, xz, 2xy) atrave´s do cone definido por
z =
√
x2 + y2 ; 0 < z < 1,
orientado com a normal n com terceira componente positiva.
6. Considere o campo F (x, y, z) = h(r)(x, y, z) em que r =
√
x2 + y2 + z2 e h : ]0,+∞[→ R
e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Calcule o fluxo de F atrave´s da esfera de raio igual a um, centro na
origem e orientada com a normal n tal que n(0, 0, 1) = (0, 0, 1).
7. Considere a superf´ıcie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 4 ; z > 0},
orientada com a normal unita´ria n tal que nz > 0. Seja F (x, y, z) = (x+ y
2 + z, y− xy, z − x).
Calcule o fluxo de F atrave´s de S no sentido de n,
∫
S
F · n.
8. Calcule o volume do conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < z < 1} usando o teorema da
divergeˆncia.
9. Considere a superf´ıcie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 + z2 ; 0 < z < 1},
orientada com a normal unita´ria n tal que nz > 0. Seja F (x, y, z) = (2xyz, z
2− zy2, z(1− z)).
Use o teorema da divergeˆncia para calcular o fluxo de F atrave´s de S segundo a normal n.
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Ca´lculoDiferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 12
1.
3pi
4
.
2. a) 2pi.
b) −2pi.
c) 0.
3. pi.
4.
pi
4
.
5. 0.
6. 4pih(1).
7. 16pi.
8.
pi
2
.
9.
pi
6
.
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Ca´lculo Diferencial e Integral II
Ficha de trabalho 13
(Teorema da Divergeˆncia. Teorema de Stokes)
1. Sendo F (x, y, z) = (y,−x, cos(x2 + z2)), calcule o fluxo de ∇× F atrave´s da superf´ıcie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 < z = x2 + y2 − 1 < 3}
no sentido da normal com terceira componente negativa.
2. Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campoG(x, y, z) = (x,−z, y+z2),
ao longo da linha definida pelas equac¸o˜es x2 + z2 = 1 ; y+ z = 1 e orientada no sentido hora´rio
quando vista do ponto (0, 100, 0).
3. Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo vectorial
H(x, y, z) = (x2 − y, y2 − x, y2 − x2 + z3)
ao longo do caminho
g(t) = (cos t, sen t, cos 2t) ; t ∈ [0, 2pi].
4. Considere a superf´ıcie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1 ; z > 0},
orientada com a normal unita´ria n tal que nz > 0. Seja G(x, y, z) = (xz, yz, 1− z
2). Calcule o
fluxo
∫
S
G · n :
a) Pelo teorema da divergeˆncia.
b) Pelo teorema de Stokes.
5. Considere a superf´ıcie
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 + (
√
x2 + y2 − 2)2 = 1 ; x > 0},
orientada com a normal unita´ria n a` sua escolha. Seja F (x, y, z) = (1, 2z, 2xy). Calcule o fluxo∫
S
F · n :
a) Pelo teorema da divergeˆncia.
b) Pelo teorema de Stokes.
6. Considere o campo vectorial
H(x, y, z) =
(
z
x2 + z2
+ x, y,
−x
x2 + z2
+ z
)
.
a) Calcule o trabalho de H ao longo da elipse definida por 2(x−1)2+
y2
4
= 1, z = 0, percorrida
no sentido hora´rio para um observador colocado no ponto (1, 0, 100).
b) Calcule o trabalho de H ao longo da linha definida por x2 + z2 = 2, y + z = 1, percorrida
num sentido a` sua escolha.
c) Sera´ H um gradiente no seu dom´ınio?
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Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Respostas a` Ficha de Trabalho 13
1. 6pi.
2. 0.
3. 0.
4. pi.
5. ±2pi.
6. a) 0.
b) ±2pi.
c) Na˜o e´ gradiente.