Trigonometria - Luisa Rámirez

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P A R I S ^ ^para , -
AMOR A SOFIA*
P ' '//altor Obbpa MIIJc 
Sandro Do la Cm/ o.?nrd|
Lumbreras
Editores
Sistemas de medición angular '
Lectura de motivación 13
Conceptos previos 14
Tipos de sistemas 15
Equivalencia entre los tres sistemas 18
Números que relacionan la medida 
de un ángulo 21
Resolvemos juntos 24
Practiquemos lo aprendido 40
Longitud del arco de una 
circunferencia
Lectura de motivación 47
Arco de circunferencia 48
Aplicaciones diversas 54
Resolvemos juntos 63
Practiquemos lo aprendido 89
Razones trigonométricas de un ángulo
^agudo
Lectura de motivación 99
Triángulo rectángulo 100
Razón trigonométrica 103
Razones trigonométricas de 30°; 60°; 
45°; 37° y 53° 105
Razones trigonométricas recíprocas 109
Razones trigonométricas de ángulos 
complementarios 110
Resolución de triángulos rectángulos 112
Área de una región triangular 113
Ángulos verticales 114
Resolvemos juntos 115
practiquemos lo aprendido 139
Razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal
Lectura de motivación 147
Nociones previas 148
Ángulo en posición normal 153
Signos de las razones trigonométricas 
en los cuadrantes 156
Ángulos cuadrantales 157
Ángulos coterminales 158
Resolvemos juntos 159
Practiquemos lo aprendido 184
Circunferencia trigonométrica
Lectura de motivación 193
Ecuación de una circunferencia 194
Arco dirigido 197
Representación de las razones 
trigonométricas en la
circunferencia unitaria 200
Resolvemos juntos 209
Practiquemos lo aprendido 231
Identidades trigonométricas 
fundamentales
Lectura de motivación 243
Identidad trigonométrica 244
Identidades trigonométricas por cociente 245 
Identidades trigonométricas recíprocas 246
Identidades pitagóricas 248
Propiedad 253
Identidades trigonométricas auxiliares 255 
Resolvemos juntos 258
Practiquemos lo aprendido 278
Identidades trigonométricas de un 
ángulo compuesto
Lectura de motivación
Identidades para la suma 
de dos ángulos
Identidades para la diferencia de dos
ángulos 287
Identidades auxiliares 290
Propiedades 293
Resolvemos juntos 296
Practiquemos lo aprendido 318
Identidades trigonométricas de 
reducción al primer cuadrante
Lectura de motivación 325
Nociones previas 326
Reglas para reducir al primer cuadrante 327 
Resolvemos juntos 336
Practiquemos lo aprendido 356
Identidades trigonométricas de 
ángulos múltiples
Lectura de motivación
Identidades trigonométricas del ángulo
doble
Identidades trigonométricas 
del ángulo triple 
Resolvemos juntos 
Practiquemos lo aprendido
Identidades trigonométricas de
transformación
Lectura de motivación
De suma o diferencia de senos
a producto
363
364
373
381
404
411
412
De suma o diferencia de cosenos 
a producto 413
De producto a suma o diferencia 417
Resolvemos juntos 420
Practiquemos lo aprendido 450
Resolución de triángulos 
oblicuángulos
Lectura de motivación 457
Teorema de senos 458
Teorema de cosenos ' 461
Teorema de proyecciones 463
Teorema de tangentes 464
Resolvemos juntos 466
Practiquemos lo aprendido 488
Funciones trigonométricas
Lectura de motivación 497
Definición de función 498
Dominio de una función 499
Rango de una función 500
Algunos tipos de funciones 505
Gráfica de las funciones trigonométricas 509 
Estudio del senoide 511
Resolvemos juntos 514
Practiquemos lo aprendido 537
Funciones trigonométricas inversas 
Lectura de motivación 547
Definiciones de los operadores 
trigonométricos inversos 548
Gráficas de algunas funciones 
trigonométricas inversas 551
Gráfica de la función y=/4arcsenfíx 554 Solución general 595
Teoremas 557 Ecuación trigonométrica elemental 596
Resolvemos juntos 560 Sistemas de ecuaciones 6 01
Practiquemos lo aprendido 583 Inecuación trigonométrica 602
Ecuaciones trigonométricas Resolvemos juntos 604
Lectura de motivación 593 Practiquemos lo aprendido 631
Concepto 594 Glosario 637
Conjunto solución (CS) 594 Bibliografía 639
: r..' : .' ' ÍK?í} ' ' ". 'J \?■
........a.....«..... "»»" —T
Aprendizajes esperados
• Conocer los sistemas de medición angular, así como sus 
unidades y subunidades.
• Expresar los ángulos en diversas unidades y convertirlos 
de ciertas unidades a otras.
El estudio de las matemáticas y la necesidad de cuantificar 
ha requerido, desde la Antigüedad, apoyarnos en sistemas 
de referencia. Por ejemplo, cuando se quería medir una dis­
tancia, se utilizaban diversos sistemas de referencia como el 
pie, la cuarta, la yarda, entre otros.
El problema con este tipo de unidades es que no se elim i­
naba la ambigüedad, es decir, se fomentaba el uso de dife­
rentes medidas en los diversos pueblos, lo que dificultaba 
las diversas actividades como el comercio, donde tenían 
que ponerse de acuerdo sobre las cantidades con las que 
se estaban negociando. A finales del siglo xvm, en Francia se 
adopta el llamado sistema métrico. La ventaja de este siste­
ma es doble (por una parte proporciona una única unidad 
para cada magnitud física), además, no es necesario el uso 
de factores de conversión puesto que todos los múltiplos y 
submúltiplos de la unidad son potencias de diez.
En el caso de los ángulos, la necesidad de darle unidades 
de medición no ha sido la excepción. Por ejemplo, en las 
culturas antiguas, los babilonios adoptaron la unidad sexa­
gesimal, que se mantiene hasta la actualidad por su practici- 
dad. Asimismo se han ido creando instrumentos para medir­
los tales como el sextante, el goniómetro, el compás, entre 
otros, los cuales buscarán siempre una mayor precisión.
¿ P o r qué e s n e ce sa rio e s te co n o cim ien to ?
Permite entender la relación que existe entre el ángulo y 
las unidades que se le puedan asignar, así como la relación 
existente entre una magnitud y el sistema de referencia que 
tiene su unidad de medida. Todo ello en el estudio de las 
ciencias en general ayuda a cuantificar los fenómenos.
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Dato curioso
| Las carreras en una pista de 
i atletismo se dan en sentido 
\ antihorario.
: El girar en sentido antihorario 
i en una pista de atletismo favo- 
1 . rece a los atletas en poseer 
| mayor fuerza en la pierna de-
V recha (la pierna derecha esta-
: ría realizando mayor trabajo y
¿ i ¡; recorriendo mayor distancia que 
i la pierna izquierda).
A m e d i c i ó n a n q u l a r
1, CONCEPTOS PREVIOS 
1.1. Angulo trigonométrico
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de 
un punto fijo (O) llamado vértice desde una posición inicial (lado 
inicial) hasta una posición final (lado final).
inicial
donde
O: vértice
- 0: medida del ángulo trigonométrico
1.1.1. Ángulos positivos'• U , * é ' •/'; *
Se generan cuando la rotación del rayo es en sentido antiho­
rario.
Ejemplos
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
1.2 . Ángulo de una vuelta
Se genera por la rotación completa de un rayo; es decir, su 
lado final coincide con su lado inicial por primera vez.
----------------------------------
lado inicial
\
' O '
< 1 v
V__
lado final
J
donde < 1 v es el ángulo de una vuelta. 
Ejemplos
2 v
2, T IPO S d I | | IS T ¡
Para com parar ángulos de distintos tamaños, se necesita una 
unidad estándar.
Al igual gue un segmento de recta puede medirse en pulgadas, 
metros, centímetros, millas, etc., un ángulo se mide en grados 
y radianes.
Los sistemas para medir ángulos son tres: sexagesimal, 
centesimal y radial.
2.1. Sistema sexagesimal
Tiene como unidad de medida al grado sexagesimal (1o), ei 
cual se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes
iguales.
Unidad
Grado sexagesimal: T
1° = m<1 v360
in -ï 1 v=360c
r
Importante
Cuando a un ángulo trigono­
métrico se le invierte su sentido, 
su valor cambia de signo.
Ejemplos
45°
--->
V o
Z25°
Para sumar dos o más ángulos 
trigonométricos, gráficamente es 
necesario que estén en un 
mismo sentido.
Ejemplos
1. Sumamos los ángulos en 
sentido antihorario.
90°
V
□-
/
\
\o\
0+(-a)=9O°
0-a=9O°
2. Sumamos los ángulos en 
sentido antihorario.
180'-'
0+(-J3)+a=90°
0-(3+a=180°
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Subunidades 
Minuto sexagesimal:T 
Segundo sexagesimal: 1"
Ejemplos
1. Convirtamos dos grados sexagesimales en 
minutos sexagesimales.
2°= a ( C
2°=2(60')
2° = 120'
2. Convirtam os tres minutos sexagesimales 
en segundos sexagesimales.
3'=3\- "6 0 M>
3= 3(60")
3'=180"
3. Convirtamos 14 400 segundos sexagesi­
males en grados sexagesimales.
U 400"= 144k\\(-^ r-v
( 3 6 k 8 X
14400"=
"144^ 
\ 3 6 ,
14400"=(4)1° 
14400"=4°
1°
Importante
Se cumple queA°B'C'=A0+B' + C", 
donde B; C< 60.
Ejemplos
• 3°15'40"=3°+15'+40"
• 29o13,50"=29o+13' + 50”
• 40°+20'+10"=40°20'10"
2.2. Sistem a centesim al
Tiene como unidad de medida al grado 
centesimal ( i9), el cual se obtiene al dividir 
el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales.
Unidad
Grado centesimal: 19
19 = m<1 v 
400
m <1 v=4009
Su Brini da des 
Minuto centesimal: 1m 
Segundo centesimal: 1s
3g=300m
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
2. Convirtamos cinco minutos centesimales en segundos 
centesimales.
5m =5- q V . 1005''
V > )
5m=s(l00s) '
5m=500s
3. Convirtamos 60 000 segundos centesimales en grados 
centesimales.
60000s
60000s=6(lg)
60000s=69
' 19 ̂
i d M s
Importante 
Se cumple que
Ag Bm Cs=Ag + Bm + Cs, donde 6; 
C<100.
Ejemplos
. 80940m20s=809 + 40m+20s
. 239 50m70s=23g + 50m + 70s
. 75g + 15m+50s=75915m50s
Al sistema radial también se le 
llama sistema circular o interna­
cional.
A lo largo de la historia, la ex­
presión pi ha asumido muchas 
variaciones. En uno de los más 
antiguos textos matemáticos, 
el papiro de Rhind (1650 a.n.e.), 
escrito por el egipcio Ahmes, se 
afirma que el área de un círcu­
lo es como la de un cuadrado, 
cuyo lado es igual al diámetro 
-|disminuido en Este papiro fue 
9
descubierto en 1855.
7 3 Sistema radial o circula*
Es la medida del ángulo central que subtiende un arco cuya 
longitud es igual al radio de la circunferencia. Tiene como uni­
dad de medida al radián (1 rad).
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3. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRES SISTEMAS
En los tres sistemas de medición angular se cumple lo siguiente:
No olvide
Los valores aproximados de re 
son los siguientes:
• 71 = 3,1416
Importante
Para las conversiones entre 
los tres sistemas, usaremos lo 
siguiente:
9o=109
rad
200g=7t rad
• m<1 v=360° (I)
• m<1 v=4009 (II)
• m<1 y=2n rad (III)
Entonces igualamos (I), (II) y (III). 
m<1 v=360°=400g=2:n; rad
180°=2009=7t rad
(--- • ^ f r
180°=200g 1S0°=7t rad | 2009=7trad
Aplicación 7
Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo de 
50° Si una persona intenta abrir la puerta girando la manija un 
ángulo de — rad, ¿logrará abrir la puerta?
Resolución
Para loqrar abrir la puerta, el ángulo -a rad debe ser mayor o4
igual a 50°.
Convertimos - rad al sistema sexagesimal multiplicándolo por 
4
180°
el factor de conversión------71 rad
—̂ - rad = — rá<- 4 4
' 180° ' 
v rad. y
- rad = 45° 
4
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Comparando los ángulos 45° y 50° observa­
mos que 45°<50°. Por lo tanto, la puerta no 
se logrará abrir.
\
Observación
Para la conversión de un ángulo de un sistema 
a otro sistema, usaremos el método de factor 
de conversión.
unidad que quiero 
unidad que no quiero
Aplicación 2
Convierta 54° a grados centesimales. 
Resolución
Para convertir 54° al sistema centesimal, lo
10g
multiplicam os por el factor de conversión 9°
-» 540= 54Y
... 54°= 609
V 9 V
Aplicación 3
Convierta 80g a grados sexagesimales.
RESOLUCION
Convertimos 80g al sistema sexagesimal muí
(¡pilcándolo por el factor de conversión — .
809 = 8Q.X
/ 90 Ì
—>
80g=72°
Aplicación 4
Convierta 60° a radianes.
Resolución
Convertimos 60° a radianes multiplicándolo
n radpor el factor de conversión 180c
-> 60°= 6X\-
n rad
n rad
1 8X \.
60°=
Aplicación 5
TíConvierta — rad a grados sexagesimales.
Resolución
J[
Convertimos — rad al sistema sexagesimal 6
multiplicándolo por el factor de conversión 
180° 
n rad
—> — rad = — rad' 6 6
- rad = 30° 6
Aplicación 6
n
180°
7irad
Convierta — rad a grados sexagesimales. 
8
RESOLUCION
Convertimos ^ rad al sistema sexagesimal mul-
. , 180°
tiplicándolo por el factor de conversión
71 rad = — rad. 8 8
. ( 180°
7Óract
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n 45°— rad = — 8 2
71 44° +10 10
—> — rad = -------- = 22° + —
8 2 2
^ rad = 22° + — = 22°+30'o 2
^ rad = 22°30'
A plicación 7
TíConvierta — rad a grados sexagesimales.
Resolución
Convertim os a sexagesimales.
n_> — rad = —— 
32 32
ÍO racj ( 180° ^
 ̂Taraci j
n , 45° 40° +5° — rad=-
32 8 8
„ 5° 5(60— rad = 5°+— =5°+----
32 8 8
75' _ 74'+Tü r a d =5°+— =5°+--> 32 . 2 ¿
1' 60' J L rad=5°+37' +—=5°+37 + - y 
32 ¿
23- rad = 5°+ 37'+ 30" 
32
A p l ic a c ió n 8
Ordene los ángulos de menor a mayor medida. 
1a = 609; f3 = —- rad; 0 -55 °
36
R e so lu c ió n
Convertimos los ángulos a un mismo sistema 
(sistema sexagesimal).
9°
a = 60;
cc=54°
10x
(0
[3 = ^ rb<
36
P=65°
0=55°
f 180° ̂
7i"rad
(ID
(III)
Comparando (I), (II) y (III) obtenemos que 
54° < 55° < 65°
a < 0 < (3
Reto al saber
Establezca mediante flechas las parejas 
equivalentes.
n a — rad •3
• 90°
45° • n rad
71— rad •2
• 30°
I
71 j— rad • 6
n , • — rad 
4
180° • 60°
2009 • • 360° 1
2n rad • • 180°. 2L rad = 5° 37'30 
•’ 32
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
4 , N Ú M ER O S Q U E R ELA C IO N A N LA M ED ID A 
D E UN Á N G U LO
Expresamos la medida del ángulo AOB en los 
tres, sistemas.
Se observa que 
S°=CA=R rad
Dividim os entre el ángulo de una vuelta 
S° C 9 R rad
m<1 v m<1 v m<1 v
S \ _ c \ _ _ R j^ ú _ 
3 6 0 \ 400^ 2n ^
S—̂ 360 400 2n
Simplificamos
9 10 £ 
20
f 71 tS=9fcC=10fcff = — *
l
donde
S- número de grados sexagesimales
C n ú m ero de grados centesimales
R: número de radianes 
íc- rnnstante
Aplicación 9
Si k= 5, halle la medida del ángulo en los tres 
sistemas.
R e so lu c ió n
Dato: k=5
Sabemos que
• S=9k=9(S)=4S
Entonces la medida del ángulo es 45°.
• C=10C=10(5)=50
Entonces la medida del ángulo es 50g.
/? = — A = — (5) = ^ 
20 20 4
Entonces la medida del ángulo es — rad.4
A plicación 10
Si se cumple 2C-S=22, halle el número de 
grados sexagesimales. Considere que S y C 
son conocidos.
OLECCIÓN ESENCIAL
'■i'-'.-T:.-■
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Aplicación 77
A partir del gráfico, calcule el valor de x.
Resolución
En el gráfico se observa que los ángulos tienen 
el mismo sentido, entonces los igualamos. 
(5x+8)°=120g (*)
Convertimos 120g a grados sexagesimales.
90 X
1209 = 12X \
i K \
factor de 
conversión
120g=108°
Reem plazam os en (*).
(5 x + 8 ) \ = 1 0 8 \
5x = 1 08-8 —* 5x=100 
/. x=20
Aplicación 12
Halle el valor de la expresión M. 
M = 2 7 ° + | rad + 909
convertios los ángulos a un mismo sistema
(sexagesimal).
. * r a d = f ^ <
3 3
— rad =60°
3
(O
90g= 9 X \
90g=81°
( 9° ^
kV ;
(II)
Reemplazamos (I) y (II) en M. 
M=27o+60°+81°
M=168°
Aplicación 13
5nLa suma de dos ángulos es — rad y su dife­
rencia es 30°. Halle la medida del mayor ángu­
lo en radianes.
Resolución
Sean los ángulos a y (3.
Consideremos que a > (3.
Nos piden a.
• a+(3 = -̂ ? rad (I)
6
• a-|3=30o (II)
Sumamos (I) y (II).
2a = — rad+ 30° (III)6
6 6 l ^ r a d j
— rad=150° 6
Reemplazamos en (III). 
2a=150°+30° 
2a=180° -» a=90°
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Lo convertimos a radianes.
a = 90\ - 71radi
180\
n ja = — rad 2
A plicación 14
Los números que representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesi­
mal son números impares consecutivos. Calcu­
le dicho ángulo en radianes.
Resolución
Sabemos que
S=9k a C=10/c
además, por dato 
C -S = 2 
10£-9£=2 
-> k=2
nNos piden R = — k. K 20
71-> R =— (2) 
20
nR = — rad 10
A p l ic a c ió n 15
Halle la expresión E.
-|9 -jo 'î n
£=------1---- 1----
10m 3' 2S
R eso lu c ió n 
Sabemos que
1g=100m; 1°=60' y 1m=100s
Reemplazamos
100™' 60\ 100^£ = — ~ + ~ r 1 +
10^ ■ 3\ 2
£=10 + 20 + 50 
£=80
X
Ir l |g ¡ ¡
i
para inyestigaf___—— --------------- ----------------------- '
Se «ene que S es el númerode grados sexagesimales de un ángulo, donde se cumple que
ĵ 20 Ss j =| rad+50g + ̂rad+^-
Calcule el ángulo en el sistema radial.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problem a N,° 1
A partir del gráfico, calcule el valor de x.
A) 7o B) 8o C) 9o
D) 10° E) 11°
Resolución
Se observa que los ángulos tienen senti­
dos contrarios; entonces los ponemos en un 
mismo sentido (antihorario).
Sumamos los ángulos.
14x.+ 1 5 °+ 4x-15 °= W
ángulo de 
media vuelta
18x=180°
x= 10° ' clave jV.,...
Problema N. ___________—— ------ -
Calcule x en función de los ángulos a y 0.
Resolución
Analizamos el sentido de los ángulos, donde
- x: sentido antihorario
- 9: sentido horario
- a: sentido antihorario
Ponemos los ángulos en sentido antihorario.
Sumamos los ángulos.
x + (- 0)=a 
—> x - 0=ot 
x= a +0
: Clave .
Problem a N.° 3
Del gráfico, calcule el valor de x.
D) 29° E) 30°
Resolución
Ponemos los ángulos en sentido antihorario.
A) a - 0 B) 0 - a
C) ot+0 
E) 2 a -0 M--
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Sumamos los ángulos.
70g+90°+x=180°
—> x+70g=90° (*)
Convertimos 70g a grados sexagesimales.
709 = 7ÍSiV 9° ^
y
factor de 
conversión
70g=63°
Reemplazamos en (*). 
x+63°=90° 
x=27°
Problema N.° 4
i Clave
Halle la expresión R.
R = (I
— rad + 509 +5° 
9 ____________
10°
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
Resolución
Convertimos los ángulos a un mismo sistema
(sexagesimal).
2 V a d = 4 p a d 
Q 9
180°
rCrad.
rad = 40° 
9
(I)
. 509 = 50 öi
f 90 3
10^ ;
Reemplazamos (I) y (II) en R.
R =
R =
R=3
40°+45°+5°
10°
|90 \
10\
: Clave
Problema N.” 5
Calcule el valor de la expresión T.
n rad + 27r rad + 37i rad + ... + 2015jr rad
T =
A) 90 
D) 140
1o+2°+3°+... + 2015°
B) 100 C) 120 
E) 180
Resolución
Factorizamos n rad en el numerador y 1o en el 
denominador.
n rad(l + 2 + 3 + ... + 2015)
T = ■1° ( l + 2+3 + ... + 2015)
-» T = n rad 1o
180cMultiplicamos por el factor de conversión 
>ra<d f 180\ Ì
T =
1 \ n rad. y
•. 7=180
C/ove
509=45° (ID
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Indique qué tipo de triángulo es el que se i m</4fíC+36o+72°=180° 
presenta en el gráfico. i _ ̂ m<.ABC=72°
Problema N.n 8 i Hallamos la m<ABC del gráfico.
B
A) escaleno
B) isósceles
C) equilátero
D) rectángulo
E) rectángulo isósceles
Resolución \ ' J
Convertim os los ángulos al sistema sexagesimal.
n it J 180° ^. — rad=— rad — :
5 5 Vît rad.
— rad=B6°
5
. 809 = 8 X X
809 =72o
c go X
à
(I)
(II)
Reemplazamos (I) y dO en el gráfico.
B
Se observa que
m<ABC=rr\<ACB=72°
Por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles.
; Clave i................ i.,. •
Problema N.*7___ ________________ _
En un triángulo, dos de sus ángulos interio­
res miden 70g y ^ rad . ¿Cuál es la medida del 
tercer ángulo en el sistema sexagesimal?
A) 20° B) 23° C) 27°
D) 30° E) 32°
Resolución
Graficamos
B
Sea x la medida del tercer ángulo. 
Del gráfico
x + — rad+70g =180° 2
. ï r a d - ^ Ï W . 2 2
' 180° " 
 ̂tCracf j
(I)
_> Cl rad=90° 
2
(II)
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
709 =7o\| 9o ^
X.10
70g=63°
Reemplazamos (II) y (III) en (I).
x+90° + 63°=180°
/. x=27°
i Clave
Problema N.° 8
En el gráfico, al medir el ángulo se obtuvo 
a=209 50m. ¿Cuál es la medida del ángulo en 
el sistema sexagesimal?
teodolito
\ A , -' yá----‘-
k
í£>
X +■
A) 18° 27'
D) 18° 16'
Resolución
B) 18° 37' C) 18° 7' 
E) 18° 26’
NO OLVIDE
9°=10g 
27'=50m
■y¿oo<>o<><>o<><>o<x>í><><> ^
Del dato
a = 20g + 50m (l)
Convertimos el ángulo al sistema sexagesimal. 
9° ^
. 20g = 2o \ |
10 g '
50m = 5o\ 27' ^
-> 50m=27'
Reemplazamos (II) y (III) en (I). 
a=18°+27' 
a=18° 27'
(III)
: Clave ■
Problema N.° 9_________________ _
Calcule el valor de la expresión E. 
VT40"E = 1'40"
A) 1 B) 37 ’
D) 42
Resolución
.. -jC' •/OĈXXX><XX>'X'-<yX>-
No OLVIDE
C) 41 
E) 47
1°=60'
r=60"
1°=3600"
->X<XXX>00<>000<X
En el problema 
1°+r+40'E = ■r+40"
Convertimos los ángulos a segundos sexage­
simales.
3600"+60"+40"
E = ■ 60"+40"
-> E = 3700\100\
£=37 ; C/ove
20g=18° (ID
Problema N.° 10
Los números S y C representan la medida de 
un ángulo en los sistemas sexagesimal y cen­
tesimal, respectivamente, y se cumple que 
4 S - 3 O 3 0 . Halle la medida del ángulo en el 
sistema sexagesimal.
A) 30° 
D) 45 °
B) 40° C) 35° 
E) 50°
Resolución
Sabem os que S=9k y C=10/c.
Reem plazam os en el dato.
4 S - 3 O 3 0
4(9/0-3(10/0 = 30 -> 36k-30k=3Q 
6/c= 30 —> k= 5
Luego
. S=9k=4S -> m <=45°
. 0 1 0 ^ = 5 0 -» mcc = 509
Por lo tanto, el ángulo en el sistema sexage- 
sima! es 45° ; clave f
Problema N.° 11________________________________
LoLnúmeros S, C y R representan la medida 
de un ángulo en el sistema sexagesimal, cente­
simal y radial, respectivamente, de ello
^ 2 0 R - 2 9 2 S + C + — - - 4 9
Halle la medida del ángulo en el sistema radial.
A) — rad ’ 10
B) radb
C) — rad 9
D) ■— rad ; 12
E) — rad 20
Resolución 
Sabemos que
nS=9k; C=m -,R = — k 20
Reemplazamos en el dato 
20 R2S + C + - = 29
Tí
29-» 2(9/r)+10<r+— í — 2
V U o . .
182+102+2=29 
292=29 -» 2=1
Reemplazamos
S=9k=9 —» m< = 9°
C=10A=10 m<=109
Tí Tí 71 ,R = — K = — -> m< = — rad 20 20 20
Por lo tanto, el ángulo en el sistema radial
es — rad.20
! Clave
Problema N.‘ 12
A partir de gráfico, calcule el valor de x.
A) 9 
D) 12
C) 11 
E) 13
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Resolución
Colocamos los ángulos en un mismo sentido 
(antihorario).
Del gráfico
9x° + 90g=180°
Convertimos a sexagesimales.
90g = 90^ 
90g=81°
í go
V10
Reemplazamos en (*). 
9x°+81°=180°
9 x \ = 9 9 \ ->• 9x=99 
■ x —11
i Clave
P r o b lem a N.‘ 13____________________ —--------
Calcule la medida del ángulo AOB en radianes.
A) — rad 
^ 12
D) ^ ra d
E) f rad
Resolución
Colocamos los ángulos en un mismo sentido 
(antihorario).
Del gráfico
(5x-5)°= (4x+10 )9
Convertimos a sexagesimales.
U 9 V(5 x-5 )°\ = (4x + 10)
10(5x-5) = 9(4x+10) 
50x-50=36x+90 -> 14x=140 
x =10
Luego, m < A 06= (5x-5 )°
Reemplazamos x=10.
m<406=(5(10)-5 )° ->
m < 4 0 6 = — rad 4
Problema N.‘ 14______________________________
La medida de un ángulo en el sistema sexa­
gesimal es (x -1)° y en el sistema centesimal es 
(20-x)9. Calcule la medida de dicho ángulo en 
radianes.
A) rad 10
D) — rad 
1 20
B) — rad 
' 12
O - ra d 
E, f rad
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución Resolución
Sea a la medida del ángulo. Nos piden a.
a = (x - 1)° (I)
cc=(20- x )9 (II)
Igualamos (l) y (II).
( x - 1) \ = (2 0 - x )
A
y Convertimos 609 a grados sexagesimales.
Entonces
10(x-1)=9(20-x) 60g =6X^
f 90 ^
10x-10=180-9x
19x=190 x =10 -> 609=54°
Reem plazam os en (I).
a = (10- 1)°
—> oc=9°
1
Del gráfico 
a+ 609=90°
a+54°=90° -y a=36°
Nos piden el ángulo en radianes.
Q > f " rad ) 
a = 9 \ l 8 0 \ J
Convertimos a radianes.
n f n rad" a - 3 6 \ v
U 8 0 \ J
. a = -~-' rada 20 ? Clave \
a = ^ rad
¡ Clave í.
I_ l___ a M ‘ 15
■> Problema N.° 16
^ ro u ie n i« ------------ ---------
Uno de los ángulos agudos de un triangulo 
rectángulo mide 60*. Calcule la medida 
otro ángulo agudo en radianes.
A) í rad B) f rad Q f "«*
Los ángulos interiores de un triángulo están 
en progresión aritmética. Halle la medida del 
ángulo intermedio en el sistema radial.
2n
A) — rad B) — rad C) — rad 
4 á
« . E) D) ~r rad 4
— rad
3
. 471 , 
D) y rad E) — rad ; 2
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Resolución
Damos valores:
- 0: razón de la P.A.
- x-Q ; x; x+0: ángulos en P.A.
Entonces
x - 0 < x < x +0
Del gráfico
(x —X ) + x + (x + \ ) = 180°
3x=180° -> x=60°
En consecuencia, el ángulo intermedio es 
x=60°.
Resolución
Como la razón de la P.G. es 2, entonces los 
ángulos son 0; 20 y 40.
Del gráfico
0 + 20+40=180° -> 70=180°
_ 7T70=tc rad — > 0 = — rad 7
4 ttPor lo tanto, el mayor ángulo es 40 = — rad.
: Clave .
Luego, lo convertimos al sistema radial.
6 0 °= ^ rad 7
í Clave
Problema N.° 18______________________________
A partir del gráfico, halle x -y . Considere que 
ABCD es un trapecio.
Problema N.° 1 ? ______ ___________ — —
Los ángulos interiores de un triángulo están 
en progresión geométrica de razón 2. Halle la 
medida del mayor ángulo en el sistema radial.
A) ^ rad B) f rad C) f rad
n 671 ,571 . E) — radD) y rad ' 7
B C
A) 30° 
D) 60°
B) 45°
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución Problema N.* 19
Como ABCD es un trapecio, entonces BC//AD. \ Tenemos el siguiente gráfico.
En el vértice B 
x + 5 0 g=180°
x+5 \V
9o s\
iX V
=180°
V J
x+ 45°= 180°
x=135°
En el vértice C
y + 2 ï rad=180°
. 27Trad
y+ 3
/ 180° á 
ĈracL
= 180°
y +120°=180°
-> y= 60°
Luego
x _ y=135o-6 0 o 
... x -y= 7 5°
Calcule x+ y en radianes.
A) — rad B) ^ rad 
3 4
D) n rad
Resolución ;
:::Jr
1
V
Vi .
§£è
Importante
En el problema
x+126°+y+609=360°
V i 9°
_ 5n , C) — rad 6
E) — rad 6
(X -I p - f 0 i (i) - >60 ■
—̂ x+y+126°+6Í4 = 360c
; Clave
x+y+126° + 54°=360° 
-> x+y=180°
Capítulo i Sistemas de medición angular
Convertimos 180° a radianes. 
x+y=n rad
¡ Clave \
Problema MA 20
Si S y C son los números de grados sexagesi­
males y centesimales, respectivamente, para 
un cierto ángulo, halle la expresión M.
M = 5C -2S
2 (C - S )
+ 3
Problema NA 21 
A partir del gráfico, calcule x.
A) 5 B) 6
D) 8
R e so lu c ió n 
Sabem os que
S=9k a C=10/c
Reemplazamos en M.
M =
V
5(10/0-2(9/0 + 3
C) 7 
E) 9
A) 40 B) 42 C) 48
D) 50 E) 54
Resolución
Aplicamos el teorema de triángulos.
/50/c — 18/r
- m = \ H f ~ +3
Del gráfico
x'+9°18‘ =2°20, + 7°40'
x' +9o+ 18'=2°+ 20'+ 7°+ 40' 
x '+ H + 18‘ = H + 60'
M=4+3
M=7
—> x'=42‘ 
x=42
: C/ove i.
! C/ove :
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Problema M° 22 
De la siguiente igualdad: 
( ti ti n n
U + 6 +Ï 2 + 2Ô
calcule x.
A) 10 
D) 15
Resolución 
Operamos
n , ti
rad= f b ° b ‘ )—-----49J V b' J x
B) 12 C) 14 
E) 16
7T 71— rad+— rad+— rad+— rad=| - ^2 6 12 20 V b\
- 4 9
90°+30o+15 + 9°=
6Íb
^60 v + b '_ A9y
V b‘ J
144°=
V
- 4 9
_> '144°=(61-49)°x 
144\ = 12\x
x=12
Clave
Se crea un sistema de medición angular X, 
donde 1X equivale a 20 ̂ Calcule el equiva­
lente de 5X en el sistema sexagesimal.
B) 72c C) 80° 
E) 100°
Resolución
Dato:
1X=209
Utilizamos el factor de conversión.
5X = 5 \ 209
u K ;
-> 5A =5 2
l QO h
0 4 y
5 -5(2)(9°)
-a- . 5X=90°
Por lo tanto, 5X equivale a 90°.
i Clave
Problema N/ 24
A partir del gráfico, halle el valor de 59x.
A) 720 
D) 72 000
B) 72 C) 7200 
E) 3600
Resolución
Del gráfico, aplicamos el ángulo exterior. 
92°+x"=90°+x '
2°+x"=x'
2°= x'-x"
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Convertimos los ángulos de grados sexagesi­
males a segundos sexagesimales. 
2(1°)=x(1')-x(r)
2(3600")=x(60")-x(1")
7200\=x(59\) - » 7200=59x 
59x=7200
; Clave l
Problema N.° 25
Exprese la siguiente sumatoria en radianes: 
/4=19 + 29 + 39+49 + ...+4009
A) 400 rad B) 403 rad C) 402 rad 
D) 401 rad E) 404 rad
Resolución
Aplicam os la propiedad de sumatoria
1 + 2 + 3 + .. . + n = n{n +1)
Del problema se tiene
400(400+ l)9
/̂ _'ig+29 +39 +49+...+4009 = 
/\ = 802009
Ahora expresamos a radianes 
A = 802009 = 802XH
\ f n rad ^
• Clave \
2 X X
A yA=40171 rad
P ro b le m a N. 26 _____ _——— —---- -—
Los ángulos de un triángulo se encuentran en 
progresión aritmética de razón 20° Calcule la 
medida del ángulo Intermedio, en radianes.
A) rad 4
D) 7 rad
Tí jB) — rad C) ^ rad 
E) f r a d
Resolución
Sean x-2 0 °;xyx+ 2 0° los ángulos internos del 
triángulo.
Además, sabemos que los ángulos internos 
suman 180°.
(x -20°) + (x) + (x+20°)=180°
3x=180°
—> x=60° (ángulo intermedio)
Nos piden en radianes.
 ̂71 rad ̂:6 0 \
180* 1J
x = — rad
; Clave ■
Problema N.* 27 _________________
Se crea un sistema de medida angular N, tal 
que su unidad ( lN) equivale 1,5 veces elángu- 
lo llano. Halle el equivalente de cinco ángulos 
rectos en este nuevo sistema.
3 )» t i r
B) 3n
C ) (
D) 5n E) 1
Resolución 
Según el dato 
1N=1,5(180°) 
1N=270°
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Nos piden convertir 5(90°) al sistema angular N. 
5(90°) = 4 S \ \
í -|N á 
2 7 k \
rN
-> 5(90°) = — 
3
•. 5(90°) = ( | '
Problem a N.° 28
i Clave •
Determine el ángulo en el sistema radial si se 
cumple
A
M s - .
= 15
Además, S y C son los números convencio­
nales para un mismo ángulo.
A) ^ ra d 
D) ^ rad
Resolución 
Sabemos que
B) - ra d 4
Q f r a d
TCE) - ra d 3 ■
71
S=9k', C=10/r y R = ̂ k
Reemplazamos S y C en el dato.
9 k + 1 lOfc10
-1 =15
_> (ür+1)( -̂1)=15
Aplicamos diferencia de cuadrados. 
/c2—1=15 
= 16 —>
Reemplazamos
R =— (4)
20
5 *
Por lo tanto, el ángulo en el sistema radián es
71 A— rad. 
5
; Clave i
Problema N.° 29__
Calcule la expresión M. 
ti2(2C + S)(2C-S)M =
400R¿
A) 319 " y B) 309 
D) 296
Resolución 
Sabemos que
S=9k;C=Wk y R = — k •
Reemplazamos
7i2(2(10/r) + 9/r)(2(10/f)-9/r)
C) 303 
E) 285
M = ■
4001 Tok
M =
ni(29k)(m )
^oa \ 2-k2^oa
-> M=(29)(11) 
M=319
i C/oue
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
Problem a N.° 30
Sean S y C lo convencional de un ángulo, para 
el cual se cumple que
r Cx3r 192m 1°12‘55 + 3C = ------+ ■
2m 3'
Calcule el número de grados sexagesimales.
A) 10 
D) .18
Resolución
B) 81 C) 72' 
E) 9
Nos piden el número de grados sexage­
sim ales: S.
Sabem os que
71
S=9/c; C = m y /? = — /: 
Reemplazamos S y C en el dato.
5(9/0 + 3(10/0 = 
75 k =
l9+2m 1o +12'■ + •
2m 3 ’ 
100m+2m 60 ’+12 '■ + ■ 3'
Clave '•
75/r=51 + 24
-> k=1 
S=9k=9
Problema N/ 31[_____________— ------ --------
Sean S y C los números que representan la 
medida de un ángulo en grados sexage­
simales y centesimales, respectivamente, tal 
que se cumple que
C+S+100g=2S+90°+4.
C S Calcule — i— . 
2 3
A) 30 
D) 42
B) 36 C) 38 
E) 32
Resolución
Convertimos a sexagesimales. 
C + S + ^0C = 25+ 90C + 4 
C -S= 4
10/r-9/r=4 -> k=4 
Luego
• S-9k-36
. C=10/r=40
Nos piden
C 5 
2 + 3
Reemplazamos
— + — =20 + 12 
2 3
C 5 __ — + — = 32 
2 3
Clave
Problema N.° 32___________________
Si
. a + B=12o
. /\ + O10g
• B + C=—— rad 36
halle B -C en grados sexagesimales.
A) 1o 
D) 4o
B) 2o C) 3o
E) 5o
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Convertimos los ángulos al sistema sexage­
simal.
• A + 8 =12°
• A + C = 10^ 9o ^= 9°
8 + C = — íád. 36
110^
' 180° ̂
ktí rad
0)
(II)
-5o (III)
Sumamos (I), (II) y (lll).
2A + 2B + 2C=26°
A + B + C=13°
Reemplazamos (I) en (IV).
12° + C=13°
-> C=1°
Reemplazamos (V) en (lll).
8+1°=5°
-> 8=4°
8-C= 3o
Problema N.° 33
(IV)
(V)
i Clave
A partir del gráfico, calcule x en grados sexa-
A) 100°
D) 115°
B) 105° C) 110°
E) 120°
Resolución
Por el teorema de triángulos tenemos que
X = 20°+609 + — rad 5
Convertimos los ángulos al sistema sexage­
simal.
x = 20°+ 60g
' go N
+ K' rad f 180° "
uoV
1 CHJ• 5
-> x=20° + 54°+36° 
x=110°
Problema N/ 34 
A partir del gráfico, calcule 90.
i Clave \
A) 500 
D) 630
Resolución
B) 510 C) 320 
E) 530
Por el teorema de triángulos tenemos que 
09 + 309 +100°=180°
-> 09 + 3O9 = 8O°
Convertimos los ángulos a grados cente­
simales.
109 
9o
A = Rnn9
O9 +309 = 80° x-
A,-» 90 ' + 270^ = 800 
90=530
i Clave
Problema NL* BB
Del gráfico, calcule el perímetro del triángulo 
ABC si AB y AC son, enteros; además, S y C 
son números convencionales para un mismo 
ángulo.
En el problema 
-> 55-C> 0 a S—18>0 
55-10/c>0 a 9/r-18>0 
55>10/c a 9/r>18
8
A) 12 
D) 16
B) 14 C) 15 
E) 18
Resolución 
Nos piden 2p.
Se sabe que
y [x> 0 <-» x >0
5,5>/c a k>2 
-> 2 < Ar< 5,5
Luego
k: 3; 4; 5
Pero AB y A C son enteros.
-> /c=3
Del gráfico
AB = yJsS-C = >/55 — 10/c = V55 — 30 = 5
AC = >/S —18 = >/ 9/r — 18 = n/ 27 — 18 = 3
Nos piden el perímetro del triángulo A fíC (2p).
2 p=AC+BC+AB 
-> 2p=3+4+5
2p =12
; Clave \
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. A partir del gráfico, calcule el valor de x. i 5. A partir del gráfico, halle el valor de x.
A) 8 
D) 11
B) 9 C) 10 
E) 7
2. Del gráfico, calcule el valor de x.
A) 20° 
D) 35°
B) 25° C) 30° 
E) 40°
3. Halle el valor de x.
D) 9 E) 10
4 . Calcule el valor de laexpresión M. 
50g + 25°
M = 10g+1°
L ,
A) 3
D) 8
B) 5 C) 7
E) 9
A) 8 
D) 6
B) 9 C) 10 
E) 7
6. Calcule x en función de los ángulos a y (3.
A) 180°+a+{3
B) 9 0 °-a -p
C) 180°+cc-(3
D) 180°-oc-p
E) 180°+|3-a
7. Halle la expresión T. 
n rad4 0 9 - .
T = 30n rad 
12
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
8. La suma de dos ángulos es 120° y su dife-
71rencia es — rad. Halle la medida del menor 6
ángulo, en radianes.
A) — rad B) — rad C) 71 ̂— rad12 9 6
D) —rad 4 E)
-rad3
Capítulo 1 Sistemas de medición angular
9. A partir del gráfico, calcule el valor de 0.
D) 50 E) 55
10. Calcule el valor de la expresión N.
1 rad + 3 rad+ 5 rad+ ...+2015 rad %N =
A)
1o+3°+5°+... + 2015°
180 B) — 
ti 180
90 D) —
71
11. Halle la expresión F.
C)
E)
71
90
360
71
M
— rad + 40g + 29° 
4
8o
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. En un triángulo, dos de sus ángulos inte­
riores miden ^ rad y 1009. ¿Cuál es la 18
medida del tercer ángulo, en radianes?
A) ^ ra d
D) | r a d
2ti , B) — rad 9
C) — rad 9
E) — rad 
18
13. La medida de un ángulo en el sistema 
sexagesimal es (10x+5)° y en el sistema
7Tradial es — rad. Halle la medida del ángulo 
en el sistema centesimal.
A) 209
D) 509
B) 3 O9 C) 409 
E) 60g
14. Si S y C son los números de grados sexa­
gesimal y centesimal, respectivamente, para 
un mismo ángulo, calcule el valor de E.
E = 105 + C
V C -S
+ 7
A) 14 
D) 17
15. Calcule 9a.
B) 15 C) 16 
E) 18
A) 399 
D) 660
B) 457 C) 511 
E) 789
16. Calcule 0 en grados sexagesimales.
B) 76?
17. Si
• x+y=19°
109• x + Z——
3
n• y + z = — rad
18
halle y -x .
A) 3°
D) 9°
B) 5e C) 7° 
E) 11°
18. A partir del gráfico, calcule x.
A) 30 
D) 36
B) 32 C) 34 
E) 38
19 Exprese la siguiente sumatoria en radianes: 
,4 =1° + 2o +3° + 4o +... +180°
A)
177ti
2
rad
B)
17971
2
rad
C)
18171
2
rad
D) 183ti2
• rad
E)
185ti
2
- rad
20. Se crea un nuevo sistema de medición an­
gular M, donde 1M equivale a 309. Calcule 
el equivalente de 6M en el sistema sexa­
gesimal.
A) 159° 
D) 162°
B) 160° C) 161° 
E) 163°
21. A partir del gráfico, halle el valor de x.
31° +x'
A) 36 
D) 3,6
B) 360 C) 3600 
E) 36 000
22. De la siguiente igualdad:
 ̂71 71 K Tí--1----!----i---U 9 6 15 
calcule x.
\
rad = [ > x m „ 0
) l xm J x,
A) - 2
D) 1
C) - 3
E) 2
23. Se tienen tres ángulos, tales que la suma 
del primero con el segundo es 24°, la suma
7Tdel segundo con el tercero es — rad y la
suma del primero con el tercero es 12°. 
Halle el menor ángulo en radianes.
71A) — rad 36
D) — rad 45
B) — rad 90 C) — rad 30
E) — rad 18
Capítulo i Sistemas de medición angular
24. Tenemos un nuevo sistema de medida
angular ( lA) , tal que 15a equivale a la 
décima parte del ángulo de una vuelta. 
Halle el equivalente de 729 en el nuevo 
sistema
A) 10a B) 18a C) 20a 
D) 25a E) 27a
25. Del gráfico, calcule —.y '
26. A partir del gráfico, halle el valor de x.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 15 E) 20
27. Dado el triángulo isósceles ABC de baseAC, 
halle la medida del ángulo desigual.
' A) 80° B) 110° C) 100° 
D) 120° E) 108°
28. Según el gráfico, calcule ü.
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 40° E) 80°
29. Halle el valor de H.
19 l m io i'
— f —
1m V
A) 160 B) 161 C) 162
D) 163 E) 164
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
30. Calcule el valor de F.
P _ 7t2 (3C + 2S)(3S+ 2Q 
400R2
A) 1561 B) 1972 C) 2256 
. D) 2461 E) 2873
í
31. Calcule el valor de A + B. 32
33. Sean S y C los números convencionales 
para un mismo ángulo, tal que
?oi:' ig4 m
9S-3C = -----+------5' 4m
Calcule la medida del ángulo en grados 
sexagesimales.
A) 9o B) 18° C) 27°
D) 36° E) 45°
32. Calcule el valor de m.
34. Halle la expresión N.
^ _ 10g+20g+30g+... + 90g 
1o +2° +3° +... + 9°
A) 6 B) 9 C) 12
D) 18 E) 27
35. Halle la medida del menor ángulo.
A) 30° B) 45° C) 36° 
D) 20°. E) 40°
36. Del gráfico, halle x.
B) 3 C) 4 ‘
E) 6
A) 5o
D) 25°
A) 2 
D) 5
B) 10° C) 20°
E) 30°
Capítulo i Sistemas de medición angular
37. Sean S y C lo convencional para un mismo 
ángulo tal que
1,2C+—= 65.9
Halle la medida del ángulo en el sistema 
radial.
39. Calcule el valor de 9x a partir de la siguien­
te igualdad:
3>x° + — rad 20
— rad-9x° 6
« . 7T .A) —rad 
6
D) — rad 
18
B) - ra d 5 C) - ra d 4
E) - ra d 3
38. A partir de la siguiente igualdad:
20S9 +C° = 172(
calcule 20R si S, C y R son lo convencional 
para un mismo ángulo. . .
A) -
2
D) 3tc
B) 71 C) 2ti 
E) 4tc
.
V V
%
A) 10 
D) 20
B) 15 C) 12 
E) 30
40. Si se cumple que \¡4S + \/l0C =16, halle 
la medida del ángulo en el sistema radial 
siendo S y C lo convencional.
A) — rad 10
D) - rad 3
B) - ra d 5 C) — rad 4
E) — rad20
C laves
1 6 . 11 I 16 21 26 31 36
2 7 12 j 17 22 27 32 37
3 8 13 ! 18 23 28 33 38
4 9 14 I 19 24 29 34 39
5 10 15 I 20 25 30 35 : 40
5
'
En el estudio de las matemáticas, se denomina arco a 
cualquier curva continua que une dos puntos. Un arco en 
particular es cuando esta curva corresponde a una circun­
ferencia y, a partir de ello, se puede estudiar el compor­
tamiento de un punto que se desplaza por el arco de una 
circunferencia y el número de vueltas que pueda desarrollar. 
De esta manera se puede entender el principio que sigue 
el movimiento de las ruedas, poleas y engranajes cuando 
estas desarrollan una cantidad determinada de vueltas.
En el caso de un arco irregular, muchos grandes pensadores 
consideraron imposible calcular su longitud. Las primeras 
mediciones se hicieron a través de métodos de aproxim a­
ción: trazaron polígonos dentro de la curva, calcularon la 
longitud de cada uno de sus lados para luego sumarlos y así 
obtener una aproximación a la longitud de la misma. M ien­
tras más segmentos usaban, disminuía la longitud de cada 
uno, con lo cual lograban aproximarse cada vez más a la 
longitud de dicha curva. Más adelante, en el siglo xvn, se 
lograron desarrollar otros métodos que permitieron deter­
minar soluciones más precisas para obtener las longitudes 
de los arcos de diversas curvas.
En la actualidad es una herramienta importante para la 
ingeniería, arquitectura, mecánica, astronomía, entre otros.
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
___i_;
• Calcular la longitud de un arco de circunferencia así como 
el valor del área de un sector circular.
• Identificar y explicar los conceptos vertidos en situaciones 
cotidianas.
¿ P o r qué e s n e c e sa r io e s te co n o c im ie n to ?
Permite entender los principios que sigue el movimiento 
mecánico circular; por ejemplo, cuando se analiza el número 
de vueltas que da una rueda.
LONGITUD DEL ARCO DE UNA
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Importante
Se denomina sector circular a 
la región geométrica que limita 
dos radios de una misma circun­
ferencia y el arco limitado por 
dichos radios.
Notación: 0 /4 0 8
Se lee: “Sector circular A08 ”.
No olvide
el arco de una circunferen­
cia tiene la misma longitud que 
su radio, entonces el ángulo
central mide 1 rad.
Longitud d e l arco d e u n a c ir c u n fe re n c ia
1. ARCO DE CIRCUNFERENCIA
Es aquella porción de circunferencia limitada por dos puntos 
de la misma.
Notación: AB 
Se lee: “Arco AB”.
También
• CA: arco CA
• BC: arco BC
1,1. Cálculo1 ele la longitud de un arcó de circunferencia 
Dada una circunferencia de radio R en la cual ubicamos un 
ángulo central cuyo arco tiene longitud R, se puede afirmar 
que la medida de dicho ángulo es un radián (1 rad).
i Si consideramos un ángulo central igual a 2 rad, el arco tendrá 
j una longitud de 2R. Si tomamos 3 rad, la longitud del arco será 
i 3R. Podemos inferir que si el ángulo central es O rad, el arco 
i tendrá una longitud igual a GR.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Luego
í ~QR ; 0<Q<2n
donde
9: número de radianes del ángulo central 
R: radio de la circunferencia 
fi: longitud del arco
¡Cuidado!
Para poder utilizar la fórmula anterior, la me­
dida del ángulo central debe estar expresada 
en radianes. Si dicha medida está en otras uni­
dades, utilizamos un factor de conversión para 
expresarla en radianes.
Ejemplos3=1(2 m) 
B=2m
3=2(35 cm) 
!=70cm
0=(1,5)(4 km) 
3=6 km
Aplicación 7
En una circunferencia de 6 m de radio, se tiene
Tíun arco cuyo ángulo central mide — rad. Halle 
la longitud de dicho arco.
Resolución
Graficamos
Nos piden hallar la longitud del arco AB.
Por lo aprendido
fl=e/?
tenemos que
0 = — y R=6 m 3
Reemplazamos
(3=-^(6jn)
X
—> (3=271 m
Por lo tanto, la longitud del arco AB es 2tt m.
9
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 2
Un sector circular tiene un ángulo central de 45° y un radio de 
60 cm de longitud. ¿Cuánto mide la longitud de su arco?
Dato curioso
Un disco duro está compuesto 
por varios discos apilados en­
vueltos en una carcasa imper­
meable al aire y al polvo. Estos 
discos son. hechos de aluminio 
o vidrio recubiertos en su super­
ficie por un material ferromag- 
nético alrededor de un eje que 
gira gracias a un motor, a una 
velocidad muy rápida. El diáme­
tro de los discos oscila entre 5 y 
13 cm. La superficie de un disco 
está dividida en unos elementos 
i llamados p istas, donde se al- 
: macena la información.
1 Las pistas se dividen en secto- 
; res. Un sector es la unidad bási- 
i ca de almacenamiento de datos 
| sobre los discos duros; la mayoría 
; de los discos duros usan secto- 
: res de 512 bytes cada uno. A un
• grupo de sectores cuyo tamaño
• depende del disco se le deno-
: mina clúster.
! " í
Resolución
Graficamos
Nos piden i
Como el ángulo está expresado en grados sexagesimales, lo 
convertimos a radianes.
= - rad 
4
ti rad
180 /
4
V ' ■■ ■— '
■ : OI de 
.eohvcrsióií
De lo aprendido, Í=GR.
-> 0 = — y R=60 cm 
4 y
Reemplazamos
15
(6(í cm)
A
C=157tcm
Aplicación 3
Se quiere conectar dos pistas, tal como se observa en el 
gráfico. Si la longitud del arco AB es 20tt m y el topógrafo 
midió el ángulo 0 obteniendo 120°, ¿cuánto mide la longitud 
del radio?
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Resolución
A partir del gráfico y con los datos del proble­
ma, obtenem os el sector circular AOB.
\ Si G es la longitud del arco AB
i -» G=0/?
i Consideremos la fórmula anterior.
V J v y I l / i i
,2
Se sabe que
Q=0r y Q=20n m
Com o 0=120°, entonces lo expresamos en 
radianes.
û 271-> 0 = — rad
3
e = j ¿ Á n ra c n
V
Reemplazamos
2 t f / m = ^ - ( r )
r=30 m
1.2 . Área de un sector circular ' u
Se cumple que
(l R
donde
- R: radio de la circunferencia
0 ; número de radianes del ángulo central
- § : área del sector circular AOB
§ = 0/? ¿ x R
Además R = - 0
Reemplazamos en § .
§ = — X — -A 
2 0
A plicació n 4
Halle el área de un sector circular cuyo radio 
tiene 6 m de longitud y su ángulo central 
mide 30°.
Reso lució n
Graficamos un sector circular, donde § es el área 
de dicho sector.
Expresamos el ángulo central en radianes.
30o f * radÁ ti
180°
6
= — rad 6
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Importante
Notación: QACDB 
Se lee: “Trapecio c
Sabemos que
§ = ~~7 x —j m2)
A Jb
/. §=37i m2
A plicac ió n 5
Se sabe que el área de un sector circular es 10,5 m2 y la longitud 
de su radio es 3 m. Determine la longitud de su arco.
Reso lució n
Como se conoce el área (§) y el radio (r), nos piden la longitud 
del arco (fi). Observamos que una expresión relaciona estos tres 
términos.
§ = — _> 10,5 m2 _
2 X . 2
2 /,/n x ,2Í m 2' 21 m =G(3 m) -»
m
Aplicación 6
En la esquina de una céntrica calle, la pista presenta una curva. 
Si el ancho de la pista es de 8 m y falta asfaltar la región indi­
cada, ¿cuánto mide el área que se tiene que cubrir de asfalto?
Existen variedades de diseños 
de estructuras arquitectónicas, 
como, por ejemplo, las cúpulas, 
portales, tanques de almacena­
miento, carreteras. En la actua­
lidad, se utilizan con frecuencia 
arcos de circunferencia debido 
a su estética y a su capacidad 
de contener volumen máximo.
No olvide
La región limitada por dos arcos 
de circunferencia que tienen el 
mismo centro y los segmentos 
cuya longitud es la diferencia de 
sus radios se denomina trapecio 
circular. Á .
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Resolución
Del gráfico extraemos la parte que falta asfaltar 
para determ inar su área.
A
Se observa que los sectores circulares AOB 
y CO D tienen el mismo ángulo central, cuya
71medida es 90°, es decir, — rad.2 ^
Nos piden lk RS.
Luego
^ R S ~ ^ O A O B ~ ^ ':C O D
-> A RS= ^ | 0 2 m ) 2 - i x | ( 4 m ) 2
36 4
A w - j (y á m2) -- - j ( A m2)
_> 1Ars =36n m2 - 4 n m2 
/ . Jk RS=32nm 2
Aplicación 7
¿Qué ocurre con el área de un sector circular 
si duplicamos su radio, pero mantenemos su 
ángulo central?
Resolución
Tenemos un sector circular inicial de área § v
Sabemos que
Ahora, mantenemos el ángulo, pero duplica­
mos el radio, generándose un sector circular 
de área § 2.
úreJ ¡1e¡ , ciel
;;:dor vn.to' ¡iiícmI
Por lo tanto, el área del sector final es el cuá­
druple del sector inicial.
1.3. Area de un trapecio circular 
Dado un trapecio circular, se puede obtener 
su área a partir de la diferencia del área del 
sector mayor menos el área del sector menor, 
sin embargo, también es posible utilizar otra 
expresión para el área, que emplearemos según 
los datos que se nos presente en un ejercicio.
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Se cumple que
donde § es el área del trapecio circular ACDB.
Reto al saber
Utilizando lo aprendido hasta el momento, 
demuestre la fórmula para el cálculo del área 
de un trapecio circular.
Aplicación 8
A partir del gráfico mostrado, halle el área de 
la región sombreada. Considere que ACDB es 
un trapecio circular.
'O-c
Resolución
Aplicam os la fórmula para el cálculo del área 
de un trapecio circular.
Sea § el área pedida.
. 6 + 2 '
§ =
§=12 u'
2. APLICACIONES DIVERSAS 
Hay aplicaciones que se dan en el estudio del 
movimiento circular y en el cálculo del núme­
ro de vueltas que da una rueda o una polea. 
Ello permite entender el principio básico que 
siguen los motores o los sistemas que están 
formados por poleas conectadas a través de 
fajas o en contacto una con otra.
2.1. Número de vueltas que da una rueda al 
desplazarse sin resbalar 
Tenemos una rueda de radio r que se desplaza 
sobre una superficie rodando desde una posi­
ción A hasta otra posición B.
El número de vueltas que da la rueda en dichas 
condiciones será calculado considerando la 
siguiente expresión:
donde
- nv: número de vueltas que da la rueda
- r radio de la rueda
- 0C: longitud del recorrido del centro de la 
rueda
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Obsedamos que mientras la rueda se desplaza, el centro de la 
misma describe una trayectoria que depende de la superficie 
sobre la cual se mueve la rueda.
2.1.1. Si la superficie es recta
El recorrido que describe el centro de la rueda es una línea 
recta, en donde su longitud coincide con el recorrido sobre 
la pista /AB.
r >v" _ /—7—* 7 \ \x/i
. (S--AB
Aplicación 9
Se tiene una rueda de 50 cm de radio que se desplaza rodan­
do sobre una superficie recta horizontal y recorre una distancia 
de 20ti m. ¿Cuántas vueltas da dicha rueda?
Resolución
Grafiquemos el enunciado.
Como la superficie es recta 
Cc =20tx cm
La rueda más antigua que se 
conoce apareció en Ljubljana 
(Eslovenia) en una zona panta­
nosa. Data de hace aproximada­
mente 5350 a 5000 años. Junto 
a la rueda se encontró un eje, 
dando a entender que la tecno­
logía de la rueda no era inci­
piente.
Más adelante se lograron mejo­
ras notables siendo considerado 
como uno de los inventos más 
revolucionarios del hombre.
Si las ruedas de una bicicleta 
son rj y r2, tal que dan n1 y n2 
vueltas y giran los ángulos 0 ̂ y
02, respectivamente, se cumple 
lo siguiente:
<),/. O, r , ]
-
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Las pistas de competencia para 
salto con bicicleta o scheibord 
tienen superficies curvas circula­
res para evitar que el participan­
te salga despedido de la rampa 
por la velocidad centrífuga que 
genera.
Luego, el número de vueltas que da la rueda (r?v) será calculado 
considerando queDebemos tener en cuenta que las unidades del radio y del 
recorrido del centro de la rueda deben ser las mismas.
í
r = 50 cm 1 m
\
v100 cm.
1—> r = - m2
Reemplazamos los datos.
20,71 m 
7~a \
* )
-> nv=20
Por lo tanto, la rueda, al hacer el recorrido, da 20 vueltas.
2.1.2, Sí la superficie es chiva
Veamos qué ocurre si una rueda de radio r se desplaza sobre 
una superficie curva convexa de radio R.
Para calcular el número de vueltas que da dicha rueda, se 
requiere determinar la longitud del recorrido de su centro.
Notamos que el recorrido del centro es el arco de circunferen­
cia del sector circular 0 . ,0 0 2, cuyo radio es R+r y su ángulo 
central es 0 rad.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Luego
Q ~ 9 í r)
Ahora veam os qué ocurre si la superficie 
sobre la cual se desplaza la rueda de radio r es 
cóncava de radio R.
Observamos que el recorrido descrito por 
el centro es un arco, cuyo sector circular es
O .OO-, que llene un radio igual a R - r y un 
áncuio central de medida a rad.
Luego
^ = a(R-r)
Aplicación 10
En el gráfico mostrado, el radio de la rueda es 
2 u y el de la superficie curva es 6 u. Halle la 
longitud del recorrido del centro de la rueda al 
desplazarse desde A hacia B.
Resolución
Si desplazamos la rueda, observamos que su 
centro describe un arco de circunferencia.
En el <0 O p 0 2, utilizamos la fórmula 
. QC=BR
donde
0=90° y R=8 u
Reemplazamos en la expresión para el cálculo Convertimos a radianes, 
de! número de vueltas (nv). ; „
Pc=4tc u
,90o
V -180°
= — rad —> 2 í>c = - 7 C 8 u ) 2
Aplicación 77
Si las ruedas delanteras de un volquete tienen un radio de 1 m 
y se desplazan sobre un puente curvo cuyo radio mide 23 m, 
¿cuántas vueltas darán ambas ruedas al recorrer el tramo de 
A a B?
Al observar que dos poleas 
están en contacto
oleas tienen radios q 
r2, dan n1 y n2 vueltas y giran 
los ángulos 01 y 02, respectiva­
mente, se cumple
Importante
Si una rueda o polea da una 
vuelta, significa que ha girado 
360° o 2n rad. Si da n vueltas, 
habrá girado 360n° o 2nn rad. 
Luego, si una polea o rueda gira 
un ángulo 0 y da n vueltas, se 
cumple lo siguiente:
y/ ; 0-360n‘-
, ti=2nr> rad 
{//A ______
Reso lu ció n
Para hallar el número de vueltas de las dos ruedas delanteras, 
analizamos solo una y luego duplicamos lo obtenido.
Graficamos solo la pista y la rueda de radio 1.
Como n hallamos L en el 0 0 ,0 0 - ,2nr c 1
Se sabe que
flc =0/? (*)
donde
0=120° y R=24 m
Pero
0 = }20° r ti rad^
3
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Reemplazamos en (*).
3
—> íc=167t m
Luego
( 16;rt /
2 / (1 / )
nv=8
Los motores están constituidos 
por poleas y engranajes que 
transmiten movimiento a todo 
el sistema a través de fajas. 
Dicho movimiento es producido 
por la energía generada por la 
combustión de la gasolina o, en 
la actualidad, del gas.
Se tienen las poleas (1) y (2) de radios q y r2, respectivamente, 
a. Si 0-, y 02 son 'os ángul° s generados por las poleas (1) y (2), 
respectivamente, se cumple lo siguiente:
° 1r1=02r2
b Si n es el número de vueltas que da cualquiera de las 
poleas, se cumple lo siguiente:
r y i n?r?
Cada rueda delantera del volquete da 8 vueltas. Por lo tanto, 
am bas ruedas darán 16 vueltas.
2.2, Poleas,/ á . •
smision
Cuando se utiliza una cuerda 
para levantar carga y ella está 
envuelta en una polea, la cual 
permite elevar o descender la 
carga en función al sentido de 
giro y la cantidad de vueltas, 
se cumple que si la polea tiene 
radio r y da 1 vuelta, entonces 
lo que sube o baja la carga es 
igual a 2n r.
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i:'
pista horizontal de forma 
circular de radio R tal como 
indica la figura está determi-
Considere que la rueda se 
ubica perpendicular al plano 
de la pista.
Si se ubica una moneda fija 
y alrededor de ella se rodea 
con otra moneda similar, 
demuestre que para, rodear 
toda la moneda fija, la 
moneda móvil da 2 vueltas.
A p lic a c ió n 12
Se tienen las poleas de radios 2 u y 3 u unidas a través de una 
faja de transmisión. Si la polea menor da 6 vueltas, ¿cuántas 
vueltas dará la polea mayor?
Reso lu c ió n
Graficamos
Sabemos que 
n/ i =n2r2
Reemplazamos
• \ ■ 9 4 * .. ó
6(2 u)=n2(3 u) -> 12ij = n2 (3dj) -» n2=4
Por lo tanto, la polea mayor dará 4 vueltas.
A plicación 13
Se tienen dos poleas de radios 15 cm y 60 cm unidas por una 
faja de transmisión. Si la polea mayor gira un ángulo de medi­
da 100°, ¿cuánto gira la polea menor?
Resolución
A partir de las condiciones se tiene que
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
S¡ 01 y 02 son los ángulos girados por las 
poleas (1) y (2), respectivamente, se cumple lo 
siguiente:
Reemplazamos
4
p 4 ) = m ° ( $ ó p á )
Es decir
-4 ©-,=400°
Por lo tanto, el ángulo girado por la polea 
m enor es 400°.
Aplicación 74
Se tiene un sistema para levantar carga cons­
tituido por una polea de 20 cm de radio, en la 
cual está envuelta una cuerda sujeta a la carga. 
¿Cuánto se eleva dicha carga si la polea da 
20 vueltas en el sentido indicado?
Resolución
Cuando la polea da 1 vuelta, el punto A 
recorrerá toda la circunferencia de la polea 
y, por lo tanto, la cuerda que se envuelve 
alrededor de ella tendrá una longitud igual a 
la de la circunferencia y será lo que asciende
la carga.
N.° de vueltas Lo que sube
de la polea la carga
1 2n (20 cm)
2 2 x 2ti (20 cm)
20 - 20x2n (20 cm)
La carga asciende 20x2n (20 cm).
-4 h=Q00n cm 
h = 8n m
2.2:2%Poleas unidas por un m ismo ej<
Las poleas (1) y (2) tienen un eje común que 
pasa por sus centros.
Se cumple lo siguiente:
• Los ángulos girados por ambas poleas son 
iguales.
• El número de vueltas que dan ambas poleas 
es el mismo.
COLECCIÓN ESENCIAL
^ __________ Lumbreras Editores
A p l ic a c ió n 75
En el sistema mostrado, la polea de radio 3 
gira 120°. ¿Cuánto gira la polea de radio 4?
Reso lu c ió n
A partir del gráfico, podemos observar que si 
la polea de radio 3 gira 120°, la polea de radio 
1 girará el mismo ángulo.
Sea 0 el ángulo girado por la polea de radio 4 .
Como las poleas de radio 1 y 4 están unidas a 
través de una faja, se cumple que
12O°(1)=0(4)
-> 0=30°
Por lo tanto, la polea de radio 4 gira 30°.
Materiales
• tripley de 20 cmx40 cm
• círculos de tripley de 2 cm; 3 cm y 4 cm de radio
• clavos
• ligas
P ro c e d im ie n to
• Clave los círculos de tripley de modo que queden distribuidos en la 
plancha de tripley.
• Con una liga una dos de ellas.
• Gire una de las poleas. ¿Qué ocurre con la otra?
• Cruce las ligas, únalas con las poleas y gire una de ellas. ¿En qué sentido gira la otra?
. Ahora junte las poleas de 2 a 2, fíjelas en un tripley y únalas con las ligas tal como en el gráfico.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Halle la longitud del arco AB si el radio de la 
circunferencia mide 9 cm.
A) 571 cm 
D) 4tc cm
Resolución 
Nos piden í
B) 9n cm C) 8tc cm 
E) 671 cm
Por ser ángulos opuestos por el vértice teñe- 
mos que
m<COD=m<AOB=120°
En el sector circular AOBse cumple que
Reemplazamos valores.
=úAB
9=120° a R=9 cm
Convertimos 120° a radianes.
rad2; 2Q̂
7i rad i 271 
180°
Luego
cm)
i
Q=6tc cm
i Clave
ProblemaJ Σ_2_____________________________
A partir del gráfico, determine Considere 
que O es el centro de la circunferencia.
A) 4 
D) 5
Resolución
LNos piden -A
h
B) 2 C). - 3
E) i2
Sea R el radio de la circunferencia.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Entonces
Gi
Reemplazamos valores. 
2a+aM = -
2a-a
-> M =
4
\ Clave
* ....................................
Prohiam® N.° 3
Si AOfí y COD son sectores circulares, halle M.
Resolución 
A partir del gráfico 
{^ aC I) " > î=a 
G2=<x(2) —> C2=2a
Nos piden
M =3
; Clave
Problema N,5 4 __ _________ __________
A partir del gráfico, halle el área de la región 
sombreada.
A) 4tc m2 B) 6n m2 C) 3tí m2 
D) 9ti m2 E) 8n m2
Resolución 
Colocamos valores.
Por fórmula
ja = U r 2 2
-> R=3 m
(*)
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Además2719 rad + — rad= 27trad
-> e + ̂ = 27i
9 = 4 71
•ángulo de 
una vuelta
En consecuencia
= ^ 0 (> fn ^ )
0-2
Por lo tanto, el ángulo central mide 2 rad.
: Clave
Reemplazamos en (*).
(3 m)2
Problema NV 6
!&.<)=—7_1
i
íáP
3
A o = y ( X m2)
.*. 2A.<3 = 671I7Í:
Problema N.° 5
■: Clave
El área de un sector circular es 4 m2 y su radio 
tiene una longitud de 2 m. Halle la medida de 
su ángulo central.
A) 3 rad B) 1 rad 
D) 2,5 rad
C) 2 rad 
E) 1,5 rad
Resolución
Por la fórmula del área de un sector tenemos 
que
jho=:^QR2
En un reloj de pared, la manecilla que marca la 
hora (horario) mide 10 cm. ¿Cuál será el reco­
rrido de su extremo libre entre las 2:00 p. m. y 
5:00 p.m.?
A) 4tt cm B) 6tt cm C) 5tt cm 
D) 10n cm E) 8n cm
Resolución
Graficamos un reloj de pared cuyo horario 
tiene una longitud de 10 cm; es decir, R=10 cm.
—̂ 4 m2 = ~0Í2
Se observa que a las 2:00 p.m. el horario 
apunta al número 2 y el minutero a las 12, y 
a las 5:00 p.m. el horario apunta al número 5; 
eso quiere decir que ha recorrido el ángulo 
0 rad. La separación entre los números del 
reloj angularmente mide 30°. En consecuencia, 
entre 2 y 5 tenemos 90°.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Convertimos a radianes. 
f n rad^i
Luego
factor de- 
conversión
71
71 j= — rad 2
0 rad = - rad2
Pero
d=QR 3̂ -(3<í cm)X
fi=57i cm
Por lo tanto, el extremo del horario ha recorrido 
571 cm.
I Clave i )
Problema M.° 7 _____________ ó
El péndulo de un reloj antiguo es de 50 cm de 
longitud. Si el extremo libre de dicho péndulo
recorre ^ m, ¿cuánta es la medida del ángulo 
central que genera?
A) 45° B) 30°
D) 60°
C) 36° 
E ) . 90°
Resolución
Graficamos las condiciones del problema.
Observamos que cuando el extremo libre del 
péndulo se desplaza, describe un arco cuya
nlongitud es igual a — m, cuyo radio es R y 
ángulo central es 0.
Por dato 
R=6 0 cm
Al expresarlo en metros
R= 60-crn 1 m
-» R = - m 
5
Además
71:— m 10
Nos piden determinar el valor de 0. Por el 
cálculo de longitud de arco tenemos que
Q=QR —> - X / n = 0 x X m 
30 X
2
-> í = e 6
TíLuego, el ángulo generado es — rad.6
Finalmente, lo expresamos en grados sexa­
gesimales.
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Problema N.8 8 _________________________
Se tiene un perchero sujeto de forma horizon­
tal a una pared por los clavos A y B. En de­
terminado instante, el clavo A se desprende 
y el extremo describe un arco hasta ubicar el 
perchero de forma vertical. Halle la longitud 
del arco descrito por el punto A si la distancia 
de A a B es 80 cm.
Problema N.° 9________________________________
Calcule el perímetro de un sector circular cuyo 
ángulo central mide 45° y su arco tiene una 
longitud de n metros.
A) 4 (2 +7i) m B) 4(1+ti) m C) (6 + 7t) m 
D) (4+tc) m E) (8 + tí) m
A) 40ti cm \ B) 8071 cm C) 30ti cm 
D) 20ti cm E) 607t cm
Resolución
Observamos al perchero de forma horizontal 
y vemos qué ocurre si se desprende uno de 
sus extremos.
i-------- 80 c m --------- 1
A . 1 " B
ï î ti U U U • v
■\ „ ̂
X R\ x ' S
o- 2
f i \
>• -
A
El extremo A describe un arco de ángulo 6 y 
radio R, donde
0=90°, es decir 0 = — rad
Además R=80 cm
Nos piden 0. 
Como 0=0/?
40
fi=4 l QÓ cm)
í
0=4071 cm
; Clave
Resolución
A partir de los datos, se tiene que
En consecuencia
0=7im; 0=45°; /?=?
Nos piden
2PoAOB=2R + n
Convertimos el ángulo de grados sexage­
simales a radianes.
45ü
Y 7i rad
480°
4
= — rad 4
A partir de 0=0/?
/ 71 n—» n m = — xR 4
R=4 m —> 2R=8 m 
2P<woa=(8+71) m
Clave
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Problema N.° 10
En el gráfico se observa que la rueda de radio 
1 u se desplaza sobre la superficie circular de 
radio 9 u al ir desde A hacia B. Determine la 
longitud del recorrido descrito por el centro de 
la rueda.
A) 4 ti u B) 371 u C) 2n u
D) 571 u \ E ) 671 u
Resolución
Cuando la rueda se desplaza sobre una super­
ficie circular, el centro de la rueda describe un
%>: ^
arco de.circunferencia.
Se sabe que 
Q-QR
Del gráfico
0=90° 0 = — rad2
-> R=8 u
Luego
ú=-(8 u)2
ü=4n u
: Clave [ )
. .................... . . . i i . i *
Problema N.° 11 __________________________
Halle el área de un sector circular cuyo ángulo 
central mide 40g y su radio tiene una longitud 
de 10 m.
A) 10ti rrr B) 2571 m2 C) 2071 m2 
D) 307im2 ^ C " ' E) 15tü m2
% .
I Resolución 
De las condiciones
A
Nos piden
& « a o b= ^ r2
A partir del gráfico
R=10 m y m<AOfí=409
Longitud del arco de una circunferencia
Lo convertimos a radianes.
0
Luego
ti racP
v i 10 Ó Í ,
5
71 A= — rad
1 n
■̂oaob ~ 2 x ~ClO m)
10
—> I k OAOB = -^ (W Ú m 2)
A o>\oe=107im2
Clave
Problema N.° 12
Determine la longitud del radio de un sector 
circular si su arco mide 10 m y su área es igual 
a 40 m2.
A) 10 m B) 5 m C) 8 m
D) 6 m E) 4 m
Resolución
Graficamos
10 m
Aplicamos la fórmula para el cálculo del área.
^ oaob = 2 ^
-» AÓ m / = j(ljEf/n)/?
/?=8 m
: Clave i
Problema N.° 13
Un sector circular de radio R presenta un 
ángulo central que mide 0 rad y su área es A ,. 
Y otro sector de radio 2R tiene un ángulo que
JAmide 0 rad y su área es JA?. Halle —
2 JA,
A) 2
D) 1 2
B) C) 3 
E) 4
Resolución
Tenemos los sectores circulares, cuyas áreas 
son JA1yJA2.
• Consideramos el sector circular de radio R 
y ángulo 0.
Jk ,= -Q R 2 (I)
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En el gráfico mostrado, § 1 y § 2 son las áreas de 
los sectores circulares AOB y COD, respectiva-
A) ~ B) 2 C) 3
° ) 5 E) 4
Resolución 
Colocamos valores.
Del gráfico se tiene que
• § ,= ie (2 R)z= l e / f t 2
■ '. 2 2
§ ,= 20/?2 (l)
• § 2 = j Í 2 e) « 2
s 2=e/?2 y,)
Clave
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Problema N.° 15
En el gráfico, AOB y COD son sectores circulares. 
Halle el área de la región sombreada.
/•i
A) 16 u2 
D) 12 u2
Resolución 
Nos piden § .
B) 9 u ¿ C) 8 u¿ 
E) 10 u2
Por diferencia de áreas tenemos que 
§ = I&o a o b~1a ocod
_> § = —(1)(6 u)2 - | ( D ( 4 u)2
§ = —36 u2 -^ 16 u2 -> 
2 2
*, §=10 u2
§=18 u2- 8 u2
; Clave
Problema N," 15
La rueda de radio 2 se desplaza rodando sin 
resbalar sobre la pista recta AB. Si AB=20n, 
¿cuántas vueltas da la rueda?
A) 8 
D) 5
B) 4 C) 6 
E) 10
Resolución 
A partir del gráfico
:• V - - > -\ i '-n.'' ü l V7
h
Sabemos que
í cn.. = - k - v 2nr
Como la pista es recta, entonces 
úc = AB
recorrido ¡ongitud 
del centro 'a P'sta 
de ¡a rueda
fc =207i
Además R=2 
Luego
5
20 n _ r
" v ~ 7 7 (7 ) v=
Por lo tanto, la rueda da 5 vueltas en el reco­
rrido AB.
* Clave
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Problema N .'17 i Reemplazamos
-------------------------------------------------------- ; , j
A partir del gráfico, ¿cuántas vueltas da la ; nv = — nv = 1 
rueda al ir de A hacia 8? (r=2 y 8=10) i
A) 2 B) 3 C) 1
D) 0,5 E) 4
Resolución 
Colocamos los datos.
Se observa que el recorrido del centro de la 
rueda es un arco cuyo centro es O, su radio 
es igual a 8 y su ángulo central mide 90°, es
decir, — rad.
2
Luego
Cc = —(8) —> Cc = 4 tü 
Sabemos que
ĉn = —— v 2nr
t - ,
Por lo tanto, al desplazarse desde A hasta B, 
la rueda da 1 vuelta.
] Clave \ }
Problema N.° 1 3 ___________________ _____
Se tienen dos poleas en contacto y sus radios 
miden 2 y 5. Si la polea menor gira 150°, ¿cuál 
es el ángulo girado por la rueda mayor?
A) 60° B) 90° C) 120°
D) 150° E) 30°
Resolución
Sean A la polea menor y B la polea mayor.
B
- r. radio de la polea 
0: ángulo girado 
-> rA=2 a rB=5
Como las poleas pueden girar en cualquier 
sentido, asumimos que la polea mayor (6) 
gira en sentido antihorario generando un 
ángulo 0fi. Luego la polea menor (A) gira en 
sentido horario generando un ángulo 0 ̂ tal 
que 0^=150°.,íi|io di I*.1 ruf'. l.J
Capítulo 2 Longitud del arco de una circunferencia
Se cumple que 
rA®A~rB®B
Reemplazamos
2 (m A ) = A
30°
-> 0e=6O°
Por lo tanto, la rueda mayor gira 60°.
Clave •
Problema N.* IB ~ . .
Se tienen dos poleas unidas por una faja de 
transmisión, las cuales tienen radios Ry r. 
Cuando la polea de radio r da 24 vueltas, la de
D
radio R da 18 vueltas. Halle —.
■r
« i 
» !
» i3 o l3
E) 2
Resolución
Graficamos los datos del problema.
Sean las poleas (1) y (2) de radios Ryr, respec­
tivamente.
Se cumple que 
n^R=n2r
Reemplazamos
m = 24r -> - = ^ r
r yé
R 4 3
r
í Clave \
Problema 20
Se tiene un bloque de masa M sujeto por una 
cuerda que está envuelta en una polea de 
radio 40 cm. ¿Cuánto desciende el bloque si 
la polea da 10 vueltas en el sentido indicado?
■y
C -i
A) 47i m 
D) 671 m
B) 1271 m C) 1071 m 
E) 8n m
Resolución 
Colocamos valores.
J
; M
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Si tom am os en cuenta el punto A, cuando la 
polea da una vuelta en el sentido indicado, el 
punto A recorre toda la circunferencia de la 
polea, es decir, 2nr, donde r es el radio de 
la polea.
Al recorrer A toda la circunferencia de la 
polea, esa es la misma longitud de cuerda 
que se suelta y, por tanto, lo que desciende 
el b loque en una vuelta.
Podem os concluir que lo descendido por el 
b loque cuando la polea da una vuelta es 2nr, 
donde r es el radio de la polea.
Nos piden lo que desciende en 10 vueltas. 
L=W{2nr)
Com o el resultado está en metros, expresamos 
el radio en metros.
L = 1jef
. Ají- 2t i——- m 
>00V.
—> L=Qn m
Por lo tanto, el bloque desciende 8tc m.
• Clave •
Problema N,° 21
Una rueda de radio de 3 u da 15 vueltas al 
desplazarse rodando sin resbalar sobre una 
pista recta. Calcule el recorrido.
A) 907t u 
D) 120ti u
Resolución
G ra ta m o s
B) 80ti u C) 60n u 
E) 10071 u
A partir del gráfico, observam os que el reco­
rrido de la rueda es igual al recorrido del 
centro de la rueda.
d = k
Adem ás
nu =^=- 
v 2nr
Por dato
dn =15 15 =
v 2tc(3 u )
-> d=90n u
Por lo tanto, el recorrido de la rueda es 90tu u .
i Clave ;.
Problema N. 22
Para conectar dos tramos de carretera se ela­
bora una vía con trapecios circulares. Halle 
área de dicha vía si O, 0 1 y 0 2 son centros; 
AO=160 m; OCX,= 0 ,8 ; 0-¡0 2=02C y el ancho 
de la vía es 20 m.
.-0
O O i7 ' 3üc
.. 3100ti 2 n\ 3100ti 2 r-v 2900ti 2A) — :— B) — -— m C) — -— m
4
D) ^ 2 2 2 m2 rx 3200ti 2E) --------m
Capitulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Resolución 
En el gráfico
Observamos que la medida del ángulo central
71de cada sector circular es 30° o — rad. Además,6
el área total de la vía es igual a la suma de las 
áreas de los trapecios circulares.
A vía=A qABNM+^ 0 BCPN+J^ dCDQP 
Entonces
A
_ !
0ABNM ~ 2 — |(l802 -1602) = 7^(6800)12
A ÚBCPN ~ 2 - ] ( l0 0 2 - 8 0 2) = ^ (3600 )12
A = l i —1 (602 - 4 0 2) = 7^(2000)OCDOP 2 V.6
Sum am os las expresiones.
12
A = i ( 6 8 0 0 ) + i ( 3 6 0 0 ) + ̂ (2000 )VÍ3 12 12 12
En consecuencia
^vía
3100
í a = ^ ( l ^ )
n 310071 2
'• A v ( a = ^ — ™
Problema N.c 23
; Clave
En el gráfico, el triángulo ABC es isósceles, tal 
que AB=BC; además la distancia del incentro 
I al vértice C es 27. Halle la longitud del reco­
rrido del punto / cuando el triángulo gira sobre 
C hasta que el punto B llegue al piso.
A) 27tt 
D) 14ti
Resolución 
En el gráfico
/ 8 *
B) 24ti C) 1871 
E) 21tt
COLECCIÓN ESENCIAL
Si consideramos el punto C como apoyo, de 
modo que el triángulo ABC gire, el punto / 
describe la trayectoria de longitud { hasta 
üegar a /'. Además, ICI' es un sector circular 
cuyo ángulo central tiene 140° y su radio 
mide 27.
Tenemos que
140° 7i rad
Ü 8 0 °
7U rl= — rad
Luego
7tc
(Zf )
I=21ti
: Clave \
Problema N.° 24
Una rueda cuyo radio mide 18 cm pasa de 
la superficie AB a la superficie BC. Halle la 
longitud del recorrido del centro de dicha 
rueda.
A) 1671 cm 
D) 1271 cm
B) 21tc cm
C
C) 1571 cm 
E) 18tc cm
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Resolución
Analizamos el gráfico.
La rueda está en contacto con la superficie 
AB en el punto B; considerando dicho punto 
como apoyo gira hasta ubicarse en la superfi­
cie BC, de modo que el centro O describe un 
arco de longitud 0 hasta ubicarse en 0\ donde 
se cumple que O 'B IB C .
En el sector circular OBO', el ángulo central 
571mide 150° o — rad, y el radio tiene una lon- o
gitud igual a 18 cm.
En consecuencia
cm)
Jo
—> fl=157i cm
Por lo tanto, la longitud del recorrido del 
centro de dicha rueda es 15k cm.
Clave
Problema 2B
Si DAC es un sector circular y AO=OB=BC, 
halle
fio
D
En el sector circular MOB 
fi2=20(r)
-> fi2=20r
fii _ 30r _ 2 
^2 ,20r 3
; Clave ■
Problema N2 26
A partir del gráfico, determine el área de la 
región sombreada.
Resolución 
Del gráfico
Sean
m<DAC=Q rad a AO=OB=BC=r 
En el sector circular DOC tenemos que 
=0(3/') —-> 0-|=30r 
Como A AOM es isósceles
B) 12jr u¿ C) 1 5tc u‘
u‘
Resolución 
A partir del gráfico
m<AMO=0 rad 
^ m<M Ofí=20rad
prolongamos AO hasta D, de modo que AD 
sea el diámetro.
COLECCIÓN ESENCIAL
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Se observa que m<COD=40°. 
-> AD//BC Problema N.° 21
C\ABCO\ trapecio
NO OLVIDE
Si AB//CD
A B
donde A , y A 2 son áreas, se cumple
Notam os que las áreas de las regiones trian­
gulares ABN y NCO son iguales. Entonces, el 
área de la región sombreada es igual al á 
del sector circular BOC, cuyo ángulo c 
mide 100° y su radio es 6 u.
donde 100° = rad
Luego
1 ( 5n 
* = 2 9 J
(6) -> A =
5ti(36)
18
2A = 107tu2
[ Clave {
En el gráfico mostrado, AB; CD ; AM y MB son 
semicircunferencias. Determine el valor de E.
i—AM MB
° ) | E) 2
Resolución
Del gráfico
Hallamos las longitudes de las áreas. 
~ = (a + b)nAB
CD
a + b 
~2~
n
AM= bn
MB
Nos piden
C—' + L—. (a + ó)7i+ 
F - A B en
a + b
n
-> E =
-•'7~¡x + —' AM MB
31 — - |7X
io + ^ y í
bn + an
/. E = -2 i C/01/e
Problema N.* 28
Se tienen dos ruedas, cuyos radios miden 2 u 
y 1 u sobre una pista recta y sus centros se 
encuentran separados 80tt u. Si se desplazan 
rodando uno al encuentro del otro, dando 
cada una 10 vueltas, ¿cuál será la separación 
entre los centros?
A) 1 0 te u 
D) 40n u
Resolución
Graficamos
B) 30ti u C) 25tt u 
E) 2071 u
atizamos la rueda de radio 1 u.
—> ^=2071 u10:
Analizamos la rueda de radio 2 u.
10 =
2n(2 u)
—> L2=407tu
Luego
40n+x+20n=80n
x=20n
Por lo tanto, la separación entre las ruedas 
será de 20n u.
; Clave \
Problema N.° 29
Dos poleas unidas mediante una faja de trans­
misión tienen radios de 60 cm y 15 cm. Si la 
polea mayor gira 3 vueltas, ¿cuánto será la 
medida del ángulo girado por la polea menor?
A) 4140°
D) 3860°
Resolución
Graficamos
B) 4420° C) 4320° 
E) 3950°
(I)
1
Como están unidas mediante una faja, se 
cumple que
n^ = n 2r2
-> (3)(^0-Cm ) = n2( J i< m )
4
n2=12
Recordemos que cuando una polea da 
1 vuelta, gira 360°.
Por lo tanto, si da 12 vueltas, gira 360°(12), es 
decir, 4320°.
: Clave •
• ..............................
Problema N.° 30___________ / , - \
Si la polea de radio 3 gira 20 vueltas, ¿cuántas 
vueltas gira la polea de radio 2?
A) 25 B) 30 C) 40
D) 20 E> 35
Resolución
Sean las poleas A, B y C d radios 3; 1 y 2,
respectivamente.
Como están en contacto se cumple lo siguiente:
. Para las poleas A y B 
nArA~nBrB 
Por dato nA- 3
Reemplazamos 
20(3)=/?fl(1) -4 nB=60 
0 Para las poleas By C 
nBrB~ ncrc 
Reemplazamos 
60(Í)=a?c (2) -> nc=30 
Por lo tanto, la polea de radio 2 da 30 vueltas
; Clave i ••. . * .'l . ,
Problema N." 31__________
Indique el sentido de giro y la cantidad de 
vueltas de la polea de radio 5 si la polea de 
radio 9 gira 40 vueltas en sentido antihorario.
A) antihorario; 63 vueltas
B) horario; 72 vueltas
C) horario; 80 vueltas
D) antihorario; 72 vueltas
E) antihorario; 80 vueltas
Resolución 
Colocamos valores.
Considerando las poleas del (1) al (5), si la 
polea de radio 9 gira en sentido antihorario, 
la siguiente en contacto lo hará en sentido 
horario, y así sucesivamente. Por tanto, la 
polea de radio 5 gira en sentido antihorario.
Además, como las poleas están en contacto, 
entonces
n^ - n2r2 = n3r3=n4r4=nSrS
iguales
Es decir
Resolución
Graficamos
n1n1=n5n5
Reemplazamos
40(9)=r?5(5)
-> 72=ns
Por lo tanto, la polea de radio 5 gira 72 vueltasen sentido antihorario.
; Clave , }
Problema M.’ 32_____________ __ ________ _
Halle el área del trapecio circular CABO si el 
área del sector circular AOB es igual a 5 u2, 
además OA-AC.
Sean
OA-r y m<AOB=0 rad 
Luego
¡k - — - 5 u 2AOB ~ 2 ~ ̂u
—» 0^=10 u?
Como OA=AC=r
M _ 0 (2r)2_ e (4 r2)
ja <ocod~ 2 ~ 2
co d = 2 0r̂ = 20 u2
10 u“
Nos piden
•̂oCABD = tb-OCOD ~ ^ 0 A O B
?0ir 5 t/
^ 0CABD~^ U
; Clave
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 33
Determine el área de la región sombreada si 
EOF, COD y AOB son sectores circulares, el 
área del sector AOB es 4 u2 y OA=AC=CE.
A) 20 u2 
D) 120 u‘
Resolución
Im po rtan te
B) 16 u‘ C) 24 u‘ 
E) 18 u2
sv
.y
:
AOB I..
JA■OC0D d2
Del cual
donde JA es el área.
A partir del gráfico
De la observación anterior
,2
■̂qcabd~^ u'
Jk o EOF (3 r y
JA r2^OAOB r
En consecuencia 
JA = 9 (Jk
= 9
O EOF ~ ^ (^ 0 aOb )
— ̂ EOF~~>̂> ^
Nos piden
16 u 2 + Æ l/?s = 3 6 u£ 
JkRS=20 u2
Problema N.* 34
: Clove
Halle el área de la región sombreada si el área 
del trapecio circular CABD es 18 u2.
E
D) 32 u¿ E) 40 û
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Resolución Resolución
En el problema
Cuando la polea de radio r gira 120°, ha dado 
2 vueltas. En consecuencia, la polea de radio 
5 u también da 2 vueltas. Por una vuelta se 
envuelve 2n (5 u) de cuerda y es el mismo 
que sube el bloque M.
Por lo tanto, el bloque sube 20 tí u en 2 vueltas.
: Clave [
Si al ja lar la cuerda la polea de radio r gira 
720°, ¿cuánto sube el bloque M?
Problema N.° 36
En el sistema mostrado, la polea de radio 4 u 
gira 30 vueltas. Halle la cantidad de vueltas 
que girará la polea de radio 3 u.
A) 21 B) 20 C) 18
D) 24 E) 16
Resolución
Problema N.° 35
!ARS = 51h+lA=6Ik
Por dato
32A.=18 u‘
Colocamos valores.
Sean las poleas A, B, C y D de radios 4; 5; 2 y 3, 
respectivamente, en el sistema mostrado.
C) 25tc u
E) 3071 u
A) 157t u
D) 20ti u
B) 1 Ote u
COLECCIÓN ESENCIAL
Para las poleas A y fi
n A rA=n B rB
30(4 )= ns (5)
—> nB=24
• Para las poleas 8 y C 
n B= nC 
-> nc =24
• Para las poleas C y D 
nc rc=nDrD 
24(2)=nD(3)
dd -16
Por lo tanto, la polea de radio 3 da 16 vueltas.
•: C/ave L ;
Problema M.° 37____________________ _ __
La rueda de radio 1 u se traslada desde el 
punto A hasta el punto C sobre la superficie 
mostrada. Halle el número de vueltas que da 
dicha rueda.
A) 8
D) 6
B) 10 C) 12 
E) 15
Resolución 
Del gráfico
Sabemos que
n = 
v Znr
Pero
Lumbreras Editores
-> Cr =^(25) + | ( l 5 )
Kc
2
=2071
Reemplazamos
2071
nv = 271(1)
—> C7V—10
Por lo tanto, la rueda al trasladarse rodando 
desde A hasta C da 10 vueltas.
i Clave
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
Problema H.' 38
En el sistema mostrado, la polea de radio 3 
da 5 vueltas en sentido antihorario. ¿Cuánto 
sube o baja el bloque de masa M? -
A) Sube 5n. B) Baja 6n. C) Baja 5n.
D) Sube 6ti. E) Baja 4tt.
Resolución
Analizam os el sentido de giro de la polea de 
radio 3 y observamos que el bloque baja.
Como la polea de radio 3 da 5 vueltas, la polea 
de radio 2 también.
Para las poleas de radios 2 y 4
2=ẑ 4̂ 4
5(2)=A74(4)
10
4 - n A -» n4~ o
í Además, cuando el bloque M da 1 vuelta, baja 
i 2tt(1); entonces en - vueltas, baja ~ (/n )- es
i 2 /i . decir, 5n.
Por lo tanto, el bloque baja 5n.
Problema N.° 39
Clave •
Halle y- si el área del trapecio circular CABD 
n
es 11 veces el área del sector circular AOB.
A) V3 
D) 2yÍ3
B) 4 C) 3 
E) 3 ^
Resolución 
A partir del gráfico
Sea rrxAOB=Q rad.
Aplicamos la fórmula para calcular el área.
iA = - J- -> 2G
=2 m
La polea de radio 1 también da - vueltas
COLECCIÓN ESENCIAL
Nos piden
24 ¿ X
2 ¿ X
—> ' U 2
■; y
= 12
= 2>/3
i Clave •
Problema N.° 40
En el gráfico mostrado, la región sombreada 
tiene un área de 871 u2. Determine el valor de 0 .
A)
371
TT
B) 9
C) ^ 8 Problema N.° 41
D)
5 71 
12
E) - 7
Determine el valor de 0 si las regiones som­
breadas son isoperimétricas.
Por dato
■̂RS~̂ n
Pero
—»
■̂rs ~̂cboc+^ aedb
A i0 ( 5)2+ l f í _ e j ( 62 _ 4 2)
A w =i80+io| | - e
—> 80 + 571
Igualamos con el dato.
80 + 5ti=87ü 
—> 80=3tt
e= —8
: Clave
Resolución 
Colocamos valores.
A
A) | + 2 B) | - 1 C) 1 + 2
Resolución 
A partir del gráfico
Sean
• m < /40C= a rad :
• m<fíOD=(3 rad
A partir del gráfico se observa que 
(0 + oc+(3) rad=Tc rad
Problema 42
Si AOC es un sector circular cuya longitud del 
29n
arco AC es y el area del sector circular
Tí
BOC es halle la medida del ángulo a.
A) 71 B) f C) 713 5 6
D) 7C E) 718 4
a+p=7i-0
Por condición tenemos que
2 p ( 7 2 p c = 3
—> /a +É2 = 2 r+C-j + d3+ /
0 / = 2 / + oc/ + p /
0=2 + a+|3 
0=2+71-0
Resolución 
Colocamos valores.
20=2+71
7C .
••• G = I +1
; Clave
En el O/40C 
0=0/? -> 29rt1 Ô" = 0(4)
—> 0 = 29rt120
En el o BOC
2
71 1 -
?=xP(4)2 -> p=ZL
i ¿ 24
Luego
a = 0 - p
29n n 
~ m ~ 2 4
a =
Tía = —
5
Problema N.° 43
Clave
Determ ine el número de vueltas que da la 
rueda de radio 2 al trasladarse desden hasta C 
si A B -4 0 n y fíC=19jc.
A) 15 
D) 10
B) 16 C) 12 
E) 18
Resolución
Analicemos el recorrido de la rueda.
Sabemos que
n = —'~— 
2nr
Del gráfico
ac = -̂h(l2 + (¡y
Por dato
í 1=4071 a í 3=19 n 
Calculamos 02.
e2=|(2) -> c2=ti
Reemplazamos
4071 + 71 + 1971
"v=- 271(2)
6077-> n =- 
v 4 77
nv=15
Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
Un sector circular presenta un ángulo 
central que tiene una medida de 60g y un 
radio de 5 m. Determine la longitud de su 
arco. Considere que 71=3,14.
A) 4,32 m B) 4,25 m C) 4,71 m
D) 4'52 m E) 4,83 m
2. Calcule el recorrido del extremo del minu­
tero de un reloj cuya longitud es 12 cm 
cuando transcurren 10 min.
A) 371 cm B) 4 t i cm C) 5 tt cm
D) — cm E) — cm2 ' 2
3. Se quiere cercar un terreno en forma de 
sector circular, cuyo arco tiene una longi­
tud de 371 m y su ángulo central mide 60°. 
Indique la longitud del cerco.
A) 2(6 + 7i) m
B) 3(5 + 71) m
C) 3(2 + t i) m
D) 4(2 + 7i) m
E) 3(6 + 7i) m
4 . Si la longitud del arco de un sector circular 
es tres veces la longitud de su radio, indi­
que la medida de su ángulo central.
A) 2 rad B) 4 rad C) 2,5 rad 
D) 3 rad E) 3,5 rad
5. Si a partir de un sector circular se duplica j 
la medida de su ángulo central y disminuye j 
su arco a la mitad, ¿qué se puede afirmar j 
sobre su radio?
A) No cambia de longitud.
B) Disminuye a la mitad.
C) Duplica su longitud.
D) Disminuye a la tercera parte.
E) Disminuye a la cuarta parte.
6 . Determine el recorrido de la esfera si es 
soltada en el punto A hasta impactar en la 
superficie NP y si la cuerda que la sujeta 
tiene una longitud de 60 cm.
60 cm
~ T j ..... -
2 0 jñ vHj ,
__C
A) 40tt cm B) 30tt cm C) 2071 cm
D) 50jt cm E) 45tt cm
. Determine si AOB y COD son secto­
res circulares; OD=DA=3 m y la medida del 
ángulo AOB es 60°.
A) 47i m B) 671 m C) 3tt m
D) 5 ti m E) 7n m
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8- En el gráfico mostrado, AOB y COD son 
sectores circulares. Halle ^ si AC=2(AO).
El péndulo de un reloj tiene una longitud 
de 50 cm. ¿Qué área barre dicho péndulo 
si su extremo genera un arco de 1 m?
C
A) 2 B) 3 C) -
^ 2 " v
° ) f f E) 4 ' \
9. Si en un sector circular la medida de su 
área es el doble del cuadrado de la lon­
gitud de su radio, ¿cuánto mide su ángulo 
central?
A) 3 rad B) 2 rad C) 4 rad
D) 3,5 rad E) 1,5 rad
10. Un jardín que tiene la forma de un sector
circular presenta un ángulo central que j
mide 45° y su arco tiene una longitud de j
11 m. Si se quiere sembrar gras en dicho i
jardín, ¿qué cantidad de gras necesitamos? j
22 ! Considere que n = — . i
A) 121 m2 B) 66 m2 C) 88 m2 j
D) 77 m2 E) 110 m2
A) 0,25 m2
B) 0,5 m2
C) 0,75 m2
D) 0,45 m2
E) 0,4 m2
12. A partir del gráfico, halle el área del 
trapecio circular sombreado si 0~ = 6 u-AB
0 - = 4 u; 04=8 u y OC=5 u.
A) 24 u2 B) 15 u2 C) 18 u2 
D) 20 u2 E) 16 u2
13. La rueda de una bicicleta cuyo radio mide 
40 cm se traslada rodando sin resbalar 
sobre una superficierecta. ¿Cuánto será su 
recorrido si da 20 vueltas?
A) 1871 m B) 20tu m C) 16rr m 
D) 1271 m E) 157t m
Capítulo 2
ü
Longitud del arco de una circunferencia
Hay dos ruedas juntas sobre una superficie 
recta, cuyos radios miden 1 m. Si se trasla­
dan rodando en sentidos opuestos, una da
17* Si a uh sector circular se le disminuye la 
longitud de su arco a la mitad mante-
2 vueltas y la otra, 4 vueltas. ¿Qué distancia 
las separa?
A) 2(67c + l) m
B) 3(471 + 1) m
C) 4(3ti +1) m
D) 6(371 + 1) m
E) 6(2tt + 1) m
15. Se tienen los sectores circulares AOB y 
COD. Si OC=CA y el área del sector COD
A) 12 u2 B) 10 u2 C) 25 u2
D) 20 u2 E) 15 u2
16. Un sector circular tiene un área de 40 u2. 
S¡ el radio disminuye a la mitad y el ángu­
lo central se mantiene igual, ¿cuánto es el 
área del nuevo sector?
A) 15 u2 B) 8 u2 C) 16 u2
D) 10 u2 E) 20 u2
i niendo su ángulo centra!, ¿gué se puede 
\ decir sobre su área?
j A) Disminuyó a la cuarta parte,
j . B) Disminuyó a la tercera parte.
C) Disminuyó a la mitad.
D) No depende del arco.
E) Se mantiene igual.
18. Calcule la longitud del radio de un sector 
circular si su ángulo central mide c¡° y la
longitud de su arco es m.
45
A) 22 m B) 24 m C) 28 m 
D) 22 m f y E) 21 m
19. Dados los sectores circulares AOB y 
COD, si 04=1 y BC=2, además
AB CD
h a lle - ,
P
A) 2 B) 3 c, i3
D) 1 E) 4
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20. Una represa tiene la forma de un arco de 
circunferencia. Un topógrafo se ubica en 
el centro de la circunferencia que contiene 
dicho arco y obtiene el ángulo entre los ex­
tremos cuya medida es 80°. Si la distancia 
del centro hacia la represa es 252 m, halle
la longitud de la represa. Considere que 
22
71 = ----.
7
22. En el gráfico mostrado, AOB y BAC son
sectores circulares. Si OA=5 y A C -2, 
Lhalle — .
fio
A
A) 3,5 B) 2 C) 1,5
D) 3 E) 2,5
23. Halle el radio de un sector circular si su 
ángulo central mide a 9, su radio tiene una
71longitud igual a a m y su arco mide — m.
A) 20 m B) 15 m C) 10 m
D) 25 m E) 12 m
A) 328 m B) 344 m C) 332 m
D) 352 m E) 348 m
24. La plaza principal de un pueblo tiene la 
forma indicada en el gráfico. Aquí se debe 
colocar gras en los trapecios circulares 
idénticos. Si el metro cuadrado de gras 
cuesta S/.10, indique cuánto se gastará en 
el gras para sembrar en los trapecios.
A) S/.25 000 B) S/.20 000 C) S/.30 000 
D) S/.35 000 E) S/.15 000
Capítulo 2
Longitud del arco de una circunferencia
25. La diferencia horaria entre dos ciudades i 
ubicadas en la línea ecuatorial es de 1 h. j 
Halle la distancia que se tendría que recorrer i 
para ir de una ciudad a la otra. Considere j 
que el radio de la Tierra es 6360 km. i
A) 42071 km B) 3907c km C) 490tc km :
D) 450tc km E) 380tc km j.
¿o. En el gráfico, AOB y COD son sectores i 
circulares, AC=2{OA) y el área del sector i 
AOB es 4 u2. Halle el área del sector COD.
C
D) 24 u2 E) 18 u2
27. En el gráfico, § 1 y § 2 representan las áreas 
del sector circular AOB y del trapecio
circular CABO. Halle — si AC-OA.Si
B) 2 C) 4
E) 1
28. Si § i, §2 y §3 son las regiones mostradas
A) | B) | C) 4
D) 3 E) 2
29. Un carro cuyas llantas tienen un radio de 
30 cm se desplaza sobre una pista recta. 
Si recorre 120tc m, ¿cuántas vueltas da una 
rueda de dicho carro?
A) 220 B) 200 C) 180 
D) 250 E) 150
30. Si, en el problema anterior, el radio de la 
rueda fuese de 40 cm, ¿cuántas vueltas 
dará una rueda en el mismo recorrido?
A) 220 B) 200 C) 180 
D) 250 E) 150
31. En un motor se tienen dos poleas en 
contacto, tal que el radio de una de ellas es 
el triple de la otra. Si la polea más pequeña 
gira 180 RPM (revoluciones en un minuto), 
¿cuántas revoluciones o vueltas dará la 
mayor en 2 min?
A) 80 
D) 60
A) 5
D) 3
B) 120 C) 100
E) 180
32. Si en un instante la polea más grande gira
60 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la más 
pequeña?
A) 260 B) 240 C) 120 
D) 210 E) 180
33. Si la polea menor gira 200°, ¿cuánta es la 
longitud del arco descrito por el punto A 
en la polea mayor?
A) 15tt B) 9tt C) 12ti
D) 1871 E) 1071
34. Si en un sector circular el ángulo central se 
reduce a la mitad y su arco duplica su lon­
gitud, ¿qué se puede decir sobre su radio?
A) Se mantiene igual.
B) Se duplicó.
C) Se cuadruplicó.
D) Se triplicó.
E) Se redujo a la mitad.
35. Determine la medida del ángulo AOB si 
AOB y COD son sectores circulares/
A) 45° ■ B) 60° C) 30° 
D) 90° E) 36°
36. Halle el área de la región sombreada si 
ACDB es un trapecio circular y la medida 
del ángulo AOB es 50°.
A) 1271 B) 10ti C) 5tt 
D) 8ti E) 15tt
37. Se tiene una rueda sobre una superficie 
circular. Si al ir de 4 hacia B da 3 vueltas, 
halle el valor de 0.
\ ()/ /
O
A) 90° 
D) 60°
C) 120°
E) 30°
B) 45°
38. ¿Cuánto desciende el bloque de masa M si 
la polea de radio 5 da 4 vueltas?
A) 30jr B) 20ti C) 6O71 
D) 40ti e ) 10ti
39. Halle el área del sector circular AOB si 
§ 2- § 2=10u2 y OA=AC
C
A) 6 u2 B) 5 u2 C) 10 u2
D) 8 u2 ; E) 4 u 2
40 . Una bicicleta presenta ruedas que tienen 
radios de longitudes 3 u y 5 u. Si al hacer 
un recorrido la rueda mayor da 30 vueltas, 
¿cuántas vueltas da la rueda menor?
A) 18 B) 60 C) 40 •
D) 45 E) 50
; 41. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen
: radios de longitudes 4 u y 7 u. Si la rueda
i menor da 28 vueltas, ¿cuántas vueltas dan
j ambas ruedas?
A) 44 B) 46 C) 42
D) 38 E) 48
42. Los radios de las ruedas de una bicicleta 
son 3 u y 4 u, y al rodar sin resbalar sobre 
una pista recta dan en total 140 vueltas. 
¿Cuánto se ha desplazado la bicicleta?
A) 32Ott u B) 420ti u C) 480tc u
D) 400ti u E) 360tt u
43. El cilindro de una aplanadora tiene 3 m de 
largo y un radio de 1 m. ¿Cuánta es el área 
que aplana si dicho cilindro da 40 vueltas?
i ̂ f
r —
A) 240n m2
B) 320;: m2
C) 360;r m2
D) 480tt m2
E) 400n m2
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44. Un motor está compuesto en una de sus 
partes por poleas. Si la polea de radio 2 u
da 1200 RPM, ¿cuál es la velocidad de la 
polea de radio 3 u?
46. ¿Cuánto asciende el bloque M si en el 
sistema mostrado la polea de radio 4 u da 
5 vueltas en el sentido indicado?
A) 40 
D) 44
A) 600 RPM
B) 300 RPM
C) 500 RPM
D) 400 RPM
E) 450 RPM
45 . Determine el número de vueltas que da la 
rueda de radio 2 u al desplazarse sobre la 
pista curva de radio 42 u desde A hasta B.
A) ZQn u B) 12n u C) 1871 u
D) 1671 u E) 24tt u
47. En el sistema mostrado, las poleas están 
conectadas por la faja de transmisión. Si la 
polea A da 12 vueltas, calcule la suma de 
las vueltas que dan las poleas B y C.
A) 6
D) 8
B) 42 C) 38
E) 36
Capítulo 2
48. Halle el área de la región sombreada si 
AB=8 u.
A) 3rtu2 B) 8ji u2 C) 4tiu2 
D) 5nu2 E) 6 jlu z
49 . Si OA=AB=BC=CD=2 u y m</lOf=1 rad,
halle la suma de las áreas de los trapecios 
circulares BAEF y DOGH.
A) 18 u2 B) 24 u2 C) 16 u2 
° ) 261,2 E) 20 u2
50. En el gráfico mostrado, AOB, COD y EOF 
son sectores circulares. Si JA representa 
el área de las regiones indicadas, calcule
A) | B) 2 C) -
2 3
D): t « ^
Claves
1 7 13 19 25 31 37 43 : 49
2 8 14 20 26 32 38 44 50
3 9 15 21 27 33 39 45
4 10 16 22 28 34 40 , 46
5 11 17 23 29 35 41 ' 47
6 12 18 24 30 36 42 , 48
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'^ aC
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO AGUDO
Desde épocas antiguas, el cálculo de distancias inaccesibles 
ha sido una necesidad para poder desarrollar la construc­
ción de templos, palacios, canales de irrigación, etc., así 
como para poder explicar diversos fenómenos a partir de 
los valores encontrados. Ello ha motivado .la creación de 
ciertos valores constantes que se han obtenido por la com­
paración entre longitudes, estos valores son llamamos razo­
nes trigonométricas.
En la ingeniería y la ciencia, en general, el uso de las razones 
trigonométricas ha permitido determinar no solo valores, 
como la distancia entre astros (la Tierra, el Sol y la Luna), 
el radio de la Tierra y la altura de una montaña, sino tam­
bién ha permitido hacergrandes construcciones, como las 
pirámides, y entender muchos fenómenos, como las ondas 
sonoras, la corriente y los fenómenos periódicos.
Aprendizajes esperados
• Conocer el cálculo de las razones trigonométricas de un 
ángulo agudo.
• Determinar las razones trigonométricas de ángulos que 
miden 30°; 60°; 45°; 37° y 53°, y la relación que existe 
entre sus lados aplicando la definición.
• Aplicar las propiedades que cumplen las razones trigono­
métricas para simplificar las expresiones.
• Utilizar los conceptos vertidos en el presente capítulo en 
situaciones cotidianas.
¿ P o r qué e s n ecesario e ste cono cim iento?
Permite entender los conceptos matemáticos que han sido 
utilizados en las construcciones hechas desde la Antigüedad, 
en las que se usa la medida del ángulo.
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stricas de un ángulo
À O
La dificultad para calcular distancias inaccesibles se ha resuelto 
estudiando los triángulos con sus elementos (lados y ángulos) 
y los ángulos con sus respectivas razones trigonométricas.
Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo 
agudo, necesitamos conocer el triángulo rectángulo, así como 
algunas relaciones que podemos encontrar en dicho triángulo.
Importante
En todo triángulo rectángulo
la longitud de la hipotenusa es 
mayor que la de los catetos; es 
decir
b>o a b>c.
1._ TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Es aquel triángulo donde uno de los ángulos internos mide 90°.
i
jL
\ : _ . Erx.
. jklGHltíi tu m .
Vértices: A, B y C \\Ná
Lados: AC; BCyAB, donde AC es la hipotenusa, BCyAB son 
los catetos. Además/4C= b; BC = a y A B -c .
Ángulos: m</4fiC = 90° (ángulo recto), donde a y (3 son án­
gulos agudos.
En consecuencia, se cumple lo siguiente:
a + p - 90°
v_________________ y
Si dos ángulos agudos suman 90°, entonces estos son 
complementarios.
Ejemplos
• 50° y 40° son ángulos complementarios.
• 20° y 70° son ángulos complementarios.
• a y (90o- a ) son ángulos complementarios, donde a es un 
ángulo agudo.
Capítulo 3 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
1.2 . Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la 
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados 
de las longitudes de los catetos.
En el ^ A B C
r
Demostración
Una form a de demostrar el teorema de Pitágoras es a partir del 
siguiente gráfico:
v :% t ü ‘ 1
las regiones internas.
(o + c)2 = 4 ^ y j+ b 2
o2 + /tác + c2 = 2 de + b2 
Aplicación 7
Determine la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos 
catetos son ¡guales a 3 y 4.
Resolución
G ra te m o s
Existen diversos triángulos rec­
tángulos cuyos lados tienen 
longitudes enteras.
Ejemplos
A
En un k^ABC
C
O < a < b
Dividimos entre b.
O a b — < — < — b b b
0<^<1 (*) b
Pero — = sen a b
Reemplazamos en (*).
; //— ..................
. //. 0<senc/.<1 < ... ..^ __ ______ v
Análogamente se cumple lo
siguiente:
Nos piden x.
Aplicamos el teorema de Pitágoras. 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9+16 
x2 = 25
Como x es una longitud, entonces es positiva (x>0). 
x= 5
Aplicación 2
En un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es 13 
y un cateto mide 5. ¿Cuánto es el perímetro de dicho triángulo 
rectángulo?
Resolución
Graficamos y colocamos los datos.
Nos piden el perímetro, es decir, la suma de las longitudes de 
suspires lados.
Se sabe que
2 p — 13 + 5 +x
Para hallar x utilizamos el teorema de Pitágoras.
132 =x2 + 52 -> 169=x2 + 25
169-25
144 = ̂ —> x =12
Por lo tanto, el perímetro es 13 + 5 +12 = 30.
2. RAZO N TR IG O N O M ÉTR IC A 
Es aquel cociente que se determina entre las 
longitudes de dos de los lados de un trián­
gulo rectángulo respecto a uno de sus ángulos 
agudos.
C
Importante
Una razón es el resultado de una comparación 
entre dos cantidades. Dicha comparación pue­
de darse mediante una sustracción o mediante 
una división. J
cateto opuesto 
respecto al 
. ángulo a Ejemplo
Calculamos las razones trigonométricas.
respecto al ángulo «
Respecto al ángulo agudo a, se definen seis 
razones trigonométricas.
• seno de a : sena j/ * ”
• coseno de a rco sa
• tangente de a : tana
• cotangente de a : cota ,
• secante de a : seca
• cosecante de a : csca
En consecuencia, las razones trigonométricas 
se definen de la siguiente manera:
En el triángulo mostrado, observamos que 
i la longitud de la hipotenusa es 5, del cateto 
; opuesto al ángulo a es 3 y del cateto adya-"A J
cente al ángulo a es 4. Luego tenemos
sen a =
eos a =
tana =
cot a =
cateto opuesto 
. hipotenusa ■ b
cateto adyacente c 
hipotenusa b
cateto'opuesto o 
cateto adyacente c
cateto adyacente c 
cateto opuesto o
hipotenusa b
seca — —---------1 Tcateto adyacente c
cateto opuesto 3sen a = ----------------- = -
hipotenusa 5
cateto adyacente 4eos a ------------- ---------= —
hipotenusa 5
cateto opuesto 3tana =
esca
hipotenusa b 
cateto opuesto a
cota =
seca =
esc a =
cateto adyacente 4
cateto adyacente _ 4 
cateto opuesto 3
hipotenusa _ 5 
cateto adyacente 4
hipotenusa 5 
cateto opuesto 3
13
A plicación 3
Calcule V5 (sen0+ cose).
Resolución
A partir del gráfico
calculam os la hipotenusa x. 
x2 = 22+12 
>¿ = 4+-}
x2 = 5 —> x = y¡5
Nos piden
V 5 (sen 0 +eos 0) =
V5"(sen0 + cos0) = 3
£ J s
Importante
Las razones trigonométricas de un ángulo solo 
dependen de su medida y no de las longitudes 
de sus lados donde se ubica dicho ángulo.
X\;f G
EB FC _ GD 
tane=Â ë =Â c =ÂD
Aplicación 4
Del gráfico mostrado, calcule cscp + V Ic o t a si 
AB = \¡2 y BC=CD = t.
D
Reso lu c ió n 
Colocamos los datos.
En el k^ABC aplicamos el teorema de Pitágoras.
n2 = (V2)2 + (1)2
a?2 = 2 + 1
n2 = 3 -> n = y¡3
En el i^ACD aplicamos el teorema de Pitágoras. 
/772 = 12 + (V3 ) 
m2=1+3 
m2 = 4
—> m = 2
Capítulo 3
Nos piden
( £ ) 
1 1 = 2 + 2
csc(3 + V2 cota = - + V2 1
cscp+V2 cota = 4
Aplicación 5
Si 6 es un ángulo agudo, tal que eos 0 = - , halle 
el valor de tañe. 4
Resolución
Por condición
eos 0 = — - ca êto adyacente 
4 k hipotenusa
Se deduce que
• cateto adyacente - k
• hipotenusa = 4k
• 0: ángulo agudo
Ubicamos a 0 en un triángulo rectángulo.
Por el teorema de Pitágoras tenemos que 
(4/í)2 = (CB)2+/í2 
16 k2-k 2 = (CB)2 
15/r2 = (CS)2 
—> V i 5/í2 : CB 
CB = \¡Kk
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Luego
tan0 = V Í 5 /
/
tan0 = V l5
B.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 3< 
60°; 45°; 37° Y 53°
8 Para 30° y 60°
/
3 /
>PO
El triángulo A5C es equilátero. Trazamos 
5 M 1 A C .
AM = MC = K 
-> AB = 2K
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
BM = y¡3K
Calculamos las siguientes razones:
sen60°= B ^ A Sen60°= —
2X 2
K 1cos60°=--- r —> cos60°= —
2X 2
x/b ztan60°=— — -» tan60°=\/3
X
También hallamos las razones trigonomé­
tricas de 60° y, de forma similar, de 30°.
Para 45°
Sea ABCD un cu ad rada Trazamos la día- 
gonal AC.
A B= BC = K
—> AC = y¡2K
Calculam os las siguientes razones:
sen 45°= ~ x & = —
T Í / 72 72 2
tan45°= —r —» tan45°=1
/
Para 37° y 53° (aproximados)
.uadro de la¡s razortes trigíonom étricas
0°; 37° ; 45 °; c>o , , r />oy ou
30° 37° ■ 43- •53° 60'
sen 1 3 72 4
2 5 2 5 2
eos ■ T i 4 T i 3 1
2 5 2 5 2
tan 71
3
3
4 1
4 r 
3 ^
cor T i 4 - 1 3 v i3 4 3
see ; ; 27Í
3
5
4 T i I ’
■ése 2 5 5 2̂ /3
3 4 3
A p l ic a c ió n 6 
Determine el valor de M. 
tan45° + sec60°
\/2 sen 45°+5 eos 53°
R e s o l u c ió n
Reemplazamos los valores. 
1 + 2
Calculamos las siguientes razones
s e n 5 3 ° = - 4 -> se n 5 3 °= |
5 / 5
Capítulo 3 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Como 0 es un ángulo agudo, entonces 
0 + 1.0° = 30° -> 0 = 20°
Nos piden
cos(20 + 5°) = cos(2(20°) + 5°)
-> cos(20 + 5°) = cos(45°)
eos (20+ 5°) = —2
Aplicación 8
Si a y 0 son ángulos agudos que cumplen
tan2a = V3 y tan30 = 1, halle-.
0
Resolución
Aplicación 9
Uno de los ángulos agudos de un triángulo 
rectángulo mide 37° Halle su perímetro si su 
hipotenusa es 10.
Resolución
Graficamos y colocamos los datos.
Por ser un triángulo rectángulo de 37° y 53°, la 
relación entre sus ladoses tal como se indica 
en el gráfico.
Luego
5/T=10 -> K= 2
Entonces sus catetos son
4K=4(2) = 8 a 3/C= 3(2) = 6
Por lo tanto, su perímetro es 10 + 8 + 6 = 24.
A plicac ió n 10
Halle tan0 si AM = MC y AB = 5.
Colocamos los datos.
Por la relación de lados, en un triángulo de 37° 
y 53° se tiene BC = 3 y AC- 4
-> AM = MC= 2
En el Ií^MCfí tenemos que
tan0 = -2
i
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A p l ic a c ió n 77
Halle la longitud de AC si AB = 3^2.
R e s o l u c ió n
Ubicamos los datos.
r>* D
Para aprovechar los ángulos de 45° y 37°, 
trazam os BHA-AC para ubicarlos en triángulos 
rectángulos.
En el AHB (notable de 45° y 45°) tenemos 
que
AH=3 a BH=3
En el ^ B H C (notable de 37° y 53°) tenemos 
que
BH = 3 a HC= 4
A plic a c ió n 12
53°Determine el valor de tan— .2
R e so lu c ió n
Observación
Dado un triángulo rectángulo donde se en­
cuentra el ángulo a, se puede construir un 
triángulo rectángulo para
V. _______________ ___ _________________ y
Partimos del triángulo rectángulo, de 37° y 53° 
Prolongamos el cateto adyacente a 53° una 
longitud igual a la hipotenusa del triángulo. 
Luego unimos el vértice C con D.
Como CB = BD, entonces el Lx CBD es isósceles. 
53°Luego, m<iSDC = — ■
Nos piden
Luego
a c =a h +h c 
AC =3+4 
AC = 7
AC
AD
4
8
2
2
Capítulo 3 Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Aplicación 13
12 0Si 0 es un ángulo agudo, tal que cot0 = — , halle c o t- . 
Resolución
Ubicamos 0 en un triángulo rectángulo.
r n t f l_ 12/í _ cateto adyacente 
5K cateto opuesto
Prolongamos el cateto adyacente a 0 una longitud igual a la 
hipotenusa que es 13K.
Por definición 
asen a = - 
b
bc sc a = - 
a
Multiplicamos (I) y (II).
/ / 1sen a-csca = - ^ x - j = l
(D
(ID
—̂ sencxcsco. = I
J9
Análogamente se cumple lo siguiente:
cosaseca A tanacota-1
Ejemplos
• sen40° = cos50° 
e tan20° = cot70°
Ejemplos
• sen20°csc20° = 1
• cos35°sec35° = 1
• tan63°cot63° = 1
Si senacsc55° = 1 y a es un ángulo agudo 
->• oc= 55°
5. RAZONES TR IG O N O M ÉTRICAS DE 
Á N G U LO S CO M PLEM EN TARIO S
C
Del gráfico
se n a = -̂ (I)b
cos(3 = ^ (II)b
e sec65° = csc25°
• Si sena = cos35° y a es un ángulo agudo 
-> a+ 35 ° = 90° 
a = 55°
A p l ic a c ió n 14
. Halle el valor de la expresión T. 
sen20°T = + tan 1(3° cot 10°cos70°
R e s o l u c ió n
Por ángulos complementarios tenemos que 
20°+70° = 90° -> sen20° = cos70°
Reemplazamos
m = £Qs7&_
CQS'JCR
+ tan10°cot10°
Aplicamos razones trigonométricas recíprocas. 
tan10°cot10°=1
-» M = 1 + 1
Igualamos (I) y (II).
—̂ sena = cosf3
Análogamente
tana = cotp
Podemos indicar que si a+ P 90
■— y
RT(a) CoRT(fi)
M = 2
Aplicación 15
Halle la expresión P.
p _ tan20osec40°cos30° 
cot70°esc50°sen 30°
Resolución
Aplicaremos razones de ángulos complemen­
tarios.
tan20°=cot70°
sec40°=csc50°
Capítulo 3
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Reemplazamos en P.
¿se5Ú° —
P = - -----------------------------------------2
2
2(1)
Por razones recíprocas se cumple que 
20 = 70° -+ 0 = 35°
Luego
tan(0+1O°) = tan(35°+10°)
-> tan(0+1O°) = tan45° 
tan(0+1O°) = l
••• P = V 3 
A plic a c ió n 16
Si a es un ángulo agudo, tal que se cumple 
senacsc20° = 1, halle sen(a+10°).
R eso lu c ió n
Por dato
senacsc20° = 1
Por razones recíprocas tenemos que 
a -20°
Luego
sen(a+10°) = sen(20° + 10°)
-+ sen(a + 10°) = sen30°
sen (a + 10°) = -̂
A plicac ió n 77
Si 0 es un ángulo agudo, tal que se cumple
cos(20)sec7O° = 1,
halle el valor de tan (0 + 10°).
Reso lució n
Por condición tenemos que 
cos(20)sec7O° = 1
i Aplicación 78 
• i Si |3 es un ángulo agudo que verifica la con- 
j dición sen3(3 = cos30°, determine el valor de 
sen(j3 +17°).
Resolución
Por razones trigonométricas de ángulos 
complementarios, si sen3(3 = cos30°
-» 3(3 + 30° = 90°
3(3 = 60° -» (3 = 20°
Luego
sen((3 + 17°) = sen(20°+17°)
-> sen((3+17°) = sen37°
sen ((3+ 17°) = ^
A plicación 19
Determine el valor de cos(5a+10°) si para el 
ángulo agudo a se cumple que 
sec(2a+10°) = csc(3a+30°).
Resolución
Por dato
sec(2a+10°) = csc(3cx+30°)
Por ángulos complementarios tenemos que 
2a+10°+3a+30° = 90°
5a+40° = 90°
5a = 50° -> a = 10°
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Luego
cos(5a+10°) = cos(5(10°)+10°)
-> cos(5a+10°) = cos60°
cos(5a+10°) =- 
2
6. R ESO LU C IÓ N DE TR IÁN G U LO S 
R EC TÁ N G U LO S
Resolver un triángulo significa determinar 
la longitud de sus lados y la medida de sus 
ángulos conociendo un lado y un ángulo.
Ejemplos
1. Veam os el siguiente triángulo ABC, recto 
en B.
En el triángulo se tienen los siguientes datos:
• Las medidas de dos ángulos: el de 90° y 
de 37°.
• La longitud de un lado es 6.
Con esa información, hallamos los elemen­
tos falta ntes.
C
Luego
CB = 3K = 3
AC=5K=5
"3" 9»I n8T
k2j 2
f 3 '
_ 15
-> ,4C = —
,2 ) 2
Una vez halladas las medidas de sus 
ángulos y las longitudes de sus lados el 
triángulo está resuelto.
2. Veamos ahora el siguiente triángulo:
Los datos son los siguientes:
9 Los ángulos miden 90° y 25°.
* La longitud de la hipotenusa es 3.
Podemos hallar el ángulo faltante, cuya 
medida es 65°.
Para determinar sus demás lados, vamos a 
utilizar razones trigonométricas.
Hallamos x.
■̂ = sen25° x = 3sen25° 
Hallamos/.
— = cos25° -> y = 3cos25°3
En cada caso, x e y quedan expresados con 
las razones trigonométricas.
Casos particulares
Para determinar los lados faltantes en térmi­
nos del lado dato y el ángulo dato, se puede 
utilizar la siguiente expresión:
lado incógnita DTÍ ángulo^ 
lado dato ̂ dato J
Capítulo 3
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
a. Si
b.
c. Si
Ejemplos 
1. Si
2. Si
3. Si
f/senñ
oíanG
acoto
—> 4 sen 70‘
4 eos 70° :
4. Si­
tan Orse 20
4sec a
7, AREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR 
El área de una región triangular se puede 
calcular multiplicando el semiproducto de 
dos de sus lados por el seno del ángulo que 
forman dichos lados.
a
be
Ejemplo
JA (2V5X 7V5)AABC sen53°
-> JA tá m is í
(
A ABC'
^ A ABC~ 28 U
1 U ,
2
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A plic a c ió n 20
Una persona está a una distancia de 40 m de un 
edificio y observa la parte alta con un ángulo a. 
Calcule la altura del edificio en términos de a.
8. ÁNGULOS VERTICALES 
Cuando una persona observa un objeto, se de­
term ina un ángulo form ado por la línea visual 
y una línea horizontal que pasa por el ojo de 
la persona.
línea visual
línea horizontal
0: ángulo de elevación
.hotizontal
línea visual
«: ángulo de depresión
Am bas líneas (visual y horizontal) están conte­
nidas en el mismo plano vertical.
R e s o l u c ió n 
Nos piden h.
línea
rcicio no se indica la altura de una 
persona, la consideramos como un punto en 
la superficie sobre la cual se encuentra.
Luego
h— = tana 40
h = 40 tana
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1 
Se tiene el gráfico
Problema N,° 2 
A partir del gráfico
x .
Calcule el valor de x si 
2sen0 = - 
3'
calcule el valor de D. 
D = sen0+cos0
A) 2
Resolución 
Del gráfico
B) 3 Q 4 j A)
6
13 . B) — 13 C)
» !
! D) 1513 E)
Resolución
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
r¡
13
17
13
Por definición se cumple que Por definición se cumple que
 ̂ xsen0 = — 6
Del dato
sen0 = -
Igualamos (I) y (II).
x _ 2 
6 3
—> 3x = 12 
x = 4
(O
(II)
n 5sen0 = — 
13 (I)
Q 12 eos 0 = — 
13 (II)
Reemplazamos (I) y (II) en D. 
D = sen0 + cos0
n 5 12—> D — — i—
13 13
■: D = H 
13
Clave Clave
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Problema N.° 3
Una patrulla está estacionada a 10 m de un al­
macén. La luz giratoria de su circulina proyecta 
un haz de luz a lo largo de la pared en un ins­
tante dado. Halle el valor de tan0.
i l 
\ . ■r © r gl
' s
¡0 V
1 v:;."
10 m
pared
luz
XL
■6 m X
A) 0,5 
D) 0,7
B) 0,6 , C) 0,4 
E) 0,3
Resolución ■ '
Del gráfico, extraemos el triángulo rectángulo 
ABC.
A
Por definición tenemos que
ta n 0 = w
tan0 = O,6
! Clave
Problema N.° 4
Para llegar a su casa, una persona utiliza 
una escalera con escalones uniformes cuyas 
dimensiones se observanen él gráfico. Halle el 
valor de cota.
¿ y
I u
A) 2 
D) 4
B) 3 C) 3,5 
E) 5
Resolución
Extraemos el triángulo rectángulo ABC.
Como DE//BC —> m< ED F-a
Luego
cota = - 
1
cota = 2
r Clave
Problema H : 5
Se tiene que sen0 = I , donde 0 es un ángulo
agudo. Calcule la longitud del mayor cateto 
del triángulo si su perímetro es 120 cm.
A) 12 cm B) 24 cm C) 36 cm 
D) 48cm E) 60 cm
Resolución
Del dato
I Problema N.° 6 ‘ '
i un triángulo A5C, recto en C, se cumple que 
j ser|A = 2sen£. Calcule el valor de secA.
\ A) y B) 2V5 c)
j D) 3V5 E)
j Resolución 
Gráficamos
sen 9 = j ^ _ cateto opuesto 
13 13/C__^ hipotenusa
Igualamos
• cateto opuesto = 5K
• hipotenusa = 13 K
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
AB = 12K
Calculamos K con los datos.
Sabemos que el perímetro del triángulo 
rectángulo ABC es 120.
_> 12^+5^+13^=120 
30K = 120 -> K=4
Nos piden el mayor cateto.
AB = 12K -> AB = 12(4)
/\fí = 48cm
} Clave •
Del dato
senA = 2sen£
Reemplazamos 
a__2b 
/ /
—> o — 2b
Reemplazamos en el gráfico anterior.
Por el teorema de Pitágoras tenemos que
AB = \¡5b -> secA = — =AC ¿
sec A = V5
Clave
I 0+
1 
u+
i
COLECCIÓN ESENCIAL
Problema H E 7
A partir del gráfico
halle el valor de E. 
£ = 7tanacot(3
A) 4 
D) 6
Resolución,
Sea BC=H.
B) 3
Por definición
• En el k±ABC
Hta n a = —
• En el k^DBC 
3cot(3 =
H
Reemplazamos (I) y (II) en £ 
E = /
■ E= 3
Í4 i( 3 "
{ / I
C) 2 
E) 5
H
0)
(ID
i Problema N.' 8
i Calcule el valor de la expresión T. 
i T= (2sen30°+tan260°)tan37°
A) 1 
D) 4
Resolución
B) 2 C) 3 
E) 5
No OLVIDE
t _ 2 :
-- —1_/
Entonces
* sen30°= — - !
2K 2 (I)
• t a n 6 0 » - ^ _ 7 5 
K (II)
Luego
sn 3 1° □
7* i/
4¡<
. ___ 3 k 3 -» tan37°= — = —
4 k 4 (III)
Clave
Reemplazamos (I), (II) y (|||) en T. 
T =
t t
T = ( 1 + 3 ) - 4
T=3
Clave
Capítulo 3
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Problema N.° 9 
Se tiene que
V3 tan 60° +tan 45°sen0 =
10sen30°
donde 0 es ángulo agudo. Halle el valor de R. 
R = 5cos0 + 3tan6
A) 4 B) 5
D) 7
Resolución 
Sabemos que
• tan60°= V3
• tan45°=1
• sen30°=-2
Reemplazamos en el dato. 
V b (V3)+1sen0 =
101 ~
n 4 cateto opuesto-> sen0 = —= ——— ----------5 hipotenusa
Graficamos
Por definición tenemos que
„ 3• COS 0 = 7 b •
• tan0 = —
C) 6 
E) 8
Reemplazamos (I) y (II) en R.
0)
(ID
r = ¿ 4 + 4 í ± )
J )
-> R = 3+4 
R = 7
Clove
Problema N. 10
Se observa que la longitud de la sombra del 
árbol mide 6 m. ¿Cuánto mide el árbol?
V
'
□
A) 7m 
D) 10 m
Resolución 
Nos piden H.
B) 8m C ) .9 m 
E) 12 m
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Por definición tenemos que 
H 
6
tan 5 3 °= -
3 6
3 H = 24 
H = 8 m
i Clave •
A partir del gráfico, halle cota si BD= 5; además 
AD = 2(BC).
B-
• ! 11C) 4
* f
Resolución
Como BD=5, entonces se cumple lo siguiente:
B
En el ^ BCD (notable de 37° y 53°) 
BC = 4 y CD = 3
Del dato
AD = 2(BQ -> AD = 2(4) 
AD = 8
En consecuencia
2i
Capítulo 3
Observamos que el triángulo BHC es notable 
de 30° y 60°.
-» BH = 3
CH = 3n/3
En el k^AHC tenemos que
t a n e J J Í
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
i En el k^BHC (notable de 37° y 53°) 
: • BH = 4K=4{2) = 8 
! 9 HC=3K=3(2) = 6
En el k̂ AHB tenemos que
B
\ 7 tan 0 = 3V3
Problema N.° 13
i Clave
Del gráfico, halle tana. Por definición tenemos que
tana = — 8
tana = 1
; Clave \
Problem a N.* 14
B) 3 C) 2A) 1 2 i Del gráfico, halle tane si BC= CD.
D ) l
: 24
0 \ \
Resolución
Trazamos BH perpendicular a AC. \ X \
Como BC=10 —̂ K= 2
B : 3 \ 37 íN.
i B C D
/ 37^\ 5(2)
4 ( 2 X I A) \ B) | C) |, " j 5 5 2
x « ... _ h___
! D)4 8 H 3(2) C e> !i-----1— 14 ----------1 ; 3 3
2
Resolución Resolución
Del dato
En el problem a, sea AB = 3K.
sen(2x+15°)csc65° = 1
Aplicamos la propiedad de razones trigono­
métricas recíprocas.
2x+15° = 65° 2x=S0°
x= 25°
; Clave '■
Problema N." 1 6 __'______
A partir de la igualdad 
cos(2x+10°)sec50° = tan45°
calcule el valor de E.
E = 4cos3x+tan(2x+ 5)
A) 1 “ - B) 2 C) 3
Resolución 
Del dato
cos(2x+10o)sec50° = 1
• • •tane=! ! Clave v J
Por la propiedad de razones trigonométricas 
recíprocas tenemos que 
2x+10° = 50°
2x = 40° —> x = 20°
P ro b lem a N.“ 1 5 ___
Si se cumple que
sen(2x+150)csc65° = 1,
calcule el valor de x.
Reemplazamos en E.
£ = 4cos3(20°) + tan(40°+5°)
£=4cos60°+tan45° —> £=4^-j+1
A) 15°
D) 30°
B) 20° C) 25°
E) 35°
£= 3 i Clave
Capítulo B
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Problema N / 17 
S¡ se cum ple 
sen4x = cos5x, 
halle el valor de M.
M = 4tan7xcot70°+ 2
A) 4 
D) 7
Resolución
B) 5 C) 6 
E) 8
Del dato tenemos que 
sen4x= cos5x
Por la propiedad de razones trigonométricas 
de ángulos complementarios tenemos que
4x+Sx = 90°
9x = 90° -> x = )0°
Reemplazamos x = 10° en M.
M = 4tan70°cot70° + 2
Por razones recíprocas tenemos que 
M = 4(1)+ 2
M = 6 .i Clave \
Problema N.° 18
Halle la medida del ángu los
sen 40°
A) 30°
D) 45°
B) 37° C) 40°
E) 50°
Resolución
Por definición se cumple que 
, sen40°tanv = --------- (*)
eos 50° 1 ;
Como 40° y 50° son ángulos complementarios 
-> sen40° = cos50°
Reemplazamos en (*).
. eos 50° tanx = -------- —> tanx = 1
cos50°
x = 45°
Problema N,° 19
Clave
M =
Halle la expresión M.
sen 70° +eos 80° +sen 45° 
eos 20° +sen 10° +eos 45°
B) 1
» 4
D) 2 E) 3
Resolución 
Se observa lo siguiente:
• 70° + 20° = 90° -» sen70° = cos20° (I)
• 10°+80° = 90° -> sen10° = cos80° (II)
• 45°+45° = 90° -> sen45° = cos45° (III)
Reemplazamos (I), (II) y (III) en M.
 _ eos 20° +sen 10° +eos 45° 
eos 20° + sen 10° + eos 45°
Se observa que el numerador es igual que el 
denominador.
M = 1
' Clave
23
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 2 0
En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Halle x en 
función de m y 0.
Problema M.* 21
Del gráfico, halle HC en función de 0, a y (3.
B
A) 0senatan(3 B) 0sen|3tana C) feenacotp 
D) fcosatan(3 E) henacosfí
A) m(senO-cos0)
B) m(sen0+cos0)
C) m(cos0-tan0)
D) m(cos0+tan0)
E) m(cosO-senO)
Resolución k
Por la resolución de triángulos rectángulos, 
tenemos que
£
msenB
Como ABCD es un cuadrado 
_> CD=AD
Reemplazamos
x + msen0 = mcos0 
x = mcosG-msenG 
• x = m(cos0-sen0)
Resolución- 
Nos piden HC = x.
En el triángulo rectángulo AHB usamos la 
resolución de triángulos.
En el &±BHC, por definición tenemos que
Capítulo 3
Resolución
Sea * la medida del mayor ángulo agudo. 
Nos piden seaj).
r
Al mayor lado se le opone el mayor ángulo, 
entonces m <ACB = (J).
Calculamos AC usando el teorema de Pitágoras. 
(AQ2 = (30)2+(fi)2 
(AQ 2 = 9 f+ H 2
CA Q 2 = m 2 -> AC = tlJjo 
Entonces ¡ . . . ,i
, a c VToXsecé = —> sec<b = n
BC Y
sec <j)=Vio
; Clave [
Problema N.° 23
Del gráfico
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Resolución
En el triángulo rectángulo ABC, calculamos BC 
usando el teorema de Pitágoras.
(24)2+ (B Q 2= (25)2 
576+ (£Q 2 = 625 
(BC)2 = 625-576 
-> (£ Q 2 = 49
Como BC=7 
-+ BE =5
Luego
—» cot(3 = 24 O)
En e l^ D B E
, 8 tancc = - 5 (II)
halle el valor de N.
/V = 7cot|3 + 5tana
A) 24
D) 36
B) 28 C) 32
E) 40
Reemplazamos (I) y (II) en N.
w=7ifH!
A/ = 24 + 8 
N=82
Clave
25
COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N/ 24
Del gráfico, halle BD en función de
B
a y 0.
A) 5sen6cosa
B) 5senaco t0
C) 5senasen0
D) 5senacos0
E) 5senacsc0
Resolución 
Nos piden BD = x.
R
En el Í^BDC tenemos que
. B
Por definición tenemos que
 ̂ xcosO = --------5sena
x - 5senacos0
; Clave
Problema N.° 25
Un niño en tierra observa un avión que vuela a 
12 km de altura. Luego de un tiempo, el avión 
pasa de la posición inicial a la posición final. 
Halle tana si tan0 = 12.
posiaon pos
A) 2 
D) 8
Resolución 
Calculamos AB.
B) 3 C) 6 
E) 12
Doficion
En el Ii^ABC 
12tan0 =
AB
Del dato 
tant) = 12
( I)
(ID
Capítulo 3
Igualamos (I) y (||). 
12
•— = 12 
AB
—> AB = *\ km 
En el k^AED
j
f\¡ I i
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Resolución
En e l^ A B C
Por definición se cumple que 
BC
— -co s0 —> BC=o eos 0 o
En el k xEBD
(I)
. 12 —> ta n a = — 2
tana= 6
Problema N.“ 2S
■Clave
En el gráfico, AC=ED=a y CD-b.
Calcule — en términos de 0 y a. 
a
u
A) cos0-sena
B ) - cosa-sen0
C) sena+cos0
D) sena-cos0
E) sena-senO
Por definición se cumple que 
BD
-se n a —> BD=asena
Del gráfico, se observa que 
BD=BC+CD
Reemplazamos (I) y (II). 
osena=ocos0 + b
asena-acosQ=b
a (se na-cos0 )=b
.. bsen a-co s0 - —
•. — = sena-cos0 a
(II)
Clave
P ro b le m a HE 21
SÍ AE=EC, calcule el valor de 5. 
•S= sen(a+ P)+ COS(0 +y)
A) 2V 2 
¡-̂ V 3 + V 2
B) ^ + 1 C) 1+V2
E) 72
Resolución
Ubicamos los datos.
4
Como AE=EC=L, entonces el triángulo CEA es 
isósceles (45° y 45°).
-+ a+ P= 45° (I)
En el triángulo BAC, aplicamos el teorema del 
ángulo exterior.
0+7=45° (II)
Reemplazamos (I) y (||) en 5 . 
S=sen(a+p)+cos(0 +y)
i"=sen(45°) + cos(45°) -+ 5 - , 2^
2 2
; Clave [
••• S=V2
Problema HE 28
Se tiene que 45CD es un cuadrado cuyos
lados miden 13. Calcule tana si cos[3 = —
13'
¡y
A> 1
D ) 7
B) 4 C) 8 
E) 6
Resolución 
Trazamos ~EH. 
rncR 5 AH
sp b = - ¡T AH = S
Capítulo 3
En el ti^AHE, aplicamos el teorema de Pltáqo 
-> fW =12
Al trazar EP tenemos lo siguiente:
• BP=12 -> pc=1
• H fi=8 -> pp=g
En el fcx EPC tenemos que 
tana = -
ras.
1
tana-8
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Por el teorema de Pitágoras tenemos que 
(3)2=(x)2+(2)2 
9=x2+4
5— x2 —> x=y[s
Por definición se cumple que
’ tan0 = —
2
tane = —
2
i Clave •• :: Clave
Problema N.° 29
Si 0 es un ángulo agudo y se cumple que 
2sec20°cose = 
A) -Js
o ) 4
csc70°+2sec20°
B) 2s¡5
, calcule tane. :
C) 3yfs 
E) ^
Resolución
Por razones de ángulos complementarios se 
cumple que
csc70°=sec20°
Reemplazamos
cos0 =
2sec20°
sec20°+2sec20°
eos 0 = —> eos 0 - ~
3$&e2X)° 3
: Problema N.‘ 30
; Si a y (3 son ángulos complementarios, donde
i 2 3
i sen« = ----- - ycos)3 = ------- ,: 4x +1 M 2x + 3
i calcule el valor de x.
\ A>f
i D)f
B) |
« i 
E) I
Resolución
• Como a y (5 son ángulos complementarios 
í —> sena=cos(3
i Reemplazamos
! 2 3
4x + 1 2x + 3
Multiplicamos en aspa. 
2(2x+3)=3(4x+1) 
4x+6=12x+3 
3=8x
COLECCIÓN ESENCIAL
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Problema N / 31 
Del gráfico, calcule cot0+cot|3.
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
Resolución
Ubicam os los datos.
h
12
Sea
m n
M = cot0 + cot|3 -» M = y + -
M =m + n . . 12 M = — . 3
•. M=4
i C/ave •
D , 1
B) 2Z 
4
Resolución
Colocamos valores.
En el h^ÁCF
, 3 ncot a = — 
2m
En el k±ECB
. A 3/77 tan0 = —
2/7
En el
. o 3/77tan(3 = — 
n
Q 5̂
°i
i'71
Reemplazamos en la expresión pedida.
(tañe + tan (3) cota= 
(tan0 + tan(3)cota=
3m 3/n 'I 3/7 
«, 2/7 n J2m
- / i -----1-----/»
Capítulo 3
Problema H E 33
De gráfico, calcule sen6cos0 si se cumple que 
( ia+ b)¿=4ab.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Reemplazamos (II) en (III). 
abE =
Aplicamos el teorema de Pitágoras. 
a2 + b2=c¿
Reemplazamos en (I).
-z=2ab (II)
Del gráfico 
C C
^ E ' c 2
OH)
E = - 
2
2ab
: Clave
A) Ì C ) ?
1 Problema N.* 34
i Según el gráfico,
D ) ¡ 0 !
; calcule------ s\AD=DC
sen¡3
Resolución 
Nos piden E= sen0 cose. j J L
a
C
□ e 7 \
; A . n
b
Del dato
(a + b)2-Aab
\ A) 4f B) SJ Í 
i 3 4 C)
.372
4
Desarrollamos el binomio. 1 D) E L E) 4\/2
a2 + £>2 + 2c7Ò=4aò : 3 5
a2 + b2=2ab (O Resolución
Sea AD=DC=SKy¡2.
Trazamos DP ± AB y ~DH ±CB.
3
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Resolución 
Sea BD=4K
CD=3K a AD=4K
Del dato
AC=AD+DCr 1 « V
AC=7K 
14=7 K 
-> K=2
En consecuencia 
CD=3K=6
En e l^ E D C 
10cot0 = CD
10—> cot0 = — 6
A COt0 = - 3
: Clave
Problema M/ 36
Calcule C=(3sen36°+4cos54°)-csc36°.
A) 1 B) 3
D) 7
Resolución
Tenemos
C) 5 
E) 9
£-(3sen36° + ¡4cos54°j) • csc36°
O bservación i '
; Como 36° + 54°=90°
; —> sen36°=cos54°
E={ 3sen36° + 4sen36°)-csc36°
£ = 7sen36°-csc36°
E=1 , ' ......
i Clave i y )
Resolución 
Trazamos 0771 QA 
—> 0'H=r a OH=r 
00'=rC¿
Se observa que
OT=OB=OA -> AH=r\¡2
En el bx/WO' tenemos que
r
Problema N.° 37
Se inscribe una circunferencia de centro O' en 
el cuadrante ,405. Halle cota.
cota = V2
Clave
Problema N7 38
A partir del gráfico, calcule el valor de 
M=2tan(0-a)-tan0, siendo ABCD un cuadrado 
de centro O.
B r
i A) O B) 1 C ) - 1
A) S B) 2^3 C) 2V2 1 1
D) 72 E) 272-1 I D) ~2 E) 2
COLECCIÓN ESENCIAL
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Resolución
Trazam os OH 1 ~ÁD.
Problema-N.* 39
Calcule tanG.
Sea 2a el lado del cuadrado. Además DE-b. 
-> OH-HD=a
• En el LxC D E y ' ,
t a n (0 - a ) = — 2 a (O
En el ^ OHE
rs a + btan0 = :----- (II)
Reemplazamos (I) y (II) en M.
M = /
\ í ° )
' a + b N
k a J
M = U n í )a v 0 /
M=-1
; Clave
Vi
7 C) 1
2V7
a7.
Resolución
Prolongamos HC tal que CD=CB.
En consecuencia, el triángulo ABD es isósceles, 
donde BH es la altura.
-> AH-HD-1 
Luego CD=4-BC
En el k^BHC, aplicamos el teorema de Pitágoras. 
(BH)2=42- 3 2 
(BH)2=16-9 -> fíó/=V7
Ubicamos los valores.
Problema N.* 40
Del gráfico^ determine tane si M es punto 
medio d e M
En el k^ABC tenemos que 
BC=^5a a AC=25a 
AC=AH+HC 
25 a=8a+HC 
-> HC-Va
En el ExCTVM tenemos que
. ~ ÔC7tan0 =—
17c?
tan0 = —17
; Clave
r Trazamos MH1AC. 
Dato: AM -M B 
Sea AM^Oa 
—> MH=6a a AH-Sa
Resolución
Importante
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En el problema tenemos que
. r
Entonces
6 jK _ AD 6 _ AD
j K ~ DB T ~~DB
-> AD=6K a DB=K
• En el k^ABC tenemos que
ta n a = (07 K
• En el CBD tenemos que
ta n a = y- M
Igualamos (I) y (II).
_L_ = K_
1K L
Problema N." 42 
Del gráfico, halle tana.
Resolpctón 
Trazamos OQ 1 PQ.
L 2 = 7 K 2 L=-J1-K
En el 6̂ CBD se cumple que
cot a = —
—> cot a =
y¡7K
K
cot2a=7
• Clave
En el kxPQO aplicamos el teorema de Pitágoras. 
OP2=OQ2 + (PQ)2 
52=22 + (PQ)2 
21=(PQ)2 -> PQ=yjz\
En el b^PQO
, J ñtana = — -
Clave
Capítulo 3
Problema N.° 43
A partir del gráfico, halle fiC en términos de
A) 2cos0-sen0
C) 3sen0-cos0
D) 2sen0-cos0
Resolución 
Nos piden BC-x.
A H
B) 2sen0 + cos0 
E) sen0-cos0
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Del gráfico 
BE=HD 
BC+CE=HD 
x+ cos0 =2sen0 
;t=2sen0 -co s0 
•*. *= 2sen0 -co s0
: Clave
Problema IM.* 44
Las bases de un trapecio isósceles son B y b. 
Si los lados no paralelos forman con la base 
mayor un ángulo a, determine el área del tra­
pecio en términos de B; by a (B>b).
A)
B)
V + ó 2
v 2
B.+.b
•tana
•sena
BC) —-tana b
™ ( B2-b 2)D) -----— -tana
E) I ~~z~ I-tana
Resolución 
Nos piden A 0/4flCD.
Trazamos DH.
En el tê AHD 
DH=2sen0
Prolongamos BC y trazamos DE 1 BE. 
En el b^DEC 
C£=cos0
En el AHB, por la resolución de triángulos
rectángulos se cumple que
BH = B~b
V 2 J •tana
Nos piden el área del trapecio.
JAOxABCD' B + b
-» JAC\ABCD~
■----- [BH)V 2 )
f B + b Ì ( B - b Ì
V 2 J l 2 J tana
/. JAQABCDZ fí2- fc q+ 4 , tana
; Clave \
Problema N.° 45
Del gráfico, halle cote si BD=m y DC=n.
B
/\) m + A?cos« m -neos a
D)
usen a
m + n eos a 
neos a
m sena Q
E)
nsena
m eosa
n + meosa 
msena
Resolución
Prolongamos BD. Luego trazamos CH perpen­
dicular a la prolongación de BD.
En el fcsDHC aplicamos la resolución de trián­
gulos rectángulos.
HC=nsena a DH=ncosa
En el &±BHC, por definición tenemos que 
m + n eos acot0 =
nsena
Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1- A partir del gráfico, determine el valor de /. 
/ = tana+cota i 4- Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto 
i en Halle el valor de la expresión E.
: E = 2senAsecC+1
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
A) 1 4 
60
d ) 4 2
60
123 B) —
60 cr­eo
149 E) —
60
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
se cumple que senA = 4senC. Calcule tan A.
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
2. Del gráfico, halle Afi si SC = 6cm; además } 6- . En un triángulo rectángulo»SC, recto en B,
12se sabe que tanA = —; además AB= 15 cm. 
Calcule el perímetro del triángulo.
A) 30 cm
B) 45 cm
C) 60 cm
D) 75 cm
E) 90 cm
7. Del gráfico, calcule el valor de P. 
P = 7tanacot¡3
B
0 ) V3
B) 13 Q ?9
E) 13
A) 3
D) 6
B) 4 C) 5
E) 7
8. Del gráfico, halle cos0 si BC= 3.
4
9. Calcule el valor de la expresión F. 
2sen30ocos45°tan60°sen 45°
A) V3 B) 2V3 C) A 2
D) 2V6 E) —3
Del gràfico, halle AC.
h. Si ABCD es un cuadrado, calcule el valor 
de tan0.
¿I
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) -
2
12. Se sabe que AßC es un triángulo equilátero. 
Calcule 4tancc
A) V3 B) 2^3 C) 1
D) 2 E) 3V3
B) 5A) 13 
D) 16
B) 14 C) 15 
E) 17
A) 4
D) 7
C) 6
E) 8
Capítulo 3
14 Del gráfico, halle cote.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
: 18- Si se cumple que
sen(5x+210) = cos(2*+6°),
calcule el valor de R.
R = tanxcot9°+tan5x
A) 2 
D) 6
B) 3 C) 4 
E) 5
H = (4tan10°+3cot800)cot10°
A) 1 B) 3
D) 7
C) 5
E) 9
C)
D)
sen 0 - eos 0 
L
sec0-cscO E)
2 L
eos 0 -sen 0
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21. Se tiene el rectángulo ABCD. Halle fiC en 
función de m y 9 si BE=EF=m.
A) /T7(sen0+cos0)
B) m(cos0-sen0)
C) m(sec0-csc0)
D) m(sec0+csc0)
E) /T7(tan0 + cot0)
22. Si ABCD es un cuadrado, halle x en función 
de o y a.
23
A) a(cota-1)
B) a(tana-1)
C) a(cota+1)
D) a(2cota-1)
E) c?(2tana+1)
Del gráfico, halle el valor de cota.
A) 3 A2
D) 4^3
B) 2^3 C) 3 A
E) 3
24. Calcule x ey, respectivamente, a partir de 
las siguientes condiciones:
* tan(2x+3y)cot(5^+y-6°) = 1
* A'+y=27°
A) 13°; 14°
B) 20°; 7o
C) 12°; 15°
D) 15°; 12°
E) 14°; 13°
25. Una persona visualiza la parte superior de 
un muro con un ángulo de elevación de 
37°. Luego se acerca al muro y lo vuelve 
a observar con un ángulo de 45° Halle la 
altura del muro.
____y í j ____
A
6 m
A) 12 m
D) 21 m
B) 15 m C) 18 m
E) 24 m
Capítulo 3
26. Calcule AD+CD si A B = v J l y BC=4^3.
C
A) 40
P ) 50 , E) 48
27. A partir del gráfico, halle el valor de M.
M . J E ± á
4 c . a
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
28. Halle AB en términos de m; n; a y 0.
M
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
A) (m+n)cscasenO
B) (m+nsenO)sena
C) (m+nsen6)csca
D) (n+msenO)csca
E) (m+n)senccsenG
29. Calcule el valor de x a partir de la siguiente 
ecuación:
. tan245-cos2600=Ysen450-cos450-tan60°
A) V3 
D) 3
• > i q 2
E) 2
30. Del triángulo, determine la tangente del 
mayor ángulo agudo.
A) 2,5 
D) 3
B) 2,4 C) 2,1 
E) 3,5
31. Dada la igualdad
sen(3a+b)=cos(a+3b), calcule N. 
N=csc(3a~b)cos[a + 5b)+4tane(2a+2b)
A) 2
D) 5
B) 4 C) 3
E) 73
143
COLECCIÓN ESENCIAL
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— Halle el área de la región sombreada. 35. Halle el valor de W. 
W=secx+tanx
A) tana- B) 2tana C) 3tana 
D) ^tana E) 0,5tana
33. Calcule el perímetro de la región triangular
si su area es 120 m ; además tana=—.
/ 12
A) 15 
D) 40
B) 20 % % 
E) 60
34. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple
senAcosC=^-. Calcule VÉcosA 9
A) 8 
D) 11
B) 9 C) 10 
E) 12
36. Si sen0=O,25, donde 0 es un ángulo agudo, 
determine el valor de B.
B=yf\S • (cot0 + 4cos0)
A) 10 
D) 30
B) 20 C) 40 
E) 50
37. En un triángulo rectángulo4fiC(m<4=90°), 
se verifica que cscfí+tanC=2.
Calcule secC-cotS.
aA 2 B) ¿ 2 C)f
D) Ì
38. Del gráfico, halle csc20 si AB=4 y CD=2.
B
39‘ Halle x en términos de 0; a y b. 40. Del gráfico, halle CD en términos de 0 y ó 
si AC=b.
A) asene+ ¿>cos0
B) asenO-bcosO
C) ata n0+¿»cote
D) atanO-bcote
E) bsen0-acos0
A) ¿>sen0
B) bcosQ
C) ¿>tan0
D) ¿)cot0
Claves
1 12 7 13 19 25 • I 31 ■ 37
2 8 14 20 26 32 38
3 9 15 21 27 33 39
4 10 16 22 28 34 40
5 f 11 17 23 29 35
6 ! 12 18 24 30 36
145
Las razones trigonométricas no solo se limitan a los ángulos 
menores que 90°, llamados ángulos agudos, también se de­
finen para todo tipo de ángulos. Para poder entender ello es 
necesario conocer las definiciones que se establecen en la 
geometría analítica. Una de las definiciones que ha aportado 
enormemente al cálculo matemático es la del plano cartesia­
no o sistema de coordenadas rectangulares.
Un sistema de coordenadas permite determinar la ubicación 
de un punto tomando como referencia ciertos parámetros 
ya definidos, por ejemplo, los ejes de referencia y las unida­
des en las cuales están divididos los ejes.
Existen diversos de sistemas de coordenadas que se utili­
zan para leer planos, ubicar lugares geográficos, entender el 
comportamiento de los astros, entre otros.
Actualmente, los sistemas de referencia han permitido, por 
ejemplo, diseñar un dispositivo electrónico de uso frecuente 
en el mundo, llamado GPS (sistema global de navegación 
por satélite); que permite determinar en todo el mundo la 
ubicación de un objeto, una persona, un vehículo, etc., con 
una precisión hasta de centímetros (si se utiliza un GPS di­
ferencial).
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
• Entender el uso de los sistemas de referencia como el 
sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano.
• Determinar las razones trigonométricas para todo tipo de 
ángulos.
¿ P o r qué e s n e c e sa r io e s te c o n o c im ie n to ?
Permite ampliar los conceptos vertidos en el capítulo ante­
rior y entender (más adelante) temas como circunferencia 
trigonométrica y funciones trigonométricas, aplicados no 
solo a valores angulares, sino también a números reales.
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Además, el IC es determinado por el semieje 
positivo de abscisas y el semieje positivo de 
ordenadas, es decir
x> 0 a y > 0
De forma similar se cumple lo siguiente:
• IIC: x < 0 a y > 0
• I I IC x c O a y < 0
• IVC: x> 0 a y < 0
Por lo tanto, las coordenadas de un punto son 
positivas o negativas dependiendo del cua­
drante donde se encuentren.
Ejemplo
En el gráfico mostrado
Y\o
13. Coordenadas de un punto 
Se tiene un punto P en el plano cartesiano; di­
cho punto lo asociamos a un par ordenado de 
la forma (x; y), al que denominamos coordena­
das del punto P.
. ordenada 
abscisa!
y
“ i
P(x; I
x X
Como P pertenece al primer cuadrante, enton­
ces x > 0 ;y > 0 .
¿Qué ocurre si P se ubica en el segundo 
cuadrante?
P (~ 5 ; 3 }
-P -
Y‘
3
l
i
□
-2 -1 X
Observamos que sus coordenadas son ( 5; 3), 
es decir, su abscisa es negativa y su ordenada
es positiva.
. r
se tienen las siguientes coordenadas:
• A (5; 4)
• B (-3; 5)
• C ( - 6; -5 )
• D(6; -2 )
Importante
La distancia de un punto M(o; b) hacia los ejes 
X e Y son \b\ y |o|, respectivam ente.
Ejemplo
Y?i,
I Q
A f(-ü ; 3)
T '
■
□
I
3 :
iX -a !□ >°\ X
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Las coordenadas de un punto 
P{K y) geométricamente se re­
presentan con segmentos diri­
gidos.
YA
Ptx; y ) , ' x -- ---—
— P— ̂
o f X
Los segmentos dirigidos pue­
den ser positivos o negativos 
dependiendo del cuadrante del 
punto.
P(~ 3; 4)
1,4. D is t a n c ia e n t r e cfof» p u n t o s e n e l p la n o c a r t e s ia n o
Sean los puntos Aix^y ĵ y £?(x2;y 2) ubicados en el plano 
cartesiano. Si se quiere determinar la distancia entre A y B, 
se cumple lo siguiente:
A p l ic a c ió n 1
Determine la distancia entre los puntos A(2; 3) y 5(6; 6) de un 
plano cartesiano.
R e s o l u c ió n
Graficamos los puntos en el plano.
De los datos
d = y¡( 6 - 2 ) 2 + ( 6 - 3 ) 2
-> d = ̂ lA2 +32 
d = V 25
d = 5
A plicació n 2
Determine la distancia entre los puntos 
M(-15; -4 ) y N(9; 3).
Reso lució n
No es necesario graficar los puntos en el 
plano cartesiano.
Aplicamos la distancia entre dos puntos para 
determinar la distancia d entre M(-15; -4) 
y N(9; 3).
d = y¡(-15-9)2+ (-4 -3 )2 
d = V576 + 49 d = V525
d=25
Aplicación 3
Dadas las coordenadas de A(-2; 3) y 5(1; n), 
halle el valor de n si B pertenece al cuarto cua­
drante y AB=5.
Resolución
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano.
O también
3—n=—4 —̂ n—~l
Como B pertenece al cuarto cuadrante n, debe 
ser negativo. 
n - - 1
1.5. Coordenadas ele! punto medio, de un 
segmento
Dados los puntos A(xv y ,) y B(x2: y2), las co­
ordenadas del punto M, tal que AM-MB, se 
pueden determinar considerando lo siguiente:
A p l ic a c ió n 4
Determine el punto medio del segmento AB 
si A y B tienen coordenadas (-3; 9) y (11; -3), 
respectivamente.
Reso lu c ió n
Graficamos y ubicamos el punto medio M.
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 5
Si el punto medio del segmento PQ tiene co­
ordenadas (1; 2) y el punto P tienecoordena­
das (-5 ; -1), halle las coordenadas de Q.
Resolución
Graficamos
Como AM-MB, se cumple 
x + 4 _• ----- = -3 -» x = -10
y - 2 _ 1 -» y - 4
Por lo tanto, las coordenadas del punto B son
Se debe cumplir lo siguiente: 
„ x - 5. 1 = ----- —> x = 7
y - 12 = ̂ — -> y = 5
Por lo tanto, las coordenadas de Q son (7; 5).
Aplicación 6
En el segmento AB se ubica el punto medio M, 
tal que AM=MB. Si A(4; -2) y M(-3; 1), halle las 
coordenadas de B.
(-10; 4).
Aplicación 7
Se tiene el triángulo ABC, de coordenadas 
/A(-3; -3), S(-1; 2) y C(9; 1). Halle la distancia 
de B hacia el punto medio de AC.
Resolución
Ubicamos los datos en el plano cartesiano.
Hallamos las coordenadas del punto medio 
M(x; y).
Resolución
Graficamos
Y 1'
B(x; y)
9-3• x =-----2 —» x=3
-> y=-i
En consecuencia, M(3; -1). Luego, por la dis­
tancia entre dos puntos tenemos
d = yj(-'l- 3)2 + (2 - (-1))2 -> d = yj 16 + 9
d= 5
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
A p l ic a c ió n 8
En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si las coor­
denadas de A son (-1; 4), ¿cuáles son las coorde­
nadas de fí?
■ Y* nO
nLJ C
------------->
: ■ x
R eso lu c ió n
Colocamos los valores.
4 H ; 4)
J N p— --- c
□ _ □
u
Se observa que el lado del cuadrado es 4, 
luego
AB=4 -> NB=3
Como B se encuentra en el primer cuadrante y 
las distancias a los ejes Y y X son 3 y 4, respec­
tivamente, se concluye que las coordenadas 
de B son (3; 4).
1.6. Radio vector
Es la distancia de un punto en el plano carte­
siano hacia el origen de coordenadas.
donde r es el radio vector.
r J v‘ +y ; r> 0
Ejemplos
• El radio vector del punto (4; 3) es
|2 + 32
/. r - 5
El radio vector del punto (-2; 1) es
r = v(-2 )2 + 12
, r =
El radio vector del punto ( - 6; -5 ) es
r = V (- 6)2 + (-5 )2 
r = V36 + 25 
r = \/61
2 . ÁbfGt)LO EN POS i C i O N NO RM A L 
Llamado también ángulo en posición están­
dar, en posición regular o ángulo canónico. 
Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice 
coincide con el origen de coordenadas, el lado 
inicial coincide con el semieje positivo de abs­
cisas y su lado final se ubica en cualquier parte 
del plano cartesiano.
lac
.final
4 f \rol
No olvide
Un ángulo trigonométrico puede generarse 
en sentido horario (negativo) o antihorario 
(positivo).
153
Importante
Si el lado final de un ángulo en posición nor­
mal cae en uno de los cuadrantes del plano, 
se dice que ese ángulo pertenece a dicho cua­
drante. Pero si el lado final coincide con uno de
. los semiejes del plano, entonces es un ángulo.
cuadrantal.
Definiciones de las razones trigonométricas 
de un ángulo en posición normal 
Sea a el ángulo en posición regular, cuyo lado 
final pasa por el punto P(x; y).
radio vector r 
abscisa de P x
ordenada de P y
Ejemplo
Si se tiene que el lado final de un ángulo a 
pasa por el punto (-3; 4), calcule sus razones 
trigonométricas.
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
podemos ver que 
r = \[(- 3)2 +42 
-» r=S
Finalmente, sus razones trigonométricas son 
las siguientes:
y 4sena = — = —
x 3 cosa = —= —
r 5
tana = — = — = - —
x -3 3
, ■ x 3cot a = — = —y 4
r 5 5seca = — = — = —x -3 3
r 5 esc a = — = —y 4
Aplicación 9
Si el punto (2; 3) pertenece al lado final de un 
ángulo en posición normal 0, halle Vl3sen0.
Resolución
Graficamos
3}
C alcu lam os el radio vector.
Luego
abscisa=2 
ordenada=3 
radio vector=VÍ3
Recordemos que
ordenadasen0 = -radio vector
Nos piden
Vl3sen© = ^
Jé
Vl3sen0 = 3 
A p l ic a c ió n 10
Si el punto (—1; —2) pertenece al lado final de 
un ángulo canónico <J>, halle sen p eos ó-
R e s o l u c ió n
Ubicamos los datos en el plano cartesiano.
Hallamos r.
r = \/(-l)2 + (-2)2 
—> r = \fs
Nos piden 
sen(|)cos(}) =
sen(|)cos(¡) = -
1 ro
, J s )
COLECCIÓN ESENCIAL
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3. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉ­
TRICAS EN LOS CUADRANTES
Como hemos observado, las razones trigono­
métricas son positivas o negativas, dependien­
do del cuadrante donde se encuentre el lado 
final del ángulo. De manera práctica se utiliza 
el siguiente esquema para recordar los signos 
de las razones en los diferentes cuadrantes:
Y ‘
tocias lassen)
>(+) . RT1 (+)
IIC IC
-iílC 5VC ,, A
tan
cot [•(+)
ÉOSl : s '
Ejemplos
• S i a e l C sena > 0 
. Si p e ine -» tan (3 > 0 a eos (3 < 0
. S i Q e l V C -» sec 0 > 0 a sen 0 < 0
. Si oo e IIC -» cosco <0 a cscco>0
Aplicación 77
Indique el signo de cada razón trigonométrica. 
sen100°; cos200°; tan300°
resolución
A partir de los ángulos indicados, podemos 
establecer sus cuadrantes.
• 200° e NIC -a cos200°<0
• 300° e IVC -» tan300°<0
\_____ ______________
Por lo tanto, los signos de sen100°, cos200° y
tan300° son (+), (-), (-), respectivamente.
Aplicación 12
De las razones trigonométricas indicadas, se­
ñale las que son mayores que cero.
I. sen190° IV. cot200°
II. sec310° V. eos280°
III. tan130° VI. csc140°
Resolución
I. Como 190° e IIIC
* sen190° < 0
II. Como 310° e IVC 
—> sec310° > 0
III. Como 130° el IC 
—> tan130° < 0
IV. Como 200° e NIC 
—> cot200° > 0
V. Como 280° e IVC 
—> cos280° > 0
VI. Como 140° e IIC 
—> csc140° > 0
Por lo tanto, las razones mayores que cero son
II, IV, V y VI.
. 100° e IIC -> sen100°^ 0
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
4. ÁNGULOS CUADRANTALES 
Son aquellos ángulos que ubicados en posi­
ción normal tienen su lado final coincidente 
con cualquiera de los semiejes del plano car­
tesiano.
• sen90°= — = — = 1
r y
• cos90°=Á = —= 0
r y
• tan90°= —= — (ND)x 0
La división entre cero no está definida (ND). 
-> tan90° (ND)
v n
* cot90°= —= —= 0y y
Los ángulos 90°; 180°; 270°; 360°; ... se deno­
minan ángulos cuadrantales.
Si 0 es un ángulo cuadrantal, se cumple lo 
siguiente:
0=90°n/n e %
Razones trigonom étricas dé los ángulos 
cuadrantales
Para calcular las razones trigonométricas de 
los ángulos cuadrantales, utilizamos las defi­
niciones de las razones trigonométricas de un 
ángulo es posición normal.
Para 90°
PÍO, y)
X
Tom am os un punto P en el lado final cuyas 
coordenadas son (0; y) y cuyo radio vector es
r=y.
• sec90°=Á = Z (ND)
x 0
• csc90°=Á = —= 1y y
De la misma forma podemos proceder para 
180°; 270° y 360°, y se obtiene la siguiente tabla:
0i; . 90 a K10c 270° 360'
sen 0 1 0 -1 0
eos 1 0 -1 0 1
tan 0 ND 0 ND 0
cot ND 0 ND 0 ND
sec 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND
Recordemos que ND significa no definido. 
Aplicación 73
Determine el valor de sen90°+cos270°. 
Resolución
Reemplazamos los valores de cada razón 
trigonométrica.
sen90°+cos270°=1 + 0=1
Aplicación 14
Si a y p son ángulos cuadrantales positivos 
y menores que una vuelta, tal que sena=1 y 
cos(3=-1, determine a+(3.
Si a y 0 son coterminales, se cumple que
RT (ot)=RT (0). 
_______________;
R eso lu c ió n
Por dato
0 < a; (3 < 360°
90°; 180°; 270°
posibles valores 
de u y ¡j
Además
sena=1 —> a=90° 
eos (3=—1 -> (3=180° 
a + (3=90°+ 180°=270°
5, ÁNGULOS COTERMINALES 
Son ángulos que presentan los mismos ele­
mentos (vértices, lado inicial y lado final).
A p l ic a c ió n 15
Si a y 0 son ángulos coterminales, determine 
•el valor de K.
sena cosaK =------+ —----sen0 cos0
R e s o l u c ió n
Como a y 0 son ángulos coterminales, se cumple 
sena=sen0 a cosa=cos0
Nos piden
„ sena cosaK =----- +------sen0 cos0
lado
fina!
lado
inicial
Reemplazamos
„ sena cosaK =----- +------sena cosa
K-2
Para investigar
. A orcuvo s vértices B y C tienen coordenadas (X ,; K ,); (X 2; y ), respectiva-
En un triangulo a i ̂ y ¿ fí=C( entonces |as coordenadas del incentro de dicho triángulo se
X,a + X2b + X3c Y f + Y2b + Y3cm ente , y se sabe que
determinan considerando la expresión ^ a + b + c ' a + b + c
dicha expresión y analice si el triángulo es isósceles o equilátero.pemuestre
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N/1
En el gráfico, AO=OB. Halle las coordenadas 
del punto A.
A) (- 2 ;- 6 ) B) (-2 ;-3 ) C) (-4 ;-6 )
El origen de coordenadas tiene coordenadas 
(0; 0) y AO=OB.
Por la fórmula delpunto medio tenemos que
. ^±1 = 0 -> x = -4
2
. Z 1 É . = o -> y = -6 
2
Por lo tanto, las coordenadas de 4 son (-4; - 6).
Otra forma
Y i
Trazamos las perpendiculares BH y AP, tal que 
se forman dos triángulos rectángulos con­
gruentes, es decir, k^APO = k^BHO.
\ OP=4 a AP=6
i Como el punto 4 pertenece al tercer cua- 
I drante, sus componentes son negativos, 
i Por lo tanto, sus coordenadas son (-4 ; - 6).
■ Clave \
Problema N.° 2
En el gráfico mostrado, AO=OB. Determine las 
coordenadas de 4.
A) (-3; 5) 
D) (-3; 4)
B) (-5; 3) C) (-2; 3)
E) (-5; 2)
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Resolución 
Colocamos valores.
Resolución
K s
I O bservación
Del problema 2, se deduce que 
AO=OB a AÓ IO B.
v¡
X
Se observa que los triángulos BPO y OHA son 
congruentes, es decir, ^ BPO = IX O HA
Luego
OH=BP=3 a AH=OP=5
Com o el punto A se encuentra en el segundo 
cuadrante debemos tener en cuenta el signo 
de sus componentes, es decir, A{-3; 5).
Clave
Problema N.* 3 ..
En el gráfico, AM=MO=BO. Halle las coorde
nadas de B.
Si las coordenadas de B son {a; b), entonces9
las coordenadas de A son ( - b; o).
Recordemos que el origen del plano tiene 
coordenadas (0 ; 0).
Como M es el punto medio de AO, las coor­
denadas de M son
a ) ( - 6; - 4> 
D) ( - 3 ; - 6)
Capítulo A Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Como MO=BO y M O IB O , podemos utilizar 
lo obtenido en el problema anterior.
Como P es el punto del lado final del ángulo 
en posición normal 0, cuyas coordenadas son 
(-4; 3), su radio vector r es
r = V (—4)2 + 32 
r = \¡ 16 + 9 —> r - 5
Luego
x = -4 a y - 3
Del gráfico se cumple que las componen­
tes cambian de orden y la abscisa obtenida 
cambia de signo. Por lo tanto, las coordenadas 
de B son (-3 ;-6 ).
: Clave
Problema N.” 4
A partir del gráfico, halle sen0 + cos0.
Resolución 
Colocamos valores.
P(- 4; 3)
0
_A_
X
Por la definición de las razones trigonométri­
cas de un ángulo en posición normal, tenemos 
que
y 3 ̂ 4
sen0 = —= - a cos0 = — = — r 5 r 5
Nos piden
n n 3 4sen0 + cos0 = - + —5 5
sen0 + cos0 = - 15
; Clave .
Problema N.e 5
A partir del gráfico, halle tan0 si ABCD es un 
cuadrado.
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Resolución
Para hallar las razones trigonométricas de 0 se 
requieren las coordenadas de un punto de su 
lado final.
En el gráfico observamos que se pueden de­
term inar las coordenadas del punto C.
AD = 5 a DH = 1
i v ^ /
i y ...X#
lado del 
Cuadrado
HC-A
En consecuencia 
BC=AD=5
Gomo C pertenece al cuarto cuadrante, sus
coordenadas son (4, — 5). 
por la definición de las razones trigonométri­
cas de un ángulo en posición normal, tenemos
que
y 5tanO = ------ Ax 4
5tanO = ~ —
• Clave
Problema N.° S
Si las coordenadas de 4 y B son (-5 ; 2) y (3; 10), 
respectivamente, y AM=MB, halle tanj3.
A) - 6 B) -5 C) - 4
D) -3 E) -7
Resolución
En el gráfico, M es punto medio de AB, luego 
las coordenadas de M son
é-5 + 3 2 + 10)
l 2 ' 2 J
es decir, M(-1; 6).
Por la definición de las razones trigonométri­
cas de un ángulo en posición normal, tenemos 
que
tan0 = — = — x -1
tan(3=-6
’ Clave
Problema NA 7
En el gráfico, 0 6 -4 y AB=BC; además, las coor­
denadas de C son (12; 3). Halle coto).
«!
D) 3
Resolución
B) 4
C ) í
E)
En el gráfico, co es un ángulo en posición 
normal cuyo lado final pasa por A. Debemos 
determinar las coordenadas del punto A (a; b).
Como 05=4, entonces B tiene las coordena- 
das (4; 0). Además, como B es punto medio, se 
cumple lo siguiente:
o + 12
2
b + 3
= 4 -> a - - 4 
O -» b = - 3
Luego, las coordenadas de A son (-4; -3). 
Nos piden
, o /-Acot GO = — = —
b /3
. 4cotco = —3
Problema NC 8
Clave '■
Halle y¡B (senO + cosO) si las coordenadas del 
punto P son (-2; -1).
A) 3V5 
D) 3
B) \¡5 C) 2 
E) 2V5
Resolución
Se requiere un punto del lado final de 0. Como 
podemos considerar cualquier punto, tomare­
mos el punto M con la condición PO=OM. 
Recordemos que el origen tiene coordenadas 
(0; 0) y es punto medio de PM.
f
/ r
Á í__
~ 7
0(0; 0) >
/
’[-V; - i
Entonces
x - 2
• _____
2 = 0 —> x=2
y - 1
2 = 0 -» y=i
Luego
r = yjx2 + y2
r = \J 22 +12 —> r = V5
Resolución 
Colocamos los datos.
Nos piden
yjs (sen 0 + eos 0) = y¡5 J_ _2_
r s + 4~s.
í ? \
—> V5(sen0 + cos 0) = /V ? í 3 
V5-(sen0 + cos0) = 3
v ^ v
: C/ove
Problema N7 9___________________ %
En el gráfico, AM=5 y Mfí=10. Halle cot(3
A) |
m i
B) 1 c> ! 
E) !
Para hallar las coordenadas de M, determina­
mos MH y MP.
En el (notable de 37° y 53°)
MH=8
En el £±MPA (notable de 37° y 53°)
MP=3
Luego, las coordenadas de M son (-3 ; - 8).
' ' - o / 3 3
/ 8 8 Clave
Problema 10________
Halle sec0 si AM=MB=2.
A) C) -2^3
E) -2
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Resolución
Como el triángulo AOB es equilátero, entonces 
40= 4 .
Para hallar las coordenadas de M trazamos
M H 1 A O y M P1 eje Y
Entonces en el k^AHM (notable de 30° y 60°) 
AH=1 y MH = y¡3 
-> MP=3
Las coordenadas de M son (-3 ; Vi) y su radio 
vector r es
r = V(-3 )2 + V Í2 
n = V9 + 3 —> r = 2 Vi
Sabemos que
radio vector
—)
sec0 =
sec0 =
sec0 =
abscisa
2 V i
-3
-2VÍ
Problema M.J 11
De las condiciones del gráfico, determine tana.
i C/ove
D) -2
Resolución
C) -4 
E) 2
Para determinar tana, se requiere un punto 
del lado final de a.
Tomamos el punto M, tal que 
OM=OA
Mí- 1; 4]
O
De lo visto en los problemas 2 y 3, las coorde­
nadas de M están relacionadas con las coorde­
nadas de 4(4; 1).
Luego, las coordenadas de M son (-1; 4).
-> tan ex = — = - 4 -1
tan a - - 4
Clave
16S
COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N/ 12
Determine el signo de cada expresión.
M=sen120°+tan200°
N=cos100° + sen250°
P= sec220°-csc300°
Lumbreras Editores
A) (+);(-);(-)
B) (+);(-);(+)
Q (-);(-);(+ )
D) (-);(+);(+)
E) (+); (+); (+)
Rssotución
• M=sen120°+tan200°
Se observa que
90c
Como 120° e IIC -» sen120° > 0
(+)
Como 200° e NIC -> tan200° > 0 
Luego
M = (+) + (+)
M =.(+)
A/=cos100°+sen250° 
Se observa que
Como 100° e lIC -» cos100° < 0. 
Como 250° e IIIC sen250°<0.
Luego
N= (-) + (-)
••• A/=(~)
P=sec220°-csc300°
Se observa que
Como 220° e NIC -» sec220° < 0 
Como 300° e IVC —> csc300° < 0
Luego 
P= H H 
••• p=(+)
: Clave
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Problema N.° 13
Si a e IVC y 0 e I1IC, indique la alternativa í 
incorrecta.
A) sena+sec0 < 0 - i
B) cose-cosa < 0
C) secacot0>O
D) tan2atan0 > 0
E) cscacsc30 < 0
Resolución i
a) Correcta
Como a e IVC sena< 0 ’
Como 0 e INC —> sec0<O \ j
En consecuencia ' j
sena+sec0<O . • j
b) Correcta
Como 0 e INC —> cos0<O
(“)
Como a e IVC —> cosa > 0
(+)
En consecuencia 
cos0 -cosa < 0
H
c) Correcta
Como a e IVC —> seca > 0
(+;
Como 0 e NIC -> cot0>O
En consecuencia 
seca cote > 0
í-fj
d) Correcta
Como a e IVC —> tana< 0
ComoGelllC —> tan0>O
En consecuencia 
tan2atan0 > 0
H ‘
e) Incorrecta
Como a e IVC —> esc a < 0
Como 0 e NIC csc0<O
En consecuencia 
cscacsc30 < 0
H f-
Clave
Problema N.‘ 14
Determine el valor de F. 
2sen90°-cos180°F = tan180° + cos360°
167
COLECCIÓN ESENCIAL
: v - / ,
Lumbreras Editores
Resolución
Recordemos las razones trigonométricas de 
los ángulos cuadrantales.
• sen90°=1 • tan180°=0
• cos180°=-1 • cos360°=1
Reemplazamos
c _ 2sen90o- cos180° 2(1)-(-1)
_ tan180° + cos360° ~~ 0 + 1
-> F = 2 + 1
F = 3
Clave
Problema N,° 15_________ ____.
Si a y 0 son ángulos cuadrantales positivos y 
menores que una vuelta, tal que
tan360° + sen90° 
Sen“ = co t90°-sen 270°
sen0°-cos360°
cos0 = ----- S o 5
determine a+0-
A) 360° B) 270°
•D) 180°
C) 540° 
E) 450°
Resolución
Debemos reemplazar las razones trigonomé­
tricas de los ángulos cuadrantales en las con­
diciones del problema.
0 + 1 _ 1 sena = - ^ ) í
Como a es positivo y menor que una vuelta 
-> 0°<a<360°
I----:— > 90°; 180° o 2/0°
Por condición tenemos que a=90°.
También
0-Í1) -1COS0 = 1 1
Luego 0o < 0 < 360°
’
-> 0=180°
Finalmente
a+0=9O°+18O
a+0=27O°
=— —>cos0=-1
roc
Clave
Problema N. 16
A partir del gráfico, determine sena+cos|3 si 
OH= 5.
* < - I B, - f C)
» 1
E)
sena=1
Resolución
Com o a y (3 tienen los mismos lados (inicial y 
final), podemos afirmar que son coterminales.
En consecuencia, se cumple que 
RT (a) = RT (P)
Entonces
cosa=cos(3
Notamos que
sena+cos(3=sena+cosa
En el gráfico, hallamos las coordenadas del 
punto H.
En el k^OPH (notable de 37° y 53°)
HP=4 a PO=3
entonces, las coordenadas de H son (-3; -4 ). 
Luego
4 3sena + c o s a - - — ^
sena + c o s a - .- —
Problema N.n 17
En el gráfico, las abscisas de los puntos A y B 
son - 5 y 1, respectivamente; además AM=MB. 
Halle tan0.
D) -6
Resolución
A partir del gráfico
E) -5
Clave
como los puntos A y B pertenecen a la ecua­
ción y=x2 +1, entonces deben cumplir dicha 
igualdad,
• Para el punto A: x=-S 
y=(- 5)2 + 1 —> y=26
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
* Para el punto B: x=1 
y=12 + 1 _> y= 2 
-> fi( 1; 2)
Com o AM=MB, M es pünto medio y tiene las 
coordenadas
1 -5 2 + 26'
l 2 ' 2 = (- 2 ; 14)
Utilizam os la definición de la tangente de un 
ángulo en posición normal.
tan0 = — = —
x - 2
/. tan0= -7
' ; Clave \ . ;
Problema N.° 18
En el gráfico, BC=S(BA). Halle cotO-coto.
D X
A) 5
» 1
O f
» - i
R eso lución
Sea BA=a. Por dato
BC=S{BA) —> BC-Sa
Además, como se requiere conocer las coor­
denadas de B y C, asumimos que MC=b.
_> BM~Sa-b
En consecuencia 
C(£>; a) y B(b-5a; a)
V'f
Luego
* b b-Sci cot0-coto=-----------
a a
co t0-co to =5
: Clave
Problema N7 19
En el gráfico, PM=MH=2. Halle tanfi.
A) --
D) - 4 
2
B, - ? Q - -
E> - I
Capítulo A Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Resolución 
A partir del gráfico
Com o AO=ON
-> rrxN A O = 45° a AH=2
Si HO=n —> AO=2+n
En el PHO aplicamos el teorema de Pitágoras.
(2+n)2=A2 + n2 -> n=3 
Luego, las coordenadas del punto M son (-3 ; 2). 
Por definición
tanp = — -> tanp = 4 rx -3
••• tanp = - | . . ' ■ ,...
 ̂ ; Clave
Resolución 
Del gráfico
V A
se requiere las coordenadas de algún punto 
del lado final de 0, para ello relacionamos al 
ángulo de medida 0 con a.
Como ON/¡ AB, trazamos los puntos A y B pa­
ralelos a los ejes /Ve Y, respectivamente, tal que 
m<HAB-a, obteniéndose un triángulo rectán­
gulo para a.
Ù
Problema N.8 20 ______
A partir del gráfico, halle tan0.
Lo relacionamos con 0.
—> tan0 = —
i -2
i tanO = - -
i • 2
►
* Clave
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 2 1 ________________
Del gráfico mostrado, halle cota.
A) - 2 C)
E)
4
2
3
Resolución
Colocam os valores.
Relacionamos el ángulo en posición normal a 
con otro ángulo (0) para determinar sus razo­
nes trigonométricas, el cual está contenido en
el
Luego
c o ta = ~2
X
" Clave
Problema N.* 72____________________________
A partir del gráfico, calcule cotO + cos0sen0.
Resolución
Del gráfico se observa que los ángulos 0 y 
30° tienen los mismos elementos (lado inicial, 
vértice y lado final), por lo tanto, son ángulos 
coterminales.
Recordemos que si un ángulo es positivo (en 
el caso de 30°), se sobreentiende que se ha 
generado en sentido antihorario.
Luego, podemos concluir que 
RT(0) = RT(3O°)
Capítulo A Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Nos piden
cotO + cos0sen0=cot3O°+cos3O°sen3O°
/T 1
—> cot0 + cos0sen0 = 73+ — x -
2 2
r /T
cot0 + cos0sen0=----4
j Clave \ j
Problema N.‘ 23 ____
Si AN=2{NB), halle tan0.
A) - 3 B) - 2 C) - 4
Resolución
Las coordenadas de N son (x ;y).
Se cumple
x - 7 a + 2• a = ------ a x = — —2 2
-> — =2x-2-> x = -12
. y - 5 b + 7b = - ----- a y = ——-2 2
—> ̂= 2 y - 7 —> y = 3
2
Luego, por la definición de las razones trigo­
nométricas de un ángulo en posición normal, 
tenemos que
tan0 = —
x
tanO = —
-1
a tan0=-3
Clave .
Problema N7 24
¿Cuántos ángulos cuadrantales hay entre 100° 
y 2000o?
Ubicamos el punto medio de AN y le asigna­
mos coordenadas (a; b). Entonces, N es punto 
medio de MB.
A) 22 B) 21 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución
Todo ángulo cuadrantal es de la forma 
90°n/n e Z.
Por condición del problema
100° ̂90 °n ̂2000°
90° < 90° 90°
-» 1,1 <n<22,2
Com o n es entero 
—> n: 2; 3; 4; 5 ; 2 2v — v--------'
Hay 21 valores 
enteros.
Para cada valor entero, existe un ángulo cua- 
drantal. Por lo tanto, en el intervalo dado hay 
21 ángulos cuadrantales.
: Clave [
Problema N.° 25
Si a es un ángulo que verifica 
sen 90 °-sen 2 7 0 °c o s a = cos360° + tan45°-cos180° 
adem ás, tan a< 0 , halle el valor de K. 
K = J 5 cot a - sec a .
D) - 2
B) - - 
3
C) 2
E) - 1 2
R eso lu c ión 
Por dato
co sa = 1 + 1 - H )
c o sa = — c o sa > 0
Adem ás, tana< 0 .
Se deduce que a e IVC.
Como
2 x 
co sa = - - —
V .__ ✓
entonces se obtiene lo siguiente:
*
Calculamos el radio vector
3 — -\]2̂ + —> y - -y¡5
Luego
K = 4 5 c o ta -se c a
-» K =>!5
K = — 2
r 2 f3i{-/ìúI2J
: Clave \
Problema N." 26
En el gráfico, AB=BC. Halle tana.
C(2;
A
_ 7_ — 
u
2 1 A) 1 B) i C)7 3
D)1
2 E)
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Resolución 
A partir del gráfico
com o AB=BC, entonces el A AOC es .isósceles. 
-> AO=OC
Adem ás, m < 8 0 O m < fi0 A 
^ A H O = ^ C P O
§ . x
Luego, las coordenadas del punto A son 
(-7;-2).
-2—» ta n a = —-7
ta n a = -
Problema N.“ 27
; Clave \
Del gráfico, halle el valor de cote si AM=MB.
» !
B) ̂2
C ) 1
2 1 » ! B) M 3 ° f
01 3 E) 2 1 “ T » ?
Resolución
Como AM=MB -> M(3 ;-1 )
Tomamos un punto P en el lado final de 0, tal 
que OM-OP.
De las conclusiones del problema 3 se obtiene 
que las coordenadas de P son (-1; -3 ).
Luego
cote =
-3
•. cote = - 
3
Problema N.° 28
 ̂ Clave
Del gráfico, halle tanacote si ABCO es un cua­
drado.
Â
5
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Al trazar paralelas a los ejes que pasen por los 
vértices A, B y C, se generan triángulos con­
gruentes.
Luego 6 (-14; - 2 ) y C (- 6; -8 )
tanacot0=
Problema N„” 29
r - 81f -14
1-6 Jls. -2 J
29
28
: Clave
En el gráfico, AOB es un sector circular, además 
OH=3; H A-2 y HM=MP. Determine tanfi
A)
D) - §
« - ! C) “ I
E) -
Resolución
Requerimos las coordenadas de M.
va
u
U L
Se observa que el radio del sector circular es 
igual a 5, entonces 04= 5 .
Pero OP también es radio del sector, entonces
en el L x OHP se cumple que {HP)Z + 3Z=S2.
-> HP=4
Como
HM -M P -> HM=2
Luego, las coordenadas de M son (3; -2 ) . 
tanp = - -
Clave
Problema N.° 30
1
Si tana = — y a e INC, determine el valor de /. 
/ = V í7 (c s c a - s e n a )
A) -17 B) -16 C) 14
D) 16 E) 2VÏ7
Resolución 
Por dato
tana =
y
-n___ = y
-4/1 xv __^
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Com o a e IIIC, tanto la ordenada como la abs­
cisa son negativas; adem ás deben ser propor­
cionales a -1 y - 4 .
En consecuencia y = -n y x=-4n .
Ubicam os el punto en el plano cartesiano.
Se pueden definir todas las RT de a, pero se 
tiene que colocar su signo por el cuadrante al 
que pertenece.
Ejemplo
csca = -V l7
t '___________ p o rq u e o e IIICIV 1
sen a = - 
Luego
Calculam os el radio vector. 
r = \ J (- 4 n )2 + ( - n f 4
r = \¡W n2 -» r = yf¡7n
Luego
Vl7 (esc a - sen a ) = Vl7 
yf\7 (esc a - sen a ) = yf¡7
Vl7 (esc a - s e n a ) = -16
f V Í T /
Í- V Í7 +
# / j
• J v ,
V ¡7 ( esc a - s e n a<)
4Vi{-4v--rl
V v L 7 .
= -16
Vt7 (esc a - sen a ) =-16
: Clave
Pro b lem a N.° 31
En el gráfico, ABCO es un trapecio isósceles 
y AO//BC. Si AO-B, C tiene las coordenadas 
(-2 ; -4 ) y AM=MB, halle 7tana + 2cota.
Otra forma
-|
D ato :tana = — a exeIIIC
Aplicamos la tana en un triángulo rectángulo.
B) 6
4
□
A) 5 
D) 8
C) 7 
E) 9
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Se requiere calcular las coordenadas de M.
Problema N/ 32__________
SI ABCD es un paralelogramo, halle cot0.
Al trazar
CP _L eje X a BH JL eje X 
-> C P - 4 a PO=2
Como el trapecio ASCO es isósceles, A H -P O -2 . 
Luego, B tiene las coordenadas(—6; — 4).
A) -3 B) - 4 C) - ~
D) -2 E) - '
Resolución X;
Trazamos las diagonales del paralelogramo, 
tal que :ÁM=MC y DM=MB.
Por dato, AM=MB, además, A O -8 .
-> A (- 8; 0)
Por la fórmula del punto medio tenemos que 
f - 8 - 6 0-4^1
_> M (-7 ; -2 )
Nos piden
7 ta n a + 2 c o t a - ^ X
 ̂ -7 ^
... 7tana+2cota=9
: C/a»/e •
Podemos hallar las coordenadas de M por ser 
punto medio de DB.
^ - 4 * 1 0 ; _8 + 6 j
-> M(3; -1)
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Com o M es punto medio de/\C , se cumple 
-2 + x
~— = 3 —> x=8
2 + y
• — ~ = -1 -> y - - 4
Luego, C tiene las coordenadas (8; -4 ). 
Nos piden
co te = A
- 4 '
co te = -2
Problema N.° 33
i ClaveÁ
Se tiene que a y 0 son ángulos coterminales; 
además 0 y (3 son ángulos cuadrantales positi­
vos y menores que una vuelta, tal que 
sen0=cos36O°+sen27O° y
eos (3 = Vsen90° + 2 eos 180°.
Halle T.
sen(0 + (3) + cosacos|3
T = c o s (0 - ß )- s e n a s e n ß
A ) i
D) 4
B) -1 C) o
E) 1
Resolución
Por dato, a y 0 son ángulos coterminales. 
Como RT(oc)=RT(0), se cumple que 
cosa= cos0 a sena=sen0
Además
0o < 0; [3 < 360°
90''. 180",
• sen0=cos36Oo+sen27O° 
sen0=1 + (-1) 
sen 0=0 -> 0=180°
» cosß = Vsen90° + 2cos180° 
cosß = V l + 2 (- l ) 
cosß=—1 ß=180°
/
Nos piden
j _ sen(0 + ß) + co saco sß 
c o s (0 -ß )- s e n a s e n ß
Pero
cosa=cos0=cos18O°=-1
sena=sen0=sen180°=0
Reemplazamos
T _ sen(l800+180°) + (- l )c o s ( l800) 
co s(l80° - 180° ) - ( 0)se n (l80°)
-> T = sen360° + ( - l ) ( - l ) 
co s0 °- (0 )(0 )
r = — =1 1-0
i Clave .
P rob lem a N2 3 4 
Reduzca la expresión M.
a3 cos360°+¿>3 cos180° 
o sen 90°+¿> sen 270°
M =
A) a2+b2 
D) a2-b 2
B) {a+bY
+ absec180°
C) (a-b)¿ 
E) 2a2+b2
9
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Recordemos que 
cos360°=1 
sen90°=1 
sec180°=-1
cos180°=-1
sen270°=-1
Reemplazamos en M.
M _ 03(1) + b3(-1) 
0(1)+ ó(-1) + ab{-1)
M = a6 - b : 
a - b
-a b
Por la diferencia de cubos tenemos que 
a3- b 3= {a-b )ia2+ab+b2)
Reem plazam os
(¿ i^ 6 ){a2 +ab + b2) ^
M = ab
-> M = a2 + p 6 + b2 - p é 
M = a2 + b2
%
: Clave •
Problema N.° 35
A partir de la condición 
2tana+i=CSC45osengo°cos3(
halle el valor de senacosa .
A» ' I
D ) ' f
B) \
* -I
Resolución
Por condición
2tana+1=csc45oseng0ocos360t
)tana+1
itana+1
itana+1
=(V2)(1)(D
=V2
=22
1
—» tana+ 1= - 2
—> ta n a = -— 2
Además, a e IIC.
De forma práctica ubicamos a a 
guio rectángulo.
Definimos
1sena = —-¡= a co sa =
V5
Nos piden
_2_
4 í
' 1 Ì ( 2 Ìsen aco sa =
{ ' l ì )
sen a eos ex = 2
5
en un trián-
Clave
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Problema U.a 38
A partir del gráfico, halle cotp si las coordena­
das de C son (-7; 2).
Entonces
CH=2 a H O -7
En el fc^ßCO (notable de 45°)
3 7
R eso lu c ió n 
Del gráfico
BC=CO
—> ìx^BNC — CHO (ALA) 
-> BN= 2 a NC=7
Luego, las coordenadas de B son (-5 ; 9).
cot(3 = - -
9
: Clave
Problema 1̂ 2 37
En el gráfico, AB=BC=4^5 y B tiene las coor­
denadas (-3 ; 4). Halle tana.
A)
D)
C)
E)
4
3
7
4
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
En el gráfico
Resolución 
Por dato
(tan6)cot0=V2
v
(tan0)cot0=22
Podría decirse que tan0=2 dato que cot0= 
pero por dato tan0^2.
_1_
2'
Veamos entonces
l x2
(tan0)cot0=22x2
Com o AB=BC 
-» ^ B H C - ^ A N B 
AN=4 a BH=4 
Pero AB=4\l5 -> BN=8 
Luego HC=B
HM=4 -> MC=4 
BQ=3 HQ-7
Entonces, C tiene las coordenadas (-7 ; -4 ). 
Nos piden
-4ta n a = —
4tana = — .
7 ¡ Clave \ }
2 2 
(tan0)cot0=24 = {z2)A
2
-> (tan0)cot°=(4)4
Podemos afirmar que tan0=4. 
Por dato 0 e MIC
1
Problema N. 38___________. ____________
Si (tan0)cot0=V2, además tan0*2 a 0 e NIC, 
determine el valor de E.
E = J Í7sen0+cot0
A) 0 B) ~2
D) 2
Nos piden
£=Vl7sen0 + cot0
—> E = 0
\
0
1H—
4
E=
E= - 15
4
; Clave \
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Problema N.° 39 ______________________
Se observa que los ángulos a y 0 son positivos 
y m enores que una vuelta que cumplen 
sen2a + c o s20 + 2(1+cos0-sena)=O
Halle el valor de P.
P = sen (a + 0) + sen^5_ —
A) -1 B) - -
2 C) - 2
D) - 
2 E) i 2
Recordemos que si
a2 + b2=0 -> a=0 a b=0
Luego
sena-1=0 —» -sena=1
Como 0< a< 360°
—> a=90°
Además
cos0+1=O -> cos0=-1
Como 0<9<360°
0=180°
R e so lu c ió n 
Por dato
0 < a ; 0<360°
Adem ás
sen2a+ co s20+2(1 + cosO-sena)=O 
sen2a+ co s20+2 + 2cos0-2sena=O 
sen2a -2 se n a + 1 +cos20 + 2cos0+1=O
(sen a-1 )2 + (cos0+1)2=O
Nos piden
P - sen(a+0)+sen 0-a
l 3 )
P - sen(90°+180°) +sen
P = sen270° + sen30°
I fPÉ+i
2
P = - i 2
180°-90°
V
: Clave \
PRACTIQUEMOS U ) APRENDIDO
1. En el plano cartesiano mostrado, halle la 
distancia del punto A al punto B.
A) 6V I B) 7V 2 C) 2VÍ0
D) 10 / * E ) 15
i \
2. Un segmento CD tiene como coordenadas 
(-13; 7) y (25; -11) en sus extremos C y D, 
respectivamente. Halle las coordenadas del 
punto medio de dicho segmento.
A) (-6 ; 2) B) (6 ;-2 ) C) (4;-1)
D) (3; —1) E) (4 ;-2 )i
3 Del gráfico mostrado, determine el área de 
la región rectangular ABCD.
4. Si el punto medio del segmento AB tiene 
coordenadas (-1; 7) y el punto A tiene coor-
, dendas (10; -5 ), halle la abscisa del punto B.
A) 6 B) 8 C) -12
D) -14 E) - 2
5. Indique las coordenadas del punto A si 
ABCD es un cuadrado, cuya area es 16 u 
y CO=3.
y i
□ □
___ □ _ □
J t D fíO C V
A) (-7 ; 4) B) ( - 6; 4) C) (-5 ; 4)
D) ( - 8; 4) E) ( - 4; 4)
6 . Halle las coordenadas del punto D si ABCD 
es un cuadrado cuya región tiene un área 
de 64 u2.
A(~ 2;
y *
2) B
— 3
C-----------—3 X
; ] ..... -....... .. -
D C(4 -3 )
B) 24 C) 30
E) 36
A) ( - 6; - 7 ) B) (-5 , -4 ) C) ( - 6;- 5 ) 
D) ( - 7 ;- 4 ) E) ( - 7 ; - 6)
Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
7. Halle el área de la región triangular som ­
breada en el gráfico mostrado.
A) 23 u2 
D) 18 u2
B) 20 u‘
C{5; -3}
C) 21 u2 
E) 24 u2
8. Calcule la suma de los radios vectores de 
los puntos A (-6 ; 8) y 8(12; -5 ).
A) 24 
D) 23
B) 15V3 C) 20
E) 17V3
9. En el gráfico, la circunferencia tiene radio 5. 
Halle las coordenadas de su centro si MO=8.
A) ( - 3; 4) B) (- 2 ;3 ) C) (-4 ; 3)
D) (-3 ; 2) E) (- 5 ;3 )
10. Si el punto M de coordenadas (x ; - - fi) 
pertenece al cuarto cuadrante y su radio
vector es 3, halle \¡2x.
A) 4
D) Vó
B) 2V 2 C) 2 
E) 3>/2
11. Si el punto P tiene coordenadas (m ; m2), 
tal que m adopta valores negativos, ¿a qué 
cuadrante pertenece P1
A) primer cuadrante
B) segundo cuadrante
C) tercer cuadrante
D) cuarto cuadrante
E) No se puede especificar.
12. Determine la ordenada del punto B si AOB 
es un triángulo equilátero de lado 6.
D) - 3V3 E) - 3V 2
13. En el gráfico, el punto P tiene las coorde­
nadas (a; b). Halle ^ si AOB es un sector 
b
circular.
A) - 4 B) -2 C) 4
D) - 
2
E) 2
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Capítulo 4 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
21. La circunferencia mostrada en el gráfico 
es de radio 2 y T es el punto de tangencia
tal que TA=B{AB). Halle tan a .
determine el valor de 5cosa+4tana.
A) -1 B) 1 C) 2
D) - 2 E) 0
23. Indique el signo de cada expresión. 
P=cos130°
M=tan200°+sen100°
A/=cot70°-cot100°
A) (- ) ;(- ) ;(+ )
B) (+); (+); (+)
C) (-);(+ );(+ )
D) (+ );(-);(+ )
E) (- ) ;(+ ) ;(- )
24. Determine el valor de E.
_ csc90°+cos360°E = ----------------------+ cos180°
sen 270°- ta n 180°
25. Si a y (3 son ángulos coterminales, halle el 
valor de F.
_ sen a eos(3 tan a
F = ------- h------------- -
sen (3 co sa tan (3
A) 3 B) -1 C) 2
D) 1 E) - 3
126. Si tan0 = - - y cos0 > 0, determine el valor
2 y
de \ ís (c o s Q - c s c d ) .
A) 7 B) - 2 C) -y¡5
“D) - 5 E) 3
27. Si a y (3 son ángulos cuadrantales po- 
sitivos y menores que una vuelta tal que 
sena=csc90° y cos(3=sen270°, ¿cuál será 
el valor de (3-a?
A) 180° B) 0o C) 90°
D) 360° ' E) -9 0 °
28. Calcule la abscisa del punto P si se sabe 
que su ordenada es igual a 4 y sudistancia 
al punto A{ 1; -2 ) es igual a 10.
A) 9 B) - 7 C) 8
D) {-7 ; 9} E) - 6
29. Calcule la longitud de la mediana relativa al 
lado AB en un triángulo cuyos vértices son 
4(8; 6), 8 (-4 ; 0) y C(1; -4 ).
B) 3 ^
A) 0 
D) 2
B) -3 •C) -2
E) 1
A) 4 Ì
D) 2V2
c) 5V2
E) 4V2
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30. En el gráfico, ABCD es un cuadrado cuyo 
lado mide 5 u. Calcule ab.
A) 28 
D) 30
B) 26 C) 24 
E) 32
31. Halle las coordenadas del punto que per­
tenece al eje de ordenadas y equidista de 
H ; 2) y (3; 5).
A) í 0; | | B)
f 29 D) 0; —
°;-|J C)t or!
13
E) 0; 5 ,
32. En el gráfico, AM=MB. Halle tañé?co ta .
A) 3 
D) - 2
B) 2 C) 4 
E) -3
33. Del gráfico, halle coto si AB=BC, además, las 
coordenadas de A y B son (0; 2) y (-4 ; 0), 
respectivamente.
A) - Í B) - i2 2
D)
3
34. Del gráfico, halle tanpcota.
C) - 2 
3
E) -
(2; - 1)
B) 1 2 C) - - 2
A) -1
D) 1 E) - 2
35. Del gráfico, halle V l7 (co s0 -sen O ).
A) 5
D) -2
B) 4 C) -3
E) 3
Capítulo z» Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
36. ¿Cuántos ángulos cuadrantales hay entre 
200° y 2000o?
A) 19 
D) 18
B) 20 C) 21
E) 22
37. Si 2sen a+1=3sena, además, a pertenece al 
segundo cuadrante, halle esc a + V3 seca .
A) - 2
D) 4
B) 2^3 C) 0 
E) 1
38. En el gráfico, AOC es un triángulo equilá­
tero y AM=2(MC). Determine cot(|>.
A) - 7 3 B) C)
D) -2 7 3 E) '- 2
39. Del gráfico, indique el valor de cotatanp.
A) - 2
1
0 ) " 6
B) -1 C) -4
E) -16
40. Se tiene el segmento AB tal que A {- 9; 4) y 
6(3; -4 ) ; además se ubica el punto M en AB 
tal que MB=3{AM). Halle las coordenadas 
del punto M.
A) (0; -2 ) B) (-3 ; 1) C) (-6 ; 1)
D) (-5 ; 2) E) (-6 ; 2)
41. En el gráfico, AB = BO = V l3 ;
AO=6 y AM=MB. Halle cot§.
A) - - 2
D) - 4
B) - C) - 3 
E) - 7 Ï3
42. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 
y DO=2, halle el valor de tana .
A) -2
D) 2
B) - 2 
3 O - 1 3
E) -3
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43 . Determ ine et valor de csc0.
A) 2^3
D) 2
B) 4 n/3 . C) £ 
E) 2^3
44 . Si 0 e MIC, además se cumple
_ sen90°+cos270°tan0 = ----------------------- ,
sec60°-2sen270°
halle el valor de cot0 + V l7 sec0.
A) -1 
D) 1
B) - - 
6 C ) i
E) 2
46. En el gráfico mostrado, AB=2 y BC-4. 
Determine el valor de c o ta -c o t0 .
A) -2
D) • — 2
B) 2 C) 3
E) - 3
47. Si se cumple que
» !
B) 1/2
« 4
eos0 < 0 y tan 0 sec0 > 0, 
¿qué se puede afirmar?
0 1 - 5 E) 4 A) O e lIC
45. En el gráfico, ABCD es un cuadrado cuyo 
lado mide 5. Halle el valor de cot0 + cot(3.
B) 0 e IIC o INC
C) 0 e IIIC
D) 0 e IC o IIC
E) 0 e IIIC o IVC
48. Si los puntos (-2 ; 1) y (-1; 4) pertenecen a 
los lados finales de los ángulos 0 y q, res­
pectivamente, halle el valor de 
2tan0-4cottj>.
A) 2 
D) -1
B) 0 C) -2
E) 1
k
9i
Capítulo 4
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
49 . En el gráfico, A B=2 y ßC=1. Halle co ta .
A) - 3 B) - 2
D ) 4
50. A partir del gráfico, determine el valor de 
4 Í (tanß + cotß) si AB=1 y BO=2.
A ) -1 B) 4 C) 2
D) 3 E) 5
A
Claves
1 9 17 25 33 ; 41 49
2 10 18 26 34 42 50
3 11 19 27 35 43
4 12 20 28 36 44
5 13 21 29 37 45
6 14 22 30 38 46
7 15 23 31 39 47
8 16 24 32 40 48
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
La circunferencia, como figura geométrica, es utilizada en 
diversas ramas de la ciencia matemática. Si la ubicamos 
en un sistema de coordenadas y hacemos coincidir su centro 
con el origen de coordenadas, estaremos generando una 
herramienta de cálculo que permite relacionar las funciones 
trigonométricas de todo tipo de ángulos vinculados con los 
arcos en esta circunferencia. - -
Desde que Descartes publicó en su obra Discurso del 
método (por primera vez, un tratado sobre geometría 
analítica hasta el desarrollo de la geometría diferencial de 
Gauss), es innegable que la relación lograda entre las figu­
ras geométricas y un sistema de coordenadas ha permitido 
desarrollar más adelante el cálculo diferencial e integral.
La circunferencia trigonométrica en dicha relación conlleva 
a entender las funciones trigonométricas no solo en un 
valor específico, sino también como un conjunto de valores 
que dinámicamente van a modificarse, conforme cambia el 
valor angular. Dicho análisis permite entender la relación 
más estrecha entre los procedimientos algebraicos y el 
estudio de las funciones trigonométricas.
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
• Relacionar las medidas de los arcos con sus respectivas 
funciones trigonométricas.
• Identificar las variaciones de las funciones trigonométricas 
y los máximos o mínimos valores que adoptan a partir de 
la variación de los arcos, y viceversa.
¿ P o r qué e s n e ce sa rio e s te co n o c im ie n to ?
Permite entender la relación entre las medidas de los arcos y 
las funciones trigonométricas, lo cual puede servir para ana­
lizar fenómenos diversos que se modelan con igualdades 
matemáticas donde se expresan con senos o cosenos, los 
que se denominan fenómenos periódicos (sucesión de días 
y noches, temperatura del ambiente, ciclo cardiaco, etc.).
wm
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Circunferencia trigonométrica
1. ECUACIÓN DE.UNA C IRCUN FEREN CIA 
Si se tiene una circunferencia de radio r en el plano cartesiano 
cuyo centro O' tiene coordenadas {h; k), se puede determinar 
la ecuación de dicha circunferencia considerando un punto 
cualquiera P de coordenadas (x; y) que pertenezca a dicha 
circunferencia.
Importante
por un conjunto de puntos 
coplanares que equidistan de 
un punto fijo que pertenece al 
mismo plano llamado centro.
donde 
- O: centro
. OP=R: radio de la circunfe­
rencia
Por el teorema de la distancia entre dos puntos se cumple lo 
siguiente:
r = yj'(x-hf+iy-k)2
C
(X 
i._____
- hy+iy~k)2=r
Es la ecuación de la circunferencia cuyo centro tiene las coor­
denadas (h; k) y cuyo radio es r.
Ejemplo
Si la ecuación de una circunferencia es (x—2)2 + (y—3)2—4 ?, 
podemos indicar que su centro tiene las coordenadas (2; 3) y 
su radio es 4.
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Aplicación 7
Si una circunferencia tiene por ecuación 
(x+ 2 )2+ (y -5 )2=9, donde (7?; k) son las coorde­
nadas de su centro y r es su radio, determine 
r+h+k.
Resolución
De la ecuación de una circunferencia
(x -ó )2+(y-/c)2=r2 (|)
sabemos que (ó; k) son las coordenadas del 
vértice y r es el radio.
Por dato, la ecuación es 
(x+2)2+ (y -5 )2=9 
(x+2)2+ (y -5 )2=32
Comparamos (I) y (II). 
h=- 2; k= 5 y r=3
Nos piden
h + k+ r= -2 + 5 + 3 
h+k+r= 6
Para ello generamos binomios al cuadrado en 
la ecuación dada.
x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 = 4
-> (x-1 )2+ (y+ 2 )2=22 (II)
Comparamos (I) y (II). 
h=1; k= -2 y r=2
es decir, el centro tiene las coordenadas (1; -2 ) 
y su radio es 2.
Graficamos
.(II) :
í ~
/ : \/1 [ ri; \ 
/N v /
Nos piden 
1 + (-2) + 2=1
i A plicación 3
Calcule el diámetro de una circunferencia cuya 
i ecuación es x 2+y2=8y.
A plicac ió n 2
Determine la suma de las coordenadas del 
centro y el radio de la circunferencia cuya 
ecuación es x 2+ y2+4y-2x+1=0.
Reso lució n
Dada la ecuación
x 2+ y2+ 4y-2x+ l= 0
debemos generar una ecuación de la forma 
( x - h f + iy-k )2^
Resolución
Dada la ecuación
x 2+y2=8y
—> x 2+y2-8y+16=16 
x2 + (y -4 )2=16 
(x-0 )2 + (y -4 )2=42
Dicha circunferencia tiene su centro ubicado 
en el punto (0; 4) y un radio de longitud 4.
Por lo tanto, el diámetro de la circunferencia 
mide 8.(D
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iodo punto que pertenece a 
úna circunferencia trigonomé­
trica (C.T.) debe cumplir la si­
guiente ecuación: -
— ; ; 1
x + y ¿ = 1
El punto P pertenece a la circun­
ferencia trigonométrica: por lo 
tanto, sus coordenadas deben 
cumplir la ecuación 
x z+y2=1
I'+ y = 1
y 2 = — -> y = ±7 7 25 5
Como P e\C e y > 0
y = 5
; Por lo tanto, las coordenadas
i 3 4de P son | - , —
1.1. Ecuación de una çirçunferenci; ín tro está en el
origen cié coordenadas
A partir de la ecuación establecida para la circunferencia se 
puede indicar que si el centro de la mismacoincide con el ori­
gen de coordenadas, se tiene que
(h] k)={0; 0)
es decir (x -0 )2 + (y - 0 )2=r2
Colocamos estos datos en el plano cartesiano.
1.2. Ecuación irco i1 f ere nc ia A;, ig o no mé irv -i
Es aquella circunferencia ubicada en el plano cartesiano cuyo 
centro está en el origen y su radio es igual a la unidad. También 
es llamada circunferencia unitaria.
La ecuación del gráfico es x2+y2=1l donde el punto A, que es 
la intersección entre la circunferencia trigonométrica y el plano 
cartesiano, se denomina origen de arcos y tiene como coor­
denadas (1; 0). Los puntos de intersección B, A y B' tienen las 
coordenadas (0; 1), (-1; 0) y (0; -1), respectivamente.
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Aplicación 4
Determ ine la ordenada del punto P si su abs- 
1cisa e s - ,
2
2. ARCO DIRIGIDO
Es la trayectoria descrita por un punto móvil 
sobre una determinada curva siguiendo un 
sentido. El punto donde inicia el arco se deno­
mina origen del arco y el punto donde culmina 
es el extremo.
Resolución
En el gráfico se observa que el punto P perte­
nece a la circunferencia trigonométrica.
Adem ás
p g ic —> y > o
Como P eC .T . se debe cumplir la ecuación
Y2^ + y 2 =1
2.1. Arcos dirigidos en la circunferencia 
trigonométrica
Ubicamos un arco dirigido en la C .T. con la 
condición de que su origen coincida con el 
punto de coordenadas (1; 0) y cuyo extremo 
se ubique en cualquier cuadrante. Asociamos 
a dicho arco un ángulo en posición normal de 
medida a rad. Si calculamos la longitud del 
arco AP, se tiene que
C — = a(1) —> C-' = aAP AP
VA
-> y 2
3
■— ■— ^4
C o m o y > 0
A
donde RT(a rad) = RT(oc).
Si a rad es un ángulo ubicado en un cuadrante 
determinado, observamos que el extremo del 
arco AP se ubica en dicho cuadrante. Podemos 
entonces concluir que el cuadrante de a rad es 
el cuadrante del arco AP.
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Ejemplos
Tí1. Ubicamos el arco —
3
Importante
Los ángulos expresados en 
radianes suelen, en el lenguaje 
matemático, escribirse obvian­
do sus unidades.
Ejemplo
El ángulo que mide — rad es
IT 6igual a —.6
También
7c
~ es un arco que pertenece
 ̂ í \ Tíal primer cuadrante — elC .v3 J
3tí2. Ubicamos el a rco— .
4VA
3n
— es un arco que pertenece al 
í 3tt ^segundo cuadrante _ e ||c
v 4 j
sen| ^ radj = sen^
tanl y radj = tan^
No olvide
Los arcos dirigidos pueden ser 
positivos (si son generados en 
sentido antihorario) o 
vos (si se g 
horario)
donde
- a: arco positivo
- 0; arco negativo
7713. Ubicamos el arco — .
6
4. Ubicamos el arco — .
3
7n bn
— es un arco que pertenece — es un arco que pertenece
— elllC . al cuarto cuadrante í ^ . i v c jU J V 3 J
)
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
2,.¿. Ubicación de algunos arcos en la 
c i re uní eren ci a tri g o n o m ét rica
Observamos que en el punto de coordenadas 
(1; 0) están todos los extremos de los arcos 0; 
2tt; 4ti; 671; ..., es decir, todos los arcos de la 
forma 2kn/k e Z .
En el punto (0; 1) se encuentran todos los
7T 5tCextremos de los arcos es decir,
todos los arcos de la forma 2kn+- o (4/c+ l)-.
2 2
En el punto (-1; 0) se ubican los extremos de 
los arcos de la forma (2/t+1)ti y en el punto 
(0 ; - 1) los extremos de los arcos (4k+3)^.
Asimismo, podemos ubicar otros arcos, como 
son
A plicació n 5
Relacione cada uno de los arcos con sus 
respectivos cuadrantes.
Sn
~4 a. IC
1171
~6~ b. IIC
2n
T c. INC
71
3 d. IVC
Resolución
No OLVIDE
El arco es numéricamente igual al ángulo 
central, ello significa que el cuadrante del 
ángulo central es el cuadrante del arco.
Para ubicar los cuadrantes expresamos los 
ángulos en grados sexagesimales.
5 / í 180° 1= 225° ... 2 71 { 18QÓ ]-- — / III. -y -
A l n ) 3 l Á I1 1
= 120°
J5
1
30° 60°
' 180° ' = 330° iv. 4 'j80° 'l Á J 3 l Á )
1
= 60°
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Ahora los ubicamos en la circunferencia trigo- i Ejemplos 
nom étrica. i
Finalmente tenemos lo siguiente:
e lIC 
3
^ e l V C6
3. REPRESEN TACIÓ N DE LAS 
RAZO N ES TRIGO NO M ÉTRICAS EN LA C 
C IRCU N FEREN CIA UNITARIA
Establecidos los arcos dirigidos en la C.T. con 
la condición de que su origen es el punto (1; 0), 
podemos definir las razones trigonométricas
de dichos arcos.
3.1. Seno de un arco en la C .T .
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Importante
El seno de un arco se representa geométrica­
mente con segmentos dirigidos verticales, ello 
implica que la dirección del segmento indica si 
es positivo o negativo.
En muchos casos nos ayudamos del gráfico 
(geométricamente) para determinar los valo­
res de la razón seno, sin olvidar el sentido que
tienen los segmentos dirigidos. Por ejemplo, 
371
el sen— por el sentido del segmento dirigido
(está hacia abajo) es negativo y se observa que 
geométricamente coincide con el radio de la
C.T.; por lo tanto, s e n ^ = -1.
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Aplicación 6
Señale el mayor de los valores indicados.
n 3n n Sn 2 nsen —; sen— ; sen—; sen— ; sen—
Resolución
Representamos en la circunferencia trigono­
métrica los valores indicados.
En el caso de los valores indicados, es posible 
determinar su valor exacto tomado en cuenta 
lo siguiente:
n 1 • sen — = -
6 2
71 19 sen—= 1 
2
3n . sen — = -1 2
, . , 2tc 571Para conocer los valores de sen— y sen —
usamos la simetría de la C.T., pero no olvide­
mos que el segmento dirigido tiene su signo.
Luego
2n \¡3 Sn y¡2sen— = — a sen — = -----
3 2 4 2
Comparando valores se observa que el mayor
71 1es sen — = 1.2
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Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Resolución
En la C .T ., utilizamos algún ángulo notable. 
En este caso, sería 30°.
Jl
Para aprovechar el k^OHP, - lo expresamos en grados sexa­
gesimales, es decir, 30°.
Del gráfico, observamos que
Como PH representa la ordenada de P
tí 1 -> sen — = -
Se observa lo siguiente:
sen0=0 A cos0=1
sen— = 1 2 A eos —= 0 2
senrc=0 A cosTr=-1
3nsen — = - 2 -1
371
a eos— = 0 2
sen2n=0 A cos2;r=t
Todo extremo de arco en la 
C.T. tiene como coordenadas al 
coseno del arco como abscisa y 
al seno del arco como ordenada.
Importante i
En la C.T.
En el fc^O/VM
NM = t
1
En consecuencia, la ordenada de M es - - .
1sen a = - - -n,>»
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3.2. Coseno de un arco en la C.T.
El coseno de un arco es la abscisa de su 
extremo.
Importante
El coseno de un arco se representa geométri­
camente con segmentos dirigidos horizontales, 
ello implica que la dirección del segmento indica 
^ e s positivo o negativo.
Aplicación 9
Determine el valor de M.
71M = COS — + C O S 71 
2
Reso lució n
Graficamos en la C.T. los arcos para determinar 
sus razones trigonométricas.
Ejemplos
cosB < 0
eos
71Del gráfico, sabemos que e o s- es la abscisa
de su extremo y se tiene que el extremo de
dicho arco tiene las coordenadas (0; 1), lo cual
indica que su abscisa es 0. Es decir, eos —= 0
2
De forma similar, notamos que el extremo 
del arco n tiene las coordenadas (-1; 0), es 
decir, su abscisa es -1; ello se puede corro­
borar gráficamente al observar el segmen­
to dirigido que al señalar hacia la izquierda 
indica que es negativo y su valor es igual al 
radio de la C.T.
cosn=-1
eos — + eos n = 0 + (-1) = -1 2
Capítulo 5
A p lic a c ió n 10
Ordene en forma decreciente los siguientes 
valores: eos 50°; eos-10°; cos150°.
Reso lu c ió n
Ubicamos los valores en la C.T. considerando 
de manera práctica los arcos en grados sexa­
gesimales.
• V"
«TsSrcno
150°X-_____
/c o s í 50° _ c o s1 0 °Y>\ i!
----------- i-----J X
---- ^ r ,é
Del gráfico notamos lo siguiente:
• eos 10° y eos 50° son positivos y comparando 
los segmentos dirigidos tenemos que
eos 10° > eos 50°.
• eos 150° es negativo, entonces es el menor 
de todos los valores. a,
eos 10° > eos 50° > eos 150°
* ^■
A plic a c ió n 77
Determine los valores que toma co sa si el 
arco a se encuentra en el intervalo (o ; 
R eso lu c ió n
Ubicamos los arcos a en elintervalo de la C.T. 
nDato: 0 < a < -
Dibujamos algunos extremos de los infinitos 
arcos que puede adoptar a en el intervalo.
Al trazar las abscisas de dichos arcos a, obser­
vamos que son mayores que 0, pero menores
que 1.
De manera práctica proyectamos todas las 
abscisas en una recta numérica paralela al 
eje X y obtenemos
0 < co sa < 1
c o sa e (0 ;1 )
Si analizamos los valores que toma el sen a y 
eos a, donde a es cualquier número real repre­
sentado como un arco en la C.T., encontramos 
lo siguiente:
J5
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Teo rem a del seno y coseno 
V a e R se cumple lo siguiente:
A
-1 s eos a < 1 a ~ 1 < sen a < 1 — ■-------- ----------------------- /
A p lic a c ió n 12
Si 0 e R , determ ine los valores que toma la 
expresión sen 0 + 3.
Resolución
Com o 0 es un número real, podemos utili­
zar el teorema del seno. En consecuencia se 
cum ple que -1 < sen0 < 1.
Para form ar la expresión pedida, debemos 
sum ar 3 a cada término del intervalo.
Luego
-1 + 3 < sen0 + 3 < 1 + 3 
2 < sen0 + 3 < 4
Se observa que sen0 + 3 toma valores conte­
nidos en el intervalo [2; 4], Por lo tanto, 
(sen 0 + 3) e [2; 4],
A p lic a c ió n 13
Si (3 es un número real, determine los valores 
que adopta la expresión 4cos (3.
Reso lu c ió n
Como (3 e R , podemos indicar que 
-1 < eos (3 < 1
Multiplicamos por 4.
( _ 1)(4) < (4)cos (3 < (1)(4)
- 4 < 4cosf3 < 4
Luego, los valores que adopta 4cos(3 están 
contenidos en el intervalo [-4 ; 4],
. v 4cos(3 e [-4 ; 4]
3 3 . Tangente de un arco en la C T.
La tangente de un arco es la ordenada del 
punto de intersección entre la recta tangente 
que pasa por el origen de arcos y la prolon­
gación del radio o diámetro que pasa por el 
extremo del arco.
importants
3 Geométricamente, la tangente de un arco es 
representada con segmentos dirigidos verti­
cales que parten del origen de arcos.
v ; w : • ' v! * _____ j
Ejemplos
% K " i > / ; ? y A
Capitulo 5 Circunferencia trigonométrica
3 3.1. Análisis de la tangente
Mientras que el arco en el primer cuadrante se 
incrementa, el valor de la tangente también lo
71hace, y conforme se acerca a —, el valor de la2
tangente se hace cada vez mayor; de allí que
n ,para un arco igual a —, la tangente no esta 
definida (N. D.).
En el segundo cuadrante, la tangente de los 
arcos toman valores negativos. En el tercer 
cuadrante, se observa que toma valores posi­
tivos; cuando se acerca a y , el valor de la 
tangente se hace cada vez mayor. Luego, para 
— , la tangente no esta definida (N.D.).
3 ,3 .2 .Teorema de la tangente 
V a e R - j ( 2n + 1 )y / n e z j
se cumple lo siguiente:
tan a £ R
A plic a c ió n 14
Determine el valor de G.
G = V 3 tan — + tan —
3 4
R e s o l u c i ó n
Graficamos
Utilizamos los ángulos de 45° en el caso del
arco 571T y 60°
27táen el caso del arco —
3
para
calcular los segmentos que permiten obtener 
el valor de las tangentes.
No debemos olvidar que, por ser segmentos 
dirigidos, la representación de la tangente 
tiene signo.
Luego
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Nos piden
c = é t a n ^ + t a n ^ = ^ ( - V I ) + 1
D
-> G = - 3 + 1 
G = -2
Aplicación 15
Determ ine el área de la región sombreada en 
térm inos de 9.
Reso lu ció n
Colocamos valores.
T
1
i
i
iI
,¡
Así como se definen las razones trigonométricas de los ángulos, también se definen las razones trigono­
métricas de los números reales tales como sen1; cos4; tan(-5); sen{\¡7), entre otros. Los números reales 
así como los arcos estudiados en el presente capítulo también tienen cuadrantes; por ejemplo, el número 
real 1 pertenece al primer cuadrante; los números 2 y B, al segundo; el número 4, al tercero; los números 
5 y 6, al cuarto; y así sucesivamente.
Investigue el cuadrante al que pertenecen los números 7; 8; 10 y >/Í7.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.‘ 1______________
Ordene de menor a mayor, 
sen 40°; sen 80°; sen 170°
A) sen 170° < sen 80° < sen 40°
B) sen 170° < sen 40° < sen 80°
C) sen 40° < sen 80° < sen 170°
D) sen 40° < sen 170° < sen 80°
E) sen 80° < sen 40° < sen 170°
Resolución
Ubicamos en la circunferencia trigonométrica 
los valores indicados.
VA
De manera práctica hemos ubicado los arcos 
en grados sexagesimales para poder compa­
rar los segmentos dirigidos que representan al 
seno de cada arco.
Como los segmentos dirigidos son positi­
vos, solo comparamos las longitudes de los 
mismos.
Se concluye que
sen 170° < sen 40° < sen 80°
l Clave ■
Problema NU 2
Señale el mayor valor de las cantidades dadas.
A) eos 70° B) eos 100° C) eos 200°
D) eos350° E) eos40°
Resolución
Ubicamos los arcos expresados en grados 
sexagesimales en la circunferencia trigonomé­
trica.
f
Importante
El coseno de un arco es la abscisa de 
su extremo, la cual se representa con 
el segmento dirigido horizontalmente.
Existen valores positivos (cos70°; cos40° y 
cos350°) y negativos (cos100° y cos200°). 
Como estamos buscando el mayor, debe ser 
positivo. Luego comparamos cuál de las absci­
sas (segmentos dirigidos) es mayor.
Por lo tanto, el mayor valor es cos350°.
] Clave \
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Problema N/ 3
Determine a+[3 si ambos son positivos y 
menores que una vuelta.
Problema U.° A _______ __________ ______
En el gráfico, si AB=2{BO), determine cosí}).
B) 4ti C) 3ti
E) n
Resolución 
Completamos el gráfico.
D) 2ti
Observamos que cada cuadrante se ha dividi­
do en partes iguales generándose arcos igua-
i 71les a — 
4
71la mitad de — . Como los arcos se leen 
a partir del origen de arcos, tenemos que
Sn o 771
a=T A
_ 5 tc 771 o 1271
-» a + P = —- + — -> a + P _ _ 7 _ 4 4 4
a+P=37t
; Clave •
Resolución 
Colocamos valores.
Tengamos en cuenta que el cosp es la abscisa 
del punto P. A partir del gráfico, la abscisa de 
P e s -n . Pero
2n+/i=1
3n=1 —> n = - 
3
COSI}) = - 1
3
'■ Clave
T
m
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Problema N/ 5
Halle la longitud del segmento PQ.
Y>
l 0 (? ) X
Á
C.T.
A) Y B) 1 C) -ü
D) — 
2 / * £
Resolución 
Colocamos valores.
Se observa que OPRQ es rectángulo. 
Luego
PQ=OR -> OR=1 
PQ=1
; Clave ■
Problema N." 6
A partir del gráfico, determine la longitud del 
segmento HA en términos de a.
A) 1 -sen a B) 1 + cosa C) co sa-1
D) 1 -co sa E) sena-1
Resolución 
Colocamos valores.
Del gráfico se observa que 
MN=cosa
Además MN=OH 
—> OH=cosa 
HA=1-OH 
HA=1-cosa
! Clave \
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Problema N/ 7
A partir del gráfico, determine la longitud del 
segm ento PB en términos de 6.
A) cosa B) 2cosa C) sena
1
D) 2sena E) - c o s a
2
A) 1-2sen0 B) 1 + 2sen0 C) 2 -sen0 
D) 1~sen0 E) 1+sen0
Resolución
Trazam os una línea perpendicular al eje X.
PB=1 + sen0
j Clave \...............
Problema N.° 8________________________________
Halle el área de la región sombreada en 
términos de a .
Resolución
Colocamos valores.
Para determinar el área de una región trian­
gular, utilizamos
Del gráfico 
JA - —ABC~ 2
En el problema se obsen/a que 
1 (eos a)i a r s ~
í
JARS=cosa
Clave
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Problema NT 9
Indique la suma de las coordenadas de P en 
térm inos de p.
Tengamos en cuenta que todo extremo de 
arco tiene las coordenadas (cos{3; senp). Por la 
simetría presentada en el gráfico, el punto P 
tiene las coordenadas (-cosp; sen{3).
Por lo tanto, la suma de coordenadas es 
senp-cosp.
i Clave \
Problema NT 10
A) senp+ cosp
B) cosp-senp
C) senp-cosp
D) senp cosp
E) 2cosP+senP
Resolución
<-oooc<ooooc - *x>< <- x>
N o OLVIDE
En el plano cartesiano, dos puntos ubicados a la 
misma distancia del eje Y son simétricos.
V"
B , M , A
(- a : b) — a
X
Determine el área de la región sombreada en 
términos de 0.
A) 1-cos0 B) 1 + senG C) 1 + cos0 
D) 1-sen0 E) sen0-cos0
Resolución 
Colocamos valores.
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Se observa que el área de la región sombreada 
es igual a la suma de las áreas de las regiones 
triangulares APB y A BC Luego
^ R s^ aapb+^ aabc
_ / ( s e n 0 ) /(1)
^ m RS--------7--- + ■
í í
=1 + sen0
; Clave \
^ o o ^ x < k>o o <>ó <>o o o c c< ^ ^ a x <>^o C'O<x >c^ > 0 '> 5 C < 'X ^ .^
No OLVIDE
Si/AOl OB y AO=OB, además 6 tiene las coor- 'íy
denadas (o; b), entonces A(-b; a).
Y\
A / h . .-s S .A' u> J í
__ _____
o
*
7V.X> XXivX>C<^v;x;xsc<v:-<>>>-N>>>^x-C<:>0-Cx'-'y>Vv^Xv>--
Problema N.° 11
A partir del gráfico, determine la 
punto P.
En el problema, el punto P tiene las coorde­
nadas (-sen0; eos©).
Por lo tanto, la abscisa de P es -sen0.
i Clave
Problema N.‘ 12
Determine la longitud del segmento ON.
A) -sen 0 B) cos0 C) -cos0 
D) sen0 L) 2sen0
Resolución
Recordemos que el extremo de un arco 0 tiene 
las coordenadas (cos.0; sen0).
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Resolución
Colocamos valores.
Consideramos BH l e je X.
Luego B H -sen0. \
En el ^ P B H V
PO=08=1 1 .
Además . \ ' ■ * J
OÑ//BH
En consecuencia, ON es la base media del
triángulo PBH. : %
1
v . ON = - sen9 2
; Clave
Problema NT 13
Determine los valores que toma sena si
3na e \ n; —
A) (-1; 1> B) <0; 1)
d ) u ; °
C) <-i;0> 
1
E) 10; 2
Resolución
Dato: 7 i< a < —
2
Ubicamos los arcos a en la circunferencia 
trigonométrica.
Trazamos los segmentos dirigidos y los pro­
yectamos sobre una recta numérica ubicada 
de forma vertical.
® Como a no puede tomar el valor de n, 
el sena no toma el valor de 0.
Btc• Como a no puede tomar el valor de — , 
el sena no toma el valor de -1.
Luego
-1< sena < 0 
s e n a e (-1 ;0 )
Clave .
Problema N.*
Halle los valores que toma 2sen0 + l si
0e(O;^
A) (0; 3) 
D) <0; 2)
B) <1; 2) C) <0; 1)
E) <1; 3)
Ai
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Resolución
Si 0 e (o , —y ubicamos dichos arcos en la circun­
ferencia trigonométrica para analizar la varia­
ción del sene.
Proyectando las ordenadas de los extremos de 
los arcos 0 en la recta numérica, se observa
0 < sen0 < 1
Para form ar la expresión, multiplicamos por 2. 
2(0) < 2sen0 < 2(1)
Luego sumamos 1.
0 + 1 < 2sen0 + 1 < 2+1 
1 < 2sen0+1 < 3
(2sen0+1) e(1; 3)
’ Clave '
Problema N. 15 Si
Si a e ( ^ ;n j , determine los valores que toma 
la expresión M =(cosa+2)2.
B) <0;2>A) <2; 4)
D) <1; 4)
C) <1; 2)
E) (0; 4)
Resolución
Ubicamos los valores de a en la C.T. para 
determinar los valores que toma cosa .
Se observa que
-1 < cosa < 0 (*)
Como nos piden los valores que toma M, 
debemos formar la expresión M=(cosa+2)2.
Partimos de (*) y sumamos 2.
-1+2 < cosa+2 < 0 + 2 
1 < cosa+2 < 2
Elevamos al cuadrado.
(1)2 < (cosa+2)2 < (2)2
1<(cosa + 2) <4
M e (1; 4)
Clave
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Problema N,° 16
Determ ine los valores que adopta la expresión 
K=4sen9+1 si 0 e R .
A) [-4 ; 1] B) [ - 2 ;4 ] C) [-1; 3]
D) [-3 ; 5] E) [-2 ; 3]
Resolución
Por dato se tiene que 0 e R , ello implica que el 
arco 0 puede tomar cualquier valor en la C.T.
Al analizar el sen0, se observa que adopta 
valores entre -1 y 1, incluyendo al -1 y al 1.
Luego
-1 < sen0<1
Multiplicamos por 4.
- 4 < 4sen0 < 4
Sumamos 1.
-3 < 4sen0 + 1 < 5
Ke [ - 3; 5]
; Clave \
Problema M," 17
Halle la variación de la expresión P=6 -5 co sa 
si a e R .
A) [1; 11] B) [-5 ; 6] C) [1; 10]
D) [-2 ; 9] E) [-6 ; 5]
Resolución
Por el teorema del seno y coseno, se cumple 
que V 0 e R .
-1 < sen0 < 1
-1 < cos0 < 1
Al igual que el problema anterior, por dato se 
tiene que a e R , ello implica que el arco a asu­
me cualquier valor en la C.T. Al analizar el cosa 
se obtiene que
-1<cos0<1
Multiplicamos por (-5). 
(-1)(- 5)>-5cos0>1(-5) 
5> -5cos0>-5
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Sum am os 6.
11>6 - 5 c o s 9 >1
p
P e [1; 11]
j Clave \
Problema N.° 18
Halle la suma de los valores enteros que toma 
la expresión M =3senp-1 si (3 e R .
A) 4 
D) 7
B) - 2 C) - 5 
E) - 7
Resolución X . \
Por el teorema del seno y coseno, se cumple 
que si P e R 
—> -1<sen(3<1
Luego
-3< 3sen(3< 3
-4 < 3se n (3 -1 < 2
M %
En consecuencia, M adopta los siguientes 
valores enteros:
- 4 ; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2
f suma de ^
valores enteros
=—4 —3—2 - 1 + 0 + 1 + 2—-7 
; Clave •
Problema N/ 19________ ___________________
Determine la suma del mínimo y máximo valor 
que adopta la expresión K= 8cosa+5 si a e R .
A) 10 B) 8
Resolución
Por el teorema del seno y coseno, se cumple 
que a e R .
—> -1<cosa<1
Operamos
-8 < 8co sa< 8 
- 3 < 8 co sa + 5 <13
Ello implica que los valores que adopta K se 
encuentran en el intervalo [-3 ; 13]; es decir, 
cualquier valor que adopta M debe ser mayor 
o igual que -3 y menor o igual que 13.
Luego
-3 < K< 13
minir ¡c -- . mínimo 
valor ele ¥ valor de K
Nos piden Kmín+Kmáx.
-3+13=10
i Clave ,
Problema N.° 20
Halle la suma de la ordenada del punto P y la 
abscisa del punto Q.
A) i B) >/3 C) 1
C) 6 
E) 5 E)
2
3
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Resolución
Del gráfico
como el arco es —, la medida del ángulo 
central es 30°. ^
1Luego PH = - y la ordenada del punto P es 
2 ; 2
Además, en el ^ Q N O
1 \NQ = -
' 2
Entonces la-abscisa del punto Q es
Nos piden la suma de la ordenada del punto P 
y la abscisa del punto Q.
... ± 4 = r
2 2 \ Clave i )
Problema N. 21
A partir del gráfico, determine el área de la 
región sombreada en términos de 0.
1 1A) - - s e n O B) -co sG 2 2
1D) -sen© 
2
Resolución 
Colocamos valores.
; No OLVIDE
Jf área de una 
i región triangular
(toase)(
1-<XXXXVX><XhX>0 -X>'‘
En el problema tenemos que 
base=1 a altura=|cos0|
Como 0 e lllC eos© < 0 
-4 Icos 0| = - eos 0
Luego
A _ (1)(-cos0)
RS 2
IkRS=--CO S0
1C) — cos0 2
E) sen0cos0
; Clave
É9
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Problema N.° 22_________________
Determ ine el área de la región sombreada en 
térm inos de 0.
1 1A) - t a n 0 B) - - t a n 0 C) tan0 2 2
D) - ta n 0 E) -2 tan 0
Resolución 
Del gráfico
Yia ____
--- Ti1-- —►
J 1 N' , i|f----- 1 ■ v”?
. L
\ I í *
C.T.
\ J i tan 0 )
i
/(ItanOl)
^ R S ~ £
IhRS =|tan0|
Como 0 e IIC tan0< O 
—> |tan0| = - ta n 0
/. ^ s = - tan0
j Clave \
I Problema N.° 23
Determine la abscisa del punto M si MON es 
un sector circular.
A) cosa-2sena
B) 2sena-cosa
C) sena+cosa
D) 2cosa-sena
E) sena-2cosa
Resolución
A partir del gráfico
La abscisa de M es -0. Como MON es un sector 
circular
-» MO=NO=2sena 
MO=2sena
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Adem ás HN=PO=cosa 
~> d= 2sena-cosa
Por lo tanto, la abscisa del punto M es 
- (2 s e n a -c o s a ) , es decir, co sa -2 sen a .
: Clave •
Problema N .# 2 4 Si
Si 0 pertenece al intervalo halle la
variación de la expresión N.
N=4sen20-1
A) <1; 2)
D) <1; 4]
Resolución
B) <2; 3] C) <3; 4) 
E) (0; 2)
Ubicamos 0 en la circunferencia trigonomé­
trica tal que
n . 2n 
— < 0 < — 
3 3
Al proyectar las ordenadas en una recta numé­
rica vertical, observamos que cuando el arco 0 va
naumentando desde - , el valor de senO aumenta 
3desde y hasta tomar un máximo valor de 1.
Luego, para los demás arcos, el sen0 dismi­
nuye hasta
Luego
V3— <sen0<1
A partir del cual formamos la expresión pedida.
Elevamos al cuadrado.
3 ?— <sen 0<1
4
Multiplicamos por 4.
3 < 4sen02 < 4
Restamos 1.
2< 4sen2 0 -1< 3
N e <2; 3]
Clave
Problema N.‘ 25 
Se cumple que 
1
- < C O S 0 < — . •2 2
Determine los valores de 0 si pertenecen al
( 71 
0; —
2
A) 71 71
_ 4 ; 3_ B) L6 4 J C)
n n
. 6 * 3 .
D) ti n \
. 3 ' 21 E) !*f]
Resolución
Por condición del problema
1 Vs- < c o s 0 < —
2 2
Ubicamos en una recta horizontal dichos 
valores y los proyectamos en la C.T. para 
ubicar sus arcos.
Problema N.” 26
Si 0 pertenece al intervalo 
la variación de H.
H=2tan20+1
, determine
A) <1; 7] B) <1; 6] C) <2; 6] 
D) [3; 7] E) <3; 7]
Se observa que 0 puede ubicarse en el cuarto 
cuadrante o en el primer cuadrante, por dato,
e e ( p ; f j . entonces solo lo analizamos en el
primer cuadrante.
1
Para que el coseno tome el valor de - , el
(nángulo debe ser 60° - en el sistema radial
1 £y para que el coseno sea — el arco es 30°f jr ^
— en radianes
: Clave
Resolución
Ubicamos los arcos 0 en la circunferencia 
trigonométrica, dado que
Observamos que cuando el arco es - (45° en
4
el sistema sexagesimal), el valor de su tangen­
te es 1, y cuando el arco es — (60° en grados 
sexagesimales), el valor de su tangente es \¡3.
Además, como el extremo — es abierto en el
4
intervalo, no se toma la tangente igual a 1, y 
como el extremo — es cerrado en el intervalo, 
se toma la tangente igual a ^3.
Es decir
1<tan0 <V3
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Formamos la expresión elevando al cuadrado.
1 < tan20 < 3
Luego multiplicamos por 2.
2 < 2tan20 < 6
Sumamos 1.
3 < 2 ta n 2 0 + 1<7V---- V-----/
H
-» 3 < H < 7 
H e <3; 7]
: Clave [ - ;• *i».
Problema N.‘ 27____________
Determine el área de la región sombreada si 
P M / / e j e X y MB=2(AM).
Resolución
Del gráfico
como PM//eje X, la región sombreada es una 
región trapecial.
x x x x > v s > é ' --ooc-:- •»
NO OLVIDE
Para determinar el área de una región trapecial 
• (superficie limitada por un trapecio), aplicamos 
lo siguiente:
En el problema, las bases son 2 y 1. 
Además Afí = |tan0|.
-> AM+MB=AB a MB=2{AM) 
AM+2{AM)=AB
3(AM) = |tan0| —> /AM = ^|tan0|
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
r s ~ ¥ ) '
X i
I k RS = J x y lt a n e l
Como 0 6 IIC (tan0 < 0)
-» ltane| = -tan0
Reem plazam os según lo pedido. 
1
--- ta r|0
Problema N.8 2B
i Clave
Si el arco 0 pertenece al inten/alo 
halle la variación de /.
3 je 571
L T ' T j
1= 5 -4 c o s20
A) [2; 4]
D) [1; 2]
B) [1; 3] C) [0; 3] 
E) [2 ; 5]
R eso lu c ión ̂ ^
Ubicamos el arco 0 en la C.T. a partir de la 
condición
^ < e < -
4 4
Analizando se observa que el cos0 toma
72valores desde y disminuye hasta -1,
V 2luego se incrementa hasta .
72-» -1 < co s0 < ------
2
. % Importante
Si a < x < b/{a;b} c R 
■ -4 a2 > x2 > ¿>2
4 - f
Ejemplo
-3 < x< -1
I -> (-3)2 > x2 > (-V)2 
-» 9 > X2 > 1
............ . r
En el problema, elevamos al cuadrado.
(-1)2 >cos2 0 > | - ^
? 11>cos2 0 > -
| Importante
Tenemos que {a; b) c R y c e R~
V
Si a< x< b
'i co> ex >cb
k
Ejemplo 
Si 2 < x < 5,
multiplicamos x (-2).
(-2)(2) > (-2)x > (—2)(S)
-4 > -2x > -10
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
En el problema, multiplicamos p o r- 4 .
( - 4)(1) < ( - 4) eos2 0 < ( - 4)
- 4 < - 4 c o s 29 < - 2 
Sumamos 5.
5 - 4 < 5 - 4 eos2 0 < 5 - 2v ------ *
1 < / < 3
••• /e [1 ; 3 ]
i Clave [
Se observa que el punto P tiene la misma abs­
cisa que el extremo del arco 0; es decir, la 
abscisa de P es cos0.
Además, la distancia de P al eje X es tan0; 
luego la ordenada de P es tan0.
Por lo tanto, P tiene como coordenadas 
(cos0; tan0).
: C la ve :
Problema N.° 29
A partir del gráfico mostrado, indique las coor­
denadas del punto P.
A) (cos0; -tan0)
B) (cos0; tan0)
C) (-sen0; tan0)
D) (tan0; -cos0)
E) (cos0 ;-sen0)
Resolución 
Del gráfico
Problema N." 30
Halle los valores de 
J - 4V3 tan0 + 5
si 0e n _ n
6 '3
A) [V 3 ; 5 V Í) B) [4; 15) 
D) [2; 16)
Resolución 
Por dato
C) [1; 17}
E) [ V I ; 9V3 )
- í< e < í
6 3
Ubicamos dichos arcos en la C.T. y analizamos 
la variación de tan0.
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Observam os que para el arco se tiene que
6
t a n í - 4 j = - t a n - = - —
V 6 ) 6 3
Asim ismo, para el arco ^ se tiene que
tan — = >/b 
3
Es decir
- ^ - < ta n 0 < \ / 3
Entonces
£4>/3 < 4 \ ÍÍ tan 0 < \/3 (4V3)
V 3 >
-4 < 4 V 3 ta n 0 < 1 2 
1<4>/3 tan0 + 5<17
1 <7<17
\ 7e[1;17>
: Clave .
Problema N.° 31_______________________________
Determine los valores que adopta 0 si pertene­
ce al intervalo además se cumple que
-1<tan0<V3.
Resolución
Analizamos en la C.T.
Observamos que -1<tanO <V3 se cumple 
para diversos valores de 0, los cuales se 
encuentran en varios intervalos.
Ejemplos
V' k ji j[
* 0 = — —> tan—= 1 (cumple la condición)
\ n O3
• 0 = - —> ta n -= — (cumple la condición)6 6 3
Como nos piden analizar en el intervalo 
( f l y ) se obtiene que 0 e ( ^ ; ^ .
: Clave
Problema N.c 32__________
Ordene de menor a mayor los valores tan40°; 
tan120°; tan200° y tan340°.
A) / 3 n \ 4
571 \ 
4 / B)
¡ 2% 
\ 3 • ̂
tn
1___
__
1
C)
D) lln \ 4
471
T . E)
3tc _ 4n\
_T' T /
2ti 4 ti
T ' T
A) tan120° < tan340° < tan200° < tan40°
B) tan340° < tan200ü < tan120° < tan40°
C) tan340° < tan120° < tan200° < tan40°
D) tan120° < tan340° < tan40° < tan200°
E) tan40° < tan200° < tan340° < tan120°
Resolución
Ubicam os dichos valores en la C.T.
De manera práctica, hemos ubicado los arcos 
expresados en grados sexagesimales, de modo 
que se observa tan40°>tan200°>0.
Adem ás tan120°<tan340°<0.
tan120° < tan340° < tan200° < tan40°
; Clave i. }'
Problema N.‘ 33_____________ ______________
Halle el área de la región sombreada en 
términos de 0.
A)
D)
tanO-sen0 
~~ 2 
cot0-sen0 
2
B) tan0-cos0
2 C)
E)
cot0-cos0
~2
sen 0 - esc 0 
~
Luego
^ A O B = ^ P O C
Resolución 
A partir del gráfico
-» AB-PC= |cos0|
^ R S ^ íAOMQ+^ íAOPM
m _1 |ta n 0 | , 11 eos 0 1 
A k ~ ~ 2 ~ +~ 2 ~
Como 0 e lllC
-» |tan0|=tan0 a |cos0|=-cos0
Reemplazamos
M _ | tan 0 14-1 eos 0 1
^ rs ~ A
^ rs ~
tanO-cosO
i Clave
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Problema N/ 34
En el gráfico mostrado, halle 
cot |3 - (esce + cote).
Del gráfico se tiene que 
MH=HN= |sen6|
HO= |cos6| -> PH=1-|cos0|
En el ^ PH N
cotp = 1—|eos e| 
|sen 0 1
Como 0 e lIC
-> |sen0|=sen0 a |cos0|=-cos0
Reemplazamos
1-1-eo s 0|cotp = 
cotp =
sen0
1+COS0
senO
in 1 cosecot p = ------+------
senO senO
cotp = csc0 + cote
Resolución i co tp -(csc0 + cotO) = O
Colocamos valores. : Clave \
Y\
Problema N.‘ 35 * Si
71
Si — <x1<x?<n,
2 1 2
indique la secuencia correcta de verdadero (V) 
o falso (F).
I. senx1 > senx2
II. cosx1 < cosx2
III. senx2-co sx1 < 0
A) VFF B) VVF C) FVF
D) VFV E) FFV
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
Resolución
Ubiquemos los arcos x1 y x2 en la circunferencia
trigonométrica tal que ^ < x1 < x 2 < n.
De la C .T .
senx., > senx2 > 0
I. Verdadero 
senx1 > senx2
También
cosx2 < cosx-, < 0
II. Falso
cosx1 < cosx2
Además
senx2 > 0 a cosx1 < 0 
senx2 > cosx1 
senx2-co sx1 > 0
III. Falso 
senx2~cosx1 < 0
Problema N.° 3 6 _____ _ _
En el gráfico, determine el área de la región 
sombreada en términos de 0.
. . sen0 1 + cos0 1-cosO
A) ^ ------ r - U)
D)
1 — eos 0
C O S0
1 + senO
sen0
E)
sen0
sen0 
1 + C O S 0
Resolución 
Colocamos valores.
Clave i
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Entonces
¡k RS - Í ( h )
i
- /i
Hallamos h.
^ C H B ~ \^ C O N
h__ | sen 9 1 
1 1+ |eos9|
P e r o 0 e l C 
| sen9 | = sen0 
| eos 0 1 = eos 0 
sen0h =
1+COS0
Clave
Problema N.° 37
Calcule la suma del mayor y menor valor que 
toma la expresión T.
T = y¡ 3
A) 0
sen f n S\ 3— COS0
v3 J
H— 2
B) 3
D) E) ~Js
R eso lución
nSea a = —cos0
7 = V 3 se n a + -
Tenemos que obtener la variación de sena. 
Para ello analizamos a.
Se conoce que 
-1 < eos 0 < 1
n n tí
— <— COS0 < —
3 3 3
Tí Tí— < a < — 
3 3
En la C.T.
Entonces
Vs y¡3----- < sen a < —
2 2
— < y¡3 sena < - 2 2
0 < %/3 sena + - < 3 2v------v______/
0 < M < 3
^mín-0
Tmáx=3
’ • m̂ín m̂áx 3
Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Indique la alternativa que contenga el 
menor valor.
5. Determine el área de la región sombreada 
en términos de (3.
A) sen 100° B) sen 200° C) sen 260° 
D) sen 40° E) sen 170°
2. Determine los valores que toma cos0 si
°4 ;í)-
A) (-1 ; 0) B) (0; 1) C) (-1 ; 1)
D) H :o , 0 - a
n3. Halle la variación de 4senP-1 si p e ( 0; —
A) <0; 3) B) (-1; 2) C) (1;
D) (1; 3} E)
4 . Halle el área de la región sombreada en 
términos de a .
VA
A) Í (1 - sen (3)
B) 1-sen(3
C) ^ (l-co s(3 )
D) 1 —eos p
E) j ( 2 - s e n p )
6. Indique ia suma de las coordenadas de P a 
partir del gráfico mostrado.
A) 2sena
B) sena cosa
C) sena+ cosa
D) 2cosa
E) cosa
A) cos0-2senO
B) sen0 + cos0
C) senO-cos0
D) -(sen0 + cos0)
E) -sen0 + cos0
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7. Halle los valores que adoptala expresión 
(cos0 + 2)2-1 si 0 e l V C .
A) (1; 9) B) (3; 7) C) <3; 8)
D) (4; 9} E) (2; 7)
8. Determine el área de la región sombreada 
en términos de a .
A) -1(1 + 2 tan a) 
1
B) —(1 -2 ta n a )
C) 1 - ta n a
D) — (1 + tana)
E) 1 (1 - ta n a)
9. Del gráfico, indique la abscisa del punto M.
A) cos(3 B) -senp C) senp
D) -sen(3cosP E) -cos[3
10. Halle el área de la región sombreada en 
términos de 0.
A) sen0 B) cos0 C) -sen 0 
D) -cos0 E) sen0cos0
11. Halle el área de la región sombreada en 
términos de 0.
A) sen0
B) sen0cos0
C) -sen0cos0
D) -cos0
E) -senO
12. Si 0 elIC , determine los valores que toma 
sen2O + 2sen0 + 1.
A) (0; 4) B) (1; 2) C) <0; 2)
D) (1; 4) E) (2; 4)
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
13. Del gráfico, halle la suma de la ordenada 
de P y la abscisa de Q.
16. Determine la ordenada del punto P.
A) P B) 2 C) 1 A)
tan0
3 B) -tan0
D) P E) 1 1 \ 2 C) sen0cos0
Halle la variación de D)
1— tan©
2p-
M =-4 eos2 + LO de 71 ; U~4' 4_ ./ 'E)'
1— tanO
A) [2; 4] B) [4; 6] C) [3; 5]
D) [2; 5] E) [1; 3]
15. En el gráfico, la abscisa de P es a y la abs­
cisa de Q es b. Halle o-b.
17. Indique la medida del arco a.
A) 16- B) 7 - C) 15- 9 4 8
A) 2cos0 B) ~2sen0 C) 2sen0
D) -2cos0 E) sen0cos0
E) 11- 6
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18. Si a e R, ¿cuántos valores enteros toma la 
expresión 8senoc+5?
A) 15 
D) 17
B) 16 C) 18 
E) 14
19. Si 0 eR, halle la variación de la expresión 
2-3cos0.
A) [-1; 5]
B) [-2; 4]
C) [-2; 5]
D) [-1; 4]
E) [-3; 2]
20. Indique el máximo valor de la expresión 
F=6senp+1 si (3 eR.
A) 6 
D) 8
B) 7 C) 5 
E) 4
21. Si (3 g IVC, determine los valores de la ex- 
presión 2cos |3-1.
A) <-1; 2}
B) <-2;1>
C) (-2 ; 2)
D) [-1; 1]
E) (-1; 1)
22. Halle la variación de la expresión 
P=4sen3a+3 si a g IIIC.
A) <-1; 3} B) <-3;1> C) <-4; 1)
D) [-1; 3) E) [-1; 2]
23. Determine los valores que adopta la expre­
sión 4-3cos0 si 0 g NIC.
A) [3; 6) 
D) [4; 6)
B) [5; 7) C) <4; 7) 
E) (3; 7)
24. Halle la suma de los valores enteros que 
toma A=4sen0 + 3 si 0 e MIC.
A) 4 
D) 3
B) 2 C) 1 
E) 5
25. Indique la cantidad de valores enteros que 
toma la expresión
9cosa-1K = 2
A) 1 
D) 5
si- Ot G IC.
B) 4 C) 3 
E) 2
TI TI26. Si gcg\ —; — halle la variación de sen2a.
«) ( o ; f ) » (o ;j) C)
D) <0;1)
» ( f ■:
27. Si determine los valores de la
expresión M = 4 eos o +TE ¡. 
6 ,
A) (-4; 0) B) (-2; 2) C) (-2 ; 1)
D) (-2; 0) E) <-4;1>
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
28. Halle el máximo valor de la expresión
C = 3sen
A) 4 
D) 3
(e +4̂ +2 si e<=
B) 2
3 te 5 í i
lT 'T .
C) 1 
E) 0
29. Si se verifica que <J>e 71 371
, 4 ' T
, halle la varia­
ción de la expresión N = 4 Í cos<|> + 4.
A) [2; 4] B) <2; 5] C) [3; 5]. 
D) <3; 5) E) [1; 4]
30. Halle el mínimo valor que toma la expre­
sión >/3tanco+1 si toe TE _ 7El ' I
A) 5 
D) 1
B) 4 C) 3 
E) 2
31. Determine los valores de 0 en el intervalo 
0;^ si se cumple que ^<sen0 <̂ y-.
a> ( f ' í ) b) H ) c)K
11 71 
D) \ 6 ' 4 /
32. Si a pertenece al intervalo de ,̂
halle los valores que toma 2tana+3.
A) <-2; 3) B) (1; 5) C) <2; 5)
D) (-1; 5) E) <1; 3)
33. Determine la variación de la expresión 
K= 2sen(3+5 si (3 pertenece al intervalo
tí 5n 
_6'~6
A) [3; 4)
B) [5; 6]
C) [6; 7]
D) <6;7>
E) <5; 6]
34. Indique el valor de P. 
sen te + eos 2te- eos teP = n 3nsen — sen — 2 2
A) 2 
D) 2
B) 0 C) 1 
E) -1
35. Si ABC es un sector circular, determine la 
abscisa de punto C.
A) cos0-sen0
B) sen0-cos0
C) 2cosO-sen0
D) sen0
E) cosO
36. Halle la ordenada del punto B si PM=3MN.
A) cos0 B) -senG 
2
D) -cosG
1C) — eos 0 2
1E) --senG 2
39. A partir del gráfico, halle la ordenada del 
punto P en términos de a.
A) tana B) -tana 2 C) —tana4
37. En el gráfico, PM=2{MN). Determine cos<|>.
A> ! B) 5 C)4 2
D) t 3 E)
D) -tana 1E) --tana 2
40. Se verifica que
1 a 1- 1 < c o s 0 < - -
2
Además 0 pertenece al intervalo <0; jt). 
Halle los valores de 0 que cumplen tal 
condición.
C) /2 tc 57i\\T'~6/
38. Determine el área de la región sombreada 
en términos de 0 si BM=ON.
A) -senG B) senG C) -cosO
D) cosG E) senOcosG
« i. uaaa la condición 0 < tan0 < 1, halle los
valores de 0 en el intervalo ( - • — )
\2 2 /■
B) / 5tt 371 \\ T ' T / C)
/n 3ti\
\ 2 ' T /
O) E)
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
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Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
52. Determine la variación de 
sena- 2
K =------- -si ote NIC.sena + 2
A) (0; 2)
B) (-4 ;-2)
C) (-3; 0)
D) (-2; 0)
E) (-3; -1)
53. Halle la suma de valores enteros que 
adopta la expresión
tan(3 + 4K = tanß + 2
A) 3 
D) 2
B) -1 C) 1 
E) -2
54. Del gráfico, halle la ordenada del punto P.
-tanG
2
B) —tanG 4 C) — cotG 4
II. cosx2-cosx1 > 0
III. tanx1-tanx2 < 0
cotG E) -cotG2
A) VW B) F 
D) VVF
55. En la circunferencia trigonométrica, calcule 
el valor de PH.
» 4
« i
B) V3-1 C)
E)
V3-1
4
V3+1
56. Halle las coordenadas del punto P.
A) (-1; sen0) B) (-1; cosG) C) (-1;-senG) 
D) (- eos 6; 1) E) (-1;-cos0)
57. Si 7i<x1 <x2 <3n
indique la secuencia correcta de verda­
dero (V) o falso (F).
I. senx1 < senx2
C) FVV 
E) FFV
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58. En la circunferencia trigonométrica, calcule 
tana en términos de 9.
A) C O S 0
D) -
2
C O S 0
B) sen0 C) - 
E) -
tan0
~Y~
sen0
2
59. En la circunferencia trigonométrica, exprese 
a + \Í3b en términos de w.
A) sentó+ V3 cosco
B) \Í3 sentó -cosco
C) y¡3 eos co - sen co
D) cosco + V3sentó
E) >/3(senco +costo)
60. Si 0 < x < halle el número de valores en- 
8
teros que admite la expresión Q=4tan2x+5. 
B) 2A) 1
D) 4
C) 3 
E) 5
4 261. Si - < — -— < 4,3 sen0 + 1
halle los valores de 0 en
A)
D)
n _ ti
T 6.
71 _ n
L 4'4.
B) 71 _ 71
6 ' 3
Tí _ Tí
2 ' 2i
C)
E)
n _ n
3' 3.
71 _ 71
6 '6
62. En la circunferencia trigonométrica, halle 
la abscisa del punto N.
A)
D)
1
1-tan0
tan0
1-cot0
B) 1
1 + cot0 C)
E)
1
1 + tan0
cot0
1-tan0
63. Si se cumple que xe (0; 71) 
1y - - < senx- 1 < 0,
2
determine los valores de x.
A) 71 71 6 '2 B)
71 _ 5tt
6 ' T
D> ( l\6 6
C)
E)
71 27X
L 3 ' T .
7i _ n
3' 2
Capítulo 5 Circunferencia trigonométrica
64. Determine HP en términos de a.
A) 1 + sen2a B) 1-cot2a C) 1-tan2a
E) J PD) Vl-cot2 a tan2 a
65. Halle la variación de la expresión P siendo
_. 1 + tan0 . . ti n .P = J ------- +1 S!--- <0<O.v1-tan0 4
66. Si 2tanQ = m + — /m>0 
m/
y 0 e(0 ; tí)i determine los valores de 0 en 
dicho intervalo.
< 1
n _ tí 
4 '2 1 C)
Tí _ Tí
4 ' 3.
D) 71 _ 714 '6 « i ,
67. Si cos20=1+tana; halle los valores de a en 
el Intervalo [0; tu].
A) 5nB) — ; tí6 Q
3n ; tí
A) <0; 1] B) [0 ;2 ] 
D) [1;2]
Q [0;1] 
E) (o; 1> D)
tí 3n
2 ; T
Claves
1 9 17
2 10 18
3 11 19
4 12 20
5 13i 21
6 14 22
7 15 23
8 16 24
25 33 41
26 34 42
27 35 43
28 36 ; 44
29 37 45
30 38 46
31 39 47
32 40
co
49 57 65
50 58 66
51 59 67
52 60
53 61
54 62
55 63
56 64
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
«Siís ,.s V' v
V ,kSv
’*v)
La relación existente entre ios elementos de un triángulo 
rectángulo ha permitido determinar las razones trigono­
métricas de un ángulo agudo, dichas razones permiten de­
terminar la longitud de diversos elementos en un triángulo 
cualquiera. Además, estas relaciones han sido herramientas 
matemáticas para hacer construcciones como las pirámides, 
templos antiguos, canales de irrigación, entre otros.
Desde épocas anteriores, ha sido una curiosidad hallar 
alguna relación entre dichas razones trigonométricas, es allí 
donde surgen algunas igualdades que verifican para cual­
quier valor angular al que denominamos identidades trigo­
nométricas.
Las identidades trigonométricas permiten hacer cálculos 
para relacionar los ángulos con sus respectivas razones, 
las cuales han sido utilizadas desde culturas antiguas. Sin 
embargo, no cabe duda de que la aparición del análisis ha 
aportado enormemente al desarrollo de las matemáticas, 
dado que permite explicar diversos fenómenos como el 
estudio de fenómenos periódicos, el análisis deestructuras, 
las órbitas que describen los planetas, entre otros. '
A p re n d iza je s e sp e ra d o F,
Identificar la relación entre las razones trigonométri­
cas básicas expresadas a través de igualdades llamadas 
identidades.
Utilizar las identidades para la resolución de problemas 
de mayor complejidad.
¿ P o r qué e s n e c e sa r io e s te c o n o c im ie n to ?
Permite entender la diferencia entre identidad y ecuación, 
así como establecer la relación existente entre las razones 
trigonométricas para un ángulo simple a través de igual­
dades, la cual se puede extender a ángulos más complejos.
J
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{Cuidado!
Ecuación condicional
La igualdad 
(x-2)(x+2)=0 
es cierta cuando 
x=2 o x=-2
Identidad
La igualdad 
(.x-2)(x+2)=x2-4 
se cumple para todo valor 
real de x.
id e n t id a d e s t r i g o n o m é t r ic a s 
f u n d a m e n t a le s
1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Es una igualdad donde la variable real o angular se encuentra 
afectada por funciones trigonométricas o razones trigonomé­
tricas, las cuales se verifican para todo valor permitido de la 
variable real o angular.
Ejemplos
senx• tanx =-----
cosx
• sen2x+cos2x=1
1• senx = -2
• tanx+cotx=secxcscx 
Aplicación 7
Verifique si la siguiente igualdad: tanx+cotx=secxcscx 
es una identidad.
(identidad trigonométrica) 
(identidad trigonométrica) 
(ecuación trigonométrica) 
(identidad trigonométrica)
Es costumbre denotar (senx)2 
mediante sen2x, análogamente 
para (cosx)2.
Fue Cari Friedrich Gauss quien 
objetó el uso de sen2x, pues 
podía ser ambiguo y tener sig­
nificado de sen(senx).
Resolución
Comprobamos para algunos valores de x.
• S¡x=45° -> tan45° + cot450=sec450csc450
1+1=A-A
2=2 /
S¡x=60° -> tan60°+cot600=sec600csc60°
A 1 
1 + A
A - A
Í A — 1
I d . A ,
3 + 1 _ 4
A A
• Six=90° —» tan90°+cot900=sec900csc90°
A o = A X
Por lo tanto, cuando x=90°, los operadores tangente y secante 
no están definidos (¿í).
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
2. ID EN TID AD ES TR IG O N O M ÉTRICAS POR 
CO CIEN TE
Análogamente
cosxcot x = sen*
A
Demostración
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en C; 
además rc\<BAC=x.
B
Ejemplos
. . . sen10°• tan10°=-------cos10°
sen50°• tan50°=-------cos50°
Dividimos (I) y (II). 
a
senx 
cosx b_
X
senx _ o_ 
cosx b
Finalmente, igualamos (III) y (IV). 
senx
eos 40°• ------- = cot40°sen40°
sen30 
eos 30 = tan30
(IV)
4sen x
4eos X
= tan4 x
tanx =
eos4 25° 3— -----= cot3 25°
sen3 25°
sen2 20 2= tan 20
cosx eos2 20
5
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Aplicación 2
Halle la expresión 
£=senxcotx-cosx.
Resolución
Exptesamos en función de senos y cosenos, 
cosxE = se' - e o s *
—> E=cosx-cosx
E=0
3. IDENTIDADES fRIGONOMh i RICAS
RECIPROCI AS
• cscx = 1 —> senxcscx = 1senx
• secx = 1 —> cosxsecx = 1cosx
• cotx = 1 —> tanxcotx = 1tan/
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en C; 
además m <BAC=x.
Aplicación 3
Simplifique la expresión M.
KA 1 + tanx 
1 + cotx
Resolución
Pasemos la expresión a senos y cosenos.
-I! senx
cosx
‘ cosx 1+-----senx
•Multiplicamos en aspa.
eos x +senx
m = _ _ c o s 2 L _ 
senx + cosx
senx
Del gráfico
t ~ i> \ m a• senx = - (|)
• cscx = - (||)
a
Dividimos entre c al numerador y denomi­
nador de (II).
c
• cscx = —a
c
Efectuamos extremos y medios. 
senx(cösX^-senx| 
eos x^sefDra-cosx|
Simplificamos
M = senxcosx
la expresión.
1• CSCX = - (III)
c
n 0Pero — = senx. c
Reemplazamos en (III). 
1CSC X = ------
M=tanx senx
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Análogamente
secx = 1cosx A COt X = ■
Ejemplos
• esc 20°= 1sen20°
• esc2 50°=--- ----
sen250°
* esc7 0 =
sen7 0
sen40°= 1esc 40°
• sen32x = 1
• sec3x-
csc3 2x 
1
cos3x
• sec x = 1
eos2 X
• cos25°=
cos10° =
• cot4 x =
1
sec25°
1
sec10°
1
tan4 x
tan1Ó°= 1
• tan2 40°=
cot10° 
1
tanx
cot2 40°
Otras formas de usar las identidades 
tr igonom ét.ricas recíprocas
• senxcscx=1
• cosxsecx=1
• tanxcotx=1
Ejemplos
sen15°csc15°=1
sen220°csc220°=1
v
sen3 40 esc3 40=1
cos10°sec10°=1
cos4xsec4x=1
tan 0 cot 0=1 
• tan5ßcot5ß=1
tan2 2x cot2 2x=1
i A plicación 4
i Halle el valor de £
i £=tan0cscO-sec0 
; Resolución
| Expresamos en fundón de senos y cosenos.
E =
E =
serrtf í 1
COS0 
1 '
v .serio 
1
1
cosO
cosO cosO 
E = 0
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A plic a c ió n 5
Reduzca la expresión 
A =sen4x csc3x+eos x ■ ta n x.
R eso lu c ió n
Expresamos en función de senos y cosenos.
A = sen4 x
r 1 \ + c
vsen x )
4 1 - iA = sen x sert
A=senx+senx
A=2senx
A plic a c ió n 6
Reduzca la expresión 
senx + senxcosx
f senx x
v cós¿c,
+ senx
J
4. IDENTIDADES PITAGORICAS 
a. Se tiene
sen2x+cos2x---'l
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en C; 
además m <BAC-x.
H = cscx + cotx
Por el teorema de Pitágoras tenemos que
■
&
R eso lu c ió n
Expresamos en función de senos y cosenos.
.,, senx + senxcosx 
H ~ - ------------ ■ .
V - i
b =c-
Dividimos entre c2.
V 2
1 cosx------- 1-------senx senx
Factorizamos en el numerador, 
sen x(1 + cosx)
H = 1+cosx
senx
Efectuamos extremos y medios, 
senxCT^cos^) senx
H =
(1 -Ccosxl
Simplificamos 
H=senxsenx 
H=sen2x
a2 b2 c2« _____i_____—____
c2 c2 c2
4 ) V Ó'2\c - I =1v e . (I)
Del gráfico
• - = senxc
• - = cosxc
(II)
Reemplazamos (II) y (III) en (I). 
(senx)2+(cosx)2=1
sen2x+cos2x=1
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Otra forma de expresar la identidad ; Reemplazamos (I) y (II) en E.
pitagórica
>
$eiTx+cos'~x=
seirx-l-cosOe
cos x - 1- sen ~x
Consecuencias
senx 1+cosx • _______ —________
1-cosx senx 
senx 1-cosx
1+cosx senx 
cosx 1 + senx
. 1-senx cosx
cosx 1-senx • --------— --------
1 + senx cosx 
Ejemplos
• sen210° + cos210°=1
• 1-sen250°=cos250°
• 1-cos24x=sen24x
• sen22x+cos22x=1
sen2100°+cos2100°=1
A plicación 7
Halle el valor de E.
1-cos2x 1-sen2 x 
E ------ ----- •"sen2 x eos2 x
RESOLUCION
Sabemos por otra forma de identidad pitagó­
rica que sen2x+cos2x=1.
Así
sen2x=1-cos2x
cos2x=1-sen2x
(I)
(H)
sen-x cosNx E = ------
serTSx co 
£=1+ 1=2
A p l ic a c ió n 8
Simplifique la expresión
, „ senx cosxM =-----+----- .esex secx
R e s o l u c ió n
Por identidades recíprocas tenemos
1 = senxesex
secx = eosx
(I)
(II)
Reemplazamos (I) y (II) en M.
x 1 1M = se nx---- + cosx-----V++ esex secx
M=sen x-sen x+ cosx-cosx 
—> M - sen2 x + cos2 x 
M=1
A plicación 9
Reduzca la expresión
A=(senx+cosx)2-1.
Resolución
Recordemos el desarrollo del binomio al cua­
drado.
{a + b)2=a2+b2+Zab
Nos piden reducir 
A = (senx+cosx)2-1
9
Desarrollamos el binomio.
/4 = sen2 x + cos2 x + 2senxcosx-1v v— *
-» /A = \ + 2senxcosx-\
/. /4=2senxcosx
b. Se tiene
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en C; 
además m <BAC=x.
B
En el gráfico, por el teorema de Pitágoras 
a ^ b ^ c 2
Dividimos entre b2.
a2_ ¿ [ _ ¿
b2 b2 b2 ■ Jt*
í s f + i = í i ) 2
\b) yb) (I)
Del gráfico se observa por definición
• - = tanx 
b
(ID
c• - = secx 
b
(III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I). 
(tanx)2+1=(secx)2 
tan2x+1=sec2x
Otra forma de expresar la identidad 
pitagórica
í 1 p •)1+tan x=sec x r l _____________________)
<;ec x -tai'Cx--1“ I
Consecuencias
------------= secx + tanxsecx-tanx
1—---------- = secx-tanxsecx + tanx
Ejemplos
• 1+tan220°=sec220°
• 1+tan22x=sec22x
• sec240°-tan240°=1
• sec23x-tan23x=1
• 1+tan2100°=sec2100°
• sec250°-1=tan250°
A plicación 10
Reduzca la expresión
£=sen2x+cos2x+tan2x.
Resolución
Por identidades pitagóricas se cumple que 
E = sen2 x + eos2 x + tan2 xv--------- v----------'i
-> f=1+tan2x
E=sec2x
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
A plicac ió n 77
Simplifique la expresión
M=sec4/-tan4/-1. 
R eso lu ció n
Aplicación 12
Si se cumple que
1 + senz _ 1 
eos* 5'
halle el valor de secz-tan/.
M=sec4z-tan4z-1 
Aplicamos diferencia de cuadrados.
M = (sec2 z-tan2 z)(sec2 z + tan2 z)-1-̂------ v--------'1' .
M=sec2z+tan2z-1
Resolución
Del dato, sabemos que
1 + senz _ 1 
cosz 5
1 sen/ 1—> -------1------- — —
eos/ eos/ 5
Aplicamos identidades pitagóricas. 
M= sec2/+tan2/-1
M= f + tan2 / + tan2 z - \
/. M=2tan2/
_ — — — - .V. • *-
Importante
. '■ ■
a bSi sec/+tan/=- -» sec/-tan/=- b a
Ejemplos
1
• Si secz+tanz=5 -> sec/-tan/=-
1• Si sec/-tan/=7 -> sec/+tan/=-
1
• Si sec0+tan0=2 -> sec0-tan0=3
• Si secß-tanß=7 -+ secß+tanß=6 6
l ______ :____ :------------------- -1 ----------- - J
sec/ + tan/ = - 5
sec/-tan/=5
Aplicación 13
Si secz+tanz=7, 
halle el valor de sec/.
Resolución
Por dato
sec/+tan/=7
, 1 —» sec/-tan/=- 7
Sumamos (I) y (II).
2sec/=7+-7
n 50 —> 2secz=—7
25sec/=— ‘
0)
(II)
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c. Se tiene
1 + cot~x=csc¿x
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en C; 
además rc\<BAC~x.
B
En el gráfico, por teorema de Pitágoras
az+b2= ¿
Dividimos entre a¿
C C =cl
a2 a2 o2 
/ , \ 2 í \2
1+ - = f£\ a j \ a j
Del gráfico 
b— = cotx 
a
- = cscx 
o
(D
(II)
Reemplazamos (II) y (III) en (I)..
1 + (cotx)2=(cs ex)2
Otra forma de expresar la identidad 
pitagórica
1 +<:ot x~csc x
csc'x -cot'x-
CSC X — I - COI
Consecuencias
19 -------------
cscx-cotx
1• -----------------------
cscx + cotx
= cscx + cotx
= cscx-cotx
Ejemplos
• 1 + cot210°=csc210°
• 1 + cot215°=csc215°
9 csc270°-cot270°=1
8 csc22x-cot22x=1
• 1 + cot2200°=csc2200°
Impártanle
Si CSCX+COtX=T —> c s c x - c o t x = —
Ejemplos
• Si cscx+cotx=4 
-> cscx-cotx=*
• Si c s c x - c o t x = 2
—> cscx+cotx=~
• Sicsc0+cot0=
-> csc0-cot0=8 
1
Si cscP~cotp=- 
—> cscP+cotp=5
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Aplicación 74
Reduzca la expresión P.
P=tan xco tx+ co t2x
Resolución
Por identidades recíprocas tenemos que
• P=1+cot2x
• P=csc2x
Aplicación 75
Simplifique la expresión M. 
M=csc4x - c o t4x+1.
Resolución
Aplicamos diferencia de cuadrados.
M = (esc2 x - cot2 x ) (esc2 X + cot2 X
A
Í i> \
M=csc2x+ cot2x+1
■ \
Por identidades pitagóricas tenemos que 
M = csc2 x + 1 + cot2 x
5. PROPIEDAD
Si osenx+¿)cosx=c y a +b -c ,
entonces se cumple que
o b
sen x= - a co sx= -. 
c c
Demostración
asenx+ bcosx-c
bcosx=c-asenx
Elevamos al cuadrado. 
(¿>cosx)2= (c-asen x )2
Desarrollamos el binomio.
b2 eos2 x = c2 + a2 sen2 x - 2ac sen x 
b2 (i — sen2 x ) = c2 +a2 sen2 x - 2 a c senx 
b2 - b2 sen2 x = c2 + a2 sen2 x - 2ac sen x 
0 = (o2 + b2) sen2 x - 2oc sen x + c2 - b2
Además sabemos
CF.C2 X
/. M=2csc x
Aplicación 76
1 -co sx ^
Si se cum ple--------- = 7,senx
halle el valor de cscx+cotx.
Resolución
Del dato
1 -co sx ̂ 1 cosx
senx senx senx
cscx-co tx= 7
1\ cscx + co tx = 7
a2+b2=c2 -> c2-b 2=a¿
Reemplazamos que
0=c2sen2x -2 a c se n x+ a 2
Completamos cuadrados.
0 = (csen x-a )2 -> csenx=a 
asenx=—
c
Sabemos por identidad pitagórica lo siguiente: 
sen2x+cos2x=1
Reemplazamos
a bsenx = — —> cosx = — 
c c
Finalmente
a bsenx = - a cosx = — 
c c
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Ejemplos
• 4senx+ 3cosx= 5
Como (4)2 + (3)2=(5)2
4 3—» sen x = — y co sx = -
. 5 / 5
• 5sen0-12cos0=13
Dividimos (I) y (II).
3
s e n x _ 5 
cosx _4 
~5
t 3 'tanx = —
4
5sen0+ -12cos0=13 
Como (5)2 + (-12)2=(13)2
Q 5 12—> sen 0 = — y eos0 = ----
13 y 13
Í A p l ic a c ió n 18
j Si se cumple que
| 5+12cot0=13csc0, 
i calcule el valor de sen 0.
2 s e n * + 3 eos x = V l3 
Como (2)2 + (3 )M V l3 ) ¿
2 3—» sen x = —f= y co s* =
A p lic a c ió n 17
Si 3senx=5 + 4cos*, 
calcule el valor de tanx.
R eso lu c ió n
Del dato
3senx= 5+ 4cosx 
-> 3senx+ -4cosx= 5
Se observa
(3)2 + (- 4 )2=(5)2 
3-> sen x = -
co sx = - ?
(I)
(ID
R e s o l u c ió n
Con el dato señalado, pasamos a senos y 
cosenos.
5+12^ = 13. 1
sen© sen0
5 ._se n 0 +1 2 ^ o s0 =13 1
,serfí êrf0 ¿eríQ 
i -> 5sen0+12cos0=13
i Como
(5)2 + (12)2=(13)2
i 5 12! —> sen0 = — y cos0 = — •i 13 13
sen0 = — 
13
Importante
El uso de las identidades auxiliares permite re­
ducir expresiones complicadas en expresiones 
más simples.
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
è, IDEN TIDAD ES TRIGO N O M ÉTRICAS 
A U XILIA RES
a. Se tiene
tanx-f co tx-secxcscx
Demostración 
Tenemos la expresión 
£r= tanx+cotx
Pasemos la expresión a senos y cosenos, 
senx cosx
É1=------ +-------co sx senx
Multiplicamos en aspa. 
sen2 x + cos2x
co sxsen x
Por identidad pitagórica tenemos que
r=
r =
co sxsen x
í 1 Ì 1 ÌvCOSXy É se n x J
Aplicamos identidades recíprocas.
£,=secxcscx
Finalmente
tanx+cotx= secxcscx
A plicac ió n 79
Simplifique la siguiente expresión: 
sec x esc x - c o t xM = --------------------- + sen x esc x
co tx
R eso lució n
Por identidad auxiliar
, tanx + pDtóT-pat'xM = --------------—----+ senxcscx
co tx v r '
1
■ + 1
Entonces 
M = tanx-
co tx
M =tanx-tanx+1 
M=tan2x+1 -» M=1 + tan2x 
M=sec2x
b. Se tiene
j sec2x-f csc"x~sec2xcsc‘'x -|
Demostración 
Tenemos la expresión
E2=sec2x+ csc2x 
Expresamos a senos y cosenos.
& C _ 1 1
E2~ — +----~eos x sen x
Multiplicamos en aspa.
f 2 =
sen2 x +eos2 x 
eos2 x sen2 x
eos2 x sen2 x
—> E 2 — \í 1 Ì í 1 ÌVeos2 x> Vsen2 X ;
Por identidades recíprocas tenemos que 
E2=sec2xcsc2x
Finalmente
sec2x+csc2x=sec2xcsc2x
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A plic a c ió n 20
Reduzca la expresión
R=sec2x csc2x-ta n2x- cot2x.
R eso lu c ió n
Resolvemos, por identidad auxiliar 
/?=sec2x+csc2x-tan2x-cot2x
Luego, por identidades pitagóricas
R=sec2x+csc2x-tan2x-cot2x
• 1 . i
-> R=1+1
R=2
c. Se tiene
(— ------------------------- —:—
sen4x+ cos4x=1 - 2seir xcos 'x
. . I______________________________________ X
Demostración 
Sea la expresión
£3=sen4x+ cos4x
E3=sen2xsen2x+cos2xcos2x
Aplicamos identidades pitagóricas. 
sen2x= 1-cos2x 
cos2x= 1-sen2x
Reemplazamos en f 3.
E ,=sen2x (l - cos2x) + cos2x (l - se n 2x)D ^
£3=sen2x-sen2xcos2x+cos2x-cos2xsen2x
Luego, agrupamos
E3=sen2x+cos2x- 2sen2xcos2x
£3=1-2sen2xcos2x
Finalmente
sen4x+cos4x=1-2sen2xcos2x
d. Se tiene
sen'x-f co c»v- 1„ 3 rcn-)írh r'v I S A — i J jc.1 I LUj A
Demostración 
Sea la expresión
E4=senDx+cos6x
E4 =sen2 x(sen2 x) +cos2 x(cos2 x)
Aplicamos identidades pitagóricas. 
sen2x=1-cos2x 
cos2x=1-sen2x
Reemplazamos en f4.
E4 = sen2 x(l-cos2 x f +cos2 x(l-sen2 x)2
Desarrollamos el binomio.
£4=sen2x(l + cos4x-2cos2x) +
+cos2x(l+sen4x- 2sen2x)
Operamos
f4=sen2x+ser¿xco¿x-2sen2xcos2x+ 
+cos2x+cos2xsen4x-2sen2xcos2x
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Agrupamos
£4 =sen2x+ cos2x +sen2xcos4 x+
i
+cos2xsen4 x -4 se n 2xcos2x 
E4=1+sen2xcos2x(cos2x+sen2x )-
£4=1 + sen2xco s2x -4 se n ¿xcos¿x
-4sen2xcos2x
2,,,_„2.
£4=1-3sen2xcos2x
Finalmente
sen6x+ cos6x=1 -3 sen 2xcos2x
Aplicación 21
. Reduzca la expresión
E = 3 (sen4 x + eos4 x )- 2 (sen6 x + eos6 x ).
Resolución
Por identidades auxiliares
■ = 3 (c— 4 ______.4 , , , _ 6) —2 (s(sen x + eos x ) - ¿ Isen x + eos x
E = 3 (i - 2 sen2 x eos2 x) - 2 (i - 3 sen2 x eos2 x)
Simplificamos
E = 3 - 6¿e rT x eos2 x - 2 + 6 s e r ic i eos2 x
£ = 3 - 2 
E= 1
e. Se tiene
(1 -i- senx-f-cosx)''=2(1 +
Consecuencias
* (1 + se n x-c o sx )2=2(1 + senx)(1-co sx) 
a (1 -senx+ co sx)2=2(1-senx)(1 + cosx)
• (1 -se n x -co sx )2= 2(1-senx)(1-cosx)
A plicación 22
Halle la siguiente expresión:
_ (1 + sen x + cosx)2P = ----------------------- cosx
2(1 + sen x)
Resolución
Por identidad auxiliar
n / (1 + ,senóO(1 + cosx)
R =------ ó------------------- co sx
2 0 + ̂ e r íx )
P = 1 + £Q<X-£ osóT 
P = 1
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.° 1
Si tan0=5, calcule el valor de C. 
sen 0 + eos 0C =
sen 0 - eos 0
A) —
2
D) 2
B) 1 Q -2
E) i 2
Resolución 
Dividimos entre cos0. 
sen0 cos0+ ■ -£_COS0 COS0 Q
sen© cos0
tan0 + 1 
tan 0-1
Resolución
Operamos
COS0 COS0 o# 1
CSC X = —
v xReemplazamos tan 0=5 en C.
f A \ • sen 0 = V x —> (I)
_ 5 + 1 6C = ---- -> C = —
5-1 4
- c - i
• * y /
• tan0 = >/y —> 1COt 0 =
y y
(II)
Clave ■ »
r %
Problema N.‘ 2
Halle la expresión £=sen2xcot2x+cos2xtan2x.
A ) z
D) 1
B) I
2 »!
■ > §
Resolución 
Expresamos a senos y cosenos
£=serl^C-
-> £=cos2x+sen2x
Usamos identidad pitagórica. 
E=1
i Clave \
Problema N. a ________________________________
Halle una relación entre x e y independiente 
del ángulo 0 a partir de las siguientes condi­
ciones:
• sen0 = V x
* tan0 = i/y
x
A) y+x=xy 
D) y -x
B) y+x=2xy C) y - x
y
E) y-x=xy
Sabemos por identidad pitagórica que 
1 + cot20=csc2O (|||)
Reemplazamos (I) y (II) en (III).
1 +
r i 2̂ ( <| a2
.- J y j v A
Entonces
1+ ! = 1
y x
1 = 1 , 1 
x y
y -x= xy
; Clave
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Problema N.° 4
Halle el valor de H.
H=csc4x - cot4x - 2cot2x
A) 1 
D) 2
B) c o rx C) csc2x 
E) 2cot2x
Resolución
Aplicamos diferencia dé cuadrados.
H -(csc2x - cot2x)(csc2x+cot2x) - 2cot2x
Usamos identidades pitagóricas. 
csc2x - c o t2x=1
Reemplazamos en H.
H=(1)(csc2x+cot2x )-2 co t2x 
H=csc2x+ cot2x - 2cot2x
H= csc2x - c o t2x
H=1
Clave \ % y
Problema N.° 5 Si
Si tanx+cotx=4, halle el valor de P.
P=tan2x+ cot2x
A) 10 B) 12
D) 16
C) 14 
E) 18
Resolución 
Por dato
tanx+cotx=4
Luego, elevamos al cuadrado a ambos 
miembros.
(tanx+cotx)2=(4)2
Desarrollamos el binomio. 
tan2x+ 2tanxco tx+ co t2x=16
Aplicamos identidades recíprocas. 
tanxcotx=1
Reemplazamos
tan2x+2(1) + cot2x=16 
tan2x+ cot2x=14 
/. P=14
i Clave
Problema N.‘ 6 
Si se cumple que
senx+sen2x=1, halle el valor de M. 
M=cscx-se n x
A) - 
2
D)
B) 1 C) 2
Resolución 
Del dato
senx+sen2x=1
senx=1-sen2x 
1-sen2 x-» 1 =
Luego 
1 =
senx
1 sen2 x
senx senx 
1= cscx-senx
M=1
Clave
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Problema N.° 7
A partir de la siguiente condición:
secx+tanx= 7,
halle el valor de cosx.
A) — B) i !
25 25
D) —
25
Resolución
Del dato
secx+tanx=7
f 1 s e c x - ta n x = - 
7
Sumamos (I) y (II).
1
2 se c x = 7 + -
—> 2 se c x = 507
25se cx = —
co sx = 25
C) — 25
11E) — 
25
(I)
(II)
i Clave
Problema N,° 8 _________________
A partir de las siguientes condiciones:
• senx+ cosx=a
• s e n x -c o sx-b
halle una relación entre a y b independiente 
de x.
A) az+b2=1 B) a2+b2=2 C) a2-b 2=2
D) a2+b2=4 E) a2-b 2=1
Resolución
• Elevamos al cuadrado a ambos miembros 
de la primera condición.
(senx+ cosx)2=a2
Desarrollamos el binomio.
sen2 xd- eos2 x + 2 sen x eos x = a2
1 + 2senxcosx=cf
2senxcosx=o -1 0)
Elevamos al cuadrado a ambos miembros 
de la segunda condición.
(senx-co sx)2=¿>2
Desarrollamos el binomio.
sen2 x + cos2 x - 2 s e n x c o s x = b2'-------V-------'y % 1 ■
1-2senxcosx=£>2
-2senxcosx= b2-1 
—» 2senxcosx=1-b2 (ID
Igualamos (I) y (II). 
a2- ^ - b 2 
a2+b2=2
Clave
Problema N.° 9____
Calcule la expresión M. 
M=(3senx+2cosx)2 + (2senx-3cosx)'
A) 5 
D) 13
B) 7 C) 12
E) 15
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Resolución
Desarrollamos el binomio.
M = 9 sen2 x + 4 eos2 x + Í2serrxeos^ + 4 sen2 x +
+ 9 eos2 x - Í2senx€asLic
M=13sen2x+13cos2x 
M = 13(sen2 x + cos2 x )
-> M=13(1) 
M=13
Clave .
Problema N.° 10
Reduzca la expresión £. 
£= (senx-cosx)2+(senx+cosx-1)(senx+cosx+1)
A) 2senxco sx B) 1 
D) sen xco sx
C) 2 
E) 3
Resolución
£ = (sen x - eos x )2 + [(sen x + eos x) - (1)] x 
x [(se n x + cosx) + (1)]
Aplicamos diferencia de cuadrados.
2 m\2£=(sen x-co sx ) + (senx+cosx) -(1)
Desarrollamos el binomio.
£ = sen2 x - 2sernr€osjc + eos2 x + sen2 x + 
+ 2sen'xcos^c + cos2 x -1
Luego
£ = 2(sem x + cos" x2 ---------2 ~)-1
£=2(1)—1 
£=1
i Clave
Problema N.‘ TI
Simplifique la expresión K.
i/ cosxK =--------- -ftanx
1+senx
A) cosx 
D) secx
B) tanx C) cotx 
E) esex
Resolución
Expresamos K en función de seno y coseno.
cosx senx K - ---------+ •
1+senx cosx
Multiplicamos en aspa.
y _ eos2 x + sen x(1 + sen x) 
(1 + senx) cosx
K = eos2 x + senx + sen2 x 
(1 + senx) cosx
K = eos2 x + sen2 x + senx 
(1 + sen x)co sx
K =
-> K =
(ì+ senx) 
C fe e n x) cosx
1
cosx
K= secx
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Otra forma
„ cosx K ----------- + tanx
1+senx
„ 1 -se n x senxK = --------- +-------
co sx co sx
l-^ è rK + ^ è rK ìc ' 1K —-------------------- —> K = 
co sx co sx
K- se c x
: Clave \
Problema N.* 12
Reduzca la expresión 7. 
1+ cosx 1 -co sx
A) sec2x 
D) 2csc2x
B) tan2x l C) c o rx
E) 2sec2x
Resolución 
Multiplicamos en aspa.
1- cós^c + 1+ cós<, 
(1 + eos x )(1 -co sx )7 =
Por diferencia de cuadrados tenemos 
2
7 =
12-c o s 2 x
Aplicamos identidad pitagórica.
( 1 "l
7 =
sen2 x
-> 7 = 2
\se r\ 'x )
Aplicamos identidades recíprocas.
/. E= 2csc x
: Clave i
Problema N / 13__________
Simplifique la expresión P.
1P =
c s c x - c o tx
■-cotx
A) cscx 
D) 2secx
B) secx C) 2cscx 
E) tanx
Resolución
Aplicamos identidades pitagóricas.
1 + cot2x=csc2x 
-> 1=csc2x -c o t2x
Reemplazamos en P. 
esc2 x - c o t 2 xP =
c s c x - c o tx
•cotx
Por diferencia de cuadrados tenemos que
; (esc x + cot x)^csc"x^-cotx)
%P = ----------------------------- - - - - c o tx
^ CSCÓc'-COtX
—> P = esc x + ccrtsíc - có tx.
P=cscx
Clave
Problema N.*14
Halle el valor de M.
M =cosx(cosx+secx)+ senx(senx+cscx)
A) — 2
D) 3
B) 1 C) 2
»!
Identidades trigonométricas fundamentales
Resolución
Aplicamos propiedad distributiva.
M=cosx(cosx+secx) + senx(senx+ cscx)
M=eos x+ cosxsecx+ sen x+ sen xcscxv.____ y_____I _̂_________ /
1 I
Aplicamos identidades recíprocas. 
senxcscx=1 
cosxsecx=1
Reemplazamos en M.
M=cos2x-f1-fsen2x+1
-> M = ser\2 x + cos2 x + 2
M=1 + 2 
M=3 .
C/o ve............... i*-'
Problema N.° 15
Calcule la expresión E.
(sen * + eos x)2 - (s e n x - c o s x ) '
E =
A) 1
» I
sen x eos x
B) 2 C) 3 
E) 4
Resolución
Desarrollamos el binomio.
E=
sen2x+coszx+2senxcosx-(sen2x+cos2x-2senxcosx)
senxcosx
E -
-> E =
E =
\ + 2sen veos x - ( \ - 2 sen v eos x ) 
sen x eos x
2 sen x eos x + 2 sen x eos x 
sen x eos x
4 'sèn< còsjc
són^cebs^c
E= 4
i C/ove
Problema N.' 16
1
Si cosx = - , halle el valor de N. 
3
N __(1 + senx -c o sx )
1 + senx
2 % 4 5A) : — ;■ B - C)3 3 3
_ 3 5D) f E)5 4
Resolución
| NO OLVIDE
Ì (1+senx-cosx) =2(1 + senx)(1-cosx)y . r̂ .,ŵ „xoc ___
En el problema
(1 + s e n x - c o s x )2/V =
1+senx
-> A/ =_ 2 O'+'sen^O - eos x) 
C ÍÍ'sea^ l
N = 2(1- eos x)
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Reemplazamos
1co sx = - 
3
b b -> N = 2 "2^h - -V 3 )
3
i Clave
Problema M.c 17
Si la siguiente igualdad 
sen* 4x - s e n 5x+ cos4x -c o s6x=Asen6xco scx, 
calcule el valor de A + B + C.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
R eso lu c ió n 
Del dato
/W=sen4x -s e n 6x+ cos4x -c o s6x 
M=sen4x+ cos4x - (sen5x+cos6x)
Utilizamos identidades auxiliares.
M=1 - 2sen2xcos2x - (i - 3sen2x cos2x)
M =/-2ser\2xcos2x/i+ 3sen2xcos,2x
M=3sen2xcos2x-2sen2xcos2x
M=sen2xcos2x
M=Asenfixcoscx
Comparamos y tenemos que 
A=X B=2; C=2 
A+B+C= 5
Clave
Problema N.* 18__
Si se cumple 
1-senx=4cosx,
calcule el valor de R. 
8(tanx+cotx)R = cscx
A) 8 B) 16 C) 17
D) 23 E) 24
Resolución 
Del dato
1-senx=4cosx
Dividimos entre cosx a ambos miembros.
1 s e n x _ 4 c o s x 
cosx cosx cosx
secx-tanx=4
secx+tanx= 2
4
2secx=4+-
4
2secx=—
4
17-» secx=— 
8
Identidades trigonométricas fundamentales
Como piden hallar 
R = 8(tanx+ cotx) : P -0 f 1 Ì
1 Ì
esex
: r — c.
K£J3<ÍX y [ s e n x j
entonces utilizamos identidades auxiliares.
8(secx£sxCx)
ßS<Cx
R=8secx
R=8 
R=17
17
U
? Cfave
Problema N.M9
Reduzca la siguiente expresión:
P=tanx+cotx+ CSCX ( l-2 se n 2x) 
cosx
A) cotx B) 2cotx C) -co tx
D) -2co tx E) 2tanx
Resolución
Usamos identidades auxiliares.
P=secxcscx+cscx —— ]( l-2 se n 2x) 
V c o sx ;
A= secxcscx+cscxsecx(l-2sen2x)
Factorizamos
A= secxcscx(l+1-2sen2x)
A= secxcscx(2-2sen2x)
P = 2secxcscx(l-sen2x)
P=2secxcscx-cos2x
Pasamos a senos y cosenos.
eos xp ja ix
-> P= 2 co sx
senx 
P - 2cotx
i Clave \
Problema M." 20
Simplifique la siguiente expresión:
(
N= tanx+- 1 cos2x
V
A) cosx 
D) senx
secx+ tan xy 
B) 2cosx C) cos2x 
E) 2senx
Resolución
Reemplazamos por su equivalente. 
N = (t^Px+secx-t^hx)cos2x
A/=(secx)cos2xN= 1
SJdix 
N=cosx
icos^x
Clave [
Problema N.° 21
Simplifique la siguiente expresión: 
3 se n xc o tx-c o sx ta n x+ se n xH =
A) 3secx 
D) 3cosx
1-sen2 x 
B) esex C) 3cscx 
E) secx
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Resolución
Aplicamos identidades fundamentales.
/ / cosx / / sen y 3>erfx •----£©sx •----------^+senxsenx
H=- ■ >erfx
eos2 X
H= 3cosx-ß& rfx +$eríx
cos2 x
H= 3cosx 
cos2 x
H = 3 1
.co sxy
H = 3secx
Clave
Problema N.° 22
Si 12 + 5cot0=13csc0/ 
calcule cot0-sec0csc0.
12
» ~T3» - 5
» - T
Resolución
Usamos identidades auxiliares. 
£ = p a ft í- ( ta n 0 + ^ o f í)
£ = - ta n 0
Por dato
12 + 5cot0=13csc0 
1 2 + 5 ^ = 1 3 - 1
o - f
0 -5
(*)
sen0 sen0
Luego, multiplicamos por sen0 a ambos 
miembros.
12sen0 + 5cos0=13
Por propiedad si 
asen0+¿>cos0=c 
además
o2+b2=c2
entonces se cumple que
se n 0 = - ; cos0= —; tan0=-^ 
c c b
Luego
tan0= —
/ 5
Finalmente, reemplazamos en (*).
12-V '"£ = - ,
5
Clave
Problema N.' 23
= AtanM(0),
Si la siguiente igualdad es una identidad:
sec2 0 -1-sen2 0 
esc2 0—1—eos2 0
calcule A + M.
A) 9 
D) 5
B) 4 C) 8 
E) 7
Resolución
Dato:
sec2 0 -1 -se n 2 0 
esc2 0 -1 -co s2 0
= /UanM(0)
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Utilizamos identidades pitagóricas. 
X+tan2 0 -X -sen 2 0
/+cot2 0 -X -co s2 0
= A tanM(0)
->
sen2 0 
eos2 0
-sen 0
eos2 0 
sen2 0
= AtanM(0)
-eo s2 0
Factorizamos
sen2 0
f 1 -1 
Lcos¿ 0
eos2 0 1
= /\tanM(0)
sen2 0
-1 
.sen¿ 0 )
1-cos2 0
y cos2 0 )
eos2 0 1-sen2 0 
V sen2 0 )
= /\tanM(0)
sen20
f sen2 0
—>
eos2 0
= anM(0)
r eos2 0^
sen QJ
sen4 0 
eos2 0>x_
eos4 0^ 
sen2 0
■■A tanM(0)
^ 9 ¿ t a n > ) 
eos6 0
Comparamos
1tan6 0 = A tanM(0)
Luego
A=1 a M= 6 
/. A+M =7
\ C love
Problema M.° 24
Si se cumple que sen20=cot0, 
halle el valor de la expresión 
sec0 -csc0M=-
A) 1 
D) -2
cos0
B) -1
Resolución 
Del dato, tenemos que 
1-cos2O=cot0 
1-cotO=cos20 
1-cotO=cos0cos0 
1-cot0■ = cos0
COS0
1 COt0
COS0 COS0 = COS0
sec0--------------- = eos 0
sen
sec0-- 1
QßetfQ
■ = cosQsen0 
sec0-csc0 = cos0
sec0-csc0 -» -------------- = 1COS0
\ M =1
C) 2
E) -12
Clave
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Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Problema N.° 27
Calcule el equivalente de la siguiente expre­
sión:
A = 5 -4 (se n 4 x + cos4 x)-11sen2 xco s2 x
A) tanx+cotx
B) sec2x+ csc2x
C) sen6x+ cos6x
D) sen2x+1
E) cos2x+1 ■
Resolución
Aplicamos identidades auxiliares.
A = 5 - 4 ( l- 2 s e n 2x eos2x ) -11 sen2 x eos2
A = 5 -4 + 8 se n 2 xco s2 x-11sen2 xco s2 x
-> A= 1-3sen2xco s2x
4 = sen6 x+ cos6 x
: Clave
x
Problema N.° 28
Calcule el valor de la siguiente expresión:
f
R =
esc4 1°-2csc1° +1 
2 -tan 1o eos 1o esc 1o.
tan4 1o
A) -1
D) - -
B) C) 1 
E) 2
Resolución
Aplicamos productos notables e identidades 
fundamentales.
R =
(esc2 1 °- l)
R =
ß ö sT ' ßgnV 
2
tan41o
(cot2 1o)
V 2-1 )
tan4 1o
cot4 1o tan4 1o
1
R = 1
i Clave i
Problema HR 29
Calcule el equivalente de la siguiente expre­
sión:
E = (sec2 0+ l)(sec4 0+ l)+ - CSC ^
1+tan2 0
A) sec80tan20
B) sec80
C) sec80cot20
D) tan80
E) cot80 sec20
Resolución
Damos forma a la expresión.
F = l(sec2 0+ l)(sec4 0+ l)+ — -c 0
1+tan2 0
E= cot2Qtan2e (sec2 0+ l)(sec4 0+l)+-CSC Q 
i ' sec2 0
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E= cot2 e(sec2 0 - l)(se c2 0+l)(sec4 0 + l)+ ^ - ^
sec2 0
1
E = cot2 ©(sec4 0 - l) {s e c 4 0 + l)+ ^ i¿ 0
1
cos2 0
E = cot2 0(sec8 0 - l ) +^ 
sen2 0
E = cot2 0 sec8 0 -
E = sec8 0cot2 0
i Clave •
Problema N.‘ BG
Calcule el valor de x en la siguiente expresión:
eos A eos A 2
1 -sen A 1+senA x
A) senA B) 2cosA C) cos2A
D) sen2A E) cosA %
Resolución \ J r
Sacamos mínimo común múltiplo en la parte 
izquierda.
eos A+sen A p dsA + co sA -senA p dsA _ 2 
(1-senA)(1+senA) x
—̂
1 1 
/ e o s A _ /
1-sen2 A x 
eos A 1 1 1
eos2 A x eos A x 
x = cosA
i Clave \
Problema N.Q 31 
Al reducir la expresión
M= 3 (csc0-1)(1+sen0)
(sec0+1)(1-cos0) 
indique lo que se obtiene.
A) tan© 
D) cos0
B) cot0
Resolución >
Pasamos a senos y cosenos.
M = 3
M — 3
1 - l lvsen0 J
(1+sen0)
f 1 Ì
(1-cos 0)+1veos 0 J
f 1 -sen 0 N(1+sen0)
V senO )
1+COS0
COS0 J (1-COS0)
M =
1-sen2 0
sen0
1-cos2 0
COS0
M = 3
eos2 0
sen0
sen2 0
COS0
C) sen0 
E) secG
Jc o s 3 0 3/ r -? — — —> M = v cot3 0 
V sen3 0
M = 3
M = cot 0
Clave
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
P ro b lem a N.° 3 2
Si senx+cosx=n, calcule el valor de A.
. sen3 x+ cos3x n2A = ----------------- +—
sen x+ co sx 2
» !
» 5
« i
E) 1
Resolución
Aplicamos suma de cubos (producto notable). 
_ (sem?^+tosx) (sen2x-senxcosx+ cos2x) n2A= +—
(serrx+tosX) 2
. 2 2 s nA = sen x+cos x - s e n x c o s x + —2
—> A = 1 -se n xco sx+ —2
Usamos el dato. 
sen x+ co sx = n
Elevamos al cuadrado.
(senx+cos x)2 = n2
sen2 x+ cos2 x+ 2 sen x eos x = n2
1+ 2senxco sx = /f
-+ se n xc o sx = -n2- 1
Luego, reemplazamos en (*).
A = 1-
2
<n2- ï
2 ;
nr . 2 - n 2+1+n2+— -> A =--------------
2 2
i Clave \
P ro b lem a N.° 33 _______
Simplifique la siguiente expresión:
. . (sen2 0 -c o s2 0) -1 4 2 q 
sen6 0+cos6 0-1 3
4 4A) —see 0 B) - ta n 0 C) —tan 0
3
E) 04 ?D) — csc2 0 
3
Reso lución
Desarrollamos el binomio.
. . sen4 0+cos4 0 -2 se n 2 ©eos2 0-1 4 t 2 _ M =----------------------- ---------------- + - ta n 0
sen5 0+cos6 0-1 3
Utilizamos identidades auxiliares.
i -2 sen2 0 eos2 0 -2 sen2 0 eos2 0-/1 4
3
, . /i —<C>CII OLUb O — C bell ULUb) U —/I H 1M = ---------- -------- r------ r----- ;------- - + - ta n ¿ 0
/1-3sen2 Beos2 0 - / 
. . X 4 sen^ O to?^ 4M =
/Ssefl^O tíos2 0
M = |+ ^ t a n 2 0 -> M = ̂ (l+ tan 2 o) 
Por identidad pitagórica
h— tan 0
3
4 9M = — see 0 
3
Prob lem a N.’ 3 4
; Clave
Si secx y esex son raíces de la ecuación 
ox2 +£>x + c = 0,
halle una relación entre a; b y c.
A) 2bc=a2- c 2 B) ac=b2- c 2 C) 2ac=cz- b 2 
D) 2ac=b2- c 2 E) 2bc=a2- b 2
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Resolución
Calculamos las raíces aplicando el teorema de 
Cardano.
• se cx+ cscx = — 
o
• secxcscx= -
(I)
(ID
Problema N.° 3 5 _________ _
Si B e llIC , calcule el valor de M.
M = v l+ cot b Vcsc2 0-"
A) cscB 
D) —csc0
B) sen0 C)
E)
Elevamos al cuadrado la condición (1).
, (2 | b \(se cx+ cscx ) =| - - 
a j
Desarrollamos el binomio.
b2sec2 x+ csc2 x + 2 se c x c sc x= :A;
2 2 0 b2sec xesc x + 2 se c x c sc x= —
o
-> (se cxe scx )2 + 2 secxescx = — (III)
a
Reemplazamos (II) en (III).
Va) a a¿
c2 ? c a _ b ¿
/ + p * /
—> c2 + 2ac=b2 
2ac=b2- (2
Resolución
Usamos identidad pitagórica.
/W = V l+ cot0Vcot2 0 
M = >/l+cot0|cot 0|
Como 0e lllC 
—». icotO| = cot'0
; / ‘‘ positivo '' ' 
Reemplazamos en M.
M = %/l+cot0(cot 0)
M = ̂ 1+cot2 0 
M = \¡csc2 0 
—» M = |csc0|
Como 0e lllC
—» Icsc0¡ = -c sc 0
negativo
Finalmente, reemplazamos en M. 
M =-csc0
; C/ave
cot0
-cot0
i C/ove
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Problema H° 36
Calcule el valor de R.
/?=sen21°+sen22°+sen230+...+sen2880+sen2890
A) 44 
D) 44,5
B) 40 C) 45 
E) 46
Resolución
Por ángulos complementarios
sen89°=cos1°
sen88°=cos2°
sen46°=cos44° '
Reemplazamos en R.
R = sen21o + sen2 2°+...+sen2 44° 4 sen2 45° +
+ eos2 44° + eos2 2o + cos21°
ß = sen21° + cos21° 
sen22° + cos22°
sen244° + cos244° 
sen245°
R = 1+1+...+1+sen2 45°
44 veces
-> R = 44 + 1
R = 44,5
i Clave
Problema N.* 37
SI la siguiente igualdad es una identidad:
( secx ta n * -1 sen x
Vtanx s e c x j Cos2 x 
calcule A + B.
A) 3 
D) 2
B) 4
= Asen(ßx),
C) 5 
E) 6
Resolución
Aplicamos identidades fundamentales en el 
lado izquierdo de la expresión.
1 ,-1sen*
paáx £OSóT
senx
pasfx £e4x'
sen3 x 
eos2 x
= Asen(ßx)
1 Ì-h> ¡ —— --sen x 
senx y
-1 3sen x
eos2 x
= Asen(ßx)
- 2 yl-se n x
-1
V senx J
sen3 x 
eos2 x
= Asen{Bx)
í i \ eos X
-1
sen x
I s e n x J eos2 x
= Asen(ßx)
senx sen x
eos2 x eos2 x
= Asen(ßx)
sen x-sen x 
eos2 x
= Asen(ßx)
sen x[l^ sen2x)
= Asen(Bx)
( l- s e n 2 x)
-»1senx = Asen(ßx)
Luego, los valores son A =1 y ß=1. 
A + B=2
Clave
Problema N/ 38
Halle una relación entre o y b independiente 
de 0.
1
• tan0+ cot0 = -p=
4b
• sen4 0+cos4 0 = a
A) a+b=2 B) 2a + ¿>=1 ■ C) a -b = 1
D) o-2ò=1 E) o+2ó=1
Resolución
1
tan0+ cot0 = -7=
4b
Usamos identidades auxiliares. 
1sec0csc0 = -7=
4b x
Pasamos a senos y cosenos.
1 1 1-x-
cos0 sen0 yfb 
—> sen 0 eos 0 = V¿> b(O
• sen40+cos40=o
Por identidad auxiliar se cumple que
1-2sen20cos 20=o 
1- 2 (sen0 cos0)2=o
Reemplazamos (I) en (II).
1-2 ( 4 b f= a
1-2ò=o
o+2¿)=1
(II)
Clave
Problema N.’ 39
Si csc0-cot0=5, calcule cot0 e indique a qué 
cuadrante pertenece 0.
A) ; 0 e MIC 
12
12B ) -; 0 e IIC
5
12C) ;0 e lV C 
5
12D) ; 0 e IC
E) — ;0 e l l lC 
5
Resolución 
Nos piden cot0. 
csc0-cot0=5
1-+ csc0+cot0 = - 
5
Restamos (II) y (I).
2cot0 = - - 5 
5
2cot0 = - —
5
cot 0 = — —
5
Reemplazamos en (II).
1
CSC0 + COt0 = - 
5 ‘
n 12 1 
5 5
n 1 12CSC 0 = — + —
5 5
e s c e - «
• 5
(I)
(II)
(III)
(IV)
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
De (III) y (IV) tenemos que 
cot0 = -
csc0 = +
■ 0 G I
cot0 = - y y 0 e IIC
; Clave
Problema 40_______
Si se cumple que
+ 1 se cx+ ta n x = - ,
2
halle el valor de la expresión P. 
sen x+ co sx 
secx+ cscx
A } - £ B) I C)25 5
»! E)
5
12
25
Resolución
Pasamos a senos y cosenos, 
senx'+cosx 
P=- 1
1 1— +—
co sx senx
secx+tanx' = - 
2
-> s e c x - ta n x = 2
Sumamos (I) y (II).
0 52 secx = - 
2
-» s e c x = - 
4
ta nx= — 
4
Entonces
XE Iva.
senx = - - 
5
4eos X =—.
5
Reemplazamos en (*). 
P =
P = -
' 3̂ | V
, 5 y ,5 y
12
25
Clave
(*)
Problema N.‘ 41
Calcule el valor de la expresión E.
P _ eos 1o (sec31o - CSC 1o) - ta n31o (cot 1o - cot4 1o)
(sec 1o + tan 1o -1)(sec 1o - tan 1o -1)+2 sec 1o
(0 A) 1 B) 2 C) -1
(ID n i o -i
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
De (III) y (IV) tenemos que 
cot 0 = -
csc0 = +
e e lle
12cot0 = —— y 0 e lle
; Clave
Problema N.° 40__________ '
Si se cumple que 
1se c x+ ta n x = - ,
2
halle el valor de la expresión P. 
^ _ sen x+ co sx
se cx+ cscx /
A) 12 3 4
senx = -~ 
5
B - i l C)25 5 \ 5 4
D) 3
%
E)
"•• ’ ' V12
cosx = — 
5
'5 25
Resolución
Pasamos a senos y cosenos, 
sen x+ co sx 
P = -
t, :>
1
1 1— +—
co sx senx
secx+ tan x = - 
—> s e c x - ta n x = 2
(*)
(I)
(II)
Sumamos (I) y (II).
o 52 secx = - 
2
-> secx = - 
4
tanx = --
4
xe IVC
Entonces
Reemplazamos en (*
L ì ) í-il 5 JUJ
12
25
Clave
Problema N. 41
Calcule el valor de la expresión E.
eos 1° (sec31° - esc 1°)- tan31° (cot 1° - cot4 1°) 
(sec 1o + tan 1o -1)(sec 1o - tan 1o -1)+2 sec 1o
E=
A) 1
D)
B) 2 C) -1
E) 4
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Resolución
Operamos la expresión.
E=-
cos1° -tan31o
Vtan 1o tan4 1o,
-+
(sec 1o -1+tan 1o )(sec 1o -1 - ta n 1o )+2 sec 1o
1 C O SI0 2 io 1— --------------- tan2 1o +-------
E _ cos2 1° sen1°____________ tan1°
(sec1°-1)2 - tan2 1o +2 sec1°
£ = sec2 1o - £ e d ° - ta n 2 1o + cot 1o 
sec2 1o - +1-tan2 1°+ jtsed°
E = sec2 1o-ta n 2 1o 
sec2 1o- ta n 2 1o +1
: d ;
e =-— = - 
1+1 2
Problema N.’ 42
Si
sec2 Q+csc2 8 
l, tan0+cot0 J
eos Q = n,
Reemplazamos su equivalente. 
1 + C O S 0 C O S 0
R = -
-+ R = -
sen0 sen0
1
sen0 
R = esc 0 (*)
Dato:
• Clave i }
calcule R = sen0 -co t0 en términos de n. Problem a N.° A31—eos 0 Si se cumple que
B) nn C) - sec0+csc0 = 2+\/6 y tan0+cot0 = V6
D) —n E) 2n i calcule el valor de E.
f -) y \sec2 0+csc2 0 
V tan0+cot0 )
f i i \sec2 0csc2 0
cos0=n
 ̂ secQcscfQ 
(>ecf0 esc©)
cos0 = n
■ = n
ßecQ
—> esc Q=n
Finalmente, reemplazamos en (*). 
R=n
; Clave [
Resolución
Recordemos que
sen0 1+cosO 
1 -C O S 0 sen0
E=- 1 -+- 1
sec0+tanO csc0+cot0 
B) 2A) 2n/6
D) - 2
C) - 2V6
E) 1
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
Resolución 
Recordemos que 
1
sec0+tan0
1
CSC0 + C O t0
= se c0 -ta n 0
= CSC0 - C O t0
Desarrollamos la expresión.
E = se c0 -ta n 0 + csc0 -co t0
£ = sec0+csc0-(tan0+cot 0)
-> E = 2 + ^ M - J^
E=2
Problema N.° 44
: Clave •
1
Si sen0+cos0 = - ,
3
calcule P = sec0+csc0+tan0+cot0.
A) -3
D) - -
B) — 
18
C) -2
E) '3
Resolución
Dato:
1
sen0+cosO = - 
3
Elevamos ai cuadrado.
í -A2
3 J(sen0+cos0) =
1
1+2sen0cos0 = - 9
4sen0cos0 = —9
Nos piden
P = sec0+csc0+ tan0+ cot0 
1 1P =------+------ +sec0csc0
cos0 sen0 
„ sen 0 +eos 0P - -------------- + ■ 1
P =
sen0cos0 sen0cos0
sen0+cos0+1
sen0cosO
Reemplazamos (I) y (II) en P.
i + i
p =~—
_ 4
9
P = - 3
(0
(ID
: Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Halle la expresión M. 
se c0 -co s0M=-
sen0tan0
« i
D) -1
2. Simplifique E.
B) 2 C) 1 
E)
E = -
1+cos x 1+secx
A) cosx B) secx 
D) -1
3. Halle la siguiente expresión:
C) 1 
E) senx
P = tanx + co tx sen3x+ cos3x+■
sec2 x+ csc2 x senx+ cosx
A) 2 
D) 1
B) -2 C ) - 1 
E) 0
4 . Si 2sen0+cos0=-1,
calcule el valor de csc0-cot0. V
A) - 2
» - 5
• , - í Q -1 
E) -3
5. Si tan2x+tanx=2, calcule 2cotx+tan2x.
A) 2 
D) 1
B) 0 C) -1
E) 3
6. Calcule el valor de K.
cos0tan0+sen0cotOK = -
senO+cos0
B) C) 1
E) -1
7. Reduzca la siguiente expresión: 
1+ senx+ tanxK = -
1+ cosx+ co tx
A) cotx 
D) cosx
B) tanx C) senx 
E) 0
8. Calcule el valor de K si se cumple que 
cot2x - c o s 2x=/Ccot2x.
A) sen2x B) tan2x C) cot2x 
D) cos2x E) 1
9. Calcule K a partir de la siguiente identidad
s e c x - c o s x K • = tan xc s c x - s e n x
A) 1 •
D) - 
2
B) 2 C) 3
10. Simplifique E.
p _ (sen g +eos a )2 - (sen a - eos a )2 
(sen a +eos a )2 +(sencx—coscc)2
A) 1
B) 2
C) 2senacosa
D) 4
E) 4senacosa
11. A partir de las siguientes condiciones
• 1+tanx=osecx
• 1-tanx=bsecx 
calcule ia2 + b2).
A) 1
D)i
B) 2 C) 3
E)!
A) 0
D) 2
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
12. Si 3senx+4cosx=5,
calcule ta n x+ —.
4
'A ) 1 B) 0 C) 2
« i
13. Si V Ï3 secx--2 ta n x = 3,
calcule senxcosx.
A ) Æ
13 B) 2- 13 Cj 6 Æ13
D) — 
13 E) 1
14. Reduzca K.
K=( secxcscx-tanx)senx
A) esex B) 1 C) senx
D) cosx E) secx .
15. Si sen x+ co sx = Vn+1(
calcule el valor de £=senxcosx.
A) n B) 2n 0 n- 
2
D) 1 E) 0
16. Simplifique la siguiente expresión:
M = (C0Sa" 
1-
■sen a ) eos a 
- ta n a
A) sen2oc B) tana C) cos2a
D) cota E) tan2a
17. Calcule el equivalente de la expresión A.
A = (csc30+ cos0csc3 o)(1-•COS0)
A) sen© B) csc0 C) sec0
D) cos0 E) csc20
cscx secx18. S i ------ +------ = n,
senx co sx
calcule tan2x+ cot2x.
■A) /7-1 B) n + 2 C) n -2
D) n+ 1 E) -n
? ?19. Si sec x+csc x=6, 
calcule el valor de M -
, \2 ta n x+ co tx
a a n x - c o t x y
A) 6 B) 2 C) 4
D) 3 E) 1
20. De la siguiente identidad
sec0+1
s e n 2 0 = ( 4 + c o s 0 ) m ,
Vsec0-1y 
calcule el valor de A + M.
A) 3 
D) 2
B) 4 C) 5 
E) 6
21. De las siguientes condiciones:
eos2 0 - = n
1-sen0 
• cot0sen0=m 
elimine la variable angular 0.
A) mz=2n2
B) m2- n 2=Zm
C) m2- n 2=2n
D) m2+nz=2m
E) m2+n2=2n
22. Simplifique la siguiente expresión: 
s e c x c s c x - c o tx 
s e c x c s c x - ta n x
A) cot2x B) sen2x C) sec2x 
D) cos2x E) tan2x
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23. Calcule el.valor de la expresión M.
M =2(sen6 2° + cos6 2°)-3 (sen4 2° + cos4 2o)
A) -1 
D) - 2
B) 2 • C) 1 
E) 0
24. Si sec2xcsc2x - ta n 2x=n, 
calcule csc2x.
A) n+1 B) n-1 C) -n í A) l B ) | C)
n i 5 5D -
2 E) 1 -n E)
25. Si tanx=5,
calcule el valor de P. 
P=sec2xcsc2x - c s c 2x-1
A) 16 
D) 15
B) 10 C) 25 
' E) 36
26. Si secxcscx=3, calcule el valor de R. 
P=tan2x+ cot2x
A) 5 
D) 7
B) 4 C) 6 
E) 3
2
27. Si sen4x+cos4x = - ,
calcule el valor de A=sec2x+csc2x.
B) 4A) 6 
D) 7
C) 5 
E) 8
28. Reduzca la siguiente expresión:
-,2(ser x+ TW secx-t 
M = (cscx+ 1)(cscx-1)_
10rA) tan 0 B) tan 0 C) tan 0
D) tanb0 E) tany0
29. Si sec(3+tan(3=2, calcule 3csc(3. 
B) 4A) 2 
D) 6
30. SI se n xc o sx =
C) 3 
E) 5
1
S '
calcule el valor de E =
4 4sen x+ cos x
sen6 x+ co s6 x
3 
5
4
5
31. Si cot0=3, calcule el valor de M. 
1+4cos2 0M=-
sen2 0
A) 44 
D) 48
B) 45 C)46 
E) 50
32. Reduzca la siguiente expresión:
A = sen6x cot6x + cos6x tan6x+3 sen2 x eos2 x
A) 1
B) sen4x+cos4x
C) cos4x -se n 4x
D) 2
E) 3
33. Si se cumple que secx-4=tanx, 
calcule el valor de 15cotx.
A) 8 
D) 4
B) 15 C) -15 
E) - 8
34. Calcule el valor de D.
D=(3senx+4cosx)2 + (4senx- 3cosx)2
A) 5
D) 35
B) 15 C) 25
E) 40
Capítulo 6 Identidades trigonométricas fundamentales
35. Si secxcscx=6,
calcule el valor de R =
A) 2 
D) 8
B) 4
6 4sec x+ csc x 
2 tan2 x
C) 6 
E) 10
36. A partir de las siguientes condiciones:
• tan0=a
1• cos9 = -
b
calcule una relación entre a y b indepen­
diente de 0.
A) b+ o=1
B) b-a = V
C) b2 + a2=1
D) o2- b 2=1
E) (fa + o)(¿-o)=1
37. Si la siguiente igualdad es una identidad 
= 4 ta n x - f ic o t x (tan3 x - c o t3 x
tan2 x+ csc2 x
halle 3A + 2B.
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
38. Si se cumple que 
1-cosx=tanx, 
halle el valor de M.
M =cosx-senx+sen2x
A) — 
2
D) -1
B) - - 2
39. Si 8senx+15cosx=17, 
calcule el valor de J. 
J=senx+cosx.
A) 1517
B) A 
17
D) — 
17
C) 1
E)
C) — 
17
E)
23
17
40. Si x e IIC, reduzca la siguiente expresión:
E^ co sx + v ta n x c o tx - s e n 2 x
A) 2cosx
B) 0
C) -2cosx
D) 2senx
E) -2senx
Claves
1 6 11 16 21i 26 31 36
2 7 12 17 22 27 32 : 37
3 8 13 18 • 23 28 33 ; 38
4 9 14 19 24 29 34 39
5 10 15 20 25 30 35 ■ 40
, lu/jihi : 
‘J v ÎMSîÿîl :,<
W,-;I!míí;u ;
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO COMPUESTO
usasSír:
El estudio de las fundones trigonométricas y su correspon­
diente uso en ingeniería es diverso: desde el cálculo de lon­
gitudes o distancias inaccesibles hasta los últimos avances 
en ingeniería. Por ejemplo, se sabe que los fenómenos pe­
riódicos se pueden expresar como funciones senoidales es 
decir de la forma f(x)=senx o f^=cosx. Si se tiene una suma 
de funciones senoidales, obtendremos otra función senoi­
dal de la forma f^=Kser\{x+ty), donde los parámetros K y p 
dependerán del fenómeno a analizar; dicha expresión es el 
desarrollo de la identidad
f^=Kcosfyser\x+Ksen$cosx
De la misma manera, al hacer el estudio en la resistencia de 
las estructuras, observamos que al utilizar vectores y diver­
sos parámetros de cálculo hallamos una suma de expresio­
nes de la forma asenbx o acosbx, la cual requiere del uso de 
las identidades para un análisis más simplificado. Entonces, 
el uso de las identidades trigonométricas permite hacer un 
estudio más detallado pero a la vez más sencillo de los fe­
nómenos, en cuya descripción se utilizan funciones trigono­
métricas.
Aprendizajes esperados
• Obtener las funciones trigonométricas de ángulos a partir 
de una suma o diferencia.
• Identificar triángulos rectángulos, cuyos lados están en 
una relación constante, a partir de los triángulos rectán­
gulos notables.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Permite entender la relación existente entre una suma o dife­
rencia de ángulos y sus razones trigonométricas; así como re­
lacionar una suma de senos o cosenos para expresarla como 
un término simplificado. Ello permitirá entender; por ejemplo, 
una suma de ondas en el estudio de las fundones.
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h/7f//£S>~
No olvide
; En todo triángulo rectángulo se 
i : cumple lo siguiente: V
111 i | ;
ísení-V " .
Identidades trigonométricas de 
un ángulo compuesto
1. IDENTIDADES PARA LA SUM A DE DOS ÁNGULOS
1,1. Seno y coseno para la suma de dos ángulos
sen(a+0) -sena cosí) + sent) cosa
cos(a+0) - cosa cosO - sena senO
Demostración
Sean los ángulos adyacentes a y 0.
• ’ * y
| ■ / I | | \ I ; i ■ - — / : \ A
\ fcscfn/ i
i i Á r i / N — X
i ícotG 
: \ .MI: i f
! Además, cualquier ángulo pue- 1 ¿É S dT ____ r i___ c
i de ser expresado como una
I suma de ángulos.
j Ejemplos
P . 50o = 40°+10°
I . 50° = 45° + 5o
; . 50° = 30°+20°
: Se usará la suma más conve-
I niente en un ejercicio a desa- 
¿ mollar.
O P
En el fê OPA
AP=Osen(a+0) y OP=Q,cos(a+0)
En el ^ O AH
AH=Csenay 0/-/=kosa
En el fes. OBH
H B= kosasenO y OB=Ücosacos©
Trazamos H N 1A P . Entonces en el fê AHN 
AAÍ=Osenacos0 y HN=dsenasenB
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Además
AP=AN+NP
Pero NP=HB, entonces AP=AN+HB.
\se n (a + 0)=\sena cos9 + \co sa senG 
sen(a+0)=senacos0 + cosasen9
También
OP=OB-PB
Pero PB=NH, entonces OP=OB-NH.
\ c o s (a + 0) = \ c o s a c o s 0 - \ s e n a s e n 0 
cos(a+0)=cosacos0-senasen0
Ejemplos
• sen200cos10°+sen100cos20°=
=sen(20°+10°)=sen30°
• sen40cos0 + sen0cos40 =
=sen(40 + 0)=sen50
• cos250cos20°-sen250sen20°=
=cos(250+20°)=cos45°
• cos7(3cos(3-sen7psen|3=
=cos(7(3 + (3)=cos8P
A plicació n 7
Calcule sen75°.
Reso lució n
Para calcular sen75°( expresamos 75° como 
una suma de ángulos conocidos.
• 75o=45°+30°
sen75°=sen(45°+30°)
sen75°=sen45°cos30°+sen30° cos45°
sen 75°=
sen75°=
y¡2 73 1 4 Ï
-----X — + - x ----2 2 2 2
V6 + V2
4
A plicac ió n 2
Calcule cos82°
Reso lu ció n
Expresamos 82°=45°+37°.
Luego
cos820=cos(450+37°)
cos82°=cos450cos370-sen45°sen370
Æ 4 V2 3eos 82°= — x -------- x -
2 5 2 5
í?
eos 82°= —
10
A plicación 3
Reduzca la expresión 
cos(a + 0) + senasen0 
cosB
Resolución
Por identidad
cos(a+0)=cosoccos0-senasen0 
cos(a+0) + senasen0=cosacos0
Reemplazamos en la expresión 
cos(a + 8) + senasen0
CO S0
COSOC£0Stí
^— = COSCÍ
7:05 0
1.2. Tangente para la suma de dos ángulos
tana + tan0 I
tan(a + 0) =
■tan a tan ü j
Demostración
sen(a+0)=senacos0+sen0cosa
cos(a+0)=cosacos0-senasen0
Dividimos ambas expresiones.
. sen a eos 0 + sen 0 eos atan(a + 0) = ----------------------------
eos a eos 0 - sen a sen 0
i
Dividimos entre cosacos© al numerador y al denominador.
tan(a + 0) =
seng^erêti | sen0„coslí 
eos g^o^t) Soc eos 0
sen asen0 
eos g eos 0
Obteniéndose
tan(a + 0) = tana+ tan0
1 -tan a tan 0
Ejemplos /
tan50°+tan10°—- = tan(50o+10°)=tan60°1-tan50°tán10°
tan40 + tan30 tAn _= tan(40 + 3O) =tan701-tan40tan30
tan 2a + tan a 
1 -tan 2a tan a = tan (2a+ a) = tan3a
A plicación 4
Halle el valor de M.
M = tan40° + tan10° tan30° + tan10° 
1-tan40° tan10° A l- ta n 3 0 °ta n 1 0 °
Resolución
Por identidad
tan40° + tan10° 
1-tan40°tan10° = tan(40°+10°) = tan50°
tan30°+tan10°
1-tan30°tan10° = tan(30°-h10o) = tan40°
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Reemplazamos en M. 
M=tan50°tan40°
Por ángulos complementarios se cumple que tan40°=cot50°. 
—> M=tan50°cot50°
M=1
2. IDENTIDADES PARA LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULO;
sen(a- 0)=senacosO - senOcosa 
cos(a-0)=cosacos0+senasen0
ta n ( a - O c ­tano.-tan 0< .1-r tan ex tan 0
Ejemplos
• sen400cos200-sen200cos400=sen20°
• cos350cos100+sen350sen100=cos25° 
ta n 6 a - ta n 2 a
1+ tan6atan2a
= tan4a
Aplicación 5
Calcule el valor de tan16°.
Resolución
Veamos
tan16°=tan(53°-37°)
tan53°-tan37°
tan16°= 1 + tan53°tan37°
tan16°=
4 _ 3 7_
3 4 _ 12 _ 7
„ 4 3 2 241 + - x - 
3 4
kuiui iaj lucimudutíi mal­
eadas se cumple que
tan2 a -tan 2 8 
1-tan2 atan2 0
= tan(g +e)tan(g-o)
tan16°=^-24
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A plicac ió n 6
Calcule el valor de M.
^ _ sen250co s5 °-sen 5 0cos25° 
eos 75° eos 5o + sen 75° sen 5o
Reso lu ció n
Por identidad
• sen25°cos50-sen 5 0cos250=sen(250-5 °)
=sen20°
• cos75°cos50 + sen750sen50=cos(750-5 °)
=cos70°
Reemplazamos en M.
. . sen20°M = ---------
cos70°
Por razones trigonométricas de ángulos com­
plementarios tenemos que sen20°=cos70°
M = 1
y y fJU 0
A plic ac ió n 7
Determine el equivalente de la expresión P.
co s (a -0 )-co sa co s© 
sen a sen 0
R eso lu ció n
Por identidad
co s(a-0 )= co sa cos0 + sena sen© 
co s(a-0 )-co saco s0= sen asen0
Reemplazamos en P.
>ería>eríO
¿eríaseríQ
i A plicac ió n 8
j Si se cumple
i /\=sen(20°+x)cos(10°-x) 
i fí=cos(20°+x)sen(10°-x) 
j halle el valor de A + B.
i R e s o l u c ió n
i Realizamos cambio de variable, 
i 20°+x=a
i 1O-x=0
j —> /\=se nacos©
i fí=cosasenO
i Nos piden
i /4 + fí=senacos0 + cosasenO
| A + B=sen(ci+0)
A + B=sen(20°+x+10°-x) 
i /4 + 8=sen30°
i 1N A + B = ~
\ 2
i A plicación 9i Reduzca la expresión L.
\ sen40cos0-sen0co s40
i tan30
j Resolución
\ Por identidad
i sen40cos©-senOcos40=sen(40-0)
i sen(4Q-0)
| tan30
j sen30
i sen30
P=1 eos 30
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
sen30
i _ ^err39^cos39 
~ sen36 ~ Serr80 
eos 30
/. L=cos30
Reso lu ció n
Por dato
1
tan0 = - 
7
A plicac ió n 10
Halle el’valor de N.
N=7tan74°-tan82°
Reso lu ció n
Recordamos los triángulos rectángulos obte­
nidos.
Luego, se puede afirmar que 0=8°.
Reemplazamos en K.
K=tan(6(80)-3 ° ) + cos(8(80)- 4 ° ) 
/C'=tan45°+co's60°
K= 1+ - 2
K = -
2
Aplicación 12
Determine el equivalente de N.
N = tan 40°-tan 5
o 3
V.1 +tan 40° tan 5o ) cos35°
Resolución
Por identidad
M=2 4 -7
M=17
A plicac ió n 77
Si 0 es un ángulo agudo que verifica
1
tan0 = y , halle el valor de
tan40°-tan5° 
1 + tan40°tan5° tan (40°-5°)
Reemplazamos 
N=tan35°cos35°
sen 35oN=------- — cos35
cos35°
N=sen35°K=tan(6O -3°) + co s(8 0-4 °).
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
i 3. IDENTIDADES AUXILIARE'
a. sen(a+0) sen(a-O) = serva - sen'i)
No olvide
; Como
| sen2a=1-cos2a 
i sen20=1-cos20
T
: sen(a+0)sen(a-0)=
=cos20-cos2a
i Ejemplo
cos210°-cos220°=
—> cos210°-cos220°=-sen10°
=sen30°sen10°
r
2
Demostración
Sean
• sen(a+0)=senacos0 + sen0cosa
sen (a-0 )= senacos0-sen0cosa
x
• sen (a+ 0)sen(a-0)= (senacos0)2-(sen0cosa )2 
= sen2acos20 -se n 26cos2a 
= sen2a (1-sen20 )-se n 20(1-sen2a)
= sen2 a - ¿en^cfser?^ - sen2 0 + serv2 0 sen^ct
sen(a+O)sen(a-0)=sen2a - s e n 20
Ejemplos
• sen40osen20o=sen(30o+10o)sen(30o-10°)
=sen230°-sen 210°
• sen225o-se n 220o=sen(25o+20o)sen(25o-20°)
=sen45°sen5°
sen(4a+a)sen( 
= sen5asen3a
sen24 a -se n 2a= sen (4a+ a)sen (4a-a)
b. cos(a i 0 )C (^ (a-0)=eos a - serV 0
La demostración es similar a la identidad a.
c. sen (a + 0) 
eos a eos 0
= tan a + tan 0
Demostración
Sea
_ sen(a + 0)
cosacos©
Por identidad de la suma de ángulos
sen aco s0+ sen 0co sa 
M = ----------------------------
cosacos©
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
^ _ sen a p e r t i sen 0 j ^ a 
cosa^e<0 ^oscícos©
M=tana+tan©
Otras identidades 
se n (a -0 )
• -------------------------- z
cosacos© 
sen(a + 0)
señasen©
s e n (0 -a )
• -------------------- -
senasen0
co s(a+ 0)
• ---------------------
cosacos©
co s(a-Q )• -----------------
cosacos©
cos(a + 0)• --- ;---------
señasen©
c o s (a -0 ) • -------------
señasen©
Ejemplos
sen50°
auxiliares 
= tana-tan©
= co ta + cot©
= co ta-co t©
= 1-tanatan©
= 1+tanatan©
= cotacot© -1
= cotacot©+1
sen(40°+10°)
cos40°cos10° cos40°cos10°
= tan40° + tan10°
sen20° sen (70°-50°)
cos70°cos50° cos70°cos50°
A plicac ió n 73
Reduzca la expresión P. 
sen10°
= tan70°-tan50°
P = cos30°cos20°
+ tan 20°
R eso lu ció n
Sea
_ sen10° . ~noP = —--------------- + tan20°
eos3 0 °eos20°
Otra forma de demostrar 
sen(a-0)
eos a eos 0 = tancí-tan0
es gráficamente
C
Si 4fi=1 
—> SC=tana 
Efí=tan© 
C£=tana-tan© 
Pero4C=seca.
En el £±ACD
r£ i_ sen(g-Q) 
cosa
En el tv CDE
sen(a-Q)
cosacosG
tan a -tan 0 = sen(g-O) 
eos acosO
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
j En expresiones de la forma
secasecQ
es conveniente multiplicar por 
el factor sen(a+9) o sen(a-O), 
con lo cual se obtiene
sen(a±0) 
eos a eos 0
y ello es equivalente a este resul­
tado tana±tanO.
De la misma manera se puede 
analizar qué factor resulta con­
veniente para multiplicar en la 
expresión cscacscO de modo 
que.se pueda obtener una re­
lación con tangentes o cotan­
gentes.i
___ _______________■____________ )
p = se n (3 0 °-2 0 ° )+tan20O
cos30°cos20°
-> P = tar\30°-pir2Ü°
P=tan30°
, P = 33
Aplicación 14
Determine el valor de la expresión 
(tan60°-tan100)cos100csc50°
Resolución
Sea
K = (tan60°-tan100)cos100csc50° 
Por identidad
„ sen (60° -10°) ^ rnn
K ------------------— posd0° esc 50°
cos60°pos-10°
K = l en-S0° esc 50° ->■ K = — '— 
cos60° cos60°
K=sec60°
•. K= 2
d. tana + tanO+tanatan0t.an(oc+0)=tan(a+0)
Demostración 
Se sabe
tan(a+0) = tana + tan0
1-tanatan0 
tan(a+0)-tanatan0tan(a+0)=tan0+tan0 
tan(a+0)=tana+tanO+tanatan0tan(a+O)
También se cumple que
" - " > 
tana - tanO-tanatan0tan(a- 0)-tan(a 0)
C____________ :_______ ________ _
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Ejemplos
• tan10°+tan20o+tan10otan20otan30o=tan30°
• tan20+tan0+tan20tan0tan39=tan30
• tan50°-tan20o-tan 50otan20otan30o=tan30°
• tan2x-tanx-tan2xtan2x=tanx
Aplicación 75
Reduzca la expresión K.
y _ tan2x + tan3x + tan2xtan3xtan5x 
ta n 6 x - ta n x ~ ta n 6 x ta n x ta n 5 x
Resolución
Por identidades
• tan2x+tan3x+tan2xtan3xtan5x=tan5x
£ a ^n(2x+Bx)
• tan6x-tanx-tan6xtanxtan5x=tan5x
Reemplazamos en K.
tan5xK = -------
tan5x
K= 1
4. PROPIEDADES '
a. Si o y b. son números reales positivos y x una variable se 
cumple que a seox±bcos x = ^a2 + b2 sen (x± 0 )( donde 0 
es un ángulo agudo tal que tan0 = - .
Demostración
Sea
M = aser\x±bcosx
Como a y b son positivos, los consideramos como catetos 
en un triángulo rectángulo.
-Je/
^ L -_____a
donde
tanO = - 
a
De las expresiones indicadas se i 
obtiene í
• tan(a+0)tanatanO=
=tan(a+0)-tana-tan9 i
* tan(a-0)tanatan0=
=tana-tan9-tan(«-0) ;
Ejemplos
* tan60°tan40°tan20°=
= tan60°-tan40°-tan20° i
• tan3atan2atana=
=tan3a-tan2a-tana •
Las razones trigonométricas de 
los ángulos como 30°, 60°, 45°, 
37° y 53° resultan útiles para 
expresar un ángulo compuesto.
Ejemplos 
• senx+cosx
4 i 1 1-7=senx + -T=-cosx 
v2 J2
V2(cos45°senx+
+ sen45°cosx) 
V2sen(x+45°)
-> senx+cosx=V2sen(x+45°)
• £ senx-cosx
£ 1senx — —cosx 
V 2 2
2(cos30°senx- sen30°cosx) 
2sen(x-30°)
—> '/3senx-cosx=2sen(x-30°)
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
se cumple para.valores positivos 
y negativos de n v h
Además
• El máximo
asenx+bcosx
• El mínimo valor que adopta
osenx+ócosx es
Si x pertenece a un intervalo y 
se quiere analizar la variación 
de osenx+ócosx, conviene ex­
presarlo como
Va2 + b2 sen(x + 0) donde 
btan0 = - o
y luego analizarlo en una cir­
cunferencia trigonométrica.
M = \Ja2 +b2 (cos0senx± senO cosx')
M = \laz + b2 sen (x± 0)
Ejemplos
1. senx + cosx = 7 l2 + 12 sen(x + 0)
donde tan0=1 0=45°
-> senx + cosx = 7 2 se n (x + 45°)
2. sen10°+cos10°=72 sen(l0°+45°) = 72 sen55°
3. sen200 + cos20°=72sen(200+45°) = 72sen65° 
De lo anterior, se deduce que
sen x i-eo sx ~ 72 senu i AS*) 
También se cumple en
4. 7 3 se n x± co sx = 2sen(x± 30°)
% V f 1
5. sen x± 7 3 co sx = 2sen(x± 60°)
6. 3senx±4cosx = 5sen(x±53°)
7. 4 sen x± 3 co sx = 5sen(x±37°)
b. Para todo x (variable real) se cumple 
- 7 o2 +b2 <asenx + bcosx< 7a2 + ¿>2
Demostración 
De lo anterior
asenx+bcosx = \¡a2 +b2 sen(x + 0)
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Por definición, si x e R (x + 0 )e R 
-1<sen(x+0)<1
Multiplicamos por [^lo2 + b2).
-sla2 +b2 <yja2+b2 sen {x + Q)<\¡a2 +b2 ---------- >
-yla2 +b2 <asenx + b c o s x < J a 2 +b2
minimo máximo
, T-T \
Importante
La propiedad b también se cumple cuando 
ay b adoptan valores negativos.
Ejemplos
1. -V 3^ + 4^ < 2sen x + 4cosx<V3^~+4^ 
-5< 3senx+ 4cosx< 5
El mínimo valor que toma 3senx+4cosx 
es -5 .
El máximo valor que toma 3senx+4cosx 
es 5.
2. -\/.V32 + (—VÍB )2 < V3 senx +
+ (—\f\3 eosx ) < t/V3 +(-yf\3) 
- 4 < V3 se n x-\/ Ï3 co sx < 4
Para investigar
Las identidades de ángulos compuestos también se pueden expresar para una suma de 3; 4 y más án­
gulos simples, así se cumple que
sen(x+y+z)=senxcosycosz+senycosxcosz+senzcosxcosy-senxsenysenz.
Demuestre dicha expresión y halle las expresiones para cos(x+y+z) y tan(x +y+z).
i95
Problema N.° 1
Reduzca la expresión M.
^ _ sen (x + y ) - s e n x eos y
co sx
A) cosy 
D) seny
B) senx C) cosx 
E) 2seny
Resolución
Tenemos
sen (x + y )- s e n x e o s y 
cosx
M =
Por la identidad de ángulos compuestos se 
cumple
sen(x+y)=senxcosy+senycosx
sen(x+y)-senxcosy=senycosx
Reemplazamos en M.
, „ senycos"x M = ----——-—
yoSx
M=seny
• Clave
ProblemaNT 2 _______________________
Determine el valor de la siguiente expresión:
sen 25° eos 20° + sen 20° eos 25° 
eos 40° eos 2 0 ° - sen 4 0 °sen 20°
Resolución
De lo aprendido
senoccos0+sen0cosa=sen(a+0)
Luego
sen25°cos200+sen200cos250=sen(200+25°) 
—> sen25°cos200+sen200cos250=sen45°
También
cosacos0-senasen0= cos(a+0)
Luego
cos40°cos200-sen400sen200=cos(400+20°) 
—» cos40°cos200-sen 400sen200=cos60°
Reemplazamos
V I r-
2
2
2
sen45°
eos 60°
sen 45° 
cos60°
í
= v i
Clave
Problema N/ 3
Calcule el valor de P.
sen 22° eos 22° P= -------- + ---------see8c
A) 1
D) V I
Resolución
Tenemos
esc 8o
B) C)
E) 2
v i
2
A) V I B) 12
C) 2
; sen 22° 
; sec8°
D) S E) 1 P = sen 22°
+ -
' 1 ̂
vsec8° -reos 22°
1
lese 8o
29i
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Recordemos que
1 1 cos0 = ------ a sen0 = '
sec0 CSC0
Reemplazamos
P=sen22°cos80+cos220sen8° 
P=sen(22°+8°) -» P=sen30°
, p = i2
• Clave \
Problema N.° 4
Si a y 0 son ángulos agudos tal que
1 a 2sen a = —j= a cos0 = - t= ,
V 2 V13
determine el valor de sen(a + 0).
A) 2^ 
13
B) ^ 
26
C) ^ 
26
D) ^ 13
-
s T Ü
26
Se cumple
Resolución
Se pide sen(a+0), pero
sen (a+ 0)=senacos0 + sen0cosa
Entonces necesitamos el seno y el coseno de 
a y 0.
Como a y 0 son ángulos agudos, entonces por 
dato tenemos
También
COS0 =
Vl3
/ ;
Reemplazamos
, .. TÍ 2 3 Tísen(a+0) = — x —= + — x —2 T13 T13 2
, 272 3V2 5T 2 T Í3
2V13 2V13 2V13V13
S\¡26sen(a + 0) = 26
; Clave
Problema N.° 5 Si
Si se cumple que 
5tana-1=0 y 
5tan0-2=O,
halle el valor de tan(a + 0).
A) 1923 B) —23 C) t i 23
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Resolución 
De los datos
5tana-1 = 0 -> tanoc = -
5
5tan0-2 = 0 -> tan0 = -
5
Luego
Reemplazamos
>&fì2£)° eos 30° 
£err2t)° sen30°
M=cot30°
M = V3
tan (a+ 0 ) = ta n a + tan0 Clave •
tan (a + 0) =
tan (a + 0) =
Problema N.* 7
Si se verifica que cos(a-p)=3cos(a + (3), 
determine el valor de cotacotp.
A) 3 B) 2 C) 4
Problema N.* 6 
Determine la expresión reducida de
sen 50° - sen 30° eos 20° 
sen2 0 °sen30°
A) A
D) 2
R eso luc ió n 
Sea la expresión
sen 50° - sen 30° eos 20°
E) 1
M = sen20°sen30°
Podemos hacer
sen50°=sen(30° + 20°) 
sen50°=sen30°cos20° + sen20°cos30° 
sen50°-sen300cos200=sen200cos30°
D) j
''
Resolución
f VNos piden hallar
. . Q eos a eos Pcotacotp =--------- L-senasenp
Por dato
cos(a~P)=3cos(a+P)
cosacosP+senasenP=3(cosacosp-senasenP)
cosacosP+senasenp=3cosacosp-3senasenp
2
-> / sen a sen p =2 eos a eos P
eos a eos p 
senasenp
2=cotacotp
: Clnvf>
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Problema N.° 8
A partir del gráfico mostrado, halle tan(a-(3).
A) — 
15
D) — 8
" * ! Q *3
E) — 12
Resoludón
Del gráfico
tana=4 a tan(3 = 1
Nos piden
/ „ n ta n a - ta n f i
t a n (a - m = ------------- -v ' 1+ tanatanh
4 -1
-» ta n (a - (3 ) = ----- -A-̂ r
1+4 1
Problema Î V 3
Determine el equivalente de la expresión
tan (x + y ) + t a n ( x - y )
1 - ta n (x + y ) t a n ( x - y )
A) cot2x B) tan2y 
D) tanx
Resoludón
Sea
tan (x + y ) + t a n ( x - y )
C) tan2x 
E) cot2y
K =
1 - tan (x + y ) tan (x - y )
Si
x + y = a j 
x - y - 0 j
2x = a + 0
se tiene
K = tana + tan0 
1 -tan a tan 0
-» /C=tan(a+0) 
K=tan2x
Problema N3 ID
Clave
V47 Determine el valor de S.
15
4
2
c sen2 2 0 °-se n 2 10° 
eos2 55o-se n 2 25°
15 A) 2 B) 1 C)
8
j Clave \ D) - 2 E)
£
3
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Resolución
Tenemos
sen2 2 0 °-se n 210°S =
eos2 55°-se n 2 25°
Recordamos lo aprendido.
• sen (a+ 0)sen(a-0)= sen2a - s e n 20
• cos(a+0)eos(a+0)=eos2a - s e n 20
Reemplazamos
sen (20° +10°) sen (20° -10°)S =
s =
eos (5 5o +25°) eos (5 5o -25°)
sen30°sen10°
cos80°cos30°
Por ángulos complementarios tenemos
sen10°=cos80°.
sen30°pos'8TH
v
« r
-> S =
5 =
pos-ftá® eos30° 
sen 30°
eos30° 
S=tan30°
- í
Problema N.° 11
Clave {
Resolución
Sea
„ sen Í2a + (3) . nP = ---- ^ t a n 2a
eos 2a eos (3
Por identidad auxiliar
sen(2a + p) _ tan2a+ tan P
cos2acos(3
Reemplazamos
P = jtarr^a + ta n (3 - ja rre a 
P=tan(3
Determine el equivalente de la expresión 
sen (2a + (3)
eos 2a eos (3
A) tan(3 
D) tana
-ta n 2a.
B) cot(3 C) cota 
E) tan(a+(3)
* Clave
Problema N/ 12
Halle el equivalente de la expresión 
sena------------------+ tan0.
cos(a + 0)cos0
A) cot(a+0) B) tan(a+0) C) tan0
D) cot0 E) tana
Resolución 
Sea la expresión 
senaM = ■ + tan0
cos(a + 0) eos 0
. . sen ((pT+03 - 0 )M = ---- -------------- + tan0
cos(a + 0)cos0
Por identidad auxiliar
M=ta n (a +0) - t¿n0+t^ntf
M=tan(a+0)
Clave
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Problema N.° 13
Determine la expresión reducida de 
(tana+ tan0)co t(a+ 0)+ tanatanQ.
A) tan0 
D) 1
B) tana C) cota 
E) cot0
Resolución 
Sea /
C = (tan a + tan 0) cot(a + 0) + tan a tan 0 
Por identidad
tan (a + 0) = ta n a + tanO
1 -ta n a ta n 0 
1 1 -ta n a ta n 0
tan(a + 0) tan a + tan 0 
1 -ta n a ta n 0cot(a + 0) =
tan a + tan 0
—> (tana+tan0)cot(a+0)=1-tanatan0
Reemplazamos en C.
C = 1 - ian^rtan© + ̂ an^xtan?
C=1
i Clave .
Problema N.° 14
Determine el equivalente de la siguiente ex­
presión:
M =sen(x+y)sen(x-y)+cos2x
A) eos x 
D) cos2y
B) sen y C) sen2x 
E) 1
Resolución
Por identidad auxiliar
sen(x+y)sen(x-y)=sen2x - s e n 2y
Reemplazamos en M.
M=sen2x - sen2y+ cos2x
-» M =1-sen2y
M=cos2y
: Clave
Problema N.' 15
Exprese el equivalente de P. 
eos ( a + 2(3)P =
eos2 ( a +(3)- se n 2 (3
C) csc(3A) esca B) seca 
D) sec(3 E) cosa
Resolución
Por identidad auxiliar
cos2x -se n 2y=cos(x+y)cos(x-y)
En la expresión
cos2(a+ (3)-sen2(3=cos(a+2(3)cosa
reemplazamos
p _ co^(er-f2pt
eos a
P = seca
i Clave
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Problema N.‘ 16 Problema N.° 17
En el gráfico mostrado, halle tana Halle cot0 si se verifica
si AM=MC=yÍ3.
8 ta n (4 5 » - e )= 4 ta n 9 - 1 + tan0
A) 2 B) 3 C) 5
^ < 3 0 * / r
D) 6 E) 4
A M ■ c Reso lución
A) 4 } B) 4 1 
5 6
D) —
9
C)
E)
3
5
2V3
Del dato
tan(45° 0 ) - 4 tan ° 
v------v------' 1 + tan0
tan45°-tan0 4tan0
Resolución . 1 + tan45°tan0 1 + tan0
Del gráfico tenemos que
1-tan0 4tan0
B W ,
3O°+a=0
a=0-3O° 
tana=tan(0-3O°) 
tan0-tan3O°-> tana =
tana =
1+tan0tan3O°
2____ 1_ _ 1_
V3 S _ \ /3 
5 
3
, 2 1
tana = >6
1+4l}tan0 lu tan e
-> 1-tan0=4tanO 
1 = 5tan0
tan0 = - 
5
cot0=5
Clave
Problema N.° 18
Si se cumple que sen(a+(3)=5sen(a-P), 
tanadetermine el valor de
tan fi’
; Clave
A) S 
D) \
B ) i c)!
E)
à3<
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Resolución 
Por identidad
sen(a+[3)=5sen(a-(3)
senacosp+senpcosa=5(senacos(3-senPcosa)
senacos(3+sen¡3cosa=5senacos(3-5sen(3cosa
3 2 
Jasen^ co sa^ senaco sp
3sen(3 _ 2 sena 
eos (3 co sa
3tan(3=2tana
3 _ tana 
2 tan(3
; Clave
Problema N.° 19
Del gráfico mostrado, halle tan(a-(3).
A) 4
d ) 22
B) 3 C)
E)
2
4
Reso lución 
Se pide
/ tan a-tan |3
ta n (a - m = ------------- --v 1 + tanatan(3
Si a y (3 son ángulos en posición normal 
3 -3—> tan a =
-4 4
tan(3 = - = 3
Reemplazamos 
tan (a -f3 ) = — f-
— - 3
1 + "-3 "
U ,
-3 ,
(3)
tan (a-f3 ) = — $-
15
4
1+lfJ(3) 54
tan ( a -(3) = 3
P rob lem a N/ 2 0 
A partir del gráfico, halle tan0.
Clave
D) - - 
3
B) - f C) -3 
E) - 4
J
. - -, .. ' V' , ■-
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
En el gráfico, consideramos los ángulos en po­
sición normal a y (3.
Luego, se cumple 
0 = ß -a
tan0= tan(ß-a)
ta n ß - ta n atan0 = 1 + tan ß tan a
En el gráfico, utilizamos la definición para de­
terminar la tangente de p y a .
o -1 1
tanß = ^ = 3
tana = - = 31
Reemplazamos
- - 3 3tan0 = — -— = - r -
4 (3)
Problema N. 21 __________ ________________
2
Si se verifica que tan (25 °+ a )= -, halle el valor 
de tan (2 0 °-a ).
» i
D) -2
B)l
E) i 2
Resolución 
Por dato
tan(25° + a )= -
Cambiamos de variable.
225°+a=0 —> tan0=-
Nos piden tan (20°-a ).
20 °-a= P —> se pide tanp
Se observaque
25° + a = 0 j4 5 ° = 0 + p 
20° - a = P J P = 45° - 0
Se pide tanp=tan(45°-0) 
tan 45°-tan 0tanß =
1 + tan45° tan0
i - i i
-» tanß = — 1 =
1 + - - 3 3
„ 4tan0 = - — tanß = l
Clave : Clave
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Problema N.° 22
En el gráfico se cumple ta n a = 2^3. 
Calcule cot0.
A ) ~ a
B) - 7^3
D) - 5>/3
Resolución 
Del gráfico se observa 
0=6O° + a
Calculamos tan0. 
tan0=tan(6O°+a)
tan60° + tana
tan0=-1-tan 60°tan a
Por dato tan a = 2V3.
Reemplazamos
2V3+V3tan0 =
-> tan0 =
i - ( 2V M
3V 3
-5
C) -
E) -
2V3
4^3
Nos piden coto.
-5V3
COt0 =
cot0 =
3V3V3
-5V3
: Clave
Prob lem a NC 23
Si se cumple
M=tan40°+tan20° y N=^3 tan40°tan20°, 
halle el valor de \Í3(M + N).
A) 1 
D)
B) 1 C) 3 
E) 6
R e so lu c ió n r
Recordemos que
tana+tan0+tanatan0 tan (a+ 0)= tan (a+ 0)
Nos piden y¡3{M + N).
Por dato
M=tan40°+tan20°
A/=V3tan40°tan20°
M+/V=tan40°+tan20°+ y¡3 tan40°tan20°
M+A/=tan40°+tan20°+tan60°tan40 tan20c 
—> M+/V=tan60°
M + N = Jl 
n/3(M + N) = V3->/3
S { M + N) = 3
Clave
J
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.' 24
Reduzca la expresión K. 
2sen(3O°-0) + N/3seneK =
A) 4
4cos0
B) 2
D) — 2
q \
* ■ 1
Resolución 
Por identidad
2sen(3O°-0)=:2(sen3Oocos0-sen0cos3Oo)
= 2 |-c o s0 -se n 0 - —
V2 2
2sen(3O°-0)=cos0->/3sen0
Reemplazamos en K.
eos© - n0 +K =
4cos0
K =
K =
4
Clave
Problema N. 25________
Halle el equivalente de L. 
sen30°
L = cos20°cos10°
-ta n 2 0 °
A) V3 B) tan10°
D) tan20°
C) cot10° 
E) ^
Resolución
Desarrollamos
sen(20°+10°)
cos20°cos10°
Por identidad auxiliar
■tan20°
L = + ta n 10o-jtam2ÍH
¿=tan10°
■ Clave
Problema N.* 26
Calcule el valor de la expresión 
tan25°+tan20o+tan25otan20°
A) 1 
D) 4
B) i2 C) 2
E)
Resolución
Sea
/.=tan25o+tan20o + tan25otan20° 
Recordemos que
tana+tan0+tanatan0tan(Cic+0)=tan(a+0)
En la expresión
L = tan25°+tan20°+tan25°tan20°(1)
4I
tar.4S°
L = tan25°+tan20o+tan25otan20otan45°
-> /-=tan(25°+20°)=tan45°
L=1
Clave
k
3i
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
P ro b lem a N.° 27
A partir de la condición sen(9-3O°)=3cos0, 
halle el valor de cotG.
s D. & ^ V3
3 B) T c T
1 1
7 E) 4
R eso lu c ió n 
Por dato
sen (e-3O °) = 3cos0 
sen0cos3O°-sen3O°cos0=3cos0
1sen 0--------cos0 = 3cos02 2
>/3 1sen 0— = 3co s0 + -co s0 2 2
q Æ 7 COS0sen 0—r = -^cos0 — = ------
% I 7 sen0
cot0 = •Jï
Clave
Problema N.° 28______________________________
Si se verifica que x+y=45°, determine el valor 
de M.
1 1
M = -------------------- -------- —tanx + tan y co tx + co ty
* " 5
B) -1 C)
D) 2 E)
Resolución
Tenemos
M =
M =
M =
M =
tanx + tan y co tx + cot y
1 1
tanx + tan y 1 1 +
tan * tan y
1 1
tan/H-tany tanx + tan y 
tan,v-tan y
1 ta n x ta n y
tanA' + tany tanx + tan y
^ _ 1 - ta n x ta n y 
tanx + tany
M = cot(x+y)
Como x+y=AS°
—> M=cot45°
M=1
i Clave
Problema N.° 29
Simplifique la expresión F.
5sen(37°+ 0)-3cos0F =
A) 2
D) - -
2senG
B)^ C) -2 
E) 1
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Tenemos
5 sen (3 7 °+ 0 )-3 eos 0F
F =
F =
2sen0
5(sen37Qcos0 + sen 0co s3 7 °)-3 co s0 
2sen0
/( 3 4^P -7cos0 + sen0--y -3 co s0
\P P
F = 
F= 2
2sen0
_ j Í 0Os0 + 4sen 0-jlco sO
. 2sen0
-> F = / >erT0 
/^seríO
: Clave
Problema N.° 30
En el gráfico mostrado, calcule el valor de tan0.
1 F 2 0
A) 7 
D) 4
B) 6 C) 3 
E) 5
R eso lu c ió n 
A partir del gráfico
B 1 F C
à
Se observa que 
0 = 4 5 °+ a
—> tan0 = tan(45° + a)
tan45° + tan atan0 =
tanO—
1 -tan 4 5 °ta n a
2 2 51+ - 1 + - -
3 _ 3 _ 3
, m 2 2 11-(1 - 1— -
3 3 3
tanO = 5
: Clave
Problema ;N.* 31 
Reduzca la expresión P. 
P=(1-tan0)[1 + tan(45° + O)]
A) tan0 B) ^
D) cotO
C) 2 
E) -2
Resolución
Tenemos
P = (1 - tan 0) [ i +tan (45° +0)]
P = ( l- ta n 0 ) 
P = ( l- ta n 0 )
1+
1+
tan45° + tanQ 
1-tan45°tan0
1+tan0
_ 1 -ta n 0 .
-> P = (> -tan0 / h +1+ tane '
ta ta r i ()
P=2
Clave
31
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Problema N.° 32_________________________
Si ABCD es un cuadrado, además AM=MD=2 y 
tan0=2, determine NC.
A B
Además
. x tan a = - 
4
■ x 3 —> — — —
4 4
; Clave ,
............ »4 4 ' • I,
Problema M,D 3 3 __________ ._____________
A partir del gráfico, calcule tan0.
A) j B) 3 C) |
Reso luc ió n 
A partir del gráfico
A
En el A DPC, aplicamos la propiedad del án­
gulo exterior.
a+(3=0
a=0-(3
-> tana=tan(0-(3)
tan 0-tan p
tan a = ----- —----- -1 + tan0tanP
tan a =
2
1 + 2
A) 0,8
d ) v i
Resolución
Del gráfico mostrado
B) 1,7 C) 1,5
E) 1,3
se cumple que 0=a+(3.
—> tan0=tan(a+p)
_ tan a + tanfitan0 = ------------- —
1-tan atan p
3-> tan a = -4
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Pero
2 ' 1 tan a = - y tanp = — 
3 y 4
• tan0 =
2 1-- 1---
3 4
-i 2 11— x — 
3 4
r\_
tan0 = — = — 
J0_. 10
y í
tan0=1,1
Problema N.° 34
Simplifique la expresión R. 
R = 2 se n 3 1 °-V I sen1°
A) sen1° B) 2sen1° 
D) 2cos1°
Resolución
Tenemos
R = 2 sen 31° - V I sen1°
i Clave \
C) V I eos 1o 
E) cosí0
>#>
R = 2 sen (30 °+ 1°)-V I sen 1o 
R = 2 (sen 30° eos 1o + sen 1o eos 3 0 ° )-V I sen 1o
= / ^ c o s V + s e n V ^ \ - 'l3 s e n V
U i J
R = eos 1o + ^ 5 é n i° -
R =
R=cosí0
¡ Clave
Problema N.‘ 35___________________
Determine el valor de
sen (a+ 0 ) . , . a---- -------r si se cumple tan0=5tana.
s e n (a - 0 )
3A) - 2 B) -
» !
Resolución
Del dato tan0=5tana tenemos 
sen0 _ 5sena 
cos0 co sa 
-> sen0cosa=5senacos0
Nos piden
sen (a+ 0)
C) - 
2
E) i 
3
M =
M =
se n (a -0 )
sen a eos 0 + sen 0 eos a 
sen a eos 0 - sen 0 eos a
M = senacos0 + 5senacos0 
se n a co s0 -5 se n a co s0
-> M = X >erícx
-X ^ e r ía ^ o S lí
2
M = - — 
2
Problema N.* 3G
i Clave
Determine el máximo valor que adopta la 
presión f{x).
fM=5sen(x + 37°)-senx
A) 5 
D) 7Ü
B) 3 C) 726 
E) 275
ex-
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Resolución 
Sea la expresión
f(x)= 5sen(x+ 37°)-senx
Pero
5sen(x+370)=5(senxcos37°+sen37°cosx)
5sen (x + 37°) = X 4 3senx — + — cosx
v i i
5sen(x+ 37°)=4senx+ 3cosx
Reemplazamos
fM=4senx+3cosx-senx 
f(x)=3senx+3cosx
Aplicamos la propiedad b.
-y¡32 +32 < 3 se n x + 3 c o sx < v 32 + 32 
- 3V 2 <3 senx + 3cosx <3%/2 
-3 V 2 < f(x) <3\/2
Por lo tanto, el máximo valor que adopta f(x)
es 3\/2.
; C/ove ■
Problema N.° 3 7 ____________
Halle secxcscx si se verifica que
sen(x+45°) = ̂ -.
6 7 C) 18A) - § B) - 5
20 E) 9
D) y 4
Resolución
Nos piden
se c x c sc x = - 1 1
se c x c sc x = ■
co sx senx
J _____
co sxse n x
Por dato
sen(x + 45°) = Sil
-Í2senx eos 45° + sen 45° eos x = —
72 V2 72sen x — + — eos x - —
2 2 3
fsen x + cos x) - 
■ 2 3
senx + cosx = - 
3
Elevamos al cuadrado, 
(senx + co sx )2 = í- ^
7 7 4sen x + 2 sen xco sx + cos x = —“T I ____________________ Z _T- 9
' 1 0 4—> 1 + 2 sen xco sx = — 9
2 sen xco sx = --
senx eos x = ----18
1 18
senx cosx
18•. se c xc scx = ----
5
: Clave
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.° 38
Determine el equivalente de la expresión M. 
f tan 40° + tan 20° ó
V ta n 4 0 °-tan 2 0 °
B) 1
sen 20°
A) - 
2
D) 2
Resolución
Tenemos
^tan40° + tan20°'3
« T
M = sen20°
V ta n 4 0 °-tan 2 0 °
NO OLVIDE
„ sen(a+e) ítana + tan0 =-----------cosacos© v
I J. sen (a-0)tana-tan0 =-----------cosacos©
ysy <yyxyyyyyxsyx* o 'yyyy> x-ooooooooooco* ’/j
En la expresión
r sen (40°+ 20°) ^
M =
cqsAQ°x6s26° 
sen (4 0 °-2 0 °) 
cos40Dr^s2O°
sen20°
-» M =
sen60 o ó
¿rr2Ú°
M £m = t
‘ Clave \
Problema N.° 39 
Reduzca la expresión T.
c o s ( a ^ + s e n ( a ^ 
" s e c ( a - p ) c sc (a - (3 )
B) cos2a C) sen2(3 
E) sen|3
A) cos2(3 
D) sen2a
Resolución
Tenemos
_ eos (a + p) + sen (a + [3) 
s e c (a - p ) esc ( a -(3)
1 1
T = co s(a + p )-----7--- -r + sen (a + (3)-----7----- - r
v ' s e c (a -p ) csc (a -(3 )
r=cos(a+(3)cos(a-(3)+sen(a+(3)sen(a-{3) 
T- cos(a+ (3-(a-(3))
T-cos2(3
¡ Clave \
ProblemaM. 4G
Reduzca la expresión 
y¡3 sen 20° + eos 20°
sen 5o + eos 5o
A) i2
D) 2y¡2
B) 2 C) yfe 
E) 1
Resolución
Sea
M = y¡3 sen 20° + eos20°
M = 2
/T 1
— sen 20° + -e o s 20° 
. 2 2
M = 2(cos 30° sen 20° + sen 30° eos 20°)
0o+20 )
—> M=2sen50°
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
En el gráfico, asumimos queAB=x.
A
En el ¿áDCA
tan (45° +0) = ^dtl 
4
. tan45° + tan0 x + 1—̂ ------------------= -----
1- ta n 45° tan 0 4
5 _ x+1 
3 ~~ 4
_ 17 x - 3
: Clave
—>
4 1
4_ 
1
•x+1
(
1-1
V4
R eso lución 
Por identidad
tana+tan9+tanatan0tan(a+0)=tan(cc+0)
Despejamos
tanatan0 tan (a+ 0)= tan (a+ 0 )-tana-tan 0
En el problema
tan60o-tan40o-tan20o=tan60otan40otan20°
Reemplazamos
^ _ tan 60° J:arr4Ü° J:att2t)°
-> M - tan60°
M=V3
Clave •
Problema N.‘ 44 
Si se cumple que
tan(2O°-0)=3V3, halle tan(4O°+0).
Problema N/ 43 
Reduzca la expresión
tan 60° - tan 40° - tan 20°M —------ —---------------------- .
tan40°tan20°
/r
A) tan20° B) — Q >/3
D) tan40° E) 1
D) Z S E) -2V3
Reso lución 
Por dato
tan(2O°-0)=3>/3 
Nos piden
tan(4O°+0)=tan(6O°-(2O°-0))
tan(40Q+0)^-tan6QQ~ tan(20°~ ü)
1+tan60°tan(20°-0)
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Reemplazamos
-> tan(40°+9) =
-> tan(4O + 0) =
V 3-3V 3
1+V3(3V3)
-273
10
V3tan (4O °+ 0 )= -^ -
Problema N.‘ 45 
Halle el equivalente de M.
M = - cos2b -co s2(a+b ) 
senacos2ó+sen2ócosa
A) cosa 
D) señó
B) sena
; C/aiz-e
C) cosò 
E) sen2b
Resolución 
Recuerde que 
cos2ó=1-sen2ó
Reemplazando tenemos
1-sen2ó - ( l- s e n 2 jo+b)) 
sen(a+2ó)
/ - s e n 2ó -/+ se n 2(a+b) ' 
sen(a+2¿>)
sen2(a+ ó)-sen2¿> 
sen(a+2£>)
s^niü^flb) sen(a+b-b)
M=-
M =
-> M=
M =
M=sena
s§n(a+2S)
i C/ave •
Problema N.° AS
Definida la expresión
¿ _ sen x+ co sx 
eos x '
halle el valor de f{22°30'
■ vA) 2V2
D) —2
Resolución 
De la expresión
sen x+ cosx
C) 1 
E) 72
ó ) - ' cosx
Por identidad
senx+cosx=\/2sen(x+450)
Reemplazamos
7 ) _
_ y¡2 sen(x + 45°)
cosx
cuando x=22°30'
V2 sen(22°30‘+450 '
/(2203(P - cos(22°30')
f(22°30 T
_V2sen (67°30 ')
cos(22°30‘)
Pero
67o30' + 22o30' = 90°
Aplicamos ángulos complementarios. 
sen(67°30‘)=cos(22o30‘)
COLECCION ESENCIAL
Reemplazamos
f(22°30,)=A/2 — — A
cgsi2^SÜ^)
a f(22°30')=V2
: Clave \
Problema N.° 47
Halle cot(3 si se cumple que 
tan(2a+3(3)=3 y tan(2(3+a)=2.
A) — 
13 ■ • i
C) — 
9
» 1
E)
R eso lu c ió n
De las condiciones se puede indicar que 
• (2a+3(3)-(2(3 + a)=a+[3
-> tan[(2a+3(3)-(2p+a)]=tan(a+(3)
tan(2a+3(3)-tan(2p+g) m
1+tan(2a+3(3)tan(2P+a)
Pero tan(2oc+3(3)=3 y tan(2(3+a)-2. 
3 -2—>
1+(3)(2)
= tan(a+P)
-> tan(a+ (3)=-
p = (2p + a)-(a+ P )
-> tanp= tan[(2p+ a)-(a+ p)]
tan(2p+ a)-tan(a+ P)tanp= 1+tan(2P+a)tan(a+p)
Lumbreras Editores
2 - -
-» tan(3 =------ y- ,
1+ (2) 1
tan|3=|^
9
cot|3 = — 
13
: Clave
Prob lem a N.° 4 8
A partir del gráfico, determine el menor valor 
que adopta x.
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
Reso lución 
Del gráfico
□ i
. 1 , n 6 tan a = — y tan 0 =-----
x x+3
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
Recordemos 
tan(g+0) = tana+tanG
1-tanatanG
Además
tan(0+ot)=—
x
tan0+ tana 6 
1 -tan 0 ta n a x
—>
6 1------ 1---
x+3 x
1-
.x+ 3
Resolución 
Sea la expresión
M=V3cos100+3sen10°+2cos40°
M=V3 (V3 sen 10° + eos 10°)+2 eos 40°
—» M=2V3
' [A 1
— sen10° + -co s10° 
. 2 2 y
+ 2cos40°
M=2V3(cos30°sen100+sen300cos10°) +
+2cos40°
M=2V3sen(10o+30°) + 2cos40°
x2-15x +36=0 
(x-12 )(x-3 )= 0 
—» x=12 v x=3
Nos piden el menor valor de x.
x mln=3
: Clave
M=2 (V3 sen40° + cos40°)
-> M=2x2
K 1
— sen 40° +-e o s 40° 1 2 2
M=4(cos300sen40°+sen300cos40°) 
M=4sen(30° + 40°)
-> M=4sen70°
Problema N.° 49______________ , - y
Al reducir la expresión 
V3cos10°+3sen100+2cos40° 
se obtiene Asen6° tal que A>0 y 0<B<90. 
Halle B-A .
Por dato _
Asen6°=4sen70° 
como 0<8<90 
-» A-A a B=70
Nos piden 6 - A
A) 62 B) 66 C) 56
D) 58 E) 46
6-4 = 6 6
i Clave •
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Determine el valor de 24tan16°+cot8°. 
B) 16A) 10 
D) 13
C) 12 
E) 14
2. Si la expresión sec15°+csc15° es igual a 24m , 
indique el valor de m+2.
A) 8 
D) 4
B) 10
3. Al reducir la expresión 
eos (x - y ) - eos x eos y 
senx
¿qué se obtiene?
A) cosy 
D) secy
B) seny
4. Simplifique la expresión 
sen (a + 0) -sen acosO 
eos (a + 0) + sen a sen 0
A) cot0 B) tana 
D) tanatan©
5. Reduzca la expresión P. 
sen (a + b) eos (a + b)
P =
seca esca
F =
C) 6 
E) 9
C) cosx 
E) senx
C) tanO 
E) cota
A) sen (a-b) B) seno C) cos a 
D) cos b E) sen b
Determine el valor de F. 
tan77°-tan32°
ta n 77° ta n 3 2o + ta n 45°
A) -1
D) 1
B) tan32° C) ^
E) tan77c
7. A partir del gráfico, determine tanfi.
»!
Dl
»! a ¡
»!
8. Si a y 0 son ángulos agudos tal que 
1 nsena = — -¡= y cos0 = J —,
2V2 v i l
determine sen(a+0). 
A)
D)
3n/Í54 B) ^ 
22 C)44
V77
E)11
V Ï54
22
V22
7
9. Simplifique la siguiente expresión: 
cos(2o + ¿>)+sen(o + ¿))seno
eos {a + b) seno
A) taño B) seno C) 1 
D) coto E) coso
10. Reduzca la expresión 
tan (4 0 °+ a )+ tan (2 0 °-a )
1 - tan (40° +a) tan(20° - a )
A) tana B) tan20° C)
D) V 3 tan a
F
3
E) S
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
11. A partir del gráfico, determine el valor de 
tan0 si AB - X B C - 2 y C D - 3.
A) Í 
9
D ) 7-9
• i
D
C)
E)
12. Indique el equivalente de la expresión
sen(g + o )se n (g -9 ) + sen2 6 
cos(g + 0 )c o s (g -0 ) + sen2 0
A) sec2g B) tan2g C) cot2g 
D) cos20 E) tan20
13. Halle el valor de la expresión 
sen2 4 0 °-se n 2 3o
eos2 4 2 °-se n 2 5o 
A) 1 
D) 2
B) i 2 C) 4
E) ±3
14. Determine el valor de N. 
tan2 19°-tan2 11°
N =
1-tan2 19°-tan2 11°
A B) — 21 C) 7\¡3 A) i 2 B) á 2 C) 1
D) S 'J i E) 3 ^ D) S E) 2
15. Determine el valor de M. 
sen50°M = - - ta n 5 °
cos45°cos5°
A) 1 B) tan5°
D) 2
C) - 2
E) tan50°
16. En el gráfico, AB=1; BC-2 y CD=3. Halle el 
valor de tang.
/ y
A) -5 
D) - 6
B) - 7 C) - 8 
E) - 4
17. Simplifique la expresión 
(1+tanO)tan(45°+O)+tan0.
A) tan0 
D) 1
B) cotO C) -1 
E) 1+tan9
18. Halle el valor de
cos25°cos35°(tan25°+tan35).
A) j B) 1
D) —2
19. Determine el valor de P.
sen 30° sen 20° +eos 10°
C) - 3
E) A
p=-
eos 20°
9
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
20. Reduzca la expresión 
5cos(x+ 37°)+ 3senx B) 2
cosx
A) 4 B) 3 C) 5
D) 2 E) 1
■E) 1
21. Obtenga la expresión equivalente de M.
M=cos(0+45°)+sen(0-45°)
A) -1 B) 1 C) -2
D) 2 E) 0
22. Calcule el valor de tanxtany si se verifica que
cos(x-y)=3senxseny.
A) 1
D) — 
3
B) 2 C ) 1 
✓ 2
E) 3
23. Determine el equivalente de la expresión
cos(0+45°) 
eos0 eos45°
+tan0.
A) 1 B) sen0 C) -1
D) cos0 E) tan0
24. A partir del gráfico, halle el valor de tana si 
AB-2 y CD=3.
25. Halle el valor de P. 
p _ eos40° sen40° 
sec20° esc 20°
26. Simplifique la expresión
sen24 0 °-se n 210°
cos40°
A) 1 C)
E)
2
2
4
5
27. Indique el equivalente de la expresión
cos(a+|3) 2 n---------—+sen (̂3.
sec(a-p )
A) cos2a B) sen2a C) tan2a 
D) cot2a E) cos2(3
28. Del gráfico, halle tana.
32i
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
29. Determine el valor de
sen 20° + eos 20° 
sen50°cos150 + cos50°sen150 '
A) 2 B) V2 C) tan20°
D) 1 E) tan40°
30. Calcule el valor de
3sen12°+4cos12°
sen65°
34. Determine el máximo valor de K.
K - 4(1 + se n x) + 3 (1 - cosx)
A) 8 B) 7 C) 6
D) 12 E) 9
35. Si 0 es un ángulo agudo que verifica la 
igualdad tan0=1+tan5°+tan5Ootan5°, halle 
el valor de 0.
A) 55° B) 35° C) 50°
D) 45° E) 40°
A) 5 B) 4 C) 3
D) 1 E) 2
31. Halle el equivalente de la expresión
V3 eos 20° + sen 20° 
tan 80°
A) 2cos10° B) sen20° C) 2sen10°
D) cos20° E) tan10°
32. Reduzca la expresión
co s(x+ y)+ 2sen xsen y
2 c o s (x -y )
1
A) tanx B) coty C) - c o tx
1 r . 1D) - t a n * E) -
33. Simplifique la expresión
co t(y -x )ta n x+ 1
c o t (y - x ) - ta n x
36. Si se cumple
A=cos70° + cos10° y fí=sen70° + sen10°/ 
halleel valor de Az + Bz.
A) 2 B) 3 C) 4
E) i2
37. Si se cumple que
3cot0-1 = 0 y 2cota-1 = 0, 
halle el valor de tan(c/. + 0).
A) 3 B) - 2 C) 1
D) -1 E) 2
38. Dadas las condiciones 
tan(0 + a)=5 y tan (6-a)= 4 , 
indique el valor de cot2a.
A) 19 B) 21 C) 23
D) 20 E) 17
39. Determine el máximo valor que adopta la 
expresión
f(x)=3 (1 + senx) - 4cosx.
A) tany B) tanx C) -tan y 
D) -tan x E) cotx
A) 5 B) 7
D) 9
C) 8 
E) 6
40. Calcule el valor de
sen40° cos40°
vsec10° csc10° )
A) 4 ì B) 0 C) 1
D) 241 E) 2
41. Halle el equivalente de la siguiente expre­
sión:
sen f n ) 2 | 71 i-sen a - —V 8 J co
V 2sen 2a
A) i 2 B) 1 ('C) ?
A) — 
2
B) 1 C)
D) 42 \ « X . / • ' ’ /
D) 2 E)
42. Simplifique la siguiente expresión: 
cotoctan0-1
co ta+ tan 0
A) cot(oc-0)
B) tan(oc+0)
C) tana
D) tan (a -0 )
E) tan (0 -a )
43. Determine el valor de 
tanatan(3 si se cumple 
cos(a+(3)=6cos(a-(3).
« 4
D) - 5
B) - 6
Q
» 4
44. A partir del gráfico mostrado determine el 
valor de tan(3.
A) -5 
D) - 2
B) - 4 C) - 3 
E) - 6
45. Determine el valor de S.
tana + tanb ta n b -ta n a
tan(o + b) ta n (o -b )
3
2
46. Halle el valor de tan (a-22°) 
si se cumple tan(23°+a)=4.
» 1
5 ° 5
"I
47. A partir del gráfico, determine el valor de 
tan0.
D ) í E)
Capítulo 7 Identidades trigonométricas de un ángulo compuesto
48. Si se cumple a+(3=30°, 
determine el valor de 
(sena+cos(3)2 + (sen(3+cosa)2.
A) 4 B) 3 C) - 
2
D) 2 E ) Í
2
49. Reduzca la siguiente expresión: 
sen ( a -(3)+ 2 sen (3 eos a 
eos ( a - (3 )-2 sen (3 sen a
A) tan(oc+j3)
B) cot(a+(3)
C) tan ( a - (3)
D) cot(a-p )
E) tan(p-a)
50. Determine el valor de 
2 sen 4 0 °-tan 60° sen 10° 
cos60°cos10°
A) 75 B) 2^3 C) 1
D) 2
■ u
51. Reduzca la expresión 
tan a - tan 0 - tan (a - 0)
tan0 t a n ( « - 0)
A) cota B) coto C) tanO
D) tan(a+0) E) tana
52. Obtenga el valor de la expresión
V3 eos 5o-sen 5o
sen10° + cos10° '
A) V3 B) 2 C) V 2
D) 2 V I E) 1
53. Del gráfico, calcule cot0 
si 4,M=1 y CB=MB=Z.
A) 4 B) 5 C ) 2
° ) | E) 3
Claves
1 7 : 13 ' 19 25 31 37 43 : 49
2 - - 8 14 20 26 32 38 44 O ln
3 9 15 21 27 33 39 45 51
4 10 I 16 22 28 34 40 46 • 52
5 11 i 17 23 29 35 : 41 47 53
6 12 ' 18 24 30 36 : 42 48
\v* 5 r ¡T
cap'TV.V?
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
• -
Cuando se analizan los diversos fenómenos, en los cuales se 
observan ángulos generados en sentido horario o antihorario, 
es necesario determinar las razones trigonométricas de 
dichos ángulos.
En el tercer capítulo se analizaron las razones trigonométri­
cas de un ángulo agudo; sin embargo, los ángulos presentan 
diversas medidas, y pueden ser positivos o negativos depen­
diendo del sentido de giro. Por ello, existe la necesidad de 
relacionar lo aprendido hasta el momento con las razones 
trigonométricas de los ángulos no agudos tanto positivos 
como negativos.
En la actualidad, un proceso constante es el uso de brazos 
robóticos para agilizar muchos procesos productivos. 
El estudio del movimiento de dichos brazos que está confor­
mado por muchas articulaciones resulta ser un sinnúmero 
de expresiones algebraicas y trigonométricas que contienen 
valores numéricos y angulares. Estos ángulos generados 
en el movimiento de las articulaciones cambian de manera 
constante de sentido y de valor.
A p r e n d iz a j e s e s p e r a d o s
• Relacionar las razones trigonométricas de un ángulo mayor 
que 90° con las razones trigonométricas de un ángulo 
agudo.
• Identificar las razones trigonométricas de un ángulo de la 
■ forma - x respecto al ángulo x.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Para poder analizar fenómenos cuya explicación está refe­
rida a valores angulares de cualquier medida en sentido 
horario o antihorario.
ü
COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
identidades trigonométricas de reducción 
al primer cuadrante
trigonométrica
seno 
tangente 
secante 
coseno
coseno
cotangente
cosecante
seno
\
Im portante
Signos de las RT en cada uno 
de los cuadrantes
V'A
. !K;• ; :.o:ic 
■ "co>écárn{e 
. + ’
- i l * C .
rjjtptíytAit-ti
, '.A
y
" i ll- ¡ !
'teclas las 
RT
■ . :¡-
>
coseno
secante
4-
1. NOCIONES PREVIAS
Un ángulo puede estar ubicado en cualquiera de los cuatro 
cuadrantes del plano cartesiano. Dependiendo de su posición, 
los valores de sus correspondientes razones trigonométricas 
serán positivos o negativos.
Las razones trigonométricas de cualquier ángulo van a estar 
en función de otra razón trigonométrica (RT o Co-RT) de un 
ángulo que sí pertenece al IC.
Ejemplos
Reduzcamos las siguientes razones al primer cuadrante:
1. sen120o=sen(180°-60°)
Por ángulos compuestos
sen120°=sen1800cos600-cos1800sen60°
sen120°=(0)cos60°-(-1)sen60°
sen120°=sen60°
sen120°=+sen60°
Se observa que la razón de un ángulo del segundo cua­
drante (120°) está expresada en función de otra razón cuyo 
ángulo (60°) pertenece al primer cuadrante.
El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (120°) perte­
nece al segundo cuadrante, en el cual el seno es positivo.
2. sen225°=sen(180o+45°)
Por ángulos compuestos 
sen225°=sen1800cos450+cos1800sen45° 
sen225°=(0)cos45°+(-1)sen45° 
sen225°=-sen45°
Se observa que la razón de un ángulo del tercer cuadrante 
(225°) está expresada en fundón de otra razón cuyo ángu­
lo (45°) pertenece al primer cuadrante.
El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (225°) perte­
nece al tercer cuadrante, en el cual el seno es negativo.
rvj
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
. REGLAS PARA. REDUCIR AL PRIMER CUADRANTE
2.1. Razones, trigonométricas para ángulos positivos 
menores que una vuelta
En este caso, el ángulo a reducir se descompone como la suma 
o la diferencia de un ángulo cuadrantal (90°; 180°; 270° y 360°) 
con un ángulo que sea agudo.
Forma general de los ángulos en los cuadrantes
RT(90° + c # (Sig noTCc-RTía;,
RT (18 0° %(|) - ( s i g no)RT (a)
RT(2?0° ± a) - (sígno)Co-RT (a)
s— : >
RT(3 60° - a) “ (signo) R T(a)
v__________________________________________!___ /
donde
- (±): debe anteponerse al resultado. Dependerá del cua­
drante al cual pertenece el ángulo y la razón trigonomé­
trica a reducir.
f ~
Importante
* Si a+0=18O°, 
se cumple que
sen«=sen0
C. COS«=-COSM |
Ejemplos
sen150°=sen30°
sen120°=sen60°
cos120°=-cos60°
cos135°=-cos45°
• Si a+0=3'6O°, se cumple que
Ejemplos
cos300°=cos60°
cos330°=cos30°
sen315°=-sén45°
sen323°=-sen37°
- RT: razón trigonométrica
- Co-RT: co-razón trigonométrica
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Ejemplos
Reduzcamos las siguientes razones al primer cuadrante:
Cuando usamos los ángulos cua- 
drantales de 180° y 360° las RT 
no cambian.
180r 360° — •-—> 
X
¡Cuidado!
Cuando usamos los ángulos cua- 
drantales de 90° y 270° las RT 
cambian por su co-razón.
• sen1500=sen(900+600)=+cos(60°)
— *
sen150°=-
2
Otra forma
sen150°=sen(180o-30o)=+sen30°► v-----v-----J '
sen150°=-2
Observador? \
Si usamos los ángulos cuadrantales 90° o 180° en el 
ejemplo, el resultado es el mismo.
tan300°= tan(360°-60°)= -tan60°
i ve.
sec345° = sec(360° -15o) =+sec15o
!VC-
cos3000=cos(360°-600) =+cos60°
cos300°=-2
tan120°=tan(180° - 60°)=-tan60°
tan120°=-\/3
• sen240°=sen(270° - 30°)=-cos30°
v ' v '
sen240°=- A
2
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
2.2. Razones trigonométricas para ángulos
positivos mayores.que una vuelta
Si a un ángulo de una razón trigonométrica se 
le elimina un número entero de vueltas que 
contiene, entonces el valor de dicha razón 
trigonométrica no varía, es decir
r ------------------------
RT(36p°n+a).=RT(oO;neZ-
donde n indica el número entero de vueltas 
(360°) que contiene el ángulo a reducir.
Ejemplos
• sen390°=sen(360o + 30o)=sen30°
• tan780o=tan(360ox2 + 60o)=tan60°
• cos1100°=cos(3600x3 + 200)=cos20°
A plicac ió n 7
Calcule el valor de E.
 ̂_ sen150° + cos300° 
tan225°
R eso lu ció n
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
• sen 150°=sen(180° - 30°) = + sen 30°=-y v--- v---- ' 2
—̂ IIC
.• eos 300°=cos(360°- 60°) = + eos 60° = -V --- v---- ̂ 2— ivr
♦ •
• tan225°= tan(180° + 45°) = + tan45°=1
V '— -— '— me
Luego, reemplazamos en la expresión.
1 1--1--
E= 2 - 1 
1
E = '- 1
E=1
Aplicación 2
A partir del gráfico, halle tana.
i./ K
Resolución
Sea a la longitud del cateto.
Xpx 2' . * . j
Calculamos o usando el teorema de Pitágoras.
a2+122=132 
o2+144=169 
a2=25 -> o=5
Luego, se observa que
a=180°-p
Aplicamos tangente a ambos miembros. 
tana=tan(180°-p)
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Por reducción al primer cuadrante tenemos que 
tana=-tan(3 (*)
En el gráfico, se observa que 
12tanp = — 
o
* o 12tanP = y
Reemplazamos en,(*).
12tana =----
5
Aplicación 3
Reduzca la expresión T.
7’=sen(1800+x) + cos(90°-i-x) + 2sen(3600-x)
Resolución
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
• sen(180°+x) = -senx
^ — ¡IIC
cos(90°+x;) = -senx
■IIC
sen(360°-x) = -senx
Reemplazamos en T.
T- (- sen x) + (- sen x) + 2(- sen x) 
r=-senx-senx-2senx
Reso lució n
Por reducción al primer cuadrante 
2(+cosa)=-sena
2cosa=-sena
cosa _ -1 
sena 2
1cot a = - - 2
A plicación 5
A partir del gráfico reduzca la siguiente expre­
sión:
M=2sen(2x+y) + cos(x+2y)
Resolución
Del gráfico, se observa que 
x+y=90°
Sabemos por reducción
• sen(2x+y)=sen(x+y+x)=sen(90°+x)=+cosx- __^
HC
• cos(x+2y)=cos(x+y+y)=cos(90°+y)=Cseny. _
Reemplazamos en M.
M=2(cosx) + (-seny)
M=2cosx-seny
f=-4senx
Aplicación 4
Si se cumple que 
2cos(360°-a)=cos(270°-a), 
halle el valor de cota.
Como x+y=90°
—> seny=cosx
Reemplazamos en M. 
M=2cosx-(cosx) 
M=cosx
Aplicación 6
Si sen260°=a, 
calcule el valor de E
£=sen100°cos190°
Resolución
Del dato
sen(270°-10 °)=o~ ' V '
-cos10°=a
cos10 °=-a (I)
Hallamos el valor de E. 
E=sen(90°+10°)cos(180°
NC
E=(cos10°)(-cos10°) 
£=-cos210° (II)
Reemplazamos (I) en (II). 
E=-(-a)2 
E=-a2
Aplicación 7
Si se cumple que
sen(270° +6) + cos(t80° -0) _ 
-csc(9O°+0)
calcule sen20.
Resolución
Sabemos por reducción que 
sen(270°+0)=-cos0
IVC~
t
cos(18O°-0)=-cos0
csc(9O°+0)=sec0
IIC
Reemplazamos en la condición, y obtenemos
— eos 0 — eos 0 
-sec8
2cos0 sec0
= n —>
= n
-2cos0
-secO
= n
Por identidad recíproca 
2cos0cos0=n
cos20 = —2
Sabemos que 
sen20=1-cos20
2 a a nsen 0 = 1- —
¡ ■ 2 a 2 r?■ sen 0 =-----
A plicación 8
Reduzca la expresión E. 
£=sen(207r+x)-sen(797t-x)
Reso lució n
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
p 3 ¡
• sen(20jt+x)=senx
inipdi
• sen(79ji-x)=senx
Reemplazamos en E.
£=senx-senx
E=0
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23. Razones trigonométricas para ángulos 
negativos
Se tiene el ángulo x en sentido antihorario (-x) 
en sentido horario.
(a; b)
la ;~b)
Por ángulo en posición normal 
bsen* = - 
c
sen(-x) = — c
sen(-x) = - - c
Reemplazamos (I) en (II). 
sen(-x)=-senx 
sen(-x)=-senx
Ejemplos
• sen(-30°)=-sen30°
• senf-120°)=-sen120° 
sen(-120°)=-sen(90°+30°)V y '
^ —-lie
sen(-120°)=-cos30°
• sen(x-90°)=sen(-(90°-x))=-sen(90°-x)
• sen(x-y)=-sen(y-x)
Análogamente se cumple lo siguiente:
COS(-X) = COSX 
tan(-x) tan x 
cot(-x)=- cotx 
sec(-x)~sec x 
csc(-x)=-cscx
Ejemplos
• cos(-300°)=cos300°
cos(x-180°)=cos(180°-x) 
cos(x-y)=cos(y-x) 
tan(x-270°)=-tan(270°-x) 
cot(-150°)=-cot150° 
sec(-750°)=sec750° 
csc(0-9O°)=-csc(9O°-0)
Aplicación 9 
Si se cumple que
42sen(x-180°) = 
halle eos x.
3 '
Resolución
Damos forma al dato.
f?sen(-(180°-x)) = - y 
Por identidades de ángulos negativos
V2-sen(180°-x ) = ^3
tic •
-senx = 42
3
4isenx = -- 3
Sabemos que 
cos2x= í-sen2x
( /r\2
eos x = 1- 42
3
? 2 eos x = 1 - -
2 7eos X — —9
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
A p l ic a c ió n 10
Simplifique la siguiente expresión:
F = sen (9 -2 70°) cos(- 90° - 0) 
sec(36O° + 0) csc(72O° + 0)
R e s o lu c ió n
Sabemos por reducción
• sen(0-27O°)=sen(^(27Oo-0))=-sen(27Oo-0)
sen(0- 270°)=- (- cos0)
sen(0-27O°) = cos0 
• sec(36O°+0)=sec9
• cos(-9O°-0)=cos(-(9O° + 0))=cos(9O°+0) 
cos(-90°-9) = -sen0
• csc(36O°x2 + 0)=csc0
Reemplazamos en E. 
cos0 -sen8 
~~ sec0 csc0
—̂ E — eos 0
A (
sec9.
+ sen0 1\cscQJ
Por identidades recíprocas 
E=cos0(cos0) + sen0(sen0) 
£=cos20 + sen20
Reemplazamos en A.
A -se n x + cosxA =----- ;----------sen x-co sx
-(sen x-co sx )
sen x-co sx
A=-1
A p l ic a c ió n 12
Halle el equivalente de la expresión M. 
M=tan(x-180°)tan(x-90°)tan(x-270°)
R e s o l u c ió n
Damos forma a jos ángulos a reducir.
» tan(x-180°) = tan(-(180°-x))
=-tan(180°-x)
=-(-tanx)
=tanx
. tan(x —90°) = tan(—(90o—x)) 
=-tan(90°-x)
=-(cotx)
=-cotx
. tan(x-270°) = tan(-(270°-x))
£=1
A p lica ció n 77
Simplifique la siguiente expresión: 
qpn(-x) + co s(-x)
A ~ sen x -e o s x
r eso lu c ió n
Por ángulos negativos
. sen(-x)=-senx 
. cos(-x)=cosx
=-tan(270°-x)
=-(+cotx)
=-cotx
Reemplazamos en M.
M=(tanx)(-cotx)(-cotx)
M = (tanxcotx)(cotx)
M=cotx
A p l ic a c ió n 13
Calcule el valor de P.
P=sen2(90o+x) + sén2(180°+x)
Reemplazamos en (*). 
senx-(-senx)=1 
senx+senx=1
R e s o l u c ió n
Por reducción al primer cuadrante
sen(90°+x)= + eos*
• sen(180°+x) = -sen x
i tic
Reemplazamos en P.
P=(cosx)2+(-senx)2 
P=cos2x+sen2x 
/. P=1
Aplicación 14
Se cumple que
sen {n -x) - sen (te+x)=1.
Calcule el valor de x sabiendo que x e<0; 90°).
R E SO LU C IO N
Del dato
sen(7i-x)-sen(7t+x)=1 
• sen(7i-x)=+senx
VjTiíc^
. sen(7t+x)=-senx
(*)
2senx=1
senx = - 
2
x=30°
Aplicación 15
Simplifique la expresión E.
tan(-x) [ cos(37i + x) 
cos(-x)cot 3̂ n ^
V 2 - x
R e s o l u c i ó n
Por reducción al primer cuadrante 
8 tan(-x)=-tanx
cot ■—X
J =+tanA'
me
impar
• cos(37r+x)=-cosx
^ — me
• cos(-x)=cosx 
Reemplazamos en E.
r -tanx -cosxE =-------+--------tanx cosx
P=(-1) + (-1)
E=-2
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
A p l i c a c i ó n 76
Halle el valor de P=sen750°+cos1140°. 
R e s o l u c i ó n
Por reducción al primer cuadrante
• sen75O°=sen(^j60®x2 +30°)
=sen30° = i 
2
• eos 1140°= eos (3j6e®x3 + 60°)
=cos60°=-
2
Reemplazamos en P.
p = ! +!2 2
P=1
A plic a c ió n 17
Si
x=cos2015° a y=sen2015°,
yhalle el valor de —.x
R e s o l u c i ó n
Reemplazamos
y _ sen2015° 
x eos 2015°
— = tan2015° x
2015° | 360°
1800° 5
215°
2015°=360ox5 + 215° 
Reemplazamos (II) en (I).
— = tan(360°x5 + 215°) x
— = tan(215°) x
— = tan(180°+35°)
— = tan35°
(I)
(II)
Si se cumple que
sen (sn 7t+e)+cos(n(n + 1)rc+0) = x; n eZ, 
calcule el valor de senGcosG en términos de x.
Problem s N/ 1
Calcule el valor de la expresión
M _ sen140° cos 220°
M.
sen 40° cos 40°
A) -2 
D) 1
B) -1 C) 0 
E) 2
Resolución
Aplicamos reducción al primer cuadrante. 
• sen140o=sen(180°-40°) = + sen40°
lie
• cos220°= cos(180° + 40°) = -cos40°
V MIC
Reemplazamos en M.
sen40° -eo s40°M = --------- +—---------sen 40° eos 40°
M=1 + (-1) 
M =0
Clave
Problema N.° 2
R ed u zca la sig u ien te exp resió n : 
p = cos40° + cos80° + cosí 00°+eos140c
A) -1 
D) cos40°
B) 0 C) 1
E) cos80°
Resolución
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
• eos 100°= cos(180° - 80°) = - eos 80°
• V. ------------- V-------------^—— lie
• cos1400=cos(1800-4 0 0) = -cos40°
v v____________ ,~ V
Reemplazamos en P.
P = £©5-40° + £05-80° + (j^eos'80° )̂ + (;^ees40°J
5=0
Clave i
Problema N/ 3
Si 4 + 5=90°, calcule la expresión E. 
sen(24 + B) + 2 cos(34 + 25)E =
A) 1
D) - 1 2
eos 4
B) 3 Q -1 
E) -3
Resolución
Damos forma a los ángulos.
sen(4 + 5 + 4) + 2cos(24 + 25 + 4)E = eos 4
Reemplazamos 4 + 5=90° en E.
sen(90o+4) + 2cos(180°+4)
eos 4
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
• sen(90^jhA) =+cos/4
^ HC
cos(180° +A) = - cos/4
Reemplazamos en E.
e _ c o s A + 2 ( - c o s A )
eos A
-» E = -eos A 
COSA
E= -1
5 Clave \
Problema N.“ 4
7 3 
A) - f B) -
T J
C) i3
5
D ) - 3 E) -
[ Resolución
Del dato
tanx=5sen127°
tanx=5sen(90^+37^)
Aplicamos reducción al primer cuadrante. 
tanx=5cos37°
i)tanx=5
tanx=4
Si tanx=5sen127°, calcule el valor de M. 
M=tan(x+45°)Nos piden
M=tan(x+45°)
Luego, por ángulos compuestos 
tan x +tan 45°M =
M =
1-tanxtan45° 
tanx + 1
1-tanx
Reemplazamos tanx=4 en M.
. . 4+1 . . 5M =---- -» M = —1-4 -3
.\ M =>--
Clave
Problema N7 5
A partir del gráfico, calcule tan0.
A) -2
D ) - ì2 E) -
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Colocamos los valores.
Del gráfico 
0=9O° + (3
Aplicamos tangente a ambos miembros. 
tan6=tan(90° + |3)
Por reducción al primer cuadrante 
tan0=-cot(3 (*)
3
COtP = f
Reemplazamos en ( )•
3
tan0 = " 2
; C la ve .,
Problema S
Del gráfico, calcule cos0.
Resolución
Por el teorema de Pitágoras calculamos el 
valor del cateto que es igual a 15.
Del gráfico
0 + P=18O° 0=18O°-p
eos 0 = eos (180°-(3)
lie
COS0=-COSP (*)
Del gráfico
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Reemplazamos en (*)
cos0 = - — 
17
COSÔ = - —
17
i Clave \
Problema N.° 7
"Calcule el valor de la expresión R.
D 22n 50tt R = sen------ sen-----
. . TíA) sen —7
D) 1
B) -sen —7 C) 0 
E) -1
Resolución
Reducimos los ángulos al primer cuadrante.
2 2 ttsen—— = sen
2271sen—̂ - = sen
21tü + ti
l 7 ;
impar
o 713ti + —
íliC
22 ti c nse n -y- = -se n y
5071 í 497C + 71 
sen—y- = senl 7 J
impar
s e ñ a s e n n7n + —
me
sen-50ti
n= -se n y
Reemplazamos en R.
d -71R = - sen — 
7
f
sen-n
n n n R = -sen —+sen— 
7 7
\ /?=0
: C/ove
Problema N.‘ 8
Simplifique la siguiente expresión:
M =
s e n \ ^ + x |tan(7E-^)sec(27ü-x)
cot f 3n 'I— + *l 2 J
-1 B) 1 C) senx
D) cosx E) tanx
Resolución
Aplicamos reducción al primer cuadrante.
sen
\n
- + xU )
• lie
= +cosx
tan(7E-x)=-tanx
sec(27i-x)=+secx
iVC.
cot — + x | = -tanx V 2
- IVC
COLECCIÓN ESENCIAL
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Reemplazamos en M.
M (co sx )(> ^ fíx )(se cx )
—> M =cosxsecx 
M=1.
: Clave
Problem a N.° 9
Sean A, B y C ángulos interiores de un triángulo. 
Reduzca la expresión P.
P = sec(A + 2ß + C)
CSC ^ (A + C + 3ß)
A) 1 
D) cscß
B) -1 C) secB 
E) senß
Resolución
Dato:
A+B+C=180°
sec(A + ß + C + ß)
P =
CSC — (/4 + ß + C + 2ß) 2
(*)
R e e m p laza m o s en (*).
A + B + C=180°
sec(180°+ß)
P =
CSC
1
p =
2
- s ecB
(180°+2ß)
esc [90°+ß]
En consecuencia
p _ -secß 
+secß
P=-1
Clave
Problema N/ 10
Si se cumple que
( 7 Tí tan -----a | + tan(1577T + a) = 5 ,V 2
calcule el valor-de senacosa. 
1A)
D)
10
1 E) 1
Resolución 
Tenemos que
tan 7nl 2 a + tan(1577i + a) = 5 (*)
Del dato
tan 7nC2 — a
.071 + 71= t a n ---------a
f 7n ( Tí 1tan = tan 3tc + — al 2 y V 2 )
( 7n \ f n ^tan ---- a = tan 3ti + --OLv 2 J V 12 ) )me
tan '7 Tí f n Ì---- a = + tan - - ay 2 > \2 )
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
impar
tan(1577i + a) = tana
use
Reemplazamos en (*). 
cotoc+tanoc=5
Luego, por identidades auxiliares 
secoccsca=5
1senoccosa = - 
5
: C l a v e .
Problema N.° 11
Del gráfico, halle cota si
1 , 0 1 tan6 = - y tan(3 = - .
A) -1 B) - 2
C) — 3
D) - - E) -2
Resolución
Colocamos los ángulos en un mismo sentido 
(antihorario).
Del gráfico
f3+(-a) + e=90°
|3+0=9Oo+a
9O°+a=|3+0
Aplicamos tangente a ambos miembros.
tan(90°+a) = tan((3 + 0)
N-—,j!C .
-co ta = tan (3 +tan 01-tan(3tan0 
Reemplazamos en (*).
(*)
1 1tan0 = - , tanÍ3 = —2 3
1 1
- cot a = ———
3 2
-co ta = —
-cota=1 
■. cota=-1
Claveve
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Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Problema N.‘ 13________________________
Reduzca la expresión E.
r sen5(707t-a) + sen3(397i-a) 2, An \E = ----- --------- 4------- --------- - +sen (4071+a)
sem(Tt-a)
j Problem a N,° 14 
: Calcule el valor de N.
sen323°+cos307°; N =
eos240°
A) -1
D) i 
2
B) 0
Resolución
Aplicamos reducción al IC.
par
• sen(707t-a)=-sena
^— ive
C) 1 
E) 2
A) 2 
D) -1
Resolución
Operamos.
B) -2
¡ve
C) 1 
E) 0
IVL
N = sen(360o-37°) + cos(360o-53°) cos(180° + 60°)
impar
sen(397t-a)=sena
^— ¡ic.
sen(7i-a)=sena
par
sen(407t+a)=sen a
V -!C
N (-sen37°) + (+cos53°) (-eos 60°)
: -> N =
N = ■
f m
_ v s j +
S
2
o
£
2
Reemplazamos en E.
_ (-sena)5 + (sen a)3 .E = ------- -— ~r----— + (sen a f
(señar
N=0
Clave
■— y
-sen5 a + sen3 a o E =--------- -------- + sen a
sem a
E = - >en2c¿ +1 + sen2 a
; Problema N.* 15
i Calcule el valor de A.
2sen210°-5sen143°4 = - -2 tan 45°
1
C/ove
A) 2
D) -3
B) -2 C) 3
E) 5
3
COLECCIÓN ESENCIAL
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Resolución
Damos forma a los ángulos y aplicamos reduc­
ción al IC.
/\ - 2sen (180° +30°) - 5 sen (i 80° -37°) 
-2 tan 45°
A _ 2 (-sen30°)-5(+ sen37°)
- 2(1)
-> A = -
í ó f— — — b + -V 2 J l 5 J
-2
A = -1 -3
- 2
-2
A-Z
: C la v e-
Problema U.° 16
Reduzca la siguiente expresión:
7=sen(180°+x) + cos(90°+x)+senx+cos(270°+x)
A) -1 B) 0
D) senx
Resolución
Desarrollamos.
me
C) 1 
E) eos*
nc
f=sen(Í8Ó°Tx) + cos(90°+x) + senx+
ivc
+ cos(270°+x)
T = ^ serix í + t^sefíx) + .seri* + <¿sefíx)
r= 0 i C la ve ■
Problema N/ 17
Calcule el valor aproximado de la expresión M. 
M= 5 • sen127°-sec2240°+2tan3315°
A) -2 
D) -6
B) 2 C) 6 
E) 0
Resolución
Damos forma a los ángulos y aplicamos reduc­
ción al IC.
ik..
sen127o=sen(180°-53o) = + sen53°=-^
me
sec240o=sec(180o+60o)=-sec60°=-2
■ ive
tan315°=tan(360°-45°) =-tan45°=-1
Reemplazamos en la expresión M.
M = 5-. f 4- |- (-2 )¿ + 2 -H )3
-> M=4-4+2(-1) 
M=-2
; C la ve \
Problema N.* IB
Determine el valor de R.
3̂titan(7i + x)-cos
/? = ■
— - x |sec(27i-x)
cot
A) -1
D) 1
(3n ) f ti— + xj-sen(27i-x)csc|^— + x
B) -2 C) -3
E) 2
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Résolution
Aplicamos reducción al IC.
Resolución
Operamos
tan(7t+x)=+tanx.
( 3tccosí y - x = -senx
• sec(27i-x)=+secx'
f 371 ^cot — + x
V 2 = -tanx
• sen(27i-x)=-senx
71esc —+ x = +secx
Reemplazamos en R.
R =
x
^tarEx) fosera) j^ e c x )
R= -1
: Clave
Problema N.° 19
Calcule el valor de E.
5n 2ti 7n sen — - t a n y c s c ^
E ~ EEt 5tc 1 1tccos c o t i s é e —
A) - 3V2
D) 5>/2
B) V2 O 2V2
E) 7V2
5tC f TE ̂sen— = sen
4 7Ü + —4
Tí-sen—^
4
V2
2
2te9 tan — = tan3 n - — ] = —tan— = l 3 ; 3
7nesc — = csc 6
5neos — = cos 3
 ̂ 71N7T + —64
Tí— —esc— = —2 6
L 71Ì 271---
l 3 J
Tí 1 = +cos — = — 3 2
. 571cot-— = cot 4
Tí x 7Í .TÍ + — = +COt— = 1 A ) 4
117T f 7T | Tí 29 sec — = sec 271— =+sec — ~—¡= 6 l 6 6 73
Reemplazamos en E.
E =
v V i ;
£ = -372
Clave
Problema N.° 20
Calcule el valor de la siguiente expresión:
_ 2sec120°-1 rrR =------------ + V3 -tan240°4tan315°-1
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) -1
_
5
Resolución
Desarrollamos con el dato.
i— - lie
me
D_ 2 -sec(180° - 6 0 °)-1 r H
ivr
D 2-(-sec60°)-1 r
/? = ^ T - ta n 4 5 ° )-1 + ̂ (+tan6° ° )
/? =
/ ? = - í— !-'+3 - 4 - 1
/?=1 + 3
R=4
roblema N. 21
Clave •
A y B son ángulos suplementarios, calcule 
:cos2A + sen2fí.
B) 12
2
0
¡solución
ato:
A + B=180°
► ¿=180°-5
^emplazamos en E.
£=cos2(180°-e)+sen2B
___ _ ii<:
> ,,(c ¿ s (1 8 Ó ^ ))2^ n 2e
C)
E)
En consecuencia 
£=(-cos£)2+sen2S 
E=cos2B + sen2B 
E=1
¡ Clave
Problema N.° 22
Calcule el valor de M.
M = sen1071°+sen693° eos 801° +eos 1377°
A) 0 
D) 1
, A
B) 2 C) -2 
E) -1
Resolución
Aplicamos reducción al IC.
sen(,860°x3 -9°) + sen(360°x2 -27°)E =
cos(36G°x2 + 81°) + cos(360°x4 -63°)
E =
E =
sen(-9°)+ sen(-27°)
cos81° + cos(-63°)
—/
-sen9°-sen27° 
sen9° + cos63°
E = (sen9°-fseñ27°)(sen9°+sen27°)
£=-1
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL
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R esoludón | . csc(180°+x)=-cscx
Tenemos lo siguiente: i V _ ¡ j j r "
• cos(y-x )=cos(-(x-y ))=cos(x-y ) i
• sen (y-x )=sen (-(x-y))=-sen (x-y)
Reemplazamos en la condición.
2 c o s (x -y ) + co s (x -y ) 
sen(x - y ) - (-sen(x - y ))
3 co s (x - y )„ 
2 se n (x -y )
c o s (x - y ) 10 
s e n (x -y ) 3
c o t (x - y ) = —
i Clave
Problema N.° 26
Simplifique la siguiente expresión:
p _ cos(90°+x)csc2(180°+x) 
sec3(270°-x)
C) cos2x 
E) sec2x
A) -sen2x B) sen2x 
D) -cos2x
Resolución
Desarropamos.
• cos(90°+x)=-senx
sec(270°-x)=- cscx
Reemplazamosen P.
p _ (-senx)(-cscx)2 
(-cscx )3
p _ (/senx) (esc2 x) 
/ esc3x
p _ (senx)_(csc^xí 
(cscx)^cst/xí
n _ senx
~~ T~
senx 
P=sen2x
i Clave \
Problema N.° 27___________
Calcule el equivalente de N.
571seq
N =
secl — + 0 2
sec (471-0) cos(77i + 0)
A) -tan0
D) sec0
B) tan0 C) -cot0 
E) cot0
Capítulo 8
Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Resolución
Aplicamos reducción al 1C.
see 571 'i—-+0V 2 J = sec —+ 0
see 571 ó(f+e
271 +
V \2
= + sec
see f 571— + 0V 2 y
■1C '
fu Ì 
- + 0
v2_ J
-IIC
=-csc0
sec(47T-0)=sec(47i-0)
V — ive
sec(47i-0) =+sec0 
cos(77i+0)=cos(6tt+(ti+0))
cos(7tc+0)=cos(7t+0)
^— me
COS(77l + 0)=-COS0
R e e m p lazam o s en N.
( / CSC 0)
N =
N =
(s e c 0 )2 - ( / c o s 0 ) 
CSC 0
(s e c 0 )-(s e c 0 )(c o s 0)
Pasam os a senos y cosen os . 
1
N = senO
COSÖ
En consecuencia
COS0
sen0
/. A/=cot0
Clove
Problema N.1 28____________
A partir del gráfico, calcule — .
oc
A) 1 
D) -y/3
B) -1 C) 73
E) "2
Resolución
Por ángulo en posición normal
tan150°= — o
tan(90°+60°) = —V'---- ------' o
-cot60°=-a
b _ ___ 1_
a 73 (O
_
9
tan120° = -
c
tan(90°+30°) = -
-c o t3 0 o= -
c
Multiplicamos (I) y (||).
bd
ac v . V3>
Luego
-co sx + (-senx)
-co sx-se n x (I)
f(2n - x r se,f]{2 K - x ) + c o s {2 n - x )
do ■... j
j f(2n-xr~Sen'Y+(+COSX)
: f(2n~x)~ senx-t-cos ̂ (II)
j Reemplazamos (I) y (II) en E.
| b = ~^o^x-senx + (-senx+ co^x)
i £=-2sönx
I Clave
Problema N.* 29
Si f^=senx+cosx, calcule +f<[ 2 n - x Y
A) 2senx 
D) -2cosx
B) -2senx C) 2cosx 
E) 0
Resolución
Por dato
f =senx+cosx
—> 3n -x
I— - me --- - NIC
I (371 ) '( 3n )sen + COS — - Xl 2 ) Y ¿ J
Problema N.’ 30
S¡ A y B son ángulos complementarios, 
simplifique R.
R _ sen (A + 2B) • tan (2A + 3B) 
eos {2 A + B)- tan (4A + 3B)
A) senA B) sen# C) -senA
D) -sen# E) 1
Resolución
Dato:
A + #=90° (ángulos complementarios)
R _ sen(A + # + #)• tan (2(A + #) + #) 
cos(A + B + A) • tan (3(A + B) + A)
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
En consecuencia
me
R = sen(90o+fíj-tan(l80°+fl) 
eos (90° +À) • tan (270° +Á)
íic IVC
-» R =_ (+ eos fi)(+ tanfi) 
(-se iVO (-cotA )
Observación
Como A+B=90°
—> cosfí=senA a tanfí=coM
5̂̂><̂:<::><̂<><x><x>oo<>oooocK><x>o<>o<>o<x><x><x><x><c>o<>oo<xx>o<x>ír
Luego, reemplazamos
(sen/\)-(cot>A)
(senA)-(coM)
R=1 '
Problema N.° 31
Calcule el valor de M.
M=c os10° + cos30° + cos500 + ... + cos1700
A) 0 B) 17
D) - T
c) 71
2
E) i2
Resolución
Calculamos el valor de M.
M=cos10°+cos300+cos500+cos700+cos90°+
+ cos110° + cosí 30°+cosí 50° + cos170°
¿ No OLVIDE
| Si /\ + fí=180°
—̂ cos/A=-cosfî
Reemplazamos
M = cosió6 + £qs3Ü° + £0550° + ÇQSfÙ° +
■ o
+ eos 90°+ (^cqs7Ü°) + (^ces5Ü°) +
+ (- cps3 O0-} ‘L'f^cos T6°)
\ M=0
Clave
Problema N.° 32 ___________
Simplifique la siguiente expresión: 
sen(36O°+20)P = cos(720°- 0) + (eos 1080° + 0)
A) -eos©
D) -sen0
Resolución
Simplificamos
B) sen© C) cos0 
E) sen20
P = sen(360° +20)
P =
P =
cos(720° - 0) + cos(1080° + 0)
_______________ sen20_______________
c o s f jj^ ^ lí -0 ) + cos(36O°5C3 +0)
sen(0 + 0) 
cos(-0) + cos0
Por ángulo compuesto
sen0 • eos 0 +eos 0-sen0P =
P = -
cosO + cosO 
2sen0eos0
2 ctísO
P=senO
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Problema N.° 33 Problema N.‘ 34
Calcule el valor de la siguiente expresión: 2
Si tan(36O° + 0) = - (0 e NIC), calcule el valor de
M _ cos(450°+a ) + cos(630° - a) 
sen(900° - a ) - sen(1080° - a)
la siguiente expresión: 
E=sen(-0) + cos(-0)
A) 2 B) t C) -1 
D) 1 E) - 1
A) ^ B) - S 
’ 13 13 o - f
D) -1 E) - f
Reso lución
Aplicamos reducción al IC.
Resolución 
Nos piden
M=
cosi +9Q°+a)+cos(3j6Qex2-(9Q°-a)) 
(3j6eex2+18O°-a)-sen(3j60&x 3 -a )sen
cos(9Q°+a)+c6s(-(90°-a))
M= sen(180°-a )-se n (-a )~
nc
cos(90° +a) + cos(90° +a)
nc
M =
M = -
-sena + (-sena)
^senot
M= - 1
E=se n (- 0)+cos(- 0) 
E=~sen0 + cos0
Dato:
tan (3-60° + 0) = —
tan0 = —; 0 e IHC3
Sabemos que
En consecuencia 
2
• Clave
sen0 = -
cosO = -
Vl3
3
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
Reemplazamos en (*).
E = -
E = -
E = -
2 W 3 ̂+
Æ J l VÏ3 )
s ir i
Æ
13
i Clave •
Problema N.° 35
Calcule el valor de la expresión E. 
sen1500cos2250Y an315°E = tan143°
A) 3
D) S
Resolución
Sea
B) 3 Æ 3
E) - 2V2
lie me IVC
E=
sen(1800-300)cos(1800+45°) 
“ tan(180°-37°) "
\tan(360°-45°)
IIC
-> E =
(sen30°)(-cos45°) 
ptain37°) .
(-tan45°)
E = 6 )(-1 )
(4 1
(-D
En consecuencia
E =
V2
3
4 ;
V-1
E = V2 I r _ 3
3 J Æ
E = 3V2
Clave
Problema N.‘ 36
Halle la suma del máximo y mínimo valor de 
la expresión P.
TíP = 3sen
A) -5 
D) 4
Resolución
—+ x | + 4sen(7i-x)v2
B) 5 C) 0 
E) 6
Aplicamos identidades de reducción al primer 
cuadrante.
sen 71— + X I = + COSXV 2
ne
sen(7r-x)=+senx •«. ‘—»—1
Reemplazamos en P. 
P=3cosx+4senx 
P=4senx+3cosx
Sabemos que
+ 32 <4senx + 3cosx < V4 2 +32 
-5 <4senx + 3cosx< 5v------ ---- J
p
-5 < P < 5
^ Pmáx=5 A ^ ,',= -5min
Pmáx+Pmín ^+( 5)-0
i Clave \
Problema N.° 37___________
A partir del gráfico, halle el valor de M.
D) %/Í3 E) 4
Resolución 
Nos piden M.
Calculamos r. 
r 2=(-2)2+(-3)2 
r 2=4+9 
r 2=13 
r = V13
donde 90°+0 es un ángulo en posición normal
Aplicamos razones trigonométricas para un 
ángulo en posición normal.
Del gráfico
cos(9O°+0) = -2
-sen0=
sen0 =
- 2
VÍ3
2
(0
tan(9O°+0) = -3
-2
— cot 0 = — 2
cot0 = - - 2 (II)
Reemplazamos (I) y (II) en M. 
M = \/l3sen0 - 2 cot 0
—> M = V Í3
M=2 + 3 
M= 5
n 2 ^
v V Í3 ;
-2 c 3N 2>
Clave
Problem a N.° 38
Si x+y 90 , reduzca la siguiente expresión:
E = tan(720°+x)
sec(1080°-x ) cos(360° +y) 
A) 1 B) 2 C) - 2
D) -1
Resolución
• tan(720° + x) = tan (360° x2 + x)
E) - 1
iC
tan(720°+x) = +tanx
• sec(1080°-x) = sec(360°x3-x)
ÍVC
sec(1080°-x)= + secx
cos(360° +y) = cos(360°x 1 + y)
ic
cos(360°+y) = + cosy
Reemplazamos en la expresión. 
tanx
secxcosy
Expresamos en senos y cosenos, 
sen*
E = ■
yo^x_
E =
1
yjsix
senx
cosy
■cosy
Del dato 
x+y=90° 
x=90°-y
Reemplazamos y obtenemos que 
sen(90°-y) 
cosy
£._ cosy 
cosy
E= 1
i Clave
Problema N.° 39
Si sen0 = sen90°+2cos180°
sen270° + tan180° ' 
reduzca la expresión R. 
/?=sec(27O°+0) + sen(18O°-O)
A) 1 
D) -2
Resolución
B) -1 C) 2 
E) 3
Nos piden R.
R = sec (270° +0) + sen (180° - 0)
-ÍVC -lie
Aplicamos reducción al primer cuadrante. 
R=+c sc0++sen0 
R=c sc0+sen0 (*)
Reemplazamos el valor de las RT de los ángu­
los cuadrantales en el dato.
1 + 2( - 1)sen0 = -
sen0 =
-1 + 0
1-2
-1
sen0=1 —» csc0=1
Reemplazamos en (*). 
R=1 + 1 
R=2
Clave
f
Capítulo 8
Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
10. Simplifique la siguiente expresión:
M - -sen (-x) | cos(-x) ̂ sec(-x) 
senOr + x) cos(2ti - x ) + sec(27c+x)
B) 1A) -1 
D) 3
11. A partir del gráfico
C) -3 
E) 2
indique la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones:
I. tanoc=-cot(3
II. senoc=cos(3
III. cosa-sen|3=0
A) VVF 
D) VFV
B) VVV C) VFF 
E) FVV
12. Halle el valor de N.
[1 + cos(90° +x) - sen(270° - x ) f 
N = [1 - sen(270° +x)\ [1 + sen(180° +x)]
A) 1
D) 5
B) 2 C) 4
E) ?2
13. Calcule el valor de la expresión H. 
sen150°cos(-225°)
H = táñ^BÓO0) ^ -30^
A) — 6
72
B) —
13 Q 2
D) 12
14. Del gráfico, calcule 
E = y/s sen B+26 eos2 a.
A) 8 
D) 14
B) 10 C) 12 
E) 16
15. Simplifique la siguiente expresión: 
sen(0-270°) cos(90° + Q)
sec(36O°+0) csc(720° + 0)
B) 0A) -1 
D) 2
16. Halle sec0 si se cumple que 
sen183O°=-2cos0.
C) 1 
E) -2
A) -1 
D) 2
B) -2 C) -4 
E) 4
17. Calcule el valor de M.
. . tí 3 n 8n 21tiM = sen —+ sen---- sen — + sen —11 11 11 11
A) -1
D) — 
2
B) 0 C) 1
E) i2
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18. Determine el valor de la expresión R.
R = sen
V - 4
571̂ 1 f 
cot
V 3
11^ ( 17tt ̂CSC
J
A) - A 
2 B) - A 2
•D) - Á
4
V 6 )
O - A
3
E) - 3
19. Del gráfico, calcule el valor de 
M =12cos0-5cosa.
A) 11 
D) 15
B) 13 C) 14 
E) 26
20. Calcule el valorde 
P = tan r * +elU )
si se cumple que
í ̂ "j
tan * E - e 
2
«i
— — ] 0 G IIC. 9
B) - - C) 3
E) "2
21. Calcule el valor de N.
sen150°cos(-225 | + rr,ç/iqn04-<;pnS4n0 
N ~~ tan60°cot(-30°)
A)
D)
1
10 B) - f
C) 7712
1 E) Æ3
12 D
22. Calcule M.
M=tan420°+tan840°+tan1200°
A) 2V3 B) - 2V3 C) 3v5 
D) -V3 E) 73
23. Se define
tan n
F - U J
COSA"
Calcule Ffs
1 4 J
A) 77 B) 277 Q -72
D) -272 . :> - E) 4
24. Calcule la suma de tos seis primeros térmi­
nos de la siguiente serie: 
cosa; cos(7i + a); cos(27i + a ) ; ...
A) cosa B) -cosa C) 0 
D) 2cosa E) -2cosa
25. Simplifique E. 
E = - sen2 x-eos2 x
37ttcosí----+ x + cos(357i + x)
A) senx+cosx
B) senx-cosx
C) cosx-senx
D) -(senv+cosx)
E) cosx
Capítulo 8 Identidades trigonométricas de reducción al primer cuadrante
26. Simplifique la siguiente expresión:
/_. cot(18Q0+x)-tan(36Q °-xf 
sec(90° +x) cos(180° -x )
"I B) -cscx C) -sec2x
D) sec x E) cscx
27. Calcule el valor de la expresión 8. 
8=tan240°cot210°sec135°
-m c-+ 5tü 4 tü . 2tt31. Sitan — + M eos — = 4cos— , 
4 3 3
¿cuál es el valor de M?
B) 6A) -6 
D) -3
C) 3 
E) -2
« - i
D)
I?
B) ~ C) -3^2 
E) 3V2
28. Si A + 8=90°, determine la expresión 
cos(A + 28)cot(2A + 38)R = sen(3A + 48)
B) - 1 2 C) - 2
A> - f B) - f Q ~
A) 2 5
D) 1 E) -1 1
29. Calcule la siguiente expresión: 
cos20° + cos160°+1
M = sen20° — sen160° +2
A) 1
D) 0
B) -2 C) — 2
E) 2
30. Calcule
si F,„i=4sec2x+5tan2x+5.
32. Marque la alternativa correcta.
A) sen(90°+x)=-cosx
B) tan(180°-x)=tanx
C) sec(270°+x)=-secx
D) cos(180°+x)=cosx
E) cot(270°-x)=tanx
33. Calcule el valor de la siguiente expresión: 
sen(143°) • tan(225°) • csc(330°)
34. Halle la siguiente expresión: 
cos110°+sen160° + cos240°
A) 0 B) -2
D) -
Q - -
E) |
35. Simplifique la expresión M.
sen (270° -a)- sen (180°-a) -eos (360° -a )M =
(x)'
A) 24 
D) 38
B) 28 C) 26 
E) 54
sen(a)-cos(l80°+a)-tan(90°+a)
A) -sena B) -cosa C) tana
D) -tana E) seca
36 . Si x + y -1 8 0 ° y tan x-co ty= 2 , 
ca lcu le tan x+ 3 .
A) 1 
D) 4 .
37 . Sim plifique R.
B) 2 C) 3 
E) 5
p _ sen(180°+ x) + sen (180°-x) + tan (360 °-x ) 
tan (270 °+ x) + tan (2 7 0 °-x ) + sen (360°-x)
A) senx B) cosx C) tanx 
D) cotx E) secx
38. En un triángulo ABC, simplifique
sec(A + B) co t(A + C) | esc(B+C) 
secC cotfí csc/4
A) - 2 
D) 1
B) -1 C) -3 
E) 3
39 En el gráfico, AM=MB. Calcule senO+cosG.
A)
D)
W | ¡
21
5n/t Í
11
B) -
V61
61
C)
E) -
1lV6Í
61
V29
29
40. Si A, B y C son las medidas de los ángulos 
internos de un triángulo, simplifique
sen(A + 2£ +2C) • cot(2A B C) 
cos(3 A + 2B + 2C)
A) senA B) -co sA C) 1 
D) -1 E) -co tA
41. Calcule el valor de N.
„ ( m n ) Í 8 7 n ' N = 4sen ------ -reos ----
V 4 ) V 4 y
A) 77 B) ~ C) -7 2
D) - 3V2 E)
2
42. Simplifique la siguiente expresión: 
tan(jbr + 0)
cot(/r7i-0)
,4 e Z
A) tan20 B) -ta n 20 C) ±tan20
D) -co t20 E) ±cot20
43. Calcule el valor de la expresión M.
M=4-sen(-150°)+3tan(-225o)+2sec(-300°)
A) -5 
D) -1
B) - 4 C) -9 
E) 1
44. Si x+y=360°, calcule
senx cosx tanx ■ +--------- +sen(-y) co s(-y ) tan(-y)
A) 1 B) 2
D) -3
C) 3 
E) -2
45. Calcule el valor de sen120°cos330°
A) Á
4 B) A 2
3D) -
4
C ) i
E) 1
4o. Simplifique la siguiente expresión:
sen ( n - x ) eos f 71 ^v2 J tan(7r + x)
CSC(271 - x ) sec 3tc
v 2 ) tan(27c + x )
A) cos4x B) cosx C) sen4x 
D) senx E) 1
47. Halle el producto del máximo y mínimo 
valor de M.
M =4cos(360°-x)-cos(270°-x)+4sen(180°+x)
A) -2 5 
D) - 9
B) -16 C) -2 
E) -5
37148. Si a + b + c = — , calcule el valor de M. 
M=sena + sen{a+b) + cos(b+c)+cosc+'\2
B) 12A) 13 
D) 20
C) 15 
E) 24
49. Calcule N.
 ̂̂ >Í3nN = sen 3
A) 1
D) -2
n
J v
+sem i r r sen3( f J +sen3Í—11
B) 2 C) 0
E) —2
50. Si se sabe que A y B son ángulos comple­
mentarios, calcule el valor de M.
. . 2sen4 3cos24 tan44 M = ------- +---------- r-
A) -3 
D) -2
eos B eos 2B tan4 B 
B) - 6 C) - 7 
E) - 4
51. Del gráfico, calcule el valor de L 
/.=\/5senP+26cos2 a
D) 22 E) 16
Claves
1 8 15 22 29
2 9 16 23 30
3 10 17 24 31
4 11 18 25 32
5 12 19 26 33
6 13 20 27 34
7 14 21 28 35 49
S r
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS M ÚLTIPLES
El estudio de las identidades trigonométricas ha permitido 
relacionar las funciones trigonométricas de diferentes ángu­
los, que pueden ser expresadas como la suma, diferencia, o 
como un múltiplo de un ángulo de referencia; es decir, a par­
tir de las razones trigonométricas de un ángulo ex, es posible 
determinar las razones trigonométricas de otro ángulo de la 
forma 2a; 3a; 4 a ; . . .
En el siglo xvm, el matemático y físico suizo Leonhard Euler 
hace notables aportes en el campo de las matemáticas, pro­
piamente en el cálculo o la teoría de grafos; de la misma ma­
nera, en otras áreas de la ciencia como la mecánica, física y 
astronomía. A él se debe el desarrollo de la igualdad mate­
mática más notable: e71'+1=0; asimismo, la fórmula que lleva 
su nombre: e e'=cos0 + /sen0, la cual permite relacionar lo si­
guiente: en0í=cos/70 + /senr?0, que expresa la relación entre las 
funciones trigonométricas de cosnd y senn0 con las funciones 
sen0 y cos0, dado que
e/7°'=(cos0 + ísen0)n 
es decir, cosn6+isennO=(cos6+/senQ)n
En este capítulo haremos uso del valor de n - 2 y n=3.
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
• Reconocer y utilizar las identidades trigonométricas de un 
ángulo doble o triple.
• Realizar operaciones de simplificación utilizando las identi­
dades de ángulos múltiples.
¿ P o r qué e s n e ce sa rio e ste co n o cim ien to ?
Permite entender la relación entre las razones trigonométri­
cas de un ángulo y sus respectivos múltiplos; así como expre­
siones simplificadas para hacer un análisis más preciso.
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í x tr\ : • >< ii rv y
Im portante
Si n e N y 0 es una variable 
angular, entonces se cumple 
que
sec2n0 + csc2n0 > 2n+1
i y 1
0 g R -> - - < s e n 0 cos0 < -
tan0 +cotO< - 2 v 
tan0 +cot0 > 2
Identidades trigonométricas 
de ángulos múltiples
1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
1.1. Formas del ángulo doble
Todo ángulo se puede expresar como el doble de otro ángulo.
• 2x=2(x) • 20°=2(Í0°)
• 6x=2(3x) . • 30°=2(15°)
* 40°=2(20°)
1.2. Seno del
Por ángulos compuestos tenemos que 
sen(x+y)=.se_nxcbsy+cosxseny (*)
Para obtener el ángulo 2x hacemos quey=x. 
Reemplazamos en (*).
sen(x+x)=senxcosx+cosxsenx 
sen2x=senxcosx+senxcosx. 
sen2x=2senxcosx
sen2x=2senxcosx
Representación gráfica
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en B; además 
m<CAB=2x
D
¿i'senxcov'
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Sea Prolongamos BA tal que 4 0 = 4 0 $ . 
Entonces el A D A C es isósceles.
Por resolución de triángulos rectángulos 
tenemos que
CD=2$cosx
BC=(2kosx)(senx)
BC=2úsenxcosx
En el fcvASC
senxcosxs e n 2 x =
s e n 2 x = 2 s e n x c o s x
Ejemplos
se n 2 0 0=2sen100cos10° 
se n 4 0 °= 2 se n 2 0 °co s2 0 ° 
se n 6 x= 2 se n 3 xco s3 x 
s e n x = 2sen x
V 2)
eos X
V 2)
s e n 3 x = 2 sen
( 3x^
O W
X /
3x
T j
eos 2 ;
co s8 0 0= sen10°= 2sen50cos5°
2 se n 2 5 oco s25 °= sen 50 °
2 sen 2xco s2 x= se n 4 x
2sen5xcos5x= sen10x
2 sen
o A45
2 )
eos
"45°
v 2
= sen 45°
2sen 35 °co s3 5o=sen70°
A plicació n 7
Halle el valor de A.
A - sen15°cos15°
Reso lu c ió n
En la expresión dada, multiplicamos por 2 a 
ambos miembros.
24=2sen15°cos15°
24=sen30°
-> 24 = — 2
4 = —
4
Aplicación 2
Reduzca la expresión M. 
M=sen10°cos100cos20°
Resolución
En la expresión dada multiplicamos por 2 a 
ambos miembros.
2M=2sen10°cos100cos20°
Aplicamos ángulo doble.
2M=sen20°cos20°
Multiplicamos por 2.
2(2M)=2sen20°cos20°
-> 4M=sen40°
1M = — sen40°4
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A p l ic a c ió n 3
Halle el va lo r de R.
ft=(senx+cosx)2-se n 2x
R e s o l u c ió n
Desarrollamos el binomio.
/?=sen2x+ c o s2x + 2sen xco sx-sen2x
A p licam os identidad pitagórica.
/?=1 + 2sen xco sx-sen 2x 
A p licam os ángulo doble.
/? = 1 + s e n / x - s e n / x
Representacióngráfica
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en B;
además m <CAB=2x.
c:
2icos/x
R =1
A p l ic a c ió n 4
Calcu le el valor de N.
. . sen 2 xN = -----------s e n x c o tx
2 se n x
R eso lu c ió n
Por ángulo doble tenemos que 
r_ ^ s e fT ? c o s x cosx
¿ s e f íx 
N=co sx -co sx 
N=0
— yeríx ■
¿e tíx
1.3. Coseno del ángulo doble 
Por ángulos compuestos tenemos que 
cos(x+y) = cosxcosy-senxseny (*)
Sea AC=L Prolongamos BA tal que AD=AC=Ü. 
Entonces el AxDAC es isósceles.
Por resolución de triángulos rectángulos tene­
mos que
• CD=2fcosx
• £D=2(?cosx(cosx)
BD=2Qcoszx
• AB=2dcoszx-d 
AB=d{ 2cos2x - l )
En el k^ABC
cos2x =
—» cos2x =
AB
AC
/ (2 c o s2x - l )
/
cos2x=2cos2x-1
Para obtener el ángulo 2x, hacemos quey=x. 
Reemplazamos en (*).
cos(x+x)=cosxcosx-senxsenx
cos2x= 2cos2x - (se n2x+ cos2x)
cos2x=cos2x-se n 2x
cos2x=cos2x-se n 2x
Sabemos que 
cos2x=1-sen2x
(*)
Capítulo 9
Reemplazamos en (*). 
cos2x=1-sen2x-se n 2x 
cos2x=1-2sen2x 
2sen2x=1-co s2x
Análogamente
sen2x=1-cos2x
Reemplazamos en (*). 
cos2x=cos2x - (1 - cos2x) 
cos2x=cos2x-1 + cos2x 
cos2x=2cos2x-1 
1 + c o s 2x = 2 c o s 2x 
2cos2x=1 + cos2x
Ejemplos \
• cos20°=cos2100-se n 210°
• cos70°=cos23 5 °-sen 235°
• cos4x=cos22 x-se n 22x
• cos215°-sen2150=cos30°
• cos22 5 °-se n 225°=cos50°
O X 2 x• eos2 — sen — = cosx 2 2
A p l i c a c i ó n 5
Reduzca la expresión M. 
eos 4o
M = co s2 °-se n 2 °
-sen 2o
R e s o l u c i ó n
Por ángulo doble tenemos que 
eos2 2o-sen 2 2o
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Aplicamos diferencia de cu adrados. 
M _• (cos2°+sen2°) (eos 2-° ~sen2°)
-sen2°
-» M = eos 2o + ¿eríZ° -
M=cos2°
1.4, Identidades de degradación
2serrx= 1-cos2x 
2eos‘ x = 1 + cos2x
Ejemplos
• 2sen210°=1 - cos20°
• 2sen215o=1-cos30°
• 2cos220°=1 + cos40°
• 2cos240°=1 + cos80°
• 2sen22x=1-cos4x
• 2cos23x = 1 + cos6x
• 2cos2f - l = 1 + cosx\ 2 J
• 1-cos50°=2sen225°
M = •sen 2o
1 -cos70° = 2sen235°
1 + cos10°=2cos25° 
1 +cos8x = 2 cos24xco s2°-sen 2°
COLECCIÓN ESENCIAL
A p l i c a c i ó n 6
Reduzca la expresión E.
í = 1 - c o s 2 x
1 + co s2 x + ta n x c o tx
R e s o l u c i ó n
Por identidades de degradación tenemos que
r / s e n 2 x . ,
+ ̂ £ = tan2x+1/ eos X 
E = sec2x
Aplicación 7
Sim plifique la expresión P.
„ 1+ cos2xP = ------------+ cot X £ .%
sen 2x
Resolución
Por identidades de degradación tenemos que
„ / cos^ XP = —r—----------- + COt X
-> p =
/ senx^esT* 
co sx------ + co tx
sen x
P = cotx+cotx 
P = 2cotx
A p l i c a c i ó n 8
A partir del gráfico
1 --co$50'
Lumbreras Editores
R e s o l u c i ó n
Del gráfico, hallamos la tan0. 
1 -co s50 °tan0 =
sen50°
Por identidades del ángulo doble tenemos que 
\ s e n 2\25°tan0 =
-> tan0 =
X sór25°cos25°
sen25° 
eos 25°
tan0 = tan25°
t _ . ~ t
Finalmente, igualamos 0=25
1>S, Tangente del ángulo doble 
Por ángulos compuestos tenemos que
. , N tanx + tanytan(x + y ) = --------- 7 (*)1 - ta n x ta n y 
Para obtener el ángulo 2x hacemos quey=x.
Reemplazamos en (*).
tanx + tanxtan(x + y ) =
tan2x =
1 -tan xtan x 
2tanx
1-tan2 x
tan 2* ■= 2 tan .v 1 - tan- x
halle la medida del ángulo 0.
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Representación gráfica
Sea A B C el triángulo rectángulo, recto en B;
adem ás m < C 4 fi= 2 x .
Trazam os la bisectriz interior AD.
Sea AB=m.
—> AH=AB=m
Por resolución de triángulos rectángulos tenemos lo siguiente:
• k^AHD: HD=m tan*
• ^.DHC: HC=mtar\xtan2x
• k^ABC: BC=m tan2x
C
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
(m f + (m tan 2 x f=(m+m tan x tan2x)¿
D esarro llam os el b inom io j Factorizamos
JT^ + ryí1tan22x 1+tan xtan 2x)2 j 2tanx= 5 ( l- ta n 2x)
/X )-ta n 22x^ r+ ta n 2x ta n 22x + 2ta n x ta n 2x
2 tan x
------- j - = 5
1 -tan 2x
tan22x - t a n zx ta n 22x = 2ta n x ta n 2x tan2x=5
Factorizam os
t¿Hi 2x ( i - tan2 y ) ..p tan V t-WíC'
A p lic a c ió n 10
V 1 Lai 1 A / — ¿ Ldl 1X J^tTZa Si tanx= 5,
t a n 2 x ( l- t a n 2x)= 2tanx calcule el valor de cos2x.
ta n 2 x = -----------
1 - ta n 2 x . -
Reso lu c ió n
Ejemplos f \
A partir del gráfico
2tan20°• ta n 4 0 °= -------------- , ; « ' I
1 - ta n 2 20° 2 tan*
2 ta n 4 ° 0 - • -------------= tan8°
1 - ta n 2 4 o
? * ______________c
1 | m]fr • 1~tan2x
. 2tan15° -tanBO » ■ 
1 - ta n 2 15° ,, > _ 1-tan2 xco s2 x - (*) 
i 1 + tan x
. 2 ta n 2 2 ° 3 0 ^ _ tan45o 
1- ta n 2 22°30 ' Reemplazamos tanx= 5 en (*).
A p l i c a c i ó n 9
Si se cumple que
, 1 -(5 )2 cos2x = ------ -
1+(S)
i
5tan2x+ 2tanx-5= 0 ,
calcule el valor de tan2x.
o 1-25-> cos2x = ------
. 1+25
R e s o l u c i ó n
Del dato
-24 |cos2x = ---- I
65tan2x+ 2 ta n x-5 -0 j
2tanx=5-5tan2x
12 1 cos2x = ---- ■
1
1-6 , identidades auxiliar­es
cotx+ianx=2csc2 x
Demostración 
A = cotx+tanx
Expresamos a senos y cosenos.
A cosx senx A = ------+------
senx cosx
Multiplicamos en aspa.
A =
A =
cos2x + sen2x 
senxcosx
J _____
senxcosx
, . ' •
Multiplicamos por 2 en el numerador y en 
el denominador.
Expresamos a senos y cosenos. 
co sx se n *B =
sen x co sx
Multiplicamos en aspa.
B = cos2x - s e n 2x 
sen x c o sx
Por ángulo doble tenemos que 
cos2xB =
B =
se n xco sx
2 eos2x 
2sen xcosx
8
A = 2senxcosx
L X
Por ángulo doble tenemos que 
2cos2x ̂ D =---------
sen2x
5=2cot2x
cotx-tanx=2cot2x
■Por ángulo doble tenemos que 
2
A =----—sen2x
A=2csc2x
cotx+tanx=2csc2x
b. cotx~tanx=2cot2x
Demostración
£=cotx-tanx
Ejemplos
• cot15°+tan15°=2csc30°
• cot10°+tan10°=2csc20°
• cot20°-tan20°=2cot40°
• cot350-tan35°=2cot70°
• cot2x+tanZv=2csc4x
x x _cot — tan —= 2cotx 2 2
2csc40°=cot40° + tan40° 
2cot50° = cot25°-tan25°
(senx+cosx)2=1+sen2x
Demostración 
Sea la expresión
£ = (sen x+ co sx)2 
D esarrollam os el binomio. 
£=sen2x+ co s2x + 2sen xco sx
Por identidad pitagórica tenemos que 
£=1 + 2 sen xco sx
Por identidad del ángulo doble se cumple 
que
£=1+sen2x
(sen x+ co sx)2=1 + sen2x
d. (s e n x ••••• c o s x)2='1 - s e n 2x
e. 1\senx + cosx-t- 1 j(senx-rcosx—l)=sen2x j
Demostración
(senx+ cosx+ 1)(senx+ cosx~ 1)=sen2 x
Sea la expresión
D=(senx+cosx+1)(senx+cosx-1)
Aplicamos diferencia de cuadrados. 
/V=(senx+cosx)2-(1 )2
Desarrollamos el binomio.
D=sen2x+cos2x + 2sen xco sx-1
Por identidades pitagóricas y ángulo doble 
se cumple que
/V=1 + sen2x-1 
A/=sen2x
(senx+ cosx+ 1)(sen x+ co sx-1)=sen2x
Demostración
(se n x -co sx )2=1-sen2x
Sea la expresión 
M=( se n x-c o sx )2
Desarrollamos el binomio.
M=sen2x+ cos2x-2 sen xco sx
Por identidad pitagórica se cumple que 
/W=1- 2senxcosx
Por identidad del ángulo doble tenemos 
que
M =1-sen2x
... ( s e n x - c o s x )2= 1 -sen 2 x
Ejemplos
• (sen10°+cos10°)2=1 + sen20°
• (sen15°+cos15°)2=1+sen30°
• (sen2x+ cos2x)2=1 + sen4x
• 1 + sen6x=(sen3x+cos3x)2
• 1+sen40°=(sen20° + cos200)2
• 1 + sen70°=(sen35°+cos35°)2
• (sen20°-cos20°)2=1-sen40°
• (sen15o-cos15°)2=1-sen30°
• (sen4x-cos4x)2=1-sen8x
• 1-sen10°=(sen5°-cos50)2
• 1-sen50°=(sen25°-cos25°)2
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
(sen10°+cos100+1)(sen10°+cos100- 1)=sen20°
(sen15o+cosí 5°+1)(sen15°+cos15°-1)=sen30°
(sen2x+cos2x+1)(sen2x+cos2x-1)=sen4x
(sen3x+cos3x+1)(sen3x+cos3x-1)=sen6x
A p l ic a c ió n 77
Reduzca la expresión E.
r 4 c o s2 xt = ----------------- sen 4xcotx + tanx
R eso lu c ió n
Usamos identidades auxiliares.
._ 4 co s2 x E = ------------ sen4x
2 csc2 x 
E = 2 co s2x í — 1V csc2 xJ - s e n 4 x
Por identidades recíprocas tenemos que 
£=2cos2xsen2x-sen4x 
E = 2sen2xcos2x- sen4x
Aplicamos ángulo doble.
£= sen4x-sen4x 
£= 0
2. IDENTIDADES t r ig o n o m é t r ic a s d e 
ÁN GULO TRIPLE
2.1. F o rm a s del ángulo triple
Todo ángulo se puede expresar como el triple 
de otro ángulo.
. 3x = 3(x )
* - * * t )
4 5 °= 3 (1 5 °)
90=3(30)
6x=3(2x)
30°=3(10°)
60°=3(20°)
22 . Seno de! ángulo triple
Por ángulos compuestos tenemos lo siguiente
a. sen(x+y)=senxcosy+cosxseny (I)
Para obtener el ángulo3x, hacernos que 
y=2x.
Reemplazamos en (I).
sen(x+2x) = senxcosZv+cosxsen2x 
sen3x=senxcos2x+cosxsen2x (II)
Por identidad del ángulo doble sabemos que 
cos2x=1-2sen2x (III)
sen2x=2senxcosx (IV)
Reemplazamos (III) y (IV) en (II).
-> sen3x=senx(l-2sen2x) + cosx(2senxcosx) 
sen3x=senx-2sen3x+2senxcos2x 
sen3x=senx-2sen3x+ 2senx(l-sen2x) 
sen3x=senx-2sen3x+ 2senx-2sen3x 
sen3x=3senx-4sen3x
sen3x=3senx-4seri'x
Ejemplos
• sen9°=3sen30-4sen33°
sen150=3sen5°-4sen35° 
sen120=3sen40-4sen340 
sen27x=3sen9x-4sen39x 
3sen10°-4sen310°=sen30° 
3sen15°-4sen315°=sen45° 
3sen20°-4sen320°=sen60° 
3sen3x-4sens3x=sen9x 
3sen40°-4sen340°=sen120° 
sen6x=3sen2x-4sen32x
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b. sen3x=3senx-4sen3x 
sen3x=senx(3-4sen2x)
Po r id entid ad del ángulo doble se cum ­
ple que
2sen2x=1-cos2x
Reemplazamos
sen 3x = sen x (3 -2 (2 sen2 x))
>-----------y---------- '
1-cos2x
sen 3 x = se n x (3 -2 + 2cos2x)
' £
sen3x = senx (2cos2
v
Ejemplos | ^
• sen10°(2cos20°+1)=sen30°
• sen20o(2cos40°+1)=sen60°
• sen2x(2cos4x+1)=sen6x
• sen9°=sen3°(2cos6°+1)
• sen18°=sen60(2cos12°+1),,
• sen15x=sen5x(2cos10x+1)
A p l i c a c i ó n 12
Calcule el valor de M.
M =8sen320°-6sen20°
R e s o l u c i ó n
Factorizamos
M=2(4sen320°-3sen20°)
M = -2 (3sen20°-4sen320°)
-> M = - 2 
•V M = - V 3
Aplicación 13 
1
Si senx = —, halle el valor de sen3x. 
4
Resolución
1Del dato s e n x = - , reemplazamos 
sen3x= 3senx-4serrx
sen3x = 3
í ' - *
—> sen3x = ¿ - 4
J r 4 ■
v
í ̂ \
n
4
1
43 J
sen3x = —— 4-
. > # ” 4 42« x j t
v . 3 1sen3x = -------
4 16
_ 12 1sen3x = --------
16 16
a 11 sen3x = — 
16
2.3. Coseno del ángulo triple
cos3x= 4cos;’x-3c"osx
sen3(20c
/^=-2sen60c
a. cos(x+y)=cosxcosy-senxseny 
y=2x
cos(x+2x)=cosxcos2x-senxsen2A' 
cos3x=cosxcos2x-senxsen2x (I)
Capítulo 9
Sabem os que 
cos2x =2cos2x -1 
sen2x=2senxcosx
(II)
(III)
Reem plazam os (II) y (|||) en (I).
cos3x=cosx(2cos2x-l)-senx(2senxcosx)
cos3x=2cos3x - c o s x - 2cosxsen2x 
cos3x= 2cos3x - cosx- 2cosx(l - cos2x) 
cos3x=2cos3x-cosx-2cosx+2cos3x 
cos3x=4cos3x - 3 cosx
Ejemplos
• cos60=4cos320- 3 cos2°
• cos12°=4cos34 °-3 cos4°
• cos27°=4cos39°-3cos9°
•• cos9x =4cos33x - 3 cos3x
• 4cos3100- 3 cos10°=cos30°
. • 4cos315°-3cos15°=cos45°
. 4cos32 0 °-3 cos20° = cos60°
Análogamente, demostraremos el coseno 
del ángulo triple.
C
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
co sx = 2 /fíco sx - t- ff í cos3x
COSX:
f í i + 2 fíí co s2x
2 co sx + cos3x 
1+2cos2x
co sx+ 2cos2xcosx= 2cosx+ cos3x
2cos2xcosx-cosx= cos3x
Sabemos por ángulo doble que 
c o s2 x = 2c o s2x -1
Reemplazamos
2(2cos2x -1)cosx- cosx=cos3x 
—> 4cos3x - 2 cosx- cosx=cos3x 
4cos°x - 3 cosx=cos3x 
cos3x =4cos3x - 3 cosx
A plica c ió n 14
Simplifique la expresión £ 
cos3x +3cosx£ =
1-sen2 x
Reso lu ció n
Por identidades del ángulo triple tenemos que
E =
-> £ =
4 cosJ x - 3 eos x + 3 eos x
eos2 x
4cosJ x 
eos2 x
£=4cosx
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A p l ic a c ió n 75
Calcule el valor aproximado de cos111°
R e s o l u c ió n
Tenemos
cos111° = cos3(370)
Ejemplos
• cos10°(2cos20°-1)=cos30°
• cos15°(2cos30°-1)=cos45°
• cos3x(2cos6x-1)=cos9x
cos111° = 4 cos33 7 °-3 cos37°
4cos37°= — 
5
Reemplazamos
cos111°=4 44
ó4 ó3
V5 J
cos111°=
cos111°=
_ r 64 ̂ 12
I 125J 5
_ 256 12(25)
125 5(25)
256 300
125 125
_ 256- 300
125
44C0S111°= —
b. cos3x=4cossx-3 co sx
c o s 3x = c o s x ( 4 c o s 2x - 3 )
Por identidades del ángulo doble tenemos que
2cos2x =1 + cos2x 
Reemplazamos
eos 3x = eos * (2 (2 eos2 x) - 3)
cos3x = cosx(2(1 + cos2x)-3 
cos3x = cosx(2 + 2cos2x-3) 
cos3x = cosx(2cos2x-1)
cosix- cosx(2cos¿x I)
cos9°=cos3°(2cos6°-1) 
cos150=cos50(2cos10°-1) 
cos12x=cos4x(2cos8x-1)
2.4. Representación gráfica del seno 
coseno del ángulo triple
Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en B; 
además m<C4¿3=3x.
C
Prolongamos BA tal que
m < 4D C= x y m <DC4=2x 
Trazamos AE tal que AE=AC 
—> m<AEC=2x
Sea AC=m. Por triángulos isósceles, tenemos 
que
AE=ED=m
Por resolución de triángulos rectángulos, se 
obtiene que
EC-2mcos2x
Capítulo 9
-> A D = 2 m c o sx
—> se n x = sen3x
1 + 2co s2x 
senx(2cos2x+1)=sen3x
Sabem os por ángulo doble que 
co s2x= 1-2sen2x
Reemplazamos
se n x (2 (l-2 se n 2x)+ l)=sen3x ' -
sen x(2 -4se n 2x+ l)=sen3x
sen x(3 -4sen 2x)=sen3x
3 sen x-4 sen 3x=sen3x ^
sen3x= 3senx-4sensx
2.5 . Tangente del ángulo triple
tan3x = 3 tan x - ta n x
1 - 3 tan2 x
Demostración
3x=2x+x
Aplicamos tangente a ambos miembros. 
tan3x = tan(2x+x)
Desarrollamos por ángulos compuestos. 
tan2x + tanx ™
tan x " Í L tan 2x tanx
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Por ángulo doble sabemos que
, ~ 2 tan xtan2x = -----------
1 -tan 2 x
Reemplazamos en (*).
2 tan x
ta n 3 x - 1 - t a r r x 
( 2 tan x
+ tanx
1- tanx
v1-tan x y
/ ^ T ' X
2 ta n x + ta n x (i - ta n2 x )
tan3x = - J^ tarf2 x
1-tan¿ x - ( 2 tanx) tanx
jD -tam x
. - 2 tanx + ta n x - ta n 3xtan3x ---------------------------
1-tan2x - 2 ta n 2x 
3 tan x - t a n 3 xtan3x =
1-3tan2 x
Ejemplos
tan6°=
tan27°=
• tan9x =
3 tan 2o-ta n 3 2o 
1-3 tan2 2o
3 tan 9°-tan3 9° 
1-3 tan2 9o
3tan 3x-tan 33x
1-3tan23x 
3tan10°-tan310°
1-3tan210°
3tan15°-tan315° 
1-3tan215°
3tan20°-tan320° 
1-3tan2 20°
= tan3(10°)
= tan3(15°)
tan3(20°)
■ 7 • . ........ -----.
COLECCIÓN ESENCIAL - 7:--\.4.
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1Si tanx = - ,
3
calcule el valor de tan3x.
R e s o l u c ió n
Sabemos que
3 tan x - ta n 3 x 
1-3tan2x
tan3x =
-i
Reemplazamos tanx = -
—> tan 3 x =
í 11 f1lUJ UJ
1 - 3 .3 ;
\2
1-
tan 3 x = 27
1 -3 9
26
y ftan3x= 2 x 9 
/ x 9 -
26
tan3x = Í8
3 13tan 3x = —y
A p l i c a c i ó n 17
Si se cumple que 3tanx—tan x+15tan x-5 , 
halle el valor de tan3x.
R e s o l u c i ó n
Nos piden tan3x.
Dato:
3 tan x-tan3x+15tan x=5 
Damos forma.
3tan x-tan3x=5-15tan2x
3tanx-tan3x= 5(l-3 tan2x)
3 tan x-tan 3x _
-> ------------3-----= 5
1 -3 tam x
tan3x=5
tan3x=5
2.6. Identidades auxiliares
4sen x sen (60° -x )se n (60°+x) =sen 3x
)
Demostración
Sea la expresión
£=4senxsen(60°-x)sen(60°+x)
£=4senxsen(60°+x)sen(60°-x)
Por identidades de ángulos compuestos se 
cumple que
£=4senx(sen260°-sen2x)
3 v 2 — sen x4
E = 4senx
—> £ = / - -^ s e n x -4 s e n x s e n 2 x
A
E = 3senx-4sen3x
Por identidad del ángulo triple tenemos que 
E =sen3x
4senxsen(60°-x)sen(60°+x) = sen3x
4cos x cos(60° -x)cos(60°+x) -eos 3 v
Demostración 
Sea la expresión
M=4cosxcos(60°-x)cos(60°+x)
M=4cosxcos(60°+x)cos(60°-x)
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Aplicamos identidades de ángulos compuestos. 
M=4cosx(cos260°-sen2x)
M = 4 co sx j^ --sen 2x^
1
^ = ^ ‘-^ co sx-4 co sxsen 2x 
M =cosx-4cosx^í-cos2x)
' M -co sx -4 c o sx + 4 c o sx c o s2x 
M = - 3 c o s x + 4 c o s3x 
M = 4 c o s3x - 3 c o s x 
M=cos3x
—> 4cosxcos(60°-x)cos(60°+ x)= cos3x
Sean las identidades
4senxsen(60°-x)sen(60°+ x)= sen3x (I) 
4cosxcos(60°-x)cos(60°+ x)= cos3x (II)
Dividimos (I) y (II).
4 sen xsen (60o-x )se n (6 0 °+ x ) _ sen3x 
4 eos x eos (6 0 °- x ) eos (60 °+x) cos3x
tanxtan (60°-x)tan (60°+ x) = tan3x 
... tanxtan(60°-x)tan(60°+x)=tan3x
Ejemplos
. 4sen10osen50osen70o=sen3(10°)
. 4 co s2 0 0co s4 0 0co s800=cos3(20°) .
. tan150tan45°tan750=tan3(15°)
A plicació n 18
Calcule el valor de sen18° y cos36°
R e s o l u c ió n
Calculamos el valor.de sen18°
Sean 36° y 54° ángulos complementarios.
—> sen36°=cos54° 
sen2(18°)=cos3(18°)
Usamos las Identidades del ángulo doble y 
triple, respectivamente.
sen2(180)=cos3(18°)
2sen18° = 4 cos^ 18° -3£q s1$°
2sen180=4cos218°-3
2sen18°=4(l-sen218°)-3
2sen18°=4-4sen218°-3
4sen218° + 2sen18°=1
4sen218°+2sen18°-1=0
Aplicamos la ecuación general de segundo 
grado.
sen18°=
sen18°=
sen18°=
sen18°=
~2 ± V 22 — 4 (4) (—i) 
2(4)
-2± 74 + 16
-2± V20
-2±2y¡5
COLECCIÓN ESENCIAL
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Demuestre que el valor de la productoria
n „ sen2n+ G 
sen0cos0cos20cos4G... cos2 0; n eZ , sea ^ +1 .
___________________ _ _ ______________________________________________________________ )
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema HE 1 
Simplifique la expresión E. 
E = senxcosxcos2x
A) ^ se n 2 x B) — sen 4 x C) ~-cos4x
D) 4sen4x
4
E) sen4x
Elevamos al cuadrado a ambos miembros de 
la igualdad.
2 f 1 ) 2(se t ix - c o s x ) = -j=r 
V 'J 3 J
Desarrollamos el binomio.
2 2 n 1sen x + cos x - 2 sen x eos x = -
servA
Resolución
Multiplicamos por 2 a ambos miembros de la 
igualdad.
2E = 2senxcosxcos2x 
2E = sen2xcos2x
Multiplicamos por 2 a ambos miembros. 
2(2£)=2sen2xcos2x
—» 4£=sen4x
£ = —sen 4x 
4
—> 1-sen2x = - 
3
1 - - = sen2x 
3
- = sen2x 
3
sen2x = - 
3
■ -C Ä 
'
Prob lem a N. 3
: Clave \
: Clave •.0x.~
Halle el valor de M. 
M = sen2xtanx + - 2
1 + tan2 x
Problema N.° 2 ____________________________
1Si s e n x - c o s x = - 7=, calcule el valor de sen2x. 
v 3
A) B) | O l
A) 1
D) 2
B) 3 Q!
□ » " a
Resolución
Del dato
E) i 3
Resolución
Usamos las identidades del ángulo doble.
. . _ ^ senx 2M = 2 sen x eos x -----^ + — —
M = 2senxsenx + 2
cosx see x 
1
sec2 x
s e n x -c o s x - s M = Z sen2x-f-2cos2x
COLECCIÓN ESENCIAL
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A p licam os la identidad pitagórica. 
M = 2 (se n 2 x + cos2 x )
M=2
i Clave [
Problem a N.° 4
Calcu le el va lor de R.
R = cos41 5 °-se n 415°-sen 60°
A) — 2
D) 1
B) T C) 0 
E)
R e so lu c ió n 
Colocam os valores.
£R = c os4 15°- s e n 4 15o- —
Aplicam os diferencia de cuadrados.
rz
R = (eos2 15o+sen215°) (eos215° -sen 215°) - ~
coŝ C1
_> R = c o s3 0 °- £
R =
£ £
R =0
Problema N.* 5__________
Reduzca la expresión E.
cos2x _ sen2x 
^ ” co sx-se rñ x 2cosx
: Clave ..
A) senx 
D) 2cosx
B) cosx C) 2senx 
E) -cosx
Resolución
Aplicamos identidades del ángulo doble. 
eos2 x - s e n 2 x \ sen x co sx
c o s x - s e n x 2/cosx
Aplicamos diferencia de cuadrados.
•senx
c o s x - s e n x 
—> £=cosx+senx-senx 
E=cosx
'■ Clave \
Problema N.° G
Halle la expresión M.
, • 1 -cos2x ?M = -------------sec x
1+cos2x
A) -1 
D) 2
B) 1 C) 0 
E) -2
Resolución
Por ángulo doble tenemos que
. . / sen2 x 2 -M = —,---- ----- sec x
eos X
—> M = tan2x -se c 2x
Por identidades pitagóricas tenemos que 
M = tan2x - (l+ ta n 2x)
M = „tafí'2x -1 - jteín 2x 
/. M = - 1
; Clave
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.# 7 
Sim plifique la expresión P.
Problema N,° B
A partir del gráfico, calcule eos2*.
2 eos2 x - 1
2cos4x
sen4x
s, p = 2cot4x
En el ^ AHB
cos2x =
Clave \
Por identidades de degradación tenemos 
2cos2x = 1 + cos2x
COLECCIÓN ESENCIAL
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Reemplazamos
2 eos x = ']+— _> 2 eos2 x = — 
3 3
eos2 x = ~
. 6
i CLavs \
Problem a N.° 9
Calcu le el valor M.
M = sen3xcscx-cos3xsecx
» - i
D) 1
B) - 2 «i
E) 2
Resolución f
Utilizam os identidades recíprocas. 
sen3x cos3xM = sen x co sx
Por identidades de ángulo triple tenemos que
^ en x(2co s2x + l) £ d sx (2 c o s 2 x - l) 
>enx ¿d sx
M = 2cos2x+1-(2cos2x-1)
M = 1 + 1 = 2
: Clave [
Problema N.“ 10 
Simplifique la expresión P. 
4 eos318°-3 eos 18°
P = 3sen12° -4 sen312c
A) 1 
D) 3
B) I C) 2 
E) 4
Resolución
Por ángulo triple se cumple que 
cos3(18°) eos 54°P =
sen 3 (l2 °) . sen36°
Por ángulos complementarios tenemos que 
sen36°=cos54°
Reemplazamos
P =
p=1
Clave
Problema M. 11
Calcule el valor de R.
R =cos20°cos40°sen10°
«i
D) 1
B) 1 °¿
» !
Resolución
Por ángulos complementarios tenemos que 
sen10°=cos80°
Reemplazamos en R.
4 R = 4cos20°cos(600-2 0 0)cos(600+20°)
Aplicamos identidad auxiliar.
4/? = cos3(20°)
-> 4 R = - 
2
, R - 1 8
" Clave \
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.’ 12
A partir del gráfico, calcule cos2x.
«!
»!
Resolución 
Sea BH = n.
Del gráfico 
. En el Ih±AHB
■ > !
c
f cos3x=cosx(2cos2x-1)
Reemplazamos (I) y (II). 
Y = —■ (2 c o s 2 x - l )
1
-» - = 2 co s2 x-1 3
1
1+ - = 2cos2x 3
4 = 2cos2x
cos2x = -
Problema NC 13 
Calcule el valor de N. 
sen24°A/ =
«i
sen8°sen52°sen680 
B) 2
D) 3
Resolución
Damos forma a los ángulos.
4sen24°N =
: Clave
C) 4 
E) 8
neos x — ~ (0
i Aplicamos ángulo triple.
En el Ei^CHB 
n OD
^ 4 sen24°
co s3x = — I ” sen3(8°)
N O OLVIDE9
8| • ; /. N=4
; Clave
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Problem a N.° 14
Halle el valor de T.
j _ 4 eos2 4 0°-2 
sen5°sen85°
A) 1 
D) 4
Resolución
Factorizamos
B) 2 C) 3 
E) 5
T = 2 (2 eos2 4 0 °)-2 
sen5o eos 5o
Por ángulo doble tenemos que 
2(1 + c o s 8 0 ° )- 2T =
-> T =
sen 5o eos 5o
/ + 2 c o s 8 0 ° - / 
sen5oeos5o
%
A p lica m o s ángulos complementarios. ' 
cos80°=sen10
R e e m p la za m o s 
2 se n 1 0 °
T = sen5°eos5c
Por ángulo doble tenemos que 
2(2 sen 5o eos 5o)
T = sen 5o eos 5o
T = 4
i Clave
Problema N.‘ 15
Calcule tan2x si se cumple que
3tan¿x+tanx = 3.
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
Resolución
Del dato
3tan2x+tanx=3
Factorizamos
tanx= 3(1- ta n 2*) 
tanx—»
1-tan2 x
= 3
Multiplicamos por 2 a ambos miembros.
2 tanx
2 =6 1-tan x:
Aplicamos identidad del ángulo doble. 
tan2x=6
: Clave
Problema N.* 16______________
Calcule el valor de R.
R = (cot0-tan0)sen40+4sen22O
A) 1 
D) 4
Resolución
B) 2 C) 3 
E) 5
N O OLVIDE
co tO -tanü = 2cot20
Capítulo 9
Reemplazamos en R.
ft=(2cot20)sen40+4sen220
Por ángulo dóble tenemos que 
n 0 eos20 /
K ~ ¿ 5 ^ 2 0 * ̂ 2^ 20 cos 20) + 4 ser|2 20 
-> R = 4cos220+4sen220
/?=4(sen220+cos220)
/. R = 4
i C7m/e •
Problema N.‘ 17
Simplifique la expresión 4 . 
cos18°4 = — eos 9o
co s9 °-se n 9 °
A) cos9° B) sen18° C) sen9°
D) -se n 9 ° E) -sen18°
Resolución
Aplicamos identidades del ángulo doble. 
eos2 9o-sen2 9o4 = cos 9o-sen 9o — eos 9o
Aplicamos la diferencia de cuadrados.
(cos 9o + sen9° )(co¿S5^seTf9°T _ cos 9o
i Clave
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema W.° 18
Halle la expresión D.
? 1D = sen 3x + -cos6x
.2
A) i 
3 “4
D) 1
Resolución
Multiplicamos por 2 a ambos miembros. 
2 D = 2sen23x+cos6x
Por ángulo doble tenemos que 
2D - 1-cos6x+cos6x
2D = 1
D = —
2
Clave
Problema N /19
Halle el máximo valor de H.
H = ■ sen3x cos3x
c) 2V2
E)
3 -4 se n 2x 4 eos2 x - 3
A) 1 B) V2
D) 2
Resolución
Por ángulo triple tenemos que
.. 3 sen x-4 sen 3x 4cos3x -3 c o sx H =------------ ------+
3 -4 se n 2x 4cos2 x -3
COLECCIÓN ESENCIAL
Factorteamos en el numerador.
M_ senx(3-4sen2 x) | eosx (4 eos2 x - 3) 
3-4sen2 x 4cos2 >r-3
-> H = senx+cosx 
Sabemos que
senx + cosx<V2 -> H < y ¡2
i Clave ■
Problema N.° 20
Sim plifique la expresión Q.
Q = i
sen 3x cos3x .--------+ -------- + 4 s i x e l C .
sen x co sx
A) 3>/2cosx
B) V 2 co sx
C) 2cosx
D) 2 -J2 sen x
E) 2V 2 co sx
Resolución
Por ángulo triple tenemos que
f«.rf^r?cos2x+1) f 0 í x ( 2 cos2 x - 1)
-^ q = V 2cos2x + 1 + 2cos2x -1 + 4
q = V 4 cos2x + 4 
q = ^ T + cos2x )
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Q = V̂ 4 (2 cos2x )
Q = \Iq e o s 2 x -> Q = 2\¡2\cosx\
Como x e IC, entonces |cosx|=cosx. 
Reemplazamos en Q.
Q = 2\/5cosx
: Clave
Problema N,a 21
Simplifique la siguiente expresión:
 ̂ sen2xZ = ---------- - + tan x
1-cos2x
A) csc2x B) 2csc2x 
D) 2sen2x
C) sen2x 
E) ^-csc2x
Resolución
Aplicamos identidades del ángulo doble.
X se n xc o sx Z = ——----- ------ + tanx'
X s e n 2' x
cosx senxZ = ------+------
senx cosx
Multiplicamos en aspa.
Z =
-> z=
cos2x + sen2x 
senx cosx
1
Z =
senxcosx
_2______
2 senx cosx
Capítulo 9
Por ángulo doble tenemos que 
2Z =
sen2x
Z = 2 1
A
Vsen2x
Aplicamos identidades recíprocas. 
Z=2csc2x
i Clave [
Problema N.° 22
Calcule el valor de E.
E={ sen 50 °-co s500)2 + 2cos25°
A) 1,
D) cos10°
B) 2 C) 2cos10°
E) 3
Resolución
Desarrollamos el binomio.
E=sen250° + cos2500-2sen500cos500+2cos25°
—̂ E=1-2sen50°cos50° + 2cos25c
Aplicamos identidades del ángulo doble. 
E=1-sen100° + 1 + cos10° 
E=2-sen(90°+10°) + cos10°
Por reducción al primer cuadrante se cumple que 
£=2 - (+ cos10°) + cos10°
£ = 2 - a ^s 10°+Aó s10°
E = Z
: dn\/f> ■
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema M/ 23
Reduzca la siguiente expresión:
F __ tan(45° +x) + cot(45° +x) 
sen 2x
A) csc4x B) 4csc2x C) 2csc4x 
D) 4csc4x E) 2csc2x
Resolución
Por identidades auxiliares se cumple que 
2csc(2(45°+x))F =
sen2x
F = 2 esc (90° +2x) 
sen2x
Por reducción al primer cuadrante tenemos que 
2sec2xF =
F =
sen2x
2 ( 1 ^
sen2x Vcos2x)
F = ■
sen2xcos2x
Multiplicamos por 2.
2(2)F =
2(sen2xcos2x)
-» F = sen4x
E=4csc4x
Clave
COLECCIÓN ESENCIAL
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Problem a N/ 24
Determine el valor de k para que se verifique la 
siguiente identidad:
sen3 e - eos3 9 
se n e -co se
•u
D). 2
= 1 + /csen20
B) 2 C) 1
o - i
Resolución
Sea la expresión
sen3 6 -eos3 0B =
sen0-cos0
Aplicam os diferencia de cubos.
(sen0-cos0)(sen20+sen0cos0+cos20)B=- sen0-cos0
£=sen20+sen0cos0+cos20
fí=1+sen0cos0
a
# = 1 + -^-(2sen0cos0)
fí = 1 + ̂ sen20
d = '\ + - sen 20 = 1 + /r sen 20 
2
Comparamos
- i
Problema N/ 25 
Reduzca la expresión M. 
1-cos2xM =
'1+2cosx + cos2x ■secx
A) -1 B) secx C) 1
D) -secx E) eos*
Resolución .
Damos forma.
. . 1 -co s2xM = ----------------------- secx
1+cos2x + 2cósx
Por identidades del ángulo doble tenemos que
, . 2sen2x M = --------------------- secx
2cos¿ x + 2cosx
. . / ( l - c o s 2x )M = —------------------- secx
,2 cosx(cosx + 1)
Aplicamos diferencia de cuadrados.
(1-cos x ) { ^ g sx )M = -----------■ ---- secx
co sx jj> eü sx )
. . 1 -cosxM = ----------- secxcosx
—> M = --------1-secx
cosx
M = ^sécx -1 - ¿ecx
M = - 1
Clave t. • Clave
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.‘ 26 
A partir de la siguiente igualdad: 
sen 3 x + sen3 x 1 
eos3 x - c o s 3 x 7 
calcule tanx.
« 7 8 7 < 4
E) 7
Resolución
Aplicam os identidades del ángulo triple.
3 s e n x - 4 s e n 3x+ sen 3x _ 1 
eos3 x - { a eos3 x - 3 eosx ) 7
3 s e n x -3 s e n 3 x _ 1 
3 c o s x -3 c o s 3x 7
Factorizamos
3 s e n x ( l- s e m x2 ~) 1
3 c o sx (l- c o s^ x
^erfx eos7 x _ 1 
£©<x sen7 x 7
co sx _ 1_ 
senx 7
-2 -r) 7
—̂
co tx = y
tanx=7
: C/aye
Problema N.° 27 _____
A partir del gráfico, halle el área de la región 
sombreada en términos de 0 si BH=2.
A) 2csc0 B) 4csc0 
D) 8csc20
Resolución 
Nos piden ¡§>.
C) 2csc20 
E) 4csc20
Del gráfico 
« (AB)(BC)
s = — 2 (O
A R• &±AHB:— =csc02
—> AB=2csc0 (||)
R C• fcsw BHC: ——=sec62
—> fìC=2sec0 (III)
Reemplazamos (II) y (III) en (I). 
g (/2 csc9)(2sec9)
§=2csc0secO
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Usamos identidades recíprocas.
1 t
í 1 1^sen0 yVcos0 j
Multiplicamos por 2 a ambos miembros. 
2£=—2sen2xcos2x+4sen4x
§ = 
§ =
2
sen0 cos0
4
2 sen0 cos0
Aplicamos identidad del ángulo doble. 
2£=-sen4x+4sen4x 
2£=3sen4x
Por identidad del ángulo doble se cumple que
§= 4sen 20
§=4csc20
: Clave
Problema N.° 28
Simplifique la siguiente expresión:
£ = sen2x(l+V2 cosx)(l-V2 cosx)+2sen4x
A) 3sen4x B) 2sen4x C) -sen4x 2
D) sen4x E) -sen4x 2
Resolución
£ = sen2x(l+V2 cosx)(l-\/2 cosx)+2sen4 x
A p lica m o s d ife rencia de cuadrados. 
£ = s e n 2 x ( l2- { ' ¡ 4 c° s 2 x )+ 2 s e n 4 x 
E=sen2x ( i - 2co s2x ) + 2sen4x
£=-sen4x2
; Clave i
Problema N2 29________________________
Reduzca la siguiente expresión: 
£=tan20(l-tan2o)-sen2o(l + tan2o)
A) 2tan0 B) 0 C) 4tan0
D) -4tan0 E) 1
Resolución
NO OLVIDE
Por identidad de degradación tenemos que 
£=sen2x(1 - (1+cos2x))+2sen4x 
£=sen2x(- cos2x)+2sen4x
£=-sen2xcos2x+2sen4x
Entonces
sen20 = 2 tan0 
1+tan2 0
tan2G= 2 tan0 
1-tan2 0
Capítulo 9
Reemplazamos en P.
P= 2tan9 
J - ta n 2 0 y
(l-tan2 e)-í-lían® (̂1+tan20)
V.1+tan2 QJ
P-2tan0-(2tan0) 
P=0
i Clave [
Problema 30 
Simplifique la siguiente expresión: 
(sen 0 + eos 0)2 + sen2 20 -1E =
1 + sen20
A) sen0
B) sen20
C) sen40
D) 2sen0
E) 2sen20
Resolución ^
Desarrollamos el binomio.
sen20+cos20+2sen0cos0+sen220-1 
E ~ 1+sen20
Usamos identidad pitagórica y ángulo doble.
' / + sen20 + sen22 0 - /
E = 1 + sen20
Factorizamos en el numerador.
sen 20(1 + sen 20)
E ~ 1 + sen20
E=sen20 .....
; Clave
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.° 31
Si senxcosx=-, calcule el valor de cos4x en 
términos de a.
A) 1-a2 
D) 1-2o2
Resolución
Del dato
senxcosx=—2
B) 1-2¿? C) 2 ¿7-1 
E) 2a2
Multiplicamos por 2 a ambos miembros.
2senxcosx=2i
sen2x,=a
2 )
Elevamos al cuadrado y multiplicamos por 2. 
2sen22v=2c72
Utilizamos la identidad de degradación del 
ángulo doble.
1-cos4x=2 o2 
1-2o2=cos4x'
/. cos4x=1-2a2
Clave
Problema N.° 32 
Si 2tan0 + £>tan20=6,
calcule el valor de tan40 en términos de b.
2bA)
1 + bd
D) 2b{l-b2)
B) 1 -b¿ 2b
1 -b
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Resolución
Del dato
2tan0 +btan20 =£>
2tan6 =b(l-tan2e) 
2 tan0—>
1-tan 2 0
= b
Usamos identidad de la tangente del ángulo 
doble. 
tan2 Q=b (O
Sabemos que
Del gráfico 
tan40 = 2 tan2Q 
1- tan220 (II)
Reemplazamos (I) en (II). 
2 (b)tan 40 =---- 5-
1 - b 2
2btan40 = ----y
1 - b 2
Problema NÓ 33
• Clave
Si tanx=5, calcule el valor de M.
M=cotx-2cot2x
1
A) 5
1
B) 'S
C) 5 
2E)
Resolución
Dato:
tanx=5
Reducimos M.
M=cotx-2cot2x
Por identidades auxiliares tenemos que 
M=cotx- (cotx-ta nx)
M=cotx-cotx+tanx 
—> M=tanx 
M=5
: Clave
Problema N.‘ 34
Simplifique la siguiente expresión: 
sen40 + 2cos207 =
(sen0 + cos0)¿
A) 2sen0
B) sen20
C) 2cos20
D) cos20
E) 2tan20
Resolución
Por identidad del ángulo doble se cumple que
j _ 2sen20cos20 + 2 cos20 
1 + sen20
Factorizamos
 ̂_ 2 eos 20]sen204riy
7=2cos20
• Clave
D) -5
Capítulo 9 Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.° 35
Si eos2 30 + sen220 = -̂ ( calcule M. 
M = cos60 - cos40 + 5
Aplicamos identidad del ángulo doble e iden­
tidades auxiliares.
/ cos2x 1 
\ sen2x-2 csc2x + 2
C) r? + 1 
E) n + 3
A) n-3 B) n+2 
D) n- 2
Resolución
Dato:
cos230+sen220=-
2
Multiplicamos por 2 a ambos miembros.
2cos230+2sen22O = - -2 2
1 + cos60 + 1-cos40=n 
—> cos60-cos40=n-2 
Reemplazamos en M.
M=(n-2) + 5 
M=n + 3
• C/oi/e
Problema N.* 36__________________
Simplifique la expresión E.
Icos4 x-sen4x 1 , yc |lc
V sen2x(tanx+cotx) 2
C) -cosx 
E) -cotx
A) cosx B) senx
D) -tanx
Resolución 
Tenemos que
í(co5̂ x + sen2x)(cos2 x-sen2x) ( 1 
E = V sen2x(tanx + cotxj 2
/ cos2x 1 
V2sen2x-csc2x 2
-» £ =
E =
\cos2x ̂1 
2 + 2
cos2x + 1
£ = eos X
E = \/coszx -» £=|cosx| 
Como x e IIC, entonces cosx < 0.
E--COSX
• Clave
Problema N.° 37
Si tan20-8tan0 + 15=O, 
calcule la suma de valores de tan20.
A) -Z 6
D)
B) I 6
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Resolución 
Aplicamos aspa simple. 
tan20-8tan0+15=O
tan0
tan0
-5
-3
-> (tan0-5)-(tan0-3) = Ov- ----- ' V----v----'
o 1 o
tan0=5 v tan0=3
Sabemos que
tan2e = ̂ -tan6 
1-tan20
Reemplazamos los valores. 
• Si tan0=5
2(5)—> tan 20 =
1-5¿
tan20 =----
12
Si tan0=3
tan20 = 2(3)
1-32
tan20 = - —4
ŝuma de valores 
de tan20
_5_ _ 3 = _ 7 
12 4 6
i Clave
Problema N.’ 3 8
S i2 co t2 0 -c o t| = a calcule
f = 2 csc2 0 + 5 i ë ^ 0
A) -n n̂
D) u-1
- f
E> §
Resolución
Por identidades auxiliares se cumple que 
E = £©ftí + tan 0 +esc 0-^otíí 
£=tan0 +csc0 
Dato:
2 cot2 0 -cot — = n 2
—> i^ f^ -tan0 -(csc0 + coir0f=r?
tan0 + csc0 = -n 
/. E=-n
: Clave
Problema N.° 39 
Simplifique la siguiente expresión: 
3sena * cot a - sen3a • cot aF = eos 3a+ 3 cos a - + 1
A) 1+tan4a B) 1 + tan3a C) csc2a
D) sec2a
Resolución 
Factorizamos cota.
cota(3sena-sen3a)
E) tan4a
F =
F =
cos3a + 3cosa 
cota(/ísen3a) „
+ 1
X - 3eos a
—> F = cot a
í ^ sena
Veos a
3
+ 1
F=cota-tama+1
1 ̂ ?F =----- tan a + 1 —> F=tan a+1tana
F=sec¿a
Clave
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Problema N.° 4 0 Problema N, 41
371
Si tc<2x <— y tan2>r = 2 '/2 , ¿cuál es el valor i Reduzca la expresión M.
de tanx?
A) ~ ~ B) - V i
D) V Í-1
C) 2 (V2 - l)
E) h H
Resolución
Dato:
n 3tctí < 2x < ---2
—> tan2x = 2\/2
Por ángulo doble tenemos que
¿tanx
1-tan2 x
—> tanx = V2 -V itan 2 xV2 tan2 x + tanx-V2 =0
%/Í tanx 
1tanx
-1
+V2
—̂ (V i tan x-1) (tanx + V2 ) = 0
tanx = - 3= v tanx = -V Í
V2
_ 371Como ti<2x < —
n 3n_> - < x < —- 
2 4
Luego x e IIC
•. tanx = - V i
Clave
M =
v
tanx + cotx 
2 „Isen4x + 4sen2x
A) 1 
D) 4
Resolución
B) 2 C) 3 
E) 5
Recordemos que por identidades auxiliares del 
ángulo doble se cumple que 
tanx+cotx=2csc2x
Reemplazamos en el problema.
M = /e sc 2x
v .2
| (2sen2x eos 2x) + 4sen2x
V-V- "j XV V
M =---- — (2^en2x eos 2x) + 2 (2sen2x),senZx
-> M = 2cos2x + 2(1-cos2x)
M = jlcosíx + 2^ex5s2x 
M=2
: C/oye
Problema N.° 42 
Simplifique la expresión A.
4sen30 + sen39A = 1 -eos20
A) -tan0
D) -secO
B) —esc 0 C) -coto
E) —esc 0
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Aplicamos identidades de ángulos dobles y 
triples.
^ _ 4>efí3e +3sen6-4seTi39
2sen29
2sen26
A = -c sc 6 2
Problema N.6 A3
2 sen0
! Clave
Calcule cos0 si 
cos30 + 3cos0
1-sen20
= n.
D) 4n
B) 2n C) - 4
E) 2/1 + 1
Resolución % \ P '
Aplicamos identidades fundamentales e iden­
tidades del ángulo triple.
cos30+3cos0
1-sen20
= n
4cos3 9-3€OÍ9 _ n
cos2 0
4 cos Q _ n 4cos0=/i 
cos2 0
nc°s0 = -
•: Clave
Problema N.° 44 
Calcule el valor de N. 
sen310°+cos3 20°N =
A) 3 
D) 4
sen10°+cos20°
B) - 3 C)í
E)
Resolución
Multiplicamos por 4, y luego aplicamos identi­
dades del ángulo triple.
4N =4sen310o+4cos320° sen10° + cos20°
4 N =3sen100-sen30°+3cos200 + cos60° sen10° + cos20°
3sen10°- 1 +3eos20° +
4N =--------- £------------ isen10° + cos20°
4N =3(sen10o + cos20°; sen10° + cos20°
Clave
N = 3- 4
Problema N.' 45_____________
Reduzca la siguiente expresión: 
H=cos410o-sen410°-2sen210°
A) — eos 10° B) -sec10° C) — sec10°
2 2 2
D) 2^3 eos 10° E) V I sec10°
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Resolución
Aplicamos diferencia de cuadrados.
H=(cos210°+sen210°)(cos2100-sen210°)-2sen210°
Aplicamos la identidad pitagórica y la identi­
dad de ángulo doble.
H=(1)(cos20° ) - 2sen210°
H=cos20° - (1-cos20°)
H=2cos20°-1
NO OLVIDE
Por ángulo triple se cumple que |
¿ v f'
cos3x = 2cos2x-1eos x :" |><>c<>c<xx><>c><><>c><x>ocHX>cK̂xx;xx><x̂:<.'<S'r>c<xx:<>c<'Xv<<̂ v
En el problema 
cos30°H = cos10°
R
. f/ =— sec10° 
2
i Clave
Problema N.“ 46
Halle la siguiente expresión:
__t + tan2(45° + a) | 1 + cot2a 
M“ ^ t 2(4 5 ^ ) 2cota
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 0
Resolución
Aplicamos identidades.
1+-/u_ 1+tan2(45°+ct) | tan2ce
1-tan2(45°+a) 2 . 1
tane/
,21+tarn (45°+a) 1 + tama M =------ ---------- +---------
1-tan2(45°+a) 2 tan oí
Del gráfico
2 ían6
Tenemos
• sec20 =
csc20 =
1 + tan2 0 
1-tan2 0
1 + tan2 0 
2 tan0
(I)
(II)
Reemplazamos (I) y (II) en M. 
M = sec(90° +2 oí) + esc 2 oí 
M = - csc2oc+ csc2oí 
/. M=0
Problema N.° 47____________
2Si tan20°=—, reduzca m
/4=csc20° + cot20°-tan10°.
1
Clave
A) m 
D) m +1
B) m
COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución
Aplicamos identidades de ángulos dobles.
A = csc2 0o+cot20 °- ta n 10°
A = cot10° - ta n 10°
A=2cot20° —» A-2-
Reemplazamos el dato.
A = 2 -~
2
1
tan 20°
m
A=m
; Clave
Problema NA 48
De la siguiente igualdad:
= 4~21-cos2x 1+cos2x 
\ 2 V 2
halle el valor de sen2x sabiendo que x e IIC.
A) 1 
D) -1
• i
o
2
E) — 2
Resolución
Por identidades del ángulo doble tenemos que
[¿sen j /cos2y _ ^
+‘ , _ 7
-^ 7 ¡ ^ S + Vcos2 ̂=>/2
|senxl+lcosxl = ^ (*)
Lumbreras Editores
Comoxe IIC —> senx>0 y cosxcO. 
—> |senx|=senx a |cosx|=-cosx 
Reemplazamos en (*).
senx-cosx = V2 
Elevamos al cuadrado.
(senx-cosx)2 = V ?
Desarrollamos el binomio.
sen2x + eos2 x - 2senx eos x = 2
1-sen2x=2
- 1=sen2x
sen2x=-1
: Clave
Problema N.a 49
Reduzca la siguiente expresión:
R = tan\2 J
A) senx 
D) -cosx
+ 2sen2 — jeotx
B) -senx C) cosx 
E) tanx
Resolución
Aplicamos identidades del ángulo doble.
R = taní x i 2— +2sen ' x 'l 2 ; <2 vcotx
—> R = cscx-cotx + (1-cosx)cotx 
R = esex- cotx+ (1 -cosx)cotx
Capítulo 9 Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
R -cscx-^ etx + £&fx - c o s x ^ l
senx
R =
R =
J ____cos2x
senx senx
1-cos2 x
senx
R=senx
? Clave
Problema N.° 50
Simplifique la expresión G.
G=(1 + senx+cosx)(senx+cosx-1)
A) sen2x B) cos2x C) tan2x 
D) sen2x+1 E) cos2x-1
Resolución
Aplicamos diferencia de cuadrados. 
G=[(senx+cosx) + 1][(senx+cosx)-1]
G = (senx + eos x )2 -1 2
G = sen2x+2senxcosx+cos2x-1
Aplicamos identidades fundamentales y ángu­
los dobles.
G = sen2x + eos2 x + 2senx eos x -1 
G = X +sen2xy1 
G = sen2x
: Clave
Problema 51
Si x=15°, calcule el valor de N.
/V=senxcos5x-sen5xcosx
^ p_sen2x i A)
£
8 B) 1 . 2 C)
1
4
senx
' I D) A
2 E)
£
4
Resolución
Sea la expresión
A/=senxcos5x-sen5xcosx
Factorizamos
A/=senxcosx(cos4x-sen4x)
Aplicarnos identidades del ángulo doble.
-j
N---2 senx eos x (eos2 x+sen2 x)(cos2 x-sen2 x) 
1A/=--sen2x-1-cos2x2
-h> /V=-sen2xcos2x 2
N=—-2sen2xcos2x 4
N=—sen4x 4
Evaluamos x=15°.
N=~-sen60° -> N =--~ 4 4 2
N=
: Clave
COLECCIÓN ESENCIAL
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Problem a 52 
En el gráfico, calcule x.
A) 15° 
D) 60°
B) 30° C) 45° 
E) 20°
Resolución
Sea SH=1, y usamos resolución de triángulos 
rectángulos.
Luego, tenemos que
Ahora
\ Aplicamos
tanx=- tan10c
i -> tanx=
tanx=
tan20°tan40°
___________1___________
cot 10°-tan 20°-tan 40°
1___________
tan 20°-tan 40°-tan 80°
Recordemos que
tan0-tan(6O°-0)-tan(6O°+0)=tan30
tanx=- 1tan 60°
+ 1 tanx=-^
V3
x=30°
; Clave :
Problema N.° 53
ClSi se cumple que sen0+cos0=-S-, calcule el 
valor de R.
n 1 + tan2 0 1 + cot2 0 R =-------- +---------sen0
A) 6̂ 2 
D) 18>/2
COS0
B) 8̂ 2 c) 10V2
E) I2V2
Resolución
Usamos identidades pitagóricas.
c
tan10°
'
3—
R=sec2 0 esc2 0 +sen0 cosG
" ; V í -> R= 1 ? +
tar,20° • tan40a senGcos 0 c
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
Factorizamos 
1R=-
R=
sen0cos0
1
1 1 ̂-+Vcos0 sen0 j
sen0cos0
sen0+cos0 
V sen0cos0 J
R= sen0+cos0
(sen 0 eos 0)2 
Del dato
y¡2sen0 +cos0 =—2
Elevamos al cuadrado.
\2
(sen 0+cos 0)2 =[^~j
Desarrollamos el binomio.
\ 1sen2 0+cos2 0+2 sen0 cosO=- '------ »------ ' 2
(I)
(ID
1+2 sen0 cos0=- -+ 2 sen0 cos0= --
sen0 cos0 =—- 4 (III)
R eem p lazam o s (II) y (III) en (I).
72 72
/?=-
_1
A)
------> r=~t -
2̂ 1
16
R= 8 \Í2
Clave \
Problema N.° 54
Si se cumple que senx-tan^tan2*, calcule el 
valor de M. .
M=seor+senx
A) -2 B) 2
» i
Resolución 
De la condición 
ser\x-tanx-tan2x
sen* 7 sen*------ =tan x
COSA'
C) -1
senA'-senA'- -=tan' xcosx
senx-senx ■ secx=sec2x- ' ] 2
Factorizamos, y aplicamos diferencia de cua­
drados.
senA'(1-secA')=(secA'+1)(secA'-1)
Simplificamos
- sen x(¿e¿x-1)=(sec x+1)(¿etx-l)
-senx=secx+1
-1=secA'+senx
M=-1
Clave
PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
Dada la condición 
1eos x - sen x = - 
5
calcule el valor de sen2x.
7
25
12B) — 
25 C)
23
25
21
E) 2425 25
2 . Simplifique la expresión E. 
cos12°E =
eos 6o + sen 6o-eos 6o
A) sen6° B) cosò0 C) 0 
D) -sen6° / E) -cos6°
3. Halle la siguiente expresión: 
F = c o s24 x - c o s6 0 °c o s8x + 1
A) 1 
D) 2
Q 2 
E) %
4. Simplifique M.
1 + eos40°-sen40°M = eos20°-sen 20°
A) 2cos20° B) cos20° C) sen20° 
D) cos40° E) 2sen20° 5
5. Calcule el valor de A.
4 eos2 40°-2 
 ̂ sen5°sen85°
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
6 . A partir del gráfico, halle x.
A) — 5
D) 10
B) 34 C) 12
E) “ 5
7. ¿A qué es igual la expresión 
(cot0-tan0)sen40 + 4sen22O?
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
8 . Reduzca la expresión E. 
1 + sen2x + cos2x 
1 + sen2x-cos2x
A) tanx B) cotx 
D) cosx
C) senx 
E) 2senx
9 . Calcule tan2x si se cumple que 
3tan2x=3-tanx.
A) 2 
D) 5
B) 3 C) 4 
E) 6
10. Si senx < cosx, simplifique la expresión F. 
F = Vl-sen2x + sen x
A) -cosx B) sen* C) 2cosx 
D) cosx E) -senx
■
Capítulo 9 Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
11. Simplifique la expresión M. 
cos4 x-sen4 x + sen4x 
sen2 36° + senxcosx
A) 4cos2x B) 2cos2x C) —S-2x
2
D) cos2x E) 4cosx
12. Si cote = Vx; x > 0, calcule el valor de P.
n 1+eos26 ■P =--------- +1 — x1-eos26
A) -2 
D) 1
B) -1 C) 0 
E) 2
13. Si 6 e NIC, reduzca la expresión N.
N = y¡1 - sen2 6 eos 6 - yf\ - eos2 6 sen 6
A) -cos26 B) sen26 C) cos26
D) sen26 E) 6
114. Si sen0 cos0 = -, calcule cos46.
2 4A) f B) -
3 ' 
D) 7
15. Si se cumple que 
1-ntan(45°-6) = — , 
calcule cos20 .
Q i9
E) 1 9
A).
n2 B) 1-/72 C) ~ ~ 2
M = xsen20 +ycos20
^ n 2 Un2
A) x B) y Q xy
D) 1 -n2 í+n2
E) 2Í2 + /72 D) - 2 E)
y
X
16. Simplifique la siguiente expresión: 
eos66+3eos26 
1-sen2 20
A) 2cos26 B) cos26 C) 4cos20
sen30D) sen20 E) 2
17. Halle el equivalente de la siguiente expresión: 
3senOcot0-sen30cot0
4 eos3 0
A) tan0 B) tan20 C) cot20
-D) cot0 E) tan30
18. Calcule el valor de la siguiente expresión:
tan10° (3-4 sen 10°
4 eos210°-3
A) - 2
D) 3
B) 1 C) V3
E) 31 3
19. Si se cumple que
sen30 + cos30+4sen30-4cos30 = /7, 
calcule el valor de
P = \/2sen(0-450) en términos de n.
A) 3/7
D) -3
B) C) 2/7 
E) n + 3
20. Si tan0 = —, halle el valor de M.
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21. Simplifique la expresión E.
£■_ nsen3*-3sen* 
V eos 3*+ 3eos*
A) tan* B) -tan* Q cot* 
D) -cot* E) -sen*
22. Si cosx = ^-,
halle el valor de la expresión B.
D sen3* cos3* B =------ +-------sen* eos*
« !
d , 53
■ 5 Q - 3
E)
23. Calcule el valor de R.
(cot10°+ tan10o)cos70° 
(cot 5o - ta n 5o) cot 80°R =
A) 2
D) - -
B) 2 C) -1 
E) 1
24. Calcule el máximo valor de G. 
G=sen60 + 4sen 20+4cos20
A) 2 
D) 13
B) 5 C) 8 
E) 17
25. Si se cumple que esc0=VlO eos0, calcule 
cos40.
D)¿
B) 12 C) 4
26. Halle el valor de la siguiente expresión: 
eos 50° cot 20° +eos 50° tan 20°N=-cot 70° cot 10° - cot 70° tan 10°
A) 1
D ) - _
B) -1 C) 12
E) 2
27. Si se cumple que sen20 + cos0=senO, cal­
cule el valor de M.
M=e os20cot20
A) 1 
D) -2
B) -1 C) 1/2 
E) 2
28. Simplifique la expresión P. 
p_ sen40°+sen20°
1-feos 40°+ cos 20°
A) cot20° B) cot40° C) tan20°
D) tan40° E) 2tan20°
29. Calcule el valor de la siguiente expresión: 
sec2 0-tan2 0-cos2 0F=-
A) 2
D) - 2
1-cos20
B) — 2 C) -1 
E) 1
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
30. Si se cumple que 5senx+12cosx=13, calcu- 
le el valor de Q.
Q=csc2x-cot2x
* > !
D) — 
13
B) -13 q !12
E) * 5
31. A partir de las siguientes condiciones:
• senx+cosx=a
• senycosy=¿>
calcule el valor de sen2xsen2y
A)
D)
? -ia -1
~2b
a2+2
B) C72+1
2b C)
a2-
2b
E) 2b„2 ■■ 2b
32. Si sen0cos0cos20=n, 
calcule (sen20 + cos20)2.
A) 1+4/1 B) 1 + 2n C) 1 +n
E) n-2
33. Calcule el valor de la siguiente expresión:
H= CQS§!_____ 2 eos2 2°-cos86°cos4°-sen4°
A) -1
D ) - 2
B) 2 C) 1 
E) 2
34. Si tan20+12tan0=1, 
calcule 2csc40-tan20.
A) 3 B) 2
D) 5
C) 6 
E) 4
35. Calcule el equivalente de la expresión E. 
2(cot0- 2 cot20)E=- 2 Asec 0
A) cos20 B) tan20 C) csc20 
D) sen20 E) sec20
36. Reduzca la siguiente expresión:
. sen30 cos30 . __L=------+------- 4 eos 20sen0 cos0
A) 1
D) sen20
B) sen0 C) 0 
E) sen30
37. Sitan) -
2)
calcule tan
« i
2
2;
3̂0
2
11
B) 2
E)!
38. Calcule el equivalente de la siguiente 
expresión:
/W=1+ (̂sen30+4sen" o)-cosG
A) (sen0-cos0)2
B) (sen0 + cos0)2
C) (sec0~csc0)2
D) (1 + senO)2
E) (sec0 + cscG)2
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39. Reduzca la siguiente expresión: 
£ _ 2 csc2 x-tanx
tanx+2cot2x
A) tanx B) cotx 
D) -1
C) 1
E) -tanx
40. Simplifique la siguiente expresión: 
M=(cot20 -tan20)-tan20
A) csc20 B) 4csc0 C) 4csc20 
D) csc0 E) 4cot20
41. Si senx-cos=y-, calcule sen2x.
A) \ ' C) |
D) - E) —3 3 42
42. Calcule el valor de 0.
cos235°~serC35c
'
2sen10°-cos10°
B) 20°A) 10°
D) 45°
43. Calcule sen2x
. sen(x + 45°) _ 1 
s e n ( x - 4 5 ° ) 2
C) 35° 
E) 70°
A) 1
3B) - 3 ̂"I
D)l E) i
44. Si tan3x=/7, calcule (l-/72)-ían6x.
A) n 
D) W
B) 2n C) 3/7 
E) n2
45. Halle el valor de N. 
A/=2(3sen15°-4sen3'15°)
A) 2̂
» i
B) 73+1 C) 72 
E) 1
46. De la siguiente igualdad:
. cos230-sen"30 + 3cos20=Mcos/V20, 
calcule M+N.
A) i 3
D) 3
47. Si sen(30°-x)=—í 4
B) 2 C) 4 
E) 7
calcule cos3x.
<
B) 1316 C) — 16
E) J1 16
48. Calcule el valor de A.
A=76sen20°-73
A) 3sen20° B) 2sen20° C) 2cos10° 
D) -2sen10° E) -2sen20°
49. Calcule el equivalente de la expresión £. 
£=sen9x+4sen33x+12sen3x
A) sen3x B) 2senx C) 9ser\Y
D) —cos3x 4 E) 9cosx
Capítulo 9
Identidades trigonométricas de ángulos múltiples
50. Reduzca la siguiente expresión: 
d=sen3xcos3x+cos3xsen3x
A) 3sen4x
B) 2sen4x
C) -sen4x 4
D) —cos4x 4
n 3E) — senx 4
51. Simplifique la siguiente expresión: 
3cos0+cos30M=-3sen0-sen30
A) tam0 B) cor0 C) tan20 
D) cot20 E)^cot0
52. Si la siguiente igualdad:
sen30 _ ,--------------o- eos 0+osen20-sen0
es una identidad, calcule a + b.
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
53. Calcule el valor de a en la siguiente 
expresión:
4cos18°- 3sec18°=tf • tan18°
A) 1 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 5
54. Calcule el valor de Q. 
Q=12cos240°-8sen310°
A) 3 B) 5
D) 9
C) 7 
E) 1
55. Calcule el equivalente de la expresión D. 
D=( 3sen22x-l)(1-2cos8x)
A) sen12x B) cos6̂ C) señó*
D) cosí2* E) sen8x
56. Calcule el equivalente de la expresión R.
R= 4cos4a+24cos4a-2j tan 2a
A) - —cot4a B) tan6a C) cot6a 4
D) —tan4a 2 E) -2tan6a
Claves
1 8. 15 22 : 29 36 43 50
2 9 16 23 i 30 37 44 51
3 10 17 24 31 38 45 52
4 11 18 25 : 32 39 46 53
5 12 19 26 33 40 47 54
6 13 20 27 : 34 41 48 55
7 14 21 28 ¡ 35 42 49 56
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DE TRANSFORMACIÓN
El término resonancia hace referencia a un conjunto de 
fenómenos relacionados con los movimientos periódicos 
o casi periódicos en el que se produce el reforzamiento 
de una oscilación al someter al sistema a oscilaciones de 
una frecuencia determinada. Dicho fenómeno se da de 
diferentes formas, dependiendo de los cuerpos o el campo 
en el cual se desarrolla: la resonancia puede ser acústica, 
mecánica, eléctrica, magnética, u otras. En muchos casos, lo 
que se observa matemáticamente es una sobreposición de 
ondas, las cuales se expresan con ecuaciones senoidales 
de la forma
f^=Asen(Bx+Q + D
Dicha sobreposición genera una nueva onda al observarse la 
transformación de una suma de senos o cosenos a producto. 
Las diversas construcciones, como los edificios y puentes, 
están diseñadas para evitar el fenómeno de la resonancia; 
por ejemplo, en el caso de un puente, su estructura tiene 
asociada a ella una ecuación de onda, lo mismo sucede con 
el viento, los carros y las personas que transitan sobre él.
Si las ecuaciones de onda se anulan matemáticamente o se 
suman, pueden generarse problemas en las estructuras. De 
allí la importancia de realizar operaciones de transformación 
trigonométrica en casos de suma o resta de senos y cosenos.
A p re n d iza je s e sp e ra d o s
• Expresar una suma o diferencia de senos o cosenos como 
un producto, o viceversa.
• Identificar la relación entre las razones trigonométricas a 
partir de las identidades de transformación.
• Relacionar las razones de ciertos ángulos cuya suma sea 
una constante, como 180° o 360°.
¿ P o r qué e s n ecesario e ste cono cim iento?
Permite relacionar las razones trigonométricas para reducir 
expresiones extensas a términos más simples, así como la 
suma con el producto de razones, que será de frecuente uso 
en el tema de funciones.
:
{i i | • m l n
A partir de las identidades trigo­
nométricas de transformación, 
se puede demostrar que 
cos0 + cos(12O°+0) + cos(12O°-0) 
siempre te da como resultado 
cero (0) para cualquier valor de 0. 
Es decir 
• . 0=10°
cos10° + cos1300 + cos110°=0 
0= 20°
cos20°+cos100°+cos140°=0
Identidades trigonométricas de 
transformación
DE SUMA O DIFERENCIA DE SENOS A PRODUCTO
/ ------------ -—
sen A + sen B = 2 sen ' A + B 
' 2 )
ÍA-Beos i ----- I
\ 2 J j
sen A - sen B - 2 eos I — - !1 2 )y__
_ f . A - B ) |
3tínl 2 J l
- J
Demostración
Sea m<AOC=A y m<BOC=B
Sea OA=OB=Q.
Entonces se cumple lo siguiente:
• En el I^OSC, BC=QsenB.
• En el k^OAH, ATMsenA
Además, el ^,AOB es isósceles.
Trazando OM1AB, se cumple que 
AM=MB
m <AOM = m <MOB =
2
Luego, en L^AOM
OM=0cos A -B j2 y
/ A + B \
Capítulo 10 Identidades trigonométricas de transformación
Trazamos MN10C. Luego en el L^MO/V
m<MON = A+ B
—> MN =ficos
2
/ A-B\
y 2
sen
j
A + B
y ~ j
En el hAHCB, MN es la base media. 
AH + BC = MN
—> / senA + / senfí = / eos A-By 2 Jsen
A + B
y 2 )
Finalmente, se obtiene 
senA + senfí = 2sen A + B
y 2 )
eos A-B
y 2 )
Ejemplos
sen 40° + sen 20°= 2 sen 40°+20° eos 40°-20°
sen 40° + sen 20°= 2 sen. 30° eos 10°
f50°+40°• sen50°-sen40°=2cos ---- -----v 2
sen50°-sen40°= 2cos45°sen5°
• sen70 + sen0=2sen40cos30
• sen6a-sen4a=2cos5asena
v : 7
eos 50°-40°^| 2 ,
2. DE SUMA O DIFERENCIA DE COSENOS A PRODUCTO
 ̂ f A + B )
e o s A + e o s ¿3 - 2 e o s j j
C 0 S l ~ 2 ~ ) 
__ )
í A + B \ ( A - B )
e o s 4 - e o s B = - 2 s e n ¡ — —
V / 1 V ~ 2 J______________ ;
Demostración 
Se sabe que
• cos(oc+0)=cosotcos0~ senocsenG (I)
. COs(oc-0)=cosacosO + senocsen0 (II)
• Si se tiene la expresión
M=sen0 + cos0
M=sen0 + sen(90°- 0)
M=2sen(45°)cos(0-45°)\___ Y___ /•• t : r~... +1 .
M ~\¡2 eos (0 - 45°)
Es decir
sen0 + cos0 = V2cos(0-45°)
• En el capítulo de identidades • 
trigonométricas de un ángulo i 
compuesto también se en- : 
contró
sen0 + cos0 = V2sen(G + 45°) i
3
Importante
Si A + B + C-180°, 
demuestre que 
cos2A+cos2B+cos2C
4cos/4cos0cosC-1
Sumamos (l)y(ll).
cos(a+0)+cos(a-0)=2coscxcos0
Hacemos un cambio de variable. 
oc+0=A 
a-Q = B
A+B A-B-» oc = —— y 0 = 1 _ £
Reemplazamos 
eos A + eos £ = 2 eos A + fil 2 eos
A-B
Restamos (I)y(II).
cos(a+0)-cos(a-0)=-2senasen0
Finalmente, reemplazando obtenemos 
eos A - eos fi = -2 sen sen(~ J~ |
Ejemplos
• cos50° + cos100=2cos300cos20°
• cos430-cos370=-2sen400sen3°
• cos4a+cos2cc=2cos3acosa
• cos7(3-cos3(3=-2sen5(3sen2(3
• cos20-cos80=-2sen50sen(-30) 
cos20-cos80=2sen50sen30
A plicación 7
Determine el equivalente de la‘ expresión 
sen50o-t-sen10° +cos20°.
Resolución
Sea la expresión
M = sen50o + sen10° + eos 20°
por identidad de 
transformación
—> M=2sen30°cos20°+cos20°
M = ¿ ' i '
\ í )
M=2cos20°
eos 20° +eos 20° M=cos20°+cos20°
Si A + fí + C=180°
se cumple que la expresión
senA + senS+senC
es equivalente a
, A B C4 eos—eos—eos—2 2 2
También se cumple que la expre­
sión
cosA + cosB + cosC
es equivalente a
A B C ,4 sen—sen—sen — + 1 2 2 2
Capítulo 10 Identidades trigonométricas de transformación
A p l ic a c ió n 2
Al simplificar la expresión
sen4x-sen2x
cos4x-cos2x'
¿qué resultado se obtiene?
R eso lu c ió n
Sea la expresión
y. _ sen4x-sen2x 
cos4x-cos2x
Por identidad de transformación tenemos que
y _ 2 cos3x>eríx 
/ ¿ sen 3x^eríx
/. K =-cot3x
A p lic a c ió n 3
Halle la expresión
sen5x-senx
l.cos5x-cosx tan3x.
Resolución
Sea la expresión
M = sen5x-senxIvCos5x - cosxJ tan3x
Por identidad de transformación se cumple que 
f ¿ posSx^ert2x ̂ |̂̂ en5x
/ís&rfZx J ¿oslxM =v/ 
M=-1
A plicación 4
Reduzca la expresión 
sen480 + sen12°-cos56°
Resolución
Sea la expresión
/V=sen480 + sen12°-cos560 
_> N=2sen30°cos18°-cos56°
• Cuando se tiene una expre­
sión de la forma
1 ± 2senG v 1 ± 2cosG 
conviene factorizar el factor 2, 
de modo que
2^ ± senü j v 2^ ± cosgJ
obteniéndose
2(sen30°±senG) v
2(cos60°±cos0)
que es posible transformar a
producto.
• Si se tiene
V3sen0 o s/3cos0, se puede 
reemplazar como 
2sen6O°sen0 o 2cos3O°cos0 
según sea conveniente para 
transformar de producto a 
suma o diferencia.
5
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Simplificamos
n - 4 ?
cos18°-cos56°
N = cos18°-cos56°
N = -2sen37°sen(-19°)
-sen19°
N = 2sen37°sen19°
N = -senÍ9° 5
A p l ic a c ió n 5
Si al reducir la expresión
sen55°-sen15°
sen45°-sen25° g
se obtiene AcosB°, tal que 0 < B < 45, halle —.
Reso lu ció n
Sabemos que
sen55°-sen15°
P =
P =
P =
sen45°-sen25° 
¿ £qsS 5° sen20c
/ sen 10°
sen20° 
sen10°
Aplicamos identidad del ángulo doble.
2^en4d° cos10c
P=
P = 2cos10°
Por dato
2cos10°=4 cose°
Luego
A=2 a B=10
, ®=1°=54 2
A p l ic a c ió n 6
Halle el valor de la expresión
sen57° + sen17°
cos57° + cos17°
Reso lució n 
Sea la expresión
. . sen 57° +sen 17°M =------------ —cos57° + cos17°
_ /sen37°pos'20°
/ eos 37° cos'ZCH
A7 = tan37°
M = — 4
Aplicación 7
Calcule la expresión
cos58° + sen48° 
sen 58°-eos 48°
Resolución
Sea
cos58° + sen48° 
sen 58°-eos 48°
Por ángulos complementarios tenemos que 
sen48° = cos42° 
cos48° = sen42°
Reemplazamos
eos 58° +eos 42°K = sen58°-sen42°
Simplificamos
r __¿£es5Ú° cos8°
"* ^=cot
K= 7
Aplicación 8
Transforme a producto la expresión 
1 + 2cos20°.
Resolución
Sea
P = 1 + 2cos20°
Factorizamos 2.
Í1 "lP = 2 - + cos20°v2 J
—> P = 2(cos60° + cos20°)v--------- v--------- f
2cos40°cos20°
P = 4cos20°cos40°
Aplicación 9
A partir del gráfico, determine el valor de 0.
Resolución
Del triángulo mostrado
sen40° + sen20° 
tan0=cos4O° + cos2O°
/ s e n 3 0 ° £ Q s 1 Ú ° 
t a n 0 " / COS3 0 °
_> tan0 = tan30° 
v 0 = 30°
3. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
cn(x-y) í
i 2cosxcosy=cos(x+y) +cos(x
2senxseny-cos(x-y) ~cos(xx ■/)
Demostración
Sean m<FOG=2y y m<POM=x.
F
Notamos que OF=OG=l
Trazamos OP1 FG 
-> FP=PG
En el fcxOPF, OP=cosy 
En el fĉ OQP, PQ=cosysenx
Además
En el fĉ OFA/, FN=sen(x+y])
En el Eî OGM, GM=sen{x-y)
FN + GM
2
sen(x + y) + sen(x-y) —> cosysenx =--- ----------- ----—
Finalmente, se obtiene
2senxcosy=sen(x+y)+sen(*-y)
Ejemplos
• 2sen200cos10°=sen300+sen10° 
2cos3xcosx=cos4x+cos2x
• 2sen400sen20°=cos200-cos60° 
2sen100cos50°=sen600 + sen(-40°) 
2sen100cos50°=sen600-sen40° 
2sen(a+0)cos(a-0)=sen(a+0 + a - 0) +
+ sen(a+0 - (a - 0)) 
2sen(a+0)cos(a-0)=sen2oc+sen20
• 2sen(40°+x)cos(10o+x)=sen(40+x+10°+x) +
+sen(40°+x-(10°+x))
2sen(400+x)cos(100+x)=sen(500+2x)+sen30°
2sen(40°+x)cos(10o+x)=sen50°+2x+-2
• 2cos(x+2y)cos(3x-y)=cos(4x+y) +
+ cos(3y-2x)
Aplicación 10
Calcule el valor de 2sen250cos50-sen20°.
Resolución
Sea
R = 2 sen 25° eos 5o-sen 20°
Por identidad de transformación de producto 
a suma tenemos que
R = sen30°+^Bfí2Ó°-^ñ26°
A plicación 11
Reduzca la siguiente expresión: 
rn<; Sx eos x +sen 4x sen 2x 
cos3x
Resolución
cos5xcosx + sen4xsen2x
E~ cos3x
•; Multiplicamos por 2 para obtener productos y 
transformar a suma o diferencia, y para que la 
expresión no cambie la dividimos entre 2.
2cos5xcosx+2sen4xsen2x
2cos3x
yo5CÍ+cos4x+cos2x-yos^x—? r — --------------------—-----------------
2cos3x
o_ cos4x+cos2x p _ZeoS3x cosx 
2cos3x ~ ^cos3x
P = cosx
Aplicación 12
Halle el equivalente de la expresión 
2sen15°sen50 + cos2100-sen210°
Resolución
Sea
P = 2sen15°sen50 + cos¿ 10°-sen210°
Por identidad de transformación tenemos que 
2sen150sen50=cos100-cos200
Aplicamos identidad del ángulo doble.
cos210°-sen210° = cos20°
—> P = cos10°-pO52Ü°+yo5'20°^
P=cos10°
Aplicación 13
Halle el valor de cos212°-sen42°sen18°.
Resolución
Sea
M=cos212°-sen42°sen18°
Recordemos que 
2cos20=1 + cos20
También
2senxseny=cos(x-y)-(cosx+y)
Capítulo 10
Observamos que para reemplazar las identi­
dades, se debe multiplicar por 2, y para que la 
expresión no se altere, se divide entre 2.
/v/ = 2cos2120-2sen42°sen180 
~ ~2
Aplicamos identidad del ángulo doble. 
2cos20=1 + cos29
-> M = - + eos 24° -(eos 24° -eos 60°)
M =1 + £ Q S - 2 4 ° +eos 60e
M =
1 + 1 1
— ¿ -> M = — 
2 2
/. M = —
4
A p lic a c ió n 74
Exprese como un producto de razones trigo­
nométricas la siguiente suma:
V5 + 2V3-1
R eso lu ció n
Sea la expresión
4 = 75-1 + 273
Identidades trigonométricas de transformación
Dividimos entre 4 y multiplicamos por 4.
a - { A z 1 +2A 4
{ 4 4 J
-> A = 4(sen18°+sen60°)
A = 4(2sen39°cos21°)
A = 8sen39°cos21°
A p l ic a c ió n 75
Transforme a producto la expresión 73 + 72. 
R e s o l u c ió n
Para transformar a producto se requieren 
razones trigonométricas.
M = 2 ( A +Æ. 2 + 2 ,
/W = 2(sen60° + sen45°)
2sen 105°2 ; eos
15°
Finalmente, expresamos cada ángulo con 
grados y minutos.
M = 4sen52o30'cos7°30'
Para investigar
Las transformaciones trigonométricas permiten determinar algunas sumatorias en las que los términos 
están expresados con senos y/o cosenos tal como sen4° + sen80+sen120+... + sen1680+sen172°, la cual se 
puede reducir a cot2°cos4°. Verifique dicha expresión y analicequé ocurre si fuesen cosenos.
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema ML* 1 
Reduzca la expresión 
sen(x + 2 y) + sen(4 y-x)
2cos(x-y)
A) sen2y B) 2cos2x' C) cos3y 
D) sen(x-y) E) sen3y
Resolución
Sea la expresión
p _ sen(x + 2y) + sen(4y - x)
2 eos (x -y )
Aplicamos identidad de transformación.
Xsení x +2y y y - x^ os|, x+2y - (4y -x ) ̂
R=------ -̂---- 9 VXcos(x-y)
-> R =
sen3 ycosícX^y)
CQSt -̂
/?=sen3y
: Clave
Problema HP 2 
Simplifique la expresión
sen(3o + b) + sen{a - b) 
sen a
A) seno
B) 4coso
C) 2seno
D) 2coso
E) eos{a+b)
s ec(a + b).
Resolución
Sea
P = sen(3a + £>)-f sen(o-¿>)sen a sec(a+b)
Luego
2sen
P =
3 a+b+a-b
v ; eos
3a + b-(a-b) 
2 ,
P =
P =
sen a eos (a+b)
2 sen 2o cgsfo^S) 
senaeps^fb)
2{2$ería cosa)
erío
P=4coso
Problema N.“ 3
Determine el valor de
cos416°-sen416°
sen62°-sen2°
A) i 2
D) 1
Resolución 
Sea la expresión
eos416°-sen4 16°
• C/ai/e •
C) -1
E) - -
sen62°-sen2°
Capítulo 10
Identidades trigonométricas de transformación
Por diferencia de cuadrados tenemos que
----------------------- \
(eos216°+sen216°) (eos216°-sen216°) 
sen62°-sen2o
Reemplazamos
( 1
M = c os10° + / —y
l /
eos 10°
. eos216°-sen216° —> L = --------------------
sen62°-sen2°
Simplificamos
sen30°
i Clave •
Problema N.° 4____________ ̂ \ "
Determine el valor de la expresión 
cos10° + cos1100 + cos130°.
A) -1 B) 1 C)
D) - i E) 0
Resolución
Sea
M = cos10° + cos1100 + cos130° 
M=cos10° + 2cos120°cos10°
Pero
cos120°=cos(180°-60°)
cos120°=-cos60°
Luego
cos120°=--
M=cos10°-cos10°
M=0
; Clave \
Problema W." 5
En el gráfico, BC-CD=25 cm. Halle/!£
A) 22 cm B) 24 cm C) 18 cm
D) 20 cm E) 25 cm
Resolución 
Nos piden AE=x.
B
COLECCIÓN ESENCIAL
Observamos lo siguiente:
En el LxABC, /4C=25sen14° 
En el fexCDE, CE= 25sen46°
Luego
* = 25sen46° + 25sen14°
* = 25(sen46° + sen140) 
*=25(2sen30°cos16°)
>r=24 cm
í "24"
Problema N.° 6
eos 20°
A) 2 
D) 3
B) i2
: Clave \
Reduzca la siguiente expresión: 
eos 80° + eos 40° + eos 20°
C) 1 
E) Vb
Resolución 
Sea la expresión
eos 80° + eos 40° + eos 20° 
eos20°_P =
Entonces
2 eos 60° eos 20° + cos20Q
P =
(/ )
P =
eos 20°
-llcos20° + cos20c 
A
eos20°
Lumbreras Editores
Luego
P =
-> P =
cos20°+cos200 
eo s 2 0 °
2£os-20°”
£05-20°"
*. P=2
i Clave
Problema 7
Determine ef equivalente de la expresión
sen5o + sen10° + sen15°
2 eos5o+1
A) sen5° B) cos5° • C) sen10° 
D) cos10° ; . E) 2sen5°
Resolución
Sea
^ _ sen5° + sent0° + sen15Q 
2 eos5o+1
Entonces
sen5° + sen15°+sen10°M = ■
M =
M =
2 eos5o+1
2sen100cos50+sen10° 
2 eos5o+1
sen10o( ĵcos5°+i)
Zcos-5°+í
M=sen10°
I Clave
Capítulo 10
Problema N.° 8 \ Problema N.° 9
A partir del gráfico, calcule CD+2sen20°. i Obtenga el valor de la expresión
i sen2 30°-sen2 7o
4
j sen60°-sen14° ’
f;AoV «‘.v V#
a i ¡ e> i ° i
d> i c> ¡
ñr\
A) 2^3 B) 1
B
C) n/3
D) 2 E) >/2 Resolución
Resolución Sea
A partir del gráfico y _ sen230°-sen2 7o
sen60°-sen14°
4 Ó a " ""
No OLVIDE
^420° r
sen2a-sen20=sen(a+0)sen(a-0)
A 8 Además
En el ABC, BC = 4sen20° sen600-sen140=2cos37°sen230
En el BCD Luego reemplazamos
CD=4sen20°sen50° sen(30o + 7°)sen(30o-7°)
CD=2(2sen20°sen50°) 2cos37°sen23°
CD=2(cos30°-cos70°)
/vCD = 2^— 2cos70°
y sen370 êrr2B°̂ 
2cos37°^eFr23°
3
CD + 2 eos 70° = V3 y _ tan37° 4
sen20° 2 2
j ^
CD + 2sen20°= V3 ! K = -
: Clave ■ ./ I : Clave
Á
23
COLECCIÓN ESENCIAL
m
Lumbreras Editores
Problema N/10
Determine el valor de la expresión 
eos 18°-eos 42°
sen 4o sen56°sen64°
A) 8 B)
D) 2V3
C) 2 
E) 4
Resolución
Se debe tener en cuenta la identidad del 
ángulo triple.
sen30 = 4senOsen(6O°-0)sen(6O°+0)
En el problema
4 (co s18 °-co s4 2 °)M =
—» M =
4 se n 4 0sen56°sen64°
4 (-2sen 30°sen (-12°))
sen12°
. . 8sen30°>errT2°M = ----------- —-4----- —> M = 8sen30°
•. M = 4
; Clave •
Problema N/ 11 _____________________
En un triángulo A£C, determine el equivalente 
de la expresión
senA + senB 
eos A + eos B
AA) tan —
CD) e s c -
B) c o t | Q ta n |
CE) s e c -
Resolución 
Sea la expresión
senA + sen5K =
eos A + eos B
—> /C = tan
2
Pero A + fi + C = .180°
- + - + - = 9 0o 2 2 2
Sp.u ¡Qufos 
C qpipí è rn e n t o rió >.
—» tan A + fíá C—— =cot —2 J 2
K = cot — 
2
Problema N.* 12
: Clave
Determine el equivalente de la expresión
3 -4 se n * 20 1-----------------sen20.sec0csc0 2
A) sen40 B) sen20
D) - s e n 402
Resolución
Sea
3 -4 se n 2 0 1M =---------------- sen 20secOcscO 2
C) 1-sen20 
E) 2sen40
2
Identidades trigonométricas de transformación
Entonces
M = sen0cos0(3-4sen2 o )--sen 20
2
M = eos 6 (3 sen e - 4 sen3 0) - 1 sen 20----------- ' 2sen30
Multiplicamos por 2.
2M = \ sen 30 eos 0 - i sen 20
V 2 , 2
2M = 2sen30cos0-sen20 
2M = sen40 + >err2 0 - >err20 
1
M = - sen 402 : Clave
Problema M.° 13__________£
Determine el valor de la expresión
sen50°+sen20°
eos50 °+ eos20°
B) 2
(csc70° + cot70°).
D) 4
Resolución
Se debe tener en cuenta
cot —= esc 0 +cot 0 
2
C) - 2
E) 1
Luego
K =
K =
( sen50o + sen20°
eos 50° +eos 20° 
j sen 35 Q 
T c o s Ü
cot 3 5o
■—̂ K = tan 3 5° cot 3 5°
K = 1
; Clave i
Problema N,° 14 
Reduzca la expresión
sen 40 co s0 -sen 2 0 co s0
sen 40-sen 30co s0
A) 2sen0
B) sen©
C) cos0
D) 2cos0
E) tan0
Resolución
Sea
sen 40 eos 0 - sen 20 eos 0M =
sen40-sen30cos0
Para transformar a suma o diferencia, multipli 
camos por 2 al numerador y al denominador.
M = 2sen40cos0-2sen20cos0 
2 sen 4 0 -2 sen 30 eos 0
M _ sen 50 + ¿erflQ - (^errStí + sen 0) 
2 sen 40 -(sen 40 +sen 20)
M = sen50-sen0
sen40-sen20
M =
M =
sen20 
£^0^30 sen0
2^erf0 cos0 
,serí0
M=2cos0
i Clave •
COLECCIÓN ESENCIAL
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Problema NL° 15
Si 9 es un ángulo agudo, reduzca la siguiente 
expresión:
VseñQ(señ39 + sen9) 
eos 30-co se
1
A) - - se c Q B) -csc0
D) - i s e n e
Resolución 
Sea
_ Vsen0(sen30 + sen0)
C) sec0
1
E) — csc0 2
M = ■
M =
eos30-c o se 
^/sen0(2sen20cos0)
-2sen20sen0
Ordenam os
M =
—> M =
V 2 sen 0 co sesen29 
-2sen20sen6
Vsen2 20 
-2sen20sen0
M =
sen 20l
- 2 sen20sen0
Como 0 es ángulo agudo
O<0<9O° -> O<20<18O°
En consecuencia, 20 pertenece al primer o 
segundo cuadrante.
-» sen20>O 
|sen20|=sen20
Reemplazamos
ênr20^M -
-2^err20 sen0
1M = — esc 0 2
; Clave
Problema N.° 16______________
Simplifique la expresión
c o s (3 a -P )-co s (a -3 P ) 
sen2a + sen2(3
A) sen (a-P ) B) cos(a+P) C) 2sen((3-a) 
D) eos ( a - (3) E) 2sen(a-p)
Resolución
Sea
y _ cos(3a - (3) - cos(g - 3(3) 
sen2a + sen2P
Lo transformamos a producto.
-,2sen
K=-
3 a-P + a-3P sen 3g-(3-(g-3{3)
K =
-> K =
2 sen(a+(3)cos(a-(3)
- sen(2a - 2(3) s^nfcrCp) 
senferCp) cos(cx-P)
-2 sen(« - P) cos(a - P) 
co s(a-P )
Xxxxxk;<>o<x>o<>c><>Oü
No olvide | I Problema Nd 18
sen(a-(3) = -sen (p-a) i Halle el valor de
i cos220O + cos2800 + cos240o
Reemplazamos j
K=-2(-sen(P-a)) . | A) | B) j C) 2
K=2sen(|3-a) ... j 3
i Clave \ C: ; : ; D) — E) 1•.............•'■••••' ; 4
Problema N.D 1? j Resolución
Simplifique la siguiente expresión: j Sea <a expresión
sen 26 + sen56sen8 : M = cos220°+cos280°+2cos240°
sen2 30 , .. ;
; M _ 2 eos2 20° +2 eos2 80° +2 eos2 40°
A) sen20 B) i C) cos20 \ j - 2
! hA 1 + eos 40° +1 + eos 160° +1 + eos 80° 
D) 1 ' E) .2 - - j M = ------------------- 2--------------------
Resolución . ^.. • i ,f'j< ' ;i p,cPuc;:j-
Sea ! A// _ 3 + eos 40° + eos 80° + eos 160°
sen2 20 + sen 50 sen 0 j 2
sen2 30 j _ 3 + cos400+2cos12Q°cos400
i 2Multiplicamos por 2 al numerador y también :
al denominador. • w i Pero
2 sen2 20+ 2 sen 50 sen 0 i
R = — 2 sen2 30 = cos1200 = cos(1800-6 0 0) = -co s60°
1 - pas^f0 + p o sA (í-e o s60 cos120 - - -
2 sen2 30 ; 2cos120° = -1
1 - eos 60 i
R ------r— Reemplazamos
2 sen230 j
í ^ _ 3 + .eos"40° + (-1),eos40°
Zseb2 30 ; d
i M = —
/?=1 _ ....... | 2
i Clave i ; C/ove
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Problema U : B 
Luego de reducir la expresión 
2 sen 50°+1 
eos 10°
se obtiene AsenB, donde 0<B<90. 
Calcule —
A) 5 
D) 15
■ Resoludón
Sea
B) 10 C) 12E) 6
P = 2 sen 50°+1 
eos10°
Factorizam os 2 para generar sen30°
P =
P =
P =
' Osen50° + - 
___________2 )_
cos10°
2(sen50° + sen30°) 
cos10°
2(2sen40°£©s4C>°)
&osITH 
P=4sen40°
Por dato
4sen40°=Asen5°
t— ____T
_> 4 = 4 a 5=40
B _ 40 
~Á~ 4
i Problema N.' 2 0
: Halle la siguiente expresión:
I sen310°-sen20°cos10°
2sen10°-3
A) 4
D) 2
B , i C)í
E)
Resolución
Sea
K _ sen3100- s e n 200cos10°
2sen10°-3
K _ 4 sen310°-4 sen 20° eos 10° 
4(2sen10°-3)
Por identidad del ángulo triple tenemos que 
4sen30=3senO-sen30
Reemplazamos
K _ 3sen10o-sen30°-2(sen30Q + sen 10°) 
~ 4(2sen10°-3)
K = sen10°-3sen30° 
4(2 sen 10°-3)
sen10°— 
K = ------------ 2
K =
4(2sen10°-3)
¿sen1Cí^3
2
4j2sen-10°^:3y
• £ = 10
; Clave
K = ± 8
i Clave
Capítulo 10 Identidades trigonométricas de transformación
Problema N/ 21
Si 9 es un ángulo agudo y se cumple que
sen50° + sen1Q°
2 cos10°-se c 10°
es equivalente a sen0, halle 0.
A) 40° 
D) 30°
B) 50°
Resolución
Sea
sen50°+sen10°P = 2cos10°-sec10°
Entonces
2sen30°cos20°P =
2cos10- 1
cos10°
P = eos20°
2 eos210°-1 
cos10°
Recordemos que 
2cos20-1= cos26 
cos10°
P =
P=co s10°
Por dato
cos1O°=sen0
1O°+0=9O°
... 0=80°
C) 80° 
E) 70°
i Clave
Problema N.° 22
Halle M+N si se verifica que 
sen28°-sen20°M =
N =
sen 62° + sen 70° 
sen12°-sen4°
sen86°-sen78°
A) 572 
D) 472
B) 372 C) 2 
E) 4
Resolución
Reducimos cada expresión. 
sen28°-sen20°M = ■
M =
sen62°+sen70°
7 p o s e n 4o 
eos 4o
Por propiedad de ángulos complementarios se 
cumple que
sen66°=cos24°
-» M=tan4°
Además
N =
N =
sen12°-sen4°
sen86°-sen78°
/ cos8°>err4° 
eos 82° £erf4°
También cos82°=sen8°
. . eos 8oN =-------sen8°
/V=cot8°
Luego
M+A/=tan4°+cot8°
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A p licam os identidad del ángulo doble. 
+ 0
ta n - = csce -co te
M + /V = c s c 8 ° - p 3 t# ° + p a t£ ° 
M+A/ = csc8°
M + N = 5V 2
: Clave
Problema N.* 23
Reduzca la siguiente expresión: 
eos 80°
sen70°
«i
D, - i
-se c2 0 °+ 2 e o s20°
B) 1 C) -1
E) 2
Resolución
Por propiedad de ángulos complementarios 
se cumple que
sen70°=cos20°
Reemplazamos
eos 80° _ _ _ J ____+ 2 eos 20a
Q co l20° eos20°
Q =
Q =
Q =
eos 80°-1 + 2 eos2 20° 
eos 20°
eos 80°+eos 40° 
eos20°
2cos60°pos'2£P
Q = 2cos60° -> Q = 2 ( J
Q=1
■ Clave
7á
Determine los valores que adopta la siguiente 
expresión:
sen(x+20°)cos(x-10°) 
si xe R .
A) [-1; 1] 
D)
B) 2 .32 '2
2 .3
4 '4
C)
E)
3 .2
2 ' 2 .
3 .2
4 '4
Resolución
Sea
C=sen(x+20°)cos(x-10°)
—> C =
C =
2 sen(x + 20°) cos(x -10°)
sen(2x + 10°) + sen30°
C 2sen(2x + 10°) + 1
Capítulo io
Identidades trigonométricas de transformación
C o m o x e R A (2x+ 10°)eR 
- 1<sen(2x+ 10°)<1 
- 2 <2sen(2x+ 10°)<2
- 1<2sen(2x+ 10° )+ l<3 
_ 2 < 2 sen(2x + 10°) + 1 ̂3
4 4
< — 
4
C E _ r 3
L V 4
' Clave
Problema N.° 25
Halle el valor de la expresión R.
R = cos24 ° - cos241°
«I B) 4V2 C) — 3
D)
3V2 E)
3\[2
10
Resolución
Multiplicamos por 2 y dividimos entre 2. 
2 cos2 4 - 2 cos2 41°
R =
R =
R =
1 + eos 8o-(1 +eos 82°)
j + eos 8° - / - eos 82c
/? =
co s8°-co s82°
Aplicamos identidad de transformación.
R _ - / s e n 4 5 ° s e n (-3 7 ° )
?
—> /?=-sen45°sen(-37°)
NO OLVIDE
sen(-37°)=-sen37°
sen(- 37°) = - - 
5
Luego
R =3V210
: Clave
ProbLsma N7 26
Simplifique la expresión 
cos50 'sen40-
2sen0. sec30.
A) jse c 0
D) -e s c 20
Resolución
Sea
B) sec0 C) csc20
E) -cscG2
f
J = sen40+ cos50
2sen0 sec30
Entonces
2sen0sen40 + cos50J =
\ 2sen0
sec30
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Sim plificam os
, í co s3e -p as-5e + c o sS fP 
v 2sen9
/ eos30J = ̂ ------xse c3 02sen0
Pero cos30sec39=1 
1
sec30
-> J =
2sen0 - j = í x . i2 sen0
1
J = — CSC0 
2
Problema N." 27
; Clave
Determ ine el valor de la expresión 
2 eos 20° sen 5o + sen 15o
sen 50°sec25°
A) 2
D) 1
Resolución 
Sea
B) i2 C) "4 
E) 4
P =
2 eos 20° sen 5° + sen 15° 
sen50°sec25°
sen250 + sen(-15°) + sen15° 
P = ~~?sen250cos250sec25° ~
P =
sen25°->errl5°
2sen25°
1
P = 2 i Clave
Problema N.* 2 B
Determine el equivalente de la expresión L. 
L=6sen20ocos10°-4sen310°
A) 2
D) 4
Resolución
B) -2 C, 1 2
E) 1
fyyC><>CK>000<><̂ ¿OOOOOC kX̂Ĉ>X>0<><X>C<><XX><X>C<><>Ĉ-
No OLVIDE
Por identidad del ángulo triple $ 
se cumple que
4senJ0=3sen0-sen30 ■ ?
t Iljc<kx>c><>c><><x>c<k>c><>x>c<>ca><>c<xx̂ :>ĉ 'P
En el problema
¿ = 3(2sen20°cos10°)-4sen310°
—> ¿=3(sen30o + sen10°)-(3sen10o-sen30°)
¿ = 3sen3O°+j3seríT00 - JLserrTO0 + sen30° 
¿ = 4sen30°
L=2
Problema N.° 29
: Clave
Reduzca la expresión 
sen 0 +sen 20 +sen 30 
eos 0 + eos 20 + eos 30
A) cot0 
D) tan20
Resolución
Sea
B) cot20 C) tan0 
E) cot30
K =
sen0 + sen20 + sen30 
eos 0 + eos 20 + eos 30
Capítulo 10 Identidades trigonométricas de transformación
Entonces
2sen 20co sB + sen20 
2 eos2 0 eos0 + eos20
r _ sen 2e (^ ees0+ í')
c o s 2 0 (^ jq©s 0 + T )
Luego
M = sen54° + sen(-140)-hsen140 + sen6° 
2 eos24°
M = sen 54°-se fr14^ + +sen6°
2 eos 24°
K = sen 20 
eos 20 M =
sen54°+sen6° 
2 eos24°
K=tan20
i Clave ••
-> M = / sen30°pos'2 Í° 
/cos^24°
Problema N.° 30
Al simplificar la expresión
sen 20° eos 34° + sen 10° eos 4° 
eos24°
¿qué valor se obtiene?
A) 4
D)í
B) 2 C) i 2
E) 1
Resolución 
Sea la expresión
M =
sen 2 0 °eos34° +sen10°eos4C
eos 24° ~~
Para obtener un producto y transformarlo a
suma o diferencia, lo multiplicamos por 2 y
lo dividimos entre 2.
? qpn 20° eos 34° +2 sen10°eos 4o 
M = ------ ---------- - "
M=sen30°
M = —
2
Problema N.* 31
Halle el ángulo agudo a si 
(sen100+sen60)(tan40+cot4°) 
es equivalente a 4cosa.
: Clave
A) 8o 
D) 5o
B) 6o C) 4o 
E) 2o
Resolución
Sea
K = (sen10° + sen60)(tan40 + cot4°) 
^=(2sen80cos2°)(tan40 + cot4°)
NO OLVIDE
tari0 + cot0=2csc20
2cos24°
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Luego
/C=2sen80cos2°(2csc8°) 
K= 4sen8°csc8°cos2° • 
K= 4cos2°
Por dato
4cosa=4cos2°
. a=2°
! Clave
Problema M,° 32
Exprese como producto la suma de términos 
sen10°+sen20° + sen30°.
A) 4cos150cos10°cos5°
B) 4sen15°sen10°cos5°
C) 4cos15°sen10osen5°
D) 4sen15°cos10°cos5°
E) 4sen15°cos10°sen5°
Resolución
Sea
¿.=sen10°+sen20° + sen30°
Entonces
/.=2sen15°cos5° + sen30° 
¿=2sen150cos5° + 2sen150cos15° 
¿=2sen15°(cos5° + cos15°) 
¿=2sen150(2cos10°cos5°)
A /.=4sen150cos10°cos5°
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Problema N.‘ 33
Reduzca la expresión
cosd + cos(120° + d)+cos(120°-d).
A) 0
»i
B) cos0 C) 2cos0 
1c -■
Resolución
Sea
M=cos0 + cos('I20°+0) + cos(120°- 0) 
M=cos0 + 2cos120°cos0 
Pero
cosl20°=cos(180°-60°)
cos120°=-cos60°
cos120°=—- 
2
Reemplazamos
M = eos 0+ 2
( i A
V í )
COS0
M=cos0-cos0
M=0
Clave
Problema N.' 34 
Reduzca la expresión
2cos20°+1
cos40°cos20°’
• Clave
A)
D) 1
B) 2 C ) 4
E) t
Capítulo io
Identidades trigonométricas de transformación
Resolución
Sea
P = 2 eos 20°+1
eos 40° eos 20° 
Entonces
(
2
P = - A
iSeos 20° + - 
______ 2 )
eos 40° eos 20°
p _ 2(cos20° + cos600) 
cos40°cos20°
P =_ 2(2pos'4£^pos'2tP ) 
pos4Í)° p9s-2tP
P=4
Problema N.‘ 35
: C/oi/e
Del gráfico mostrado, determine el valor de 0.
A) 20° 
D) 30°
B) 40° C) 50° 
E) 70°
Resolución 
A partir del gráfico
LS
Utilizamos la resolución de triángulos rectán­
gulos en el b^AHB.
BH=sen50°
En el b^CHB
C/7=sen5O°tan0
Luego
sen50°tan9=sen80o-sen20°
sen5O°tan0=2cos5O°sen3O°
i )
sen5O°tan0=cos5O° 
cos50°
—> sen5O°tan0=2 cos50°
tan0 = -
tan0=cot5O° 
0 + 5O°=9O° 
0=40°
sen50°
Clave
Problema N.° 36
A partir del gráfico, halle el valor de 0.
A) 25° 
D) 20°
B) 35° C ) 4 0 °
E ) 5 5 °
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Resolución 
Veamos en el gráfico.
u
2cos2G° sen0
En el ^ ACD 
AC=2cos20°
En el ^ ACB
Cfí=2cos2O°sen0 (I)
Por dato del problema tenemos que 
CB=c os55° + cos15°
CB=2cos35°cos20° (II)
Igualamos (I) y (II).
/ posí2C)° sen 0 = / eos 35° pos^Ü° 
sen0=cos35°
Se cumple que 
0 + 35°=9O°
0=55° ' '
: Clave
Problema N.* 37
Al reducir la expresión 
J3 sen 20° +eos 80°
¿qué valor se obtiene?
A) cos50° 
D) 2cos25°
B) cos25° C) 2sen10°
E) sen40°
Sea
V 3sen 20°+