Relatorio de Fisica Experimental - Pratica 1

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo 
 Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
Jussara Brandão Venturini 
Rafael Porfírio 
Thiago Henrique Gava 
Ueverton Alexandre Belg 
 
 
 
 
 
 
Relatório de Física Experimental 
Prática 1 – Determinação do Centro de Massa 
 
 
 
 
 
 
 
Piracicaba, 2015. 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório de Física Experimental 
Prática 1 – Determinação do Centro de Massa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório técnico da disciplina de Física Geral, no 
curso de Engenharia Mecânica, do Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de 
São Paulo, Campus Piracicaba. 
Prof. Huyrá Estevão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Piracicaba, 2015. 
 
 
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INDICE 
1. Objetivo .............................................................................................................3 
2. Introdução Teórica........................................................................................... 4 
2.1. Centro de Massa.........................................................................................4 
2.2. Centro de Massa e Centro de Gravidade ................................................4 
2.3. Calculo de Centro de Massa .....................................................................5 
3. Procedimento Experimental ............................................................................7 
3.1. PARTE 01…………………………………………………………………………8 
3.2. PARTE 02…………………………………………………………………………8 
4. Resultados e Discussoes...............................................................................10 
5. Conclusão…………………………………………………………………………….20 
6. Referencias…………………………………………………………………………..21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
1. OBJETIVO 
Este experimento tem como objetivo estudar a alteração do centro de massa em 
função da adição de cilindros em peças de madeiras distintas, a fim de simular uma 
distribuição de massa não homogenea e alteraçao das coordenadas do centro de 
massa. As análises e medições foram realizadas primeiramente nas peças de 
madeira sem alteração e, posteriormente, com a adição de cilindros, onde foi 
possível observar o deslocamento do centro de massa das mesmas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 
 
2.1. Centro de massa 
Quando se deseja localizar algum corpo no espaço tridimensional, comumente 
utiliza-se o centro de massa do mesmo para facilitar o processo. Com isso pode-se 
introduzir a ideia de centro de massa: ao concentrar toda a matéria de um corpo em 
um único ponto, esse ponto seria o centro de massa. 
Como pode-se observar na figura 1, um corpo plano está apoiado sobre uma haste 
e, para que este corpo mantenha-se em equilíbrio estático em relação ao solo, o 
ponto de apoio tem que coincidir com o centro de massa. 
 
Figura 1: Sketchup, 2013 
 
2.2. Centro de massa e centro de gravidade 
Centro de massa e centro de gravidade, em quase todos os casos estudados, são 
considerados como coincidentes em um mesmo ponto. Centro de gravidade é um 
termo para denominar o ponto em que o corpo equilibra-se considerando a 
gravidade local. Sabe-se que o campo gravitacional do planeta Terra não é 
uniforme, na prática tem-se que a aceleração média é de 9,83 m/s², porém no topo 
do monte Everest esse valor é de 9,80 m/s². Com isso conclui-se que, em uma 
situação hipotética, um corpo suficientemente grande, com suas extremidades 
localizadas ao nível do mar e a outra no pico do monte Everest, respectivamente, o 
centro de gravidade estará mais próximo da região onde a aceleração da gravidade 
5 
 
é maior, como indicado na Figura 2, onde dois pontos do corpo são expostos a 
valores de aceleração gravitacional distintos (g1, g2). 
 
 
Figura 2: Sketchup, 2013 
 
Como essa situação é inviável na superfície terrestre, pode-se adotar o centro de 
massa e o centro de gravidade como coincidentes. 
 
2.3. Cálculo do centro de massa 
Como observado na figura 3, em um sistema cartesiano bidimensional (x, y), no qual 
as coordenadas dos pontos P1 (X1, Y1), P2 (X2, Y2), (...), Pn (Xn, yn) são conhecidas, 
supondo que estes pontos estão em um plano α, para calcular o centro de massa C 
(XCM, YCM), será utilizado as seguintes equações. 
 
 
Figura 3: Coordenadas de centros de massa no plano XY 
 
6 
 
Equação (I): 𝑋𝑐𝑚 =
(𝑚1.𝑥1)+(𝑚2.𝑥2)+⋯ +(𝑚𝑛.𝑥𝑛)
(𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛)
 
 
Equação (II): 𝑌𝑐𝑚 =
(𝑚1.𝑦1)+(𝑚2.𝑦2)+⋯ +(𝑚𝑛.𝑦𝑛)
(𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛)
 
 
Considera-se que M é a soma de todas as massas, logo para um plano a com n 
número de pontos, as equações I e II podem ser reescritas da seguinte forma: 
Equação (III): 𝑋𝑐𝑚 = 
1
𝑀
∑ 𝑚𝑖. 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 
Equação (IV): 𝑌𝑐𝑚 = 
1
𝑀
∑ 𝑚𝑖. 𝑦𝑖𝑛𝑖=1 
As equações apresentadas acima se referem a um sistema bidimensional, no 
entanto, para se calcular o centro de massa em um sistema tridimensional deve-se 
adicionar a seguinte equação para o eixo z: 
Equação (V): Z𝑐𝑚 = 
1
𝑀
∑ 𝑚𝑖. 𝑧𝑖𝑛𝑖=1 
Nessa prática será possível observar a alteração das coordenadas do centro de 
massa, com diferentes configurações de distribuição discreta de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Foram utilizados neste experimento os seguintes materiais: 
 Linha; 
 Regua vertical graduada; 
 Peça 01 
Características: Madeira com 08 (oito) pregos; Dimensões: 9,5 x 16,0 x 2,2 cm; 
Massa: 177g; 
 Peça 02 
Características: Madeira com 06 (seis) pregos; Dimensões: 11,2 x 5,2 x 2,2 cm; 
Massa: 95g; 
 08 Objetos cilíndricos; 
Características: Diâmetro (): 2,4 cm; Altura: 1,2cm; Massa: (49,88 ± 0,60) g; 
Para determinação do centro de massa, as peças foram suspensas diversas vezes, 
e a cada suspensão foi feita uma foto e traçada uma linha na vertical passando pelo 
ponto de suspensão, utilizando Microsoft PowerPoint. As fotos foram sobrepostas e 
as intersecções correspondem ao centro de massa ou a região do centro de massa, 
conforme mostrado na figura X abaixo. 
 
Figura 4: Exemplo de sobreposição das fotos 
8 
 
O experimento foi dividido em duas partes, sendo que na PARTE 1, o procedimento 
foi realizado com as peças 1 e 2, sem adição dos cilindros. E na PARTE 2, com a 
adição dos cilindros. 
3.1. PARTE 1 
Na primeira parte do experimento, as etapas para a determinação das coordenadas 
do Centro de Massa foram realizadas nas peças sem os cilindros. Para isso, 
primeiramente, cada ponto de suspenção (pregos) das peças 1 e 2 foi numerado, 
conforme as figuras 5 e 6, a fim de se padronizar as etapas do experimento. 
 
Figura 5: Peça 1 Figura 6: Peça 2 
 
Cada uma das peças foi suspensa em três em pontos diferentes: Para a Peça 01, os 
pontos de suspensão adotados foram um, quatro e seis. E para a Peça 02, foram 
adotados os pontos um, três e cinco. A cada ponto de suspensão foi feita uma foto, 
conforme já citado. 
3.2. PARTE 2 
Na segunda parte do procedimento, foi realizada a adição de cilindro a fim de 
simular uma distribuição não-homogênea e discreta das massas nas peças e 
comprovar o deslocamento das coordenadas do centro de massa. A cada cilindro 
adicionado, as coordenadas da composição foram determinadas através de três 
suspensões e o método de intersecção das linhas verticaisfoi realizado como 
descrito anteriormente. 
9 
 
Os resultados práticos obtidos pela sobreposição das fotos feitas no procedimento 
experimental serão comparados com os resultados teóricos obtidos por meio das 
equações I e II. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSOES 
A seguir, são mostrados os resultados obtidos através da sobreposição das fotos, 
conforme procedimento descrito anteriormente. 
Nas figuras 7 e 8, é possível observar a mudança de posição das coordenadas do 
centro de massa, conforme a configuração da distribuição da massa na peça 01 é 
modificada. 
 
 Figura 7: Configuração 1 (sem adição de cilindros) Figura 8: Configuração 2 (com um cilindro) 
O mesmo pode ser observado na sequência de fotos abaixo (figuras 9, 10, 11, 12, 
13, 14, 15). A posição das coordenadas XY muda a cada cilindro adicionado. 
 
Figura 9: Configuração 3 (com dois cilindros) Figura 10: Configuração 4 (com três cilindros) 
11 
 
 
 Figura 11: Configuração 5 (com quatro cilindros) Figura 12: Configuração 6 (com cinco cilindros) 
 
 Figura 13: Configuração 7 (com seis cilindros) Figura 14: Configuração 8 (com sete cilindros) 
 
Figura 15: Configuração 9 (com oito cilindros) 
12 
 
O mesmo comportamento também foi observado na Peça 02. Para cada nova 
configuração de distribuição de massa, a posição das coordenadas XY muda de 
localização, como é possivel ver na figura 16, quando a peça está vazia e, depois, 
na figura 17, com a adição de um cilindro. 
 
 Figura 16: Configuração 1 (sem adição de cilindros) Figura 17: Configuração 2 (com um cilindro) 
 
E assim por diante, como visto na sequência das figuras 18,19,20,21,22. 
 
 Figura 18: Configuração 3 (com dois cilindros) Figura 19: Configuração 4 (com tres cilindros) 
 
13 
 
 
 Figura 20: Configuração 5 (com quatro cilindros) Figura 21: Configuração 6 (com cinco cilindros) 
 
 
Figura 22: Configuração 7 (com seis cilindros) 
 
Como mostrado nos resultados apresentados anteriormente, é possível observar o 
deslocamento do centro de massa. Em tese, as linhas deveriam coincidir em ponto 
em comum, porém como observado, não é sempre que os pontos de intersecção se 
cruzam, formando assim uma região de intersecção, como indicado pelo círculo em 
amarelo na Figura 23. 
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Figura 23: Exemplo de região de intersecção para a configuração 1 da Peça 02. 
 
Para fins de comparação de resultados entre prática e teoria, utilizamos as regiões 
de aproximação das linhas das figuras como centro de massa de cada configuração 
e, através de uma relação entre pixels das fotos com a medida das peças, foi 
possível definir as coordenadas X, Y para o experimento prático, mostrados na 
tabela 1 e 2. 
Tabela 01 – Coordenadas XY (Resultado da prática). 
PEÇA 01 
Quantidade 
de cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
X 5,2 3,7 3,6 4,4 3,9 4,4 4,3 4,3 4,5 
Y* 7,5 6,4 5,8 4,7 5,2 5,4 6,1 7,0 7,9 
*Unidade: centímetro. 
 
Tabela 02 – Coordenadas XY (Resultado da prática). 
PEÇA 02 
Quantidade de 
cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 
X* 3 2,3 2,7 2,3 2,6 1,2 2,6 
Y* 6 4,2 3,4 3,8 4,1 6,4 5,8 
 * Unidade: centímetro. 
15 
 
Na teoria, considerando que os centros de massa das peças e dos cilindros são 
conhecidos, é possível determinar as coordenadas dos centros de massa de cada 
composição num plano XY, através das equações I e II. 
Equação (I): 𝑋𝑐𝑚 =
(𝑚1.𝑥1)+(𝑚2.𝑥2)+⋯ +(𝑚𝑛.𝑥𝑛)
(𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛)
 
 
Equação (II): 𝑌𝑐𝑚 =
(𝑚1.𝑦1)+(𝑚2.𝑦2)+⋯ +(𝑚𝑛.𝑦𝑛)
(𝑚1+𝑚2+⋯+𝑚𝑛)
 
Os resultados dos cálculos podem ser vistos nas tabelas 3 e 4. 
 
Tabela 03 – Coordenadas XY (Calculos Teóricos) 
PEÇA 01 
Quantidade 
de cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
X* 4,91 4,01 4,20 4,87 4,39 4,84 4,45 4,48 4,09 
Y* 8,02 6,42 5,40 4,70 5,15 5,40 6,44 7,26 7,89 
*Unidade: centimetro. 
 
Tabela 04 – Coordenadas XY (Calculos Teóricos). 
PEÇA 02 
Quantidade de 
cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 
X* 2,6 2,12 2,68 2,44 2,75 2,61 2,84 
Y* 5,6 4,20 3,34 3,78 4,08 4,97 5,68 
 *Unidade: centimetro. 
 
Como pode-se observar, existe uma discrepância entre os valores obtidos na prática 
e na teoria. Para melhor visualização desse desvio, os dados das tabelas foram 
dispostos em graficos. Em azul, estão representadas as coordenadas encontradas 
na parte prática do experimento e, em laranja, as coordenadas dos cálculos teóricos. 
No Grafico 1 estão representados os valores para a Peça 1 e o Grafico 2, os valores 
para a peça 2. 
16 
 
 
Grafico 1: - Comparação dos resultados para Peça 1 (Pratica e Teoria) 
 
 
Grafico 2: Comparação dos resultados para Peça 1 (Pratica e Teoria) 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
La
rg
u
ra
 d
a 
P
eç
a 
(E
ix
o
 X
)
Altura da Peça (Eixo Y)
Peça 01 
Prática
Teoria
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10
La
rg
u
ra
 d
a 
P
eç
a 
(E
ix
o
 X
)
Altura da Peça (Eixo Y)
Peça 02
Prática
Teoria
17 
 
A fim de se justificar tais divergencias nos resultados obtidos, foram realizados os 
calculos teóricos referentes ao eixo Z, representados nas tabelas 5 e 6. 
Tabela 05 – Coordenadas no Eixo Z (Cálculo Teórico). 
PEÇA 01 
Quantidade 
de cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Z* 1,1 1,4 1,70 1,81 1,94 2,04 2,12 2,19 2,35 
*Unidade: centimetro. 
 
Tabela 06 – Coordenadas no Eixo Z (Cálculo Teórico). 
PEÇA 02 
Quantidade de 
cilindros 
0 1 2 3 4 5 6 
Z* 1,1 1,82 2,05 2,21 2,37 2,43 2,51 
 *Unidade: centimetro. 
 
Os resultados encontrados nos calculos mostram que, por ser um sistema 
tridimensional, as coordenadas do eixo Z de cada configuraçao está fora da face, 
por vezes apresentando-se dentro ou fora da peça. 
Como se pode observar, por exemplo, quando a Peça 2 está sem nenhum cilindro, a 
coordenada Z é 1,1cm, mostrando que o centro de massa está dentro da peça, 
como visto na figura 20. 
 
18 
 
 
Figura 24: Região aproximada da localicação do centro de massa pela coordenada Z (sem adição de cilindros) 
 
Já quando adicionados todos os cilindros, é possivel observar que a coordenada Z 
chega bem proximo de sair da peça, como visto na Figura 21. 
 
Figura 25: Região aproximada da localicação do centro de massa pela coordenada Z (com oito cilindros) 
19 
 
Apesar de que, nos calculos, os resultados apontarem que os centros de massa 
encontram-se fora das peças para as configurações onde todos os cilindros foram 
adicionados, na prática é algo dificil de se comprovar, pois outros fatores também 
podem interferir nestes resultados, como por exemplo: a distribuição não-
homogênea das massas das peças de madeira/cilindros e, também, a distribuição 
não-simétrica dos apoios (pregos) na madeira o que, consequentemente, altera a 
distribuição das massas das configurações adotadas na prática e na teoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
5. CONCLUSÃO. 
 
Analisando-se os dados coletados, os cálculos feitos e os resultados obtidos na 
prática, pode-se concluir que o experimento alcançou seu objetivo, determinando-se 
o centro de massa de todas as configurações adotadas para as peças utilizadas. 
Apesar dos diversos erros relacionados e propagadosna determinação do centro de 
massa, encontrou-se um intervalo de intersecção em todas as comparações entre o 
centro de massa calculado e o determinado experimentalmente. 
O experimento propiciou um melhor entendimento da definição de centro de massa 
e da influência da massa das partículas em suas devidas posições num sistema de 
partículas, evidenciando a credibilidade do exposto em sala de aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos da Física: Mecanica. 9. ed. 
Rio de Janeiro: Ltc, 2014. 339 p. (Volume 1). Tradução e Revisão Técnica: 
Ronaldo Sérgio de Biasi. 
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de Física Básica, 4ª edição, Editora Edgard Blücher, 
São Paulo, 2002.