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Ensino Médio
ANGLO
2
ª- série1
Manual do Professor • Matemática
294049_CAPA_EM_CA_MP_REGULAR_Mat.indd 1 1/12/17 5:06 PM
Manual
do Professor
Matemática 
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)
EM_REG_01a03_Matematica_MP2_Iniciais.indd 1 11/24/15 4:41 PM
 Direção de conteúdo e inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Fábio Aviles Gouveia
Supervisão da disciplina: Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso
Conselho editorial: Bárbara M. de Souza Alves, Eliane Vilela, 
Fábio Aviles Gouveia, Helena Serebrinic, Lidiane Vivaldini Olo, 
Luís Ricardo Arruda de Andrade, Mário Ghio Júnior, 
Marisa Sodero Cardoso, Ricardo de Gan Braga, 
Ricardo Leite, Tania Fontolan
Direção editorial: Renata Mascarenhas
Gerência editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Fernando Manenti Santos (coord.), 
Tadeu Nestor Neto
Assistência editorial: Walter Catão Manoel
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques 
(coord.), Rosângela Muricy (coord.), Danielle Modesto, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Antonio Cesar Decarli
Diagramação: Guilherme P. S. Filho, Lourenzo Acunzo, 
Marisa Inoue Fugyama
Iconografia: Silvio Kligin (supervisão), 
Claudia Cristina Balista, Ellen Colombo Finta, Fernanda Regina Sales 
Gomes, Marcella Doratioto, Sara Plaça, Tamires Reis Castillo
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Keith Ladzinski/National Geographic Creative/Getty Images
Projeto gráfico de miolo: Talita Guedes da Silva
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Rosso Junior, Antonio Carlos 
 Ensino médio : matemática : caderno 2 : manual do professor 
/ Antonio Carlos Rosso Junior, Glenn Albert Jacques van Amson, 
Roberto Teixeira Cardoso (Robby). -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS 
Sistemas de Ensino, 2016.
 1. Matemática (Ensino médio) I. Amson, Glenn Albert Jacques van. 
II. Cardoso, Roberto Teixeira. III. Título.
15-10285 CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio 510.7
2017
ISBN 978 85 7595 109 2 (PR)
Código da obra 826151217
1a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Sumário
Matemática ............................................................................................................................................................. 4
Setor A ...................................................................................................................................................................... 5
Aulas 19 e 20 – Equação do 2o grau: fórmula resolutiva ....................................................................................... 5
Aulas 21 e 22 – Equação do 2o grau: soma e produto das raízes ........................................................................ 5
Aulas 23 e 24 – Funções: a notação f(x) ................................................................................................................ 6
Aulas 25 e 26 – Funções: conceitos básicos .......................................................................................................... 7
Aula 27 – Funções: conceitos básicos – exercícios (1) ......................................................................................... 7
Aulas 28 e 29 – Funções: conceitos básicos – exercícios (2) ................................................................................ 8
Aulas 30 e 31 – Funções: funções af ns .................................................................................................................. 8
Aula 32 – Funções: funções af ns – exercícios ........................................................................................................ 9
Aulas 33 e 34 – Funções: função quadrática ...................................................................................................... 10
Aulas 35 e 36 – Funções: função quadrática – mínimos, máximos .................................................................... 11
Setor B .................................................................................................................................................................... 13
Aula 13 – Congruência de triângulos .................................................................................................................. 13
Aula 14 – Polígonos convexos ............................................................................................................................... 13
Aula 15 – Quadriláteros notáveis .......................................................................................................................... 14
Aula 16 – Circunferência: segmento tangente .................................................................................................... 14
Aulas 17 e 18 – Ângulos em uma circunferência ................................................................................................ 14
Aula 19 – Pontos notáveis em um triângulo ......................................................................................................... 15
Aula 20 – Teorema de Tales .................................................................................................................................... 15
Aulas 21 a 24 – Semelhança de triângulos (1) e (2) .......................................................................................... 16
Atividades Interdisciplinares .............................................................................................................................. 17
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Matemática
Caderno 2
Nesse segundo caderno, trabalharemos com os eixos de Álgebra 
e Funções no setor A e Geometria e Medidas no setor B, dando 
continuidade ao estudo que iniciamos no primeiro caderno.
As escolhas dos conteúdos levam em consideração as sugestões 
colocadas nos documentos mais atuais sobre o ensino de Matemá-
tica no Brasil, como o BNCC (Base Nacional Curricular Comum), e 
proporcionam uma progressão natural do caderno 1.
Nas palavras do BNCC, o aluno deve:
•	 “Compreender e aplicar o teorema de Tales na resolução 
de problemas, incluindo a divisão de segmentos em partes 
proporcionais.”
•	 “Utilizar a semelhança de triângulos e o teorema de Pitágoras 
para resolver e elaborar problemas.”
•	 “Compreender função como um tipo de relação de depen-
dência entre duas variáveis, as ideias de domínio e de imagem, 
associando-a a representações gráfica e/ou algébrica.”
•	 “Reconhecer função afim em suas representações algébrica 
e gráfica, identificando variação (taxa, crescimento e decres-
cimento), pontos de intersecção de seu gráfico com os eixos 
coordenados e o sentido geométrico dos coeficientes da 
equação de uma reta.”
•	 “Descrever função linear como um tipo especial de função 
afim e associá-la a relações de proporcionalidade direta entre 
duas grandezas.”
•	 “Reconhecer função quadrática em suas representações al-
gébrica e gráfica, considerando domínio, imagem, ponto de 
máximo ou mínimo, intervalos de crescimento e decresci-
mento, pontos de intersecção com os eixos.”
Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/#/site/ 
conhecaDisciplina?disciplina=AC_MAT&tipoEnsino=TE_EM>. 
Acesso em: 25 out. 2015.
Com essas ideias em mente, é importante ter dois objetivos em 
sala de aula: alémde apresentar os conceitos matemáticos, também 
faz-se necessário mostrar aplicações dos modelos matemáticos no 
cotidiano, tanto da Álgebra como da Geometria, e, paralelamente, 
trabalhar na consolidação de um sistema dedutivo.
Para isso, no setor A, finalizamos o estudo de equações do 
segundo grau e damos início ao estudo das funções, trabalhando 
os conceitos básicos e os modelos das funções afim e quadrática.
Já no setor B iniciamos o caderno com uma aula de congruên-
cia de triângulos, tratando em seguida dos quadriláteros notáveis, 
arcos em uma circunferência, pontos notáveis em um triângulo e 
semelhança de triângulos, tema que encerra esse caderno. 
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
4
EM_REG_04a12_MAT_A_MP2.indd 4 11/24/15 4:41 PM
Setor A
aulas 19 e 20
Equação do 2o grau: fórmula resolutiva
Objetivos
Apresentar o conceito e exemplos de equações quadráticas.
Explicar as técnicas adequadas de resolução. 
Encaminhamento
Explique o conceito de equação quadrática, ou equação do 
2o grau e apresente a fórmula resolutiva. Uma dedução dessa fór-
mula encontra-se no livro‐texto. Achamos que não haverá tempo 
suficiente para fazer essa dedução em aula. Porém, é o professor 
quem deve decidir se isso é, ou não, conveniente.
Resolva os exercícios de aula junto com os alunos, observando 
e explicando os itens do resumo.
Sugestão de exercícios extras
1. A Julieta, aquela da famosa ópera Romeu e Julieta, mora 
num castelo circundado por um fosso bastante largo e a 
janela do seu quarto encontra-se a uma altura 7 metros 
maior do que a largura do fosso. Romeu deve encontrar-se 
com Julieta às escondidas de sua família e da de Julieta, 
pois estas são inimigas figadais, diferente do Romeu e 
da Julieta.
Romeu encontrou uma escada cujo comprimento é 
2 metros maior do que a altura que se encontra a janela. 
Ele apoiou o pé da escada na beira do fosso e a outra 
extremidade exatamente no parapeito da janela. Calcule 
o comprimento da escada.
Resolução: 
 Sendo x a largura do fosso, a altura em que se encontra 
a janela será x 1 7 e o comprimento da escada, x 1 9. 
Pelo teorema de Pitágoras, temos: x2 1 (x 1 7)2 5 (x 1 9)2
Resolvendo essa equação, obtemos x 5 8. 
Portanto, o comprimento da escada é 8 1 9 5 17 metros.
2. O arquiteto Sílvio foi encarregado de decorar um salão 
de 6 m por 8 m. Ele resolveu colocar no centro do 
salão um piso de mármore e, em volta dele, uma faixa 
de madeira de lei com largura x m. Dada que a área 
do piso de mármore é 35 m2, calcule o valor de x.
Resolução: 
 2[6x 1 (8 2 2x)x] 1 35 5 6 ? 8 ⇒ 24x2 1 28x 2 13 5 0 ⇒ 
⇒ x 5 0,5 ou x 5 6,5 (não convém) 
Portanto, x 5 0,5.
6
835 m2
x
x
3. Os alunos de uma turma estão vendo a viabilidade 
de contratar uma empresa para cuidar da sua festa 
de formatura. Isso custaria R$ 15 600,00 e essa quantia 
seria dividida entre eles em partes iguais. Obtenha o 
número de alunos dessa turma, sabendo que, se dois 
deles desistissem de participar, a cota de cada um dos 
demais aumentaria de R$ 50,00. 
Resolução:
15600
x 2
15 600
x
50
2
5 1
50x2 2 100x 2 31 200 5 0
x 5 26 ou x 5 224 (não convém, pois x . 0)
Logo, essa turma possui 26 alunos.
aulas 21 e 22
Equação do 2o grau: soma e produto 
das raízes
Objetivos
Apresentar as relações entre os coeficientes, a soma e o pro-
duto das raízes de uma equação do 2o grau e a forma fatorada do 
trinômio do 2o grau. 
Encaminhamento
Mostre as duas relações: x
1
 1 x
2
 5 
2b
a
 e x
1
 ? x
2
 5 
c
a
; em que 
x
1
 e x
2
 são as raízes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a, b e 
c são constantes, com a ± 0. Mostre, com vários exemplos, como 
pode ser vantajoso obter as raízes, por tentativas, mediante estas 
relações – principalmente nos casos em que a 5 1. 
5
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Exemplo:
x2 2 27x 1 170 5 0
produto das raízes: 170 soma: 27
tentativa: decompor 170 num produto de dois fatores cuja 
soma é 27.
Resposta: 17 e 10
Existem pessoas que criticam este método, por ser um processo 
de tentativas. Trata-se de uma crítica sem fundamento. Essas pes-
soas esquecem, ou simplesmente não perceberam, que, ao calcular 
∆ , usa-se tabuadas decoradas e tentativas de decompor em 
fatores primos. Que tal usarmos todas as ferramentas que temos 
quando usar a fórmula resolutiva? Ou não é uma questão de mo-
mento e experiência?
Vejamos outros exemplos. A iniciativa é decompor o produto 
das raízes!
Equação x
1
 ? x
2
x
1
 1 x
2
{x
1
, x
2
}
x2 2 5x 1 6 5 0 6 5 {2, 3}
x2 2 2 017x 1 2 016 5 0 2 016 2 017 {1, 2 016}
x2 1 2 017x 1 2 016 5 0 2 016 22 017 {21, 22 016}
x (3 2)x 3 2 02 2 1 1 5 3 2 13 2 { }3, 2
Nesses exemplos, a fórmula resolutiva fica em desvantagem. 
Tente resolver as últimas equações usando b
2a
± ∆2 .
O segundo momento da aula é sobre a fatoração ax2 1 bx 1 
1 c 5 a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
). É fundamental que o aluno entenda a 
diferença entre uma expressão e uma equação. Vejamos alguns 
pontos esclarecedores.
•	 Em x2 2 4, o valor de x pode ser qualquer número; podemos 
ter x 5 10.
•	 Em x2 2 4 5 0, x não pode ser igual a 10; temos x 5 2 ou 
x 5 22.
•	 x2 2 4, 2x2 1 4 e 2x2 2 8 não são expressões equivalentes.
•	 x2 2 4 5 0, 2x2 1 4 5 0 e 2x2 2 8 5 0 são equações equi-
valentes (têm o mesmo conjunto solução).
Sugestão de exercícios extras
1. A figura representa um quadrado de lado unitário 
“inscrito” num triângulo retângulo, cuja hipotenusa 
mede 5.
5
1 1
y
x
Note que x e y são as medidas dos segmentos determinados 
pelo quadrado sobre os catetos. 
Calcule:
a) x ? y
Resposta: 1
b) x 1 y
Resposta: 1 262 1
2. Resolver em R:
a) 1 1 2x 21 1 5 
Resposta: {4} 
b) 1 51 2x 33
Resposta: {13}
c) 1 x 5 x1 1 5
Resposta: {4}
aulas 23 e 24
Funções: a notação f(x)
Objetivos
Apresentar a notação f(x).
Entender o significado do verbo substituir.
Encaminhamento
Siga a sequência de aula sugerida; resolva os exercícios junto 
com os alunos. No meio, ou no final da sequência, mostre que 
f(x) 5 2x 1 3, f(u) 5 2u 1 3 e f
x sen x
5
2 x sen x
5
3
10 10



1
5
1
1 
representam a mesma mensagem. Note, ainda, que não é verda-
de afirmar que x 5 u. O correto é afirmar que x foi substituído 
por u. Neste caso, temos, por exemplo, f(5) 5 13 e f(6) 5 15 e 
não dizemos que 5 é igual 6. Insistindo nessa ideia, ressalte que: 
de f(x) 5 2x 1 3, temos f(x 1 1) 5 2x 1 5; x foi substituído por 
x 1 1; não há sentido algum em afirmar que x é igual a x 1 1.
Sugestão de exercícios extras
1. É dado que, para todo x real, f(x) 1 x ? f(2 2 x) 5 1 1 4x 2 x2. 
Obtenha o valor de:
a) f(1) 
Resposta: 2
b) f(2)
Resposta: 3
2. É dado que, para todo x real não nulo, f(x) 1 x ? 

f
2
x
 5 
5 6x 1 7. Obtenha o valor de f(1). 
Resposta: 6
6
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3. Com os dados do exercício 5 da aula, prove que 
f(u 2 v) 5 f u
f v
( )
( )
.
Resolução:
Demonstração
Substituindo na igualdade em P2, u por u 2 v, temos:
f(u 2 v) ? f(v) 5 f(u 2 v 1 v)
f(u 2 v) ? f(v) 5 f(u)
Como f(v) . 0, para todo v real, temos 
f(u 2 v) 5 
( )
( )
f u
f v
. (c.q.d.)
4. Seja f uma função real de variável real positiva, com as 
seguintes propriedades:
P1: f(5) 5 1;
P2: f(u ? v) 5 f(u) 1 f(v), quaisquer que sejam os reais 
positivos u e v.
Obtenha os valores numéricos de: 
a) f(25)
Resposta: 2
b) f(125) 
Resposta: 3
c) f(1)
Resposta: 0
d) 

f
1
5
Resposta: −1
e) f ( )5
Resposta: 1
2
aulas 25 e 26
Funções: conceitos básicos
Objetivos
Apresentar alguns conceitos iniciais da teoria das funções.
Encaminhamento
Explique detalhadamente cada item do resumo. Fale da impor-
tância do livro-texto, para uma compreensão correta e completa 
da teoria. O seguinte exemplo pode ajudar muito.
Exemplo:
Na realização de um exame simulado, a prova tinha 90 testes 
do tipo múltipla escolha. No sistema de correção, a aplicação (fun-
ção) Nota associava a cada aluno seu número de acertos. Assim, 
por exemplo, a expressão “Nota(João Alegre) 584” corresponde 
à mensagem: “O aluno chamado João Alegre acertou 84 dos 90 
testes”. Vejamos alguns detalhes.
•	 domínio da função Nota: o conjunto dos nomes dos alunos 
que fizeram a prova;
•	 contradomínio: o conjunto dos números naturais de 0 a 90;
•	 conjunto imagem: o conjunto dos números que efetivamente 
ocorreram como pontuação de pelo menos um aluno.
Observações:
Nesta função Nota(x)
•	 não tem aluno com duas ou mais notas;
•	 não tem aluno sem nota, na pior das hipótese sua nota é 
zero: Nota(José Tristão) 5 0;
•	 pode haver dois ou mais alunos com a mesma nota: a equa-
ção Nota(x) 5 Nota(João Alegre) pode ter mais que uma 
solução, podemos ter x ± João Alegre;
•	 pode haver elemento do contradomínio que não pertence 
ao conjunto imagem: o número 1, por exemplo, perten-
ce ao contradomínio da função, mas será que a equação 
Nota(x) 5 1 tem solução? Acertar um e somente um só dos 
90 testes não deve ser fácil. Note que, ao fixar o contrado-
mínio, devemos estar preparados para todos os resultados 
possíveis.
Os exercícios (de aula) 1 e 2 mostram como reconhecer o 
domínio e o conjunto imagem de uma função a partir do seu 
gráfico. No exercício 3, o aluno deve reconhecer em quais inter-
valos a função é crescente e em quais intervalos ele decresce. O 
exercício 4 é clássico e talvez ultrapassado, determinar as condi-
ções de existência de f(x).
aula 27
Funções: conceitos básicos – exercícios (1)
Objetivos
Resolver exercícios. 
Mostrar técnicas algébricas e gráficas, úteis no estudo de funções.
Encaminhamento
Nesta aula, podemos apresentar uma técnica para obter o con-
junto imagem de uma função f, dada por uma equação y 5 f(x). 
Trata-se da tentativa de “isolar” a variável x, como intuito de des-
cobrir para quais valores de y existe x que satisfaz a equação.
Tomemos, como exemplo, a função real de variável real, dada 
por f(x) 5 
5x 1
x 2
2
2
.
7
EM_REG_04a12_MAT_A_MP2.indd 7 11/24/15 4:42 PM
Domínio: R 2 {2}
Com x ± 2 e y 5 5x 1
x 2
2
2
, temos:
y(x 2 2) 5 5x 2 1
xy 2 2y 5 5x 2 1
xy 2 5x 5 2y 2 1 [ x(y 2 5) 5 2y 2 1
Com y 2 5 5 0, ou seja, com y 5 5, resulta x ? 0 5 9; nessa 
condição, não existe x.
Com y 2 5 ± 0, ou seja, com y ± 5, temos x 5 
2y 1
y 5
2
2
.
Resumindo, para todo real y, y ± 5, existe x, tal que f(x) 5 y.
O conjunto imagem de f é R 2 {5}.
É importante alertar que este processo consiste apenas numa 
tentativa; nem sempre seremos capazes de “isolar o x”. Existem 
infinitas equações sem método algum de resolução!
Sugestão de exercícios extras
1. Dado que f é uma função real de variável real tal 
que f(x) 5 2x 1 7 1 2( )2 x 42 2 , obtenha o domínio e o 
conjunto imagem de f.
Resolução:
f(x) [ R ⇔ 2(x2 2 4)2 > 0
(x2 2 4)2 < 0
(x2 2 4)2 , 0 ou (x2 2 4)2 5 0
Não existe x real, tal que (x2 2 4)2 , 0.
(x2 2 4)2 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 5 22
Temos f(2) 5 11 e f(22) 5 3.
Domínio de f: {22, 2}; Conjunto imagem de f: {3, 11}
Note que o gráfico de f é o conjunto dos 2 pontos dados 
por (22, 3) e (2, 11).
2. Dado que o domínio da função dada por 
f(x) 1
x 6x c2
5
2 1
 é o conjunto R e c é uma constante 
inteira, obtenha o menor valor possível de c.
Resolução: 
As proposições a seguir são equivalentes.
• f(x) [ R, para todo valor real de x
• x2 2 6x 1 c ± 0, para todo valor real de x
Não existe um valor real de x, tal que x2 2 6x 1 c 5 0.
A equação x2 2 6x 1 c 5 0 não tem raízes reais e, assim, 
seu discriminante é negativo.
36 2 4c , 0 ⇒ c . 9
O menor valor inteiro de c é 10.
Resposta: 10
aulas 28 e 29
Funções: conceitos básicos – exercícios (2)
Objetivos
Resolver exercícios que envolvem conceitos iniciais da teoria 
das funções.
Encaminhamento
Resolva o maior número de exercícios possíveis. Complete as 
aulas com exercícios extras, que podem ser tirados do Caderno de 
Exercícios ou de provas do Enem.
aulas 30 e 31
Funções: funções afins
Objetivos
Apresentar o conceito de função afim e as funções afins: função 
constante, função linear, função polinomial de grau 1. 
Encaminhamento
Explique detalhadamente cada item do resumo, dando exem-
plos numéricos. Explique o conceito de taxa (média) de variação, 
∆
∆
y
x
. Numa função afim, essa taxa é constante e, tratando-se de 
uma função real de variável real, o gráfico é uma reta (crescimento 
ou decrescimento a taxa constante). 
Uma função afim f é chamada de função linear se, e somente 
se, f(0) 5 0. Portanto, a função afim dada por f(x) 5 2x 1 1 não é 
uma função linear! Em outras palavras, o termo função linear não 
é devido ao fato do gráfico ser uma reta.
Sugestão de exercícios extras
1. Esboce o gráfico da função dada por f(x) 5 
x, se x 0
1, se x 0



>
,
 
e dê o conjunto imagem de f.
Resposta:
 (0,1)
 (1,1)
x
f(x)
Im 5 {y [ R| y > 0}
8
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2. Esboce o gráfico da função dado por f(x) 5 x 1
x 1
2
2
2
 e dê 
o conjunto imagem de f.
Resposta:
x
(1,2) 
(0,1) 
f(x)
(21,0)
Domínio: R 2 {1}
Conjunto imagem: R 2 {2}
3. O gráfico da função f é a reta determinada pelos pontos 
(0, 15) e (5, 0). Podemos afirmar que o valor de f(2) é 
igual a:
a) 6
b) 7,5
 cc) 9
d) 9,5
e) 12
Resolução:
x0
15
2 5
3
f(2)
f(x)
Da semelhança de triângulos, temos: 
( )
( )⇒
f 2
15
3
5
f 2 95 5
4. A reta do plano xOy que passa pelos pontos (12, 0) 
e (18, 29) é o gráfico da função f. Dado que (10, k) 
pertence a f, podemos concluir que k é igual a:
a) 1,5
b) 2,5
 cc) 3,0
d) 6,0
e) 7,0
5. Sendo f(x) 5 mx 1 n, em que m e n são constantes, então
2f 2020 f 2017
3
( ) ( )
 é igual a:
 ca) m
b) 2m
c) n
d) 2n
e) m 2 n
6. Se f é uma função afim, f(0) 5 3 e f(2) 5 7, então f(1) é 
igual a:
a) 1 b) 3 cc) 5 d) 7 e) 9
7. O gráfico da função dada por f(x) 5 2x 2 2 passa pelos 
pontos A(a, 0) e B(0, b). A soma das constantes a e b é 
igual a:
a) 2 b) 1 c) 0 cd) 21 e) 22
8. Na fabricação de x unidades de um produto, o custo, 
em R$, é dado por C(x) 5 100 1 2x. Se cada unidade 
é vendida por R$ 5,00, então, para que haja lucro, o 
número mínimo de unidades a serem vendidas é:
a) 28 b) 32 cc) 34 d) 36 e) 38
Resolução:
Seja a função lucro dada por L(x) 5 R(x) 2 C(x). Do 
enunciado, temos que R(x) 5 5x e C(x) 5 100 1 2x. Por-
tanto, como queremos o número mínimo de unidades a 
serem vendidas podemos considerar L(x) 5 0, e depois 
consideramos o valor maior e mais próximo do valor 
de x encontrado. Assim:
L(x) 5 R(x) 2 C(x)
0 5 5x 2 (100 1 2x)
3x 5 100
x 5 33,3...
Logo, o número mínimo de unidades a serem vendidas 
para que se obtenha lucro é 34, alternativa c.
9. Em uma pequena fábrica de canetas, o custo diário para 
1 000 unidades por dia é R$ 700,00. Mesmo não produzindo, 
há um custo diário de R$ 200,00. A partir deste valor, o 
aumento de custo diário é diretamente proporcional 
ao aumento da produção diária. O custo diário, em reais, 
em função da produção diária x é dado por:
a) C(x) 5 0,5x 1 200
 cb) C(x) 5 0,7x 1 200
c) C(x) 5 0,8x 1 200
d) C(x) 5 1 000x 1 700
e) C(x) 5 700x 1 1 000
Resolução:
Como o aumento do custo diário é proporcional e dire-
tamente proporcional ao aumento da produção diária, 
temos que: C(x)
x
700
1000
5
C(x) 5 0,7x 
Agora, basta adicionarmos 200 ao custo diário, pois é 
um custo fixo.
Logo, C(x) 5 0,7x 1 200.
aula 32
Funções: funções afins – exercícios
Objetivos
Resolver exercícios que envolvem funções afins.
9
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Encaminhamento
Resolva, em primeiro lugar, os dois exercícios de aula:
Exercício de classe 1
Sendo d a distância percorrida e n o número de voltas, mostre que:
0 < d , 1 500 ⇒ n 5 0 (enquanto não andou 1 500 m, o 
número de voltas completas é 0.)
Sendo d 5 1 500 m, o número de voltas completas é 1.
1 500 < d , 3 000 ⇒ n 5 1 (enquanto não andou 3 000 m, o 
número de voltas completas é 1.)
Compare este exercício, com a seguinte pergunta feita a qual-
quer pessoa: Quantos anos você tem? Poderá constar que as pes-
soas respondem seguindoo mesmo raciocínio. Se a pessoa tem 15 
e faz aniversário amanhã, ela continuará a responder 15. Somente 
a partir de amanhã ela responderá 16. Trata-se da função “maior 
inteiro n, menor que ou igual a x”.
Exercício de classe 2
Não é difícil concluir que, sendo o fluxo constante e a secção trans-
versal também, o nível da água é proporcional ao tempo decorrido.
•	 Sendo o fluxo constante e a secção transversal cada vez me-
nor, terminando num bico, o nível da água aumenta cada 
vez mais rápido.
•	 Sendo o fluxo constante e a secção transversal cada vez 
maior, o nível da água aumenta cada vez menos rápido.
Sugerimos que resolva o maior número de exercícios em sala; 
se necessário, complete as aulas com exercícios extras.
aulas 33 e 34
Funções: função quadrática
Objetivos
Apresentar o conceito de função quadrática
Estudar elementos e posições da parábola, gráfico da função 
quadrática.
Encaminhamento
Infelizmente, não cabe nestas aulas explicar o conceito geomé-
trico de parábola. Não é este o foco das aulas e, devido ao tempo, 
que às vezes é pouco, isso poderá ser visto em outro capítulo. 
O aluno deve saber as seguintes propriedades da parábola:
•	 a parábola é uma figura simétrica e seu elemento de simetria 
é uma reta (s);
•	 a parábola e a reta (s) tem um único ponto de intersecção; 
este ponto chama-se vértice;
•	 embora o termo seja “vértice da parábola”, não se trata de um 
“bico”; a parábola é uma figura suave (verifique este conceito 
nos seus livros de Cálculo).
Sugerimos a seguinte sequência de exercícios a ser abordada 
em aula:
– Exercício de classe 1, item a: 
Montar uma tabela de pares (x, y), com x [ {22, 21, 0, 1, 2, 3}. 
Localizar os pontos no plano cartesiano e esboçar a curva (parábola) 
que passa por eles. Comentar a simetria, o vértice e o conjunto 
imagem da função.
– Exercício de classe 1, item b: 
Montar uma tabela de pares (x, y), com x [ {0, 1, 2}. Localizar 
os pontos no plano cartesiano e esboçar a curva (parábola) que 
passa por eles. Comentar a simetria, a concavidade, o vértice e o 
conjunto imagem da função.
– Exercício de classe 2: 
Responder, na sequência, cada um dos itens e, ao final de cada 
item, “passar” as conclusões para o gráfico!
Feitos esses 3 exercícios, comente o que segue.
•	 O gráfico de uma função quadrática (de R em R) é uma 
parábola cujo eixo de simetria (s) é paralela ao eixo (y) das 
ordenadas do plano xOy.
•	 No livro-texto, há uma dedução das fórmulas que forne-
cem a abscissa (x
v
) e a ordenada (y
v
) do vértice da parábola 
y 5 ax2 1 bx 1 c.
•	 Dê prosseguimento com os demais exercícios.
O conteúdo digital “construtor de gráficos: Função quadráti-
ca” indicado para estas aulas apresenta informações referentes à 
função quadrática que ajudam a reforçar o conteúdo trabalhado 
no material impresso. Ele pode ser trabalhado em sala de aula ou 
recomenado para os alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras
1. Considere o conjunto de todos os retângulos de 
perímetro 12, base x e área S(x).
a) Obtenha o domínio de S.
Resolução:
Para todos os retângulos desse conjunto temos que:
• o semiperímetro é 6;
• a altura é 6 2 x, com 6 2 x . 0, isto é, x , 6;
• a área é S(x) 5 x(6 2 x).
Portanto, o domínio de S é {x [ S | 0 , x , 6}.
b) Esboçar o gráfico de S.
Resposta:
6
(3,9)
S(x)
x0
10
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2. A figura a seguir representa um esboço da parábola 
y 5 ax2 1 bx 1 c. Determine os sinais das constantes 
a, b e c.
x
y
0
Resposta: a , 0, b . 0 e c , 0 
Exemplo na Cinemática: S 5 1
2
at2 1 v
0
t 1 S
0
, com 
a . 0, v
0
 . 0 e S
0
 , 0.
3. Obtenha a função f cujo gráfico é a parábola que passa 
pelo ponto (2, 108) e cujo vértice é o ponto (4, 100). 
Resolução:
Sendo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são constantes 
reais, consideremos a função g , dada por g(x) 5 f(x) 2 100 
(translação).
O vértice da parábola que representa a função g 
é o ponto (4, 0) e, portanto, podemos afirmar que 
g(x) 5 a(x 2 4)2 (destaque a importância da forma 
fatorada).
Como f(2) 5 108, temos g(2) 5 f(2) 2 100 5 8.
De g(2) 5 8, temos a(2 2 4)2 5 8 e, assim, 
f(x) 5 2(x 2 4)2 1 100.
Resposta: f(x) 5 2(x 2 4)2 1 100
4. No plano cartesiano xOy, a parábola y 5 x2 2 x 1 c, em 
que c é uma constante, intersecta o eixo y no ponto (0, 22) 
e o eixo x nos pontos A e B. A medida do segmento AB é:
a) 2
 cb) 3
c) 4
d) 6
e) 12
5. Na figura, OABC é um quadrado e B pertence à parábola 
de equação y 5 4x2. 
x
y
C B
AO
A medida do segmento AB é:
 ca) 0,25
b) 0,5
c) 2
2
d) 1
e) 2
6. Na figura, OAB é um triângulo, retângulo em A, de área 
54. O ponto B pertence à parábola de equação y 5 4x2.
x
y
A
B
O
A soma das coordenadas do ponto B é igual a:
a) 20
b) 20 2
c) 20 3
d) 37
 ce) 39
7. Na curva y 5 x2, com x . 0, há um ponto cuja ordenada 
é o triplo da sua abscissa. A soma das coordenadas 
deste ponto é igual a:
a) 4
b) 9
 cc) 12
d) 16
e) 20
aulas 35 e 36
Funções: função quadrática – mínimos, 
máximos
Objetivos
Resolver problemas que envolvem cálculos de valores mínimo 
ou máximo de uma função quadrática.
Encaminhamento
Após uma breve abordagem do resumo da aula, resolva os exer-
cícios da aula junto com os alunos. Os alunos devem saber que não é 
11
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todo problema de mínimo/máximo que pode ser resolvido pela fun-
ção quadrática. Existem muitos outros que não têm nada a ver com 
parábolas e exigem, portanto, abordagens completamente diferentes. 
Sugestão de exercícios extras
1. Considere para cada x real os números u 5 2x 1 4 e 
v 5 2x 1 8. Quando o produto u ? v for máximo, teremos 
u 1 v igual a:
a) 10
b) 12
 cc) 15
d) 18
e) 26
2. A soma de dois números reais é 8. Se a soma dos 
quadrados desses números é mínima, então esta soma é:
a) 4 
b) 8 
c) 16
d) 24
 ce) 32
3. Sendo x e y variáveis reais, tais que 0 , x < 2 e y 5 4x2 2 4x, 
podemos concluir que:
a) 0 , y < 8
b) 0 < y < 8
c) 0 , y < 2
 cd) 21 < y < 8
e) y . 21
4. O conjunto imagem da função f: ]22, 1] → R, 
f(x) 5 x2 1 2x 1 3 é:
a) ]3, 6]
b) [3, 6]
 cc) [2, 6]
d) [2, 1`[
e) R
5. Dado que y 5 x(x 2 4), com 21 < x < 3, os valores mínimo 
e máximo de y são, respectivamente, iguais a: 
a) 5 e 23
b) 21 e 3
 cc) 24 e 5
d) 23 e 1
e) 23 e 5
6. Com u 5 1
x(8 x)2
 e 2 < x < 7, temos:
a) o valor máximo do u é 16.
b) o valor máximo de u é 4.
c) o valor mínimo de u é 1
12
.
d) o valor mínimo de u é 1
7
.
 ce) o valor mínimo de u é .
7. Sejam x e y números inteiros tais que y 5 2x2 2 4x 1 11. 
O valor de x para qual o valor de y é mínimo é:
a) 22 
b) 21
c) 0
 cd) 1
e) 2
8. A base e a altura de um retângulo medem, em cm, 
respectivamente 2x 2 2 e 7 2 x. Sabe-se que seu 
perímetro mede, no mínimo, 14 cm e, no máximo, 20 cm. 
Em cm2, as medidas mínima e máxima da sua área são, 
nessa ordem, iguais a:
a) 10 e 14
b) 10 e 16
 cc) 10 e 18
d) 14 e 18
e) 16 e 18
9. (PUC-MG – Adaptada) Na comercialização de certo 
produto, a receita é dada por R(q) 5 2q2 1 27q; o custo, 
pela equação C(q) 5 q 1 48; e o lucro, pela igualdade 
L(q) 5 R(q) − C(q). 
Nessas funções, o lucro, o custo e a receita são medidos 
em milhares de reais e a variável q indica o número de 
peças comercializadas. Com base nessas informações, 
pode-se afirmar que o número q de peças que devem 
ser comercializadas, de modo que o lucro seja máximo, 
é igual a:
 ca) 13
b) 14
c) 15
d) 16
1
16
a
n
o
ta
ç
õ
e
s
12
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Setor B
aula 13
Congruência de triângulos
Objetivos
Retomar o conceito de congruência de triângulos visto no ensi-
no fundamental, apresentar os casos de congruência e utilizar esse 
conceito em deduções.
Encaminhamento
Nessa primeira aula do caderno 2, o objetivo é que o aluno perceba 
que um triângulo é congruente a outro quando é uma “cópia” dele. Essa 
ideia intuitiva podeser usada como uma boa estratégia para abordar o 
tema. Inicie a aula apresentando figuras que são claramente diferentes – 
por exemplo, um triângulo escaleno e um equilátero – e pergunte aos 
alunos o que faz deles diferentes. Em seguida, mostre dois triângulos 
semelhantes, de tamanhos bem diferentes (eles já estudaram semelhan-
ça no ensino fundamental, mas no ensino médio faremos esse estudo 
no final desse caderno) e pergunte o que os diferencia. Espera-se que os 
alunos falem que, apesar de parecidos, eles têm “tamanhos diferentes”. 
Em seguida, apresente dois triângulos congruentes e pergunte quais as 
condições para que um seja uma cópia do outro. 
Apresente os casos de congruência e faça os exercícios com 
eles. Note que temos apenas uma aula do assunto, pois o principal 
objetivo dessa aula é trabalhar com o sistema dedutivo na geome-
tria e termos ferramentas para futuramente demonstrar outras 
propriedades geométricas.
Sugestão de exercícios extras
1. Na figura, o nABC > nDEC. Nessas condições, calcule 
os valores de x e y e a razão entre os perímetros desses 
triângulos.
D
A
E
B
C
17
20
3x 1 5
y 1 3
Resposta: x 5 5, y 5 14 e a razão é 1.
2. Na figura, AB 5 AC. Calcule x.
A
D
E
x
B
C
50o
40o
40o
Resposta: 50°
aula 14
Polígonos convexos
Objetivos
Apresentar os polígonos convexos, as propriedades relativas aos 
seus ângulos internos e externos e os polígonos regulares.
Encaminhamento
Inicie a aula apresentando o que é um polígono e explique, sem 
formalismo, o que é um polígono convexo. Defina ângulo interno e 
ângulo externo e apresente as fórmulas para o cálculo da soma. Se 
achar conveniente, demonstre a soma dos ângulos internos e a dos 
externos e mostre por paralelismo um caso particular – por exemplo, 
o pentágono. Reforce a ideia de que o ângulo interno e o externo, 
relativos a um mesmo vértice, são sempre suplementares. Defina 
polígono regular e apresente as consequências disso sobre as medidas 
dos ângulos interno e externo, tudo acompanhado de exemplos. Dê 
alguns minutos para que eles façam os exercícios antes de corrigi-los.
Os exercícios 1 e 2 são para que os alunos possam trabalhar 
com a técnica em si. Já a questão 3, que é uma questão da Fuvest, 
trata de um tema explorado com frequência no Enem, o problema 
de pavimentação, ou seja, quais figuras nos permitem recobrir o 
plano sem sobreposição. 
Comente com os alunos sobre o exercício 3, indicado na seção 
Rumo ao Enem. Lembre-se de que o exercício tem duas respostas 
possíveis e que isso, por si só, já implicaria a anulação da questão 
em uma prova do Enem.
Sugestão de exercícios extras
1. Sabendo que a razão entre a medida de um ângulo 
interno e a de um ângulo externo de um polígono regular 
é 9, determine o número de lados desse polígono.
Resposta: 20 
13
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2. Considere dois polígonos regulares, respectivamente, com 
n e (n 1 1) lados. Sabendo que a medida do ângulo interno 
de um deles excede a medida de um ângulo interno do 
outro em 5º, quais são esses polígonos?
Resposta: octógono regular e eneágono regular.
aula 15
Quadriláteros notáveis
Objetivos
Retomar os quadriláteros notáveis e as principais propriedades 
que eles possuem.
Encaminhamento
Como a ideia central dessa aula é relembrar a nomenclatura en-
volvendo os quadriláteros notáveis, bem como as principais proprie-
dades que eles possuem, inicie a aula lembrando que um quadrilátero 
notável é aquele que possui alguma relação de paralelismo entre seus 
lados. Mostre também alguns exemplos de quadriláteros que n‹o são 
notáveis. Retome a nomenclatura e faça o primeiro exercício da aula 
com eles. Em seguida, apresente as propriedades dos quadriláteros, 
provando uma ou duas, apenas se julgar necessário, e dê alguns mi-
nutos para que eles façam os exercícios antes de corrigi-los.
Sugestão de exercícios extras
1. Com um arame de 36 metros foram construídos, sem 
desperdício, um triângulo equilátero e um losango. Sa-
bendo que foram usados metade do arame para cada 
polígono, calcule a razão entre as medidas do lado do 
losango e do triângulo, respectivamente.
Resposta: 
3
4
 
2. Prove que os pontos médios de um quadrilátero convexo 
qualquer são vértices de um paralelogramo. 
Resposta: demonstração.
aula 16
Circunferência: segmento tangente
Objetivos
Trabalhar as propriedades dos segmentos tangentes a uma cir-
cunferência. 
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando aos alunos que, dada uma reta e 
uma circunferência, existem três posições relativas e que, se uma 
reta é tangente à circunferência por um ponto P, então essa reta 
é perpendicular à reta determinada por P e pelo centro da circun-
ferência. Apresente o conceito de segmento tangente e mostre 
que a partir de um ponto externo à circunferência existem dois 
segmentos tangentes a ela; depois, prove que esses segmentos 
têm mesma medida. Essa demonstração está feita no livro, mas é 
aconselhável que seja feita em sala, pois é mais uma oportunidade 
de trabalhar com a congruência de triângulos. Caso sobre tempo, 
também demonstre a propriedade do quadrilátero circunscrito 
a uma circunferência.
Peça, em seguida, para que os alunos façam os exercícios da 
aula, corrigindo-os após alguns minutos.
O conteúdo digital “equação da circunferência”, indicado para 
esta aula, apresenta informações referentes à circunferência e suas 
relações com retas, que ajudam a reforçar o conteúdo trabalhado 
no material impresso. Ele pode ser trabalhado em sala de aula ou 
recomendado aos alunos como parte da tarefa.
Sugestão de exercícios extras
1. Calcule a medida do raio de uma circunferência inscrita 
em um triângulo retângulo com lados medindo 9, 12 e 
15 centímetros.
Resposta: 3 cm
2. Prove que qualquer paralelogramo circunscrito a uma 
circunferência é um losango. 
Resposta: demonstração.
aulas 17 e 18
Ângulos em uma circunferência
Objetivos
Apresentar os conceitos de ângulo central, ângulo inscrito e ân-
gulo de segmento, além das relações existentes entre suas medidas.
Encaminhamento
Inicie a aula explicando que:
•	 Ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro de uma 
circunferência e seus lados estão sobre retas secantes à cir-
cunferência;
•	 Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está sobre a circunfe-
rência e seus lados estão sobre retas secantes à circunferência;
•	 Ângulo de segmento é um ângulo cujo vértice está sobre a 
circunferência, um de seus lados está sobre uma reta secante 
à circunferência e o outro sobre uma reta tangente a ela.
Explique que a medida de um ângulo central é igual à do arco 
determinado por ela e demonstre que a medida de qualquer ângulo 
inscrito a uma circunferência é metade do arco determinado por ele.
14
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Explore bem a propriedade do baricentro utilizando exemplos; é 
importante que eles dominem as proporções em que as medianas 
são divididas. Peça que os alunos façam os exercícios da aula.
Caso sobre tempo, ou julgue pertinente, pode apresentar a 
noção de triângulo órtico. 
Segue texto auxiliar.
Triângulo Órtico: Considere um triângulo não retângulo ABC. 
Sejam M, N e P os “pés” das alturas de ABC. Chamamos de triân-
gulo órtico do triângulo ABC ao triângulo MNP, ou seja, o triângulo 
determinado pelos pés das altura de ABC.
Propriedade: O ortocentro H do triângulo ABC é incentro de 
seu triângulo órtico.
A
N
CM
H
B
P
Sugestão de exercícios extras
1. Na figura, o quadrilátero ABCD é um retângulo, M é o ponto 
médio de AD e o triângulo BCM é equilátero. Sabendo que 
BC 5 18, calcule a medida do segmento BP. 
A M
P
D
B C
Resposta: 12
aula 20
Teorema de Tales
Objetivos
Apresentar o teorema de Tales e o teorema da bissetriz interna.
Encaminhamento
Uma estratégia interessante para começar essa aula é fazer a 
seguinte experiência com os alunos: desenhe três retas paralelas, 
mas com distâncias diferentes, e trace algumastransversais (tome 
cuidado para que elas não sejam paralelas entre si). Em seguida, com 
o auxílio de uma régua, meça os segmentos determinados e mostre 
Em seguida, peça aos alunos que façam o exercício 1, aproveitando 
o item d para apresentar uma importante consequência de ângulos 
numa circunferência:
Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo.
Faça com eles o exercício 2. Mostre que é possível resolver o 
item b sem lembrar de ângulo de segmento. No item c, apresente 
outra consequência de ângulos numa circunferência: 
Um quadrilátero é inscritível em uma circunferência, se e 
somente se, a soma das medidas de seus ângulos opostos é 180°.
Peça que os alunos façam os demais exercícios, corrigindo-os 
em seguida.
Caso julgue pertinente, apresente a noção de arco capaz. No en-
dereço <m3.ime.unicamp.br/dl/1IMXxTKkwNQ_MDA_0c064_> é 
possível baixar um arquivo com uma atividade proposta pela Unicamp, 
na qual os alunos podem vivenciar uma aplicação prática desse tema.
Sugestão de exercícios extras
1. Na figura, calcule o valor de x sabendo que o pentágono 
é regular. 
Resposta: 72º 
x
2. Determine a medida do menor ângulo formado por duas 
retas secantes a uma circunferência, de modo que os 
arcos determinados por essas retas medem 40° e 80°. 
Resposta: 60° 
aula 19
Pontos notáveis em um triângulo
Objetivos
Apresentar os pontos notáveis de um triângulo e as principais 
propriedades associadas a eles.
Encaminhamento
Inicie a aula relembrando aos alunos o que são mediana, bisse-
triz interna, mediatriz e altura relativas a um lado de um triângulo.
Em seguida, apresente os quatro pontos notáveis. Sugerimos 
que seja nesta ordem: Baricentro, Incentro, Circuncentro e Orto-
centro. Para os alunos, lembrar B.I.C.O. é mais fácil.
Comente que em um triângulo isósceles os pontos notáveis 
são colineares e que em um triângulo equilátero eles coincidem. 
15
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empiricamente a propriedade descrita no teorema de Tales. Essa é 
uma maneira rápida de fazer com que eles aceitem o teorema sem 
uma demonstração formal desse resultado.
Após alguns exemplos, peça que os alunos façam os exercícios 
1 e 2, nos quais eles terão a oportunidade de aplicar o teorema.
Em seguida, apresente o teorema da bissetriz interna e peça que 
os alunos façam a terceira questão, que é uma aplicação prática 
desse teorema.
Sugestão de exercícios extras
1. (UFC-CE) Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são 
paralelas. 
a 6
b 10
5
7
7,5
y
c x
Determine o inteiro mais próximo de x 1 y.
Resposta: 26
2. Em um triângulo ABC, a bissetriz interna do ângulo  
divide o lado oposto em segmentos cujas medidas são 
9 cm e 16 cm. Sabendo que AB 5 18 cm, determine as 
possíveis medidas do segmento AC.
Resposta: 32 cm ou 81
8
 cm.
aulas 21 a 24
Semelhança de triângulos (1) e (2)
Objetivos
Apresentar o conceito de semelhança de triângulos e suas apli-
cações.
Encaminhamento
Professor, esse assunto é um dos mais explorados nos principais 
vestibulares do país, além de permitir inúmeras aplicações práticas. 
Por esse motivo, dedicamos a ele quatro aulas, nas quais deixamos 
você com liberdade para aprofundar o assunto de acordo com a 
sua vontade. A parte de potência de ponto em relação a uma cir-
cunferência não foi colocada no resumo teórico da aula para que 
você possa escolher se deseja dar como matéria ou, se preferir, 
que o aluno faça como um exercício de semelhança de triângulos.
Sugerimos que inicie as aulas 21 e 22 apresentando o conceito 
de triângulos semelhantes, o significado da razão de semelhança e o 
caso fundamental de semelhança. Apresente exemplos numéricos 
para mostrar os lados proporcionais, aproveitando para mostrar 
que a razão entre os perímetros também é k. 
O exemplo abaixo é muito bom para isso.
y
6 4
12
x
8
Eles aceitam muito bem a ideia de que triplicando um lado os 
demais também serão triplicados, se mantivermos a “forma”.
Dê um tempo para que façam os exercícios da aula, corrigindo 
em seguida. Explore bem o exercício 3 dessas aulas.
Nas aulas 23 e 24, inicie relembrando o conceito de semelhança, 
e, caso tenha tempo, resolva com eles alguma dúvida da tarefa. 
Em seguida, escolha se vai optar por apresentar potência de pon-
to em relação a uma circunferência ou não, e peça que façam os 
exercícios da aula, corrigindo-os em seguida. São exercícios mais 
complicados, será normal que os alunos encontrem maior dificul-
dade que nas duas aulas anteriores.
Sugestão de exercícios extras
1. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles onde AB 5 1, 
AC 5 1 e AD 5 DC 5 CB 5 x. Determine x.
D
A B
C
Resposta: x 5 1
2
5
2
Observação: Comente sobre a razão áurea.
2. (Vunesp) Uma semicircunferência de centro O e raio r 
está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, 
conforme a figura.
R
C
D
B
A
O
r
s
O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferên-
cia. Se AB 5 s, demonstre que: R ? s 5 R ? r 1 r ? s.
Resposta: demonstração.
16
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17
Atividades Interdisciplinares
A atividade interdisciplinar proposta para o Caderno 2 parte 
de uma atividade bastante comum para adolescentes: a prática 
de jogos, sobretudo de tabuleiro. Sabemos que essa prática cada 
vez mais tem sido substituída por games em vídeo, mas certos 
princípios básicos da atividade permanecem, como a competição/
cooperação, simulação da realidade (simbólica nos jogos de tabu-
leiro, virtual nos games) e diversão.
Há temas complexos que surgem dessa abordagem que po-
deriam até estimular os alunos ao estudo das disciplinas Filosofia 
e Sociologia (por meio de temáticas como o significado de “en-
tretenimento” na sociedade de massas, o impacto cognitivo da 
realidade virtual, etc.). Porém, nem sempre os alunos de 1a série 
estarão instrumentalizados para tais atividades.
Desta forma, propomos um conjunto de exercícios que:
•	 exemplificam uma abordagem do assunto no Enem, em 
questões simples;
•	 trabalham com raciocínio lógico e matemático, analisando a 
melhor possibilidade de se escolher o caminho da Torre no 
tabuleiro de xadrez;
•	 reforçam conteúdos de Biologia, a partir de metáforas com 
o jogo de xadrez;
•	 propõem um cruzamento de tópicos de Geografia e História 
a partir de exercício de vestibular;
•	 aprofundam o conteúdo tratado em História e em Literatura.
Recomendamos uma rápida apresentação do assunto, de pre-
ferência por meio de conversa em que se compartilhe a vivência 
ou a experiência dos alunos com jogos, incluindo o grau de co-
nhecimento deles sobre o xadrez. Lembre-se de que nas atividades 
algumas características das peças e seus movimentos serão citados. 
Seguem-se as atividades de Matemática e de Biologia que, sob a 
forma de testes, podem ser feitas oralmente.
Em seguida, a seção de Humanidades propõe duas atividades 
mais trabalhosas. Recomendamos a redação efetiva de uma res-
posta na atividade de História e Geografia. Observe que a resposta 
apresentada foi proposta pela banca e é bastante completa, servin-
do como referência para examinar várias possibilidades de respostas 
apresentadas pelos alunos.
A atividade de História pode ser abordada mais informalmente, 
como uma conversa. Chamamos a atenção para o fato de que o 
fragmento foi redigido no século XVII, em pleno Absolutismo, mas 
descreve uma situação que já se configurava nas primeiras cortes 
do final da Idade Média. Aqui existe uma abertura para tratar dos 
“jogos de amor” cantados pelos poetas cortesãos nas cortes me-
dievais, e um cruzamento com a Literatura é possível.
Por último, o trecho típico do trovadorismo exige uma leitura 
atenta para que nele se encontre uma referência metafórica à vas-
salagem medieval, em que um nobre presta serviço (notadamente 
militar) ao seu suserano.
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prof.:
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aula 26
P.112
P.118
 AD TM TC 
 AD TM TC 
aula 20
aula 27
P.112
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 AD TM TC 
 AD TM TC 
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 AD TM TC 
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aula 22
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aula 30
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 AD TM TC 
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 AD TM TC 
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 AD TM TC 
aula 34
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 AD TM TC 
aula 35
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 AD TM TC 
aula 36
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 AD TM TC 
aula 24
P.116
 AD TM TC 
aula 25
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 AD TM TC 
Índice-controle 
deestudo
J
O
Ì
O
 P
R
U
D
E
N
T
E
/P
U
L
S
A
R
 I
M
A
G
E
N
S
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor A
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Equação do 2o grau: fórmula resolutiva
aulas 19 e 20
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
112
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Te
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1. Propriedades de números reais:
•	 a ? b 5 0 ⇔ a 5 0 ou b 5 0
•	 a ? b 5 a ? c ⇔ a 5 0 ou b 5 c
•	 a2 5 b2 ⇔ a 5 b ou a 5 2b
2. Equação do 2o grau (na incógnita x):
•	 ax2 1 bx 1 c 5 0, em que a (a ≠ 0), b e c são constantes.
•	 b2 2 4ac é chamado de discriminante da expressão 
ax2 1 bx 1 c e é representado pela letra D.
3. Sendo os coeficientes a, b e c coeficientes reais, temos:
•	 D > 0 ⇔ a equação admite duas raízes reais, dadas por 
x  5 
b
2a
2 6 D
•	 D , 0 ⇔ a equação não admite raízes reais.
•	 D 5 0 ⇔ a equação admite duas raízes reais e iguais (ou 
uma raiz dupla).
•	 D . 0 ⇔ a equação admite duas raízes reais e distintas.
1. Num dado triângulo retângulo, a hipotenusa mede 6 cm 
e um cateto mede 2 cm a mais que o outro. Calcule a 
área desse triângulo.
Sendo as medidas dos catetos x e x 1 2, temos:
x2 1 (x 1 2)2 5 62 (Teorema de Pitágoras)
x2 1 x2 1 4x 1 4 5 36
2x2 1 4x 2 32 5 0
x2 1 2x 2 16 5 0 
com D 5 4 1 4 ? 16 5 4(1 1 16) 5 4 ? 17, temos:
x 5 2 2 17
2
2 6 ∴ x 5 21 1 17 ou x 5 21 2 17
Sendo x > 0, temos x 5 21 1 17 e, portanto, os catetos medem 
17 2 1 e 17 1 1.
A área, em cm2, é dada por 
2 117 1 17 1
2
( )( )
 5 
17 1
2
2
 5 8.
H8
em classe
2. No último Natal, cada família, do condomínio em que 
Pedro mora, mandou exatamente um cartão para cada 
uma das demais famílias. Ao total, foram mandados 
132 cartões. Quantos cartões sua família recebeu das 
famílias que também moram nesse condomínio?
Sendo n o número de famílias desse condomínio, temos:
n(n 2 1) 5 132 (*)
n2 2 n 2 132 5 0
Com D 5 1 1 4 ? 132 5 529 5 232 temos:
n 5 
1 23
2
6
∴ n 5 12 ou n 5 211
Como n . 0, logo:
n 5 12
Havendo 12 famílias no condomínio, a família do Pedro recebeu 11 
cartões.
(*) Sendo n um número natural, podemos resolver essa equação, por 
tentativas; basta decompor 132 num produto de dois fatores naturais 
que diferem de 1. Note que, dos números n e n 2 1, um é par e o 
outro é ímpar. 
Como 132 5 2 ? 66 5 4 ? 33 5 12 ? 11, podemos concluir que n 5 12 
e n 2 1 5 11.
H16
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113
M
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m
‡
ti
c
a
3. Resolva, em ℝ, as equações
a) (2x2 2 2x 1 5)(2x2 2 5x 1 2) 5 0
2x2 2 2x 1 5 5 0 ou 2x2 2 5x 1 2 5 0
• 2x2 2 2x 1 5 5 0 ∴ D 5 4 2 40 5 236 (a equação 2x2 2 2x 1 5 5 0 não tem raízes reais)
• 2x2 2 5x 1 2 5 0 ∴ D 5 25 2 16 5 9 5 32
x 5 
5 3
4
6
 ∴ x 5 2 ou x 5 
1
2
O conjunto solução é 2,
1
2{ }.
b) (2x 2 1)(2x2 2 5x 1 10) 5 (2x 2 1)(x2 1 x 1 1)
(2x 2 1)(2x2 2 5x 1 10) 2 (2x 2 1)(x2 1 x 1 1) 5 0
(2x 2 1)[(2x2 2 5x 1 10) 2 (x2 1 x 1 1)] 5 0
(2x 2 1)[2x2 2 5x 1 10 2 x2 2 x 2 1] 5 0
(2x 2 1)(x2 2 6x 1 9) 5 0
• 2x 2 1 5 0 ⇔ x 5 
1
2
• x2 2 6x 1 9 5 0 ∴ D 5 36 2 36 5 0, ou x2 2 6x 1 9 5 (x 2 3)2
x2 2 6x 1 9 5 0 ⇔ x 5 3
O conjunto solução é 3,
1
2{ }.
c) x 10
x 2
7x
x 2
2
1
2
5
2
x 2 2 ± 0 e x2 1 10 5 7x
x ± 2 e x2 2 7x 1 10 5 0
x2 2 7x 1 10 5 0 ⇔ x 5 2 ou x 5 5
Logo, x 5 5, pois x ± 2.
O conjunto solução é {5}.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
Aula 19
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 8.
Aula 20
•	Faça o exercício 9, cap. 8.
Tarefa Complementar
Aula 19
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 8.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 8.
•	Faça o exercício 1 da seção Rumo ao Enem.
Aula 20
•	Faça os exercícios 7, 8, 10 e 11, cap. 8.
•	Faça os exercícios 2 e 3 da seção Rumo ao Enem.
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Equação do 2o grau: soma e produto das raízes
aulas 21 e 22
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
114
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Sendo x
1
 e x
2
 as raízes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0, temos:
•	 a fatoração ax2 1 bx 1 c ≡ a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
).
•	 x
1
 1 x
2
 5 
b
a
2
 e x
1
 ? x
2
 5 
c
a
.
1. Considerando a equação 2x2 2 5x 2 1 5 0, calcule:
a) o inverso da soma das suas raízes.
Sendo as raízes x
1
 e x
2
, temos:
x
1
 1 x
2
 5 
b
a
2
 5 
5
2
O inverso da soma das raízes: 
1
x x
1 2
1
 5 2
5
b) a soma dos inversos das suas raízes.
Como x
1
 1 x
2
 5 5
2
 e x
1
 ? x
2
 5 c
a
 5 1
2
2
, temos:
1
x
1
 1 
1
x
2
 5 
x x
x x
2 1
1 2
1
?
 5 
5
2
1
2
2
 5 25
em classe
2. Obtenha os coeficientes b e c na equação x2 1 bx 1 c 5 0, 
sabendo que suas raízes são os números 2 e 3.
2 1 3 5 
b
1
2
 ∴ b 5 25
2 ? 3 5 
c
1
 ∴ c 5 6
Logo, b 5 25 e c 5 6.
3. Faça o que se pede.
a) Obtenha as raízes da equação x2 2 7x 1 12 5 0.
A soma das raízes de x2 2 7x 1 12 5 0 é 7 e o produto delas é 12.
Logo, as raízes são 3 e 4.
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115
M
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‡
ti
c
a
b) Dê a forma fatorada de x2 2 7x 1 12.
x2 2 7x 1 12 5 (x 2 3)(x 2 4)
c) Dê o valor numérico de 2
2 1
x 9
x 7x 12
2
2
, com x 5 4,001.
Sendo x 5 4,001 e Q 5 
x 9
x 7x 12
2
2
2
2 1
, temos:
Q 5 
x 3 x 3
x 3 x 4
2 1
2 2
( )( )
( )( )
Q 5 
x 3
x 4
1
2
Q 5 
4,001 3
4,001 4
1
2
Q 5 
7,001
0,001
Q 5 7 001
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 1
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 1
Tarefa Mínima
Aula 21
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 12 e 13, cap. 8.
Aula 22
•	Faça o exercício 19, cap. 8.
Tarefa Complementar
Aula 21
•	Leia os itens 4 e 5, cap. 8.
•	Faça os exercícios 14 a 18, cap. 8.
Aula 22
•	Leia os itens 6 a 8, cap. 8.
•	Faça os exercícios 20 a 24, cap. 8.
4. Resolva, em ℝ: x4 2 x2 2 12 5 0
(x2)2 2 x2 2 12 5 0 
x2 5 t ⇒ t2 2 t 2 12 5 0.
Resolvendo essa equação, resulta t 5 4 ou t 5 23.
De x2 5 4, temos x 5 62.
A equação x2 5 23 não tem raiz real.
Logo, 2 e 22 são as únicas raízes reais e o conjunto solução é {2, 22}.
5. Resolva x 5 2x 1 1 13, com x > 1.
1o modo: De x 12 5 t, temos x 2 1 5 t2, ou seja, x 5 t2 1 1.
Assim, da equação dada, temos:
t2 1 1 5 t 1 13
t2 2 t 2 12 5 0 ∴ t 5 4 ou t 5 23
De t 5 4, temos: x 12 5 4 ⇒ x 2 1 5 16 ⇒ x 5 17
De t 5 23, temos: x 12 5 23 (sem significado!)
O conjunto solução é {17}.
2o modo: x 5 x 12 1 13 ⇔ x 2 13 5 x 12
x 2 13 5 x 12 ⇒ (x 2 13)2 5 2x 1
2
( )
x2 2 26x 1 169 5 x 2 1
x2 2 27x 1 170 5 0 ∴ x 5 17 ou x 5 10
Para x 5 17, temos: 17 5 17 12 1 13
Para x 5 10, temos: 10 ? 10 12 1 13.
Logo, 17 é solução da equação dada e 10 não é!
O conjunto solução é {17}.
Resposta: O conjunto solução é {17}.
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Funções: a notação f(x)
aulas 23 e 24
Enem: conhecimentos algébricos116
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Considere, como exemplo, a tabela de pares ordenados (x, y), em que y 5 x2 2 1, com x [ {21, 0, 1, 2, 3}.
x y
21 0
0 21
1 0
2 3
3 8
Escolhemos uma sigla, ou uma letra, para denotar a função; no caso, y é uma função de x. Normalmente, em Matemática, esco-
lhemos a letra f (de função), nos casos em que há apenas uma função. Assim, neste exemplo, temos f(21) 5 0, f(0) 5 21, f(1) 5 0, 
f(2) 5 3, f(3) 5 8, ou seja, f(x) 5 x2 2 1.
nestas aulas
1. Dado que f(x) 5 x2 2 3x, para todo x real, obtenha os 
valores numéricos de:
a) f(10)
f(10) 5 102 2 3 ? 10 5 100 2 30 
∴ f(10) 5 70
b) f(10) 1 f(4)
f(4) 5 42 2 3 ? 4 5 16 2 12 5 4
∴ f(10) 1 f(4) 5 70 1 45 74
c) f(10 1 4)
f(10 1 4) 5 f(14) 5 142 2 3 ? 14 5 196 2 42 5 154
d) f(1) 2 f(2)
f(1) 5 12 2 3 ? 1 5 22
f(2) 5 22 2 3 ? 2 5 22
∴ f(1) 2 f(2) 5 0
em classe
2. É dado que f(x) 5 2x 1 b, em que b é uma constante, 
tal que f(3) 5 12. Obtenha o valor numérico de f(12).
f(3) 5 12 ⇒ 2 ? 3 1 b 5 12 ⇒ 6 1 b 5 12 ⇒ b 5 6
f(x) 5 2x 1 6 ∴ f(12) 5 2 ? 12 1 6 5 30
Resposta: 30
3. Seja f(x) 5 ax 1 b, em que a e b são constantes, tais que 
f(1) 5 5 e f(2) 5 8. Qual é o valor numérico de ab?
5
5
1 5
1 5
f 1 5
f 2 8
a b 5
2a b 8
( )
( )




⇒



Subtraindo membro a membro, temos 2a 5 23, ou seja, a 5 3.
De a 1 b 5 5 e a 5 3, segue b 5 2.
Então:
ab 5 32 ∴ ab 5 9
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117
M
a
te
m
‡
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c
a
4. O gráfico retrata o número N de bactérias de uma certa 
cultura controlada em função do tempo t (em minutos) 
decorrido desde o início de observação. 
N (t)
t (min)200 40
1 00 000
1 44 000
Destacam-se: N(0) 5 100 000 e N(40) 5 144 000.
Dado que existem constantes a e b, tais que N(t) 5 a ? bt, 
obtenha estas constantes e o valor de N(20).
N(0) 5 100 000 ⇒ a ? b0 5 100 000
Como b0 5 1, temos a 5 100 000 e, portanto, N(t) 5 100 000 ? bt.
N(40) 5 144 000 ⇒ 100 000 ? b40 5 144 000
b40 5 1,44 ∴ b 5 1,4440
N(t) 5 100 000 ? 1,4440
t( )
N(20) 5 100 000 ? 1,4440
20( )
De 1,4440
20( ) 5 1,44 5 1,2, temos:
N(20) 5 100 000 ? 1,2 ∴ N(20) 5 120 000
5. É dado que
• f(x) . 0, para todo valor real de x;
• f(u 1 v) 5 f(u) ? f(v), para quaisquer valores reais de 
u e v;
• f(1) 5 5.
Pede-se: 
a) f(2)
f(1 1 1) 5 f(1) ? f(1)
f(2) 5 5 ? 5 
∴ f(2) 5 25
H19
b) f(3)
f(2 1 1) 5 f(2) ? f(1)
f(3) 5 25 ? 5 
∴ f(3) 5 125
c) f(0)
f(0 1 1) 5 f(0) ? f(1)
f(1) 5 f(0) ? f(1)
5 5 f(0) ? 5 
∴ f(0) 5 1
d) f(21)
f(21 1 1) 5 f(21) ? f(1)
f(0) 5 f(21) ? f(1)
1 5 f(21) ? 5 
∴ f(21) 5 1
5
e) 


 

f 1
2
f
1
2
1
2
f
1
2
f
1
2
1 5 ?( ) ( ) ( )
f(1) 5 f
1
2
2
( )  ∴ f 12
2
( )  5 5
Como f(x) . 0, para todo x real, temos f 1
2( ) 5 5 .
Observações:
• A sequência de resultados pode levar alguns à ‘descoberta’: 
f(x) 5 5x. Embora isso seja verdade, não temos, até este ponto 
do curso, fundamentos matemáticos suficientes para uma de-
monstração.
• Podemos mostrar que f(u 2 v) 5 
f u
f v
( )
( )
. Vejamos.
Sabemos, pelo enunciado da questão, que 
f(..1..) 5 f(..) ? (..)
5
5
nos espaços em branco, podemos colocar dois números reais 
quaisquer. Com os valores u 2 v e v, temos:
f(u 2 v 1 v) 5 f(u 2 v) ? f(v) ⇒ f(u) 5 f(u 2 v) ? f(v)
Como f(v) . 0, para qualquer valor real de v, temos 
f u
f v
( )
( )
 5 f(u 2 v).
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2 
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 23
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 e 2, cap. 1.
Aula 24
•	Faça os exercícios 6 e 7, cap. 1.
Tarefa Complementar
Aula 23
•	Leia o capítulo 1.
•	Faça os exercícios 3 a 5, cap. 1.
•	Faça o exercício 4 da seção Rumo ao Enem.
Aula 24
•	Faça os exercícios 8 a 12, cap. 1.
•	Faça o exercício 5 da seção Rumo ao Enem.
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Funções: conceitos básicos 
aulas 25 e 26
Enem: conhecimentos algébricos
118
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1. Sendo A e B conjuntos não vazios, chamamos de função de A em B a qualquer conjunto f de pares ordenados, nas seguintes 
condições:
•	 para todo elemento x de A, existe um par (x, y) em f, com y [ B;
•	 se (x, y) e (x, y’) pertencem a f, então y’ 5 y; em palavras, em uma função, não há pares ordenados com o mesmo primeiro 
elemento e com segundos elementos diferentes. Os conjuntos A e B são chamados, nessa ordem, de domínio e contradomínio 
da função f. Frequentemente é usada a notação ƒ: A → B. Muitas vezes, uma função é representada por uma tabela de duas 
colunas (x e y).
2. Sendo A e B subconjuntos de ℝ, dizemos que f é uma função real de variável real.
3. Há muitos casos de função real f de variável real em que o domínio e o contradomínio não são dados. Nesses casos, devemos tomar 
ℝ como contradomínio e tomamos como domínio o conjunto de todos os números reais, para os quais são verificadas as ‘condições de 
existência’ de f(x). Vejamos dois exemplos.
•	 Dado que f(x) 5 
1
1
x 1
 e o domínio não é explicitado, devemos considerar que este seja o conjunto ℝ 2 {21}, isto é, {x [ ℝ| x ? 21}, 
pois, da divisão, temos que x 1 1 não pode ser igual a 0 (x não pode ser 21).
•	 Dado que f(x) 5 1
x
 e o domínio não é explicitado, devemos considerar que este seja o conjunto {x [ ℝ| x . 0}, pois, da raiz 
quadrada, temos que x não pode ser negativo e, da divisão, temos que x não pode ser igual a 0.
4. Função dada pelo seu gráfico
0
O domínio de f é dado pela projeção
do gráfco sobre o eixo das abscissas.
x
y
0
O conjunto imagem de f é dado pela projeção
do gráfco sobre o eixo das ordenadas.
x
y
5. O gráfico de f não mostra qual é seu contradomínio.
nestas aulas
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119
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1. Obtenha o domínio e o conjunto imagem de cada uma 
das funções dadas pelos gráficos a seguir:
a) 
0 x
y
1
21
22
23
2
3
4
12122 2 3 4 5 6
λ
O domínio de uma função dada pelo seu gráfico pode ser obtido pela 
sua projeção sobre o eixo das abscissas (x) e o conjunto imagem 
pode ser obtido pela sua projeção sobre o eixo das ordenadas (y).
0 x
y
1
21
22
23
2
3
4
12122 2 3 4 5 6
λ
O domínio é o intervalo [21, 5].
O conjunto imagem é o intervalo [22, 3].
b) 
0 x
y
1
21
22
23
2
3
4
12122 2 3 4 5 6
λ
7
0 x
y
1
21
22
23
2
3
4
12122 2 3 4 5 6
λ
7
O domínio é o intervalo [22, 6[.
O conjunto imagem é o intervalo [22, 4].
2. Na figura, temos um esboço do gráfico da função dada 
por f(x) 5 x 1 1 x 1 5 x
x 1
1 ? 1 1 ? 2
1
( )( )
.
0 x
y
1
2
3
4
121 2 3 4 5
Pede-se:
a) o domínio de f
Da projeção do gráfico sobre o eixo x, concluímos que o domínio 
de f é o intervalo ]21, 5].
b) o conjunto imagem de f
Da projeção do gráfico sobre o eixo y, concluímos que o conjunto 
imagem de f é o intervalo [1, 4].
c) Complete a tabela:
x 21 0 2 5
y 5 f(x) e 11 5 4 1
3. (Enem) O gráfico fornece os valores das ações da em-
presa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia 
em que elas oscilaram acentuadamente em curtos 
intervalos de tempo.
0
Tempo (em horas)
V
a
lo
r 
d
a
 a
ç
ã
o
 (
e
m
 r
e
a
is
)
280
200
150
100
330
380
460
10 11 12 13 14 15 16 17
H24
em classe
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120
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Te
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Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de 
acordo com a seguinte tabela.
Investidor Hora da compra Hora da venda
1 10:00 15:00
2 10:00 17:00
3 13:00 15:00
4 15:00 16:00
5 16:00 17:00
Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio?
 ca) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Investidor Valor da compra Valor da venda Ganho/perda
1 150 460 310 (.200%)
2 150 200 50 (.33%)
3 380 460 80 (.20%)
4 460 100 2360 (.278%)
5 100 200 100 (100%)
Do exposto acima, o investidor 1 foi o que fez melhor negócio.
4. Qual é o domínioda função real de variável real dada por f(x) 5 x 1
x 2 x 5
2
2 2( )( )
 1 2x 3 ?
Condições de existência de f(x): 
x 2 2 ? 0, x 2 5 ? 0 e x 2 3 > 0
x ? 2, x ? 5 e x > 3
Logo, o domínio é {x [ ℝ| x > 3 e x ? 5}.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 25
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 2.
Aula 26
•	Faça o exercício 8, cap. 2.
Tarefa Complementar
Aula 25
•	Leia os itens 1 a 3, cap. 2.
•	Faça os exercícios 4 e 5, cap. 2.
•	Faça o exercício 6 da seção Rumo ao Enem.
Aula 26
•	Faça os exercícios 6, 7, 9 e 10, cap. 2.
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Funções: conceitos básicos – exercícios (1)
aula 27
Enem: conhecimentos algébricos
121
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1. Sendo A e B conjuntos não vazios, chamamos de função de A em B a qualquer conjunto f de pares ordenados, de modo que, para 
cada elemento x de A, existe um único par (x, y) em f, sendo y um elemento de B.
2. Os conjuntos A e B são chamados, nessa ordem, de domínio e contradomínio da função f.
3. Sendo f uma função real de variável real cujo domínio e contradomínio não são dados, tomamos ℝ como seu contradomínio e 
tomamos como domínio o conjunto de todos os números reais, para os quais são verificadas as ‘condições de existência’ de f(x).
nesta aula
Na figura, temos esboços dos gráficos das funções da-
das por f(x) 5 2 1 
2
1
x 1
 e g(x) 5 x.
2
22
4
4
y 5 g(x)
y 5 f(x)
x
y
2022
Obtenha:
a) o domínio de f;
Condição de existência de f(x): x 2 1 ? 0, ou seja, x ? 1
O domínio de f é ℝ 2 {1}.
em classe
b) o conjunto solução da equação f(x) 5 0;
2 1 
1
x 12
 5 0
1
x 12
 5 22
1 5 22x 1 2
2x 5 1 
∴ x 5 
1
2
O conjunto solução é 
1
2{ }.
c) o conjunto solução da equação f(x) 5 2;
2 1 
1
x 12
 5 2
1
x 12
 5 0
1 5 0(x 2 1) 
O conjunto solução é [. 
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d) o conjunto solução da inequação f(x) , 0;
Do gráfico e do item anterior, temos:
f(x) , 0 ⇔ x . 
1
2
 e x , 1
O conjunto solução é 



1
2
,1 .
e) o conjunto solução da equação f(x) 5 g(x);
2 1 
1
x 12
 5 x
1
x 12
 5 x 2 2
1 5 (x 2 2)(x 2 1)
0 5 x2 2 3x 1 1
∴ x 5 
3 5
2
6
O conjunto solução é 
3 5
2
2


, 
3 5
2
1 


.
f) o conjunto solução da inequação f(x) , g(x) (consulte 
o gráfico);
Do gráfico e do item anterior, temos f(x) , g(x) ⇔ 
3 5
2
2
< x < 1 
ou x . 
3 5
2
1 .
O conjunto solução é x
3 5
2
x 1 ou x
3 5
2
[







R | 2 , , . 1 .
Nota:
O conjunto imagem de f é o conjunto de todos os valores reais de  y, 
para os quais existe pelo menos um valor real de x, de modo se 
verifique f(x) 5 y.
Temos: 2 1 
1
x 12
 5 y ⇔ 
1
x 12
 5 y 2 2
Com y 5 2, temos a equação 
1
x 12
 5 0, que não admite solução!
Com y ? 2, temos x − 1 5 
1
y 22
, ou seja, x 5 1 1 
1
y 22
.
O conjunto imagem de f é R 2 {2}.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
• Faça os exercícios 11 e 12, cap. 2.
Tarefa Complementar
• Faça os exercícios 13 a 15, cap. 2.
• Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
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Funções: conceitos básicos – exercícios (2)
aulas 28 e 29
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
123
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Sendo A e B conjuntos não vazios, chamamos de função de A em B a qualquer conjunto f de pares ordenados, de modo que, para 
cada elemento x de A, existe um único par (x, y) em f, sendo y um elemento de B.
1. Os conjuntos A e B são chamados, nessa ordem, de domínio e contradomínio da função f.
2. Sendo f uma função real de variável real cujo domínio e contradomínio não são dados, tomamos ℝ como seu contradomínio e 
tomamos como domínio o conjunto de todos os números reais, para os quais são verificadas as ‘condições de existência’ de f(x).
3. Crescimento e decrescimento de uma função
Importante: Analise um gráfico sempre da esquerda para a direita, ou seja, no sentido do eixo das abscissas (x).
Dizemos que f é uma função crescente em S, se, e somente se, para quaisquer elementos x
1
 e x
2
 de S, com 
x
2
 . x
1
, f(x
2
) . f(x
1
). Em outras palavras, aumentando o valor de x, com x [ S, aumenta-se o valor de f(x).
0 x
y
Dizemos que f é uma função decrescente em S, se, e somente se, para 
quaisquer elementos x
1
 e x
2
 de S, com x
2
 . x
1
, f(x
2
) , f(x
1
). Em outras palavras, 
aumentando o valor de x, com x [ S, diminui-se o valor de f(x).
0 x
y
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1. (Enem) Muitas vezes o objetivo de um remédio é aumen-
tar a quantidade de uma ou mais substâncias já existen-
tes no corpo do indivíduo para melhorar as defesas do 
organismo. Depois de alcançar o objetivo, essa quantida-
de deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa 
ingere um medicamento para aumentar a concentração 
da substância A em seu organismo, a quantidade des-
sa substância no organismo da pessoa, em relação ao 
tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico
a) 
Tempo
Q
u
a
n
ti
d
a
d
e
 d
a
su
b
st
‰
n
c
ia
 A
b) 
Tempo
Q
u
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d
a
d
e
 d
a
su
b
st
‰
n
c
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 A
c) 
Q
u
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n
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d
a
d
e
 d
a
su
b
st
‰
n
c
ia
 A
Tempo
H24
 cd) 
Tempo
Q
u
a
n
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a
d
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 d
a
su
b
st
‰
n
c
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 A
e) 
Tempo
Q
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e
 d
a
su
b
st
‰
n
c
ia
 A
Dos gráficos apresentados, o único em que a concentração aumenta 
(a função é crescente num intervalo) para depois voltar (a função é de-
crescente num intervalo) ao seu valor inicial encontra-se na alternativa d.
2. (Ufscar-SP − Modificada) Uma pesquisa ecológica de-
terminou que a população (S) de sapos de uma de-
terminada região, medida em centenas, depende da 
população (m) de insetos, medida em milhares, de acor-
do com a equação S(m) 5 65 1 
m
8
. A população de 
insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de 
chuva, em centímetros, de acordo com a equação 
m(p) 5 43p 1 7,5. Calcule a população de sapos quan-
do a precipitação é de 1,5 cm.
m(1,5) 5 43 ? 1,5 1 7,5 ∴ m 5 72
S(72) 5 65 1 
72
8
 5 65 1 9 5 65 1 3 ∴ S 5 68
Logo, a população de sapos é de 6 800.
H21
em classe
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125
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3. Considere a função real de variável real dada por 
f(x) 5 2
2
2x 3
x 1
. Obtenha:
a) x, tal que f(x) 5 1.
De 
2x 3
x 1
2
2
 5 1, temos:
2x 2 3 5 x 2 1
∴ x 5 2
b) o domínio de f.
A condição de existência de f(x) é x 2 1 ? 0.
Portanto, o domínio de f é ℝ 2 {1}.
c) x, tal que f(x) 5 2.
De 
2x 3
x 1
2
2
 5 2, temos 2x 2 3 5 2x 2 2, equação que não tem 
solução.
Portanto, não existe x, tal que f(x) 5 2.
d) o conjunto imagem de f.
De 
2x 3
x 1
2
2
 5 y, com x ? 1, temos:
2x 2 3 5 y(x 2 1)
2x 2 3 5 xy 2 y
2x 2 xy 5 3 2 y
x(2 2 y) 5 3 2 y
Com y 5 2, temos x ? 0 5 1; equação que não tem solução.
Com y ± 2, temos x 5 
3 y
2 y
2
2
.
Como o conjunto imagem de f é o conjunto de todos os valores 
reais de y, para os quais a equação f(x) 5 y admita solução, pode-
mos afirmar que este é o conjunto ℝ 2 {2}.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 28
•	Faça o exercício 16, cap. 2.
Aula 29
•	Faça o exercício 19, cap. 2. 
Tarefa Complementar
Aula 28
•	Leia os itens 4 e 5, cap. 2.
•	Faça os exercícios 17 e 18, cap. 2.
•	Faça o exercício 9 da seção Rumo ao Enem.
Aula 29
•	Faça os exercícios 20 a 24, cap. 2.
•	Faça o exercício 10 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 125 11/27/15 8:56 AM
Funções: funções afns
aulas 30 e 31
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
126
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Consideremos as funções com domínio ℝ que são da forma 
f(x) 5 ax + b, em que ae b são constantes reais. Nesses casos, 
dizemos que f é uma função afim e seu gráfico é uma reta que 
passa pelo ponto (a, b). Há vários tipos característicos. 
1. Função constante (a 5 0): f(x) 5 b
O gráfico é uma reta paralela ao eixo x.
2. Função linear (b 5 0): f(x) 5 ax
O gráfico é uma reta que passa pelo ponto (0, 0).
3. Função polinomial do 1o grau (a ± 0): f(x) 5 ax 1 b
O gráfico é a reta, que intersecta o eixo y em (0, b) e o eixo x 
em 
b
a
, 0
2

 

 .
4. Sendo x
1
 e x
2
 valores quaisquer de x, com x
1
 ± x
2
,
•	 y
1
 5 f(x
1
) 5 ax
1
 1 b, y
2
 5 ax
2
 1 b,
•	 Dy 5 y
2
 2 y
1
 (variação de y)
•	 Dx 5 x
2
 2 x
1
 (variação de x)
temos: 
y
x
∆
∆
 5 
f x f x
x x
2 1
2 1
2
2
( ) ( )
 5 a (a taxa de variação é constante)
em classe
Exemplo:
f(x) 5 2x 1 1
0 x
y
1
21
2
3
4
21 1
No exemplo, temos 
y
x
∆
∆
 5 2.
1. Um caso simples e importante é dado pela função identidade; ela é dada pela equação f(x) 5 x. 
a) Esboce o gráfico dessa função com domínio ℝ.
b) Esboce, no mesmo plano cartesiano do gráfico anterior, os gráficos das funções dadas por y 5 0,5x e y 5 2x.
Note como o coeficiente de x (que é a taxa de variação) determina a inclinação da reta.
0 x
y
1
21
2
3
4
y 5 2x
y 5 x
y 5 0,5x
21 1
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127
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2. Faça um esboço do gráfico da função dada por 
f(x) 5 
0,5x, se x 1
2x, se x  1
,
>



.
Note que:
• se x , 1, então f(x) 5 0,5x
(sendo x ± 1, temos f(x) ≠ 0,5)
• se x . 1, então f(x) 5 2x
(sendo x ± 1, temos f(x) ± 2)
• se x 5 1, então f(x) 5 2 ? 1 5 2
O ponto (1, 2) pertence ao gráfico, pela ‘terceira’ sentença. 
0 x
y
1
21
2
3
y 5 2x
y 5 0,5x
21 1
3. (UFRN) O Triatlo Olímpico é uma modalidade de com-
petição que envolve três etapas. Na primeira etapa, os 
competidores enfrentam 1,5 km de natação em mar 
aberto; na segunda etapa, eles percorrem 40 km de 
corrida ciclística; e, na terceira etapa, participam de 
uma meia maratona de 10 km. O gráfico que melhor 
representa, aproximadamente, a distância percorrida, 
em quilômetros, por um atleta que completa a prova 
durante as duas horas da competição é:
a) 
Tempo
D
is
t‰
n
c
ia
b) 
Tempo
D
is
t‰
n
c
ia
H25
 cc) 
Tempo
D
is
t‰
n
c
ia
d) 
Tempo
D
is
t‰
n
c
ia
1a fase (1,5 km a nado): Dy 5 1,5 e, das 3 fases, é nesta que a 
função cresce menos;
2a fase (40 km de bicicleta): Dy 5 40 e, das 3 fases, é nesta que 
a função cresce mais;
3a fase (10 km a pé): Dy 5 10.
Pelo exposto acima, o gráfico que melhor representa a função 
está na alternativa c.
4. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa quan-
tidade de bolas de vidro idênticas em um copo com 
água até certo nível e medir o nível da água, conforme 
ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experi-
mento, concluiu-se que o nível da água é função do 
número de bolas de vidro que são colocadas dentro 
do copo.
y
H19
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 127 11/27/15 11:50 AM
128
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experi-
mento realizado.
Número de bolas (x) Nível da água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Fonte: <www.penta.ufrgs.br>. 
Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível 
da água (y) em função do número de bolas (x)?
a) y 5 30x
b) y 5 25x 1 20,2
c) y 5 1,27x
d) y 5 0,7x
 ce) y 5 0,07x 1 6
O nível de água (y) em função do número de bolas (x) é dado por 
y 5 ax 1 b.
Da tabela, podemos dizer que:
Para x 5 5, y 5 6,35 e para x 5 10, y 5 6,70.
Com isso, obtemos o sistema de equações 




5a b 6,35
10a b 6,70.
1 5
1 5
Resolvendo o sistema acima, obtemos a 5 0,07 e b 5 6.
Logo, y 5 0,07x 1 6, alternativa e.
5. Qual é função f representada na figura abaixo?
0 x
y
1
2
3
1 4
f
y 5 ax 1 b
(4, 2) [ f ⇒ 4a 1 b 5 2
(1, 3) [ f ⇒ a 1 b 5 3
Assim: 
4a b 2
a b 3
1 5
1 5



Subtraindo membro a membro, temos 3a 5 21, ou seja, a 5 
1
3
2
.
De a 1 b 5 3 e a 5 
1
3
2
, temos 
1
3
2
 1 b 5 3, ou seja, b 5 
10
3
.
Portanto, f(x) 5 
1
3
2
x 1 
10
3
.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 30
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 3.
Aula 31
•	Faça os exercícios 9 e 10, cap. 3.
Tarefa Complementar
Aula 30
•	Leia os itens 1 a 5, cap. 3.
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 3.
•	Faça o exercício 13 da seção Rumo ao Enem.
Aula 31
•	Faça os exercícios 11 e 12, cap. 3.
•	Faça o exercício 14 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 128 11/27/15 8:56 AM
Funções: funções afns – exercícios
aula 32
Enem: conhecimentos algébricos
nesta aula
129
M
a
te
m
‡
ti
c
a
•	 Uma função real f de variável real x é uma função afim, se, e somente se, existem constantes reais a e b, tais que seja verificada a 
condição f(x) 5 ax 1 b.
1. Em São Paulo, no Parque do Ibirapuera, há uma pista 
de cooper, em que se completa uma volta a cada 
1500 metros. Num sábado de manhã, Pedrinho andou 
5000 metros nessa pista e, portanto, não completou 
4 voltas. Sendo assim, qual é a figura que melhor re-
presenta o número n de voltas completas dadas por 
Pedrinho em função da distância d, em metros, que 
ele andou?
a) 
d
15
0
0
3
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
n
4
3
2
1
0
b) 
d
1
5
0
0
3
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
n
4
3
2
1
0
 cc) 
d
1
5
0
0
3
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
n
4
3
2
1
0
H 23
em classe
d) 
d
1
5
0
0
3
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
n
4
3
2
1
0
e) 
d
1
5
0
0
3
0
0
0
4
5
0
0
5
0
0
0
n
4
3
2
1
0
0 < d , 1 500 ⇒ n 5 0
1 500 < d , 3 000 ⇒ n 5 1
3 000 < d , 4 500 ⇒ n 5 2
4 500 < d < 5 000 ⇒ n 5 3
O gráfico da função definida por essas sentenças está na alterna-
tiva c.
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130
M
a
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á
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
2. R
1
, R
2
 e R
3
 são recipientes, que são abastecidos com água, todos com o mesmo fluxo constante. Considere, em cada 
caso, a altura h em função do tempo.
t
G
1
R
1 R
2
R
3
G
2
G
3
h
t
h
t
h
hh h
Associar a cada recipiente o gráfico correspondente de h (altura) em função de t (tempo).
G
1
: a função cresce a taxa decrescente, corresponde ao recipiente R
3
.
G
2
: a função cresce a taxa constante, corresponde ao recipiente R
1
.
G
3
: a função cresce a taxa crescente, corresponde ao recipiente R
2
.
H22
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
•	Faça o exercício 13, cap. 3.
Tarefa Complementar
•	Leia o item 6, cap. 3.
•	Faça os exercícios 14 e 15, cap. 3.
•	Faça o exercício 15 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 130 11/27/15 8:56 AM
Funções: função quadrática
aulas 33 e 34
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
131
M
a
te
m
‡
ti
c
a
Função quadrática, ou função polinomial do segundo grau, 
é uma função em que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são 
constantes, com a ± 0. Consideremos, por enquanto, apenas os 
casos em que constantes e variáveis são números reais.
1. O número b2 2 4ac é chamado de discriminante (D) do 
trinômio. 
2. O gráfico de f é uma parábola.
3. Em todos os casos, gráfico intersecta o eixo y (eixo das orde-
nadas) no ponto (0, c).
4. Em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V(x
v
, y
v
), 
com x
v
 5 
b
2a
2
 e y
v
 5 
4a
2D
.
5. Estudo da função
•	a . 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido do eixo y. 
O vértice corresponde ao ponto de mínimo da função.
a . 0
, V
2b
2a
2D
4a
•	a , 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido oposto do 
eixo y. O vértice corresponde ao ponto de máximo da função.
a , 0
, V
2b
2a
2D
4a
•	D . 0 ⇔ a parábola intersecta o eixo x em dois pon-
tos distintos (x
1
, 0) e (x
2
, 0), com x
1,2
 5 b
2a
2 6 D . Nesses 
casos, temos f(x) 5 a(x 2 x
1
)(x 2 x
2
).a . 0
x
1
x
2 x
a , 0
x
1
x
2 x
•	D 5 0 ⇔ a parábola é tangente ao eixo x no ponto V(x
v
, 0), 
com x
v
 5 
b
2a
2
. Nesses casos, temos f(x) 5 a(x 2 x
v
)2.
a . 0
x
V x
x
V
a , 0
x
•	D , 0 ⇔ a parábola não intersecta o eixo x. Nesse caso, 
para todo x real, f(x) tem o mesmo sinal que a constante a.
a . 0
x
a , 0
x
Acesse o portal e explore o conteúdo: 
Construtor de gráficos: função quadrática
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132
M
a
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á
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
em classe
1. Em cada caso, esboce o gráfico da função e dê seu 
conjunto imagem.
a) f; ℝ → ℝ, f(x) 5 x2
x
22
21
0
1
2
3
y
4
1
0
1
4
9
0 x
y
1
21
2
3
4
5
12122 2 3
conjunto imagem: ℝ
1
b) f; [0, 2] → ℝ, f(x) 5 x(2 2 x)
x
0
1
2
y
0
1
0
0 x
y
1
21
2
121 2
conjunto imagem: [0, 1]
2. Considere, no plano xOy, a parábola de equação 
y 5 x2 1 2x 2 3. Obtenha, dessa figura:
a) o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.
x 5 0 ⇒ y 5 23
Resposta: (0, 23)
b) os pontos de intersecção com o eixo das abscissas.
y 5 0 ⇔ x2 1 2x 2 3 5 0
x2 1 2x 2 3 5 0 ⇔ x 5 23 ou x 5 1
Resposta: (23, 0) e (1, 0)
c) o vértice V.
a 5 1, b 5 2, c 5 23
abscissa do vértice: x
v
 5 
b
2a
2
 5 21
ordenada do vértice:
y
v
 5 (21)2 1 2(21) 2 3
y
v
 5 24
Resposta: V(21, 24)
Outro modo de obter a ordenada do vértice:
D 5 b2 2 4ac 5 4 1 12 5 16
y
v
 5 
∆
4a
2
 5 
16
4
2
 ∴ y
v
 5 24
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133
M
a
te
m
‡
ti
c
a
d) um esboço.
0 x
y
21
23
24
22
1212223 2
e) o conjunto imagem da função dada por 
f(x) 5 x2 1 2x 2 3
O conjunto imagem é dado pela projeção da parábola sobre o eixo y.
Resposta: {y [ ℝ| y > 24}
3. Qual é o conjunto imagem da função dada por 
f(x) 5 x2 2 x, com domínio [0, 2]?
O gráfico é um segmento de parábola (0 < x < 2)
0
x
y
1
V
2
y
V 2
x 5 2 ⇒ y 5 22 2 2 5 2
y
v
 5 
1
4
2
 ( )com x x 12v5 5
Projetando o gráfico sobre o eixo y, temos: y
v
 < y < 2.
O conjunto imagem é [y
v
, 2] 5 




1
4
, 22
Resposta: conjunto imagem: 




1
4
, 22 
4. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, con-
forme mostra a figura.
x (cm)V
C
y (cm)
Eixo de
rota•‹o (z)
A função real que expressa a parábola, no plano car-
tesiano da figura, é dada pela lei f(x) 5 3
2
x2 2 6x 1 C, 
onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, 
em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, repre-
senta o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, 
em centímetros, é:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 5
 ce) 6
Como a parábola tem um único ponto em comum com o eixo x 
(raiz dupla) o discriminante (D) é nulo.
(26)2 2 4 ( )32 C 5 0
∴ C 5 6
H17
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 33
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 4.
Aula 34
•	Faça os exercícios 8 e 9, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aula 33
•	Leia o capítulo 4.
•	Faça os exercícios 4 a 7, cap. 4.
•	Faça o exercício 16 da seção Rumo ao Enem.
Aula 34
•	Faça os exercícios 10 a 13, cap. 4.
•	Faça o exercício 17 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 133 11/27/15 8:56 AM
Funções: função quadrática – mínimos, máximos
aulas 35 e 36
Enem: conhecimentos algébricos
nestas aulas
134
M
a
te
m
á
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ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
Consideremos f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a, b e c são constantes reais, com a ? 0. 
1. O número b2 2 4ac é chamado de discriminante (D) do trinômio.
2. O gráfico de f é uma parábola.
3. Em todos os casos, o vértice da parábola é o ponto V(x
v
, y
v
), com x
v
 5 
b
2a
2
 e y
v
 5 
D
4a
2
.
•	 a . 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido do eixo y. 
O vértice corresponde ao ponto de mínimo da função. 
a . 0
, V
2b
2a
2D
4a
•	 a , 0 ⇔ a concavidade da parábola tem o sentido oposto do 
eixo y. O vértice corresponde ao ponto de máximo da função.
a , 0
, V
2b
2a
2D
4a
1. Sendo u 5 2x 2 10 e v 5 3x 1 21, em que x é uma variável 
real, obtenha:
a) o valor de x, para o qual o produto de u por v é mínimo;
Sendo y 5 uv, temos:
y 5 (2x 2 10)(3x 1 21), ou seja, 
y 5 6x2 1 12x 2 210.
x
v
 5 
( )
12
2 6
2
 5 21 (abscissa do vértice da parábola de equação
y 5 6x2 1 12x 2210)
O valor de x para o qual y é mínimo é dado por x
v
, ou seja, 21.
em classe
b) o valor mínimo de uv.
Com x 5 21, temos: y 5 6(21)2 1 12(21) 2 210 5 2216.
Logo, o valor mínimo de y é 2216.
Outro modo:
a 5 6, b 5 12, c 5 2210 e D 5 b2 2 4ac 
∴ D 5 144 2 4(6)(2210) 5 144 1 4(6)(210).
y
v
 5 
4a
2D
 5 
2 1144 4 6 210
4 6
( )( ) 
⋅
 5 2[6 1 210] 5 2216.
EM_REG_111a140_MAT_SETOR_A_CA2.indd 134 11/27/15 8:56 AM
135
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. (Enem - Adaptada) A empresa WQTU Cosmético vende 
um determinado produto, cujo custo de fabricação de 
cada x unidades é dado por 3x2 1 232, e o seu valor de 
venda é expresso pela função 180x 2 116. A empresa 
vendeu 10 unidades do produto, contudo a mesma 
deseja saber quantas unidades precisa vender para 
obter um lucro máximo. A quantidade máxima de uni-
dades a serem vendidas pela empresa WQTU para a 
obtenção do maior lucro é:
a) 10
 cb) 30
c) 58
d) 116
e) 232
Sendo 3x2 1 232 o custo de fabricação de x unidades do produto e 
180x 2 116 o valor de venda de x unidades, temos:
o lucro, se houver, será dado por L(x) 5 180x 2 116 2 (3x2 1 232), ou 
seja, L(x) 5 23x2 1 180x 2 348.
O valor de L(x) é máximo para x 5 
( )
180
2 3
2
2
 5 30.
3. Considere um triângulo ABC e, inscrito nele um retân-
gulo, conforme a figura. A altura do triângulo é 14 e 
a do retângulo é h. A base do triângulo é 20 e a do 
retângulo é x.
h
14
A
E D
G CFB
x
20
H18
Obtenha:
a) h em função de x e o domínio desta função;
h
14
14 2 h
A
E D
G CFB
x
20
O triângulo AED é semelhante ao triângulo ABC.
14 h
14
2
 5 
x
20
14x 5 280 2 20h
7x 5 140 2 10h ∴ 10h 5 27x 1 140
h 5 
7x 140
10
2 1
 e o domínio da função é {x [ ℝ| 0 , x , 20}.
b) o valor de x, para o qual a área do retângulo é 
máxima.
Seja y a área do retângulo: y 5 x ? h
y 5 
7x 140x
10
2
2 1
y, que é a área, é máximo para x 5 
( )
140
2 7
2
2
 5 10.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 2
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 2
Tarefa Mínima
Aula 35
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 14 e 15, cap. 4.
Aula 36
•	Faça o exercício 16, cap. 4.
Tarefa Complementar
Aulas 35 e 36
•	Faça os exercícios 17 a 20, cap. 4.
•	Faça o exercício 18 da seção Rumo ao Enem.
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R
u
m
o
 a
o
 E
n
e
m
rumo ao
Enem
136136
1. (Modelo – Enem) Os funcionários de uma fábrica rece-
bem mensalmente um salário composto de uma parce-
la fixa de R$ 1 120,00 mais uma parcela variável que foi 
estimada para daqui a t anos por 10t² 1 10t 1 20. Assim, 
o rendimento mensal desses funcionários será o dobro 
do atual valor fixo após:
a) 6 anos.
b) 8 anos.
 c c) 10 anos.
d) 12 anos.
e) 14 anos.
2. (Modelo – Enem) André irá cercar completamente um 
terreno retangular cuja largura é 5 metros maior que o 
dobro do seu comprimento e cuja área é 102 m2. Sa-
bendo que ele irá gastar R$ 8,00 por metro de cerca, 
seu gasto total, em reais, para fazer isso será:
 ca) 368
b) 334
c) 272
d) 192
e) 184
3. (Modelo – Enem) O dono de um restaurante sabe que 
caso cobre no almoço, R$ 20,00 por pessoa, terá diaria-
mente 200 clientes nesse horário e que, a cada R$ 1,00 
de aumento no preço do quilo, 4 clientes deixam de 
frequentar o restaurante. Nessas condições, para que 
sua receita diária (produto entre o preço por quilo multi-
plicado pela quantidade de clientes) seja R$ 4 900,00, o 
valor, em reais, cobrado por pessoa deve ser um número 
do intervalo:
a) [18, 22[
b) [22, 26[
c) [26, 30[
d) [30, 34[
 ce) [34, 38[
4. (Enem) Em uma cidade, os impostosque incidem sobre 
o consumo de energia elétrica residencial são de 30% 
sobre o custo do consumo mensal. O valor total da con-
ta a ser paga no mês é o valor cobrado pelo consumo 
acrescido de impostos.
Considerando x o valor total da conta mensal de uma 
determinada residência e y o valor dos impostos, qual 
é a expressão algébrica que relaciona x e y?
H22
H21
H17
H15
 ca) y  
0,3x
1,3
5
b) y  0,3x5
c) y   x
1,3
5
d) y   1,3x
0,3
5
e) y  0,7x5
5. (Enem) Um curso preparatório oferece aulas de 8 
disciplinas distintas. Um aluno, ao se matricular, es-
colhe de 3 a 8 disciplinas para cursar. O preço P, 
em reais, da mensalidade é calculado pela fórmula 
( )P n  980 
1680
n
5 2 , onde n é o número de disciplinas 
escolhidas pelo aluno.
Alex deseja matricular seu filho Júlio e, consultando seu 
orçamento familiar mensal, avaliou que poderia pagar 
uma mensalidade de, no máximo, R$ 720,00.
O número máximo de disciplinas que Júlio poderá es-
colher ao se matricular nesse curso, sem estourar o or-
çamento familiar, é igual a
a) 3.
b) 4.
 cc) 6.
d) 7.
e) 8.
6. (Enem) Um jovem lança uma bola de borracha para 
observar sua trajetória e altura h (em metros) atingida 
ao longo de um certo intervalo de tempo t (em segun-
dos). Nesse intervalo, a bola quica no chão algumas 
vezes, perdendo altura progressivamente. Parte de sua 
trajetória está descrita na figura a seguir.
0 t
h
10
20
30
40
50
15 27 36 42 4546
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde cons-
tatar que a bola atingiu a marca de 35 metros?
a) Nenhuma.
b) Uma vez.
c) Duas vezes.
 cd) Quatro vezes.
e) Cinco vezes.
H18
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7. (Enem)
De acordo com os números divulgados pela Agência 
Nacional de Telecomunicações (Anatel), já há no país 91 
celulares em cada grupo de 100 pessoas. Entre as várias 
operadoras existentes, uma propõe o seguinte plano aos 
seus clientes: R$ 25,00 mensais para até 40 minutos de 
conversação mensal e R$ 1,00 por minuto que exceda o 
tempo estipulado.
Disponível em: http://www.economia.ig.com.br.
Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Qual dos gráficos a seguir corresponde aos possíveis 
gastos (y), em reais, de um cliente dessa operadora de 
celular, em função do tempo (x) utilizado, em minutos?
a) 
0 x (minutos)10 20 30 40 50
y (reais)
25
35
 cb) 
0 x (minutos)
y (reais)
25
35
10 20 30 40 50
c) 
0 x (minutos)
y (reais)
25
35
10 20 30 40 50
d) 
0 x (minutos)
y (reais)
25
35
10 20 30 40 50
e) 
0 x (minutos)
y (reais)
25
35
10 20 30 40 50
8. (Enem) Um pesquisador analisa duas culturas diferentes 
com o objetivo de verificar como ocorreria a evolução, 
ao longo do tempo, do crescimento do número de bac-
térias presentes em cada uma das culturas, sob certas 
condições.
H20
H26
Essa evolução foi representada no gráfico a seguir:
Tempo (min)
Nœmero de bactŽrias
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10 201550
Col™nia I
Col™nia II
Em que intervalo de tempo o número de bactérias na colô-
nia II foi maior do que o número de bactérias na colônia I?
a) De 0 a 10 minutos.
 cb) De 10 a 15 minutos.
c) De 15 a 20 minutos.
d) De 30 a 55 minutos.
e) De 55 a 75 minutos.
9. (Enem) Certo município brasileiro cobra a conta de 
água de seus habitantes de acordo com o gráfico. O 
valor a ser pago depende do consumo mensal em m3.
m3
R$
10
15
25
100 15 20
Conta de ‡gua
Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso sig-
nifica que ele consumiu:
a) 16 m3 de água.
 cb) 17 m3 de água.
c) 18 m3 de água.
d) 19 m3 de água.
e) 20 m3 de água.
10. (Enem)
O equilíbrio na conta dos saltos
A expressão desenvolvida por cientistas ingleses rela-
ciona as variáveis que influem na altura dos sapatos femi-
ninos. Tal expressão é dada por 



A Q 12  
3T
8
5 ? 1 , onde 
A é a altura do salto, Q é um coeficiente e T o tamanho 
do sapato. O coeficiente Q depende de diversas variáveis, 
entre as quais, o impacto que o salto deve provocar nas 
pessoas que o vejam em uso, que pode valer de zero a 1.
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br. 
Acesso em: abr. 2010 (adaptado). 
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Júlia construiu corretamente o gráfico que revela o de-
senvolvimento da função citada no texto, considerando 
o coeficiente Q 5 1.
Dos gráficos apresentados, fora de escala, qual foi o 
construído por Júlia?
a) 
T
A
12
24
0 8
b) 
T
A
12
24
0 8
c) 
T
A
6
12
0 8
 cd) 
T
A
12
15
0 8
e) 
T
A
12
15
0 8
11. (Enem) O quadrado ABCD, de centro O e lado 2 cm, cor-
responde à trajetória de uma partícula P que partiu de M, 
ponto médio de AB, seguindo pelos lados do quadrado 
e passando por B, C, D, A até retornar ao ponto M.
C B
A
M
D
O
Seja f(x) a função que representa a distância da partícula 
P ao centro O do quadrado, a cada instante de sua tra-
jetória, sendo x (em cm) o comprimento do percurso per-
corrido por tal partícula. Qual gráfico que representa f(x)?
 ca) 
0 x
y
1
21
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b) 
0 x
y
1
21
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c) 
0 x
y
1
21
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d) 
0 x
y
1
21
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
e) 
0 x
y
1
21
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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12. (Enem) Uma empresa analisou mensalmente as vendas 
de um de seus produtos ao longo de 12 meses após seu 
lançamento. Concluiu que, a partir do lançamento, a 
venda mensal do produto teve um crescimento linear 
até o quinto mês. A partir daí houve uma redução nas 
vendas, também de forma linear, até que as vendas se 
estabilizaram nos dois últimos meses da análise.
O gráfico que representa a relação entre o número de 
vendas e os meses após o lançamento do produto é:
a) 
0
N
ú
m
e
ro
 d
e
 v
e
n
d
a
s
2 4 6 7 8 9 10 11 121 3 5 Meses após
o lançamento
b) 
0
N
ú
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e
ro
 d
e
 v
e
n
d
a
s
2 4 6 7 8 9 10 11 121 3 5 Meses após
o lançamento
c) 
0
N
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ro
 d
e
 v
e
n
d
a
s
2 4 6 7 8 9 10 11 121 3 5 Meses após
o lançamento
d) 
0
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s
2 4 6 7 8 9 10 11 121 3 5 Meses após
o lançamento
 ce) 
0
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a
s
2 4 6 7 8 9 10 11 121 3 5 Meses após
o lançamento
H22
13. (Enem) Os procedimentos de decolagem e pouso de 
uma aeronave são os momentos mais críticos de ope-
ração, necessitando de concentração total da tripu-
lação e da torre de controle dos aeroportos. Segundo 
levantamento da Boeing, realizado em 2009, grande 
parte dos acidentes aéreos com vítimas ocorre após 
iniciar-se a fase de descida da aeronave. Desta for-
ma, é essencial para os procedimentos adequados 
de segurança monitorar-se o tempo de descida da 
aeronave.
A tabela mostra a altitude y de uma aeronave, regis-
trada pela torre de controle, t minutos após o início dos 
procedimentos de pouso.
Tempo t 
(em minutos)
0 5 10 15 20
Altitude y 
(em metros)
10 000 8 000 6 000 4 000 2 000
Disponível em: <www.meioaereo.com>.
Considere que, durante todo o procedimento de pouso, 
a relação entre y e t é linear. De acordo com os dados 
apresentados, a relação entre y e t é dada por:
a) y 5 2 400t
b) y 5 22 000t
c) y 5 8 000 2 400t
 cd) y 5 10 000 2 400t
e) y 5 10 000 2 2 000t
14. (Enem) Uma torneira gotejando diariamente é respon-
sável por grandes desperdícios de água. Observe o 
gráfico que indica o desperdício de uma torneira:
0 1 2 3 4 5 6
Tempo (dias)
D
e
sp
e
rd
íc
io
 (
lit
ro
s)
7 8 9 10 11
0
100
200
300
400
500
600
700
Se y representa o desperdício de água, em litros, e x 
representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é:
a) y 2x5
b) y 1
2
x5
 cc) y 60x5
d) y 60x 15 1
e) y 80x 505 1
H25
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15. (Modelo – Enem) As semirretasa seguir representam as 
funções que fornecem os valores cobrados, em reais, 
por duas transportadoras A e B, em função da distância 
em quilômetros, pelo transporte de uma televisão. 
0 d (km)
p (reais)
150
50
100
B
A
Nessas condições, as leis que descrevem os totais co-
brados por A e B, são respectivamente:
a) p 5 d 1 50 e p    2
3
d5 .
b) p 5 0,5d 1 50 e p    3
2
d5 .
c) p 5 2d 1 50 e p 5 150d.
d) p 5 100d 1 50 e p 5 150d.
 ce) p 5 d 1 50 e p   
3
2
d5 .
16. (Modelo – Enem) O dono do único cinema de uma 
pequena cidade notou que caso o valor da entrada 
fosse R$ 10,00 todos os 200 ingressos disponíveis seriam 
vendidos e que para cada R$ 0,10 de aumento no valor 
da entrada 5 ingressos a menos são vendidos. Conside-
rando y o número de ingressos vendidos caso o preço 
seja de x reais e R 5 xy (receita do cinema), a expressão 
que nos fornece R em função de x é:
 ca) R(x) 5 250x2 1 700x
b) R(x) 5 20,5x2 1 20x 1 2 000
c) R(x) 5 20,5x2 2 20x 1 2 000
d) R(x) 5 250x2 2 700x
e) R(x) 5 20,02x2 1 14x
H24
H15
17. (Modelo – Enem) Pedro tem 40 metros de tela para fa-
zer um cercado com formato retangular, para isso ele 
utilizará como um dos lados o muro de seu terreno, e os 
demais lados serão feitos com a tela, como ilustrado na 
figura a seguir.
Muro
x Tela
Nessas condições, caso ele use toda tela disponível, 
o gráfico da função que descreve a área da tela em 
função da medida x destacada na figura é um arco 
de parábola com:
a) concavidade voltada para cima que passa pelo pon-
to (10; 200).
 cb) concavidade voltada para baixo que passa pelo 
ponto (10; 200).
c) concavidade voltada para cima que passa pelo pon-
to (0; 0).
d) concavidade voltada para baixo que passa pelo 
ponto (0; 0).
e) concavidade voltada para baixo que passa pelo 
ponto (20; 0).
18. (Enem) O proprietário de uma casa de espetáculos ob-
servou que, colocando o valor da entrada a R$ 10,00, 
sempre contava com 1 000 pessoas a cada apresenta-
ção, faturando R$ 10 000,00 com a venda dos ingressos. 
Entretanto, percebeu também que, a partir de R$ 10,00, 
a cada R$ 2,00 que ele aumentava no valor da entrada, 
recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos. Nes-
sas condições, considerando P o número de pessoas 
presentes em um determinado dia e F o faturamento 
com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona 
o faturamento em função do número de pessoas é dada 
por:
 ca) F
P
20
60P
2
5
2
1
b) F P
20
 60P
2
5 2
c) F P 1200P25 2 1
d) F P
20
60
2
5
2
1
e) F P   1200P25 2
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prof.:
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Índice-controle 
deestudo
Antonio Carlos ROSSO Junior
GLENN Albert Jacques van Amson
Roberto Teixeira Cardoso (ROBBY)Matemática Setor B
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Congruência de triângulos
aula 13
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
142
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1. Triângulos congruentes
Quando dizemos que duas figuras geométricas são congruentes, estamos afirmando que elas têm a mesma forma e o mesmo tamanho, 
ou seja, que elas podem ser sobrepostas. No caso de dois triângulos, isso significa que os lados e os ângulos de um serão congruentes 
aos seus correspondentes no outro.
C
A B
F
D E
g
a b d
s
u
⇒




ABC DEF
AB DE, BC EF, AC DF
e
, ,
>n n
5 5 5
a 5 d b 5 u g 5 s
2. Casos de congruência
Para concluirmos que dois triângulos são congruentes não é necessário conhecermos as seis congruências, em algumas situações 
três delas já são suficientes. Essas situações são chamadas de casos de congruência.
Temos 4 casos de congruência válidos para qualquer triângulo e um caso especial, válido somente para um triângulo retângulo.
•	 LLL (os três lados congruentes)
•	 LAL (dois lados e o ângulo entre eles)
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c
a
•	 ALA (dois ângulos e o lado entre eles)
•	 LAA
o
 (um lado, um ângulo adjacente a ele e o ângulo oposto a esse lado)
•	 Caso especial HC (a hipotenusa e um cateto)
1. Nos itens a seguir, caso os triângulos sejam congruentes, indique o caso de congruência.
a) 
60°
60°80°
6 cm
6 cm
80°
b) 
4 cm
4 cm
50o 50
o
c) 
5 cm
5 cm
35°
60°
35°
60°
Caso LAA
o
Caso ALA
Não são congruentes
em classe
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2. A ponte João Luis Ferreira, no rio Parnaíba, liga a capital do Piauí, Teresina, a Timon, cidade do Maranhão, e foi decla-
rada patrimônio cultural brasileiro pelo Conselho Consultivo do IPHAN. Sua estrutura é do tipo treliça, isto é, um conjunto 
de elementos triangulares que garantem a resistência e a estabilidade da ponte. Já o uso de triângulos congruentes 
contribui com a beleza da obra, conferindo-lhe um aspecto simétrico. Na foto, foram destacados dois triângulos.
Podemos concluir que eles são congruentes pelo caso:
 ca) LAL
b) ALA
c) LAA
o
d) LLL
e) AAA
H7
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R
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 3.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 3.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 3.
•	Faça o exercício 1 da seção Rumo ao Enem.
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Polígonos convexos
aula 14
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
145
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c
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1. Elementos
Em um polígono convexo de n vértices, n > 3, temos:
•	 Vértices: V
1
, V
2
, V
3
, …, V
n
•	 Lados: …
−
V V ,V V ,V V , ,V V  1 2 2 3 3 4 n 1 n
•	 Ângulos internos: i
1
, i
2
, i
3
, …, i
n
•	 Ângulos externos: e
1
, e
2
, e
3
, …, e
n
e
1
V
1
V
2
V
3
V
4
i
1
i
2
i
3
i
4
i
n
e
2
e
3
e
4
e
n
V
n
2. Soma dos ângulos internos
A soma S
i
 5 i
1
 1 i
2
 1 i
3
 1 … 1 i
n
 é dada por:
S
i
 5 (n 2 2) ? 180°
3. Soma dos ângulos externos
A soma S
e
 5 e
1
 1 e
2
 1 e
3
 1 … 1 e
n
 é:
S
e
 5 360°
4. Polígono regular
Um polígono convexo é regular quando ele for equilátero e 
equiângulo.
e
e
e
e
e
i
i i
ii
em classe
1. Calcule a soma dos ângulos internos de um pentágono 
convexo.
S
i
 5 (n 2 2) ? 180°
para n 5 5 temos:
(5 2 2) ? 180° 5 540°
Resposta: 540°
2. O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 
1 260o é o:
a) Hexágono
b) Heptágono
c) Octógono
 c d) Eneágono
e) Decágono
Si 5 1 260°
(n 2 2) ? 180° 5 1 260°
180° ? n 2 360° 5 1 260°
180° ? n 5 1 620° 
∴ n 5 9
Logo, é um eneágono, alternativa d.
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3. (Fuvest-SP – Adaptada) Observe a gravura:
Pentágonos regulares congruentes podem substituir os hexágonos da gravura de modo a recobrir todo o plano sem 
sobreposição?
Cada ângulo interno do pentágono regular mede 108°. Como não existe um valor inteiro positivo de n, tal que n ? 108° 5 360°, podemos afirmar 
que os hexágonos da gravura não podem ser substituídos por pentágonos regulares de modo a recobrir todo o plano sem sobreposição.
H9
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap 4.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 4.
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 4.
•	Faça o exercício 3 da seção Rumo ao Enem.
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Quadriláteros notáveis
aula
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
15
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1. Trapézio
É todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. Nas figuras temos AB // CD.
A A A AB
(1) (2) (3) (4)
B B B
D D D DC C C C
a a
bb
Observações:
•	 O trapézio da figura (3) é chamado de trapézio isósceles.
•	 O trapézio da figura (4) é chamado de trapézio retângulo.
2. Paralelogramo
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Nas figuras temos AB // CD e AD // BC.
A A AB B B
D D DC C C
(Note que todo paralelogramo é um trapézio.)
Observações:
•	 Em um paralelogramo os lados opostos são congruentes e os ângulos opostos são congruentes.
A B
D C
a
a
b
b
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148
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
•	 Em um paralelogramo as diagonais intersectam-se nos respec-
tivos pontos médios. Na figura temos: AM 5 CM e BM 5 DM.
A B
D C
M
3. Retângulo
É todo quadrilátero que possui os quatro ângulos congruentes, 
ou seja, é equiângulo. Nas figuras temos: 5 5 5 5$µ $$A B C D 90°.
A B
D C
A B
D C
Observações:
•	 Em um retângulo os lados opostos são paralelos e congruentes. 
Na figura, temos: AB // CD e AD // BC
A B
D C
(Note que todo retângulo é um paralelogramo.)
•	 Em um retângulo as diagonais são congruentes. Na figura, 
temos: AC 5 BD e ainda AM 5 CM 5 BM 5 DM.
A B
D C
M
4. Losango
É todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes, 
ou seja, é equilátero. Nas figuras temos AB 5 BC 5 CD 5 DA.
A C
B
D
A C
B
D
Observações:
•	 Em um losango os lados opostos são paralelos. Na figura, 
temos: AB // CD e AD // BC.
A C
B
D
(Note que todo losango é um paralelogramo.)
•	 Em um losango as diagonais são perpendiculares entre si. 
Na figura, temos: AC ⊥ BD e ainda AM 5 CM e BM 5 DM.
A C
B
D
M
•	 Em um losango as diagonais são bissetrizes dos ângulos 
internos.
A C
B
D
b
b
b
b
aa
aa
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 148 11/27/15 8:58 AM
149
M
a
te
m
‡
ti
c
a
5. Quadrado
É todo quadrilátero que possui os quatro lados congruentes e 
os quatro ângulos congruentes, ou seja, é equilátero e equiângulo. 
Na figura temos: AB 5 BC 5 CD 5 DA e 5 5 5 5$µ $$A B C D 90° .
A B
D C
(Note que todo quadrado é um 
losango e também um retângulo.)
1. Sendo QC o conjunto dos quadriláteros convexos, represente utilizando diagrama de Venn os seguintes conjuntos:
T: conjunto dos trapézios.
P: conjunto dos paralelogramos.
R: conjunto dos retângulos.
L: conjunto dos losangos.
Q: conjunto dos quadrados.
2. Sobre os quadriláteros notáveis é correto afirmar:
a) Todo paralelogramo é um retângulo.
b) Não existe losango que seja um quadrado.
c) Todo retângulo é losango.
 cd) Existe losango que é retângulo.
e) Um quadrado pode ser um retângulo.
Com base no diagrama do exercício 1 fica fácil analisarmos cada uma das alternativas, com isso, identificamos que é correto afirmar que existe 
losango que é retângulo.
QC
T
P
R
L
Q
em classe
Observações:
•	 Em um quadrado as diagonais são congruentes e perpendicu-
lares. Na figura, temos: AM 5 BM 5 CM 5 DM e AC ' BD.
A B
D C
M
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150
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
3. (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à 
base maior. Isso significa que:
 ca) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.
A D
B C
α
α
α
Como bd é bissetriz, $$Abd 5 $$Cbd 5 a
Ad // bC, logo $$Adb 5 a
Logo o nbdA é isósceles e portanto Ad 5 Ab.
4. Dois ângulos opostos de um paralelogramo têm medidas 4x 2 20o e 2x 1 40o. O menor ângulo desse paralelogramo 
mede:
a) 30o
b) 45o
c) 50o
d) 60o
 ce) 80o
do enunciado temos a figura
4x 2 20°
2x 1 40°
Como em um paralelogramo os ângulos opostos são congruentes, temos:
4x 2 20o 5 2x 1 40o ∴ x 5 30o
Assim, um dos ângulos mede 4 ? 30o 2 20o 5 100o
o outro ângulo é o suplemento deste, ou seja,
180o 2 100o 5 80o
Logo, o menor dos ângulos mede 80o.
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 5.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 5.
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 5.
•	Faça o exercício 4 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 150 11/27/15 8:58 AM
Circunferência: segmento tangente
aula 16
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
Acesse o portal e explore o conteúdo: 
Equação da circunferência.
151
M
a
te
m
á
ti
c
a
1. Reta e circunferência
Em relação a uma circunferência uma reta pode ser:
P
Externa Tangente Secante
r r
r
A
B
l l l
2. Segmentos tangentes a uma circunferência por um mesmo ponto.
Propriedade: PA 5 PB.
A
B
P
l
3. Quadrilátero circunscrito a uma circunferência.
Propriedade: AB 1 CD 5 AD 1 BC.
A
D C
B
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152
M
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s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Nas figuras abaixo, O é o centro da circunferência. De-
terminar o valor de x em cada caso. 
a) A
P
B
3x 2 3
x 1 13
O
pA 5 pb, logo:
3x 2 3 5 x 1 13
2x 5 16
x 5 8
b) 
O
EA B
C
D
7
x 1 4
2x 1 5
Ae 5 Ad 5 7 e be 5 bC 5 x 1 4
Como Ab 5 Ae 1 be, temos:
2x 1 5 5 7 1 x 1 4
x 5 6
2. Em um triângulo ABC está inscrita uma circunferên-
cia de centro O conforme a figura, onde AB 5 12 cm, 
 BC 5 8 cm e AP 5 9 cm. Nessas condições, CQ mede:
O
B
A C
Q
P
a) 3,5 cm
b) 4 cm
c) 4,5 cm
 cd) 5 cm
e) 6 cm
pb 5 Ab 2 Ap ∴ pb 5 3
bQ 5 pb ∴ bQ 5 3
Como CQ 5 bC 2 bQ, então:
CQ 5 8 2 3 ∴ CQ 5 5
3. Um quadrilátero ABCD está circunscrito a uma circun-
ferência de centro O, conforme a figura. Dado que 
AB 5 12, BC 5 7, CD 5 x 1 2 e AD 5 2x 1 1, então x é 
igual a:
O
A B
C
D
a) 4 cb) 6 c) 7 d) 7,5 e) 8 
Ad 1 bC 5 Ab 1 Cd, logo:
2x 1 1 1 7 5 12 1 x 1 2
x 5 6
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 6.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 6.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 6.
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Ângulos em uma circunferência 
aulas 17 e 18
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
153
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Ângulos em uma circunferência
O
A B
A
P
B
O
Ângulo central Ângulo inscrito
α
β
O
A B
O
Ângulo de segmento
α
β
•	 Propriedades
O
A
B
P
α
β
β
A medida do ângulo inscrito é metade da medida 
do arco correspondente ou metade da medida do 
ângulo central correspondente. Ou seja,
2
a 5
b
.
O
A Bα
β
β
A medida do ângulo de segmento é metade 
da medida do arco correspondente ou metade 
da medida do ângulo central correspondente. 
Ou seja, 
2
a 5
b
. 
Uma consequência importante dessas propriedades é que todo 
ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto, ou seja, mede 90°.
O
A B
2. Quadrilátero inscrito em uma circunferência
B
A
D
C
α
β
Em todo quadrilátero inscritível os ângulos opostos são suple-
mentares. Ou seja, ¡180a 1 b 5 .
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 153 11/27/15 8:58 AM
154
M
a
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m
á
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ca
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s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
em classe
1. Nas figuras abaixo, O é o centro de cada circunferência. 
Calcule o valor de x.
a) 
B
80°
x
A
O
x 5 
80
2
°
 ∴ x 5 40°
b) 
A B
x
35° O
35° 5 
x
2
∴ x 5 70°
c) 
A
B
52°
x
O
52° 5
x
2
∴ x 5 104°
d) 
A B
20°
x
O
x 1 20° 5 90° ∴ x 5 70°
2. Obtenha o valor de x nas figuras abaixo, sendo O o 
centro da circunferência dada.
a) 
48¡
x
O
A
Bx 5 48°
b) 
x
O
A
B
25¡
∴ °5 525°
x
2
x 50
c) 
x
O
A
B
CD
88¡
° °1 5dCb 88 180$$ e °1 5dCb x 180$$
∴ x 5 88°
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 154 11/27/15 8:59 AM
155
M
a
te
m
‡
ti
c
a
3. Calcule a medida do ângulo a na figura, dado que as 
retas 
s ruu s ruu
AB e AD são tangentes à circunferência de centro 
O e que o ângulo BĈD mede 53°.
O
A
B
CD
a
do enunciado temos a figura abaixo:
O
A
B
CD
106°
53°
α
Sendo bCd$$ 5 53° o ângulo central bodµµ 5 106°
No quadrilátero Abod: 
a 1 106° 1 90°1 90°5 360° 
∴ a 5 74°
4. Na figura, a medida do arco x na circunferência de 
centro O é:
A
B
CD
80°
O
x
98°
a) 52°
 cb) 62°
c) 72°
d) 80°
e) 82°
A
B
C
P
D
80¡
O
x
98¡
Ligando os pontos A e b temos bACµµ 5 49°
No triângulo Abp, 
Abp$$ 1 49° 5 80° 
∴ Abp$$ 5 31° ∴ 
x
2
 5 31o
∴ x 5 62o
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
Aula 17
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 7.
Aula 18
•	Faça os exercícios 7 a 9, cap. 7.
Tarefa Complementar
Aula 17
•	Leia os itens 1 a 5, cap. 7.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 7.
•	Faça o exercício 5 da seção Rumo ao Enem.
Aula 18
•	Faça os exercícios 10 a 12, cap. 7.
•	Faça o exercício 6 da seção Rumo ao Enem.
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Pontos notáveis em um triângulo
aula 19
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
156
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Baricentro: é o ponto de encontro das medianas de um 
triângulo.
G
A
C
N
M
P
B
O baricentro G divide cada mediana na razão 2 ; 1 ou seja:
AG 5 2 ? GM
BG 5 2 ? GN
CG 5 2 ? GP
2. Incentro: é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos 
internos de um triângulo.
A
BS
T
U
I
r
r
r
C
O incentro I é o centro da circunferência inscrita no triângulo, 
ele equidista de seus três lados de uma medida r, que é o raio da 
circunferência inscrita. 
3. Circuncentro: é o ponto de encontro das mediatrizes dos 
lados de um triângulo.
O
P
M
r
r
r
N
A
C
B
O circuncentro O é o centro da circunferência circunscrita no 
triângulo, ele equidista de seus três vértices de uma medida r, que 
é o raio da circunferência circunscrita.
4. Ortocentro: é o ponto de encontro das retas suportes das 
alturas de um triângulo. Na figura o ponto H é o ortocentro.
A
K
L
J
H
C B
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157
M
a
te
m
‡
ti
c
a
1. Na figura, P e Q são pontos médios dos lados AB e AC 
do triângulo ABC. Se CR 5 2x 1 16 e PR 5 3x 2 2, o valor 
de x é:
B
C
Q
P
R
A
a) 4,2
b) 4,8
 cc) 5
d) 5,5
e) 7
bQ e Cp são medianas, logo, R é o baricentro do triângulo AbC, 
então, CR 5 2 ? pR. 
Assim:
2x 1 16 5 2 ? (3x 2 2) 
2x 1 16 5 6x 2 4
4x 5 20 
x 5 5
2. Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no 
triângulo ABC. A medida do ângulo AÔC é:
28°
26°
A
O
B C
a) 162°
 cb) 126°
c) 108°
d) 84°
e) 72°
Note que o é o incentro do triângulo, assim:
28° 1 26° 1 m(AoCµµ ) 5 180°
m(AoCµµ ) 5 126°
3. No Piauí, as cidades de Floriano, Pedro Laurentino e Pi-
cos estão planejando construir em conjunto um grande 
açude que atendesse às três cidades. No projeto, foi 
determinado que o açude deveria ser implantado em 
um local cuja distância a cada uma das cidades fosse a 
mesma. Observando o mapa abaixo, notamos que elas 
formam um triângulo. Para satisfazer à determinação do 
projeto, em que ponto desse triângulo o açude deve ser 
implantado?
N
30
km
0
FlorianoFloriano
PicosPicos
Pedro
Laurentino
Pedro
Laurentino
a) Em seu baricentro.
b) Em seu incentro.
 cc) Em seu circuncentro.
d) Em seu ortocentro.
e) Em seu epicentro.
H9
em classe
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 8.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 8.
•	Faça os exercícios 5 a 8, cap. 8.
•	Faça o exercício 7 da seção Rumo ao Enem.
g
o
o
g
L
e
 m
A
p
S
/A
d
A
p
t
A
d
o
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Teorema de Tales 
aula 20
Enem: conhecimentos geométricos
nesta aula
158
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Teorema de Tales
r s
aA A'
B B'
C C'
D D'
b
c
d
Duas retas que intersectam um feixe de retas paralelas, vão 
determinar sobre elas segmentos correspondentes proporcionais.
Na figura temos, por exemplo: 5
AB
A'B'
CD
C'D'
2. Teorema da bissetriz interna
A
Sm n
B
c
b
C
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado 
oposto a ele em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na 
figura, temos 5
AB
BS
AC
CS
, ou ainda 5
c
m
b
n
.
em classe
1. Calcule o valor de x em cada figura, dado que as retas 
r, s e t são paralelas interceptadas pelas retas u e v.
a) u v
r
s
t
3x
86
2x 1 1
2x 1
3x
6
8
2x 1
3x
3
4
1
5
1
5
8x 1 4 5 9x
∴ x 5 4
b) 
10 15
r
u
v
s t
x 1 5
2x 1 4
x 5
10
2x 4
15
x 5
2
2x 4
3
1
5
1
1
5
1
3x 1 15 5 4x 1 8
∴ x 5 7
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 158 11/27/15 8:59 AM
159
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. Na figura, as retas a, b e c são paralelas. Calcule os 
valores de x, y e z dado que AB 5 60.
10
8
6
y
z
x
aA
B
b
c
5 5 5 5
5
5
5
x
10
y
8
z
6
60
24
5
2
x 25
y 20
z 15
∴




3. Um faroleiro F, observando um navio que navegava em 
uma trajetória retilínea, notou que do ponto A, distante 
2 500 m do farol, ao ponto B, o navio navegou 1 000 m. 
Quantos metros o navio navegou do ponto B até o pon-
to C, distante 1 500 m do farol, se os ângulos AF̂B e BF̂C
são congruentes?
F
A B C
5
1000
2500
x
1500
25x 5 15 000
∴ x 5 600
Logo, de b para C o navio navegou 600 m.
H8
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 4, cap. 9.
Tarefa Complementar
•	Leia o capítulo 9.
•	Faça os exercícios 5 a 9, cap. 9.
•	Faça o exercício 8 da seção Rumo ao Enem.
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Semelhança de triângulos (1)
aulas
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
21 e 22
160
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
1. Triângulos semelhantes
Quando dizemos que duas figuras geométricas são semelhan-
tes, estamos afirmando que elas têm a mesma forma, ou seja, que 
através de uma ampliação ou de uma redução, elas podem se tornar 
congruentes. No caso de dois triângulos, isso significa que os ângu-
los de um serão congruentes aos seus correspondentes no outro e 
os seus lados serão proporcionais a seus correspondentes no outro.
C
A B
F
D E
g
a b
s
d u
,
a 5 d b 5 u g 5 s
5 5 5
⇒





ABC DEF
, ,
e
BC
EF
AC
DF
AB
DE
k
n n
A constante de proporcionalidade k é chamada de razão de 
semelhança e expressa quantas vezes um triângulo é maior ou 
menor que o outro.
2. Caso fundamental de semelhança
Para concluirmos que dois triângulos são semelhantes basta 
que eles tenham dois pares de ângulos congruentes.
C
A B
F
D E
u
a b
d
⇒
a 5 d
b 5 u
e ABC DEF,n n
em classe
1. No triângulo ABC representado na figura, DE é paralelo a AC. Determine EC dado que AC 5 9, BC 5 15 e DE 5 3.
CEB
A
D
Se de // AC, então nbed ~ nbCA.
Sendo eC 5 x temos:
15 x
15
3
9
15 x
15
1
3
2
5
2
5
45 2 3x 5 15
3x 5 30
∴ x 5 10
C
9
15 2 x x
15
EB
A
D
3
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 160 11/27/15 8:59 AM
161
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. Na figura, as cordas AC e BD se intersectam no ponto E 
de modo que AE 5 4, DE 5 10, AD 5 8 e BC 5 12. Calcule 
a medida do segmento BE.
A
E
B
C
D
A
4
8
12
E
x
B
C
D
10
os triângulos dAe e Cbe são semelhantes, logo:
5
5
be
Ae
bC
Ad
x
4
12
8
8x 5 48
∴ x 5 6
3. (Vunesp) Para que alguém, com o olho normal, possa 
distinguir um ponto separado de outro, é necessário 
que as imagens desses pontos, que são projetadasem 
sua retina, estejam separadas uma da outra a uma 
distância de 0,005 mm. Adotando-se um modelo mui-
to simplificado do olho humano no qual ele possa ser 
considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 
15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos 
luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do 
observador, para que este os perceba separados, é:
15 mmx
1 mm
0,005 mm
Fora de escala
a) 1 b) 2 cc) 3 d) 4 e) 5
15 mmx
O
A
B
B'
A'
1 mm
0,005 mm
Fora de escala
os triângulos obA e ob'A' são semelhantes. então, temos:
⇒ ∴5 5 5 ?
Ab
A'b'
bo
b'o
 
1 
0,005 
x
15 
x 3 10 mm3
.
x 5 3 m
H8
4. Em um trapézio cujas bases medem 8 cm e 12 cm, a 
altura mede 10 cm. Qual a distância do ponto de en-
contro das diagonais à base maior?
do enunciado temos a figura abaixo:
12D C
8A B
10 2 x
10
x
P
os triângulos dCp e bAp são semelhantes, logo:
2
5
2
5
x
10 x
12
8
x
10 x
3
2
2x 5 30 2 3x
5x 5 30
∴ x 5 6
Resposta: 6 cm
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
Aula 21
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 1 a 3, cap. 10.
Aula 22
•	Faça os exercícios 7 a 9, cap. 10.
Tarefa Complementar
Aula 21
•	Leia os itens 1 e 2, cap. 10.
•	Faça os exercícios 4 a 6, cap. 10.
•	Faça o exercício 9 da seção Rumo ao Enem.
Aula 22
•	Faça os exercícios 10 a 12, cap. 10.
•	Faça o exercício 10 da seção Rumo ao Enem.
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 161 11/27/15 8:59 AM
Semelhança de triângulos (2) 
aulas 23 e 24
Enem: conhecimentos geométricos
nestas aulas
162
M
a
te
m
á
ti
ca
 e
 s
u
a
s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
Triângulos semelhantes
C
A B
F
D E
ba
g
s
d u
,
a 5 d b 5 u g 5 s
5 5 5
⇒





ABC DEF
, ,
e
BC
EF
AC
DF
AB
DE
k
n n
em classe
1. Em um trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, as diagonais AC e BD são perpendiculares, conforme a figura. 
Sendo AB 5 9 e CD 5 4, o lado AD mede:
CD
BA
E
a) 5
 cb) 6
c) 6,5
d) 7
e) 8
C4D
B9A
x E
⇒,n n 5Abd dAC x
4
9
x
x2 5 36 ⇒ x 5 6
do enunciado, fazendo 
Ad 5 x temos a figura:
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 162 11/27/15 8:59 AM
163
M
a
te
m
‡
ti
c
a
2. (Enem) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar 
sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que 
o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
 cd) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
do enunciado temos a figura, cotada em metros, em que x é a distância pedida:
2,2
1,4
0,8
A
D
3,2
x
x 1 3,2
B
C
E
da semelhança entre os triângulos dbe e AbC, temos:
1
5
x
x 3,2
1,4
2,2
2,2x 5 1,4x 1 4,48
0,8x 5 4,48
∴ x 5 5,6
3. (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de compri-
mentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC 
e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os 
segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
E
F
4
6
A
C
B
D
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
 cc) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
Adotando Af 5 m e bf 5 n, sendo ef 5 x temos a figura:
⇒
⇒
fbe AbC
x
4
n
n m
(1)
Afe Abd
x
6
m
m n
(2)
5
1
5
1
,
,
n n
n n
Somando (1) e (2) temos:
x
4
x
6
n
n m
m
m n
x
4
x
6
n m
n m
x
4
x
6
1
1 5
1
1
1
1 5
1
1
1 5
10x 5 24
∴ x 5 2,4
H9
H8
E
Fm
x
n
4
6
A
C
B
D
EM_REG_141a168_MAT_SETOR_B_CA2.indd 163 11/27/15 8:59 AM
164
M
a
te
m
á
ti
ca
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 s
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s 
Te
cn
o
lo
g
ia
s
4. Determine o valor de x nos itens a seguir.
a) 
P
6
8
x 1 1x
5
1x
6
x 1
8
x ? 8 5 (x 1 1) ? 6 
8x 5 6x 1 6
2x 5 6
∴ x 5 3
b) 
P
4
6
2
x 1 1
6
4
4 x 1
8
5
1 1
4 ? (4 1 x 1 1) 5 6 ? 8
4x 1 20 5 48
4x 5 28
∴ x 5 7
em casa
Consulte:
Livro-texto 1 – Unidade 3
Caderno de Exercícios 1 – Unidade 3
Tarefa Mínima
Aula 23
•	Leia o resumo de aula.
•	Faça os exercícios 13 a 15, cap. 10.
Aula 24
•	Faça os exercícios 19 a 21, cap 10.
Tarefa Complementar
Aula 23
•	Faça os exercícios 16 a 18, cap. 10.
•	Faça o exercício 11 da seção Rumo ao Enem.
Aula 24
•	Leia os itens 3 e 4, cap. 10.
•	Faça os exercícios 22 a 24, cap. 10.
•	Faça o exercício 12 da seção Rumo ao Enem.
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rumo ao
Enem
165
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o
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n
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m
1. (Modelo – Enem) 
A energia que alimenta residências, comércio e 
indústrias é gerada em usinas hidrelétricas que na 
maioria das vezes estão distantes dos grandes cen-
tros de consumo. Por esse motivo, essa energia deve 
ser transportada por meio de cabos elétricos até esses 
centros de consumo, através das chamadas Linhas de 
Transmissão. Só para termos uma ideia, a Hidroelétrica 
de Tucuruí (Pará) abastece Manaus (Amazonas) com 
energia. São 1 747 quilômetros de linhas de alta tensão, 
apoiadas em 3 351 torres de transmissão. Essas torres 
são estruturas metálicas que nesse caso terão de 45 a 
180 metros de altura.
<www.gazetadesantarem.com.br/regional/ 
tucurui-abastecera-manaus-com-energia>.
Acesso em: 6 mar. 2015. Adaptado.
A
B C
D
No detalhe acima, foi destacada uma figura.
H7
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A
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S
A
R
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m
A
g
e
S
Se na figura BÂC CD̂B5 e AĈB DB̂C5 , então podemos 
concluir que os triângulos ABC e DCB são congruentes 
pelo critério:
 ca) LAAO
b) LLL
c) LAL
d) ALA
e) LLA
2. (Enem – Adaptada) Um decorador utilizou um único 
tipo de transformação geométrica para compor pares 
de cerâmicas em uma parede. Uma das composições 
está representada pelas cerâmicas indicadas por I e II. 
Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que 
compõe par com a cerâmica indicada por III?
IIIIII
a) 
 cb) 
c) 
d) 
e) 
3. (Enem) Uma das expressões artísticas mais famosas 
associada aos conceitos de simetria e congruência 
é, talvez, a obra de Maurits Cornelis Escher, artista ho-
landês cujo trabalho é amplamente difundido. A figura 
apresentada, de sua autoria, mostra a pavimentação 
do plano com cavalos claros e cavalos escuros, que são 
congruentes e se encaixam sem deixar espaços vazios.
H6
H9
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m
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Es-
cher, entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavi-
mentar um plano, utilizando-se peças congruentes de 
tonalidades claras e escuras é:
a) 
 cb) 
c) 
 cd) 
e) 
4. (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização 
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para 
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são 
todas as combinações de polígonos que se prestam a 
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas 
ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
H9
Figura 2: Heptágonos regulares 
não pavimentam o plano (há 
falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regu-
lares, com as respectivas medidas de seus ângulos in-
ternos.
Nome Figura Ângulo interno
Triângulo 60o
Quadrado 90o
Pentágono 108o
Hexágono 120o
Octógono 135o
Eneágono 140o
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois 
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabe-
la, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido 
deverá ter a forma de um:
a) triângulo.
 cb) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
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167
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o
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e
m
5. (Modelo – Enem) Um teatro, cuja sala temo formato de 
um círculo de raio 10 metros, foi construído de modo 
que mesmo a pessoa mais distante (supostamente 
encostada na parede da sala) pudesse ver qualquer 
espetáculo com um mínimo de conforto. Para isso de-
finiu-se que esse “conforto” se refere a um ângulo de 
visão do palco de 30°. Nessas condições, o comprimento 
do palco é:
Palco“Ângulo de visão da
pessoa mais distante”
a) 5 metros
b) 7,5 metros
 cc) 10 metros
d) 12,5 metros
e) 15 metros
6. (Enem) Durante seu treinamento, um atleta percorre me-
tade de uma pista circular de raio R, conforme figura a 
seguir. A sua largada foi dada na posição representada 
pela letra L, a chegada está representada pela letra C 
e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um 
diâmetro da circunferência e o centro da circunferência 
está representado pela letra F. Sabemos que, em qual-
quer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos 
LA e AC são perpendiculares. Seja u o ângulo que o 
segmento AF faz com segmento FC.
F
A
L CR R
u
Quantos graus mede o ângulo u quando o segmento 
AC medir R durante a corrida?
a) 15 graus
b) 30 graus
 cc) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 graus
H8
H8
7. (Modelo – Enem) Marcos deseja instalar um poste em 
um terreno cujo formato é o de um triângulo acutângulo, 
de modo que a distância a qualquer um dos “cantos” 
(vértices do triângulo que o representa) desse terreno 
deve ser a mesma. Para fazer isso ele deve escolher:
a) um ponto interior qualquer do triângulo.
b) o ortocentro do triângulo.
c) o baricentro do triângulo.
d) o incentro do triângulo.
 ce) o circuncentro do triângulo.
8. (Enem) Um marceneiro deseja construir uma escada 
trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo 
e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais 
a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:
30
60
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear 
de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:
a) 144
b) 180
c) 210
 cd) 225
e) 240
9. (Enem) Um professor, ao fazer uma atividade de origami 
(dobraduras) com seus alunos, pede para que estes 
dobrem um pedaço de papel em forma triangular, 
como na figura a seguir, de modo que M e N sejam 
pontos médios respectivamente de AB e AC, e D pon-
to do lado BC, indica a nova posição do vértice A do 
triângulo ABC.
A
D B
MN
C
A
B
MN
C
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são 
exemplos de triângulos isósceles os triângulos:
a) CMA e CMB.
b) CAD e ADB.
c) NAM e NDM.
 cd) CND e DMB.
e) CND e NDM.
H6
H8
H9
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10. (Enem) A fotografia mostra uma turista aparentemente 
beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir 
mostra como, na verdade, foram posicionadas a câme-
ra fotográfica, a turista e a esfinge.
d
c
a
Posição da
câmera
b
d’
Posição da
esfnge
Posição da
turista
Medindo-se com uma régua diretamente na fotogra-
fia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da 
cabeça da turista é igual a 2
3
 da medida do queixo 
da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que 
essas medidas na realidade são representadas por d e 
d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente 
da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal 
do queixo da turista e da esfinge, é representada por 
b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por:
a) 
b
a
  d'
c
5
b) 
b
a
  2d
3c
5
c) 
b
a
  3d'
2c
5
 cd) 
b
a
  2d'
3c
5
e) 
b
a
  2d'
c
5
H8
11. (Etec-SP) Leia o texto a seguir:
“Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi 
também um próspero comerciante. Certa vez visitou 
o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele 
assombrou o faraó e toda corte egípcia, medindo a altura 
da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 
metros de lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou 
verticalmente no solo uma estaca que ficou com uma 
altura de 1 metro do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide 
e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros 
e 2,5 metros.”
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J.; CENTURION, M e LELLIS, MC. 
Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione.)
raios de sol
estaca
sombra da
estaca
vara de medir
Raios
de Sol
Estaca fncada
verticalmente
no solo
Altura da
pirâmide
Metade da
medida da
base
Comprimento 
da sombra 
da pirâmide
Comprimento 
da sombra 
da estaca
Com base nas informações do texto, é válido afirmar 
que a altura da pirâmide, em metros, é:
a) 14,80
b) 92,50
 cc) 148
d) 925
e) 1 480
12. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de 
altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a 
sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais 
tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da 
pessoa passa a medir:
a) 30 cm
 cb) 45 cm
c) 50 cm
d) 80 cm
e) 90 cm
H8
H8
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Interdisciplinares
Atividades
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Jogos de tabuleiro
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A imagem da página ao lado foi encontra-
da na tumba da rainha egípcia Nefertari, que 
viveu no século XIII a.C., e mostra claramente 
um jogo de tabuleiro. Em pesquisas arqueoló-
gicas encontraram-se vestígios bastante remo-
tos da prática de jogos e, em alguns casos, até 
mesmo suas regras sobreviveram. Na década de 
1920, em escavações realizadas no atual Iraque, 
o pesquisador inglês Sir Leonard Woolley encon-
trou dois tabuleiros do que foi conhecido como 
“O Jogo Real de Ur” e uma tabuleta de barro con-
tendo as regras em escrita cuneiforme. Também 
conhecido como o “Jogo dos 20 quadrados”, é um antepassado distante do gamão, um dos mais antigos 
jogos ainda praticados.
Outro jogo de tabuleiro antigo muito praticado é o xadrez. Suas origens encontram-se na Índia do século 
VI, durante o Império Gupta, quando surgiu um jogo que reproduzia os combates da época, o chaturan-
ga. Em um tabuleiro com casas quadradas, moviam-se peças representando soldados a pé, a cavalo, em 
elefantes e em carroças. Com o tempo, essas peças deram origem aos modernos peões, cavalos, bispos e 
torres. A incorporação do jogo pelo mundo islâmico, no século VII, através da Pérsia levou à denominação 
shatranja, de onde deriva a palavra xadrez. Após adaptações, por volta do século XIII, na Europa, o jogo já 
havia assumido a forma atual. 
O xadrez simula, de forma bastante esquemática, uma batalha entre dois exércitos iguais, com objetivo 
definido. Desde pelo menos o século XIX, comandantes militares realizam simulações de combates mais 
realistas, incluindo fatores como terreno, condições climáticas, abastecimento, capacidade das armas e até 
moral das tropas. Nos Estados Unidos, jogos desse tipo começaram a ser comercializados principalmente 
a partir dos anos 1960. Foram chamados de wargames, e até hoje representam um importante setor da 
indústria de jogos de entretenimento.
Jogos mais ou menos complexos demandam cálculo e estratégia, e o exercício intelectual exigido muitas 
vezes vai além da simples diversão ou competição. Na Matemática, a partir da década de 1940, surgiu a 
“Teoria dos Jogos” que, com forte ênfase em lógica e estatística, buscava estudar modelos de comportamento 
humano em situações de tomada de decisão, inicialmente com aplicação nas áreas econômica e política. 
Durante os anos da Guerra Fria, as duas superpotências utilizavam essa teoria para realizar simulações de 
conflito estratégico, antecipando-se a uma situação real.
Qual é o fascínio provocado por jogosde tabuleiro? Em outras palavras, por que jogamos? O recente 
declínio dos jogos de tabuleiro, substituídos por jogos eletrônicos, sugere uma resposta: quando jogamos, 
reproduzimos a realidade, e os modernos games em vídeo são muito mais convincentes e cada vez mais 
realistas nessa reprodução. Além disso, há o gosto pela competição, e a etimologia da palavra “ jogo” 
em português remete a isso: o jocus do latim significa gracejo, zombaria, e emprega o mesmo radical da 
palavra “ jocoso“. Em inglês, originou a palavra joke.
O Jogo Real de Ur
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Atividade
1 (Enem) O xadrez é jogado por duas pessoas. Um jogador joga com as peças brancas, o outro, com as pretas. Neste 
jogo, vamos utilizar somente a Torre, uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se para qualquer casa ao longo da 
coluna ou linha que ocupa, para frente ou para trás, conforme indicado na figura a seguir.
O jogo consiste em chegar a um determinado ponto sem passar por cima dos pontos pretos já indicados.
Respeitando-se o movimento da peça Torre e as suas regras de movimentação no jogo, qual é o menor número de 
movimentos possíveis e necessários para que a Torre chegue à casa C1?
a) 2 
b) 3 
 cc) 4
d) 5
e) 7
R
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9
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 2
0
0
9
 A B C D E F G H
8
7
6
5
4
3
2
1
o número mínimo de movimentos 
necessários é 4. um exemplo de 
caminho é dado por: H8-H3, H3-d3, 
d3-d1, d1-C1.
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2 No xadrez, o Rei é a peça-chave; um ataque indefensável a ele leva à derrota. Sua movimentação é discreta: uma 
casa apenas a cada movimento e, normalmente, ele é mantido protegido pelas outras peças na maior parte do jogo. 
Já a Rainha é uma peça com alta mobilidade, que pode ser usada em qualquer ponto do tabuleiro, e sua função é 
vital para manter o seu rei e atacar o rei inimigo.
Fazendo uma analogia com o metabolismo celular, uma relação do tipo Rei protegido 3 Rainha ativa pode ser en-
contrada na relação entre: 
a) ATP e enzimas
b) glicose e celulose
 cc) DNA e RNA
d) aminoácidos e ácidos nucleicos
e) cromatina e cromossomos
3 (UFG-GO) Analise as imagens a seguir.
o dNA contém a informação hereditária necessária ao funcionamento e à repro-
dução celular; sua destruição leva à morte celular. o dNA fica contido no núcleo 
celular e passa sua informação para o RNA no processo da transcrição. o RNA é 
uma substância ativa, que vai para o citoplasma e comanda o processo de sínte-
se de proteínas, que possibilita a realização das tarefas determinadas pelo dNA. 
o RNA também participa da eliminação de vírus que penetram na célula, tendo 
uma função protetora para o dNA.
As imagens referem-se a dois jogos de tabuleiro: o xadrez, que popularizou-se na Europa a partir do século XI, repre-
sentando um cenário de batalha medieval, e o War, que foi lançado no mercado mundial em 1959. Com base no 
exposto, explique como as imagens: 
a) expressam uma transformação geopolítica da Idade Medieval para a Idade Contemporânea.
As imagens expressam uma transformação geopolítica da Idade Medieval para a Idade Contemporânea na medida em que projetam diferentes 
ambientes de guerra, nos dois jogos. Na primeira imagem, a projeção criada pelo jogo de xadrez alude a um cenário de batalha medieval em 
que se confrontam dois exércitos com as peças tradicionais do jogo (peões, torres, cavalos e reis são destacados na imagem). Nesse sentido,
o espaço geográfico da batalha travada pelos jogadores está associado a um território restrito, que tinha na europa seu palco privilegiado. por 
sua vez, a segunda imagem alude a um espaço geográfico ampliado, no qual todo o planeta é palco de batalha. essa transformação do espaço,
onde a guerra é ambientada, toma como base o mundo conhecido em cada um dos períodos. Assim, essa ambiência remete às diferenças 
entre o século XI, dominado por conflitos entre as monarquias medievais, e a segunda metade do século XX, que tinha na Guerra Fria um de
seus principais marcos geopolíticos.
Jogo de tabuleiro War.
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Representação de um jogo de xadrez em iluminura medieval, século XI.
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b) referem-se a uma prática comum às Idades Medieval e Contemporânea.
pela análise das imagens, pode-se identificar duas práticas comuns tanto à Idade Média quanto à Idade Contemporânea (o aluno deve apresen-
tar apenas uma prática):
• a de guerrear: nas duas imagens, os jogos de tabuleiro aludem à utilização do conflito bélico como mecanismo para a resolução de conflitos 
políticos em suas épocas. Nesse sentido, muito embora as técnicas utilizadas, os ambientes de guerra e as implicações políticas aludidas nos 
jogos sejam diferentes, o fenômeno da guerra continua sendo um mecanismo comum às duas épocas;
• a de jogar: os jogos de tabuleiro representados indicam que, nos dois períodos, os momentos de descanso e lazer têm nos jogos uma de 
suas formas de expressão. Nesse sentido, apesar de os jogos serem diferentes, a prática cultural do jogo é comum às duas épocas. 
Respostas extraídas de: <www.vestibular.ufg.br/2013/ps2013_1/site/sistema/respostas/
ps-2013-1-respostasesperadas-oficiais-grupos34.pdf>. Acesso em: 22 mar. 2015. Adaptado. 
4 Na Baixa Idade Média, a sociedade de guerreiros foi progressivamente se transformando e as disputas cada vez 
mais deixaram de ser resolvidas por meio do uso da força. A centralização monárquica teve papel importante nesse 
processo, não apenas por garantir ao rei o monopólio da força, desarmando senhores até então autônomos, como 
também por organizar as cortes, espaços de sociabilidade onde atuavam pessoas próximas do monarca.
O seguinte relato, feito em 1688 pelo escritor francês La Bruyère, descreve a vida na corte de Luís XIV em Versalhes:
A vida na corte é um jogo sério, melancólico, que nos exige organizar as peças e as baterias, elaborar um plano, se-
gui-lo, contrariar o plano de nosso adversário, assumir ocasionalmente riscos e jogar atendendo a um palpite. E, depois 
de todas as jogadas e reflexões, descobrimos que estamos em xeque, às vezes em xeque-mate. 
ELIAS, Norbert. O processo civilizador. Rio de Janeiro: Zahar, 1993. p. 225. 2 v.
Por que o autor compara a vida na corte com um jogo de xadrez ?
Na corte medieval eram constantes as disputas pelos favores reais. uma vez que o uso da força era vetado nesses espaços, muitos membros 
da corte arquitetavam planos para melhor forjar suas reações aos movimentos de um eventual adversário. traição, intriga, troca de favores e 
até sedução amorosa eram instrumentos do “jogo da sociabilidade” nas cortes medievais. os riscos são sugeridos pela referida possibilidade do 
“xeque -mate” que paira sobre os jogadores.
5 Pois ela não perde o sorrir,
donde me vêm dores e danos,
pois do jogo de que participo
levo a pior duas vezes –
porque tal amor é perdido
pois só um lado se mantém –
até que se consiga acordo.
Bem que eu deveria ofender,
e com razão, pois não nasceu
alguém como eu, que serviu
tanto e tanto perdeu;
e se ela não me castiga,
continua minha loucura,
pois o louco não para até ser preso.
SPINA, Segismundo. A lírica trovadoresca. São Paulo: Edusp, 1996. p. 143-144. Adaptado.
Os versos transcritos foram compostos pelo poeta provençal Bernart de Ventadorn, que viveu no século XII. Neles, há 
referência ao jogo amoroso, um dos temas mais constantes da literatura do período. Qualé a relação entre esse jogo 
e as relações sociais características do sistema feudal?
o poeta se coloca como uma pessoa que serve à dama: “[...] pois não nasceu / alguém como eu, que serviu / tanto [...]”. esse tipo de relação é 
denominado vassalagem amorosa, constituindo um modelo ideal de comportamento amoroso.
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