Matemática ESAF Logarítimo

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   1	
  
Curso	
  Avançado	
  de	
  Matemática	
  ESAF	
  –	
  Prof.	
  Sérgio	
  Carvalho	
  
Aula	
  3	
  –	
  Equações	
  Exponenciais	
  e	
  Logaritmos	
  
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
# Conceito: 
Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente. 
Exemplos: 
x2 = 64 ; ( )
x
3 = 81 ; x x4 - 2 = 2 
 
# Resolução de uma Equação Exponencial: 
Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais. 
I) Método da redução a uma base comum 
b ca = a b = c ( 0 < a 1)⇔ ≠ 
 
II) Método baseado na definição de logaritmo 
 
# Exercícios de Fixação: 
1. Resolva as seguintes equações exponenciais: 
 
a) x2 = 64 
 
b) x 18 = 
32
 
 
c) x 3( 3 ) = 81 
 
d) x100 = 0,001 
 
e) x125 = 0,04 
 
f) 
3x - 12 = 32 
	
  
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g) 2x + 511 = 1 
 
h) 1 - 3x81 = 27 
 
i) 3x + 4 2x - 37 = 49 
 
j) 
2x - x x + 18 = 4 
 
k) x - 1 x x + 1 x + 23 - 3 + 3 + 3 = 306 
 
l) x x+1 x + 3 x + 53 . 2 - 5 . 2 + 5 . 2 - 2 = 2 
 
m) x x4 - 2 - 2 = 0 
 
n) x x4 + 4 = 5 . 2 
 
o) 
2x 5x + 6x = 1− 
 
p) 
22x 7x + 4x = x− 
 
 
 
 
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
   D	
   E	
   F	
   G	
   H	
   I	
   J	
   K	
   L	
   M	
   N	
   O	
   P	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  
 
 
 
 
 
 
	
  
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LOGARITMO 
No estudo das equações exponenciais, tratamos dos casos em que podíamos 
reduzir as potências à mesma base. 
Exemplo: 
x
x 3
2 = 8
2 = 2
x = 3
 
 
Já no caso de equações do tipo x2 = 3 , sabemos que x assume um valor entre 1 e 
2, porém não conseguimos determiná-lo. 
A fim de resolvermos problemas como este e outros, iniciaremos o estudo dos 
logaritmos. 
 
# Conceito: 
Sendo a e b números reais e positivos, com a 1≠ , chama-se logaritmo de b na 
base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. 
Ou seja: 
loga
b = x ⇔ ax = b 
Onde: a → base do logaritmo 
b → logaritmando 
x → logaritmo 
 
Exemplos: 
8 3
2
9 2
3
1 0
7
log = 3, pois 2 = 8 
log = 2, pois 3 = 9
log = 0, pois 7 = 1
 
 
 
 
	
  
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# Exercícios de Fixação: 
1. Calcule pela definição os seguintes logaritmos: 
a) 164log = 
b) 48log = 
c) 320,25log = 
d) 0,0010,01log = 
e) 321
4
log = 
f) 
3 9
27log = 
g) 271
3
log = 
 
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
   D	
   E	
   F	
   G	
  	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  
 
 
# Consequências da definição: 
Decorrem da definição de logaritmos as seguintes propriedades para 0 < a ≠ 1, b>0. 
 
Ø 
1
alog = 0 
 
a) 15log = 
b) 13log = 
GABARITO	
  A	
   B	
  	
   	
  
 
 
 
	
  
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Ø 
a
alog = 1 
 
a) 55log = 
b) 1212log = 
GABARITO	
  A	
   B	
  	
   	
  
 
 
Ø 
b
aloga = b 
a) 
9
3log3 = 
b) 
4
5log5 = 
c) 
5
2log8 = 
d) 
4
31 + log3 
 
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
   D	
  	
   	
   	
   	
  
 
 
Ø 
b c
a alog = log b = c⇔ 
a) x + 2 93 3log = log 
b) 2x + 1 819 9log = log 
 
GABARITO	
  A	
   B	
  	
   	
  
 
 
	
  
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# Exercícios de Fixação: 
1. Se A = 
2
25log5 , determine o valor de A2. 
 
2. Calcule o valor de 
10 5
5 2log log2 • 
 
3. Calcule o valor de 
5
22 + 3 . log2 
 
4. Calcule o valor de 
2
32 - log9 
 
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
   D	
  	
   	
   	
   	
  
 
 
# Equações Logarítmicas: 
Equações são sentenças matemáticas com a presença de letras e números em sua 
composição, seguida de sinais operatórios. Seu principal objetivo é determinar o valor 
desconhecido (a incógnita da equação). 
No caso das equações logarítmicas, temos que a incógnita pode estar presente no 
logaritmando ou na base do logaritmo. A resolução é feita utilizando as regras operatórias 
dos logaritmos. 
 
# Exercícios de Fixação: 
 
1. Resolva as equações logarítmicas: 
 
a) (x - 4)2log = 3 
 
b) (2x - 3) (4x - 5)2 2log = log 
 
	
  
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c) 
2(3x - x)
xlog = 2 
 
d) 
x
3(log )
5log = 1 
 
2. Se yx = 4x e 16xlog = y , calcule o valor de x + y. 
	
  
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
   D	
   2	
  	
   	
   	
   	
   	
  
 
 
# Propriedades dos Logaritmos: 
 
1P :Logaritmo do produto 
O logaritmo do produto de dois fatores reais positivos é igual à soma dos logaritmos 
dos fatores. 
 
(b . c) b c
a a alog = log + log 
 
 
2P :Logaritmo do quociente 
O logaritmo do quociente de dois números reais positivos é igual à diferença entre o 
logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. 
 
b( ) b cc
a a alog = log - log 
 
 
 
	
  
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3P :Logaritmo da potência 
O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao 
produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. 
 
b b
a alog = . log
α
α 
 
Observação: 
De um modo geral temos: 
 
b b
aa
log = . log
α
β
α
β 
 
# Exercícios de Fixação: 
 
1. Desenvolva usando as propriedades dos logaritmos. 
a) 
2ab
c
2log
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
 
b) 
3 2
4
a b
c
3log
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 
 
c) 
3
2
ablog
c
 
 
GABARITO	
  A	
   B	
   C	
  	
   	
   	
  
 
 
	
  
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# Mudança de Base: 
Há ocasiões em que logaritmos em bases diferentes precisam ser convertidos para uma 
única base conveniente. 
 
Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se: 
 
loglog = 
log
b
b c
a a
c
 
ou 
log = log . logb b ca c a 
 
Consequência: 
Se a e b são reais positivos e diferentes de 1, então tem-se: 
1log = 
log
b
a a
b
 
 
# Exercícios de Fixação: 
1. Sabendo que 
3
30log = a e 
5
30log = b , calcule log10
2
. 
 
(Sugestão: 2 = 30/3.5 e 10 = 30/3). 
 
2. Sabendo que 
2
20log = a e 
3
20log = b , calcule 
5
6log . 
 
3. Determine o valor de: 
2 3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8 9 10log . log . log . log . log . log . log . log 
	
  
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4. Simplifique: 
log . log . log
a
b c d
a b c 
 
5. Calcule o valor de: 
 
5 27log . log3 25 
 
GABARITO	
  1	
   2	
   3	
   4	
   5	
  	
   	
   	
   	
   	
  
 
 
# Questões de Concurso: 
 
01. (ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo de x na base 10, calcule o valor da 
expressão log 20 + log 5. 
a) 5 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 
 
 
02. (ESAF) A sequência de valores: 1, 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16, forma uma progressão geométrica. 
A sequência dos logaritmos de cada um desses números na base 1/2, na ordem em que estão 
dispostos, forma uma: 
a) progressão geométrica de razão 1/2 
b) progressão geométrica de razão 1 
c) progressão aritmética de razão ½ 
d) progressão aritmética de razão 1 
e) progressão geométrica de razão -1 
	
  
	
  
GABARITO	
  1	
   2