Estatistica_I_Capitulo_4_Introducao_a_Probabilidade_Office_2007

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Introdução à Probabilidade
Material: Profº Gustavo Araújo
Profª Léa Benatti
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Probabilidade
Definição:
Probabilidade é a medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer.
Definição:
Evento é uma realização de possível alternativa. Por exemplo, “chover amanhã” é um evento (mais tarde veremos uma definição mais formal para Evento).
Probabilidade
A probabilidade varia entre 0 e 1 (ou 0% e 100%).
Quanto maior a probabilidade, maior a possibilidade de ocorrência do evento. 
Exemplo: 
A probabilidade de chover amanhã é 0,1 (ou 10%).
Se a probabilidade de chover amanhã é 0,5 (ou 50%), a possibilidade de chover amanhã é a mesma de não chover.
Experimento
Definição: 
Experimento é um processo que gera resultados bem definidos.
Os resultados são bem definidos pois se ocorre um resultado, não ocorre outro. 
Exemplos:
Espaço Amostral
Definição: Espaço Amostral (S) de um experimento é o conjunto de todos os resultados experimentais.
Exemplos:
Note que, por exemplo, o experimento “Jogar uma Moeda” tem dois resultados experimentais possíveis (Cara, Coroa) e apenas um espaço amostral ({Cara, Coroa}).
Um resultado experimental também é chamado ponto amostral.
Espaço Amostral
Experimento com Múltiplas Etapas. 
Exemplo: Considere o experimento “jogar duas moedas”
 S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
Onde: H → CARA (H de head);
 T → COROA (T de tail).
Note que há 4 resultados experimentais (pontos amostrais) possíveis.
Regra de Contagem de Experimentos em Múltiplas Etapas
Se um experimento pode ser descrito como uma sequência de k etapas com n1 resultados possíveis na 1ª etapa, n2 resultados possíveis na 2ª etapa, ...., nk resultados possíveis na kª etapa, o número total de resultados experimentais é
n1 x n2 x .... x nk
No exemplo (jogar duas moedas):
 k=2, n1=2, n2 =2, 
então o número total de resultados experimentais é 4.
Diagrama em Árvore
Diagrama em Árvore é uma representação gráfica que ajuda a visualizar um experimento de múltiplas etapas.
Diagrama em Árvore
Exemplo Kentucky Power & Light Company (KP&L): 
 A KP&L está iniciando um projeto para aumentar a capacidade de geração de energia.
 O projeto tem 2 etapas sequênciais e as duas têm incerteza quanto ao prazo de duração:
 Etapa 1: 2, 3 ou 4 meses
 Etapa 2: 6, 7 e 8 meses
Regra de Contagem de Combinações
A Regra de Contagem de Combinações permite contar o número de resultados experimentais quando o experimento envolve escolher n objetos de N objetos, com N > n. A ordem dos n objetos escolhidos não é importante.
Regra de Contagem de Combinações
Exemplo: 
Em um grupo de 5 peças, quantas combinações de 2 peças podem ser retiradas?
Ou seja, se há 5 peças (A, B, C. D e E), há 10 combinações de 2 peças que podem ser retiradas:
(AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE)
Regra de Contagem de Combinações
Exemplo Megasena: são sorteados 6 números de 60. Quantas combinações de 6 números podem ser sorteadas.
Note que a ordem dos 6 números escolhidos não importa.
Regra de Contagem de Permutações
A Regra de Contagem de Permutações permite contar o número de resultados experimentais quando o experimento envolve escolher n objetos de N objetos, (com N > n) quando a ordem dos n objetos escolhidos é importante.
Regra de Contagem de Permutações
Exemplo: Em um grupo de 5 peças, quantas combinações de 2 peças podem ser retiradas? A ordem importa.
Ou seja, se há 5 peças (A, B, C. D e E), há 20 combinações de 2 peças que podem ser retiradas:
(AB, BA, AC, CA, AD, DA, AE, EA, BC, CB, BD, DB, BE, EB, CD, DC, CE, EC, DE, ED)
Método Clássico
 Quando os Resultados Experimentais são Equiprováveis
Quando os n Resultados Experimentais são Equiprováveis a probabilidade de cada um deles é 1/n. 
Exemplo: Qual a probabilidade de uma moeda honesta dar cara ao ser jogada uma vez? 
 n = 2 (pois pode dar cara ou coroa)
A probabilidade de dar cara é ½, que é a mesma probabilidade de dar coroa.
Exemplo: Qual a Probabilidade de dar 6 ao se jogar um dado?
P(6) = 1/6 que é igual a P(1), P(2), P(3), P(4) e P(5).
Método de Freqüência Relativa
O Método de Freqüência Relativa é apropriado quando há dados disponíveis para se estimar a proporção que o resultado experimental ocorrerá, se ele for repetido inúmeras vezes.
Os dados devem ser confiáveis !!!
Método de Freqüência Relativa
Exemplo: Considere um estudo sobre o tempo de espera no setor de raio X de um hospital. Foi registrado o número de pacientes a espera de atendimento exatamente às 9h em cada um dos 20 dias da pesquisa.
Método de Freqüência Relativa
A probabilidade, pelo método da freqüência relativa, de não haver pessoas a espera é 0,10; de haver uma pessoa a espera é 0,25; e assim por diante.
obs: 20 observações são poucos dados para se confiar nessas probabilidades.
Método Subjetivo
O método subjetivo é usado quando não se pode assumir que os dados são relevantes e quando os resultados experimentais não são igualmente prováveis.
A experiência e a intuição são usadas para se atribuir probabilidades.
Exemplo: Um casal faz uma oferta por uma casa. O marido atribui 60% de probabilidade da oferta ser aceita e a esposa atribui 80%.
Obs: Pode-se combinar os métodos de atribuição de probabilidades.
Exemplo KP&L
A KP&L não acredita que as probabilidades para cada resultado experimental sejam iguais.
Assim, a KP&L realiza um estudo de prazos de conclusão de 40 projetos anteriores similares realizados pela empresa nos últimos 3 anos.
Desta forma, a KP&L usará o método da freqüência relativa para determinar a probabilidade de cada resultado.
Exemplo KP&L
Exemplo KP&L
Se a KP&L está preocupada apenas com os prazos totais do projeto e não com os pontos amostrais (que têm prazos discriminados para as etapas 1 e 2), tem-se:
Evento e suas Probabilidades
Definição:
Evento é um conjunto de pontos amostrais (resultados experimentais).
Exemplo: KP&L está interessada na “eventualidade de o projeto ser concluído em 10 meses ou menos”, o que será denominado evento C.
Para isso, tem-se 6 pontos amostrais:
(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6).
Assim, C = {(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)}
Evento e suas Probabilidades
Outros Exemplos: 
L = projeto ser concluído em menos de 10 meses
 L = {(2,6), (2,7), (3,6)}
M = projeto ser concluído em mais de 10 meses
 M = {(3,8), (4,7), (4,8)}
Evento e suas Probabilidades
A Probabilidade de um Evento é a soma das probabilidades dos pontos amostrais do evento.
Exemplos:
A probabilidade que foi vista de cada prazo mensal do projeto
2. P(C) = P({(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)}) = P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) + P(3,6) + P(3,7) + P(4,6) = 70%
3. P(L) = P({(2,6), (2,7), (2,8)}) = P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) = 40%
4. P(M) = 30%
5. O espaço amostral (S) também é um evento e P(S)=1
Evento e suas Probabilidades
Desta forma, toda vez que desejar identificar todos os pontos amostrais do experimento e atribuir probabilidades a cada um destes pontos, pode-se calcular as probabilidades de qualquer evento.
Porém, há experimentos em que o grande nº de pontos amostrais torna a sua identificação e a atribuição de probabilidades extremamente complicadas.
Evento e suas Probabilidades
Cálculo de probabilidades de eventos equiprováveis.
Ex: Suponha uma urna com 3 bolas, uma azul (A) e duas verdes (V).
 A probabilidade de se retirar aleatoriamente qualquer uma bola é 1/n, no caso, 1/3.
 A probabilidade de se retirar duas bolas verdes pode ser calculada da seguinte maneira:
número de pontos amostrais do evento (“escolher uma bola verde”) dividido pelo número total de pontos amostrais → 2/3.
 - nº de pontos amostrais do evento (“escolher uma bola verde”) = 2
 - número total de pontos amostrais = 3
Eventos e suas Probabilidades
Definição:
Complemento de A (ou Ac) é o evento que consiste em todos os pontos amostrais que não estão em A. 
 Diagrama de Venn:
P(A) + P(Ac) = 1 ou P(A) = 1- P(Ac)
Ac
A
S
Eventos e suas Probabilidades
A Probabilidade de ocorrência dos eventos
A ou B ou ambos é a União de 2 Eventos.
A União de A e B (AUB) é o evento que contém todos os pontos amostrais que pertencem ou a A ou a B ou a ambos. 
S
A
B
Eventos e suas Probabilidades
A Probabilidade de ocorrência dos eventos A e B é a Interseção de 2 Eventos.
A Interseção de A e B (A∩B) é o evento que contém todos os pontos amostrais que pertencem a ambos os conjuntos A e B. 
S
A
B
Eventos e suas Probabilidades
Lei da Adição: 
 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Se não subtrair P(A∩B), estará contando os pontos amostrais que estão em A e B duas vezes.
S
A
B
Eventos e suas Probabilidades
Exemplo:
Há 50 funcionários, 5 deles concluíram o trabalho atrasados, 6 deles montavam os produtos com defeito e 2 tanto concluíram o trabalho atrasados quanto montavam os produtos com defeito.
Sejam, L = o trabalho ser concluído atrasado
 D = o produto montado apresentar defeito
A informação sobre a freqüência relativa pode levar às seguintes probabilidades:
P(L) = 10%, P(D) = 12% e P(L∩D) = 4%
Eventos e suas Probabilidades
O gerente atribui avaliações ruins a qualquer empregado cuja trabalho tem defeitos ou fosse concluído com atraso.
 Qual a probabilidade de gerente atribuir uma avaliação ruim a um funcionário?
L
D
3
4
2
(LUD)c
Pelo diagrama de Venn, pode-se ver que P(LUD) = 9/50 = 18%
Pela lei da adição:
P(L) + P(D) - P(L∩D) = 10% + 12% - 4% = 18%
Eventos e suas Probabilidades
Definição: 
Eventos Mutuamente Exclusivos: se eles não têm pontos amostrais em comum.
Diagrama de Venn: A e B são mutuamente exclusivos.
 A lei da adição, P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) se reduz a P(AUB) = P(A) + P(B); onde: P(A∩B) = 0
S
A
B
Probabilidade Condicional
Definição: 
Probabilidade Condicional é a probabilidade de ocorrer um evento dado que outro já tenha ocorrido.
P(A \ B) – probabilidade da ocorrência do evento A dado que o evento B já tenha ocorrido, ou, simplesmente, probabilidade de A dado B.
Probabilidade Condicional
Exemplo: 
Considere uma força policial com 1200 oficiais, sendo 960 homens e 240 mulheres.
No últimos 2 anos, 324 oficiais receberam promoções, dos quais 288 eram homens e 36 eram mulheres.
Probabilidade Condicional
Houve uma acusação de discriminação por parte das mulheres, pois apenas 36 mulheres foram promovidas nos últimos 2 anos. 
Definindo os eventos:
 H = oficial é homem
 M = oficial é mulher
 A = oficial ser promovido
Antes de tratar da probabilidade condicional, serão definidas as probabilidades associadas e marginais.
Probabilidade Condicional
Definição:
Probabilidade Associada é a probabilidade de dois ou mais eventos ocorrerem (ou seja, a probabilidade de interseção dos eventos).
Pela tabela anterior, tem-se as seguintes probabilidades associadas:
 P(H∩A) = 288/1200 = 24%;
 P(H∩Ac) = 672/1200 = 56%;
 P(M∩A) = 36/1200 = 3%;
 P(M∩Ac) = 204/1200 = 17%.
Probabilidade Condicional
Probabilidades Associadas:
Probabilidade Condicional
Probabilidades Marginais:
Probabilidade marginal: é a probabilidade de cada evento separadamente. 
Note que a probabilidade marginal de um evento é a soma das probabilidades associadas deste evento.
Probabilidade Condicional
Agora pode-se ver com facilidade as probabilidades condicionais:
P(oficial ser promovido\homem), ou seja,
 P(A\H) = 288/960 = 30%
outra forma: P(A\H) = 0,24/0,80= 30%, ou
Probabilidade Condicional
Fórmula Geral: 
Probabilidade Condicional
Diagrama de Venn: 
Sabendo que o evento B já ocorreu, a única maneira de A ocorrer é pela ocorrência do evento A∩B.
Logo: 
A
B
Evento A ∩B
Probabilidade Condicional
Voltando ao exemplo:
A probabilidade de haver uma promoção dado que o oficial é homem é duas vezes maior do que dado que é mulher.
Eventos Independentes
No exemplo, a probabilidade do oficial ser promovido é afetada pela probabilidade do oficial ser homem ou mulher.
Ou seja, os eventos A e H são dependentes, pois P(A) ≠ P(A\H).
Eventos Independentes
Definição:
Dois eventos são independentes se dois eventos não têm influência mútua, ou seja, se a ocorrência de um evento não influencia a probabilidade do outro.
A e B são independentes se:
caso contrário, A e B são dependentes.
Eventos Independentes X Mutuamente Excludentes
Ao se jogar uma moeda, o evento “cara” ou o evento “coroa” são mutuamente exclusivos, pois se ocorre um evento o outro não ocorre. Assim, os dois eventos são dependentes. 
Assim, dois eventos mutuamente excludentes sempre são dependentes. 
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos 
Como visto anteriormente, a Probabilidade de ocorrência dos eventos A e B é a interseção destes 2 Eventos.
Pela fórmula da probabilidade condicional, tem-se:
A fórmula acima é denominada Lei da Multiplicação.
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos 
Do Exemplo anterior, a probabilidade de ser promovido e ser homem é:
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos 
Exemplo: 
84% das famílias do bairro assinam a edição diária do jornal;
75% é a probabilidade de uma família que assina a edição diária do jornal assinar também a de domingo.
Seja DIA o evento assinar a edição diária do jornal; 
Seja DOM o evento assinar a edição de domingo do jornal;
 Qual a probabilidade de uma família assinar as 2 edições?
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos 
Dado no Exemplo: 
 P(DIA) = 84%, P(DOM\DIA) = 75%.
Probabilidade de uma família assinar as 2 edições:
 P(DIA∩DOM) = P(DIA) x P(DOM|DIA) = 63%
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos Independentes 
A fórmula geral para a probabilidade de ocorrência de 2 eventos é:
Mas, para eventos independentes tem-se:
 P(A\B) = P(A) e P(B\A) = P(B)
Então, 
Esta fórmula é chamada Lei da Multiplicação para eventos independentes.
Probabilidade de Ocorrência de dois Eventos Independentes 
Exemplo:
Qual a probabilidade de, ao se jogar duas moedas, a primeira dar cara e a segunda coroa?
A probabilidade da 2ª dar coroa independe da probabilidade da 1ª dar cara.
Teorema de Bayes
O Teorema de Bayes fornece as bases para se calcular probabilidades a posteriori.
Probabilidades a posteriori são probabilidades revisadas dos eventos, baseadas em informações adicionais.
Probabilidades a Priori
Nova Informação
Aplicação do Teorema de Bayes
Probabilidades a Posteriori
Exemplo - Teorema de Bayes
Considere uma firma que recebe peças de 2 fornecedores:
A1 – Evento da peça ser proveniente do fornecedor 1;
A2 – Evento da peça ser proveniente do fornecedor 2.
Hoje, 65% das peças são provenientes do fornecedor 1 e 35% do 2.
Assim, para qualquer peça, 
 P(A1) = 65% e P(A2) = 35%.
Exemplo - Teorema de Bayes
Níveis históricos de qualidade dos fornecedores:
Sejam: B – evento de uma peça boa;
 R – evento de uma peça ruim.
 P(B|A1) = 98%, P(B|A2) = 95%
 P(R|A1) = 2%, P(R|A2) = 5%
Exemplo - Teorema de Bayes
Sabe que:
P(A1) = 65% (prob. da peça ser do fornecedor 1)
P(R|A1) = 2% (prob. da peça ser ruim dada que é do fornecedor 1)
P(A1∩R) = 1,3% (prob. da peça ser ruim e ser do fornecedor 1)
Mas, se a peça é ruim, qual a probabilidade de ela ser do fornecedor 1? (Neste caso, usa-se Bayes !!!)
Exemplo - Teorema de Bayes
Deseja-se determinar:
Então, é preciso saber P(A1∩R) e P(R).
Já se sabe que P(A1∩ R), e é igual a P(A1) x P(R|A1)
Tem-se que: 
 P(R) = P(A1∩ R) + P(A2∩ R) 
 P(R) = P(A1) x P(R|A1) + P(A2) x P(R|A2)
Teorema de Bayes
Substituindo, tem-se o Teorema de Bayes:
Note que todas essas probabilidades foram dadas no exemplo.
Pode-se substituir, nesta fórmula, o A1 por A2 ou R por B, para obter P(A1|B), P(A2|R) e P(A2|B).
Exemplo - Teorema de Bayes
Substituindo, as probabilidades, tem-se:
Similarmente,
P(A2|R) = 57,38%
 (poderia ser calculado por: 1 - P(A1|R))
Exemplo - Teorema de Bayes
Note que P(A1|R) é diferente de P(A1), pois a probabilidade foi revisada pelo fato de se ter a informação de que a peça é ruim.
Além disso, note que:
 P(A1|R)
< P(A1).
Isso ocorre, pois P(R|A2) > P(R|A1)
Exemplo - Teorema de Bayes
Pode-se ter uma maior intuição do teorema de Bayes pela planilha:
Ver arquivo bayes.xls
Teorema de Bayes – Fórmula Geral
Para n eventos mutuamente exclusivos, cuja união é o espaço amostral todo, tem-se, para qualquer i :