Resolucao_topicos_da_fisica_vol_1

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MECÂNICA
Inclui Hidrodinâmica
Ricardo Helou Doca
Gualter José Biscuola
Newton Villas Bôas 
Manual do Professor
Ricardo Helou Doca
Engenheiro eletrônico formado pela FEI (SP)
Licenciado em Matemática
Professor de Física do Colégio Objetivo de São Paulo
Diretor do Colégio Objetivo NHN de Passos, São Sebastião do Paraíso e Guaxupé (MG)
Newton Villas Bôas
Licenciado em Física pelo Instituto de Física da USP
Licenciado em Ciências e Pedagogia
Professor de Física do Colégio Objetivo de São Paulo
Diretor do Colégio Objetivo NHN de Passos, São Sebastião do Paraíso e Guaxupé (MG)
Gualter José Biscuola
Engenheiro eletrônico formado pela Escola Politécnica da USP
Licenciado em Física
Diretor e professor de Física do Colégio Leonardo da Vinci de Jundiaí (SP)
Av. Marquês de São Vicente, 1697 – CEP 01139-904 – Barra Funda – SP
PABX: (11) 3613-3000 – Fax: (11) 3611-3308 – Televendas: (11) 3613-3344 – Fax Vendas: (11) 3611-3268
Atendimento ao Professor: (11) 3613-3030 e 0800-117875 – atendprof.didatico@editorasaraiva.com.br
www.editorasaraiva.com.br
2007
AUTORIA
Tópicos de Física 1
Gualter
Parte I: Tópicos 1 a 4
Parte II: Tópico 5
Parte III: Tópico 1
Helou
Parte I: Tópico 5
Parte II: Tópicos 1 a 4 e 6 a 8
Parte III: Tópico 2
Tópicos de Física 2
Newton
Parte I
Parte II: Tópico 2
Gualter
Parte II: Tópicos 1 e 3
Parte III: Tópico 3
Helou Parte III: Tópicos 1, 2, 4 e 5
Tópicos de Física 3
Newton Parte I
Gualter Partes II, III e IV
Helou Parte V
Ao professor 5
Objetivos fundamentais da obra 6
Composição da obra 6
Metodologia utilizada 6
Instrumentos disponíveis na obra 7
Estratégias de aplicação da obra 7
A avaliação 8
Considerações didáticas 
e resolução de exercícios 9
INTRODUÇÃO 9
Introdução à Física 9
Introdução à Mecânica 9
Parte I – CINEMÁTICA 10
Tópico 1
Bases da Cinemática escalar 10
• Objetivos do Tópico 10
• O que não pode faltar 11
• Algo mais 11
• Subsídios ao Descubra mais 12
• Resolução dos exercícios propostos 13
Tópico 2
Movimento uniforme 14
• Objetivos do Tópico 14
• O que não pode faltar 15
• Resolução dos exercícios propostos 15
Tópico 3 
Movimento uniformemente variado 18
• Objetivos do Tópico 18
• O que não pode faltar 19
• Algo mais 19
• Resolução dos exercícios propostos 20
Tópico 4 
Movimentos circulares 24
• Objetivos do Tópico 24
• O que não pode faltar 25
• Algo mais 25
• Subsídios ao Descubra mais 25
• Resolução dos exercícios propostos 26
Tópico 5 
Vetores e Cinemática vetorial 29
• Objetivos do Tópico 29
• O que não pode faltar 29
• Algo mais 30
• Resolução dos exercícios propostos 30
Parte II – DINÂMICA 36
Tópico 1 
Os princípios da Dinâmica 36
• Objetivos do Tópico 36
• O que não pode faltar 36
• Algo mais 36
• Subsídios ao Descubra mais 36
• Resolução dos exercícios propostos 37
Tópico 2 
Atrito entre sólidos 51
• Objetivos do Tópico 51
• O que não pode faltar 52
• Algo mais 52
• Subsídios ao Descubra mais 52
• Resolução dos exercícios propostos 53
Tópico 3 
Resultantes tangencial e centrípeta 59
• Objetivos do Tópico 59
• O que não pode faltar 59
• Algo mais 59
• Subsídios ao Descubra mais 59
• Resolução dos exercícios propostos 61
Tópico 4 
Gravitação 67
• Objetivos do Tópico 67
• O que não pode faltar 67
• Algo mais 67
• Subsídios ao Descubra mais 68
• Resolução dos exercícios propostos 72
Tópico 5 
Movimentos em campo gravitacional 
uniforme 76
• Objetivos do Tópico 76
• O que não pode faltar 77
• Algo mais 77
• Subsídios ao Descubra mais 77
• Resolução dos exercícios propostos 78
Tópico 6 
Trabalho e potência 84
• Objetivos do Tópico 84
• O que não pode faltar 85
• Algo mais 85
• Subsídios ao Descubra mais 86
• Resolução dos exercícios propostos 88
Tópico 7 
Energia mecânica e sua conservação 96
• Objetivos do Tópico 96
• O que não pode faltar 96
• Algo mais 96
• Subsídios ao Descubra mais 97
• Resolução dos exercícios propostos 99
Tópico 8 
Quantidade de movimento e sua 
conservação 107
• Objetivos do Tópico 107
• O que não pode faltar 107
• Algo mais 107
• Subsídios ao Descubra mais 109
• Resolução dos exercícios propostos 111
Parte III – ESTÁTICA 119
Tópico 1 
Estática dos sólidos 119
• Objetivos do Tópico 119
• O que não pode faltar 120
• Algo mais 120
• Subsídios ao Descubra mais 120
• Resolução dos exercícios propostos 123
Tópico 2 
Estática dos fluidos 131
• Objetivos do Tópico 131
• O que não pode faltar 131
• Algo mais 131
• Subsídios ao Descubra mais 132
• Resolução dos exercícios propostos 134
Apêndice 
Hidrodinâmica 141
Bibliografi a 143
5Manual do professor
Ao professor
são mereceu elogios na última reformulação, também 
foi alvo de aprimoramento e continua propondo pro-
blemas mais elaborados e que exigem uma perfeita 
compreensão da teoria, além de boa capacidade de 
interpretação, abstração e raciocínio. Em todos os 
casos tomamos o cuidado de dispor as questões em 
uma seqüência lógica e em ordem crescente de difi -
culdade. Procuramos dimensionar os dados de modo 
a simplifi car os cálculos, o que permitiu a valorização 
dos pormenores conceituais.
Há, no entanto, vários pontos presentes no texto, 
como demonstrações e apêndices, que enriquecem o 
material, mas que apresentam caráter facultativo, po-
dendo ser ignorados, sem prejuízo, em cursos com 
carga horária menor.
Este Manual contém considerações didáticas em 
torno do desenvolvimento de cada Tópico da obra e 
apresenta a resolução de boa parte dos exercícios pro-
postos, que tem por base nossa vivência em sala de 
aula, chamando a atenção para detalhes que julgamos 
importantes. Mas o professor conta, ainda, com outros 
materiais de apoio:
• Recursos na internet: a partir do início do ano le-
tivo de 2008 este livro contará com recursos adi-
cionais, disponíveis no site da Editora Saraiva 
(www.saraivaeduca.com.br). No site o professor 
encontrará as resoluções de todos os exercícios pro-
postos no livro do aluno.
• DVD-ROM: todo o conteúdo dos três CDs do livro 
do aluno mais as versões digitais dos três manuais 
do professor em formato PDF são apresentados para 
o professor em formato DVD-ROM.
O gabarito dos exercícios (exceto as respostas às 
perguntas da seção Descubra mais) é apresentado nas 
páginas fi nais de cada volume.
Temos consciência de que o assunto não foi es-
gotado, já que em Física há sempre o inusitado, a 
descoberta e o permanente desafi o.
Por isso serão muito bem-vindas as críticas e su-
gestões que visem ao aprimoramento deste trabalho.
Os autores
Esta é uma obra viva, em permanente processo de 
aprimoramento. Trata-se de um trabalho versátil, que 
pode se adequar a cursos de diferentes enfoques, desde 
aqueles com poucas aulas semanais até os mais abran-
gentes. O material é completo, tratando de todos os tópi-
cos do programa de Física do Ensino Médio brasileiro.
O texto, embora apresentado em uma linguagem 
rigorosa, não chega a ser axiomático nem excessiva-
mente formal. É, sim, objetivo e de fácil compreensão. 
A simbologia adotada é a consagrada pela maioria dos 
professores e dos livros sobre o assunto.
Nesta quarta versão, ampliada e atualizada, le-
vamos em conta as competências almejadas nos Pa-
râmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio 
(PCNEM), do Ministério da Educação e Cultura 
(MEC), e estabelecemos estratégias diversas no sen-
tido de implementá-las. Aspectos como o incentivo 
ao aprendizado das ciências e suas tecnologias, o 
desenvolvimento de uma mentalidade indagadora e 
crítica, a intelecção e produção de textos, tabelas e 
gráfi cos tecnocientífi cos foram trabalhados, valori-
zando-se dois paradigmas notórios no ensino atual: 
contextualização e interdisciplinaridade, sugeridas de 
maneira enfática na Lei de Diretrizes e Bases (LDB) 
e nos ditames do Exame Nacional do Ensino Médio 
(Enem). Para alcançarmos essas metas, apresentamos 
um grande número de recursos, comoilustrações, 
fotos legendadas, leituras e estímulos à experimenta-
ção. Somaram-se a isso a nova seção Descubra mais 
e uma grande variedade de exercícios, característica 
marcante do nosso trabalho. Essas ferramentas contri-
buirão para criar motivações a mais, que despertarão 
a curiosidade e o interesse nos alunos. Procuramos, 
dentro do possível, explorar situações práticas do dia-
a-dia. Incluímos também abordagens tecnológicas, 
demonstrando que a Física é básica e essencial aos 
padrões da vida moderna. Interfaces com outras disci-
plinas, como Geografi a, História, Química e Biologia, 
além da correlata Matemática, foram estabelecidas, 
procurando-se eliminar barreiras de conhecimento.
Tornamos ainda mais didáticas as tradicionais se-
ções – Exercícios de Nível 1, Nível 2 e Nível 3. A 
seção Para raciocinar um pouco mais, cuja inclu-
6 TÓPICOS DE FÍSICA 1
Objetivos fundamentais da obra
A obra visa transmitir ao estudante, de forma me-
tódica e organizada, os conhecimentos essenciais do 
programa de Física do Ensino Médio, proporcionan-
do-lhe uma iniciação bem fundamentada nessa disci-
plina, tanto nos aspectos conceituais como nas cor-
relações cotidianas, práticas e tecnológicas. Objetiva 
também oferecer a dose ideal de conteúdo compatível 
com a faixa etária do público adolescente, o que favo-
recerá a gradual formação de um espírito questionador 
e pragmático. Busca trabalhar as estruturas mentais 
do educando, exercitando a fl exibilidade de raciocínio 
e o encadeamento sistemático de idéias.
O trabalho evolui de modo a desenvolver habili-
dades para a compreensão de textos formais, decodi-
fi cação de enunciados, tabelas e gráfi cos, bem como 
de representações esquemáticas. Propõe obter maior 
efi ciência na cognição de informações, melhor capa-
cidade de análise e síntese, pleno domínio – em nível 
de Ensino Médio – da simbologia e linguagem pró-
prias da Matemática, imprescindíveis à formulação 
das leis da Física e à descrição quantitativa de seus 
fenômenos. Esses processos constituem na sua totali-
dade as três grandes metas – competências – sugeri-
das nos PCNEM para a área de Ciências da Natureza, 
Matemática e suas tecnologias, assim referidas nesse 
documento: “Representação e comunicação; investi-
gação e compreensão; contextualização”.
Há, ainda, que destacar o ideal de desenvolver 
uma mentalidade social, em que os conhecimentos 
oriundos da Física devam ser colocados à dispo-
sição da comunidade e das pessoas para melhorar 
seus recursos, condições de vida e padrões de con-
forto. Também de maneira subalterna, o texto busca 
formar uma consciência de preservação ambiental 
e de habitabilidade sustentável do planeta. Isso é 
primordial até para o exercício pleno da cidadania 
na vida moderna.
Por tudo isso, esta coleção procura qualifi car-se 
como um abrangente e vantajoso instrumento educa-
cional de iniciação à Física.
Composição da obra
Optamos por uma distribuição em que o con-
teúdo é desenvolvido conforme sua evolução his-
tórica. Iniciamos a coleção abordando no Volume 1 
a Mecânica, em que fi guram os trabalhos de Aris-
tóteles, Arquimedes, Copérnico, Galileu, Kepler 
e Newton, e encerramos o Volume 3 apresentando 
uma iniciação à Física Moderna, na qual se desta-
cam as contribuições de Planck, Bohr, Einstein e De 
Broglie. Respaldados em nossa experiência em sala 
de aula, procuramos levar em consideração um as-
pecto que consideramos fundamental: o fato de que 
o livro destina-se a um público jovem, que almeja 
ao longo dos três anos do Ensino Médio uma ampla 
utilização do raciocínio lógico-formal, maior poder 
de abstração, compreensão e manuseio de dados ma-
temáticos e tecnocientífi cos. Para isso, defi nimos 
criteriosamente a abrangência – horizontalidade – da 
obra. Selecionamos os itens a serem estudados res-
peitando diversos fatores, como a citada evolução 
dos adolescentes, propostas contidas na LDB e nos 
PCNEM, programas exigidos nos principais exames 
vestibulares, entre outros. Dimensionamos também 
o grau de formalismo da linguagem e a profundidade 
da tratativa – verticalidade.
A obra, então, está assim dividida:
• Volume 1: Mecânica;
• Volume 2: Termologia, Ondulatória e Óptica geo-
métrica;
• Volume 3: Eletricidade, Física Moderna e Análise 
dimensional.
Cada volume compõe-se de Partes que equivalem 
aos grandes setores de interesse da Física. As Partes, 
por sua vez, são constituídas de Tópicos, em que um 
determinado conteúdo é estudado teórica e operacio-
nalmente, com detalhamento pleno dentro das preten-
sões do trabalho, tanto naquilo que ele envolve (hori-
zontalidade) como na abordagem (verticalidade). Em 
cada Tópico, a matéria foi subdividida em Blocos, que 
agregam itens relacionados entre si.
Na apresentação de cada assunto, propusemos a 
seqüência que consideramos ideal, a qual foi testada 
e aprimorada em sala de aula ao longo de nossas car-
reiras. Os Tópicos e os Blocos foram estruturados de 
modo a propiciar ao aluno um crescimento natural, 
lógico e bem fundamentado.
Metodologia utilizada
A Física é uma disciplina que envolve concei-
tos que, pela complexidade e abrangência, são de 
difícil assimilação. A conservação do momento 
linear (quantidade de movimento), por exemplo, 
está presente em situações muito díspares, como 
em explosões e colisões, observáveis diretamen-
te ou por meio de instrumentos, e no decaimento 
nuclear, inerente ao universo subatômico. Por isso, 
a apresentação dos conceitos físicos deve merecer 
primordialmente uma boa exposição teórica enri-
7Manual do professor
quecida com exemplos esclarecedores. Se houver 
disponibilidade, alguma experimentação também 
colaborará, já que elementos concretos aceleram 
em muito a compreensão de concepções abstratas. 
Mas o que realmente faz a diferença é a operacio-
nalização, isto é a resolução do maior número pos-
sível de exercícios. É por meio deles que se tor-
na viável complementar a teoria e estabelecer os 
limites de sua utilização. Nesses exercícios há uma 
grande diversidade de cenários, o que permite ao 
aluno contemplar um determinado conceito na sua 
forma mais ampla, sedimentando as estruturas de 
raciocínio que lhe facultarão, por analogia, resolver 
problemas correlatos envolvendo o mesmo princí-
pio ou lei. Por isso, o professor deve explicar bem 
a teoria e fazer as possíveis demonstrações experi-
mentais, dando ênfase especial à resolução de exer-
cícios, pois só assim o aprendizado consolida-se.
Deve-se notar que uma bem conduzida aula de 
resolução de exercícios, em que o professor comenta 
detalhes adicionais vinculados a cada contexto acres-
centando novas informações, é agradável e estimulan-
te, além de estar totalmente de acordo com o ritmo de 
captação e assimilação de informações por parte da 
mente humana. Nessas ocasiões também ocorre o mo-
mento supremo da educação como arte de transformar 
pessoas. Esse é um ambiente profícuo em que se cor-
porifi ca o vínculo humanístico entre aluno e mestre, 
essencial e insubstituível em qualquer época, mesmo 
diante de todas as tecnologias de ensino à disposição. 
Nada ocupará o lugar do professor no seu papel de 
orientar o educando, tutelando-o e amparando-o em 
seu desenvolvimento.
Instrumentos disponíveis na obra
A parte teórica foi redigida de modo a tentar res-
gatar em cada trecho o interesse e a atenção do leitor. 
Para isso, utilizamos uma linguagem correta e ade-
quada à descrição da Física – rigorosa, porém insti-
gante –, procurando sempre inserir elementos atuais 
e curiosidades do cotidiano. Ilustrações e fotos com 
legendas (Boxes e Drops) foram aplicadas sempre 
que possível para facilitar a compreensão do texto e 
propiciar outras revelações. Em alguns Tópicos, in-
cluímos a seção Faça você mesmo, na qual sugerimos 
a realização de pequenos experimentos que requerem 
materiais de fácil obtenção ou até mesmo utensílios 
caseiros. Foram elaboradas Leituras que serão um 
pólo a mais de interesse e ampliarão os horizontes do 
conhecimento. Acrescentamosnesta quarta versão a 
seção Descubra mais, que traz um questionário com 
perguntas provocativas que visam reforçar o con-
teúdo. Essas perguntas poderão ser objeto de debates 
em sala de aula ou temas de trabalhos de pesquisa em 
que o aluno será direcionado à leitura de outros textos, 
inclusive àqueles disponíveis na internet. Em relação 
à rede mundial de computadores, os sites de busca po-
derão ser de grande valia, bastando nesse caso utilizar 
palavras-chave adequadas.
Em cada Tópico há quatro seções de exercícios 
com diferentes níveis de difi culdade. Logo após a 
apresentação da teoria de um Bloco aparecem os 
Exercícios de Nível 1 e Nível 2. Na primeira seção, 
a matéria é cobrada de forma simples, apenas em 
seus pontos essenciais. Na segunda, a abordagem é 
mais ampla, valorizando os aspectos conceituais e a 
descrição quantitativa dos fenômenos. Intercalados 
aos Exercícios de Nível 1 e Nível 2, há os Exercí-
cios Resolvidos (ER), que servem de ponto de par-
tida para o encaminhamento de questões semelhan-
tes. No fi nal dos Tópicos, estão os Exercícios de 
Nível 3, em sua maioria de vestibulares, nos quais 
inserimos elementos de complementação. Esses 
exercícios, selecionados criteriosamente dos exames 
mais representativos, constituem uma boa fonte de 
tarefas para casa. E, por último, temos a seção Para 
raciocinar um pouco mais, composta por proble-
mas mais difíceis – “reserva especial dos autores” –, 
que podem ser propostos como desafi o, aprofunda-
mento ou trabalhos extraclasse.
Pautamos a elaboração e a seleção de todas as ati-
vidades apresentadas no material pela funcionalidade 
em classe, diversidade temática e qualidade. Não há 
no trabalho exercícios iguais, o que sabidamente torna 
o processo de ensino mecanicista e enfadonho. Cada 
questão propõe um novo ambiente em que um detalhe 
a mais se faz necessário, constituindo-se, portanto, 
em um auxílio adicional para a melhor compreensão 
da matéria.
Procuramos contemplar nas questões de vesti-
bulares todos os estados brasileiros, evitando dessa 
forma regionalismos. Incluí mos nesta quarta ver-
são exercícios de Olimpía das de Física, certames 
que têm se constituído em um foco de interesse dos 
estudantes e um diferencial para as escolas que de-
senvolvem projetos visando bons resultados nessas 
competições intelectuais.
Estratégias de aplicação da obra
Esta obra é versátil e pode se adequar a cursos 
com enfoques e objetivos distintos e diferentes núme-
ros de aulas semanais.
8 TÓPICOS DE FÍSICA 1
• Carga mínima (de uma a duas aulas semanais): 
principais itens da teoria e Exercícios de Nível 1;
• Carga média (de três a quatro aulas semanais): princi-
pais itens da teoria e Exercícios de Nível 1 e Nível 2;
• Carga máxima (cinco ou mais aulas semanais): teo-
ria completa mais apêndices, Exercícios de Nível 1, 
Nível 2, Nível 3 e Para raciocinar um pouco mais.
De acordo com as cargas mencionadas anterior-
mente – cargas mínima, média e máxima – poderão 
ser excluídas do texto, a critério do professor, algumas 
propostas que forem consideradas prescindíveis. Isso 
não comprometerá a adoção da obra, tampouco seu 
bom aproveitamento.
Por outro lado, dependendo da disponibilidade 
do curso, recomendamos também pesquisas na inter-
net, leitura de livros paradidáticos, revistas especia-
lizadas e materiais afi ns, o que complementará e se-
dimentará o aprendizado. Nesses casos, os objetivos 
pretendidos são: valorizar aspectos históricos que 
realcem a evolução do conhecimento sobre Física e 
informar a existência de novas teorias, descobertas e 
outras aplicações dos assuntos tratados, não mencio-
nados no texto.
Uma referência importante que poderá orientar o 
professor na elaboração do seu Planejamento de Cur-
so é que cada Bloco traz um conteúdo previsto para 
duas ou três aulas, considerando a carga média de uti-
lização da obra.
A título de exemplo, sugerimos que, numa utili-
zação em carga média, os Blocos 1 e 5 do Tópico 5 
(Vetores e Cinemática vetorial) do Volume 1 sejam 
lecionados da seguinte maneira:
Bloco 1
Aula 1 – Teoria: itens 1, 2 e 3.
 Exercícios: Nível 1 – 1, 3 e 4.
 Para casa: Nível 1 – 5; Nível 2 – 10, 11 e 13.
Aula 2 – Teoria: item 4.
 Exercícios: Nível 1 – 6 e 8; Nível 2 – 18 e 
23.
 Para casa: Nível 1 – 7 e 9; Nível 2 – 16, 19 e 
22.
Bloco 5
Aula 1 – Teoria: itens 13 e 14.
 Exercícios: Nível 1 – 66 e 70; Nível 2 – 73.
 Para casa: Nível 1 – 67, 69 e 71; Nível 2 – 
72.
Aula 2 – Exercícios: Nível 2 – 75, 79 e 81.
 Faça você mesmo: o professor poderá realizar 
em sala de aula a demonstração sugerida, dis-
cutindo com os alunos os efeitos observados e 
suas conseqüências práticas (estimular a clas-
se a elaborar outros exemplos que conduzam a 
conclusões semelhantes).
 Para casa: Nível 2 – 76, 77, 82 (estudar a re-
solução) e 83.
A avaliação
Esta deve ser a mais abrangente possível, de modo 
a contemplar sempre o maior número de habilidades 
próprias de cada estudante. Entendemos que um edu-
cando deva ter oportunidade de ver valorizadas suas 
melhores potencialidades, já que o ser humano é do-
tado de múltiplas inteligências (talentos) mais ou me-
nos desenvolvidas.
Devemos levar em consideração fatores subjetivos 
como seu engajamento no curso (participação e empe-
nho), postura em sala de aula e interesse pela matéria. 
Recomendamos valorizar, no entanto, com ênfase, a 
capacidade de responder questões, testes conceituais e 
exercícios que exijam aplicações das leis físicas pau-
tadas pela devida operacionalização matemática. É 
ainda essencial que haja aplicação e pontualidade em 
relação às atividades propostas para casa, que devem 
preencher parte do tempo dos alunos em suas ativida-
des extraclasse.
Há vários instrumentos objetivos que podem ser 
cogitados na avaliação, como:
• Provas propriamente ditas;
• Trabalhos de pesquisa em livros e na internet;
• Questionários com perguntas instigantes;
• Coletânea de testes de múltipla escolha;
• Coletânea de questões analítico-expositivas;
• Vestibulares simulados;
• Construção e manuseio de aparatos experimentais;
• Leitura e discussão de artigos sobre Física;
• Elaboração de artigos sobre Física;
• Seminários;
• Debates sobre temas científi cos;
• Encenações de textos teatrais sobre Física.
Desse universo, que permite obter uma média am-
pla e justa do desempenho do aluno, será extraída a 
nota ou o conceito necessário à aprovação.
9Manual do professor
Neste volume 1, a Mecânica evolui de modo que 
os conceitos anteriores sejam sempre retomados, fa-
zendo com que o aluno tenha em cada momento uma 
visão completa da matéria.
INTRODUÇÃO
Introdução à Física
Nesta introdução, destaca-se a importância da Fí-
sica tanto na explicação dos fenômenos naturais como 
nas aplicações tecnológicas.
Apresenta-se também o conceito de medição, a 
distinção entre massa e volume, algumas unidades de 
medida, os prefi xos mais usados na obtenção de múl-
tiplos e submúltiplos de determinada unidade, além de 
um estudo dos algarismos signifi cativos, visando prin-
cipalmente evitar que o aluno exagere na quantidade de 
algarismos presentes nos resultados de seus cálculos.
Por fi m, conceitua-se grandeza física escalar para 
tornar compreensível a palavra escalar nas defi nições 
de algumas grandezas nos Tópicos 1 a 4.
Introdução à Mecânica
Com esta introdução, o aluno fi ca sabendo o que 
é a Mecânica e o que a diferencia das demais partes 
da Física. A leitura “A Cinemática e a Dinâmica” ob-
jetiva esclarecer a diferença entre essas duas partes da 
Mecânica.
Em seguida, é apresentado o modelo de ponto ma-
terial ou partícula.
É muito importante enfatizar que os conceitos es-
tudados neste volume são fundamentais não apenas 
para a Mecânica, mas também para o desenvolvi-
mento das demais partes da Física.
VOLUME 1: Mecânica
É constituído de três partes:
• Parte I: Cinemática;
• Parte II: Dinâmica;
• Parte III: Estática.
A Cinemática é estudada sob dois enfoques: o 
escalar e o vetorial. O Tópico em que sãoaborda-
dos os aspectos vetoriais é bastante completo, já 
que nele reside a base para uma boa compreensão 
da Mecânica.
Assuntos tradicionalmente estudados em cursos de 
Cinemática, como queda livre, lançamentos verticais 
e lançamentos oblíquos – Movimentos balísticos –, 
estão reunidos num único Tópico: Movimentos em 
campo gravitacional uniforme. Esse Tópico aparece 
na Parte II (Dinâmica), o que possibilita que os cita-
dos temas sejam tratados de forma ampla, isto é, uti-
lizando todos os elementos da matéria estudados até 
esse ponto.
O Tópico Gravitação foi atualizado observando 
o rebaixamento de Plutão à condição de planeta-anão. 
O Tópico Trabalho e potência também foi atualizado 
no que diz respeito às hidrelétricas e suas respectivas 
potências.
O Tópico Quantidade de movimento e sua 
conservação termina com um estudo sobre centro 
de massa, o que amplia sobremaneira suas fronteiras 
de aplicação.
A Parte III (Estática) continua dividida em dois 
Tópicos – Estática dos sólidos e Estática dos fl ui-
dos. Este último ganhou um Apêndice sobre Fluidodi-
nâmica, o que acrescentou mais elementos de conhe-
cimento e motivação.
10 TÓPICOS DE FÍSICA 1
Tópico 1
Parte I – CINEMÁTICA
Bases da Cinemática escalar
• Objetivos do Tópico
Neste Tópico, são apresentadas as noções básicas 
para o desenvolvimento da Cinemática Escalar do 
ponto material. Nas situações em que um corpo não 
puder ser assinalado a um ponto material, será esco-
lhido um de seus pontos para ser estudado. 
É importante destacar que os conceitos estudados 
aqui e nos quatro tópicos seguintes serão fundamen-
tais para o desenvolvimento dos demais assuntos da 
Física.
Inicialmente, o aluno precisa conhecer meios de 
determinar a posição de um corpo, ou seja, saber in-
formar onde o corpo está.
Para isso, ele necessita do conceito de referencial 
e do conhecimento das unidades mais comuns de me-
dida de comprimento, além de saber fazer conversões 
entre elas. Pode ser um bom momento para se intro-
duzir o Sistema Internacional (SI) de Unidades e de 
alguns prefi xos (ver Introdução à Física).
Pode-se começar falando na posição de um ponto 
em um plano cartesiano, nos números que localizam 
prédios em uma rua e nos valores de latitude, longitu-
de e altitude que determinam, por exemplo, a posição 
de um avião. Nesta última sugestão, é preciso acres-
centar uma unidade de ângulo plano – o grau –, que 
não pertence ao SI.
O próximo passo é tornar o aluno apto a dizer em 
que instante um corpo está em determinado local, 
ou seja, quando ele está ali, ou dizer em que instante 
ocorreu determinado fato (“localização temporal”). 
Para isso, é necessário falar sobre tempo, sua medi-
ção, suas unidades de medida (referindo-se novamen-
te ao SI) e algumas conversões entre elas.
Para saber, por exemplo, quanto tempo durou uma 
viagem ou o tempo decorrido entre dois acontecimen-
tos, é preciso calcular um intervalo de tempo.
É importante que o aluno perceba que tanto o ins-
tante quanto o intervalo de tempo são um número de 
unidades de tempo que, de um modo ou de outro, só 
pode ser determinado a partir da adoção de um ins-
tante de referência (origem dos tempos), como, por 
exemplo, o ano zero do nosso calendário, a zero hora 
do dia ou o zero estabelecido quando se aciona um 
cronômetro. 
A mudança ou não da posição de um corpo no 
decorrer do tempo leva aos conceitos de movimento 
e repouso.
A relatividade desses conceitos é facilmente assi-
nalada a partir de alguns exemplos.
Essa facilidade de assimilação, entretanto, geral-
mente não ocorre com a simetria deles.
Muitos alunos têm difi culdade de abstrair o que 
acontece em relação a outros referenciais que não seja 
o solo.
Para amenizar a exposição da simetria, além da 
maneira formal apresentada no livro, são sugeridas 
propostas do tipo: 
1) Imagine duas naves, A e B, no espaço, prestes a 
colidirem, e que as pessoas que estão nelas só pos-
sam ver a outra nave, além, obviamente, da sua.
 As pessoas que viajam na nave A vão dizer que a 
nave B vem de encontro a elas. Já as que viajam 
na nave B vão dizer que é a nave A que vem de 
encontro a elas. Todas estão corretas: é a simetria.
2) Imagine um gol marcado por meio de uma cobran-
ça de um pênalti. Logo após o chute, a bola se mo-
veu em relação ao referencial meta, aproximando-
se desta.
 Considerando a bola como referencial, ela esteve 
em repouso durante o evento, mas o gol aconteceu.
 Portanto, também nesse caso houve aproximação 
entre a meta e a bola, o que só pode ser explicado 
pelo movimento da meta em relação à bola.
3) A rotação da Terra em torno de seu eixo é percebi-
da por um referencial no Sol. 
 Para um referencial no solo terrestre, é o Sol que 
gira em torno daquele eixo, “cortando” o céu de 
leste a oeste.
Na seqüência, vem o conceito de trajetória, tam-
bém relativo a um referencial.
Em movimentos que ocorrem em trajetórias co-
nhecidas de antemão, a posição de um corpo é dada 
pelo espaço. Falar dos marcos quilométricos de uma 
rodovia e dos números que vemos nas casas de 
uma rua facilita a exposição desse conceito.
Espaços negativos não estão no cotidiano dos alu-
nos. Entretanto, como também serão usados, pode-se 
11Manual do professor
fazer uma comparação com as coordenadas negativas 
usadas na localização de pontos no plano cartesiano. 
Convém mencionar o signifi cado da função horá-
ria do espaço, já que ela também estará presente nos 
próximos tópicos.
A variação de espaço ocorrida em um determina-
do intervalo de tempo leva ao conceito da velocidade 
escalar, que costuma ser mais facilmente entendida 
quando se considera um movimento em uma rodovia. 
A expressão que defi ne a velocidade escalar instantâ-
nea, por envolver o conceito de limite, foi deslocada 
para o Apêndice deste Tópico.
Pode-se pedir aos alunos que determinem a velo-
cidade escalar média do veículo, em km/h, entre o iní-
cio e o fi m de alguma viagem feita por rodovia. Pedir 
também que observem e anotem, em vários momen-
tos durante a viagem, os valores da velocidade esca-
lar instantânea indicados no velocímetro e depois os 
comparem com o valor da velocidade escalar média. 
Solicitar ainda a conversão, em m/s, da velocidade 
média determinada.
Se possível, leve os alunos a uma quadra de es-
portes para que cronometrem corridas de 100 m rasos 
(por exemplo) e calculem velocidades escalares mé-
dias, em m/s, e as convertam em km/h.
Com relação aos sinais, positivo e negativo, da 
velocidade escalar – que os alunos não usam no dia-
a-dia –, é recomendável informá-los que o uso des-
ses sinais será fundamental no equacionamento dos 
movimentos estudados nos tópicos seguintes, já que 
indicam os sentidos em que os corpos se movem.
Outro conceito fundamental a ser apresentado é o 
da aceleração escalar, cuja defi nição decorre da va-
riação da velocidade escalar em determinado intervalo 
de tempo. A expressão que defi ne a aceleração escalar 
instantânea também foi deslocada para o Apêndice.
As “arrancadas” e as freadas de automóveis, trens e 
animais auxiliam a apresentação desse novo conceito.
É valioso que o aluno já perceba com muita cla-
reza a diferença entre aceleração escalar constante e 
velocidade escalar constante. Os exercícios 54 e 55 
têm a fi nalidade de auxiliar essa distinção. 
A teoria referente a este Tópico é fi nalizada com a 
apresentação dos conceitos de movimentos acelerado, 
retardado e uniforme.
Julgamos interessante comentar com os alunos 
que o fato de o condutor de um veículo em movimen-
to estar pisando no pedal do seu acelerador (“estar 
acelerando”, na linguagem comum) não garante que 
o movimento do veículo seja acelerado: pode ser uni-
forme ou até mesmo retardado, principalmente em 
aclives acentuados.
Fato semelhante pode ocorrer quando o condutor 
pisa no pedal do freio: o movimento do veículo não se 
torna necessariamente retardado, podendo ser uniforme 
ou até acelerado, em trechos de declives acentuados. 
Observe uma outra colocação que também podeser feita já neste primeiro Tópico: a velocidade esca-
lar de um corpo pode ser nula em um determinado 
instante e sua aceleração escalar, diferente de zero. 
É o caso, por exemplo, de uma pedra lançada verti-
calmente para cima. No ponto mais alto atingido por 
ela, sua velocidade escalar é nula, mas sua aceleração 
escalar não é nula, porque a velocidade escalar está 
permanentemente variando com o tempo, durante a 
subida e a descida.
• O que não pode faltar
 1. Referencial 
 2. Instante e intervalo de tempo
 3. Movimento e repouso
 Exercícios
 4. Trajetória
 5. Espaço
 6. Variação de espaço e distância percorrida 
 7. Função horária do espaço
 8. Velocidade escalar média
 9. Velocidade escalar instantânea 
 Exercícios
10. Aceleração escalar média e instantânea 
11. Movimento acelerado, movimento retardado e 
movimento uniforme
Exercícios
• Algo mais
Outra sugestão experimental é a determinação do 
período – duração de cada vaivém – de um pêndulo 
(um prumo, por exemplo).
O professor e alguns alunos cronometram o tem-
po ∆t correspondente a várias (n) oscilações e deter-
minam o período dividindo por n o valor medido de 
∆t. Ao fazer isso, deve-se questionar o porquê de se 
cronometrar o tempo de várias oscilações, em vez de 
apenas uma: minimizar o erro experimental cometido 
no início e no fi nal da medição de ∆t.
Pode-se propor uma pesquisa sobre o funciona-
mento e as aplicações do GPS. Como esse sistema 
possibilita a determinação das coordenadas geográfi -
cas de um lugar? Como isso era feito antes do surgi-
mento desse sistema?
12 TÓPICOS DE FÍSICA 1
Os alunos fi carão intrigados e, provavelmente, 
estarrecidos se já ouvirem falar em alguns assuntos 
abordados no Tópico 2 de Física Moderna (volu-
me 3), como o fato de o tempo de duração de uma 
aula e o comprimento de uma ponte, por exemplo, 
dependerem do referencial (Teoria da Relatividade 
Restrita).
A leitura “Método do carbono 14 para a determi-
nação de idades (Datação)” deve despertar a curiosi-
dade dos alunos.
Se possível, fale da ciclóide (ver boxe no item 4). 
No Tópico 5 da Parte II deste volume será apresentada 
uma interessante propriedade dessa curva.
• Subsídios ao Descubra mais
1. Em quanto é estimada a idade da Terra?
 Estima-se que a Terra tenha entre 4,5 e 4,6 bilhões 
de anos.
2. Em quanto é estimada a idade do Universo?
 Calcula-se que o Universo tenha entre 13 e 15 bi-
lhões de anos.
3. Como podem ser efetuados esses cálculos?
• A idade da Terra pode ser determinada por data-
ção radioativa semelhante à que vimos na leitura 
“Método do carbono 14 para a determinação de 
idades (Datação),” que é subsídio para o entendi-
mento deste texto. 
Uma porção de matéria que um dia se solidifi cou, 
tornando-se uma rocha, e que possui traços de um de-
terminado elemento radioativo de meia-vida conheci-
da permite estimar a idade do nosso planeta.
Até hoje, as rochas mais antigas da Terra foram 
encontradas na Groenlândia, com cerca de 3,8 bilhões 
de anos. Entretanto, nosso planeta deve ser mais ve-
lho que essas rochas porque ele se solidifi cou (parcial-
mente) antes da formação das rochas.
As rochas lunares mais antigas têm cerca de 4,5 
bilhões de anos.
Datações feitas em meteoritos revelam que eles 
têm de 4,5 a 4,6 bilhões de anos e acredita-se que foi 
nessa época que se formou não só a Terra, mas o sis-
tema solar.
Veja a seguir um cálculo pouco preciso, porém 
simples, que dá uma idéia de como é possível deter-
minar a idade da Terra por datação radioativa.
Na Terra atual, as abundâncias dos isótopos 
de urânio, U-238 e U-235, são respectivamente 
iguais a 99,3% e 0,7%. Sabe-se que a meia-vida do 
U-238 é igual a 6,52 · 109 anos e que a do U-235 é de 
1,02 · 109 anos.
Supondo que essas abundâncias eram iguais quan-
do a Terra se formou (50% de cada), temos, para o 
U-235:
n
n0
 = 
0,7%
50%
ln n
n0
 = – 
0,693 t
meia-vida ⇒ ln 
0,7
50
 = – 
0,693 t
1,02 · 109 ⇒
⇒ – 4,27 = – 
0,693 t
1,02 · 109
t � 6 · 109 anos � 6 bilhões de anos
Essa é uma estimativa da idade da Terra. 
O resultado obtido não difere exageradamente 
de outros determinados com maior nível de sofi s-
ticação.
• Seja t = 0 o instante em que teria ocorrido o big-
bang – a exploração primodial – e dado origem ao 
Universo.
 Seja t o instante atual.
Se, em relação ao local dessa grande explosão, a 
velocidade v de um corpo que “nasceu” dela foi cons-
tante durante todo o tempo t, ele percorreu uma dis-
tância d dada por: 
d = v t (I)
Pela Lei de Hubble – que será apresentada no Tó-
pico 1 de Física Moderna, no volume 3:
v = H d (II)
em que H é uma constante denominada constante de 
Hubble.
Substituindo (I) em (II), temos:
v = H v t
Então:
t = 1
H
Sabendo que H é aproximadamente igual a 
2,3 · 10–18 s–1, determinamos t:
t � 1
2,3 · 10–18
 s ⇒ t � 4,4 · 1017 s
Como 1 ano � 3,2 · 107 s: t � 
4,4 · 1017
3,2 · 107
 anos
t � 14 bilhões de anos
Essa é uma estimativa da idade do Universo.
O valor estimado mais atual dessa idade é 
13,7 � 0,2 bilhões de anos.
13Manual do professor
∆tAC = 
d
v1
 ∆tCD = 
d
v2
 ∆tDB = 
d
v3
De A a B, temos:
∆sAB = 3d
∆tAB = 
d
v1
 + d
v2
 + d
v3
 = 
d (v1 v2 + v1 v3 + v2 v3)
v1 v2 v3
vmAB
 = 
∆sAB
∆tAB
 = 3 d
d (v1 v2 + v1 v3 + v2 v3)
v1 v2 v3
vmAB
 = 
3 v1 v2 v3
(v1 v2 + v1 v3 + v2 v3) 
67 
400 m 1 100 m
1 500 m
144 km/h = 40m/sA B
90 km/h = 25 m/s
Para não ser multado: vm � 25 m/s
vm = 
∆s
∆t
 ⇒ 1 500
∆t
 � 25 ⇒ ∆t � 60 s
Gastando 10 s em um percurso de 400 m, restam 1 100 m para serem 
percorridos em 50 s ou mais.
vmmáx = 
∆s
∆t
 ⇒ 1 100 m
50 s
 = 22 m/s = 79,2 km/h
vm � 79,2 km/h
68 
a) Vamos calcular, inicialmente, o número n de pessoas por metro 
de fi la:
n = 
200 pessoas
100 metros
 ⇒ n = 2 
pessoas
metro
Sendo ∆L o comprimento de fi la que adentra a agência do INPS, 
tem-se que:
v = ∆L
∆t
 ⇒ ∆L = v ∆t = 1 · 30
∆L = 30 m
O número N de pessoas correspondente a ∆L é dado por:
N = n ∆L ⇒ N = 2 · 30 ⇒ N = 60 pessoas
b) O comprimento ∆L’ da fi la que restou do lado de fora é dado pela 
diferença: 
∆L’ = 100 – ∆L ⇒ ∆L’ = 100 – 30
∆L’ = 70 m
69 
S
2
S
1
t (s)
t (s)
0 0,1 0,2 0,3
Passagem das
rodas dianteiras
Passagem das
rodas traseiras
• Resolução dos exercícios propostos
5 Quando adotamos uma origem de tempo (t0 = 0), atribuímos 
números positivos aos instantes posteriores e negativos aos anteriores. 
Assim, um instante pode ser dado por um número negativo. O interva-
lo de tempo (∆t = tfi nal – tinicial) não pode ser negativo, pois tfi nal nunca é 
menor que tinicial.
Ou seja, instante sim; intervalo, não.
41 O segmento AB cabe aproximadamente quatro vezes na rota 
desenhada.
Então: ∆s � 20 000 km e ∆t = 10 000 anos
vm = 
∆s
∆t
 � 20 000
10 000
 ⇒ vm � 2 km/ano
Alternativa d.
53 ∆s = 39 · 1,2 m = 39 · 120 cm
∆t = 13 · 60 s
vm = 
∆s
∆t
 = 39 · 120 cm
13 · 60 s
 = 3 · 2 cm/s ⇒ vm = 6 cm/s
63 Por ser uma grandeza dotada de sinal, a velocidade escalar 
pode ser decrescente e seu módulo, crescente. Do mesmo modo, 
ela pode ser crescente e seu módulo, decrescente.
Soma 10.
64
a) 
Temos:
∆sMN = v1 ∆t e ∆sNQ = v2 ∆t
Assim: ∆sMQ = (v1 + v2) ∆t e ∆tMQ = 2 ∆t
Então:
vmMQ
 = 
∆sMQ
∆tMQ
 = 
(v1 + v2) ∆t
2∆t
 ⇒ vmMQ
 = 
v1 + v2
2
b) Sendo 2T o tempo total de percurso, temos:
MN = v1 T (I)
vmMQ
 = MQ
2T
 = 
v1 + v2
2
 ⇒ T = MQ
v1 + v2
 (II)
Substituindo (II) em (I):
MN = 
v1
v1 + v2
 · MQ
65 Se o motorista deseja que a velocidade escalar média seja de 
80 km/h em um percurso de 20 km, deverá fazê-lo em um intervalo de 
tempo ∆t dado por:
vm = 
∆s
∆t
 ⇒ ∆t = ∆s
vm
 = 20
80
 ⇒ ∆t = 1
4
 h = 15 min
Se gastar esses 15 minutos a 40 km/h, percorrerá apenas 
10 km. Assim, terá de percorrer os outros 10 km sem gastar tempo al-
gum, o que é um absurdo, ou seja, a resposta é não.
66 A C D Bd
v
1
v
2
v
3
d d
M v1 
∆
t 
N Q v2 
∆
t 
14 TÓPICOS DE FÍSICA 1
a) Num intervalo de tempo ∆t= 0,1 s, as rodas dianteiras (ou traseiras) 
percorrem a distância d = 2 m:
vm = 
d
∆t
 = 2
0,1
 ⇒ vm = 20 m/s
vm = 72 km/h
b) O intervalo de tempo decorrido entre as passagens das rodas dian-
teiras e traseiras, por S1, por exemplo, é ∆t’ = 0,15 s. Então, a distância 
d’ entre os eixos é dada por:
d’ = vm ∆t’ = 20 · 0,15
d’ = 3 m
70 Não. Um vaso de seção transversal de área maior coletaria, pro-
porcionalmente, maior quantidade de água. Assim, o nível da água 
atingiria a mesma altura.
71 
3 990 km
5 h em Rio Branco 8 h em Fernando
de Noronha
3 990 km
8h em Rio Branco 11 h em Fernando
de Noronha
Decolagem de Fernando de Noronha
Chegada a Rio Branco
∆s = 3 990 km
∆t = 3 h
vm = 
∆s
∆t
 = 3 990
3
 ⇒ vm = 1 330 km/h
75 
a) No instante t : v = 5t2 + 4
 No instante t’: v’ = 5t’2 + 4
αm = 
v’ – v
t’ – t
 = 5t’
2 + 4 – 5t2 – 4
t’ – t
 = 5 (t’ + t) (t’ – t)
t’ – t
αm = 5 (t’ + t)
α = limt’ → t αm = 5 (t + t) ⇒ α = 10 t (SI)
 
b) Em t = 4 s, temos: α = 10 · 4
α = 40 m/s2
No início deste Tópico, é defi nido o movimento 
uniforme, apresentando situações em que o movimen-
to ocorre na prática. Também é apresentado o gráfi co 
da velocidade escalar em função do tempo. 
Após a demonstração formal da função horária do 
espaço, convém imaginar um veículo em movimento 
uniforme em uma rodovia, usando valores numéricos 
como nos dois exemplos a seguir:
1. • Ao passar pelo km 10, movendo-se no sentido 
dos espaços crescentes, com velocidade escalar 
v = 60 km/h, foi acionado um cronômetro: t0 = 0 
e s0 = 10 km.
 • Onde estará o veículo no instante t1 = 1 h?
 De t0 = 0 a t1 = 1 h, ele terá percorrido 60 km e, 
portanto, estará no km 70:
 s1 = 10 km + 60 km/h · 1 h ⇒ s1 = 70 km
 • Onde estará o veículo no instante t2 = 2 h?
 De t0 = 0 a t2 = 2 h, ele terá percorrido 120 km e 
estará no km 130:
 S2 = 10 km + 60 km/h · 2 h ⇒ s2 = 130 km
 • Fica, então, evidente que, em qualquer instante t: 
s = 10 + 60 t (s em km e t em h)
 O aluno precisa perceber que s0 = 10 km e 
v = 60 km/h são as constantes do movimento, 
que ele deverá reconhecer ao olhar para uma 
função horária.
 • Em que instante o veículo estará no km 250 
(s = 250 km)?
 De t0 = 0 até esse instante, ele terá percorrido 
240 km e, então, o cronômetro indicará 4 h:
 250 km = 10 km + 60 km/h · t ⇒ t = 4 h
2. • Ao passar pelo km 400, movendo-se no sentido 
dos espaços decrescentes, com velocidade esca-
lar v = –80 km/h, foi acionado um cronômetro: 
t0 = 0 e s0 = 400 km.
 • Onde estará o veículo no instante t1 = 1 h?
 De t0 = 0 a t1 = 1 h, ele terá percorrido 80 km e 
estará no km 320:
 s1 = 400 km + (–80 km/h) · 1 h ⇒ s1 = 320 km
 • Onde estará o veículo no instante t2 = 2 h?
 De t0 = 0 a t2 = 2 h, ele terá percorrido 160 km e 
estará no km 240:
 s2 = 400 km + (–80 km/h) · 2 h ⇒ s2 = 240 km
 • Em qualquer instante t:
 s = 400 – 80 t (s em km e t em h)
 • Em que instante o veículo estará na origem dos 
espaços, ou seja, no km 0 (s = 0)?
 De t0 = 0 até esse instante, ele terá percorrido 
400 km e, então, o cronômetro indicará 5 h:
 0 km = 400 km – 80 km/h · t ⇒ t = 5 h
Tópico 2
Movimento uniforme
• Objetivos do Tópico
O aluno deverá estar apto a reconhecer um movi-
mento uniforme, identifi car suas constantes (s0 e v) e 
saber descrevê-lo de diversas maneiras: por meio de 
tabelas, equações e gráfi cos.
15Manual do professor
Esses mesmos dois exemplos, ou outros, poderão 
ser usados para organizar tabelas s � t e construir os 
gráfi cos s � t correspondentes.
Seria ideal que o aluno soubesse relacionar a fun-
ção horária do espaço em um MU com a função de 
primeiro grau que ele estuda em Matemática e aplicar 
aqui o que aprendeu lá.
Freqüentemente, os alunos cometem erros ao 
estudar um movimento por usarem equações e 
propriedades que não valem para ele. Por isso, é 
fundamental que eles saibam reconhecer o tipo do 
movimento em questão, quando as posições são 
representadas em função do tempo em uma tabela 
ou na trajetória, quando é dada uma função horária 
ou quando é dada a representação gráfi ca de uma 
grandeza em função do tempo. Os exercícios 1, 2, 
3, 31 e 35, por exemplo, ajudam a desenvolver nos 
alunos a capacidade de reconhecer um movimento 
uniforme.
Além disso, o aluno deve tornar-se capaz de pas-
sar informações de um movimento, dadas na trajetó-
ria, para o gráfi co s � t e vice-versa, passar da função 
horária do espaço para o gráfi co s � t e vice-versa, do 
gráfi co s � t para o gráfi co v � t e vice-versa etc. Têm 
essa fi nalidade, por exemplo, os exercícios 30, 34, 36, 
37, 38 e 39.
Para os problemas de encontro de móveis, apre-
sentamos uma solução alternativa, que consiste em 
adotar um referencial em um deles.
Na resolução do exercício 45 deste Manual, há 
um argumento para os alunos que, no cálculo da 
velocidade escalar média, estranham o fato de tam-
bém ser levado em conta o tempo em que o cor-
po eventualmente permaneceu em repouso em um 
ponto do percuso.
Apresentamos o cálculo da variação de espaço no 
gráfi co da velocidade escalar em função do tempo por 
meio da “área”. Tomamos, porém, o cuidado de fazer 
o aluno observar que não se trata realmente de área, 
apesar da analogia de cálculo.
Finalizamos a teoria deste Tópico tratando da nuli-
dade da aceleração escalar em movimentos uniformes.
• O que não pode faltar
1. Defi nição
2. Representação gráfi ca da velocidade escalar ins-
tantânea em função do tempo
3. Função horária do espaço
Exercícios
4. Representação gráfi ca do espaço em função do 
tempo 
5. Propriedade do gráfi co da velocidade escalar em 
função do tempo 
6. Aceleração escalar 
Exercícios
• Resolução dos exercícios propostos
24 ∆s2A + ∆s
2
B = 40
2
(6t)2 + (8t)2 = 402 ⇒ 100t2 = 1 600 ⇒ t = 4 s
25 Em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos da bola (d) 
são iguais e os da sombra (d’), também. Entretanto, d’ é maior que d:
Sombra
d d
d‘
d‘
Portanto, o movimento da sombra é retilíneo e uniforme, porém mais 
rápido que o da bola.
Alternativa c.
26 Num mesmo intervalo de tempo ∆t, o carro percorre ∆sc = 5,0 km
com velocidade vc = 100 km/h e o ponto na tela do radar percorre 
∆sp = 36 cm com velocidade vp.
v = ∆s
∆t
 ⇒ ∆t = ∆s
v
 ⇒ 
∆sc
vc
 = 
∆sp
vp
5,0 km
100 km/h
 = 36 · 10
–5 km
vp
vp = 7,2 · 10
–3 km/h = 2,0 · 10–3 m/s
vp = 2,0 mm/s
27 
Iser Bem
Iser Bem
Tergat
Chegada
Tergat
25 m
75 m
x
Enquanto Tergat percorreu x, Iser Bem percorreu x + 100:
v = ∆s
∆t
 
Para Tergat:
5,2 = x
∆t
Para Iser Bem:
7,7 = x + 100
∆t
 
 ⇒ ∆t = 40 s
45 ∆s = “área”
 ∆s = 2 · 60 + 3 · 120 ⇒ ∆s = 480 km
 ∆t = 6h
vm = 
∆s
∆t
 = 
480
6
 ⇒ vm = 80 km/h
16 TÓPICOS DE FÍSICA 1
Nota:
• Freqüentemente encontramos alunos que acham estranho levar em 
conta o tempo em que o automóvel fi cou parado. É preciso entender 
que o fato de o veículo ter fi cado parado faz com que diminua o número 
de quilômetros percorridos em média, em cada hora. Isso é análogo ao 
cálculo da média anual em determinada disciplina: se o aluno fi cou com 
zero em certo bimestre, isso faz com que o número médio de pontos 
durante o ano fi que menor. Esse zero não é ignorado!
46
 18 km/h = 5 m/s 24 km/h � 6,7 m/s
t
0
 = 0 t = 13 s
5 m/s
–6,7 m/s
Viajante
1º
1
22º
5 m/s
–6,7 m/s
1º
1
22º
x
O
s = s0 + v t ⇒ 
s1 = 5t
s2 = x – 6,7t
Em t = 13 s, s1 = s2:
5 · 13 = x – 6,7 · 13 ⇒ x = 152 m
Nota:
• A resolução dessa questão é simplifi cada estudando-se o movimento 
relativo entre os dois trens. Isso equivale a admitir, por exemplo, um 
referencial no 1o trem. Com isso, a velocidade escalar do 2o trem é de 
11,7 m/s (5 m/s + 6,7 m/s), em módulo:
v = ∆s
∆t
 ⇒ 11,7 = 
x
13
 ⇒
x = 152 m
47 
t
0
 = 0 t = t
e 
40 m/s 
300 m 
300 m 
A 
20 m/s 
B 
2 
40 m/s 
A 
20 m/s 
B 
2 
1 1 
O 
 s = s0 + v t ⇒ 
s1 = 40 t
s2 = 600 + 20 t
40te = 600 + 20 te ⇒ te = 30 s
s1 = 40 te = 40 · 30 ⇒ s1 = 1 200 m
t
0
 = 0 t = t
e 
+40 m/s 
300 m 
300 m 
A 
–20 m/s 
B 
2 
+40m/s
A 
–20 m/s 
B 
2 
1 1 
O 
 s = s0 + v t ⇒ 
s1 = 40 t
s2 = 600 – 20 t
40 te = 600 – 20 te ⇒ te = 10 s
s1 = 40 te = 40 · 10 ⇒ s1 = 400 m
É interessante e prático resolver essa questão estudando o movimento 
relativo entre os trens.
48 
t
0
 = 0
t = t
e
A
T v
T v
2v
100 m
A 2v
O
 s = s0 + v t ⇒ 
sA = 2v t
sT = 100 + v t
2v te = 100 + v te ⇒ te = 
100
v
sA = 2v te = 2v 
100
v
 ⇒ sA = 200 m
49 Calculamos, inicialmente, o número n de quadros projetados 
durante 1,0 minuto (60 s):
24 quadros 1,0 s
 n 60 s
 ⇒ n = 1 440 quadros
Determinamos, agora, a duração real ∆t da cena fi lmada:
 40 quadros 1,0 s
1 440 quadros ∆t 
 ⇒ ∆t = 36 segundos
50
a) 90 km/h = 25 m/s
Enquanto o caminhão percorre ∆sc = 0,20 m com velocidade 
vc = 25 m/s, a bala percorre ∆sb = 2,00 m com velocidade vb.
∆t = ∆s
v
 ⇒ 
∆sc
vc
 = 
∆sb
vb
 ⇒ 
0,20
25
 = 
2,00
vb
vb = 250 m/s
b) A.
51
a) Do emissor até A, temos:
 ∆sosso = vosso tosso ⇒ 1,0 · 10
–2 = 10
3
 · 103 tosso ⇒
 ⇒ tosso = 3,0 · 10
–6 s 
 ∆stec. enc. = vtec. enc ttec. enc ⇒ 10,0 · 10
–2 = 1,6 · 103 ttec. enc. ⇒
 ⇒ ttec. enc. = 6,25 ·10
–5 s
 Sendo T o tempo pedido:
T = 2 tosso + 2 ttec. enc ⇒ T = 1,3 · 10
–4 s
b) T’ = 5,0 · 10–5 s
 T’ = 2 tosso + 2 t’tec. enc.
 5,0 · 10–5 = 6,0 · 10–6 + 2 t’tec. enc. ⇒ t’tec. enc. = 2,2 · 10
–5 s
11,7 m/s
x
Viajante (”parado”)
1º
2º
a) 
b) 
17Manual do professor
 t’tec. enc. = 
∆stec. enc.
vtec. enc.
 ⇒ ∆stec. enc. = 2,2 ·10
–5 · 1,6 · 103
 ∆stec. enc. = 3,5 cm
 Sendo d a distância pedida:
d = 10,0 cm – 3,5 cm ⇒ d = 6,5 cm
52 O trem chega ao cruzamento em 10 s e termina a passagem por 
esse ponto em 16 s. Para não haver acidente, o automóvel deve chegar 
ao cruzamento em ∆t � 10 s ou em ∆t � 16 s.
Para o automóvel: ∆t = ∆s
v
 ⇒ ∆t = 160
v
∆t � 10 s ⇒ 160
v
 � 10 ⇒ v � 16 m/s
ou ∆t � 16 s ⇒ 160
v
 � 16 ⇒ v � 10 m/s
53 
A B
O (Observador)
v
a
v
s
v
s
v
s 
= 320 m/s
v
a
3 000 m
4 000 m
5 000 m
∆taviãoAB
 + ∆tsomBO
 = ∆tsomAO
 + 4
∆t = ∆s
v
 : 3 000
va
 + 4 000
320
 = 5 000
320
 + 4
va = 421 m/s
54 
X
∆s
A
∆s
B
D
A B
O
D
R
∆tA = 68,5 · 10
–3 s ∆tB = 64,8 · 10
–3 s
c = 300 000 km/s
a) ∆sA = c ∆tA = 300 000 km/s · 68,5 · 10
–3 s
 ∆sA = 20 550 km
 ∆sB = c ∆tB = 300 000 km/s · 64,8 · 10
–3 s
 ∆sB = 19 440 km
 ∆sA + ∆sB = 2 D ⇒ 39 990 = 2 D
D = 19 995 km
b) x = ∆sA – D = 20 550 –19 995
x = 555 km
c) 
A
O
550 km
B
em direção a em direção a 
0 500 km
Escala
R
55
a) Observando que o tempo t que comparece na função horária é o 
tempo durante o qual a partícula se moveu, temos:
s = s0 + v t ⇒
 
sB = 50 + 20 t (SI)
sA = 10 + 40 (t – 3)
sA = –110 + 40 t (SI)
b) 50 + 20 te = –110 + 40 te ⇒ te = 8 s
56 Vamos considerar um tubo cilíndrico, cuja seção transversal 
tem área S. Esse tubo está cheio de água, que escoa através dele com 
velocidade escalar constante v. A vazão volumétrica (Z) do tubo é o 
volume (V) de água que atravessa uma seção transversal por unidade 
de tempo:
No instante t: S
v
S
v
∆sNo instante t + ∆t:
Z = V
∆t
 = S ∆s
∆t
 ⇒ Z = S v
a) Para SA = 200 m
2 e vA = 1,0 m/s, temos:
Z = SA vA = 200 · 1,0 ⇒ Z = 200 m
3/s
b) A vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção do rio:
 SA vA = SB vB
200 · 1,0 = 40 vB ⇒ vB = 5,0 m/s
57
a) A velocidade escalar jamais poderia ser igual à tangente trigono-
métrica de α, pois a velocidade tem uma unidade física de medida 
(m/s, no caso), enquanto a tangente é um número puro, ou seja, 
adimensional.
b) Também não. Observe que:
v = ∆s
∆t
 = 15 m
3 s
 ⇒ v = 5 m/s
A tangente de α, no entanto, é o quociente do comprimento do cateto 
oposto a α pelo comprimento do cateto adjacente a α:
tg α = 
3 unidades de comprimento
6 unidades de comprimento = 
1
2
A coincidência numérica só aconteceria se os segmentos representativos 
das unidades de s e de t tivessem a mesma medida.
58 Como o espaço e é função do primeiro grau em t, o movimen-
to é uniforme. Assim, a velocidade escalar do móvel é constante e 
diferente de zero. Entretanto, não é correto afi rmar que essa veloci-
dade é numericamente igual à tangente de 45° (1), como esclarece o 
exercício 57.
Quanto à aceleração, escalar ou vetorial, podemos garantir que é nula, 
pois o movimento é uniforme e, além disso, o enunciado afi rma que 
ele é retilíneo. 
Assim, faltam dados para calcular a velocidade do móvel.
Alternativa d.
18 TÓPICOS DE FÍSICA 1
59
a) Como cada trem viaja a 45 km/h, concluímos, de imediato, que eles 
se aproximam 90 km em 1h.
 Portanto, o instante da colisão é t = 1 h.
b) Se a supermosca sempre esteve a 120 km/h, em 1 h ela percorreu 
uma distância igual a 120 km.
60 Temos que:
AB = 10A + B
BA = 10B + A
A0B = 100A + B
Então, como o movimento é uniforme:
A0B – BA = BA – AB 
(100A + B) – (10B + A) = (10B + A) – (10A + B)
99A – 9B = 9B – 9A
B = 6A
Para A = 1 : B = 6
Para A = 2 : B = 12 (não serve)
Portanto:
km AB = km 16
km BA = km 61
km A0B = km 106
Em cada hora, ∆s = 45 km. Então:
v = 45 km/h
61 
C
H
A B
H
2
A capacidade da região A é igual a 1
4
 da capacidade total do frasco. 
Assim, sendo T o instante em que o frasco fi ca completamente cheio, 
a região A estará cheia no instante T
4
. Como as capacidades das re-
giões A e B são iguais, a região B estará cheia no instante 2T
4
, ou seja, 
no instante T
2
. Note que o nível da água permanece constante em 
y = H
2
, enquanto B é enchida. A capacidade da região C é o dobro das 
de A e B.
Então, essa região estará cheia no instante 4 T
4
, ou seja, no instante T.
T
4
T
2
H
2
H
T0
y
t
62 
d2 = x2 + y2
d2 = (5 + 8t)2 + (–3 + 2t)2
d2 = {68 t
2
 a
 + 68 t
b
{ + 34
c
{ 
y
y
x
d
0 x
d2
ttvértice
tvértice = 
– b
2a
 = – 68
2 · 68
tvértice = – 0,5 s
Observe que, se d2 é mínimo, d também o é.
Movimento uniformemente variado
• Objetivos do Tópico
O aluno deverá estar apto a reconhecer um mo-
vimento uniformemente variado (MUV), identifi car 
suas constantes (s0, v0 e α) e descrevê-lo de diversas 
maneiras: por meio de tabelas, equações e gráfi cos.
No estudo desse movimento, seria ideal que o 
aluno usasse conhecimentos matemáticos e relacio-
nasse a função v � t com a função de primeiro grau e 
a função s � t com a função quadrática.
Ao defi nir o MUV, podem ser aproveitados os 
exemplos citados nos dois primeiros itens da teoria. 
Em seguida, representar grafi camente a aceleração 
escalar em função do tempo e mostrar a propriedade 
desse gráfi co.
Após demonstrar formalmente a função horária 
da velocidade escalar instantânea, é recomendável 
trabalhar com exemplos numéricos, de modo análogo 
ao proposto no Tópico anterior (MU).
A partir desses exemplos, podem ser organizadas 
tabelas v � t e traçados os gráfi cos v � t correspon-
dentes.
Convém generalizar para qualquer outro tipo de 
movimento a propriedade dos gráfi cos v � t que pos-
sibilita o cálculo de ∆s (e também de s, se s0 for co-
nhecido) por meio de “área”: um cálculo integral (ver 
sugestão em “Algo mais”). 
Nesses gráfi cos, o aluno deve perceber que, em 
iguais intervalos de tempo, o deslocamento tem mó-
Tópico 3
19Manual do professor
dulo cada vez maior, em movimento acelerado, ou 
cada vez menor, em movimento retardado, ao contrá-
rio do que acontece no MU, em que os deslocamentos 
são iguais.
Utilizando a propriedade citada dos gráfi cos v � t, 
deduz-se a função horária do espaço (s � t) e a função 
horária do deslocamento escalar (∆s � t). 
Pode ser bastante esclarecedor estabelecer a se-
guinte relação entre a função ∆s = v0t + 
α
2 t
2 e o gráfi -
co v � t (em movimentos que ocorrem no sentido dos 
espaços crescentes, para facilitar a análise):
Os exercícios 43 e 45 poderão ser utilizados na 
apresentação do gráfi co s � t. A partir das funções s � t 
e v � t, obtém-se a Equação de Torricelli, que simplifi -
ca a solução de problemas em que a variável t não está 
envolvida.
Paradesenvolver a capacidade de reconhecer um 
MUV, podem ser aproveitados, dentre outros, os exer-
cícios 1, 2, 4, 7 a 9, 17, 31 a 33 e 47. 
Para inter-relacionar informações dadas na traje-
tória, em equações e em gráfi cos, podem ser utiliza-
dos, por exemplo, os exercícios 8 a 11, 22, 32, 33, 43, 
44, 48, 52 e 54.
Freqüentemente os alunos estranham a possibilida-
de de a velocidade escalar aumentar mesmo quando a 
aceleração escalar diminui. O exercício 21 trata disso.
Um equívoco muito comum é apontado no exer-
cício 34.
No Apêndice, é estudada a determinação da velo-
cidade escalar instantânea no gráfi co s � t. Proceden-
do da mesma maneira, pode-se determinar a acelera-
ção escalar instantânea no gráfi co v � t.
• O que não pode faltar
 2. Defi nição 
 3. Representação gráfi ca da aceleração escalar em 
função do tempo 
 5. Função horária da velocidade escalar instantânea
 6. Representação gráfi ca da velocidade escalar em 
função do tempo
 Exercícios
 7. Propriedade do gráfi co da velocidade escalar em 
função do tempo
 Exercícios
 8. Função horária do espaço
 Exercícios 
 9. Representação gráfi ca do espaço em função do 
tempo
 Exercícios
 10. Equação de Torricelli
Exercícios
• Algo mais
Pode-se reforçar a distinção entre MU e MUV, 
considerando um automóvel em movimento unifor-
memente variado e perguntando aos alunos o tipo 
(uniforme) de movimento dos pontos do ponteiro do 
velocímetro desse veículo.
A análise de fotografi as estroboscópicas de movi-
mentos – uma queda livre, por exemplo – também é 
uma ferramenta útil para o estudo do MUV.
Movimento acelerado
• A “área” do retângulo OACD é a parcela v0 · t (po-
sitiva), que corresponde ao deslocamento que o 
móvel realizaria se seu movimento fosse uniforme, 
com velocidade v0.
• A “área” do triângulo ABC é a parcela α2 t
2 (tam-
bém positiva), que corresponde ao deslocamento 
que o móvel realizou a mais por ter velocidade 
crescente.
Movimento retardado
• A “área” do retângulo OACB é a parcela v0 · t (po-
sitiva), que corresponde ao deslocamento que o 
móvel realizaria se seu movimento fosse uniforme, 
com a velocidade v0. 
• A “área” do triângulo ABC é a parcela α2 t
2 (ne-
gativa), que corresponde ao deslocamento que o 
móvel realizou a menos por ter velocidade de-
crescente.
v
tDO
Movimento acelerado
A
B
C
v
A
O
C
B t
Movimento retardado
20 TÓPICOS DE FÍSICA 1
Pode-se comentar que, ao estudar o Princípio 
Fundamental da Dinâmica, no Tópico 1 da Parte II, o 
aluno conhecerá a condição para um movimento ser 
uniformemente variado (acelerado ou retardado).
Generalização da propriedade: “área” = ∆s
Consideremos o gráfi co v � t a seguir, que mostra 
como variou a velocidade escalar de um móvel no in-
tervalo de tempo ∆t = T2 – T1:
Vamos imaginar o intervalo ∆t dividido em n in-
tervalos iguais a ∆t e supor que, em cada um deles, 
a velocidade escalar tenha sido constante, como no 
gráfi co abaixo:
A “área” total A dos retângulos destacados em 
azul é:
A = v1 ∆t + v2 ∆t + … + vn ∆t = ∑
n
i = l
 vi ∆t, que cor-
responde a um deslocamento escalar. Esse desloca-
mento não é o que aconteceu entre T1 e T2 no gráfi co 
original, pois este foi modifi cado quando assumimos 
velocidade escalar constante em cada ∆t.
Entretanto, fazendo n tender a infi nito (n → �), 
o que equivale a fazer ∆t tender a zero (∆t → 0), o 
somatório das “áreas” dos retângulos tende à “área” 
representada em azul na próxima fi gura, ou seja, a 
“área” A passa a ser o deslocamento real ∆s entre os 
instantes T1 e T2, que é a integral da função v (t) entre 
esses dois instantes:
• Resolução dos exercícios propostos
19
“Velocidade escalar constante que o corpo deveria ter para percorrer 
a mesma distância no mesmo intervalo de tempo” é outra maneira de 
conceituar a velocidade escalar média.
20
d
d
d
d
d
d
0 1
2 3
d
d
d
d
“Área” = ∆s ⇒ 3d = 1,5 m ⇒ d = 0,5 m
∆s = “área” = 7d = 7 · 0,5 m ⇒ ∆s = 3,5 m
27
Treino A: duração tA
De 0 a 4 s: ∆s1 = “área” = 
4 · 11
2
 ⇒ ∆s1 = 22 m
De 4 s a tA: ∆s2 = 100 m – 22 m = 78 m
∆s2 = “área” = (tA – 4) · 11 = 78 ⇒ tA = 11,1 s
Treino B: duração tB
De 0 a 3 s: ∆s1 = “área” = 
3 · 10
2
 ⇒ ∆s1 = 15 m
De 3 s a tB: ∆s2 = 100 m – 15 m = 85 m
∆s2 = “área” = (tB – 3) · 10 = 85 ⇒ tB = 11,5 s
Portanto, no treino A o atleta gastou 0,4 s a menos que no B.
Alternativa b.
34
a) ∆s = α
2
 t2 ⇒ 6 = α
2
 · 22
α = 3 m/s2
b) v = α t = 3 · 2
v = 6 m/s
v
tT
2
T
1
O
v 
t 
T
2 
T
1 
O ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t 
v
1 
v
2 
v
3 
v
n 
v
tT
2
T
1
O
A = ∆s
21Manual do professor
Notas:
Freqüentemente os alunos cometem o seguinte erro:
• Fazem: v = ∆s
∆t
 = 6 m
2 s
 ⇒ v = 3 m/s
• Depois, fazem: α = ∆v
∆t
 = 3 – 0
2
 ⇒ α = 1,5 m/s2 (errado)
 É preciso alertá-los de que ∆v é igual a (vfi nal – vinicial) e que aquela ve-
locidade calculada no início não é a velocidade fi nal, mas a velocidade 
média no intervalo de 2 s.
67 Não havendo escorregamento do pneu, as marcas deixadas no 
chão sempre estarão igualmente espaçadas, independentemente do 
tipo de movimento desse carro. Assim, não se pode concluir nada.
Alternativa e.
68 
30
10 s 10 s tx
0
15
0 
m
15
0 
m
900 m
v (m/s)
α = ∆v
∆t
 ⇒ 3 = 30
∆t
∆t = 10 s
“área” = ∆s = 1 200 m
30 x = 900 ⇒ x = 30 s
∆tmín = 10 s + 30 s + 10 s ⇒ ∆tmín = 50 s
69 v (m/s)
v = 3y
0 y y
t
3 = ∆v
∆t
 ⇒ 3 = v
y
v = 3y
(2y) · (3y)
2
 = 1 200 ⇒ 3y2 = 1 200
y = 20 s
∆tmín = y + y ⇒ ∆tmín = 40 s
70 Façamos uma aproximação utilizando dois segmentos de reta, 
de modo que se mantenha quase a mesma “área” do gráfi co original:
v (m/s)
t (s)
V
0 2,0 5,0 10,0
∆s = “área” ⇒ 100 = 
(10,0 + 8,0)
2
 · V
V � 11 m/s
71
a) Nos primeiros 20 s, temos:
 v0 = 0, α = 1,0 m/s
2 e t = 20 s
Então: ∆s = α
2
 t2 = 1,0
2
 · 202 ⇒ ∆s = 200 m
b) Velocidade adquirida em 20 s:
 v = α t = 1,0 · 20 ⇒ v = 20 m/s = 72 km/h
 Lembrando que o comprimento de uma circunferência de raio r é 
igual a 2 π r, temos:
r = 23 km 
Ponto de 
partida 
Extremo 
oposto 
∆s = 200 m = 0,20 km
∆t = 20 s (MUV)
∆s’ = π r – ∆s 
v = 72 km/h 
∆t’ = ? (MU) 
v = ∆s’
∆t’
 = π r – ∆s
∆t’
 ⇒ 72 = 
3,14 · 23 – 0,20
∆t’
∆t’ = 1,0 h
∆ttotal = ∆t + ∆t’ = 20 s + 1,0 h
∆ttotal � 1,0 h
72
Vértice do arco de parábola no eixo s ⇒ v0 = 0.
Usando s = s0 + v0 t + 
α
2
 t2, temos:
Para t = 1 s, s = 48 m: 48 = s0 + 
α
2
 · 12
2s0 + α = 96 (I)
Para t = 2 s, s = 57 m: 57 = s0 + 
α
2
 · 22
s0 + 2 α = 57 (II)
De (I) e (II), obtemos:
s0 = 45 m e α = 6 m/s
2
Como v = v0 + α t:
v3 = 0 + 6 · 3 ⇒ v3 = 18 m/s
73
a) ∆s = “área” = 50 · 30
2
 ⇒ ∆s = 750 m
b) De 0 a 30 s:
 MUV com:
 α � 0 ⇒ arco de parábola com concavidade para cima.
 v0 = 0 ⇒ arco de parábola com vértice no eixo s.
 s30 = “área” = 
30 · 30
2
 ⇒ s30 = 450 m
22 TÓPICOS DE FÍSICA 1
 De 30 s a 50 s:
 MUV com:
 α � 0 ⇒ arco de parábola com concavidade para baixo.
 v50 = 0 ⇒ vértice do arco de parábola em t = 50 s.
750
450
0 30 50 t (s)
s (m)
74
a) De B a C o movimento é uniforme:
 v = ∆s
∆t
 = 16 –10
7 –5
 ⇒ v = vB = vC = 3 m/s
• vB = vA + α t ⇒ 3 = 0 + α · 5 ⇒ α = 0,6 m/s
2
• vB
2 = vA
2 + 2α ∆s ⇒ 32 = 02 + 2 · 0,6 (10 – s0)
s0 = 2,5 m
b) vD = vC + α’ t
0 = 3 + α’ · 3 ⇒ α’ = –1 m/s2
c) vD
2 = vC
2 + 2α’ ∆s
02 = 32 + 2 · (–1) · (s10 – 16) ⇒ s10 = 20,5 m
75
a) vA = 30 m/s e vB = 20 m/s
A
0 10 s (m)
B
sA = 30 t – 
5 t2
2
sB = 10 + 20 t
 ⇒ 30 te – 
5 te
2
2
 = 10 + 20 te ⇒ te = 2 s
sA = 30 · 2 – 
5 · 22
2
 ⇒ sA = 50 m
b) vA = 25 m/s
sA = 25 t – 
5 t2
2
sB = 10 + 20 t
 ⇒ 25 te – 
5 te
2
2
 = 10 + 20 te ⇒ 5 te
2 – 10 te + 20 = 0
∆ � 0 ⇒ Não haverá colisão.
76
a) 90 km/h = 25 m/s
distância = v t = 25 · 2 ⇒ distância = 50 m
b) • No instante t = 0, B começa a frear.
• Em t = 0,50 s, após percorrer 12,5 m (∆s = v0 t = 25 m/s · 0,5 s = 
= 12,5 m), A passa a frear seu veículo.
• Algum tempo depois, B pára.No caso crítico, para não haver colisão, A deve parar “colado” em B:
50 m
12,5 m 37,5 m
A B
A B
s
A B
∆s
B
∆s
A
v = 0v = 0
v < 25 m/sv
0
 = 25 m/s
v
0
 = 25 m/sv
0
 = 25 m/s
t = 0,5 s
t = 0
 Cálculo de ∆sB: v
2 = v0
2 + 2 αB ∆sB
 02 = 252 + 2 · (–5) · ∆sB
 ∆sB = 62,5 m
 Cálculo de |αA| mínimo:
 Para parar, A não precisa frear tanto quanto B, já que A dispõe de 
uma distância maior para fazer isso. De fato, de t = 0,50 s até parar:
 ∆sA = 37,5 m + ∆sB = 37,5 m + 62,5 m
 ∆sA = 100 m
 v2 = v0
2 + 2 αA ∆sA
 02 = 252 + 2 αA 100 ⇒ αA = – 3,125 m/s
2
|αA|mín = 3,125 m/s
2
Nota:
• A e B não param no mesmo instante. 
 Vamos determinar, em relação à origem de tempo (t = 0) usada na reso-
lução, os instantes em que A e B param.
 B: v = v0 + αB t
0 = 25 – 5 tPB
 ⇒ tPB
 = 5,0 s
 A: v = v0 + αA t’
0 = 25 – 3,125 t’PA
 ⇒ t’PA
 = 8,0 s
 Como A começou a frear em t = 0,50 s:
tPA
 = 8,5 s
25
0 0,5 5
A
B
8,5 t (s)
v (m/s)
23Manual do professor
10
α
αt
α n
∆s ∆s’
α (t + 1)
α (t + 2)
α (n – 1)
t t + 1 t + 2 n –1 n t
v
v = α t
 Calculando as “áreas” nesses gráfi cos, podemos conferir os deslocamen-
tos de A e B desde t = 0 até o instante em que param:
 ∆sBtotal = 
5 · 25
2
 ⇒ ∆sBtotal = 62,5 m
 ∆sAtotal = 
(8,5 + 0,5) · 25
2 ⇒ ∆sAtotal = 112,5 m
77
v = 0 em s = 0
v2 = v0
2 + 2 α ∆s ⇒ 100 = 2 · α · 10 ⇒ α = 5 m/s2
78
S = 4 t2 .......... MUV S’ = v (t –1) .......... MU
No encontro: S = S’
4 te
2 = v (te –1) ⇒ 4 te
2 – v te + v = 0
te = 
v ± v2 – 16 v
8
Para te existir, devemos impor:
v2 – 16 v � 0 ⇒ v � 16 m/s ⇒ vmín = 16 m/s
79
0
v (m/s)
V
t (s)3 4
(1)
(2)
s01
 = s02
 = 0
v01
 = v02
 = 0
α = ∆v
∆t
 
α1 = 
V – 0
4 – 0
 = V
4
α2 = 
V – 0
4 – 3 = V
s = s0 + v0t + 
αt2
2
 
s1 = 
V t2
4 · 2
s2 = 
V (t – 3)2
2
s2 = s1: 
V (t – 3)2
2
 = V t
2
8
 ⇒ t = 6 s
A raiz t = 2 s não serve porque nesse instante o móvel 2 ainda não tinha 
partido.
80
0
v (m/s)
t (s)a = 2
b = 48
∆s
∆s = a b
n + 1
 = 2 · 48
4 + 1
 = 96
5
 ⇒ ∆s = 19,2 m
81
a) Como x é constante e igual a 4 m e y varia entre 3 m e 7 m, a traje-
tória descrita no plano Oxy é o segmento de reta traçado na fi gura: 
y (m)
x (m)
7
3
0 4
84
a) Seja t um instante qualquer.
 A diferença entre ∆s’ e ∆s é igual à “área” do retângulo destacado 
em cinza mais escuro:
 ∆s’ – ∆s = [(t + 2) – (t + 1)]
base
 · [α (t + 1) – α t]
altura
∆s’ – ∆s = α
b) Na n-ésima unidade de tempo:
 ∆sn = 
α (n –1) + α n
2
 · 1 ⇒ ∆sn = α n – 
α
2
∆sn = (2n – 1) 
α
2
 Na primeira unidade de tempo:
 ∆s1 = 
1 · α
2
 = α
2
 Como 2n é par, temos que (2n – 1) é ímpar:
Portanto: ∆sn é um múltiplo ímpar de ∆s1.
85
a) s = t2 – 2t ⇒ v = – 2 + 2t
Em t = 2 s: v = –2 + 2 · 2 ⇒ v = 2 m/s
b) Usando o triângulo retângulo destacado na fi gura, temos, em t = 2 s:
v = ∆s
∆t
 = 3 – 0
3,5 – 2
 ⇒ v = 2 m/s
86 O “coefi ciente angular” da reta tangente à curva em cada instan-
te fornece a velocidade escalar nesse instante. Portanto:
• vR � 0, vP � 0, vQ = 0 e vR � vP
• vQ � vR � vP
Alternativa c.
Tempo de
movimento
do móvel 2
Tempo de
movimento
do móvel 1
Portanto, o comprimento da trajetória é 
4 m.
b) Nula.
c) Duas vezes: em t = 2,5 s e em t = 7,5 s
24 TÓPICOS DE FÍSICA 1
R 
2 
R 
2 
1 rad 
R 
� = R 
� = R 
� = R 
� = R 
� = R 
� = R 
1 rad � 57°
87 O móvel B tem velocidade escalar igual à de A 
no instante em que a reta tangente ao gráfi co de B 
for paralela ao gráfi co de A. Isso ocorre duas vezes.
Alternativa e.
88 Comparando as “áreas” de 0 a 2 s, concluímos que:
x1 � x2
Em t = 2 s, o “coefi ciente angular” da reta tangente ao gráfi co de B é 
maior que em A.
Então: a2 � a1
89 Como a unidade de tempo e a de espaço foram representa-
das por segmentos de mesmo comprimento, o instante em que v é 
igual a 1 m/s é aquele em 
que a reta tangente à cur-
va forma 45º com o eixo t:
que implica a sucessão dos dias e das noites, a rotação 
das rodas, volantes, polias e engrenagens de automó-
veis e outros veículos.
O aluno vai precisar da unidade de medida de ân-
gulo plano denominada radiano, que, muito comu-
mente, ele ainda não viu em Matemática.
Para amenizar esse problema, seria muito provei-
toso usar uma roda de papelão, madeira ou isopor, 
traçar nela um raio (R) e, usando uma régua fl exível, 
marcar arcos de comprimentos � iguais ao do raio, ao 
longo de toda a circunferência externa da roda, tra-
çando também outros raios, como sugere a fi gura:
45° 10a
a0
10
s (m)
t (s)
Reta tangente
T 10
45°45°
No triângulo retângulo destacado, temos:
102 = a2 + a2 ⇒ a = 5 2 s
Então: T = 10 – a = 10 – 5 2 ⇒ T � 3 s
Assim, o aluno vê o que é um radiano a partir das 
medições dos comprimentos do raio e do arco feitas 
diante dele. Além disso, constata que o ângulo de uma 
volta contém seis radianos e mais um pouco (360° = 
= 2π rad � 6,28 rad).
Destaca-se ainda que, como não poderia ser dife-
rente, essa unidade não depende do comprimento do 
raio da roda usada. Se o raio fosse reduzido à metade, 
por exemplo, o mesmo aconteceria com o comprimen-
to do arco (ver destaque em verde na fi gura anterior).
O aluno deve perceber que a posição de uma partí-
cula em uma circunferência pode continuar sendo dada 
pelo espaço s – agora denominado espaço linear –, 
mas também pode ser dada pela medida de um ângulo 
– o espaço angular ϕ, determinado, na unidade ra-
diano, pelo quociente de s por R. 
Em seguida, defi ne-se a velocidade escalar angu-
lar, uma outra maneira de se medir a rapidez de uma 
partícula em movimento circular, e deduz-se uma rela-
ção entre ela e a outra velocidade escalar já conhecida, 
que agora recebe o nome de velocidade escalar linear.
É fundamental destacar que a relação v = ω R 
só é válida quando ω está na unidade radiano por 
unidade de tempo, já que foi deduzida a partir da 
unidade radiano.
O exercício 5 mostra uma situação em que v é 
constante, mas ω não é. Já o exercício 8 trata de um 
caso em que duas partículas têm velocidades angula-
res iguais, mas velocidades lineares diferentes.
Tópico 4
Movimentos circulares
• Objetivos do Tópico
O aluno deverá estar apto a descrever movimen-
tos circulares e de rotação, especialmente os uni-
formes, por meio de grandezas escalares lineares e 
angulares, além de relacionar valores de raios com 
freqüências de rotação em sistemas de engrenagens 
– como os que existem nas caixas de câmbio e nos 
diferenciais dos automóveis e nos mecanismos de 
relógios, por exemplo –, em acoplamentos de polias 
por meio de correias e em acoplamentos de coroas por 
meio de correntes, como acontece nas bicicletas.
Inicia-se o Tópico com alguns exemplos de movi-
mentos circulares e de movimentos de rotação. 
Pode-se comentar que, em um sólido realizando 
exclusivamente rotação, existe uma infi nidade de pon-
tos realizando movimentos circulares.
Destaca-se a importância do movimento de rota-
ção, citando, por exemplo, a rotação do nosso planeta, 
25Manual do professor
No estudo do movimento circular e uniforme (MCU), 
sugere-se que as defi nições de período (T) e freqüência 
(f) e a relação entre essas grandezas sejam acompanha-
das de exemplos numéricos. Também é conveniente citar 
alguns períodos relevantes como os de rotação e transla-
ção da Terra e de outros planetas, de rotação e translação 
da Lua, de translação dos satélites geoestacionários e de 
rotação dos ponteiros de um relógio.
Recomenda-se uma análise detalhada dos conteú-
dos dos boxes “Disco ou polia em rotação uniforme” e 
“Acoplamento de polias e rodas dentadas”. Com isso, o 
aluno deve entender, por exemplo, como podem ser ob-
tidas as mais diversas freqüências a partir de uma única 
freqüência de rotação do eixo de um motor.
A leitura “Freqüências de rotação do prato de um 
antigo toca-discos” exemplifi ca isso, além de conter 
uma breve abordagem histórica da evolução da indús-
tria fonográfi ca.
Na seqüência, são deduzidas, para o MCU, a fun-
ção horáriado espaço angular e uma expressão de w 
em função de T ou f. Nesse ponto, pode-se mostrar 
também que:
v = ∆s
∆t
 = 
perímetro
período
 = 2πR
T
 = ωR
O boxe “Uma bicicleta de rodas quadradas” deve 
despertar bastante interesse nos alunos. Sugerimos que 
a leitura fi que a cargo deles, mas que sejam alertados 
de que arcos de parábola, ciclóide, catenária e hipérbo-
le, dentre outros, podem ser parecidos, porém não são 
iguais: possuem diferentes propriedades e são descritos 
por expressões matemáticas também diferentes.
No Apêndice, além da apresentação da fórmula de 
defi nição da velocidade angular instantânea, são es-
tudados a acelaração escalar angular e o movimento 
circular uniformemente variado.
• O que não pode faltar
2. O enfoque angular 
3. Espaço angular ou fase
4. Velocidade escalar angular
Exercícios
5. Movimento circular e uniforme 
 • Defi nição 
 • Período e freqüência 
 • Relação entre período e freqüência 
 • Acoplamento de polias e rodas dentadas
 • Velocidade angular no MCU
Exercícios
• Algo mais
É importante que o aluno saiba que o desgaste 
dos pneus de um automóvel e as alterações de rodas e 
pneus originais, trocando-os por outros maiores, para 
o veículo fi car mais elevado do chão, ou por menores, 
para o veículo fi car rebaixado, acarretam erros nos 
valores de velocidade indicados pelo velocímetro (os 
exercícios 37 e 38 tratam desses problemas).
É interessante relacionar a velocidade angular 
referente ao movimento de rotação da Terra, na uni-
dade graus por hora, com o estabelecimento dos fu-
sos horários.
Pode-se sugerir aos alunos a leitura “Cientistas 
criam o menor carro do mundo”, que trata de um “car-
ro molecular”. 
• Subsídios ao Descubra mais
1. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C.) – matemático 
e fi lósofo grego – foi quem determinou, pela primeira 
vez, o raio da Terra. Procure saber como isso foi possí-
vel. Pesquise, também, que unidade de comprimento 
Eratóstenes usou e a quantos metros ela equivalia. Re-
pita os cálculos que ele fez e compare o valor obtido 
na época com o valor médio atual, que é de aproxima-
damente 6 400 km.
Em 240 a.C., o sábio grego Eratóstenes de Cire-
ne determinou, pela primeira vez, o raio (R) da Terra. 
Para isso, ele se valeu de constatações experimentais 
feitas em duas cidades egípcias localizadas aproxima-
damente em um mesmo meridiano: Alexandria, situa-
da no delta do rio Nilo, e Siena (hoje Assuã), situada 
mais ao sul, bem próxima do trópico de Câncer.
Eratóstenes havia observado que, por volta de 22 de 
junho (solstício de verão no hemisfério norte), em Siena, 
ao meio-dia, o Sol estava bem a pino, de modo que o 
fundo de um poço era completamente iluminado pelos 
raios solares (veja a fi gura a seguir, em que S simboliza 
Siena e A, Alexandria). No mesmo dia e no mesmo ho-
rário, porém, isso não acontecia em Alexandria. Então, 
uma estaca fi ncada verticalmente em terreno plano e ho-
rizontal, em Alexandria, projetava uma sombra no solo:
Equador 
Sombra 
Raios solares 
(praticamente 
paralelos entre si) 
Poço 
S 
R 
Pólo norte 
Figura fora de escala. 
A 
α 
α 
Estaca 
26 TÓPICOS DE FÍSICA 1
A “distância” de Alexandria a Siena, ou seja, o 
comprimento do arco AS, já havia sido determina-
da. Em uma unidade de medida denominada stadium 
(stadia, no plural), usada na época naquela região e 
que equivale aproximadamente a 183 m, o compri-
mento AS era cerca de 5 000 stadia.
Com α em graus, pode-se então calcular o raio R 
da Terra:
α → AS
360° → 2πR
⇒ R = 360° AS
2πα
 = 360° · 5 000
2 · 3,14 · 7,2°
R � 39 809 stadia � 39 809 · 0,183 km
R � 7 285 km
Levando em conta a época em que essa determi-
nação foi feita, o resultado é muito bom, já que supera 
em apenas cerca de 14% o valor médio atual, que é de 
aproximadamente 6 400 km.
• Resolução dos exercícios propostos
20
v1 = v2 ⇒ ω1 · 2r = ω2 · 4r
2 π fC 2 = 2 π fA 4 ⇒ 2 fC = 4 fA
2 
nC
∆t
 = 4 
nA
∆t
 ⇒ 2 nC = 4 nA
2 · 10 = 4 nA ⇒ nA = 5
25
a) T1 = T2 ⇒ ω1 = ω2 ⇒ 
ω1
ω2
 = 1
b) 
v1
v2
 = 
ω1 r1
ω2 r2
 = 
r1
r2
 ⇒ 
v1
v2
 = 
r1
r2
24
E2 (ω2, v2)
E1 (ω1, v1)
C
A
B
C
ω1 = 2 π f1
Para um ponto na periferia de D1, temos:
v1 = ω1 R1 = 2 π f1 R1
Um ponto de D2, em contato com D1, tem velocidade linear v2 igual 
a v1:
v2 = ω2 d = 2 π f2 d = 2 π f1 R1
f2 = 
f1R1
d
 = 120 · 5
d
 = 600
d
 (d em cm)
Para d = 40 cm: f2 = 
600
40
 ⇒ f2 = 15 Hz
Para d = 10 cm: f2 = 
600
10
 ⇒ f2 = 60 Hz
Portanto, f2 pode variar de 15 a 60 Hz.
27
4r
2rr
A
40
B
10
2 1
C
20
Como o raio do carretel vai aumentando, v é crescente (v = ω R, sendo 
ω constante). Por isso, o movimento da extremidade P é acelerado.
Alternativa a.
29 Estimando o raio da roda em 30 cm, calculemos seu perímetro, 
que é a distância percorrida por ela em cada volta:
perímetro = 2πR = 2 · π · 30 cm � 1,9 m
número de voltas = 
distância total percorrida
perímetro
 = 200 000 m
1,9 m
 = 
= 1,1 · 105 voltas
Ordem de grandeza = 105 voltas
Alternativa c.
Nota:
• Grosso modo, ordem de grandeza de um número é a potência de dez 
que mais se aproxima desse número.
32
d
E
1
E
2
D
1
D
2
O perímetro é proporcio-
nal ao número de dentes. 
Como o raio e o perímetro 
também são proporcio-
nais, o raio é proporcional 
ao número de dentes.
P
B
A
M
1º 2º 3º 4º----
Eratóstenes mediu o ângulo α indicado na fi gura, 
obtendo cerca de 7,2°, que corresponde a 1
50
 do ân-
gulo de uma volta:
S
R
7,2°
A
27Manual do professor
Entre dois fotogramas consecutivos, a pá destacada efetua, no mínimo, 
3
4
 de volta, em um intervalo de tempo ∆t = 1
24
 s. Então, a freqüência 
mínima de rotação das pás é dada por:
f = n
∆t
 = 
3
4 
volta
1
24 
s
 = 18 voltas/s
f = 18 rotações/s (ou 18 Hz)
34
Enquanto o projétil desloca-se de um disco a outro, percorrendo 
∆s = 2 m com velocidade v, o sistema sofre um deslocamento angular 
∆ϕ = 45° π
4
 rad com velocidade angular ω:
v = ∆s
∆t
 ⇒ ∆t = ∆s
v
ω = 
∆ϕ
∆t
 ⇒ ∆t = 
∆ϕ
ω
Assim, obtemos:
∆s
v
 = 
∆ϕ
ω
 ⇒ v = 
ω ∆s
∆ϕ
Como ω = 2πf = 2 π · 50 = 100 π rad/s, temos:
v = 100π · 2π
4
 ⇒ v = 800 m/s
36
a) f1 = 5 000 rpm
v1 = v2 ⇒ 2 π f1 r1 = 2 π f2 r2
5 000 · 50 = f2 25 ⇒ f2 = f3 = 10 000 rpm
b) 
v1
v3
 = 
2π f1r1
2π f3r3
 = 5 000 · 50
10 000 · 50
 ⇒
v1
v3
 = 12
35 2 m 
Eixo
v1 = ω r1
v2 = ω r2
v1
v2
 = 
r1
r2
 = 
L 2
2
L
2
 ⇒
v1
v2
 = 2
Alternativa a.
37
L
2
L
2
L
2
2
L
v
2
v
1
ω
ω
r
1
 =
L
2
r
2
 =
O velocímetro de um carro indica um valor v de velocidade para cada 
freqüência f de rotação das rodas. Ele é calibrado pelo fabricante do 
veículo para pneus de raio R determinado: v = 2 π f R. Se o usuário fi zer 
modifi cações no veículo, alterando o valor de R para um outro valor R’, 
as indicações do velocímetro não corresponderão mais aos valores 
reais da velocidade. De fato, para uma mesma freqüência f, o velocí-
metro continuará indicando um valor v, mas a velocidade real passará 
a ser v’: v’ = 2π f R’.
Carro A: o velocímetro indica valores corretos. Portanto, supondo o 
radar confi ável, o carro A corresponde à linha 2.
Carro B: como R’ é maior que R, para uma mesma freqüência f, v’ é 
maior que o valor v indicado, ou seja, o velocímetro indica uma veloci-
dade menor que a real. Portanto, o carro B corresponde à linha 3 e seu 
motorista deve estar mais precavido com relação a multas.
Carro C: como R’ é menor que R, para uma mesma freqüência f, v’ é me-
nor que o valor v indicado. Portanto, o carro C corresponde à linha 1.
38 Com as rodas girando com velocidade angular ω, a velocidade v 
indicada pelo velocímetro é correta quando os pneus estão novos:
v = ω R = ω D
2
Para um mesmo ω, mas com pneus desgastados (D’ = 0,98 D), o velocí-
metro vai indicar o mesmo valor v, mas a velocidade real será v’:
v’ = ω D’
2
 = ω 
0,98 D
2
v’
v
 = 0,98 ⇒ v’
100
 = 0,98 ⇒ v’ = 98 km/h
Alternativa d.
39 O mais prático é adotar um referencial em um dos ciclistas. Com 
isso, esse