Questão resolvida - Sejam_ R R uma função par e derivável, sejam x0 E R_ e a inclinação positiva das inclinações das retas tangentes ao gráfico de f em -x0 e em x0 Supondo-se que f'(x0) E ]0,] _ 1 e q

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• Sejam: uma função par e derivável, sejam e θ a diferença positiva R R→ x ∈ R0 *
das inclinações das retas tangentes ao gráfico de em e em . Supondo-se que f -x0 x0
, determine o valor da expressão f' x ∈ 0, +∞ \ 1 e que tan θ =( 0) ] [ { } ( )
1
2
.f' x - 2 ²( ( 0) )
 
Resolução:
 
A derivada de uma função par gera uma ímpar, a inclinaçãodas retas tangentes são dadas 
por;
 
𝛼 = tan f' x( ( 0))
 
Como o ângulo é a diferença positiva das inclinações das retas tangentes em e em θ -x0
, então;x0
 
θ = |tan f' x - tan f' -x |( ( 0)) ( ( 0))
 
Mas a derivada de uma função par gera uma função ímpar e a função também é uma tan x( )
função ímpar, assim, temos que;
 
tan f' -x = tan -f' x = - tan f' x( ( 0)) ( ( 0)) ( ( 0))
 
Com isso, temos que;
 
θ = |tan f' x - tan f' -x | = |tan f' x - -tan f' x | = |tan f' x + tan f' x |( ( 0)) ( ( 0)) ( ( 0)) ( ( ( 0))) ( ( 0)) ( ( 0))
 
θ = |2tan f' x |( ( 0))
sabemos que;
 
tan θ =( )
1
2
 
 
(1)
Assim, podemos chegar a;
 
tan θ = θ = Arctan( )
1
2
→
1
2
Substituindo em 1, fica;
 
Arctan = |2tan f' x |
1
2
( ( 0))
Vamos, então, isolar ;f' x( 0)
 
Arctan = |2tan f' x | |2tan f' x | = Artan 2tan f' x = ± Arctan
1
2
( ( 0)) → ( ( 0))
1
2
→ ( ( 0))
1
2
 
tan f' x = f' x = Arctan( ( 0))
±Arctan
2
1
2
→ ( 0)
±Arctan
2
1
2
 
f' x ≅ ± 0, 23( 0)
 
Mas o enunciado diz que , então;f' x ∈ 0, +∞ \ 1( 0) ] [ { }
 
f' x ≅ 0, 23( 0)
Finalmente, temos que;
 
f' x - 2 ² = 0, 23 - 2 ² = 1, 77 ² ≅ 3, 13( ( 0) ) ( ) ( )
 
 
 
(Resposta )