17. Sejam A e B os pontos em que o gráfico de f(x) = x2−αx, α real, intercepta o eixo x. Determine α para que as retas tangentes ao gráfico de f, e...

Para que as retas tangentes ao gráfico de f, em A e em B, sejam perpendiculares, a derivada da função f(x) em A deve ser o oposto inverso da derivada em B. Para isso, podemos calcular as derivadas da função f(x) e igualá-las a zero para encontrar os pontos A e B, e então determinar o valor de α. Vamos lá: 1. Calcule a derivada da função f(x): f(x) = x^2 - αx f'(x) = 2x - α 2. Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos A e B: 2x - α = 0 2x = α x = α/2 Portanto, os pontos A e B são (α/2, 0). Para que as retas tangentes em A e B sejam perpendiculares, as derivadas nesses pontos devem ser opostas inversas. Vamos calcular as derivadas em A e B: - Derivada em A: f'(α/2) = 2(α/2) - α = 0 α - α = 0 0 = 0 - Derivada em B: f'(0) = 2(0) - α = -α Para que as retas tangentes em A e B sejam perpendiculares, a derivada em B deve ser o oposto inverso da derivada em A. Portanto, -α = -1/α. Resolvendo essa equação, encontramos que α = 1.