Exercícios de Derivadas em CDI 1

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Lista 06 de CDI 1
Aplicações das Derivadas
1. A área S de um quadrado de lado x é dado por S = x2. Achar o acréscimo e a diferencial desta
função.
2. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com uma espessura de 1/4 cm. Se
um lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessária.
3. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre
igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio
que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
4. Encontre valores aproximados para as ráızes abaixo:
4.1)
√
50 4.2) 3
√
63, 5 4.3)
4
√
13
5. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. No
tempo t = 0, água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o ńıvel de água
sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
6. Um trem deixa uma estação num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um
segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar
a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a
estação.
7. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determine a taxa de variação da área da
base em relação ao volume do cone.
8. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio na base e 10 m de altura. No
tempo t = 0, a água começa a fluir para o tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o ńıvel da
água sobe?
9. Um objeto se move sobre uma parábola y = 2x2 + 3x − 1 de tal modo que sua abscissa varia à uma
taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto estiver no
ponto (0,−1)?
10. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 1 m de altura se afasta
da lâmpada caminhando à uma razão de 5 m/s, com que rapidez a sua sombra se alonga?
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11. A posição de uma part́ıcula que se move no eixo x depende do tempo de acordo com a equação
x = 3t2 − t3 , x é medido em metros e t em segundos.
11.1) Calcular o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos.
11.2) Calcular a velocidade da part́ıcula depois dos primeiros 4 segundos.
11.3) Calcular a aceleração da part́ıcula depois dos primeiros 4 segundos.
12. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 80 000 litros e
depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 5 000t2 litros, determine:
12.1) O tempo necessário para o esvasiamento da piscina.
12.2) A taxa média de escoamento no intervalo [2,5].
12.3) A taxa de escoamento depois de 2 horas do ı́nicio do processo.
13. Em uma pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de
p(t) = 20− 5
t+ 1
milhares.
13.1) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
13.2) Qual será a variação média sofrida entre o 12◦ mês e o 18◦ mês?
14. Uma peça de carne foi colocada em um freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,
em graus cent́ıgrados, é dada por
T (t) = 30− 5t+ 4
t+ 1
, 0 ≤ t ≤ 5.
Qual é a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?
15. Influências externas produzem uma aceleração em uma part́ıcula de tal forma que a equação de seu
movimento retiĺıneo é y =
b
t
+ ct, onde y é o deslocamento e t é o tempo.
15.1) Qual é a velocidade da part́ıcula no instante t = 2?
15.2) Qual é a equação da aceleração?
16. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule a posição e a velocidade da part́ıcula depois
de decorridos 2 segundos. A equação de movimento da part́ıcula é y = v0t − 12gt
2, onde y é a posição do
corpo, v0 é a velocidade iniciail e g = 9.8 m/s
2.
17. Um ĺıquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t− t1/2 litros no recipiente. Qual é a taxa de
gotejamento de ĺıquido no recepiente, em litros/hora, quando t = 16 horas?
18. Em cada um dos casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar
um número c ∈ (a, b), tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
.
18.1) f(x) =
1
x
; a = 2, b = 3
18.2) f(x) =
1
x
; a = −1, b = 3
18.3) f(x) = x3; a = −2, b = 0
18.4) f(x) = cos x; a = 0, b =
π
2
2
18.5) f(x) = tan x; a =
π
4
, b =
3π
4
18.6) f(x) = 3
√
x; a = −1, b = 1
19. A função f(x) = x2/3 − 1 é tal que f(−1) = f(1) = 0. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle
no intervalo
20. Usando o Teorema do Valor Médio, provar que
20.1) | sen θ − senα| ≤ |θ − α|, ∀ (θ, α) ∈ R;
20.2) sen θ ≤ θ, θ ≥ 0.
21. Determinar os pontos cŕıticos das seguintes funções, se existirem
21.1) y = x2 − 3x+ 8
21.2) y = x3 + 2x2 + 5x+ 3
21.3) y = senx
21.4) y = ex − x
22. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
22.1) f(x) = 3− 5x
22.2) f(x) = x3 + 2x2 − 4x+ 2
22.3) f(x) = e−x
22.4) f(x) =
x2
x− 1
23. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mı́nimos relativos das
seguintes funções.
23.1) f(x) = 3x2 + 6x+ 1
23.2) f(t) =
t− 1
t+ 1
23.3) f(t) = t+
1
t
23.4) g(x) = xex
24. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a funções seguintes tem concavidade
para cima ou para baixo. Classifique os pontos cŕıticos.
24.1) f(x) =
1
x+ 4
24.2) f(x) = 2xe−3x
24.3) f(x) = x2ex
24.4) f(t) = e−t cos t, t ∈ [0, 2π]
3
25. Determinar os máximos e mı́nimos locais e globais das funções abaixo, nos intervalos indicados.
25.1) f(x) = x2 − 4, [−1, 3]
25.2) f(x) = x3 − x2, [0, 5]
25.3) f(x) = |x− 2|, [−2, 3]
25.4) f(x) = cos2 x, [0, 2π]
26. Mostrar que
y =
loga x
x
tem seu máximo em x = e para todos os números a > 1.
27. Encontrar a e b tal que a função f(x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo relativo no ponto (−2, 1).
28. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um ćırculo e com o outro
um quadrado.
28.1) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas das duas figuras seja mı́nima?
28.2) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas seja máxima?
29. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = 1, que está mais próximo da
origem.
30. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior posśıvel.
31. Determinar as dimensões de uma lata ciĺındrica, com tampa, com volume V , de forma que a a área
total seja mı́nima.
32. Qual é o retângulo de peŕımetro máximo inscrito no ćırculo de raio 12 cm?
33. Determinar o ponto A da curva y = x2 + x que se encontra mais próximo de (7, 0). Mostrar que a
reta que passa por (7, 0) e por A é normal à curva dada em A.
34. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semi-ćırculo. Achar as dimensões de
modo que o peŕımetro seja 3.2 m e a área a maior posśıvel.
35. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação α. Seja l o alcance do canhão,
dado por l = 2v
2
g
senα cosα, onde v e g são constantes. Para que valor do ângulo o alcance é máximo?
36. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se
cada pasto deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da
cerca seja o mı́nimo.
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