Lista EDO1

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1a LISTA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PROF: ALEXANDRE LIMA
1. Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não-lineares. Dê
também a ordem de cada equação.
(a) (1 − x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx
(b) x
d3y
dx3
− 2
(
dy
dx
)4
+ y = 0
(c) yy′ + 2y = 1 + x2
(d) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0
(e) x3y(4) − x2y′′ − 3y = 0
(f)
dy
dx
=
√
1 +
(
d2y
dx2
)2
(g) (sin x)y′′′ − (cosx)y′ = 2
(h)
d2y
dx2
+ 9y = sin y
(i)
d2r
dt2
= − k
t2
(j) (1 − y2)dx+ xdy = 0
2. Nos problemas abaixo verifique se a função dada é uma solução para a equação
diferencial.(c1 e c2 são constantes).
(a) 2y′ + y = 0 ; y = e−
x
2
(b) y′ + 4y = 32 ; y = 8
(c) dy
dx
− 2y = e3x ; y = e3x + 10e2x
(d) y′ + y = sinx ; y =
1
2
sinx− 1
2
cosx+ 10e−x
(e)
dP
dt
= P (a− bP ) ; P = ac1e
at
1 + bc1eat
(f) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0 ; c1(x+ y)2 = xe
y
x
(g) y′ + 2xy = 1 ; y = e−x
2
x∫
0
et
2
dt+ c1e
−x2
3. Mostre que, o ângulo que um pêndulo de comprimento L e massa m oscilando faz
com a vertical, satisfaz a equação
d2θ
dt2
+
g
L
sin θ = 0 (1)
2
onde g denota a aceleração da gravidade.
Dica: Siga os passos indicados aqui para deduzir a equação (1) de movimento de
um pêndulo.
(a) Suponha que a massa m esteja em uma posição deslocada arbitrária, indicada
pelo ângulo θ. Desenhe um diagrama mostrando as forças que agem sobre a
massa.
(b) Aplique a lei do movimento de Newton na direção tangencial ao arco circular
sobre o qual a massa se move. Então, a força de tensão sobre a barra não
aparece na equação. Note que é necessário encontrar a componente da força
gravitacional na direção tangencial.Note, também, que a aceleração linear(para
diferenciá-la da aceleração angular) é
Ld2θ
dt2
, onde L é o comprimento da barra.
(c) Simplifique o resultado no item b) para obter a equação (1).
4. Encontre a solução geral das seguintes equações:
(a) y′ + 3y = t+ e−2t
(b)
dy
dx
= 5y
(c)
dy
dx
+ 2y = 0
(d)
dy
dx
+ y = e3x
(e) 3
dy
dx
+ 12y = 0
(f)
dy
dx
+ 3x2y = x2
(g) y′ + 2xy = x3
(h) x2y′ + xy = 1
(i) x
dy
dx
− y = x2 sinx
(j) x
dy
dx
+ 4y = x3 − x
(k) (1 + x)
dy
dx
− xy = x+ x2
(l) x2
dy
dx
+ x(x+ 2)y = ex
(m) x
dy
dx
+ (1 + x)y = e−x sin 2x
3
(n) (x2 − 1)dy
dx
+ 2y = (x+ 1)2
5. Mostre que, se a e λ são constantes positivas e se b é um número real arbitrário,
então toda solução da equação
y′ + ay = be−λt (2)
satisfaz lim
t→∞
y(t) = 0.
6. Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
(a) y′ =
x2
y
(b) y′ + y2senx = 0
(c)
dy
dx
= sin 5x
(d)
dy
dx
= (x+ 1)2
(e) dx+ e3xdy = 0
(f) dy − (y − 1)2dx = 0
(g) x
dy
dx
= 4y
(h)
dy
dx
+ 2xy2 = 0
(i)
dy
dx
= e3x+2y
(j) exy
dy
dx
= e−y + e−2x−y
(k) y lnx
dx
dy
=
(
y + 1
x
)2
(l)
dy
dx
=
xy + 3x− y − 3
xy − 2x+ 4y − 8
(m)
dP
dt
= P − P 2
(n)
dN
dt
+N = Ntet+2
(o) (ex + e−x)
dy
dx
= y2
7. Nos problemas abaixo, resolva o problema de valor inicial.
(a) xy′ + y = ex, y(1) = 2
4
(b) (x+ 1)
dy
dx
+ y = lnx, y(1) = 10
(c)
dT
dt
= k(T − Tm), T (0) = T0 ; k, Tm e T0 são constantes.
8. Resolva as equações diferenciais.
(a) ydx+ (2x− yey)dy = 0
(b) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0
(c) (2x+ y)dx− (x+ 6y)dy = 0
(d) (sin y − y sinx)dx+ (cosx+ x cos y − y)dy = 0
(e) (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1
(f) (2y2 + 3x)dx+ 2xydy = 0
(g) 6xydx+ (4y + 9x2)dy = 0
(h) xdx+ (x2y + 4y)dy = 0, y(4) = 0
9. Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando
esse valor de b.
(ye2xy + x)dx+ bxe2xydy = 0 (3)
.
10. Resolva as equações por meio de uma substituição apropriada.
(a) x
dy
dx
+ y = x2y2
(b) x
dy
dx
+ y =
1
y2
(c)
dy
dx
− y = exy2
(d) t2
dy
dt
+ y2 = ty
11. Resolva a equação de Ricatti onde y1 é uma solução conhecida para a equação.
(a)
dy
dx
= −2 − y + y2, y1 = 2
(b)
dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1(x) = −ex
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12. Um tambor cônico com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de
raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos
a altura da coluna de água cair pela metade determinar a altura h em função do
tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.
13. Na teoria de aprendizagem, supõe-se que a taxa segundo a qual um assusto é mem-
orizado é proporcional à quantidade a ser memorizada. Suponha que M denote a
quantidade total de um assunto a ser memorizado e A(t) a quantidade memorizada
no instante t. A equação diferencial para a quantidade A(t) é:
14. Dentro da Terra a força da gravidade é proporcional à distância ao centro. Um
buraco é cavado de polo a polo e uma pedra é largada na borda do buraco.
(a) Determine a velocidade da pedra em função da distância.
(b) Com que velocidade a pedra atinge o centro da Terra? Com que velocidade
atinge o outro polo?
15. A taxa com que uma gota esférica se evapora
dV
dt
é proporcional a sua área. Deter-
mine o raio da gota em função do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio
é r0 e que em uma hora o seu raio seja a metade.
16. Num processo qúımico, uma substância se transforma em outra, a uma taxa pro-
porcional à quantidade de substância não transformada. Se esta quantidade é 48 ao
fim de 1 hora, e 27, ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substância?
17. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número
de bactérias no instante t. Após três horas, observou-se a existência de 400 bactérias.
Após 9 horas, 2500 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?
18. Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente.
Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine
a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população
triplique. Faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.
19. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa
seja portador de um v́ırus e que a taxa com que o v́ırus se espalha na comunidade
seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número
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de pessoas não infectadas. Se for observado que após 4 semanas 5 pessoas estão
infectadas. Determine o número de pessoas infectadas em função do tempo. Faça
um esboço do gráfico da solução.
20. Um tambor cônico com vértice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de
raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos
a altura da coluna de água cair pela metade determinar a altura h em função do
tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.
21. Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20 ◦C para fora onde
a temperatura é de 5 ◦C. Após 1/2 minuto o termômetro marca 15 ◦C.
(a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
(c) Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10 ◦C?
22. Um bote motorizado e seu tripulante têm uma massa de 120 quilogramas e estava
inicialmente no repouso. O motor exerce uma força constante de 10 newtons, na
direção do movimento. A resistência exercida pela água, ao movimento, é, em
módulo, igual ao dobro da velocidade.
(a) Determine a velocidade do bote em função do tempo.
(b) Determine a velocidade limite do bote.
23. Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t0 = 0.
A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
θ0 = 29
◦C. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua
temperatura é novamente medida e o valor encontrado é θ1 = 23
oC. O crime parece
ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A
peŕıcia então faz a suposição adicional de que a temperarura do meio ambiente entre
a hora da morte tm e a hora em que o cadáver foi encontrado t0 tenha se mantido
maisou menos constante T ≈ 20◦C. A peŕıcia sabe também que a temperatura
normal de um ser humano vivo é de 37◦C. Com esses dados como a peŕıcia pode
determinar a hora do crime?