NOÇÕES DE LÓGICA M

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NOÇÕES DE LÓGICA M
VALIDADE DE ARGUMENTO 
No início deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. 
Vamos verificar como podemos proceder na investigação de certos argumentos de modo formal . 
DEFINIÇÃO: Chamamos ARGUMENTO uma seqüência
A1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n  0) de fórmulas onde os Ai (0 i  n) chamam-se premissas e a última fórmula B, conclusão. 
DEFINIÇÃO: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se e somente se, sendo as premissas verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e somente se, a fórmula 
A1  A2A3 ...  An  B é uma tautologia que será indicado como segue
A1 , A2 , A3 ,... , An | B que se lê :
"A1 , A2 , A3 ,... , An acarretam B" ou, "B decorre de A1 , A2 , A3 ,... , An " ou,
"B se deduz de A1 , A2 , A3 ,... , An" ou ainda, "B se infere de A1 , A2 , A3 ,... , An ."
VALIDADE DE UM ARGUMENTO: VERIFICAÇÃO POR TABELA VERDADE. 
Com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula
A1 A2A3 ...  An  B é tautologia. 
Exemplo: O argumento p, q r,  r,  q é válido pois a fórmula
(p  (q  r)  r )   q é uma tautologia.
O que verificamos nas linhas onde as premissas são verdadeiras que a conclusão também é verdadeira
(tabela verdade abaixo, linha 4). 
	p
	q
	r
	p
	q  r
	 r
	 q
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
VALIDADE DE UM ARGUMENTO: DEMONSTRAÇÃO 
Podemos verificar a validade de um argumento através de métodos de demonstração : 
1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO
4. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO
1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA
Consiste em demonstrar ou deduzir a conclusão B a partir das premissas A1 , A2 , A3 ,... , An , aplicando as EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS e as REGRAS DE INFERÊNCIA . 
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q  r ,  r ,  q
Demonstração :
1. p premissa
2. q  r premissa
3. r premissa
4. q Conclusão (2 e 3 : Modus Tollens) 
Exemplo :Demonstrar a validade do argumento p  q , q  r , r  s ,  s  p
Demonstração :
1. p  q premissa
2. q   r premissa
3. r  s premissa
4. p r 1.2. Silogismo Hipotético
5. r  s 3. Def. de implicação
6. p  s 4.5. Silogismo Hipotético
7. s p 6. Contraposição
8. s  p Conclusão 7. Negação 
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL 
Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo B  C , considera-se o antecedente B, como uma premissa adicional e o conseqüenteC será a conclusão a ser demonstrada.
De fato, sendo:
1. A1 , A2 , A3 ,... , An , B , C válido então
2. A1 , A2 , A3 ,... , An , B | C isto é,
3. ((A1  A2 A3 ...  An )  B )  C é tautologia
4. (A1  A2 A3 ...  An )  (B  C) é tautologia (Importação e Exportação) e portanto
5. A1 , A2 , A3 ,... , An | B  C ou ainda,
6. A1 , A2 , A3 ,... , An, B  C é válido 
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p  q , q  r , r  s ,  s  p
Demonstração :
1. p  q premissa
2. q   r premissa
3. r  s premissa
4. s premissa adicional
5. r 3.4. Silogismo Disjuntivo
6. p  r 1.2. Silogismo Hipotético
7. r  p 6. Contraposição
8. p Conclusão 5.7. Modus Ponens 
3.DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO 
Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A2 , A3 ,..., An, B considera-se a negação da conclusãoB como premissa adicional e conclui-se uma fórmula F (fórmula falsa do tipo )
De fato, sendo:
1.A1 , A2 , A3 ,..., An ,  B | F válido, temos
2.A1 , A2 , A3 ,..., An | B  F isto é,
3.A1 , A2 , A3 ,..., An | B  F (Def. implicação)
4.A1 , A2 , A3 ,..., An | B  F (Negação)
5.A1 , A2 , A3 ,..., An |B (Propriedade de F) ou ainda,
6.A1 , A2 , A3 ,... , An , B é válido. 
Exemplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento
p  q , q  r , r  s ,  s  p
1.p  q premissa
2. q   r premissa
3. r  s premissa
4. ( s  p) premissa adicional
5.p  r 1.2. Silogismo Hipotético
6. r  s 3. Def. de implicação
7. p  s 5.6. Silogismo Hipotético
8. s  p 7. Contraposição
9. ( s  p)  ( s  p) 4. 8. Conjunção
10. F