Questão resolvida - Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a Se cada pasto deve medir 400 m de área, determinar as dimensões a e b, de forma - Ponto

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• Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um 
lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 m² de área, determinar as dimensões a 
e b, de forma que o comprimento da cerca seja o mínimo.
 
Resolução: 
 
A representação desses pastos é vista na figura abaixo;
 
O perímetro do retângulo formado pelos 2 pastos é dado por;
 
P = 2b + a + a + 2b P = 4b + 2a→
A área do retângulo formado pelos 2 pastos é dada por;
 
A = 2b ⋅ a A = 2ba→
 
A área dos pastos deve ter 400 m², assim, a área total da figura formada pelos 2 pastos é;
 
2ba = 2 ⋅ 400 ba = ba = 400→
2 ⋅ 400
2 ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪do númerador e denominador
Isaolando a, temos;
 
ba = 400 a =→
400
b
 
 
b b
aaa Pasto - 1 Pasto - 2
2b
simplificando o 2
(1)
(2)
Substituindo 2 na expressão 1, temos;
 
P = 4b + 2 ⋅ P = 4b +
400
b
→
800
b
Os pontos críticos da função são dados pela primeira derivada da função , neste caso 
dP
db
antes vamos reescrever a expressão encontrada para o perímetro como;
 
P = 4b + P = 4b + 800b
800
b
→
-1
Agora, fazemos a derivada ;
dP
db
 
= 4 + -1 800b = 4 - 800b = 4 -
dP
db
( ) -1-1( ) →
dP
db
-2
→
dP
db
800
b2
 
Igualando a derivada a zero e resolvendo para , fica;b
 
4 - = 0 - = - 4 ⋅ -1 = 4 800 = 4b 4b = 800
800
b2
→
800
b2
( ) →
800
b2
→
2
→
2
 
b = b = 200 b = ± b = ± b = ± ⋅2
800
4
→
2
→ 200 → 2 ⋅ 100 → 2 100
 
b = ± ⋅ b = ± ⋅ 10 b = ± 102 100 → 2 → 2
 
O valor de é uma medida de comprimento, assim, não pode ser negativo, com isso;b
 
b = 10 m2
Antes de achar o valor de , devemos verificar se é um valor de mínimo:a b
substituindo um ponto antes b = 14 e depois b = 15 de 10 m;( ) ( ) 2
 
b = 14 = 4 - = - 0, 082 < 0→
dP
db
800
14( )2
→
dP
db
 
 
 
 
b = 15 = 4 - = 0, 444 > 0→
dP
db
800
15( )2
→
dP
db
a derivada indicada decrecimento e indica crescimento, sendo assim, o < 0
dP
db
> 0
dP
db
ponto para é ponto de mínimo do perímetro, pois;P ≅ 10 m2
Sendo o encontrado um valor de mínimo, temos que o valor mínimo para é;b a
 
a = a = ⋅ a = a = a = 2 m
400
10 2
→
4
2
2
2
→
4 2
2
2
→
4
2
2
→ 2
 
Finalmente, os valores de mínimo de e que tornam o comprimento da cerca mínimo são;a b
 
a = 2 m e b = 10 m2 2
 
 
Decresce Cresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
10 2
(Resposta )