Atividade 1- Cálculo Diferencial e Integral III- Unicesumar 532022

Prévia do material em texto

ATIVIDADE DE ESTUDO 1 
 
Acadêmico: Emily Gabriely Dias Campos Da Silva R.A. 19124237-5 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Valor da atividade: 1,0 ponto Prazo: 05/08/2022 
 
Instruções para Realização da Atividade 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização da atividade; 
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o 
trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota; 
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, 
renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade. 
São aceitos arquivos do Word ou em PDF; 
5. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo Word. Para 
isso utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio Word, ou 
outra ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS 
À MÃO E INSERIDOS NO ARQUIVO; 
6. Confira se o prazo de entrega deste documento coincide com o que está no 
ambiente da disciplina. Em caso de divergência, o prazo que estiver no 
ambiente da disciplina prevalecerá; 
7. Se desejar, essas orientações poderão ser apagas depois da leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) As séries telescópicas apresentam esse nome oriundo do fato de que na 
simplificação da soma, uma parcela cancela uma parcela próxima, ou seja, 
assim como um telescópio que encurta a enorme distância entre nossos olhos 
e os corpos celestes, essa propriedade encurta o caminho entre a soma inicial 
de muitas parcelas e o cálculo do resultado. Dessa forma, não é necessário 
desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo 
uma cadeia de adendos. 
Use as informações acima e prove que 
 
 
Com base nas informações fornecidas pela edição e nos cálculos que realizaremos, 
é possível verificar que a soma de todos os termos desta série telescópica é igual a 
1. 
Queremos provar que a série de telescópica subsequente, que é igual a 1 quando 
todos os seus números são somados, é a seguinte: 
 
 
 
 
 
Sabemos que as operações envolvendo séries numéricas são um subconjunto das 
operações telescópicas. Abandone as estipulações de componentes de um valor 
inicial para "n" de expressões cuja justificação adere a um determinado padrão. À 
medida que se desenvolve, pode estar sujeito a cancelamentos de termos 
contrários. Tornando possível definir a igualdade da somatória telescópicas: 
 
 (i) 
 
 
Portanto, para demonstrar essa igualdade, devemos reduzir a complexidade de 
nossa expressão a apenas uma adição ou subtração de radicais. Como resultado, 
nossa frase telescópica pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que nossa soma telescópica tem mais ou menos a mesma forma que 
a expressão (i), mas poderíamos simplificar um pouco essa expressão alterando a 
soma para um infinito por k. Para fazer isso, usaremos as regras dos radicais da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 
Vamos simplificar essa expressão e, para fazer isso, vamos eliminar termos 
semelhantes dela. Como resultado, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que essa soma toma a forma de uma soma telescópica, portanto, para 
calcular o valor da soma de seus termos, trocaremos "infinito" por "k", pois se 
fizermos isso, devemos mostrar que a soma de seus termos contém termos opostos 
que podem ser cancelados. Avaliando nosso resultado em "k", obtemos: 
 
 
 
 
Se usarmos apenas os três primeiros termos para desenvolver esse cálculo, 
podemos ver que, se houver algum termo que não possa ser alterado, apenas o 
primeiro e o último termos da soma permanecerão inalterados. O resultado desta 
soma é: 
 
 (ii) 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ver que nosso resultado é o mesmo que tivemos que encontrar porque 
apenas a primeira e raramente a última, é descoberta. Agora, para determinar o 
valor dessa mesma soma no infinito, é necessário avaliar a expressão (ii) no infinito, 
ou seja, deve ser avaliada em um limite ao infinito. 
Ao realizar esta avaliação, podemos ver que: 
 
 
 
 
Podemos explanar essa equação em uma subtração de dois limites idênticos com 
base nas propriedades dos limites. 
 
 
 
 
Devemos dividir a variável com maior exposição em todas as nossas expressões 
para resolver um limite ao infinito e, fazendo isso, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliamos todas as nossas limitações no infinito e chegamos à seguinte conclusão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A série geométrica é uma série que se obtém quando se tenta somar os 
infinitos termos de uma progressão geométrica. Essa série é convergente se e 
somente se o valor absoluto da razão for menor que a unidade. Prove que para 
todo os valores reais de x 
 
 
 
 
 
Uma soma em série geométrica pode ser usada para demonstrar a identidade dada; 
dessa forma: 
 
 
 
 
 
Como interpretar a soma das séries geométricas apresentadas? 
O primeiro termo em uma série geométrica é sempre 1, portanto, podemos extrair 
uma propriedade comum de sen(x) da expressão dada, que é a seguinte: 
 
 
 
 
Podemos estabelecer uma expressão abreviada para esta série observando cada 
um dos termos da seguinte forma: 
 
 
 
 
A razão para esta série geométrica é −
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
 porque esta expressão será sempre 
menor que 1 porque a função seno é limitada no intervalo [-1,1]. Usando a seguinte 
expressão, podemos somar uma série geométrica com infinitos termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série converge condicionalmente. 
→ Critério de Leibniz: Seja uma série de termos alternados. Caso: 
 
Dizemos que a série alternada converge. 
 
→ Critério da comparação: Seja a série em questão e uma série 
auxiliar de comportamento conhecido. Se para todo , então: 
• diverge se divergir; 
• converge se convergir; 
 
Observe que a série: 
 
 
 
 
 
É uma série alternada, daí podemos utilizar o critério de Leibniz para verificar sua 
convergência. Destarte, seja . Logo, partindo da definição de logaritmo: 
“Define-se por logaritmo, o expoente que eu devo dar a uma base para que isto seja 
igual ao logaritmando”. 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
Vemos a partir daí que para todo natural ( ), o sucessor produzirá 
um logaritmo menor a cada iteração, pois será necessário um valor menor de para 
compensar o crescimento de , lembrando que tudo isso é igual a . Sendo assim: 
 
E ainda, tomando o limite: 
 
 
Antes de analisar esse limite, bora fazer uma coisa que facilita demais a nossa vida. 
Vamos mudar a base desse logaritmo, pois não é interessante lidar com essa base 
à variável discreta de agora em diante. Convém então usar a base comum do 
cálculo que é o número . 
 
 
 
Então, o limite 
 
 
 
Portanto, a série com termos alternados converge! 
Vejamos se a convergência absoluta ocorre. Para isso, vamos tomar o módulo: 
 
 
 
 
Podemos comparar a série acima com a série harmônica, a qual sabemos que 
diverge: 
 
 
 
 
Note que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No entanto, se diverge e é menor que , então 
também diverge. 
 
Então, a série dada converge condicionalmente. Isto é, sua convergência se limita à 
condição desta ser alterna.