Lista de questões de matemática - Professor Ferretto

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01 - (Ifsul) Em certa cidade, a igreja está localiza no 
ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto 
C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a 
distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a 
distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 
metros, e que o ângulo formado por essas duas 
direções é 60°, a distância da livraria à igreja é 
 
 
 
a) 17√5 m 
b) 5√7 m 
c) 25√7 m 
d) 7√5 m 
02 - (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono 
com todos os lados de mesmo comprimento. 
 
 
 
A medida do ângulo 𝜃 é igual a 
a) 105°. 
b) 120°. 
c) 135°. 
d) 150°. 
 
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notas
 
Trigonometria – Lei dos Senos e Lei dos Cossenos 
 
2 
 
03 – (Ifmg) Um grupo de escoteiros pretende escalar 
uma montanha ate o topo, representado na figura 
abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do 
acampamento B e de 60° do acampamento A. 
 
Dado: sen 20° = 0,342 
 
 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B é 
realizado segundo um angulo de 30° em relação a base 
da montanha, então, a distância entre B e D, em m, é 
de, aproximadamente, 
a) 190. 
b) 234. 
c) 260. 
d) 320. 
 
 
04 - (Ufjf) Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não 
tripulados) saem em missão de um mesmo ponto 
geográfico P às 20 h. Conforme a figura abaixo, o drone 
1 tem sua rota dada na direção 60° nordeste, enquanto 
o drone 2 tem sua rota dada na direção 15° sudeste. 
Após 1 minuto, o drone 1 percorreu 1,8 km e o drone 2 
percorreu 1 km, ambos em linha reta. 
 
 
 
A distância aproximada, considerando √2 e √3 
aproximadamente 1,4 e 1,7, respectivamente, em 
quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é 
igual a: 
a) 1,8 km. 
b) 2,2 km. 
c) 2,6 km. 
d) 3,4 km. 
e) 4,7 km. 
05 – (Ifsp) A base de um triângulo isósceles mede 3√3 
cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos 
lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
c) √3. 
d) 1 + √3. 
e) 2 – √3. 
 
 
 
06 - (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus 
alunos um mapa do estado de São Paulo, que 
informava que as distâncias aproximadas em linha reta 
entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo e Campinas e entre os pontos que representam 
as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, 
respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos 
observou, então, que as distâncias em linha reta entre 
os pontos que representam as cidades de São Paulo, 
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo 
equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias 
em linha reta entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas 
formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o 
mapa. 
 
 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que a 
distância em linha reta entre os pontos que 
representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, 
em km, é próxima de 
a) 80 ∙ %2 + 5 · √3 
b) 80 ∙ %5 + 2 · √3 
c) 80 ∙ √6 
d) 80 ∙ %5 + 3 · √2 
e) 80 ∙ %7 · √3 
 
 
3 
 
07 – (Ufsm) A caminhada é uma das atividades físicas 
que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz 
na prevenção de doenças crônicas e na melhora da 
qualidade de vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do 
ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto 
A, conforme trajeto indicado na figura. 
 
 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer 
todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
 
 
 
 
08 - (Ufg) Observe a figura a seguir, em que estão 
indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e 
alguns dos ângulos. 
 
 
 
O seno do ângulo indicado por 𝛼 na figura vale: 
a) 
4√3 – 3
10
 
b) 
4 – √3
10
 
c) 
4 – 3√3
10
 
d) 
4 + 3√3
10
 
e) 
4√3 + 3
10
 
09 – (Uftm) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD'''' divide 
o ângulo AB(C ao meio. 
 
 
 
Sendo CD = 2√3 cm, o lado do quadrado AEFG, em 
centímetros, mede 
a) √
3 – 1
2
. 
b) √3 – 1. 
c) 
6(√3 – 1)
5
. 
d) 
4(√3 – 1)
3
. 
e) 
3(√3 – 1)
2
. 
 
 
 
 
10 - (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de 
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado 
do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. 
Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela 
anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em 
que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do 
mastro, avalia que os ângulos BA)C e BC(D valem 30°, e 
o AC(B vale 105°, como mostra a figura: 
 
 
 
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é 
a) 12,5. 
b) 12,5√2. 
c) 25,0. 
d) 25,0√2. 
e) 35,0. 
 
 
 
4 
 
Gabarito: 
 
Questão 1: B 
 
Questão resolvida durante o aulão. 
 
Questão 2: B 
 
Questão resolvida durante o aulão. 
 
Questão 3: B 
 
Questão resolvida durante o aulão. 
 
Questão 4: A 
 
O ângulo entre as direções das duas rotas é de 60° + 
15° = 75°. Logo, desde que 
cos 75° = cos(30° + 45°) 
 = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° 
 = √3
2
· √2
2
– 1
2
· √2
2
 
 = √
2
4
 ∙ (√3 – 1) 
 ≅ 
1,4
4
 ∙ (1,7 – 1) 
 ≅ 0,245, 
 
e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cossenos, 
obtemos 
d2 = 12 + 1,82 – 2 · 1 · 1,8 · cos 75° 
 = 1 + 3,24 – 3,6 · 0,245 
 = 3,358, 
 
o que implica em d = √3,358 ≅ 1,8 km. 
 
Questão 5: A 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 
 
(3√3)2 = x2 + x2 – 2 · x · x · cos 120° 
27 = 2x2 – 2x2 · (–1/2) 
27 = 3x2 
x2 = 9 
x = ±3 
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, 
em centímetros, é 3 cm. 
 
Questão 6: B 
 
Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que 
representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, 
Guaratinguetá e Campinas. 
 
Sabendo que SP(C = 60° e CP(G = 90°, vem SP(G = 150°. 
Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, 
encontramos 
 
SG'''2 = SP'''2 + PG''''2 – 2 · SP''' · PG'''' · cos SP(G 
 = 802 + 1602 – 2 · 80 · 160 · cos 150° 
 = 6400 + 25600 – 2 · 12800 · ,– √3
2
-	
 = 6400 · (5 + 2 · √3) 
 
Portanto, SG''' = 80 · %5 + 2 · √3 km. 
 
Questão 7: D 
 
Pela Lei dos Cossenos, obtemos: 
BC'''2 = AC''''2 + AB''''2 – 2 · AC'''' · AB'''' · cos BA)C 
 = (0,8)2 + 12 – 2 · 0,8 · 1 · cos 150° 
 = 0,64 + 1 – 2 · 0,8 · (–√3/2) 
 ≅ 1,64 + 0,8 · 1,7 
 ≅ 3. 
 
Logo, BC''' ≅ 1,7 e, portanto, o resultado é 1 + 0,8 + 1,7 
= 3,5. 
 
Questão 8: A 
 
Considere a figura, na qual AB'''' = 6, AC'''' = 10 e BC''' = 8. 
 
 
Do triângulo retângulo ABD, obtemos 
 
tgBA)D = 
BD####
AB####
 ⟺ BD'''' = AB'''' · tg 30° 
 ⟺ BD'''' = 6 ∙ √3/3 
 ⟺ BD'''' = 2√3 
 
 
5 
 
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue 
que 
AD)C = DA)B + AB(D 
 = 30° + 90° 
 = 120°. 
 
Portanto, pela Lei dos Senos, vem 
 
CD''''
senDA)C
=
AC''''
senAD)C
⟺
8 – 2√3
sen α
=
10
sen 120°
 
 ⟺ sen α = 
4 – √3
5
 ∙ sen 60° 
 ⟺ sen α = 
4 – √3
5
 ∙ √
3
2
 
 ⟺ sen α = 
4√3 – 3
10
. 
 
Questão 9: E 
 
Seja ℓ o lado do quadrado. 
Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC 
é retângulo. Logo, AB(C = 60°. Além disso, sabemos que 
BD é bissetriz de AB(C e, portanto, AB(D = CB(D = 30°. No 
triângulo BAD temos: 
 
cos 30° = 
AB
BD
= AB
2√3
 ⇒ AB = 3 cm 
 
 Assim, no triângulo BFG temos que 
tg 30° = 
ℓ
3 –	ℓ
 ⇒ ℓ = 3&√3	–	1'
2
 cm 
 
 
Questão 10: B 
 
No triângulo AB(C = 45°, aplicando o teorema dos senos, 
temos: 
50
sen45°
	=	
BC
sen30°
	⟺	BC	·	√2	=	50	⟺	BC	=	25√2 
 
No triângulo BDC, temos: 
sen30° = 
h
25√2
 ⟺ 1
2
	=	 h
25√2
 ⟺ h = 12,5√2 
 
 
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