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Exercícios de Geometria Plana. 
Lei dos senos e lei dos cossenos. 
 
 
QUESTÃO 1 
 
No triângulo representado na figura a seguir, AB e 
AC têm a mesma medida, e a altura relativa ao lado 
BC é igual a da medida de BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nesses dados, o cosseno do ângulo CAB 
é 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
 
QUESTÃO 2 
 
Após um naufrágio, um sobrevivente se vê na 
situação de ter que atravessar um rio de águas 
calmas. Prudente, decide só atravessá-lo depois de 
ter estimado a largura do rio. Improvisou então uma 
trena métrica e um transferidor rústicos e, para 
calcular a distância entre duas árvores, digamos 
uma árvore A, situada na margem em que se 
encontrava, e uma árvore B, situada na margem 
oposta, procedeu da seguinte forma: 
 
- postando-se ao lado da árvore A e usando o 
transferidor construído, aferiu o ângulo entre a 
visada para a árvore B e para uma árvore C, situada 
 
 
 
na mesma margem em que se encontrava, 
obtendo o valor 105º; 
 
- caminhou até a árvore C e, usando a trena 
métrica, estimou em 300 metros a distância entre 
esta e a árvore A; 
 
- estando então junto à árvore C, mediu o 
ângulo entre as visadas para a árvore A e a 
árvore B, obtendo o valor 30º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após os procedimentos descritos, as informações 
obtidas foram reunidas e foi estimada corretamente 
a distância entre a árvore A e a árvore B, obtendo 
o valor de, aproximadamente: 
 
(A) 150 metros. 
(B) 175 metros. 
(C) 189 metros. 
(D) 212 metros. 
(E) 250 metros. 
 
(considerar = 1,41 e = 1,73.) 
 
QUESTÃO 3 
 
Dois dos ângulos internos de um triângulo tem 
medidas iguais a 30° e 105°. Sabendo que o lado 
oposto ao ângulo de medida 105° mede ( +1) 
cm, é correto afirmar que a área do triângulo 
mede, em cm
2
: 
 
A) . 
B) 
 
 
1 | 
 
 
 
C) 
D) 
 
E) 
 
QUESTÃO 4 
 
Em um triângulo, as medidas de seus lados, em 
metros, são três números inteiros consecutivos e a 
medida do maior ângulo é o dobro da medida do 
menor. A medida do menor lado deste triângulo é 
 
A) 3 m 
B) 4 m 
C) 5 m 
D) 6 m 
 
QUESTÃO 5 
 
Leia com atenção o problema proposto a Calvin 
na tira seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo, 28/04/2007 
 
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de 
um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60
o
, 
 
então a resposta correta que Calvin deveria 
encontrar para o problema é, em centímetros, 
 
a) . 
b) . 
 
 
 
c) . 
d) . 
e) . 
 
QUESTÃO 6 
 
No losango ABCD de lado 1, representado na figura, 
tem-se que M é o ponto médio de , N é o ponto 
médio de e MN = . Então, DM é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 7 
 
Um engenheiro precisa conhecer a medida de cada 
lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m, 
porém a planta do terreno foi rasgada e o que 
restou foi um pedaço, como na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os lados do triângulo que não aparecem 
totalmente na planta do terreno medem 
 
 
2 | 
 
 
 
A) 3 m e (12 − 3 ) m. 
B) 5 m e 7 m. 
C) 4,5 m e 7,5 m. 
D) 8 m e 4 m. 
E) 3 m e 9 m. 
 
QUESTÃO 8 
 
Uma maneira de obter polígonos regulares a partir 
de um retângulo ABCD de lados 80 cm e 40 cm é 
através de dobraduras. Se dobrarmos essa folha 
retangular de modo que dois vértices diagonalmente 
opostos coincidam, obtemos a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a informação sobre a 
dobradura, assinale a afirmativa INCORRETA: 
 
a) O segmento EB vale 50 cm. 
b) Os triângulos ABE e GBF são congruentes. 
c) O segmento EF mede 55 cm. 
d) O triângulo BEF não é equilátero. 
 
QUESTÃO 9 
 
Uma pessoa viaja do ponto C ao ponto A, passando 
pelo ponto B, cada trecho percorrido em linha reta, 
como ilustrado na figura a seguir. A distância CA é de 
40 km, a distância CB é de 60 km, e o ângulo 
ACB mede 60
o
. Se a pessoa viajasse de C até A, 
em linha reta, sem passar por B, quanto 
economizaria na distância percorrida, em km? 
Indique o valor inteiro mais próximo. Dado: use a 
aproximação ≈ 2,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 70 km 
B) 72 km 
C) 74 km 
D) 76 km 
E) 78 km 
 
QUESTÃO 10 
 
Considere o triângulo ABC de 
lados e ângulos 
internos . 
Sabendo-se que a 
equação admite c 
como raiz dupla, pode-se afirmar que 
 
A ( ) = 90°. 
B ( ) = 60°. 
C ( ) = 90°. 
D ( ) O triângulo é retângulo apenas se = 45°. 
E ( ) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. 
 
QUESTÃO 11 
 
Na figura abaixo, , e são as medidas 
dos ângulos internos do triângulo ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 | 
 
 
 
 
 
 
Construindo-se um novo triângulo FGH de lados 
medindo sen( ), sen( ) e sen( ), pode-se 
afirmar que: 
A) FGH não é semelhante ao triângulo ABC e está 
inscrito em uma circunferência de raio 1. 
B) FGH é semelhante ao triângulo ABC e está 
circunscrito em uma circunferência de diâmetro 1. 
C) FGH é semelhante ao triângulo ABC e está 
inscrito em uma circunferência de diâmetro 1. 
D) FGH não é semelhante ao triângulo ABC e 
está circunscrito em uma circunferência de raio 1. 
 
QUESTÃO 12 
 
No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por 
terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, 
com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de 
Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de 
Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida 
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 
O Estado de S.Paulo, 13 mar. 2011. (Adaptado.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos α ≈ 0,934, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio- 
 
 
 
Sendai, e que 2
8
 · 3
2
 · 93,4 ≅ 215.100, a velocidade média, em km/h, 
com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
 
(A) 10. 
(B) 50. 
(C) 100. 
(D) 250. 
(E) 600. 
 
QUESTÃO 13 
 
O acelerador de partículas do Laboratório 
Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) tem a forma de 
um dodecágono regular inscrito em um círculo 
com diâmetro de 30 metros. Em cada um de seus 
vértices, está instalado um dipolo (eletroímã usado 
para defletir os elétrons de suas trajetórias nos 
vértices), conforme figura. A distância, em metros, 
entre dois dipolos adjacentes é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
QUESTÃO 14 
 
Observe a seguir a ilustração de um pistão e 
seu esquema no plano. 
 
 
 
4 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um 
disco que gira em torno do centro A. 
 
Considere que: 
– o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 
1 polegada e 4 polegadas; 
– à medida que o disco gira, o pistão move-se 
verticalmente para cima ou para baixo, variando a 
distância AC e o ângulo BÂC. 
 
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x 
radianos, a distância entre A e C, em polegadas, 
pode ser obtida pela seguinte equação: 
 
a) y = 4 + sen(x). 
b) y = 4 + cos(x). 
c) y = sen(x) + . 
d) y = cos(x) + . 
 
QUESTÃO 15 
 
Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC 
formam uma PA . Sabendo-se também que o 
perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo mede 
120°, então o produto dos comprimentos dos 
lados é igual a 
 
a) 25 
b) 45 
c) 75 
d) 105 
e) 125 
 
QUESTÃO 16 
 
 
 
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, 
conhecida por suas belas paisagens montanhosas, 
o governo pretende construir um teleférico, ligando 
o terminal de transportes coletivos ao pico de um 
morro, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a construção do teleférico, há 
duas possibilidades: 
 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal 
de transportes coletivos (ponto A), com uma 
parada intermediária (ponto B), e o ponto de 
chegada localizado no pico do morro (ponto C); 
 
• o ponto de partida ficar localizadono ponto A e 
o de chegada localizado no ponto C, sem parada 
intermediária. 
 
Supondo que m, = 200 m, BÂP = 
 
20º e = 50º, é correto afirmar que a 
distância entre os pontos A e C é de: 
 
a) 700 m 
b) 702 m 
c) 704 m 
d) 706 m 
e) 708 m 
 
QUESTÃO 17 
 
Um engenheiro deseja calcular a distância entre o 
ponto A, na margem de um rio, e o ponto B não 
acessível do outro lado do rio. Para isso, mediu a 
distância de A até outro ponto acessível C e mediu 
os ângulos e . As medidas encontradas 
pelo engenheiro foram AC = 100 m, = 105º 
 
 
5 | 
 
 
 
e = 45º. A distância entre A e B, em metros, 
 
é: 
 
a) 
b) 
c) 50 
 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 18 
 
Considere as seguintes informações: 
 
 De dois pontos A e B, localizados na 
mesma margem de um rio, avista-se um 
ponto C, de
difícil acesso, localizado na margem oposta; 

 Sabe-se que B está distante 1.000 metros 
de A;

 Com o auxílio de um teodolito (aparelho 
usado para medir ângulos) foram obtidas as 
seguintes 
medidas: e . 
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o 
ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu 
comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o 
comprimento da ponte será de aproximadamente 
(A) 524 metros 
(B) 532 metros 
(C) 1048 metros 
(D) 500 metros 
(E) 477 metros 
 
Dado: Considere sen 80
o
 = 0,985, sen 70
o
 = 
0,940, cos 80
o
 = 0,174 e cos 70
o
 = 0,340. 
QUESTÃO 19 
 
A figura a seguir apresenta um esquema de alguns 
trajetos retilíneos que servem de opções de 
percurso para uma ambulância que, partindo do 
local de um acidente ocorrido no ponto A, deve 
seguir em direção a um hospital localizado no ponto 
 
 
 
H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que a ambulância leva 12 minutos 
para percorrer os 18 km do trajeto , rodando à 
velocidade média v, então, mantida esta velocidade, 
se o motorista optasse pelo trajeto + , 
quanto tempo a ambulância gastaria para percorrê- 
lo? (Use a aproximação: = 1,7) 
A) 13 minutos e 48 segundos. 
B) 13 minutos e 36 segundos. 
C) 13 minutos e 30 segundos. 
D) 13 minutos e 24 segundos. 
E) 13 minutos e 12 segundos. 
 
QUESTÃO 20 
 
Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor 
distância da Terra em muitos anos. As figuras a 
seguir ilustram a situação de maior afastamento e a 
de maior aproximação dos planetas, considerando 
que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita 
terrestre (RT) mede 1,5 × 10
11
 m e que o raio da 
órbita de Júpiter (RJ) equivale a 7,5 × 10
11
 m. 
 
Maior afastamento 
 
 
 
 
 
 
6 | 
 
 
 
Maior aproximação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol 
faz um ângulo de 120º com o segmento de reta que 
liga a Terra ao Sol, a distância entre os dois 
planetas é de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
 
QUESTÃO 21 
 
 
 
A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde 
se deseja construir uma ponte AB . De um ponto C, 
a 100 metros de B, mediu-se o ângulo = 45
º
 
e, do ponto A , mediu-se o ângulo = 30
º
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento da ponte AB é: 
 
a. 100 m 
b. 200 m 
c. m 
 
d. 200 m 
e. 200 m 
 
QUESTÃO 22 
 
A figura a seguir representa uma porção do mapa 
rodoviário de uma cidade, em que o quadrilátero 
ABCD é um trapézio isósceles; DEFC, BIJC e AHGB 
são quadrados de lados medindo 2 km, 6 km 
e 2 km respectivamente, e ∠DCB = 60o. É 
CORRETO afirmar que a distância percorrida por 
um veículo que trafega pela poligonal EDABGI é 
igual a: 
 
 
 
7 | 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
QUESTÃO 23 
 
A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um 
rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser 
reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas 
margens opostas do rio. Para medir a distância entre 
esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro 
ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma 
margem do rio onde se encontra o ponto A. 
Usando um teodolito (instrumento de precisão para 
medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito 
empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo 
observou que os ângulos e mediam, 
respectivamente, 30° e 105°, conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B 
é de: 
 
 
 
a) 200 
b) 180 
c) 150 
d) 100 
e) 50 
 
QUESTÃO 24 
 
Admita que, para se deslocar da cidade A para a 
cidade B, é preciso passar pela cidade C. Se o 
ângulo ACB mede 120
o
, a distância AC é de 60 km 
e a distância BC é de 70 km. Qual a distância entre 
as cidades A e B? Indique o valor mais próximo. 
(Dado: use a aproximação ≈ 11,27). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 117,0 km 
B) 116,9 km 
C) 115,8 km 
D) 114,7 km 
E) 112,7 km 
 
QUESTÃO 25 
 
As medidas dos lados de um triângulo são 
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de 
seus ângulos internos são, portanto, 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
 
8 | 
 
 
 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 26 
 
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O 
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um 
curso de 45° em relação ao norte, no sentido 
horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h 
em um curso de 105° em relação ao norte, também 
no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que 
distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e 
velocidade desde que deixaram o porto? 
 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km. 
 
QUESTÃO 27 
 
João e Maria saem da mesma cidade A, em 
trajetórias retilíneas que formam um ângulo de 
60°. João percorre 10 km e chega à cidade C, e 
Maria percorre 20 km e chega à cidade B, como 
mostra o esquema a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que distância Maria ainda deve percorrer para 
chegar à cidade C onde se encontra João? 
 
a) 20 km 
b) 30 km 
c) 10 km 
 
 
 
d) 10 km 
e) 20 km 
 
QUESTÃO 28 
 
Na figura a seguir, A, B e C representam três 
cidades. Um motorista parte de A em direção a B, 
percorrendo 20 km. Em seguida, dirige-se de B 
para C, distantes 20 km. Se tivesse ido diretamente 
de A para C, teria percorrido uma distância de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 32 km. 
b) 20 km. 
c) 18 km. 
d) 16 km. 
 
QUESTÃO 29 
 
Na figura a seguir, o ângulo é tal que 0 < < 
90
o
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, é igual a 
A) 
B) 2 
 
 
 
 
 
 
9 | 
 
 
 
C) 
D) 
 
QUESTÃO 30 
 
Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo 
equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo 
BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e 
= 90
0
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é a medida do segmento AD? 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
 
QUESTÃO 31 
 
No triângulo ABC, exibido na figura, = 5 
cm, = 8 cm e o ângulo = 60
°
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja p, em cm, a medida do perímetro do triângulo 
ABC. O volume, em litros, do cubo com aresta p é: 
 
a) 6 
b) 8 
 
 
 
c) 10 
d) 12 
 
QUESTÃO 32 
 
O para-brisa frontal de um carro tem formato plano 
retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 
m de altura. Os limpadores de para-brisa desse 
carro funcionam no sistema oposto, ou seja, contêm 
duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos 
inferiores do para-brisa, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao serem acionadas, as palhetas fazem um 
movimento em sentido circular para limpar o vidro. 
Considere que as pontas das palhetas ficam rentes 
uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o 
menor ângulo formado entre as palhetas é θ, tal 
que cosθ = −0,125. 
Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta 
é, em metros, 
 
(A) 0,80 
(B) 0,94 
(C) 1,00 
(D) 1,08 
(E) 1,41 
 
QUESTÃO 33 
 
Os lados de um losango medem 4 e um dos 
seus ângulos 30º. A medida da diagonal menor 
do losango é 
 
a). 
b) . 
c) . 
 
 
 
 
10 | 
 
 
 
d) . 
e) . 
 
QUESTÃO 34 
 
Os pontos P e Q estão em uma semicircunferência 
de centro C e diâmetro , formando com A 
o triângulo APQ, conforme indica a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que é paralelo a , e que AB = 
3PQ = 6 cm, então, sen é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
QUESTÃO 35 
 
Se a medida de um dos ângulos internos de um 
paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de 
seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então 
a medida, em metros, da diagonal de maior 
comprimento deste paralelogramo é 
 
a) 2 . 
b) 3 . 
c) 2 . 
d) 3 . 
 
 
 
QUESTÃO 36 
 
A figura mostra um quadrado ABCD no qual os 
segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, 
E e C. 
b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo α. 
 
QUESTÃO 37 
 
Na figura, é diâmetro da circunferência de 
centro O; M é o ponto médio do raio e B é o 
centro da circunferência menor, que passa por M 
e cujo raio é r. 
 
Sendo P o ponto de intersecção das 
circunferências, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) a medida de em função de r. 
B) o cosseno do ângulo . 
 
QUESTÃO 38 
 
Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto 
B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de 
 
 
11 | 
 
 
 
energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a 
distância AB, são medidos a distância e os ângulos 
a partir de dois pontos O e P, situados na margem 
oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 
 
30
o
, POA = 30
o
, APB = 45
o
 e OP = (3 + 3) 
km, calcule AB em hectômetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 39 
 
Para medir a altura h de uma montanha, um 
topógrafo se posiciona em um ponto A , ao sul da 
torre, e mede o ângulo α = 60°, que é a elevação 
da montanha nesse ponto. Caminhando 240 m a 
leste de A e posicionando-se em um ponto B, ele 
mede outro ângulo de elevação que é β = 30°, 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) o valor, em graus, do ângulo . 
 
 
 
b) a altura h da montanha, em metros. 
 
QUESTÃO 40 
 
Três cargas elétricas pontuais, de intensidades −1,0 
C, +3,0 C e +4,0 C, estão localizadas no vácuo, 
respectivamente nos pontos A, B e P do triângulo 
ilustrado. O triângulo ABP é retângulo em A, o 
ângulo ABP mede 30
o
 e a distância entre B e P é 
de 2 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Usando a lei dos cossenos, determine o valor 
absoluto da força resultante na carga localizada no 
ponto P, exercida pelas cargas situadas em A e B. 
Dado: considere a constante elétrica no vácuo 9 × 
10
9
 Nm
2
/C
2
 e ≈ 3,6. 
 
B) Usando a lei dos senos, determine o seno do 
ângulo α que a força resultante na carga situada em 
P forma com a vertical. Dado: use a 
aproximação sen(60º) ≈ 0,87. 
 
QUESTÃO 41 
 
ATENÇÃO: Esta questão apresenta mais de 
uma afirmativa correta. Assinale-as. 
 
Quem passa na Avenida Litorânea, em São Luís do 
Maranhão, pode notar a presença de navios 
ancorados, esperando atracação no Porto do Itaqui. 
Em determinado instante, um observador, situado 
em um ponto O dessa avenida, visualiza três 
navios nos pontos (A, B e C), conforme demonstra 
a figura. 
 
 
 
12 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Naquele instante, sabe-se que 
 
• a distância do observador O ao navio B era 
de 1000 m; 
• a distância entre os navios A e B era de 
500 m; 
• os ângulos , e mediam 90º, 
30º e 45º respectivamente. 
Use: sen(105º) = 0,97 
 
A partir dessas informações, identifique 
as afirmativas corretas: 
 
I. O ângulo media 135º. 
II. A distância entre os navios B e C era de 500 m. 
III. A distância do observador O ao navio C era de 
970 m. 
IV. A distância entre os navios A e C era igual à 
soma das distâncias entre os navios A e B e os 
navios C e B. 
 
V. A distância do observador O ao navio A era de 
500 m. 
 
QUESTÃO 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nesses dados, calcule . 
 
QUESTÃO 43 
 
Assinale a(s) porposição(ões) CORRETA(S). 
 
 
 
 
 
 
01. O sistema é possível e 
indeterminado. 
 
02. O número A = 101
50
 – 1é um múltiplo de 4. 
 
04. Considere x um número real estritamente 
positivo. Se o expoente de x no quinto termo 
do desenvolvimento de 
 
 
é 
um número inteiro, então n é um número par. 
08. Na figura a seguir, a, b e c são as medidas dos 
lados do triângulo ABC e , e são 
os senos dos ângulos . Então, podemos 
afirmar que o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
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é igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 44 
 
Considere os números 
complexos 
 
 
e e as suas representações no plano complexo 
xOy. Considere ainda que, se z é um número 
complexo, então representa o seu conjugado. 
 
Sobre o exposto, é correto afirmar que 
 
01) 
 
02) 
 
04) pertencem à circunferência de 
equação x
2
 + y
2
 = 2. 
 
08) é solução da equação z
2
 − 2z + 4 = 0. 
 
16) a medida do segmento que une é 
(1+ ) unidades de comprimento. 
 
QUESTÃO 45 
 
Determine a área, em centímetros quadrados, 
interior a um triângulo acutângulo de ângulos 
conhecidos, 60º e 75º, e lado comum adjacente a 
esses ângulos medindo 35 cm. 
 
(Use: cos 30º = 0,8; cos 45º = 0,7 e sen 105º = 0,9). 
 
 
 
QUESTÃO 46 
 
Uma cidade B fica exatamente ao norte de uma 
cidade A. Um avião partiu de A e seguiu uma 
trajetória retilínea que fazia um ângulo de 75
º
 em 
relação ao norte, no sentido oeste. Depois de o 
avião percorrer 1.000 km, sua trajetória sofreu um 
desvio de um ângulo de graus (veja a figura a 
seguir); o avião percorreu mais 2.000 km em 
linha reta e alcançou a cidade B. Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) a distâcia entre as cidades A e B; 
B) o valor de . 
Se necessário, use sen75
º
 = 0,96 e cos75
º
 = 0,25. 
QUESTÃO 47 
 
Considere uma gangorra composta de uma tábua 
de 240 cm de comprimento, equilibrada, em seu 
ponto central, sobre uma estrutura na forma de um 
prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura 
igual a 60 cm, como mostra a figura. Suponha que 
a gangorra esteja instalada sobre um piso 
perfeitamente horizontal. 
 
 
14 | 
 
 
 
a) Desprezando a espessura da tábua e supondo 
que a extremidade direita da gangorra está a 20 
cm do chão, determine a altura da extremidade 
esquerda. 
 
b) Supondo, agora, que a extremidade direita da 
tábua toca o chão, determine o ângulo α formado 
entre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, 
como mostra a vista lateral da gangorra, exibida a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o 
comprimento do lado mede , o ângulo 
interno de vértice C mede a, e o ângulo interno de 
vértice B mede . Sabe-se, também, que 
2 cos (2α) + 3 cos α + 1 = 0. 
Nessas condições, calcule 
 
a) o valor de sen α; 
b) o comprimento do lado . 
 
QUESTÃO 49 
 
A) Determine o perímetro do triângulo na forma 
decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use 
algum destes dados: 35
2
 =1.225; 36
2
 =1.296; 37
2
 
=1.369. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, 
em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as 
seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. 
Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 
 
QUESTÃO 50 
 
Assinale o que for correto. 
 
01) Se e 0 < < , 
então . 
02) Se a = 10 cm e b = 20 cm são as medidas 
de dois lados de um paralelogramo de 
área , então a medida do menor 
ângulo formado por esses dois lados é igual a 60
o
. 
 
04) Sendo e arcos do primeiro quadrante tais 
que e , 
então . 
08) Um triângulo ABC em que os lados AB e 
AC medem, respectivamente, 8 cm e 6 cm e o 
ângulo mede 60
o
 tem o ladoBC 
medindo . 
16) Se A, B e C, nas condições da alternativa 
anterior, representam cidades em um mapa feito na 
escala 1 cm : 50.000 cm, então, em linha reta, as 
cidades B e C distam mais que 3 km uma da outra. 
 
QUESTÃO 51 
 
Na figura a seguir determine a medida do 
segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6. 
 
 
 
 
 
15 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 52 
 
Um topógrafo deseja calcular a distância entre 
pontos situados à margem de um riacho, como 
mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as 
distâncias mostradas na figura, bem como os 
ângulos especificados na tabela, obtidos com a 
ajuda de um teodolito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visada ângulo 
 
 
 
a) Calcule a distância entre A e B. 
 
b) Calcule a distância entre B e D. 
 
QUESTÃO 53 
 
A figura ilustra as medidas que um topógrafo 
tomou para calcular a distância do ponto A a um 
barco ancorado no mar. 
 
sen62º = 0,88; cos62º = 0,47 
sen70º = 0,94; cos70º = 0,34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Use os dados obtidos pelo topógrafo e calcule 
a distância do ponto A ao barco. 
É conveniente traçar a altura do triângulo ABC. 
 
B Use esses mesmos dados para calcular o valor de 
cos48º. Se quiser, utilize os produtos: 
88 × 94 = 8.272 e 47 × 34 = 1.598. 
 
QUESTÃO 54 
 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. Um antigo mapa escondido embaixo de uma 
rocha continha as seguintes instruções para se 
encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada 
pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha 
ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. 
Depois disso, gire 60º para norte e caminhe, em 
linha reta, 3 km. A menor distância entre o local 
onde está enterrada a panela de moedas de ouro e 
a rocha onde estava escondido o mapa é de 
aproximadamente 6 km. 
 
02. A equação sen2x + cosx = 0 admite 4 
soluções no intervalo [0, 3 ]. 
 
04. O valor numérico de y na 
expressão é . 
 
08. Se secx = e então tgx + cotgx 
é igual a . 
 
16. A figura a seguir mostra parte do gráfico de 
uma função periódica f, de em , de período 2. 
 
 
16 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 55 
 
Considerando C1 a circunferência de centro em um 
ponto O e raio r cm; considerando o retângulo 
 
ABCD, inscrito em C1, de modo que o 
 
ângulo meça 150°; considerando o losango 
 
MNPQ cujos vértices são pontos médios dos lados 
do retângulo ABCD e considerando a circunferência 
 
C2 inscrita no losango MNPQ, assinale o que for 
 
correto. 
 
01) A medida do maior lado do retângulo ABCD 
é maior do que 2r cm. 
 
02) A região limitada pelo retângulo ABCD preenche 
menos do que 25% da região limitada pela 
 
circunferência C1. 
 
04) A medida do perímetro do losango MNPQ é a 
metade da medida do perímetro do retângulo ABCD. 
 
08) O comprimento da circunferência C2 
mede cm. 
 
16) A área da coroa circular limitada pelas 
circunferências C1 e C2 mede cm
2
. 
 
QUESTÃO 56 
 
Para calcular a distância de um ponto B a um ponto 
A do outro lado de um rio, um engenheiro mediu a 
distância de B a um ponto acessível C e, com um 
teodolito, mediu os ângulos e , conforme 
figura a seguir. Determine o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o valor do seno do ângulo = 75°. 
 
b) Calcule o valor da secante do ângulo = 75°. 
 
c) Sabendo que = 30 m, = 45° e = 
75°, determine o valor da distância entre o ponto B 
e o ponto A . 
 
QUESTÃO 57 
 
Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma 
mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no 
ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada 
por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. 
Além disso, Q é o ponto médio do 
segmento , e o ângulo agudo formado por 
e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, 
após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir 
de Q, forma um ângulo agudo com o 
segmento e o mesmo ângulo agudo com 
o lado L antes e depois da reflexão. Determine 
a tangente de e o seno de . 
 
 
 
17 | 
 
 
 
consecutivas. 
 
c) Determine o comprimento do arco entre 
duas gôndolas consecutivas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 58 
 
Uma roda gigante de formato circular com 10 metros 
de raio é composta de oito gôndolas, cujos centros 
são os vértices de um octógono regular. A roda gira 
no sentido anti-horário, iniciando seu giro com a 
gôndola 1 posicionada na plataforma de embarque 
(conforme indica a figura a seguir), que se encontra 
no mesmo nível do centro da roda gigante, cuja 
altura em relação ao solo é de 12 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responda aos itens a seguir, desconsiderando as 
dimensões das gôndolas e sem usar aproximações 
para efeito dos cálculos. 
 
a) Se a roda gigante girar 30° no sentido anti-
horário, qual será a altura da gôndola 1 em relação 
ao nível do solo? 
 
b) Determine a distância entre duas gôndolas 
 
 
 
18 |