Modelagem_AULA_3 MMA

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Funções de Transferência de sistemas mecânicos
Nesta aula abordaremos como encontrar os modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação linear e rotacional. Você já imaginou como funciona uma equação para um amortecedor de um automóvel? E para modelar a ‘atitude’ (apontamento) de um satélite? Pois é, nesta aula iremos aprender as análises básicas para tais coisas. Novamente, é preciso que você tenha forte conhecimento das aulas anteriores, de funções de transferência e equações no espaço de estado. Vamos estudar!!
REFERÊNCIAS 
FRANKLIN, G. F.; POWELL, D.; EMANI-NAEINI, A. Sistemas de controle para engenharia. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. cap 2.
OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall. cap 3.
PHILIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron Books, 1996. Cap 2, p. 35-40.
Bibliografia básica e complementar:
	OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
AGUIRRE, L. A. Enciclopédia de Automática: Controle & Automação. Volume II. Editora Blücher. 2007
Questão 1: Encontre as constantes elásticas equivalentes das molas dos sistemas mostrados a seguir:
GABARITO: 
Comentário: Para as molas em paralelo em (a) podemos escrever a seguinte equação:
Então: 
Para as molas em série em (b), a força em cada mola é
. Eliminando y nessas equações temos
(OBS.: para os mesmos arranjos com coeficientes de atrito viscoso, ou amortecedores, o beq é encontrado de forma análoga ao exercício anterior. Fica a cargo do aluno as deduções)
QUESTÃO 2: (Adaptada de Ogata (2003)) Encontre a representação no espaço de 
estados do sistema mostrado na figura a seguir:
Comentário: As equações do sistema são:
As variáveis de saída são y1 e y2. Definimos as variáveis de estado como:
. Então podemos escrever:
Então a equação de estado para este sistema é:
E a equação de saída é:
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QUESTÃO 3: Obtenha as funções de transferência e do sistema mecânico mostrado na figura a seguir
GABARITO: 
e 
COMENTÁRIO:
As equações de movimento para o sistema em questão são dadas por:
. Podemos isolar x1 e x2 nas equações e obter:
Consideramos as condições iniciais iguais a zero, e transformamos as equações anteriores para Laplace
 (1)
. (2)
Isolando nessa última equação (2) e substituindo na penúltima (1), temos
E podemos encontrar a primeira função de transferência pedida:
A partir da equação (2) e de (isto é, substituindo da FT em (2)) temos:
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QUESTÃO 4: (Adaptada de Ogata (2003)) Obtenha a função de transferência Y(s)/U(s) para o sistema mecânico a seguir. A entrada u é um deslocamento (esta pode ser considerada uma análise simples da suspensão de um automóvel ou de uma motocicleta).
GABARITO:
Comentário: vamos supor para esse sistema que os deslocamentos x e y são medidos a partir das respectivas posições de repouso que ocorrem na ausência da entrada u. As equações modeladas são:
E escrevemos:
Fazendo a transformada de Laplace das duas equações anteriores (considerando condições iniciais nulas) temos:
Eliminando X(s) das duas últimas equações, e re-arrumando temos:
E assim encontramos:
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Olá alunos! Já começamos essa aula a todo vapor! Lembra da aula 3 onde vimos o exemplo a seguir?
 		
			(2)
		(3) ; e (4)
Assim sabemos que x1(t) é a posição da massa e x2(t) é a velocidade. Das equações (1), (2) e (3) escrevemos
 (5)
O modelo de espaço de estado está contido em (3), (4) e (5). Este modelo geralmente é escrito em um formato específico, reordenando as equações anteriores e escrevendo assim:
Então, a equação de estado e a de saída foram encontradas:
Retornamos a esse exemplo para mostrar um sistema considerado clássico em modelagem: o sistema massa-mola-amortecedor. Utilizando as leis físicas, principalmente as de mecânica, conseguimos com esse sistema modelar vários problemas de engenharia no cotidiano. Por isso sua importância.
Os elementos dos sistemas mecânicos de translação linear são a massa, amortecimento (atrito), e elastância (mola). A figura a seguir representa a força aplicada f(t); x(t) é o deslocamento, e M a massa.
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
Então, podemos utilizar a segunda Lei de Newton, que nos diz que
 . (a soma das forças aplicadas a um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração adquirida)
 onde v(t) é velocidade (primeira derivada da posição da massa) e a(t) é a aceleração (segunda derivada da posição do corpo). Também assumimos que a massa é rígida, isto é, os pontos de conexão inferior e superior não se movem um em relação ao outro; logo, a posição dos pontos superior e/ou inferior é x(t).
O atrito para a modelagem dos sistemas mecânicos é considerado uma implementação do atrito viscoso associado ao óleo, ou ar, etc; um dispositivo físico modelado como atrito, por exemplo, é o amortecedor de um automóvel (que absorve o choque). A equação matemática para modelar o atrito é
 onde B é o coeficiente de amortecimento. A força de atrito é diretamente proporcional à diferença de velocidade dos elementos.
A mola é também um elemento mecânico de translação. A equação para modelá-la é proveniente da Lei de Hooke, ou seja
 a força da mola é diretamente proporcional à diferença do deslocamento de um extremo da mola em relação ao outro. 
 estas equações são válidas para o sentido dos deslocamentos indicadas pelas setas na figura. Se mudarmos o sentido de deslocamento, o sinal equivalente ao termo nas equações deve ser trocado.
: o atrito dissipa energia, porém não armazena; a massa e a mola podem armazenar energia, mas não podem dissipá-la. 
Sistemas mecânicos rotacionais
(exemplos de momento, torque e ângulo de rotação)
Os elementos que compõem esse sistema são análogos ao de translação linear, por isso podemos escrever suas equações utilizando os mesmos procedimentos. Seus 3 elementos são momento de inércia, atrito viscoso e torção. Para descrevermos as relações de equações desses elementos, utilizamos o princípio de que a soma dos torques ao redor do eixo de uma inércia deve ser igual ao momento de inércia multiplicado por sua aceleração angular. 
O momento de inércia tem sua equação modelada pela seguinte relação
Onde é o torque aplicado, J é o momento de inércia, é o ângulo de rotação, e é a velocidade angular. Note que esta equação que acabamos de descrever é análoga a da massa no sistema de translação linear.
O atrito é definido pela seguinte equação 
(Onde é o torque aplicado, B é o coeficiente de amortecimento, é um ângulo de rotação, e é uma velocidade angular).
Para a mola rotacional temos a equação 
Onde K é o coeficiente da mola. (OBS.: consideramos que o elemento de rotação tem momento de inércia zero). 
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ATIVIDADE 2: (adaptado de Ogata (2003))
Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro de massa desprezível, como mostrado na figura a seguir. Suponha que o carro está parado para t<0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro e é a entrada do sistema. O deslocamento y(t) da massa é a saída (o deslocamento é relativo ao solo). Suponha que a força de atrito do amortecedor seja proporcional a y' - u' e que a mola seja linear, isto é, a força da mola seja proporcional a y - u. 
Para o sistema modelado na figura, responda como fica a equação diferencial em função do tempo? E Transformando para Laplace, como fica a função de transferência? 
Sabemos que ; aplicando a 2ª Lei de Newton para este sistema e com a consideração de que o carro possui massa desprezível, teremos:
Essa última equação representa o modelo matemático do sistema. Aplicando a transformada de Laplace nessa equação, e supondoas condições iniciais nulas, teremos:
Esta representação de um modelo matemático por função de transferência é muito utilizada na engenharia. 
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ATIVIDADE EXTRA, Encontre a função de transferência de um sistema físico definido pelas seguintes equações no espaço de estado, utilizando o MATLAB:
GABARITO:
O programa a seguir fornecerá a função de transferência para o presente sistema, que resultará em 
{ Programa em MATLAB:
A= [0 1 0; 0 0 1; -5 -25 -5];
B= [0; 25; -120];
C= [1 0 0];
D= [0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
num=
 0 0.0000 25.0000 5.0000
den
 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000
 %***** O mesmo resultado pode ser obtido entrando com o seguinte comando:*****
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num=
 0 0.0000 25.0000 5.0000
den
 1.0000 5.0000 25.0000 5.0000] }
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