Modelagem_AULA_ SIST 1_a ORDEM

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AULA 07 
Princípios de Análise no domínio temporal
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
REFERÊNCIAS DA AULA
DUARTE FILHO, M. Síntese de controlador PID para controle de pH em um reator com otimização via algoritmos genéticos. 2014. 93f. Dissertação (Mestrado). Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro – UENF. Campos dos Goytacazes, RJ, 2014. Disponível em: http://uenf.br/posgraduacao/engenharia-de-producao/wp-content/uploads/sites/13/2013/04/Disserta%C3%A7%C3%A3o-Vers%C3%A3o-final_Mois%C3%A9s-Duarte-Filho.pdf Acesso em: 14 jun. 2018.
OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall. cap 5.
Bibliografia básica e complementar:
	OGATA, K.. (2003) Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição de 2003, 3ª reimpressão de 2007. São Paulo: Pearson Prentice Hall.
NISE, Norman, S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
AGUIRRE, L. A. Enciclopédia de Automática: Controle & Automação. Volume II. Editora Blücher. 2007
Questão 1: (adaptada) o gráfico abaixo foi gerado por um instrumento eletrônico (osciloscópio digital) para uma saída de um equipamento, onde o eixo x é o tempo, e o y(t) é uma magnitude da variável que está sendo controlada.
foi aplicado um degrau unitário de tensão nos terminais da entrada u(t) desse equipamento, e medida a velocidade de saída y(t). 
Supondo que o gráfico acima represente a saída de um sistema de primeira ordem, a função de transferência para o sistema é?
GABARITO: valendo-se da forma genérica proposta por Ziegler-Nichols, e percebendo no gráfico que não há tempo morto, isto é, podemos escrever
 
Podemos perceber que “8” é o valor final mostrado pelo gráfico, logo o usamos como valor de ganho K; a constante de tempo é igual ao tempo necessário para se chegar em 63,2% do valor final da resposta, logo aproximadamente igual a 5; esse valor, analisando o gráfico, é 4 segundos. Logo escrevemos a forma genérica da resposta.
Questão 2: analisando o gráfico da questão anterior, encontre os tempos de acomodação desse sistema para os critérios de 5% e 2%.
GABARITO: já que encontramos o valor da constante de tempo para o sistema de 1ª ordem anteriormente, temos
Questão 3: (adaptada de Ogata (2003)) um termômetro requer 1 minuto para indicar 98% da resposta a uma entrada em degrau unitário. Supondo que o termômetro possa ser modelado por um sistema de 1ª ordem, determine a constante de tempo.
GABARITO: foi-nos dito que o termômetro leva 1 minuto para indicar 98% da resposta à entrada de referência. Logo temos que 
QUESTÃO 4: Em uma análise feita em uma planta química, onde se tem o controle de pH em um reator para mistura de ácido-base, o seguinte gráfico a seguir foi encontrado
Fonte: adaptada de Duarte Filho (2014)
Sabendo que a referência dada como set-point foi de um pH 8,5, qual o tempo morto e o tempo de acomodação desse sistema?
GABARITO: Visualmente podemos estabelecer que o tempo morto é aproximadamente de 2 segundos no gráfico.
Como a referência (set-point) é 8,5 : 63,2% de 8,5 = 5,372. Isso, por inspeção visual, dá um tempo de aproximadamente 4 segundos, que vem a ser a constante de tempo. Como foi pedido o valor do tempo de acomodação, mas sem apresentar qual o critério, vamos encontrar para os dois:
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APRESENTAÇAO DA AULA
Olá aluno! Nesta aula você estará apto, após terminá-la, a entender, identificar e trabalhar com os sistemas de primeira ordem. Para isso é necessária bastante atenção em algumas características próprias desses sistemas e em suas funções de transferência, que você irá logo descobrir. Este conteúdo é de extrema importância tanto para a próxima aula quanto para te dar base até para disciplinas posteriores. Vamos estudar?!
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 Nas aulas anteriores vimos que um passo primordial para a análise de um sistema de controle é a obtenção do modelo matemático do sistema. Com isso obtido, podemos analisar o desempenho através de métodos disponíveis. Na prática, o sinal de entrada do sistema de controle não é conhecido previamente (somente em alguns casos especiais, como no caso de controle automático de máquinas-ferramentas). Precisamos ter uma base de comparação do desempenho de vários sistemas de controle para analisar os mesmos; para isso detalhamos os sinais de entrada de teste e em seguida comparamos as respostas dos sistemas com esses sinais. Esses sinais de testes foram o que vimos como revisão na aula 1, as funções degrau, rampa, parábola de aceleração, impulso, senoidais, etc. Com isso podemos obter facilmente, já que essas funções no tempo são simples, a análise experimental e a matemática dos sistemas (por exemplo, se um sistema estiver sujeito a variações bruscas de entrada, a função degrau é uma boa escolha para sinal de teste; se as entradas de um sistema são funções do tempo que variam gradualmente, então a rampa em função do tempo também pode ser uma escolha. O desempenho do sistema em resposta a entradas reais é satisfatório, geralmente, se os sinais de teste forem bem projetados). 
		A resposta temporal de um sistema de controle é composta por resposta transitória (aquela que vai do estado inicial ao estado final) e resposta estacionária (o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que t tende ao infinito). Estudamos isso porque a característica mais importante do comportamento do sistema de controle é a estabilidade absoluta (se o sistema é estável ou não); por isso no projeto de um sistema de controle deve ser possível prever seu comportamento dinâmico. (OBS: estabilidade diz respeito a um sistema de controle LIT em que sua saída sempre retorna ao estado de equilíbrio quando o mesmo é submetido a uma condição inicial. Você verá muito mais sobre isso nas disciplinas que envolve o controle de processos. Lá outras análises serão feitas, como a estabilidade relativa e erro estacionário (ou erro em regime permanente)).
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Considere o sistema de primeira ordem mostrado na figura a seguir. Classificamos as funções de transferência por “ordem” de acordo com a sua função polinomial do denominador. Se ela tem ordem igual a 1, isto é, uma função do primeiro grau, então esse sistema é dito de primeira ordem.
	 O exemplo apresentado pode representar um circuito RC ou um sistema térmico. A relação da entrada com a saída é
OBS (o coeficiente que acompanha a variável “s” no denominador é a letra grega “tau” , para fazermos diferença do “t” usado para tempo e T usado para torque, etc. - nota do autor)
Resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem
Se substituirmos R(s) por 1/s, que é a entrada em degrau unitário, podemos escrever
Expandido C(s) em frações parciais temos
Fazendo a transformada inversa de Laplace da equação anterior temos
 para (!!!! Importante essa relação)
Esta última equação estabelece que no início a resposta c(t) é zero e no fim é unitária. Uma característica importante de uma curva de resposta exponencial c(t) é que em 
t = 
se substituirmos na equação... c() = 1 – e-1 = 0,632 encontramos o valor de c(t) = 0,632. 
Isto é, a resposta c(t) alcançou 63,2% de sua variação total (do seu valor de referência – setpoint, ou do valor final). Chamamos essa característica de constante de tempo 
, ou seja, essa constante é o tempo necessário para que a saída temporal alcance 63,2% do valor final. (Tempo de primeira ordem: é o tempo que o processo demora, uma vez iniciada a variação, para chegar aos 63% da variação total final. Esse número, 63%, é proveniente de uma exponencial que aparece na solução analítica da equação diferencial, a qual vimos o detalhamento anteriormente)
Note que quanto menor a constante de tempo , mais o sistema responde rapidamente. Outra característica, que podemos ver no gráfico da figura a seguir, é que a inclinação da linha tangente em t = 0 é 1/ (com isso vemos que a inclinação da curva de resposta c(t) para uma resposta ao degrau unitário de um sistema de 1ª ordem, decrescemonotonicamente de 1/ em t =0, a zero em t = ∞).
Analisando o gráfico vemos que a constante de tempo vai de zero da curva de resposta exponencial, a 63,2% do valor final. 
Podemos analisar também os tempos de acomodação (na prática, é o tempo para a saída entrar em uma variação de erro entre 2% a 5% de sua referência), ou , para critérios usuais na indústria como benchmarking[footnoteRef:1]. 2 tempos bastante utilizados para analisar o valor da saída em regime permanente é o de 2% e 5%, ou seja, a resposta já alcançou 95% do valor final ou 98% do seu valor. No gráfico esses tempos são de [1: Benchmarking vem da palavra benchmark, que significa “referência”. Assim, fazer um benchmarking nada mais é do que buscar as melhores referências e práticas realizadas pelas empresas de mercado; geralmente usada na economia e empreendedorismo, a indústria se vale também desse termo para referências de critérios que são muito utilizados. Adaptado pelo autor de http://www.administradores.com.br/noticias/negocios/benchmarking-o-que-e-como-fazer-e-como-a-pesquisa-de-mercado-pode-ajudar/116735/. Acessado em 04-06-2018.] 
Resposta a rampa unitária do sistema de 1ª ordem
A transformada de Laplace de uma rampa unitária é 1/s2, então a resposta do sistema mostrado anteriormente fica
Expandindo em frações parciais obtemos
(OBS.: o sinal de erro e(t) é e(t) = r(t) – c(t); 
)
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
Resposta ao impulso unitário do sistema de 1ª ordem
Para um impulso unitário, R(s) = 1, a resposta do sistema da figura mostrada anteriormente fica
A transformada inversa da equação anterior fica
, para t ≥ 0
Fonte: adaptada de Ogata (2003)
 Relação importante para os sistemas LIT de primeira ordem
A saída c(t) para uma entrada em rampa unitária é
A saída para uma entrada em degrau unitário, que é a derivada da entrada em rampa unitária, temos 
E, para a entrada em impulso unitário, que é a derivada da entrada em degrau unitário, temos a saída c(t)
Podemos verificar, através da comparação das respostas do sistema a essas três entradas, que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida derivando-se a resposta do sistema para o sinal original. Também podemos inferir por analogia que a resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sistema ao sinal original (e pela determinação da constante de integração a partir da condição inicial de resposta nula). Esta é uma propriedade dos sistemas lineares e invariantes no tempo. Não possuem essa propriedade os sistemas lineares variantes no tempo e sistemas não-lineares.
Forma genérica de sistema de 1ª ordem segundo Ziegler-Nichols
Ogata (2003) nos diz que a maioria dos controladores PID (alvo de estudo em disciplinas de controle) são ajustados em campo, usando diferentes tipos de regras de sintonia ou simplesmente a tentativa-e-erro. A utilidade dos controles PID são largamente válidos na indústria, dada a sua aplicabilidade, baixo custo, quando o modelo matemático da planta não é conhecido, etc.
	Neste caminho, os autores Ziegler e Nichols propuseram regras para a determinação dos parâmetros do controlador PID (KP, Ti e Td) baseadas nas características da resposta temporal de uma dada planta. (OBS: Estas e outras análises são de grande valia para demonstrar a agilidade de sintonizar um controlador para um determinado processo, quando se conhece a dinâmica deste. Nos métodos de sintonia clássicos para controladores, que é o caso desses autores citados, para cada planta é necessária uma série de testes com o processo, o que pode ser não conveniente, pois sugere parada do processo, e posteriormente cálculos para obtenção dos valores dos parâmetros ideais de sintonia. Contudo, muitas vezes após executado esses métodos, a planta ainda não se encontra controlada de acordo com os parâmetros de especificação de desempenho, como tempo de subida, máximo Sobressinal e tempo de acomodação, necessitando muitas vezes de uma sintonia fina, que pode ser realizada de forma heurística DUARTE FILHO, (2014).)
Não iremos abordar explicitamente esses métodos aqui, mas queremos salientar que no primeiro método exposto por eles, obtém-se experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário, se esta não possui integradores nem polos complexos conjugados dominantes. Então a curva de resposta ao degrau unitário vai ter um aspecto de “S”, e gerar mais uma constante na função de transferência genérica, o tempo morto, .
( que é o tempo de um atraso entre o momento que ocorre uma mudança ou variação da variável de processo e quando essa mudança vem a ser observada)
Então, a função de transferência genérica C(s)/R(s) para um sistema de primeira ordem com atraso de transporte (tempo morto), segundo Ziegler e Nichols, pode ser aproximada por
Essa forma genérica pode ser utilizada para encontrar modelos baseados em dados da planta, quando não se tem o modelo matemático da mesma. 
O ganho K também pode ser encontrado pelos dados da planta. O ganho físico do processo vem da relação de sensibilidade entre a variação de saída e a variação na entrada deste processo, ou seja, o ganho expressa o quanto se altera a variável de saída para cada unidade de variação da variável de entrada. Podemos escrever .
CONCLUSÃO DA AULA
Aprendemos com essa aula a identificar os sistemas de primeira ordem, e analisar suas características de acordo com suas entradas, e suas constantes características. Vimos também que podemos encontrar uma função de transferência genérica baseada em dados experimentais e não em modelagem fenomenológica (por equações matemáticas). Essa aula nos deu base para prosseguirmos no estudo da próxima, onde veremos os sistemas de 2ª ordem. Para mais aprofundamento, busque mais exercícios nas bibliografias. Até a próxima aula!
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