APOSTILA-INTRODUÇÃO-AO-CÁLCULO

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
1 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 4 
2 RELAÇÃO BINÁRIA .............................................................................................. 5 
3 DOMÍNIO E IMAGEM ............................................................................................ 8 
3.1 Conceito de função .............................................................................................. 8 
4 APLICAÇÕES NA FÍSICA E NA BIOLOGIA ........................................................ 11 
5 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO POR LIMITES ........................................... 13 
6 FUNÇÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS .................................................... 19 
7 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO................................................................... 23 
8 FUNÇÕES CRESCENTES, DECRESCENTES E CONSTANTES ...................... 27 
9 CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO.................................................................... 31 
9.1 Pontos de inflexão ............................................................................................. 36 
10 PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO ............................................................. 38 
10.1 Teorema do valor médio .................................................................................... 42 
10.2 Teste das derivadas .......................................................................................... 44 
11 OTIMIZAÇÃO EM VÁRIAS VARIÁVEIS .............................................................. 48 
12 EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO .......................................................................... 51 
13 PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..................... 56 
14 FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS .......................................................... 60 
14.1 Funções lineares ............................................................................................... 61 
15 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ............................................................................ 66 
15.1 Função afim ....................................................................................................... 66 
15.2 Função quadrática ............................................................................................. 68 
15.3 Vértice da parábola ............................................................................................ 69 
 
2 
 
16 RESOLUÇÕES MATEMÁTICAS ......................................................................... 70 
17 FUNÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO ......... 72 
17.1 Função ............................................................................................................... 72 
17.2 Funções injetoras .............................................................................................. 75 
17.3 Funções sobrejetoras ........................................................................................ 75 
17.4 Funções bijetoras .............................................................................................. 75 
18 ZEROS DE UMA FUNÇÃO E IDENTIFICAÇÃO GRÁFICA DA MUDANÇA DE 
SINAL..........................................................................................................................76 
18.1 Propriedades de funções ................................................................................... 80 
19 TIPOS DE FUNÇÕES.......................................................................................... 82 
19.1 Funções algébricas ............................................................................................ 82 
19.2 Funções polinomiais .......................................................................................... 83 
19.3 Funções racionais.............................................................................................. 83 
19.4 Funções trigonométricas ................................................................................... 84 
20 FUNÇÕES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS .................................................... 87 
21 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................... 92 
21.1 Gráfico da função exponencial .......................................................................... 95 
22 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................... 98 
22.1 Gráfico da função logarítmica .......................................................................... 102 
22.2 Relação entre função exponencial e função logarítmica ................................. 104 
23 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA .................. 106 
23.1 Escala Richter ................................................................................................. 106 
23.2 Pressão atmosférica ........................................................................................ 107 
24 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ............. 109 
24.1 Continuidade ................................................................................................... 112 
 
3 
 
24.2 Funções com três ou mais variáveis................................................................ 113 
25 PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS .......... 113 
26 CÁLCULO DE LIMITE POR SUBSTITUIÇÃO ................................................... 115 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 INTRODUÇÃO 
Prezado aluno! 
 
O grupo educacional Faveni, esclarece que o material virtual é semelhante ao da 
sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se 
levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que 
seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a 
pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, 
é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao 
protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância 
exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um 
horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A 
vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A 
organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos 
definidos para as atividades. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 RELAÇÃO BINÁRIA 
As relações binárias começaram a aparecer na Antiguidade, quando o filósofo e 
matemático Pitágoras descobriu as relações aritméticas das notas musicais. Essas 
relações estão presentes nas mais diversas áreas. O astrônomo e físico Galileu Galilei, 
ao analisar o movimento de uma esfera sobre um plano inclinado, estabeleceu relação 
entre a distância percorrida e o intervalo de tempo que ela levou para percorrê-la, 
chegando então à primeira função matemática, que se utiliza na física até hoje 
(FRIEDRICH; MANZINI, 2010). 
Essa relação pode ser vista no plano cartesiano, onde podemos representar um 
ponto por meio de um par ordenado (x, y). Para representar o ponto no plano cartesiano, 
deve-se encontrar o ponto no eixo x representado pelo número x e traçar uma reta por 
esse ponto, paralela ao eixo y. Depois, encontrar o ponto sobre o eixo y representado 
pelo número y e traçar a reta por esse ponto, paralela ao eixo x. O ponto de interseção 
dessas duas retas é o ponto desejado (TAN, 2014). 
A seguir, observe um exemplo de plano cartesiano e coordenadas x e y com 
pontos marcados, e veja como determinar as coordenadas decada ponto, conforme o 
quadrante em que ele está localizado (SILVA, 2019). 
 
 
6 
 
 
 
Acompanhe um exemplo aplicado, no qual você deve analisar as variáveis 
envolvidas e a relação entre as duas grandezas, identificar os eixos x e y, e representar 
graficamente os pontos no plano cartesiano (SILVA, 2019). 
 
 
7 
 
 
 
8 
 
3 DOMÍNIO E IMAGEM 
3.1 Conceito de função 
Antes de falarmos propriamente sobre domínio e imagem, cabe formalizar o 
conceito de função. As funções podem ser de uma variável ou de várias variáveis, 
dependendo do número de variáveis independentes que a função apresenta (SILVA, 
2019). 
Friedrich e Manzini (2010, p. 23) destacam: “Função de A em B é uma relação 
que associa a cada elemento do conjunto A um e somente um elemento do conjunto B”. 
Isso significa que, para termos uma função, precisamos de dois conjuntos. O conjunto A 
é denominado domínio da função; o conjunto B, contradomínio da função. Além disso, 
para todo elemento do conjunto A, precisamos ter um e somente um elemento associado 
no conjunto B. 
Veja exemplos de funções a partir do Diagrama de Venn, que representa as 
relações entre conjuntos por meio de figuras (Figura 1). 
 
 
 
Para termos uma função, precisamos ter um domínio, um contradomínio e a lei 
de formação matemática da função, ou seja, a equação geral que representa 
adequadamente o problema. Já vimos que o domínio são os elementos do conjunto A 
 
9 
 
(conjunto de partida) e o contradomínio são os elementos do conjunto B (conjunto de 
chegada) (SILVA, 2019). 
A correspondência entre esses dois conjuntos é estabelecida por uma expressão 
matemática, e é por meio dessa lei da função que encontramos os valores de y. Por isso, 
representamos y = f(x) (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). A Figura 2 sintetiza o que 
abordamos até aqui (SILVA, 2019). 
 
 
 
Assim: 
 
 O domínio da função é o conjunto A; 
 O contradomínio da função é o conjunto B; 
 A lei de formação dos pares ordenados é representada por y = f(x). 
 
A lei de formação é responsável pelo valor de y para cada x. O conjunto formado 
por esses elementos y é denominado conjunto imagem da função. Utilizando a 
representação por diagramas, podemos visualizar cada conjunto, conforme a Figura 3 
(SILVA, 2019). 
 
 
10 
 
 
 
O que vimos na Figura 5 foi a representação do conjunto A (domínio) e o conjunto 
B (que contém a imagem) da função. Essa mesma função pode ser definida para um 
conjunto A em um conjunto C, de modo que este não seja o conjunto imagem, e sim um 
conjunto que contém os elementos do conjunto imagem. Esse conjunto C é conhecido 
como contradomínio (DEMANA et al., 2013). 
Demana et al. (2013) mostram como podemos observar uma função a partir da 
ideia de uma “máquina”. Veja o exemplo a seguir. 
 
 
 
 
11 
 
Definimos algebricamente uma função por meio de uma lei de formação 
matemática, em termos da variável x do domínio. No entanto, é necessário definir o 
domínio, pois a lei de formação não fornece todos os dados para a formação da função. 
Demana et al. (2013) utilizam como exemplo a definição do volume de uma esfera como 
uma função do seu raio por meio da fórmula . É preciso prestar atenção à 
fórmula, pois ela está definida para todos os números reais; no entanto, a função volume 
não está definida para valores negativos de r. Portanto, como a intenção é estudar a 
função volume, é preciso restringir o domínio para todo r ≥ 0. Para facilitar a 
compreensão, observe o exemplo que tem como propósito verificar o domínio de uma 
função. 
 
 
4 APLICAÇÕES NA FÍSICA E NA BIOLOGIA 
A matemática tem aplicações importantes na física e na biologia. Embora à 
primeira vista possam parecer distantes, matemática e biologia são disciplinas com muita 
 
12 
 
relação entre si. A matemática contribui com a previsibilidade e a repetição de 
experimentos, estabelece métricas e trabalha dados importantes em pesquisas nas áreas 
de biologia, como na saúde, ecologia, fisiologia, bioquímica, genética, morfologia, entre 
outras (SILVA, 2019). 
Pereira (2014) destaca que a matemática não se resume apenas à interpretação 
de dados em um plano cartesiano, mas diversas tomadas de decisões são realizadas por 
meio da análise de números. Um exemplo bastante relevante sobre a relação entre as 
áreas pode ser dado pela microbiologia, que observou padrões nos ciclos de vida das 
bactérias. Essa descoberta do início do século passado reporta um profundo impacto 
sobre a saúde humana e a determinação do desenvolvimento de uma colônia bacteriana. 
Outro exemplo interessante trazido por Pereira (2014) é quando um médico 
receita um antibiótico. O remédio deve ser tomado de em horas por um período de y dias, 
semanas ou meses. Essa recomendação não é casual e pode ter um impacto relevante 
se não for respeitada — outra vez, implicará na conexão entre matemática e biologia. 
Ainda no exemplo do médico que receita determinado antibiótico para uma 
bactéria, depois do diagnóstico, conforme os sintomas e a sua intensidade, e de acordo 
com o tamanho e o peso da pessoa, o médico vai estimar o tamanho da população 
bacteriana que está causando a infecção. Conhecendo o ciclo de reprodução, ele 
determina o tempo e o intervalo do uso do medicamento por um período de tempo, até 
que a população do agente infeccioso chegue a zero. Por isso, se o médico disser que 
se deve tomar um antibiótico de 12 em 12 horas, isso significa que aquela espécie de 
bactéria tem um ciclo de reprodução de 12 horas e, com isso, ele está tentando frear 
esse mecanismo. Aqui fica evidente a importância de respeitarmos à risca as orientações 
médicas no tratamento de doenças (PEREIRA, 2014). 
Os conceitos matemáticos ainda podem ser destacados na fisiologia do sistema 
circulatório, como bem mencionado por Pereira (2014). A matemática permite que se 
analise o funcionamento do nosso sistema circulatório, observando os batimentos por 
minuto (frequência), a velocidade do fluxo sanguíneo, a pressão arterial, suas 
intensidades e variações, ou seja, o comportamento desses dados é determinante em 
muitos diagnósticos. Muitas outras relações entre matemática e biologia poderiam ser 
 
13 
 
citadas, mas procurou-se evidenciar a proximidade dessas duas ciências, tão ricas e 
essenciais para os seres vivos. 
A relação da matemática com a física não é diferente: existem muitas aplicações. 
Por exemplo, podemos querer encontrar a velocidade média com que um veículo se 
desloca de um lugar para outro. Além disso, trabalha-se frequentemente com unidades 
de medida como km/h (quilômetros por hora) ou m/s (metros por segundo), e são feitas 
conversões na física para buscar a solução de determinados problemas. Portanto, de 
uma forma ou de outra, passa-se pela matemática a todo instante. Vejamos um exemplo 
prático, que poderá tornar essa relação mais evidente (SILVA, 2019). 
 
 
5 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO POR LIMITES 
Nesta seção, você verá o que caracteriza uma função como contínua, sendo as 
representações gráficas os elementos que contribuirão para esse entendimento. A 
palavra “contínua” supõe não ter quebras ou interrupções. Graficamente, podemos 
 
14 
 
ilustrar uma função em uma curva inteira como contínua, conforme mostrado na Figura 
1, a seguir. (SILVA, 2018) 
 
 
 
Por outro lado, uma quebra nessa curva é denominada uma descontinuidade, 
como mostra a Figura 2. 
 
 
 
Rogawski (2008, p. 64) define continuidade em um ponto da seguinte forma: “[...] 
suponha que f(x) esteja definida num intervalo aberto contendo x = c. Então, f é contínua 
 
15 
 
em x = c se . Se o limite não existir, ou se existir, mas for diferente de f(c), 
dizemos que tem uma descontinuidade (ou que é descontínua) em x = c”. 
É importante destacar que uma função pode ser contínua em alguns pontos e 
descontínua em outros. A seguir, veremos exemplos de uma função contínua em todos 
os pontos deum intervalo e todos os pontos do seu domínio (SILVA, 2018). 
 
 
 
16 
 
 
 
Além de conhecer a definição de continuidade, é interessante saber que existem 
aplicações práticas. As descontinuidades, por exemplo, podem sinalizar a ocorrência de 
fenômenos físicos (SILVA, 2018). 
 
 
17 
 
 
 
Anton, Bivens e Davis (2014) definem continuidade em um intervalo por meio da 
explicação de que, se uma função for contínua em cada ponto de um intervalo aberto (a, 
b), dizemos que ela é contínua em (a, b). O mesmo ocorre para intervalos abertos infinitos 
(a, +∞), (–∞, b) e (–∞,+∞). Sendo que, quando a função for contínua em (–∞, +∞), dizemos 
que ela é contínua em toda parte. 
Além disso, Anton, Bivens e Davis (2014) argumentam que uma função será 
contínua em uma extremidade de um intervalo se o valor ali for igual ao limite lateral 
adequado naquele ponto. 
 
 
18 
 
 
 
Dessa forma, uma função f é dita contínua em um intervalo fechado [a, b] se as 
seguintes condições são satisfeitas: 
 
 f é contínua em (a, b); 
 f é contínua à direita em a; 
 f é contínua à esquerda em b (SILVA, 2018). 
 
19 
 
6 FUNÇÕES CONTÍNUAS E DESCONTÍNUAS 
Nesta seção, acompanharemos exemplos de resolução de funções contínuas e 
descontínuas. Abordaremos interpretações gráficas, bem como funções definidas por 
partes na resolução de situações matemáticas (FERRAZ, 2020). 
 
Exemplo 1 
 
O que pode ser dito sobre a continuidade da função ? 
 
Solução: como o domínio natural dessa função é o intervalo fechado [–3, 3], 
precisamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto (–3, 3) e nas duas 
extremidades. Se c for um ponto qualquer do intervalo (–3, 3), então (ANTON; BIVENS; 
DAVIS, 2014): 
 
 
 
provando que f é contínua em cada ponto do intervalo (–3, 3). A função f é 
também contínua nas extremidades, uma vez que: 
 
 
 
 
 
Logo, f é contínua no intervalo fechado [–3, 3]. Observe a Figura 7. 
 
 
20 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Mostre que o polinômio p(x) =3x3 – x + 5 é contínuo no ponto x = 1 (HOFFMANN 
et al., 2018). 
Solução: precisamos verificar se os três critérios de continuidade são satisfeitos. 
É evidente que p(1) é definida, já que p(1) = 7. Além disso, existe e . 
Assim: 
 
 
 
como necessário para que p(x) seja contínua em x = 1. 
 
Exemplo 3 
 
Discuta a continuidade das seguintes funções (HOFFMANN et al., 2018): 
 
a) 
b) 
c) 
 
21 
 
Solução: 
 
a) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos em 
que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o denominador 
é diferente de zero. é definida em todos os pontos, exceto x = 0, 
portanto é contínua para qualquer valor de x ≠ 0, como mostra a Figura 8 
(FERRAZ, 2020). 
 
 
 
b) Essa é uma função racional, portanto é contínua em todos os pontos em 
que está definida, ou seja, em todos os pontos nos quais o denominador 
é diferente de zero. Como x = –1 é o único valor de x para o qual g(x) não 
é definida, g(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ –1, como mostra a 
Figura 9 (FERRAZ, 2020). 
 
 
22 
 
 
 
c) Essa função é definida em duas partes. Começamos verificando a 
continuidade em x = 1, sendo o valor de x comum às duas partes. 
Verificamos que não existe, já que h(x) tende a 2 pela esquerda e a 1 pela 
direita. Assim, h(x) não é contínua em x = 1, como mostra a Figura 10. 
Como os polinômios x + 1 e 2 – x são contínuos para qualquer valor de x, 
h(x) é contínua para qualquer valor de x ≠ 1 (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
23 
 
Os exemplos desta seção tiveram como propósito analisar a continuidade de 
algumas funções e resolver, por meio de limites, situações matemáticas envolvendo 
continuidade (FERRAZ, 2020). 
7 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Nesta seção você estudará a continuidade dos polinômios, das funções 
racionais, de composições de funções, de funções trigonométricas e inversas. Algumas 
propriedades de continuidade das funções trigonométricas e inversas serão discutidas 
(FERRAZ, 2020). 
Anton, Bivens e Davis (2014) abordam um procedimento para mostrar que uma 
função é contínua em toda parte a partir da verificação da continuidade em um ponto 
arbitrário. Se considerarmos p(x) um polinômio e a um número real qualquer, então 
. Isso mostra que os polinômios são contínuos em toda parte. Cabe destacar 
que as funções racionais são quocientes de polinômios, e, portanto, as funções racionais 
são contínuas nos pontos em que o denominador não se anula, e que nesses zeros há 
descontinuidades. 
Ainda segundo os autores, outra análise importante dá-se por meio do 
entendimento do cálculo do limite da composição de funções. Pode-se afirmar que um 
símbolo de limite pode passar pelo sinal de função desde que o limite da expressão 
dentro desse sinal exista e que a função seja contínua. Podemos elucidar essa explicação 
pelo teorema a seguir: “[...] se e a função f for contínua em L, então 
, ou seja, . Essa igualdade permanece válida se todos 
os forem trocados por um dos limites ” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 
2014, p. 114). 
Considera-se, também, o caso especial do teorema em que f(x) = |x|. Como |x| é 
contínua em toda parte, temos que sempre que existir 
(FERRAZ, 2020). 
 
 
24 
 
 
 
Agora, veremos a continuidade da composição de funções em um ponto 
específico e em toda parte, de acordo com o teorema (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
Observe que, para provar que a composição f ∘ g é contínua em c, é preciso 
mostrar que os valores de f ∘ g e de seu limite são os iguais em x = c (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
Vimos que |x| é contínua em toda parte, assim, se g(x) for contínua no ponto c, a 
função |g(x)| deverá ser contínua no ponto c. Sendo assim, podemos dizer que o valor 
absoluto de uma função contínua é uma função contínua (ANTON; BIVENS; DAVIS, 
2014). 
 
 
25 
 
 
 
Veremos que as funções sen x e cos x são contínuas. Para tanto, vamos 
considerar c um ângulo fixo e x um ângulo variável, medidos em radianos. Como mostra 
a Figura 12, quando o ângulo x tende ao ângulo c, o ponto P(cos x, sem x) move-se no 
círculo unitário em direção ao ponto Q(cos c, sen c), e as coordenadas de P tendem às 
correspondentes coordenadas de Q (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
 
 
 
e 
 
 
 
 
26 
 
 
 
Anton, Bivens e Davis (2014) mostram, portanto, que: sen x e cos x são contínuos 
em um ponto arbitrário c, e essas funções são contínuas em toda parte. Além disso, as 
seis funções trigonométricas básicas são contínuas em seus domínios, como pode ser 
visto no teorema a seguir: se c for qualquer número no domínio natural da função 
trigonométrica enunciada, então: 
 
 
 
 
 
 
27 
 
No que diz respeito à continuidade de funções inversas, cabe lembrar-se de que 
os gráficos de uma função injetora f e sua inversa f –1 são uma reflexão do outro pela 
reta y = x. Assim, se o gráfico de f não tem quebras ou buracos, tampouco o gráfico de f 
–1 terá. Como a imagem de f é o domínio de sua inversa f –1, permite-se chegar ao 
seguinte teorema: “[...] se f for uma função injetora que é contínua em cada ponto de seu 
domínio, então f –1 será contínua em cada ponto de seu domínio, ou seja, f –1 será 
contínua em cada ponto da imagem de f ” (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014, p. 122). 
 
 
8 FUNÇÕES CRESCENTES, DECRESCENTES E CONSTANTES 
As funções podem ter intervalos nos quais elas sejam crescentes, decrescentes 
ou constantes. Pelo exemplo mostrado na Figura 1, intuitivamente, podemos dizer que: 
até x = 0, a função é crescente; de 0 a 2, é decrescente; de 2 a 4, ela é crescente; e a 
partir de 4, constante (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
28 
 
Embora possamos descrever intuitivamente a função, existe uma definição 
formal para tal. A Figura 2, a seguir, mostra as definições de função crescente, 
decrescente e constante (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
Embora seja possível visualmente definir intervalos no gráfico da função com as 
diferentes características,como na Figura 1, é impossível ter uma alta precisão fazendo 
dessa maneira. Por isso, é necessário ter uma metodologia mais precisa para tal. Uma 
maneira de estudar essas características de uma função é utilizando derivadas. Na Figura 
3, a seguir, note que, para o intervalo cuja função é crescente, as retas tangentes nos 
pontos indicados têm inclinação positiva; para o intervalo cuja função é decrescente, as 
retas tangentes nos pontos indicados têm inclinação negativa; e para o intervalo cuja 
função é constante, elas têm inclinação nula (FERRAZ, 2020). 
 
 
29 
 
 
 
As inclinações das retas tangentes nos pontos indicados representam as 
derivadas naqueles pontos. Assim, podemos usar as derivadas para estudar com mais 
precisão os intervalos das funções. A Figura 4 mostra um teorema das características 
das funções usando derivadas (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
30 
 
 
 
31 
 
 
9 CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Uma função pode apresentar concavidades. Intuitivamente, a Figura 5 mostra 
uma função côncava para cima ou côncava para baixo (FERRAZ, 2020). 
 
 
32 
 
 
 
Embora visto na seção anterior, a derivada da função nos indica se ela é 
crescente ou decrescente, mas isso não é suficiente para nos dizer a concavidade. Os 
gráficos mostrados na Figura 5 apresentam suas concavidades bastante acentuadas, 
mas nem sempre é assim. Elas podem ser mais suaves, como demonstrado na Figura 6, 
a seguir. Embora a derivada no intervalo mostrado seja positiva, a função apresenta, 
inicialmente, concavidade para cima e, depois, para baixo (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
Usando a derivada para estudar a concavidade, pode-se dizer duas coisas 
(Figura 7) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014): 
 
33 
 
 A função f é côncava para cima, se, em um intervalo aberto, as retas 
tangentes apresentam inclinações crescentes no mesmo intervalo, e 
côncava para baixo, se elas têm inclinações decrescentes no mesmo 
intervalo; 
 A função f é côncava para cima em um intervalo aberto, se o gráfico está 
sempre acima de suas retas tangentes, e côncava para baixo, se o gráfico 
estiver sempre abaixo de suas retas tangentes. 
 
 
 
A seguir, a Figura 8 apresenta a definição de concavidade, segundo Anton, 
Bivens e Davis (2014). 
 
 
 
 
34 
 
As derivadas da função referem-se à inclinação da reta tangente. Podemos usar 
o teorema dado na seção anterior, substituindo f(x) por f′(x). Assim, dizemos que f′ é 
crescente em um intervalo no qual f′′ for positiva, e decrescente em um intervalo no qual 
f′′ for negativa (Figura 9) (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
No exemplo anterior, vimos um caso cuja função é côncava para cima em todo 
intervalo. Mas as funções podem ter diversas concavidades em intervalos diferentes, 
como mostrado na Figura 6. Nesse sentido, veremos um segundo exemplo com um 
desenvolvimento um pouco diferente do anterior: usando uma função com mais de uma 
concavidade. (FERRAZ, 2020) 
 
 
 
 
36 
 
9.1 Pontos de inflexão 
No início desta seção, você viu que uma mesma função poder ter concavidade 
para cima e para baixo. O ponto exato em que a concavidade muda é de grande interesse 
em especial — ele é chamado de ponto de inflexão (Figura 10) (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
38 
 
 
 
Como as funções são muito utilizadas para a modelagem de fenômenos 
observáveis, saber em que ponto a concavidade muda é identificar quando a taxa de 
variação da uma variável começa a crescer ou decrescer. Ou seja, conhecer o ponto de 
inflexão é muito importante em análises de dados, como em que ponto começa uma alta 
ou baixa da bolsa de valores ou quando há altas e baixas do preço da gasolina (FERRAZ, 
2020). 
10 PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO 
Além dos pontos de inflexão, há outros bastante relevantes em uma função. A 
Figura 11 mostra pontos em que a função tem valores maiores e pontos cuja função tem 
valores menores. O ponto com valor da função maior em todo o intervalo é chamado de 
máximo absoluto ou global, enquanto os picos menores são os máximos locais. Já o 
ponto cuja função tem o seu menor valor em todo o intervalo é o mínimo absoluto ou 
global, enquanto os vales menos profundos são chamados de mínimos locais (FERRAZ, 
2020). 
 
 
39 
 
 
 
 
 
A Figura 12 mostra alguns exemplos de funções: a função y = x² tem um ponto 
de mínimo absoluto (e também local) em x = 0; a função y = x³ não tem pontos extremos, 
máximos nem mínimos (e nem locais); a função y = x3 – 3x + 3 tem um mínimo local em 
x = 1 e um máximo local em x = –1; já a função tem dois 
mínimos locais, um em x = –1 e x = 2, sendo o ponto x = –1 um mínimo absoluto, e um 
máximo local em x = 1 (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
40 
 
 
 
Vistos os exemplos anteriores, passamos à definição de ponto crítico. Um ponto 
crítico de uma função f é um ponto no seu domínio cuja derivada é zero (reta tangente 
horizontal), ou que f não seja diferenciável (Figura 13). Dizemos que os pontos cuja 
derivada é igual a zero são chamados de estacionários (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
42 
 
10.1 Teorema do valor médio 
Muitos resultados deste capítulo dependem do teorema do valor médio. Contudo, 
primeiramente, veremos o teorema de Rolle (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
A Figura 14, a seguir, mostra alguns gráficos de funções. Note que, em todos os 
casos, existe ao menos um ponto no intervalo que satisfaz o teorema. No caso mostrado 
em (a), todos os pontos do intervalo satisfazem o teorema. Em (b), existe um ponto que 
satisfaz o teorema – nesse caso, a função é crescente a partir do ponto a e, para ela 
retornar ao mesmo valor f(a) no ponto b, ela deve decrescer, resultando em um ponto de 
máximo. Exatamente o oposto ocorre no caso (d). Por fim, em (c), é mostrado que pode 
haver mais de um ponto que satisfaz o teorema (FERRAZ, 2020). 
 
 
43 
 
 
 
O teorema do valor médio será apresentado a seguir, por meio de dois exemplos. 
Pode ser visto que inclinação das retas tangentes ao ponto c e a inclinação da reta que 
passa por a e b são as mesmas (FERRAZ, 2020). 
 
 
44 
 
 
10.2 Teste das derivadas 
Podemos usar as derivadas para estudar os pontos críticos. Dessa maneira, 
intuímos que as funções apresentam extremos relativos, se a primeira derivada troca de 
sinal no ponto em questão (Figura 15) (FERRAZ, 2020). 
 
 
45 
 
 
 
A Figura 16, a seguir, enuncia um teorema em relação às primeiras derivadas e 
aos pontos críticos (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
 
46 
 
 
 
A segunda derivada também pode ser utilizada para o estudo dos pontos críticos. 
Na Figura 17, se a função for côncava para baixo, temos um máximo relativo e, se for 
côncava para cima, temos um mínimo relativo (FERRAZ, 2020). 
 
 
 
O teorema da derivada segunda está enunciado na Figura 18, a seguir (FERRAZ, 
2020). 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
11 OTIMIZAÇÃO EM VÁRIAS VARIÁVEIS 
Os problemas de otimização são abordados em várias áreas do conhecimento, 
como na física, engenharia, economia, biologia, dentre outras. Por exemplo, médicos 
descobriram que a concentração de um medicamento no organismo do paciente pode 
ser resolvida por um problema de otimização. É possível determinar a concentração 
 
49 
 
máxima no organismo do paciente quando tal medicamento for administrado pelo médico, 
assim como a concentração mínima necessária para uma nova dose do medicamento 
(CORREA, 2018). 
Em muitos problemas de otimização, a chave é determinar a função cujo mínimo 
ou máximo necessitamos. Uma vez encontrada essa função, podemos aplicar as técnicas 
de otimização para determinar seus extremos (CORREA, 2018). 
Encontrar os extremos de uma função é determinar seus valores mais altos ou 
mais baixos. Tais valores podem ser observados de acordo com o gráfico da função 
(CORREA, 2018). 
 
Exemplo 1 
 
Considere a função f(x, y) = 3x2 + 4y2 . Vamos analisar o seu gráfico para 
determinarse ela apresenta algum valor extremo (CORREA, 2018). 
Fazendo f(x, y) = z obtemos a equação z = 3x2 + 4y2 , que é do paraboloide 
elíptico dado pela Figura 1, a seguir (CORREA, 2018). 
 
 
 
Observe que o gráfico da Figura 1 cresce indefinidamente, com um valor mínimo 
na origem. Nesse caso, podemos concluir que a função f(x, y) = 3x2 + 4y2 não contém 
 
50 
 
pontos de valor máximo, mas valor mínimo que é dado pelo vértice do paraboloide 
(CORREA, 2018). 
Vamos analisar os pontos extremos da função f(x, y) = x + 4. Fazendo f(x, y) = z, 
obtemos a equação z = x + 4, que pode ser reescrita como: 
 
 
 
que é a equação do plano dado pela Figura 2, a seguir (CORREA, 2018). 
 
 
 
Observe que o plano não tem um extremo, mas cresce indefinidamente em todas 
as direções. Nesse caso, concluímos que a função f(x, y) = x + 4 não contém pontos 
extremos, ou seja, não tem valores de máximo nem de mínimo (CORREA, 2018). 
 
Exemplo 2 
 
Considere o gráfico da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3, dado pela Figura 
3, a seguir (CORREA, 2018). 
 
 
51 
 
 
 
Note que, pelo gráfico da função, podemos observar que existe tanto um ponto 
de máximo quanto um de mínimo. Contudo, nenhum desses extremos é um valor extremo 
da função, pois, se considerarmos a função como um todo, ela cresce e decresce 
indefinidamente. Dizemos que, em uma região próxima a esses pontos, eles são 
extremos, mas não para toda a função (CORREA, 2018). 
De acordo com os exemplos exibidos, vimos que a função pode assumir valores 
extremos de máximo ou mínimo para toda a função, como foi o caso do paraboloide. A 
função pode não assumir nenhum valor extremo, como no caso do plano, ou ainda, 
assumir um valor de máximo ou mínimo em uma região, mas cujo valor pode não ser 
extremo para toda a função (CORREA, 2018). 
Na próxima seção, estudaremos como classificar e determinar tais pontos 
extremos. 
12 EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO 
Funções contínuas de duas variáveis assumem valores extremos no interior de 
seu domínio ou nos pontos de fronteira do domínio (CORREA, 2018). 
 
52 
 
Para encontrar os valores extremos de uma função de duas variáveis, 
procuramos por pontos em que a superfície z = f(x, y) assume valores máximos e mínimos 
(CORREA, 2018). 
Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, b), se f(x, y) ≤ f(a, b) 
quando (x, y) está próximo de (a, b). Isso significa que f(x, y) ≤ f(a, b) para todo ponto (x, 
y) em alguma bola aberta com centro (a, b). O número f(a, b) é chamado valor máximo 
local (CORREA, 2018). 
Se f(x, y) ≥ f(a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b), então o número f(a, b) é 
chamado valor mínimo local. Isso significa que f(x, y) ≥ f(a, b) para todo ponto (x, y) em 
alguma bola aberta com centro (a, b) (CORREA, 2018). 
Se f(x, y) ≤ f(a, b) para todo (x, y) no domínio de f, então f(a, b) é chamado valor 
máximo absoluto. Se f(x, y) ≥ f(a, b) para todo valor (x, y) no domínio de f, então f(a, b) é 
chamado valor mínimo absoluto (STEWART, 2009). 
O gráfico de uma função com máximos e mínimos locais é mostrado na Figura 4, 
a seguir. Os máximos locais podem ser interpretados como os picos de montanhas, e os 
valores de mínimos locais, como o fundo dos vales (CORREA, 2018). 
 
 
 
O resultado seguinte indica onde ocorrem os valores de máximos e mínimos 
locais de uma função de duas variáveis (CORREA, 2018). 
 
53 
 
Teorema: Se uma função tem um valor extremo local (máximo ou mínimo) em (a, 
b), e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então f x (a, b) = 
0 e f y (a, b) = 0 (CORREA, 2018). 
Prova: Seja g(x) = f(x, b). Se f tem um extremo local em (a, b), então g tem um 
extremo local em a, de forma que g'(a) = 0 pelo teorema de Fermat. Mas g'(a) = f x (a, b) 
e, assim, f x (a, b) = 0. Da mesma forma, se considerarmos h(y) = f(a, y) e aplicarmos o 
teorema de Fermat, concluímos que f y (a, b) = 0 (CORREA, 2018). 
A interpretação geométrica do teorema é que o plano tangente ao gráfico da 
função f(x, y), no ponto de extremo local (a, b), é sempre horizontal (CORREA, 2018). 
 
Exemplo 3 
 
Considere a função f(x, y) = 3x2 + 4y2 . 
Vimos, na seção anterior, que o gráfico da função é um paraboloide (Figura 1) e 
que tal função contém um ponto de mínimo. Vamos determinar o valor desse mínimo. 
Pelo teorema, devemos determinar os valores nos quais as derivadas parciais de 
primeira ordem anulam-se (CORREA, 2018). 
 
 
 
Assim, o valor de mínimo da função ocorre na origem (0, 0), como já havia sido 
observado pelo gráfico, e é dado por: 
 
 
 
 
54 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Pela análise do gráfico da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3 dado pela 
Figura 3, podemos observar que existe tanto um ponto de máximo local quanto um de 
mínimo local. Vamos determinar esses extremos (CORREA, 2018). 
 
 
 
Com as equações das derivadas parciais anteriores, obtemos o seguinte sistema: 
 
 
 
Da segunda equação do sistema, temos que: 
 
 
 
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos: 
 
 
 
55 
 
Pela fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
Substituindo os valores de x para determinar 
 
 
 
Assim, os pontos extremos da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3 são: 
 
 
 
E os valores extremos são: 
 
 
 
O máximo local ocorre em (–0,61; –0,46) e é dado por f(–0,61; –0,46) ≈ 4,92; e o 
mínimo local ocorre em (0,36; 0,27), dado por f(0,36; 0,27) ≈ 2,57 (CORREA, 2018). 
Aprendemos, nesta seção, como identificar onde ocorrem os pontos extremos de 
uma função, que são os pontos em que as derivadas parciais de primeira ordem se 
anulam. Com o auxílio do gráfico, conseguimos determinar os pontos de máximos e 
mínimos locais. Mas nem sempre o gráfico de uma função é conhecido ou de fácil 
construção. Na seção seguinte, estudaremos como determinar se um ponto extremo é 
um valor de máximo ou de mínimo (CORREA, 2018). 
 
56 
 
13 PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Vimos que os pontos extremos de uma função acontecem quando as derivadas 
parciais de primeira ordem se anulam. Eles são conhecidos como os pontos críticos da 
função (CORREA, 2018). 
Um ponto (a,b) é dito crítico de uma função f(x, y) se f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0 
ou se uma das derivadas parciais não existir (CORREA, 2018). 
Assim, se a função f tem um máximo ou mínimo local em (a, b), então (a, b) é um 
ponto crítico de f. Em um ponto crítico, a função pode ter um máximo ou mínimo local, 
ou, ainda, nenhum dos dois – nesse caso, dizemos que são os pontos de sela (CORREA, 
2018). 
Com o resultado anterior, conseguimos determinar os pontos críticos de uma 
função, que são os candidatos a valores de máximos e mínimos locais ou ponto de sela 
de uma função. Todavia, ainda precisamos classificar um ponto crítico (CORREA, 2018). 
Considere a função f(x, y) contínua com as derivadas parciais de primeira e 
segunda ordem, também contínuas, e seja (a, b) um ponto crítico de f, isto é, f x (a, b) = 
f y (a, b) = 0. Então, pelo teste da derivada segunda, temos que: 
 
 f tem um máximo local em (a, b) se < 0 e – > 0 em (a, b); 
 f tem um mínimo local em (a, b) se > 0 e – > 0 em (a, b); 
 f tem um ponto de sela em (a, b) se – < 0 em (a, b); 
 o teste é inconclusivo, se – = 0 em (a, b) (CORREA, 2018). 
 
 
 
57 
 
Exemplo 5 
 
Encontre os extremos locais da função f(x, y) = xy – x2 – y2 – 2x – 2y + 4. 
A função tem valores extremos nos pontos críticos, isto é, nos valores em que as 
derivadas parciais de primeira ordem são nulas, f x = 0 e f y = 0, ou não existem 
(CORREA, 2018). 
 
 
 
Com as equações dessas derivadas parciais, obtemos o seguinte sistema: 
 
 
 
Da segunda equação, temos que: 
 
 
 
Substituindo o valor de x na primeira equação, obtemos: 
 
 
 
Substituindo o valor de y na equação para determinar x: 
 
 
 
 
58 
 
Assim, o único ponto crítico da unção é (–2, –2). Vamos, agora, classificá-lo deacordo com as derivadas de segunda ordem: 
 
 
 
O discriminante de f em (–2, –2) é: 
 
 
 
Como o discriminante é maior que zero, temos que o ponto crítico (–2, –2) pode 
ser de máximo ou mínimo. Mas, como = –2 < 0, o ponto é um máximo local (CORREA, 
2018). 
Assim, (–2, –2) é máximo local, e o valor de f nesse ponto é: 
 
 
 
Exemplo 6 
Encontre os extremos locais da função f(x, y) = 3y2 – 2y3 – 3x2 + 6xy. 
A função tem valores extremos nos pontos críticos, isto é, nos valores em que as 
derivadas parciais de primeira ordem são nulas, f x = 0 e f y = 0, ou não existem 
(CORREA, 2018). 
 
 
 
Com as equações dessas derivadas parciais, obtemos o seguinte sistema: 
 
 
59 
 
 
 
Da primeira equação, temos que: 
 
 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, obtemos: 
 
 
 
Como da primeira equação, temos que x = y, então os pontos críticos de f são (0, 
0) e (2, 2) (CORREA, 2018). 
Vamos, agora, classificar os pontos críticos de acordo com as derivadas de 
segunda ordem: 
 
 
 
O discriminante de f é: 
 
 
 
No ponto (0, 0): 
 
 
 
60 
 
Portanto, (0, 0) é um ponto de sela. 
No ponto (2, 2): 
 
 
 
Como o discriminante é maior que zero, temos que o ponto crítico (2, 2) pode ser 
de máximo ou mínimo. Mas, como f xx = –6 < 0, o ponto é um máximo local (CORREA, 
2018). 
Assim, (2, 2) em máximo local, e o valor de f nesse ponto é: 
 
 
 
Os passos para determinar os extremos de uma função f(x, y) são: 
 
1. Determinar os pontos críticos de f; 
2. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f; 
3. Classificar os pontos críticos de acordo com o teste da derivada segunda 
(CORREA, 2018). 
 
14 FUNÇÕES LINEARES E QUADRÁTICAS 
Você aprenderá a identificar o coeficiente angular, o coeficiente linear e o zero 
da função afim. Em seguida, estudará o conceito de função quadrática e os seus 
elementos característicos, e aprenderá a calcular as coordenadas do vértice da parábola 
(SILVA, 2019). 
Você verá ainda a relação existente entre a biologia e a matemática, por meio de 
exemplos que buscam elucidar as funções afins e quadráticas, como o comportamento 
de crescimento de uma planta, a lei de queda dos corpos e o índice de massa corporal. 
(SILVA, 2019) 
 
61 
 
14.1 Funções lineares 
Oliveira (2016) destaca que podemos encontrar números desconhecidos em 
cálculos de matemática, física, química, biologia, assim como em problemas do nosso 
cotidiano. Quando reunimos informações sobre esse valor para expressá-lo de forma 
algébrica, isso resultará em uma equação. As equações lineares — ou do primeiro grau 
— são aquelas em que o expoente da incógnita é um. 
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 42) formalizam a função afim da 
seguinte forma: “Chama-se de função afim ou função polinomial do 1º grau a toda função 
definida por , onde as constantes a e b pertencem ao conjunto dos 
números reais e a e b devem ser diferentes de zero”. 
Para compreender melhor o conceito de função afim na prática, pense no 
crescimento das plantas: cada uma tem o seu ritmo, que, por natureza, é diferente entre 
as espécies. O bambu é um dos recordistas em crescimento. Após uma pesquisa, 
verificou-se que ele cresce em média um metro por dia. Vejamos um exemplo de função 
afim específica para esse caso do bambu (SILVA, 2019). 
 
 
 
 
62 
 
 
 
Note que a equação do exemplo está com a variável x em primeira potência; 
portanto, o que temos é uma equação do primeiro grau — função afim. A busca agora é 
pela compreensão dos coeficientes de uma função afim, ou seja, a partir da equação 
geral dessa função, você aprenderá o que representa o a e o b da equação (SILVA, 
2019). 
 
Coeficiente angular 
 
O coeficiente angular, na equação geral da função afim y = ax + b, é representado 
pela letra a e é a razão entre a variação da função e a variação da variável independente 
x (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Vamos entender essa definição analisando o gráfico da 
Figura 1. 
 
 
63 
 
 
 
Note que , e isso ocorre para quaisquer dois pontos escolhidos, pois os 
triângulos formados são semelhantes. Essa razão é constante para cada função e 
depende apenas da inclinação da reta. Por esse motivo, a é denominado coeficiente 
angular, também conhecido como declividade ou taxa de variação (SILVA, 2019). 
 
Coeficiente linear 
 
O coeficiente linear, na equação geral da função afim y = ax + b, é representado 
pela letra e é a ordenada do ponto em que o gráfico da função cruza o eixo das ordenadas 
y (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Vamos entender essa definição analisando o gráfico da 
Figura 2. 
 
 
64 
 
 
 
Note que b é o ponto que corta o eixo y. 
 
Funções quadráticas 
 
Equações em que o expoente de maior grau é 2 são chamadas de equações do 
segundo grau — ou funções quadráticas. Nem sempre é possível resolver esse tipo de 
equação isolando a incógnita. É importante mencionar que se chama de raiz de uma 
equação o valor para o qual a equação se anula. No caso da equação do segundo grau, 
ela terá de zero até duas raízes reais e pode ser escrita, de forma geral, como y = ax² + 
bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0 (OLIVEIRA, 2016). 
As funções quadráticas têm diversas aplicações. Veja alguns exemplos. 
 
 
65 
 
 
 
Note que, nas equações dos exemplos acima, as variáveis independentes (t, m) 
estão em segunda potência. Portanto, o que temos são equações do segundo grau 
(funções quadráticas) (SILVA, 2019). 
 
Raízes da função quadrática 
 
Vimos que a equação do segundo grau terá de zero até duas raízes reais e pode 
ser escrita, de forma geral, como y = ax² + bx + c. Assim, para resolvê-la, utilizamos a 
conhecida fórmula de Bhaskara, que nos permite encontrar as raízes da função 
quadrática. Para isso, vamos relembrá-la: 
 
 
 
Para resolver essa fórmula, olhamos para a forma geral da função quadrática e 
buscamos seus elementos: a, b e c (SILVA, 2019). 
Friedrich e Manzini (2010) lembram que a expressão b² – 4ac é conhecida como 
discriminante e pode ser representada pela letra grega ∆. Portanto, podemos reescrever 
a fórmula de Bhaskara como: 
 
 
66 
 
 
 
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 65) definem a função quadrática da 
seguinte forma: “A função f: R → R, definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e 
a diferente de zero, é chamada de função quadrática ou função do segundo grau”. 
15 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
As funções afins, em função das suas características, vão gerar como 
representação gráfica no plano cartesiano uma reta; já as funções quadráticas vão gerar 
parábolas. Veremos a seguir essas representações (SILVA, 2019). 
15.1 Função afim 
Tan (2014) mostra a representação de duas retas e explica as suas declividades. 
Veja o exemplo a seguir. 
 
 
67 
 
 
 
 
 
68 
 
15.2 Função quadrática 
Estudamos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Agora 
vamos entender o que caracteriza a parábola com concavidade voltada para cima ou 
para baixo. Oliveira (2016) mostra esses casos com exemplos gráficos, como você pode 
ver a seguir. 
 
 
 
69 
 
15.3 Vértice da parábola 
Uma parábola tem infinitos pontos; um deles é o vértice v(xv , yv ). O vértice se 
encontra no ponto médio das raízes da equação do segundo grau e pode ser obtido pela 
seguinte fórmula . Para encontrar o yv , basta substituir o valor do x encontrado na 
função ou fazer (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Observe no exemplo o significado 
do vértice da parábola. 
 
 
 
 
70 
 
 
16 RESOLUÇÕES MATEMÁTICAS 
Existe uma forte relação entre matemática e biologia. O exemplo mais 
comumente discutido é a relação das bactérias geradas pelo nosso corpo, revelando-se 
pelo suor ou pela saliva, por exemplo. Além disso, a poluição do ar nas cidades é 
calculada em função do número de carros em circulação; a sobrevivência de um inseto, 
em função da temperatura. Para discutir a afinidade entrebiologia e matemática, veja um 
exemplo de um experimento em uma cultura de bactérias (SILVA, 2019). 
 
 
 
 
71 
 
 
 
Veja agora um exemplo aplicado de função afim (SILVA, 2019). 
 
 
72 
 
 
17 FUNÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
17.1 Função 
Basicamente, a função é uma relação entre dois elementos. Sejam dois 
conjuntos, por exemplo, A e B; uma função é a relação que cada elemento de A associa 
a um único elemento de B, indicadas por (BENTO, 2019): 
 
 
 
A relação entre os conjuntos A e B é dada por uma regra de associação por meio 
da expressão: 
 
 
 
 
73 
 
Essa regra diz que o elemento x є A, chamado de variável independente, está 
relacionado de modo único ao elemento y = f(x) є B, chamado de variável dependente. 
O conjunto A é chamado de domínio e o indicamos A = Dom(f); o conjunto B é chamado 
de contradomínio (BENTO, 2019). 
O conjunto imagem indicado como Im(f) é o conjunto dos elementos de B aos 
quais foram associados elementos de A, isto é: 
 
 
 
Definição e exemplos 
 
Uma função f (de uma variável real) é um mecanismo que, a um número real x, 
chamado entrada (ou variável), associa um único número real construído a partir de x, 
denotado f(x) e chamado saída (ou imagem). Essa associação costuma ser denotada 
da seguinte forma (BENTO, 2019): 
 
 
 
Representação gráfica 
 
Uma forma de representar a função no plano cartesiano é pelo seu gráfico, pois 
este permite extrair a informação essencial contida na função. Seja f uma função com 
domínio D. A construção do gráfico consiste em traçar todos os pontos do plano 
cartesiano desta forma: (x, f(x)); onde x ∈ D. Por exemplo, a Figura 1 ilustra f tendo um 
domínio D = [a,b] (BENTO, 2019). 
 
 
74 
 
 
 
Quando x varre o seu domínio [a,b], o ponto (x, f(x)) traça o gráfico de f 
 
Representação analítica 
 
Outra maneira de indicar uma função consiste em dar a regra de associação 
seguida do seu domínio. A função do exemplo anterior pode ser assim indicada: 
 
 
 
Nesse modo de indicar a função, subentende-se que o contradomínio é o 
conjunto ℝ dos números reais (BENTO, 2019). 
 
 
 
75 
 
17.2 Funções injetoras 
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que: 
 
 
 
Note que isso é o mesmo que (∀ x1 , x2 ∈ A)(x1 ≠ x2 → f(x1 ) ≠ f(x2 )) . 
Note que isso não é o mesmo que (∀ x1 , x2 ∈ A)(x1 = x2 → f(x1 ) = f(x2 )) 
(BENTO, 2019). 
17.3 Funções sobrejetoras 
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que: 
 
 
 
Note que dizer que uma função é sobrejetora é o mesmo que mostrar que Im(f) 
= C(f). Ou seja, para qualquer função, sempre será verdade que Im(f) ⊆ C(f), porém, 
somente para as funções sobrejetoras poderemos escrever Im(f) = C(f) (BENTO, 2019). 
17.4 Funções bijetoras 
Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma função. Dizemos que f é bijetora se e só 
se f é sobrejetora e injetora. Isto é: 
 
 
 
Ou seja: 
 
f bijetora ⇔ (∀ x1 , x2 ∈ A)(f(x1 ) = f(x2 ) → x1 = x2 ∧ (∀ y ∈ B)(∃ x ∈ A)(y = f(x)) 
 
76 
 
 
18 ZEROS DE UMA FUNÇÃO E IDENTIFICAÇÃO GRÁFICA DA MUDANÇA DE 
SINAL 
Vamos ilustrar o significado dos zeros de uma função por meio dos gráficos a 
seguir, os quais representam as funções: 
 
 
 
A raiz de uma função é o ponto em que f(x) = 0. Graficamente representa o valor 
de x onde a curva corta (ou toca) o eixo x. Caso isso não ocorra, dizemos que a função 
não possui raiz real. Para encontrar algebricamente as raízes de uma função, igualamos 
f(x) a zero e resolvemos a equação (BENTO, 2019). 
O gráfico do polinômio P2 (x) = 1 + x + x2 de grau 2 é representado na Figura 2 
(BENTO, 2019). 
 
 
77 
 
 
 
O gráfico do polinômio P3 (x) = 1 + x + x 2 + x 3 de grau 3 é representado na 
Figura 3 (BENTO, 2019). 
 
 
 
O gráfico do polinômio P4 (x) = 1 + x + x2 + x2 + x4 de grau 4 é representado na 
Figura 4 (BENTO, 2019). 
 
 
78 
 
 
 
O gráfico da função racional é representado na Figura 5 (BENTO, 
2019). 
 
 
 
O gráfico da função valor absoluto |x| = é representado na Figura 6 
(BENTO, 2019). 
 
 
79 
 
 
 
Considere uma função f. 
A função g(x) = f(x) + c é obtida pela translação (deslocamento) vertical de f em 
c unidades (BENTO, 2019). 
A função g(x) = f(x − γ) é outra função obtida pela translação (deslocamento) 
horizontal de f em γ unidades (BENTO, 2019). 
O gráfico da Figura 7 mostra a translação vertical da função algébrica f(x) = x2/3(x 
− 2)2 considerando c = 3 (BENTO, 2019). 
 
 
 
 
80 
 
O gráfico da Figura 8 mostra a expansão horizontal da função algébrica f(x) = 
x2/3(x − 2)2 considerando γ = 3 (BENTO, 2019). 
 
 
18.1 Propriedades de funções 
Função par: f(–x) = f(x). 
Função ímpar: f(–x) = –f(x). 
 
Existem funções que não são pares nem ímpares (BENTO, 2019). 
 
Função crescente: t < x implica f(t) < f(x). 
Função decrescente: t < x implica f(t) > f(x). 
 
Confira outro exemplo: 
Uma função f, real de variável real, diz-se crescente em I, I ⊂ D(f), se e somente 
se, para todo x1 , x2 ∈ I, tem-se: x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≤ f(x2 ) (BENTO, 2019). 
f diz-se estritamente crescente em I, se e somente se x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ). 
Uma função f, real de variável real, diz-se decrescente em I, I ⊂ D(f), se e 
somente se, para todo x1 , x2 ∈ I, tem-se: x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≥ f(x2 ) (BENTO, 2019). 
 
81 
 
f diz-se estritamente decrescente em I, se e somente se x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ). 
 
Existem funções que não são crescentes nem decrescentes. Exemplo: a função 
f(x) = x2 é uma função par (Figura 9) (BENTO, 2019). 
 
 
 
Essa função é simétrica em relação ao eixo y (função par). O gráfico dela é 
simétrico com respeito ao eixo vertical (BENTO, 2019). 
A função f(x) = x3 é uma função ímpar (Figura 10). 
 
 
 
82 
 
Essa função é simétrica em relação à origem (função ímpar). O gráfico dela é 
simétrico em relação à origem (BENTO, 2019). 
 
 
19 TIPOS DE FUNÇÕES 
No estudo sobre funções e os tipos de funções, que será apresentado a seguir, 
poderemos observar que a importância das funções não está restrita apenas a cálculos 
e fórmulas matemáticas comumente utilizados em sala de aula. O conceito de função 
também está relacionado com a nossa vida diária, por exemplo, uma função pode ser 
usada para estimar a vazão de água que percorre o encanamento da nossa residência, 
assim como pode também estimar a vazão de uma usina hidrelétrica, como Itaipu. Esse 
trabalho se chama modelagem matemática e pode envolver diferentes tipos de funções. 
Portanto, reconhecer algumas das principais funções poderá ser muito útil nos cálculos 
de integrais e derivadas, que são utilizadas no trabalho com modelagem (BENTO, 2019). 
19.1 Funções algébricas 
De modo geral, funções definidas por meio de operações algébricas em 
polinômios são chamadas de funções algébricas e envolvem apenas operações 
algébricas (adição, subtração, divisão, multiplicação e potenciação) sobre números reais. 
As funções que não são algébricas são chamadas de funções transcendentes. Podemos 
citar como funções transcendentes as funções trigonométricas, as funções exponenciais 
e as funções logarítmicas (BENTO, 2019). 
 
83 
 
19.2 Funções polinomiais 
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, isto é, 
, onde os coeficientes a0 , a1 , … , an são números reais e n é algum 
natural (BENTO, 2019). 
Funções polinomiais têm a forma: 
 
 
 
Nela, a0 , … an são constantes, e n é um inteiro positivo chamado de grau do 
polinômio se an ≠ 0. O domínio deste tipo de função são os todos os números reais, ou 
seja, não há restrições (BENTO, 2019). 
19.3 Funções racionais 
É toda função f cuja regra de associação é da forma f(x) = p(x) / q(x), onde p(x) 
e q(x) são funções polinomiais. Note que uma função racional está definida em qualquer 
domínio que não contenha raízes do polinômio q(x) (BENTO, 2019). 
Uma função é dita racional quando se encontra representada pelo quociente 
entredois polinômios, sendo o divisor um polinômio não nulo. 
O domínio de uma função racional f(x) = N(x) / D(x) é dado por: 
 
 
 
Ou seja, o domínio desse tipo de função são os todos os números reais, exceto 
o(s) valor(es) que torne(m) o denominador nulo (BENTO, 2019). 
 
84 
 
19.4 Funções trigonométricas 
Funções trigonométricas são as que estão associadas a ângulos e retas. Elas 
são importantes no equacionamento de situações práticas que tenham caráter periódico. 
Confira os valores de funções trigonométricas para alguns ângulos no Quadro 1 (BENTO, 
2019). 
 
 
 
85 
 
Função seno 
 
A função seno é definida da seguinte forma (Figura 11) (BENTO, 2019): 
 
 
 
 
 
 
 
Função cosseno 
 
A função cosseno é definida da seguinte forma (Figura 12): 
 
 
 
 
86 
 
 
 
 
 
Função tangente 
 
A função tangente é definida como sendo o quociente da função seno pela função 
cosseno (Figura 13) (BENTO, 2019). 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
20 FUNÇÕES INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS 
Função arco-seno 
A função f: R → [–1;1] definida por f(x) = sen x não é bijetora. Entretanto, 
restringindo o domínio ao intervalo [–π/2; π/2], obtemos uma função bijetora cuja inversa 
denominamos função arco-seno (BENTO, 2019). 
Temos, para x ∈ [–π/2; π/2] e y ∈ [–1;1]: 
 
 
 
Trocando x por y e y por x, temos y = arcsen x. Portanto, a função inversa de f: 
[–π/2; π/2] → [–1;1], f(x) = sen x é (BENTO, 2019): 
 
 
 
Observe a Figura 14. 
 
 
 
 
 
88 
 
Função arco-cosseno 
 
A função f:[0;π] → [–1;1] definida por f(x) = cos x, restrição do cosseno ao 
intervalo [0;π], é bijetora, e sua inversa é denominada função arco-cosseno. Temos, para 
x Є [0;π] e y Є [–1;1]: cos x = y ⇔ x = arccos y. Trocando x por y e y por x, temos y = 
arccos x. Portanto, a função inversa de f é f –1: [– 1;1] → [ 0 ; π ], f –1(x) = arccos x. 
Observe a Figura 15 (BENTO, 2019). 
 
 
 
Função arco-tangente 
 
A função f:]-π/2; π/2[ definida por f(x) = tg x com restrição da tangente ao intervalo 
]-π/2; π/2[ é bijetora, e sua inversa é denominada função arco-tangente (BENTO, 2019). 
Temos, para x ∈ ]-π/2; π/2[ e y ∈ R, tg x = y ⇔ x = arctg y. Trocando x por y e y 
por x, temos y = arctg y. Portanto, a função inversa de f é f -1: R → ]-π/2; π/2[ f -1(x) = 
arctg x. Observe a Figura 16 (BENTO, 2019). 
 
 
89 
 
 
 
Exponencial 
 
Uma das funções mais importantes da matemática é a exponencial de base a 
(Figura 17): 
 
 
 
 
 
Sendo a um número positivo e a ≠ 1. Os gráficos dessas funções mudam de 
acordo com o valor de a, e estão ilustrados na Figura 18 (BENTO, 2019). 
 
 
90 
 
 
 
Função logarítmica 
 
A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Considere f(x) = ax ; sua 
função inversa é (BENTO, 2019): 
 
 
 
Observe também a Figura 19. 
 
 
 
Graficamente, a função logarítmica é representada na Figura 20 (BENTO, 2019). 
 
 
91 
 
 
 
As propriedades operatórias são definidas por determinadas expressões. Para 
todo x, y > 0, valem as seguintes regras (BENTO, 2019). 
 
a) Propriedade do produto: 
 
 
 
b) Propriedade do quociente: 
 
 
 
c) Propriedade da potenciação: 
 
 
 
 
 
92 
 
21 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Para iniciar os estudos sobre função exponencial, é fundamental a revisão dos 
principais fundamentos dessa relação matemática: a potência de um expoente natural e 
como se calcula a potência de um número. Pela definição formal da matemática, dado 
um número real a e um número natural n, com n ≥ 2 é chamado de potência de base a e 
expoente n; logo, o número an equivale ao produto de n fatores iguais a, ou seja 
(OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
Essa representação indicada pelo produto entre termos iguais é portadora de 
algumas características próprias em sua estruturação, as chamadas propriedades das 
potências, que são apresentadas no Quadro 1 com a descrição de cada uma das 
propriedades acompanhada de um respectivo exemplo numérico (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
 
 
93 
 
Iezzi, Dolce e Murakami (2013) dissertam que, dado um número real a, tal que 0 
< a ≠ 1 é referido por função exponencial de base a a função de f de ℝ em ℝ, que associa 
a cada x real o número ax , ou seja: 
 
 
 
Resumidamente, a definição descreve que uma função é dita exponencial 
quando a incógnita x aparece como expoente de uma base real. São exemplos de 
funções exponenciais em ℝ (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
 
 
 
 
Toda função exponencial pode ser categorizada como crescente ou decrescente, 
e o parâmetro utilizado para essa classificação é o valor de sua base. Assim, a função 
f(x) = ax é crescente se e somente se a > 1, e decrescente se 0 < a < 1, assim (OLIVEIRA, 
2021): 
 
1. Se a > 1, então, x1 < x2 ⟹ f(x1 ) < f(x2 ) 
2. Se 0 < a < 1, então, x1 < x2 ⟹ f(x1 ) > f(x2 ) 
 
 
94 
 
 
 
O domínio de uma função exponencial compreende o conjunto dos números reais 
(ℝ), assim, D(f) = ℝ, enquanto o seu contradomínio resume-se aos reais positivos, 
maiores que zero (ℝ+ *), logo, pode ser descrita como (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
Para a determinação da imagem, há uma restrição. Lembre-se de que o conjunto 
imagem representa os valores obtidos pela função a partir de seu domínio, assim como 
a base deve necessariamente ser de um valor positivo, e a consequência dessa condição 
será um conjunto imagem também composto por valores positivos, não existindo, assim, 
representação na parte inferior ao eixo x, posição destinada às imagens negativas, assim, 
Im(f) = ℝ+ * = (0, +∞) (OLIVEIRA, 2021). 
As raízes de uma função exponencial baseiam-se no mesmo princípio das 
demais; assim, encontrar o 0 dessa função consiste em identificar para qual valor de x a 
função é nula. É importante destacar que, para essa operação, estar íntimo das 
propriedades de potências apresentadas anteriormente é essencial (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
95 
 
 
21.1 Gráfico da função exponencial 
O estudo de gráficos auxilia a visualização de informações importantes das 
funções, como intervalos de crescimento e/ou decrescimento, raízes, estudo de sinais, 
entre outras. Assim, essa representação atribui significado visível sobre diferentes 
concepções do estudo de funções. Com relação ao gráfico f(x) = ax , Iezzi, Dolce e 
Murakami (2013) ressaltam que: 
 
 A curva representativa está toda acima do eixo das abscissas (eixo x), pois 
y = ax > 0, para todo x ∈ ℝ; 
 Corta o eixo das ordenadas (eixo y) no ponto (0,1); 
 Apresenta um dos aspectos demonstrados pela Figura 1. 
 
 
96 
 
 
 
Observe que o gráfico da função exponencial passa pelo ponto (0,1), uma vez 
que todo número elevado a 0 equivale a 1. Outra característica marcante é a de não tocar 
o eixo das abscissas, gerando sempre uma imagem positiva. No exemplo a seguir, é 
possível observar como podemos traçar a curva de uma função exponencial a partir de 
sua lei de formação (OLIVEIRA, 2021). 
 
Exemplo: 
 
Construa o gráfico da função: 
 
 
 
Para delinear um gráfico, sugere-se recorrer a uma tabela onde serão inseridos 
valores possíveis para x, bem como calculado o respectivo valor de y (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
97 
 
 
 
Agora, de posse desses pontos, basta plotá-los no eixo cartesiano, chegando ao 
seguinte resultado (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
 
98 
 
 
22 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Elaborados na primeira metade do século XVII para facilitar os cálculos 
matemáticos, os logaritmos consistem em um dispositivo de cálculo eficiente e que, 
apesar do uso de modernas máquinas de calcular, ainda detêm a capacidade de 
relacionar diferentes fenômenos naturais, podendo ser aplicados na matemática 
financeira, física, química, biologia, geografia e até na música (OLIVEIRA, 2021). 
O logaritmo pode ser descrito como a operação inversa da exponenciação, pois 
possibilita identificar o valor ao qual uma base foi elevada para gerar determinado 
número. Desse modo, se a exponenciação de a elevado a x resultaem um valor y, então, 
o logaritmo desse número será informado de que x é o valor do expoente da base que 
fornece y (OLIVEIRA, 2021). 
Na concepção de um logaritmo, é importante destacar que a base a deve ser 
sempre maior que 0 (a > 0) e diferente de 1 (a ≠ 1) para que essa dinâmica seja possível. 
Safier (2011) denomina logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a 
de modo que a potência obtida seja igual a b, ou seja (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
onde: 
 
 a = base do logaritmo 
 b = logaritmando 
 x = logaritmo 
 
 
99 
 
São exemplos de logaritmos: 
 
 log3 3 = 1, pois 3¹ = 3 
 log2 8 = 3, pois 2³ = 8 
 log6 1 = 0, pois 60 = 1 
 log3 = –3, pois 3–3 = 
 log0,225 = –2, pois 0,2–2 = = 25 
 
 
 
As operações com os logaritmos, assim como nos exponenciais, necessitam da 
utilização de propriedades para facilitar o seu cálculo algébrico. Nesse sentido, é de 
extrema importância que sejam conhecidas suas propriedades operatórias. É possível 
observar essas propriedades no Quadro 2, que tem por base os números reais 0 < a ≠ 1, 
0 < b ≠ 1, c ≠ 0, x e y ≠ 0 < a (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
 
 
100 
 
De acordo com Iezzi, Dolce e Murakami (2013), uma função logarítmica pode ser 
descrita como uma relação. Denotamos essa função por: 
 
 
 
onde: 
 
 b = base 
 x = logaritmando 
 
 
 
A função logarítmica pode ser classificada em crescente ou decrescente; assim, 
a função f(x) = logb x é crescente se e somente se a base for maior que 1 (b > 1), e 
decrescente se a base for um valor maior que 0 e menor que 1 (0 < b < 1), assim 
(OLIVEIRA, 2021): 
 
1. Se b > 1, então, x1 < x2 ⟹ f(x1) < f(x2) 
2. Se 0 < b < 1, então, x1 < x2 ⟹ f(x1) > f(x2) 
 
 
 
101 
 
O domínio de uma função logarítmica reflete o comportamento da função 
mediante o domínio fixado, uma vez que não é possível calcular logaritmos de um número 
negativo existindo uma base positiva, qualquer base positiva sempre resulta em um valor, 
também positivo. Por essa razão, o domínio da função logaritmo é o conjunto dos número 
reais positivos não nulos, ou seja, D(f) = ℝ, enquanto seu contradomínio resume-se aos 
reais positivos maiores que 0 (ℝ+ * ), logo, pode ser descrita como (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
A imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais, uma vez que, 
se 0 < a ≠ 1 e definida por f(x) = loga x, sabe-se que essa relação admite como função 
inversa g de ℝ → ℝ + * definida por g(x) = ax , caracterizando f(x) como bijetora, logo, Im 
= ℝ (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
 
O 0 de uma função logarítmica é um valor para o qual a função indicada por uma 
lei de formação se anula, ou seja, é necessário determinar o valor de x para que ocorra 
f(x) = 0. No caso específico de uma função logarítmica, para determinar sua raiz, é 
imprescindível conhecer e dominar a concepção de logaritmo, assim como as 
propriedades de potência de um número e logarítmicas (OLIVEIRA, 2021). 
 
102 
 
22.1 Gráfico da função logarítmica 
A representação gráfica de uma função logarítmica indicada por loga x com 0 < 
a ≠ 1 tem as seguintes características (OLIVEIRA, 2021): 
 
 Localiza-se à direita do eixo das ordenadas (eixo y), ou seja, x > 0; 
 Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), pois loga 1 = 0; 
 É simétrico em relação à reta y = x do gráfico de g(x) = ax. 
 
Na Figura 2, é possível observar as representações gráficas de uma função 
logarítmica, dada a sua classificação como crescente ou decrescente, assim como a 
presença da propriedade simétrica quando comparado à reta bissetriz dos quadrantes 
ímpares (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
 
Exemplo: 
 
Construa o gráfico da função: 
 
 
103 
 
 
 
Para delinear um gráfico, sugere-se recorrer a uma tabela onde serão inseridos 
valores possíveis para x e calculado o respectivo valor de y (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
 
De posse desses pontos, basta encontrá-los no plano cartesiano, localizando 
corretamente os valores de x e seu respectivo correspondente y, chegando-se à seguinte 
curva (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
104 
 
 
22.2 Relação entre função exponencial e função logarítmica 
Conhecidas como funções inversas, as funções exponencial e logarítmica 
recebem essa característica porque, ao inverter a lei de formação de uma dada por f(x) 
=ax , f: ℝ → ℝ+ *, será encontrada uma função logarítmica cuja lei de formação é f(x) = 
loga x; outra característica é o fato de que o domínio e o contradomínio se invertem 
quando comparados à função exponencial (OLIVEIRA, 2021). 
Essa característica é fácil de entender quando visualizada em uma 
representação gráfica, onde, ao ser traçada a reta bissetriz dos quadrantes ímpares (1° 
e 3°), é possível reconhecer que o gráfico da função exponencial é simétrico, ou seja, 
possui distâncias proporcionais ao gráfico indicativo da função logarítmica. Vamos 
construir o gráfico das funções f(x) = 3x e g(x) = log3 x, para isso, observe (OLIVEIRA, 
2021): 
 
 
105 
 
 
 
Observe que o par ordenado da tabela de f(x), por exemplo (1,3), quando inserido 
na lei de formação de g(x), equivale a log3 1 = 1, logo, origina o ponto (3,1) (OLIVEIRA, 
2021). 
Outra análise relevante é quanto à disposição das funções f(x) e g(x), bem como 
a observação da propriedade simétrica referente à reta y = x, que corta os quadrantes 
ímpares do plano cartesiano. É possível notar essa característica na Figura 3, onde f(x) 
está indicado em vermelho, y = x, em verde, e g(x), em roxo (OLIVEIRA, 2021). 
 
 
 
106 
 
 
23 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
A função exponencial pode ser identificada em situações em que ocorre um 
crescimento ou um decrescimento muito rápido. Inúmeras áreas do conhecimento 
usufruem das concepções das funções exponenciais para intermediar sua resolução, 
como engenharia, biologia, física, astronomia, finanças e outras (OLIVEIRA, 2021). 
23.1 Escala Richter 
Criada em 1935 por Charles Richter e Beno Gutebberg, esse parâmetro é útil 
para mensurar a magnitude de um terremoto conforme a energia liberada em formato de 
ondas, calculadas por um aparelho denominado sismógrafo. Quanto maior a 
categorização dessa escala, maior são os efeitos desse fenômeno. Assim, entre 4 e 4,9 
vidros são quebrados, e pequenos objetos podem cair, enquanto que, na ocorrência de 
se chegar ao valor de 8 a 8,9, pontes podem ser destruídas, e a grande maioria das 
construções pode desabar (OLIVEIRA, 2021). 
Contudo, qual é a relação entre a escala Richter e a matemática? Trata-se de 
uma escala logarítmica, e os graus de Richter são resultados de um logaritmo da medida 
das amplitudes das ondas sísmicas, a 100 km do epicentro dada por (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
onde: 
 
 A = amplitude máxima 
 A0 = amplitude de referência (é uma constante) 
 
107 
 
Dada essa fórmula, é possível comparar as magnitudes M1 e M2 entre dois 
terremotos distintos em função da amplitude gerada pelas ondas e indicada por 
(OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
 
 
23.2 Pressão atmosférica 
A altitude corresponde à distância vertical mensurada entre um ponto e o nível 
do mar. Já a pressão atmosférica, a uma altura h, em relação ao nível do mar, 
corresponde ao peso de uma coluna vertical de ar que detenha uma base horizontal de 
 
108 
 
altura h e área igual a 1. Conforme anuncia a Lei de Boyle, a pressão, dada uma altitude 
h, é indicada por (OLIVEIRA, 2021): 
 
 
 
onde: 
 
 p0 = pressão atmosférica ao nível do mar 
 α = constante 
 p(h) = pressão atmosférica dada uma altura h 
 
 
 
As funções exponencial e logarítmica possuem uma relação especial, uma vez 
que uma representa o inverso da outra. Por meio de seus gráficos, concepções, 
propriedades e aplicações, foi possível reconhecer o amplo espaço que essas relações 
ocupam no cotidiano, modelando diversos fenômenos físicos, químicos e biológicos. 
 
109 
 
Nesse sentido, compreender efetivamente a dinâmica dessas funções possibilitaa 
ampliação do conhecimento matemático (OLIVEIRA, 2021). 
24 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Dizemos que f se aproxima do limite L quando (x, y) se aproxima de (x0, y0) se os 
valores de f (x, y) estão cada vez mais próximos de um número L para todos os pontos 
(x, y) próximos de (x0 , y0 ) (ROGAWSKI; ADAMS, 2018). A Figura 1 ilustra esta definição 
por meio de um diagrama de setas. 
Observe que, se (x0, y0) está no domínio de f, temos que (x, y) pode se aproximar 
de (x0, y0) a partir de qualquer direção. Assim, para o limite existir, o valor obtido deve ser 
sempre o mesmo, independentemente da direção escolhida para se aproximar de (x0, y0) 
(CORRÊA, 2018). 
 
 
 
A definição formal para limite de uma função de duas variáveis é: a função f (x, 
y) se aproxima do limite L à medida que (x, y) se aproxima de (x0, y0), quando escrevemos 
 
 
 
se, para todo número ϵ > 0, existe δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio D de 
f, 
 
 
110 
 
 
 
sempre que 
 
 
 
A ilustração para a definição acima é exibida na Figura 2, onde z = f (x, y) 
representa uma superfície (CORRÊA, 2018). 
 
 
 
A distância entre f (x, y) e L se torna arbitrariamente pequena sempre que a 
distância entre (x, y) e (x0, y0) se mostrar suficientemente pequena (mas não igual a 0) 
(CORRÊA, 2018). 
 
 
 
 
 
111 
 
Exemplo 1 
 
Vamos mostrar que 
 
 
 
De acordo com a definição, temos que f (x, y) = x e L = a. Precisamos garantir 
que, para qualquer δ > 0, podemos encontrar ε > 0, tal que 
 
 
 
Sempre que |(x, y) – (a, b)| < δ (CORRÊA, 2018). 
 
Como (x, y) se aproxima de (a, b), por definição 
 
 
 
Da última desigualdade apresentada, podemos concluir que 
 
 
 
Fazendo ε = δ, obtemos a desigualdade procurada 
 
 
 
De maneira análoga ao exercício anterior, conseguimos mostrar que 
 
 
 
 
112 
 
e também que 
 
 
 
para todo número real k (CORRÊA, 2018). 
 
 
24.1 Continuidade 
Uma função f de duas variáveis é contínua em (a, b) se 
 
 
 
Dizemos, também, que f (x,y) é contínua em D se f é contínua em todos os pontos 
(a, b) ∈ D (CORRÊA, 2018). 
 
Exemplo 2 
 
A função 
 
 
 
é descontínua no ponto (0,0), no qual a função não está definida e 
não existe (CORRÊA, 2018). 
 
113 
 
24.2 Funções com três ou mais variáveis 
Todos os resultados obtidos até o momento podem ser estendidos para as 
funções com três ou mais variáveis (CORRÊA, 2018). 
Dizemos que 
 
 
 
Se os valores de f (x, y, z) ficam cada vez mais próximos de L quando (x, y, z) se 
aproxima de (x0, y0, z0) ao longo de qualquer caminho no domínio de f (CORRÊA, 2018). 
 
E a função f (x, y, z) é contínua em (a, b, c) se 
 
 
 
De modo geral, temos que se f é definida em um subconjunto D ϵ ℝn, então 
 
 
 
significa que, para todo número real ε > 0, existe um número real δ > 0, tal que 
 
 
 
onde x = (x1 , x2 , x3 ,⋯, xn ) e a = (a1 , a2 , a3 ,⋯, an ) (CORRÊA, 2018). 
25 PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Suponha que existam os limites 
 
 
114 
 
 
 
tais que 
 
 
 
Seja k um número real, então (CORRÊA, 2018): 
 
1. Propriedade da soma 
 
 
2. Propriedade da multiplicação por constante 
 
 
 
3. Propriedade do produto 
 
 
 
4. Propriedade do quociente 
 
 
 
5. Propriedade da potência 
 
 
 
115 
 
6. Propriedade da radiciação 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcule 
 
 
 
Sabendo que 
 
 
 
De acordo com a propriedade do produto, temos que 
 
 
26 CÁLCULO DE LIMITE POR SUBSTITUIÇÃO 
Das propriedades de limite, obtemos um resultado útil de que os limites das 
funções das funções polinomiais e racionais podem ser calculados avaliando a função no 
ponto, isto é, o limite da função f (x, y), quando (x, y) → (x0, y0), pode ser obtido avaliando 
o valor de f (x0, y0), substituindo o ponto (x0, y0) na função. A única atenção que devemos 
ter reside no fato de que as funções racionais devem estar definidas em (x0, y0) 
(CORRÊA, 2018). 
Encontre 
 
 
116 
 
 
 
Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x por 1 
e y por –2. Assim (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
Exemplo 5 
 
Encontre 
 
 
 
Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x por 0 
e y por 0. Assim (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
Exemplo 6 
 
Encontre 
 
 
 
Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x por 4 
e y por 0. Assim (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
117 
 
Exemplo 7 
 
Considere as funções f (x, y) = 3x2 +4y2 e . Encontre 
 
 
 
De acordo com a propriedade do produto, temos que 
 
 
 
Para encontrarmos o limite, basta fazermos a substituição na função de x por –5 
e y por 2. Assim (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
Exemplo 8 
 
Encontre 
 
 
 
Como se aproxima de 0 quando (x, y) tende a (0,0), não podemos fazer a 
substituição direta, pois isso anularia o denominador. Para solucionarmos o problema da 
divisão por 0, podemos racionalizar o denominar, ou seja, multiplicar o numerador e o 
denominador por (CORRÊA, 2018): 
 
 
118 
 
 
 
Assim, encontramos uma função equivalente cujo limite podemos calcular por 
substituição (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
Exemplo 9 
 
Vamos analisar 
 
 
 
Como x2 + y2 se aproxima de 0 quando (x, y) tende a (0,0), não podemos fazer a 
substituição direta, pois isso anularia o denominador (CORRÊA, 2018). 
Observe o Quadro 1, que exibe os valores de para pontos próximos 
de (0, 0). 
 
 
119 
 
 
 
Observe que à medida (x, y) se aproxima de (0, 0), a função não se aproxima de 
valor algum. Os valores que a função assume variam. Por exemplo (CORRÊA, 2018): 
 
 
 
Nesse caso, dizemos que o limite não existe. 
 
 
 
Como visto na definição de limite, a função f tem limite L se, à medida que (x, y) 
se aproxima de (x0, y0), temos que f fica cada vez mais próximo de L, independentemente 
do modo (caminho) como (x, y) tende a (x0, y0) (CORRÊA, 2018). 
 
Exemplo 10 
 
Vamos mostrar que o limite não existe. 
 
 
 
120 
 
Aproximemos de (0, 0) pelo eixo x. Tomando y = 0, temos: 
 
 
 
Assim, f(x, y) → 1 quando (x, y) → (0,0) ao longo do eixo x (CORRÊA, 2018). 
Vamos aproximar agora de (0,0) pelo eixo y. Tomando x = 0, temos: 
 
 
 
Assim, f(x, y) → –1 quando (x, y) → (0, 0) ao longo do eixo y. 
Como f tem dois limites diferentes ao longo de duas retas diferentes, o limite não 
existe, comprovando o resultado do exemplo anterior (CORRÊA, 2018). 
 
Exemplo 11 
 
Determine 
 
 
Basta fazer a substituição direta do ponto (x, y, z) por (0,0,0) na função 
: 
 
 
Os limites são utilizados no cálculo diferencial e em outros ramos da matemática 
para definir derivadas e a continuidade de funções. Empregamos o conceito de limite 
para descrever o comportamento de uma função à medida que suas variáveis se 
aproximam de determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de 
números reais à medida que o índice cresce, tendendo para o infinito (CORRÊA, 2018). 
 
121 
 
27 REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
CONNALLY E., HUGHES-HALLETT, D., GLEASON, A. M. Funções Para Modelar 
Variações: Uma Preparação Para o Cálculo. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
MEDEIROS, V.; CALDEIRA, A.; SILVA, L.; MACHADO, M.; Pré-Cálculo. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. 
THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1. Volume 1, 1ª ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2009. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014, v. 1. 
DEMANA, F. D.; et al. Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
FRIEDRICH, M. A.; MANZINI, N. Matemática aplicada. São Leopoldo: UNISINOS, 2010. 
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2018. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: 2: 
logaritmos. São Paulo: Atual, 2013. 
KHAN ACADEMY. Revisão