Exercicio Algebra Linear

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - PROF. CHICO 
 
01) Mostre que, para qualquer escalar k e quaisquer vetores u e v, k(u - v) = ku - kv. 
02) Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não vazio X num corpo K. Para quaisquer 
funções f, g V e qualquer k K, sejam f + g e kf as funções em V definidas como segue: 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (kf)(x) = kf(x). Demonstrar que V é um espaço vetorial sobre K. 
03) Se V é o conjunto de pares ordenados de números reais V = {(a,b)/ a,b }, mostre que V não é 
espaço vetorial sobre em relação a cada uma das seguintes operações de adição e 
multiplicação por escalar em V: 
(i) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (ka, b) 
(ii) (a, b) + (c, d) = (a, b) e k(a, b) = (ka, kb) 
(iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (k2a, k2b) 
04) Seja V = . Mostre que W é subespaço de V, onde : 
(i) W = {(a,b,0)/a,b }. 
(ii) W = {(a,b,c)/ a+b+c=0}. 
05) Escreva o vetor u=(1, -2, 5) como combinação linear de v1=(1, 1, 1);v2=(1, 2, 3 );v3=(2, -1,1 ). 
Resp.: u = -6v1 + 3v2 + 2v3 
06) Seja V espaço vetorial das funções f: . 
(a) Consideremos f(t) = e2t, g(t) = t3 e h(t) = t. Os vetores {f, g, h} são LI ou LD? 
(b) {et, e2t } são LI ou LD? Resp: a) LI b) LI 
07) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u + v, u - v e u - 2v + w são LI. 
08) Sejam u, v e w vetores LI. Mostre que u, u + v e u + v + w são LI. 
09) Prove que: u + v e u - v são LI u e v são LI . 
10) No , os vetores (1,1,0); (2,1,1) e (4,3,1) são LD ou LI? Resp: LD 
11) Considere os vetores i e i - 1 
(a) Mostre que i e i -1 são LD, considerando como espaço vetorial complexo e K= 
(b) Mostre que i e i -1 são LI , considerando como espaço vetorial complexo e K= 
12) Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre . Os vetores: 
u = t3 - 3t2 + 5t + 1 ; v = 2t3 - 4t2 + 9t + 5 e w = t3 - t2 + 8t + 2, são LI ou LD? Resp: LI 
13) Sejam e1, e2, .... , en vetores LI. Suponha que u é combinação linear dos vetores acima, 
digamos u = a1e1 + a2e2 + .... + anen. Mostre que a representação de u acima é única. 
14) Escreva a matriz como combinação linear das seguintes matrizes: 
 ; e Resp.: A=2M1-M2+2M3 
 2 
15) Determine uma base e a dimensão do espaço das soluções do sistema linear (s): 
 Resp.: Dimensão = 1 e base = 
16) Verifique se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do . 
(a) {(1,1,1),(1,-1,5)} Resp.: não 
(b) {(1,2,3),(1,0,-1),(3,-1,0),(2,1,-2)} Resp.: não 
(c) {(1,1,1),(,1,2,3),(2,-1,1)} Resp.: sim 
(d) {(1,1,2),(,1,2,5),(5,3,4)} Resp.: não 
17) Seja W o subespaço do gerado pelos vetores (1, -2, 5, -3); (2, 3, 1, -4) e (3, 8, -3, -5). 
(i) Encontre uma base e a dimensão de W. 
(ii) Estenda a base de W para uma base do . 
Resp.: (i) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2)}, Dim(W) = 2 , (ii) {(1,-2,5,-3),(0,7,-9,2),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 
18) Determine as coordenadas do polinômio p(t) = 1+2t-t3 em relação: 
(a) A base canônica de P3( ). Resp.: 
(b) A base {1 , 1-t , 1-t2 , 1-t3 } Resp.: 
19) Determine as coordenadas de 1-2i em relação a seguinte base de sobre , { 1-i , 1+i }. 
Resp.: 
20) A matriz de mudança da base B do para a base {(1,1),(0,2)} desse mesmo espaço é . 
Determine a base B. Resp: 
21) Encontre a dimensão e uma base do espaço solução do sistema: . 
Resp:{(-2,1,0,0),(5,0,-2,1,0),(-7,0,2,0,1)} 
 
22) Determinar quais subconjuntos dos são subespaços: 
(a) 
(b) Resp: a) Não b) Sim c) Não 
(c ) 
 
 
 3 
23) Mostre que W não é subespaço vetorial de M2( ), onde: 
a) W conciste de todas as matrizes com determinante nulo. 
b) W consiste de todas as matrizes A para as quais A2 = A . 
24) Sejam U, V e W os seguintes subespaços do : W={(0,0,c)/c }; U={(a,b,c)/a+b+c=0}: 
V={(a,b,c)/a-c=0}. Mostre os itens abaixo. Quando a soma é direta? 
(i) = U+V. 
(ii) = U+W. Resp: (i) Não é soma direta. (ii) É soma direta. (iii) É soma direta. 
(iii) = V+W. 
25) Seja M tal que M= [(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4)]. Calcule a dimensão de M. Determine uma base 
do que contenha uma base de M. 
Resp: Base{(0, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(1, 1, 1, 0),(1, 2, 3, 4)}, dim(M)=2 
26) Mostre que : [(1, 1, 0, 0),(1, 0, 1, 1)]=[(2, -1, 3, 3),(0, 1, -1, -1)]. 
27) Mostre que os conjuntos V=[(1, 2,1,3),(2, 0, 2, 0),(-4, 4,-4,6)] e W=[(1, 0, 1, 0),(0, 2, 0, 3)] 
geram o mesmo subespaço. 
28) Sejam P o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Sejam 
W1= {p(x) / p(1) = 0} e W2= { p(x) / p(2) = 0}. Determine: W1 W2 e W1 + W2. 
29) Consideremos o corpo dos números reais como espaço vetorial sobre o corpo Q dos 
números racionais. Mostre que os conjuntos e geram o 
mesmo subespaço de . 
30) Sejam U e W subespaço do 4 dados por: U={(a,b,c,d) / b+c+d=0} e W= {(a,b,c,d) / a+d=0 e 
c=2d} Calcular uma base e a dimensão dos subespaços: U, W, U + W e U W. 
Resp: base de U {(1, 0, 0, 0),(0, -1, 1, 0),(0, -1, 0, 1)}, dim (U) = 3 
base de W {(0, 1, 0, 0),(-1, 0, 2, 1)}, dim (W) = 2 
base de U+W {(1,0, 0, 0),(0, -1,1,0),(0, 0, -1,1),(0, 0, 0, 1)}, dim (U+W) = 4 
base de U W {(-1, -3, 2, 1)}, dim (U W) = 1 
31) Determine as coordenadas do vetor u=(2, 1, 4) do em relação às bases: 
a) Canônicas Resp(a): ; Resp(b): 
b) B={(1, 1, 1);(1, 0, 1);(1, 0, -1)} 
32) Determine as coordenadas da matriz M = 
0 2
1- 1 do M2 ( ) em relação à base: 
 B= 
2 1
0 0
 ,
0 2
0 0
 ,
0 0
1 0
 ,
1 0
0 1 Resp: 
 4 
33) Achar a matriz mudança da base B= {(1, 1, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 3)} para a base canônica do . 
Resp: 
1/3 0 0
0 1 1-
0 0 1
 
34) No consideremos as bases B={e1, e2, e3} e C={g1, g2, g3} relacionadas da seguinte forma:
3213
3212
311
ee2eg
eee2g
eeg
. Determine a matriz de mudança da base B para C e de C para B. 
Resp: 
35) A matriz de mudança da base B={1 + t, 1 - t} para uma base C, ambas no mesmo subespaço de 
P1( ) é 
1- 1
2 1 . Determine a base C. Resp: C={2, 1 
+3t} 
36) Quais das aplicações abaixo são transformações lineares: 
a) T: 2 2 tal que T(x,y)=(x + y, x) 
b) T: 3 tal que T(x, y, z)= 2x- 3y+ 4z. Resp: a) sim b) sim c) não 
c) T: 2 tal que T(x, y)= xy. 
37) Seja T: 2 a transformação linear tal que T(1,1)=3 e T(0,1)=2.Determine a T(x, y). 
Resp: T(x , y)= x + 2y 
38) Seja T: 4 3 a transformação linear definida por: 
T(x, y, z, t)=(x - y + z + t, x + 2z - t, x + y + 3z - t). Encontre uma base e a dimensão de: 
a) Im(T) Resp: Base {(1, 1, 1),(0, 1, 2),(0, 0, 2)}, dim Im(T)=3 
b) Ker(T) Resp: Base {(-2, -1, 1, 0)}, dimKer(T)=1 
39) Encontre T(x, y, z) onde T: 3 2 tal que T(1, 1, 1) = (2, 2), T(1, 0, 1) = (1, 1) e T(1, 0, -
1)=(1, -1). 
Resp: T(x, y, z)=(x+ y, y+ z) 
40) Seja T: 3 3 o operador linear definido por: T(x, y, z)=(x+ 2y- z, y+ z, x+ y- 2z). Encontre 
uma base e a dimensão para Im(T) e Ker(T). 
Resp: [Im(T)] = {(1, 0, 1),(0, 1, -1)}; dim Im(T) = 2; [Ker(T)] = {(3, -1, 1)}; dim Ker(T) =1 
 
41) Encontre uma transformações T: 4 3 cujo núcleo é gerado por (1, 2, 3, 4) e (0, 1, 1, 1). 
Resp: T(x, y, z, t)=(0, -x -y +z, -x -y +z) 
42) Encontre uma transformação linear T: 3 3 cuja imagem é gerada por (1, 2, 3) e (4, 5, 6). 
 5 
Resp: T(x, y, z)=(x + 4y, 2x + 5y, 3x + 6y) 
43) Sejam F: 3 2 e G: 3 2 definidas por: F(x, y, z)=(2x, y+ z) e G(x, y ,z)=(x - y, y). 
Encontre fórmulas definindo as transformações: 
a) F + G Resp: F + G=(3x - y, 2y + z) 
b) 3F Resp: 3F=(6x, 3y + 3z) 
c) 2F - 5G Resp: 2F - 5G=(-x + 5y, -3y + 2z) 
44) Sejam F: 3 2 G: 2 2 definidas por: F(x, y, z)=(2x, y +z) e G(x, y)=(y, x). Determine, se 
for possível, FoG e GoF. 
Resp: GoF=(y+z, 2x), mas FoG não está definida. 
45) Sejam F: 2 2 e G: 2 2 transformações definidas por: F(x, y)=(x -y,x) e G(x, y)=(x, 0). 
Determine: 
a) 2F +3G Resp: (5x - 2y, 2x) 
b) FoG Resp: (x, x) 
c) GoF Resp: (x -y, 0) 
d) F2 Resp: (-y, x - y) 
e) G2 Resp: (x, 0) 
46) Determine a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do 2 em relação às 
bases indicadas: 
a) T(x, y)=(2x, 3y -x) e base canônica do 2. Resp: 
b) T(x, y)=(3x -4y, x + 5y) e a base B={(1, 2),(2, 3)} Resp: 
47) Determine o operador T do 2 cuja matriz em relação à base B={(1, 1),(1, 2)} é 
2 1
0 1 . 
Resp: T(x, y)=(2x, 2x + y) 
48) Seja T o operador linear do 2 cuja matriz em relação à base B={(1, 1),(1, -1)} é 
5 0
0 1 . 
Determine a matriz de T em relação à base canônica do mesmo espaço. 
Resp: 
3 2-
2- 3 
49) Sejam F: 2 3 e G: 2 3 tais que F(x, y)=(x, x - y, 2y) e que a matriz de F + G em relação 
às bases canônicas do 2 e 3 é 
33
10
12
. 
 Determine a matriz de G em relação a essas bases e a expressão da G(x, y). 
 6 
Resp: e G(x, y)=(x + y, -x + 2y, 3x + y) 
50) Seja V espaço vetorial das matrizes 2 2 sobre e seja M= 
2 2-
1- 1
. Seja T:V V a 
transformação linear definida por T(A) = MA. Encontre uma base e a dimensão de: 
a) Ker(T) Resp: a) Base de Ker(T)=
10
10
,
01
01 e dimKer(T)=2 
b) IM(T) b) Base da Im(T)= 
20
10
,
02
01 e dimIm(T)=2 
51) Mostre que cada operador T do é inversível e encontre uma fórmula para T-1. 
a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) 
b) T(x, y, z) = (x + z, x - z, y) Resp: a) T-1(x, y, z) = (14z + 3y + x, 4z +y, z) 
b) T-1(x, y, z) = 
2
yx
, z ,
2
yx
 
52) Determine quais dos operadores lineares do são automorfismo: 
a) T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) Resp: sim 
b) T(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z) Resp: sim 
53) Considere o operador linear T do satisfazendo as seguintes condições T(1,0,0)=(1,1,1), 
T(0,1,0)=(1,0,1) e T(0,1,2)=(0,0,4). T é um isomorfismo? Se for determine o isomorfismo 
inverso. 
Resp: Sim, T-1(x, y, z) = 
2
zx
, 
4
zy4x3
 ,y
 
54) Seja 
211
1oo2
21o
aa a
aa a
)tataa(T
. Determine a matriz da transformação T:P2( ) M2(
) em relação às bases {1,1+t,2+t2} do espaço P2( ) e a base 
3 0
0 0
 ,
0 1-
0 0 
 ,
0 0
1 0
 ,
0 0 
1 2 
do espaço M2( ). Resp: P = 
3/13/10
010
32/52/3
12/12/1
 
55) Suponhamos que B={e1, e2} é base de V e T:V V é o operador linear para o qual T(e1)=3e1-
2e2, T(e2)=e1+4e2. Suponhamos que C={f1, f2} é base de V para a qual f1= e1+e2, f2 = 2e1+3e2. 
Encontre a matriz de T em relação à base C. Resp: 
1- 2-
11 8 
 7 
 
56) Encontre todos os auto-valores e uma base para cada auto-espaço: 
a) T: 2 2 tal que T(x, y) = (3x + 3y, x + 5y) 
b) T: 3 3 tal que T(x, y, z) = (x + y + z, 2y + z, 2y + 3z) 
Resp: a) 1 = 2, base de V( 1) e {(3, -1)} 
2 = 6, base de V( 2) e {(1, 1)} 
b) 1 = 1, base de V( 1) e {(1, 0, 0),(0,-1,1)} 
2 = 4, base de V( 2) e {(1, 1, 2)} 
57) Para cada matriz encontre todos os auto-valores e os auto-vetores: 
a) 
3 1
2 2 b)
311
242
113
 Resp(a): 1= 1 e V1= (2, -1), 2= 4 e V2= (1, 1) 
Resp(b): 1= 2 e V1= (1, -1, 0) e V2= (1, 0, -1) , 2= 6 e V3= (1, 2, 1) 
58) Mostre que o operador T do 3 cuja matriz é 
7816
438
449
é diagonalizável e exibir sua matriz 
na forma diagonal. Resp: 
300
010
001
 
59) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a 
matriz do operador em relação à base de auto-vetores. 
a) b) 
Resp: a) É diagonalizável e 
 b) É diagonalizável e 
60) Seja 
)TS(M)TS(M:T 22
, onde 
)TS(M2
 é o espaço vetorial das matrizes triangulares 
superiores, cuja base canônica é . Seja 
. Mostre que T é um operador diagonalizável e exibir sua matriz 
em relação à base de auto-vetores. 
 Resp: É diagonalizável e 
61) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a 
matriz do operador em relação à base de auto-vetores. 
 8 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resp: a) É diagonalizável e 
b) É diagonalizável e 
c) Não é diagonalizável. 
d) É diagonalizável e 
e) É diagonalizável e