Atividade de fixação - 2ª Lista de Exercícios

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO
Curso: Bacharel em Engenharia da Computação
Prof.: Dr. Willian de Souza Pereira Disciplina: Álgebra Linear
Data 30/09/2021 - Assunto : Espaços Vetoriais - Base e Dimensão - 2a Lista - Entrega: 14/10/2021
Ex. 1. Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de R2 ou R3:
a) W = {(x, y);x+ y = 0} b) W = {(x, y);x+ y = 1} c) W = {(x, y);x2 = y}
d) W = {(x, y);−x+ 3y = 0} e) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0} f) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}
g) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0} h) W = {(x, y, z) ∈ R3 : y ≥ 0};
Ex. 2. Dados os espaços vetoriais V1, V2 considere o conjunto V = V1×V2 ( produto cartesiano de V1 por V2),
cujos elementos são os pares ordenados de v = (v1, v2), com v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2. Defina operações que tornem V
um espaço vetorial. Verifique a validade de cada uma dos axiomas.
Ex. 3. Verifique se os conjuntos dados são LI ou LD. Se for LD, expresse um dos elementos como combinação
linear dos demais.
a)

 1 0 2
0 1 −1
 ,
 2 1 1
1 −2 3
 ,
 1 2 −1
2 4 3
⊂M2x2(R)
b) {x, 2x− x2, 4x+ 2x2} ⊂ P2(R) c) {x3, x2 − 1, x+ 2, x3 + x2 − x− 3} ⊂ P3(R)
Ex. 4. Sejam W1 = {(x, y, z, t)|x + y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t)|x − y − z + t = 0} subespaço
vetoriais de R4 .
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base. (b) Determine W1 +W2 .
(c) W1 +W2 é soma direta? Justifique. (d) W1 +W2 = R
4 ?
Ex. 5. Seja F = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y = 0} um subconjunto de R3.
(a) Mostre que F é um subespaço vetorial e indique uma base de F e a respectiva dimensão.
(b) Sendo G =
[
(1,−1, 0), (−1, 1, 1)
]
, determine as equações cartesianas do subespaço G e indique um conjunto
de geradores de G que não ao seja base. Qual a dimensão de G? Justifique.
(c) Caracterize F +G e indique a respectiva dimensão. Será F +G uma soma direta? Justifique.
Ex. 6. Determine, em cada caso, V ∩W e V +W :
(a) V = {(x, y, z) ∈ R3;x = y} e W = {(x, y, z) ∈ R3;x = y = z};
(b) V = {[aij ]2x2; a11 = a22 e a12 = a21} e W = {[aij ]2x2; a11 = a21 e a12 = a22};
(c) V = {(x, y,−x− 3y);x, y ∈ R} e W = {(0, 0, z); z ∈ R};
(d) V = {(x, y, z) ∈ R4;x+ 2y − z = 0} e W = {(x, x, x);x ∈ R};
(e) V = {(x, x, x);x ∈ R} e W = {(0, 0, z); z ∈ R}.
Quais das somas anteriores são somas diretas?
Ex. 6.1. Considere os seguintes subespaços de R3
U = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + 3z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}
Determine um sitema de geradores para o subespaço U +W .
Ex. 6.2. Considere os seguintes subespaços de R3
U = [(1, 2, 1), (−1, 1,−1)] e W = [(2, 2, 1), (1, 1,−1)]
Determine um sitema de geradores para o subespaço U ∩W .
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Ex. 7. Determine uma condição que a, b e c devem satisfazer de modo que (a, b, c) seja uma combinação
linear de u = (2,−6, 4) e v = (2,−1, 1).
Ex. 7.1. Considere o conjunto α = {(−1, 3, 1), (1,−2, 4) e determine:
a) o espaço gerado por α. b) O valor de k ∈ R para que v = (5, k, 11) pertença ao espaço gerado por α.
Ex. 8. Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de R3 assim relacionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
(a) Determinar as matrizes de mudanças de B para C e de C para B.
(b) Se um vetor u ∈ R3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3, em relação a B, quais as coordenadas de u relativamente
a C?
Ex. 9. No espaço vetorial P3(K) dos polinômios de grau menor ou igual a 3, considere as seguintes bases
ordenadas: α = {1, x, x2, x3) e β = {1, 1 + x, 1 + x2, x3).
a) Escreva os elementos da base ordenada β em função dos elementos da base ordenada α. Determine [I]αβ , a
matriz de mudança de base α para β.
b) Determine [I]βα, a matriz de mudança de base de β para α.
c) Se um polinômio p tem coordenadas (1, 1, 1, 1) na base canônica, ou seja, na base α, quais são as suas coor-
denadas na base ordenada β?
Ex. 10. Considere o espaço vetorial real P2(R). A matriz de mudança de base β = {1 + t, 1 − t2} para uma
base α, de um mesmo subespaço de P2(R, e dada por
[I]βα =
 1 2
1 −1
 .
Determine a base α.
Ex. 11. Considere os seguintes subespaços do espaço vetorial real R3
U = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)] e W = [(1, 2, 1), (0, 1,−1)]
Determine uma base para subespaços U +W e U .
Ex. 11.1 Considere o espaço vetorial real P3(R). Determine uma base para o subespaço vetorial de P3(R)
dado por:
S = {p(x) ∈ P3(R) : p(−1) = 0 e p′(1) = 0}
Ex. 12. Considere os seguintes subespaços do espaço vetorial real R4
U = [(1,−1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1)]
W = [(2, 1,−1, 3), (3,−4, 0, 0), (4, 5,−3, 5)]
Determine uma base para subespaços U +W e dim(U ∩W ).