Exercícios Resolvidos de Função exponencial e logarítmica

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
RESUMO: 
 POTENCIAÇÃO: EQUAÇÃO EXPONENCIAL LOGARITMO: 
 
m n m n
m
m n
n
b b b
b
b
b
+
−
 =
=
 
x yb b x y=  = 
log
log
log log
n
b
x
b
n
b b
b n
a x b a
a n a
=
=  =
=
 
 
1. Em um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela função 
0,4( ) 800.(2 )tN t = onde t é o tempo em minutos após o início da contagem. 
Essa cultura atingirá o número de 102400 bactérias às: 
(A)17horas e 30minutos; (B)17horas e 50minutos; 
(C)16horas e 30 minutos; (D)16horas. 
SOLUÇÃO: 
O número de 102400 bactérias corresponde ao valor de ( )N t para um determinado tempo t , 
portanto: 
0,4
0,4 0,4
0,4
0,4 7
( ) 800.(2 )
102400 1024
102400 800.(2 ) 2 128
800 8
2 128
7 70
2 2 0, 4 7
0, 4 4
t
t t
t
t
N t
t t
=
=  = = =
=
=  =  = =
 
70 4 17,5 17 30mint t horas utos=  =  = 
2. Inicia-se a criação de certa espécie de peixe em um lago. Estudos experimentais indicam 
que o número de peixes, decorridos t meses é dado pela função 0,2( ) 125 250.(2 )tN t = + . Essa 
criação atingirá 1125 peixes em: 
(A)8meses; (B)10 meses; (C)15meses; (D)20 meses. 
 
 
 
 
 
2 
SOLUÇÃO: 
1125 peixes é o valor de ( )N t para determinado valor de t que vamos calcular a seguir. 
0,2
0,2 0,2
0,2 2
( ) 125 250.(2 )
1125 125 250.(2 ) 250.(2 ) 1125 125 1000
1000 2 20
2 4 2 0,2 2 10
250 0,2 2
t
t t
t
N t
t t meses
= +
= +  = − =
= = =  =  = = =
 
3. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de 
madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: 
( ) ( )31,5 log 1h t t= + + , com ( )h t em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada 
quando seu tronco atingiu 3,5 metros de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da 
plantação até o do corte foi de: 
(A) 9 anos (B) 8 anos (C) 5 anos (D) 4 anos 
 
SOLUÇÃO: 
O tronco atingiu 3,5 metros de altura, isto é, ( ) 3,5h t = , portanto: 
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3
1,5 log 1
3,5 1,5 log 1 log 1 3,5 1,5 2
h t t
t t
= + +
= + +  + = − =
 
Usando a definição de logaritmo: 
( ) 23log 1 2 3 1 1 9 9 1 8t t t t anos+ =  = +  + =  = − = 
4. A escala de um aparelho para medir ruídos é definida da seguinte forma: 
( )( ) 120 10logR i i= + , em que R é a medida do ruído, em decibéis, e i é a intensidade sonora, 
em / ²W m . No. Por exemplo, o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis, 
enquanto o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 
decibéis, sendo este o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. 
A intensidade sonora i dos motores de um avião a jato é k vezes a intensidade sonora do 
tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. O valor de k é: 
(A) 410 (B) 410− (C) 810 (D) 810− 
SOLUÇÃO: 
Devemos calcular a intensidade sonora i dos motores de um avião a jato e a do tráfego em uma 
esquina movimentada de uma grande cidade para determinar o valor de k . 
i. Cálculo da intensidade sonora i dos motores de um avião a jato: 
Como o ruído dos motores de um avião a jato é de 160 decibéis: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
120 10log
160 120 10log 10log 160 120 40
40
log 4
10
R i i
i i
i
= +
= +  = − =
= =
 
Usando a definição de logaritmo e lembrando que quando não está indicado a base do 
logaritmo, significa que sua base é 10, denominado logaritmo decimal, temos: 
( ) 4log 4 10 / ²i i W m=  = 
ii. Cálculo da intensidade sonora i do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande 
cidade: 
Como o ruído do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade é de 80 decibéis: 
 
 
3 
( ) ( )
( ) ( )
( )
120 10log
80 120 10log 10log 80 120 40
40
log 4
10
R i i
i i
i
= +
= +  = − = −
= − = −
 
Usando a definição de logaritmo e lembrando que quando não está indicado a base do 
logaritmo, significa que sua base é 10, denominado logaritmo decimal, temos: 
( ) 4log 4 10 / ²i i W m−= −  = 
iii. determinando o valor de k : 
( )
4
4 44 4 4 4 8
4
8
10
10 10 10 10 10
10
10
k k
k
− −− +
−
=  = = = =
=
 
5. Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se 
desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o 
passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa 
quantidade de um elemento radioativo inicialmente com 0m gramas de massa se decomponha 
segundo a equação matemática: ( ) 70010
t
m t m
−
= , onde ( )m t é a quantidade de massa radioativa 
no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 0,3= , esse elemento se decompõe até 
atingir um oitavo da massa inicial em: 
(A)70 anos; (B)63 anos; (C)700 anos; (D)630 anos. 
SOLUÇÃO: 
Pelos dados do problema, temos: 
( )
( )
0
70 70
0 0 0
370
3
370
1
8
1
10 10
8
1 1
10 2
8 2
10 2
t t
t
t
m t m
m t m m m
− −
− −
− −
=
=  =
= = =
=
 
Temos, então, uma equação exponencial de bases diferentes, logo, não podemos igualar seus 
expoentes para determinar t . 
Como uma das potências tem base 10, vamos aplicar o logaritmo decimal em ambas: 
( )
70 3
log 2 0,3
log10 log 2
log10 3log 2 3log 2
70 70
log 2 0,3 0,3 210
210 210
63
t
t t
t t
t
t anos
− −
=

=
− = −  − = −
=  =  =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
6. Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende 
do tempo t , em anos, do seguinte modo: ( ) 0
ktR t R e−= , em que 0R é o risco de infecção no início 
da contagem do tempo C, e é a base do logaritmo natural e k é o coeficiente de declínio. 
O risco de infecção atual, início da contagem, em Salvador foi estimado em 2%, isto é, 0 2%R = . 
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtido um coeficiente de 
declínio de 10% ao ano, isto é, 10%k = . 
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de: 
(use ln 2 0,70= e ln 5 1,60= ) 
(A) 21 (B) 44 (C) 23 (D) 46 
SOLUÇÃO: 
De acordo com os dados do problema, temos: 
( )
( )
0
0
0,1 0,1 0,1
0,1
2 10 0, 2
2% 10% 0,1 0, 2%
100 100 100
0, 2 2 0, 2 1
0, 2 2
100 100 2 10
0,1
kt
t t t
t
R k R t
R t R e
e e e
e
−
− − −
−
= =  = = =  = =
=
=  =  = =
=
 
Temos, então, uma equação exponencial de bases diferentes, logo, não podemos igualar seus 
expoentes para determinar t . 
Como uma das potências tem base e , vamos aplicar o logaritmo natural (de base e ) em ambas: 
0,1
0,1
0,1
ln ln 0,1 0,1 ln 0,1
t
t
e
e t
−
−
=
=  − =
 
Vamos calcular separadamente o logaritmo natural de 0,1. Para isto devemos relembrar as: 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
log . log log
log log log
b b b
b b b
a c a c
a
a c
c
= +
 
= − 
 
 
( )
1 1
0,1 ln 0,1 ln ln1 ln10 0 ln10 ln10
10 10
10 2 5 ln10 ln 2 5 ln 2 ln 5
ln 2 0,70 ln 5 1,60
ln10 0,70 1,60 2,30
ln 0,1 2,30
 
=  = = − = − = − 
 
=   =  = +
=  =
= + =
= −
 
Levando este valor na equação 0,1 ln 0,1t− = , temos: 
2,3 23
0,1 ln 0,1 0,1 2,30
0,1 1
23
t t t
t anos
− =  − = −  = =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
7. Suponha que o crescimento populacional de duas cidades, A e B, é descrito pela 
equação: ( ) 0
ktP t P e= onde: 0P é a população no início da observação; k é a taxa de 
crescimento populacional; t é o tempo medido em anos; e é a base do logaritmo natural; ( )P t é 
a população t anos após o início da observação. 
Se no início de nossa observação a população da cidade B é o quíntuplo da população da 
cidade A, e se a taxa de crescimento populacional de A permanecer em 2% ao ano e a de B em 
10% ao ano, em quantos anos,aproximadamente, as duas cidades possuirão o mesmo número 
de habitantes em (Considere ln 5 1,60= ): 
(A)20 anos; (B)2 anos; (C)200 anos; (D)500 anos. 
SOLUÇÃO: 
Seja a população inicial da cidade A e da cidade B representadas, respectivamente, por 
0 0,
A BP P . 
Como no início de nossa observação a população da cidade B é o quíntuplo da população da 
cidade A, temos que 0 05
B AP P= . 
Para a cidade A temos: 
( )
( )
0
0 0
0,02
0
2% 0,02
kt
A
A t
A
P t P e
P P k
P t P e
=
=  = =
=
 
Para a cidade B temos: 
( )
( )
0
0 0
0,1
0
10% 0,1
kt
B
B t
A
P t P e
P P k
P t P e
=
=  = =
=
 
Como queremos saber em quantos anos, aproximadamente, as duas cidades possuirão o 
mesmo número de habitantes e 0 05
B AP P= : 
0,1 0,1
0 0
0,1
0,1 0,02 0,02 0,1
0 0 0,02
0,1 0,02 0,08
5 5 5
5 5
A t B t
t
A t A t t t
t
t t t
P e P e
e
P e P e e e
e
e e−
=
=  =  =
=  =
 
Temos, então, uma equação exponencial de bases diferentes, logo, não podemos igualar seus 
expoentes para determinar t . 
Como uma das potências tem base e , vamos aplicar o logaritmo natural (de base e ) em ambas: 
0,08
0,08
5 ln 5 1,60
ln ln 5
0,08 ln ln 5 0,08 1,60
1,6 160
20
0,08 8
t
t
e
e
t e t
t anos
=  =
=
=  =
= = =