Logaritmos e Exponenciais - Modelagem de Problemas Aplicando a Lei de Resfriamento de Newton

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Resumo: Este trabalho apresenta algumas modelagens matemática de problemas 
através das equações exponenciais com soluções logarítmicas trazendo o estudo dessas 
equações para o cotidiano dos estudantes do Ensino Médio, assim podemos responder a 
uma pergunta que é muito frequente no estudo de tais equações: para que serve estudar 
tais equações e onde aplicá-las? Vamos dar ênfase aos problemas que envolvem a Lei 
de resfriamento de Newton. Os problemas são solucionados aplicando as definições de 
logaritmos e potenciação e suas propriedades. 
 
Problema 1: O instante da morte! 
Um homem é encontrado morto em seu apartamento. O perito da Polícia Civil 
chega às sete horas ao local, a temperatura do corpo é medida imediatamente e o valor 
obtido é 0
0 26T C= . O corpo é mantido na cena do suposto crime e duas horas depois sua 
temperatura é novamente medida e o valor encontrado é 01 23T C= . O crime parece ter 
ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia 
sabe através de interrogatórios que durante todo este tempo o aparelho de ar-
condicionado foi mantido ligado a uma temperatura ambiente de 020aT C= . A perícia sabe 
também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de, aproximadamente, 037 C . 
Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Um erro comum entre os estudantes é resolver o problema aplicando uma Regra 
de Três entre as grandezas tempo e temperatura. 
Há uma equação matemática que pode ser usada para numa investigação de um 
homicídio, ou de uma morte acidental para estimar o instante da morte. É a chamada Lei 
do Resfriamento de Newton. 
A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória 
em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa 
proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se 
conhece como Lei do Resfriamento de Newton. Esta lei diz que a taxa de variação de 
temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura 
do corpo e a temperatura constante do meio ambiente e esta lei dá origem a equação 
logarítmica: 
 
 
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LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: 
 
( ) 0ln aT T kt c− = − + 
Onde: 
T temperatura do corpo no instante t ; 
aT  temperatura constante do ambiente em que o corpo se encontra; 
k constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constitui 
o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está 
diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. 
0c  valor que será determinado considerando o tempo inicial 0 0t = que o corpo foi 
encontrado. 
 
 
Vamos, então, modelar nosso problema com a Lei do Resfriamento de Newton. 
( ) 0ln aT T kt c− = − + 
Quando o perito chega ao local as sete horas, podemos considerar como tempo 
0 0t = e, temperatura do corpo é 
0
0 26T C= e a temperatura do ambiente 
020aT C= , então, 
temos: 
( )0 0 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 26 20 0
ln 6
k c
c
− = −  +
=
 
Elevando ambos os lados da equação a potência de base e , temos que: 
0 0ln 6 6
c c
e e e=  = 
Quando o tempo 1 2t h= a temperatura do corpo é 
0
1 23T C= e a temperatura do 
ambiente 020aT C= , então, temos: 
( )1 1 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 23 20 2
ln3 2
k c
k c
− = −  +
= − +
 
Elevando ambos os lados da equação a potência de base e , temos que: 
0
0
2ln3
2 3
k c
c k
e e
e e
− +
−
=
=
 
Como 0 6
c
e = 
0 2 2
2
3 6 3
3
0,5
6
c k k
k
e e e
e
− −
−
=  =
= =
 
Calculando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos que: 
2ln ln 0,5 2 ln 0,5ke k− =  − = 
Como ln 0,5 0,70 − :- 
0,70
2 0,70 0,35
2
k k− = −  = = 
Agora temos condições de resolver o problema pois já determinamos 0 6
c
e = e 
0,35k = . 
3 
 
Finalmente, quando a pessoa ainda estava viva sua temperatura era de 037T C= e 
a temperatura do ambiente 20aT = , então, temos como determinar passadas quantas 
horas isso ocorreu. 
( ) 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 37 20 0,35
ln17 0,35
t c
t c
− = − +
= − +
 
Elevando ambos os lados da equação a potência de base e , temos que: 
0
0
0,35ln17
0,35 0,35
0,35
17 6 17
17
2,80
6
t c
c t t
t
e e
e e e
e
− +
− −
−
=
=  =
= 
 
Calculando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos que: 
0,35ln ln 2,8 0,35 ln 2,8te t− =  − = 
Como ln 2,8 1,02 : 
0,35 ln 2,8 0,35 1,02
1,02
2,9
0,35
t t
t
− =  − =
= −  −
 
Precisamos transformar esse valor decimal de 2,9 horas para horas e minutos 
conforme usamos. 
Como uma hora tem sessenta minutos, 2,9 horas tem 2,9 60 174 = minutos. 
O suposto homicídio aconteceu há aproximadamente 3 horas antes do perito 
efetuar a primeira medição de temperatura do corpo, ou seja, às 4 horas da madrugada. 
 
Problema 2: A xícara de café! 
Uma xícara de café é servida a uma temperatura de, aproximadamente 080 C . Para 
não queimar a boca a pessoa espera por 5 minutos para sua temperatura cair em, 
aproximadamente 020 C e assim saborear o delicioso café. Se a temperatura do ambiente 
é mantida a 30ºC, dentro de quanto tempo a temperatura do café descerá para 40ºC? 
SOLUÇÃO: 
 
Quando a xícara de café é servida podemos considerar como tempo 0 0t = e, 
temperatura da xícara é 0
0 80T C= e a temperatura do ambiente 
030aT C= , então, temos: 
( )0 0 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 80 30 0
ln50
k c
c
− = −  +
=
 
0 0ln50 50
c c
e e e=  = 
Quando o tempo 1 5mint utos= a temperatura do corpo é 
0
1 60T C= e a temperatura 
do ambiente 30aT = , então, temos: 
( )1 1 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 60 30 5
ln30 5
k c
k c
− = −  +
= − +
 
0
0
5ln30
5 30
k c
c k
e e
e e
− +
−
=
=
 
4 
 
Como 0 50ce = 
0 5 5
5
30 50 30
30
0,6
50
c k k
k
e e e
e
− −
−
=  =
= =
 
5ln ln 0,6 5 ln 0,6ke k− =  − = 
Como ln 0,6 0,50 − :- 
0,50
5 0,50 0,1
5
k k− = −  = = 
Agora temos condições de resolver o problema pois já determinamos 0 50ce = e 
0,1k = . 
Finalmente, já podemos determinar quantos minutos serão necessários para o café 
atingir a temperatura de 040T C= . A temperatura do ambiente continua em 030aT C= . 
( ) 0ln aT T kt c− = − + 
( ) 0
0
ln 40 30 0,1
ln10 0,1
t c
t c
− = − +
= − +
 
0
0
0,1ln10
0,1 0,1
0,1
10 50 10
10
0,2
50
t c
c t t
t
e e
e e e
e
− +
− −
−
=
=  =
= =
 
0,1ln ln 0,2 0,1 ln 0,2te t− =  − = 
Como ln 0,2 1,6 − : 
0,1 ln 0,2 0,1 1,6
1,6
16
0,1
t t
t
− =  − = −
= 
 
Portanto a temperatura do café descerá para 40ºC nos 16 minutos seguintes. 
 
Problema 3: A barra de aço fundido! 
Coloca-se uma barra de aço fundido, à temperatura de 1370ºC em uma forma de 
resfriamento com temperatura constante de 20ºC. Após 20 minutos a temperatura do aço 
é de 900ºC, determine o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 50ºC. 
 
Problema 4: Esfriando um ovo cozido! 
Um ovo cozido, a 98ºC, é colocado em uma panela contendo água a 18ºC. Depois 
de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38ºC. Suponha que durante o experimento a 
temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será 
necessário para que o ovo atinja 20ºC?