Plano de aula 3 - Função Quadrática - Raízes de uma Função do Segundo Grau - com gabarito

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Plano de Aula 03 
 
1. Conteúdos da aula 
- Estudo sobre o ponto em que a parábola (o gráfico da função) intercepta 
o eixo 𝑦; 
- Estudo das raízes de uma função do 2º grau. 
 
2. Objetivo(s) da aula 
- Identificar o ponto em que a parábola intercepta o eixo 𝑦; 
- Calcular as raízes de uma função do 2º grau; 
 - Representar a função quadrática na forma fatorada. 
 
3. Desenvolvimento da aula 
(10 min) – Acomodação dos alunos e realização da chamada. 
(50 min) – Desenvolvimento do conteúdo: 
Elementos para o estudo da parábola: 
Em uma série de situações práticas, é útil identificar os seguintes elementos 
de uma parábola: 
• O ponto em que a ela intercepta o eixo 𝑦; 
• As raízes da função; 
• O vértice. 
A partir de agora estudaremos cada um desses elementos, pois com base 
neles, é possível construir o esboço do gráfico e analisar a função quadrática. 
O ponto em que a parábola intercepta o eixo 𝒚. 
 Considere a função quadrática cuja lei é 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. As 
coordenadas do ponto em que a parábola correspondente intercepta o eixo 𝑦 
são (0, 𝑐). 
 Exemplo 1: Qual o ponto que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 intercepta o eixo 
𝑦. 
(0, 𝑐) = (0,6) 
Exemplo 2: Qual o ponto que a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² − 4𝑥 + 1 intercepta o 
eixo 𝑦. 
(0, 𝑐) = (0,1) 
 
Raízes da função do segundo grau: 
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² +
𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, os números reais 𝑥 tais que 𝑓(𝑥) = 0. 
Então as raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 são as soluções da 
equação do 2º grau 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula 
de Báskara: 𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 em que ∆= 𝑏² − 4𝑎𝑐, onde 𝑥′ =
−𝑏+√∆
2𝑎
 e 𝑥′′ =
−𝑏−√∆
2𝑎
. Então 
os pontos das raízes são da forma: (𝑥′, 0)𝑒 (𝑥′′, 0). 
Exemplo 1: Obtenha as raízes da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 e escreva a função 
na forma fatorada. 
Calcular o delta: ∆= (−5)2 − 4.1.6 = 25 − 24 = 1 
Calcular os valores de 𝑥: 𝑥 =
5±√1
2
 𝑥′ =
5+1
2
=
6
2
= 3 e 𝑥′′ =
5−1
2
=
4
2
= 2 
Raízes: (2,0) 𝑒 (3,0) 
Forma fatorada: 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 
Exemplo 2: Obtenha as raízes da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² − 4𝑥 + 1 e escreva a 
função na forma fatorada. 
Calcular o delta: ∆= (−4)2 − 4.1.4 = 16 − 16 = 0 
Calcular os valores de 𝑥: 𝑥 =
4±√0
2.4
 𝑥′ = 𝑥′′ =
4
8
=
1
2
 
Raiz: (
1
2
, 0) 
Forma fatorada: 𝑦 = 𝑘(𝑥 −
1
2
)(𝑥 −
1
2
) 
Exemplo 3: Obtenha as raízes da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥 + 4 e escreva a 
função na forma fatorada. 
Calcular o delta: ∆= (3)2 − 4.2.4 = 9 − 32 = −23 
Não existem raízes reais. 
Observação: A equação quadrática 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com zeros 𝑥′ e 𝑥′′ pode ser 
escrita na forma 𝑘. (𝑥 − 𝑥′). (𝑥 − 𝑥′′) = 0 e a função pode ser escrita da forma 
𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′). Chamamos de forma fatorada. 
Exemplo 1: Escreva a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 na forma fatorada. 
Como já sabemos que a raiz da função é Raiz: (2,0) 𝑒 (3,0), temos que a forma 
fatorada é: 
Forma fatorada: 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 
Exemplo 2: Escreva a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥² − 4𝑥 + 1 na forma fatorada. 
Como já sabemos que a raiz da função é Raiz: (
1
2
, 0), temos que a forma 
fatorada é: 
Forma fatorada: 𝑦 = 𝑘(𝑥 −
1
2
)(𝑥 −
1
2
) 
 
(30 min) – Resolução de exercícios. 
 1. Determinar as raízes (zeros) reais de cada uma das funções seguintes: 
A) 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 
∆= (−3)2 − 4.2.1 = 9 − 8 = 1 
𝑥 =
−(−3) ± √1
2.2
= 𝑥 =
3 ± 1
4
 
𝑥′ =
3+1
4
=
4
4
= 1 e 𝑥′′ =
3−1
4
=
2
4
=
1
2
 
Raízes: (1,0) 𝑒 (
1
2
, 0) 
B) 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 
∆= (4)2 − 4. (−1). 0 = 16 − 0 = 16 
𝑥 =
−4 ± √16
2. (−1)
= 𝑥 =
−4 ± 4
−2
 
𝑥′ =
−4+4
−2
=
0
−2
= 0 e 𝑥′′ =
−4−4
−2
=
−8
−2
= 4 
Raízes: (0,0) 𝑒 (4,0) 
C) 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 15 
∆= (2)2 − 4. (−1). 15 = 4 + 60 = 64 
𝑥 =
−2 ± √64
2. (−1)
= 𝑥 =
−2 ± 8
−2
 
𝑥′ =
−2+8
−2
=
6
−2
= −3 e 𝑥′′ =
−2−8
−2
=
−10
−2
= 5 
Raízes: (−3,0) 𝑒 (5,0) 
D) 𝑦 = 9𝑥2 − 1 
∆= (0)2 − 4.9. (−1) = 0 + 36 = 36 
𝑥 =
±√36
2.9
= 𝑥 =
±6
18
 
𝑥′ =
+6
18
=
1
3
 e 𝑥′′ =
−6
18
=
−1
3
 
Raízes: (
1
3
, 0) 𝑒 (−
1
3
, 0) 
E) 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9 
∆= (6)2 − 4. (−1). (−9) = 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−6 ± √0
2. (−1)
= 𝑥 =
−6
−2
= 3 
Raízes: (3,0) 
F) 𝑦 = 3𝑥² 
3𝑥² = 0 
𝑥2 = 0 
𝑥 = 0 
Raízes: (0,0) 
G) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9 
∆= (−5)2 − 4.1.9 = 25 − 36 = −11 
Não existem raízes reais. 
H) 𝑦 = −𝑥2 + 2 
∆= (0)2 − 4. (−1).2 = 8 
𝑥 =
±√8
2. (−1)
= 𝑥 =
±√8
−2
 
𝑥′ =
2√2
−2
= −√2 e 𝑥′′ =
−2√2
−2
= √2 
Raízes: (−√2, 0) 𝑒 (√2, 0) 
i) 𝑦 = 𝑥² − 𝑥 − 6 
∆= (−1)2 − 4.1. (−6) = 1 + 24 = 25 
𝑥 =
−(−1) ± √25
2.
= 𝑥 =
1 ± 5
2
 
𝑥′ =
1+5
2
=
6
2
= 3 e 𝑥′′ =
1−5
2
=
−4
2
= −2 
Raízes: (3,0) 𝑒 (−2,0)